MMatemáticas escolares:atemáticas escolares:

Aportes para orientar

procesos de innovación

Ministerio de Educación NacionalRepública de Colombia

MINISTRA DE EDUCACIÓN NACIONALCecilia María Vélez White

DIRECTOR INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR – ICFESDaniel Bogoya Maldonado

SUBDIRECTORA DE ASEGURAMIENTO DE LA CALIDADMagdalena Mantilla Cortés

AUTORESCecilia Barón PáezPedro Javier Rojas G.Claudia Salazar

COORDINACIÓN ELABORACIÓN DEL DOCUMENTOFlor Patricia Pedraza DazaJanneth Carvajal AlvaradoClaudia Lucia Sáenz Blanco

EDITOR: ICFES

PRIMERA EDICIÓN: 25.000 ejemplares

Diagramación: Claudia Consuelo Ladino Banco de Pruebas - ICFES

preprensa digital, impresión y terminados: Grupo de Procesos Editoriales de la

Secretaría General del ICFES Bogotá, Febrero 2003

2003 Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior - ICFES

Se permite la reproducción parcial o total de este documento siempre y cuando se haga con propósitos educativos y se otorguen los respectivos créditos.

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CContenidoontenido

PRESENTACIÓN

INTRODUCCIÓN

¿CUÁL ES EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO DESEABLE PARA EL ESTUDIANTE EN EL CONTEXTO SOCIAL?

¿CUÁL ES EL TRABAJO DE AULA QUE FAVORECE ESE CONOCIMIENTO MATEMÁTICO?

¿CUÁL ES EL PAPEL DE LA PREGUNTA Y DE LA EVALUACIÓN EN ESTA FORMA DE TRABAJO?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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PPresentaciónresentación

La evaluación del estado de desarrollo de las competencias básicas en las áreas de lenguaje y matemáticas ocupa un lugar prominente en el plan de desarrollo del actual gobierno, ya que se reconoce la necesidad inaplazable que tenemos todos los ciudadanos de informarnos sobre las fortalezas y debilidades de la formación de nuestros estudiantes en estas dos áreas.

Consecuentes con esta meta durante el año 2002, se aplicaron de manera censal en algunas zonas del país, las pruebas SABER en las áreas de matemáticas y lenguaje. Estos resultados, unidos a los obtenidos en aplicaciones anteriores y a los que se tendrán en este año, permitirán tener una línea de base nacional a partir de la cual será posible llevar a cabo acciones más focalizadas para la cualificación de la educación.

El presente documento es uno de los productos del análisis y estudio de los resultados encontrados a lo largo de las aplicaciones de las pruebas SABER. En éste, los autores a solicitud del ICFES, aportan algunos elementos conceptuales en torno a tres preguntas básicas para la educación matemática, con las cuales se pretende motivar la reflexión de los docentes, en torno a su acción educativa en el aula.

Esperamos que este documento cumpla con el propósito para el cual fue escrito y se constituya en fuente consulta entre los docentes del área, de tal manera que desencadene un intercambio enriquecedor, necesario para mejorar día a día en la labor

El presente documento tiene como propósito aportar algunos elementos conceptuales para que los profesores de matemáticas interesados, inicien procesos de investigación curricular en sus instituciones. Para ello el documento se ha estructurado alrededor de tres preguntas fundamentales:

¿Cuál es el conocimiento matemático deseable para el estudiante en el contexto social?¿Cuál es el trabajo de aula que favorece ese conocimiento matemático?¿Cuál es el papel de la pregunta y de la evaluación en esta forma de trabajo?

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IIntroducciónntroducción

En la primera, se presenta fundamentalmente el cambio que se ha venido produciendo en lo que se considera el conocimiento matemático pertinente y deseable para los ambientes escolares; se desarrollan algunas caracterizaciones de los hechos, conceptos, estructuras, destrezas, razonamientos y estrategias que configuran el conocimiento matemático, y se destacan las relaciones que se deben establecer entre éste y el contexto social.

En la segunda, se hace una propuesta sobre cuáles deberían ser los ejes fundamentales de trabajo en la clase de matemáticas: el conocimiento matemático, la comunicación y la formulación y resolución de problemas. Así mismo, se exalta la importancia de las interacciones que se producen en el aula entre los estudiantes, los profesores y el saber matematico, buscando un ambiente propicio para el desarrollo de competencias en los estudiantes. Se destacan actividades como el trabajo colectivo, el debate, la socialización, la confrontación y la argumentación, las cuales adquieren un papel relevante en esta dinámica.

En la tercera, aparecen algunas especificaciones sobre las distintas funciones que cumple la evaluación y los desarrollos de

innovación y renovación que pueden favorecerse con los procesos generados a partir de la evaluación. Por otra parte, se establece una distinción necesaria entre la información que ofrece una evaluación masiva como las pruebas SABER y la evaluación que el maestro realiza en el aula, enunciando fortalezas, alcances y limitaciones de cada una, de tal modo que puedan apreciarse como complementarias.

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deseable para el estudiante

en el contexto social?

CC¿¿

Desde mediados del siglo XX, la idea de la matemática como un cuerpo estático y acabado de conocimientos, producido por la genialidad de algunas mentes, fue reevaluada en dirección a reconocer que tales conocimientos han surgido, en las diferentes culturas, como respuesta a necesidades sociales (contar, medir, localizar, diseñar, explicar, jugar,...), y a su interdependencia con otras disciplinas, así mientras nuevos conceptos ganan vigencia, otros la pierden, y por tanto, es pertinente que la escuela también discuta acerca de la manera como las nuevas perspectivas, tanto en matemáticas como en didáctica, se reflejan en el currículo desarrollado con los niños.

No se discute, por ejemplo, la pertinencia e importancia de realizar un trabajo orientado al aprendizaje de las operaciones aritméticas, pero la forma en que usualmente se abordan refleja que el conocimiento matemático se concibe más como un hacer que como una forma de conocer a partir de la reflexión sobre las acciones, pues es ampliamente aceptado como propósito fundamental de la matemática en la básica primaria el dominio de “las cuatro operaciones” y producto de esta creencia es el énfasis en la mecanización de un procedimiento de cálculo, usualmente el algoritmo clásico, que en nuestra cultura se utiliza para cada una de las operaciones: suma, resta, multiplicación y división de números naturales, incluso desde los primeros grados.

En algunos grupos, como el de vendedores en plazas de mercado o de productos al detal, es usual que se privilegie el hacer cuentas en forma oral antes que en forma escrita, haciendo uso de procedimientos diferentes a los enseñados en la escuela, pero tan válidos como éstos, que además evidencian una comprensión del sistema de numeración desde la representación verbal-oral, aunque ésta no necesariamente se refleje en el trabajo con representaciones simbólicas. En tal sentido, la escuela, antes que mantener la hegemonía en el cálculo escrito y segregar a quien no

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uál es el conocimiento matemáticouál es el conocimiento matemático

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lo hace, debería utilizar el saber manifiesto en el trabajo desde lo verbal-oral para potenciar apropiación de la representación simbólica que socialmente es requerida. Por ejemplo, si un niño representa el número “dos mil cinco” como 2.0005, ¿qué posibilidades de éxito tendrá al aplicar los procedimientos de cálculo tradicionalmente enseñados?.

En el aprendizaje de una operación, antes de abordar estos procedimientos de cálculo (algoritmos) es necesario que los niños hayan alcanzado comprensión profunda del sistema de numeración de valor posicional, a través de la experiencia

Algunos niños, a quienes se les ha enseñado a sumar vertical-mente unidades, decenas y centenas, realizan procedimientoscomo éste:

¿Qué refleja esta respuesta sobre el sentido numérico del niño? ¿Qué comprensión del algoritmo y del sistema numérico se aprecia?

399 +

39101

Acciones con material didáctico, como el ábaco y los bloques multibase, o el trabajo con billetes y monedas (equivalencias, pagos y cambios).

Uso de diversas representaciones, tanto a nivel verbal-oral, como gráfico y simbólico, partiendo de las diversas propuestas de los niños, para posteriormente contrastarlas con las establecidas culturalmente.

Procesos de argumentación acerca de las acciones que los modelos concretos, gráficos o simbólicos sintetizan

Uso significativo de la operación en múltiples casos particulares, pues sin valorar hechos y relaciones que se repiten en un gran número de casos carece de sentido pretender generalizar un procedimiento de cálculo.

Realización de cálculos mentales y aplicación de estrategias de estimación.

“Un currículo dirigido al desarrollo de técnicas no puede ayudar a comprender, no puede desarrollar significados, no puede capacitar al alumno para que adopte una postura crítica dentro o fuera de las matemáticas. Por tanto mi opinión es que un currículo dirigido al desarrollo de técnicas no puede educar. Sólo puede instruir y adiestrar, siempre y cuando tenga éxito, pero por mucho éxito que tenga en estos cometidos, por sí mismo no puede educar. Además si fracasa en instruir y adiestrar, entonces no hace nada positivo por el niño. Para el niño que tiene éxito es como mucho, un adiestramiento; pero para el niño que fracasa es un desastre.” (Bishop, 1999, p.26)

Aunque se acepta la necesidad de contar con algoritmos como procedimientos eficientes para obtener el resultado de operaciones, no se justifica el excesivo espacio dedicado a trabajar el algoritmo usual para cada operación, sin posibilitar a los estudiantes ampliar su comprensión sobre las operaciones aritméticas mediante la explicación y valoración tanto de sus propias maneras de calcular, en las cuales suelen hacer explícito el uso de propiedades matemáticas, como del ingenio y la facilidad o complejidad de los algoritmos construidos por otras culturas.

69x35 = (60+9)x(30+5) = 60x(30+5)+9x(30+5) = 60x30+60x5+9x30+9x5 = 1800+300+270+45 = 2415

70x35 = [7x(30+5)]x10 = [210+35]x10 = 245x10 = 245069x35 = 2450-35 = 2415

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Multiplicación Egipcia(a partir de duplicaciones) (por celosías)

Multiplicación Hindú

69x35 = 2415 69 1 * 138 2 * 276 4 552 8 1104 16 2208 32 *

1 + 2 + 32 = 3569 + 138 + 2208 = 2415

69x35 = 2415 6

1

9

5

321 2

8 7

3 40 5

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Por otra parte, aunque en ámbitos diferentes al escolar, cuando se requiere hacer cuentas es indiscutible la necesidad de una calculadora, algunos docentes aún no permiten a los niños usarlas en la clase de matemáticas. Pero encontrar el resultado de una operación ya no es un problema fundamental en la actualidad, pues la tecnología ha dispuesto herramientas para la ejecución rápida y precisa de los cálculos; en el presente se requiere contribuir al desarrollo de un razonamiento cuantitativo más general para encontrar caminos en la resolución de un problema, valorar la pertinencia de la estrategia de cálculo a emplear, discutir la coherencia de las respuestas obtenidas, e incluso comprender cómo se han desarrollado y cómo funcionan las herramientas de cálculo.

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1. Concepción que suele ser “reforzada” con la presentación que de los diversos temas se hace en los textos escolares.

Definiciones dadas por el maestro (por ejemplo, la media aritmética es definida como el promedio de los datos, la moda como el dato de mayor frecuencia y la mediana como el dato ubicado en el sitio intermedio al hacer una ordenación de los mismos).

Explicación de los procedimientos (cálculos que permiten obtener la media, moda o mediana a partir de los datos considerados).

Ejercicios de aplicación (los estudiantes hacen cálculos sobre algunos grupos de datos, teniendo en cuenta las definiciones y los procedimientos explicados previamente por el maestro).

Es importante insistir en que para desarrollar el pensamiento numérico de los niños y jóvenes no es suficiente con generar habilidades y destrezas de cálculo, pues además se requieren procesos de comparación, estimación, etc., así como la comprensión acerca de las relaciones cuantitativas inmersas en diversos contextos en los cuales el estudiante participa y frente a los cuales debe actuar haciendo uso del conocimiento que posee.

Otro campo que además de requerir del pensamiento numérico también permite profundizar en relaciones de tipo cualitativo es el relacionado con la estadística, cuya alusión no es muy frecuente en la tradición curricular, pues al parecer no se ha reconocido su importancia para la toma de decisiones en situaciones de la vida cotidiana que requieren de la obtención, organización y análisis de datos. Sin embargo, cuando estos temas son abordados, se enfatiza un tratamiento formal de los conceptos y procedimientos, basado en una concepción de enseñanza que ha

1tenido arraigo en nuestro medio , la cual da prioridad a la organización del conocimiento, sin dar suficiente importancia o incluso sin considerar el sentido que pueda tener para el estudiante, ni el significado que éste pueda construir, hecho que puede observarse en ciertas “rutinas de acción” que se desarrollan en el aula, por ejemplo, en relación con la enseñanza de medidas de tendencia central como media, mediana y moda, es muy frecuente desarrollar una secuencia que comprende:

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Ahora bien, dentro de los fines de la educación en la actualidad, a diferencia de las perspectivas aceptadas décadas atrás, se considera que la formación matemática no puede restringirse a la memorización de definiciones y a la ejecución de procedimientos, o dominio de destrezas de cálculo, sino que ella debe aportar elementos para que el estudiante construya colectivamente interpretaciones, representaciones y explicaciones de su mundo natural y social. Así, una formación matemática que contribuya a que el niño pueda hacer interpretaciones más apropiadas de su realidad, consideraría los mencionados temas ya no a partir de su ubicación dentro de las matemáticas como disciplina, sino a través del estudio de situaciones del mundo que se modelan mediante tales conceptos; estas situaciones se encontrarían vinculadas, por ejemplo, con proyectos tendientes a obtener para los niños de la escuela un suplemento alimenticio por parte de una institución externa, proyectos en los cuales es indispensable hacer argumentaciones sobre medidas que representen de la manera más adecuada el peso y la talla de los niños (media o promedio), para contrastarlas con los parámetros establecidos por organismos de salud para valorar deficiencias nutricionales.

Similarmente, en un proyecto de organización de una tienda en la escuela, sería necesario tener datos sobre los comestibles, refrescos, helados, etc., de mayor demanda (la moda para cada tipo de producto), para evitar las pérdidas que se generarían si los artículos ofrecidos no fueran comprados.

Sin embargo, cuando se pretende encontrar una medida representativa en conjuntos de datos que sean muy dispersos o que correspondan a una escala ordinal, como en el caso de encontrar la talla de los trajes o del calzado que podría ser más solicitada por los habitantes de cierto municipio, la mediana, obtenida al ordenar los datos de una muestra y escoger el que tiene la misma cantidad de datos tanto por encima como por debajo de él, es una medida más adecuada que la moda; e incluso carecería de sentido calcular un promedio a partir de datos cualitativos o de valores que, si bien son numéricos, no representan cantidad o medida, sino que son usados más como etiquetas que asignan un orden; por ejemplo, el número treinta (asociado a la talla 30) no

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equivale a los tres cuartos del cuarenta (asociado a la talla 40). Así, los objetos de las matemáticas escolares pueden actuar simultáneamente como organizadores, interpretadores, generadores de realidad y orientadores de la acción.

Formar un ciudadano que pueda ser interlocutor de la cultura, participando en los procesos y las dinámicas sociales actuales, requiere que la escuela aporte elementos para el manejo de información amplia y diversa, que puede demandar el uso comprensivo de herramientas tecnológicas o la organización de la información (en diagramas, tablas,...) para clasificar, ordenar, reconocer regularidades que faciliten la toma de decisiones.

Esto significa que el conocimiento matemático que se genere en la escuela, además de estar fundamentado en procesos de construcción, debe posibilitar tanto comprensión de los conceptos, formas de representación y uso del lenguaje matemático, como reconocimiento de su utilidad en contextos y situaciones específicas, y debe brindar elementos para explicar o sustentar no sólo los procedimientos, sino también la pertinencia de las decisiones tomadas.

De Guzmán (1989) considera que lo importante en la educación matemática actual es generar en la escuela una cultura matemática que contribuya a la “preparación para el diálogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente”.

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En este sentido, el conocimiento matemático no se considera un cúmulo de saberes rígidos y sin conexiones, por el contrario, en términos de Rico (1990), es concebido como una estructura configurada a partir de dos componentes fundamentales: La Conceptual y la Procedimental, que no pueden pensarse una independiente de la otra, pues la historia muestra que la estructuración de un concepto como una entidad estática ha sido antecedida por largos periodos durante los cuales se ha concebido como un procedimiento; pero también en el trabajo matemático se reconoce la potencia de las estructuras conceptuales para seleccionar procedimientos adecuados al abordar problemas complejos.

Rico reconoce tres niveles en el campo conceptual:

Hechos: Unidades de información que sirven como registro de acontecimientos, pero que pueden carecer de significado aisladamente.

Conceptos: Serie de unidades de información conectadas entre sí por medio de relaciones.

Estructuras conceptuales: Uniones o relaciones entre conceptos que constituyen conceptos de orden superior.

Componentes del conocimiento matemático

Conceptual

Hechos

Conceptos

Estructuras

conceptuales

Destrezas

Razonamientos en

Matemáticas

Estrategias

Procedimental

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Una situación particular del currículo podría ilustrar los niveles antes descritos: Es usual caracterizar un triángulo (como objeto matemático) a partir de enunciados como “tiene tres lados” o “tiene tres vértices”, los cuales podrían ser reconocidos por los niños en figuras que aunque cumplen con una de estas propiedades no son representaciones de un triángulo, como podrían ser:

Así, dichos enunciados, como hechos aislados, no son suficientes para caracterizar este objeto, en tanto no lo diferencian de otros. La construcción del concepto de triángulo requiere del reconocimiento de conexiones y relaciones entre diversos hechos: estar conformado por tres segmentos de recta, ser línea (poligonal) cerrada, tener tres vértices, tres ángulos, la longitud de cualquiera de sus lados no puede exceder la suma de las longitudes de los otros dos, además del reconocimiento de características que se conservan bajo transformaciones (traslaciones, giros, reflexiones, ampliaciones,...), entre otros, y la estructura conceptual está dada, por ejemplo, por la posibilidad de construir criterios de clasificación para los triángulos (según la longitud de sus lados, o la amplitud de los ángulos), y de reconocimiento como un tipo particular de polígonos: regulares, irregulares, convexos; así como, posteriormente, reconocer los criterios de semejanza y sus relaciones con los conceptos de la trigonometría.

Ahora bien, en el campo procedimental, Rico reconoce como niveles:

Destrezas: Aritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación; que suponen el dominio de los hechos y tienen significado para quien las utiliza y su ejecución debe darse al interior de una estructura conceptual.

Razonamientos en matemáticas: Enunciados, procesos para fundamentar una idea a partir de datos o premisas y reglas de inferencia.

Estrategias: Formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual, como estimación, aproximación, construcción de tablas, simplificación de tareas difíciles, comprobación y establecimiento de conjeturas.

Generar este tipo de conocimiento matemático en la escuela, hace necesario pensar en el trabajo de aula que favorecería tal conocimiento, trabajo que no puede estar orientado por la memorización de definiciones y hechos aislados, sino por la construcción de estructuras conceptuales y de diversas estrategias.

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Cuando se aborda el tema del diseño curricular surgen inquietudes relativas no sólo a las concepciones y saberes del profesor, a las concepciones y saberes de los estudiantes y al conocimiento matemático escolar, sino también, a las dinámicas de aula o interacciones que entre profesor, estudiantes y saber se producen.

La atención explícita a estas interacciones, es considerada en la actualidad como un eje fundamental de la clase de matemáticas, en tanto es a partir de la discusión de los distintos puntos de vista, de los distintos argumentos (descriptivos, explicativos, comparativos o metafóricos, pruebas no formales,...), propuestas y contrapropuestas que se producen en el aula, como se construye colectivamente el saber y se legitima al otro como parte fundamental en el proceso de construcción de conocimiento y de competencias individuales. Por ello, en esta dinámica de construcción, el papel de la comunicación es fundamental para establecer consensos y construir criterios de validación colectivos ante el conocimiento que se pone en juego.

Este tipo de trabajo supone, por una parte, que el maestro cumple con un papel fundamental como mediador entre el razonamiento y los significados personales de los estudiantes y los razonamientos, argumentos y significados institucionales de las matemáticas como conocimiento cultural y, por otra, que es en la interacción de saberes, producida en el aula, donde se reconocen y se ubican las matemáticas como una actividad humana situada en un contexto; y que son precisamente estas interacciones entre situaciones problema–estudiantes–profesor, las que hacen aparecer la discusión sobre lo matemático, permitiendo construir criterios colectivos de validación (qué se considera como solución para un problema, cuándo dos soluciones son realmente

CC¿¿ uál es el trabajo de aula queuál es el trabajo de aula que

favorece ese conocimiento

matemático?

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2. Los errores que el profesor evidencia en el trabajo de los niños suelen ser producto de concepciones diferentes, lo cual no implica que los procedimientos y razonamientos por ellos realizados carezcan de validez; por tanto, penalizar el error podría impedir la exploración de estrategias alternativas y generar temores que obstaculizarían el desarrollo del pensamiento creativo.

distintas, reconocimiento de la validez de los argumentos y procedimientos,...) y normas sociales para la convivencia, discusión y concertación en el aula de clase.

SITUACIONES PROBLEMA

PROFESOR ESTUDIANTES

Pero la pregunta fundamental es ¿cómo organizar toda esta postura epistemológica, metodológica y pedagógica en un diseño curricular coherente con sus fundamentos? Para dar respuesta a este interrogante se requiere realizar un análisis del enfoque direccionador de la clase, ya que es a partir de éste que se pueden “definir” o “redefinir” las temáticas a considerar o los ejes conceptuales fundamentales que articularán el conocimiento matemático escolar, y por ende, afinar algunos elementos metodológicos para que se produzcan las condiciones apropiadas para la consecución de los objetivos perseguidos.

En oposición a la presentación del conocimiento matemático como un cuerpo de conocimiento producto de deducciones a partir de enunciados cuya validez debe ser asumida como principio, en las últimas décadas ha ganado aceptación el enfoque de resolución de problemas para el trabajo en el aula en la clase de matemáticas, en tanto que los procesos, razonamientos y dinámicas en las que tienen que involucrarse los estudiantes cuando resuelven y formulan problemas, son comparables con acciones que a través de la historia se han realizado para la construcción de conocimiento matemático: planteo de hipótesis, exploración de estrategias de verificación o refutación, realización de inducciones y generalizaciones e incluso valoración

2del trabajo producto de concepciones erróneas .

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En este orden de ideas, el conocimiento matemático, la comunicación y las interacciones que se producen en torno a las matemáticas, y en ellas la formulación y resolución de problemas, se constituyen en tres aspectos fundamentales sobre los que el profesor debe fijar su atención en los desarrollos individuales y grupales de sus estudiantes, pues de esta manera estará dando cuenta y trabajando en el desarrollo de competencias matemáticas (interpretativa, argumentativa y propositiva), pues son precisamente estos tres aspectos los que las configuran y las hacen ser.

Así, los problemas no se reducirían a simples ejercicios de mecanización y aplicación de conocimientos previamente estudiados, pues la resolución de problemas puede verse como una actividad que involucra procesos cognoscitivos superiores, como visualización (más allá de lo puramente perceptivo), asociación, abstracción, comprensión, razonamiento, análisis, síntesis y generalización. Algunos estudios han demostrado que la reflexión realizada por el estudiante sobre sus propias acciones en el proceso de resolver problemas posibilita la modificación de sus estructuras cognoscitivas y desarrolla habilidades para comunicarse matemáticamente, además de posibilitarle generar procesos de investigación alrededor de conceptos y procedimientos matemáticos, y explorar diversas estrategias de solución.

El análisis de dos situaciones permitiría apreciar posibilidades de trabajo desde el enfoque de resolución de problemas.

FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓNDE PROBLEMAS

CONOCIMIENTO MATEMÁTICO COMUNICACIÓN

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SITUACIÓN 1

Realice las siguientes sumas:

70 + 60 =

100 + 130 =

100 + 150 =

Existe una diferencia radical entre las acciones que demandan las dos situaciones, pues mientras en la primera realizar la operación es un fin en sí mismo y el énfasis se ubica en el procedimiento de cómputo para encontrar un resultado, en la segunda, la operación es sólo uno de los medios para abordar la pregunta, pues sin acudir a ella también es posible decidir cuál ruta es más corta, por ejemplo, estableciendo relaciones entre las longitudes de los distintos tramos. Esta situación permitiría también establecer conexiones con otros temas, como combinatoria (análisis de todas las posibles rutas), medida (estimación de las posibles longitudes y áreas de un terreno donde se ubique la pista), velocidad (análisis acerca de cuando se recorre mayor o menor distancia en una unidad de tiempo). Además se da lugar a prácticas que contribuyen a la formación ciudadana, al elaborar argumentos con el propósito de convencer, reconocer al otro al tomar en cuenta sus opiniones y buscar consensos sobre lo que es aceptado como solución.

60 m

70 m

META100 m

A

100 m B

150 m

C

D

60 m

¿Cuál es la rutamás corta parallegar a la metapartiendo del punto A?

SITUACIÓN 2

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CC¿¿ uál es el papel de la preguntauál es el papel de la pregunta

y de la evaluación en esta

forma de trabajo?

Como se ha propuesto en párrafos anteriores, este trabajo en el aula orientado desde el enfoque de formulación y resolución de problemas, acerca al estudiante a situaciones que lo retan y cuestionan, sobre las cuales puede actuar en búsqueda de comprensión; para ello, pone en juego saberes de distinta naturaleza que le permiten, entre otros, acercarse, establecer caminos posibles (aunque no todos sean pertinentes) y tomar decisiones. En estas acciones del estudiante respecto a la situación problema, la pregunta es el lugar de encuentro entre los saberes, la experiencia natural o la experiencia vivida y los conocimientos matemáticos, sus lógicas y razonamientos plausibles.

Una reflexión sobre el papel de la pregunta aportaría elementos para actuar ante la actitud de algunos estudiantes que se dedican a oprimir teclas para obtener el resultado de las operaciones o a seleccionar, copiar y pegar textos de las enciclopedias virtuales y de la red internet para elaborar sus trabajos escritos. En lugar de prohibir el uso de calculadora o la presentación de trabajos escritos en computador se tendría que cambiar el sentido de la pregunta, pues es la pregunta planteada por el docente la que direcciona el tipo de actividad y de acciones mentales en que se involucra el estudiante. Así las preguntas que exigen comprender, explicar, generalizar, tendrían que desplazar a las que buscan sólo un resultado o una información.

La pregunta en la clase de matemáticas debería ser entonces un elemento que permita problematizar (analizar pertinencia y validez, reconocer alcances y limitaciones,...), complejizar (lo cual no significa complicar, sino favorecer el establecimiento de relaciones, de perspectivas diversas,...), y orientar el conocimiento en discusión; la pregunta en tanto permite comunicar los significados compartidos y no compartidos entre estudiantes y docente, no tiene que ser responsabilidad exclusiva del profesor.

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A través de las preguntas que se formulen en la clase, puede darse la posibilidad de validación del saber, la generación y construcción de discursos que favorezcan el uso de distintas formas de argumentación. Además, es a partir de las preguntas de sus estudiantes, como el profesor puede dar cuenta de los significados y los sentidos que ellos dan a los conocimientos que circulan en el aula, por lo cual, ésta se constituye también en una alternativa importante para la evaluación.

Así, ante los nuevos retos constituidos como fines para las matemáticas escolares, determinados en parte por las necesidades de la cultura y la sociedad, la evaluación aparece como un elemento fundamental para la consecución de estos objetivos y para el establecimiento de criterios de calidad en los procesos educativos, que toman como saber de referencia las tendencias planteadas desde la Educación Matemática como disciplina, intentando con esto, incidir en las prácticas tradicionales de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Este interés ha motivado la construcción y aplicación de diversos instrumentos y estrategias de evaluación, propuestos a los distintos estamentos involucrados en el sistema educativo: instituciones, currículos, profesores y estudiantes. Estas evaluaciones, de naturaleza distinta y con objetos de evaluación diferenciados, responden a propósitos diferentes y están sujetas a algunas limitaciones. Tal es el caso de las evaluaciones de carácter masivo que se vienen llevando a cabo en el país, con el propósito de establecer una caracterización nacional de las competencias matemáticas de los estudiantes de grados tercero, quinto, séptimo y noveno.

Estos instrumentos de evaluación o pruebas, permiten establecer algunas caracterizaciones generales de las competencias matemáticas de los estudiantes, como por ejemplo:

“Nueve de cada 10 niños de grado quinto pueden usar los algoritmos de las operaciones básicas o establecer relaciones de orden” (MEN-ICFES, 1997, p.77)

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“De 45.416 estudiantes de noveno grado, 104 pueden abordar problemas que requieren un conocimiento matemático más formal que implica el reconocimiento de estructuras matemáticas que involucran más de un concepto, relación o procedimiento para su resolución, utilizando un lenguaje que exige mayor formalidad sintáctica y semántica”. (MEN-ICFES, 1999, p.7)

“En cuanto el tópico de geometría el rendimiento presentado por los estudiantes de grado quinto es medio, en este tópico se analiza el reconocimiento de figuras geométricas y sus propiedades, transformaciones en el plano (rotaciones y traslaciones); ángulos; perpendicularidad y paralelismo y área por recubrimiento.

El rendimiento de éstos estudiantes fue significativamente bajo cuando se enfrentaron con situaciones en donde se hace referencia a la interpretación y representación de gráficas, al conteo, la proporcionalidad y las posibilidades; las cuales se analizan en el tópico de estadística”. (MEN-ICFES, 1999, p.45).

.

.

También ofrecen información más específica en relación con tópicos o conceptualizaciones puntuales de las matemáticas escolares, como es el caso de:

Tales caracterizaciones se constituyen en un indicador importante sobre el desempeño de los estudiantes colombianos, aunque tienen limitaciones para establecer diferencias que se pueden vislumbrar en los estudiantes como individuos o grupos de individuos (cuestión que claramente no debe ser propósito de estas evaluaciones); los mencionados aspectos tendrían que ser abordados desde la evaluación que docente y estudiante hacen en el aula, quienes por estar comprometidos en las interacciones suscitadas en ella en torno a las matemáticas escolares, pueden llevar a cabo descripciones más elaboradas sobre los desempeños, progresos, prácticas, comprensiones y argumentos que en estos espacios se generan y se constituyen en determinantes para los propósitos escolares.

Además del seguimiento sobre competencias matemáticas, es importante el reconocimiento de las actitudes de los estudiantes en el trabajo que desarrollan en el aula y fuera de ella: persistencia,

perseverancia, establecimiento de metas a corto, mediano y largo plazo, compromiso que asumen con sus propósitos, búsqueda de soluciones a las dificultades encontradas, actitud crítica e investigativa, entre otras.

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Por otra parte, es necesario que profesores y estudiantes lleven a cabo la evaluación de aspectos relacionados con su formación como individuos, integrantes de una comunidad, esto es, su papel como miembro de un grupo, las relaciones con sus pares, el reconocimiento y legitimidad de los otros -que se evidencia en la consideración y discusión de sus argumentos-, aspectos que como ya se ha planteado pueden ser incorporados al trabajo en matemáticas, a través del enfoque de resolución de problemas.

De este modo, es posible evidenciar los alcances y la potencia de la evaluación en el aula, que sin lugar a duda, demanda un seguimiento permanente e integral de los estudiantes y debe cumplir con funciones de distinta naturaleza, según Jiménez (1997), la evaluación tiene una misión social, ética y pedagógica.

La función social, le otorga como misión ayudar y orientar a los estudiantes y satisfacer sus demandas, de esta manera, la evaluación debe permitirle al estudiante llevar “un seguimiento de su proceso”, de tal modo que pueda establecer estrategias que le conduzcan a superar las dificultades que se le han presentado, a través de la autoevaluación es posible contribuir con este propósito.

Una situación particular de aula estaría relacionada con el reconocimiento por parte del estudiante de su capacidad para interpretar situaciones del mundo, lograr comprensión de procesos sociales y culturales, tomar decisiones en diversas situaciones y prácticas que le impliquen poner en “uso” las competencias desarrolladas en torno a la interpretación, selección y organización de la información, reconocimiento de diversas formas de representación y el establecimiento de la pertinencia de unas u otras, dependiendo del contexto.

La función ética y política, le señala a la evaluación el objetivo de destacar la legitimidad del error como vía de acceso al conocimiento -cuando esta vía es complementada por la crítica y la superación del conocimiento anterior-, esto es, la evaluación debe permitir encontrar en el error, en el obstáculo, una ruta legítima para acercarse a la temática, a la solución del problema, a la construcción del lenguaje; debe reconocerlo no como indicador de fallas, sino como parte del proceso; y observar en él, la posibilidad de vislumbrar diferencias, potencialidades y miradas distintas.

Por último, la función pedagógica, que señala a la evaluación la misión de incentivar el avance del estudiante en el dominio de estructuras conceptuales, planteándole situaciones diversas, por ejemplo, a partir del grado cuarto y hasta el grado séptimo, la fracción es una temática importante para las matemáticas escolares, en este proceso, la evaluación debe permitir hacer un seguimiento a la construcción de distintas interpretaciones como parte todo, razón, cociente, operador y a su vez a la construcción de algoritmos, estrategias, razonamientos, estructuras en torno a éstas.

Así, la evaluación que el profesor realiza en el aula de clase puede proporcionar información cualificada acerca de los desarrollos alcanzados por sus estudiantes y la manera como han ido complejizando su competencia matemática, así como sobre el desarrollo de una actitud de búsqueda; además debería posibilitar a profesores y estudiantes reconocer y valorar la diversidad de aportes realizados por los integrantes de los grupos, sin pretender homogenizar. Esta evaluación debe arrojar información a la que el profesor no puede acceder a través de los resultados de las evaluaciones masivas, ya que estas intentan dar cuenta de ciertos parámetros de calidad y no de los aprendizajes de los estudiantes o los obstáculos que en estos procesos pueden identificarse.

Por lo tanto, es necesario reflexionar de qué manera estos dos tipos de evaluación pueden complementarse y qué aspectos

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pueden aportar en la reflexión sobre las prácticas pedagógicas actuales, sobre las dinámicas de las instituciones educativas, sus PEI, sus currículos, sus programas, sus proyectos, etc., así se podrán determinar los posibles contextos en los que se debe involucrar a los estudiantes para el desarrollo de su competencia matemática y se hará posible el establecimiento de “condiciones” para el mejoramiento de la calidad de la matemática escolar en el país.

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BISHOP, A. (1999). Enculturación Matemática. Barcelona: Paidós.

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