Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Funciones 4º ESO o 1º Bachiller

1

FUNCIONES

Piénsese en una función como una pistola toma sus municiones de un

conjunto llamado dominio y dispara sobre un conjunto como blanco. Cada

bala le pega a un único blanco puntual, pero puede ocurrir que varias balas le

peguen al mismo punto. Podemos, a la vez, establecer la definición con mayor

finalidad e introducir alguna notación.

DEFINICIÓN.

Una función “f” es una regla de correspondencia que asocia a cada

objeto “x” de un conjunto llamado “dominio” un valor único f(x) de un

segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama “rango” de la

función.1

El dominio puede consistir en el conjunto de personas de su clase de

cálculo y el rango en el conjunto de calificaciones A, B, C, D, F, que se dan, y

la regla de correspondencia, el procedimiento que el maestro usa para

asignar las calificaciones.

2

De mayor importancia en cálculo serán aquellos ejemplos, en los que tanto el dominio

como el rango consista en un conjunto de números reales. La función “A”, podría tomar un

número real “x” y elevarlo al cuadrado para producir el número real x2. En este caso,

tenemos una fórmula que da la regla de correspondencia, en concreto:

x

Dominio Rango

A(x)=x ²

f

2

1

0

-1

-2

4

1

0

3

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida

en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada

elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

Se representa por f:

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto

inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa

por Dom(f ).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra

x, “x ” es la variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un

elemento de I que se representa por y “y” es la variable dependiente.

Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen

de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f)) o recorrido

de la función (f(D)).

Las gráficas son medios potentes para tratar gran número de

4

problemas. Se utilizan en todas las disciplinas: física, biología, economía,

sociología, psicología, etc.

Las gráficas dan una rápida información visual de la relación entre dos magnitudes.

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

1. Abajo tienes varias gráficas que relacionan distintas magnitudes.

Actividad resuelta:

5

"...quien a buen árbol se arrima......."

Desde las 9 de la mañana hemos ido anotando la longitud de

sombra de un poste vertical. Éstos son los resultados:

La hora del día y la longitud de la sombra son magnitudes que están relacionadas. Además, a cada hora del día le corresponde una única longitud de sombra. Podemos resumir escribiendo que la longitud de la

sombra depende o es función de la hora del día.

Si representas los pares de valores (hora del día, longitud de sombra):

(9,21), (10,15'5), ........., etc. recogidos en la tabla, en unos ejes de

coordenadas obtienes la gráfica:

6

Como observas en ella, la longitud de la sombra disminuye o decrece hasta las 13 horas y

comienza a aumentar o crecer a partir de dicha hora. Diremos que la función es

decreciente desde t = 9 hasta t = 13, y creciente a partir de t = 13.

Además, la mínima longitud de sombra (6 m.) se alcanza a las 13 horas. En

ese punto, (13,6), la función presenta un mínimo.

2. ¡Cuidado con los medicamentos!

En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está en función del peso del paciente según la gráfica:

7

Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg. Diremos que

20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg → 20 mg.

a. ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay que suministrar a una persona

de 75Kg?

b. ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?.

c. ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg?

d. ¿Para qué peso la dosis es máxima?

Diremos que la variable dosis depende (o es función) de la variable peso: Peso → Dosis

INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES

La relación entre dos magnitudes o variables puede expresarse mediante una gráfica,

una tabla o una fórmula.

Mediante gráficas

3. Después de bañarse en su casa, Ana dibuja un esbozo de gráfica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su baño en función del tiempo transcurrido.

a. Si ambos grifos (caliente y frío) se abrieron al principio, ¿qué puede haber ocurrido

en A? (Hay más de una respuesta).

8

b. Cuando el baño se está vaciando, Ana pone el pie en el agujero del desagüe. ¿Qué

parte de la gráfica muestra esto?

c. ¿Cuándo aumenta el volumen del agua? ¿Cuándo disminuye?

d. ¿Cuándo se alcanza el volumen máximo de agua? ¿Y el mínimo?

Como observarás, es la forma de la gráfica la que nos muestra si el volumen de agua

aumenta más o menos rápidamente (la mayor o menor inclinación de la gráfica).

4. Vamos de Benalmádena a unas clases en Alhaurín de la Torre. La distancia aproximada es de unos 10 Km. La clase comienza a las 8:15 y salimos de casa a las 7:30.

Las siguientes gráficas muestran cómo las cosas son bastante distintas para Antonio,

Bernabé, Carlos y Delicia.

Antonio: Salgo con calma. En el camino comienzo a pedalear más fuerte.

Bernabé: Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvidé las zapatillas y tuve que

volver.

Carlos: Fui en moto, pero por el camino me quedé sin gasolina. Así que pie al suelo y

andando.

a. ¿A quién corresponde cada gráfica?

9

b. ¿Qué diría Delicia?

Si precisamos la gráfica de Antonio, podremos responder a varias cuestiones de manera

más precisa.

c. ¿Cuántos Km lleva recorrido Antonio a las 7:45?,¿qué ocurre a las 7:55?¿Cuánto

tiempo empleó en la primera mitad del trayecto?

d. Cuántos Km pedaleó entre las 8 menos cuarto y las ocho?

e. ¿Cómo se puede saber que Antonio ha ido a la misma velocidad en los primeros 20

minutos?

f. Si Antonio hubiera seguido con la misma velocidad, ¿habría llegado a tiempo al

colegio?;¿ con cuánto adelanto/atraso?.

g. ¿Entre qué horas fue menor la velocidad de Antonio?, ¿cómo se puede saber?

h. Sandra sale al mismo tiempo que Antonio. Después de 20 minutos va exactamente 1

Km detrás de Antonio, y llega 5 minutos después que él al colegio. ¿Cómo se puede estar

seguro de que Sandra no ha pedaleado siempre a la misma velocidad? Dibuja la gráfica

de Sandra.

10

i. Roberto sale de Benalmádena 5 minutos después que Antonio y llega 5 minutos antes. Dibuja la gráfica de Roberto en los mismos ejes que la de Antonio, sabiendo que ha pedaleado a velocidad constante. ¿Por qué tu gráfica y las de tus compañeros ha de ser exactamente igual?

Alicia va al colegio en autobús. El médico le ha prohibido ir en bici. Siempre coge el autobús de las 8 menos 25 y para en el colegio a las 8. Aquí ves la gráfica de Antonio y la de Alicia en el autobús:

a. ¿Iba hoy el autobús puntual?

b. El autobús ha parado varias veces por el camino. ¿Cómo lo puedes ver en la gráfica?

c. ¿A qué hora y a qué distancia de Benalmádena adelantó el autobús a Antonio?.¿Cómo

sería si el autobús fuese puntual?

d. ¿Cómo puedes ver en las gráficas que Alicia estaba antes en la mitad del

camino?.¿Cuántos minutos antes?

e. ¿Cuántos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegó al colegio?

f. ¿A qué hora aproximadamente llevaba más ventaja Alicia?

g. Explica por qué ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era

exactamente de un kilómetro.

11

5. Dos monos subieron por un poste. El 1º subió lentamente al principio y después aumentó la velocidad gradualmente. ¿Cuál es la gráfica de este mono?

a. Describe con palabras el ascenso del otro mono.

b. ¿Qué separación había entre los monos después de 1 minuto, 2 minutos,....?

c. ¿Qué tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste?

d. Completa la gráfica sabiendo que el mono B se quedó arriba y el mono A bajó a

velocidad constante.

6. ¿Cuál de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista, si su gráfica es la de la izquierda?

12

Como hemos comprobado, la observación de una gráfica permite analizar características

como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores máximos y mínimos.

También se pueden observar fácilmente otras propiedades.

Periodicidad

Cuando un fenómeno se reproduce a intervalos regulares, en una serie de ciclos idénticos encadenados los unos a los otros, se le califica de periódico, teniendo en cuenta que el período equivale a la duración de un ciclo.

En la gráfica de abajo tienes una curva que estima, con bastante exactitud, la

temperatura media del aire en Fairbanks, Alaska (expresada en grados Fahrenheit):

http://www.iesarroyo.com/matematicas/materiales/3eso/funciones/teoriainterpretaciondegraficas/teoriainterpretaciondegraficas.htm#Volver�

13

Observa cómo partes de la gráfica se repiten cada cierto intervalo. Este intervalo

mínimo de repetición (el más pequeño posible) se llama periodo, en nuestro caso es de un

año; y a este tipo de funciones les llamaremos periódicas.

Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones periódicas: ciclos

lunares, mareas, estaciones, órbitas, ciclo menstrual, biorritmos, etc.

Actividad (Biorritmos)

8.- Según ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las

personas: el ciclo corporal (fuerza, vitalidad, resistencia a las enfermedades) de periodo

24 días; el ciclo de los sentimientos con un período de 28 días(creatividad, tristeza,

alegría); y por último el ciclo intelectual con un período de 33 días. El día del nacimiento

comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde allí comienzan a subir.

14

a. ¿Después de cuántos años llega el ciclo a un punto como el del nacimiento?

b. ¿Cuántas veces en la vida alcanzamos el día total, es decir los tres ciclos en su

máximo?. Los días críticos son aquéllos en que una de las tres curvas alcanza su punto

cero. Determina tus días críticos.

Mediante tablas

Se juegan 8 partidos durante el invierno. Ésta fue la asistencia de público a cada

partido:

Partido 1 2 3 4 5 6 7 8

Asistentes

2800

2000

2600

2300

1500

600

1400

900

Su gráfica es:

La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos: no pasó de 2.800 a

2.000 entre el partido 1 y el partido 2. No hubo ningún partido entre los ocho mostrados

en la gráfica. Por tanto, desde un punto de vista estricto, los puntos no deberían ser

unidos.

La variable nº de asistentes no toma valores entre dos consecutivos, por ello decimos

15

que es una variable discreta.

El gráfico anterior es más fácil de interpretar si los puntos se enlazan mediante líneas

rectas.

Ha de quedar claro que estas líneas no tienen un significado real.

!No tendría sentido usar el gráfico para estimar cuánta gente va al partido número 3'5!

Ruptura de un eje

En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la

gráfica asociada a una tabla se lea adecuadamente. Lee los siguientes ejemplos:

José está enfermo. La tabla nos muestra su temperatura corporal, tomada por su madre

cada hora.

Hora 8 9

1

0

1

1

1

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

Temperatura 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

16

7'1 7'1 7'2 7'4 8'7 8'1 8'4 8'6 8'3

Y éste es el gráfico de temperaturas:

Cuando una persona está enferma, cada pequeño cambio en su temperatura puede ser

importante y debería ser convenientemente reflejado por la gráfica.

En el gráfico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentúa convenientemente

la variación de la temperatura. Sería mucho mejor numerar el eje de temperaturas de

los 37º C hasta los 39ºC usando una línea quebrada para indicar que la escala no

comienza en 0ºC.

17

La variable Tiempo es una variable continua: tiene sentido preguntarse por

la temperatura entre dos horas dadas.

7. La tabla no muestra la temperatura de José a las 9:30. ¿Podrías estimarla a partir de la gráfica? ¿Qué temperatura tenía a las 2 menos cuarto?

Gráficas engañosas

Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los últimos 4 años:

Año 19

99

2

000

2

001

2

002

Ventas (en

miles de €)

20

00

3

000

7

000

1

2000

Observa estas dos gráficas:

18

Representan exactamente la misma situación. Sin embargo, la segunda nos hace parecer

que el volumen de ventas aumenta espectacularmente. Si variamos las escalas de los ejes

podemos variar la perspectiva para una misma realidad.

Mediante fórmulas

Funciones lineales

El grifo

Un grifo vierte 15 litros por minuto. Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso

dos magnitudes directamente proporcionales. Si construimos una tabla y dibujamos la

gráfica obtendremos:

19

Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15,

que es la razón de proporcionalidad.

Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razón a dan lugar a gráficas del

tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas, cuya ecuación es y =

a · x. Al número a se le llama pendiente.

8. Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales:

y = 2x; y = 3x, y = 0'4x, y = -x e y = -3x

a. Estudia cómo varía la inclinación de la gráfica según la pendiente.

b. ¿Qué cuadrantes del plano ocupa la gráfica si la pendiente es positiva?¿Y si es

negativa?

9. Completa para cada gráfica la siguiente tabla:

20

Halla en cada caso la fórmula que las define.

10. De una función lineal se conoce que, la imagen de 3 vale 12.¿Cuál es su fórmula?¿Cuál es la imagen del 5?

11. La siguiente gráfica indica cómo varía la altura del líquido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua.

Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros países que no adoptaron el

Sistema Internacional de Medidas. Para pasar de grados Fahrenheit a Centígrados se

utiliza la fórmula: , siendo F el número de grados Fahrenheit y C el

resultado en grados centígrados.

21

Vamos a ver si con estas definiciones, queda algo más claro, lo que es el concepto de

función:

Función: Es toda correspondencia en la cual, a cada elemento del Conjunto inicial que tenga

imagen, esta imagen ha de ser única.

• No es lo mismo función, que aplicación.

• En una aplicación: todos los elementos del Conjunto inicial han de tener UNA y solo

UNA imagen en el Conjunto final.

• En una función: puede haber elementos del Conjunto inicial que NO tengan imagen en

el Conjunto final.

Por tanto toda aplicación SI ES una función

Todas las funciones NO son aplicaciones.

Para determinar una función, es necesario conocer:

- Conjunto Inicial: Donde toma los valores la variable independiente. - Conjunto Final : Donde toma valores la variable dependiente. - Regla : Para poder asociar a cada elemento del Conjunto Inicial su correspondiente

en el conjunto Final. -

A este elemento se le llama IMAGEN.

Algún ejemplo de regla sería: Una tabla de valores, una gráfica, una fórmula matemática,

etc………

El conjunto de valores de la variable INDEPENDIENTE se llama DOMINIO O CAMPO DE

EXISTENCIA.

En las funciones donde el Conjunto inicial y el Conjunto final son números reales, se llaman:

FUNCIÓNES REALES DE VARIABLE REAL

22

Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los

números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le

corresponde uno y sólo un elemento y de R:

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

El conjunto inicial o dominio de la función.

El conjunto final o imagen de la función.

La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del

conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado

cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro

número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un

número siempre es positivo:

Im(f) = R+

La regla de asignación es «dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener

la imagen».

Los elementos del Conjunto inicial se llaman variables independientes.

23

Los elementos del Conjunto final se llaman variables dependientes.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES :Las funciones se clasifican en:

EMPÍRICAS : Las que no se rigen por ninguna fórmula matemática, ley o criterio.

ANALÍTICAS : Las que se rigen por fórmulas matemáticas, leyes o criterios:

a.- Implícitas: Ejemplo, las rectas: 2x -3y + 1 = 0

Trascendentes: Logarítmicas, Exponenciales, Potenciales, Trigonométricas.

b.- Explícitas:

Algebraicas:

Irracionales

Enteras: y = 3x2 -5

Racionales

Fraccionarias:

DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de valores de la variable independiente.

Se suele representar por la letra D

Es un subconjunto del Conjunto Inicial.

¿Por quién está limitado? Por la naturaleza del problema, por la expresión algebraica que

define la función.

En las raíces: El radicando nunca puede ser negativo.

En las fracciones: El denominador tiene que ser distinto de cero

Ejemplo: cálculo de campos de existencia de una función

Hallar el campo de existencia de la función f definida por

24

Resolución:

La función anterior asigna a cada número x, el valor

El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los que su

imagen está definida mediante la función f.

La expresión está definida para todos los números reales salvo para aquellos

que anulen el denominador, puesto que la expresión 1/0 no es un número real. El

denominador x - 2 se anula cuando x = 2.

Por tanto, el campo de existencia de la función es R - {2}.

Su representación mediante intervalos es D = (-∞, 2) υ (2, +∞)

1.-Calcular el campo de existencia de la función

La expresión está definida cuando el radicando es igual o mayor que

cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen sentido en el

conjunto de los números reales.

Por tanto, se trata de hallar que valores de x hacen que x2-9 ≥ 0

Luego D = (-∞, -3] U [3, +∞)

2.-Hallar el campo de existencia de la función definida por:

25

La expresión está definida cuando el denominador no se anula.

Por tanto, al campo de existencia pertenecen todos los números reales excepto el 3 y el -

2.

3.-Dada la función f, definida por f(x) = hallar la imagen de los números -

3,0,3 y 5 ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Hay algún número que

se transforme en el 0?

Campo de existencia:

El denominador nunca se hace cero, ya que x2 + 2 > 0 para cualquier valor de x. Si

no existiría y por tanto la función no estaría definida en esos

puntos.

pero (es más más , ya que ). Por tanto, el campo de

existencia de esta función es toda la recta real R.

Para responder a la pregunta siguiente, hay que estudiar si existe algún número x, tal que

26

Si Esto es absurdo. Por consiguiente el número 0 no es

imagen de ningún número.

4.-Hallar el Dominio o Campo de Existencia de:

D(f) = R Es el conjunto de los números reales

5.-

D(g) = R - -2, 2

6.-

D(h) = R - 3

7.-

D(j) = R - - 5, 5 U

27

Como está comprendido en el intervalo - 5, 5 ya no se pone y quedaría: D(j) = R - -5, 5

8.- D(f) = R R = es el conjunto de los número reales 9.- Por la naturaleza del problema el denominador tiene que ser ≠ 0

La raíz cuadrada no puede ser negativa, pues se trataría de un número imaginario. Por tanto:

D(f) = R+

10.-

Por la naturaleza del problema, el radicando no puede ser nunca negativo:

Por tanto D(f) = R - { 2, 4 }

11.-

El denominador tiene que ser ≠ 0:

28

Por tanto D(f) = R - { -1 , 2 }

12.- f(x) = | x |

D(f) = R

13.-

d(f) = R - { -1, +1 }

14.-

Como las raíz cuadrada no puede ser negativa:

D(f) = R+

15.-

D(f) = R

16.-

El denominador tiene que ser ≠ 0

29

La raíz no puede ser negativa, porque el número sería imaginario:

Por tanto D(f) = R+

IMAGEN o recorrido de la función, es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

f(x) =x2

Imagen de (f) = R+ U { 0 }

f(x) = x -2 Imagen de (f)= R

Imagen de (f) = R - { 1 }

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.

Las composiciones de funciones pueden ser bastantes más complejas de lo que vamos a ver en este apartado, pero para comenzar el tema y ver como es la mecánica, veamos el ejemplo más simple con la función lineal.

Consideremos las siguientes funciones:

30

g o f(x) significa g compuesta con f. Conviene aclarar también que la primera función que vayamos a aplicar es la que se escribe atrás( en este caso, f(x)).

Lo que nos interesa encontrar es la fórmula que nos permite llegar directamente del conjunto sombreado de color violeta al de color azul. Y se hace de la siguiente forma:

g o f(x) = g [f(x)]

En nuestro ejemplo: g o f(x) = g o f(x) =

1.- f(x) = 2 x+1 (g o f) (x) = g ( 2x+1) = (2x+1)3

g(x) = x3 (f o g) (x) = f x3 = 2 x3 + 1

2.- f(x) = x2-x+1 (g o f) (x) = g (x2-x+1) ( 1 ) = x2 – x + 1

g(x) = x+1 (f o g ) (x) = f (x+1) = (x+1)2 – x + 1 = x2+2x+1-x+1 = x2+x+2

3.- f(x) = x2 +1 (f o g ) (x) = f x3 = (x3)2 +1 = x6 +1

g(x) = x3 (g o f ) (x) = g (x2+1) = (x2+1)3

31

4.- f(x) = x2 (f o g ) (x) = f

(g o f) (x) = g x2 =

5.- Considerar las funciones polinómicas f y g, dadas por f(x) = x2+1 y g(x) = x3, se pide:

a) f . g = (f.g) = ( x2+1) (x3) = x5 + x3 D (f.g) = R

b) g . f = (g.f) = (x3) (x2+1) = x5 +x3 D (g.f) = R

c)

d) (f o g ) (x) = f x3 = (x3)2 +1 = x6 + 1 D(f o g) = R

e) ( g o f ) = g (x2+1) = (x2+1)3 D(g o f) = R

6.- Se consideran las funciones f y g definidas por f(x) =x2 y g(x) = 1/x, se pide:

a) (f . f ) (x) = x2 . x2 = x4 D( f. f ) = R

b) (g . g ) (x)

c) ( f o g ) (x)

d) (g o f ) (x) = g x2

32

FUNCIÓN RECÍPROCA

Cuando la composición de dos funciones es la función identidad, se dice que las funciones son recíprocas.

Se acostumbra a representar por f-1 a la función recíproca de f.

Las gráficas de dos funciones recíprocas f y f-1 referidas al mismo sistema de coordenadas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

f(x) = x2 + 4 i (x) = x

( i o f ) (x) = i x2+4 = x2 +4

(f o i ) (x) = f x = x2 + 4

( i o f ) = ( f o i )

( f o f-1 ) (x) = i (x) La función i (x) = x se llama función identidad

7.- Calcular la función recíproca de:

1º Paso: Sustituimos f(x) por “y”, obtenemos:

2º Paso: Intercambiamos variables: donde tenemos la “x” la sustituimos por la “y”

Entonces, la expresión obtenida en el 1º paso nos queda:

y = 2x + 5 Ésta es la función recíproca. La representamos como f-1

En este momento estamos con los siguientes valores:

f(x) : Es la función original y tiene por valor:

33

f-1(x): Es la función recíproca y tiene por valor: f-1(x) = 2x +5

* Ahora vamos a comprobar si está bien hecho el ejercicio:

Para ello, hacemos la composición de ( f o f-1) (x)

( f o f-1) (x) = f 2x+5

Al actuar sobre f, tenemos que sustituir el valor de x por f(x):

( f o f-1) (x) =

Por tanto el resultado es | x | que es la función identidad.

8.- Calcular la inversa de la siguiente función: f(x) = 2x +5


y = 2x + 5 2x = y -5



Ésta es la función recíproca. La representamos como f-1


f(x): Es la función original y tiene por valor f(x) = 2x +5

f-1(x): Es la función recíproca y tiene por valor: f-1(x)=


34


( f o f-1) (x)


( f o f-1) (x)


9.- Calcular la función recíproca de:


f(x) Es la función original y tiene por valor f(x)





f(x): Es la función original y tiene por valor f(x)

35

f-1(x): Es la función recíproca y tiene por valor: f-1(x)




( f o f-1) (x)


Ahora vamos a calcular el Dominio de f-1

D (f-1)

D (f-1) = [ 2/5 , ∞ ] o bien ( - ∞ , 2/5 )

10.- Calcular el Dominio o Campo de Existencia de la función:

La primera condición que debe cumplir la función, es que el radicando tiene que ser > 0

36

11.- Si f(x) = comprobar que

12.- Calcular la función recíproca de f(x) =






f(x): Es la función original y tiene por valor f(x) =

f-1(x): Es la función recíproca y tiene por valor: f-1(x)=




Es decir haremos la composición de las funciones:

37

( f o f-1) (x)


13.-Calcular la función recíproca de f(x) =






f(x): Es la función original y tiene por valor f(x) =

f-1(x): Es la función recíproca y tiene por valor: f-1(x)




38

Es decir haremos la composición de las funciones:

( f o f-1) (x) = f


calcular (f-1)(x) y, 14.-Sabiendo que f(x) = -f(x)

f(x) =

Ahora, si intercambiamos variables, obtenemos (f-1):

**** El Dominio de la función tiene que cumplir la siguiente condición: x > 0

Por tanto: D(f-1)(x) = R - 0

* Ahora vamos a comprobar si está bien hecho el ejercicio: haremos la composición de la función:

(f o f-1) ( x ) =

39


b)

c) – f(x) =

**** El Dominio de la función tiene que cumplir la siguiente condición: x-4 ≥ 0

x ≥ 4 D – f(x) = R - 4

15.-Siendo f(x) = y g(x) = Calcular los dominios y efectuar las operaciones:

D f(x) El radicando tiene que ser mayor que o, por tanto D f(x) = R

D g(x) El denominador tiene que ser igual o mayor que o

x2 – 9 ≥ 0 x2 ≥ 9 x ≥ 3

Por tanto D g(x) = R - -3, 3

D (f+g) ( x ) = R - 0

D (f-g) ( x ) = R - 0

40

D (f.g) ( x ) = R - 0

D (f/g) ( x ) = R - 0

D (g.f) ( x ) = R U 0

16.- Si f(x) = x2-x comprobar que f(x+1) = f ( -x)

17.-Calcular la función recíproca de



(f o f-1) ( x ) =f Sustituimos los valores de x:

41


18.-Siendo f(x) = x2+3 Calcular [(f+g)+h ]

19.-Calcular la función recíproca de:



(f o f-1) ( x ) =f

(f o f-1) ( x )=


20.-Sea h una función de R en R dada por h(x) = x2-8x+6. Calcula otras dos funciones f y g de R en R, tal que h = f.g

42

f(x) = g(x) =

h = (f . g) (x) =

21.-Consideremos la función polinómica k(x) = x3 -3x2 -2x+2. Hallar otras tres funciones polinómicas f, g y h, tal que k = (f.g.h)

1 -3 -2 +2

-1 -1 4 -2

1 -4 2 0

21.-Se desea construir barriles en forma cilíndrica de 100 litros de capacidad. Se pide:

a) Expresar la altura del barril en función del radio de la base.

b) Expresar el área total en función del radio de la base

Área Total = Área Círculo + Área rectángulo

43

22,-En un bloque de viviendas, las ventanas son rectangulares y con una superficie de 2 metros. Si x es la longitud del lado de la base, expresar la altura en función de h.

S = b.h 2 = x.h h = 2/h

23.-Se quiere construir un pozo de forma cilíndrica de 2 metros de diámetro. Expresar el volumen del agua que cabe en el pozo en función de su profundidad.

Ya que el radio r = 1 metro

24.-Hallar la función que expresa el área de un triángulo isósceles inscrito en un círculo, en función del radio.

TASA DE VARIACIÓN: Dada una función y = f(x), si la variable “x “ pasa de “ x “ a (x+h), siendo h el incremento, entonces la variable “ y “ pasa de f(x) a f(x+h).

El incremento, tanto de una como de otra variable, se designa con el símbolo ∆

Siempre se cumple : ∆x = h ∆y = f(x+h) – f(x)

44

El incremento de la función se llama tasa de variación; y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro.

Su valor depende del punto x y del incremento h.

La función f(x) = x2+1, experimenta un incremento al pasar de x = 1 a x = 2 dado por:

∆f = f(2) – f(1) = (22+1) –(12 +1 ) = 5 -2 = 3

La función f(x) = x2 +5, tiene una tasa de variación en el punto x para un incremento h dada por:

∆f = f(x+h) – f(x)

∆f = (x+h)2 + 5 – x2+5 = x2+ 2xh + h2+5-x2-5 = 2xh + h2 = h(2x+h)

FUNCIONES CRECIENTES.

Una función es estrictamente creciente en un intervalo,si para dos valores cualesquiera del mismo ( x y x’ ) se cumple la siguiente condición:

x ‹ x ‘ f(x) ‹f (x’ )

También la podemos definir: Una función es estrictamente creciente en un intervalo si la tasa de variación es positiva

x’ – x > 0 f(x’ ) – f(x) > 0

45

Ahora vamos a tomar una función dada por:

-x2 +1 Si x ‹ -1

f(x) = 0 Si -1 ≤ x ≤ 0

x2 Si x > 0

La vamos a representar gráficamente:

Ahora vamos a crear una tabla de valores, de ambas funciones:

Función y = x2 Función y = –x2 +1

x f(x) x f(x)

x 2 4 x’ -1 0

x’ 3 9 x -2 -3

4 10 -3 -8

46

Los valores que toma la función f(x) son cada vez mayores o iguales a medida que aumentan los valores de la variable x.

Hay un intervalo entre ( -1, 0 ) que ni crece ni decrece. Viene dado por el enunciado.

A la vista de la tabla de valores, observamos, que siempre se cumple:

x ‹ x ‘ f(x) ‹ f (x’ )

Por ejemplo, vamos a tomar la función y = x2 y observamos:

Cuando x’ vale 3 x vale 2

La función evoluciona: f(x’) = 9 y f (x) = 4

Se cumple siempre la condición que hemos establecido en la definición de función creciente: x ‹ x ‘ f(x) ‹ f (x’ )

Por tanto una función es creciente en un intervalo si la tasa de variación entre dos puntos es mayor o igual que cero.

FUNCIONES DECRECIENTES.

Tomemos la función siendo x>0 y la representamos gráficamente.

* Los valores que toma la función son cada vez menores, a medida que aumenta el valor de x.

* Cuanto mayor sea x, la función será cada vez menor.

47

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo,si para dos valores cualesquiera del mismo ( x y x’ ) se cumple la siguiente condición:

x ‹ x ‘ f(x) > f (x’ )

También la podemos definir: Una función es estrictamente decreciente en un intervalo si la tasa de variación entre dos puntos cualesquiera del mismo es negativa.

x’ – x > 0 f(x’ ) – f(x) > 0

Ahora vamos a tomar una función dada por:

x2 Si x ‹ 0

f(x) = 0 Si 0 ≤ x ≤ 1

-x2 +1 Si x > 1

La vamos a representar gráficamente, para ello confecciones una tabla de valores:

48

Función y = x2 Función y = –x2 +1

x f(x) x f(x)

x’ -1 1 x 1 2

x -2 4 x’ 2 5

-3 9 3 10

Los valores que toma la función f(x) son cada vez menores o iguales a medida que aumentan los valores de la variable x.

Existe un intervalo entre (0,1) donde la función ni crece ni decrece. Viene dado por el enunciado.

A la vista de la tabla de valores, observamos, que se cumple siempre:

x ‹ x ‘ f(x) ≥ f (x’ )

Por ejemplo, vamos a tomar la función y = x2 y observamos:

49

Cuando x’ vale -1 f(x’) vale 1

Cuando x vale -2 f(x) vale 4

La función evoluciona: f(x’) = 1 y f (x) = 4

Se cumple siempre la condición que hemos establecido en la definición de función creciente: x ‹ x ‘ f(x) ≥ f (x’ )

Por tanto una función es decreciente en un intervalo si la tasa de variación entre dos puntos es menor o igual que cero.

25.-Dada la función definida por f(x), hacer un estudio de su crecimiento y decrecimiento:

-2x+3 Si x ‹ -2

x Si -2 ‹ x ‹ 2

f(x) 2 Si 2 ≤ x 5

x+5 Si x > 5

Lo primero que haremos será confeccionar la tabla de valores de la función y ver como evoluciona:

Función y = -2x+3 Función y =x+ 5

x f(x) x f(x)

-2 7 5 10

x’ -3 9 x 6 11

x -4 11 x’ 7 12

x ‹ x ‘ x ‹ x ‘

-4 ‹ -3 6 ‹ 7

Cuando x = - 4 f(x) = 11 Cuando x = 6 f(x) = 11

Cuando x’ = -3 f(x) = 9 Cuando x’ = 7 f(x) = 12

50

En esta función observamos En esta función observamos

que cuando x aumenta de que cuando x aumenta de

valor la función decrece valor la función crece

Se cumple: f(x) ≥ f(x’) Se cumple : f(x) ≤ f(x’)

Esta función es decreciente Esta función es creciente

SIMETRÍA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS. FUNCIONES PARES.

Observando la función f(x)=1/x2, si elegimos un punto P cualquiera de la citada función, su simétrico P’ pertenece también a la gráfica.

Cuando sucede esto decimos que la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas.

51

¿Cómo se caracteriza esta propiedad utilizando las coordenadas de los puntos?

Los valores de la función correspondientes a los puntos de abscisas x y –x cumplen la relación: f(-x) = f(x)

Entonces este hecho claramente indica que si el punto P (x, f(x)) pertenece a la gráfica de la función f(x) = 1/x2, también pertenece a la misma el punto P´(-x, f(-x)) simetrico respecto de P respecto del eje de ordenadas.

Una función es simétrica respecto al eje de ordenadas cuando para todo “ x “ del dominio se verifica que: f ( -x) = f (x).

Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de FUNCIONES PARES.

Ejemplos:

f(-x) = |-x | = |x|

f(-x) = (-x2)-|x| = x2 - |x|

f(-x) = (-x4)-2(-x)2 = x4 – 2x2

La gráfica de una función par queda perfectamente determinada cuando conocemos su

52

forma para valores positivos de x, ya que la parte de la gráfica correspondiente a los valores negativos de x se construye por simetría respecto del eje de ordenadas.

53

SIMETRÍA RESPECTO DEL ORÍGEN. FUNCIONES IMPARES.

Observando la función f(x)=1/x, si elegimos un punto P cualquiera de la citada función, su simétrico P’ pertenece también a la gráfica.

Cuando sucede esto decimos que la gráfica es simétrica respecto del origen.

¿Cómo se caracteriza esta propiedad utilizando las coordenadas de los puntos?

Los valores de la función correspondientes a los puntos de abscisas x y –x cumplen la relación: f(-x) = -f(x)

Entonces este hecho claramente indica que si el punto P (x, f(x)) pertenece a la gráfica de la función f(x) = 1/x, también pertenece a la misma el punto P´(-x, -f(x)) simétrico de P respecto del origen.

Una función es simétrica respecto del origen cuando para todo “ x “ del dominio se verifica que: f ( -x) = -f (x).

Las funciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES.

Ejemplos:

f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)

f(-x) = 1/(-x)3 = - 1/x3 = -f(x)

55

FUNCIONES PERIÓDICAS.

Estas funciones representan fenómenos naturales que se repiten periódicamente.

Vamos a tomar un ejemplo: Una noria de feria:

La altura, con relación al suelo, de una persona que va montada en una cestilla varía a lo largo de una vuelta.

Pero en la siguiente vuelta completa, vuelve a tener exactamente la misma posición que en la anterior y así sucesivamente.

Suponiendo que la noria da una vuelta completa cada 20 segundos, y nosotros comenzamos a contar la altura cuando la cestilla está en el punto más bajo, la gráfica que resulta es:

Las funciones que tienen este comportamiento se llaman periódicas

Una función f(x) es periódica de período T si:

f(x+T) = f(x)

para todo “ x “ pertenenciente al dominio de definición.

El período del movimiento de la noria es el tiempo que tarda en volver a la misma posición, suponiendo que el movimiento sea constante.

Las funciones periódicas más importantes son las circulares: seno, coseno y tangente, ya que muchos fenómenos naturales son periódicos y vienen expresados matemáticamente por ellas.

56

FUNCIONES ACOTADAS.

Observamos la gráfica de la función y vamos a establecer una tabla de valores:

Función y = 1/x2

x f(x) Todos los valores que toma f(x) son mayores que 0

-2 1/4 El menor valor que toma la función es 0

-1 1 Por tanto el número elegido puede ser cualquiera que

0 +∞ pertenezca al conjunto de los números reales(R)

1 1 Los números -2, -1, 0 son cotas inferiores.

2 1/4 Se dice que la función está acotada inferiormente.

3 1/9

57


Función y = -x2 +1


-2 5 El menor valor que toma la función es 1

-1 2 Por tanto el número elegido puede ser cualquiera que

0 1 pertenezca al conjunto de los números reales(R)

1 2 Los números 1,2,5,10 son cotas superiores.

2 5 Se dice que la función está acotada superiormente.

3 10

58

Los valores que toma la función f(x) están comprendidos por ejemplo entre -2 y +2.

Se dice que la función está acotada

Una función está acotada INFERIORMENTE cuando existe un número real k tal que todos los valores que toma la función son mayores que k.

El número real K se llama COTA INFERIOR.

Una función está acotada SUPERIORMENTE cuando existe un número real K’ tal que todos los valores que toma la función son menores que K’.

El número real K se llama COTA SUPERIOR.

Una función está ACOTADA si lo está inferior y superiormente.

EXTREMOS. MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS.

59


Función y = 1/x2


-2 1/4 El menor valor que toma la función es 0.

-1 1 Los números -2, -1, 0 son cotas inferiores de la

0 +∞ función.

1 1 La máxima de las cotas inferiores es el número 0.

2 1/4 Este cota recibe el nombre de extremo inferior de

3 1/9 la función.

60


Función y = -1/x2

x f(x) Todos los valores que toma f(x) son menores que 0

-2 -1/4 El menor valor que toma la función es 0.

-1 - 1 Los números 2, 1, 0 son cotas superiores de la

0 -∞ función.

1 -1 La mínima de las cotas superiores es el número 0.

2 -1/4 Este cota recibe el nombre de extremo superior de

3 -1/9 la función.

61


Función y = x2

x f(x)

-2 4 Todos los valores que toma f(x) son mayores que 0

-1 1 Los números -2, -1, 0 son cotas inferiores de la

0 0 función.

1 1 La mínima de las cotas superiores es el número 0.

2 4 Este cota recibe el nombre de extremo inferior de

3 9 la función.(mínimo absoluto)


Función y = -x2

62

x f(x)

-2 -4 Todos los valores que toma f(x) son menores que 0

-1 -1 Los números 2, 1, 0 son cotas superiores de la

0 0 función.

1 -1 La máxima de las cotas superiores es el número 0.

2 -4 Este cota recibe el nombre de extremo superior de

3 -9 la función.(máximo absoluto)

La función y = dec(x) tiene como máximo absoluto el 0 y lo alcanza en infinitos puntos.Los de la abcisa entera.

63

La función y =-dec(x) tiene como máximo absoluto 0 y lo alcanza en infinitos puntos, los de

la abcisa entera.

Extremo superior de una función es la mínima de sus cotas superiores

Si este valor lo alcanza la función se llama máximo absoluto.

Extremo inferior de una función es la máxima de las cotas inferiores.

Si este valor lo alcanza la función se llama mínimo absoluto.

26.- Calcular la tasa de variación de la función f(x) = x en los intervalotes que se indican:

a.- [2,3]

∆f = f(3) – f(2) = 3-2 = 1

b.- [3,4]

∆f =f(4) – f(3) = 4-3 = 1

c.- [-3,-2]

∆f =f(-2) – f(-3) = -2+3 = 1

d.- [-9,-8]

∆f =f(-8) – f(-9) = -8+9 = 1

27.-Calcular la tasa de variación de la función f(x) = x2 en los intervalos que se indican:

a.- [2,3]

∆f = f(3) – f(2) = 9-4 = 5

b.- [3,4]

∆f =f(4) – f(3) = 16-9 =7

c.- [-3,-2]

∆f =f(-2) – f(-3) = 4-9 =- 5

d.- [-9,-8]

∆f =f(-8) – f(-9) = 64-81 =-17

64

28.-Indicar en que intervalos son crecientes o decrecientes las siguientes funciones:

a) f(x) = x Es creciente en todo R+

b) f(x) = - x Es decreciente en todo R+

c) f(x) = x2 Creciente en (0,+∞) y decreciente en (-∞, 0)

d) f(x) = -x2 Creciente en (-∞,0) y decreciente en (0,+∞)

Nota: La mejor forma de observar el crecimiento o decrecimiento de una función, es siempre hacer una tabla de valores.

29.-Comprobar si las siguientes funciones son pares o impares:

a) f(x) = x f(-x) = - x f(-x) = -f(x) Impar

b) f(x) = - x f(-x) = x f(-x) = f(x) Impar

c) f(x) =x3+x f(-x) =-x3-x f(-x) = -f(x) Impar

d) f(x) = x5+x3+x f(-x) = -x5-x3-x f(-x) = -f(x) Impar

1º Una función es impar cuando: f(-x) = -f(x)

2º Una función es par cuando: f(-x) = f(x)

30.-Comprobar si las siguientes funciones son pares o impares:

a) f(x) = x |x| f(-x) = -x |x| -f(x) = -x |x| Impar

b) f(x) = 6/x f(-x) = 6/-x -f(x) = - 6/x Impar

c) f(x) = x|x3| f(-x) = -x|x3| -f(x) = -x |x3| Impar

d) f(x) =x6+x4+x2 f(-x)= x6+x4+x2 -f(x) = -x6-x4-x2 Par

e) f(x) = x4-x+x2 f(-x) = (-x4)-(-x)+(-x2) -f(x) = x4+x+x2 No es simétrica

31.- Para cada una de las siguientes funciones, decir cuales están acotadas superior o inferiormente en el intervalo indicado, y cuales alcanzan su máximo o su mínimo:

a.-f(x) = x2 en el intervalo [-1,1]

65

Decimos que una función está acotada inferiormente cuando existe un número real tal que todos los valores que tome dicha función son mayores que el citado número real.

Si observamos la tabla, vemos que el número real que cumple esta condición es el 0, ya que todos los valores que toma la función son mayores que 0.

Por tanto el 0 es la cota inferior de la función.

Una función está acotada superiormente, cuando existe un número real tal que todos lo valores que toma la función son menores que el número real elegido.

Si observamos la tabla, vemos que el número real que cumple esta condición es el 1, ya que todos los valores que toma la función son mayores que 1.

Por tanto el 1 es la cota superior de la función.

Una función está acotada si lo está inferior y superiormente.

Por tanto la función está acotada.

x2 si x ≤ 0

b.-f(x) en el intervalo [-1,1]

2 si x> 0

66

Lo primero que hacemos es una tabla de valores de la función

Cota Inferior 0 Cota superior 2

Extremo Inferior 0 Extremo superior 2

Mínimo 0 Máximo 2

32.- Calcular el máximo de la siguiente función:

Máximo de una función es la mínima de las cotas superiores.

Cota superior es un número real, tal que los valores que toma la función son mayores que el citado número real.

67

Por tanto el máximo es 0.

33.-Demostrar que la función lineal f(x) = ax, es: estrictamente creciente siempre y cuando a > 0 y estrictamente decreciente cuando a ‹ 0.

f(x) = ax

34.-Demostrar que la función f(x) = x2 es

a) Decreciente en el intervalo [-∞, 0]

Por tanto: x2+x1 >0 Creciente

a) Creciente en el intervalo [0,+∞]

Por tanto: x2+x1 ‹0 Decreciente

Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Funciones 4º ESO o 1º Bachiller

Documents

Transcript of Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Funciones 4º ESO o 1º Bachiller