Presentacin de los programas de Matemticas

Damos a conocer aqu los programas, que son una modificacin del vigente, que es producto de un proceso de evaluacin del plan de estudios del Bachillerato Ge-neral. El proceso integr las valoraciones y experiencias planteadas por los profe-sores de Matemticas en propuestas dadas a conocer por escrito; los acuerdos tomados en el taller citado con este propsito y del resultado de la aplicacin de encuestas diseadas para evaluar la operacin de los programas de asignatura.

En la presentacin particular de cada asignatura decimos, al detalle, qu fue modi-ficado y porqu. Las matemticas constituyen una lnea de formacin del indivi-duo, que est presente a lo largo de todos los niveles educativos y con una estre-cha vinculacin entre grados sucesivos. Las asignaturas de Matemticas son cua-tro, que componen la formacin esencial en el rea de Matemticas de un bachi-ller.

Contribuye sta, adems, a crear el marco terico de la fsica y es una herramien-ta fundamental para el desarrollo de esta ciencia, as como de otras disciplinas cientficas y tcnicas, como la qumica, la biologa y, actualmente, la economa, asignaturas que se incluyen en el plan de estudios del Bachillerato. La enseanza de las matemticas en el nivel bachillerato tiene como propsitos importantes:

Desarrollar en los estudiantes nociones y conceptos que les sean tiles para comprender su entorno y acceder a otras reas del conocimiento y la actividad humana.

Proporcionar un conjunto de procedimientos y formas de pensamiento propias del razonamiento lgico; en particular del inductivo-deductivo, indispensable en la comprensin y aplicacin de los diferentes mtodos y conceptos matemti-cos.

Que el estudiante adquiera habilidades de abstraccin, de anlisis y de snte-sis, al igual que capacidades para desglosar y sistematizar ideas y mtodos.

Desarrollar la capacidad del estudiante para explorar y buscar soluciones a problemas, a travs del dominio del lenguaje de la matemtica y de los mode-los que esta disciplina desarrolla.

Que el estudiante desarrolle aptitudes para comunicar y justificar sus afirma-ciones.

Los temas para las asignaturas del rea de Matemticas estn presentadas por ramas de la materia y en la secuencia en que se mencionan plantea un orden para su enseanza; sin embargo, ste no es absoluto, algunas ramas se retoman expl-citamente a lo largo de varios semestres, con el objetivo de madurar ciertos aspec-tos que requieren de periodos largos para ser asimiladas.

La aritmtica: el clculo numrico, las propiedades de los nmeros y sus opera-ciones - en general-, son el objeto de estudio de la aritmtica. Aunque esta rama se estudia desde los niveles escolares elementales, en el nivel bachillerato se pre-tende desarrollar una visin ms profunda de ella y consolidar el significado y el

uso pertinente de las operaciones, as como sus propiedades, en la solucin de problemas.

La probabilidad y estadstica: el azar nos envuelve, aparece en todas partes, en el juego de lotera, en la determinacin del sexo del hijo, en los pronsticos del clima; en fin, muchos aspectos de la vida cotidiana estn rodeados de incertidumbre. Hoy se acepta que no lo podemos saber todo y, por tanto, tampoco podemos pre-verlo todo, pero el estudio de la probabilidad nos permite determinar el grado de certeza de la ocurrencia de ciertos fenmenos. Complementariamente, la estads-tica trata de manejar la informacin de manera tal, que posibilite, ya sea por medio de grficas o de indicadores numricos, tener una idea precisa del comportamien-to de ciertas poblaciones o fenmenos con finalidades tanto descriptivas como de prediccin.

El lgebra: el lenguaje algebraico constituido por nmeros y smbolos. stos lti-mos, que representan una cantidad a determinar, una variable o nmeros genera-lizados, y la manipulacin de ese lenguaje algebraico para la solucin de proble-mas, constituyen la finalidad principal de la enseanza del lgebra. Se pretende que se desarrollen a la par y, complementariamente, habilidades para la represen-tacin generalizada de situaciones concretas o, dicho de otro modo, la traduccin al lenguaje algebraico de problemas planteados en prosa. Tambin, habilidades de manejo algebraico, como operaciones, solucin de ecuaciones, productos no-tables y factorizacin, etc. Esta formacin es bsica para emprender cualquier es-tudio cientfico, dado que el lgebra favorece la organizacin y manipulacin de conceptos abstractos y permite modelar situaciones, por ejemplo, de la fsica o qumica, como el clculo de velocidades, aceleracin, cada libre, presin, etcte-ra. A partir de estos modelos se resuelven problemas, se plantean hiptesis, se hacen predicciones.

La geometra euclidiana: el hecho de ser los elementos fsicos y el espacio los re-ferentes inmediatos donde se verifican los resultados de la geometra, permite que sta sea un campo frtil para el desarrollo del pensamiento lgico y la formaliza-cin. La geometra puede constituir un medio de transicin entre lo concreto y lo abstracto, que favorezca el desarrollo de la capacidad de abstraccin en los alum-nos, as como que desarrollen su imaginacion espacial, sus habilidades para el dibujo y la construccin geomtrica, su creatividad, y se inicie en el pensamiento deductivo.

La trigonometra es uno de los temas de la geometra elemental ms aplicable en la solucin de problemas de medicin y de problemas diversos de la tecnologa actual, es requisito indispensable para el estudio de la gran mayora de las carre-ras tcnicas y cientficas, por lo que es importante su presencia en los planes de estudio del Bachillerato. La geometra analtica: esta rama de las matemticas est ligada a la fsica y a otras reas del conocimiento. Es antecedente, tanto a nivel formativo como histri-co, del clculo diferencial e integral. En ella se relacionan el lgebra y la geome-tra, a partir del mtodo de coordenadas. Las propiedades, como distancia, parale-

lismo, etctera, de los elementos geomtricos como puntos, lineas y figuras, ad-quieren, por el mtodo de coordenadas, una representacin algebraica simblica. Las figuras y sus propiedades geomtricas se expresan por medio de ecuaciones, desigualdades o sistemas, lo que nos permite llevar problemas geomtricos a ope-raciones algebraicas y clculo aritmtico, demostrar teoremas geomtricos me-diante el lgebra. Por otro lado, dada una expresin algebraica, es posible estu-diarla a travs de su interpretacin geomtrica.

El clculo diferencial e integral. Esta rama integra y potencia los conocimientos matemticos adquiridos en la formacin anterior, su estudio es deseable para los alumnos que pretenden continuar sus estudios universitarios, pero no se plantea como materia obligatoria. El clculo permite construir modelos de fenmenos que cambian en el tiempo, es por ello que sus aplicaciones se extienden a muchos mbitos del conocimiento, desde los ms naturales (la fsica y la qumica) hasta los que no se podan considerar afines, como la lingstica y la sociologa, como tambin la economa, la epidemiologa y la biologa.

La siguiente es una tabla que ubica la presencia de las distintas ramas de las ma-temticas en los diferentes semestres. La distribucin de los temas y conceptos especficos que se deben ver en cada semestre la determinan los programas del curso respectivo. Las asignaturas de Matemticas en los primeros cuatro semes-tres son obligatorias, las de quinto y sexto son optativas, fundamentalmente para los alumnos que pretenden continuar sus estudios en el rea de Ciencias Exactas e Ingeniera.

Asignatura/ materia

Matemticas I

Matemticas II

Matemticas III

Matemticas IV

Taller de Estrategias

para la resolucin de proble-

mas

Introduccin al Clculo

Aritmtica ? ? ? ? ? ?

lgebra ? ? ? ? ? ?

Trigonometra ? ? ? ? ? ?

Geometra Euclidiana

? ? ? ?

Geometra Anlitica

? ? ?

Probabilidad y Estadsti-

ca

? ? ? ?

Clculo Dif e Integral

?

Figura 1. El punto indica la presencia explcita como tema de estudio en la asignatura de la columna correspondiente. El punto hueco denota la presencia implcita de la materia, que se utiliza y se profundiza, pero no es el tema explcito de estudio. La primera asignatura establece el enlace entre el nivel de secundaria y el inicio de una etapa que debe avanzar, en cuanto al grado de profundidad, de abstrac-cin y de generalizacin del conocimiento matemtico y abarca los temas de arit-mtica y el inicio del lgebra, que se extiende hasta la segunda asignatura. Ade-ms, en estas primeras dos asignaturas se tratan los temas de probabilidad y es-tadstica. Las asignaturas para el tercero y cuarto semestres se enfocan a la geo-metra y a la trigonometra, aunque sta ltima es tambin un tema considerado de manera introductoria en las dos asignaturas iniciales. En la tercera el enfoque es el llamado sinttico o euclidiano, y en el cuarto es analtico o cartesiano. Por ltimo, se formularon dos asignaturas optativas enfocadas a retomar el conoci-miento alcanzado en los cursos obligatorios: el Taller de estrategias para la solu-cin de problemas y la Introduccin al clculo.

Orientaciones metodolgicas

Enlistar las materias y sus temas no es una tarea difcil, ensearlo a los alumnos es un problema interesante, con muchas soluciones posibles, aunque a veces re-sulta muy difcil cubrir de manera exhaustiva todos los temas de un plan de estu-dios. Ante tal situacin, pensamos que, por una parte, los alumnos tienen que sa-ber algunos conceptos de matemticas y, an ms importante, poder aplicar estos conocimientos a situaciones problemticas. Pero slo se puede aprender a resol-ver problemas resolvindolos, es por ello que proponemos esta actividad como la parte medular de la enseanza en esta rea.

Es necesario que los contenidos se presenten a partir de situaciones y actividades que tengan sentido para los estudiantes y les permita generar conjeturas, analizar-las con sus compaeros y poner en juego, de manera consciente, los conocimien-tos adquiridos con anterioridad. Hay que aclarar que los llamados problemas no son los ejercicios que aparecen en el texto, despus de revisar cierto concepto, donde ste se aplica de tal o cual manera. Los problemas sern situaciones donde hay que definir desde qu tipo de conocimientos utilizar, cul informacin es real-mente importante en el enunciado, preguntarse qu problemas que se le parezcan he resuelto antes.

Inicialmente esto es muy complejo, aunque a medida que se desarrollan las habili-dades, es ms sencillo orientar a los alumnos y ellos piden y preguntan de los te-mas a los que llevan los problemas que le son interesantes. En la resolucin de problemas se pueden distinguir dos etapas: la bsqueda de una va de solucin y la exposicin de la solucin.

La bsqueda de la va de solucin puede realizarse individual o colectivamente, cuando se realiza colectivamente, cada estudiante expone sus ideas y no se per-mite que critique las de otro compaero, por fantsticas que parezcan, despus de unos diez o quince minutos, el profesor hace el resumen y lo podra exponer de la siguiente manera:

El mtodo que tiene ms perspectivas es....

Entonces, sus partidarios lo defienden, se aclaran las dudas sobre el problema y se complementa el camino con la participacin colectiva. Si todava no est claro el camino de solucin, se inicia otra sesin de lluvia de ideas. De hecho, la bs-queda individual queda incluida en la colectiva, dado que cada estudiante busca un camino, el cual propone, para luego discutirlo de manera colectiva. Dentro de la primera etapa podemos observar que, de sbito, aparece una idea y se entiende cmo resolver el problema, este momento se le conoce como insight, o ilumina-cin. Es difcil para el profesor poder entender cmo el estudiante lleg a ese mo-mento, pues es un proceso que se da en el subconsciente, pero en la medida que se entienda la solucin de un problema, se podrn crear condiciones en el saln de clases para que el estudiante se acerque a ese momento.

Una vez que se encuentra el camino, es necesario comprobar que sirve, es decir, se verifica si a partir de los datos iniciales se llega a la solucin, no es necesario

hacer en clase todos los clculos, se recomienda dejar de tarea un problema, donde escriban la solucin detallada, as se podrn trabajar 3 4 problemas, dis-cutiendo esencialmente los esquemas de razonamiento seguidos. Es importante insistir en la diferencia entre las dos etapas, sobre todo porque en los textos, el estudiante slo encontrar la exposicin de la solucin.

La solucin de problemas en el saln de clases es una actividad que requiere tiempo para realizarse, si ste se acorta indebidamente, la actividad pierde sentido o se dejan de satisfacer los objetivos buscados. Por ello, es importante que se considere el tiempo suficiente para que la actividad se desarrolle en forma comple-ta y que los problemas planteados sean accesibles a los estudiantes y provoquen una actitud de bsqueda.

Las actividades sugeridas que aparecen en cada Unidad son propuestas para que el profesor y su academia elaboren secuencias de problemas y ejercicios a seguir en clase, bajo la dinmica de solucin de problemas, con las adaptaciones nece-sarias, segn el nmero de alumnos, el tiempo disponible o la evaluacin que haga el profesor en cuanto al avance de los estudiantes.

Tambin se recomienda el uso de la calculadora por diversas razones: puede utili-zarse como un recurso para la ejecucin de clculos en la resolucin de proble-mas, permitiendo que el estudiante se centre en el mtodo de solucin y asimile mejor los conceptos y operaciones involucrados; adems, puede proponerse como un medio de aprendizaje para practicar conocimientos, por ejemplo, la jerarqua de las operaciones y el uso de los parntesis, notacin exponencial, as como el de aproximacin y redondeo.

Ningn mtodo aislado resuelve el problema de la enseanza-aprendizaje de las matemticas en su totalidad. Las clases magistrales tienen su importancia, lo mismo que los ejercicios de mecanizacin y dems actividades por siempre reali-zadas. Lo ms importante es elegir el mejor mtodo en el momento y con el tema adecuado. Los programas son una lnea para el desarrollo de la enseanza-aprendizaje, pero en cada saln de clase se tienen que resolver un sinnmero de detalles sobre la didctica, los contenidos y las formas que deber tomar la eva-luacin, la operacin de los programas que tienen que ser planteadas en la Aca-demia.

En resumen, se plantea que el papel del profesor en el aula se centre en propiciar y coordinar la presencia de tres aspectos fundamentales: a) la induccin y motiva-cin del aprendizaje; b) la orientacin sistmica hacia la construccin del conoci-miento; c) la consolidacin y retroalimentacin del aprendizaje.

Evaluacin

Criterios de acreditacin en la Universidad de Guadalajara. Los requisitos mnimos, sin los cuales el alumno no aprueba la materia, son: 80% asistencias y calificacin mnima de 60, en la escala de 100.

Recomendaciones La evaluacin es una actividad sistemtica y continua, como el mismo proceso educativo, implica una valoracin, un juicio de valor, y la calificacin es una medi-cin o cuantificacin. Mientras que la valoracin se refiere a la calidad, la medicin se refiere a la cantidad.

Ciertamente, la calificacin puede y debe ser un elemento significativo para la eva-luacin final del proceso de aprendizaje, pero se debe tener cuidado de que en ella intervengan varios elementos de juicio y, por tanto, se considera un error hacerla depender de una nica actividad acadmica, sea sta el examen final o la presentacin de un trabajo escrito.

Se recomienda, por consiguiente, que cada profesor genere sus mecanismos de evaluacin de todas las actividades, adems de exmenes, como participacin en la actividad del aula, trabajo en equipo, investigacin, presentaciones ante el gru-po, etctera; es decir, que se realice evaluacin continua, y es con este sistema donde las tareas tienen gran relevancia. En stas se puede pedir a los alumnos que, por ejemplo, terminen de escribir a detalle la solucin de un problema discuti-do en clase, o una serie de ejercicios para que el discente domine cierto procedi-miento o una pequea investigacin sobre las aplicaciones de algn concepto tra-tado, orientndolos con bibliografa o lugares donde haya informacin al respecto. Tambin se les pueden solicitar listas de problemas o construir algn material di-dctico.

Se sugiere hacer exmenes parciales al final de un tema o de una unidad, en el momento de promediar se puede dar ms peso a los ltimos exmenes, supo-niendo que obtuvo mejor calificacin que en los primeros, y as los alumnos, cono-cedores de esta regla, mantienen el inters todo el curso. Al calificar las respues-tas dadas a un ejercicio o problema, conviene seguir con atencin los procedi-mientos utilizados y examinar con cuidado los errores cometidos, a travs de ellos se puede iniciar una evaluacin del proceso y as rectificar o reforzar el mtodo de enseanza-aprendizaje utilizado.

Es importante que se le exponga a los alumnos, al principio del semestre, los crite-rios de evaluacin que han sido previamente acordados por todos los profesores que integran la academia.

Por ltimo, antes de pasar a los programas de Matemticas, debemos sealar la importancia de que la evaluacin refleje la consecucin de los objetivos de los cur-sos, que los alumnos que terminen un curso tengan claro que es necesario un manejo eficiente de los temas y la operatividad para llevar el siguiente Curso, el conocimiento de la matemtica, cuando se integra a la intuicin, facilita el avance hacia nuevos temas, pero si este conocimiento es dbil, o superficial, se pierde, y

hay que reaprehenderlo para poder seguir adelante, sta es una de las explicacio-nes de la dificultad de asimilar matemticas, stas son acumulativas, si no pone-mos buenos cimientos, nuestro propio edificio matemtico se derrumbar tarde o temprano. Por eso destacamos la importancia del trabajo de los profesores en su Academia, para que se busquen soluciones que permitan un trnsito fluido de los alumnos por las asignaturas de Matemticas.

Matemticas I

Academia de: Matemticas

Departamento de: Ciencias formales

Semestre en el que se cursa: primero

Carga horaria semanal: 5 horas Distribucin de la carga

horaria semanal: dos de 2 horas y una de 1 hora Carga horaria semestral: 85 horas

Periodo de elaboracin: enero de l993

Periodo de modificacin: septiembre de 1998 Presentacin

Este curso es continuacin de Matemticas del ciclo de la educacin media bsica y el propsito es consolidar y profundizar los conceptos de la aritmtica, as como tpicos acerca de la organizacin y tratamiento de la informacin orientadas a su tratamiento estadstico, por lo que tambin se reafirman conceptos de probabili-dad. Por ltimo, se discuten los temas de lenguaje algebraico y las ecuaciones de primer grado, lo que es la lnea de continuidad con la siguiente asignatura de esta rea. Las modificaciones al Programa anterior consisten bsicamente en que en la pri-mer Unidad se da menos peso al estudio de los diferentes sistemas de numera-cin, siendo el decimal el que se estudia con detalle. Se incorpor, adems, como subtema, el significado de las operaciones aritmticas en la solucin de proble-mas, sugerencia reiterada por parte de las diferentes academias de matemticas. La notacin desarrollada y cientfica y los sistemas de medicin permanecen como subtemas. Por otro lado, se adelanta el estudio de los nmeros enteros, las fracciones y los reales, y se aglutinan los temas de conteo, probabilidad y estadstica; ambos cam-bios, porque de esta manera se logra una mejor continuidad en el Programa. Se elimina la unidad de sucesiones y series, por considerarse que requiere una madurez matemtica por parte de los alumnos, que en su mayora no han alcan-zado, y que puede estudiarse en el siguiente curso, en la parte de temas selectos de lgebra.

Finalmente, se da ms peso al estudio del lgebra, culminando con el estudio completo de las ecuaciones de primer grado, que permita el inicio en el curso de Matemticas II con sistemas de ecuaciones lineales. El Programa consiste de las siguientes seis unidades:

1. Sistema decimal. 2. Divisibilidad. 3. Fracciones y reales. 4. Conteo y probabilidad. 5. Estadstica. 6. Lenguaje algebraico y ecuaciones de primer grado.

Objetivos generales del Curso

Recuperar, reorganizar y profundizar la formacin matemtica adqui-rida en los ciclos educativos anteriores

Completar la conceptualizacin de los diferentes tipos de nmeros que conforman a los reales, ubicando el papel terico y prctico que desempean cada uno de ellos.

Contar, manejar e interpretar informacin obtenida tanto de diferen-tes poblaciones o muestras, como de situaciones aleatorias diversas.

Proponer y resolver problemas, conjeturar y formular resultados ge-nerales; adems, partiendo de ejemplos y contraejemplos, construir sencillas demostraciones.

Practicar constantemente el clculo y la estimacin mental de resul-tados, as como usar inteligentemente la calculadora cientfica.

Utilizar el lenguaje simblico del lgebra para expresar relaciones entre cantidades; operar con este lenguaje y emplearlo en el planteo y solucin de problemas que requieran de ecuaciones de primer gra-do.

Orientaciones metodolgicas

Los temas centrales de este curso de Matemticas I son aritmtica y lgebra; sin embargo, se propone que se traten de una forma integrada, relacionndolos con otras reas tanto de la matemtica, por ejemplo, la geometra, como de otras dis-ciplinas. La aritmtica no se reduce a los algoritmos para hacer operaciones. Estamos tan familiarizados con la aritmtica, que con frecuencia olvidamos las dificultades que encierra su aprendizaje y el papel que juega en la comprensin de otras partes de las matemticas. La aritmtica constituye la base intuitiva del lgebra y de casi todas las matemticas escolares, hasta niveles universitarios. La enseanza de la aritmtica debe servir para que los alumnos desarrollen su sentido del nmero. La comprensin del significado de las operaciones facilitar el aprendizaje de los algoritmos y sus aplicaciones en la vida cotidiana y en la solu-cin de problemas. Es conveniente, asimismo, que exploren lo que ocurre al modi-ficar los nmeros que intervienen en un clculo o los datos de un problema.

Los alumnos deben comprender los principios que hacen de las matemticas y, en particular, de la aritmtica, un cuerpo coherente de conocimientos y no quedarse con la impresin de que se trata de una serie de conocimientos aislados. En cuanto al enfoque de la probabilidad y la estadstica, tener en cuenta que mu-chos de los fenmenos que nos afectan se han vuelto tan complejos que no se pueden analizar solamente de forma cualitativa, se requiere adems de tcnicas cuantitativas de recoleccin y tratamiento de informacin. Debemos hacer nfasis en construir referentes que permitan apreciar la magnitud de ciertas cifras, sobre todo si vienen dadas por nmeros muy grandes o muy pequeos o en forma de tasas o porcentajes. El lgebra representa la transicin entre la aritmtica y la geometra y las matem-ticas de grados superiores, que requieren de ella para modelar situaciones y re-solver problemas, as como para expresar conceptos y operar con ellos en niveles cada vez ms abstractos. El aprendizaje del lgebra es importante para todos los alumnos y no slo para aquellos que van a estudiar una carrera afn a la matemtica. Aun actividades que se han vuelto tan cotidianas y necesarias para el trabajo, como llenar un formulario o leer un instructivo o manual de operacin, necesitan que las personas conozcan y estn familiarizadas con los modos de expresin simblica y pensamiento abs-tracto, como son poder extraer informacin de cuadros, tablas y grficas, com-prender frmulas y saber utilizarlas. Para favorecer el estudio del lgebra conviene que los alumnos se acostumbren desde el inicio del curso de Matemticas I, que se abordan temas de aritmtica, a utilizar expresiones con literales, y a aplicar reglas sencillas de escritura y opera-cin de smbolos. La adquisicin de las nociones algebraicas toma tiempo para completarse, y no todos los alumnos aprenden con la misma facilidad. Es importante que los alum-nos utilicen constantemente el lgebra para resolver problemas que doten de sen-tido a las nociones y procedimientos. El profesor deber disear actividades que comuniquen a los estudiantes la importancia que tiene pasar de una situacin o enunciado verbal a su expresin simblica y operar con ella.

Unidad I

Sistema decimal Tiempo sugerido: 8 horas.

Presentacin

Esta primer Unidad pretende retomar muchos de los temas de aritmtica estudia-dos en los ciclos escolares anteriores, replanteando el significado de los nmeros y su forma de representacin, as como el de las operaciones aritmticas para re-solver problemas. Se revisan, adems, los sistemas de medicin, dado que tienen una vinculacin directa con disciplinas de las ciencias naturales; las mediciones y conversiones de diferentes unidades de medidas se trabajan especficamente en esta unidad. Objetivos

El alumno enriquecer el significado de las operaciones aritmticas con nmeros decimales, a travs de la solucin de problemas que involucren a varias de ellas.

El alumno ser capaz de establecer las ventajas de la representacin de los nmeros en el sistema decimal, expresndolos en su notacin desarrollada.

El alumno utilizar y apreciar las ventajas de la notacin cientfica en el sistema decimal, al operar y establecer relaciones de orden en cantidades astronmicas y microscpicas.

El alumno ser capaz de hacer conversiones de diferentes sistemas de medicin al decimal y viceversa.

Contenidos temticos

Sistemas no posicionales y posicionales. Sistema decimal: orden, notacin desarrollada y notacin cientfica. Jerarqua de operaciones y uso de parntesis Operaciones aritmticas, problemas. Sistemas de medicin: decimal, ingls, sexagesimal, etc. Actividades de aprendizaje

1. Preguntar a los alumnos, acerca de cules sistemas de numeracin conocen. 2. Consultar cules smbolos y reglas se emplean en sistemas de numeracin no posi-

cionales, como el egipcio y el romano. Escribir algunas cantidades. 3. Consultar los smbolos y reglas empleadas en el sistema maya y escribir al-

gunas cantidades. 4. Construir el sistema binario, y escribir algunos nmeros. 5. Escribir algunos nmeros en notacin desarrollada en base 10 y en base 2. 6. Plantear algunos nmeros en base diez y pedir que se encuentre un algorit-

mo para convertirlo a base 2.

7. Con base en la notacin desarrollada de nmeros enteros en el sistema de-cimal, plantear el problema de cmo ser la notacin desarrollada en deci-males.

8. Que investiguen de la fsica o de la qumica algunas cantidades astronmi-cas y microscpicas (nmero de Avogadro, masa del electrn, aos luz, Amstsrong, etctera) y estudiar cmo se puede introducir el dato en la cal-culadora.

9. Plantear la suma y producto de algunos nmeros de la actividad anterior, conjeturar sobre el posible resultado, hacerlo con la calculadora y sacar conclusiones.

10. Resolver ejercicios que involucren las cuatro operaciones aritmticas y con parntesis. Aprender a hacerlo con la calculadora.

11. Plantear problemas que para su solucin se realicen varias operaciones aritmticas.

12. Investigar qu tipo de unidades se usan para medir: longitudes, reas, vo-lmenes, capacidad, tiempo, etctera, en el sistema mtrico decimal y en el ingls. Considerar algunos mltiplos y submltiplos.

13. Hacer algunas conversiones de mltiplos o submltiplos, en unidades del mismo sistema. Compararlas con las que se hacen en el sistema mtrico decimal y sacar conclusiones.

14. Encontrar equivalencias de algunas unidades de otros sistemas, con sus respectivas del sistema mtrico decimal.

15. Resolver problemas de otras disciplinas relativos a conversin de unidades.

Unidad 2

Divisibilidad Tiempo sugerido: 7 horas.

Presentacin

Se ha dicho que un tema an virgen de las matemticas es el relativo a la teora de nmeros, a pesar de que su origen se pierde en el tiempo. El manejo de los nmeros enteros, adems de tener aplicaciones prcticas inmediatas, es fascinan-te, por la posibilidad que ofrece al principiante para hacer mltiples conjeturas, e iniciarse en la demostracin de sencillos teoremas. La magia de los nmeros pri-mos se pone de manifiesto al tratar de resolver algunos problemas Objetivos

El alumno ser capaz de formar varias clases de nmeros enteros a partir del acuerdo de alguna caracterizacin.

El alumno enunciar sencillos teoremas sobre divisibilidad y los demostrar a partir de la notacin desarrollada de los nmeros.

Con base en la nocin de mltiplo y divisor, el alumno desarrollar algorit-mos para encontrar el m.c.m. y m.c.d. de dos o ms nmeros.

Contenidos temticos

Divisores y primos Criterios de divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 11, etc. Mnimo comn mltiplo (m.c.m.) y mximo comn divisor (m.c.d.)

Actividades de aprendizaje

1. Encontrar los divisores de algunos nmeros de dos y tres cifras, puede usar-se la calculadora. De acuerdo al nmero de divisores (dos o ms), caracteri-zar a primos y compuestos.

2. Pedir a los alumnos que localicen los primos entre: el uno y el diez; el uno y el veinte; el uno y el treinta. Inducirlos a que lleguen al modelo de la criba de Eratstenes y la usen para localizar los primos entre el uno y el cien.

3. Plantear a los alumnos el problema de cmo se puede estar seguro de haber incluido todos los divisores de un nmero? Llevarlos a la descomposi-cin en factores primos y desde aqu tratar de resolver el problema.

4. Hacer algunos ejercicios de descomposicin en factores primos de nmeros compuestos y pedir a los alumnos que enlisten por orden a los divisores de cada nmero. Que propongan un procedimiento para el enlistado de los divi-sores y traten de justificar su validez. Problema: dada la descomposicin en primos de un nmero, cuntos divisores tiene, incluyendo a l mismo y al 1?

5. Inducir a los alumnos a buscar algunos criterios de divisibilidad a travs de problemas como:

a) Hallar la menor cifra que debe aadirse al nmero 124, para que resulte un nmero de cuatro cifras mltiplo de 3.

b) Escribir un nmero de nueve cifras (sin que se repita ninguna), que sea mltiplo de 11.

c) Hallar un mltiplo de 12 que est escrito con los diez dgitos usados so-lamente una vez y que adems sea el mayor posible.

6. Con la ayuda del concepto de mltiplo, notacin desarrollada y el hecho de que si un nmero divide a otros dos entonces divide a su suma; demostrar los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 9 y 11, por lo menos.

7. Dando dos o ms nmeros, pedir a los alumnos que hallen todos los diviso-res comunes a ellos; busquen un procedimiento, lo justifiquen y comprueben los resultados.

8. Dando algunos nmeros, pedirles que encuentren por orden, los primeros mltiplos de los nmeros dados; busquen un procedimiento, lo justifiquen y comprueben los resultados.

9. Analizando los resultados de las dos actividades anteriores, llegar al concep-to de: m.c.m. y m.c.d.

10. Resolver problemas como: a) Mara tiene tres cortes de tela de 35, 49 y 42 metros, respectivamente. Si

desea hacer cortinas de igual tamao y sin desperdiciar nada. De qu longitud debe cortar cada cortina?

b) Como promocin en sus ventas, una fbrica de refrescos pone un cupn para un refresco gratis cada 80o refresco y otro cupn para dos refrescos gratis cada 120o refresco. Con qu frecuencia pone ambos cupones en un solo refresco?

c) Tenemos una fuente y dos jarras una de 5 litros y la otra de tres litros, cmo podemos medir 4 litros, si las jarras no estn graduadas y no hay un tercer recipiente?

11. Con la descomposicin en factores primos, de dos o ms nmeros, tratar de que el alumno desarrolle el algoritmo para hallar el m.c.m. y el m.c.d.

12. Resolver problemas como: a) La suma de dos nmeros es 240 y su m.c.m. es 1768. Cules son esos

nmeros? b) Si el m.c.d. de dos nmeros es 4 y su m.c.m. es 40. Encontrar tales n-

meros, sabiendo que su suma es la menor posible.

Unidad 3

Fracciones y reales Tiempo sugerido: 20 horas.

Presentacin

La nocin y manejo de fracciones y decimales, adems de tener amplias aplica-ciones en la vida cotidiana, permite acceder al estudio de los irracionales y de su expresin aproximada como nmero decimal. Aparte, los conceptos de infinito y continuo, centrales en el desarrollo de la matemtica y otras ciencias, tienen senti-do, cuando los alumnos se apropian del concepto de nmero real. Como una aplicacin inmediata de los nmeros fraccionarios y reales, se des-prenden los temas de porcentajes y variacin proporcional. que apoyan el desarro-llo de la nocin de funcin y el anlisis del comportamiento del seno y coseno de un ngulo en un tringulo rectngulo, antecedentes necesarios para el curso de Fsica I, que llevarn los alumnos en el segundo semestre. Objetivos

Que el alumno asimile los conceptos de unidad y particin, a travs de la eleccin de la unidad adecuada, dependiendo del problema planteado.

Que el alumno sea capaz de transformar la nocin de equivalencia de frac-ciones, en el desarrollo de los algoritmos de las operaciones y en la relacin de orden.

Que el alumno realice conversiones entre fracciones y decimales, y elija la forma que le facilite la aplicacin de algoritmos en la solucin de un proble-ma dado.

Que el alumno maneje los porcentajes, interpretndolos en forma de frac-cin y decimal, dependiendo del problema planteado.

Que el alumno desarrolle la nocin de variacin proporcional directa e in-versa, con el auxilio de tablas y grficas, generando sencillos modelos al-gebraicos.

Que el alumno sea capaz de establecer la igualdad de dos razones, cuando se le planteen problemas.

Que el alumno llegue al concepto de irracional, a travs de su expresin aproximada con nmeros decimales, fracciones y modelos geomtricos.

Contenidos temticos

Unidad y particin. Equivalencias y orden de fracciones. Expansin decimal finita y peridica. Conversiones de expresiones decimales a fracciones. Operaciones: suma, resta, multiplicacin, divisin y potencia. Porcentajes. Variacin proporcional (tablas y grficas). Los nmeros e, pi, raz cuadrada de 2, etc. Introduccin al seno y coseno de un ngulo.

Actividades de aprendizaje

1. En una cuadrcula de 5x5 o en un geoplano, se les pide a los alumnos que construyan una unidad que, dependiendo de la posibilidad de colocar ligas sobre el geoplano o dibujar sobre las intersecciones de la cuadrcula, pueda partirse en: a) mitades. b) tercios. c) mitades, pero no en tercios. d) sextos, pueden partirse en tercios y medios? e) plantear otros problemas anlogos.

Construccin del geoplano: en una tabla de madera delgada o triplay (15X15 cm), se colocan clavos despuntados para atorar ligas de colores. Los clavos definirn la cuadrcula, colocndolos en los vrtices o centros de los cuadra-dos.

2. Dada una figura, que es 1/2; 1/3; 1/4; 2/3, de cierta unidad, ahora el ejercicio consiste en elaborar la posible unidad.

3. Construir unidades en el geoplano o cuadrcula, que acepten diferentes parti-ciones; tomar una parte y llegar a establecer diferentes clases de equiva-lencias. Ejemplos: 1/2=2/4=...; 1/3=2/6=...; 3/4=6/8=...; etctera. Deducir que la generacin de fracciones equivalentes a una dada, se produce multi-plicando numerador y denominador por un mismo nmero diferente de cero.

4. Establecer las relaciones de orden, a travs de la equivalencia de fracciones. Esto es, comparar fracciones transformndolas con el mismo denominador y, a partir de es-ta idea, construir un algoritmo, para comparar fracciones. Representar algunas en la recta numrica.

5. Considere a las fracciones como divisin del numerador entre el denominador, efec-te stos en la calculadora o a mano, y verificar que las relaciones de orden se con-servan, as como la equivalencia.

6. Hacer una tabla de la expansin decimal de algunas fracciones, y tratar de determinar qu denominadores dan expansiones finitas y cules dan peri-dicas.

7. Retomando los ejercicios de la actividad 6, encontrar la fraccin correspon-diente a un decimal (peridico o finito) dado.

8. Hallar la suma de dos o ms fracciones de la misma unidad (en el geoplano o en una cuadrcula), cuando el denominador es el mismo y cuando son dife-rentes.

9. De las fracciones de diferente denominador, notar que la bsqueda de equi-valentes se facilita encontrando el m.c.m. de los denominadores. Hacer ejer-cicios varios de suma (y resta).

10. Comparar la suma de decimales con la adicin de las respectivas fracciones. Ejemplo:1/3+1/3=2/3=0.666 ; por otro lado, 1/3=0.333... Es decir, de mane-ra aproximada, 1/3+1/3=0.3+0.3=0.6 ; en conclusin, trabajar con fracciones da resultados exactos, mientras que con decimales, en ocasiones da slo re-sultados aproximados.

11. Con ayuda del geoplano o cuadrcula, calcular fracciones de fracciones, co-mo: 1/2 de 1/2; 1/3 de , etc.

12. Establecer que la preposicin de de la actividad anterior, equivale a la mul-tiplicacin. Desarrollar el algoritmo del producto, y volver a comparar.

13. Retomar la notacin cientfica cuando se efecta el producto de decimales. Hacer ejercicios manualmente y verificar con la calculadora.

14. Ejercitar las operaciones, combinando las fracciones con los decimales. 15. Con un problema de la realidad, llegar a la nocin de porcentaje. 16. Resolver variados problemas, utilizando al porcentaje en la forma decimal y

de fraccin. Con problemas como: a) Exprese en %, a . b) Cunto es el 40% de 5? c) Qu fraccin es equivalente a 325%?

17. Problemas de razones y proporciones: a) Una cortina mide 150 cm de ancho y 14 dm de largo. Encuentre la razn

entre el ancho y largo. b) Si la razn entre dos nmeros es 7:3, y su diferencia es 20.

Encuentre los nmeros. 18. Efectuar problemas de variacin directa e inversa (hacer tablas):

a) Si tengo 5 lpices que me costaron $30. Cunto me costarn 2,6,10, etc.

b) Si 10 hombres hacen un trabajo en 5 das, 4, 7, 12 hombres lo harn en. c) qu relacin hay entre tiempo y distancia recorrida por un mvil con ve-

locidad constante? llegar a la conclusin de que la rapidez vara directa-mente proporcional a la distancia e inversamente proporcional al tiempo.

19. Con auxilio del teorema de Pitgoras, ubicar en la recta numrica de los re-ales a raz cuadrada de dos, aplicar el algoritmo para obtenerla y comentar sobre si este proceso termina y si ser peridico.

20. Con ayuda de la calculadora, sumar algunos trminos de la serie: 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+... y analizar qu pasa cuando se aumentan sumandos. Nombrar el nmero e. Obtenerlo en la calculadora y hacer comparaciones. 21. Definir pi como el rea de un crculo de radio unitario y dibujar el modelo geomtrico de polgonos inscritos y circunscritos aumentando el nmero de lados (comenzando con el cuadrado o el tringulo equiltero, por bisecciones sucesivas de los arcos) y preguntar si ese proceso es finito o infinito. Determinar la naturaleza de pi.

Unidad 4

Conteo y probabilidad Tiempo sugerido: 15 horas.

Presentacin

En esta Unidad se trabajar con los nmeros naturales en el contexto ms cotidia-no, que es el de contar, as como con una de las aplicaciones del conteo, la pro-babilidad. Las estrategias de conteo se abordarn a travs de la solucin de pro-blemas, para crear en el estudiante la necesidad de generar un mtodo para con-tar con orden y, posteriormente, discriminar los diferentes modelos. La probabilidad responde a la necesidad que plantean los nuevos programas de que las asignaturas tengan un carcter prctico. Los fenmenos aleatorios son aquellos en los que no se puede predecir su resultado con certeza, pero el grado de incertidumbre puede reducirse, si se hace un anlisis de las condiciones invo-lucradas en el fenmeno; sta es una de las cuestiones fundamentales que estu-dia la probabilidad. En esta rama de la matemtica se utiliza el lenguaje de conjun-tos, se propone que en este momento se desarrollen los conceptos necesarios. Objetivos

El alumno desarrollar sus propias estrategias de conteo. El alumno ser capaz de resolver problemas de conteo que propicien el uso

de diagramas de rbol, arreglos rectangulares, tablas y otros tipos de re-presentaciones, independientemente de si usa o no frmulas matemticas.

El alumno emplear la nocin de probabilidad como recurso para orientar la toma de decisiones en situaciones aleatorias sencillas.

El alumno enumerar los resultados de un experimento aleatorio y usar la nocin clsica para calcular la probabilidad de eventos. Deber establecer-se una distincin entre las nociones clsica y frecuencial de probabilidad.

Contenidos temticos

Diagramas de rbol. Principio multiplicativo (principio fundamental del conteo). Principio aditivo. Permutaciones y combinaciones. Actividades de aprendizaje

1. Plantear problemas que motiven al alumno a crear estrategias de conteo, por ejemplo, cuntos cuadrados de todos los tamaos estn contenidos en una cuadrcula de 3x4?

2. Generar el principio multiplicativo, planteando problemas como: De la ciudad A a la B conducen cinco caminos, y de la B a la C, tres caminos.

Cuntos caminos que pasen por B, conducen de A a C? Introducir la nocin de diagrama de rbol y con l, el principio multiplicativo.

3. Generar el principio aditivo, planteando problemas como: Matilde tiene mo-nedas de $1, $5 y $10. De cuntas maneras puede pagar $20 por un pei-ne? Sugerencia: Formar una tabla.

4. Definir factorial de un nmero y efectuar algunos ejercicios a mano y en la calculadora. Analizar cmo se incrementa el factorial y hacer observaciones de su comportamiento.

5. Generar la nocin de permutacin, planteando problemas como: con los dgi-tos 1, 2, 3, 4, y 5; cuntos nmeros enteros positivos de cinco dgitos pue-den formarse, si los dgitos no pueden repetirse?

6. Analizar lo que ocurre en las permutaciones con repeticin, resolviendo pro-blemas como: Cuntas permutaciones diferentes se pueden hacer con las tres letras A, A y B si una A es de color rojo y la otra de color verde o si las dos As son del mismo color?

7. Con base en los resultados de la actividad anterior, llegar a la nocin de combinacin.

8. Discutir la nocin de eventos azarosos y deterministas. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado el que caiga el nmero 2, es un evento azaroso, pe-ro es determinista o seguro el hecho de que al arrojar el dado caer mos-trando una de las caras.

9. Disear experimentos para realizarse grupalmente sobre lanzamientos de monedas, dados, cartas de barajas, urnas, etctera, para establecer los con-ceptos de evento, de espacio muestra y de probabilidad de eventos, a partir por ejemplo de que cada grupo lance dos dados y se plantee la pregunta; cul es la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma de los nmeros sea cinco? Tambin cada grupo en una bolsa de tela oscura coloca diez bo-las numeradas, del 1 al 10. Se selecciona una al azar, y se pide obtener la probabilidad de que: a) Se elija una bola con nmero par. b) Salga el nmero 6. c) No salga el nmero 6.

10. Realizar experimentos para entender la nocin de probabilidad condicional: en una urna hay 5 canicas blancas y 4 negras, en otra se tienen 3 blancas y 2 negras y, en una tercera, 6 blancas y 5 negras. Si se selecciona al azar una de las urnas y se saca una canica, cul es la probabilidad de que sea blan-ca?

11. Establecer una clara distincin entre las nociones clsica y frecuencial de probabilidad. Por ejemplo, tratar de adivinar la cantidad de fichas rojas y azu-les que hay en una urna haciendo mltiples ensayos, y establecer que en la medida que se hagan mayor nmero de ensayos, aumenta la certeza sobre la respuesta pedida.

Unidad 5

Estadstica Tiempo sugerido: 10 horas.

Presentacin La estadstica es una ciencia sumamente til como auxiliar de otras disciplinas, adems de tener gran aplicacin en la vida cotidiana. No es raro ver y or resultados de las en-cuestas para tal o cual fin; la aplicacin de promedios aritmticos para estimar un fen-meno o un comportamiento de una poblacin, la popularidad de un personaje, la posicin que guardan en un certamen los equipos deportivos.

En esta unidad se aborda el estudio de ndices o tasas de: mortalidad, migracin, crec i-miento econmico, etctera; la elaboracin e interpretacin de tablas y grficas; la obten-cin de modas, medias y medianas de determinado nmero de datos, as como el anlisis de la dispersin de dichos datos, para que las medidas de tendencia central y los cuadros estadsticos tengan un significado claro.

Objetivos

Que el alumno sea capaz de recopilar, organizar, analizar y graficar la informacin para su posterior interpretacin.

Que los estudiantes se apropien de tcnicas, nociones y estrategias como herramien-tas para organizar y analizar la informacin.

Que los estudiantes asuman una actitud crtica ante la informacin estadstica. Que analicen el alcance de esta informacin en trminos de lo que es real y lo que es pro-bable.

Contenidos temticos Tasas e ndices. Elaboracin e interpretacin de grficas de frecuencias absolutas y relativas (tablas,

histogramas, poligonales, circulares, etc.). Medidas de tendencia central (media, mediana y moda). Medidas de dispersin (desviacin media, estndar y varianza). Actividades de aprendizaje 1. Una fuente importante para obtener informacin son los medios de difusin. Repor-

tes, noticias en peridico, radio o televisin, pueden ser utilizados como informacin viva

sobre la cual disear actividades de aprendizaje. Es conveniente que esos materia-les sean del inters de los estudiantes.

2. Comparar las diferentes maneras utilizadas para presentar la informacin acerca de un mismo asunto. Discutir acerca de las ventajas y desventajas de cada una de ellas.

3. Comentar el valor de sntesis que tienen los indicadores denominados tasas o ndi-ces, como tasa de mortalidad, densidad de poblacin, crecimiento de poblacin, etc.

4. Utilizando la calculadora, calcular a partir de informacin dada, diferentes tasas o ndices, interpretando lo que stos significan.

5. Discutir acerca de las diferentes formas grficas que se utilizan para describir un conjunto de datos. Establezca sus ventajas, desventajas y diferencias.

6. Elaborar tablas y grficas de manera que sinteticen la informacin y, a la vez, mues-tren rasgos que permitan reconstruir con una buena aproximacin la situacin que la gener.

7. Utilizando la computadora (paquetes como Excel, Statgrafic y otros), elaborar dife-rentes grficos, con la modificacin de los datos e interpretando los resultados.

8. Discutir acerca de lo que una grfica puede aportar con respecto a la variabilidad, tendencias y distribucin de los datos.

9. Utilizando la calculadora o la computadora, determinar las medidas de tendencia central y de dispersin de los datos.

10. Comparar en diferentes situaciones, lo que representa la media, la moda o la me-diana, discutiendo cul podra ser el mejor indicador de la tendencia central.

11. Discutir el papel que juega la determinacin de las desviaciones media o estndar, en la representatividad de las medidas de tendencia central.

Unidad 6

Lenguaje algebraco y ecuaciones de primer grado

Tiempo sugerido: 25 horas.

Presentacin En esta Unidad se inicia el estudio ms sistemtico del lgebra, que se profundizar en Matemticas II. Contempla la familiarizacin con el lenguaje algebraico, a partir de la vi-sualizacin de las propiedades generales de los nmeros y sus operaciones de suma y producto. Se pone el nfasis en la traduccin de problemas planteados en el lenguaje verbal al lenguaje simblico del lgebra, y en la solucin de esos problemas, por lo que se propone trabajar la operatividad con expresiones algebraicas sencillas y no detenerse demasiado en esta actividad. Tambin se considera ir abordando la nocin de funcin y manejo de frmulas.

Objetivos

Desarrollar la destreza para operar smbolos algebraicos, conocer las reglas de apli-cacin de los parntesis, la jerarqua de las operaciones de suma, producto, etc., el manejo del smbolo -, en el clculo ya sea manual o con calculadora.

Relacionar dos magnitudes cuya variacin sea interdependiente y construir las tablas y grficas que muestren la forma de esa interdependencia.

Traducir planteamientos en prosa al lenguaje algebraico y resolver ecuaciones de primer grado.

Contenidos temticos Lenguaje algebraico. Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicacin y divisin). Signos de agrupacin. Valor numrico y despejes de frmulas Nocin de funcin. Tabulacin y graficacin. El plano cartesiano. Progresiones aritmticas y geomtricas Resolucin de ecuaciones de la forma:

ax + b = c ax + b = cx + d

con parntesis con coeficientes fraccionarios Actividades de aprendizaje 1. Problemas que puedan resolverse con un planteamiento aritmticos:

a) Si a la cuarta parte de un nmero le quitamos 4, el resultado es 20. Halle el n-mero.

b) Encuentre dos nmeros consecutivos cuya suma sea 43. c) Pedro tiene 28 aos y su hijo 4. Dentro de cuntos aos, Pedro tendr cuatro

veces la edad de su hijo?

Es nica la solucin? d) Hallar dos nmeros enteros pares consecutivos, cuya suma sea 14. e) La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 aos.

Hallar ambas edades. 2. Problemas cuyo planteamiento implique slo suma y resta de expresiones algebrai-

cas, iniciar a los alumnos en el despeje de la incgnita, usando (primero) la nocin de operacin inversa con la idea de la balanza. Luego de un tiempo, puede pasarse a: si est sumando, pasa restando.

a) En una compaa constructora trabajan Juan, Pedro y Manuel; el sueldo men-sual de Juan es el doble que el de Manuel y el de Pedro es la mitad que el de Juan. Si entre los tres reciben un total de $8 000, determinar la mensualidad de cada uno.

c) Ramona gast $10.60 dlares en estampillas de 10, 15 y 20 centavos, com-prando un total de 52. Si la cantidad de estampillas de 25 centavos es el cu-druple de las de 10 centavos. Cuntas estampillas de cada clase compr?

3. Introducir las leyes de los signos y reducir expresiones algebraicas con signos de agrupacin. Hacer varios ejercicios.

4. Definir lo que es el plano cartesiano y hacer ejercicios de: localizacin de puntos; puntos que al unirse determinan figuras geomtricas y dando figuras geomtricas que determinen los vrtices cuya unin las describa.

5. Recordando algn ejercicio adecuado de variacin proporcional, tabularlo y grafi-carlo llegando a la nocin de funcin. Hacer ejercicios varios sin olvidar tablas y gr-ficas.

5. Llevar a los alumnos a que las ecuaciones que ya haban resuelto (c=ax+b), se pueden ver como funciones; que la solucin, es el caso particular cuando en y=ax+b, y=c.

6. Como consecuencia de la actividad anterior, resolver otros problemas; plantear la ecuacin respectiva y llevarla a la forma: ax+b=0; hacer tabla y grfica de y=ax+b y comprobar que donde la recta cruza al eje X, cuando y=0, all est la solucin de la ecuacin.

8. Tomar frmulas sencillas de la fsica y hacer ejercicios de despeje. 9. A partir de las grficas de y=x-2 y y=x+1 intentar construir la grfica de y=(x-2)(x+1). 10. Hacer suficientes ejercicios de multiplicaciones de binomios (en una sola variable). 11. Con base en la nocin de potencia y multiplicacin, seleccionar polinomios en una

variable, de grado 3 como mximo; transformarlos con la ley de la cebolla y, con ayuda de la calculadora, tabular y graficar. Ejemplo de la ley de la cebolla o anida-cin de parntesis: y = x3+3x2-2x+7 = x(x2+3x-2)+7 = x(x(x+3)-2)+7.

12. Explicando el significado de valor numrico de una expresin, para polinomios ordenados de primero, segundo y tercer grado, con la ley de la cebolla y sin ella, usando calculadora (algunos a mano) hacer la evaluacin, localizar el punto en el plano cartesiano y decir a quin pertenece (a una recta, a una parbola o en general a una curva): a) y=x+1; si x=3 entonces y=4. El punto (3,4) pertenece a una recta. b) y=x2-3x-1; si x=2 entonces y=-3. El punto (2, -3) pertenece a una parbola.

12. Si el tiempo lo permite, se pueden ejercitar las operaciones con cual-quier tipo de polinomios.

Bibliografa

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1993.

Matemticas II

Academia de: Matemticas II

Departamento de: Ciencias formales

Semestre en el que se cursa: segundo

Carga horaria semanal: 4 horas Distribucin de la carga

horaria semanal: sesiones de dos horas Carga horaria semestral: 68, horas

Periodo de elaboracin: abril a julio de 1993

Periodo de modificacin: julio -septiembre de 1998.

Presentacin Los temas centrales de este curso son lgebra, Probabilidad y Estadstica. El potencial de problemas de la vida cotidiana y de las ramas de las ciencias naturales y sociales, que por medio de las tcnicas algebraicas se pueden modelar y resolver es ilimitado; adems, el contacto de los estudiantes con el lenguaje simblico les ayuda a desarrollar y madurar formas de razonamiento, lo que ha motivado que, desde la creacin de los primeros cen-tros educativos que difundieron los conocimientos matemticos, el lgebra haya estado presente como parte fundamental de la cultura cientfica, y en nuestro entorno educativo sea considerada como uno de los principales tpicos matemticos a traer en el Bachillera-to.

La presente reformulacin se refleja en el hecho de que se omite lo que apereca como Unidad 1,

Ecuaciones lineales, porque sta se trabaja en el curso de Matemticas 1 y se le dedi-ca un tiempo considerable, dejando as ms tiempo para las dems unidades. Otra modi-ficacin es en la unidad dedicada a probabilidad y estadstica, donde se simplifican los contenidos adecundolos al tiempo disponible. Por ltimo, se redistribuye el tiempo dedi-cado a cada Unidad.

El programa sea dividido en cinco unidades:

1. Sistema de ecuaciones lineales. 2. Ecuaciones cuadrticas. 3. Funciones. 4. Probabilidad y estadstica. 5. Temas selectos de lgebra. El hecho de que en las unidades 1 y 2 no aparecen explcitamente como antecedentes la manipulacin y los procedimientos algebricos, como: operaciones, productos notables y factorizacin, es porque se considera que estas habilidades se deben desarrollar parale-lamente con el planteamiento y resolucin de problemas.

Objetivos

Se pretende que, a partir de la experiencia aritmtica, se descubran patrones y rela-ciones, y que se expresen en forma simblica por medio de lgebra.

Prondudizar en el concepto y las operaciones con los diferentes tipos de nmeros para la solucin de problemas en diversos contextos algebraicos.

Utilizar el lenguaje simblico de lgebra, en el planteo y solucin de problemas que involucren ecuaciones de primero y segundo grados y sistemas de ecuaciones linea-les.

Asimilar el concepto de funcin, para relacionar la dependencia entre dos variables, por medio de expresiones algebraicas.

Representar e interpretar grficamente las soluciones de los diferentes tipos de ecua-ciones y de sistemas de ecuaciones.

Construir modelos matemticos elementales a partir de procesos inductivos, determi-nando los conceptos involucrados en diferentes contextos como el aritmtico, geom-trico, algebraico, probabilstico, estadstico, etc.

Iniciar el estudio de algunos temas de lgebra superior, como son ecuaciones polino-minales, desigualdades, s istemas no lineales y lgebra de matrices.

Orientaciones metodolgicas

Se propone que el tiempo que se emplea para desarrollar exclusivamente las des-trezas operativas se fusione con el utilizado en el desarrollo de los contenidos. Al proponer problemas en el lenguaje comn se pueden obserbar las estrategias de resolucin que emprenden los alumnos, las dificultades que van encontrando y las tcticas que emplean para salvarlas. El poseer habilidades para simplificar y ope-rar las expresiones hace ms expedito el proceso para resolver una ecuacin; pe-ro es hasta este momento cuando el estudiante encuentra la razn del desarrollo de esas habilidades.

Unidad 1

Sistemas de ecuaciones lineales Tiempo propuesto: 16 horas.

Presentacin El ncleo de esta Unidad son los sistemas de ecuaciones lineales y su solucin. Por me-dio de diferentes mtodos, por lo que se puede vincular con Matemticas IV, Qumica II y concebir esta Unidad como una breve introduccin al lgebra lineal, que es utilizada en diversas ciencias como: biologa, economa y fsica.

Objetivos Resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden mxn; dominar los diferentes m-

todos de solucin. Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales en diferentes

contextos, como el de la qumica, fsica, economa, y poder interpretar el conjunto so-lucin.

Interpretar en el plano coordenado la representacin de las ecuaciones lineales y sus soluciones y determinar regiones definidas por desigualdades lineales.

Contenidos temticos

Sistemas lineales 2x2, 2x3, 3x3, 3x2, mxn. Mtodos de solucin: sustitucin, igualacin, suma y resta, mtodo de eliminaciones

sucesivas (eliminacin gaussiana) y determinantes. Interpretacin geomtrica de las soluciones: puntos, rectas y planos, en el plano o en

el espacio. Sistemas de desigualdades lineales. Actividades de aprendizaje

1. Plantear problemas como: a) Tengo $1.85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total poseo 22 monedas, cun-

tas son de 10 centavos y cuntas de 5 centavos? b) El costo de entrada a un espectculo vara de hombre a mujer en razn 3 a 5. Asis-

tieron 87 hombres y 36 mujeres, y se recaudaron $2987.00. Cunto cuesta la en-trada para hombres, y cunto para mujeres?

c) Si a los dos trminos de una fraccin se aade 1, el valor de la fraccin es 2/3, y si a los dos trminos se resta 1, el valor de la fraccin es 1/2. Hallar la fraccin.

d) Si Juan le da a Pedro $1, ambos tienen lo mismo, y si Pedro le da a Juan $1, Juan tendr el triple de lo de Pedro. Cunto tiene cada uno?

2. Interpretar grficamente la solucin de un sistema de 2X2. Analizar lo que ocurre

con las soluciones, si una de las ecuaciones es multiplicada por k. 3. Analizar las caractersticas algebraicas del sistema de ecuaciones si las grficas

son: a) rectas no paralelas,

b) rectas paralelas, c) misma recta.

Mostrar ejemplos de sistemas de ecuaciones consistentes e inconsistentes, y en el caso de ser consistentes, ver si son determinados o indeterminados.

4. Introducir los sistemas de desigualdades lineales a travs de un problema de opti-mizacin, interpretar el significado de cada desigualdad como subconjunto del plano coordenado, y resolver usando la interpretacin geomtrica.

a) La produccin mensual de una planta de alambre de cobre es de diez toneladas, dos compaas, C

1 y C

2 requieren juntar por lo menos 5 toneladas de alambre de

cobre al mes. El costo de envo por cada tonelada es de $500 para C1 y de $600

para C2. Encuentre la manera de enviar el alambre de manera que el costo sea mnimo.

b) Se preparan dos alimentos A y B, para una cena. El alimento A tiene 3 unidades de protena, 2 de colesterol y 1 unidad calrica por gramo. El alimento B tiene 2 unidades de protena, 1 de colesterol y 1unidad cal-rica por gramo. Se desea que la racin de comida tenga, por lo menos, 19 unidades de protena, no ms de 11 unidades de colesterol y no ms de 7 unidades calricas. El gramo de alimento A cuesta $0.55 y el de B, $0.45. Cuntos gramos de cada alimento se deben servir para minimi-zar el costo de la racin.?

Los mtodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de sustitucin, de igualacin y de suma-resta son eficientes solo para sistemas de dos y, a veces, tres ecuaciones, pero en situaciones con mayor nmero de ecuaciones resul-tan ms dficiles de utilizar y es cuando los mtodos de eliminaciones sucesi-vas y determinantes muestran su valor, puesto que se pueden aplicar sin im-portar el nmero de ecuaciones.

Unidad 2

Ecuaciones cuadrticas Tiempo sugerido: 16 horas.

Presentacin El tema de esta unidad es el enlace para llegar a los planteamientos ms generales de la teora de ecuaciones algebraicas, permite desarrollar las operaciones de potenciacin y radicacin, y se introduce la discusin sobre la naturaleza y significado de los nmeros, pues de las soluciones de las ecuaciones cuadrticas surgen nmeros irracionales y complejos. Otro aspecto importante es que se incrementa el campo de problemas donde podemos aplicar el lgebra; por ejemplo, en Matemticas III y IV, as como las materias de Fsica.

Objetivos Plantear ecuaciones cuadrticas a partir de un enunciado en prosa. Resolver ecuaciones cuadrticas. Interpretar los conjuntos solucin de ecuaciones y desigualdades cuadrticas en la

recta numrica, con la ayuda del plano cartesiano. Resolver desiguadades cuadrticas.

Contenidos temticos Aritmtica de radicales. Productos notables y factorizacin. Mtodos de solucin para las ecuaciones de segundo grado: Factorizacin, completar el trinomio cuadrado perfecto, frmula general, relacin

entre el discriminante y el nmero de soluciones. Interpretacin geomtrica de las soluciones. Desigualdades de segundo grado. Actividades de aprendizaje 1. Hacer ejercicios de aritmtica con radicales, simplifique:

a) 2 3 + 3 3 - 4 3 ; b) 5 32 + 2 50 ; c) 4 28 - 63 - 7 2. Resolver problemas que involucren productos notables y factorizacin:

a) Las personas que asistieron a una reunin se estrecharon la mano. Una de ellas advirti que los apretones de mano fueron 66, cuntas personas concurrieron a la reunin?

b) Hallar tres nmeros consecutivos en los que el cuadrado del nmero del medio sea mayor en una unidad que el producto de los dos restantes.

3. Hacer ejercicios de productos notables (binomio al cuadrado, binomios conjugados, binomios con trmino comn, etc.) y factorizacin (factor comn, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, etc.)

4. a) Encontrar la frmula general de la solucin de la ecuacin Ax2 + Bx + C = 0, completando el cuadrado. Resolver algunos ejemplos y analizar el tipo de solucio-nes que se obtienen.

b)Analizar la naturaleza de las soluciones en funcin del discriminante. 5. Encontrar la ecuacin de segundo grado dadas las races. Estudiar las frmulas de

Vieta: x

1 + x

2 = -B/A

x1 x2 = C/A 6. Resolver problemas como:

a) La suma de dos nmeros reales es 40 y su producto es 76, encontrar los nme-ros.

b) Se desea cercar un rea rectangular de 400 m2, de tal manera que uno de los lados tenga 10 metros menos de longitud que el otro. Calcular las dimensiones y determinar la cantidad de material que se requiere.

c) Un nmero real es tal que 2/3 del mismo multiplicado por su mitad es igual a 3 cul es ese, nmero?

d) Si cada lado de un cuadrado se incrementa en 1.5 m, el rea se incrementa en 25 m2. Calcular el lado del cuadrado.

7. Interpretar geomtricamente las soluciones de una ecuacin cuadrtica Ax2 + Bx + C =0, observando las races de la funcin y=Ax2+Bx+C. Estudiar los casos en que hay dos soluciones reales, una o ninguna, que es cuando la parbola corta el eje de las x, es tangente o no lo corta, respectivamente. Analizar los cambios en las soluciones que originan los cambios de los va-lores de A, B o C.

Unidad 3

Funciones Tiempo sugerido: 16 horas.

Presentacin En esta Unidad, los ejercicios exigen un esfuerzo mayor de los alumnos en el estricto tra-bajo matemtico; las destrezas para la induccin y deduccin entran en juego para reco-nocer intuitivamente patrones de comportamiento y traducirlos a frmulas. Posteriormen-te, el trabajo se simplifica al establecer el concepto de funcin y trabajando la graficacin de funciones. Esta Unidad es antecedente cognoscitivo para Matemticas IV, Taller de Estrategias para la Resolucin de problemas e Introduccin al Clculo.

Objetivos

Conocer los conceptos que involucra la definicin de funcin, y el papel de sta en la elaboracin de modelos.

Representar y analizar relaciones dadas por tablas, reglas verbales y grficas. Conocer y hacer grficas de funciones de distintos tipos, as como mostrar la variedad

de situaciones que pueden ser representadas por un solo tipo de funcin. Saber modificar la grfica, si se modifican los parmetros de su expresin algebraica. Contenidos temticos Anlisis de tablas de variacin. Uso de frmulas y despeje de sus trminos. Grficas de funciones:

la recta como funcin lineal, la parbola como funcin cuadrtica, la hiprbola como funcin y=1/x, y otras funciones racionales,

las funciones exponencial, logaritmo y trigonomtricas. Actividades de aprendizaje

1. A partir de tablas que relacionan valores numricos, intentar deducir la regla de for-macin de la tabla, probar la bondad de la regla encontrada interpolando y extrapo-lando diversos casos.

a) Para la siguientes tablas encuentre los valores que deben ocupar las casillas vacas:

x f(x) x f(x) u g(u) x f(x) 0 1 -3 7 0.3 0.87 10 1.0 1 3 -2 5 0.4 20 1.3 2 5 -1 2 0.5 1.75 30 1.47 3 0 1 0.6 40 4 9 1 2 0.7 2.87 100 2 5 11 2 5 0.8 200 2.3 6 13 3 0.9 4.23 300 2.47 7 4 1.0 400 8 5 26 1.1 5.83 1000 3.0

9 6 37 1.2 2000 3.3 10 7 1.3 7.64 3000

2. Hay problemas que generan sus propias tablas, por ejemplo, hallar la suma de los

primeros quinientos nmeros naturales, sabiendo que esta actividad permite a los alumnos bsquedas de distintos tipos, desde una construccin pictrica con rectn-gulos o la bsqueda directa de patrones de crecimiento de los valores, restando su-cesivamente los valores encontrados.

1 = 1 1+2 = 3 1+2+3 = 6 1+2+3+4 =10 1+2+3+4+5 =15 .... 1+2+...+500 = ? 3. Estudiar cmo cambia la grfica de la recta y=mx+b al variar el parmetro m o el

parmetro b. 4. Fijar los elementos de una funcin, dominio, contradominio, regla de corresponden-

cia, imagen e imagen inversa. Analizarlas con diagramas de bolas y flechas, con ta-blas y, finalmente, en la representacin en un plano coordenado. Intentar, a partir de la grfica, hacer una tabla, mostrar entonces el valor cualitativo de la grfica, y su limitacin en la precisin para determinar los valores sobre la grfica misma.

5. Hacer las grficas de funciones como: f

1(x)=x2; f

2(x)=Ax2+Bx;

f3(x)=Ax2+Bx+C, etc. Dirigir a los alumnos a encontrar una forma intuitiva

para saber cmo ser la grfica a partir de analizar la frmula con la regla de la cebolla, y del trazado de rectas.

Unidad 4

Probabilidad y estadstica Tiempo sugerido: 12 horas.

Presentacin Continuamos con la formacin en esta rea, que inicia en el primer semestre de este plan de estudios, donde se recapitulan los elementos de probabilidad y estadstica. Para este momento, los alumnos ya han madurado sus habilidades operacionales y asimilado el concepto de funcin y su representacin grfica. Utilizando estos elementos, se retoman los temas de probabilidad y estadstica, para extenderlos en los aspectos de modelacin.

Objetivos

Conocer y aplicar el concepto de variable aleatoria discreta. Conocer e interpretar el concepto de funcin de distribucin de probabilidad. Contenidos temticos Variables aleatorias

definicin de variables aleatoria; tipos de variables aleatoria: discreta, continua

Distribucin de probabilidad de una variable aleatoria valor esperado de una variable aleatoria, varianza de una variable aleatoria, distribucin de probabilidad emprica; de una varable aleatoria discreta y de

una variable aleatoria continua, distribucin de probabilidad terica; distribucin binomial, valor esperado en una distribucin binomial.

Actividades de aprendizaje

Es importante plantear problemticas que sean accesibles a los alumnos, derivadas de situaciones o vivencias de los mismos. Veamos algunos ejemplos :

1. Sea el juego de lanzamiento de 2 dados y X la suma de los puntos. a) Determinar los valores para la variable aleatoria X b) Por qu la variable aleatoria X es discreta? c) Determinar la distribucin de probabilidad para la variable aleatoria d) Presentar una grfica de la distribucin obtenida. e) Determinar el valor esperado o esperanza de la variable aleatoria f) Determinar la varianza para la variable aleatoria X.

2. Cinco pelotas numeradas, con 1, 2, 3, 4 y 5, se encuentran en una urna. Se sacan 2 pelotas al azar de las cinco y se anotan sus nmeros. Encuentre la distribucin de probabilidad para la variable aleatoria X = suma de los puntos.

3. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento gstrico es 0.8. Supngase que 20 personas han contrado tal afeccin. a) Cul es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14? b) Cul es la probabilidad de que al menos 10 sobrevivan?

c) Cul es la probabilidad de que a lo ms 16 sobrevivan? d) Se distribuye binomialmente la variable aleatoria?

4. Segn los resultados oficiales de la ltima eleccin, 60% de los habitantes del muni-cipio votaron por el PAN; un grupo de investigadores dice que eso es falso, para confirmarlo, realizan un muestreo aleatorio de los votos emitidos. Si el tamao de la muestra es 20, de los cuales 8 son a favor del PAN; ser evidencia suficiente para afirmar que no vot el 60% por el PAN, sino menos?

5. Un proceso de produccin opera con un porcentaje de deficiencia de 10%, los art-culos los empaca en cajas de 6. Cul es la probabilidad de que en las cajas no halla ningn artculo defectuoso?, cul es la probabilidad de que haya ms de un artculo defectuoso?

Unidad 5

Temas selectos de lgebra Tiempo sugerido: 8 horas.

Presentacin Esta Unidad contiene temas para que los estudiantes profundicen en la teora algebraica, cada tema es opcional, el profesor deber elegir uno o ms temas segn el tiempo y los intereses del grupo. Cada tema exige del estudiante mayor desarrollo en las destrezas operativas y de abstraccin alcanzadas en las unidades anteriores, preparndolos para las matemticas universitarias, donde se desarrollan el clculo diferencial e integral y el lgebra lineal.

Objetivos

Profundizar los conocimientos en uno o ms temas del lgebra. Ejecutar correctamente operaciones y algoritmos ms generales. Estudiar algunas aplicaciones de los temas seleccionados. Contenidos temticos Teora de ecuaciones Sistemas de ecuaciones no lineales Ecuaciones exponenciales y logartmicas lgebra de matrices Sucesiones y series Actividades de aprendizaje

Actividades para el tema Teora de ecuaciones:

1. Para desarrollar la teora de ecuaciones se recomienda partir del estudio grfico de los polinomios, es importante discutir en este contexto el significado de las races, su acotacin y aproximacin. En el siguiente problema se ilustra una aplicacin de un polinomio de grado mayor a dos. a) Construir una caja, cortando cuadrados de las esquinas de una hoja rectangu-

lar, si las dimensiones de la hoja son de 25 cm por 40 cm y la longitud del lado de los cuadrados es de x cm, entonces la ecuacin cbica V = x(25 - 2x)(40 - 2x). describe la relacin entre el volumen y la altura de la caja resultante. Con el fin de determinar el valor de x para el cual el volumen es un nmero especfico, digamos V = 1800 cm3, requerimos resolver la ecuacin x(25 - 2x)(40 - x) = 1800.

Actividades para el tema Sistemas de ecuaciones no lineales:

Al resolver los sistemas de ecuaciones, como los que posteriormente plantearemos, el sistema inicial se reduce, mediante ciertas simplificaciones, a un sistema equivalente. To-das las soluciones pueden ser halladas por los procedimientos conocidos. En ciertos ca-sos es necesario pasar a sistemas que tienen ms soluciones que el original. En estos casos, las soluciones deben comprobarse al sustituirlas en el sistema inicial.

En problemas aislados se usan las frmulas de Vieta, que enlazan los coeficientes de las ecuaciones de tercer grado

x3+px2+qx+r=0

con sus races x1, x2, x3 y son las siguientes:

x1+x2+x3=p, x1x2+x2x3+x3x1=q, x1x2x3=-r

estas frmulas se encuentran igualando los coeficientes de las correspondientes poten-cias de x en la igualdad

x3+px2+qx+r=(x-x1)(x-x

2)(x-x

3).

A. Encuentre todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones

x3+y3=1 x2y+2xy2+y3=2.

B. Encuentre las soluciones reales del sistema de ecuaciones

x4+y4-x2y2=13, x2-y2+2xy=1,

que satisfacen la condicin xy>0.

Actividades para el tema Ecuaciones exponenciales y logartmicas: 1. De acuerdo con la definicin de logaritmo de un nmero N, en base a, tendremos

log a N= X

En esta frmula, N es cualquier nmero positivo y a, la base del logaritmo, es tambin un nmero positivo y distinto de 1.

A continuacin, al resolver toda una serie de problemas, es til conocer la frmula para pasar de logaritmos con base a, a logaritmos con base b, y viceversa,

logaN=log

bN/log

ba.

Haciendo en la primera frmula N=b, deducimos de la segunda frmula que

logab=1/logba.

2. Resolver problemas como: los materiales traslcidos tienen la propiedad de re-ducir la intensidad de la luz que pasa a travs de ellos. Una hoja de 1mm de es-pesor de cierto material plstico, reduce la intensidad en 8% Cuntas hojas de este tipo se necesitan para reducir la intensidad de un haz de luz a un mximo de 25% de su valor original?

R: Cada hoja de plstico reduce la intensidad al 92% de su valor original, de este modo (0.92)x=0.25, entonces xlog(0.92)=log(0.25) y x=log(0.25)/log(0.92)=16.62, se necesitan 17 hojas.

Actividades para el tema lgebra de matrices:

1. Veamos cmo a partir del siguiente ejemplo se pueden estudiar diversos conte-nidos relacionados con matrices y sus operaciones.

El aprovisionamiento de mercancas se representa mediante matrices, para poder tener una visualizacin ms clara. Tambin resulta conveniente en algu-nos casos, usar la computadora.

Los blue-jeans o vaqueros existen en distintas tallas y de diversas marcas. Al hacer un recuento de material en depsito, encontramos en un negocio 23 pan-talones de la marca Wrangler en las siguientes tallas (x = x pulgadas de cintura), 3 de 28", 11 de 30", 6 de 32" y 3 de 34". Para otras marcas encontramos las si-guientes cantidades MARCA 28 30 32 34 Wrangler 3 11 6 3 Levi-Strauss 5 5 4 3 Club de France 1 7 0 0 Bobos 6 2 2 2 Ball 3 0 0 3

Toda esta informacin puede organizarse en una matriz, para lograr que los datos salten a la vista.

a) Completa la matriz de existencias W L CF Bo Ba 28 3 5 1 6 3 30 . . . . . 32 . . . . . 34 . . . . . b) Cuntos pantalones de tu talla tiene el negocio? c) En qu talla existe la mayor variedad de marcas? El vendedor desea ampliar existencias, para ello debe considerar los siguientes puntos:

De las marcas Wrangler y Levi-Strauss se venden aproximadamente el do-ble que de las otras marcas.

Las tallas 30" y 32" se venden dos veces ms rpido que 28" y 34". De una misma marca no quiere tener mas de 40 pantalones

d) Haz t mismo el pedido con base en las condiciones arriba mencionadas y escrbe-

lo de forma matricial, llamaremos P a la matriz de pedido. e) Las existencias aumentaron con el pedido, encuentra la matriz de existencia actual E2 = E1 + P. f) En una semana se venden:

1 3 0 1 2 5 8 6 1 2 2 3 5 6 0

0 1 1 0 3 Indica en forma de matriz cules son las existencias al finalizar la semana (E3 = E2 - V ). Tiene sentido la matriz V segn el pedido que t hiciste?, en caso de que no, modifica P o V, para que puedas calcular E3.

Actividades para el tema Sucesiones y series

1. Nmeros figurados. Un nmero figurado es aquel que podemos representar por medio de puntos

arreglados con cierto orden geomtrico y segn la figura que formen, sern triangulares, cuadrados, poligonales, piramidales, etc.

Por ejemplo, los nmeros cuadrados * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 4 9 16 los triangulares

* * * *

* * * * * * * * * * * * * * * *

1 3 6 10 los pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, ...; los hexagonales: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, ...; etc. Para cada una de las sucesiones podemos encontrar el trmino general del n-simo tr-mino, por ejemplo, la frmula para el n-simo nmero triangular es n(n+1)/2 ; entonces, para calcular el cuarto trmino hacemos 4(4+1)/2=4(5)/2=20/2=10, como se muestra en el diagrama de arriba. Para los cuadrados es n2, etc.

Algunos ejercicios sobre estas sucesiones son: a) Dibujar los diagramas para los nmeros triangulares, cuadrados, pentagonales,

hexagonales y heptagonales, hasta el cuarto o quinto trmino, de manera que que-de claro cul es el patrn de dibujo.

b) En la sucesin de triangulares T1=1, T

2=3, T

3=6, T

4=10, T

5=15, ..., obtener la frmula

de Tn. Note que Tn = 1+2+3+4+...+n, es decir, la serie corresponde a la suma de la progresin aritmtica 1, 2, 3, ...,n.

c) Hallar los trminos generales, es decir, el trmino n-simo para los nmeros cua-drados C

n, los pentagonales P

n, los hexagonales H

n, asociados a las progresiones

aritmticas 1, 3, 5, 7, 9, ..., 1, 4, 7, 10, 13, ..., 1, 5, 9, 13, 17, ..., respectivamente. d) Demostrar que la frmula del n-simo poligonal, cuando el polgono tiene L lados, es

(L-2)n2-(L-4)n 2 Empiece por verificar que funciona para casos particulares de los poligonales que ya encontr la frmula, Triangulares: L = 3 , n = 1, 2, 3, 4, 5,...

Bibliografa

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Matemticas III Academia de: Matemticas III

Departamento de: Ciencias formales

Semestre en el que se cursa: tercero

Carga horaria semanal: 3 horas Distribucin de la carga

horaria semanal: una sesin de dos horas y otras de una hora

Carga horaria semestral: 51 horas

Periodo de elaboracin: octubre-diciembre de 1993

Periodo de modificacin: julio-septiembre de 1998

Presentacin

El tema central de este curso es la geometra y en segundo trmino, la trigonometra.

La geometra se distingue por la claridad y la sencillez tanto en el enunciado del resultado, como en los planteamientos a partir de los cuales debe obtenerse ese resultado. De ah que la Geometra nos brinde las mejores oportunidades para desarrollar el pensamiento lgico en la escuela.

Los conceptos de la geometra y la trigonometra se aplican en el estudio de esttica y dinmica de la Fsica, en la estructura molecular de la Qumica, en la cartografa de la Geografa. Su estudio contribuye a reforzar la formacin del pensamiento lgico, necesa-rio para comprender la rigurosidad de los aspectos demostrativos y deductivos tan carac-tersticos de la geometra, continuando as con los objetivos del taller de Lgica, que se imparte en el primer semestre. Las modificaciones realizadas a este Programa consisten en la reubicacin de contenidos en seis unidades en lugar de cuatro; esto es, por la nece-sidad que presentaban los temas de cuadrilteros, crculo y reas de conocer y manejar elementos de congruencia de tringulos, para que al abordar dichos temas, se pudiera justificar y demostrar sus propiedades y teoremas bsicos.

Los objetivos y cargas horarias se redistribuyeron ajustndolos a las nuevas unidades y se agregan objetivos en las unidades que se refieren al desarrollo de habilidades para demostrar, que solo apareca como objetivo general. El programa est integrado por las siguientes seis unidades:

1. Polgonos. 2. Congruencia y cuadrilteros. 3. Semejanza y crculo. 4. reas y permetros. 5. Trigonometra.

6. Slidos. Objetivos

El alumno deber ser capaz de:

Utilizar la regla y el comps, y los dems instrumentos del juego de geometra, para descubrir las propiedades y caractersticas de las figuras, y para hacer mediciones y transformaciones geomtricas.

Calcular distancias, ngulos, permetros, reas y volmenes de figuras y cuerpos geomtricos, usando resultados y teoremas pertinentes de la geometra.

Comprender y utilizar con propiedad el lenguaje de la geometra para comunicarse y operar los objetos geomtricos.

Identificar y expresar las relaciones que existen, en cuanto a forma, cantidad y ubica-cin, entre los elementos esenciales de uno a varios objetos geomtricos.

Resolver problemas referentes a cuestiones espaciales, tanto en mbitos reales como en los creados especficamente para la enseanza.

Visualizar cuerpos geomtricos en el espacio y construir sus representaciones en el plano.

Justificar y argumentar la veracidad de sus resultados y afirmaciones geomtricas, a partir de los postulados, definiciones y teoremas bsicos de la geometra.

Orientaciones metodolgicas

Se sugiere una introduccin gradual al pensamiento deductivo, pero sin olvidar que la comprensin y el acceso a la demostracin no es un objetivo fcil de lograr en la mayora de los estudiantes y requiere de un largo periodo de preparacin.

Si se considera que el lgebra constituy el tema central del curso anterior, es importante insistir en la vinculacin del lgebra con la geometra. Normalmente, en los cursos de geometra, se suele caer en esta desvinculacin y la mayora de los textos que existen la propician.

En esta asignatura, los dibujos son importantes para fijar las ideas y poderlas dis-cutir con los alumnos, pero se debe ser cuidadoso de mostrar que slo es un ejemplo de una situacin generalizada, una conjetura, que hay que ir fortaleciendo con otros ejemplos y, en ltima instancia, demostrarla. Las actividades que se su-gieren en las unidades representan slo una muestra, no pretenden cubrir ni todos los contenidos ni todos los objetivos.

Polgonos Tiempo propuesto: 8 horas.

Presentacin En este Unidad se inicia el estudio especfico de la geometra. No se trata de empezar con las definiciones de los conceptos bsicos, sino que, partiendo de que los alumnos tienen cierta experiencia geomtrica, ya sea que la hayan adquirido en cursos anteriores o en su contacto con el mundo fsico, entrar directamente con actividades sobre polgonos, que incluyan o propicien la precisin del vocabulario bsico de la geometra, y la explora-cin y descubrimiento de las propiedades de determinados polgonos.

Objetivos

El alumno ser capaz de:

Usar la regla, el comps y dems instrumentos para la reproduccin y trazado de figu-ras geomtricas.

Construir diferentes tipos de polgonos con determinadas caractersticas. Utilizar las definiciones, postulados y teoremas bsicos de la voluntad en la resolucin

de problemas. Contenidos temticos

Queremos recalcar que el orden en que se enumeran los contenidos de todas las unida-des, no necesariamente es el orden en que se estudian, sino que a partir del planteamien-to de problemas y actividades adecuadas, se aborden de la manera que resulte ms natu-ral.

Puntos, rectas y segmentos. Segmentos congruentes, punto medio de un segmento. Interseccin de rectas, ngulos opuestos por el vrtice. Rectas paralelas, perpendiculares y secantes, ngulos entre ellas. Mediatriz de un segmento. Clasificaciones diversas de ngulos: rectos, agudos, obtusos, complementarios, su-

plementarios y adyacentes. Congruencia de ngulos. Suma de ngulos internos y externos en un pol