MATEMATIkA B 113

Hasi baino lehen.

1.Angeluak eta beren neurria …………. orria 74 Zirkunferentziako ibilbideak Radianak Gradu hirurogeitarrak Radianetatik graduetara Angeluak neurtuz 2.Arrazoi trigonometrikoak ………………. orria 76 Arrazoi trigonometrikoak Sen eta cos zirkunferentzian Zirkunferentziako tangentea 30º, 45º eta 60º-ko arrazoiak 3.Erlazio trigonometrikoak .....………… orria 78 Oinarrizko erlazioak 4.Triangelu angeluzuzenak ebaztea ... orria 79 Angelu batekin eta hipotenusarekin Angelu bat eta kateto bat emanda Bi alde ezagutuz 5.Edozein angeluren arrazoiak .......... orria 80 Sinua Kosinua Tangentea 6.Trigonometriaren aplikazioak ......... orria 81 Ebatzi problema metrikoak Praktikatzeko ariketak

Gehiago jakiteko

Laburpena

Autoebaluazioa

Tutoreari bidaltzeko jarduerak

Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu:

• Angelu baten arrazoi trigonometrikoak kalkulatzen.

• Angelu baten arrazoi trigonometriko guztiak aurkitzen, horietako bat abiapuntutzat hartuta.

• Triangelu angeluzuzenak ebazten, bi aldeak edo alde bat eta angelu bat ezagutzen direnean.

• Erlazionatutako egoerak geometriarekin ebazten, angeluak eta bi punturen arteko distantziak kalkulatu behar direnean.

• Arrazoiak edo angeluak lortzeko kalkulagailua erabiltzen.

Trigonometria 7

114 MATEMATIkA B

MATEMATIkA B 115

Hasi baino lehen

Ikertu Ziur aski errepideetan seinale hau ikusi duzu noizbait, badakizu zer adierazten duen: malda luzea. Zuzen batean malda kontzeptua ere gogoratuko duzu. Horren arabera % 10ek esan nahi du horizontalean egindako 100 m-ko bertikalean 10 igotzen (edo jaisten) ditugula. Baina zenbaitek 100 metroak benetan egindako bide gisa interpretatzen dituzte. Zer uste duzu? Alde handia al dago modu batean edo bestean ulertzean?

Gogoan izan Aurrera jarraitu aurretik, triangeluen antzekotasunaz eta Pitagorasen teoremaz zer gogoratzen duzun egiaztatzea komeni zaizu.

Stonehenge multzo megalitikoan (Bretainia Handia), K. a. 2200 eta 1600 artean eraikitakoan, bi harri handiren lerrokadurak urteko egunik luzeena adierazten du.

Trigonometriaren lehenengo aurrekari idatzia Rhind papiroko 56. probleman aurki dezakegu. Ahmés-ek idatzi zuen K. a. 1800. urte inguruan, K. a. 500eko beste bat transkribatuz.

Trigonometria gertaera astronomikoen behaketarekin sortu zen.

Antzinako Babilonian sortu zen angeluaren neurria gradutan. Zirkunferentziaren 360º-ko banaketa, urtearen 360 eguneko banaketari lotua egon daiteke. Horrela, eguzkiak urte batean zirkunferentzia bat egiten duen bezala, gradua egun bateko ibilbidea izango litzateke.

Kultura grekoan trigonometriak bultzada berri eta erabatekoa izan zuen. Samosko Aristarkok ( K. a. III. mendea) eguzkirako eta ilargirako distantzia asmatu zituen triangeluak erabiliz. Niceako Hiparlo ( K. a. II. mendea) hartzen da trigonometriaren "asmatzaile"-tzat. Ptolomeok, II. mendean, “Almagesto” idatzi zuen, Erdi Aro osoan zehar eragina izan zuena.

Trigonometriaren garapenak asko zor die arabiarrei, Greziako ondarea haiek helarazi zioten Mendebaldeari. Lehenak izan ziren tangentea erabiltzen. 833. urte inguruan, Al-Kwuarizmik sinuen lehenengo taula eraiki zuen.

Europan 1533an argitaratu zen trigonometriako lehenengo tratatua: “De trianguli omnia modi, libri V”. 1464an Köningsberg-en idatzi zuen Regiomontano gisa ezagutzen zen Johann Müller-ek.

Newtonek, 1671n, koordenatu polarrak erabili zituen. Gertaera ondulatorioen fisikak, bibratzen duen soka batek egiten duenak bezalakoak, funtzio trigonometrikoak aztertzera eraman zuen Euler (1707-1783).

Gaur egun, hainbat arlotan erabiltzen da trigonometria: topografiatik hasi eta akustikara, optikara eta elektronikara.

Trigonometria

116 MATEMATIkA B

1. Angeluak eta beren neurria

Trigonometria grekotik datorren hitza da Τριγωνομετρ'ια, Tri (Τρι) hiru, gono (γωνο) angelua, metria (μετρ'ια) neurria, hau da, "hiru angeluren neurria". RAE hiztegiak trigonometriaz ematen duen definizioa kontsulta dezakezu. Ikasturte honetan trigonometria laua bakarrik landuko dugu. Angeluak eta haien neurria aztertzeko xedez, kontuan hartuko dugu angelua zirkunferentziako ibilbidea dela, erdigunearekin, jatorria eta erradio unitatea edo zirkunferentzia goniometrikoa, ibilbide horien abiapuntua koordenatuen puntuan (1,0) kokatuko da, eta angeluaren neurria ibilbide horren neurria izango da.

Angeluek zentzu positiboa edo negatiboa izan dezakete, beren ibilbidearen arabera; erlojuaren orratzen norabidearen aurkakoa badute, positiboa izango da eta berdina bada, berriz, negatiboa.

Radianak Angelu bat neurtzea haren zirkunferentziako ibilbidea neurtzea da.

Zirkunferentzia guztien neurria 2·π·erradioa denez, komenigarria da neurketako unitate gisa erradioa hartzea.

Irudietan, angeluak 1 erradioko zirkunferentzian irudikatzen dira angeluak; horrek ez du esan nahi erradioak 1 cm edo 1 oin edo 1 m neurtzen duenik, baizik eta erradioa dela hartutako neurketa-unitatea. Arrazoi nabarmenengatik, unitate honi radian deitzen zaio.

Gradu hirurogeitarrak Jadanik ezagutzen duzu angeluak neurtzeko sistema hirurogeitarra. Zirkunferentzia 360 zati berdinetan zatitzean, gradu bat lortzen dugu, era berean, gradu bakoitzak 60 minutu ditu eta minutu bakoitzak 60 segundo.

Zirkunferentzia 360 zati berdinetan zatitzean, gradu bat lortzen dugu, era berean, gradu bakoitzak 60 minutu ditu eta minutu bakoitzak 60 segundo:

gradutan º minututan ' segundotan ''

Trigonometria

Neur itzazu angeluak angelu-garraiagailuarekin

Radian bateko angelua: zirkunferentziako ibilbidea erradioa bestekoa duen hura da.

MATEMATIkA B 117

Ebatzitako ARIKETAK 1. Marraz itzazu zirkunferentzia goniometrikoan 120º-ko, -50º-ko eta 315º-ko

angeluak. 2. Marraz itzazu zirkunferentzia goniometrikoan 5/6π, 3/4π eta 3/2 radianen

πangeluak. 3. Pasa radianetara: a) 150º, b) 210º, c) 270º, d) 60º

a) rad 65

180150

º150π

=π⋅

= b) rad 67

180210

º210π

=π⋅

=

c) rad 23

180270

º270π

=π⋅

= d) rad 3180

60º60

π=

π⋅=

4. Pasa graduetara: a) 11π/6 rad, b) π/4 rad, c) 5π/4 rad, d) 2π/3 rad

a) º330180

611

rad 6

11=

π⋅

π=

π b) º45

1804

rad 4

=π

⋅π

=π

c) º225180

45

rad 45

=π

⋅π

=π

d) º120180

32

rad 32

=π

⋅π

=π

Graduetatik radianetara:

honekin biderkatuta:180

π

Radianetatik graduetara:

honekin biderkatuta: π

180

Graduetatik radianetara eta radianetatik graduetara Zirkunferentzierdiaren perimetroerdia π· erradioa da

π radianak = 180 gradu

hau da, π aldiz radian bat = 180 aldiz gradu bat π · 1 radian = 180 · 1 gradu

Gradua askatzen badugu, hau ateratzen da: 1 gradu = π/180 radian ~ 0.0175 radian Radiana askatzen badugu, hau ateratzen da: 1 radian = 180/π gradu ~ 57.2957 gradu

Trigonometria

118 MATEMATIkA B

2. Arrazoi trigonometrikoak

Antzeko triangeluetan angeluak berdinak dira eta albo homologoak proportzionalak. Triangeluaren alboen arteko arrazoiak haren forma zehazten du.

Triangelu angeluzuzen batean, angelu zorrotzaren arrazoi trigonometrikoak α honela zehazten dira:

Sinua aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko zatidura da.

Kosinua alboko katetoaren eta hipotenusaren arteko zatidura da.

Tangentea aurkako katetoaren eta alboko katetoaren arteko zatidura da.

Arrazoi horiek ez dira triangeluaren tamainaren araberakoak, angeluaren araberakoak baizik.

Sinua eta kosinua zirkunferentzian Irudian irudikatu da angelua α zirkunferentzia goniometrikoan edo erradio unitatekoa.

Eratzen den angelu angeluzuzenean, hipotenusa 1 denez, aurkako katetoasinua α da eta albokoa, berriz, kosinua α.

Garrantzitsua da hurrengo triangelua gogoratzea:

Begira ezazu (cos α, sen α) angeluaren azken puntuko koordenatuak direla, erradio-unitateko zirkunferentzian.

Zirkunferentziako tangentea Irudian uler daiteke zergatik aurkako katetoaren eta alboko katetoaren arteko zatidurari tangente deitzen zaion; haren balioa (1,0) puntuan zirkunferentzia ukitzen duen zuzenaren gainean zehaztuta geratzen da haren balioa. Ikus ezazu alboko katetoak 1 balio duenean, hipotenusa kosinuaren alderantzizkoaren berdina dela α.

Zatidurari:

katetoa ondokohipotenusa

αcos1

=

sekante deitzen zaio eta laburdura sec da.

Trigonometria

katetoa ondokokatetoa aurkakoαtg

hipotenusakatetoa ondokoαcos

hipotenusakatetoa aurkakoαsen

=

=

=

sen α

cos α

1 α

tg αsec α

1α

= sen α

= cos α

= tg α

ondoko katetoa

au

rkako

kate

toa

90º α

MATEMATIkA B 119

Triangelu

ekilateroan angeluek 60º neurtzen dute.

Pitagorasen teoremarekin

altuera kalkulatzen da.

1 aldeko karratu bat hartuko dugu

Pitagorasen teoremarekin diagonala kalkulatzen da

30º, 45º eta 60º-ko arrazoiak 30º-ko, 45º-ko eta 60º-ko angeluak nahiko maiz agertzen dira; ikus ezazu nola kalkulatzen direna arrazoiak definiziotik abiatuta, triangelu egokiak bilatzen baditugu.

sen cos tg

30º 21

23

33

3

1=

45º 22

22

1

60º 23

21

3

Taula hau buruz ikastea erraza da jarraitzen duten ordenaz ohartzen bazara. Erro kontsekutiboko sinuak ikasi eta gero, kosinuak alderantzizko ordenean ateratzen dira.

Ebatzitako ARIKETAK

5. Irudiko angeluan, kalkula ezazu: a) sen α d) sen β b) cos α e) cos β c) tg α f) tg β

a) 6,053

sen ==α d) 8,054

sen ==β

b) 8,054

cos ==α e) 6,053

cos ==β

c) 75,043

tg ==α f) 4

tg 1,33

β = =)

6. Lor ezazu kalkulagailuarekin:

a) sen 30º = 0,5 b) cos 60º = 0,5

c) tg 45º = 1

7. Lor itzazu kalkulagailuarekin 5. ariketako α eta β angeluak.

α: Hau tekleatuko dugu 0 . 6 SHIFT sin → 36,87º

β: Hau tekleatuko dugu 0 . 8 SHIFT sin → 53,13º

Ikus ezazu, hain zuzen ere, 90º batzen dituztela.

Kalkulagailuarekin • Angelu bat emanda, α haren

arrazoi trigonometrikoak lortzea. Adibidez, 28º 30´ sinua

Jar ezazu kalkulagailua DEG moduan

Teklea ezazu 28 º ‘ ‘‘ 30 º ‘ ‘‘ sin

Ondokoa lortuko dugu:0,477158760

Kalkulagailu batzuetan sin tekla sakatu behar da angelua sartu aurretik. Egiazta ezazu zureak nola funtzionatzen duen.

Kosinuaα edo tangenteaα lortu nahi badugu, berdin egingo dugu, baina cos eta tan teklak sakatuta, hurrenez hurren.

• Arrazoi bat emanda, hari dagokion angeluaα lortzea. Pantailan duzun balio berarekin: 0,477158760

Egiazta ezazu kalkulagailuak DEG moduan jarraitzen duela.

Teklea ezazu SHIFT sin

Ondokoa lortuko dugu:28,5 gradutan; gradu, minutu eta segundotan nahi badugu, SHIFT º ‘ ‘‘ sakatuko dugu, eta 28º 30‘‘ lortuko dugu.

3

4

5

α

β

23

21

1x2

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

211diag 22 =+=

Trigonometria

120 MATEMATIkA B

Ebatzitako ARIKETAK 8. Egiazta ezazu irudiko triangeluaren α angeluan oinarrizko harremanak betetzen

direla.

12525

2516

259

54

53

cossen22

22 ==+=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=α+α

α===αα

tg43

cossen

5453

9. Kalkula itzazu angelu zuzenaren kosinua eta tangentea; α sen α=0,3

9,081,0cos81,009,013,01cossen1cos 2222 ==α⇒=−=−=α⇒α−=α

31

9,03,0

cossen

tg ==αα

=α

10. Egiazta ezazu harreman hau betetzen dela: 1+ tg2 α=sec2 α

α=α

=α

α+α=

α

α+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα

+=α+ 222

22

2

222 sec

cos

1

cos

sencos

cos

sen1

cossen

1tg1

Gogora ezazu triangelua:

3. Oinarrizko erlazioak

Antzekotasuna eta Pitagorasen teorema aplikatzen bazaizkie "oinarrizko" triangelu angeluzuzenei, hau da, hipotenusa=1 edo ondoko katetoa=1, trigonometriaren oinarrizko erlazioak lortuko dira:

OBA eta OB’A’ angeluak antzekoak dira:

luego1

tgcossen α

=αα

αα

=αcossen

tg

Irudiko OBA triangeluari Pitagorasen teorema aplikatuta, hau lortuko dugu:

Trigonometria

1cossen 22 =α+α

3

4

5

α

tg α sec α

1 α

beraz

MATEMATIkA B 121

4. Triangelu angeluzuzenen ebazpena Triangelu angeluzuzen bat ebaztea datu ezezagunak, aldeak edo angeluak kalkulatzea da, datu ezagunetatik abiatuta.

Ikus ditzagun ager daitezkeen kasuak.

a) Angelu bat eta hipotenusa jakinda Triangelu angeluzuzen baten katetoak aurkitzeko, hipotenusaren eta angelu zorrotzaren neurriak ezagututa, hipotenusa biderkatzen duen:

honekin biderkatuta: hipotenusa

b) Angelu bat eta kateto bat jakinda Triangelu angeluzuzen baten aldeak aurkitzeko, hipotenusaren eta angelu ez zuzenaren neurriak ezagututa, alboko katetoa biderkatzen duen:

honekin biderkatuta: alboko katetoa

c) Bi alde ezagutuz Triangeluaren beste aldea aurkitzeko, Pitagorasen teorema aplikatuko dugu, eta honela zehaztuko da angelua:

adyacentecatetoopuestocateto

tangente duen arkua

edo hipotenusa

opuestocateto sinu duen arkua,

hasierako datuen arabera.

Beste angelua kalkulatzeko nahikoa da 90º kentzea.

Trigonometria

sen α

cos α

1

α

tg αsec α

1α

Mendiaren altuera kalkulatzea.

x = 650·sen 30º = 650·0,5=325

Dorrearen altuera kalkulatzea.

x = 20·tg 45º = 20·1=20m

Triangelua ebaztea

hipotenusa = 149107 22 =+

Kalkulagailuarekin: atan(0,7)=35º Eta beste angelua: 90º-35º=55º

a b

c α β

90º

c · cos α

c ·

sen

α

90º α

c

c

c ·

tg α

90º α

122 MATEMATIkA B

5. Edozein angeluren arrazoiak

Gogora ezazu (cos α, sen α) angeluaren azken puntuko koordenatuak zirela, erradio-unitateko zirkunferentzian. Angelu zorrotzetarako ikusi genuen horrek edozein angelutarako balio du.

Sinua Angelu baten sinua angeluak zirkunerentzia goniometrikoaren gainean egiten duen ibilbidearen azken puntuko koordenatu bertikala da.

Ikus ezazu -1 eta 1 arteko balioa duela.

Kosinua Angelu baten sinua ordenatua den modu berean, kosinua angeluak zirkunferentzian markatzen duen ibilbideko azken puntuko abzisa da.

Ikus ezazu -1 eta 1 arteko balioa duela honek ere.

Tangentea tg α=senα/cosα oinarrizko erlazioarekin angelu zorrotzetako tangentearen definizioa edozein angelutara zabaltzen da.

Tangentea (1,0) puntuan zirkunferentzia goniometrikoa ukitzen duen zuzenean irudikatzen da.

90º-ko eta 270º-ko angeluetarako, kosinua 0 da, beraz, tangentea ez dago zehaztuta; angelua zenbat eta gehiago hurbildu 90º-ra edo 270º-ra, are handiagoa egiten da tangentearen balio absolutua; infinitua dela esango dugu.

Zirkunferentzia goniometrikoa erradioa unitate duen eta erdigunea koordenatuen jatorri duen zirkunferentzia da.

+ +

- -

+ -

- +

SINUAREN ZEINUA

+ -

+ -

Lehenengo koadrantea

Bigarren koadrantea

Hirugarren koadrantea

Laugarren koadrantea

Ebatzitako ARIKETAK 11. Marraz ezazu -0,6 kosinua duen hirugarren

koadrantearen angelua, eta kalkula itzazu sinua eta tangentea.

64,036,01cos1sen 22 =−=α−=α

8,064,0sen ±=±=α Hirugarren koa-

drantean dagoenez, -0,8 izango da.

34

6,08,0

cossen

tg =−−

=αα

=α

12. Kalkula ezazu cosα tgα=-2 eta laugarren koadrantearen α.

51

cos541cos

1

cos

1tg1 2

222 =α⇒=+=

α⇒

α=α+

55

51

cos ±=±=α

KOSINUAREN ZEINUA

TANGETEAREN ZEINUA

Trigonometria

eta positiboa aukeratuko dugu, izan ere, α 4. koadrantean dago.

Begiratu Angelu betegarriak sen(180º- α)=sen α cos (180º- α)=-cos α tg(180º- α)=-tg α

360º batzen dituzten angeluak

sen(360º- α)=-sen α cos (360º- α)=cos α

tg(360º- α)=-tg α

-0,6

MATEMATIkA B 123

6. Problema metrikoak ebaztea

Trigonometria erabilgarria da problema geometrikoak ebazteko eta errealitateko luzerak kalkulatzeko.

Argazkiko teodolito batez angeluak neur daitezke, bai plano bertikalean, bai horizontalean; horrek, arrazoi trigonometrikoak aplikatuz, distantziak aurkitzeko edo heldu ezinezko puntuen altuerak kalkulatzeko aukera ematen digu. Kasu hauetan, hasierako triangelua angeluzuzena ez bada ere, altuera marraztuz bi triangelu angeluzuzen lor ditzakegu dauzkagun datuekin ebazteko. Ikus ditzagun adibide batzuk.

Kalkulatu poligono erregularren azalerak Kalkulatu 25,2 cm-ko alboa duen pentagono erregularraren azalera.

Poligono erregular baten azalera: perimetroa·apotema/2

Pentagonoa denez, erdiko angeluak hau neurtzen du:

360º/5=72º

Irudiko triangelu angeluzuzenari erreparatuko diogu; kateto bat apotema da eta beste bat aldearen erdia. Triangelu honetan:

34,1772,06,12

º36tg6,12

aa6,12

º36tg ===⇒=

Beraz, pentagonoaren azalera hau da:

Azalera = 57,10922

34,172,25=

⋅ cm2

Kalkulatu neurri topografikoak Ibai baten zabalera neurtzeko irudiko angeluak neurtu dira itsasertzetik 160 m dauden bi puntutatik. Zein zabalera du ibaiak?

Ibaiaren zabalera angeluzuzena ez den ACB triangeluaren altuera da. ADC eta BDC triangeluak, aldiz, angeluzuzenak dira.

ADC triangeluan: º38,67tgxaxa

º38,67tg ⋅=⇒=

BDCn: º48,47tg)x160(ax160

aº48,47tg −=⇒

−=

Berdinketaren bidez ebatziko ditugun bi ekuazioko sistema bat daukagu:

40,174x49,3)x160(09,1x40,2)x160(09,1a

x40,2a=⇒−=⇒

⎭⎬⎫

−==

⇒== 5049,340,174

x a = 2,40·50=120 m

Trigonometria

124 MATEMATIkA B

Praktikatzeko

1. Radianetan adierazita:

a) 15º b) 120º

c) 240º d) 345º

2. Graduetan adierazita:

a) 15π

b) 103π

c) 127π

d) 6

11π

3. Aurki itzazu kalkulagailuarekin ondorengo arrazoiak, ehunekotan borobilduta:

a) sen 25º b) cos 67º

c) tg 225º d) tg 150º

4. Triangelu angeluzuzenaren angelu batek 47º neurtzen du eta aurkako katetoak 8 cm. Aurki ezazu hipotenusa.

5. Triangelu angeluzuzen baten hipotenusak 26 cm neurtzen du eta angelu batek 66º. Kalkula itzazu katetoak.

6. Triangelu angeluzuzenaren angelu batek 44º neurtzen du eta alboko katetoak 16 cm. Aurki ezazu beste katetoa.

7. Triangelu angeluzuzen batean, katetoek 15 eta 8 cm neurtzen dituzte. Aurki itzazu angelu zorrotzak.

8. Triangelu angeluzuzenaren hipotenusak 45 cm neurtzen du eta kateto batek 27 cm. Kalkula itzazu angelu zorrotzak.

9. Triangelu isoszele batean angelu berdinek 78º neurtzen dute eta 28 cm-ko altuera dute. Aurki ezazu alde desberdina.

10. Triangelu isoszele baten alde berdinek 41 cm neurtzen dute eta angelu berdinek 72º dituzte. Kalkula ezazu beste aldea.

11. Lehenengo koadrantearen angeluaren kosinua 3/4 da. Kalkula ezazu angeluaren sinua.

12. Lehengo koadrantearen angeluaren tangentea 12/5 da. Kalkula ezazu sinua.

13. Sinua α = 3/5 y α bigarren koadrantearen angelua da. Kalkula ezazu tangentea α.

14. Kosinua α = 3/5 y α laugarren koadrantearen angelua da. Kalkula ezazu tangentea.

15. Tangentea α = 3 y α laugarren koadrantearen angelua da. Kalkula ezazu kosinua.

16. 9 aldeko poligono erregular baten apotemak 15 cm neurtzen du. Kalkula ezazu aldea.

17. Exagono erregular baten aldeak 30 cm neurtzen du. Kalkula ezazu apotema.

18. Oktogono erregular baten apotemak 8 cm neurtzen du. Kalkula ezazu poligonoaren azalera.

19. Pentagono erregular baten erradioaren luzera 15 cm-koa da. Kalkula ezazu azalera.

20. Zuhaitzaren itzalak, eguzki-izpiek jotzen dutenean, horizontalarekin 36º-ko angelua egiten dute. 11 metro neurtzen du. Zein da zuhaitzaren altuera?

21. Kometa baten hariak 50 m-ko luzera du eta horizontalarekin 37º-ko angelua egiten du. Zein altueran egiten du hegan kometak?

22. Eraikin baten altuera neurtzeko 100 m-ra dauden bi puntutatik elebazio-angeluak neurtzen dira. Zein da altuera 33º-ko eta 46º-ko angeluak badira?

23. Elkarrengandik 840 m-ra dauden bi pertsonek hegazkin bat ikusten dute aldi berean, 60º-ko eta 47º-ko elebazio-angeluekin, hurrenez hurren. Zein altueran egiten du hegan hegazkinak?

24. Mendi baten altuera neurtzeko 480 m-ra dauden eta itsas mailatik 1200 m-ra dauden bi puntutatik elebazio-angeluak neurtzen dira. Zein da altuera 45º-ko eta 76º-ko angeluak badira

Trigonometria

h h

46º 33º

100

840

47º 60º

h

MATEMATIkA B 125

Gehiago jakiteko

La refracción de la luz

Es el fenómeno que se produce cuando la luz pasa de un medio material a otro en el que la velocidad de propagación es distinta. De ahí que una varilla introducida en agua la veamos “quebrada”.

“i” eraso-angeluaren eta “r” errefrakzio-angeluaren arteko harremana ondorengo harremanak dakar; Snellen legea izenez ezagutzen denak.

n1· sen i = n2· sen r

Haren arabera, n1 eta n2, hurrenez hurren, 1 erdiaren eta 2 erdiaren errefrakzio-indizeak dira eta, aldi berean, erdiko argiaren abiaduraren eta hutsuneko argiaren abiaduraren arteko zatidura.

Trigonometria

i=45º

r=32,1º

aire

ur

Sinuaren teorema

Gai honetan angeluzuzenak ez ziren triangeluak ebatzi ahal izan dituzu, altuera hartuta.

Emaitzak, sinuaren teorema gisa ezagutzen denak, edozein triangelu ebazteko aukera ematen digu alde bate eta bi angelu ezagutuz gero.

Csen

c

Bsen

b

Asen

a==

C

A B

a b

c

hc

Errepideak zein inklinazio duela adierazten du seinale honek? Pixka bat ikertu baduzu, ikusiko zenuen batzuek esaten dutela % 10 hori maldamatematikoarena dela eta beste batzuek, berriz, zirkulazio-malda gisa definitzen dutela. Bata edo bestea, desberdintasuna ez da oso handia, adierazitako angeluanizango da lehen kasuan atan(10/100)=5.71º eta asen(10/100)=5.74º bigarrenean,eta gure autoak malda hori igarotzeko izango dituen problemak antzekoak izango dira bi kasuetan.

Malda matematikoa eta trafiko-maldaren arteko desberdintasuna esangarriagoa izango da mendigoizale batiseinale bat adieraziko balio igotzeko mendiko malda % 75ekoa dela.

% 75eko aldapa matematikoa ondoko angeluari dagokio:

atan(75/100)=36.86º

% 75eko zirkulazio-malda ondoko angeluari dagokio:

asen(75/100)=48.59º

Irudian, triangelu marroiaren hipotenusak malda agertzen du %-a tangente gisa interpretatuta, eta triangelu urdinean, berriz, %-a sinu gisa interpretatzen da.

126 MATEMATIkA B

Gogora ezazu garrantzitsuena

Angeluak eta haien neurria

Angeluak neurtzeko graduak edo radianak erabiltzen ditugu.

Radian bat angelua da, haren ibilbidea marraztu den erradioa bezalakoa denean.

Razones trigonométricas

Oinarrizko erlazioak

Edozein angeluren arrazoiak (cos α, sen α) zirkunferentzia goniometrikoko edo erradioa unitate duen zirkunferentziako angeluaren azken puntuko koordenatuak dira.

Triangelu angeluzuzena ebaztea haren sei elementuen neurriak aurkitzean datza: hiru alde eta bi angelu (hirugarrena 90º da), alde bat eta angelu bat edo bi aldeak ezagututa.

Trigonometria

katetoa ondokokatetoa aurkakoαtg

hipotenusakatetoa ondokoαcos

hipotenusakatetoa aurkakoαsen

=

=

=

1cossencossen

tg 22 =α+ααα

=αsen α

cos α

1

sen

cos tg

+ +

- -

+ -

- +

+ -

+ -

ARRAZOIEN ZEINUA

Sinua aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko zatidura da.

Kosinua alboko katetoaren eta hipotenusaren arteko zatidura da.

Tangentea aurkako katetoaren eta alboko katetoaren arteko zatidura da.

sen cos tg

radiangradu180π

→×

graduradianπ

180

→×

ondoko katetoa

au

rkako

kate

toa

90º α

c · cos α

c ·

sen

α

90º α

c

c

c ·

tg α

90º α

+ +

- -

MATEMATIkA B 127

Autoebaluazioa

1. Kalkula ezazu A tg-ren balioa irudiko ABC triangeluan.

2. Adieraz ezazu radianetan 150º-ko angelua.

3. Kalkulatu irudiko triangeluaren azalera.

4. 12 cm-ko luzerako konpas batekin 10 cm-ko erradioko zirkunferentzia bat trazatu dugu. Radianetan, zein angelu eratzen dute konpasaren adarrek?

5. Sin 54

sen =α , eta α angelu zorrotza bada, kalkulatu tg α.

6. tg α=1.25 bada eta α hirugarren koadrantean badago, kalkula ezazu kosinua α.

7. 30º-ko angeluaren arrazoiak hartuta, kalkulatu tg ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−

65

8. 53

cos =α bada eta α angelu zorrotza bada, kalkula ezazu

kosinua (180º- α)

9. Torre Españaren altuera 231 metrokoa da, zenbat neurtzen du bere itzalak, eguzki-izpien makurdura 30º-koa denean?

10. Kalkula ezazu 4 cm-ko erradioko pentagono erregular baten azalera.

Trigonometria

32

18 35º

28

A

B

C

12

12

10

231 30º

4

2)

3)

4)

9)

10)

128 MATEMATIkA B

Praktikatzeko ariketen ebazpenak

1. a)

12π

b) 32π

c) 34π

d) 1223π

2. a) 12º b) 54º c) 105º d) 330º

3. a) 0,42 b) 0,39 c) 1 d) -0,58

4. 10,93 cm

5. 23,75 cm, 10,57 cm

6. 15,45 cm

7. 28º 4’ 20’’ 61º 55’ 40’’

8. 36º 52’ 11’’ 53º 7’ 49’’

9. 11,9 cm

10. 25,33 cm

11. 47

sen =α

12. sen α =12/13

13. tg α =-3/4

14. tg α =-4/3

15. 1010

10

1cos −=−=α

16. 10,91 cm

17. 25,98 cm

18. aldea=6,63 cm azalera=212,08 cm2

19. aldea=17,63 cm apot=12,14 cm azalera=534,97 cm2

20. 7,99 m

21. 30 m

22. 57,41 m

23. 638,11 m

24. 639,42+1200=1839,42 m

Ez ahaztu jarduerak tutoreari bidaltzea

Trigonometria

Ebazpenak AUTOEBALUAZIOA

1. 65π

2. 0,47

3. 165,19 u2

4. 0,85 rad (mozketa)

5. tg α =4/3

6. cos α = -0,62

7. 33

º30tg65

tg ==π−

8. cos(180º − α)=−cos α =−3/5

9. 400,10 m

10. 38,04 m2