Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Continuidad de Funciones 4º ESO o 1º Bachiller

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IDEA DE CONTINUIDAD. Continuidad implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la función.

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El punto variable Q se aproxima al punto P, cuando h se aproxima( o tiende) a cero(0). La continuidad de la función f(x) en el punto P significa que a un incremento pequeño ∆x = h, le corresponde una tasa de variación pequeña ∆y =f(a+h)-f(a). Si h 0 la tasa de variación ∆y también tiende a 0. En matemáticas, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida de un solo pedazo, en el sentido de que se puede dibujarla sin levantar el lápiz, como en figura siguiente: El intervalo I = [-5; 9] (cifras rojas) es el dominio de definición de f, el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) tiene sentido.

El intervalo J = [-5; 4] (cifras azules) es el codominio de f, el conjunto de los valores tomados por y = f(x). Se escribe f(I) = J.

El mayor elemento de J (aquí 4) se llama el máximo de f, y el meno elemento de J (aquí -5) es su mínimo

http://es.wikipedia.org/wiki/Matemáticas�

http://es.wikipedia.org/wiki/Función�

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo�

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Una función es continua en el punto x =a, cuando la tasa de variación, se aproxima a 0, al aproximarse a 0 el incremento de la variable x. Lo expresaremos del siguiente modo:

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Haciendo x= a+h, la expresión La expresamos: Ya que si h 0 x a Definición: Una función es continua en un punto: 1º.-Si existe límite en citado punto 2º.- Y además este límite coincide con el valor que toma la función en ese punto.

AAAhhhooorrraaa bbbiiieeennn,,, eeessstttaaa cccooonnntttiiinnnuuuiiidddaaaddd dddeee lllaaa qqquuueee hhhaaabbblllaaammmooosss,,, iiimmmpppllliiicccaaa 333 cccooonnndddiiiccciiiooonnneeesss::: a).- Existe límite de la función f(x) en x = a b).- La función está definida en x = a, es decir existe f(a) c).- Los dos valores citados, anteriormente, coinciden Vamos a ver un ejemplo con una función:

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Echando un vistazo a la tabla de valores de la función, vemos que cuando x tiende a 2, la función f(a) = 3. Por tanto la función es continua en x=2, ya que cumple las 3 condiciones impuestas: 1ª Existe límite de la función en x = 2 2ª La función está definida en x = a, ya que existe f(a) 3ª El límite de f(x) coincide con el valor de f(a) En la página siguiente tenemos representada la tabla de valores, a la que hacemos referencia:

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OTRA DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Decimos que una función es continua en un punto x000, cuando en dicho punto podemos asegurar que: 111ººº la función está definida en x000, es decir f(x000) existe 222ººº los límites laterales existen (se pueden calcular y además son finitos) y son iguales, lo que equivale a afirmar que: 333ººº existe el límite de la función en dicho punto, expresándolo: y coincide el límite de la función en el punto con su valor en dicho punto, es decir:

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OTRA DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. La tasa de variación de una función en un punto x = a es el incremento de la función f(x) para un incremento de la variable independiente x . Es decir, si en un punto x = a, incrementamos la variable x en h, la tasa de variación es :

TV [ a, a+h ] = f( a+ h) – f(a)

El incremento hhh puede ser positivo o negativo, según como sea el incremento se calcula la tasa de variación por la izquierda o por la derecha.

Vamos a ver este ejemplo con más detalle:

Tanto cuando h es negativo como cuando es positivo, si h tiende a 0, la tasa de variación también tiende a 0.

Una función y = f(x) es continua en un punto x = a de su dominio si el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero. Es decir:

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tlimitesintroduccion.htm#dominio�

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tcontinuidad.htm#tasadevariacion�



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Intuitivamente una función es continua en un punto cuando a incrementos muy pequeños de la variable independiente, x, le corresponden incrementos muy pequeños de la variable dependiente, y. Dicho de otra forma, no se necesita levantar el lápiz del papel para dibujar la gráfica de la función.

Observación: Para que una función sea continua en un punto, es necesario que esté definida en ese punto.

Para el estudio de la continuidad de una función en un punto, es útil el siguiente teorema:

Son equivalentes las dos proposiciones siguientes:

Una función es continua, si es continua en todos los puntos de su dominio.

Recordaremos, que Dominio o Campo de existencia de una función, es el conjunto de valores que toma la variable independiente, o expresado de otra forma:

Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) existe.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN TODO SU DOMINIO.

Una función es continua en todo su dominio cuando lo es en cada punto del dominio.

Una función se dice que es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos.

Para ilustrar lo que acabamos de decir, analizamos la continuidad de una función

racional en todo (conjunto de los números reales).

Una función polinómica racional es continua en todos los puntos de la recta real, excepto en aquellos en los que su denominador se anula.

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tlimitesintroduccion.htm#dominio�

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Si el denominador se anula y el numerador no lo hace en un punto x0, la función presenta en x0 una discontinuidad.

CUESTIÓN IMPORTANTE.

Si una función no está definida en un punto, no es ni continua ni discontinua en el citado punto.

La función en x = 0 no está definida.

Por tanto ni es continua ni discontinua.

OTRA DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

En esta gráfica se tiene que:

sí existe

f(c) no existe

En estas gráficas se tiene que:

no existe

f(c) sí existe

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sí existe

f(c) sí existe, pero


sí existe

f(c) sí existe y además

Un vistazo a las figuras anteriores nos permite darnos cuenta que, salvo en la última, en todas las demás la gráfica de la función presenta algún tipo de ruptura de la curva sobre el valor de x=c. En otras palabras solamente la gráfica del último caso podría ser dibujada "sin levantar el lápiz del papel". Esta última es la que intuitivamente llamaríamos una función continua. Precisamente la definición de continuidad está basada en la situación que se presenta en este último caso.

Definición 3.2. Continuidad

Supongamos que f es una función que está definida en algún intervalo abierto que contenga a c. Decimos que la función f es continua en x=c si se tienen las siguientes condiciones:

1. Existe f(c), esto es: c está en el dominio de f.

2. También existe .

3. Además .

Si f no es continua en c se dice que es discontinua en c.

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Discusión sobre la continuidad de algunas funciones

1. Si tenemos una función constante f(x)=k, sabemos que para cualquier

c se tiene =k y además f(c)=k. Esto nos dice que es una función continua.

2. La función identidad f(x)=x también es continua pues f(c)=c y

. 3. La función es:

a. discontinua en 1 porque f (1) no existe, pero b. continua en todos los demás puntos. Por ejemplo f(2)=3 y

En realidad, si al calcular un límite cuando x tiende a c éste se obtiene por simple evaluación (es decir: no es un límite indeterminado), entonces la función es continua en c.

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=c entonces también son continuas en c la suma f + g, la diferencia f - g, el producto f · g y, si g(c) 0, el cociente f / g. Por otra parte, si g es continua en c y f es continua en g(c) entonces la composición f ° g es continua en c.

De acuerdo con este teorema y los puntos 1 y 2 del ejemplo anterior se tiene que la mayoría de las funciones que manejamos en este nivel son continuas en todos los puntos o casi en todos los puntos. Pues, efectivamente, estas funciones se obtienen mediante la combinación de las operaciones indicadas en el teorema a partir de la función identidad y de las funciones constantes.

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CCCOOONNNTTTIIINNNUUUIIIDDDAAADDD LLLAAATTTEEERRRAAALLL... Una función es continua por la derecha en un punto, si existe límite por la derecha en el citado punto y además coincide con el valor que toma la función es ese punto: f continua en a+ Una función es continua por la izquierda en un punto, si existe límite por la izquierda en el citado punto y además coincide con el valor que toma la función en ese punto:

f continua en a-

PPPRRROOOPPPIIIEEEDDDAAADDDEEESSS DDDEEE LLLAAA CCCOOONNNTTTIIINNNUUUIIIDDDAAADDD...

Si una función es continua en un punto: tiene límite en ese punto.

Ejemplo:

En realidad para calcular este límite, hemos sustituido la x por su valor.

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Debemos recordar: Una de las condiciones para que la función sea continua en un punto(punto 3ª que hemos visto) es que el límite de la función f(x) y el valor que toma la función en ese punto (x = a = 2 ), vale lo mismo, por tanto:

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Si una función es continua en un punto x = a y siendo f(a) ≠ 0, existe un entorno de x = a en el que los valores que toma f(x) tienen el mismo signo que f(a).

Si una función es continua en el punto x = a y f(a) ≠ 0 existe la función inversa.

AAANNNUUULLLAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE UUUNNNAAA FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN...

Si una función toma valores positivos y negativos en cualquier entorno del punto

x = a, la función se anula en el citado punto.

Vamos a ver un ejemplo de ello:

En el entorno ( - 1, + 1 ) la función toma valores positivos y negativos, por tanto la función se anula en el citado entorno

La función se anula

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Si una función es continua en el punto x = a, existe un entorno de x = a en que la función está acotada.

OOOPPPEEERRRAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOONNN FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNNEEESSS CCCOOONNNTTTIIINNNUUUAAASSS...

Todas las funciones elementales (polinómicas, racionales, exponenciales y trigonométricas) son continuas en todos los puntos donde estén definidas.

Suma.

La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

Demostración:

Sean f y g dos funciones continuas en un punto x0. Esto significa que:

Para probar que la función suma f+g es una función continua en x0, es necesario demostrar que:

Resta.

La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

La demostración se hace de forma similar a la anterior, basándose en las propiedades de los límites de funciones.

Producto.

El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

Producto de una función por un número.

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El producto de una función continua en un punto, por un número real, es otra función continua en ese punto.

Cociente.

El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto, siempre y cuando que el denominador no se anule.

Composición de funciones.

Si f es una función continua en x0 y g es otra función continua en f(x0), la función compuesta ( g 0 f ) es continua en el punto x0.

Propiedades de las funciones continuas.

Si una función es continua en el punto x0, entonces es convergente en x0, es decir existe el límite de la función cuando x tiende a x0.

f( )x =x

x2 1 x2 1 = 0 x2 = 1 x = 1

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No está definida en el intervalo ( -1, + 1 )

Por tanto esta función, ni es continua, ni discontinua.

Las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x+1 son continuas en la recta real por tanto:

f(x) + g(x) = x2+2x+1

f(x) . g(x) = x2 (2x+1)

f(g(x)) = (2x+1)2.

También lo son.

Las funciones f(x) =x2+1 y g(x) = x2-1, son continuas en todos los puntos, sin embargo su cociente:

Entonces esta función cociente no es continua, ya que la función no está definida en el intervalo (-1,+1).

Por tanto la función cociente, tan solo, es continua en su dominio

El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto, siempre y cuando que el denominador no se anule.

Vamos a estudiar otra función:

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La función racional: está definida para todo número real x ≠ 1

f(x) = x +1 siendo x ≠ 1, ya que en x = 1 la función no está definida.

A la gráfica de la función, le falta el punto ( 1, 2 ) valor en el cual la función no está definida.

La función es continua en todo su dominio: D = R - +1

¿Cómo puede completarse la función para que sea continua en toda la recta real?

Para ello basta definir la función en x = 1. El valor debe ser f(1) = 2 y así la gráfica de la función será:

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DDDIIISSSCCCOOONNNTTTIIINNNUUUIIIDDDAAADDD...

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Cuando hhh es negativo y hacemos que tienda a 000,,,la tasa de variación no tiende a 000 y por tanto la función no es continua en el punto aaa.

Recordamos: Una función es continua en un punto: 1º.-Si existe límite en citado punto

2º.- Y además este límite coincide con el valor que toma la función

Una función es dddiiissscccooonnntttiiinnnuuuaaa en un punto cuando no existe límite en el citado punto o bien en caso que exista no coincide con el valor de la función en el citado punto.

DDDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE PPPUUUNNNTTTOOOSSS DDDEEE DDDIIISSSCCCOOONNNTTTIIINNNUUUIIIDDDAAADDD...

La búsqueda práctica de puntos de discontinuidad, para una función cuya gráfica desconocemos consiste – en primer lugar – en determinar si existen puntos de la recta real donde ocurren, entre otras, las siguientes situaciones:

a).- La función no está definida

b).- La función esta definida de forma diferente para valore superiores o inferiores al punto.

c).- La función diverge al anularse su denominador.

d).- La función no puede calcularse al convertirse en negativo el argumento de una raíz de índice par.

e).- La función diverge al anularse el argumento de un logaritmo.

f).- La función no puede calcularse por tender a infinito el argumento de una función trigonométrica.

La clasificación de las discontinuidades en punto se basa en la existencia o no de los límites laterales en el mismo punto.

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Hemos visto anteriormente que las funciones pueden tener discontinuidades en algunos puntos. Básicamente la discontinuidad en algún punto x=c se presenta por alguna de las razones siguientes:

a).- El límite s si existe pero f(c) no existe.

b).- El límite si existe, f(c) también existe, pero:

c).- Ni f(c) ni existen

DDDiiissscccooonnntttiiinnnuuuiiidddaaadddeeesss dddeee dddiiifffeeerrreeennnttteeesss tttiiipppooosss

En la figura se presenta una función f:

Podemos ver que la función presenta cuatro puntos de discontinuidad.

En x=a se tiene que f(a) existe pero no existe.

En x = b se tiene que f(b) no existe y tampoco existe.

En x = c se tiene que f(c) no existe pero si existe.

En x = d se tiene que f(a) existe, también existe, pero

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Observando bien la gráfica, podemos ver que las discontinuidades son de diferente tipo. En ccc y en ddd la gráfica solo representa una "leve" ruptura, solo se interrumpe en un punto. Mientras que en aaa la gráfica "salta" de un lugar a otro y en bbb la gráfica "baja" indefinidamente. En los puntos en los que la gráfica solo se interrumpe en un punto sucede que el límite existe, mientras que en las otras circunstancias el límite no existe.

TTTiiipppooosss dddeee dddiiissscccooonnntttiiinnnuuuiiidddaaaddd

Sea f discontinua en x = c, decimos que

(a) la discontinuidad es eeevvviiitttaaabbbllleee si existe.

(b) la discontinuidad es iiinnneeevvviiitttaaabbbllleee si no existe.

En este caso, si

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existen pero son diferentes, se dice que la discontinuidad es de sssaaallltttooo...

CCClllaaasssiiifffiiicccaaannndddooo dddiiissscccooonnntttiiinnnuuuiiidddaaadddeeesss

Para la función cuya gráfica se da en la figura, las discontinuidades en xxx===ccc y en xxx===ddd son evitables. Las discontinuidades en aaa yyy bbb son inevitables. Por otra parte, la discontinuidad en a es una discontinuidad de salto.

Los nombres que se dieron en la definición anterior son bastante claros en cuanto a su significado. Si se tiene una discontinuidad evitable en xxx===ccc bastaría redefinir

para obtener una nueva función que sí es continua en x=c (así se evitaría la discontinuidad). Esto no se puede hacer en el caso de discontinuidades inevitables.

LLLaaa ccclllaaasssiiifffiiicccaaaccciiióóónnn dddeee lllaaasss dddiiissscccooonnntttiiinnnuuuiiidddaaadddeeesss eeennn uuunnn pppuuunnntttooo ssseee bbbaaasssaaa eeennn lllaaa eeexxxiiisssttteeennnccciiiaaa ooo nnnooo dddeee lllooosss lllííímmmiiittteeesss lllaaattteeerrraaallleeesss eeennn eeelll mmmiiisssmmmooo pppuuunnntttooo...

EEEVVVIIITTTAAABBBLLLEEE

CCCuuuaaannndddooo eeexxxiiisssttteee lll ííímmmiiittteee eeennn eeelll pppuuunnntttooo tttooommmaaadddooo yyy nnnooo cccoooiiinnnccciiidddeee cccooonnn eeelll vvvaaalllooorrr dddeee lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn eeennn eeelll pppuuunnntttooo,,, ooo bbbiiieeennn lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn nnnooo eeessstttááá dddeeefffiiinnniiidddaaa...

SSSiii aaa lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn pppooodddeeemmmooosss dddaaarrrllleee oootttrrrooo vvvaaalllooorrr eeennn dddiiiccchhhooo pppuuunnntttooo pppaaarrraaa qqquuueee fffuuueeessseee cccooonnntttiiinnnuuuaaa eeennn ééélll ,,, aaa eeesssttteee vvvaaalllooorrr qqquuueee llleee hhheeemmmooosss dddaaadddooo rrreeeccciiibbbeee eeelll nnnooommmbbbrrreee dddeee vvveeerrrdddaaadddeeerrrooo vvvaaalllooorrr dddeee lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn...

IIINNNEEEVVVIIITTTAAABBBLLLEEE

UUUnnnaaa fffuuunnnccciiióóónnn tttiiieeennneee uuunnnaaa dddiiissscccooonnntttiiinnnuuuiiidddaaaddd iiinnneeevvviiitttaaabbbllleee eeennn uuunnn pppuuunnntttooo::: cccuuuaaannndddooo eeexxxiiisssttteeennn lll ííímmmiiittteeesss lllaaattteeerrraaallleeesss eeennn eeelll pppuuunnntttooo,,, pppeeerrrooo sssooonnn dddiiissstttiiinnntttooosss...

SSSiii fff eeesss dddiiissscccooonnntttiiinnnuuuaaa eeennn eeelll pppuuunnntttooo xxx === aaa,,, eeelll vvvaaalllooorrr ssseeerrrááá:::

=== SSSaaallltttooo dddeee lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn

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¿Cómo podemos agrupar este tipo de discontinuidades?

Existe siempre

111ªªª EEEssspppeeeccciiieee Pero

Existe siempre f ( a )

Existe siempre

222ªªª EEEssspppeeeccciiieee Pero

SSSaaallltttooo fffiiinnniiitttooo

Existe siempre

Además el Salto es:

Existe siempre

222ªªª EEEssspppeeeccciiieee

SSSaaallltttooo IIInnnfffiiinnniiitttooo

Existe siempre

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1.- Sean las funciones f (x) = 3x +1 y g ( x ) = 2x -4.

Se pide definir la función f+g y además calcular las imágenes de los número 2, - 3 y 1/5.

(f+g) (x) = f(x) + g(x) = 3x +1 + 2x – 4 = 5x -3

f(x) g(x)

Ahora vamos a calcular las distintas imágenes solicitadas en el enunciado:

(f+g) (2) = 5 . 2 – 3 = 7

(f+g) (-3) = 5 . (-3) -3 = - 18

(f+g) (1/5) = 5. (1/5) – 3 = - 2

Lo que hemos hecho en realidad, es sustituir el valor de x por el que nos piden.

Podemos observar, que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo:

Por ejemplo la imagen del 2

f(2) = 3.2 +1 = 7

(f+g) (2) = 7 + 0 = 7

g(2) = 2.2-4 = 0

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2.- Dadas las funciones

y calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f-g.

(f-g) ( x ) = f (x) – g (x) = x2-3 – (x+3) = x2 – 3 – x – 3 = x2 – x - 6

f(x) g(x)

Ahora vamos a calcular las distintas imagines solicitadas:

(f-g) (1/3) = (1/3)2 -1/3 – 6 = - 56/9

(f-g) ( -2 ) = (-2)2 – (-2 ) -6 = 0

(f-g) ( 0 ) = (0)2- 0 – 6 = - 6

Lo que hemos hecho en realidad, es sustituir el valor de x por el que nos piden.

3.- Dadas las funciones

f(x) g(x)

4.- Dadas las funciones f (x) = -x -1 y g (x) = 2x + 3 definir f/g. y calcular las imágenes de los números -1, 2 y 3/2, mediante f/g.

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x =-3/2, donde la función g se anula.

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5.- Dada la función f(x) = x2 + x – 2, calcular 3. f y 1/3 f y obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 . f

6.- Estudiar la discontinuidad de la siguiente función:

f(x) =

3 Si x = 1

Lo primero que vamos a hacer es calcular los límites de la función cuando x = 1

Para deshacer esta indeterminación, descomponemos en factores el numerador:

28

PPPooorrr tttaaannntttooo fff(((xxx))) === 222

PPPooorrr oootttrrraaa pppaaarrrttteee ttteeennneeemmmooosss qqquuueee fff (((aaa))) === 333

EEEnnntttooonnnccceeesss eeelll vvveeerrrdddaaadddeeerrrooo vvvaaalllooorrr dddeee lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn,,, hhheeemmmooosss vvviiissstttooo qqquuueee eeesss (((xxx+++111)))

Vamos a efectuar la comprobación:

f(x) = 3

f(a) = 3

Ahora ya coinciden f(x) y f(a), por tanto la función es continua en el punto x =2


Si x ≠ 2

f (x)

4 Si x = 2

Vamos a calcular el límite de la función, cuando x = 2

29




EEEnnntttooonnnccceeesss eeelll vvveeerrrdddaaadddeeerrrooo vvvaaalllooorrr dddeee lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn,,, hhheeemmmooosss vvviiissstttooo qqquuueee eeesss (((xxx+++222)))


Si x ≠ 3

f(x)

1 Si x = 3

30

Vamos a calcular el límite de la función, cuando x = 3




EEEnnntttooonnnccceeesss eeelll vvveeerrrdddaaadddeeerrrooo vvvaaalllooorrr dddeee lllaaa fffuuunnnccciiióóónnn,,, hhheeemmmooosss vvviiissstttooo qqquuueee eeesss (((xxx---222)))

Hasta ahora todos los ejemplos son discontinuidades evitables, ya que calculando el verdadero valor de la función, sería continua.

31


2 Si x ≠ 1

f(x)

3 Si x = 1

Vamos a calcular los límites laterales de la función y observar:

¿Qué observamos? Que los dos límites laterales coinciden, entonces:

Pero

Ya que f(x) = 2 Pero f(a) = 3

Por tanto estamos ante una función discontinua. Inevitable de 1ª Especie.


2 Si x ‹ 1

f(x)

3 Si x ≥ 1

Vamos a calcular los límites laterales de la función:

¿Qué observamos? Que los dos límites laterales NO coinciden, entonces:

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Como los límites laterales, son finitos, vamos a calcular el salto de la función:

Salto : 3 – 2 = 1 Los signos indican valor absoluto

Por tanto estamos ante una función discontinua. Inevitable de 2ª Especie y Salto finito.


2 Si x ≤ 3

f(x)

-1 Si x › 3




Salto: -1 – 2 = 3 Los signos indican valor absoluto


33


f(x) Si



Vamos a calcular el salto de la función:

Salto: +∞ – ∞ Los signos indican valor absoluto

Por tanto estamos ante una función discontinua. Inevitable de 2ª Especie y Salto infinito


x+1 Si x ≥ 0

f(x)

x-1 Si x ‹ 0




34

Salto: +1 – (-1) = 2 Los signos indican valor absoluto


La función f(0) = 1 ya que f(x) = x+1 siempre y cuando x ≥0. Por tanto cuando x = 0,

f(x) = 1.


1 Si x ‹ 3

f(x)

x-2 Si x > 3



Pero



x2 -1 Si x ≠ 2

f(x)

5 Si x = 2

35



Pero

Ya que f(x) = 3 Pero f(a) = 5



x+1 Si x ≥ 0

f(x)

-x-1 Si x ‹ 0






La función f(0) = 1 ya que f(x) = x+1 siempre y cuando x ≥0.

36

17.- Estudiar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función:

x+1 Si x ≤ 2

f(x)

2x-1 Si x › 2






18.- Indicar si la siguiente función tiene algún punto de discontinuidad:

x+1 Si x ‹ 3

f(x) x2 Si 3 ≤ x ≤ 4

0 Si x ≥ 4

Lo primero que haremos será analizar las dos primeras entre ellas:



37


Salto: +9 – (+4) = 5 Los signos indican valor absoluto

La función es discontinua. Inevitable de 2ª Especie y Salto finito.

Por tanto el 1º punto de discontinuidad es f(3) = 9 y cuando f(4) = 0

A continuación analizamos la 2ª y 3ª condición, indicada:

Vamos a calcular los límites laterales de la función



Salto: 0 – (+16) = 16 Los signos indican valor absoluto


19.- Calcular los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

x2 -1 Si x ≤ 0

f(x)

2x-3 Si x › 0


38



Salto: 3 – (-1) = 2 Los signos indican valor absoluto


La función en 0 toma el valor -1 f(0) = - 1


2 –x2 Si x ≤ 2

f(x)

2x -6 Si x › 2



Por tanto la función es: Continua

f(2) = -2

39


Si x ≤ 1

f(x)

Si x › 1



Por tanto la función es: Continua

f(1) = 1


x – 1 Si x ≤ 1

f(x) x2-1 Si 1 ‹ x ≤ 2

x2 Si x ≥ 2

Lo primero que haremos será analizar las dos primeras entre ellas:




40

Salto: 0– (-2) = 2 Los signos indican valor absoluto


Por tanto el 1º punto de discontinuidad es f(1) = 0 y cuando f(2) = 3

A continuación analizamos la 2ª y 3ª condición, indicada:




Salto: 4– (+3) = 1 Los signos indican valor absoluto

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