Matemàtiques 4 - Unitat de mostra (ESO)

MATEMÀTIQUES 4Miquel Albertí, Andrés Aragoneses, Antoni Bancells, Albert Bosch, Fernando García, Antonio Hernández, Bartolomé Luque, Ricard A. Rovira, Lluís Sabater, Juan A. Ysern

MAT

EM

ÀTI

QU

ES

4

www.ecasals.net/alumnes/matematiques4eso

ELS TEUS RECURSOS DIGITALS A:

Mates 4 coberta CAT CS4.indd 1 13/03/12 16:40

168

9 Funcions i gràfiquesU

nit

atFuncions i gràfiques

Una gràfica val més que mil imatges

Una funció fa palesa la relació de dependència entre dues variables quantificades. Pot manifestar-se amb una expressió verbal, amb una taula de valors, amb una gràfica o amb una fórmula.

A l’hora de descriure un fenomen es diu que val més una imatge que mil paraules. Hom pot descriure ver-balment una casa o un paisatge, però més enllà de l’exercici literari, la idea que ens en podem fer a partir d’una fotografia és, en general, més aclaridora.

Una cosa semblant passa amb les funcions. A cada valor numèric assignat a la variable independent li correspon un valor numèric de la variable dependent. D’aquest valor es diu que és la imatge de l’altre. En la funció y = x2, la imatge de x = 2 és y = 4; la imatge de x = 11 és y = 121; la de x = −3 és y = 9. Els parells de valors calculats, (2, 4), (11, 121) i (−3, 9), es po-den representar en un sistema de coordenades. Calcu-lant-ne molts més veuries que els punts creen una línia que encapsula i fa visible la funció. En el cas de y = x2 la gràfica és una paràbola formada d’infinits punts.

La gràfica és la foto de la funció; i la fórmula, la mà-quina que la retrata. Si una imatge val més que mil paraules, una gràfica val més que mil imatges.

Però no sempre els punts de la gràfica formen una lí-nia contínua, com és el cas de la gràfica parabòlica de la funció y = x2. La funció dels quadrats dels nombres naturals també té forma parabòlica, però és discontí-nua perquè es compon d’una sèrie de punts aïllats. Les gràfiques sense talls ni interrupcions es poden traçar d’una tirada sense separar la punta del llapis del paper. Una funció es diu contínua quan ho és la seva gràfica.

A l’àmbit quotidià trobem funcions discontínues, com ara la que determina l’import que cal pagar en funció del temps que un cotxe és en un aparcament. Fins fa poc els pàrquings cobraven per hores. Els can-

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 168 15/02/12 16:25

100

10

20

30

40

50

60

2 3 4 5 6 100

10

20

30

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

1 000

2 000

3 000

2012201020082006

169

Funcions i gràfiquesFuncions i gràfiques

Analitza i resol

1. Explica de quines maneres es pot expressar una funció. Posa alguns exemples de funcions les gràfiques de les quals siguin línies discontínues.

2. Explica quines trans-formacions faries en la gràfica següent per donar suport a la tesi que deter-minada empresa ha millorat molt aquests últims anys. I per donar suport a la idea que no n’hi ha per tant?

3. Aquestes són les tarifes d’un aparcament públic: Des del minut 0 al 30 0,0376 €/min Des del minut 31 al 90 0,0339 €/min Des del minut 91 al 660 0,0452 €/min Des del minut 661 fins a un màxim de 24 h 28,90 €

a) Indica quin és l’import corresponent a 15 min. I a tres quarts d’hora?b) Escriu tots els imports que cal pagar en €/h.c) Fes la gràfica de l’import que s’ha de pagar en €/h. Indica si és contínua.

4. L’índex de massa corporal (IMC) d’una persona es calcu-la dividint la seva massa (kg) entre el quadrat de la seva estatura (m).

a) Calcula l’IMC d’una persona de 65 kg i 1,7 m.b) Expressa l’IMC d’una persona d’1,7 m d’estatu-ra en funció de la massa.c) Expressa l’IMC d’una persona de 50 kg en fun-ció de l’estatura.d) Representa les dues gràfiques i respon: són con-tínues? Són creixents o decreixents? És a dir, l’aug-ment d’estatura i/o massa va acompanyat d’un aug-ment de l’IMC?

vis de preu en cada hora feien la gràfica de l’import que calia pagar discontínua. En lloc d’una línia, la gràfica era esglaonada. Cada esglaó corresponia a un canvi de preu. Ara els preus es determinen en funció dels minuts, cosa que aproxima la funció a la idea de continuïtat.

Les funcions periòdiques també són força corrents. Molts fenòmens naturals responen a aquesta caracte-rística. El nivell de l’aigua del mar en les marees, la posició d’un pèndol quan oscil·la, etc. es donen amb la mateixa regularitat periòdica.

El poder comunicatiu de les gràfiques les ha fet cor-rents als mitjans de comunicació (televisió, premsa, Internet…). Avui dia resulta difícil llegir una pàgina d’un diari en què no hi hagi una notícia il·lustrada amb una gràfica. Sovint serveix per fer més clara la informació, però de vegades se’n pot fer un ús ten-denciós. Aleshores, les unitats dels eixos de coorde-nades es prenen de manera que els trets de la gràfica s’esbiaixin i es destaqui la informació desitjada. Les dues gràfiques següents corresponen a la mateixa funció, però en una les variacions no semblen tan grans com a l’altra.

Índex1. Les funcions

2. Punts de tall i continuïtat

3. Creixement i decreixement d’una funció

4. Simetria i periodicitat

5. La taxa de variació mitjana

Competències bàsiquesMatemàtica. Observar, analitzar i interpretar fenòmens

funcionals.

Comunicativa lingüística i audiovisual. Llegir i ex-

pressar en llenguatge simbòlic expressions del llenguatge

habitual.

Tractament de la informació i competència digital.

Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

any

bene

ficis

(€)


1

b

a

x f xx2

2= +( )

−4 0

−2 1

0 2

2 3

4 4

6 5

200

2

−2

−2

−4

−4

−6 6

6

8

8

4

4

170

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 1.1 Concepte de funció. Domini i recorregut

Quan entre dues variables, a cada valor de la variable independent x li correspon un únic valor de la variable dependent y, tenim una funció.

S’escriu y = f(x) i es diu que y és la imatge de x. També es diu que x és una antiimatge de y, i s’escriu x = f−1(y).S’anomena domini de f, i s’escriu Dom(f) o D(f), el conjunt dels valors de la variable inde-pendent pels quals es pot trobar una imatge.

Els valors corresponents de la variable dependent formen el recorregut de f, i s’escriu Rec(f) o R(f).Una fórmula és l’expressió algebraica d’una funció, que permet calcular y a partir de x.

Una funció es pot simbolitzar a partir de la seva fórmula, el seu domini i el seu recorregut.

Exemples

1. Observa la funció que a cada valor de R li fa correspondre el seu quadrat:

f(2) = 22 = 4 f(−3) = (−3)2 = 9 f(0) = 0 f(1,2) = 1,44 …

Així, Dom(f) = R, perquè a tots els nombres reals se’ls pot calcular el seu quadrat, i Rec(f) = [0, +∞) perquè els nombres negatius no són imatge de cap nombre.

2. La fórmula de la funció que a cada valor de R li fa correspondre el seu quadrat és

f(x) = x2, i per tant f

x x

: 0,2

R [ )→ + ∞

→

i així, f(3) = 32 = 9, etc.

1.2 Gràfica d’una funció

La gràfica d’una funció f és la representació en un sistema de coordenades dels punts (x, f(x)), en què x és un valor del domini de f.

Hi ha molts aspectes que cal considerar a l’hora de representar una funció però en qualsevol cas les dades obtingudes amb una taula de valors donen molta informació.

Exemple

3. Representa gràficament la funció f(x) = x2

2+ .

En primer lloc cal fer una taula de valors. Fixa’t que Dom(f) = R i que, per tant, cal agafar valors positius i negatius.

Es representen cada un dels parells de punts obtinguts (−4, 0), (−2, 1), etc. i s’uneixen per obtenir una recta. Com que Dom(f) = R, cal allargar la recta pels dos extrems.

Les funcions

Recorda

La relació entre variables es pot

representar de tres maneres:

• Taula de valors

• Gràfica

• Fórmula

Alerta

Hi ha funcions en què la vari-

able dependent depèn de més

d’una variable independent.

Per exemple, l’àrea d’un rectan-

gle depèn de la base i l’altura:

A = a · b = f(a, b)


2 3 5100

2

−2−3 −1

−2

−4

−4

6

8

10

4

4

−2

−2 −1−1

7 8 91 2 3 4 5 6

5

4

3

2

100

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

100

00

2 3 4−3

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

1 2 3 4−3

171

1.3 Imatge i antiimatge d’una funció a partir de la gràfica

Quan es coneix la fórmula d’una funció y = f(x), per calcular la imatge de qualsevol valor, només cal substituir la x. La imatge i l’antiimatge també es pot trobar fàcilment a partir de l’anàlisi de la gràfica de la funció.

Exemple

4. La gràfica d’una funció determinada és la del marge. Troba a partir de la seva anàlisi:

a) La imatge de x = 1. Localitza el punt 1 de l’eix d’abscisses i traça una línia vertical (en vermell en el dibuix). On s’intersequi amb la gràfica, traça una línia horitzontal fins a trobar l’eix d’ordenades. El punt on el talla és el 3, i per tant f(1) = 3.

b) L’antiimatge de y = 2. Localitza el punt 2 de l’eix d’ordenades i traça una línia horitzontal (en blau en el dibuix). Aquesta línia s’interseca amb la gràfica en quatre punts. Des de cada un d’aquests punts traça una línia vertical fins a trobar l’eix d’abscisses. Els quatre punts on el talla són −2,4; −1,4; 1,4 i 2,4; i per tant:

f −1(2) = {−2,4; −1,4; 1,4; 2,4}

1.4 Domini i recorregut d’una funció a partir de la gràfica

El domini és el conjunt de tots els valors de l’eix d’abscisses que, en traçar una recta verti-cal, tallen la gràfica.

El recorregut és el conjunt de tots els valors de l’eix d’ordenades que, en traçar una recta horitzontal, tallen la gràfica.

Exemples

5. En aquesta funció, el domini és Dom(f) = [−2, 7] i el recorregut Rec(f) = [−2, 5].6. Fixa’t en les figures 1 i 2 del marge i indica el do-mini i el recorregut de la funció.

Domini. Es tracta d’una gràfica en dos trossos. Fixa’t en la figura 1, que en el punt x = 1 sí que talla a la gràfica (rodona plena), mentre que en el punt x = 2 la funció s’hi acosta molt, però no talla la recta vertical. Per tant, podem afirmar que Dom(f) = (−∞, 1] ∪ (2, +∞).Recorregut. Talla la gràfica en y = −2 i y = 1. Per tant, Rec(f) = [−2, 0) ∪ [1, +∞).

Aplica

1 ■ Tenim la funció f(x) = x+ .

a) Fes una taula de valors i representa-la gràficament.

b) Indica el seu domini i recorregut.

2 ■■ Analitza la gràfica de l’exemple 6 i troba, si n’hi ha, les

imatges de:

a) −1 b) 0 c) 1 d) 4


antiimatges de:

a) −1 b) 0 c) 1 d) 2

Raona

4 ■■ Explica per què la gràfica ad-

junta no correspon a una funció.

fig. 1

fig. 2


2

(0, –1)

(0, 4)

f(x) = 2x + 3 g xx

x4

2 1

2

( ) =−−

f(x) = 3x − 1

f xxx

21

2( ) =−−

+

172

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 2.1 Punts de tall amb l’eix d’ordenades

Per trobar en quin punt una funció talla l’eix d’ordenades, cal substituir x per 0. És el punt (0, f(0)).En el cas que el 0 no pertanyi al domini de la funció, no talla l’eix d’ordenades.

Exemple

7. Troba els punts de tall amb l’eix d’ordenades de les funcions següents:

a) f(x) = 3x − 1. Cal calcular f(0) = 3 · 0 − 1 = −1. La funció talla l’eix verti-cal en el punt (0, −1).

b) f(x) = xx

21

2−−+ . Cal calcular f(0) =

2 01 0

2 4−−

+ = . La funció talla l’eix ver-

tical en el punt (0, 4).

2.2 Punts de tall amb l’eix d’abscisses

Per trobar en quin punt o punts una funció talla l’eix d’abscisses cal resoldre l’equació f(x) = 0.

Així, si k és una solució, la funció tallarà l’eix horitzontal en el punt (k, 0).

Exemple

8. Troba els punts de tall amb l’eix d’abscisses de les funcions següents:

a) f(x) = 2x + 3. Resolent f(x) = 0, és a dir 2x + 3 = 0, s’obté x = −1,5. Aquesta funció tan sols té un punt de tall amb l’eix horitzontal, el (−1,5; 0).

b) f(x) = x

x4

2 1

2−−

. Resolent x

x

2 42 1

0−−

= s’obtenen dues solucions: x1 = 2 i

x2 = −2. Aquesta funció té dos punts de tall amb l’eix horitzontal: (2, 0) i (−2, 0).c) f(x) = 2x. L’equació 2x = 0 no té solució, ja que si multipliquem diverses vegades el 2 per si mateix mai donarà 0 ni negatiu. Per tant, aquesta funció no talla l’eix abscisses.

2.3 Concepte de continuïtat

Una funció és contínua en un punt x0 si hi està definida, és a dir, si existeix f(x0), i en aproximar-nos a x0 pels dos costats les imatges s’aproximen a f(x0).Intuïtivament, una funció és contínua en un interval si per dibuixar-la no cal aixecar el llapis del paper.

Exemple

9. La gràfica de la funció f(x) = 2x + 3 és contínua, mentre que la de la funció

g(x) = x

x4

2 1

2 −−

és discontínua.

Punts de tall i continuïtat

Recorda

L’eix vertical, o Y, és l’eix d’or-

denades.

L’eix horitzontal, o X, és l’eix

d’abs cisses.

Recorda

La definició matemàtica de

continuïtat a un punt és més

complexa. Es diu que una fun-

ció és contínua a un interval

si és contínua a cada un dels

punts de l’interval.


−2 −1

−1

1

2

3

−2

−3

100

2 3 4−3

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

100

2 3 4 5 6 7−3

173

2.4 Tipus de discontinuïtats

Una funció és discontínua si la seva gràfica presenta alguna de les interrupcions següents:

• Evitable. Quan f(x) no està definida en x0 i, en aproximar-nos a x0, les imatges s’aproxi-men a un cert valor k no infinit.

• De salt. Quan, en aproximar-nos a x0 pel cantó dret i pel cantó esquerre, les imatges s’aproximen a valors diferents, k1 i k2, no infinits. El salt és |k1 − k2|.

• Asimptòtica. Quan, en aproximar-nos a x0 per un dels cantons, o pels dos, les imatges se’n van cap a +∞ o −∞.

L’estudi de la continuïtat d’una funció a partir de la seva expressió algebraica, de vegades no és fàcil, en canvi, l’estudi a través de la gràfica és molt senzill.

Com aplicar-ho. Analitzar al domini i continuïtat d’una funció

Analitza el domini, recorregut i continuïtat de la gràfica adjunta.

Pots observar que:

• Cal posar atenció al final de cada tram de la gràfica, si és obert o tancat.

Pel que fa referència al domini, a (−1, −1) hi ha una rodona buida que vol dir que f(x) no hi està definida. La rodona plena del punt (1, −2) indica que f(1) = −2. Finalment, la rodona plena del punt (2, 0) vol dir que f(2) = 0. Per tant, Dom(f) = R − {−1}.

• Pel que fa referència al recorregut, observa que la rodona buida en el punt (−1, −1) indica que traçant una recta horitzontal pel punt −1 no es tallarà la gràfica. En canvi la rodona plena al punt (2, 0) fa que si es traça una horitzontal pel punt 0 sí que es talli la gràfica. Finalment, la rodona plena del punt (1, −2) indica que si es traça una recta horitzontal pel punt −2 també tallarà la gràfica, per tant, Rec(f) = [−2, +∞).

• Hi ha una discontinuïtat evitable al punt x = −1. Tant si ens hi acostem pel cantó esquerre com pel cantó dret, les imatges s’acosten a −1.

• Té una discontinuïtat de salt al punt x = 1. El salt val |1 − (−2)| = 3, ja que quan ens hi acostem pel cantó esquerre, les imatges s’acosten a −2, i quan ens hi acostem pel cantó dret les imatges s’acosten a 1.

• Hi ha una discontinuïtat asimptòtica al punt 2. En acostar-nos-hi pel cantó dret, les imatges se’n van a +∞.

Consells

Pots aprofitar la gràfica per observar els punts de tall en els eixos. Així, talla l’eix vertical aproximadament al punt (0; 1,9); i l’eix horitzontal al punt (2, 0).Observa que trobar els talls als eixos pot ser més fàcil si tens la fórmula de la funció que si tens la gràfica.

Vegeu els exercicis

6 i 7 pàg. 173; 23 pàg. 181; 26 i 27 pàg. 182.

Aplica

5 ■ Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions

següents:

a) f(x) = 2x − 6 d) f(x) = x2 − 4

b) f(x) = xx

21

+−

e) f(x) = x1

c) f(x) = x2 + 2x − 3 f) f(x) = ex

6 ■■ Observa la gràfica i

indica’n:

a) El domini.

b) El recorregut.

c) La continuïtat.

7 ■■■ Quin seria el domini i el recorregut de la gràfica de

l’exercici 6 si totes les rodones estiguessin buides?


3

−2−4 −1

−1

1

2

3

4

−2

−3

100

2 3 4−3

−2−4

−4

−1

−1

1

2

3

4

−2

−3

100

2 3 4−3

0

0

−2

2

−6

6

−4

4

0,2 0,4 0,6 0,8 1,21

174

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 3.1 Concepte de creixement i decreixement

Una funció és creixent en un interval donat si agafant-ne dos valors qualssevol x1 i x2 es compleix que si x1 < x2, aleshores f(x1) ≤ f(x2).f(x) és estrictament creixent en un interval si x1 < x2 → f(x1) < f(x2) per a qualssevol x1 i x2 de l’interval.

Una funció és decreixent en un interval donat si agafant-ne dos valors qualssevol x1 i x2 es compleix que si x1 < x2, aleshores f(x1) ≥ f(x2). f(x) és estrictament decreixent en un interval si x1 < x2 → f(x1) > f(x2) per a qualssevol x1 i x2 de l’interval.

L’estudi del creixement d’una funció a partir de la seva expressió algebraica pot ser complex i és més fàcil si se’n té l’expressió gràfica.

Les gràfiques sempre s’analitzen d’esquerra a dreta per evitar confusions.

Exemples

10. Fixa’t en els intervals de creixement i decreix-ement de la funció f(x) a partir de la gràfica:

Creixent als intervals (−∞, −2] i [−1, 2].Decreixent als intervals [−2, −1] i [3, +∞).Constant a l’interval [2, 3].Fixa’t que els intervals de creixement sempre són oberts si la funció no està definida als extrems o no és contínua.

11. Observa els intervals de creixement i decrei-xement de la funció discontínua següent a partir de la gràfica:

Creixent als intervals (−∞, −2], (−2, 1) i (1, 3]. Constant a l’interval (3, +∞).Fixa’t que no es pot dir que f(x) sigui creixent a l’interval (−∞, 3), perquè, per exemple, −3 < −1 i en canvi f(−3) > f(−1). Això passa perquè f(x) no és contínua a l’interval (−∞, 3).

3.2 Els extrems: màxims i mínims

Els extrems són el valor més gran (màxim) o el més petit (mínim), que pren una funció, ja sigui entorn d’un punt (extrem local) o en tot el domini (extrem absolut).

• f(x) té un màxim absolut al punt x0 si f(x0) ≥ f(x) per a qualsevol altre x. És a dir, si la imatge de x0 és més gran o igual que la de qualsevol altre valor de x.

• f(x) té un mínim absolut al punt x0 si f(x0) ≤ f(x) per a qualsevol altre x. És a dir, si la imatge de x0 és més petita o igual que la de qualsevol altre valor de x.

Es parla de màxims i mínims relatius o locals quan ens referim només a un entorn del punt x0, és a dir, en relació amb punts propers a x0.

Creixement i decreixement d’una funció

Recorda

Una funció pot tenir diferents

intervals de creixement i de-

creixement, i també pot ser

constant en algun interval.

Intuïtivament, «créixer» o «de-

créixer» té a veure amb el fet de

si la gràfica, llegida d’esquerra

a dreta, va «amunt» o «avall».

màxim local

mínim local

mínim absolut

màxim absolut

Alerta

Observa que f(x) és creixent

en (−∞, −2] i decreixent en

[−2, –1] , sense que hi hagi

contradicció en què el −2

aparegui als dos intervals; això

passa perquè el concepte de

creixement en un sol punt no

existeix.


−2−4 −1−1

1

2

3

4

−2

−3

100

2 3 5 64−3−5−6

−2−4 −1

−1

1

2

−2

100

2 3−3

−3

−2−4 −1

−1

1

2

3

−2

100

2 3 5 64−3−5−6

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

100

2 3 4−3

175

3.3 Interpretació gràfica de màxims i mínims

L’estudi dels extrems d’una funció a partir de la seva expressió algebraica pot ser complex. En aquest curs només els estudiaràs a partir de l’anàlisi de la gràfica.

Exemple

12. Troba els extrems de la funció de la gràfica adjunta:

f(x) té un màxim absolut al punt x = −2. És l’absolut perquè és el punt més alt.

f(x) té un mínim relatiu al punt x = 1.

f(x) té un màxim relatiu al punt x = 3.

En aquest cas, s’interpreta que la funció està definida a tot R, i que tant per la dreta com per l’esquerra decreix indefinidament. Si es considerés que el domini va de −4,5 a 4,5, caldria afegir que f(x) té un mínim absolut al punt −4,5.

Com aplicar-ho. Estudiar una funció a partir de la seva gràfica

Analitza la gràfica i indi-ca el domini, el recorre-gut, els intervals de crei-xement i decreixement, els punts de tall amb els eixos, els extrems i les discontinuïtats.

• Observa que als punts (−1, 0) i (1, 0) les rodones són buides, mentre que al (0, −1) la rodona és plena. Per tant:

Dom(f) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞)Rec(f) = [−1, +∞) − {0}

• És creixent als intervals (−∞, −3], [−2, 1) i (1, 3] i decreixent als intervals [−3, −1) i (2, +∞).

• Només talla l’eix vertical en el punt (0, −1).• Té un màxim relatiu en x = −3 i un mínim absolut en x = 0.

• Presenta una discontinuïtat evitable al punt x = 1 i una discontinuïtat asimp-tòtica al punt x = 2.

Consells

Comença sempre estudiant el do-mini, i expressa’l de la manera més senzilla possible:

Dom(f) = (−∞, −1) ∪ [0, +∞) − − {1, 2}S’interpreta que, tant per l’esquerra com per la dreta, la funció s’acosta molt a l’eix horitzontal però no el toca mai.

Vegeu els exercicis

8, 9 i 10 pàg. 175; 30, 31 i 32 pàg. 182.

Aplica

8 ■ Estudia el creixement, el domini i recor-

regut de la funció adjunta.

9 ■■ Copia i completa la taula següent i representa la funció;

indica’n el domini, el recorregut, el creixement i els extrems:

x −5 −3 −1 0 1 3 5

f(x) = x2 + 1

10 ■■■ Fes un estudi complet de la funció de la gràfica

següent:


4

PP’ y

P

O

P’−T 2TT

176

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 4.1 Simetria

Una funció és simètrica respecte de l’eix d’ordenades (simetria parella) si per a cada valor x es compleix que f(x) = f(−x).Una funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades (simetria imparella) si per a cada valor x es compleix que f(x) = −f(−x).

Exemple

13. La funció f(x) = x2 té simetria parella perquè per a tot x, f(x) = f(−x), ja que x2 = (−x)2.

La funció f(x) = x3 − 2x té simetria imparella perquè per a tot x es té que f(x) = −f(−x), ja que x3 − 2x = −[(−x)3 − 2(−x)].

4.2 Periodicitat

Una funció f(x) és periòdica si hi ha un valor T tal que per a qualsevol valor de x es com-pleix que f(x + T) = f(x), és a dir, si cada cert «temps» (període) es van repetint els resultats.

El període és el mínim valor de T que verifica això.

Exemple

14. La funció definida del conjunt dels nombres naturals N en el conjunt U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, que cada nombre li fa correspondre la seva xifra de les unitats, és periòdica i té període T = 10:

f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 … f(9) = 9 f(10) = 0 f(11) = 1 … f(5 024) = 4 ...

és a dir, f(0) = f(10) = f(20) = … = 0

f(1) = f(11) = f(21) = … = 1 ...

4.3 Estudi gràfic de la simetria i la periodicitat

Si f(x) té simetria parella, per cada punt P de la gràfica es pot fer passar una recta horit-zontal r que talli la gràfica en un altre punt P′ tal que YP = YP′, en què Y és el punt de l’eix vertical que talla amb la recta r.

Si f(x) té simetria imparella per cada punt P de la gràfica es pot fer passar una recta r que passi també per l’origen de coordenades O. Aquesta recta tallarà la gràfica en un altre punt P′ tal que OP = OP′.

Si f(x) té període T, el seu estudi gràfic es pot reduir a l’interval [0, T ], ja que a partir d’aquest només cal anar afegint còpies.

Exemple

15. Fixa’t en cada cas en la simetria i la periodicitat de les funcions següents:

Simetria i periodicitat

Recorda

Si una funció té simetria pare-

lla, només cal estudiar-la a l’in-

terval del 0 a +∞, ja que l’altre

cantó serà com la imatge d’un

mirall.

simetria parella simetria imparella periodicitat


5

A

B

a

b

f(a)

f(b)

A

B

−2 −1

−1

1

2

3

−2

100

2

177

5.1 Càlcul de la taxa de variació mitjana

Moltes vegades, per interpretar correctament una gràfica és important determinar la rapi-desa amb què creix o decreix la funció representada.

Així, donat un interval determinat [a, b], la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció f(x) a l’interval [a, b], inclòs dins el domini de la funció, és el quocient entre l’increment de la variable dependent i l’increment de la variable independent:

( )( ) ( )

=−−[ ] f

f b f ab aa bTVM ,

La taxa de variació mitjana de la funció f(x) a l’interval [a, b] coincideix amb el pendent de la recta que uneix els punts A = (a, f(a)) i B = (b, f(b)).

La taxa de variació mitjana

Aplica

11 ■ Donada la funció f(x) = x2 + x:

a) Fes una taula de valors.

b) Representa-la gràficament.

c) Indica si té alguna simetria.

12 ■ Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f(x) = x2

als intervals:

a) [−1, 4]b) [0, 5] c) Els dos intervals tenen la mateixa amplada, però a

quin hi ha més creixement de la funció?

13 ■■■ Calcula la taxa de variació mitjana de f (x) = x2 + 1 als

intervals:

a) [−3, 0] b) [0, 3]

Raona

14 ■■■ Taxa de variació:

a) Fixa’t que si la funció és creixent a un interval [a, b], la taxa de variació mitjana és positiva.

b) Dibuixa un exemple d’una funció que tingui

f b f a

b a0

( ) ( )−−

> i en canvi no sigui creixent a l’interval

[a, b].

Com aplicar-ho. Analitzar gràficament la taxa de variació mitjana

Analitza la funció donada per la gràfica adjunta i calcula la taxa de variació mitjana als intervals [−2, 2], [−2, 1] i [1, 2].

• Interval [−2, 2]:Tenim que a = −2 i b = 2, i que f(a) = −1 i f(b) = 2.

Per tant, ( )( )( )

=− −− −

=[ ]− fTVM2 12 2

342, 2 .

• Interval [−2, 1]:En aquest cas a = −2, b = 1, f(a) = −1 i f(b) = 0.

Per tant, ( )( )( )

=− −− −

=[ ]− fTVM0 11 2

132,1 .

• Interval [1, 2]:En aquest cas a = 1, b = 2, f(a) = 0 i f(b) = 2.

Per tant, ( ) =−−

=[ ] fTVM2 02 1

21, 2 .

Consells

Generalment, la variable dependent es representa per x, però quan ens referim al temps se sol representar per t. Aleshores la rapidesa de crei-xement o decreixement és la velo-citat, i la taxa de variació mitjana a l’interval [a, b] coincideix amb la velocitat mitjana a aquest interval.

Comprova que el pendent de la recta de la gràfica que passa pels punts A i B és 3/4.

Fixa’t que la taxa de variació mitja-na a l’interval [−2, 2] no és la suma ni la mitjana de les taxes de variació mitjanes als intervals [−2, 1] i [1, 2].

Vegeu els exercicis

11, 12 i 13 pàg. 177; 42 i 45 pàg. 183.


178

Tot són matemàtiques

EL NOMBRE D’ERDÖSI ALTRES XARXES SOCIALS

Un matemàtic és una màquina queconverteix cafè en teoremes.

PAUL ERDÖS (1913-1996)autor de 1 475 articles matemàtics.

Entre els matemàtics hi ha la tradició d’as-signar-se l’anomenat nombre d’Erdös. Paul Erdös té nombre d’Erdös zero. Tots els co-autors d’algun article seu tenen nombre d’Erdös 1: en total van ser 504.

Tots els coautors amb matemàtics de nom-bre d’Erdös 1 que no van publicar directa-ment amb Paul Erdös tenen nombre d’Er-dös 2, i així successivament.

Es pot definir la xarxa de col·laboracions d’Erdös assignant un node a cada autor i un enllaç entre autors que hagin col·laborat plegats en un article.

El nombre d’Erdös és un exemple de «dis-tància» en una xarxa, en aquest cas de col-laboracions científiques.El nombre de Erdös no es restringeix a matemàtics:

George Uhlenbeck físic atòmic 2John A. Wheeler físic nuclear 3John Maynard Smith biòleg 4Jule G. Charney meteoròleg 4Oskar Morgenstern economista 4Walter Alvarez geòleg 7


179

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

Analitza i investiga

1. Repartiu-vos a classe la llista de cientí-

fics famosos que apareix a la taula i esta-

bliu per a cada un els nodes intermedis

que els connectarien amb Erdös. Després,

dibuixeu la xarxa d’Erdös en què apare-

guin tots.

2. Entra al lloc web The Oracle of Bacon

(www.cs.virginia.edu/oracle) i explora les

connexions entre els teus actors i actrius

favorits. Construeix una petita xarxa i pre-

senta-la a classe.

3. La distància mitjana per a Bacon de

qualsevol actor és de només 2,9. Creus

que això significa que Kevin Bacon és el

centre de l’univers cinematogràfic?

4. Documenta’t i explica en què va con-

sistir l’experiment Milgram, pioner en la

investigació de les xarxes socials a la dèca-

da de 1960, a partir del qual es va encu-

nyar l’expressió «sis graus de separació».


EL JOC DE BACONPensa el nom d’un actor o actriu cinematogràfic:

El joc consisteix a establir la cadena més curta per al personatge cinematogràfic proposat. S’ha calculat que el nombre d’actors que es troba a un pas és 1 469, a dos passos 105 800, etc. I la mitjana de Bacon és de només 2,9.

Si aquest subjecte ha compartit reparti-ment amb Kevin Bacon en alguna pel-lícula, el seu nombre de Bacon és 1.

Si mai ha participat amb Bacon en el mateix film, però ho ha fet amb algú que sí, se li assigna nombre de Bacon 2.

Així successivament.

De Santiago Segura a Kevin Bacon en només tres passos.


−2−3−5 −4 −1

−1

1

2

3

−2

100

2 3 4 5

180

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

esAixò és bàsic

creixent

màxim

discontinuïtat asimptòtica

decreixent

punt de tall (0, 1)

decreixent

Com es fa?

Procediment Pas a pas

Determinar els punts

de tall amb els eixos

Eix d’ordenades. Donada la funció f(x), substitueix x per 0. És el punt (0, f(0)).En el cas en què el 0 no pertanyi al domini de la funció, no talla l’eix d’ordenades.

Eix d’abscisses. Resol l’equació f(x) = 0. Si k és una solució, la funció tallarà l’eix horitzontal en el

punt (k, 0). Pot tenir més d’una solució o cap solució.

Determinar la taxa de

variació mitjana d’una

funció en un interval [a, b]

1. Calcula f(b) − f(a).

2. Divideix el resultat per b − a: ( ) ( )( ) =

−−[ ] f

f b f a

b aa bTVM ,

creixent

Dom(f) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) i Rec(f) =[−1, +∞) − {0}

Funció. Relació de dependència entre dues variables y = f(x).Per al seu estudi complet cal conèixer:

Domini. Conjunt dels valors de la varia-

ble independent pels quals existeix f(x).Recorregut. Conjunt de les imat-

ges dels valors del domini.

Fórmula. Indica com tro-

bar y a partir de x.

Gràfica. Representació dels parells

(x, f(x)) en un sistema de coordenades.

Característiques de les funcionsImatges i antiimatges

Punts de tall

amb els eixos

Ordenades:

(0, f(0)) Abscisses:

(k, 0)

Continuïtat i

discontinuïtat

(evitable, de salt

o asimptòtica).

Creixent si

f(x1) ≤ f(x2).Decreixent si

f(x1) ≥ f(x2).

Periodicitat

Una funció és

periòdica, amb

període T, si

per a tot valor

x es compleix

f(x) = f(x + T).

Simetria

Parella si

f(x) = f(−x).Imparella si

f(x) = −f(−x)).

Extrems

Màxim entorn

un punt k si

f(k) > f(x).Mínim entorn

un punt k si

f(k) < f(x).

Taxa de variació

mitjana

( )

( ) ( )

=

=−−

[ ] f

f b f a

b a

a bTVM ,

A partir de la fórmula i la gràfica es determina:


−2 −1

−1

1

2

3

4

100

2 3 4−3

−2 −1−1

−2

1

2

3

4

100

2 3 4 5 6−3 −2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4 5−3

−2 −1

−2

−1

1

2

3

100

2 3 4−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5 6−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−4 −3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

100

2 3 4 5−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3 −2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3

a) b)

a)

i)

b)

ii)

c)

iii)

d)

iv)

181

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

Activitats

Les funcions

15 ■■ Troba l’expressió algebraica de les funcions següents:

a) A cada valor se li assigna el quocient entre el seu qua-

drat i el quadrat que resulta de sumar-n’hi 2.

b) L’àrea d’un triangle de base b i altura a.

c) El volum d’un cilindre amb radi de la base r i altura

4 m.

d) La superfície d’una esfera de radi r.

e) A cada valor se li assigna la diferència entre el seu qua-

drat i el seu doble.

f) A dos nombres, x i y, se’ls assigna la resta entre els

seus quadrats

g) A dos nombres se’ls assigna el quocient entre la suma

dels seus quadrats i la seva suma.

16 ■ Indica el domini i el recorregut de les funcions següents:

17 ■ De cada una de les funcions de l’exercici anterior:

a) Troba les imatges (si n’hi ha) dels valors −4, −2, 0, 2

i 4.

b) Troba les antiimatges (si en tenen) dels valors −4, −2,

0, 2 i 4.

18 ■■ Fes una taula de valors per a cada funció i

representar-les:

a) f(x) = x12 d) f(x) = 2x + 1

b) f(x) = −x2 + 4x − 4 e) f(x) = 2x2 + 5x + 3

c) f(x) = x

x 1+ f) f(x) =

xx 1−−

19 ■■ Indica a quins punts no es pot calcular f(x) en les funci-

ons següents:

a) f(x) = x

x1+ c) f(x) = x2 4+

b) f(x) = 5x + 2

d) f xx1( ) =

20 ■ Només una de les gràfiques següents correspon a una

funció:

a) Indica quina és i per què les altres no ho són.

b) Indica el domini i el recorregut de la que és una funció.

c) Troba les antiimatges de −2, 0 i 2 de la que és una

funció.

21 ■■ Indica el domini de les funcions següents:

a) f(x) = x

x2+

d) f(x) = x2 + 2x − 1

b) f(x) = x

x2

3− e) f(x) =

xx

292 −

c) f(x) = x2 4− f) f(x) = x1

22 ■ Troba les imatges de −2, −1, 0, 1 i 2 per a cada una de les

funcions següents:

a) f(x) = −2x + 3 c) f(x) = x2 − 2

b) f(x) = x1

2 1− d) f(x) =

xx x

16 92

−+ +


23 ■ Indica els punts de tall en els eixos de cada una de les

funcions següents:


−2 −1

−1

−2

−3

−1

−2

1

2

100

2 3−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3−3

−2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3

−2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4−3

iv)

iii)

ii)

i)

−1

−2

−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3

3−3−4

−1

−2

−3

−4

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3−4

−1

−2

−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3

3−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3

iv)

iii)

ii)

i)

−2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3−2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4−3

b)a)

182

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 24 ■■ Troba els punts de tall amb els eixos de cada una de

les funcions següents:

a) f(x) = −2x + 4 d) f(x) = 2x − 1

b) f(x) = x2 + 1 e) f(x) = xx

22

+−

c) f(x) = x12 f) f(x) =

xx 12 −

25 ■■ Les funcions següents tenen com a mínim un punt on

no són contínues. Troba aquests punts i digues de quin tipus de

discontinuïtat es tracta:

a) f(x) = x x

x5 2

3

2 − c) f(x) =

x2

4−

b) f(x) = x x

x x

3 1si 1

si 12

+ <

≥

d) f(x) = x

x 12 −

26 ■ Analitza les gràfiques següents i indica per a cada una:

a) Els punts de discontinuïtat i de quin tipus són.

b) El domini i el recorregut.

c) Els punts de talls amb els eixos.

d) Les imatges (si n’hi ha) dels punts 0, 1 i 2.

e) Les antiimatges (si n’hi ha) dels punts 2, 0 i −2.

27 ■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−2, 1) ∪ [2, 4), Rec(f) = [−2, 1] i que talli els eixos en els punts A(− 1, 0), B(0; 0,8) i C(3, 0).

28 ■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−2, 4), Rec(f) = [−2, 1) i que tingui una discontinuïtat de salt al punt 1.

29 ■■ Dibuixa la gràfica d’una funció que tingui

Dom(f) = [−2, 4) i que tingui una discontinuïtat asimptòtica al

punt 1.


30 ■ Estudia el creixement i extrems de les funcions següents:

31 ■ Fixa’t en les funcions següents i indica per a cada una:

a) Els intervals de creixement o decreixement.

b) El domini.

c) Els extrems (màxims i mínims).

32 ■■ Fixa’t en les funcions següents:

A) f(x) = x2

1− + C) h(x) = x − 1

B) g(x) = 2x − x2 D) j(x) = 2x

a) Fes una taula de valors per a cada una.

b) Representa-les gràficament.

c) Analitza les gràfiques i indica’n els intervals de creixe-

ment i decreixement.

d) Troba els extrems de cada funció, en cada un dels ca-

sos següents:

i) Si ens restringim a l’interval (−1, 1).ii) Si ens restringim a l’interval [−1, 1].iii) Si ho considerem a tot el seu domini.

33 ■■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−3, 2], Rec(f) = (−2, 3], que talli els eixos als punts (−2, 0) i (0, 2) i que

sigui decreixent als intervals (−3, −1) i (−1, 2).


−1

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3−3

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3−3 −2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3

b)a)

183

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

Activitats

34 ■■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−1, 3], Rec(f) = (−1, +∞), que talli els eixos als punts (0, 0) i (2, 0) i que

sigui creixent a l’interval (−1, 1) i decreixent a l’interval (1, 3).


35 ■ Observa les funcions següents i indica si n’ha alguna que

presenti simetria. De quin tipus de simetria es tracta?

36 ■ Indica quin tipus de si-

metria té la funció següent i

quin és el seu període T.

37 ■■ Estudia la simetria de les funcions següents:

a) f(x) = 2x2 − 3 d) f(x) = x

x2

13 −

b) f(x) = (x − 1)2 e) f(x) = x

11

−

c) f(x) = x1

2 f) f(x) =

xx

11

−+

38 ■■ Dibuixa una funció que a l’interval (−4, −2) sigui decrei-

xent i que a l’interval (−2, 0) sigui creixent i que:

a) Tingui simetria imparella.

b) Tingui simetria parella.

39 ■■ Fixa’t en la gràfica següent i indica’n:

a) El domini i el recorregut.

b) Els punts de tall amb els eixos.

c) Els extrems.

d) Els intervals de creixement i decreixement.

e) Té alguna periodicitat? Quina.

f) Té simetria? Quina.

40 ■■ Dibuixa una funció que sigui periòdica amb període

T = 2, que el seu domini sigui (−4, 4] i que el seu recorregut

sigui (0, 3].

41 ■■ Completa a la llibreta cada una de les gràfiques següents,

en el tros [0, 4], de manera que siguin:

a) Periòdiques.

b) Simètriques respecte de l’eix vertical.

c) Simètriques respecte de l’origen de coordenades.

i) ii)


42 ■ Troba la taxa de variació mitjana de les funcions següents

a l’interval [−1, 2]:a) f(x) = x2 − x d) f(x) = 5x + 2

b) f(x) = x

22 +

e) f(x) = x

x 12 +

c) f(x) = 5x f) f(x) = 2x − 1

43 ■■ Compara les TVM de les funcions f(x) = x2 i g(x) = 2x als

intervals [0, 1], [0, 2] i [4, 5], i digues en cada cas quina creix més.

44 ■■ Respon:

a) N’hi ha prou amb saber el signe de la TVM a un inter-

val per saber-ne el creixement? Per què?

b) Dibuixa una funció que tingui TVM > 0 i en canvi no

sigui creixent a un interval [a, b].c) Dibuixa una funció que tingui TVM < 0 i en canvi no

sigui decreixent a un interval [a, b].

45 ■■ Observa la gràfica següent:

a) Troba la TVM de la funció

als intervals següents:

i) [−3, −2] ii) [0, 1] iii) [−3, −1] iv) [1, 3]v) [−1, 1] vi) [−3, 3]b) Indica quins són els intervals de creixement i decreixe-

ment.

c) Què es pot dir del creixement d’aquesta funció segons

els resultats obtinguts en el càlcul de la TVM?


1

1

−1

−1−2−3 00

2

2

3

3

1

1

−1

−2

−1−2−3 00

2

2

3

3

1110987654321 12

3

2

1

0

184

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

Autoavaluació

Repte

Sé analitzar una gràfica?

1. Donada la funció següent:

a) Digues el domi-

ni i el recorregut.

b) Indica els inter-

vals de creixement

i decreixement.

c) Indica els extrems.

d) Si en tenen,

troba la imatge dels valors −3, −2, 0, 1 i 3.

e) Si en tenen, troba l’antiimatge dels valors −1, 0 i 1.

f) Troba i compara la taxa de variació mitjana als intervals

[−1, 0] i [0, 1].

Sé trobar la funció associada a un problema?

2. El preu de l’entrada a un festival de cinema és de 25 € i dóna

dret a veure una pel·lícula gratis, i les altres que es vulguin veure

costen 4 € cada una.

a) Quant pagarà una persona que hagi vist 4 pel·lícules

aquest cap de setmana?

b) Escriu la fórmula que permet calcular el preu en funció

del nombre de pel·lícules vistes.

3. Un cotxe ha anat a una velocitat constant de 80 km/h durant

3 h. Després ha estat aturat per descansar durant 1 h. Segui-

dament ha continuat el viatge amb una velocitat constant de

100 km/h durant 2 h.

a) Escriu les fórmules de la velocitat en funció del temps per

a cada interval.

b) Escriu les fórmules de l’espai en funció del temps per a

cada interval.

Sé trobar els punts de tall amb els eixos?

4. Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions següents:

a) f(x) = xx

12

+−

b) f(x) = xx

41

2 −+

Sé distingir els tipus de discontinuïtats?

5. Analitza la gràfica següent i

indica’n:

a) El domini i el

recorregut.

b) La continuïtat.

c) La simetria.

d) El creixement.

46 ■■■ Troba una funció que sigui creixent entre −∞ i 0

i decreixent entre 0 i ∞, però que no tingui un màxim a x = 0.

Representa-la gràficament i fes-ne un estudi complet.

47 ■■■ Si et demanen quina és la teva edat, la resposta habi-

tual no és el valor exacte sinó la seva part entera. Considera el

cas de l’Amadeu, que va néixer l’1 de gener.

Resol els següents apartats amb l’ajut d’un programa de full

de càlcul.

a) Representa en un gràfic l’error absolut comès (en

anys), en funció dels dies que han passat des de cap

d’any, si l’Amadeu respon dient només la part entera

de la seva edat. A l’eix d’abscisses, doncs, hi haurà els

dies de l’any numerats de l’1 al 365; a l’eix d’ordenades,

l’error comés expressat en anys.

b) Calcula quant val l’error relatiu si l’Amadeu té 50

anys i li demanen l’edat el dia de Sant Joan.

c) Representa en un gràfic l’error relatiu en funció de

l’edat suposant que se li demana el dia de Sant Jordi. Fes

que a l’eix d’abscisses l’edat vagi de 5 a 50 anys.

48 ■■■ En el tradicional “ball de bastons” els participants

(bastoners) porten un bastó de fusta a cada mà. A més de

moure’s al ritme de la música, colpegen els seus bastons, l’un

amb l’altre, contra el terra o amb els d’un altre bastoner. Habi-

tualment els bastoners són 8 i aquesta n’és una de les possibles

col·locacions:A C E GB D F H

Cada lletra representa un bastoner. Imagina un ball en què D

sempre fa el mateix que A i C el mateix que B. El segon qua-

drat balla igual que el primer. Tots miren cap al centre dels

seus respectius quadrats. El gràfic indica les accions d’A (blau)

i B (vermell) durant els tres primers compassos. El codi de l’eix

d’ordenades és 0, cap cop; 1, cop al terra; 2, cop amb el bastó

de l’esquerra al bastó més proper del company que està a l’es-

querra, ídem a la dreta; 3, cop amb els dos bastons als bastons

del company en diagonal. L’eix d’abscisses indica les notes de

la melodia, suposant que totes són negres. Com el ritme és 4

per 4, hi ha 4 negres a cada compàs.

Calcula quants cops va donar la colla, en total, durant el segon

compàs.


00

5

10

15

20

25

30

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

00

1

20

2

3

40

4

5

60

6

80 100

a)

00

1

20

2

3

40

4

5

60

6

80 100

b)

00

1

20

2

3

40

4

5

60

6

80 100

c)

00

1

20

2

3

40

4

5

60

6d)

80 100

185

Competències que sumen

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

El preu de les fotocòpies

A la copisteria del barri hi ha penjat el cartell següent:

Fotocòpia en

blanc i negre

Fotocòpia

en color

De 1 a 20 0,05 € 0,25 €

De 20 a 50 0,04 € 0,20 €

De 50 a 100 0,03 € 0,17 €

Més de 100 0,02 € 0,15 €

1. Indica quina de les gràfiques següents representa el valor d’una fotocòpia, en cèntims d’euro, segons el nombre de fotocòpies en

blanc i negre que es facin.

2. Copia i completa la gràfica corresponent a les fotocòpies en

color.

3. Si et fixes únicament en el segon tram de les fotocòpies en blanc i negre, en què les fotocòpies van a 4 cèntims d’euro:

a) Quina és l’equació que relaciona el nombre de fotocòpies que es fan i el valor de totes les fotocòpies fetes? Pots ajudar-te

d’una taula.

b) Fes a la llibreta una gràfica de l’interval corresponent.

4. Un amic només porta un euro per fer 20 fotocòpies en blanc i negre. Pot fer més fotocòpies? Quantes més? Explica per què.

5. Observa que les fotocòpies en blanc i negre passen de 5 cèntims a 3 cèntims quan són més de 100; mentre que les fotocòpies en

color passen de 25 a 15 cèntims. Raona quina oferta et sembla més bona.

6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com

sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.


168

9 Funcions i gràfiquesU

nit

atFuncions i gràfiques

Una gràfica val més que mil imatges

Una funció fa palesa la relació de dependència entre dues variables quantificades. Pot manifestar-se amb una expressió verbal, amb una taula de valors, amb una gràfica o amb una fórmula.

A l’hora de descriure un fenomen es diu que val més una imatge que mil paraules. Hom pot descriure ver-balment una casa o un paisatge, però més enllà de l’exercici literari, la idea que ens en podem fer a partir d’una fotografia és, en general, més aclaridora.

Una cosa semblant passa amb les funcions. A cada valor numèric assignat a la variable independent li correspon un valor numèric de la variable dependent. D’aquest valor es diu que és la imatge de l’altre. En la funció y = x2, la imatge de x = 2 és y = 4; la imatge de x = 11 és y = 121; la de x = −3 és y = 9. Els parells de valors calculats, (2, 4), (11, 121) i (−3, 9), es po-den representar en un sistema de coordenades. Calcu-lant-ne molts més veuries que els punts creen una línia que encapsula i fa visible la funció. En el cas de y = x2 la gràfica és una paràbola formada d’infinits punts.

La gràfica és la foto de la funció; i la fórmula, la mà-quina que la retrata. Si una imatge val més que mil paraules, una gràfica val més que mil imatges.

Però no sempre els punts de la gràfica formen una lí-nia contínua, com és el cas de la gràfica parabòlica de la funció y = x2. La funció dels quadrats dels nombres naturals també té forma parabòlica, però és discontí-nua perquè es compon d’una sèrie de punts aïllats. Les gràfiques sense talls ni interrupcions es poden traçar d’una tirada sense separar la punta del llapis del paper. Una funció es diu contínua quan ho és la seva gràfica.

A l’àmbit quotidià trobem funcions discontínues, com ara la que determina l’import que cal pagar en funció del temps que un cotxe és en un aparcament. Fins fa poc els pàrquings cobraven per hores. Els can-


100

10

20

30

40

50

60

2 3 4 5 6 100

10

20

30

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

1 000

2 000

3 000

2012201020082006

169

Funcions i gràfiquesFuncions i gràfiques

Analitza i resol

1. Explica de quines maneres es pot expressar una funció. Posa alguns exemples de funcions les gràfiques de les quals siguin línies discontínues.

2. Explica quines trans-formacions faries en la gràfica següent per donar suport a la tesi que deter-minada empresa ha millorat molt aquests últims anys. I per donar suport a la idea que no n’hi ha per tant?

3. Aquestes són les tarifes d’un aparcament públic: Des del minut 0 al 30 0,0376 €/min Des del minut 31 al 90 0,0339 €/min Des del minut 91 al 660 0,0452 €/min Des del minut 661 fins a un màxim de 24 h 28,90 €

a) Indica quin és l’import corresponent a 15 min. I a tres quarts d’hora?b) Escriu tots els imports que cal pagar en €/h.c) Fes la gràfica de l’import que s’ha de pagar en €/h. Indica si és contínua.

4. L’índex de massa corporal (IMC) d’una persona es calcu-la dividint la seva massa (kg) entre el quadrat de la seva estatura (m).

a) Calcula l’IMC d’una persona de 65 kg i 1,7 m.b) Expressa l’IMC d’una persona d’1,7 m d’estatu-ra en funció de la massa.c) Expressa l’IMC d’una persona de 50 kg en fun-ció de l’estatura.d) Representa les dues gràfiques i respon: són con-tínues? Són creixents o decreixents? És a dir, l’aug-ment d’estatura i/o massa va acompanyat d’un aug-ment de l’IMC?

vis de preu en cada hora feien la gràfica de l’import que calia pagar discontínua. En lloc d’una línia, la gràfica era esglaonada. Cada esglaó corresponia a un canvi de preu. Ara els preus es determinen en funció dels minuts, cosa que aproxima la funció a la idea de continuïtat.

Les funcions periòdiques també són força corrents. Molts fenòmens naturals responen a aquesta caracte-rística. El nivell de l’aigua del mar en les marees, la posició d’un pèndol quan oscil·la, etc. es donen amb la mateixa regularitat periòdica.

El poder comunicatiu de les gràfiques les ha fet cor-rents als mitjans de comunicació (televisió, premsa, Internet…). Avui dia resulta difícil llegir una pàgina d’un diari en què no hi hagi una notícia il·lustrada amb una gràfica. Sovint serveix per fer més clara la informació, però de vegades se’n pot fer un ús ten-denciós. Aleshores, les unitats dels eixos de coorde-nades es prenen de manera que els trets de la gràfica s’esbiaixin i es destaqui la informació desitjada. Les dues gràfiques següents corresponen a la mateixa funció, però en una les variacions no semblen tan grans com a l’altra.

Índex1. Les funcions

2. Punts de tall i continuïtat

3. Creixement i decreixement d’una funció

4. Simetria i periodicitat

5. La taxa de variació mitjana

Competències bàsiquesMatemàtica. Observar, analitzar i interpretar fenòmens

funcionals.

Comunicativa lingüística i audiovisual. Llegir i ex-

pressar en llenguatge simbòlic expressions del llenguatge

habitual.

Tractament de la informació i competència digital.

Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

any

bene

ficis

(€)


1

b

a

x f xx2

2= +( )

−4 0

−2 1

0 2

2 3

4 4

6 5

200

2

−2

−2

−4

−4

−6 6

6

8

8

4

4

170

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 1.1 Concepte de funció. Domini i recorregut

Quan entre dues variables, a cada valor de la variable independent x li correspon un únic valor de la variable dependent y, tenim una funció.

S’escriu y = f(x) i es diu que y és la imatge de x. També es diu que x és una antiimatge de y, i s’escriu x = f−1(y).S’anomena domini de f, i s’escriu Dom(f) o D(f), el conjunt dels valors de la variable inde-pendent pels quals es pot trobar una imatge.

Els valors corresponents de la variable dependent formen el recorregut de f, i s’escriu Rec(f) o R(f).Una fórmula és l’expressió algebraica d’una funció, que permet calcular y a partir de x.

Una funció es pot simbolitzar a partir de la seva fórmula, el seu domini i el seu recorregut.

Exemples

1. Observa la funció que a cada valor de R li fa correspondre el seu quadrat:

f(2) = 22 = 4 f(−3) = (−3)2 = 9 f(0) = 0 f(1,2) = 1,44 …

Així, Dom(f) = R, perquè a tots els nombres reals se’ls pot calcular el seu quadrat, i Rec(f) = [0, +∞) perquè els nombres negatius no són imatge de cap nombre.

2. La fórmula de la funció que a cada valor de R li fa correspondre el seu quadrat és

f(x) = x2, i per tant f

x x

: 0,2

R [ )→ + ∞

→

i així, f(3) = 32 = 9, etc.

1.2 Gràfica d’una funció

La gràfica d’una funció f és la representació en un sistema de coordenades dels punts (x, f(x)), en què x és un valor del domini de f.

Hi ha molts aspectes que cal considerar a l’hora de representar una funció però en qualsevol cas les dades obtingudes amb una taula de valors donen molta informació.

Exemple

3. Representa gràficament la funció f(x) = x2

2+ .

En primer lloc cal fer una taula de valors. Fixa’t que Dom(f) = R i que, per tant, cal agafar valors positius i negatius.

Es representen cada un dels parells de punts obtinguts (−4, 0), (−2, 1), etc. i s’uneixen per obtenir una recta. Com que Dom(f) = R, cal allargar la recta pels dos extrems.

Les funcions

Recorda

La relació entre variables es pot

representar de tres maneres:

• Taula de valors

• Gràfica

• Fórmula

Alerta

Hi ha funcions en què la vari-

able dependent depèn de més

d’una variable independent.

Per exemple, l’àrea d’un rectan-

gle depèn de la base i l’altura:

A = a · b = f(a, b)


2 3 5100

2

−2−3 −1

−2

−4

−4

6

8

10

4

4

−2

−2 −1−1

7 8 91 2 3 4 5 6

5

4

3

2

100

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

100

00

2 3 4−3

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

1 2 3 4−3

171

1.3 Imatge i antiimatge d’una funció a partir de la gràfica

Quan es coneix la fórmula d’una funció y = f(x), per calcular la imatge de qualsevol valor, només cal substituir la x. La imatge i l’antiimatge també es pot trobar fàcilment a partir de l’anàlisi de la gràfica de la funció.

Exemple

4. La gràfica d’una funció determinada és la del marge. Troba a partir de la seva anàlisi:

a) La imatge de x = 1. Localitza el punt 1 de l’eix d’abscisses i traça una línia vertical (en vermell en el dibuix). On s’intersequi amb la gràfica, traça una línia horitzontal fins a trobar l’eix d’ordenades. El punt on el talla és el 3, i per tant f(1) = 3.

b) L’antiimatge de y = 2. Localitza el punt 2 de l’eix d’ordenades i traça una línia horitzontal (en blau en el dibuix). Aquesta línia s’interseca amb la gràfica en quatre punts. Des de cada un d’aquests punts traça una línia vertical fins a trobar l’eix d’abscisses. Els quatre punts on el talla són −2,4; −1,4; 1,4 i 2,4; i per tant:

f −1(2) = {−2,4; −1,4; 1,4; 2,4}

1.4 Domini i recorregut d’una funció a partir de la gràfica

El domini és el conjunt de tots els valors de l’eix d’abscisses que, en traçar una recta verti-cal, tallen la gràfica.

El recorregut és el conjunt de tots els valors de l’eix d’ordenades que, en traçar una recta horitzontal, tallen la gràfica.

Exemples

5. En aquesta funció, el domini és Dom(f) = [−2, 7] i el recorregut Rec(f) = [−2, 5].6. Fixa’t en les figures 1 i 2 del marge i indica el do-mini i el recorregut de la funció.

Domini. Es tracta d’una gràfica en dos trossos. Fixa’t en la figura 1, que en el punt x = 1 sí que talla a la gràfica (rodona plena), mentre que en el punt x = 2 la funció s’hi acosta molt, però no talla la recta vertical. Per tant, podem afirmar que Dom(f) = (−∞, 1] ∪ (2, +∞).Recorregut. Talla la gràfica en y = −2 i y = 1. Per tant, Rec(f) = [−2, 0) ∪ [1, +∞).

Aplica

1 ■ Tenim la funció f(x) = x+ .

a) Fes una taula de valors i representa-la gràficament.

b) Indica el seu domini i recorregut.


imatges de:

a) −1 b) 0 c) 1 d) 4


antiimatges de:

a) −1 b) 0 c) 1 d) 2

Raona

4 ■■ Explica per què la gràfica ad-

junta no correspon a una funció.

fig. 1

fig. 2


2

(0, –1)

(0, 4)

f(x) = 2x + 3 g xx

x4

2 1

2

( ) =−−

f(x) = 3x − 1

f xxx

21

2( ) =−−

+

172

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 2.1 Punts de tall amb l’eix d’ordenades

Per trobar en quin punt una funció talla l’eix d’ordenades, cal substituir x per 0. És el punt (0, f(0)).En el cas que el 0 no pertanyi al domini de la funció, no talla l’eix d’ordenades.

Exemple

7. Troba els punts de tall amb l’eix d’ordenades de les funcions següents:

a) f(x) = 3x − 1. Cal calcular f(0) = 3 · 0 − 1 = −1. La funció talla l’eix verti-cal en el punt (0, −1).

b) f(x) = xx

21

2−−+ . Cal calcular f(0) =

2 01 0

2 4−−

+ = . La funció talla l’eix ver-

tical en el punt (0, 4).

2.2 Punts de tall amb l’eix d’abscisses

Per trobar en quin punt o punts una funció talla l’eix d’abscisses cal resoldre l’equació f(x) = 0.

Així, si k és una solució, la funció tallarà l’eix horitzontal en el punt (k, 0).

Exemple

8. Troba els punts de tall amb l’eix d’abscisses de les funcions següents:

a) f(x) = 2x + 3. Resolent f(x) = 0, és a dir 2x + 3 = 0, s’obté x = −1,5. Aquesta funció tan sols té un punt de tall amb l’eix horitzontal, el (−1,5; 0).

b) f(x) = x

x4

2 1

2−−

. Resolent x

x

2 42 1

0−−

= s’obtenen dues solucions: x1 = 2 i

x2 = −2. Aquesta funció té dos punts de tall amb l’eix horitzontal: (2, 0) i (−2, 0).c) f(x) = 2x. L’equació 2x = 0 no té solució, ja que si multipliquem diverses vegades el 2 per si mateix mai donarà 0 ni negatiu. Per tant, aquesta funció no talla l’eix abscisses.

2.3 Concepte de continuïtat

Una funció és contínua en un punt x0 si hi està definida, és a dir, si existeix f(x0), i en aproximar-nos a x0 pels dos costats les imatges s’aproximen a f(x0).Intuïtivament, una funció és contínua en un interval si per dibuixar-la no cal aixecar el llapis del paper.

Exemple

9. La gràfica de la funció f(x) = 2x + 3 és contínua, mentre que la de la funció

g(x) = x

x4

2 1

2 −−

és discontínua.


Recorda

L’eix vertical, o Y, és l’eix d’or-

denades.

L’eix horitzontal, o X, és l’eix

d’abs cisses.

Recorda

La definició matemàtica de

continuïtat a un punt és més

complexa. Es diu que una fun-

ció és contínua a un interval

si és contínua a cada un dels

punts de l’interval.


−2 −1

−1

1

2

3

−2

−3

100

2 3 4−3

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

100

2 3 4 5 6 7−3

173

2.4 Tipus de discontinuïtats

Una funció és discontínua si la seva gràfica presenta alguna de les interrupcions següents:

• Evitable. Quan f(x) no està definida en x0 i, en aproximar-nos a x0, les imatges s’aproxi-men a un cert valor k no infinit.

• De salt. Quan, en aproximar-nos a x0 pel cantó dret i pel cantó esquerre, les imatges s’aproximen a valors diferents, k1 i k2, no infinits. El salt és |k1 − k2|.

• Asimptòtica. Quan, en aproximar-nos a x0 per un dels cantons, o pels dos, les imatges se’n van cap a +∞ o −∞.

L’estudi de la continuïtat d’una funció a partir de la seva expressió algebraica, de vegades no és fàcil, en canvi, l’estudi a través de la gràfica és molt senzill.

Com aplicar-ho. Analitzar al domini i continuïtat d’una funció

Analitza el domini, recorregut i continuïtat de la gràfica adjunta.

Pots observar que:

• Cal posar atenció al final de cada tram de la gràfica, si és obert o tancat.

Pel que fa referència al domini, a (−1, −1) hi ha una rodona buida que vol dir que f(x) no hi està definida. La rodona plena del punt (1, −2) indica que f(1) = −2. Finalment, la rodona plena del punt (2, 0) vol dir que f(2) = 0. Per tant, Dom(f) = R − {−1}.

• Pel que fa referència al recorregut, observa que la rodona buida en el punt (−1, −1) indica que traçant una recta horitzontal pel punt −1 no es tallarà la gràfica. En canvi la rodona plena al punt (2, 0) fa que si es traça una horitzontal pel punt 0 sí que es talli la gràfica. Finalment, la rodona plena del punt (1, −2) indica que si es traça una recta horitzontal pel punt −2 també tallarà la gràfica, per tant, Rec(f) = [−2, +∞).

• Hi ha una discontinuïtat evitable al punt x = −1. Tant si ens hi acostem pel cantó esquerre com pel cantó dret, les imatges s’acosten a −1.

• Té una discontinuïtat de salt al punt x = 1. El salt val |1 − (−2)| = 3, ja que quan ens hi acostem pel cantó esquerre, les imatges s’acosten a −2, i quan ens hi acostem pel cantó dret les imatges s’acosten a 1.

• Hi ha una discontinuïtat asimptòtica al punt 2. En acostar-nos-hi pel cantó dret, les imatges se’n van a +∞.

Consells

Pots aprofitar la gràfica per observar els punts de tall en els eixos. Així, talla l’eix vertical aproximadament al punt (0; 1,9); i l’eix horitzontal al punt (2, 0).Observa que trobar els talls als eixos pot ser més fàcil si tens la fórmula de la funció que si tens la gràfica.

Vegeu els exercicis

6 i 7 pàg. 173; 23 pàg. 181; 26 i 27 pàg. 182.

Aplica

5 ■ Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions

següents:

a) f(x) = 2x − 6 d) f(x) = x2 − 4

b) f(x) = xx

21

+−

e) f(x) = x1

c) f(x) = x2 + 2x − 3 f) f(x) = ex

6 ■■ Observa la gràfica i

indica’n:

a) El domini.

b) El recorregut.

c) La continuïtat.

7 ■■■ Quin seria el domini i el recorregut de la gràfica de

l’exercici 6 si totes les rodones estiguessin buides?


3

−2−4 −1

−1

1

2

3

4

−2

−3

100

2 3 4−3

−2−4

−4

−1

−1

1

2

3

4

−2

−3

100

2 3 4−3

0

0

−2

2

−6

6

−4

4

0,2 0,4 0,6 0,8 1,21

174

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 3.1 Concepte de creixement i decreixement

Una funció és creixent en un interval donat si agafant-ne dos valors qualssevol x1 i x2 es compleix que si x1 < x2, aleshores f(x1) ≤ f(x2).f(x) és estrictament creixent en un interval si x1 < x2 → f(x1) < f(x2) per a qualssevol x1 i x2 de l’interval.

Una funció és decreixent en un interval donat si agafant-ne dos valors qualssevol x1 i x2 es compleix que si x1 < x2, aleshores f(x1) ≥ f(x2). f(x) és estrictament decreixent en un interval si x1 < x2 → f(x1) > f(x2) per a qualssevol x1 i x2 de l’interval.

L’estudi del creixement d’una funció a partir de la seva expressió algebraica pot ser complex i és més fàcil si se’n té l’expressió gràfica.

Les gràfiques sempre s’analitzen d’esquerra a dreta per evitar confusions.

Exemples

10. Fixa’t en els intervals de creixement i decreix-ement de la funció f(x) a partir de la gràfica:

Creixent als intervals (−∞, −2] i [−1, 2].Decreixent als intervals [−2, −1] i [3, +∞).Constant a l’interval [2, 3].Fixa’t que els intervals de creixement sempre són oberts si la funció no està definida als extrems o no és contínua.

11. Observa els intervals de creixement i decrei-xement de la funció discontínua següent a partir de la gràfica:

Creixent als intervals (−∞, −2], (−2, 1) i (1, 3]. Constant a l’interval (3, +∞).Fixa’t que no es pot dir que f(x) sigui creixent a l’interval (−∞, 3), perquè, per exemple, −3 < −1 i en canvi f(−3) > f(−1). Això passa perquè f(x) no és contínua a l’interval (−∞, 3).

3.2 Els extrems: màxims i mínims

Els extrems són el valor més gran (màxim) o el més petit (mínim), que pren una funció, ja sigui entorn d’un punt (extrem local) o en tot el domini (extrem absolut).

• f(x) té un màxim absolut al punt x0 si f(x0) ≥ f(x) per a qualsevol altre x. És a dir, si la imatge de x0 és més gran o igual que la de qualsevol altre valor de x.

• f(x) té un mínim absolut al punt x0 si f(x0) ≤ f(x) per a qualsevol altre x. És a dir, si la imatge de x0 és més petita o igual que la de qualsevol altre valor de x.

Es parla de màxims i mínims relatius o locals quan ens referim només a un entorn del punt x0, és a dir, en relació amb punts propers a x0.


Recorda

Una funció pot tenir diferents

intervals de creixement i de-

creixement, i també pot ser

constant en algun interval.

Intuïtivament, «créixer» o «de-

créixer» té a veure amb el fet de

si la gràfica, llegida d’esquerra

a dreta, va «amunt» o «avall».

màxim local

mínim local

mínim absolut

màxim absolut

Alerta

Observa que f(x) és creixent

en (−∞, −2] i decreixent en

[−2, –1] , sense que hi hagi

contradicció en què el −2

aparegui als dos intervals; això

passa perquè el concepte de

creixement en un sol punt no

existeix.


−2−4 −1−1

1

2

3

4

−2

−3

100

2 3 5 64−3−5−6

−2−4 −1

−1

1

2

−2

100

2 3−3

−3

−2−4 −1

−1

1

2

3

−2

100

2 3 5 64−3−5−6

−2 −1−1

1

2

3

−2

−3

100

2 3 4−3

175

3.3 Interpretació gràfica de màxims i mínims

L’estudi dels extrems d’una funció a partir de la seva expressió algebraica pot ser complex. En aquest curs només els estudiaràs a partir de l’anàlisi de la gràfica.

Exemple

12. Troba els extrems de la funció de la gràfica adjunta:

f(x) té un màxim absolut al punt x = −2. És l’absolut perquè és el punt més alt.

f(x) té un mínim relatiu al punt x = 1.

f(x) té un màxim relatiu al punt x = 3.

En aquest cas, s’interpreta que la funció està definida a tot R, i que tant per la dreta com per l’esquerra decreix indefinidament. Si es considerés que el domini va de −4,5 a 4,5, caldria afegir que f(x) té un mínim absolut al punt −4,5.

Com aplicar-ho. Estudiar una funció a partir de la seva gràfica

Analitza la gràfica i indi-ca el domini, el recorre-gut, els intervals de crei-xement i decreixement, els punts de tall amb els eixos, els extrems i les discontinuïtats.

• Observa que als punts (−1, 0) i (1, 0) les rodones són buides, mentre que al (0, −1) la rodona és plena. Per tant:

Dom(f) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞)Rec(f) = [−1, +∞) − {0}

• És creixent als intervals (−∞, −3], [−2, 1) i (1, 3] i decreixent als intervals [−3, −1) i (2, +∞).

• Només talla l’eix vertical en el punt (0, −1).• Té un màxim relatiu en x = −3 i un mínim absolut en x = 0.

• Presenta una discontinuïtat evitable al punt x = 1 i una discontinuïtat asimp-tòtica al punt x = 2.

Consells

Comença sempre estudiant el do-mini, i expressa’l de la manera més senzilla possible:

Dom(f) = (−∞, −1) ∪ [0, +∞) − − {1, 2}S’interpreta que, tant per l’esquerra com per la dreta, la funció s’acosta molt a l’eix horitzontal però no el toca mai.

Vegeu els exercicis

8, 9 i 10 pàg. 175; 30, 31 i 32 pàg. 182.

Aplica

8 ■ Estudia el creixement, el domini i recor-

regut de la funció adjunta.

9 ■■ Copia i completa la taula següent i representa la funció;

indica’n el domini, el recorregut, el creixement i els extrems:

x −5 −3 −1 0 1 3 5

f(x) = x2 + 1

10 ■■■ Fes un estudi complet de la funció de la gràfica

següent:


4

PP’ y

P

O

P’−T 2TT

176

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 4.1 Simetria

Una funció és simètrica respecte de l’eix d’ordenades (simetria parella) si per a cada valor x es compleix que f(x) = f(−x).Una funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades (simetria imparella) si per a cada valor x es compleix que f(x) = −f(−x).

Exemple

13. La funció f(x) = x2 té simetria parella perquè per a tot x, f(x) = f(−x), ja que x2 = (−x)2.

La funció f(x) = x3 − 2x té simetria imparella perquè per a tot x es té que f(x) = −f(−x), ja que x3 − 2x = −[(−x)3 − 2(−x)].

4.2 Periodicitat

Una funció f(x) és periòdica si hi ha un valor T tal que per a qualsevol valor de x es com-pleix que f(x + T) = f(x), és a dir, si cada cert «temps» (període) es van repetint els resultats.

El període és el mínim valor de T que verifica això.

Exemple

14. La funció definida del conjunt dels nombres naturals N en el conjunt U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, que cada nombre li fa correspondre la seva xifra de les unitats, és periòdica i té període T = 10:

f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 … f(9) = 9 f(10) = 0 f(11) = 1 … f(5 024) = 4 ...

és a dir, f(0) = f(10) = f(20) = … = 0

f(1) = f(11) = f(21) = … = 1 ...

4.3 Estudi gràfic de la simetria i la periodicitat

Si f(x) té simetria parella, per cada punt P de la gràfica es pot fer passar una recta horit-zontal r que talli la gràfica en un altre punt P′ tal que YP = YP′, en què Y és el punt de l’eix vertical que talla amb la recta r.

Si f(x) té simetria imparella per cada punt P de la gràfica es pot fer passar una recta r que passi també per l’origen de coordenades O. Aquesta recta tallarà la gràfica en un altre punt P′ tal que OP = OP′.

Si f(x) té període T, el seu estudi gràfic es pot reduir a l’interval [0, T ], ja que a partir d’aquest només cal anar afegint còpies.

Exemple

15. Fixa’t en cada cas en la simetria i la periodicitat de les funcions següents:


Recorda

Si una funció té simetria pare-

lla, només cal estudiar-la a l’in-

terval del 0 a +∞, ja que l’altre

cantó serà com la imatge d’un

mirall.

simetria parella simetria imparella periodicitat


5

A

B

a

b

f(a)

f(b)

A

B

−2 −1

−1

1

2

3

−2

100

2

177

5.1 Càlcul de la taxa de variació mitjana

Moltes vegades, per interpretar correctament una gràfica és important determinar la rapi-desa amb què creix o decreix la funció representada.

Així, donat un interval determinat [a, b], la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció f(x) a l’interval [a, b], inclòs dins el domini de la funció, és el quocient entre l’increment de la variable dependent i l’increment de la variable independent:

( )( ) ( )

=−−[ ] f

f b f ab aa bTVM ,

La taxa de variació mitjana de la funció f(x) a l’interval [a, b] coincideix amb el pendent de la recta que uneix els punts A = (a, f(a)) i B = (b, f(b)).


Aplica

11 ■ Donada la funció f(x) = x2 + x:

a) Fes una taula de valors.

b) Representa-la gràficament.

c) Indica si té alguna simetria.

12 ■ Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f(x) = x2

als intervals:

a) [−1, 4]b) [0, 5] c) Els dos intervals tenen la mateixa amplada, però a

quin hi ha més creixement de la funció?

13 ■■■ Calcula la taxa de variació mitjana de f (x) = x2 + 1 als

intervals:

a) [−3, 0] b) [0, 3]

Raona

14 ■■■ Taxa de variació:

a) Fixa’t que si la funció és creixent a un interval [a, b], la taxa de variació mitjana és positiva.

b) Dibuixa un exemple d’una funció que tingui

f b f a

b a0

( ) ( )−−

> i en canvi no sigui creixent a l’interval

[a, b].

Com aplicar-ho. Analitzar gràficament la taxa de variació mitjana

Analitza la funció donada per la gràfica adjunta i calcula la taxa de variació mitjana als intervals [−2, 2], [−2, 1] i [1, 2].

• Interval [−2, 2]:Tenim que a = −2 i b = 2, i que f(a) = −1 i f(b) = 2.

Per tant, ( )( )( )

=− −− −

=[ ]− fTVM2 12 2

342, 2 .

• Interval [−2, 1]:En aquest cas a = −2, b = 1, f(a) = −1 i f(b) = 0.

Per tant, ( )( )( )

=− −− −

=[ ]− fTVM0 11 2

132,1 .

• Interval [1, 2]:En aquest cas a = 1, b = 2, f(a) = 0 i f(b) = 2.

Per tant, ( ) =−−

=[ ] fTVM2 02 1

21, 2 .

Consells

Generalment, la variable dependent es representa per x, però quan ens referim al temps se sol representar per t. Aleshores la rapidesa de crei-xement o decreixement és la velo-citat, i la taxa de variació mitjana a l’interval [a, b] coincideix amb la velocitat mitjana a aquest interval.

Comprova que el pendent de la recta de la gràfica que passa pels punts A i B és 3/4.

Fixa’t que la taxa de variació mitja-na a l’interval [−2, 2] no és la suma ni la mitjana de les taxes de variació mitjanes als intervals [−2, 1] i [1, 2].

Vegeu els exercicis

11, 12 i 13 pàg. 177; 42 i 45 pàg. 183.


178

Tot són matemàtiques


Un matemàtic és una màquina queconverteix cafè en teoremes.

PAUL ERDÖS (1913-1996)autor de 1 475 articles matemàtics.

Entre els matemàtics hi ha la tradició d’as-signar-se l’anomenat nombre d’Erdös. Paul Erdös té nombre d’Erdös zero. Tots els co-autors d’algun article seu tenen nombre d’Erdös 1: en total van ser 504.

Tots els coautors amb matemàtics de nom-bre d’Erdös 1 que no van publicar directa-ment amb Paul Erdös tenen nombre d’Er-dös 2, i així successivament.

Es pot definir la xarxa de col·laboracions d’Erdös assignant un node a cada autor i un enllaç entre autors que hagin col·laborat plegats en un article.

El nombre d’Erdös és un exemple de «dis-tància» en una xarxa, en aquest cas de col-laboracions científiques.El nombre de Erdös no es restringeix a matemàtics:

George Uhlenbeck físic atòmic 2John A. Wheeler físic nuclear 3John Maynard Smith biòleg 4Jule G. Charney meteoròleg 4Oskar Morgenstern economista 4Walter Alvarez geòleg 7


179

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

Analitza i investiga

1. Repartiu-vos a classe la llista de cientí-

fics famosos que apareix a la taula i esta-

bliu per a cada un els nodes intermedis

que els connectarien amb Erdös. Després,

dibuixeu la xarxa d’Erdös en què apare-

guin tots.

2. Entra al lloc web The Oracle of Bacon

(www.cs.virginia.edu/oracle) i explora les

connexions entre els teus actors i actrius

favorits. Construeix una petita xarxa i pre-

senta-la a classe.

3. La distància mitjana per a Bacon de

qualsevol actor és de només 2,9. Creus

que això significa que Kevin Bacon és el

centre de l’univers cinematogràfic?

4. Documenta’t i explica en què va con-

sistir l’experiment Milgram, pioner en la

investigació de les xarxes socials a la dèca-

da de 1960, a partir del qual es va encu-

nyar l’expressió «sis graus de separació».


EL JOC DE BACONPensa el nom d’un actor o actriu cinematogràfic:

El joc consisteix a establir la cadena més curta per al personatge cinematogràfic proposat. S’ha calculat que el nombre d’actors que es troba a un pas és 1 469, a dos passos 105 800, etc. I la mitjana de Bacon és de només 2,9.

Si aquest subjecte ha compartit reparti-ment amb Kevin Bacon en alguna pel-lícula, el seu nombre de Bacon és 1.

Si mai ha participat amb Bacon en el mateix film, però ho ha fet amb algú que sí, se li assigna nombre de Bacon 2.

Així successivament.

De Santiago Segura a Kevin Bacon en només tres passos.


−2−3−5 −4 −1

−1

1

2

3

−2

100

2 3 4 5

180

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

esAixò és bàsic

creixent

màxim

discontinuïtat asimptòtica

decreixent

punt de tall (0, 1)

decreixent

Com es fa?

Procediment Pas a pas

Determinar els punts

de tall amb els eixos

Eix d’ordenades. Donada la funció f(x), substitueix x per 0. És el punt (0, f(0)).En el cas en què el 0 no pertanyi al domini de la funció, no talla l’eix d’ordenades.

Eix d’abscisses. Resol l’equació f(x) = 0. Si k és una solució, la funció tallarà l’eix horitzontal en el

punt (k, 0). Pot tenir més d’una solució o cap solució.

Determinar la taxa de

variació mitjana d’una

funció en un interval [a, b]

1. Calcula f(b) − f(a).

2. Divideix el resultat per b − a: ( ) ( )( ) =

−−[ ] f

f b f a

b aa bTVM ,

creixent

Dom(f) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) i Rec(f) =[−1, +∞) − {0}

Funció. Relació de dependència entre dues variables y = f(x).Per al seu estudi complet cal conèixer:

Domini. Conjunt dels valors de la varia-

ble independent pels quals existeix f(x).Recorregut. Conjunt de les imat-

ges dels valors del domini.

Fórmula. Indica com tro-

bar y a partir de x.

Gràfica. Representació dels parells

(x, f(x)) en un sistema de coordenades.

Característiques de les funcionsImatges i antiimatges

Punts de tall

amb els eixos

Ordenades:

(0, f(0)) Abscisses:

(k, 0)

Continuïtat i

discontinuïtat

(evitable, de salt

o asimptòtica).

Creixent si

f(x1) ≤ f(x2).Decreixent si

f(x1) ≥ f(x2).

Periodicitat

Una funció és

periòdica, amb

període T, si

per a tot valor

x es compleix

f(x) = f(x + T).

Simetria

Parella si

f(x) = f(−x).Imparella si

f(x) = −f(−x)).

Extrems

Màxim entorn

un punt k si

f(k) > f(x).Mínim entorn

un punt k si

f(k) < f(x).

Taxa de variació

mitjana

( )

( ) ( )

=

=−−

[ ] f

f b f a

b a

a bTVM ,

A partir de la fórmula i la gràfica es determina:


−2 −1

−1

1

2

3

4

100

2 3 4−3

−2 −1−1

−2

1

2

3

4

100

2 3 4 5 6−3 −2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4 5−3

−2 −1

−2

−1

1

2

3

100

2 3 4−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5 6−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−4 −3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

100

2 3 4 5−3

−2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3 −2 −1−1

−2

−3

1

2

3

100

2 3 4 5−3

a) b)

a)

i)

b)

ii)

c)

iii)

d)

iv)

181

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

Activitats

Les funcions

15 ■■ Troba l’expressió algebraica de les funcions següents:

a) A cada valor se li assigna el quocient entre el seu qua-

drat i el quadrat que resulta de sumar-n’hi 2.

b) L’àrea d’un triangle de base b i altura a.

c) El volum d’un cilindre amb radi de la base r i altura

4 m.

d) La superfície d’una esfera de radi r.

e) A cada valor se li assigna la diferència entre el seu qua-

drat i el seu doble.

f) A dos nombres, x i y, se’ls assigna la resta entre els

seus quadrats

g) A dos nombres se’ls assigna el quocient entre la suma

dels seus quadrats i la seva suma.

16 ■ Indica el domini i el recorregut de les funcions següents:

17 ■ De cada una de les funcions de l’exercici anterior:

a) Troba les imatges (si n’hi ha) dels valors −4, −2, 0, 2

i 4.

b) Troba les antiimatges (si en tenen) dels valors −4, −2,

0, 2 i 4.

18 ■■ Fes una taula de valors per a cada funció i

representar-les:

a) f(x) = x12 d) f(x) = 2x + 1

b) f(x) = −x2 + 4x − 4 e) f(x) = 2x2 + 5x + 3

c) f(x) = x

x 1+ f) f(x) =

xx 1−−

19 ■■ Indica a quins punts no es pot calcular f(x) en les funci-

ons següents:

a) f(x) = x

x1+ c) f(x) = x2 4+

b) f(x) = 5x + 2

d) f xx1( )=

20 ■ Només una de les gràfiques següents correspon a una

funció:

a) Indica quina és i per què les altres no ho són.

b) Indica el domini i el recorregut de la que és una funció.

c) Troba les antiimatges de −2, 0 i 2 de la que és una

funció.

21 ■■ Indica el domini de les funcions següents:

a) f(x) = x

x2+

d) f(x) = x2 + 2x − 1

b) f(x) = x

x2

3− e) f(x) =

xx

292 −

c) f(x) = x2 4− f) f(x) = x1

22 ■ Troba les imatges de −2, −1, 0, 1 i 2 per a cada una de les

funcions següents:

a) f(x) = −2x + 3 c) f(x) = x2 − 2

b) f(x) = x1

2 1− d) f(x) =

xx x

16 92

−+ +


23 ■ Indica els punts de tall en els eixos de cada una de les

funcions següents:


−2 −1

−1

−2

−3

−1

−2

1

2

100

2 3−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3−3

−2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3

−2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4−3

iv)

iii)

ii)

i)

−1

−2

−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3

3−3−4

−1

−2

−3

−4

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3−4

−1

−2

−3

−2 −1 1

1

00

2

2

3

3−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3

iv)

iii)

ii)

i)

−2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3−2 −1

−1

−2

1

2

3

100

2 3 4−3

b)a)

182

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es 24 ■■ Troba els punts de tall amb els eixos de cada una de

les funcions següents:

a) f(x) = −2x + 4 d) f(x) = 2x − 1

b) f(x) = x2 + 1 e) f(x) = xx

22

+−

c) f(x) = x12 f) f(x) =

xx 12 −

25 ■■ Les funcions següents tenen com a mínim un punt on

no són contínues. Troba aquests punts i digues de quin tipus de

discontinuïtat es tracta:

a) f(x) = x x

x5 2

3

2 − c) f(x) =

x2

4−

b) f(x) = x x

x x

3 1si 1

si 12

+ <

≥

d) f(x) = x

x 12 −

26 ■ Analitza les gràfiques següents i indica per a cada una:

a) Els punts de discontinuïtat i de quin tipus són.

b) El domini i el recorregut.

c) Els punts de talls amb els eixos.

d) Les imatges (si n’hi ha) dels punts 0, 1 i 2.

e) Les antiimatges (si n’hi ha) dels punts 2, 0 i −2.

27 ■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−2, 1) ∪ [2, 4), Rec(f) = [−2, 1] i que talli els eixos en els punts A(− 1, 0), B(0; 0,8) i C(3, 0).

28 ■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−2, 4), Rec(f) = [−2, 1) i que tingui una discontinuïtat de salt al punt 1.

29 ■■ Dibuixa la gràfica d’una funció que tingui

Dom(f) = [−2, 4) i que tingui una discontinuïtat asimptòtica al

punt 1.


30 ■ Estudia el creixement i extrems de les funcions següents:

31 ■ Fixa’t en les funcions següents i indica per a cada una:

a) Els intervals de creixement o decreixement.

b) El domini.

c) Els extrems (màxims i mínims).

32 ■■ Fixa’t en les funcions següents:

A) f(x) = x2

1− + C) h(x) = x − 1

B) g(x) = 2x − x2 D) j(x) = 2x

a) Fes una taula de valors per a cada una.

b) Representa-les gràficament.

c) Analitza les gràfiques i indica’n els intervals de creixe-

ment i decreixement.

d) Troba els extrems de cada funció, en cada un dels ca-

sos següents:

i) Si ens restringim a l’interval (−1, 1).ii) Si ens restringim a l’interval [−1, 1].iii) Si ho considerem a tot el seu domini.

33 ■■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−3, 2], Rec(f) = (−2, 3], que talli els eixos als punts (−2, 0) i (0, 2) i que

sigui decreixent als intervals (−3, −1) i (−1, 2).


−1

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3 4−3−4

−1

−2

−2 −1 1

1

2

00

2 3−3

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3 4−3

−1

−2

−2 −1 1

1

00

2

2

3−3 −2 −1

−1

−2

−3

1

2

100

2 3−3

b)a)

183

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

Activitats

34 ■■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−1, 3], Rec(f) = (−1, +∞), que talli els eixos als punts (0, 0) i (2, 0) i que

sigui creixent a l’interval (−1, 1) i decreixent a l’interval (1, 3).


35 ■ Observa les funcions següents i indica si n’ha alguna que

presenti simetria. De quin tipus de simetria es tracta?

36 ■ Indica quin tipus de si-

metria té la funció següent i

quin és el seu període T.

37 ■■ Estudia la simetria de les funcions següents:

a) f(x) = 2x2 − 3 d) f(x) = x

x2

13 −

b) f(x) = (x − 1)2 e) f(x) = x

11

−

c) f(x) = x1

2 f) f(x) =

xx

11

−+

38 ■■ Dibuixa una funció que a l’interval (−4, −2) sigui decrei-

xent i que a l’interval (−2, 0) sigui creixent i que:

a) Tingui simetria imparella.

b) Tingui simetria parella.

39 ■■ Fixa’t en la gràfica següent i indica’n:

a) El domini i el recorregut.

b) Els punts de tall amb els eixos.

c) Els extrems.

d) Els intervals de creixement i decreixement.

e) Té alguna periodicitat? Quina.

f) Té simetria? Quina.

40 ■■ Dibuixa una funció que sigui periòdica amb període

T = 2, que el seu domini sigui (−4, 4] i que el seu recorregut

sigui (0, 3].

41 ■■ Completa a la llibreta cada una de les gràfiques següents,

en el tros [0, 4], de manera que siguin:

a) Periòdiques.

b) Simètriques respecte de l’eix vertical.

c) Simètriques respecte de l’origen de coordenades.

i) ii)


42 ■ Troba la taxa de variació mitjana de les funcions següents

a l’interval [−1, 2]:a) f(x) = x2 − x d) f(x) = 5x + 2

b) f(x) = x

22 +

e) f(x) = x

x 12 +

c) f(x) = 5x f) f(x) = 2x − 1

43 ■■ Compara les TVM de les funcions f(x) = x2 i g(x) = 2x als

intervals [0, 1], [0, 2] i [4, 5], i digues en cada cas quina creix més.

44 ■■ Respon:

a) N’hi ha prou amb saber el signe de la TVM a un inter-

val per saber-ne el creixement? Per què?

b) Dibuixa una funció que tingui TVM > 0 i en canvi no

sigui creixent a un interval [a, b].c) Dibuixa una funció que tingui TVM < 0 i en canvi no

sigui decreixent a un interval [a, b].

45 ■■ Observa la gràfica següent:

a) Troba la TVM de la funció

als intervals següents:

i) [−3, −2] ii) [0, 1] iii) [−3, −1] iv) [1, 3]v) [−1, 1] vi) [−3, 3]b) Indica quins són els intervals de creixement i decreixe-

ment.

c) Què es pot dir del creixement d’aquesta funció segons

els resultats obtinguts en el càlcul de la TVM?


1

1

−1

−1−2−3 00

2

2

3

3

1

1

−1

−2

−1−2−3 00

2

2

3

3

1110987654321 12

3

2

1

0

184

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

Autoavaluació

Repte

Sé analitzar una gràfica?

1. Donada la funció següent:

a) Digues el domi-

ni i el recorregut.

b) Indica els inter-

vals de creixement

i decreixement.

c) Indica els extrems.

d) Si en tenen,

troba la imatge dels valors −3, −2, 0, 1 i 3.

e) Si en tenen, troba l’antiimatge dels valors −1, 0 i 1.

f) Troba i compara la taxa de variació mitjana als intervals

[−1, 0] i [0, 1].

Sé trobar la funció associada a un problema?

2. El preu de l’entrada a un festival de cinema és de 25 € i dóna

dret a veure una pel·lícula gratis, i les altres que es vulguin veure

costen 4 € cada una.

a) Quant pagarà una persona que hagi vist 4 pel·lícules

aquest cap de setmana?

b) Escriu la fórmula que permet calcular el preu en funció

del nombre de pel·lícules vistes.

3. Un cotxe ha anat a una velocitat constant de 80 km/h durant

3 h. Després ha estat aturat per descansar durant 1 h. Segui-

dament ha continuat el viatge amb una velocitat constant de

100 km/h durant 2 h.

a) Escriu les fórmules de la velocitat en funció del temps per

a cada interval.

b) Escriu les fórmules de l’espai en funció del temps per a

cada interval.

Sé trobar els punts de tall amb els eixos?

4. Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions següents:

a) f(x) = xx

12

+−

b) f(x) = xx

41

2 −+

Sé distingir els tipus de discontinuïtats?

5. Analitza la gràfica següent i

indica’n:

a) El domini i el

recorregut.

b) La continuïtat.

c) La simetria.

d) El creixement.

46 ■■■ Troba una funció que sigui creixent entre −∞ i 0

i decreixent entre 0 i ∞, però que no tingui un màxim a x = 0.

Representa-la gràficament i fes-ne un estudi complet.

47 ■■■ Si et demanen quina és la teva edat, la resposta habi-

tual no és el valor exacte sinó la seva part entera. Considera el

cas de l’Amadeu, que va néixer l’1 de gener.

Resol els següents apartats amb l’ajut d’un programa de full

de càlcul.

a) Representa en un gràfic l’error absolut comès (en

anys), en funció dels dies que han passat des de cap

d’any, si l’Amadeu respon dient només la part entera

de la seva edat. A l’eix d’abscisses, doncs, hi haurà els

dies de l’any numerats de l’1 al 365; a l’eix d’ordenades,

l’error comés expressat en anys.

b) Calcula quant val l’error relatiu si l’Amadeu té 50

anys i li demanen l’edat el dia de Sant Joan.

c) Representa en un gràfic l’error relatiu en funció de

l’edat suposant que se li demana el dia de Sant Jordi. Fes

que a l’eix d’abscisses l’edat vagi de 5 a 50 anys.

48 ■■■ En el tradicional “ball de bastons” els participants

(bastoners) porten un bastó de fusta a cada mà. A més de

moure’s al ritme de la música, colpegen els seus bastons, l’un

amb l’altre, contra el terra o amb els d’un altre bastoner. Habi-

tualment els bastoners són 8 i aquesta n’és una de les possibles

col·locacions:A C E GB D F H

Cada lletra representa un bastoner. Imagina un ball en què D

sempre fa el mateix que A i C el mateix que B. El segon qua-

drat balla igual que el primer. Tots miren cap al centre dels

seus respectius quadrats. El gràfic indica les accions d’A (blau)

i B (vermell) durant els tres primers compassos. El codi de l’eix

d’ordenades és 0, cap cop; 1, cop al terra; 2, cop amb el bastó

de l’esquerra al bastó més proper del company que està a l’es-

querra, ídem a la dreta; 3, cop amb els dos bastons als bastons

del company en diagonal. L’eix d’abscisses indica les notes de

la melodia, suposant que totes són negres. Com el ritme és 4

per 4, hi ha 4 negres a cada compàs.

Calcula quants cops va donar la colla, en total, durant el segon

compàs.


00

5

10

15

20

25

30

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

00

1

20

2

3

40

4

5

60

6

80 100

a)

00

1

20

2

3

40

4

5

60

6

80 100

b)

00

1

20

2

3

40

4

5

60

6

80 100

c)

00

1

20

2

3

40

4

5

60

6d)

80 100

185

Competències que sumen

Fun

cio

ns

i g

ràfi

qu

es

El preu de les fotocòpies

A la copisteria del barri hi ha penjat el cartell següent:

Fotocòpia en

blanc i negre

Fotocòpia

en color

De 1 a 20 0,05 € 0,25 €

De 20 a 50 0,04 € 0,20 €

De 50 a 100 0,03 € 0,17 €

Més de 100 0,02 € 0,15 €

1. Indica quina de les gràfiques següents representa el valor d’una fotocòpia, en cèntims d’euro, segons el nombre de fotocòpies en

blanc i negre que es facin.

2. Copia i completa la gràfica corresponent a les fotocòpies en

color.

3. Si et fixes únicament en el segon tram de les fotocòpies en blanc i negre, en què les fotocòpies van a 4 cèntims d’euro:

a) Quina és l’equació que relaciona el nombre de fotocòpies que es fan i el valor de totes les fotocòpies fetes? Pots ajudar-te

d’una taula.

b) Fes a la llibreta una gràfica de l’interval corresponent.

4. Un amic només porta un euro per fer 20 fotocòpies en blanc i negre. Pot fer més fotocòpies? Quantes més? Explica per què.

5. Observa que les fotocòpies en blanc i negre passen de 5 cèntims a 3 cèntims quan són més de 100; mentre que les fotocòpies en

color passen de 25 a 15 cèntims. Raona quina oferta et sembla més bona.

6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com

sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.


Matemàtiques 4 - Unitat de mostra (ESO)

Documents

Transcript of Matemàtiques 4 - Unitat de mostra (ESO)