Matematicas1_clase1_1pp

Universidad San SebastiánFacultad de Ciencia

MATEMÁTICAS I

Profesor: Marcelo C. Gálvez García Huidobro

Primer Semestre 2015

1.1. Sistema de Números Reales

• Conjuntos numéricos.

Son, en términos generales, una manera declasificación de los números existentes.

Estos números son agrupados según suspropiedades o características, y es muyimportante notar que son conjuntos que notienen límite en la cantidad de elementos, esdecir, cada conjunto posee “infinitos”elementos.


A continuación se enumerarán y describiránlos principales conjuntos numéricos.

a) Números Naturales: son los números que sonsiempre enteros y positivos, además dedistinto de cero y se representan por la letraN.

Estos números son del tipo {1, 2, 3, 4, 5, … ,100, 101, 102,… }, por nombrar algunos.


b) Números Enteros: Estos números estánconformados por todos los números enteros(tanto negativos como positivos) e incluyen elcero. Son representados por la letra Z.

Estos números son {… , -111,-110, -109, … , -4, -3, -2. -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … , 112, 113, 114,… }

Es importante notar que los números enterosZ contienen a los números naturales N.


Se puede decir que los números enteros Z esun conjunto numérico más grande que losnúmeros naturales N, pero no podemosafirmar que los números enteros tenga máselementos que los números naturales, ya quecomo se ha mencionado, ambos conjuntoscuentan con una cantidad “infinita” deelementos.


c) Números racionales: son números los cualespueden ser definidos o escritos como p/q,con “p” y “q” enteros. Este conjunto srepresenta con la letra Q.

Algunos ejemplos de números racionales son,todos los números naturales N, todos losnúmeros enteros Z, 1/5, -8/17, 0.33333,1.66666, -3.75, 0.000001, entre otros.


Es importante considerar que:

• Cualquier número decimal, con una cantidadfinita (contable) de dígitos es racional.

• Cualquier número decimal, cuyos decimal serepitan continuamente (decimales periódicos), esracional.

• Los números enteros Z, y por ende, los númerosnaturales N, están “contenidos” dentro delconjunto de los números racionales.


d) Números Irracionales: se representan con laletra I y son los números que no pertenecenal conjunto de los números racionales, esdecir, que no pueden ser escritos o definidoscomo “p/q”, con “p” y “q” ambos númerosenteros.

Algunos números irracionales son , ,

, ≈ 3.141592653… , el número exponencial “e” ≈ 2.718281828459…, etc.

2

7

3


Para los números irracionales se tiene que:

• Los números irracionales no contiene a ningúnnúmero del conjunto de los númerosracionales, y por ende a ningún número de losconjuntos de los números enteros Z, ninaturales N.

• Los números irracionales siempre tendrán unacantidad interminable (infinita) de decimales,los cuales no son repetitivos o periódicos.


Los números reales, denotados por la letra R,constituye toda la recta numérica, en la cualestán contenidos todos los conjuntosnuméricos (a excepción de los númeroscomplejos) como N , Z , Q e I.

También se puede concluir los números realesR se conforman por la unión (o suma) de losconjuntos de los números racionales Q, eirracionales I.


Por lo tanto, el conjunto de los númerosracionales puede ser definido también como:

Q = R – I

Por ende, el conjunto de los númerosirracionales también se puede definir como:

I = R – Q


• Gráficamente los conjuntos numéricos en los reales se pueden representar de la siguiente manera:


• Ejercicio: Identifique a cual(es) conjunto(s)numérico(s) pertenecen los siguientesnúmeros:

i. 33,5 v. π/e

ii. 7,454545 vi. 675,878945…

iii. -3 vii. -3/5

iv. 7 viii. -1.33333333


• Propiedades de la Adición y Multiplicación en R.- Propiedades de la Suma:

i) Conmutatividad:Se refiere principalmente que el orden de los números (sumandos) dentro de la operación suma no altera su resultado.

Sean “a” y “b” dos números reales cualquiera siempre se cumple que:

a + b = b + a


ii) Asociatividad:

Sean “a”, “b” y “c” tres números realescualquiera, siempre se cumplirá que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Obs: en álgebra siempre las primeras operacionesa resolver son los paréntesis, además sedesarrollan desde adentro hacia afuera.


• Ejemplos:Asociatividad: (2+3)+4 = 2+(3+4)

5 + 4 = 2 + 79 = 9

Resolución de paréntesis:

(1 + (7 + 8 + (3 + 4)) +2)(1 + (7 + 8 + 7) + 2)

(1 + 22 + 2)25


iii) Existencia de Elemento Neutro:

Existe un elemento dentro de la suma, el cualcomo sumando dentro de la operación entregacomo resultado el otro sumando que no es elelemento neutro. Este elemento neutro es el cero(0). Esto es:

Sea “a” un número real cualquiera, siempre secumple que:

a + 0 = a


iv) Existencia de Elemento Inverso:

Existe un elemento inverso para cada númeroreal, el cual al ser sumado con dicho número,da como resultado el neutro aditivo (cero).Este elemento inverso es el número real perocon signo contrario. Esto es:

Sea “a” un número real cualquiera, se tiene que:

a + inv. = 0 → inv. = -a, tal que: a + (-a) = 0


• Ejemplos:

a) 7 + (3 + 4 + 5) = (7 + 3 + 4) + 5

b) 7 + (3 + 4 + 5) = (3 + 4 + 5) + 7

c) 8 + 0 = 8

d) (8 + 7) + 0 = (7 + 8)

e) (8 + 7) + 0 = 8 + (7 + 0)

f) 15 + (-15) = 0

g) (3 + (7 + 5))+((-15)+0) = (3 + (5 + 7))+(0+(-15))= 0


- Propiedades de la Multiplicación:i) Conmutativa:

Esto quiere decir que el orden que tengan losnúmeros que se están multiplicando(denominados factores), no alteran el resultadode la multiplicación (denominado producto). Estoes:Sean “a” y “b” dos números reales cualquiera, setiene siempre que:

a · b = b · a


ii) Asociativa:

Significa que no importa como se distribuya elparéntesis dentro de los factores, esto noaltera el producto. Vale decir:

Sean “a”, “b” y “c” tres números realescualquiera, siempre se tendrá que:

(a · b) · c = a · (b · c)


iii) Distributiva (con respecto a la suma):

Esta propiedad nos dice que cuando un númeroreal está multiplicando una suma de dos o máselementos, dicho número multiplica a cadaelemento dentro de la suma.

Sean “a”, “b” y “c” tres números reales, siemprese cumplirá que:

a · (b + c) = a · b + a · c


iv) Existencia de Elemento Neutro:

Existe un elemento neutro, el cual al sermultiplicado (o multiplicar) por undeterminado número “a”, se obtiene comoproducto (o resultado) el número que no es elelemento neutro (a). Este elemento neutro esel número uno (1).

Sea “a” un número real, siempre se cumpleque:

a · 1 = a


v) Existencia de Elemento Inverso:

Existe un elemento inverso tal que simultiplica a un determinado factor, se obtienecomo producto el elemento neutro uno (1).

Este elemento inverso corresponde elrecíproco del otro factor. Entonces:

a · inv. = 1 → inv. = 1/a , tal que: a · 1/a = 1


• Ejemplos:

a) 3 · (4 + 5 + 6) =

b) (5 · 6) · 7 = 5 · (6 · 7)

c) (7 · 8) · (1 + 3 + 4 + 5) =

d) (7 · 8) · (1 + 3 + 4 + 5) · (1/56) =

e) (7 · 8) · (1 + 3 + 4 + 5) · (1/13) =

f) (7 · 8) · (1 + 3 + 4 + 5) · (1/728) =

g) (7 · 8) · (1 + 3 + 4 + 5) · 1 =


• Propiedades de los números negativos y de laresta.

Los números reales, generalmente, sonrepresentados mediante la recta numérica, lacual es una línea horizontal a la cual se le asignaun origen, siendo este origen el número cero.

Todo lo que se encuentre hacia la derecha delorigen (cero) se considera como número positivo,y todo lo que se encuentre hacia la izquierda delorigen es considerado como número negativo.


Gráficamente será lo siguiente:

Por convención se tiene que la recta numéricaavanza hacia la derecha, sin embargo en lagráfica se muestran dos direcciones paraindicar que existen números hacia amboslados de la recta.


• La Resta.

La resta no es más que una abreviación de lasuma pero con números negativos, por lotanto, se tiene que:

Sean “a” y “b” dos números reales positivos,se cumple que:

a + (- b) = a – b


• Propiedades: Sean “a” y “b” dos números realespositivos:

a. a – (- b) = a + bb. (- 1) · a = - ac. a · (- b) = (- a) · b = - (a · b)d. (- a) · (- b) = (a) · (b) = (a · b)

De estos cuatro puntos se llega a la conclusión de que lamultiplicación entre dos números del mismo signo(ambos positivos o ambos negativos) generan unproducto de signo positivo, en cambio, la multiplicaciónentre dos números con signos distintos (uno negativo yotro positivo) generan un producto de signo negativo.


• Ejemplos:

a) 2 + (-4) – 6 + 8 – (-10) =

b) -3 · (-1) · 7 · (-4) · (-1) =

c) (3 · -7) · (3 + 2 -15) · (-1) =

d) (3·a + 5·a) · (-14b + 7b) =

e) - (7b – 4b · (b – 3b) + 8·(5b + 4b) – 6b) =

f) Sea m=-2 y n=-3, calcule:

m·n – 2n + 4m – 7n·(5n – 6) – 4mn·(-2) =


• Fracciones.

Una fracción consta de dos elementos: unnumerador o dividendo, que es lo que se encuentraarriba de la fracción, y un denominador o divisor quese encuentra “abajo” de la fracción, el resultado,expresado como un solo número se denominacociente.

cocientedivisor

dividendo

adordeno

numerador

min


El numerador representa el entero o el total, eldenominador es la cantidad a dividir el total(numerador), por lo tanto el denominadorrepresenta la cantidad de partes iguales que seobtendrán del total.

Una fracción también representa una divisiónentre dos números, por lo tanto, sean “a” y “b”dos números reales, se cumplirá siempre que:

. bab

a:


Una fracción también representa una razón oproporción entre dos números.

Algunas representaciones gráficas defracciones son las siguientes:


También se tiene que las fracciones se pueden clasificar en:Fracciones Propias: es cuando su denominador es

mayor que el numerador, por lo que su valor como cociente está entre cero y uno, por ejemplo 2/5.Fracciones Impropias: son las fracciones cuyo

numerador es mayor que el denominador, por lo que su valor como cociente es siempre mayor a uno, por ejemplo 5/2.Fracciones Mixtas: fracciones que están compuestas

por una parte entera y otra fraccionaria del tipo propia, por ejemplo: 32/5.


• Propiedades de la Suma y el Producto de Fracciones.

- Suma de Fracciones: para sumar fracciones de formamuy general se busca un denominador o divisor comúnque puede ser obtenido mediante la multiplicación detodos los denominadores de la suma (o resta), luego seprocede construir el numerador mediante la suma (oresta si se diera el caso) de los numeradores originalesde cada fracción, multiplicada por la cantidad de vecesen que está contenido el denominador de esa fracciónen el denominador común (esto no es más que ladivisión entre el denominador común de la suma y eldenominador de la fracción.


Para el caso de dos fracciones:

Para el caso de tres fracciones:

¿Para el caso de “n” fracciones?, ¿denominadoresiguales?

db

bcda

d

c

b

a

fdb

dbefbcfda

f

e

d

c

b

a

)()()(


• Ejemplos:

a) d)

b) e)

c)

7

8

5

3

2

1

5

2

3

4

2

1

5

2

3

4

7

8

5

3

2

13

3

12

2

13

3

12


- Multiplicación de fracciones: para resolveruna multiplicación de fracciones, se obtieneun denominador común que no es más que elproducto o la multiplicación de todos losdenominadores de las fracciones que se estánmultiplicando. De la misma forma se obtieneun numerador común que es la multiplicacióno el producto de todos los numeradores queparticipan en la multiplicación.


Para el caso de dos fracciones:

Para el caso de tres fracciones:

¿Para el caso de “n” fracciones?

db

ca

d

c

b

a

fdb

eca

f

e

d

c

b

a


• Ejemplos:

a) d)

b) e)

c) f)

6

5

4

3

7

8

6

5

4

3

28

24

3

4

8

7

2

13

3

12

2

13

3

12

2

13:

3

12


• Ejercicios:

a) e)

b) f)

c)

d)

5

6

4

7

2

1

5

3

5

6

4

7

2

1

3

1

2

7

2

5

2

3

4

1

3

1

2

1

2

1

2

5

2

3

4

3

3

2

2

1

2

7:

2

5

2

3

4

1:

3

1

2

1

2

7

2

5

2

3:

4

1

3

1

2

1

1.2. Recta de Números Reales

La recta en los números reales, como ya se ha mencionado, contiene a todos los elementos de los conjuntos numéricos que existen en los reales.


• Mayor que, Menor que.

Como ya se mencionó con anterioridad, la rectanumérica en los reales experimenta un ordenascendente o creciente a medida en que seavanza hacia la derecha, por lo tanto se puedeafirmar que todo número que se encuentre a laderecha de otro en la recta numérica, como ya seha definido, es mayor.

De manera análoga se afirma que todo númeroque se encuentra a la izquierda de otro es menor.


Sean “a” y “b” dos números reales cualquiera y distintos, se tiene que:

a) Si “a” es mayor que “b” se escribe de la forma a > b.

b) Si “a” es menor que “b” se escribe de la forma a < b.


También existe el concepto de igual cuyosímbolo corresponde a “ = “, y que indica queambos números, “a” y “b” tienen el mismovalor, esto es a = b, pero la igualdad, así comolos conceptos de mayor o menor que, tieneaplicaciones que no son tan evidentes comoson las ecuaciones, las cuales vienenrepresentadas con una o más incógnitas quehabrá que despejar y también evaluar.


• Ejemplo: sean a = 0, b = 1, c = -3/8, d = e(exponencial), f = π y e = -3π. Ordene estosnúmeros de forma creciente e indique susposiciones en la recta numérica.

• Ordene de mayor a menor las siguientesfracciones: a) , b) , c) , d) , e)

f)5

32

4

13

5

3

5

2

2

11

3

3


• Desigualdades.

Es la manera en que se relacionan dosnúmeros o valores, que pueden ser elproducto o resultado de varias operacionesalgebraicas.

Valga la redundancia, la desigualdad no es unigualdad, por lo que se está afirmando queambos números o valores son distintos,siendo siempre uno mayor o menor que elotro.


• Ley de Tricotomía.

Sean “a” y “b” dos números reales cualquiera, se tiene siempre que se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

i) a > b

ii) a < b

iii) a = b


• Propiedad Transitiva.

Esta propiedad hace referencia cuando unelemento está relacionado con otro, y esteotro está relacionado con un tercero, el primerelemento está relacionado con el tercero.

Ejemplos: Si a > b y b > c , entonces a > c .

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a = b y b = c , entonces a = c .


• Ejemplos: Calcular el(los) valor(es) de “x” y graficar la solución en la recta numérica.

a) 3x-5=4

b) 3-2x=5x-9

c) 3x-7≤5

d) 3x-7>5

e) 2(x-3)=3(x+2)-5(x+4)

f) 15

2

34

xx


• Valor Absoluto.El valor absoluto de un número, tambiénconocido como módulo en el campo de la física,representa la distancia que existe desde el origen(cero) hasta dicho número (independiente si espositivo o negativo), y siempre es un valorpositivo, por ejemplo el valor absoluto de -7 y 7es 7 ya que el número -7 recorre una “distancia”de 7 unidades hacia la izquierda del origen, y elnúmero 7 recorre una “distancia” de 7 unidadeshacia la derecha del origen.


• Definición de Valor Absoluto.

Sea “a” un número real, el valor absoluto de “a”, representado por |a| será:

i) |a| = a , si a > 0 o a = 0 (a ≥ 0)

ii) |a| = -a , si a < 0

Definición Alternativa:

2aa


• Propiedades de Valor Absoluto.

i) vi)

ii)

iii)

iv) ,con b ≠ 0

v)

0a

00 aa

baba

baba

b

a

b

a

aa


• Valor Absoluto en Inecuaciones (con b > 0).

i) Ejercicio:

ii) Graficar los 4 casosen la recta numérica.

iii)

iv)

bxbbx

bxbbx

bxbxbx

bxbxbx


• Ejercicios: ordene de menor a mayor las siguientes expresiones:

a) |-3| f) |-7·(5 + 8) + 2|

b) -5,34 g) |7·(5 + 8) + 2|

c) 4/7 h) 94

d) |-7·(5 + 8) – 2| i) 92

e) |7·(5 + 8) – 2| j) – 95


Resolver para que valores de “x” se satisface:

a) |x+3|=7

b) |x-3|=7

c) -3=8x-|9x+4|

d) |5x-3|<2

e) |5+2x|≥3

f) |3x-2|+|5x+4|-20=0

g) |3x-2|+|5x+4|-20>0

h) |3x-2|+|5x+4|-20<0

1.3. Exponentes Enteros

• Definición de Base y Exponente.

Los exponentes enteros también sedenominan potencias, y son una abreviaciónde la multiplicación:

Donde “a” es la base y “n” es el exponente

n

vecesn

aaaaa _""

...


• Leyes y Propiedades de los Exponentes.

i) , con a≠0 vii)

ii) , con a≠0 viii)

iii)

Obs:

iv)

v)

vi)

10 a

aa 1

n

n

aa

1

mnmn aaa

mnmn aaa :

nnn baba )(

nnn baba ):(: mnmn aa )(

nn

a

b

b

a


Ejemplos: Expresar en términos de base yexponente.a)

b)

c) f)

d) g)

e) h)

2

1

2

1

2

1

2

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

)7(:5

2

4

3 734 xxx

934 75

3

4

3xxx )3(:))2(:( 2221 ppp mmm

xx

a

b

b

a

2

3

):(:))4(:( 8743 yyyy

aaaa xyyx )()( 321


• Notación Científica.

Es una notación que se utiliza muy a menudoen el campo de la física y la química pararepresentar de una forma más abreviada,números que son, en términos de magnitud,demasiado grandes o demasiado pequeños.

En notación científica se utiliza una potenciacon base 10 para abreviar los decimales o lascantidades grandes.


La notación científica puede ser resumida dela siguiente manera:

Donde “a” es el coeficiente y es un númeroreal mayor o igual que 1 y menor que 10, obien, menor o igual que -1 y mayor que -10.

“n” es el exponente y es un número entero(pudiendo ser positivo o negativo).

na 10


Ejemplos:

a) Número de Avogadro (NA):

b) Constante de Coulomb (Ke):

c) Permitividad del Vacío (ε0):

12310022,6 mol

229229 10910987,8 CmNCmN

mF 121085,8


Existen además diferentes clasificaciones paralos exponentes con múltiplo de 3 y base 10,entre estas están:

3101_1 Kkilo6101_1 Mmega

12101_1 Ttera

9101_1 Ggiga

3101_1 mmili6101_1 micro

9101_1 nnano12101_1 ppico


• Ejercicios: Escribir como notación científica lassiguientes expresiones:

a) 27:100000 = d) 778543,12 =

b) e) 77854312 =

c) 9 · 15000 = f) -0,00000358 =

000.10

34,78

1.4. Radicales

• Definición de Radical, índice del Radical yRadicando.La expresión de radical hace referencia a lo quecomúnmente se conoce como raíces, y serepresentan de la siguiente manera:

Donde: “n” es el índice del radical o raíz, tambiénconocido como la raíz n-ésima, y “a” es elradicando o cantidad sub-radical.

abba nn

1.4. Radicales

Es muy importante resaltar de que lo radicalesson aquellas raíces que no representannúmeros racionales y enteros, por ejemplo:

Ya que los resultados o la equivalencia dedichas raíces son iguales a 4, 3, 9, 3, 2, 1/2,2/3 respectivamente. Por lo tanto, un radicalsiempre representa un número irracional.

9

4,

32

1,16,27,81,9,4 543

1.4. Radicales

• Leyes y propiedades de los Radicales.

i) , con a ≠ 0

ii)

iii) , con b ≠ 0

iv)

aa 1

nnn baba

nnnn

b

ababa ::

mnn m aa

1.4. Radicales

• Observaciones:

a) Si a < 0, es decir, negativo y “n” es impar,entonces es un número real.

b) Si a < 0, es decir, negativo y “n” es par,entonces no es un número real yrepresenta un número imaginario (y por endetambién complejo).

n a

n a

1.4. Radicales

• Ejemplos: Determinar el valor de las siguientes raíces:

1) 7)

2) 8)

3) 9)

4)

5) 10)

6) 11)

25

3 64

3 1000

4 2563 216

3 27

49

81

3 000.8

5

32

1

4

81

16

16,0

1.4. Radicales

• Racionalización de los Radicales.

Como se ha visto con anterioridad, muchos delos números irracionales corresponden araíces, como por ejemplo:

, etc. La racionalización se entiende comoconvertir un número irracional en unoracional.

La racionalización se aplica al denominador deuna fracción cuando es irracional.

73 21,5,11,3,2

1.4. Radicales

• Ejemplos de racionalización:

a) Denominador irracional monomio:

b) Denominador irracional binomio de índice 2:

b

bA

b

b

b

A

b

A n pn

n pn

n pn

n pn p

ba

baA

ba

ba

ba

A

ba

A

1.4. Radicales

• Ejercicios:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

9)

4) 10)

5)

aa 11

22225 cba

12

664

b

a

3 33125 yx

5 2532m

623 aa

4 64 74 3 7052 xxx

23224 xx

ababba :

555 3

1.4. Radicales

• Racionalizar:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

3 3

3

ab

ba

a

a

23

5

3553

5

7 43ba

ab

6 5ba

ba

3553

5

6 nm

nm

1.5. Exponentes Racionales y sus Leyes

• Definición de Exponentes Racionales.

Recordando que la definición de un númeroracional es todo número que se puede escribiro representar de la forma “p/q”, con “p” y “q”enteros, por lo tanto un exponente racional,es un exponente que se representa de laforma:

m

n

m n aa


• Leyes de Exponentes Racionales.

Son las mismas que fueron enunciadas paralos exponentes con anterioridad, solo queahora los exponentes son expresados comofracciones racionales.



i) , con a≠0 iv)

ii) , con a≠0 v)

iii) vi)

1

0

ma

aa n

n

m

nm

n

a

a1

m

n

m

n

m

n

baba )(

q

p

m

n

q

p

m

n

aaa

m

n

m

n

m

n

baba ):(:



vii)

Obs:

viii) qm

pn

q

p

m

n

aa

)(

m

n

m

n

a

b

b

a

q

p

m

n

q

p

m

n

aaa

:


• Raíces Expresadas como Exponentes.

La raíces es lo que principalmente les da elcarácter fraccionario a los exponentesracionales, ya que siempre el índice de la raízse expresa en el denominador del exponente.Esto es:

nn aa

1


• Ejercicios: Exprese como exponente racional y, de ser posible, reduzca las siguientes expresiones:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

2 39

32 9

43125 ba

5 3 53ba

2

7 3 52

yx

6 18126 zyx

4 12481 qp

2

46

3

81

16

q

p

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