UNIDAD 3DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Propósitos: Continuar el estudio del concepto de derivada a través del manejo de su representación algebraica buscando que el alumno reconozca a las reglas de derivadas como un camino más eficaz de obtener la derivada de una función.

En la Unidad siguiente, pretendemos que: Obtengas la derivada de una función polinomial de 1°, 2do ó 3er grado usando la definición

f ´ ( x )=limx→a

f ( x )− f (a)x−a

Identifiques el patrón de comportamiento de las derivadas obtenidas con el límite del cociente. Calcules la derivada de funciones algebraicas usando las reglas de derivación. Reconozcas la jerarquía de las operaciones involucradas en la regla de correspondencia de una

función para aplicar correctamente las reglas de derivación. Identifiques las relaciones existentes entre la gráfica de una función y la gráfica de su derivada. Obtengas la ecuación de la recta tangente en un punto de la gráfica de una función. Obtengas la velocidad instantánea como la derivada de la función posición y la aceleración como la

derivada de la velocidad. Des significado a la derivada de una función en el contexto de un problema.

INTRODUCCIÓN.

Significado Intuitivo Del Concepto De Límite.

La idea de límite, es fundamental en el cálculo, pero no es una idea aislada y equivale a lo siguiente. Para determinar el valor exacto de una cierta magnitud determinamos primero, no la magnitud en sí, sino una aproximación de ella. Sin embargo, no hacemos una única aproximación sino una serie de ellas (un proceso), cada una de las cuales es más precisa que la anterior, ya que se acerca al valor buscado (un proceso infinito). Del examen de esta serie de aproximaciones determinamos unívocamente el valor exacto de la magnitud. Por este método, que es en esencia profundamente dialéctico, obtenemos una constante fija como resultado de un proceso o movimiento.

Ejemplo 1. En el problema de la pelota en la unidad 2, se quiere calcular la velocidad instantánea a los 3 segundos, en donde la distancia está dada por la función s (t )=−4.9 t 2+40 t , así, en este ejemplo debemos calcular el límite siguiente:

v (3 )=s ´ (3 )=limt →3

s (t )−s (3)t−3

=limt →3

−4.9t 2+40 t−75.9t−3

En este caso la velocidad promedio esta dada por la función f (t )=−4.9t 2+40 t−75.9t−3

observa que la función no esta definida para t=3 (¿por qué?), es por está razón, una forma de conjeturar su valor en ese tiempo, es calculando valores de f para valores de t proximos a 3 y así inferir su valor cuando t es 3, a este valor es a lo que se le llama el límite, en este ejemplo de la función f en t=3, los valores de f (t) cuando t se aproxima por la izquierda al número 3, se resumen en la tabla siguiente.

En este caso,

empleamos la notación siguiente:

t

36

t 2.5 2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999f (t) 13.05 11.09 10.649 10.6049 10.60049 10.600049

limt→3−¿ s (t )−s (3 )

t−3 = limt→ 3−¿−4.9 t2+40t−75.9

t−3=10.6 m

s¿

¿¿

¿

Escribimos 3−¿¿ por que nos aproximamos al número 3 con valores inferiores a él, por otra parte, escribimos 3+¿ ¿ cuando nos aproximamos al número 3, con valores superiores a él.

Ahora aproximemonos con valores mayores a 3, estos valores se resumen en la tabla que se muestra a continuación:

Por lo que se cumple:

limt→3+¿ s (t )− s(3)

t−3 = limt→ 3+¿−4.9 t2+40t−75.9

t−3=10.6 m

s¿

¿ ¿

¿

Como en ambos acercamientos (derecha e izquierda) el valor del límite es el mismo, decimo que el límite

de la función en t=3 es 10.6 ms

y se escribe de la manera siguiente:

v (3 )=limt→3

s ´ (3) limt→ 3

s (t )−s (3)t−3

=limt→ 3

−4.9 t 2+40 t−75.9t−3

=10.6 ms

Definición intuitiva de límite.

Cuando escribimos limx→a

f ( x )=L se lee ”el límite de f (x), cuando x tiende al número a, es igual a L”

y significa quef ( x )puede acercarse arbitrariamente a L (si la distancia |f (x )−L| es tan pequeña, como queramos) siempre que x se elija lo suficientemente cercano al número a pero no igual a él (si |x−a| es pequeña también).

Ilustraremos el proceso límite con la gráfica siguiente:

Aunque no es complicado tomar valores cada vez más cercanos al número en donde queremos calcular el límite, el método de aproximaciones es largo, por esa razón se buscan técnicas (algunas algebraicas) las cuales faciliten este cálculo, pero, sin dejar de pensar que el cálculo de límites es una aproximación de un proceso infinito.

Con este fin iniciaremos calculando los límites más sencillos, no es difícil ver que

f

xa

L

xx a

( )f x

( )f x L

37

t 3.5 3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001f (t) 8.15 10.11 10.551 10.5951 10.59951 10.599951

(1)

y (2)ya que la distancia de sus imágenes es tan pequeña como se desee, siempre y cuando la distancia |x−a| también lo sea, como se ilustra a continuación.

El cálculo de límites para otras funciones también es sencillo, siempre que recordemos las propiedades de los límites que a continuación se enlistan.

Propiedades de los límites.

Los límites tienen varias propiedades muy importantes, algunas de ellas son:

El límite de una suma es la suma de los límites

(3)

El límite de un producto es el producto de los límites

(4)

El límite de un cociente es el cociente de los límites

, (5)

Estas propiedades no las demostraremos porque para ello hace falta contar con la definición formal del límite de una función, y este hecho esta fuera del nivel de este libro. Lo que sí podemos hacer es; considerar verdaderos estos límites y con base en ellos, encontrar otras propiedades de los límites.

Ejemplo 2. El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función.

(6)

Solución: Esta propiedad se justifica a partir de (4) y (1)

x alimc c

x alim x a

y

a

c

x

y

ax

( )f x x

a

x alimc c

x alim x a

( ( ) ( )) ( ) ( )x a x a x alim f x g x lim f x lim g x

( ( ) ( )) ( ) ( )x a x a x alim f x g x lim f x lim g x

( )( ) , ( ) 0( ) ( )

x a

x a x ax a

lim f xf xlim lim g xg x lim g x

( ) ( )x ax a

limc g x c lim g x

38

El resultado anterior, nos permite “extraer” del límite a una constante, como se ejemplifica a continuación:

en donde hemos utilizando las propiedades (3) y (6),

Ahora, si c=−1, se cumple que: , es decir:

El límite de una diferencia es la diferencia de los límites

Ejemplo 3. Con base en los límites que hemos calculado y las propiedades de los límites, conjetura el valor de:

a) b) c) d)

Solución: sabemos que y con la regla del producto, podemos conjeturar que:

De manera similar , y

Ejemplo 4. Si n representa a un número entero positivo, conjetura a qué será igual el .

Solución: Del ejemplo anterior, podemos deducir (y se puede probar por inducción) que

Actividad 1. Calcula los límites siguientes e indica las propiedades que utilizaste:

a)

b)

El cálculo de estos límites no presenta ninguna dificultad, pareciera que sólo se evaluará a la función en el punto indicado, pero debemos tener en cuenta siempre, que el cálculo de un límite es una aproximación, sin embargo, límites de esta naturaleza aparecen pocas veces, es más común encontrar límites, en donde no basta con “evaluarlos” ya que en ellos se presenta una indeterminación, a estos límites se les llama límites indeterminados los cuales se aparecen siempre en el cálculo de la derivada de una función, como en la derivada que se calculó en el ejercicio 1 y el usar aproximaciones sucesivas tanto

( ) ( ) ( )x a x a x ax a

limc g x limc lim g x c lim g x

(7 ) 7 7 7x a x a x a x alim x lim lim x lim x a

( ( ) ( )) ( ) ( )x a x a x alím f x cg x lím f x límcg x

( ) ( )x a x alím f x c lím g x

( ( ) ( )) ( ) ( )x a x a x alím f x g x lím f x lím g x

( ( ) ( )) ( ) ( )x a x a x alím f x g x lím f x lím g x

3

x alim x

4

x alim x

5

x alím x

12

x alím x

x alim x a

3 3( )( )( )x a x a x a x alim x lim x lim x lim x a a a a

4 4

x alim x a

5 5

x alím x a

12 12

x alím x a

n

x alim x

n n

x alim x a

),132( 2

3

xxlím

x

39

del lado derecho como del lado izquierdo, es una forma de obtenerla, pero la ayuda del álgebra así como las de las propiedades de los límites, nos facilita este cálculo.

La demostración de un límite por medio de su definición, conlleva a problemas teóricos que no abordademos en este libro, afortunadamente para deducir las derivadas de polinomios, los límites indeterminados que debemos calcular se resuelven con álgebra elemental, pero esto lo veremos en el siguiente apartado.

DERIVADAS DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x )=c xn.

Esta sección es muy técnica, ya que sólo nos dedicaremos a elaborar un álgebra de las derivadas, es decir, encontraremos primero, la derivada de los polinomios y posteriormente la derivada de su suma, resta, producto, cociente, raíz, potencia entre otras. Iniciaremos con un polinomio de la forma f ( x )=c xn primero con n cero y después con un entero positivo, posteriormente con n entero negativo y luego con n un número racional, así que consideremos a la función

f ( x )=c

Esta función llamada función constante esta representada, geométricamente, por una recta horizontal, como recordaras, la pendiente de una recta horizontal es cero, así podemos conjeturar que su derivada es cero, ahora probemos este hecho mediante la definición.

Recordemos que la derivada de una función f en el punto x=a, es:

limx→a

f (x )−f (a)x−a

siempre y cuando dicho límite exista, a este límite se le denota por f ´ (a).

De esta manera:

limx→a

f (x )−f (a)x−a =lim

x→a

c−cx−a= lim

x→a

0x−a=lim

x→a0=0

(en la última igualdad se aplicó la propiedad (1)). Así hemos probado que: la derivada de una función constante es cero.

Actividad 2. Procediendo de manera idéntica, calcula la derivada de la función identidad f ( x )=x .

Primero determina el cociente f ( x )−f (a)

x−a =¿

Ahora, calcula el límite de dicho cociente, cuando x se aproxima al número a, no debes de olvidarte de la propiedad (1).

f ´ (a )=¿

Continuando con el cálculo de derivadas, hagamos las operaciones para encontrar la derivada de la función

f ( x )=x2 ,

primero, recordemos la identidad algebraica muy conocida, a saber:

a2−b2=(a−b)(a+b),Procedamos al cálculo de su derivada.

40

f ´ (a )=limx→a

f ( x)−f (a)x−a

=limx→a

x2−a2

x−a=lim

x→a

(x−a)(x+a)x−a

=limx→a

(x+a )=2a

así, la derivada de la función f ( x )=x2 es f ´ ( x )=2 x.

Actividad 3. Procediendo de manera idéntica, obtén la derivada de la función f ( x )=x3.

Como en la actividad 2, calcula el cociente

f ( x )−f (a)x−a =¿

Recuerda la identidad algebraica a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

Ahora, calcula el límite de dicho cociente, cuando x se aproxima al número a, no debes de olvidarte de las propiedades de los límites. Finalmente escribe la derivada de la función.

f ´ (a )=¿

Actividad 4. Escribe en la tabla siguiente, las derivadas que se han ejemplificado así, como las que haz encontrado.

Funciónf (x) Derivada f ´ (a)c 0

Actividad 5. Con base en los resultados obtenidos y haciendo referencia a la tabla anterior, conjetura la derivada de la función

f ( x )=xn

f ´ (a )=¿

Para encontrar la derivada de la función f ( x )=c xn en donde c es una constante, se procede la manera siguiente:

f ´ (a )=limx→a

f ( x )−f (a)x−a

=limx→a

c xn−can

x−a=c lim

x→a

xn−an

x−a=cnan−1

(¿Qué propiedades de los límites empleamos?)

REGLAS DE DERIVACIÓN.

Constante por una función.

Esta regla es heredada de las propiedades de los límites, consideremos a f una función derivable en el punto x=a y a un número c cualquiera, entonces la derivada del producto de c con la función f es:

(cf (a ) )´=limx→a

cf (x )−cf (a)x−a =c lim

x→a

f ( x )− f (a)x−a =c f ´ (a)

41

(hemos aplicado la propiedad (4))

Es común decir que la derivada “saca” constantes, debido a esta propiedad de la derivada.

Ejemplo 5. Calcula la derivada de la función f ( x )=8x3.Solución: Por las propiedades vistas f ´ ( x )=3 (8 ) x2=24 x2

Suma

Si f y g son diferenciables en el punto x=a, entonces

La derivada de una suma es la suma de las derivadas, también se dice que la derivada abre sumas.

Ejemplo 6. Deriva las funcionesa) f ( x )=6x3−5x2+x+9b) f ( t )=4 t 6−3 t 4+12

Solución: a) f ´ ( x )=18 x2−10 x+1 b) f ´ (t )=24 t5−12 t 3 Sean f y g dos funciones derivables en x y c una constante, entonces

( f (x )+cg(x )) ´=f ´ ( x )+(cg (x))

Lo anterior es cierto porque, como ya vimos, la derivada de la suma es la suma de las derivadas. Ahora, como la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función, obtenemos:

f ´ ( x )+(cg (x)) ´=f ´ ( x )+cg´ (x )

Resumiendo:( f (x )+g( x)) ´=f ´ ( x )+cg ´(x )

En particular si c=−1, obtendremos:

( f (x )−g (x)) ´=f ´ ( x )−g(x )

Cabe aclarar que en Matemáticas, se habla indistintamente de suma o resta diciendo suma algebraica que ya involucra a las dos operaciones anteriores y posteriormente, sólo se dice la suma (aunque se esté restando).

Apliquemos los resultados obtenidos al problema siguiente.

Ejemplo 7.

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))´x a

f x g x g x g af a g a limx a

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

x a

f x f a g x g alimx a

( ) ( ) ( ) ( )

x a x a

f x f a g x g alim limx a x a

(́ ) (́ )f a g a

42

Se lanza una pelota verticalmente desde el suelo, con una velocidad inicial de 30 m/seg. ¿Cuál es la velocidad a los dos segundos?

De la física sabes que la trayectoria de la pelota está dada por la función:s (t )=−4.9 t 2+30t

donde s es la distancia en metros y t el tiempo en segundos.

En este ejemplo, la velocidad es la derivada de la función s, la cual es:

s ´ (t )=−9.8 t+30

Así pues, la velocidad cuando t=2 es s ´ (2 )=−9.8 (2 )+30=10.4 ms

En la primera unidad trabajamos resolviendo problemas haciendo explícito los procesos infinitos involucrados. Ahora, hemos sintetizado dichos procesos por medio de la derivada.

Es conveniente tener en cuenta que existen varias notaciones para indicar a la derivada de una función f , todas estas notaciones indican lo mismo (razón de cambio instantáneo), aunque en ocasiones pareciera que es más sencilla una notación con respecto a otra, en la sección que se presenta a continuación damos algunas formas de la simbología de la derivada de una función.

Notación.

Es conveniente, que estudiemos las principales notaciones que existen sobre la derivada de una función.

Recordemos que en el problema de la pelota (unidad II) teníamos la función s (t )=−4.9 t 2+40 t y que la velocidad promedio en dos tiempos diferentes (su razón de cambio promedio) fue representada con la pendiente de la recta determinada por esos dos puntos. Abstrayendo esta idea, como queremos estudiar la razón de cambio instantánea de una función f cualquiera, representaremos su gráfica y escogeremos

dos puntos (uno fijo para estudiar la razón de cambio instantáneo en él, y el otro móvil, como se hizo en la segunda unidad) los que uniremos con una recta y mostraremos las diferentes notaciones que hay sobre su razón de cambio.Considera la gráfica de la función f , que a continuación se ilustra:

Estudiamos la razón de cambio promedio en el intervalo [a , x ] (también puede ser en el intervalo [ x .a ], el cual no esta ilustrado), esta razón está dada por:

( ) ( )f x f ax a

( ) ( )f x f a

f

xa x

( )f a

( )f x

x a

y f

43

Posteriormente, calculamos la derivada en x=a, tomando el límite del cociente cuando x se aproxima al número a. En algunos libros cuando inician el cálculo de la derivada en el punto x, a la diferencia x−a le llaman incremento de x , y se representa mediante el símbolo ∆ x , que se lee delta de x, y a la diferencia f ( x )− f (a)llamada incremento de f , la cual se le simboliza por ∆ f . Así, nuestra razón de cambio promedio se denota como:

∆ f∆ x=

f (x+∆x )−f ( x)∆ x

la cual es conocida como el cociente de incrementos. Para tener una visualización, observa la gráfica siguiente:

La derivada la podemos escribir como el límite, cuando ∆ x tiende a cero, del cociente de incrementos, lo que nos permite simbolizar a la derivada de la función f como:

f ´ ( x )= lim∆x→0

∆ f∆x= lim

∆ x→0

f ( x+∆ x )−f (x )∆ x =

dfdx

Otros autores denotan al incremento de x con la letra h, y el procedimiento anterior lo tratan de la misma manera, que se ha expuesto aquí, cambiando ∆ x por h establecen la definición de la derivada como:

f ´ ( x )=limh→0

f ( x+h )−f (x )h

Finalmente, también se puede denotar a la derivada de f como D x f .

Resumiendo, la derivada de la función f con respecto a x , se puede escribir de cualquiera de las tres formas siguientes:

dfdx

, Dx f o f ´ (x)

Pero, la notación es muy empleada y es la que usaremos en la sección siguiente:

Producto

En las secciones anteriores hemos visto que la derivada de la suma como la diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de la derivada de las dos funciones, así como la regla de la derivada de una

( ) ( )f f x x f x

y

xx x x

( )f x

( )f x x

x

y f

44

función por una constante, resulta ser la constante por la derivada de la función. Sin embargo, la regla para derivar el producto de dos funciones no es tan sencilla. Las actividades siguientes tienen el propósito de encaminarte para que deduzcas esta regla. Primero estableceremos el incremento del producto de dos funciones, es decir queremos saber cuánto vale ∆ (fg ) ya que una vez encontrado esta, sabemos que la derivada del producto será:

lim∆ x→ 0

∆ (fg)∆ x

.

Para poder derivar a este producto realicemos las actividades siguientes:

Actividad 1. Propósito: Observar que la derivada de un producto de funciones no es el producto de sus derivadas.

Calcula la derivada de la función f ( x )=x6, de la siguiente manera:a) Completa el factor faltante f ( x )=x6=x2() . b) Denotemos por g ( x )=x2 y por h ( x )=x4, calcula las derivadas de g y h , después multiplícalas,

escribe tu resultado de la forma c xn. g ´ ( x )h ´ ( x )=¿ _____________________

c) Calcula f ´ ( x )=¿ _________________d) Escribe a f como f=gh , comparaf ’ con g ’h ’¿son iguales? ___________e) Haz una primera observación acerca de la derivada del producto de dos funciones. _____________________________________________________________

Si la derivada de un producto de dos funciones no es el producto de la derivada de las dos funciones ¿Entonces cuál es?

Nos comenta H.J.M. Bos en su artículo Newton, Leibniz y la tradición Leibniziana “Durante estas investigaciones persevera (Leibniz) por algún tiempo en la idea errónea de que d (uv ) debe ser igual a dudvpero finalmente descubre la regla correcta”

Grandes matemáticos tuvieron una idea equivocada de la regla para derivar un producto, las siguientes actividades te ayudarán a encontrar esta regla, con este fin contesta correctamente las siguientes actividades.

Actividad 2.Propósito: Hacer una primera aproximación (numérica) al incremento de un producto de incrementos, posteriormente, calcular el incremento del producto a través de la función identidad, así como introducir su notación correspondiente.

1) Las telas que se usan para tapizar muebles por lo general miden 150 cm. de ancho y tienen un largo de varios metros (como se muestra en la figura).

Sin embargo, como una orilla tiene pequeños defectos, siempre el ancho mide un poco más, para fijar ideas supongamos que tiene 5cm. de más.

150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.150cm.

45

Cuando se presento Pedro a comprar tela para tapizar sus muebles pidió 4 m. y el dependiente temiendo darle de menos, procuró darle un poco más, para fijar ideas, supongamos que le dio 10 cm. extra.

a) En la siguiente figura escribe las cantidades (en el lugar que le corresponde) que le dieron de más a Pedro.

b) Sombrea en la figura la tela de más que le dieron a Pedro.c) Calcula el área de ésta tela._______________________________________d) ¿De cuántas partes consta la tela extra, en términos de los lados y la longitud extra que le dieron?

_____________________________

Como hemos mencionado anteriormente, a la cantidad extra se le llama incremento y se denota con un triángulo ∆ , y en su lado derecho se escribe la variable que se ha incrementado.2) Una placa de metal se inscribe en una escuadra como se ilustra a continuación

Posteriormente se le aplica calor a la placa y ésta se expande, suponiendo que las longitudes de los lados de la placa son x e y y sus expansiones ∆ x y ∆ y respectivamente. Escribe x e y así como ∆ x y ∆ y en la figura que se te muestra a continuación.

a) ¿Cuál es el área de la placa original? Área = ________________________b) ¿El incremento del área de la placa en cuántas partes la podemos dividir? _______c) Calcula el área de cada una de las partes

_____________ _____________ ____________

d) La suma de las áreas de estas partes se le denomina el incremento del área y se denota por ∆ ( xy ) , como te habrás dado cuenta este incremento esta dado por la suma de las tres áreas que calculaste en el inciso anterior, escribe en símbolos a este incremento, es decir escribe el valor de

400 cm.

150cm.

Placa de metal

Escuadra

46

∆ ( xy )=¿ ________________________________________

Actividad 3. Juan Commodoro en los calurosos días del verano, vendía 50 paletas diarias al precio de $12.00 por paleta, el costo real de esta paleta era de $15:00 pero con el afán de vender, le dio a este precio en un principio. Se dio cuenta que se le vendían todas las paletas y decidió llevar 5 paletas más, para su sorpresa observó que se le seguían vendiendo todas, así decidió llevar 5 paletas más cada día, también decidió venderlas más caras, para llegar al precio de $15.00, así que probó con un aumento de $0.50 al día, para su sorpresa se le siguieron vendiendo igual de bien que antes, por lo que decidió hacer un aumento de $0.50 diarios por paleta, en forma permanente.

Cierto día se preguntó sobre su ganancia extra en un día cualquiera y no pudo contestarse, ya que había dos incrementos, el número de paletas y su precio. ¿Cómo podemos ayudarle a Juan a saber el incremento en su ganancia extra en un día cualquiera? En otras palabras, ¿Cuál es la razón de crecimiento de sus ganancias en un día cualquiera?

a) ¿Cuánto vende Juan al inicio de su venta? (denota por V a la venta de las paletas).

V = _____________________ (i)

b) Al decidir aumentar tanto el precio como el número de paletas en el primer día, ¿Cuánto vende?

V = _______________________ (ii)

c) ¿Cuál es su ganancia extra? ___________________________

d) En el segundo día ¿Cuánto vende?

V=¿ _________________________ (iii)

e) ¿Cuál es la ganancia extra? _______________________________

f) ¿La ganancia extra de cuántas partes consta? _________________g) ¿Cuánto vale cada parte?

_______________ ______________ ______________

En el inciso b, se puede hacer lo siguiente:Observemos que la ganancia extra (el incremento de la venta, como sabemos se le denota por ∆V ) en el primer día, realizando (ii), de la forma siguiente:

V = 55(12.50) = (50 + 5) (12 + 0.50) = 50(12) + 50(0.50) + 5(12) + 5(0.50)

así ∆V=¿ 50(0.50) + 5(12) + 5(0.50)

Para fijar ideas, denotemos al número de paletas por p, y al precio por paleta con la letra q, así la venta (en dinero) está dada por el producto,

h) V =__________________

i) El incremento de la venta por ∆V=∆ ( pq )=¿ __________________________________.

Venta cotidian

Ganancia extra

47

En esta actividad hemos trabajamos un caso discreto, pero en general, si f y g son dos funciones (en nuestro caso polinomios), ¿Cómo podemos expresar el incremento se su producto?

∆ ( fg )=¿ ___________________________________________ (1)

Una vez que hemos encontrado este incremento y suponiendo que las dos funciones son derivables, la regla del producto se puede encontrar sin muchas complicaciones

Sabemos por que

f ´ ( x )= dfdx

= lim∆ x→0

∆ f∆ x

En el caso del producto de dos funciones, tenemos

(Por 1)

(Multiplicamos y dividimos por ∆ x

en el tercer sumando)

¿ f ( x )g ´ ( x )+g ( x ) f ´ (x ) .

A esta regla que hemos encontrado se le llama la regla del producto.

Actividad 4.Propósito: Una vez obtenido la regla del producto, aplicarla para obtener la derivada de la potencia de una función.

1) Escribe la forma correcta de la derivada en la actividad 1.

2) Deriva las siguientes funciones, primero realiza el producto y posteriormente utiliza la regla del producto

1. f ( x )=( x2+3 x ) (2 x+6 )

2. f ( x )=( x3+1 )2

xgffggf

límxfg

límdxfgd

xfgxx

))(()()()()'(

00

xxxgf

límxf

límgxg

límfxxx

))((

))((000

xxxgf

xfg

xgf

límx

))((

))((0

0dxdf

gdxdg

f

48

3. f ( x )=(3x2+5 x−2 )2

4. f ( x )=(4 x2−3 x )2

5. f ( x )=(6 x3−5 )2

3) De las derivadas que haz obtenido, observa que los ejercicios 2 a 5 son de la forma y= (f (x ))2

Escribe y´ en términos de f y f ´.

Ejemplo 9:Una compañía telefónica desea estimar el número de líneas nuevas de teléfonos residenciales que necesitan instalar durante el mes venidero. A principios de enero de 1999, la compañía tenía 100,000 suscriptores, cada uno con 1.2 líneas telefónicas (en promedio). La compañía estimó que sus suscriptores estaban aumentando a razón de 1000 mensuales. Al hacer un escrutinio entre sus suscriptores existentes, halló que cada uno pretendía instalar un promedio de 0.01 líneas telefónicas nuevas para fines de enero. Estima el número de líneas nuevas que la compañía tendrá que instalar en enero de 1999, calculando la tasa de crecimiento de las líneas a principios del mes.

Solución: Sean s(t ) los suscriptores y n( t) la cantidad de líneas telefónicas por suscriptor en el tiempo t , donde t se mide en años y t=0corresponde al inicio de 1999. Entonces el número total de líneas L(t) se expresa por

L (t )=s (t )n(t)

Queremos encontrar L ’(0), con este fin, primero debemos de encontrar L ’(t ) y posteriormente evaluarla en t=0.

Observemos que dLdt

=L´ (t ) cambia debido a dos aportaciones, estas son: aumento de suscriptores y

aumento de líneas.

dLdt aumenta s(t ) dndt debido al aumento de suscriptores y aumenta n( t) dsdt debido al aumento en

las líneas

Por lo que dLdt

=s ( t ) dndt

+n(t) dsdt

49

Evaluamos la última relación en t=0, se obtiene:

Se nos dice que s(0)=100000 y n(0)=1.2, las estimaciones de la compañía referentes a las tasas de incremento son que s ’(0)=1000 y n’ (0)=0.01. Por lo tanto,

L ´ (0 )=s (0 )n ´ (0 )+n (0 ) s ´ (0) = 100 000(0.01) + 1.2 (1000) = 2200.

Se concluye que la compañía necesita instalar 2 200 líneas nuevas durante enero de 1999.(Stewart, Cálculo trascendentes tempranas, cuarta edición).

Actividad 7. Supongamos que estás vendiendo carteles en la universidad. En este momento vendes 50 carteles al día y tus ventas aumentas a una razón de 4 por día. Además, cobras $10 pesos por cartel, y como se venden bastante bien, vas a aumentar el precio a una razón de $2 pesos por día. Estima qué tan rápido aumentan tus ingresos.

En símbolos: denotemos por q al número de carteles que vendes por día y por p al pecio en que los vendes. Si llamamosR a los ingresos, estos están dados por R=pq , la pregunta es ¿Cuál es la razón

de cambio, dRdt

, de los ingresos?

Hay dos aportaciones a la razón de cambio de los ingresos R estos son:

____________________________ y ____________________________

¿Cómo cambia dRdt

debido al aumento de precio? _______________________

¿Cómo cambia dRdt

debido al aumento de ventas? ______________________

En símbolos:

¿Cómo cambia dRdt

debido al aumento de precio? _______________________

¿Cómo cambia dRdt

debido al aumento de ventas? ______________________

Por consiguiente, la razón de cambio de los ingresos se expresa por.

dRdt

= ___________________________________

(Waner – Costenoble. Cálculo aplicado, segunda edición).

Te hemos presentado algunos ejemplos de aplicación, ahora haremos algunos ejemplos de ejercitación.

Ejemplo 10. Calcula la derivada de las funciones siguientes.a) f ( x )=x2(3 x5+5x2+3) b) f ( x )=(−2x4+5x+2 ) (x3+3x2−4 x+2 )

50

Solución: a) sabemos que la derivada de la función x2 es 2 x y que derivada de la función

3 x5+5 x2+3 es 15 x4+10 x , ahora empleando la regla para el producto de dos funciones se tiene que la derivada de la función es:

f ´ ( x )=2 x (3x5+5 x2+3 )+x2 (15 x4+10 x )

b) de la misma manera que el inciso a), derivamos a la función f .

f ´ ( x )=(−8 x3+5 ) (x3+3 x2−4 x+2 )+ (−2x4+5x+2 ) (3 x2+6 x−4 )

Cociente.

Hemos encontrado la regla que nos permite derivar al producto de dos funciones, ahora queremos encontrar una regla que nos permita derivar al cociente de dos funciones, con ese propósito, realicemos la actividad siguiente:

Actividad 8. Sean f y g dos funciones derivables en x, formemos el cociente de ellas y llamémosle y ,

de esta manera y= fg

. Queremos encontrar y´.

¿Cómo encontrarías el producto de dos funciones, con base en el cociente de ellas?

____________________________________________________________________________________

Con esta idea en mente, escribe el cociente y como un producto (despeja a la función f )

y= fg⇒ _________________________

Ahora, aplicamos la regla del producto a la función f así obtenemos:

f ´=¿______________________________

Como te debes de haber dado cuenta, en la derivada de la función f , aparece la derivada de la función y, así que sólo basta con despejarla y obtendremos la derivada del cociente de dos funciones, recuerda que la derivada de la función y , sólo debe estar en términos de las funciones f , g y f ´ , g´.

Escribe la derivada del cociente

y ´=( fg )´ (x )=¿ ______________________________________________________

Así hemos encontrado la regla para derivar el cociente de dos funciones que enunciaremos a continuación:

Sean f y g dos funciones derivables y g(x )≠0, entonces

'

2

( ) '( ) ( ) '( )( )( )

f g x f x f x g xxg g x

51

Ejemplo 11. Encuentra la derivada de la siguiente función y=2 x2−1

3 x+5

Solución: Para hacerlo, observa que en este caso f ( x )=2x2−1 y g ( x )=3 x+5, sus respectivas derivadas son; f ´ ( x )=4 x y g ´ ( x )=3. Aplicando la regla del cociente, se tiene

Ejemplo 12. Deriva la función f (x)= x−1x+1

Solución: Aplicando la fórmula encontrada se tiene

f ´ ( x )= ( x+1 )−( x−1 )( x+1 )2

= 2( x+1 )2

Actividad 9. Encuentra la derivada de las funciones siguientes:

a) f ( x )=5 x3+2x−1

x2+2x+3

b) f ( x )=6 x+82 x+5

c) f ( x )= 5+3 x4

3 x3−2 x2

De la cadena con funciones del tipo ( f (x))n con f (x) un polinomio.

Una vez que hemos deducido la regla para derivar el producto de dos funciones, es facil deducir otras reglas de derivación, como lo hicimos en la actividad 8, con la regla del cociente, por ejemplo, podemos encontrar la regla para derivar una función con un exponente entero positivo, por supuesto, después se generaliza para exponentes negativos y posteriormente para exponentes racionales, se dejan los exponentes irracionales para cursos más avanzados.

Iniciaremos con funciones explicitas y después lo haremos con funciones en general.

Actividad 10. Deriva la función f ( x )=( x3+5 x2+3 )2.

Escribe a la función f como el producto de dos funciones.

f ( x )=¿___________________________________________________

ahora aplica la regla del producto.

f ´ ( x )=¿ __________________________________________________

' 2

2 2

( ) '( ) ( ) '( ) (3 5)(4 ) (2 1)(3)( )( ) (3 5)

f g x f x f x g x x x xxg g x x

2 2 2

2 2

12 20 6 3 6 20 3(3 5) (3 5)

x x x x xx x

52

Como te habras percatado, los dos sumandos involucrados son el mismo, así que al sumarlos nos debe dar como resultado

f ´ ( x )=2 (x3+5 x2+3 ) (3 x2+10 x).

¿Qué observas? __________________________________________________________________

Actividad 11. Ahora deriva las funciones siguientes, empleando la manera en que se derivó la función en la actividad anterior.

a) f ( x )=(4 x3+2 x2+3 x−7 )2

b) f ( x )=(2x3−5 x2−9 )2

c) f ( x )=(3x5−2 x3+2x+1 )2

Solución:

a) f ´ ( x )=¿ ___________________________________________________________________

b) f ´ ( x )=¿ ___________________________________________________________________

c) f ´ ( x )=¿ ___________________________________________________________________

Actividad 12. Consideremos una función f derivable y consideremos a la función y ( x )=( f )2, queremos encontrar la derivada de esta nueva función y .

Escribe a la función y , como el producto de dos funciones.

y=¿ _________________________________

Ahora, aplica la regla de la derivada del producto de dos funciones.

y ´=¿ ________________________________

Como habrás observado, los dos sumandos son los mismos, así que súmalos y habrás encontrado la regla para derivar una función con exponente dos.

El resultado al que debes de llegar es y ´ ( x )=2 f ( x ) f ´ ( x ) .

Ejemplo 13. Calcula la derivada de una función h ( x )=( f (x))3.Solución: Escribimos a la función h ( x ) como h ( x )=( f ( x ) )2 f (x) el producto de dos funciones y posteriormente calculamos la derivada de ella.

Actividad 13. Con base en la actividad 12 y el ejemplo 13, conjetura la derivada de las funciones siguientes:

2 2(́ ) (( ( )) )´ ( ) (́ )( ( ))h x f x f x f x f x 22 (́ ) ( ) ( ) ( ( )) ( )f x f x f x f x f x

2 22( ( )) (́ ) ( ( )) ( )f x f x f x f x 23( ( )) (́ )f x f x

53

a) h ( x )=( f (x))4

b) h ( x )=( f (x))5

c) h ( x )=( f (x))6

d) h ( x )=( f (x))n donde n es un entero positivo.

Conjetura:

a) h ´ ( x )=¿ _______________________________________b) h ´ ( x )=¿ _______________________________________c) h ´ ( x )=¿ _______________________________________d) h ´ ( x )=¿ _______________________________________

Ejemplo 14. Deriva la función f ( x )=(3x4+5x2−4 x+2 )6 Solución: Aplicamos la regla encontrada y obtenemos

f ´ ( x )=8 (3x4+5 x2−4 x+2 )7 (12x3+10 x−4 )

Las funciones se pueden combinar, así se puede tener lo siguiente:

Ejemplo 15. Deriva la función: f ( x )=( x2−94 x+5 )4

Solución: Por la forma en que esta escrita la función, primero, debemos derivar a la potencia y después el cociente,

f ´ ( x )=4( x2−94 x+5 )3 (4 x+5 ) (2 x )−(x2−9 ) (4 )

(4 x+5 )2

¿4 ( x2−94 x+5 )3 4 x2+10 x+36

(4 x+5 )2

¿8 (x2−9 )3(2 x2+5x+18)

(4 x+5 )2

De la raíz.

En esta sección nuestro propósito es calcular la derivada de la raíz cuadrada de una función f , derivable, suponiendo que su raíz cuadrada tiene sentido.

Con esta intención en mente, realiza la actividad siguiente

Actividad 14. Supongamos que la función f , es derivable y positiva, calcula la derivada de y=√ f .

Solución: Para poder encontrar la derivada, una idea es, escribir la función en una de las formas en que conocemos a su derivada, así que una buena idea es; escribir a la función como una potencia, pero no con un exponente racional, ya que aún no sabemos derivar funciones con ese tipo de exponentes.

Escribe a la función y=√ f con un exponente entero ____________________________________

Ahora, deriva a la función escrita de esta manera y despeja a y ´.

54

y ´=¿

Ejemplo 16. Calcula la derivada de la función siguiente: f ( x )=√1−x2.Solución: Utilizando la regla de la raíz obtenemos

f ´ ( x )= −2 x2√1−x2

= −x√1−x2

Ejemplo 17. Deriva la función y=√100 x2+16Solución. Utilizando la regla de la raíz cuadrada

y ´ ( x )= 200 x2√100x2+16

= 100 x√100 x2+16

Estas reglas se pueden combinar y obtener la derivada de una gran variedad de funciones algebraicas.

Actividad 15. Encuentra la derivada de las funciones siguientes:

1 2. 3. 4.

Solución: Aplicamos las reglas de derivación que hemos encontrado.

1. j ´ ( x )=¿

2. j ´ ( x )=¿

3. m´ (x )=¿

4. k ´ ( x )=¿

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.Cálculo de tangentes.

Definición. Si T (a , f (a ) ) es un punto de la gráfica de una función f , entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto T es la recta que pasa por T y tiene pendiente m(a)dada por

siempre que el límite exista.

Ejemplo 18. Encuentra la pendiente de la función f , con regla de corespondencia f ( x )=−2x2+3 en el punto T (2,5).

Solución. Primero, debemos cerciorarnos que el punto este en la gráfica de la función, lo cual se puede verificar fácilmente. Una vez que lo hemos hecho, calcular la pendiente es sencillo lo hacemos de la manera siguiente. Usando la definición de m(a) para a=2, obtenemos

m (2 )=f ´ (2 )=−4 (2 )=−8

2 5( )2

xj xx

3 2( ) 5 2 3j x x x

129( )

9xm x

x

2 2 1( )1

x xk xx

( ) ( )( ) (́ )x a

f x f am a lim f ax a

55

Por lo tanto, la pendiente de la gráfica de la función f en el punto T (2,5) es m=−8.

Ejemplo 19. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola dada por la función f ( x )=x2−2x, en el punto T (1 ,−1).

Solución: Primero verificamos que el punto este sobre la gráfica de la función, evaluando el valor de la abscisa en la función y verificando que los valores coinciden, una vez que hemos realizado la comprobación calculamos la derivada de la función f ´ ( x )=2 x−2, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en el punto (1 ,−1) es m (1 )=f ´ (1 )=2 (1 )−2=0, usamos la ecuación de la recta en su forma punto pendiente, y+1=0 ( x−1 )=0 por lo tanto la ecuación de la recta esta dada por y=−1.

Ejemplo 20. Encuentre las coordenadas del segundo punto donde la tangente cruza a la curva dada por la función f ( x )=x3 en el punto (−1 ,−1).

Solución: Primero, calculemos la ecuación de la recta tangente en el punto dado, con este propósito calculemos la pendiente general en cualquier punto de la función; f ´ ( x )=3 x2, en particular en el punto (−1 ,−1), la pendiente es m (−1 )=3(−1)2=3,

empleamos la ecuación punto pendiente para obtener la ecuación de la recta

y+1=3 (x+1) o y=3 x+2,

para encontrar las coordenadas del punto de intersección igualamos las funciones de la curva con la recta, así obtenemos

x3=3 x+2

Para encontrar sus raíces, resolvemos la ecuación resultante.

x3−3 x−2= (x−2 ) (x2+2 x+1 )=( x−2 ) ( x+1 )2=0

el segundo factor no puede ser cero, así la única solución es x=2, y la ordenada es y=23=8, por lo que el punto de intersección es (2,8).

Ejemplo 21. Encuentre el punto P en la gráfica de la función f dada por f ( x )=x3 tal que la intersección de la recta tangente en P corte al eje de las abscisas en 4.

Solución. Supongamos que el punto P tiene coordenadas (a ,a3) y que la recta tangente en P es como la que se muestra en la figura

4

y

x

( , ( ))P a f a

56

Primero, determinemos la pendiente general de la recta tangente, esta es: m (x )=3x2, de manera que la ecuación de la recta tangente que pasa por los puntos (a .a3) y (4,0) es

a3−0=3a2(a−4 )simplificando la ecuación, se tiene

a3=3a3−12a2⟹2a3−12a2=2a2 (a−6 )=0

De esta manera las raíces son a=0 o a=6.

El punto pedido es P=P (6,216).

Cálculo de velocidades.

SI un móvil se desplaza por una recta, hablamos de movimiento rectilíneo y se puede usar una recta horizontal (o vertical) con un origen designado como recta de movimiento. El movimiento hacia la derecha se considera en dirección positiva y hacia la izquierda negativa.

La función s que da la posición (respecto del origen) del móvil como una función del tiempo t se llama función de posición. Si sobre un cierto lapso de tiempo ∆ t , el objeto cambia su posición una cantidad

∆ s=s (t+∆ t )−s (t) Cambio en distancia

entonces la velocidad promedio en este período es

velocidad promedio¿ vp=desplazamiento

tiempo =s (t+∆ t )−s (t)

∆ t.

Supongamos ahora que calculamos las velocidades promedio sobre intervalos [ t , t+∆ t ] más y más cortos. En otras palabras, hagamos que ∆ t tienda a 0, de esta manera obtenemos la velocidad instantánea del objeto, como lo hicimos notar en la unidad 2.

Ejemplo 22. Desde lo alto de un edificio de 125m se deja caer una pelota y está cae verticalmente hacia el suelo. Después de t segundos la pelota habrá caído una distancia de s ( t )=4.9 t 2 metros.a) ¿Cuánto tiempo le toma a la pelota en tocar el suelo?b) ¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota durante el tiempo que cae?c) ¿Cuál es la velocidad de la pelota exactamente a los 2 segundos?

Solución: (a) Como el edificio mide 125m, la pelota tocará el suelo en el instante t cuando s ( t )=125, es decir,

4.9 t 2=125.resolviendo la ecuación se tiene

t=√ 1254.9 ≈5.05 segundosLa pelota tarda aproximadamente 5 segundos para tocar el suelo.

b) una vez que hemos calculado el tiempo que tarda en caer, se calcula su velocidad promedio.

57

velocidad promedio ¿ vp=∆s∆t

≈ 1255

=25ms

Por lo tanto, la velocidad promedio durante el tiempo que cae es aproximadamente a 25 ms

.

c) Su velocidad instantánea a los dos segundos es:

v (2 )=s ´ (2 )=9.8 (2 )=19.6 ms

Ejemplo 23. La ecuación del movimiento s ( t )=4 t3+6 t+2 denota el desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta. En dicha expresión, t se mide en segundos. Encuentre la velocidad de la partícula en los instantes t=1 , t=2 y t=3.

Solución: Sabemos que la velocidad instantánea se encuentra derivando la función, primero derivemos a la función

v ( t )=s ´ (t )=12t 2+6

Basta ahora con evaluar a la velocidad en los tiempos pedidos.

v (1 )=12(1)2+6=18ms, v (2 )=12(2)2+6=54 m

s y v (3 )=12(3)2+6=114 ms

Ejemplo 24. Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación.

s (t )=2 t3−4 t 2+2t−1

Determina en que tiempo la velocidad instantánea es cero.

Solución: la derivada de la función (velocidad) es

s ´ (t )=6 t2−8 t+2=2(3 t−1)(t−1)

La velocidad es cero cuando t=1 y t=13

.

58

59