matematicas-3º-ESO

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Matemáticas 3ESO

El libro Matemáticas AVANZA para 3.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal.

En su realización ha participado el siguiente equipo:

M.ª Dolores Álvarez Joaquín Hernández Ana Yolanda Miranda M.ª Rosario Moreno Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos Esteban Serrano

EDICIÓNAngélica Escoredo Carlos Pérez

DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa

AVANZA

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Índice

1. Números racionales ................................................... 6

Antes de empezar la unidad ......................................................... 7

Fracciones .............................................................................. 8

Operaciones con fracciones .................................................... 12

Números decimales ................................................................ 14

Números racionales ................................................................ 15

Lo esencial ............................................................................... 16

Actividades .............................................................................. 18

2. Números reales ............................................................ 22


Potencias de números racionales ............................................ 24

Propiedades de las potencias .................................................. 28

Notación científica ................................................................. 30

Números reales....................................................................... 31

Intervalos ............................................................................... 32

Lo esencial ............................................................................... 34

Actividades .............................................................................. 36

3. Polinomios .................................................................... 40


Monomios .............................................................................. 42

Operaciones con monomios ................................................... 43

Polinomios ............................................................................. 44

Operaciones con polinomios .................................................. 46

Factor común ......................................................................... 49

Igualdades notables ................................................................ 51

Lo esencial ............................................................................... 52

Actividades .............................................................................. 54

4. Ecuaciones de primer y segundo grado ............... 58


Elementos de una ecuación .................................................... 60

Ecuaciones de primer grado ................................................... 62

Ecuaciones de segundo grado ................................................. 65

Resolución de problemas con ecuaciones ............................... 67

Lo esencial ............................................................................... 68

Actividades .............................................................................. 70

5. Sistemas de ecuaciones ........................................... 74


Ecuaciones lineales ................................................................. 76

Sistemas de ecuaciones lineales .............................................. 77

Métodos de resolución de sistemas ......................................... 78

Lo esencial ............................................................................... 82

Actividades .............................................................................. 84

6. Proporcionalidad numérica ..................................... 88


Proporcionalidad directa ........................................................ 90

Proporcionalidad inversa ........................................................ 91

Regla de tres simple ................................................................ 92

Repartos proporcionales ......................................................... 94

Problemas con porcentajes ..................................................... 96

Lo esencial ............................................................................... 98

Actividades .............................................................................. 100

7. Progresiones................................................................. 104


Sucesiones .............................................................................. 106

Progresiones aritméticas ......................................................... 108

Progresiones geométricas ........................................................ 111

Lo esencial ............................................................................... 114

Actividades .............................................................................. 116

Q

N

Z

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8. Figuras planas .............................................................. 120


Rectas y puntos notables en un triángulo ................................ 122

Teorema de Pitágoras ............................................................. 124

Aplicaciones del teorema de Pitágoras .................................... 125

Área de figuras planas ............................................................. 127

Lo esencial ............................................................................... 130

Actividades .............................................................................. 132

9. Cuerpos geométricos ................................................. 136


Poliedros ................................................................................ 138

Prismas. Área .......................................................................... 140

Pirámides. Área ...................................................................... 141

Cuerpos de revolución. Área .................................................. 142

Volumen de cuerpos geométricos ........................................... 144

Lo esencial ............................................................................... 146

Actividades .............................................................................. 148

10. Movimientos y semejanzas ................................... 152


Vectores ................................................................................. 154

Traslaciones............................................................................ 155

Giros ...................................................................................... 156

Simetrías ................................................................................ 157

Homotecias y semejanzas ....................................................... 159

Lo esencial ............................................................................... 160

Actividades .............................................................................. 162

11. Funciones .................................................................... 166


Concepto de función .............................................................. 168

Formas de expresar una función ............................................. 169

Características de una función ................................................ 171

Lo esencial ............................................................................... 176

Actividades .............................................................................. 178

12. Funciones lineales y afines .................................... 182


Función lineal ........................................................................ 184

Función afín ........................................................................... 185

Función constante .................................................................. 186

Ecuaciones y gráficas .............................................................. 187

Aplicaciones ........................................................................... 189

Lo esencial ............................................................................... 190

Actividades .............................................................................. 192

13. Estadística.................................................................... 196


Conceptos básicos .................................................................. 198

Frecuencias y tablas ................................................................ 200

Gráficos estadísticos ............................................................... 204

Medidas de centralización ..................................................... 207

Lo esencial ............................................................................... 208

Actividades .............................................................................. 210

14. Probabilidad ............................................................... 214


Experimentos aleatorios. Sucesos ........................................... 216

Operaciones con sucesos ........................................................ 218

Probabilidad de un suceso ...................................................... 219

Regla de Laplace ..................................................................... 220

Propiedades de la probabilidad .............................................. 221

Lo esencial ............................................................................... 222

Actividades .............................................................................. 224

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Esquema de unidad

Lectura inicial: Muestra la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas. Se proponen actividades que te invitan a investigar sobre el personaje de la lectura y la importancia de sus aportaciones.

Antes de empezar la unidad… Aparece el bloque de contenidos previos necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Además, mediante la evaluación inicial, podrás afianzar los contenidos repasados.

Páginas de contenidos: En ellas encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos.

En la mayoría de las páginas se incluye la sección ANTES DEBES SABER… donde se repasan contenidos o procedimientos que debes conocer al enfrentarte a los nuevos contenidos. Esta sección también se refuerza con ejemplos resueltos.

Al final de cada página se proponen ejercicios que debes saber resolver a partir de los contenidos aprendidos.

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

31. Investiga sobre

las aportaciones de la cultura árabe al estudio de las matemáticas y sobre la vida y obra de Al-Khwarizmi.

2. ¿A qué se llamó Casa de la Sabiduría de Bagdad? ¿Qué relación tiene con Al-Khwarizmi?

3. Busca información sobre las aportaciones de Al-Khwarizmi al álgebra.

DESCUBRE LA HISTORIA...

El servidor del califa

Mohamed recorría nervioso las salas de la Casa de la Sabiduría buscando al sabio Al-Khwarizmi, el cual le había enseñado un método para contar y operar con cantidades desconocidas que el joven aplicaba en su trabajo como funcionario de abastos del palacio del califa.

Por fin, sentado al lado de una fuente encontró a su maestro.

–Maestro, ¿podemos repasar los cálculos de ayer?

–Me alegra tu afán de conocimiento. –Al-Khwarizmi se extrañaba de que Mohamed dedicara cada rato libre a aprender.

–La riqueza de los pobres es la bondad y el conocimiento, y como cualquier hombre, yo deseo ser rico; además, ningún ladrón puede robártela –repuso Mohamed con una sonrisa.

–¡Está bien, está bien! –contestó, y entre asombrado y divertido el sabio le propuso unos ejercicios aritméticos mientras él estudiaba el lenguaje algebraico y las ecuaciones.

En la tablilla podía leerse: «Un cuadrado y diez raíces son igual a treinta y nueve unidades…».

Polinomios

Antes de empezar la unidad...

En esta unidad aprenderás a…

• Reconocer y operar con monomios.

• Distinguir polinomios, calcular su grado y realizar operaciones con ellos.

• Sacar factor común en un polinomio.

• Conocer y manejar las igualdades notables.

PLAN DE TRABAJO

LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico expresa la información matemática con números y letras.

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

La suma de dos números a + bUn número aumentado en 3 unidades y + 3El cuadrado de un número x2

El triple de un número 3 ? x

La mitad de un número es igual a 3c2

3=

Expresiones algebraicas

Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizamos expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas.

Expresión escrita Expresión algebraica

El triple de un número más otro número 3 ? x + y

El doble de un número más tres unidades 2 ? x + 3

La mitad de un número menos tres veces ese número 2

1 x - 3x

Las letras más utilizadas en el lenguaje

algebraico para representar cualquier número son:

x, y, z, a, b, c, d…

EVALUACIÓN INICIAL

1 Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.

a) El triple de un número.b) La cuarta parte de un número.c) Cinco veces un número.d) La tercera parte de un número más cinco unidades.e) El cuadrado de un número más uno.f) Tres veces un número menos cinco.g) Cuatro veces un número menos su cuadrado.h) La suma de dos números consecutivos.i) Un número par.j) Un número impar.k) El número siguiente a un número.

1. Transforma en expresiones algebraicas.

a) El doble del cuadrado de un número.b) Un número más la mitad de otro.

41

Operaciones con polinomios

4.1 Suma y resta de polinomios

ANTES, DEBES SABER…

Cómo se suprimen paréntesis

• Sielparéntesisvieneprecedidoporelsigno+,sesuprimeelparéntesisdejandolossignosdelinteriortalycomoaparecen.

• Sielparéntesisvieneprecedidodelsigno-,alsuprimirelparéntesistodoslossumandosdelinteriorsetransformanensuopuesto.

EJEMPLO

3 Realizaestaoperación,eliminandoprimerolosparéntesis.

1 ( 2 3 4) ( 5 6 7) =- + - + - - - + - 1 2 3 4 5 6 7 2- - + - + - + =

( 5 6 7) 5 6 7-- + - = - +

( 2 3 4) 2 3 4+- + - =- + -

F

F

Para sumar (o restar) polinomios, se agrupan los monomios del mis-mo grado y se suman (o restan) sus coeficientes.

EJEMPLO

11 SumayrestaP(x)= 2x3- 3x2+ 4x+ 1yQ(x)= -x3+ x2.

La suma y resta de polinomios se puede realizar en horizontal o en vertical.

+ 2x3 - 3x2 + 4x + 1-x3 + x2

x3 - 2x2 + 4x + 1

P(x) + Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) + (-x3 + x2) == 2x3 - 3x2 + 4x + 1 - x3 + x2 == x3 - 2x2 + 4x + 1

P(x) - Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) - (-x3 + x2) == 2x3 - 3x2 + 4x + 1 + x3 - x2 == 3x3 - 4x2 + 4x + 1

- 2x3 - 3x2 + 4x + 1-x3 + x2

3x3 - 4x2 + 4x + 1

4

Para sumar dos números enteros

de distinto signo:1.º Se restan sus valores

absolutos (el menor del mayor).

2.º Al resultado se le añade el signo del número con mayor valor absoluto.

–5 + 2 = –|5 – 2| = –3

5 Dadoslospolinomios ( ) 3 1P x x x3=- + - y ( )Q x x x4 2= + ,calcula: ( ) ( )P x Q x 2 2+ - x

17 CalculaB(x)-A(x)conlospolinomios:A(x) = 3x4 - 5x3 + x2 - 7B(x) = -3x4 + x3 - 2x + 1

LO QUE DEBES SABER RESOLVER

16 Hallalasumaylarestadecadapardepolinomios.

a) R (x) = x4 - x + 1; S (x) = x2 + 1

b) R (x) = x + 1; S (x) = x2 + x - 1

c) R (x) = 5x7 - x8 + 1; S (x) = x2 + x6 - 1

d) R (x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S (x) = x3 + 2x

4.2 Multiplicación de polinomios


Cómo se multiplica un polinomio por un monomio

Paramultiplicar un polinomio por un monomio,multiplicamoselmonomioporcadaunodelostérminosdelpolinomio.

EJEMPLO

4 Multiplicaelpolinomio ( ) 2 3 1x x x xP 4 2=- + - - porelmonomio2x3.

La multiplicación de un polinomio por un monomio se puede hacer en horizontal o en vertical.

-2x4 + 3x2 - x - 1 3 2x3

-4x7 + 6x5 - 2x4 - 2x3

( ) ( )? ?

? ? ? ?

P x x x x x xx x x x x x xx x x x

2 2 3 1 22 2 3 2 2 1 24 6 2 2

3 4 2 3

4 3 2 3 3 3

7 5 4 3

= - + - - =

=- + - =

=- + - -

-

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro, y, después, se suman los po-linomios obtenidos.

EJEMPLO

12 Resuelveestosproductosdepolinomios.

a) (2x3+ x+ 1)? (2x2- x)

b)2x? (x3+ x+ 1)=2x?x3+2x?x+2x?1=2x4+2x2+2x

2x3 + x + 13 2x2 - x

- 2x4 + 2x3 - x2 - x4x5 - 2x4 + 2x3 + 2x2 + 4x5 - 2x4 + 2x3 + x2 - x

16 Hallaelproductodecadapardepolinomios.

a) R(x) = x4 - x + 1; S(x) = x2 + 1b) R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x - 1c) R(x) = 5x7 - x8 + 1; S(x) = x2 + x6 - 1d) R(x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2xe) R(x) = 7x3 - 2x2 + x - 3; S(x) = x4 + x2 - 8f) R(x) = x7 + 3; S(x) = x3 + x2 + 4x + 2


6 Realizalassiguientesmultiplicaciones.

a) ( 5 4) ?x x x x23 2- - -

b) (4 3 6 3) 5?x x x x25 4- + -

c) 3 (5 4 12)?x x x5 3+ +

d) 5 ( 2 9 1)?x x x x3 4 3- - + -

e) (2 6 2) ( 3 )?x x x4 2 2- - -

f) ( 5 ) ( 2 5 6 5)?x x x x2 4 3 2- - - + +

Recuerda la regla de los signos para la multiplicación:

+ ? + = + – ? + = – + ? – = – – ? – = +

46 47

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Lo esencial: Esta doble página es de resumen y autoevaluación.

COMPRENDE ESTAS PALABRAS. Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.

HAZLO DE ESTA MANERA. Son los procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

Y AHORA… PRACTICA. Son actividades que te permitirán comprobar si dominas los contenidos esenciales de esa unidad.

Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS

HAZLO DE ESTA MANERA

1. SUMAR Y RESTAR POLINOMIOS

Dados los polinomios ( ) 5 7 2P x x x x3 2= + - y ( ) 3 1x x xQ 3=- + - , realiza las siguientes operaciones.

a) ( ) ( )P x xQ+

b) ( ) ( )P x Q x-

PRIMERO. Eliminamos los paréntesis, teniendo en cuenta que:

• Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen.

• Si el paréntesis viene precedido del signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto.

a) ( ) ( ) (5 7 2 ) ( 3 1) 5 7 2 3 1P x Q x x x x x x x x x x x3 2 33 2 3+ = + - + - + - = + - - + -

b) ( ) ( ) (5 7 2 ) ( 3 1) 5 7 2 3 1x x x x x x x x x x x xP Q 3 2 33 2 3- = + - - - + - = + - + - +

SEGUNDO. Agrupamos los monomios semejantes.

a) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 5 7 2 3 1

4 7 1

P x Q x x x x x x x x x x x

x x x

3 2 3 2

3 2

3 3+ = + - - + - = - + - + - =

= + + - \Semejantes

\Semejantes

b) ( ) ( )P x Q x x x x x x x x x x x

x x x

5 7 2 3 1 5 7 2 3 1

7 16 5

3 2 3 3 3 2

3 2

= + - = + =

= +

- + - + + - - +

- + \Semejantes

\Semejantes

TERCERO. Sumamos y restamos los monomios semejantes.

a) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 4 7 1P x Q x x x x x x x x x2 3 23 3+ = - + - + - = + + - \ \

b) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 6 7 5 1P x Q x x x x x x x x x3 3 2 3 2- = + + - - + = + - + \ \

Factor comúna ? b + a ? c = a ? (b + c)a ? b - a ? c = a ? (b - c)

Igualdades notables

Cuadrado de una suma

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Cuadrado de una diferencia

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Suma por diferencia

(a + b) ? (a - b) = a2 - b2

Monomio

Monomios semejantes

17x3y -5x3y

Misma parte literal

Variable

Coeficiente Parte literal

G Grado

F

-4 x2

Polinomio

2. MULTIPLICAR POLINOMIOS

Calcula: (x5- x2 - x) ? (x2 + x)

PRIMERO. Multiplicamos cada monomio del polinomio que tenga menos términos, por el otro polinomio.(x5 - x2 - x) ? (x2 + x) =

= (x5 - x2 - x) ? x2 + (x5 - x2 - x) ? x == x5 ? x2 - x2 ? x2 - x ? x2 + x5 ? x - x2 ? x - x ? x == x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2

SEGUNDO. Reducimos los monomios semejantes, si los hay, y ordenamos los monomios según su grado en orden decreciente.x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2 = x7 - x4 + x6 - 2x3 - x2

2. SACAR FACTOR COMÚN

3. DIVIDIR UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Calcula: (8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2)

PRIMERO. Dividimos cada término del polinomio entre el monomio divisor.(8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2) =

= 8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2)

SEGUNDO. Dividimos los coeficientes, por un lado, y las partes literales, por el otro.8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2) =

= (8 : 2)x6-2 - (12 : 2)x5-2 - (2 : 2)x2-2 == 4x4 - 6x3 - 1x0 = 4x4 - 6x3 - 1

01

Y AHORA… PRACTICA

Comprende estas palabras

1. Identifica los términos y el grado de los siguientes polinomios.a) y+x y xy5 14 13 2- - + b) x x x 45 2- - -

2. Utiliza las igualdades notables para desarrollar estos cuadrados.

a) ( )x 1 2- b) ( )x2 3 2+

Sumar y restar polinomios

1. Suma y resta estos polinomios.

( ) 3 5 1P x x x x4 2= + - +

( ) 3 8 5Q x x x x4 3=- - + -

Multiplicar polinomios

2. Multiplica los siguientes polinomios.

( ) 3 5 1P x x x x4 2= + - +

( ) 3 5Q x x2= -

Dividir un polinomio entre un monomio

3. Realiza esta división: :(8 6 10 ) 2x x x x4 2- -

Sacar factor común

4. Saca factor común en los polinomios.

a) x x x3 5 145 3 2+ -

b) y y xy18 6 125 2 2 2- -x xd) xy x y x y6 12 242 2 2 3 2- - -

Extrae factor común en el polinomio 3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2.

PRIMERO. Comprobamos si hay letras que se repiten en todos los sumandos. Si las hay, tomamos las que aparecen con menor exponente.

Se repiten en todos los sumandos las letras x e y.

x con menor exponente " x2

y con menor exponente " y

SEGUNDO. Hallamos el m.c.d. de los coeficientes de cada término.

m.c.d. (3, 12, 15) = 3

TERCERO. El factor común son las letras y el número que hemos obtenido.

Factor común: 3yx2

CUARTO. Dividimos el polinomio entre el factor común. Expresamos el polinomio como producto del factor común por el polinomio resultante de la división.

3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2 : 3yx2

F yx3 - 4yx2 - 5

Por tanto, resulta que:

3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2 = 3yx2 ? (yx3 - 4yx2 - 5)

Términos

Término independiente

7x2 - 2x - 3G

52 53

ActividadesMONOMIOS. OPERACIONES

35. ● Indica si las siguientes expresiones son o no monomios.

a) 2x2 + yz c) 5x5y2 e) x y23

31

+

b) y

112 2 4-x

d) xyz f) 3ab + 2a2

13. ● Indica en cada monomio el coeficiente, la parte literal y el grado, y calcula su monomio opuesto.

a) 2xy c) -3y2z3 e) -6a2

b) 12x2yz d) 8acb f) 9b

14. ● Completa la siguiente tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

-8xyz2

3a2b4

4 xy 5

-9 abc 4

1 z 6

2/3 bc 3

36. ● Di si los monomios son semejantes.

a) xz, 3xy, -6xy c) 4c 9d, c 7d, cd 4

b) ab, a 2b, 7b d) 8xy2, 7xy

15. ● Agrupa aquellos monomios que sean semejantes.

5xy 2y3 5x2 -6xy 8xy2

-3x2 x2y3 10y3 9x2y3 -y3

16. ●● Escribe, si es posible:

a) Dos monomios de grado 5 que no sean semejantes.b) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes.c) Un monomio de grado 4 y otro de grado 5

que sean semejantes.

37. ● Realiza estas sumas de monomios.

a) xz + 3xz + 6xzb) a 2b + 9a 2b + 27a 2bc) 9c 9 + c 9 + c 9

d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy

38. ● Efectúa las siguientes restas de monomios.

a) 3xz - 6xz c) 18xy - 7xy - 3xy - 3xyb) 9a 2b - 2a 2b d) 5x9 - x9 - x9 - x9

40. ● Haz las siguientes operaciones.

a) -xz + 6xz + xyz - 8xzb) 9a 2b - 2a 2b + 8a 2b - a 2bc) 9c 9 - c 9 - c 9 + 10c 9

d) 8xy + 7xy - xy + 3xy - xy

17. ● Realiza las siguientes operaciones.

a) x x x x x2 2 3- + + + + c) 8 5x x y x y xyy2 2 2 2- + -

b) 2 ( 3 )x x x3 3 3- - d) ( )x y y y x3 7 8 6- + - + -

18. ● Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Razona la respuesta y corrige los errores cometidos.

a) a a a2+ = c) a a2 2- =

b) 2 2a a a2+ = d) a a2 2- =

41. ● Realiza estas multiplicaciones.

a) xy ? 3xy ? (-6xy) c) 8xy2 ? 7xyb) ab ? a 2b ? 7b ? ab d) 15x9 ? (-3x9)

19. ● Resuelve las siguientes operaciones.

a) 2 4 5? ?x x x2 3 6 c) 8 2 6? ? ?xy z xy z2 3

b) 7 5 9? ?x x x3 4 d) 10 ( 2 ) ( 4 )? ?xy y x23 4- -

42. ● Efectúa las siguientes divisiones de monomios.

a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9

b) 9ab : ab d) 8xy2 : 2xy2 f) 32x7 : 8x4

20. ● Realiza estas operaciones.

a) :15 5x x3 2 c) :8 2x y x y3 2 2-

b) :9y xy34- d) :10x y xyzz 524

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS DE MONOMIOS?

21. Resuelve: 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x)

PRIMERO. Se resuelven las operaciones que hay entre paréntesis.

8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) = = 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2

SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 - 3x2 + 5x2

TERCERO. Se resuelven las sumas y restas en el mismo orden.

8x2 - 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2

43. ●● Calcula y simplifica el resultado todo lo que puedas.

a) 2x2 - 5(-x2) + 8x2 - (2x) ? (3x)b) 2x ? (-y) + 7xy - yx + (-4x) ? (-5y)c) 3x2 - (-x)2 + 3(-x2) + (-3) ? (-x)2

d) (2xy - 3xy + 7xy) ? (2ab)e) (x2 - 3x2 + 6x2 - 2x2) ? (-5zx)

39. ● Realiza las operaciones, e indica el grado del monomio resultante.

a) 2x2 + 3x2 - 7x2 + 8x2 - x2

b) 5xy3 - 2xy3 + 7xy3 - 3xy3 + 12xy3

c) 3abc - 2abc + 6abc + 9abc - 4abcd) 5xz - 3xz + 15xz - 11xz + 8xz - 3xze) (2xyz) ? (2x2yz 3)f) (-2abc) ? (3a 2b 2c 2) ? (-bc)g) 7x ? (2xy) ? (-3xy5) ? (xy)h) (6ac3) ? (-2a 2c3) ? (-3ac) ? (-4a 3c2)i) (21x2y3) : (7xy2)j) (9abc) : (3bc)k) (16x4y5a 3b 6) : (8x2y3a 2b 5)l) (5m3n2g 4) : (2mng)

POLINOMIOS

45. ● Indica el grado, el término independiente y el polinomio opuesto de los polinomios.

a) P (x) = -x3 + x2 - 7x - 2b) Q (x) = -x2 + 2x + 6c) R (x) = x + 1 d) S (x) = 8e) T (x) = 12x - x2 + x4

f) ( )U x x x21

612= - -

22. ●● Escribe un polinomio de una variable, con grado 5 y cuyo término independiente sea -2, y que tenga:

a) 5 términos b) 4 términos c) 2 términos

23. ● Suma y resta los términos semejantes de estos polinomios, y ordena sus términos de mayor a menor grado.

a) ( )P x x x x x x x x8 7 5 6 13 2 2 3= - + - + - + -

b) ( ) 5 6 7 4x x x x x xQ 3 22 2= + + - + -+

c) ( ) 2 5 4 7 7x x x x x xR 3 3 2 2=- + - + - +

d) ( )S x x x x x x2 5 14 3 2 4 3=- + - + - -

48. ● Calcula el valor numérico de cada polinomio para los valores de la variable.

a) A (x) = x + 1, para x = 1.

b) B (x) = 21

x4 + 3, para x = 2.

c) C (x) = 4x5 - x2 + 3, para x = -1.d) D (x) = -9x4 + 7x2 + 5, para x = 1.e) E (x) = x3 + x2 + x + 2, para x = -2.f) F (x) = x4 + x4 - x3 + x2 - 7x - 2, para x = 0.g) G (x) = -14, para x = -2.

24. ● Para el polinomio ( ) 2 3P x x x x x 53 25 4= - + - + , halla el valor de las siguientes operaciones.

a) ( ) ( 1)1P P+ - d) (1) 2 ( )? ?P P21

0-

b) ( ) ( 1) ( )1P P P 0+ - - e) 21

( 1)?P P21

- + -d n

c) 2 (1) 3 ( 1)? ?P P- - f) P P21

21

- + -d dn n

¿CÓMO SE CALCULA UN COEFICIENTE DE UN POLINOMIO CONOCIENDO UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS?

50. Calcula el valor de k en el polinomio P(x) = x2 - x + k, si P(2) = 5.

PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable por su valor.

P(x) x = 2F k2 5+ ="

( )( )

P k kP

2 2 2 22 5

2= - + = +=

4

SEGUNDO. Se despeja k en la ecuación resultante.2 + k = 5 " k = 5 - 2 = 3

HAZLO ASÍ

51. ●● Calcula el valor de k en cada polinomio, sabiendo que P(1) = 6.

a) P (x) = kx7 + x3 + 3x + 1b) P (x) = kx4 + kx3 + 4c) P (x) = 9x5 + kx2 + kx - kd) P (x)= kx6 - kx3 + kx + ke) P (x) = k

25. ●● Escribe un polinomio con P (1) = 2 y que:

• Tenga grado 3.• Su término independiente sea -2.• Tenga tres términos.

54 55

Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad.

HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos que puedes tomar como modelo para afianzar procedimientos trabajados en la unidad.

301386 _ 0001-0005.indd 5 21/07/11 8:08

1La senda de los recuerdos

La sala del trono papal aparecía enorme y vacía a los ojos de Silvestre II. El otrora poderoso pontífice romano había perdido todo su poder político aunque a los ojos de cualquiera su presencia aún imponía un respeto casi místico.

Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único sitio adonde solo podía llegar él y se sentía libre. Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia que venía del sur.

A su memoria volvían algunos de sus recuerdos iluminando su rostro, como aquel ábaco que él mismo construyó con los números arábigos escritos en sus fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto de aquella máquina que fraccionaría el tiempo, sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia…

Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras líneas decían:

Día y noche son las dos partes en que se divide el día, mas no son iguales, el primero de diciembre durante el día se han consumido 3 velas y 6 durante la noche…

De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneció al oír la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba de su próxima audiencia.

Números racionales

1. Gerberto de Aurillac, que en el año 999 se convirtió en el papa Silvestre II, hizo aportaciones matemáticas importantes. Busca información sobre Silvestre II y la época en la que vivió.

2. Averigua cómo funcionaba el ábaco que construyó Silvestre II.

3. Investiga qué trabajos relacionados con los números realizó Silvestre II.


301386 _ 0006-0021.indd 6 21/07/11 10:02



• Calcular fracciones equivalentes e irreducibles.

• Clasificar números decimales.

• Resolver operaciones con fracciones positivas y negativas.

• Identificar números racionales.

PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS ENTEROS

Suma de números enteros• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman

sus valores absolutos y se pone el signo que tienen los sumandos.(+2) + (+3) = +5 (-1) + (-5) = -6

;+2; + ;+3; = 5 ;-1; + ;-5; = 6

• Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos (el menor del mayor) y se pone el signo que tiene el sumando de mayor valor absoluto.

(+5) + (-3) = +2 "";+5; = 5;-3; = 3

5 > 3 " 5 - 3 = 2

Resta de números enterosPara restar dos números enteros hay que sumar al primer sumando el opuesto del segundo.

(-5) - (+3) = (-5) + Op (+3) = (-5) + (-3) = -8

Multiplicación y división de números enterosPara multiplicar o dividir dos números enteros, se multiplican o dividen sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo + si los dos factores tienen el mismo signo, o el signo - si tienen distinto signo.

(-5) ? (+3) = -15 (-15) : (+3) = -5

Recuerda la regla de los signos.

(+) · (+) = +(-) · (-) = +(+) · (-) = -(-) · (+) = -

(+) : (+) = +(-) : (-) = +(+) : (-) = -(-) : (+) = -

EVALUACIÓN INICIAL

1 Calcula.

a) (-11) + (+4) b) (+13) + (+12) c) (-20) + (-12)

2 Realiza estas restas.

a) (-5) - (+5) b) (+3) - (-7) c) (-15) - (-17)

3 Calcula.

a) (-4) + (+5) - (-18) c) (+20) - (-5) - (+5)b) (+30) - (+7) + (-18) d) (-12) - (+3) - (-7)

4 Calcula.

a) (+4) ? (-5) b) (-40) ? (+8) c) (-40) ? (-10)

5 Haz estas divisiones.

a) (+35) : (-7) b) (-21) : (+3) c) (+40) : (-10)

… -5

Números enteros negativos

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …144444424444443 144444424444443

Números enteros positivos

F F

7

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3 ¿Qué fracción representa la parte coloreada?

Después, representa esa misma fracción de una forma diferente.


1 Escribe en forma de fracción.

a) Siete novenos. c) Diez doceavos.b) Dos décimos. d) Trece sextos.

2 Representa las siguientes fracciones.

a) 53

b) 47

c) 56

d) 67

EJEMPLO

1 Determina si las siguientes expresiones son fracciones, y si lo son, di cuál es el numerador y el denominador.

a) 75

" Es una fracción 5

7Numerador:Denominador:(

b) ,46 3

" No es una fracción, porque 6,3 no es un número entero.

Fracciones1Una fracción es una expresión

ba

en la que a y b son números enteros

llamados numerador, a, y denominador, b, siendo b ! 0.

a) b) c)

Las fracciones son números que

sirven para expresar las partes que cogemos

de una totalidad.

" 34


Cómo se representa una fracción gráficamentePara representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas. Dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador, y coloreamos las partes que señala el numerador.

EJEMPLO

2 Representa gráficamente las fracciones 85

811

y .

La fracción 85

es menor que la unidad y la fracción 811

es mayor.

85

85

85

811

811

811

8

301386 _ 0006-0021.indd 8 21/07/11 10:02

3 Representa como partes de la unidad.

a) 104

b) 47

c) 55

d) 36

4 Calcula el valor de x para que sean equivalentes.

a) x 6

93y b)

x4 8

12y c)

x255 1

y


1 Calcula.

a) 54

de 450 b) 73

de 350

2 Comprueba si son equivalentes.

a) 27

y 621

b) 6012

y 2510

1.1 Fracciones equivalentes

Dos fracciones, ba

y dc

, son equivalentes, y lo escribimos como

ba

dc

= , si se cumple que: a ? d = b ? c

Dos fracciones equivalentes representan la misma cantidad.

EJEMPLO

3 ¿Son equivalentes las fracciones 52

208

y ? ¿Y las fracciones 53

306

y ?

52

208

= si se cumple que: y? ?2 20 5 8

40 40 52

208=

= "2 son equivalentes.

53

306

= si se cumple que: y? ?3 30 5 6

90 30 53

306!

! "2 no son equivalentes.


Cómo se despeja una incógnita en una ecuación

En una ecuación, para despejar la incógnita, podemos hacer que cualquier término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba:

• Siestabasumando,aparecerestando;ysiestabarestando,sumando.

x - 4 = 7 " x = 7 + 4 x + 4 = 7 " x = 7 - 4

Pasa sumando Pasa restando

• Siestabamultiplicando,aparecedividiendo;ysiestabadividiendo,multiplicando.

3x = 9 " x = 39

x3

= 9 " x = 9 ? 3

Pasa dividiendo Pasa multiplicando

EJEMPLO

4 Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes.

x156 2= " 6 ? x = 15 ? 2 "

?x

615 2

= " x = 5

F F

F

En la ecuación:6 ? x = 15 ? 2

el 6 que está multiplicando en el primer miembro, pasa dividiendo al segundo miembro.

15 2?x

6=

DATE CUENTA

34 y 9

12 son equivalentes,

porque representan la misma cantidad.

34 "

912 "

F

9

301386 _ 0006-0021.indd 9 21/07/11 10:02

1.2 Amplificación y simplificación de fracciones

Existen dos métodos para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada:

• Amplificar fracciones consiste en multiplicar el nu-merador y el denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero.

• Simplificar fracciones consiste en dividir el nume-rador y el denominador de la fracción entre un divi-sor común a ambos.

EJEMPLO

5 Escribe fracciones equivalentes a 3515

, amplificando y simplificando.

Amplificando: ?

?

3515

35 215 2

7030

= = Simplificando: ::

3515

35 515 5

73

= =

1.3 Fracción irreducible

La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción equi-valente en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes.


Cómo se calcula el máximo común divisor

Para calcular el máximo común divisor de varios números:1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente.3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números.

Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el numerador y el denominador entre su máximo común divisor.

: ( , ): ( , )

ba

b a ba a b

sr

sr

m.c.d.m.c.d.

= = " es la fracción irreducible de ba

.

EJEMPLO

6 Calcula la fracción irreducible de 4560

.

?

? ?

45 3 560 2 3 5

2

2

=

=3 " m.c.d. (45, 60) = 3 ? 5 = 15 "

::

6045

60 1545 15

43

= =

ba

b na n

?

?=

::

ba

b na n

=

Fracciónirreducible

F

6 Calcula la fracción irreducible de estas fracciones.

a) 4018

b) 7560

c) 5642


5 Escribe dos fracciones equivalentes.

a) 60

120 b)

360690

c) 2812

12631

223 12 = 22 ? 3

301551

235 30 = 2 ? 3 ? 5

m.c.d. (12, 30) = 2 ? 3 = 6

RECUERDA

Una fracción es irreducible cuando

no se puede simplificar.

10

301386 _ 0006-0021.indd 10 21/07/11 10:02

1.4 Reducción a común denominador

Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener otras fracciones equivalentes a ellas que tengan todas el mismo denominador.


Cómo se calcula el mínimo común múltiplo

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor

exponente.3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números.

EJEMPLO

7 Reduce a común denominador las fracciones 157

y 1811

.

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

?

?

15 3 518 2 32

=

=3 " m.c.m. (15, 18) = 2 ? 32 ? 5 = 90

El m.c.m. será el denominador común de las fracciones.

Para hallar el numerador de cada fracción, dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

F 7 ? 6 = 42 F

F 11 ? 5 = 55 F

9055

157

F 90 : 15 = 6 F

9042

1811

F 90 : 18 = 5 F

F F

1.5 Comparación de fracciones

Para comparar fracciones las reducimos primero a denominador co-mún. Será mayor la fracción que tenga mayor numerador.

EJEMPLO

8 Ordena, de menor a mayor, estas fracciones: , ,157

97

1511

53

y

Reducimos las fracciones a común denominador.

451511

157

4521

97

4535

4533

53

4527

m.c.m. (15, 5, 9) == == ="

Ordenando los numeradores: 4521

4527

4533

4535

157

53

1511

97

< < < < < <"

5 Ordena, de menor a mayor: , ,53

43

73

94

y


9 Ordena, de menor a mayor: a) 94

,31

,52

y3011

DATE CUENTA

Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

157

97

<

201051

225 20 = 22 ? 5

18931

233 18 = 2 ? 32

m.c.m. (20, 18) = 22 ? 32 ? 5 = 180

RECUERDA

11

301386 _ 0006-0021.indd 11 26/07/11 10:06

Operaciones con fracciones

2.1 Suma y resta de fracciones

Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador.

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador primero se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los numeradores.

EJEMPLO

9 Realiza la siguiente suma de fracciones:

m.c.m. (6, 3, 1) = 6

565

37

14

65

614

624

65 14 24

65

6 37

4 =+ - + - = + - =+ -

=-

2.2 Multiplicación de fracciones

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

………

? ? ?? ? ?

? ? ?

ba

dc

fe

b d fa c e

=

EJEMPLO

10 Calcula este producto de fracciones:

??

?

6 95 4

5420

2710

65

94

= = = F Fracción irreducible

2

F

F

Simplificando

6 Calcula y simplifica el resultado, si se puede.

a) 234

31

+ + e) 21

49

1+ -

b) 23

51

101

+ - f) 59

71

1+ -

c) 3

27

31

4- - g) ? ?

57

38

109

d) 74

42

21

+ - h) ? ?38

94

73


12 Calcula.

a) 87

83

+ c) 35

34

-

b) 587

+ d) 438

-

13 Realiza estos productos.

a) ?5

1237

b) ( ) ?4211

-

Al operar con fracciones es

conveniente simplificar al máximo la fracción que obtenemos como

resultado.

12

301386 _ 0006-0021.indd 12 21/07/11 10:02

7 Calcula.

a) 95

57

154

+ -e o c) ?37

53

65

127

- + -e o

b) 254

28

207

- -e o d) :49

65

98

56

- + -e eo o


16 Realiza las divisiones.

a) :59

74

c) :427

b) :118

53

d) : ( )9

105-


Cómo se calcula una fracción inversa

La fracción inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera fracción, y por denominador, su numerador.

2.3 División de fracciones

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

: ??

?

ba

dc

ba

cd

b ca d

= =

EJEMPLO

11 Calcula esta división de fracciones.

??

?

72

611

7 62 11

4222

2111

72

:116= = = =

2.4 Operaciones combinadas

Para realizar operaciones combinadas con fracciones es necesario seguir el orden de prioridad entre las operaciones:

1.o Se efectúan las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes.

2.o Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha.

3.o Se calculan las sumas y restas en el orden en el que aparecen.

EJEMPLO

12 Efectúa las siguientes operaciones.

a) ?4027

2042

4027

4084

4057

89

53

47:65

- = - = - =-

b) :2112

212

98

915

2114

97

147126

76

74

212

:98

35=+ + - =

-

+ -

:= =- =-

e e d d

d

o o n n

n

> H

Para dividir fracciones podemos multiplicar

en cruz.23 ?

? 45 = 2 ? 5

3 ? 4FF

FF

La fracción inversa de ba

es ab

.

Fracción inversa de 53

es 35

.

RECUERDA

13

301386 _ 0006-0021.indd 13 21/07/11 10:02

Números decimales

Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, situada a la derecha.

Decenas

3

Unidades

7,

décimas

0

centésimas

9

milésimas

0 7

diezmilésimas

64444444744444448 6444444444444444447444444444444444448PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

37,0907 " Treinta y siete unidades novecientas siete diezmilésimas

Tipos de números decimales

• Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales.

• Un número decimal es periódico si tiene infinitas cifras decimales y, además, una o varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama período.– Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es un

decimal periódico puro.– En caso contrario, es un decimal periódico mixto. La cifra o cifras

decimales que no se repiten se llaman anteperíodo.• Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas

cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.


Cómo se expresa una fracción como número decimal

Para expresar una fracción como número decimal se divide el numerador entre el denominador.

EJEMPLO

13 Clasifica estos números decimales.

a) 35" Decimal

periódico puro

5 320 1,666… "120 1120

c) 1516

" 16 151100 1,066… "11100 11110

Decimal periódico mixto

b) 57" Decimal

exacto

7 520 1,4 "10

d) 1,4142135...2 = " Decimal no exacto y no periódico

3

Período

230,569!

Anteperíodo

F

F

8 Clasifica los números decimales que expresan estas fracciones.

a) 2012

b) 2127

c) 1537

c) 1144


20 Indica la parte entera, la parte decimal, el período y el anteperíodo.

a) 0,333… c) 3,37888…b) 234,4562525… d) 0,012333…

Para abreviar la escritura de los números decimales

periódicos colocamos un arco sobre las cifras

del período. 1,666… = 1,6 1,0666… = 1,06

14

301386 _ 0006-0021.indd 14 21/07/11 10:02

9 Clasifica los siguientes números en enteros, decimales exactos, decimales periódicos puros, periódicos mixtos e irracionales.

2,3 78 -2,3 2,33

-78 3,!4 3,

#45 -3,

!4

-73,3!4 0,4563 5

43

2 5347

- 3 91 -7

34

- 6,02 -3,4!5 9

3,02 7

1422 10 -3

%


33 Completa esta tabla, teniendo en cuenta que un número puede estar en más de una casilla.

-0,224466881010… -1,897897897…-24 -0,67543-3,0878787… -1,5

Número natural

Número entero

Decimal exacto

Decimal periódico

Decimal no exacto

y no periódico

Número racional

Númerosracionales

Al conjunto de todos los números que se pueden expresar mediante fracciones se le llama conjunto de los números racionales y se repre-senta por Q.

Los números enteros y los números decimales exactos y periódicos se pueden expresar mediante fracciones:

64444744448

6447448

64748

Números racionales

Números enteros

Números decimales

Números naturales: 1, 2, 3, …El número cero: 0Enteros negativos: -1, -2, -3, …

Decimales exactos: 0,2; 0,34; …Decimales periódicos: 0,7

!; 0,894$

; …

Los números decimales no exactos y no periódicos no se pueden expresar en forma de fracción, y por tanto, no son racionales. A estos números se les llama números irracionales.

EJEMPLO

18 Completa la siguiente tabla con estos números. Ten en cuenta que cada número puede estar colocado en más de una casilla.

1 -7 14,019!

11,223344… 0,125 -0,75#

-4,1234567…

Número natural

Número entero

Número decimal exacto

Número decimal

periódico

Número decimal no exacto

y no periódico

Número racional

1 1

-7

0,125 14,019!

-0,75# 11,223344…

-4,1234567…

1 -7 14,019!

0,125 -0,75#

5

Q

N

Z

15

301386 _ 0006-0021.indd 15 21/07/11 10:02


Fracción

Numerador Denominador

43

Fracciones equivalentes

72

144

= " 2 ? 14 = 7 ? 4

Fracción irreducible

: ( , ) : ( , )

3024

30 24 3024 24 30

54

m.c.d.m.c.d.

= =

Número decimal

17,208#

Exactos: 0,03 9,1586 -12,2

Periódicos puros: 0,03#

9,15'

86 -12,2!

Periódicos mixtos: 0,03!

9,1586"

-12,02!

No exactos y no periódicos: 1,234… 1,112233…

--"-"

Anteperíodo PeríodoF

F

Parte entera Parte decimalF

F

Números naturales: 1, 2, 3, …El número cero: 0Enteros negativos: -1, -2, -3, …

Decimales exactos: 0,2; 0,34; …Decimales periódicos: 0,7

!; 0,894!

; …NÚMEROS DECIMALES

NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS RACIONALES

644474448

6447448

64748


1. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES

Realiza la siguiente operación:

307

258

54

+ -

PRIMERO. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos a común denominador.

25 52=

30 2 3 5? ?

5 5

=

=4 " m.c.m. (5, 25, 30) = 2 ? 3 ? 52 = 150 "

307 F 7 ? 5 = 35 F

15035

F 150 : 30 = 5 F

258 F 8 ? 6 = 48 F 48

150F 150 : 25 = 6 F

54 F 4 ? 30 = 120 F

012015F 150 : 5 = 30 F

FF

F

1444444442444444443

SEGUNDO. Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores.

307

258

54

15035

15048

150120

15037

15037

+ - = + - =-

=-

16

301386 _ 0006-0021.indd 16 21/07/11 10:02

2. MULTIPLICAR FRACCIONES

Realiza la siguiente operación: ?127

34

-d n

PRIMERO. Realizamos la operación prescindiendo del signo de las fracciones (el numerador es el producto de los numeradores y el denominador, el producto de los denominadores), y simplificamos el resultado, si se puede.

12 37 4

??

?

127

34

3628

97

= = =

SEGUNDO. Aplicamos la regla de los signos ?

127

34

97

- =-d npara la multiplicación.

F

Simplificando

F F

+ ? - = -

4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

Resuelve esta operación entre fracciones: 537

53

:34

910

21

- + - +d dn n\\

PRIMERO. Resolvemos las operaciones que aparecen entre paréntesis.

::51535

159

912

910

21

51544

92

21

- + - + = - +d dn n

SEGUNDO. Resolvemos las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

:5 51544

92

21

30396

21

- + = - +

TERCERO. Resolvemos las sumas y restas, y simplificamos el resultado, siempre

530

39621

30150

30396

3015

30231

1077

- + = - + =-

=-

que se pueda.

m.c.m. (3, 5) = 15 m.c.m. (3, 9) = 9

>m.c.m. (2, 30) = 30

3. DIVIDIR FRACCIONES

Realiza la siguiente operación: :127

34

- -d n

PRIMERO. Realizamos la operación prescindiendo del signo de las fracciones (para dividir multiplicamos la fracción del dividendo por la fracción inversa del divisor), y simplificamos el resultado, si se puede.

: ?127

34

127

43

4821

167

= = =

SEGUNDO. Aplicamos la regla de los signos

:127

34

167

- - =d npara la división.

F

Simplificando

F F

- : - = +

Y AHORA… PRACTICA


1. Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas fracciones.

a) 49

b) 611

c) 8

13

2. Halla la fracción irreducible.

a) 7042

b) 7244

c) 7446

Sumar y restar fracciones

1. Realiza las siguientes operaciones.

a) 9

1247

2435

+ - b) 9

1247

2435

- -

Multiplicar fracciones

2. Calcula el resultado de estas multiplicaciones.

a) ?74

221

b) ?4

15254

- c) ?98

1615

-d n

Dividir fracciones

3. Realiza estas divisiones.

a) :74

212

b) :35

610

- c) :1514

92

-d n

Realizar operaciones combinadas con fracciones

4. Calcula: ?25

147

1023

2435

+ - -d n

17

301386 _ 0006-0021.indd 17 21/07/11 10:02

ActividadesFRACCIONES

36. ● Expresa estos enunciados utilizando una fracción.

a) Una pizza se ha partido en 8 partes y Juan se ha comido 2.

b) De una clase de 20 alumnos, 15 han ido de excursión.

c) De un grupo de 7 amigas, 3 son pelirrojas.d) Una de cada 5 personas tiene problemas

de espalda.

37. ● Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura.

a) c)

b) d)

38. ● Representa, utilizando figuras geométricas, las siguientes fracciones.

a) 73

c) 67

b) 25

d) 94

39. ● Colorea los 32

de la figura.

40. ● Calcula.

a) 21

de 180 d) 94

de 540

b) 65

de 420 e) 85

de 320

c) 5

2- de 40 f )

113

- de 1 342

FRACCIONES EQUIVALENTES

10. ● Determina si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) 1518

56

y b) 4

2589

y c) 4

2589

y

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE COMPRUEBA SI DOS FRACCIONES NEGATIVAS SON EQUIVALENTES?

11. Comprueba si son equivalentes.

a) 52

156

y- -

b) 73

49

y- -

PRIMERO. Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

a) -2 ? 15 = -30 5 ? (-6) = -30b) -3 ? 4 = -12 7 ? (-9) = -63

SEGUNDO. Se determina si el resultado de ambos productos es el mismo. Si es el mismo, las fracciones son equivalentes.

a) -30 = -30 " Son equivalentes.b) -12 ! -63 " No son equivalentes.

44. ● Indica si son o no equivalentes estos pares de fracciones.

a) 103

721

y d) 32

54

y- -

b) 71

3014

y- -

e) 52

208

y

c) 106

83

y f ) 5020

450120

y

45. ● Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes.

a) x

410

6= c)

x12 9

6=

b) x9

46

= d) x

4214

9=

46. ● Completa.

32 4

6 3030

44 4

4= = = =

18

301386 _ 0006-0021.indd 18 21/07/11 10:02

47. ● Agrupa las fracciones que sean equivalentes.

4020

24

21

510

42

63-

-

- -

48. ● Obtén dos fracciones equivalentes a cada una de las dadas por amplificación y otras dos por simplificación.

1008

3660

4530

72

504

50. ● Simplifica hasta obtener la fracción irreducible de estas fracciones.

a) 4020

d) 1215

g) 1155

b) 8

210 e)

1816

h) 2130

c) 188

f) 6040

i) 186

12. ● Calcula la fracción irreducible.

a) 6048

b) 75

120 c)

3339

d) 7072

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

13. ● Reduce a común denominador las siguientes fracciones.

a) ,127

2722

916

y c) ,34

118

136

y

b) , ,456

2169

48

325

y d) ,56

257

1258

y

14. ● Ordena, de menor a mayor, las siguientes fracciones.

247

21

916

65

914

1811

53. ● Ordena, de mayor a menor.

a) ,94

87-

d) , ,64

621

125- - -

b) ,811

87- -

e) , ,6043

4010

108- -

c) , ,83

2410

4820

f ) , , ,52

74

358

21

OPERACIONES CON FRACCIONES

56. ● Calcula.

a) 43

45

41

+ + c) 25

23

29

- -

b) 27

268

+ + d) 975

76

+ -

57. ● Haz las siguientes restas.

a) 1133

1110

- c) 23

71

122

- -

b) 105

151

- d) 37

21

111

- -

58. ● Calcula.

a) 7

25711

72

+ - d) 461

67

- +

b) 75

101

31

- + e) 1121

135

+ -

c) 1110

710

1112

+ - f) 3211

71

92

- - +

59. ● Opera.

a) 23

165

83

+ - d) 157

32

61

- -

b) 65

35

45

+ + e) 129

85

8+ -

c) 5

243

1-+ - f)

76

337

- - -

60. ● Efectúa estas operaciones.

a) 16

516

2-+-

d) 51110

710

+ +

b) 75

101

+-

e) 117

121

145

+ +

c) 21

91

182

+-+ f)

1113

131

911

+ +

62. ● Realiza estos productos.

a) ?32

56

b) ?145

8 c) ?3

1027

d) ?2194

63. ●● Opera.

a) ?5

1263

d) ?41

63

- -e eo o

b) ?92

47

-e o e) ? ?79

56

3

c) ?69

73

f) ? ?49

113

311

19

301386 _ 0006-0021.indd 19 21/07/11 10:02

64. ● Calcula.

a) :85

23

b) :125

47

c) :59

76

d) :158

56-e o

65. ● Efectúa las divisiones.

a) :57

221

b) :883

c) :311

7 d) :65

310

-e o

67. ●● Calcula.

a) ?54

41

37

- e) ?941

37

52

- +

b) ?54

41

37

-e o f) ?941

37

52

- +e o

c) :?253

74

43

- g) ?941

37

52

- +e o

d) : :53

74

43

1- h) : ?32

43

51

73

-

68. ●● Realiza las operaciones.

a) 67

203

158

- +e o e) ?52

43

45

-

b) ?54

245

94

-e o f) :52

103

187

-

c) :58

53

3011

+e o g) :72

33521

+

d) : :38

95

56

31

-e eo o h) :?21

56

57

34

+

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA OPERACIÓN CON FRACCIONES?

15. Copia y completa los huecos.

a) 52

43

+ = b) ?52

158

=

PRIMERO. Se aísla el término desconocido en un miembro pasando el resto de forma «inversa» al otro miembro.

a) 52

4 523

43

+ = = -"

b) :?52

158

158

52

= ="

SEGUNDO. Se resuelve la operación resultante.

a) 43

52

207

= - = b) :158

52

3040

34

= = =

F

Está sumando, pasa restando.

F

Está multiplicando, pasa dividiendo.

16. ● Copia y completa estos huecos.

a) 53

1520

+ = d) 43

59

=-

b) 23 15

14=- e)

129

3611

+ =

c) 23

16+ = f)

2116

38

+ =

17. ● Copia y busca el término que falta.

a) ?23 9

8= d) : 2

1615

=

b) :57

2110

= e) ?149

289

=

c) ? 32724

= f) 7 ?821

=

18. ●● Copia y completa los huecos.

a) 73

83 3

9+ + = c) ? ?

73

83

93

=

b) 41

51

61

- - = d) : :41

51

61

=

NÚMEROS DECIMALES

69. ● Señala la parte entera y decimal de los siguientes números.

a) 0,75 c) 1,8989… e) 2,161820…b) 274,369 d) 127,4555… f) -7,0222…

70. ●● Expresa, mediante una fracción y mediante un número decimal, la parte coloreada de cada una de las figuras.

a) c)

b) d)

71. ●● Indica cuáles de los números son periódicos y cuáles no. Señala el período para los que sean periódicos.

a) 1,333… c) 3,02333… e) 0,010101…b) 2,6565… d) 6,7891011… f) 1,001002003…

PROBLEMAS CON FRACCIONES

79. ● Se dispone de 30 metros de tela. Calcula cuántos metros son:

a) de la tela

b) de la tela

c) de la tela

80. ● Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de 12 300 €. Calcula el dinero que ha ingresado.

81. ● Un padre le da a su hija mayor 30 €, y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la hija mayor. ¿Cuánto ha recibido el hijo menor?

19. ● En el último partido de la Selección de baloncesto, Fran Seisdedos ha encestado 4 tiros de cada 6 que ha realizado. Si en total ha tirado 32 tiros a canasta, ¿cuántos ha encestado?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL?

82. En una clase, las partes son chicos.

¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos en total?

PRIMERO. Se resta la parte conocida, , del total, 1,para calcular la parte desconocida.

.

SEGUNDO. Se calcula lo que representa esa parte en el total de alumnos, 25.

83. ●● Para el cumpleaños de mi madre le hemos regalado una caja de bombones. Hemos comido

ya las partes de la caja. Si la caja contenía

40 bombones, ¿cuántos bombones quedan?

20

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PROBLEMAS CON FRACCIONES

79. ● Se dispone de 30 metros de tela. Calcula cuántos metros son:

a) 53

de la tela

b) 307

de la tela

c) 65

de la tela

80. ● Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de 12 300 €. Calcula el dinero que ha ingresado.

81. ● Un padre le da a su hija mayor 30 €, y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la hija mayor. ¿Cuánto ha recibido el hijo menor?

19. ● En el último partido de la Selección de baloncesto, Fran Seisdedos ha encestado 4 tiros de cada 6 que ha realizado. Si en total ha tirado 32 tiros a canasta, ¿cuántos ha encestado?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL?

82. En una clase, las 52

partes son chicos.

¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos en total?

PRIMERO. Se resta la parte conocida, 52

, del total, 1,para calcular la parte desconocida.

152

55

52

53

son chicas- = - = .

SEGUNDO. Se calcula lo que representa esa parte en el total de alumnos, 25.

??

53

53

255

3 255

75de 25 15 chicas= = = =

83. ●● Para el cumpleaños de mi madre le hemos regalado una caja de bombones. Hemos comido

ya las 43

partes de la caja. Si la caja contenía

40 bombones, ¿cuántos bombones quedan?

30 m

86. ●● Unos amigos recorren 105 km en bicicleta.

El primer día hacen 31

del camino y el segundo

día 154

, dejando el resto para el tercer día.

¿Cuántos kilómetros recorren cada día?

87. ●● Una familia gasta 51

de sus ingresos

mensuales en el alquiler del piso,

601

en el teléfono y 81

en transporte y ropa.

¿Cómo se distribuyen los gastos si sus ingresos mensuales son 3 000 €?

88. ●● En un campamento, 83

de los jóvenes son

europeos, 51

asiáticos y el resto africanos.

Si hay en total 800 jóvenes:

a) ¿Cuántos jóvenes europeos hay?

b) Si la mitad de los asiáticos son chicas, ¿cuántas chicas asiáticas habrá?

c) ¿Cuántos de estos jóvenes son africanos?

20. ●● De todos los coches que se han vendido en un concesionario, la tercera parte han sido de color blanco y la quinta parte, negros. Si se han vendido 45 coches:

a) ¿Cuántos coches blancos se han vendido?

b) ¿Y coches negros?

c) ¿Cuántos se han vendido de otros colores?

21. ●● De las 414 cajas de fruta que transporta un camión, la tercera parte es de naranjas, la quinta parte de melocotones y el resto de peras.

a) ¿De qué fruta lleva más cajas? ¿Cuántas cajas lleva de esa fruta?

b) ¿De qué fruta lleva menos cajas? ¿Cuántas cajas lleva de esa fruta?

22. ●● De las 120 farolas que hay en una localidad, la octava parte están rotas. De las que no están rotas, un tercio tienen las bombillas fundidas. ¿Cuántas farolas se encienden por la noche?

21

301386 _ 0006-0021.indd 21 21/07/11 10:02

21. Pitágoras fue un

matemático griego del siglo vi a.C. Busca información sobre su vida y sus descubrimientos matemáticos.

2. ¿A qué se refiere Pitágoras cuando habla de los otros números? ¿Qué es la razón de la Pentalfa?

3. Investiga quién fue Hipaso de Metaponto y sus aportaciones al estudio de los números reales.


La razón irracional

El gran Pitágoras, que estudió el mundo y su relación con los números, el descubridor de la belleza racional de todas las cosas creadas, al final de su vida, en los albores del siglo V a.C., se confesaba a uno de sus discípulos amargamente:

–Escucha –le decía a Hipaso de Metaponto–: Toda mi vida he buscado la verdad en los números; la explicación de lo divino y lo humano estaba en ellos o en sus razones, todo era perfecto y explicable, todo era razonable…

Hipaso miraba a su maestro con admiración, mientras asentía con la cabeza.

Mientras tanto, Pitágoras continuaba:

–Ahora que ha llegado el final de mi vida he de confesarte una horrible verdad: hace tiempo que los descubrí, hay otros.

–¿Otros? –preguntó Hipaso.

–Sí, están ahí pero son inconmensurables: cualquiera puede construir un cuadrado cuyo lado mida 1; sin embargo, será incapaz de medir su diagonal. Incluso la razón de la Pentalfa no es tal, sino uno de estos camuflado.

Números reales

301386 _ 0022-0039.indd 22 21/07/11 9:56



• Resolver operaciones con potencias.

• Escribir números en notación científica.

• Identificar números reales.

• Interpretar intervalos.

PLAN DE TRABAJO

TIPOS DE NÚMEROS

Números naturales

El conjunto de los números naturales se designa por N y está formado por los números: 1, 2, 3, 4, …

Números enteros

En el conjunto de los números enteros, que designamos por Z, podemos diferenciar:• Númerosenteros positivos: +1, +2, +3, +4, …, que son los números naturales.• Elnúmero0.• Númerosenteros negativos: -1, -2, -3, -4, …

Números decimales

Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, situada a la derecha. Se pueden clasificar en:

• Decimales exactos: tienen un número limitado de decimales.12,45 8,347 18,4 0,00234 12,102

• Decimales periódicos: tienen infinitas cifras decimales, y además, una o varias se repiten periódicamente.

– Decimales periódicos puros: las cifras comienzan a repetirse a partir de la coma. 18,

!4 12,45

– Decimales periódicos mixtos: las cifras no comienzan a repetirse a partir de la coma. 18,1

!4 12,453

• Decimales no exactos y no periódicos: tienen un número ilimitado de cifras decimales que no se repiten periódicamente.

, ...2 1 41421356237309= , ...3 14159265358979r=

Números racionales

El conjunto de los números racionales que se designa por Q está formado por todos los números que se pueden expresar como una fracción, es decir, por los números naturales, enteros, decimales exactos y periódicos.

##

EVALUACIÓN INICIAL

1 Escribe de forma abreviada, si se puede, y clasifica estos números.

a) 12,222222… c) 37,2626262626… e) 56,255555…b) 5,234 d) 18,25478478478… f) 1,234567891011…

2 Determina cuáles de estos números no son racionales.

3,02!7 -2 0,

!8 11 56

935

8,43 -3,102 4 23

-

3 Pon tres ejemplos de números:

a) Naturales b) Enteros c) Racionales d) No racionales

%

8,347 0,!5 0,102

8,34!7 0,0

!5 0,1027

Los números decimales no exactos y no periódicos no son números racionales.

23

301386 _ 0022-0039.indd 23 21/07/11 9:56


Qué es el valor absoluto de un número

El valor absoluto de un número entero a es el número que resulta de prescindir de su signo. Se escribe ;a;.

EJEMPLO

1 Calcula.

a) Valor absoluto de +4 " ;+4; = 4

b) Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4

c) Valor absoluto de +17 " ;+17; = 17

d) Valor absoluto de 0 " ;0; = 0

Cómo se multiplican dos números enteros

Para multiplicar dos números enteros:

1.º Multiplicamos sus valores absolutos.

2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.

EJEMPLOS

2 Resuelve los productos.

a) (-8) ? (-3) = +24 c) (+8) ? (-3) = -24

b) (+8) ? (+3) = +24 d) (-8) ? (+3) = -24

3 Resuelve esta operación:

(-4) ? (-3) ? (-2) ? (-1) = +12 ? (-2) ? (-1) = -24 ? (-1) = +24

F

Mismo signo

F

Distinto signo

F

Mismo signo

F

Distinto signo

Regla de los signos

+ ? + = +- ? - = ++ ? - = -- ? + = -

NO OLVIDES

Potencias de númerosracionales1

3 Realiza las operaciones.

a) (-3) ? (+2) ? (+2) ? (-6)

b) (+5) ? (-10) ? (+3) ? (-2)

c) (-4) ? (-3) ? (-2) ? (-3)

d) (+5) ? (+4) ? (+3) ? (+2)

e) (-5) ? (-4) ? (-2) ? (+2)

f) (-3) ? (-3) ? (-3) ? (-3) ? (-3)


1 Halla el valor absoluto de los siguientes números:

-16 +5 +7 0 -9 -102 +46

2 Realiza estas multiplicaciones con números enteros.

a) (-7) ? (+4) c) (-7) ? (-4)b) (+7) ? (+4) d) (+7) ? (-4)

Mismo signo Distinto signo Mismo signo

24

301386 _ 0022-0039.indd 24 21/07/11 9:56

Qué es una potencia de números enteros

Si a es un número entero y n es un número natural, la potencia an es:...? ? ? ?a a a a an =

nveces\

• Labase a es el factor que se repite.• Elexponente n es el número de veces que se repite.

EJEMPLOS

4 Escribe en forma de potencia y cómo se leen.

Producto Potencia Se lee

(+4) ? (+4) (+4)2 «4 elevado a 2» o «4 al cuadrado»

(-9) ? (-9) ? (-9) (-9)3 «-9 elevado a 3» o «-9 al cubo»

(-7) ? (-7) ? (-7) ? (-7) (-7)4 «-7 elevado a 4» o «-7 a la cuarta potencia»

3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 35 «3 elevado a 5» o «3 a la quinta potencia»

5 Calcula estas potencias.

a) (+3)4 ? ? ?3 3 3 3 81= =

b) (-3)4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?3 3 3 3 3 3 2 39 7 81= - - - - - - -= =- =

Cuál es el signo de una potencia de base un número entero

En una potencia de base un número entero y exponente natural:

• Silabaseesunnúmeropositivo,lapotenciaespositiva.

• Silabaseesunnúmeronegativo,lapotenciaespositivacuandoel exponente es par y negativa cuando es impar.

EJEMPLO

6 Calcula el valor de estas potencias.

a) (+2)4 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 16

b) (+2)5 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 32

c) (-2)4 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) ? (-2) == (-8) ? (-2) = 16

d) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) = -8

F

F1442443

4 veces

F14444444244444443

4 veces

F

F

34

base

exponente

6 Escribe en forma de potencia y como producto.

a) Base 11 y exponente 4.b) Base -2 y exponente 3.

7 Calcula las siguientes potencias.

a) 45 c) 142 e) 73 g) 54

b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4


4 Escribe cómo se leen y calcula su valor.

a) 65 b) 53 c) (-6)5 d) (-5)3

5 Expresa con una sola potencia, si se puede, estos productos de números enteros.

a) (-7) ? (-7) ? (-7) c) 5 ? 7 ? 5 ? 7

b) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 d) (-3) ? (-3) ? 2

Los números positivos se escriben habitualmente sin el signo + que los procede:

+2 = 2 +3 = 3

RECUERDA

25

301386 _ 0022-0039.indd 25 26/07/11 10:10

1.1 Potencias de exponente entero positivo

Una potencia de exponente un número positivo es una forma abre-viada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son iguales.

an = a ? a ? a ? … ? a si n >0n veces

1444442444443

EJEMPLO

1 Calcula estas potencias.

a) 34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 c) (0,4)2 = 0,4 ? 0,4 = 0,16 4 veces 2 veces

b) ? ?52

52

52

1258

52 3

= =e o d) ? ? ?21

21

21

21

161

21 4

= =e o

3 veces 4 veces

En una potencia de base un número racional y exponente positivo:• Silabaseesunnúmeropositivo,lapotenciaessiemprepositiva.• Silabaseesunnúmeronegativo,lapotenciaespositivacuandoel

exponente es par, y negativa cuando es impar.

EJEMPLO


a) (-2)5 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = -32

b) (-1,2)4 = (-1,2) ? (-1,2) ? (-1,2) ? (-1,2) = 2,0736

c) -( ) ( ) ( )? ?5 5 5- - -

? ?? ?6

565

65

6 6 6 216125

216125

65 3

= - - - = =-

=-oe e e eo o o

d) 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64

e) ? ?

? ?? ?6

565

65

6 6 65 5 5

65

216125

65

3

33

= = = =oe

144424443 1 424 3

144424443 14444244443

FImpar

F

Par

F

Impar

CALCULADORA

Para hallar potencias con la calculadora utilizamos la tecla x y .

Por ejemplo, para calcular (1,4)3 tecleamos:

1 · 4 x y 3 = 2.744

8 Expresa estas potencias como producto, y calcula su valor.

a) 33 c) (-3)3 e) 43 3

d n g) 43 3

-d n

b) 34 d) (-3)4 f) 43 4

d n h) 43 4

-d n



a) 32 d) (-5)3 g) (4,25)4

b) 74 e) (-2,02)4 h) 31 3

-e o

c) (-9)2 f) 85 5

-e o i) (-14,32)8

26

301386 _ 0022-0039.indd 26 21/07/11 9:56

1.2 Potencias de exponente entero negativo

Una potencia de exponente un número entero negativo es igual al cociente entre la unidad y dicha potencia con el exponente positivo.

aa

1nn=- si a ! 0


Cómo se divide un número entre una fracción

Para dividir un número entero entre una fracción, se expresa el número en forma de fracción

: :

371

137

11

37

73

= = =

poniendo como denominador 1.

EJEMPLO

3 Calcula estas potencias de exponente negativo.

a) 3-2 31

91

2= = c)

( )21

81

81

( 2)3

3=-

=-=-- -

b) (-3)-2 ( )3

191

2=-

= d) :

321

2781

1278

827

32

3

3

= = = =-

ed

on

1.3 Potencias de exponente 0, 1 y -1

Para cualquier valor de a (a !0)siempresecumpleque:

aa a

a

1

1

0

1

1

==

-a =*

EJEMPLO


a) 30 = 1 d) 31 = 3 g) 31

31

31

1 = =-

b) (-3)0 = 1 e) (-3)1 = -3 h) ( )31

31

31

( 3)1

1=-

=-=-- -

c) 134 0

=e o f) 34

34 1

=e o i) :

341

341

134

43

34

1

1

= = = =-

ed

on

CALCULADORA

Para hallar (3,4)-2 tecleamos:

3 · 4 x y 2 ! =

y en la pantalla aparece:

0.08650519

Al dividir la unidad entre una fracción obtenemos otra fracción en la que intercambiamos el numerador y el denominador.

541

45

=

NO OLVIDES

10 Determina el valor de estas potencias.

a) 70 c) 2-1 e) (-2)-1

b) 25 1

d n d) 52 1

-d n f) 21 1-

d n


9 Calcula el valor de estas potencias.

a) 3-5 c) (-3)-5 e) 10-3

b) 25 3-

d n d) 25 2-

d n f) 21 2-

d n

27

301386 _ 0022-0039.indd 27 21/07/11 9:56

Propiedades de las potencias

2.1 Potencia de un producto

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia. (a ? b)n = an ? bn

EJEMPLO

5 Expresa como un producto de potencias.

a) (5 ? 7)3 = (5 ? 7) ? (5 ? 7) ? (5 ? 7) = 5 ? 5 ? 5 ? 7 ? 7 ? 7 = 53 ? 73

b) ( )( )

? ? ?3 531

51

[( 3) 5]3

3 33

3- = - =-

- --

2.2 Potencia de un cociente

Para elevar un cociente a una potencia:

• Sielexponenteespositivo,seelevacada uno de los términos a dicha potencia.

a bba

b

a( : ) n

n

n

n

= =e o

• Sielexponenteesnegativo,sein-vierten los términos y se elevan a dicha potencia.

a bba

a

b( : ) n

n

n

n

= =-

-

e o

EJEMPLOS

6 Expresa como un cociente de potencias.

a) ? ?107

107

107

107

107

3

33

= =e o c) 45

45

54 3

3

33

= =-

e eo o

b) : :?3

153

31

53

3 35

35

31:53 3 3

3 3

3

3 3

3

6

33

= = = =d d dn n n

7 Calcula estos cocientes de potencias.

a) ( )

3

1811

31

4

44-

=-

=e o b) ( )13

181

8131

4

44

=-

= =-

-

e o

2

7 Calcula.

a) (8 ? 4)3 d) (6 ? 5)-2

b) [(-1) ? (-4)]3 e) [(-3) ? 5]-2

c) 54 3

e o f) 35 2

--

e o

8 Resuelve. a) ?237 5

e o b) ( )?53

102

--

= G

11 Determina el valor de estas potencias.

a) ?31

344

d n b) 3 ?314

4-

-

d n


• Las fracciones del tipo

ba-

y b

a-

se pueden

escribir como ba

- .

72

72

72-

=-=-

Son fracciones negativas.

• Las fracciones del tipo ba

-

-

se pueden escribir como ba

.

72

72

-

-=

Son fracciones positivas.

SE ESCRIBE ASÍ

28

301386 _ 0022-0039.indd 28 21/07/11 9:56

2.3 Producto de potencias de la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base se man-tiene la misma base y se suman los exponentes.

an ? am = an+m

EJEMPLO

8 Expresa como una sola potencia.

a) (-5)2 ? (-5)3 = (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) = (-5)2+3 = (-5)5

b) ? ? ? ? ?58

58

58

58

58

58

58

58

58 2 3 52 3

= = =+

e e e e e e e e eo o o o o o o o o

2.4 Cociente de potencias de la misma base

Para dividir potencias de la misma base se mantiene la misma base y se restan los exponentes.

an : am = an-m

EJEMPLO


( )

( )

( ( (

( 2 ( ( ( 2) ( 2)( ) ( )

? ?

? ? ? ?

2

2

2) 2) 2)

) 2) 2)2 2( 2) : ( 2) 3

55 3 25 3=

-

-=

- - -

- - - - -= - = -- - -

2.5 Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia se mantie-ne la misma base y se multiplican los exponentes.

(an)m = an ? m

EJEMPLO


? ? ?32

32

32

32

32

32

32

32 ?3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 123 4

= = = =+ + +

d d d d d d d dn n n n n n n n> H

Las propiedades an · am = an + m

an : am = an – m

solo se pueden aplicar cuando las potencias tienen la misma base.

12 Expresa como una sola potencia estas operaciones, y calcula el resultado.

a) 24 ? (22)5 e) 42 ? 43 ? 44

b) (24)3 : (22)5 f) (-4)4 ? (-4)3 ? (-4)

c) (22)5 : (24)3 g) (-4)4 : (-4)3 : (-4)

d) : ?43

43

434 2

d d dn n n h) 43

:434 2 3

d dn n> H



a) 54 ? 56 e) (22)3

b) (-9)6 : (-9)2 f) [(-2)2]3

c) :65

6510 6

e eo o g) ?34

343 3

- -e eo o

d) 53 4 2

e o> H h) :34

343 3

- -e eo o

29

301386 _ 0022-0039.indd 29 21/07/11 9:56

Notación científica3.1 Potencias de base 10

• Unapotencia de base 10 y exponente entero positivo es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente.

• Unapotencia de base 10 y exponente entero negativo es igual a la unidad dividida entre dicha potencia con exponente positivo.

EJEMPLO

11 Calcula el valor de estas potencias de 10.

a) 101 = 10 c) 102 = 100 e) 103 = 1 000

b) 10-1 ,101

0 1= = d) 10-2 ,100

10 01= = f) 10-3 ,

10001

0 001= =

3.2 Expresión de números muy grandes y muy pequeños

Para expresar de forma sencilla números muy grandes y muy pequeños se utilizanlaspotenciasde10.

La notación científica es una forma de expresar números mediante el productodeunnúmeromayoroigualque1ymenorque10,multipli-cadoporunapotenciade10.Alexponentedelapotenciade10selellama orden de magnitud.

EJEMPLO

12 Escribe estos números en notación científica.

a)Lapoblaciónmundiales,aproximadamente,de6900000000personas.

6 900 000 000 = 6,9 ? 1 000 000 000 = 6,9 ? 109

b) El radio de un átomo mide alrededor de 0,00000000031 m.

,,

, ,? ?0 0000000003110 000 000 000

3 13 1

10 000 000 0001

3 1 10 10= = = -

3Una potencia

de base 10 con exponente negativo es igual

a un número decimal.10–2 = 0,01

10–5 = 0,000012 decimales

5 decimales

0

14243

13 Identifica los números que no están correctamente expresados en notación científica.

a) 6,02 ? 107 b) 60,2 ? 108 c) 0,602 ? 108

14 Escribe en notación científica.

a) 250 millones de partículas.

b) 4 000 millones de habitantes.

c) 852,7 millones de kilómetros.


13 Escribe en notación científica.

a) 493 000 000 d) 12,00056

b) 315 000 000 000 e) 253

c) 0,0004464 f) 256,256

14 Escribe, con todas sus cifras, los siguientes números dados en notación científica.

a) 2,51 ? 106 b) 9,32 ? 10-8 c) 3,76 ? 1012

30

301386 _ 0022-0039.indd 30 21/07/11 9:56

15 Escribe:

a) Cinco números racionales.b) Cinco números irracionales.c) Cinco números reales.d) Cinco números enteros que no sean números

naturales.


20 Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales.

a) 4,325325325…b) 4,330300300030000300000…c) 1,23233233323333233333...d) 3,12359474747...

Números reales

4.1 Números irracionales

Los números irracionales son los números que no se pueden expresar en forma de fracción. Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras decimales no periódicas.

EJEMPLO

15 Calcula la expresión decimal de 2 .

, ...2 1 414213562373=

Podemos calcular más decimales pero nunca terminaríamos, y no hay cifras que se repitan periódicamente: 2 es un número irracional.

Existen infinitos números irracionales, por ejemplo:

• Cualquierraíznoexacta: , , ...3 7 1462-

• Algunosnúmerosespeciales: p, e, F...• Determinadosnúmerosobtenidoscombinandosuscifrasdecima-les,porejemplo:0,010010001…;0,020020002…

4.2 Números reales

Los números reales se representan como R, y son el conjunto formado por los números racionales y los números irracionales.

4

Los números decimales pueden ser racionales

o irracionales.Todos los números

decimales son reales.

Números reales R

NÚMEROS IRRACIONALES I NÚMEROS RACIONALES Q

1,120120012000…

Números enteros Z

Números naturales N-1

7,423

-3

-3,4!

p-0,1234

567…

2 1304

12 103-

3

51407

94

-

37

31

301386 _ 0022-0039.indd 31 21/07/11 9:56

Intervalos


Cómo se representan los números enteros en una recta

Losnúmerosenterosserepresentanordenadosenlarectanumérica.

• Losnúmerosenterospositivos se sitúan a la derecha del cero.

• Losnúmerosenterosnegativos se sitúan a la izquierda del cero.

Números enteros negativos Números enteros positivos

0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …FG

EJEMPLO

7 Representaenlarectanuméricalosnúmeros:-5, +4, 0, -2 y +1.

0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …

Cómo se representan los números decimales exactos

Si dividimos una unidad decimal en 10 partes iguales, cada una de esas partes es una unidad de orden inmediatamente inferior.

EJEMPLO

8 Representaenlarectanuméricalosnúmeros2,6;2,16;5

14 y 2,12.

Los números 2,6; 2,16; ,5

142 8= y 2,12 están comprendidos entre 2 y 3.

Para representar 2,6 y 2,8 dividimos la unidad correspondiente en diez partes iguales, que son las décimas.Así, 2,6 está situado en la sexta división, y 2,8 en la octava.

2

2,6 2,8

3

Para representar 2,12 y 2,16 dividimos la décima correspondiente en 10 partes iguales, que son las centésimas.En este caso, ambos están comprendidos entre 2,1 y 2,2. Así, 2,12 está situado en la segunda división y 2,16 en la sexta.

2,1

2,162,12

2,2

7

1 unidad = 10 décimas1 décima = 10 centésimas1 centésima = 10 milésimas

NO OLVIDES

18 Ordena, de mayor a menor, los siguientes números decimales:

8,5 8,67 8,07 8,45

19 Ordena, de mayor a menor.

0 -3,05 4 -3 -2 2,45 2 -2,85


16 Representaenunarectanuméricalos siguientes números enteros:

-1 +5 +7 0 -9 -4 +4

17 Representa,enunarectanumérica,estosnúmeros:2,3;2,34;2,37y2,32.

32

301386 _ 0022-0039.indd 32 21/07/11 9:56

Un intervalo de extremos a y b está formado por todos los números comprendidos entre a y b.

EJEMPLO

20 Dibuja el intervalo de extremos -1 y 0. Pon algunos ejemplos de puntos quepertenecenaél.

-1 0

Los números -0,5; -0,7!

; -0,12345… pertenecen al intervalo. Es decir, pertenecen a este intervalo todos los números reales entre -1 y 0.

Tipos de intervalo

Un intervalo puede contener a los dos extremos, uno o ninguno.

• Silosdosextremospertenecenalinterva-lo, se dice que es cerrado.

El intervalo cerrado [0, 2] contiene a todos los puntos comprendi-dosentre0y2,incluidoslosextremos0y2.

• Silosextremosdelintervalonopertenecena él, se dice que es abierto.

El intervalo abierto (0, 2) contiene a todos los puntos comprendidos entre0y2,excluidoslosextremos0y2.

• Sielextremomenorpertenecealintervaloy el mayor no, se dice que es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.

El intervalo [0, 2)contieneatodoslospuntoscomprendidosentre0y2,incluidoel0yexcluidoel2.

• Sielextremomenornopertenecealinter-valo y el mayor sí, se dice que es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.

El intervalo (0, 2]contieneatodoslospuntoscomprendidosentre0y2,incluidoel2yexcluidoel0.

0 1 2

0 1 2

0 1 2

0 1 2

SE ESCRIBE ASÍ

(a, b]

ABIERTO

El extremo no pertenece al intervalo.

CERRADO

El extremo pertenece al intervalo.

a b

GG

GG

32 ¿Quénúmerospertenecenalintervalo(-1, 4]?

a) 0 b) 3,98 c) 2 d) -0,3!

20 Escribe dos puntos que pertenezcan al intervalo (-2, 3), otros dos que pertenezcan a (-1, 5], y otros dos que pertenezcan a ambos.


30 Representa los siguientes intervalos.

a) [1, 4] b) (2, 5) c) (3, 6] d) ,43

7n<31 ¿Quéintervaloserepresenta?

-7 -1

33

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Lo esencial


1. CALCULAR PRODUCTOS DE POTENCIAS

Expresa, si se puede, estos productos de potencias con una sola potencia.

a) 37 ? 3-9 b)62 ? 22

PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases o los exponentes de las potencias.

a) La base de las dos potencias es la misma, 3.

b) Los exponentes son iguales, 2.

SEGUNDO.

• Si las bases son iguales, sumamos los exponentes.

a) 37 ? 3-9 = 37+(-9) = 3-2

• Si los exponentes son iguales, multiplicamos las bases.

b) 62 ? 22 = (6 ? 2)2 = 122

2. CALCULAR COCIENTES DE POTENCIAS

Expresa, si se puede, estos cocientes de potencias con una sola potencia.

a) 37 : 3-9 b)62 : 22

PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases o los exponentes de las potencias.

a) La base de las dos potencias es la misma, 3.

b) Los exponentes son iguales, 2.

SEGUNDO.

• Si las bases son iguales, restamos los exponentes.

a) 37 : 3-9 = 37-(-9) = 316

• Si los exponentes son iguales, dividimos las bases.

b) 62 : 22 = (6 : 2)2 = 32

COMPRENDE ESTAS PALABRAS

Potencia

Base FG Exponentean

Potencia de exponente positivo

an = a ? a ? a ? … ? a 14444244443 n veces

ba

ban

n

n

=e o

Signo de una potencia

Positivo, si n es par(-a)n

F

F Negativo, si n es impar

Potencia de exponente negativo

aa1nn=-

ba

abn n

=-

e eo o

Números reales R

Potencias de exponente 0, 1 y -1

a0 = 1a1 = a

aa11=-

Intervalos (a, b]a b

NÚMEROSIRRACIONALES I NÚMEROSRACIONALES Q

p

-0,1234567…

Números enteros Z

Números naturales N-1

-32 1 304

12103-

3

51 407

94

-

37

7,423 -3,4!

1,120120012000…

34

301386 _ 0022-0039.indd 34 21/07/11 9:56


1. Calcula las siguientes potencias.

a) 43 d) 4-3 g) 40 j) 4-1

b) -43 e) -4-3 h) -40 k) -4-1

c) (-4)3 f) (-4)-3 i) (-4)0 l) (-4)-1

2. Determina si estos números pertenecen al intervalo (-2, 3].

-2,3 4 0 -2 3,22 -24 1

Calcular productos de potencias

3. Expresa como una sola potencia.

a) 37 ? 32 c) 33 ? 23

b) 37 ? 3-2 d) 33 ? (-2)3

Calcular cocientes de potencias

4. Expresa como una sola potencia.

a) 37 : 32 b) 37 : 3-2 c) 33 : 35 d) 63 : 23

Resolver operaciones con potencias

5. Realiza las siguientes operaciones con potencias.

a) [56 ? (52)3 : 5]2 c) [56 : (5-2)3 ? 5]-2

b) [5-6 ? (52)3 : 5]-2 d) [5-6 ? (52)-3 : 5-1]-2

Expresar números en notación científica

6. Expresa estos números en notación científica.

a) 2 103 000 b) -0,00004503

Y AHORA… PRACTICA

3. RESOLVER OPERACIONES CON POTENCIAS

Resuelve: [(42)3 ? 4-4 : 4]2

PRIMERO. Resolvemos las operaciones que están entre paréntesis.

[(42)3 ? 4-4 : 4]2 = [42?3 ? 4-4 : 4]2 == [46 ? 4-4 : 4]2 =

SEGUNDO. Resolvemos las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

= [46+(-4) : 4]2 = [46-4 : 4]2 =

= [42 : 4]2 = [42-1]2 == [4]2 = 42 = 16

4. EXPRESAR NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Expresa en notación científica los siguientes números.

a) 20 300 b) -430,02 c) 0,000348 d) -0,000002

PRIMERO. Si el número tiene parte entera distinta de 0, su orden de magnitud es el número de dígitos de su parte entera menos 1.

a) 20 300 = 2,0300 ? 105-1 = 2,03 ? 104 b) -430,02 = -4,3002 ? 103-1 = -4,3002 ? 102

SEGUNDO. Si el número tiene nula la parte entera, su orden de magnitud es el número de dígitos que hay desde la coma hasta el primer número no nulo.

c) 0,000348 = 3,48 ? 10-4 d) -0,000002 = -2 ? 10-6

F 1235 dígitos

F1233 dígitos

F1234 dígitos

F142436 dígitos

35

301386 _ 0022-0039.indd 35 21/07/11 9:56

ActividadesPOTENCIAS

21. ● Escribe en forma de potencia estas expresiones.

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7

b) (-7) ? (-7) ? (-7) ? (-7)

c) ? ? ?71

71

71

71

d) ? ? ?71

71

71

71

- - - -d d d dn n n n

e) 0,7 ? 0,7 ? 0,7 ? 0,7

22. ● Expresa en forma de potencia y como producto.

a) Base 12 y exponente 3.

b) Base -12 y exponente 3.

36. ●● Escribe en forma de potencia, si es posible, estas expresiones.

a) 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 9b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3c) 4 ? 4 ? 4 + 4d) 2 ? 5 + 2 ? 5 + 2 ? 5e) (-2) ? (-3) ? (-2) ? (-3) ? (-2) ? (-3)f) (6 + 6 + 6 + 6) ? 6g) 23 + 23 + 23 + 23h) 5 + 5 ? 5 + 5 ? 5 ? 5 + 5 ? 5 ? 5 ? 5

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULAN POTENCIAS DE UN NÚMERO NEGATIVO?

23. Calcula estas potencias.

a) (-2)3 b) (-2)4 c) 32 2

-d n d) 32 5

-d n

PRIMERO. Se toma el valor absoluto de su base y se calcula su potencia.

a) 23 = 8 c) 32

32

942

2

2

= =d n

b) 24 = 16 d) 32

32

243325

5

5

= =d n

SEGUNDO. Si el exponente es un número impar se añade el signo menos al resultado.

a) (-2)3 = -8 c) 32

942

- =d n

b) (-2)4 = 16 d) 32

243325

- =-d n

34. ● Escribe en forma de potencia los siguientes productos, y calcula el resultado.

a) 2 ? 2 ? 2 ? 2

b) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)

c) ? ?52

52

52- - -e e eo o o

35. ● Expresa en forma de producto, y calcula el resultado.

a) (-3)4 c) 56 e) (2,5)3

b) 21 7

-e o d) 310 2

e o f) (-2,3)4

37. ● Halla el resultado de las siguientes potencias utilizando la calculadora.

a) 25 d) 41 6

e o g) (0,7)2 j) (-2)5

b) 64 e) 23 4

e o h) (0,04)6 k) (-6)4

c) 123 f) 103 3

e o i) (1,32)8 l) (-12)3

38. ●● Expresa cada número como potencia de un número positivo.

a) 8 c) 16 e) 64 g) 49

b) 27 d) 81 f) 125 h) 121

39. ●● Escribe estos números como potencia de un número negativo.

a) 16 d) -128 g) -27

b) -125 e) 121 h) -216

c) 49 f) 144 i) 64

44. ● Calcula estas potencias.

a) 2-3 d) 4-2 g) (-5,02)-3

b) (1,3)-2 e) (-3)-2 h) (-2)-4

c) 21 2-

e o f) 53 3

--

e o i) 61 2

--

e o

45. ● Halla el resultado de las potencias utilizando la calculadora.

a) 7-4 c) (-0,07)-4 e) (0,12)-7

b) (-4)-7 d) 23 4-

e o f) 25 3

--

e o

36

301386 _ 0022-0039.indd 36 21/07/11 9:56

OPERACIONES CON POTENCIAS

47. ● Halla el valor de estas potencias.

a) 25 ? 23 d) (-4)9 ? (-4)5 ? (-4)b) 25 : 23 e) (-4)9 : (-4)5 : (-4)c) 37 ? 32 ? 34 f) (7 ? 4)0

48. ● Obténelresultadodelassiguientesoperaciones con potencias utilizando la calculadora.

a) (0,03)2 ? (0,03)4

b) (4,1)6 ? (4,1)4

c) (1,2)2 ? (1,2)5 ? (1,2)8

d) (0,6)2 ? (0,6)4 ? (0,6)12

e) (0,7)6 ? (0,7)13 ? (0,7)11

24. ● Calcula el valor de estas operaciones.

a) (-3)6 ? (-3)-2 f) (-3)6 : (-3)-2

b) 54 ? 5-3 g) 54 : 5-3

c) ?37

374 3-

d dn n h) 37

:374 3-

d dn n

d) ?94

947

- -d dn n i) 94

:947

- -d dn n

e) (-1,2) ? (-1,2)-4 j) (-1,2) ? (-1,2)-4

49. ●● Expresa el resultado como una sola potencia.

a) (33 ? 34 ? 38) : 39

b) (-2)4 ? (-2)6 ? (-2)5

c) (-7)8 : (-7)4 ? (-7)2

d) :?25

25

254 3 6

e e eo o o

e) : :?91

91

91

912 3 4

- -- -e e e eo o o o> >H H

f) (-5)8 : [(-5)3 : (-5)3]g) [69 ? 65] : [64 ? 62]

25. ●● Resuelve estas operaciones.

a) (114 ? 11 : 112) ? 11-2

b) [(-2)4 ? (-2)7 : (-2)9] ? (-2)-3

c) (8,02)-5 ? (8,02)3 : (8,02)-1

d) : : :25

25

25

257 4 5 4

- - - --

d d d dn n n n

e) :85

85

85

85

? ?3 3 1- -

d d d dn n n n> H

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN TÉRMINO DESCONOCIDO EN UNA OPERACIÓN CON POTENCIAS DE LA MISMA BASE?

26. Copia y completa.a) 84 ? X = 87 b) 57 : X = 54 c) X:64 =67

PRIMERO. Se sustituye el término desconocido por una potencia de la misma base y exponente x.a) 84 ? 8x = 87 b) 57 : 5x = 54 c) 6x : 64 = 67

SEGUNDO. Se aplican las propiedades de las potencias.

a) 84 ? 8x = 87 b) 57 : 5x = 54 c) 6x : 64 = 67

TERCERO. Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante.

a) 4 + x = 7 " x = 7 - 4 = 3La potencia buscada es 83.

b) 7 - x = 4 " x = 7 - 4 = 3La potencia buscada es 53.

c) x - 4 = 7 " x = 7 + 4 = 11La potencia buscada es 611.

27. ●● Copia y completa.

a) 39 ? X = 313 d) X : 113 = 118

b) 912 : X = 92 e) X ? 2 = 25

c) 322 : X = 32 f) X : 21 = 216

28. ●● Busca la potencia adecuada.

a) 54 ? 53 ? X = 511 d) 89 : 84 : X = 82

b) 63 ? X ? 64 = 69 e) 96 : X : 93 = 9

c) X ? 78 ? 7 = 712 f) X : 11 : 114 = 11

29. ●● Copia y completa.

a) 464 ? 463 : X = 462

b) (-4)3 : X ? (-4) = (-4)2

c) :75

75

75

?3 3

=d d dn n n

53. ●● Completa.

a) 23 ? X = 25 d) (-3)12 : X = (-3)6

b) (-4)5 ? X = (-4)10 e) X : 56 = 5

c) 27 6

e o ? = 27 7

e o f) : 31

310 3

- = -e eo o

=84+x = 87

=57-x = 54

=6x-4 = 67

a) 84 ? = 87 b) c)

37

301386 _ 0022-0039.indd 37 21/07/11 9:56

58. ● Expresa como potencia única.

a) (23)4 c) [-64]3 e) 53 3 5

-e o> H

b) [(-3)3]2 d) 31 2 4

e o> H f) [-52]4

30. ● Expresa como una potencia única y calcula.

a) (32)-2 c) (0,52)-3

b) [(-5)-1] 4 d) 51 1 3-

d n> H

59. ●● Calcula el valor de estas potencias.

a) [(-3)2]2 ? [(-3)3]3 b) [(5)8]2 : [(-5)4]3

31. ● Expresa como una potencia única y calcula.

a) (82)-3 ? (8-3)2 b) [(-1)4] -1 : [(-1)-3] -2

60. ● Resuelve.

a) (-2)-4 ? [(-2)2]3 e) -2-3 ? (-2-4)b) 34 ? [(-3)2]-2 f) (-26) ? (-2-6)c) (-8)3 ? 2-4 g) (-3)4 ? (-34)d) (-2)-3 ? 2-3 h) 4-3 ? 2-2

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO DE UNA POTENCIA DE UNA POTENCIA?

32. Copia y completa.a) (34)X = 38

b) (7X)5 = 715

c) [(-5)6]X = (-5)12

PRIMERO. Se sustituye el exponente desconocido por x.a) (34)x = 38

b) (7x)5 = 715

c) [(-5)6] x = (-5)12

SEGUNDO. Se aplican las propiedades de las potencias.a) (34)x = 38 " 34?x = 38

b) (7x)5 = 715 " 75?x = 715

c) [(-5)6]x = (-5)12 " (-5)6?x = (-5)12

TERCERO. Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante.

a) 4 8 4x x28

= = =" . El exponente es 4.

b) 5 15 3x x515

= = =" . El exponente es 3.

c) 6 12 2x x6

12= = =" . El exponente es 2.

33. ● Copia y completa.

a) (32)X = 38 c) (-32)X = (-3)8

b) (5X)3 = 56 d) 51

51X 3 6

=d dn n> H

61. ●● Completa las siguientes igualdades.

a) [(-5)3]X : (-5)7 = (-5)5 c) (73) 5 : 7X = 1b) (X 2) 5 ? X4 = (-3)14 d) 119 ? (112)3 = 11X

55. ●● Resuelve las operaciones.a) 24 ? 2-2 ? 23

b) (2-2)3 ? 2-4

c) (-3)-5 : (-3)2 ? (-3)4

d) [(-3)-2]-4 : (-3)5

e) :?31

31

312 5 6- -

e e eo o o

f) :41

416 2 3

- -- -

e eo o> H

g) 3-6 : 3-7 ? 32

h) (-5)8 : (-5)-2 : (-5)-1

i) [(-6)3]-5 ? [(-6)-5]4

34. ● Aplica las propiedades de las fracciones para resolver estas operaciones, y utiliza la calculadora para obtener el resultado.

a) (234 ? 23 : 232)-4

b) [(-4)4 ? (-4)7 : (-4)9]2 ? (-4)-3

c) [(-1,02)-5 ? (-1,02)3 : (-1,02)-1]-1

d) : : :118

118

118

1187 4 2 5 4 2

- - - -- -

d d d dn n n n> >H H

e) :54

54

54

54

? ?3 3 1 1 2- - -

d d d dn n n n> >H H

56. ●● Indica y corrige los errores de estas igualdades.

a) 32 + 33 + 35 = 32+3+5 = 310

b) 32 ? 33 - 35 = 32+3 - 35 = 35 - 35 = 30 = 1c) 49 : 42 ? 44 = 49 : 42+4 = 49 : 46 = 49-6 = 43

d) (-2)6 ? (-2)3 = [(-2) ? (-2)]6+3 = 49

e) -32 ? 32 = (-3)2+2 = (-3)4 = 34

f) 2 ? (-3)2 = [2 ? (-3)]2 = (-6)2 = 62

g) 85 ? 87 = (8 + 8)5+7 = 1612

h) 31 ? 30 = 31 ? 0 = 30 = 1

57. ●● Justifica si son ciertas o no las igualdades.

a) 9-1 = -9 d) (-3)-3 = (-3)-2 ? 3-1

b) (-2)-4 = 24 e) 4-3 = (-4)-1 ? (-4)4

c) (-3)-6 = 3-6 f) (2-5)-1 = 2-6

38

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

66. ● Expresa como potencia de base 10 el resultado de las siguientes operaciones.

a) 0,000000001 ? 1 000 000b) 0,0000000010 ? 10 000 000c) 0,00000000001 : 1 000 000 000d) 0,000001 : 1 000

67. ● Escribe en notación científica.

a) Tres billones y medio.b) Doscientas milésimas.c) Diez millonésimas.d) Cien mil millones y medio.

68. ● Escribe, con todas sus cifras, los siguientes números escritos en notación científica.

a) 3,432 ? 104 c) 3,124 ? 10-7

b) 1,3232 ? 10-3 d) 5,3732 ? 107

NÚMEROS REALES

72. ● Indicaelconjuntonuméricomínimoal que pertenece cada número o expresión.

a) 7,65444…b) -11,2c) 999d) 9,88777…

e) p - ef) 1,010222…g) 300,301302…h) 169

i) e99j) 6,585959…k) 1,00111…

73. ● Ordena, de mayor a menor, estos números.

a) ; ; , ...; ,357

1 7333 1 73206- - - -

b) ; , ...; ; , ...; , ...1 1 001119

101 111 1 08999

74. ● Averigua cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales.

a) 0,444444… c) 0,151155111555…b) 0,323232… d) 0,234432234432…

INTERVALOS

87. ● Representa los siguientes intervalos.

a) [-2, 3] b) (-1, 0) c) (-5, 1] d) [6, 9)

88. ● ¿Quéintervalossonlosrepresentados?

-5 1

-2 4

89. ● Representa sobre la recta real estos intervalos, e indica dos números que pertenezcan a los cuatro intervalos a la vez.

a) [1, 5] c) (3,5; 9)

b) (4, 6] d) [0, 6)

91. ● Escribe dos intervalos que contengan al número -0,8!.

92. ● ¿Cuál de estos intervalos utilizarías para expresar el conjunto de los números reales mayores que -3 y menores o iguales que 5?

a) (-3, 5) c) (-3, 5]

b) [-3, 5) d) [-3, 5]

PROBLEMAS CON POTENCIAS Y NÚMEROS REALES

93. ●● Expresa en forma de potencia cuántos abuelos, bisabuelos y tatarabuelos tienes.

94. ●● Se ha organizado un concurso de tiro conarco.Después de seleccionar a los concursantes se han formado cinco equipos de cinco miembros cada uno. Cada miembro del equipo dispone de cinco flechas para lanzar a la diana. ¿Cuántas flechas se necesitan?

95. ●● Labibliotecadelaulatienetresestanterías.Cada estantería consta de tres baldas y cada balda tiene tres apartados que contienen tres libros. ¿Cuántos libros tiene la biblioteca? Expresa el resultado en forma de potencia.

96. ●●● LapagasemanaldeMarioesde32€. Suspadreslehancastigadoreduciéndosela a la mitad cada semana.

a) Expresa este proceso en forma de potencias.

b) ¿Cuántas semanas tienen que pasar para que la paga quede reducida a 25 céntimos?

39

301386 _ 0022-0039.indd 39 21/07/11 9:57

31. Investiga sobre

las aportaciones de la cultura árabe al estudio de las matemáticas y sobre la vida y obra de Al-Khwarizmi.

2. ¿A qué se llamó Casa de la Sabiduría de Bagdad? ¿Qué relación tiene con Al-Khwarizmi?

3. Busca información sobre las aportaciones de Al-Khwarizmi al álgebra.


El servidor del califa

Mohamed recorría nervioso las salas de la Casa de la Sabiduría buscando al sabio Al-Khwarizmi, el cual le había enseñado un método para contar y operar con cantidades desconocidas que el joven aplicaba en su trabajo como funcionario de abastos del palacio del califa.

Por fin, sentado al lado de una fuente encontró a su maestro.

–Maestro, ¿podemos repasar los cálculos de ayer?

–Me alegra tu afán de conocimiento. –Al-Khwarizmi se extrañaba de que Mohamed dedicara cada rato libre a aprender.

–La riqueza de los pobres es la bondad y el conocimiento, y como cualquier hombre, yo deseo ser rico; además, ningún ladrón puede robártela –repuso Mohamed con una sonrisa.

–¡Está bien, está bien! –contestó, y entre asombrado y divertido el sabio le propuso unos ejercicios aritméticos mientras él estudiaba el lenguaje algebraico y las ecuaciones.

En la tablilla podía leerse: «Un cuadrado y diez raíces son igual a treinta y nueve unidades…».

Polinomios

301386 _ 0040-0057.indd 40 21/07/11 9:44



• Reconocer y operar con monomios.

• Distinguir polinomios, calcular su grado y realizar operaciones con ellos.

• Sacar factor común en un polinomio.

• Conocer y manejar las igualdades notables.

PLAN DE TRABAJO

LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico expresa la información matemática con números y letras.


La suma de dos números a + bUn número aumentado en 3 unidades y + 3El cuadrado de un número x2

El triple de un número 3 ? x

La mitad de un número es igual a 3c2

3=


Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizamos expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas.


El triple de un número más otro número 3 ? x + y

El doble de un número más tres unidades 2 ? x + 3

La mitad de un número menos tres veces ese número 2

1 x - 3x

Las letras más utilizadas en el lenguaje

algebraico para representar cualquier número son:

x, y, z, a, b, c, d…

EVALUACIÓN INICIAL

1 Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.

a) El triple de un número.b) La cuarta parte de un número.c) Cinco veces un número.d) La tercera parte de un número más cinco unidades.e) El cuadrado de un número más uno.f) Tres veces un número menos cinco.g) Cuatro veces un número menos su cuadrado.h) La suma de dos números consecutivos.i) Un número par.j) Un número impar.k) El número siguiente a un número.

1. Transforma en expresiones algebraicas.

a) El doble del cuadrado de un número.b) Un número más la mitad de otro.

41

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Monomios1

Monomios semejantes

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o varias letras elevadas a un número natural, que forman la parte literal del monomio.Las letras de la parte literal se llaman variables.El grado de un monomio es el exponente de la letra que forma la parte literal, si solo hay una, o la suma de los exponentes, si hay más de una.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

SE ESCRIBE ASÍ

• El signo del producto de números y letras no se suele escribir.

5 ? x2 ? y3 = 5x2y3

• El exponente 1 no se escribe.

a1b1 = ab

• Cuando un monomio está formado solo por letras, su coeficiente es 1.x3 = 1 ? x3 " coeficiente 1

EJEMPLO

1 Completa esta tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal Variables Grado

-6x7 -6 x7 x 7

3x3y2 3 x3y2 x, y 3 + 2 = 5

a b53 3

53 a3b a, b 3 + 1 = 4

x5 1 x5 x 5

14y 14 y y 1

-x -1 x x 1

EJEMPLO

2 Determina si son o no semejantes estos monomios.

a) -3x2 y 5x2 " Son semejantes, porque tienen la misma parte literal, x2.b) 6ab2 y 2a2b " No son semejantes.

c) 6ab2 y 2ab2 " Son semejantes, porque tienen la misma parte literal, ab2.

1 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios.

a) -3x3y2z4 c) x15y

b) -5b2c3 d) xy32 5-

2 Determina si los monomios son semejantes.

a) x y z21 2 3 5 y -5z5x2y3 c) xy3 y -xy3

b) 6x3y4 y 6x4y3 d) 7x y -x


1 Determina el coeficiente, la parte literal, las variables y el grado de estos monomios.

a) 7x3 c) 4x3y2 e) x4y

b) -5y2 d) -2xy4 f) -xy5

2 Escribe monomios que cumplan las condiciones en cada caso.

a) Coeficiente -3 y parte literal x2y.

b) Coeficiente 1 y grado 3.

c) Coeficiente -1 y variable x.

42

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EJEMPLO

3 Efectúa las siguientes operaciones.

a) 6x4 + 5x4 - 3x4 = (6 + 5 - 3)x4 = 8x4

b) 2x2y - 4x2y + 6x2y = (2 - 4 + 6)x2y = 4x2yc) 7x4 - 4x2 + 9x4 + 6x2 = (7 + 9)x4 + (-4 + 6)x2 = 16x4 + 2x2

EJEMPLO

4 Realiza estas operaciones con monomios.

a) -4x2 ? 3x = (-4 ? 3) ? (x2 ? x) = -12x2+1 = -12x3

b) -x2y4 ? 3y3 = (-1 ? 3) ? (x2y4 ? y3) = -3x2y4+3 = -3x2y7

c) 12x5 : 4x3 = (12 : 4) ? (x5 : x3) = 3x5-3 = 3x2

La suma (o resta) de dos o más monomios solo se puede realizar si son semejantes; en caso contrario, la operación se deja indicada.El resultado de la suma (o resta) de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejante que tiene por coeficiente la suma (o resta) de los coeficientes.

2.2 Multiplicación y división de monomios

2.1 Suma y resta de monomios

• Para multiplicar monomios, por un lado, multiplicamos sus coefi-cientes y, por otro, sus partes literales.

• Para dividir monomios, por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede).

Operaciones con monomios2

• Un número elevado a 1 es el mismo número.

31 = 3 x1 = x• Un número elevado a 0

es siempre 1.30 = 1 x0 = 1


Cómo se multiplican y dividen potencias de la misma base

• Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes.

3 3 3 3?5 4 5 4 9= =+ ?x x x x5 4 5 4 9= =+

• Para dividir dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes.

:3 3 3 36 4 6 4 2= =- ?x x x x x6 5 6 5 1= = =-


c) (-5ab) ? (6abc) e) (15xy) : (-3x)d) (-8x2y) ? (-4xy2) f) (2xyz) : (-2xy)



a) 6x2 + 2x2 - x2 + 3x2 - x2

b) 3x2y2 - 2x2y2 + 6x2y2 - x2y2

43

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Polinomios3

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes.

Los polinomios se designan con letras mayúsculas,

indicando entre paréntesis las variables que intervienen.

P(x) = 6x5 – 3x4 – 9x + 7Polinomio de una variable, x.

P(x, y) = 2x 2y – 7x – 2Polinomio de dos variables,

x e y.

8 Determina el grado, las variables y el término independiente de estos polinomios.

a) P(x, y) = -2x5 - x2y2 + 5x3 - 1 + 3x3 + 3b) Q(x, y) = x2 + 4x3 - x - 9 + 4x4y3


3 Determina los términos y el grado de estos polinomios.

a) x3 - 2x2 + x - 16b) 4 2 7 9x x x x5 3 2- - + - +

EJEMPLOS

5 Pon ejemplos de polinomios.

3x + 2y x4 - 2xy + 4 5ab2 + 6a2b - 7

1 Determina si las siguientes expresiones son polinomios.

a) 2 3 1x x2+ - = " No es un polinomio, es una igualdad.b) 3 2 2x x x3 3- + -

Si hay monomios semejantes, primero hay que operar: 3 2 2 2x x x x x3 3 3- + - = + - " Es un polinomio.

c) 2

1x-

Aunque el denominador es un polinomio, una fracción no es un polinomio.

• Cada uno de los monomios que forman un polinomio se denomina término, y el que no tiene parte literal, término independiente.

• Al mayor de los grados de los términos de un polinomio que no tiene monomios semejantes se le llama grado del polinomio.

EJEMPLOS

2 Determina los términos y el grado de estos polinomios.

a) 7x2 - 2x - 3 Término de mayor grado = 7x2

Grado del polinomio = 2

b) x x x x x6 3 16 6 25 4 5 4- - + + - Como tiene monomios semejantes, operamos: x x x x x x x6 3 16 6 2 5 165 4 5 4 4- - + + - =- +

Término de mayor grado = -5x4

Grado del polinomio = 4 Término independiente = 0

7 Determina los términos y el grado de este polinomio: Términos

P(x, y) = 5x2y + 7xy -4 Término independiente

Término de mayor grado = 5x2y " Grado del polinomio = 2 + 1 = 3

Términos

7x2 - 2x - 3 Término independiente

F

Términos

-5x4 + 16x

F

44

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11 Calcula el valor numérico del polinomio en cada caso.

a) P(x) = 3x6 + 2x5 - 3x4 - x2 + 7x - 2, para x = 0.

b) Q(x) = -x5 + 2x3 - x2, para x = -1.

b) P(x, y) = -x4y - x2y + 7xy - 2, para x = 1, y = 2.


4 Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 0 y x = -2.

a) ( ) 2 8 19P x x x3 2= - +

b) ( ) 8 4 6Q x x x5= + -

c) ( ) 10 5 5x x x xR 4 3=- - +

d) ( ) 1x x x x xS 6 5 2=- - + - +

e) ( )T x x x x3 64 3 2=- + -

SE ESCRIBE ASÍ

El valor numérico de un polinomio P(x), para un valor x = a, lo expresamos como P(a).Dado P(x) = 4x2 - 7, su valor numérico para x = 1 es:

P(1) = 4 ? 12 -7 = -3

Valor numérico de un polinomio


Cuál es el signo de una potencia que tiene como base un número entero

• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. 42 = 16 25 = 32 34 = 81 53 = 125

• Si la base es negativa, la potencia es positiva si el exponente es un número par, y negativa si es impar.

(-4)2 = 16 (-2)5 = -32 (-3)4 = 81 (-5)3 = -125

El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y operar después.

EJEMPLO

9 Halla el valor numérico de los polinomios para los valores que se indican.

a) P(x) = 2x3 - 3x2 - 2, para x = 1.

b) Q(x) = -3x3 + x2 - x, para x = -1.

b) P(x, y) = 2x2y - 8xy - 9, para x = -1 e y = 2.

a) Sustituimos la variable x por 1 y operamos:

P(x) = 2x3 - 3x2 - 2 x = 1" P(1) = 2 ? 13 - 3 ? 12 - 2 =

= 2 ? 1 - 3 ? 1 - 2 = -3 El valor numérico de P(x) para x = 1, P(1), es -3.

b) Sustituimos la variable x por -1 y operamos:

( )Q x x x x3 3 2=- + - x = -1" ( ) ( ) ( ) ( )?Q 1 3 1 1 13 2- =- - + - - - =

( )?3 1 1 1 3 51 1=- - + + = + + =

( ) ( )? ? ?3 1 4 1 7 1 3 1 1 5=- - + - - = + + =

El valor numérico de Q(x) para x = -1, Q(-1), es 5.

b) Sustituimos las variables x e y por -1 y 2, respectivamente.

P(x, y) = 2x2y - 8xy - 9 x = -1, y = 2

" P(-1, 2) = 2 ? (-1)2 ? 2 - 8 ? (-1) ? 2 - 9 == 2 ? 1 ? 2 + 8 ? 1 ? 2 - 9 = 11

El valor numérico de P (x, y), para x = -1 e y = 2, P(-1, 2), es 11.

45

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Operaciones con polinomios

4.1 Suma y resta de polinomios


Cómo se suprimen paréntesis



EJEMPLO

3 Realiza esta operación, eliminando primero los paréntesis.

1 ( 2 3 4) ( 5 6 7) =- + - + - - - + - 1 2 3 4 5 6 7 2- - + - + - + =

( 5 6 7) 5 6 7-- + - = - +

( 2 3 4) 2 3 4+- + - =- + -

F

F

Para sumar (o restar) polinomios, se agrupan los monomios del mis-mo grado y se suman (o restan) sus coeficientes.

EJEMPLO

11 Suma y resta P(x) = 2x3 - 3x2 + 4x + 1 y Q(x) = -x3 + x2.

La suma y resta de polinomios se puede realizar en horizontal o en vertical.

+ 2x3 - 3x2 + 4x + 1-x3 + x2

x3 - 2x2 + 4x + 1

P(x) + Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) + (-x3 + x2) == 2x3 - 3x2 + 4x + 1 - x3 + x2 == x3 - 2x2 + 4x + 1

P(x) - Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) - (-x3 + x2) == 2x3 - 3x2 + 4x + 1 + x3 - x2 == 3x3 - 4x2 + 4x + 1

- 2x3 - 3x2 + 4x + 1-x3 + x2

3x3 - 4x2 + 4x + 1

4

Para sumar dos números enteros

de distinto signo:1.º Se restan sus valores

absolutos (el menor del mayor).

2.º Al resultado se le añade el signo del número con mayor valor absoluto.

–5 + 2 = –|5 – 2| = –3

5 Dados los polinomios ( ) 3 1P x x x3=- + - y ( )Q x x x4 2= + , calcula: ( ) ( )P x Q x 2 2+ - x

17 Calcula B(x) -A(x) con los polinomios: A(x) = 3x4 - 5x3 + x2 - 7B(x) = -3x4 + x3 - 2x + 1


16 Halla la suma y la resta de cada par de polinomios.

a) R (x) = x4 - x + 1; S (x) = x2 + 1

b) R (x) = x + 1; S (x) = x2 + x - 1

c) R (x) = 5x7 - x8 + 1; S (x) = x2 + x6 - 1

d) R (x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S (x) = x3 + 2x

46

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4.2 Multiplicación de polinomios


Cómo se multiplica un polinomio por un monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

EJEMPLO

4 Multiplica el polinomio ( ) 2 3 1x x x xP 4 2=- + - - por el monomio 2x3.

La multiplicación de un polinomio por un monomio se puede hacer en horizontal o en vertical.

-2x4 + 3x2 - x - 1 3 2x3

-4x7 + 6x5 - 2x4 - 2x3

( ) ( )? ?

? ? ? ?

P x x x x x xx x x x x x xx x x x

2 2 3 1 22 2 3 2 2 1 24 6 2 2

3 4 2 3

4 3 2 3 3 3

7 5 4 3

= - + - - =

=- + - =

=- + - -

-

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro, y, después, se suman los po-linomios obtenidos.

EJEMPLO

12 Resuelve estos productos de polinomios.

a) (2x3 + x + 1) ? (2x2 - x)

b) 2x ? (x3 + x + 1) = 2x ? x3 + 2x ? x + 2x ? 1 = 2x4 + 2x2 + 2x

2x3 + x + 13 2x2 - x

- 2x4 + 2x3 - x2 - x4x5 - 2x4 + 2x3 + 2x2 + 4x5 - 2x4 + 2x3 + x2 - x

16 Halla el producto de cada par de polinomios.

a) R(x) = x4 - x + 1; S(x) = x2 + 1b) R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x - 1c) R(x) = 5x7 - x8 + 1; S(x) = x2 + x6 - 1d) R(x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2xe) R(x) = 7x3 - 2x2 + x - 3; S(x) = x4 + x2 - 8f) R(x) = x7 + 3; S(x) = x3 + x2 + 4x + 2


6 Realiza las siguientes multiplicaciones.

a) ( 5 4) ?x x x x23 2- - -

b) (4 3 6 3) 5?x x x x25 4- + -

c) 3 (5 4 12)?x x x5 3+ +

d) 5 ( 2 9 1)?x x x x3 4 3- - + -

e) (2 6 2) ( 3 )?x x x4 2 2- - -

f) ( 5 ) ( 2 5 6 5)?x x x x2 4 3 2- - - + +

Recuerda la regla de los signos para la multiplicación:

+ ? + = + – ? + = – + ? – = – – ? – = +

47

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TAMBIÉN, DEBES SABER…

Cómo se divide un polinomio entre un número

Para dividir un polinomio entre un número, dividimos cada término del polinomio entre el número.

EJEMPLO

5 Divide el polinomio P(x) = 24x6 - 6x4 + 8x2 - 12 entre 2.

24x6 - 6x4 + 8x2 - 12 2 -24x6 12x6 - 3x4 + 4x2 - 6

- 6x4 6x4

+ 8x2 - 8x2

- 12120

P(x) : 2 = (24x6 - 6x4 + 8x2 - 12) : 2 =

= (24x6 : 2) - (6x4 : 2) + (8x2 : 2) - (12 : 2) =

= 12x6 - 3x4 + 4x2 - 6

Cómo se divide un polinomio entre un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio.

EJEMPLO

6 Divide el polinomio P(x) = 6x5 + 3x4 - 9x entre el monomio 3x.

6x5 + 3x4 - 9x 3x -6x5 2x4 + x3 - 3

+ 3x4 - 3x4

- 9x 9x

0

P(x) : 3x = (6x5 + 3x4 - 9x) : 3x = (6x5 : 3x) + (3x4 : 3x) - (9x : 3x) =

= 2x4 + x3 - 3

Recuerda la regla de los signos para la división:+ : + = + – : + = – + : – = – – : – = +

8 Haz estas divisiones.

a) :( 5 )x x x x3 2- -

b) :(8 6 12 ) 2x x x x5 4- +

c) :(10 15 25 20 5 ) ( 5 )x x x x x x7 5 4 3 2 2+ - - + -

d) :( 6 9 6 ) ( 3 )x x x x5 4 3 3- - + -

e) :( ) ( )x x x5 10 54 2- -+

f) :( ) ( )x x x x28 6 225 3- -+ -


7 Resuelve las siguientes divisiones.

a) :(3 6 9 12) 3x x x3 2- - +

b) :( 18 6 36 48 12) 6x x x x5 4 3- - - + +

c) :(8 4 6 14) ( 2)x x x5 4- + + -

d) :( 16 24 8 32) ( 4)x x x3 4- - + + -

e) :( ) ( )x 24 23- -

f) :( ) ( )x x6 12 35 2- -+

48

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Factor común5

Cuando el factor común coincide con cualquiera de los

sumandos, en su lugar queda la unidad.

3 + 6x = 3 ? (1 + 2x)


Cómo se aplica la propiedad distributiva

La propiedad distributiva nos permite transformar un producto en una suma o una resta.

EJEMPLO

7 Aplica la propiedad distributiva a estas operaciones.

a) 5 ? (8 + 4) = 5 ? 8 + 5 ? 4 c) -5 ? (-8 + 4) = -5 ? (-8) + (-5) ? 4

b) 5 ? (8 - 4) = 5 ? 8 - 5 ? 4 d) -5 ? (-8 - 4) = -5 ? (-8) - (-5) ? 4

Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.

Factor común

" Factor común

" a ? b + a ? c = a ? (b + c) a ? b - a ? c = a ? (b - c)

!

Propiedad distributiva !

Propiedad distributiva

EJEMPLO

14 Extrae factor común en estos polinomios.

a) 3x + 3yTenemos que encontrar los factores que se repiten en todos los términos del polinomio. En este caso, 3 está en ambos términos.

3x + 3y = 3 ? (x + y)

b) 3x - 3y 3x - 3y = 3 ? (x - y)

c) 5 + 5x - 5x2

En este caso, el factor que se repite es 5.5 + 5x - 5x2 = 5 ? (1 + x - x2)

c) x3 - x2 + 2xDescomponemos los sumandos de este polinomio como producto:

x3 - x2 + 2x = x ? x2 - x ? x + 2 ? x " Factor común = xx3 - x2 + 2x = x ? (x2 - x + 2)

10 Extrae factor común.

a) 7x3 - 7x2 + 7x

b) 6x5 - 12x4 + 6x3

c) -2x4 + 8x2

d) -3x3 - 6x2 + 6x


9 Saca factor común en las expresiones.

a) 3x3 - 3

b) 4x2 - 4 + 4

c) -5x4 + 10

d) x3 - x2 - 5x

49

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Cómo se calcula el máximo común divisor

Para calcular el máximo común divisor de varios números:1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente.3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números.

EJEMPLO

8 Obtén el máximo común divisor de 27 y 45.

Primero, descomponemos 27 y 45 en factores primos: 27 3 45 3 9 3 15 3 3 3 5 5 1 27 = 3 ? 3 ? 3 = 33 1 45 = 3 ? 3 ? 5 = 32 ? 5El único factor primo común es 3. Al elevarlo al menor exponente: 32

Así, resulta que: m.c.d. (27, 45) = 32 = 9

EJEMPLO

14 Extrae factor común en estos polinomios.

d) 6x3 + 2x2 = 2 ? 3 ? x ? x2 + 2 ? x2 " Factor común = 2x2

6x3 + 2x2 = 2x2 ? (3x + 1)

e) 24x3 + 72x2 - 6xPara determinar si un número es factor común se halla el m.c.d. de los coeficientes de cada término.

m.c.d. (6, 24, 72) = 6Además, en este caso, la x se repite en todos los sumandos.

24x3 + 72x2 - 6x = 6x ? (4x2 + 12x - 1)

f) -60x2 + 15x - 45Calculamos el m.c.d. de los coeficientes. m.c.d. (15, 45, 60) = 15En este caso, la x no se repite en todos los sumandos.

-60x2 + 15x - 45 = 15 ? (-4x2 + x - 3)

f) -18y2x3 - 12yx2 + 24yxm.c.d. (12, 18, 24) = 6 " Factor común = 6yx-18y2x3 - 12yx2 + 24yx = 6yx ? (-3yx2 - 2x + 4)

22 Saca factor común en los siguientes polinomios.

a) 8x2 - 4xb) 18x3y2 - 12x2y3

c) 30a2b - 15ab2 + 5a2b2

d) -12ab3 + 4b2 - 6b4


11 Extrae factor común en las expresiones.

a) 16x3 - 64x2 + 48b) 7x4 - 28x3 + 63x c) -21x4 - 15x3 + 3d) -16x6 - 8x4 - 4x2

50

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28 Calcula los productos.

a) (x + 7) ? (x - 7) b) (7x + 4y) ? (7x - 4y)

12 Desarrolla estas expresiones utilizando las igualdades notables.

a) (2x2 - 1)2 c) x2 - 4b) (-2x2 + x)2 d) x2 - 1


25 Desarrolla los siguientes cuadrados.

a) (x + 7)2 b) (2x + 1)2

c) (6 + x)2

e) (x - 4)2

f) (3a - b)2

g) (5 - a)2

Los polinomios formados por dos términos

se denominan binomios. 2x + 1 3a2 + 5b x – 3 –1 + 2x

Igualdades notables

Se llaman igualdades notables a ciertos productos de binomios que sir-ven para facilitar algunos cálculos con expresiones algebraicas.

6.1 Cuadrado de una suma

6.2 Cuadrado de una diferencia

6

El cuadrado de una suma de monomios es igual al cuadrado del prime-ro más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

La expresión (a + b)2 es el cuadrado de la suma de dos monomios.

(a + b)2 = (a + b) ? (a + b) = a ? a + a ? b + b ? a + b ? b == a2 + 2ab + b2

6.3 Suma por diferencia

El producto de una suma de monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados.

El cuadrado de una diferencia de monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

EJEMPLO

15 Aplica las igualdades notables y desarrolla los siguientes cuadrados.

a) (5x + 3)2 = (5x)2 + 2 ? 5x ? 3 + 32 = 25x2 + 30x + 9

a = 5x b = 3

b) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2 ? 2x ? 3y + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2

a = 2x b = 3y

16 Realiza estos productos.

a) (2x + y) ? (2x - y) = (2x)2 - y2 = 4x2 - y2

a = 2x b = y

b) (3x3 - 5x) ? (3x3 + 5x) = (3x3)2 - (5x)2 = 9x6 - 25x2

a = 3x3 b = 5x

FF

F

F

51

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1. SUMAR Y RESTAR POLINOMIOS

Dados los polinomios ( ) 5 7 2P x x x x3 2= + - y ( ) 3 1x x xQ 3=- + - , realiza las siguientes operaciones.

a) ( ) ( )P x xQ+

b) ( ) ( )P x Q x-

PRIMERO. Eliminamos los paréntesis, teniendo en cuenta que:



a) ( ) ( ) (5 7 2 ) ( 3 1) 5 7 2 3 1P x Q x x x x x x x x x x x3 2 33 2 3+ = + - + - + - = + - - + -

b) ( ) ( ) (5 7 2 ) ( 3 1) 5 7 2 3 1x x x x x x x x x x x xP Q 3 2 33 2 3- = + - - - + - = + - + - +

SEGUNDO. Agrupamos los monomios semejantes.

a) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 5 7 2 3 1

4 7 1

P x Q x x x x x x x x x x x

x x x

3 2 3 2

3 2

3 3+ = + - - + - = - + - + - =

= + + - \Semejantes

\Semejantes

b) ( ) ( )P x Q x x x x x x x x x x x

x x x

5 7 2 3 1 5 7 2 3 1

7 16 5

3 2 3 3 3 2

3 2

= + - = + =

= +

- + - + + - - +

- + \Semejantes

\Semejantes

TERCERO. Sumamos y restamos los monomios semejantes.

a) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 4 7 1P x Q x x x x x x x x x2 3 23 3+ = - + - + - = + + - \ \

b) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 6 7 5 1P x Q x x x x x x x x x3 3 2 3 2- = + + - - + = + - + \ \

Factor comúna ? b + a ? c = a ? (b + c)a ? b - a ? c = a ? (b - c)

Igualdades notables

Cuadrado de una suma

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Cuadrado de una diferencia

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Suma por diferencia

(a + b) ? (a - b) = a2 - b2

Monomio

Monomios semejantes

17x3y -5x3y

Misma parte literal

Variable

Coeficiente Parte literal

G Grado

F

-4 x2

Polinomio

Términos

Término independiente

7x2 - 2x - 3G

52

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2. MULTIPLICAR POLINOMIOS

Calcula: (x5- x2 - x) ? (x2 + x)

PRIMERO. Multiplicamos cada monomio del polinomio que tenga menos términos, por el otro polinomio.(x5 - x2 - x) ? (x2 + x) =

= (x5 - x2 - x) ? x2 + (x5 - x2 - x) ? x == x5 ? x2 - x2 ? x2 - x ? x2 + x5 ? x - x2 ? x - x ? x == x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2

SEGUNDO. Reducimos los monomios semejantes, si los hay, y ordenamos los monomios según su grado en orden decreciente.x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2 = x7 - x4 + x6 - 2x3 - x2

2. SACAR FACTOR COMÚN

3. DIVIDIR UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Calcula: (8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2)

PRIMERO. Dividimos cada término del polinomio entre el monomio divisor.(8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2) =

= 8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2)

SEGUNDO. Dividimos los coeficientes, por un lado, y las partes literales, por el otro.8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2) =

= (8 : 2)x6-2 - (12 : 2)x5-2 - (2 : 2)x2-2 == 4x4 - 6x3 - 1x0 = 4x4 - 6x3 - 1

01

Y AHORA… PRACTICA


1. Identifica los términos y el grado de los siguientes polinomios.a) y+x y xy5 14 13 2- - + b) x x x 45 2- - -

2. Utiliza las igualdades notables para desarrollar estos cuadrados.

a) ( )x 1 2- b) ( )x2 3 2+

Sumar y restar polinomios

1. Suma y resta estos polinomios.

( ) 3 5 1P x x x x4 2= + - +

( ) 3 8 5Q x x x x4 3=- - + -

Multiplicar polinomios

2. Multiplica los siguientes polinomios.

( ) 3 5 1P x x x x4 2= + - +

( ) 3 5Q x x2= -

Dividir un polinomio entre un monomio

3. Realiza esta división: :(8 6 10 ) 2x x x x4 2- -

Sacar factor común

4. Saca factor común en los polinomios.

a) x x x3 5 145 3 2+ -

b) y y xy18 6 125 2 2 2- -x xd) xy x y x y6 12 242 2 2 3 2- - -

Extrae factor común en el polinomio 3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2.

PRIMERO. Comprobamos si hay letras que se repiten en todos los sumandos. Si las hay, tomamos las que aparecen con menor exponente.

Se repiten en todos los sumandos las letras x e y.

x con menor exponente " x2

y con menor exponente " y

SEGUNDO. Hallamos el m.c.d. de los coeficientes de cada término.

m.c.d. (3, 12, 15) = 3

TERCERO. El factor común son las letras y el número que hemos obtenido.

Factor común: 3yx2

CUARTO. Dividimos el polinomio entre el factor común. Expresamos el polinomio como producto del factor común por el polinomio resultante de la división.

3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2 : 3yx2

F yx3 - 4yx2 - 5

Por tanto, resulta que:

3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2 = 3yx2 ? (yx3 - 4yx2 - 5)

53

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ActividadesMONOMIOS. OPERACIONES

35. ● Indica si las siguientes expresiones son o no monomios.

a) 2x2 + yz c) 5x5y2 e) x y23

31

+

b) y

112 2 4-x

d) xyz f) 3ab + 2a2

13. ● Indica en cada monomio el coeficiente, la parte literal y el grado, y calcula su monomio opuesto.

a) 2xy c) -3y2z3 e) -6a2

b) 12x2yz d) 8acb f) 9b

14. ● Completa la siguiente tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

-8xyz2

3a2b4

4 xy 5

-9 abc 4

1 z 6

2/3 bc 3

36. ● Di si los monomios son semejantes.

a) xz, 3xy, -6xy c) 4c 9d, c 7d, cd 4

b) ab, a 2b, 7b d) 8xy2, 7xy

15. ● Agrupa aquellos monomios que sean semejantes.

5xy 2y3 5x2 -6xy 8xy2

-3x2 x2y3 10y3 9x2y3 -y3

16. ●● Escribe, si es posible:

a) Dos monomios de grado 5 que no sean semejantes.b) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes.c) Un monomio de grado 4 y otro de grado 5

que sean semejantes.

37. ● Realiza estas sumas de monomios.

a) xz + 3xz + 6xzb) a 2b + 9a 2b + 27a 2bc) 9c 9 + c 9 + c 9

d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy

38. ● Efectúa las siguientes restas de monomios.

a) 3xz - 6xz c) 18xy - 7xy - 3xy - 3xyb) 9a 2b - 2a 2b d) 5x9 - x9 - x9 - x9

40. ● Haz las siguientes operaciones.

a) -xz + 6xz + xyz - 8xzb) 9a 2b - 2a 2b + 8a 2b - a 2bc) 9c 9 - c 9 - c 9 + 10c 9

d) 8xy + 7xy - xy + 3xy - xy

17. ● Realiza las siguientes operaciones.

a) x x x x x2 2 3- + + + + c) 8 5x x y x y xyy2 2 2 2- + -

b) 2 ( 3 )x x x3 3 3- - d) ( )x y y y x3 7 8 6- + - + -

18. ● Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Razona la respuesta y corrige los errores cometidos.

a) a a a2+ = c) a a2 2- =

b) 2 2a a a2+ = d) a a2 2- =

41. ● Realiza estas multiplicaciones.

a) xy ? 3xy ? (-6xy) c) 8xy2 ? 7xyb) ab ? a 2b ? 7b ? ab d) 15x9 ? (-3x9)

19. ● Resuelve las siguientes operaciones.

a) 2 4 5? ?x x x2 3 6 c) 8 2 6? ? ?xy z xy z2 3

b) 7 5 9? ?x x x3 4 d) 10 ( 2 ) ( 4 )? ?xy y x23 4- -

42. ● Efectúa las siguientes divisiones de monomios.

a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9

b) 9ab : ab d) 8xy2 : 2xy2 f) 32x7 : 8x4

20. ● Realiza estas operaciones.

a) :15 5x x3 2 c) :8 2x y x y3 2 2-

b) :9y xy34- d) :10x y xyzz 524

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS DE MONOMIOS?

21. Resuelve: 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x)

PRIMERO. Se resuelven las operaciones que hay entre paréntesis.

8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) = = 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2

SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 - 3x2 + 5x2

TERCERO. Se resuelven las sumas y restas en el mismo orden.

8x2 - 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2

54

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43. ●● Calcula y simplifica el resultado todo lo que puedas.

a) 2x2 - 5(-x2) + 8x2 - (2x) ? (3x)b) 2x ? (-y) + 7xy - yx + (-4x) ? (-5y)c) 3x2 - (-x)2 + 3(-x2) + (-3) ? (-x)2

d) (2xy - 3xy + 7xy) ? (2ab)e) (x2 - 3x2 + 6x2 - 2x2) ? (-5zx)

39. ● Realiza las operaciones, e indica el grado del monomio resultante.

a) 2x2 + 3x2 - 7x2 + 8x2 - x2

b) 5xy3 - 2xy3 + 7xy3 - 3xy3 + 12xy3

c) 3abc - 2abc + 6abc + 9abc - 4abcd) 5xz - 3xz + 15xz - 11xz + 8xz - 3xze) (2xyz) ? (2x2yz 3)f) (-2abc) ? (3a 2b 2c 2) ? (-bc)g) 7x ? (2xy) ? (-3xy5) ? (xy)h) (6ac3) ? (-2a 2c3) ? (-3ac) ? (-4a 3c2)i) (21x2y3) : (7xy2)j) (9abc) : (3bc)k) (16x4y5a 3b 6) : (8x2y3a 2b 5)l) (5m3n2g 4) : (2mng)

POLINOMIOS

45. ● Indica el grado, el término independiente y el polinomio opuesto de los polinomios.

a) P (x) = -x3 + x2 - 7x - 2b) Q (x) = -x2 + 2x + 6c) R (x) = x + 1 d) S (x) = 8e) T (x) = 12x - x2 + x4

f) ( )U x x x21

612= - -

22. ●● Escribe un polinomio de una variable, con grado 5 y cuyo término independiente sea -2, y que tenga:

a) 5 términos b) 4 términos c) 2 términos

23. ● Suma y resta los términos semejantes de estos polinomios, y ordena sus términos de mayor a menor grado.

a) ( )P x x x x x x x x8 7 5 6 13 2 2 3= - + - + - + -

b) ( ) 5 6 7 4x x x x x xQ 3 22 2= + + - + -+

c) ( ) 2 5 4 7 7x x x x x xR 3 3 2 2=- + - + - +

d) ( )S x x x x x x2 5 14 3 2 4 3=- + - + - -

48. ● Calcula el valor numérico de cada polinomio para los valores de la variable.

a) A (x) = x + 1, para x = 1.

b) B (x) = 21

x4 + 3, para x = 2.

c) C (x) = 4x5 - x2 + 3, para x = -1.d) D (x) = -9x4 + 7x2 + 5, para x = 1.e) E (x) = x3 + x2 + x + 2, para x = -2.f) F (x) = x4 + x4 - x3 + x2 - 7x - 2, para x = 0.g) G (x) = -14, para x = -2.

24. ● Para el polinomio ( ) 2 3P x x x x x 53 25 4= - + - + , halla el valor de las siguientes operaciones.

a) ( ) ( 1)1P P+ - d) (1) 2 ( )? ?P P21

0-

b) ( ) ( 1) ( )1P P P 0+ - - e) 21

( 1)?P P21

- + -d n

c) 2 (1) 3 ( 1)? ?P P- - f) P P21

21

- + -d dn n

¿CÓMO SE CALCULA UN COEFICIENTE DE UN POLINOMIO CONOCIENDO UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS?

50. Calcula el valor de k en el polinomio P(x) = x2 - x + k, si P(2) = 5.

PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable por su valor.

P(x) x = 2F k2 5+ ="

( )( )

P k kP

2 2 2 22 5

2= - + = +=

4

SEGUNDO. Se despeja k en la ecuación resultante.2 + k = 5 " k = 5 - 2 = 3

HAZLO ASÍ

51. ●● Calcula el valor de k en cada polinomio, sabiendo que P(1) = 6.

a) P (x) = kx7 + x3 + 3x + 1b) P (x) = kx4 + kx3 + 4c) P (x) = 9x5 + kx2 + kx - kd) P (x)= kx6 - kx3 + kx + ke) P (x) = k

25. ●● Escribe un polinomio con P (1) = 2 y que:

• Tenga grado 3.• Su término independiente sea -2.• Tenga tres términos.

55

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

52. ● Dados los polinomios:

P (x) = 2x5 - 3x4 + 7x3 - 2x2 + 3x - 6Q (x) = 3x4 - 2x3 + 5x2 - 7x - 1R (x) = 3x2 - x + 1S (x) = 2x + 3

calcula.a) P (x) + Q (x) e) P (x) + R (x)b) Q (x) + P (x) f) R (x) + S(x)c) P (x) - S(x) g) Q (x) - R (x)d) Q (x) - P (x) h) R (x) - P (x)

26. ● Halla la resta de los siguientes polinomios.

a) ( ) ( );P x x Q x x4 9 5= + =- +

b) ( ) 1; ( ) 2P x x Q x x2 2=- + =- +

c) ( ) 1; ( ) 2 6P x x x Q x x x2 2=- + + =- + +

d) ( ) 2 ; ( ) 5P x x xy y Q x x xy y27 2 2 2 2= - - = - -

e) ( ) ; ( ) 1P x x x Q x x x21

61

212 2= - - =- + -

53. ● Suma y resta los polinomios.

a) P (x) = -7x + 4 Q (x) = 2x + 5b) P (x) = -3x2 + 1 Q (x) = -x2 + 2xc) P (x) = -3x2 + 1 Q (x) = -x2 + 2x + 6d) P (x) = -5x3 + x2 - 7x - 2

Q (x) = 5x3 + x2 + 4x - 2

e) P(x) = 21

x2 - 2xy - 23

y2 Q(x) = x2 - xy - y2

f) P(x) = 21

x2 - 2xy - 23

y2 Q(x) = 31

x2 - 2xy - 32

y2

g) P (x) = x2 - x2

- 3 Q (x) = -21

x2 + 31

x - 1

h) P (x) = x2 - 5x - 3 Q (x) = -21

x2 + 31


P (x) = 2x5 - 3x4 + 7x3 - 2x2 + 3x - 6Q (x) = 3x4 - 2x3 + 5x2 - 7x - 1R (x) = 3x2 - x + 1S (x) = 2x + 3

calcula.a) P (x) + Q (x) + R (x) + S (x)b) P (x) - R (x) + S (x) - Q (x)c) [P (x) + Q (x)] - [R (x) + Q (x)]d) [P (x) - Q (x)] - [R (x) - Q (x)]

27. ● Realiza las operaciones con estos polinomios.

( )P x x x x324= - + ( ) 4Q x x x x 23 2= + - -

( ) 2 3x x x xR 624= - + +

a) ( ) ( )P x Q x+ e) ( ) ( ) ( )P x Q x R x+ +

b) ( ) ( )Q x xR+ f) ( ) [ ( ) ( )]P x Q x R x- -

c) ( ) ( )P x R x- g) ( ) [ ( ) ( )]Q x R x P x+ -

d) ( ) ( )R x Q x- h) ( ) ( ) ( )P x R x Q x- - -


P (x) = 2x6 - 7x4 + 2x3 - 2x2 + x - 1Q (x) = 3x5 - 2x3 + x2 - x - 1R (x) = x2 - x + 1calcula.a) P (x) ? Q (x) c) P (x) ? R (x)b) Q (x) ? R (x) d) R (x) ? R (x)

57. ●● Dados los polinomios:

P (x) = 2x5 - 3x4 + 7x3 - 2x2 + 3x - 6Q (x) = 3x4 - 2x3 + 5x2 - 7x - 1R (x) = 3x2 - x + 1 S (x) = 2x + 3calcula.a) [P (x) - Q(x)] ? S(x)b) [R(x) - Q(x)] ? S(x)c) [P (x) + Q(x) + R(x)] ? S(x)d) [P (x) + Q (x) - R(x)] ? S(x)

28. ● Realiza las siguientes divisiones.

a) :(2 6 10 4)x x x 23 2- - -

b) :(25 10 10 5) ( )x x x 525 - - - -

c) :( 1)x x x x x4 3 2+ - - +

d) :( 2 )x x x4 2 2-

e) :(6 9 3 6 )x x x x x34 35- + -

f) :( 2 2 ) ( )x x x x x x3 28 7- + - + + -

FACTOR COMÚN

29. ● Extrae factor común en los polinomios.

a) 2 6 4x x x x10 83 25- + - +

b) 2 6 4x x x x105 3 2- + -

c) x x x2 6 45 3 2- +

d) 24 48x x x965 3- -

e) 8 36x x x15 93 2- + - +

f) 9 6 12x x x x33 27- - + -

g) 75 50 25x x x46 5- +

h) 4 8x y x y xy62 3 2- - -

56

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IGUALDADES NOTABLES

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL CUADRADO DE UNA SUMA O UNA RESTA DE MONOMIOS?

30. Calcula. a) ( )x3 5 2+ b) 2(5 )x 13-

PRIMERO. Se determinan los monomios que forman la suma o la resta.

a) 2(3 5)35x

a xb+==" (

b) 2( )xa xb5 1

51

33=

=- " (

SEGUNDO. Se aplica la igualdad notable correspondiente.

• a2 2 2( ) 2a b ab b+ = + +

F

a) 2 2 2( ) ( ) ? ?x x x3 5 3 2 3 5 5+ = + + = 9x x30 252= + +

• a2 2 2( )a b ab b2= +- -

F

b) 2 2 2( ) ( ) ? ?x x x5 1 5 2 5 1 13 3 3- = - + = x x25 10 16 3= - +

60. ● Desarrolla.

a) (3x + 2)2 e) (2x + 7) ? (2x - 7) b) (3x - 2)2 f) (2x2 + 3x) ? (2x2 - 3x)c) (3x2 - 2x)2 g) (x4 + 3x5) ? (x4 - 3x5)

d) (7x3 + 4x2)2 h) x221 2

-e o

61. ●● Desarrolla estos cuadrados.

a) (x + 5)2 c) (-y - 8)2 e) (-x - y)2 b) (2y - 7)2 d) (xy - 6x)2 f) (x + 2xy)2

62. ●● Completa las siguientes igualdades.

a) (2x + 3)2 = 4 + 12x + 4b) (5 - 3x)2 = 25 - 4 + 4x2

c) (9 + 7x) ? (9 - 7x) = 4 - 4d) (4 + 4)2 = x4 + 2x3 + x2

31. ●● Copia y completa los términos que faltan para que los polinomios sean el cuadrado de una suma o una diferencia.

a) x x 92 + +4 c) 10x x2- +4b) 4x x2 + +4 d) x x16 162- +4

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UNA SUMA DE MONOMIOS POR SU DIFERENCIA?

32. Expresa como una diferencia de cuadrados, si se puede.

a) (3 5) ( )?x x3 5-+ b) ( ) ( )?x x1 5 15 3 3- +

c) ( 1) ( 1)?x x5 33- +

PRIMERO. Se evalúa si es un producto de la suma por la diferencia de los mismos monomios. a) Es el producto de una suma por una diferencia

de los mismos monomios. a = 3x b = 5

b) Es el producto de una suma por una diferencia de los mismos monomios.

a = 5x3 b = 1

c) No es el producto de una suma por una diferencia de los mismos monomios.

SEGUNDO. Se aplica la igualdad notable:

a2 2( ) ( )?a b a b b+ =- -

F

a) 2 2( ) ( ) ( )?x x x x3 5 3 5 3 5 9 252+ - = - = -

F

b) 2 2( ) ( ) ( )?x x x x5 1 5 1 5 1 25 13 3 3 6- + = - = -

c) No se puede expresar como una diferencia de cuadrados.

33. ●● Expresa estos productos como una diferenciade cuadrados.

a) ( 2) ( )?x x 2+ -

b) (3 1) ( )?x x3 1+ -

c) 31

31

?x x+ -d dn n

d) ( 1) ( )?x x 12 2+ -

e) (2 3) (2 )?x x 33 3+ -

f) ?x x1 15 5

2 2+ -d dn n

g) (2 1) ( )?x x2 1- +

67. ●● Escribe los polinomios como producto de dos factores.

a) x2 - 16 d) x2 - 4x + 4

b) x4 - 36 e) 16x2 - 24xy + 9y2

c) 4x2 - 25 f) 16x4 + 24x2 + 9

a = 3x b = 5

a = 5x3 b = 5a = 3x b = 5

a = 5x3 b = 1

57

301386 _ 0040-0057.indd 57 21/07/11 9:45

El fin del mundo

En octubre de 1533 la cárcel de Wittenberg acogió una curiosa reunión: allí estaba Lutero visitando a su íntimo amigo Michael Stifel. Este, aplicando a la Biblia cálculos numéricos, había profetizado que el fin del mundo tendría lugar el 18 de octubre de ese año. Lutero conteniendo la risa le decía:

–Michael, ¿cuántas veces te dije que no mezclaras la Fe con la Razón?

–¡Jamás me volverá a pasar! Cuando salga de aquí me dedicaré a ordenar mis escritos y publicaré mis trabajos científicos. Pero nunca más mezclaré cosas que son agua y aceite.

Como prometió, en 1544 publicó su obra Arithmetica integra, en la que generaliza el uso de los signos + y - para la suma y la resta. En ella también admite, por primera vez, los coeficientes negativos en las ecuaciones, aunque no las soluciones negativas.

Ecuaciones de primer y segundo grado

4

1. Busca información sobre Stifel y su relación con Lutero.

2. Investiga cómo Stifel aplicó cálculos numéricos a la Biblia y sus consecuencias.

3. Explica la contribución de Stifel al avance de las matemáticas en el estudio de las ecuaciones.


301386 _ 0058-0073.indd 58 21/07/11 9:50



• Reconocer los elementos de una ecuación.

• Resolver ecuaciones de primer grado.

• Resolver ecuaciones de segundo grado.

• Utilizar el lenguaje algebraico y las ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana.

PLAN DE TRABAJO

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones matemáticas.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por sus valores correspondientes y operar.

3 5 2x x2 - - " Expresión algebraica

Para x = 2 " 3 2 5 2 2 12 10 2 0? ?2- - = - - =

Para x = -1 " ( ) ( )? ?3 1 5 1 2 3 5 2 62- - - - = + - =

Igualdades

Una igualdad está formada por dos expresiones separadas por el signo =. Según sean estas expresiones, la igualdad puede ser:

• Igualdad numérica: cuando solo intervienen números.

5 + 4 = 9 " Es una igualdad numérica cierta.8 - 3 ! 1 " Es una igualdad numérica falsa.

• Igualdad algebraica: si intervienen números y letras.

x x5 7+ = -ó óExpresi n

algebraicaExpresi nalgebraica

"\ \ Igualdad algebraica

x 3 22+ =-óExpresi n

algebraica

"\ Igualdad algebraica


Un número más dos x + 2El doble de un número más tres unidades 2 ? x + 3

La mitad de un número menos 5x2

5-

El símbolo ! se lee «distinto de».

6 ! 9«6 es distinto de 9».

EVALUACIÓN INICIAL

3. Expresa en lenguaje algebraico.

a) El triple de un número.b) El doble de un número menos su cuadrado.c) La suma de un número y su mitad.

1 Determina el valor numérico de la expresión algebraica 2 4 1x x2- + - para estos valores.

a) x = 0 c) x = -1 e) x = -2

b) x = 1 d) x = 2 f) x = -7

2 Identifica cuáles de las siguientes igualdades son igualdades algebraicas.

a) 4 1x x x2+ = + c) 3 5 2- =-

b) 1 2x x= + d) 3 1 0x x2+ - =

59

301386 _ 0058-0073.indd 59 21/07/11 9:50

2 Escribe una ecuación con una incógnita cuyo segundo miembro sea un número.

3 Escribe una ecuación con una incógnita que no tenga término independiente y cuyo segundo miembro sea 2x.


4 Determina los elementos de estas ecuaciones.

a) x2 + x - 1 = x2 - 2x b) 2x - 5 = 4(x + 9)

1 Escribe una ecuación cuyo primer miembro sea 4x - 3, y cuyo segundo miembro sea 5x2 - 3.

Elementosde una ecuación2


Qué es una ecuación

Una ecuación es una igualdad algebraica que, al sustituir las letras por distintos valores, se convierte en una igualdad numérica que es cierta o falsa.

x + 3 = 5Para x = 2 " 2 + 3 = 5 " Igualdad numérica cierta

Para x = 4 " 4 + 3 ! 5 " Igualdad numérica falsa

Para x = 0 " 0 + 3 ! 5 " Igualdad numérica falsa

En una ecuación, solo algunos valores de las letras la convierten en una igualdad numérica cierta.

x + 3 = 5 es una ecuación.

Los principales elementos de una ecuación son:

• Miembros: son cada una de las dos expresiones algebraicas se-paradas por el signo igual; la expresión situada a la izquierda se denomina primer miembro, y la situada a la derecha, segundo miembro.

• Términos: son los sumandos de los miembros. Si están for-mados por un solo número, se denominan término indepen-diente.

• Incógnitas: son las letras cuyos valores son desconocidos.

EJEMPLO

2 Identifica los elementos de estas ecuaciones.

4x5 - 3x3 = 4 + x " Incógnita: x

1.er miembro

Términos

2.o miembro

3x3 - x2 = -7 " Incógnita: x

Términos Término independiente

2.o miembro1.er miembro

60

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5 Determina cuáles de los números son solución de la ecuación 4 2 2 0x x2+ - = .

a) 0 b) -1 c) 3 d) 21

6 Escribe dos ecuaciones que tengan como solución x = 1.


5 ¿Cuál de los siguientes números es soluciónde la ecuación 5x - 9 = 4(x - 5)?

a) 4 b) -3 c) 14 d) -11

4 Determina si -1 es solución de estas ecuaciones.

a) x x 2 02- + = b) 0x x2 12 =+ -

Los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad se llaman solu-ciones. Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus solu-ciones.

Solución de una ecuación

x =2""x =-2


Cómo se calcula la potencia de un número

Una potencia de exponente un número positivo es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son iguales.

0? ? ?a a a a n… >n=

1442443

n veces

En una potencia de base un número racional y exponente positivo:• Silabaseesunnúmeropositivo,lapotenciaessiemprepositiva.• Silabaseesunnúmeronegativo,lapotenciaespositivasielexponente

es par, y negativa si es impar.

EJEMPLO


a) 2 83 = c) 3 92 = e) 2

45

45

1625

2

2

= =d n

b) ( 2) 83 -=- d) 2( 3) 9=- f) 2

45

1625

=-d n

EJEMPLO

3 Comprueba que estas ecuaciones tienen las soluciones que se indican.

a) x + 1 = 0 tiene una única solución, x = -1.x + 1 = 0 x =-1

" -1 + 1 = 0 " 0 = 0

b) x2 = 4 tiene dos soluciones, x = 2 y x = -2. 22 = 4 " 4 = 4x2 = 4 (-2)2 = 4 " 4 = 4

c) x2 = -1 no tiene solución.No existe ningún número real que, elevado al cuadrado, dé un número negativo; por tanto, no tiene solución.

Una ecuación puede tener una, varias

o ninguna solución.

61

301386 _ 0058-0073.indd 61 21/07/11 9:50

Ecuacionesde primer grado3


Cómo se calcula el grado de un polinomio

• Elgrado de un monomio es la suma de los exponentes de su parte literal.

5x3 " grado 3 -12ab7c " grado 9 9xy " grado 2

• Elgrado de un polinomio que no tiene monomios semejantes coincide con el de su monomio de mayor grado.

grado ( 2)x x2+ - = grado (x2) = 2

grado ( 2 23 2 3x x x- - - ) = grado (-x - 2) = grado (-x) = 1

Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica que se pue-de expresar de la forma ax + b = 0, con a y b números reales y a ! 0.

Esta ecuación tiene solución única: xab

=-


Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado sencillas

Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos con la incógnita. Para ello utilizamos las siguientes reglas: • Siuntérminoestásumandoenunmiembro,pasa restando al otro.

Y si está restando, pasa sumando.• Siuntérminoestámultiplicandoenunmiembro,pasa dividiendo al otro.

Y si está dividiendo, pasa multiplicando.Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay números, diremos que hemos despejado la x.Suvalornuméricoes la solución de la ecuación.

EJEMPLO

4 Resuelve la ecuación de primer grado: 4x - 8 = 6 + 2x

4x - 8 = 6 + 2x " Pasamos -8 al 2.o miembro

" 4x = 6 + 2x + 8 " Pasamos +2xal 1.er miembro

Pasa como +8 Pasa como -2x

" 4x - 2x = 6 + 8 " Operamos " 2 x = 14

Pasa dividiendo

" Pasamos 2 al 2.o miembro " x

214

7= =

F F

F

6 Determina el valor de x para que: x x2 6- =-

9 Indica si el paso es correcto o no.

a) 2x + 5x = 2x + 4 " 5x = 4b) 3x - 5 = x - 9 " 4x = -4


8 Resuelve estas ecuaciones.

a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3b) 3x - 5 = 2x + 4 + x - 9c) 3x + 8 = 5x + 2d) 4x - 5 = 3x - 2 + x - 5

62

301386 _ 0058-0073.indd 62 21/07/11 9:50



• Propiedaddistributivarespectodelasuma:

( )? ? ?a b c a b a c+ = +

3 (5 8) 3 5 3 8 15 24 39? ? ?+ = + = + =

2 ( 5) 2 ( 2) 5 2 10? ? ?x x x- + =- + - =- -

• Propiedaddistributivarespectodelaresta:

( )? ? ?a b c a b a c- = -

3 (5 8) 3 5 3 8 15 24 9? ? ?- = - = - =-

( ) ( )? ? ?x x x2 5 2 2 5 2 10- - =- - - =- +

Cómo se resuelven ecuaciones con paréntesis

Para resolver ecuaciones con paréntesis debemos seguir estos pasos:

1.º Eliminamos los paréntesis.

2.º Agrupamos los términos con la incógnita en un miembro y los términos numéricos en el otro.

3.º Reducimos términos semejantes, si los hubiera.

4.º Despejamos la incógnita y hallamos su valor numérico.

EJEMPLO

2 Resuelve esta ecuación:4(x - 3) + 40 = 64 - 3(x - 2)

• Eliminamos los paréntesis. 4(x - 3) + 40 = 64 - 3(x - 2) 4x - 12 + 40 = 64 - 3x + 6• Agrupamos términos:

– Agrupamos los términos con la incógnita en el primer miembro. 4x + 3x = 64 + 6 + 12 - 40– Agrupamos los términos

numéricos en el segundo miembro.• Reducimos los términos semejantes. 7x = 42

• Despejamos la incógnita. x x742

6= ="


a) ( )x x2 3 5 3 1- - = +

b) 5( 2) 2 3x x x- - - =

11 Resuelve.

a) x - 5(x - 2) = 6xb) 120 = 2x - (15 - 7x)


7 Resuelve estas ecuaciones con paréntesis.

a) 2( 5) 6 2 4x x- + = -

b) 3( 2) 2 4x x x+ - = -

c) 2 3( 2) 2 7x x x- + - = -

d) 5 3( 2) 2( 5)x x x- + - = -

e) ( ) ( )x x2 1 3 2 2 0- - - =

63

301386 _ 0058-0073.indd 63 21/07/11 9:50


Cómo se calcula el mínimo común múltiplo

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor

exponente.3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números.

3.2 Método de resolución de ecuaciones de primer gradoUna forma general para resolver ecuaciones de primer grado es seguir es-tos pasos:

1.o Eliminamos los denominadores: calculamos el m.c.m. de los de-nominadores y multiplicamos los dos miembros por él.

2.o Quitamos los paréntesis: aplicando la propiedad distributiva.3.o Agrupamos los términos con x en uno de los miembros, y los nú-

meros, en el otro: utilizamos la transposición de términos.4.o Reducimos términos semejantes.5.o Despejamos la incógnita.6.o Comprobamos la solución: sustituimos la x por la solución en

ambos miembros y operamos. El resultado debe ser idéntico.

EJEMPLO

5 Resuelve la ecuación ( )x x x4

3 232

4- -

+ = .

• Quitamos denominadores. m.c.m. (4, 3) = 12

• Eliminamos paréntesis.

• Agrupamos términos.

• Reducimos términos.

• Despejamos la incógnita.

• Comprobamos la solución.

( )

? ? ?x x x

124

3 212

32

12 4- -

+ =

3(3x - (x - 2)) + 4 ? 2x = 48

3(3x - x + 2) + 8x = 48 9x - 3x + 6 + 8x = 48

9x - 3x + 8x = 48 - 6

14x = 42

x1442

3= =

Para x = 3 " ( )? ?

43 3 3 2

32 3

4 4 4- -

+ = ="

La solución de la ecuación es x = 3.

Si al quitar un paréntesis, el signo

que le precede es negativo, se cambia el signo en todos los términos de su interior.

2 – (x – 5) = 2 – x + 5


a) ( ) ( )x x3

4 16

2 35

--

-=

b) ( ) ( )

xx x

x265

83 4

7 3++

-+

= -


12 Calcula el valor de x.

a) x x22

33+

=+

b) x x2 5

2 75-

+=

64

301386 _ 0058-0073.indd 64 21/07/11 9:50


Cuál es la raíz cuadrada de un número

La raíz cuadrada de un número es otro número tal que, elevado al cuadrado, es igual al primero: a b= , si b a2 =

• Laraízcuadradadeunnúmeronegativonoexiste.Noexisteningúnnúmero que, al elevarlo al cuadrado, sea un número negativo.

( 3) 92- = 3 92 =

• Laraízcuadradadeunnúmeropositivosiempretienedossoluciones,una positiva y otra negativa.

4 416 y ,=+ - porque 4 16 ( 4) 16y2 2= - =

Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado utiliza-mos la fórmula:

xa

b b ac2

42!- -=

El doble signo ! indica que pueden existir dos soluciones:

xa

b b ac2

41

2

=- + -

xa

b b ac2

42

2

=- - -

Cuando una ecuación tiene dos soluciones, las designamos como x1 y x2 para distinguirlas.

EJEMPLO

6 Resuelve la ecuación x2 - 5x + 6 = 0.

x2 - 5x + 6 = 0 " a = 1, b = -5, c = 6. Aplicamos la fórmula:

( ) ( )?

? ?x

ab b ac

24

2 15 5 4 1 62 2! !

=- -

=-- - -

=

x

25 25 24

25 1 2

5 126

3

25 1

24

1

2

! !=

-= =

=+

= =

-x 2= = =

*

Esta ecuación tiene dos soluciones: x1 = 3 y x2 = 2.

15 Resuelve.

c) 2x2 - 8x + 8 = 0 d) x2 - 9x + 14 = 0


15 Resuelve.

a) x2 - 7x + 12 = 0 b) x2 - 9x + 18 = 0

Ecuaciones de segundo grado4

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax2 + bx + c = 0, sien-do a, b y c números reales y a ! 0.

Para representar que una ecuación tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa, se utiliza el signo !.

El coeficiente de cada término es el número,

incluido su signo.

SE ESCRIBE ASÍ

65

301386 _ 0058-0073.indd 65 21/07/11 9:50

EJEMPLO

3 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) x3 27 02- = " , ,a b c3 0 27= = =- . Aplicamos la fórmula:

( )?

? ?x

ab b ac

x

x

24

2 30 0 4 3 27

6324

618 6

183

618

3

2 2

1

2

! !

! !

=- -

=- -

=

= = =

= =

=-

=-*

Esta ecuación tiene como soluciones: x x3 3y1 2= =- .

b) x x3 2 02- = " , ,a b c3 2 0= =- = . Aplicamos la fórmula:

( ) ( )

2 2 2

?

? ?x

ab b ac

24

2 32 2 4 3 0

64

66

2 264

32

62 2

2 2

1

2

!

!

!

!

=- -

=-- - -

=

= = =

+

-

x = = =

x 0= =

*

Esta ecuación tiene como soluciones: x x32

0y1 2= = .

c) x7 02 = " , ,a b c7 0 0= = = . Aplicamos la fórmula:

?

? ?x

ab b ac

24

2 70 0 4 7 0

140

02 2! !

=- -

=-

= =

Esta ecuación tiene una única solución: x = 0

4.3 Número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Al número b2 - 4ac se le denomina discriminante, y se representa por D.• Si D = b2 - 4ac > 0. La ecuación tiene dos soluciones distintas.• Si D = b2 - 4ac = 0. La ecuación solo tiene una solución.

• Si D = b2 - 4ac < 0. No existe la raíz cuadrada b ac42 - y, por tanto, la ecuación no tiene solución.

EJEMPLO

11 Estudia el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x2 + 5x + 6 = 0 " a = 2, b = 5, c = 6D = b2 - 4ac = 52 - 4 ? 2 ? 6 = 25 - 48 = -23 < 0

Como D < 0, la ecuación no tiene solución.

b) 2x2 + 5x + 1 = 0 " a = 2, b = 5, c = 1D = b2 - 4ac = 52 - 4 ? 2 ? 1 = 25 - 8 = 17 > 0

Como D > 0, la ecuación tiene dos soluciones.

Cualquier fracción con numerador 0 es siempre 0.

05

= 0 – 014

= 0

Cuando la ecuación de segundo grado tiene una solución decimos que es una solución doble.

SE ESCRIBE ASÍ

10 ¿Cuántas soluciones tiene x2 - 7x - 12 = 0?


9 Resuelve. a) x2 - 9 = 0 b) x2 + 7x = 0

66

301386 _ 0058-0073.indd 66 21/07/11 9:50

Resolver un problema mediante una ecuación es traducirlo al lenguaje algebraico y encontrar su solución.

En general, hay que seguir estos pasos:

1.o Identificamos la incógnita.2.o Planteamos la ecuación.3.o Resolvemos la ecuación.4.o Comprobamos que la solución obtenida es válida, e interpreta-

mos la solución en el contexto del problema.

EJEMPLO

12 Tenemos 24 flores y vamos a hacer dos ramilletes. Queremos que uno tenga el triple de flores que el otro. ¿Cuántas flores tendrá cada ramillete?

• Identificamos la incógnita.

Para ello hay que distinguir entre los datos que conocemos y los que no.

Incógnita (x) " Número de flores del ramillete menor

• Planteamos la ecuación.

Flores del ramillete menor " xEl ramillete mayor tiene el triple de flores que el menor " 3xEntre los dos tienen 24 flores " x + 3x = 24

• Resolvemos la ecuación.

x + 3x = 24 " 4x = 24 " x4

246= =

• Comprobamos e interpretamos la solución.

COMPROBACIÓN:

x + 3x = 24 x = 6" 6 + 3 ? 6 = 24 " 6 + 18 = 24 " 24 = 24

La solución de la ecuación es válida.

INTERPRETACIÓN: El ramillete menor tendrá 6 flores, y el mayor, 3 ? 6 = 18.

Resolución de problemascon ecuaciones5

24 flores en dos ramilletesUn ramillete con el triple de flores que el otro

Flores del ramillete menor Flores del ramillete mayor

Lo que sabemos… Lo que no sabemos…

14 Enlareuniónhabía22personas,entrehombresy mujeres.Sieran5mujeresmásque hombres,¿cuántoshombreshabía?

15 Cuando voy al colegio paso primero por casa de miamigaNatalia.Desdesucasanosmarchamoslas dos juntas al colegio y tardamos 12 minutos. SidesdemicasahastalacasadeNataliatardo 5 minutos menos que en ir desde la casa de Nataliaalcolegio,¿cuántotiempotardoentotal?


11 Siaunnúmerolesumamos3,obtenemoscomoresultado 24. ¿De qué número se trata?

12 Un número más su mitad es igual a 12. ¿Qué número es?

13 El doble de un número más ese mismo número es igual a 9. ¿Cuál es ese número?

28 Lasumadedosnúmeroses48.Siunoesla mitad del otro, ¿qué números son?

67

301386 _ 0058-0073.indd 67 21/07/11 9:50


Ecuación de segundo grado con una incógnita

ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números reales y a ! 0.

Solución:

xa

b b ac2

42!=- -

• Si 4 0b ac >2- " Dos soluciones.

• Si 4 0b ac2- = " Una solución.

• Si 4 0b ac <2- " No tiene solución.

Ecuación

Ecuación de primer grado con una incógnita

ax + b = 0, con a y b números reales y a ! 0.Solución:

xab

=-

3x2 + 4x = 12

Términos Término independiente

2.o miembro1.er miembro

" Incógnita: x

2. RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Resuelve estas ecuaciones.a) -x2 - 3x + 4 = 0 c) 3x2 + 12x = 0b) 3x2 - 12 = 0

PRIMERO. Identificamos los coeficientes.a) a = -1, b = -3, c = 4b) a = 3, b = 0, c = -12c) a = 3, b = 12, c = 0

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula que resuelve una ecuación de segundo grado.

a) ( )

( ) ( ) ( )?

? ?x

2 13 3 4 1 42!

=-

-- - - -=

xx2

3 25 41

1

2

!=

-=

=-=

)

b) 2 3

0 4 3 ( 12)?

? ?x

0!=

- -=

xx6

144 22

1

2

!= =

==-

)

c) 2 3144 4 3 0

?

? ?x

12!=- -

=

xx6

12 144 04

1

2

!=-

===-

)

1. RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resuelve la siguiente ecuación:

xx

x9

2 43

2+- =-

-

PRIMERO. Quitamos los denominadores reduciendo a común denominador. m.c.m. (3, 9) = 9

xx

x9

92 4

93

2+- = -

-e eo o

SEGUNDO. Eliminamos los paréntesis.

2x + 4 - 9x = -3(2 - x)2x + 4 - 9x = -6 + 3x

TERCERO. Agrupamos los términos, las x en un miembro y los números en el otro.

4 + 6 = 3x - 2x + 9x

CUARTO. Reducimos los términos semejantes.

10 = 10x

QUINTO. Despejamos la x.

10 = 10x

x1010

1= =


68

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3. ESTUDIAR EL NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Estudia el número de soluciones que tienen estas ecuaciones.

a) 2x2 - 7x + 3 = 0 c) x2 - 2x + 1 = 0

b) 2x2 + 3 = 0

PRIMERO. Identificamos sus coeficientes. a) a = 2, b = -7, c = 3b) a = 2, b = 0, c = 3c) a = 1, b = -2, c = 1

SEGUNDO. Calculamos el discriminante.a) D = b2 - 4ac = (-7)2 - 4 ? 2 ? 3 = 25b) D = b2 - 4ac = 02 - 4 ? 2 ? 3 = -24c) D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4 ? 1 ? 1 = 0

TERCERO. Estudiamos el valor del discriminante.• Si D < 0 " La ecuación no tiene solución.• Si D = 0 " La ecuación tiene

una solución.• Si D > 0 " La ecuación tiene dos

soluciones.a) D = 25 > 0 " Dos soluciones.b) D = -24 < 0 " No tiene solución.c) D = 0 " Una solución.

4. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

En una granja se estima que el año que viene habrá el doble de conejos que este año. Sumandolosconejosquetenemosesteañomáslosquehabráelañoquevienetendría132conejos. ¿Cuántos conejos tengo?

PRIMERO. Identificamos la incógnita.

Lo que sabemos…Lo que no sabemos…

El doble de conejos, el año que viene. Los conejos de este año más los del año que viene son 132

Conejos de este año

Incógnita (x) " Conejos de este año

SEGUNDO. Planteamos la ecuación.

Conejos de este año " xConejos del año que viene " 2xLos de este año más los del que viene " x + 2xLos de este año más los del que viene son 132:

x + 2x = 132

TERCERO. Resolvemos la ecuación.

2 132 3 132 44x x x x+ = = =" "

CUARTO. Comprobamos la solución.

44 2 44 132?+ = " La solución es válida.

Y AHORA… PRACTICA


1. Determina los miembros, los términos y las incógnitas de estas ecuaciones.

a) 3 4 4( 1)x x- = -

b) 7 1 2( 1)x x x2 2- + - =- -

Resolver ecuaciones de primer grado

2. Halla la solución de esta ecuación:

xx x

122

33

0- --

+-

=

Resolver ecuaciones de segundo grado

3. Resuelve estas ecuaciones. a) 3x2 + 3x - 6 = 0 c) 28x2 - 4x = 0b) 5x2 + 20 = 0 d) -3x 2 = 0

Estudiar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado

4. Halla el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.a) x2 - x + 1 = 0 b) -x2 + 2x = 0 c) 5x2 - 30 = 0d) 7x2 = 0

Resolver problemas mediante ecuaciones

2. Obtén un número tal que la suma de ese número y su número siguiente sea 13.

5. Halla tres números naturales consecutivos cuya suma sea 60.

69

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ActividadesELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN

16. ● Identifica los elementos de las siguientes ecuaciones.

EcuaciónPrimer

miembroSegundomiembro

Incógnitas

x 3 8- =

x3 8- =

31

2x

x+

= -

5 7 8x x2- + =

8 5 8x y- =

17. ● Escribe ecuaciones de primer grado con una incógnita que cumplan cada una de estas características.

a) Con el primer miembro igual a 4 + x.

b) Con el segundo miembro igual a -5x + 3.

c) Con el término independiente igual a -6.

d) Con el primer miembro igual a -3x - 2, y el segundo miembro igual a 7.

18. ● Escribe ecuaciones de segundo grado con una incógnita que cumplan cada una de estas características.

a) Con el primer miembro igual a 4 + x.b) Con el segundo miembro igual a -5x + 3.c) Con el término independiente igual a -6.

19. ●● Escribe ecuaciones que cumplan las siguientes características.

a) Con una incógnita, un término en el primer miembro y cuyo segundo miembro sea 24.

b) Con una incógnita, dos términos en el primer miembro y un número en el segundo.

c) Con una incógnita al cuadrado en el segundo miembro y dos términos en el primero.

20. ●● Decide cuáles de estas ecuaciones tienen como solución x = 12.

a) x - 1 = 6 e) 2

8x

=

b) 2x = 26 f) x2

4 2+ =

c) 2x - 7 = 35 g) 3 9x2+ =

d) 3x - 2x = 12 h) x4

2 11=-

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

45. ● Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones tienen como solución x = 6.

a) 4x = 24 d) 3x = 32b) 8x = 12 e) -x = -6

c) x34

- = f) x438

=

46. ● Escribe dos ecuaciones en cada caso.

a) Que tengan como solución x = 3.b) Que tengan como solución x = -2.c) Cuya solución sea x = 5.d) Cuya solución sea x = -1.

47. ● Resuelve.

a) 10 - x = 3 b) 9 + x = 2c) -12 - x = 3d) 16 + 3x = -12e) 4x + 5 = 11f) 3x + 7 = 14g) -5 + 20x = 95h) -9 - 11x = 2

48. ● Halla la solución de estas ecuaciones.

a) 4x + 5 = -3x + 12b) 3x + 7 = 2x + 16c) 5 + 20x = 7 + 12xd) 6x + 40 = 2x + 50e) -3x - 42 = -2x - 7f) 3x - 50 = 10 - 2xg) 9x + 8 = -7x + 16h) -5x - 13 = -2x - 4i) 9x - 8 = 8x - 9

49. ●● Corrige los errores en la resolución de la ecuación.

5x - 3 = 71.o Transponemos términos. 5x = 7 + 32.o Reducimos términos. 5x = 10

3.o Despejamos la x. x = 10–5

= –2

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21. ● Reduce los términos semejantes de estas ecuaciones, tal y como se indica en el ejemplo.

3(8 3) 4 5 524 9 4 5 5

28 9 5 528 9 5 5 0

23 4 0

x x xx x x

x xx x

x

- + = -- + = -

- = -- - + =

- =

a) 5( 1) 2 6x x x- + = -

b) 5 3(2 4) 4 2x x x+ - = -

c) 3 4(7 ) 4x x- + - =

d) 5 x = 5 (5 - 2x) - 9e) 3 2(4 1) 7 2x x- - = -

50. ● Resuelve.

a) 6 (x + 11) = 40 + 6 (x + 2)b) 2 (x - 17) = x - 3 (12 - 2x)c) x - 5 (x - 2) = 6d) 120 = 2x - (15 - 7x)e) 5 (x + 4) = 7 (x - 2)f) 3 (x + 7) - 6 = 2 (x + 8)

51. ● Resuelve estas ecuaciones.

a) x204

3= c) x

32

4-

= e) x39

5=-

b) x63

21=- d) x4

728= f)

x23

25-

=-

52. ● Resuelve.

a) x

52

1-

= c) x

x23

20 25+ = +

b) x6

3 157

+=- d)

xx

43

1 12 3- = -

53. ● Calcula el valor de x.

a) x x53

762

9+ = +

b) x

x32

5 46+

= -

c) xx x

54

12

-+

= +

d) x x

28

64

2+

--

=

e) x x x55

28

22 10

3-

+-

+-

=

f) x x x

210

420

330

5-

--

--

=

54. ● Obtén la solución de estas ecuaciones.

a) ( )x x

32 10

43 12

1-

--

=-

b) ( )x

x5

3 33 4 2

- -= - +

c) x x

x5

2 54

120

-+

+= -

d) ( )x

xx

73

143 2 1-

- =+ -

e) ( )x

xx

104 6

2 2112

3 1-+ = -

+

56. ●● ¿Está bien resuelta esta ecuación? Corrige los errores que se han cometido.

xx

x7

4 22

41-

= --

1.o Se calcula el m.c.m. m.c.m. (7, 4) = 282.o Se multiplica por 28. 4 (4x - 2) = 2x - 7 (x - 1)3.o Se eliminan paréntesis. 16x - 2 = 2x - 7x - 74.o Se transponen

términos. 16x - 2x + 7x = -7 + 25.o Se reducen términos. 15x = -5

6.o Se despeja x. x = 5

15-

= -3

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

59. ● Resuelve las ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula general.

a) x2 - 5x + 6 = 0 e) x2 - 2x + 1 = 0b) 2x2 - 4x + 13 = 0 f) 7x2 - 3x + 1 = 0c) x2 + 8x + 16 = 0 g) -x2 - 4x + 5 = 0d) 3x2 + 2x - 16 = 0

60. ●Sinresolverlas,averiguaelnúmerode soluciones de estas ecuaciones.

a) x2 + 5x + 6 = 0 e) x2 + 8x + 16 = 0b) -2x2 - 6x + 8 = 0 f) 2x2 - 4x + 13 = 0c) x2 - 8x + 16 = 0 g) 7x2 - 3x + 1 = 0d) -x2 + x + 1 = 0

22. ● Reduce los términos semejantes de estas ecuaciones de segundo grado.

a) 2 3x x x 52 2+ = -

b) 5 3x x x5 2 32+ - = -

c) 3 4 6 2x x x x7 22 2- + + = - +

71

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HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE PUEDE RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON b = 0?

23. Resuelve la ecuación 2 18 0x2- = .

PRIMERO. Se deja la x2 en un miembro y los números en el otro, y se despeja.

2 18 0 2 182

189x x x2 2 2- = = = =" "

SEGUNDO. Las soluciones son la raíz cuadrada del número con signo positivo y con signo negativo.

9 9 3x x2 != = ="

Las soluciones son: x1 = 3 y x2 = -3.

24. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.

a) 25 0x2- = c) 36 36 0x2- =

b) 2 128 0x2- = d) 49 0x2- + =

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE PUEDE RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON c = 0?

25. Resuelve la ecuación x x3 0122- = .

PRIMERO. Se saca factor común a x.

( )x x x x3 0 3 012 122- = - ="

SEGUNDO. Se iguala a 0 cada uno de los factores.

(3 12) 00

312x x

x- =

=

" 3 12 0 4x x- = = ="*

Las soluciones son: x1 = 0 y x2 = 4.


a) 4 20 0x x2- = c) 6 0x x2- =

b) 5 30 0x x2+ = d) 8 0x x2- + =

61. ● Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) x2 - 1 = 0 d) x2 + 8x + 16 = 0b) x2 + 2x = 0 e) x2 - x - 2 = 0c) x2 - 4x + 4 = 0 f) x2 = 7x - 12


a) x2 - 8 = 0 e) -8x2 - 24x = 0b) 2x2 + 50 = 0 f) -x2 - x = 0c) 3x2 + 75x = 0 g) x2 - 1 = 0d) x2 - 16 = 0 h) 4x2 - 2x = 0

63. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 7x2 = 63 g) x2 + 1 = 45

b) x2 - 24 = 120 h) x2 - 36 = 100c) x2 - 25 = 0 i) 2x2 - 72 = 0d) x2 = 10 000 j) 5x2 - 3 = 42e) x2 - 3 = 22 k) 9x2 - 36 = 5x2

f) 5x2 - 720 = 0 l) 2x2 + 7x - 15 = 0

64. ● Resuelve.

a) x2 - 7x = 0 f) 3x2 - 12x = 0b) x2 + 3x = 0 g) 3x = 4x2 - 2xc) x2 - 25x = 0 h) 4x2 = 5xd) x2 - 10x = 0 i) 25x2 - 100x = 0e) 16x(x - 5) = 0 j) 6x2 - 6x = 12x

¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONESEN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A CERO?

14. Resuelve la ecuación (x - 1)(x + 2) = 0.

Para que un producto de varios factores valga cero, al menos uno de los factores ha de ser cero.PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores.

(x - 1)(x + 2) = 0 " xx

1 02 0

- =+ =

(

SEGUNDO. Se resuelven las ecuaciones resultantes.

(x - 1)(x + 2) = 0 " x xx x

1 0 12 0 2

- = =+ = =-

""

(

La ecuación tiene dos soluciones: x1 = 1 y x2 = -2.

HAZLO ASÍ

66. ●● Calcula sin aplicar la fórmula general.

a) (x + 2)(x - 2) = 0b) (x - 3)(x + 3) = 0

c) (x + 3)(2x - 5)x

52

0- =e o

d) (x - 5)2 = 0e) (x - 2)2 + x = x

f) xx43

54

02

- =e o

67. ●● Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) (x + 1)(x - 3) + 3 = 0b) (x + 9)(x - 9) = 3 (x - 27)c) x (3x - 2) = 65d) 4x - (x2 - 4) = 2x - 4e) (2x + 3)(2x - 3) = 135

72

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PROBLEMAS CON ECUACIONES

71. ●● Encuentra dos números consecutivos que sumen 51.

72. ●● Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 10.

73. ●● Encuentra un número tal que, al sumarle 4, resulte el doble del número menos una unidad.

27. ●● Un número es el doble que otro número. Si sumamosambosnúmerosyobtenemos33,¿de qué números estamos hablando?

28. ●● Un número más la mitad de ese número suman 24. ¿Cuál es ese número?

29. ●●Sialdobledeunnúmerolerestamos5 unidades, el resultado coincide con ese número menos 2 unidades. ¿De qué número se trata?

30. ●● Arturo tiene 25 cromos más que Pablo, y entre los dos tienen 72 cromos. ¿Cuántos cromos tiene Arturo?

31. ●●Lucíatieneeldoblededineroquesuhermana,y entre las dos tienen 32 €. ¿Cuánto dinero tiene Lucía?¿Ysuhermana?

32. ●● En una granja hay cuatro veces más vacas quecaballos.Sienlagranjahayuntotal de 50 animales, ¿cuántas vacas son?

76. ●● Una bodega exportó en enero la mitad de sus barriles, y a los dos meses, un tercio delosquelequedaban.¿Cuántosbarrilesteníaal comienzo si ahora hay 40 000 barriles?

33. ● SilaedaddeTomásesx años, expresa:

a) La edad que tendrá dentro de 5 años.b) La edad que tenía hace 3 años.c) La edad que tendrá el año que viene.d) La edad que tenía el año pasado.

34. ● SilaedaddeTomásesx años, ¿qué representan las siguientes expresiones?

a) x + 8 = 19 b) x - 8 = 3 c) 2 (x + 8) = 38

78. ●● Miguel tiene 4 años más que su primo Ignacio y, dentro de 3 años, entre los dos sumarán 20 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

79. ●● ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12 años tendréeltripledelaedadqueteníahace6años?

80. ●●●Lucíatienetreshijos.El pequeño tiene la mitad de años que el mediano, y este tiene 6 años menos que el mayor. Calcula las edades de los tres, sabiendo que la suma de sus edades actuales es igual a la edad de su prima Ana, que es 12 años mayor que el hermano pequeño.

¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMASDE EDADES MEDIANTE ECUACIONES?

77. El perro de Álex tiene 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Álex tendrá el triple de la edad de su perro. ¿Cuáles son sus edades?

PRIMERO. Se plantea el problema.

Dentro de 4 años, la edad de Álex será el triple que la del perro: x + 4 = 3 (x - 8)

SEGUNDO. Se resuelve la ecuación.x + 4 = 3 (x - 8) " x + 4 = 3x - 24

" 28 = 2x " x = 14

TERCERO. Se comprueba la solución.Álex tiene 14 años, y su perro, 14 - 12 = 2 años. En 4 años, Álex tendrá 18 y su perro, 6 años, 18 = 6 ? 3.

HAZLO ASÍ

Edad de Álex

xActualmente

Edad del perro

x - 12

x + 4Dentro de 4 años x - 12 + 4 = x - 8

73

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5Una clase improvisada

Estar invitado a la «fiesta de la Primavera», que cada año se celebraba en el palacio del maharajá, era un honor reservado tan solo a los personajes más influyentes.

Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane, coincidieron en reconocer que el maharajá era muy generoso al enviar a su séquito para llevarlos a palacio.

El joven ayudante pasó la mitad del camino quejándose de las disciplinas que tenía que estudiar:

–Maestro, ¿por qué tengo que estudiar álgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incógnitas… Y que la incógnita pueda ser cualquier cosa es antinatural.

Brahmagupta tomó la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explicó a su discípulo la utilidad del álgebra:

–Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharajá, y la cruz coronada de cuatro círculos no es solo un dibujo, es el símbolo de la ciudad. En matemáticas lo más sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con números y, después, interpretar el resultado.

Tras estas palabras, maestro y discípulo permanecieron en silencio durante el kilómetro que faltaba para llegar a palacio.

Sistemas de ecuaciones

1. Brahmagupta es uno de los más importantes matemáticos indios. Investiga sobre su vida y sus aportaciones a las matemáticas.

2. ¿Qué representa la estrella en la frente del elefante? ¿Y la cruz coronada de cuatro círculos? Busca otros símbolos de la cultura hindú.

3. Busca información sobre las aportaciones de Brahmagupta al álgebra.


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• Identificar sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolver un sistema de ecuaciones.

• Plantear y resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones.

PLAN DE TRABAJO

ECUACIONES

Elementos de una ecuación

Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a cada lado de la igualdad y cada sumando se llama término.

Las letras que aparecen en cada término son las incógnitas, y los números por los que están multiplicadas se denominan coeficientes.

Los términos sin letras son los términos independientes.

Soluciones de una ecuación

Los valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones.

Para comprobar si un valor es solución de una ecuación sustituimos las incógnitas por esos valores y operamos.

El valor es solución si se obtiene el mismo resultado en ambos miembros.

El valor x = 2 es solución de la ecuación x - 5 = -3 porque:

x 5 3- =- x = 2" 2 5 3

3 3- =-- =-

Se obtiene una igualdad (-3 = -3), luego 2 es solución de la ecuación.

Sin embargo, x = 3 no es solución de la ecuación x - 5 = -3 porque:

x 5 3- =- x = 3" 3 5 3

2 3!

!

- -- -

Se obtiene una desigualdad (-2 ! -3); por tanto, 3 no es solución de la ecuación.

En una ecuación, solo algunos valores

de las incógnitas son solución.

1.er miembro 2.° miembro

5x - 7 = 2x + 3x Término Término Término Término independiente

EVALUACIÓN INICIAL

1 Determina los miembros, los términos, las incógnitas, sus coeficientes y los términos independientes de estas ecuaciones.

a) 4x + 5 = -3x d) 4x + 5y = -3xb) 4x + 5 = -3 e) 4x + 5 = -3yc) 4x + 5 = -3x + 2 f) 4x + 5y = -3x + 2y

2 Halla para qué ecuaciones es solución x = -1.

a) x + 5 = -1 c) x + 5 = -2x + 2b) x + 5 = -4x d) x + 5 = x + 3

3 Evalúa cuáles de los siguientes valores son solución de la ecuación-2x - 5 = 3x + 15.

a) x = -1 c) x = 0b) x = -4 d) x = -10

75

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Ecuaciones lineales1


Cuáles son el número de incógnitas y el grado de una ecuación

• Elnúmero de incógnitas de una ecuación es el número de letras distintas que aparece en la ecuación.

2 3 2 0x x2- + = " Ecuación con 1 incógnita2 3 2 0x y2- + = " Ecuación con 2 incógnitas

• Elgradodeuntérminodeunaecuacióneslasumadelosexponentesdelas letras que lo forman. El grado de una ecuación es el mayor grado de sus términos.

x y3 5+ = "Grado 1Grado 1 Grado 0U SS " Ecuación de primer grado con 2 incógnitas

x x2 3 2 02 - + = "2 1 0 0Grado Grado Grado Grado

W U S S Ecuación de segundo grado con 1 incógnita

Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal.• Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se

puede expresar de la forma ax + by = c, donde x e y son las incógnitas, y a, b y c son números reales. Decimos que a y b son los coeficientes de x e y, respectivamente, y c es el término inde-pendiente.

• Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores, uno para cada incógnita, que hacen cierta la igualdad.

• Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

EJEMPLO

1 Evalúa si 2x - y = 1 es una ecuación lineal, y determina si x = 0

e y = -1 es solución de la ecuación.

2x - y = 1 " Ecuación lineal con dos incógnitas, x e y. Coeficiente de x " a = 2 Coeficiente de y " b = -1 Término independiente " c = 1

El par de valores x = 0, y = -1 hace cierta la igualdad:

2x - y = 1 x = 0, y = -1

" 2 ? 0 - (-1) = 1 " 1 = 1

Por tanto, el punto (0, -1) es solución de la ecuación.

Para que una ecuación sea lineal tiene

que tener grado 1. x + 3 = 0 " Ecuación lineal

con 1 incógnitax + y = 0 " Ecuación lineal

con 2 incógnitasxy + 3 = 0 " Ecuación

de grado 2, no es lineal

2 Determina si los siguientes pares de valores son solución de la ecuación 3x - 2y = -1.a) x = 1, y = -1 b) x = -1, y = -1

3 Calcula tres soluciones para estas ecuaciones.a) x - 4y = 2 b) 4x - 4y = 8


1 Identifica cuáles de estas ecuaciones son lineales.

a) 5x - 7 = 4 d) 3x = 7 + 4yb) 4 - 2y = 6 e) 2x2 - 7y = 12c) -2x + y = 5 f) 4x + 2y = 5xy

76

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Sistemas de ecuaciones lineales2

Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común:

yaxx

byb

cc+

==

+al l l

4 forman un sistema de ecuaciones lineales.

Una solución del sistema es cualquier par de números que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar su solución.

EJEMPLOS

1 Determina cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones son sistemas de ecuaciones lineales.

a) 83 2x yx y

2+ =- = "3

No es un sistema de ecuaciones lineales. La primera ecuación es de segundo grado.

b)

7 03 2xyx y+ =- = "3

No es un sistema de ecuaciones lineales. La primera ecuación es de segundo grado.

c) x yx y

7 03 2+ =- = "3 Es un sistema de ecuaciones lineales.

2 Evalúa cuáles de los pares de valores son solución del sistema de ecuaciones lineales:

0x y+ =

4 3 7x y- =3

a) x = 1, y = -1 b) x = 1, y = 3 c) x = 2, y = -2

a) 0x y+ =

4 3 7x y- =3

x = 1, y = -1"

( )1 1 0 0 0+ - = ="( )? ?4 1 3 1 7 7 7- - = =3 2

Como obtenemos dos igualdades, x = 1, y = -1 es solución del sistema.

b) x y 0+ =

x y4 3 7- =3

x = 1, y = 3"

? ?1 3 0

4 1 3 3 74 05 7

!

!

!

!

+- -"

2 2

Como obtenemos dos desigualdades, x = 1, y = 3 no es solución.

c) x yy

0+ =

x4 3 7- =3

x = 2, y = -2"

( )( )? ?

2 2 04 2 3 2 7

0 014 7! !

+ - =- -

="3 2

Como obtenemos una desigualdad, x = 2, y = -2 no es solución.

5 Determina si los valores x = -1, y = 3 son solución de estos sistemas de ecuaciones.

a) x y2 5- =-

x y2 3 11- =-3 b) 4 13x y- + =

2 8x y- + =3

6 ¿De cuál de los siguientes sistemases solución (8, 4)? ¿Y (10, 2)? ¿Y (3, 1)?

a) x yx y

124

+ =- =

3 b) x

x yy2 4 10

3 8+ =- =

3


4 Observa los siguientes sistemas de ecuaciones y determina cuáles de ellos son lineales.

a) 2 3x y- =

2 3 3x y- =3 d) 8 0x xy+ =

2 0x y- + =3

b) 0x y2+ =

5 7x y- =3 e) 4 2 1x y= +

3 5x y- =3

c) 5 7 4x y2

2

- =

4 8 1x y+ =-4 f) 2

14 2 0

9

x y

x y

+ + =

- =4

77

301386 _ 0074-0087.indd 77 21/07/11 9:47

Métodos de resolución de sistemas


Cómo se realizan algunas operaciones con monomios y polinomios

• Dosmonomios son semejantes si tienen la misma parte literal.5y y -2y son semejantes. 2x y 2y no son semejantes.

• Lasuma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y manteniendo la misma parte literal.

y + 4y = (1 + 4)y = 5y 2x - 7x = (2 - 7)x = -5x

Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja indicada.2y - 7x " Losmonomiosnosonsemejantes,nosepuedenrestar.x + 2y " Losmonomiosnosonsemejantes,nosepuedensumar.

• Paramultiplicar un número por un polinomio, multiplicamos el número por cada uno de los términos del polinomio.

3(4x - 5y + 7) = 3 ? 4x - 3 ? 5y + 3 ? 7 = 12x - 15y + 21

Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado sencillas

Pararesolverunaecuaciónagrupamosenunmiembrotodoslostérminosconlaincógnita.Paraelloutilizamoslassiguientesreglas:

• Siuntérminoestásumandoenunmiembro,pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando.

• Siuntérminoestámultiplicandoenunmiembro,pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.

Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay números, diremos que hemos despejado la x. Su valor numérico es la solución de la ecuación.

EJEMPLO

3 Resuelve la ecuación de primer grado: 9 1 3 5x x+ = -

9 1 3 5 9 1 3 5 9 3 5 1x x x x x x+ = - + - =- - =- -" "

F F

Pasa como -3x Pasa como -1

6 666

1x x=- =-=-"

F

Pasa dividiendo

3Monomio

2x 2F

FCoeficiente

Parte literal

7 Realiza la siguiente multiplicación:

( 4) (3 2 4)? x y- - +


a) 3x + 2 = 8 b) 3x + 2 = 8 + 2x


6 Resuelve, si se puede, las sumas y restas de monomios.

a) 3x + 2y d) -3x - 2y b) 3y + 2y e) 3y - 2yc) 3x + 2x - 3 f) 3x - 2x - 3

78

301386 _ 0074-0087.indd 78 21/07/11 9:47

3.1 Método de sustitución


Cómo se despeja una incógnita en una ecuación de dos incógnitas

Despejar una incógnita en una ecuación con varias incógnitas consiste en aislar una de las letras en un miembro, y el resto, letras y números, en el otro miembro.

EJEMPLO

4 Despeja x en las siguientes ecuaciones.

a) 2 5x y+ = " " 5 2x y= -

b) 2 5x y- - = " 2 5 2 5y x x y- - = =- -"

c) 3 2 5x y+ = " " 3 5 2x y xy

35 2

= - =-

"

Resolver un sistema por el método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

EJEMPLO

4 Resuelve el sistema aplicando el método de sustitución: x - 3y = 3

2x - 3y = 42

• Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones.Es mejor despejar una incógnita con coeficiente 1 o -1, para evitar trabajar con denominadores. En este caso despejamos x en la primera ecuación.

x - 3y = 32x - 3y = 4

2 " x = 3 + y2x - 3y = 4

2

• Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. Sustituimos, en la segunda ecuación, x por el valor 3 + y.

2x - 3y = 4 x = 3 + y

" 2 (3 + y) - 3y = 4

• Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. 2 (3 + y) - 3y = 4 " 6 + 2y - 3y = 4 " -y = 4 - 6 " -y = -2 " y = 2

• Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.

x - y = 3 y = 2" x - 2 = 3 " x = 3 + 2 " x = 5

El sistema tiene como solución x = 5, y = 2.

• Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. x - 3y = 3

2x - 3y = 42

x = 5, y = 2"

5 - 2 = 32 ? 5 - 3 ? 2 = 4

2 " 3 = 34 = 4

2

Obtenemos dos igualdades; así, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

9 Resuelve por el método 3x - y = -82x - 3y = -10

2de sustitución.


11 Resuelve por el método x + y = 5x - y = 3

2de sustitución.

Si hubiéramos despejado la x

de la segunda ecuación:

x – y = 3

2x – 3y = 42

"

x – y = 3

x = 4x + 3y

24

tendríamos que trabajar con denominadores.

79

301386 _ 0074-0087.indd 79 21/07/11 9:47

3.2 Método de igualación


Cómo se eliminan los denominadores de una ecuación

Paraeliminarlosdenominadoresdeunaecuaciónmultiplicamostoda la ecuación por el m.c.m. de dichos denominadores.

41

32

x y- =- "m.c.m. (3, 4) = 3 ? 4 = 12

12 12? ?x y41

32

- = -d dn n

12 3 12 8x y x y412

324

- =- - =-" "

Resolver un sistema por el método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus valores.

EJEMPLO

5 Resuelve el sistema aplicando el método de igualación: x - 3y = 3

2x - 3y = 42

• Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.Igual que ocurre en el método de sustitución, es conveniente despejar la incógnita que resulte más sencilla.

"x y

x yy

3

2 3 42

4 3- =

- =+

x y

x

3= +

="4 4

• Igualamos las expresiones obtenidas. x y

xy y

y3

24 3 3

24 3

= +

=+ + =

+"4

• Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

3 + y = y

24 3+

" 2 (3 + y) = 4 + 3y " 6 + 2y = 4 + 3y

" 6 - 4 = 3y - 2y " 2 = y " y = 2


x - y = 3 y = 2" x - 2 = 3 " x = 3 + 2 " x = 5


• Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema.x - y = 3

2x - 3y = 42

x = 5, y = 2"

5 - 2 = 32 ? 5 - 3 ? 2 = 4

2 " 3 = 34 = 4

2

Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

10 Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) 3x - y = -82x - 3y = -10

2 b) -2x + 5y = 14

-3x + y = 82


14 Resuelve por el método de igualación estos sistemas de ecuaciones.

a) x + y = 5x - y = 3

2 b) 2x + y = 13

x - y = 22

80

301386 _ 0074-0087.indd 80 21/07/11 9:47

3.3 Método de reducción


Cómo se suman y restan polinomios

• Parasumar polinomios, se agrupan los monomios del mismo grado y se suman sus coeficientes. + x y2 6 7- + -

x y

x y

3 4 3

2 4

- +

+ -

• Pararestar polinomios, se cambia el signo de todos los coeficientes del polinomio que se resta, y se suman los polinomios.

-x yx y3 4 32 6 7- +

- + - " +3 4 32 6 7x yx y- +

- +

x y5 10 10- +

Resolver un sistema por el método de reducción consiste en buscar otro sistema, con las mismas soluciones, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto.

EJEMPLO

6 Resuelve el sistema aplicando el método de igualación: x - 3y = 3

2x - 3y = 42

• Hacemos que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos mediante las multiplicaciones apropiadas.Si multiplicamos la primera ecuación por -2, los coeficientes de x en las dos ecuaciones serán iguales pero con signo contrario.

x - y = 32x - 3y = 4

2 ? (-2)"

-2x + 2y = -6 2x - 3y = 4

2

• Sumamos las ecuaciones resultantes. -2x + 2y = -6+

2x - 3y = 4-y = -2

2

• Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

-y = -2 " y = 2


x - y = 3 y = 2" x - 2 = 3 " x = 3 + 2 " x = 5


• Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema.x - y = 3

2x - 3y = 42

x = 5, y = 2"

5 - 2 = 32 ? 5 - 3 ? 2 = 4

2 " 3 = 34 = 4

2

Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

11 Resuelve por el método de reducción.

a) 3x - y = -82x - 3y = -10

2 b) -2x + 5y = 14

-3x + y = 82


17 Resuelve por el método de reducción.

a) x + y = 5x - y = 3

2 b) x - 5y = 6

4x - 3y = 12

Dos números son opuestos cuando

son iguales pero con signo contrario.3 y -3 son opuestos.

81

301386 _ 0074-0087.indd 81 21/07/11 9:47



1. EXPRESAR LAS ECUACIONES DE UN SISTEMA EN SU FORMA GENERAL ax + by = c

2. RESOLVER UN SISTEMA MEDIANTE EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Expresalasecuacionesdelsistema( )

x y

x y y5

25

2 40 4

+=

+ = -4 en su forma general.

PRIMERO. Si hay denominadores, los eliminamos multiplicando toda la ecuación por el m.c.m. de dichos denominadores.

( )

x y

x y y5

25

2 40 4

+=

+ = -4

m.c.m. (1, 5) = 5"

x y2 25+ =?

x y5

52

5 5

44

+=

" ( )x y y2 40+ = -( )x y y2 40+ = -

d n 4 3

SEGUNDO. Eliminamos los paréntesis. "x y x y2 25

42 25

4+ = + =

( )x y y x y y2 40 2 2 40+ = - + = -3 3

TERCERO. Agrupamos todas las incógnitas en un miembro, y los números en el otro.

" 2 2 4 40x yx y y

x yx y y

x yx y

2 252 2 40 4

2 25 2 252 406

+ =+ = -

+ =+ + =

+ =+ ="3 3 3

PRIMERO. Expresamos las ecuaciones en su forma general.

52

5 2 25x y

x y+

= + =

2( ) 40 4x y y"

+ = -2 6 40x y+ =

4 3

SEGUNDO. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.

2 25 25 2x y x y+ = = -"2 6 40 2 6 40x y x y+ = + =3 3

TERCERO. Sustituimos el valor en la otra ecuación.

2 6 40x y+ = x = 25 - 2y" 2(25 2 ) 6 40y y- + =

CUARTO. Resolvemos la ecuación que resulta.

( )y y y yy y

2 25 2 6 40 50 4 6 402 10 5

- + = - + ==- =-

""

QUINTO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquier ecuación.

2 6 40x y+ = y = -5" 2 6 ( 5) 40 35?x x+ - = ="

El sistema tiene como solución x = 35, y = -5.

Ecuación lineal con dos incógnitas Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

,,,,

ax by ca x b y c

x ya ab bc c

+ =+ = "l l l

lll

*3" Incógnitas" Coeficientes de x" Coeficientes de y" Términos independientes

,

ax by c

x yabc

+ = "* " Incógnitas$ Coeficientes de x$ Coeficientes de y$ Términos independientes

Resuelve el sistema ( )

x y

x y y5

25

2 40 4

+=

+ = -4 por el método de sustitución.

82

301386 _ 0074-0087.indd 82 21/07/11 9:47

3. RESOLVER UN SISTEMA MEDIANTE EL MÉTODO DE IGUALACIÓN


x y

x y y5

2

2 40 4

5+

=

+ = -4

por el método de igualación.


x yx y

52

2 255+

= + =

( )x y y2 40 4"

+ = -x y2 6 40+ =

4 3

SEGUNDO. Despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones.

x yx y

y2 25

25 2

240 6

+ =-=

-" x=x y2 6 40+ =3 4

TERCERO. Igualamos la expresión obtenida.

y y25 22

40 6-

-=

CUARTO. Resolvemos la ecuación que resulta.

y y y y25 22

40 6 50 4 40 6--

- = -"=

50 40 6 4 10 2y y y y 5- =- + =- =-" "

QUINTO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.

2 6 40x y+ = y = -5" 2 6 ( 5) 40 35?x x+ - = ="


4. RESOLVER UN SISTEMA MEDIANTE EL MÉTODO DE REDUCCIÓN


x y

x y y5

2

2 40

5

4

+=

+ = -4

por el método de reducción.


x yx y

52

5 2 5

4

2+

= + =

( )x y y2 40"

+ = -x y2 6 40+ =

4 3

SEGUNDO. Hacemos que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos mediante las multiplicaciones apropiadas.

x y2 25+ =

x y2 6 40+ =3

? (-2)"

x y2 4 50- - =-

x y2 6 40+ =3

TERCERO. Sumamos las ecuaciones.-2x - 4y = -50

+ 2x + 6y = 40

2y = -10

2

CUARTO. Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

2y = -10 " y = -5QUINTO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.

2 6 40x y+ = y = -5" 2 6 ( 5) 40 35?x x+ - = ="


Y AHORA… PRACTICA


1. Identifica las incógnitas, los coeficientes de cada una de las incógnitas y los términos independientes de estos sistemas.

a) x yx y2 5 3

2 4- =+ =-

3 b) x y

x0

4 2- + =

=-2

Expresar las ecuaciones de un sistema en su forma general ax + by = c

1. Expresa las ecuaciones del sistema

( )

x yy

y x y3

1

4 6 3

-+ =

- - =4 en su forma general.

Resolver un sistema por el método de sustitución

2. Resuelve por el método de sustitución.a) x y2 5 1- =-

x y2 4+ =3 b) x y3 5+ =

x y6 9+ =3

Resolver un sistema por el método de igualación

3. Resuelve por el método de igualación.a) x y2 1

2- =-

x y2+ =3 b) x y 5

22+ =

x y2 6+ =3

Resolver un sistema por el método de reducción

4. Resuelve por el método de reducción.a) x y5 4

3- =-

x y2+ =3 b) x y3 2

4 4+ =

x y6+ =3

83

301386 _ 0074-0087.indd 83 21/07/11 9:47

ActividadesECUACIONES LINEALES

12. ● Determina cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales, e indica su número de incógnitas.

a) 7 24x y- = c) 7 24y- = e) 7 24x y2- =

b) 7 6 24x- = d) 7 24xy = f) 7 24x y2 2- =

13. ● Indica los coeficientes de cada incógnita y el término independiente de las ecuaciones lineales.

a) 4 3 2x y- = c) x y 0- = e) 7 2 0x- =

b) x y9 4- = d) 3 2x y- + = f) 7x y3= +

27. ● ¿Es x = 1 e y = 2 solución de estas ecuaciones?

a) 3x + 2y = 7 c) 2x - y = 0b) x + 3 = y d) x + 1 = 7

14. ● ¿Cuáles de los siguientes pares de valores son solución de la ecuación x - 2y = 0?

a) x = 0, y = -1 d) x = 4, y = 2b) x = 1, y = 2 e) x = -4, y = -2c) x = 2, y = 1 f) x = -2, y = -1¿Puedescalcularotrasdossolucionesdeestaecuación?

SISTEMAS DE ECUACIONES

15. ● Estudia estos sistemas de ecuaciones y di cuáles de ellos son lineales.

a) x yx y

23 2 35- =- =

3 d) y x

x xy14 93 7 4

- =- =

3

b) xy x

6 03 32- =- =

3 e) 9 3 8

7 24x yx y

2

2

- =

- =4

c) 2 4 289 4

x yy

+ =- =

3 f) 3 12

9 24y xx y2

= -

= +3

35. ● Indica los coeficientes y términos independientes de los sistemas.

a) 2

x + 2y = 5x + 2y = 6

c) 2

x - 2y = 12x + 2y = 7

b) 2

x + 3y = 5x - 3y = 1

d) 2

5x - 3y = 14x + 3y = 11

36. ● ¿Cuál de los siguientes pares de valores es solución del sistema?

22x + 3y = 133x - 4y = 11

a) (1, 5) b) (5, 1) c) (2, 3) d) (0, 0)

37. ● Dado el sistema:3x - 2y = 22x + 3y = 5 2

averigua si alguno de estos pares de valores es solución.

a) x = 2, y = 4 c) x = 1, y = 1

b) x = 4, y = -1 d) x = 0, y21

=-

16. ● Determina si el par de valores x = 4, y = 2 es solución de alguno de estos sistemas de ecuaciones.

a) x - y = 12x - y = 4 2

e) 2x + y = 13 x - y = 2 2

b) x + y = 22x - 3y = 9 2

f) -x + 2y = 2 3x - 4y = -2 2

c) x - 2y = 12x + y = 7 2

g) 5x - 3y = 14x + y = 11 2

d) 2x + y = 7x - 3y = 0 2

h) 5x + 3y = 163x - 3y = 0 2

17. ●● Copia y completa estos sistemas para que tengan como solución x = 0, y = -1.

a) 3 2

x yx y

1- =

- =43 c) 1

3 4y x

x y- =-

- =43

b) 1

xy x

6 6- =-

- =-43 d) 4 3

7 2x yx y- =-

- =44

4

38. ●● Un sistema tiene por solución x = 2, y = -1 y una de sus ecuaciones es 2x - y = 5. ¿Cuál es la otra?

a) 4x - 2y = 6 c) -x + 2y = 5b) 4x - 2y = 5 d) -x + 2y = -4

39. ●● Escribe una ecuación lineal con dos incógnitas, de forma que una de sus soluciones sea x = 1, y = -2. Utiliza la ecuación para determinar un sistema de ecuaciones con esa solución.

49. ●● Escribe un sistema de ecuaciones cuya solución sea:

a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = -3

54. ●●● Completa los sistemas para que el primero tenga solución x = 2, y = -3, y el segundo, x = -3, y = 2.

a) 3x - 5y = 44x + 4y = 2

2 b) -2x + 4y = 8

4x - 2y = -72

84

301386 _ 0074-0087.indd 84 21/07/11 9:47

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS

58. ● Resuelve por el método de sustitución.

a) 3x + 5y = 1x + 5y = 1

2 e) 4x - 3y = -3

x + 3y = -42

b) 7x + 8y = 233x + 2y = 70

2 f) 2x + y = 12

-x - y = -72

c) 2x - 3y = 55x + 0y = 4

2 g) 3x + y = 10

2x - y = 102

d) 5x - 3y = 14x + 0y = 11

2 h) 3x + 5y = 20

7x + 4y = 392

59. ● Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación.

a) 3x + 5y = 1x + 5y = 1

2 e) 3x + y = 10

2x - y = 102

b) 7x + 8y = 233x + 2y = 7

2 f) 5x - 3y = 1

4x + 3y = 112

c) 2x - 3y = 55x + 0y = 4

2 g) 5x + 3y = 16

3x - 3y = 02

d) 4x - 0y = -30x + 3y = -4

2 h) 3x + 5y = 20

7x + 4y = 392

18. ● Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción.

a) 3x + 5y = 1x + y = 1

2 d) 3x + y = 10

2x - y = 102

b) 2x - 3y = 55x + y = 4

2 e) 5x - 3y = 1

4x + y = 11 2

c) 4x - y = -3 x + 3y = -4

2 f) 5x + 3y = 16

3x - 3y = 02

19. ● Resuelve los sistemas de ecuaciones por el método que consideres más adecuado.

a) x yx y

44 14

- =- + =

3 g) x y

x y2 3 53 2 1+ =- =

3

b) 1 33 3 40

x yx y

- =- = -

3 h) 2 3 3

4 5 49x yx y- =-+ =

3

c) 4 105

y xy x

= -- =

3 i) 5 3 9

2 5 16x yx y+ =-- =-

3

d) 5 4 5 0

x yx y3 2 14 0+ - =- - =

3 j) 3 36

2 4x yx y+ =- =-

3

e) xy xy 2

2 5- =+ =

3 k) 1 2 12

6 3 6x yx y- = ++ = -

3

f) x yx y4 3 13 9- =-+ =

3 l) x y

x y2 803 2 64+ =- =

3

¿CÓMO SE ELIMINAN LOS PARÉNTESIS Y LOS DENOMINADORES EN UN SISTEMA?

60. Elimina los paréntesis y los denominadores.

( ) ( )

x y

x y2 4

321

23 2 2

93 1

10

+ =

--

+=-

4

PRIMERO. Se eliminan los denominadores.Se calcula el m.c.m. de los denominadores en cada ecuación, y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él.Primera ecuación: m.c.m. (2, 4, 2) = 4

"?x y

42 4

34

21

+ =e o 2x + 3y = 2

Segunda ecuación: m.c.m. (2, 9) = 18 ( ) ( )x y

182

3 2 29

3 1--

+e o = 18 ? (-10)

9 ? 3 (2x - 2) - 2 ? 3 (y + 1) = -180

SEGUNDO. Se eliminan los paréntesis.9 ? 3 (2x - 2) - 2 ? 3 (y + 1) = -180 54x - 54 - 6y - 6 = -180

TERCERO. Se pasan las incógnitas a un miembro, y los términos sin incógnita, al otro.

54x - 54 - 6y - 6 = -180 54x - 6y = -180 + 54 + 6 = -120

Sin paréntesis ni denominadores, el sistema es:2x + 3y = 2

54x - 6y = -1202 Simplificando

F 2x + 3y = 29x - 0y = -20

2

HAZLO ASÍ

61. ●● Resuelve por el método que consideresmás adecuado.a) -2 (x - 2) = y - 4

3y - 2x = 02 c) 3 (x + y) - x + 2y = 15-

2x - (y + 8) = -112

b) -5 (y - 2) = x - 2 x - 3y = -4

2 d) 3 (x + 2) - 7 (x + y) = 15

5 (x + 1) - y = 142

20. ●● Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que consideres más adecuado.

a)

3( 4 ) 24

x y

x y2

1-

=

+ =-4 c)

2( ) 2

xy

x y2

1= -

- + =-4

b) 36

2( ) 4

xy

x y

+=

- =-4 d)

42

1 3

5( 7 ) 10

xy

x y

+= +

- =4

85

301386 _ 0074-0087.indd 85 21/07/11 9:47

62. ●● Resuelve por el método que consideres más adecuado.

a) x x

y x33

42

2

3 5 1

- =

+ =-4

b) y

x y

x3 2

1

32

47

- =-

- =4

63. ●●● Elimina los paréntesis y los denominadores en los siguientes sistemas.

a)

( ) ( )

x y

x y2 2

0

75 1

32 2

2-

+ =

+ +=-

4

b) ( ) ( )

( ) ( )

x y

x y3

3 151

21

23

65 1 7 2 1

--

-- =

+ + -2=4

64. ●●● Resuelve por el método de igualación estos sistemas.

a) x y

x y2 3

6

2 4

+ =

- =-4

b) - =

( )

x

x

y

y2

32 1

22

62

21

-

+

+- 1=-

4

c) x

y

x y5

2

2 3 7

+ =

- =4

65. ●●● Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas.

a) x y

x y2 3

6

2 4

+ =

- =-4

b) - =

( )

x

x

y

y2

32 1

22

62

21

-

+

+- 1=-

4

c) xy

x y5

2

2 3 7

+ =

- =4

PROBLEMAS CON SISTEMAS

¿CÓMO SE EXPRESAN CIERTOS ENUNCIADOS MEDIANTE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS?

67. Expresacomoecuacionescondosincógnitas.a) Lasumadedosnúmeroses50.b)Ladiferenciadeedaddedoshermanos

es 5 años.c) Un padre tiene el doble de edad

que su hijo.d) Un número supera a otro en 10 unidades.

PRIMERO. Se asigna una incógnita a cada dato desconocido.

SEGUNDO. Se relacionan los datos conocidos y desconocidos mediante una ecuación.a) La suma es 50 " x + y = 50b) La diferencia es 5 años " x - y = 5c) El padre dobla en edad al hijo " x = 2yd) Uno supera al otro en 10 " x = y + 10

Datos desconocidos

Dos números

Edades de dos hermanos

Edades del padre y el hijo

Dos números

Incógnitas

x, un númeroy, el otro número

x, edad del primeroy, edad del segundo

x, edad del padrey, edad del hijo

x, un númeroy, el otro número

HAZLO ASÍ

68. ●● Expresamedianteecuacionescondos incógnitas.

+ = 5 €

a) Un bocadillo y un refresco valen 5 €.b) Dos bocadillos y tres refrescos cuestan 15 €.c) Un bocadillo vale 1 € más que un refresco.d) He pagado un bocadillo y dos refrescos

con 10 € y me han devuelto 3 €.

86

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69. ● Elige la respuesta adecuada.

a) Hace tres años, la edad de un tío era el triple de la edad de su sobrino, pero dentro de 5 años será solo el doble. Las edades del tío y del sobrino son:

1. Tío: 15, sobrino: 5.2. Tío: 35, sobrino: 15.3. Tío: 27, sobrino: 11.

b) En un teatro se han vendido 250 entradas entre butacas de patio y de palco. Las primeras cuestan 15 € cada una, y las segundas, 30 €. Si la recaudación total fue de 4 500 €, las entradas vendidas de cada tipo fueron:

1. Patio: 50, palco: 250.2. Patio: 100, palco: 10.3. Patio: 200, palco: 50.4. Patio: 125, palco: 125.

70. ● Calcula dos números cuya suma es 10 y su diferencia es 6.

72. ●● Dos kilos de albaricoques y tres kilos de brevas cuestan 13 €. Tres kilos de albaricoques y dos kilos de brevas cuestan 12 €. ¿Cuál es el precio del kilo de albaricoques?

73. ●● En una compra se han utilizado monedas de 2 € y billetes de 5 €. En total, entre monedas y billetes son 13 y se han pagado 33 €. ¿Cuántas monedas de 2 € se utilizan? ¿Y billetes de 5 €?

74. ●● En una droguería se venden 3 jabones y 2 frascos de colonia por 12 €, y también 4 jabones y 3 frascos de colonia por 17 €. Calcula el precio de cada producto.

75. ●● Hemos adquirido sellos de 0,26 € y de 0,84 €. En total hemos pagado 5,18 € por 11 sellos. ¿Cuántos sellos son de 0,26 €? ¿Y de 0,84 €?

76. ●● Paraunameriendasehancompradobocadillos de jamón a 2,80 € la unidad y de queso a 2,50 €. En total se pagan 48 € por 18 bocadillos. ¿Cuántos bocadillos de jamón se compran?

77. ●● En un taller hay 50 vehículos entre motos y coches. Si el número total de ruedas es 140, ¿cuántos vehículos hay de cada tipo?

78. ●● El perímetro de una parcela rectangulares 350 m y el triple de su largo es igual al cuádruple de su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?

79. ●● José le dice a Inés: «Si te doy 10 discos tendrías la misma cantidad que yo». Inés le responde: «Tienes razón. Solo te faltan 10 discos para doblarme en número». ¿Cuántos discos tiene cada uno?

2 kg + 3 kg = 13 €

¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA MEDIANTE

UN SISTEMA?

21. Un coche y un autobús, situados uno detrás del otro, miden juntos 14 m. El doble de la longitud del coche supera en 1 m a la longitud del autobús. ¿Cuánto mide cada uno?

PRIMERO. Identificamos la incógnita.

Llamamos x " Longitud del autobúsy " Longitud del coche

SEGUNDO. Planteamos la ecuación.Los dos juntos miden 14 m " x + y = 14Coche doble es autobús más 1 " 2y = x + 1

TERCERO. Resolvemos el sistema.

x + y = 14 2y = x + 12"+

x + y = 14-x + 2y = 1

3y = 15 " y315

5= =

x + y = 14 y = 5" x + 5 = 14 " x = 14 - 5 = 9

CUARTO. Comprobamos e interpretamos la solución.

x + y = 142y = x + 1

2 x = 9, y = 5

"14 = 1410 = 10

2

El autobús mide 9 m, y el coche, 5 m.

2

+ = 14 + = + 1

Longitud del autobúsLongitud del coche

Loquesabemos… Loquenosabemos…

HAZLO ASÍ

87

301386 _ 0074-0087.indd 87 21/07/11 9:47

6Un pedazo de la Historia

Por fin, Alí había conseguido sacar a Schoene del hotel, donde llevaba recluido cuatro días sin apartar la vista de aquel libro, que a intervalos hacía exclamar a Schoene:

–¡Es maravilloso! ¡Fantástico! ¡Estuvo perdido durante siglos y lo he encontrado yo!

Aquella tarde, paseando por el zoco, Schoene no dejaba de hablar de su nueva adquisición, de la que decía ser una pequeña pieza del puzle de la Historia.

–Alí, el libro es la prueba. –Schoene lo miraba emocionado–. Es una traducción de un libro de matemáticas de Herón de Alejandría perdido hace mucho tiempo, cuyo original se escribió en el siglo I.

–Yo prefiero lo real a las teorías matemáticas –contestó Alí sin compartir el entusiasmo de su compañero.

–Te equivocas, Alí, este libro está lleno de aplicaciones prácticas: enseña maneras de aproximar raíces cuadradas no exactas, métodos para calcular áreas de polígonos, volúmenes de cuerpos e, incluso, división de superficies en partes proporcionales… Estos conocimientos eran muy útiles en el Egipto del siglo I, por ejemplo, para calcular las medidas de los terrenos que cultivaban o repartir herencias.

Proporcionalidad numérica

1. El texto hace referencia a dos personajes, Schoene y Herón de Alejandría. ¿Cuál de ellos es un ilustre matemático? ¿Cuáles fueron sus descubrimientos más importantes?

2. De los libros que se atribuyen a Herón de Alejandría, ¿a cuál de ellos se refiere el texto?

3. Busca información sobre las aportaciones de Herón a la proporcionalidad numérica.


301386 _ 0088-0103.indd 88 21/07/11 9:52



• Reconocer las relaciones de proporcionalidad directa e inversa.

• Resolver problemas mediante la regla de tres simple, directa o inversa.

• Aplicar los repartos proporcionales.

• Trabajar con porcentajes y resolver problemas de la vida real con ellos.

PLAN DE TRABAJO

RAZÓN Y PROPORCIÓN

Magnitudes

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor, expresarlo mediante un número.

La longitud es una magnitud.

Esta cuerda mide 16 m.

El peso es una magnitud.

El melón pesa 1,5 kg.

No son magnitudes los meses del año, el nombre de las personas...

Razón

Una razón entre dos números, a y b, es el cociente ba

.

En mi clase somos 14 chicas y 9 chicos, ¿qué relación existe entre chicas y chicos?

La relación entre chicas y chicos en mi clase es de 14 a 9.

Esto se puede expresar mediante la razón 914

.

Proporción

Una proporción es la igualdad entre dos razones.

Para pintar 4 m2 de pared necesito 5 kg de pintura. Y para pintar 6 m2 necesito 7,5 kg.

Razón: 54

Razón: ,576

,5

,54

76

0 8= = " Forman una proporción.

En una fracción, el numerador y el denominador son números

enteros. En una razón no es necesario.

132

" Es una razón y una fracción.

3,52

" Es una razón pero no es una fracción.

EVALUACIÓN INICIAL

1. ¿Es una magnitud el color de un automóvil? ¿Y la altura de un edificio?

1 Expresa mediante una razón.

a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12.c) En el primer turno de comida comen 94 alumnos, y en el segundo, 65.d) Una frutería tiene 7 cajas de tomates y 3 de pimientos.

2. Identifica las razones que forman una proporción.

a) , , ,12

28

36

59

b) 210

,1050

,830

,520

2 En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos. Si hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, ¿se ha mantenido la proporción?

89

301386 _ 0088-0103.indd 89 21/07/11 9:52

Proporcionalidad directa


Cuándo dos razones forman proporción

Dos razones, ba

y cd

, forman una proporción, ba

dc

= , cuando se cumple

esta propiedad: ? ?a d b c=

43

86

= , porque: 3 8 4 6? ?=

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre dos cantidades correspondientes de ambas, a y b, es constante:

ba

k=

El número k es la constante o razón de proporcionalidad directa.

EJEMPLO

1 Marta realiza un trabajo por horas y cobra 12 € cada hora.

a) ¿Cuánto recibirá si trabaja 2 horas? ¿Y si trabaja 3 horas?

a) Marta cobra 12 € por 1 hora de trabajo. En 2 horas ganará el doble, en 3 horas el triple…

Podemos reflejar esta situación mediante una tabla de valores.

12

1

24

2

36

3

48

4

60

5

72

6

…

…

Ganancia (€)

Tiempo (h)

F

F

F

F

F

F

? 2

? 2

: 3

: 3

? 3

? 3

Las magnitudes Ganancia – Tiempo son magnitudes directamente proporcionales. Al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.

GANANCIA F

TIEMPO F 12112

224

336

…= = = = RAZÓNG

1NO OLVIDES

Magnitudes directamente proporcionales

aa'

= bb'

= cc'

= k

k " Constante de proporcionalidad directa

a

a'

b

b'

c

c'

Magnitud M

Magnitud M'

La tabla de valores, cuando las magnitudes

son directamente proporcionales, se llama

tabla de proporcionalidad directa.

2 Halla si los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales.

a) El precio de una barra de pan y el importe que tengo que pagar por el número de barras que compro.

b) El día del mes y la temperatura que hay.c) El tiempo que se tarda en llegar a un sitio

y la velocidad con la que me aproximo.


1 Determina si estas tablas representan magnitudes directamente proporcionales.

Magnitud A 2 4 6

Magnitud B 8 16 24

Magnitud A 6 12 18

Magnitud B 5 10 20

90

301386 _ 0088-0103.indd 90 21/07/11 9:52

La tabla de valores, cuando las magnitudes

son inversamente proporcionales, se llama

tabla de proporcionalidad inversa.

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de dos cantidades correspondientes de ambas, a y b, es constante:

a ? b = kEl número k es la constante o razón de proporcionalidad inversa.

EJEMPLO

2 Un tren que circula a una velocidad constante de 60 km/h, emplea 5 horas en recorrer un trayecto.

a) ¿Cuántas horas empleará en recorrer dicho trayecto si su velocidad es de 30 km/h? ¿Y si la velocidad es de 10 km/h?

a) Si el tren circula a 30 km/h, que es la mitad de la velocidad, tardará el doble del tiempo, 10 horas. Si reduce la velocidad a la sexta parte: 10 km/h, tardará seis veces más, 30 horas…

Podemos reflejar esta situación mediante una tabla de valores.

60

5

30

10

10

30

40

7,5

…

…

Velocidad (km/h)

Tiempo (h)

F

F

F

F

F

F

: 2

? 2

? 4

: 4

: 6

? 6

Las magnitudes Velocidad – Tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. Al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.

VELOCIDAD F 60 ? 5 = 30 ? 10 = 10 ? 30 = … = 300 RAZÓNG

2

TIEMPO

F

NO OLVIDES

Magnitudes inversamente proporcionales

a ? a' = b ? b' = c ? c' = k

k " Constante de proporcionalidad inversa

a

a'

b

b'

c

c'

Magnitud M

Magnitud M'

7 Clasifica en proporcionalidad directa o inversa.

a) El lado de un cuadrado y su perímetro.b) Obreros y tiempo en acabar un trabajo.

4 Elabora una tabla de proporcionalidad con los datos de cada apartado y calcula los valores necesarios para contestar a las preguntas que se plantean.

a) Para realizar una obra, 2 albañiles tardan 4 días. Si la obra la realizasen 4 albañiles, ¿cuántos días tardarían?

b) En una granja de 200 pollos les queda comida para 12 días. Si el número de pollos fuese de 600, ¿para cuántos días tendrían comida?


3 Determina si estas tablas tienen valores correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales.

Magnitud A 12 6 3

Magnitud B 4 8 16

Magnitud C 24 8 4

Magnitud D 18 6 2

Magnitud E 6 3 2

Magnitud F 24 48 72

Si son inversamente proporcionales, calcula su razón.

91

301386 _ 0088-0103.indd 91 21/07/11 9:52

En general, para resolver una regla de tres simple

directa, aplicaremos el siguiente cálculo:

a " bc " x

3 " ac =

bx " x =

c · ba

Regla de tres simple


Cómo se calcula un término desconocido en una proporción

Para calcular el término desconocido de una proporción, primero se aplica la propiedad de las proporciones y, después, se despeja x.

43 6

x=

Por ser proporción" 3 6 4

6 48? ?

?x x

3= = ="

F

Pasa dividiendo

Cuando dos magnitudes son proporcionales, y no conocemos una de las cuatro cantidades relacionadas, podemos hallarla mediante una regla de tres simple.

3.1 Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa es una técnica que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas de dos magnitudes directamente proporcionales.

EJEMPLO

3 Si 6 revistas de automóviles cuestan 18 �, ¿cuánto costarán 9 revistas?

Averiguamos si existe proporcionalidad entre las dos magnitudes:• Si compramos el doble de revistas, el precio se duplica.• Si compramos la mitad, el precio se reduce a la mitad.

Las magnitudes Número de revistas – Precio son directamente proporcionales.Planteamos la regla de tres:

Si 6 revistas cuestan

" 18 � 9 revistas

costarán" x �

4

Aplicando las propiedades de la proporcionalidad directa:

x9

6 18=

Para calcular el valor de x aplicamos la propiedad de las proporciones: 6 ? x = 9 ? 18

Y despejamos x: 27?

x6

9 18= =

El precio de 9 revistas es 27 �.

3

9 Un coche gasta en gasolina 0,46 € cada 4 km. ¿Cuánto costará el combustible en un viaje de 270 km si mantiene el mismo consumo?


8 En la cocina de un instituto han pagado 42 € por 70 barras de pan. ¿Cuánto tendrían que pagar si hubieran comprado 45 barras?

92

301386 _ 0088-0103.indd 92 21/07/11 9:52

14 Un grifo vierte 6 litros por minuto y tarda 5 horas en llenar un depósito. Si vertiese 1 litro por minuto, ¿cuánto tiempo tardaría?


12 Si el tiempo empleado por 7 trabajadores en limpiar una calle es de 7 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores?

3.2 Regla de tres simple inversa


Cuál es la fracción inversa de una fracción

La fracción inversa de ba

es ab

.

La fracción inversa de 38

es 83

.


es 414= .

La regla de tres simple inversa es una técnica que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas de dos magnitudes inversamente proporcionales.

EJEMPLO

4 Un edificio es pintado por 12 obreros en 15 días. ¿Cuántos días emplearán 20 obreros en pintar el mismo edificio?

El primer paso es averiguar si existe algún tipo de proporcionalidad entre las dos magnitudes:

• Si trabajan el doble de obreros, tardarán la mitad de días.• Si trabajan la mitad de obreros, el número de días que tardarán

será el doble.

Las magnitudes Número de obreros – Días son inversamente proporcionales.

El planteamiento de la regla de tres simple inversa es similar al de la regla de tres simple directa:

Si 12 obreros tardan

" 15 días 20 obreros

tardarán" x días

4

Sin embargo, en la resolución debemos tener en cuenta que, en vez de la segunda fracción, consideramos su inversa:

x

2012

15=

Para calcular el valor de x aplicamos la propiedad de las proporciones: 12 ? 15 = 20 ? x

Y despejamos x: ?

x1

2012 5

9= =

Por tanto, los 20 obreros emplearán 9 días en pintar el edificio.

En general, para resolver una regla de tres simple

inversa, aplicaremos el siguiente cálculo:

a " bc " x

3 " ac =

xb " x =

a · bc

El inverso de un número a

es a1

.

El inverso de 7 es 71

.

DATE CUENTA


- es 83

- .


- es 414

- -= .

93

301386 _ 0088-0103.indd 93 21/07/11 9:52

5 Reparte 102 � en partes directamente proporcionales a 3, 2 y 1, respectivamente.


16 Reparte 28 000 en partes directamente proporcionales a 3 y 7.

Repartos proporcionales

4.1 Repartos directamente proporcionales

Para repartir una cantidad, N, en partes directamente proporcionales a a, b y c, cada parte se obtiene multiplicando la constante de proporcio-

nalidad a b c

N+ +

por cada número a, b y c.

EJEMPLOS

5 Un agricultor quiere regar con 300 m3 de agua tres parcelas de forma directamente proporcional a sus superficies, que son 2, 3 y 5 hectáreas, respectivamente. ¿Cuántos metros cúbicos destinará al riego de cada parcela?

Dividimos la cantidad de agua que se va a repartir entre la suma de las dimensiones de cada parcela.

2 3 5300

10300

30+ +

= =

Multiplicamos este resultado por las dimensiones de cada una de las parcelas.

A la parcela de 2 hectáreas le corresponden:2 ? 30 = 60 m3 de agua



1 Antonio tiene dos hijos: Bernardo y Carla. Bernardo, a su vez tiene 3 hijos, y Carla otros 2 hijos. Antonio quiere repartir 20 000 € entre Bernardo y Carla de forma directamente proporcional al número de hijos que tiene cada uno. ¿Cuánto les corresponde a Bernardo y a Carla?

Dividimos la cantidad que va a repartir Antonio entre la suma del número de hijos de Bernardo y Carla.

3 220 000

520 000

4 000+

= =

Multiplicamos este resultado por el número de hijos de Bernardo y Carla.

A Bernardo, que tiene 3 hijos, le corresponden:3 ? 4 000 = 12 000 €

Y a Carla, que tiene 2 hijos, le corresponden:2 ? 4 000 = 8 000 €

4

2 ha 3 ha 5 ha

94

301386 _ 0088-0103.indd 94 21/07/11 9:52

20 Reparte 1 100 en partes inversamente proporcionales a los números 5 y 6.


19 Reparte 70 en partes inversamente proporcionales a los números 3 y 4.

El inverso de 2 es 12 .



4.2 Repartos inversamente proporcionales


Cómo se dividen fracciones

Para dividir fracciones multiplicamos en cruz.

:?

?

ba

dc

b ca d

= :43

75

4 53 7

2021

?

?= =F FF F FF

F F

Cómo se divide un número entre una fracción

Para dividir un número entero entre una fracción, se expresa el número en forma de fracción poniendo como denominador 1.

: :

375

537

15

37

1 75 3

715

?

?= = = =

Para repartir una cantidad, N, en partes inversamente proporcionales a a, b y c, cada parte se obtiene dividiendo la constante de proporcionalidad

a b c

N1 1 1+ +

entre cada número a, b y c.

EJEMPLO

6 Tres camareros se reparten 295 � de propinas en partes inversamente proporcionales a los días que faltaron en el trimestre, que fueron 2, 5 y 7. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Dividimos la cantidad de dinero que se va a repartir entre la suma de los inversos del número de días que faltó cada camarero en el último trimestre.

: :

21

51

71

295

7059295

2957059

1295

7059

59295 70

350?

+ +

= = = = =

Multiplicamos este resultado por los inversos del número de días que faltó cada camarero en el último trimestre.

Al camarero que faltó 2 días le corresponden: 350 175?21

2350

= = €

Al camarero que faltó 5 días le corresponden: 350?1 350

705 5

= = €

Al camarero que faltó 7 días le corresponden: 350 0?1 3507 7

5= = €

95

301386 _ 0088-0103.indd 95 21/07/11 9:52

Problemas con porcentajes


Cómo se calcula el tanto por ciento de una cantidad

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad multiplicamos esa cantidad por el porcentaje y dividimos entre 100.

20 % de 250 = 250 50?10020= 8 % de 300 = 300

1008

24? =

6.1 Cálculo de porcentajes

Un porcentaje o tanto por ciento expresa la cantidad de una magnitud correspondiente a 100 unidades de la otra. Se escribe con el signo %.

EJEMPLOS

8 En un instituto de 200 alumnos, el 25 % de los alumnos llevan gafas. ¿Cuántos alumnos llevan gafas?

Si de 100 alumnos llevan gafas-------" 25 alumnos

de 200 alumnos llevarán gafas-------" x alumnos

3

?

xx

200100 25

100200 25

50 alumnos= = ="

9 ¿Qué porcentaje de aciertos tuve si encesté 7 canastas de 32 intentos?

Si de 32 intentos encesté----" 7

, %?

xx

10032 7

327 100

21 88= = =" "2 de 100 intentos

encestaré----" x

Tuve un 21,88% de aciertos.

2 Están estropeados 240 tornillos, que corresponden al 8 % de los tornillos fabricados. ¿Cuántos tornillos se han fabricado?

Si de 100 tornillos se estropean-------" 8 tornillos

de x tornillos se estropean-------" 240 tornillos

3

0003?

xx

100 002408

81 240

tornillos= = ="

6

El porcentaje de una cantidad también se puede calcular mediante una regla

de tres: 100 " a C " x

3 " x = C · a

100

CALCULADORA

Para hallar un tanto por ciento en la calculadora utilizamos la tecla % .

35% de 460

4 6 0 #

3 5 % " 161

7 Hay 54 personas, es decir, el 18 % de las personas entrevistadas, que dicen no estar de acuerdo con los impuestos municipales. ¿A cuántas personas se ha entrevistado en total?

8 De las 12 toneladas de tomates recogidos este año se ha estropeado un 14 % de la producción. ¿Cuántas toneladas de tomates podemos vender?


6 Calcula el 15 % de 300, 4 500 y 60 000.

27 Un embalse con capacidad de 200 hm3 se encuentra al 45 % de su capacidad. ¿Qué cantidad de agua contiene?

28 En un periódico se dice que 80 de cada 1 500 personas practican deportes de riesgo. Expresa este dato en porcentaje.

96

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6.2 Aumentos y disminuciones porcentuales

Aumentar un t % equivale a calcular el (100 + t) % de esa cantidad.

EJEMPLO

10 Un coche que el año pasado valía 15 000 € ha aumentado su precio este año en un 20 %. ¿Cuál es su precio actual?

Si el precio inicial, el 100%, ha aumentado un 20%, el precio final será el 100 + 20 = 120% del precio inicial. Por tanto, el coche costará:

120% de 15 000 ,? ?15 000100120

15 000 1 2= = = 18 000 €

Disminuir un t % equivale a calcular el (100 - t) % de esa cantidad.

EJEMPLO

3 Un coche que el año pasado valía 15 000 € ha disminuido su precio este año en un 20 %. ¿Cuál es su precio actual?

Si el precio inicial, el 100 %, ha disminuido un 20 %, el precio final será el 100 - 20 = 80 % del precio inicial. Por tanto, el coche costará:

80 % de 15 000 15 000 15 000 ,? ?10080

0 8= = = 12 000 €

6.3 Porcentajes encadenados

Los porcentajes encadenados surgen cuando aplicamos aumentos o dismi-nuciones porcentuales sucesivamente. Equivalen a aplicar un único por-centaje, que es el producto de todos ellos.

EJEMPLO

11 Un televisor que cuesta 200 € está rebajado en un 30 %. Al ir a pagar en caja nos añaden el 16 % de IVA. ¿Cuál es el precio final?

Un televisor de 200 € costará:116% del 70% de 200 = 1,16 ? 0,70 ? 200 = 0,812 ? 200 = 162,40 €

Porcentaje con IVA

Porcentaje rebajado

Porcentaje final

F

El precio final del televisor, 162,40 €, es el 81,2% del precio inicial.

El 20 % de 144 = 20100

· 144 =

= 0,2 · 144

El 120 % de 144 = 120100

· 144 =

= 1,2 · 144

31 Un disco compacto vale 12 €. El dependiente me rebaja un 15 % por ser un cliente habitual, y al pagar me cobran un 16 % de IVA. ¿Cuánto pago por el disco?


29 Una raqueta de tenis cuesta 180 € más un 16 % de IVA. ¿Cuál es su precio final?

9 ¿Cuánto son 2 € menos su 15 %?

97

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Magnitudes directamente proporcionales

Porcentajes

a% de C = C ? a

100

1

5

2

10

4

20

6

30

Magnitud A

Magnitud B

F

F

F

F

F

F

: 2

: 2

? 2

? 2

? 3

? 3

,51

102

204

306

0 2= = = =Constante de proporcionalidad directa

G

Magnitudes inversamente proporcionales

Aumentar C un t % " Calcular (100 + t) % de C

Disminuir C un t % " Calcular (100 - t) % de C

1

24

2

12

4

6

6

4

Magnitud A

Magnitud B

F

F

F

F

F

F

: 2

? 2

? 2

: 2

? 3

: 3

Constante de proporcionalidad inversa

G1 ? 24 = 2 ? 12 = 4 ? 6 = 6 ? 4 = 24

1. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE LA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Un coche, a velocidad constante, consume 7 litros de gasolina al recorrer 100 km. Si el coche recorre 250 km a esa misma velocidad, ¿cuántos litros consumirá?

PRIMERO. Identificamos las magnitudes.Distancia recorrida – Consumo de gasolina

SEGUNDO. Averiguamos si existe relación de proporcionalidad entre ellas.

• A doble distancia, doble consumo.• A mitad de distancia, mitad de consumo…

Las magnitudes Distancia – Consumo son directamente proporcionales.

TERCERO. Planteamos la regla de tres.

Si en 100 km consume----" 7 litros

en 250 km consumirá----" x litros

3

CUARTO. Establecemos la igualdad entre las razones de la regla de tres y despejamos la incógnita.

,?

xx

250100 7

1007 250

17 5 litros= = ="

Manteniendo la misma velocidad, consumirá 17,5 litros en recorrer 250 km.


2. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE LA REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

En un velero en el que se prevé que viajen 18 tripulantes, se almacena agua para 10 días. Si al final solo viajan 15 tripulantes, ¿para cuántos días tendrán agua?

PRIMERO. Identificamos las magnitudes.Número de tripulantes – Días

SEGUNDO. Averiguamos si existe relación de proporcionalidad entre ellas.

• A doble número de tripulantes, la mitad de días.

• A la mitad de tripulantes, doble de días…Las magnitudes Número de tripulantes – Días son inversamente proporcionales.

TERCERO. Planteamos la regla de tres.

Si 18 tripulantes beben---" 10 días

15 tripulantes beberán---" x días

3

CUARTO. Establecemos la igualdad entre las razones, considerando la inversa de la segunda, y despejamos la incógnita.

?xx

1518

10 1518 10

= = =" 12 días

Tendrán agua para 12 días.

98

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1. RESOLVER PROBLEMAS DE PORCENTAJES

Resuelve los siguientes problemas:a) De 120 personas entrevistadas, el 30 % está de acuerdo con la regulación del tráfico en la ciudad.

¿Cuántas personas entrevistadas están de acuerdo con la regulación del tráfico?b) Según una encuesta, 9 de cada 12 fumadores quieren dejar el hábito del tabaco. ¿Qué tanto

por ciento de los fumadores quiere dejar el tabaco?

PRIMERO. Planteamos una regla de tres con los datos del problema. Hay que considerar que una de las cantidades será 100 y estará relacionada con el tanto por ciento.

a) Si de 100 están de acuerdo----------" 30

de 120 están de acuerdo----------" x

3 b) Si de 12

lo quieren dejar----------" 9

de 100 lo quieren dejar----------" x

3

SEGUNDO. Resolvemos la regla de tres directa.

a) 120100 30

100120 30

36?

xx personas= = =" b)

10012 9

12100 9

75 %?

xx= = ="

Y AHORA… PRACTICA


1. Determina si existe proporcionalidad entre las dos magnitudes, y calcula su constante.

Magnitud A 5 6 8 12

Magnitud B 120 100 75 50

2. Calcula el 24,5 % de 348.

Resolver problemas mediante la regla de tres simple

3. Si 60 barras de pan valen 42 €, ¿cuánto costarán 85 barras?

4. Puedo gastar 20 € diarios durante 7 días. Si quiero tener dinero para 10 días, ¿cuánto podré gastar al día?

Repartir una cantidad en partes proporcionales

5. Reparte 100 en partes directa e inversamente proporcionales a 7 y 3.

Resolver problemas de porcentajes

1. En las oficinas de una compañía de seguros trabajan 320 personas. De ellos, el 55 % son mujeres. ¿Cuántos hombres hay en la oficina?

4. REPARTIR UNA CANTIDAD EN PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Reparte 70 en partes inversamente proporcionales a 3 y 4.

PRIMERO. Dividimos la cantidad que se va a repartir entre la suma de los inversos de las partes.

/ / / / /?

a bN

1 1 1 3 1 470

7 1270

770 12

120+

=+

= = =

SEGUNDO. Multiplicamos ese resultado por cada uno de los inversos de las partes.

A 3 le corresponden: ?31

120 40=

A 4 le corresponden: ?41

120 30=

3. REPARTIR UNA CANTIDAD EN PARTES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Reparte 70 en partes directamente proporcionales a 3 y 4.

PRIMERO. Dividimos la cantidad que se va a repartir entre la suma de las partes.

a bN

3 470

770

10+

=+

= =

SEGUNDO. Multiplicamos ese resultado por cada una de las partes.La cantidad que le corresponde a 3 es:

3 ? 10 = 30La cantidad que le corresponde a 4 es:

4 ? 10 = 40

99

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ActividadesMAGNITUDES PROPORCIONALES

38. ● Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales.

a) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.

b) La longitud del lado de un cuadrado y su área.c) El número de hijos de una familia y el número

de días de vacaciones.

39. ● En un mercado hay dos puestos donde se venden manzanas con estas tablas de precios.

PUESTO A

1 kg 2 kg 3 kg

0,53 € 1,06 € 1,59 €

PUESTO B

1 kg 2 kg 3 kg

0,60 € 1 € 1,50 €

¿En cuál de estos puestos las magnitudes peso y precio son directamente proporcionales?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES?

10. Calcula los valores desconocidos de esta tabla, sabiendo que los datos corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales.

Magnitud A 8 12 24 b

Magnitud B 3 a 9 12

PRIMERO. Se establecen los cocientes entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos.

a38 12=

b38

12=

SEGUNDO. Se calculan los valores desconocidos aplicando la propiedad de las proporciones.

,? ??

a a8 3 128

3 124 5= = ="

? ??

b b8 12 33

8 1232= = ="

40. ● Completa la tabla, sabiendo que es una tabla de proporcionalidad directa.

100 500 1 000 25 000

4 200

41. ● Observa la tabla de proporcionalidad de las magnitudes siguientes.

4

12

6

18

7

21

9

y

10

y'

Magnitud M

Magnitud M'

Comprueba que las magnitudes M y M' son directamente proporcionales, y calcula y e y'.

11. ● Mi coche, en un viaje de 345 km, ha gastado 27,8 litros de gasolina. Si el consumo se mantiene en los mismos niveles:

a) ¿Cuánto gastará en un trayecto de 675 km?b) Si al llenar el depósito completo caben 60 litros

de gasolina, ¿cuántos kilómetros podré viajar sin repostar?

12. ● Si un bolígrafo cuesta 45 céntimos:

a) ¿Cuánto cuestan 23 bolígrafos?b) ¿Cuántos bolígrafos puedo comprar con 2 €

y 25 céntimos?

42. ● Señala cuáles de los siguientes pares de magnitudes son inversamente proporcionales.

a) El número de máquinas y el tiempo que tardan en hacer un trabajo.

b) La edad de una persona y su velocidad al caminar.

c) La base y la altura de un rectángulo de área 20 cm2.

d) La base y la altura de un rectángulo de 40 cm de perímetro.

43. ● Estudia si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales.

a) El radio de una circunferencia y su longitud.b) La velocidad que lleva un coche y el tiempo que

emplea en hacer un determinado recorrido.c) El número de entradas de un cine y su precio.d) La superficie de una pared y el tiempo

que se tarda en pintarla.e) La gasolina que gasta un coche y la distancia

que recorre.

100

301386 _ 0088-0103.indd 100 21/07/11 9:53

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES?

13. Calcula los valores desconocidos de esta tabla, sabiendo que los datos corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales.

Magnitud A 36 48 4 b

Magnitud B 9 a 81 12

PRIMERO. Se establecen los productos entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos.

? ? a36 9 48=36 9 12? ?b=

SEGUNDO. Se calculan los valores desconocidos aplicando las relaciones de la proporcionalidad inversa.

,?

a48

36 96 75= =

?b

1236 9

27= =

44. ● Completa las siguientes tablas para que sean de proporcionalidad inversa.

a) 2 3 4 5

0,90

b) 4 12 30 60

28

45. ● Comprueba que las magnitudes M y M' son inversamente proporcionales, y calcula el valor de y e y'.

4

12

6

8

8

6

10

y

16

y'

Magnitud M

Magnitud M'

46. ●● En cada una de estas tablas de proporcionalidad inversa hay un error. Corrígelo y calcula la constante de proporcionalidad.

a) 9 6 5,4 4,5 4

6 9 10 12 13

b) 1,2 2,4 4,8 6 7,2

50 25 12 10 8,3!

14. ●● En recorrer 224 km tardo 2 h y 42 min. ¿Cuánto tardaré en hacer un trayecto de 345 km si voy a la misma velocidad? ¿Y qué distancia recorreré en 1 h y 36 min?

REGLA DE TRES

15. ● Si pintar una habitación de 35 m2 cuesta 125 €, ¿cuánto costará pintar otra de 55 m2?

47. ● Por construir una valla de 12 metros se han pagado 1 250 €. ¿Cuánto habrá que pagar por otra valla de 25 metros?

12 m 25 m

48. ● Amanda se ha comprado una pieza de tela de 2 metros que le ha costado 32 €. ¿Cuánto le hubiese costado un trozo de 3,2 metros?

16. ● Pablo está ayudando a su padre en la frutería y observa esta factura:

Factura 151

2 kg de patatas 1,40 €

3 kg de manzanas 2,55 €

2 lechugas 1,34 €

Total 5,29 €

A partir de la factura anterior, calcula las cantidades desconocidas de estas facturas.

Factura 152

4 kg de patatas ? €

2 kg de manzanas ? €

3 lechugas ? €

Total ? €

Factura 153

1 kg de patatas ? €

5 kg de manzanas ? €

5 lechugas ? €

Total ? €

17. ● Encuentra el término que falta en cada una de estas proporciones.

a) x50

125 4= b)

x3612 11=

101

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49. ● Un coche, viajando a una determinada velocidad, consume 25 litros de combustible en un viaje de 300 km. ¿Cuánto consumirá en un viaje de 550 km, si va a la misma velocidad?

50. ●● Un tren que circula a 100 km/h tarda 5 horas en llegar a una ciudad. ¿A qué velocidad circula otro tren que tarda 6 horas y cuarto en hacer el mismo recorrido?

51. ●● Si un pintor ha pintado 75 m2 de pared con 125 kilos de pintura:

a) ¿Cuánta pintura habría necesitado para pintar 300 m2 de pared?

b) Con 50 kg, ¿cuántos metros cuadrados puede pintar?

52. ●● Quince personas realizan el montaje de unas placas solares en tres semanas.

a) ¿Cuánto tardarían 35 personas en hacer ese montaje?

b) Si queremos realizarlo en 15 días solamente, ¿cuántas personas necesitaríamos?

53. ●● Tres cajas de polvorones pesan 2,7 kg.

a) ¿Cuánto pesan 15 cajas?

b) Si nuestra furgoneta puede transportar 500 kg, ¿podemos llevar en ella 230 cajas de polvorones?

54. ●● Una explotación agraria tiene hierba para alimentar a 48 vacas durante 18 semanas.

a) ¿Para cuántas semanas tendría si fuesen 24 vacas más?

b) Si pasadas 7 semanas se compran 18 vacas, ¿hasta cuándo habrá hierba?

REPARTOS PROPORCIONALES

58. ● Un constructor quiere repartir 1 000 € entre tres de sus obreros de forma directamente proporcional a su antigüedad en la empresa. Andrés lleva 9 años en la empresa, mientras que Bernardo y Carlos solo tienen 3 años de antigüedad. ¿Qué parte les corresponde?

59. ● Un abuelo decide repartir 120 caramelos entre sus cuatro nietos de forma directamente proporcional a sus edades, que son 4, 6, 6 y 8 años, respectivamente. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada nieto?

60. ●● Dos amigos montan un negocio. Uno de ellos se retira al cabo de 8 meses. El otro socio continúa hasta final de año, siendo el resultado unas pérdidas de 1 500 €. ¿Cuánto tiene que pagar cada amigo?

61. ●● Vicente y Paloma abren una cartilla de ahorros en el banco. Vicente pone 400 € y Paloma 800 €. Al cabo de unos años les devuelven 1 380 €. ¿Cómo los tienen que repartir? ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

62. ●● Se decide construir un puente cuyo coste, de un millón de euros, han de pagar entre tres localidades en partes inversamente proporcionales a la distancia de cada localidad al puente. Alameda está a 6 km, Buenasaguas está a 8 km y Cabestreros a 10 km. Calcula cuánto ha de pagar cada localidad.

102

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PORCENTAJES

18. ● ¿Qué porcentaje representan 35 personas de un total de 140?

75. ● Tres de cada cinco alumnos han tenido la gripe en el mes de enero. Expresa este dato en forma de porcentaje.

19. ● Expresa en porcentajes estos resultados.

a) 14 aciertos de 23 tiros libres.b) 7 canastas de 3 puntos de un total de 11.c) 12 canastas de 2 puntos de 21 intentos.

76. ● Por un CD que cuesta 21 € me hacen un 15 % de descuento. ¿Cuánto dinero me ahorro?

77. ●● En un instituto, 63 alumnos, que son el 15 % del total, han viajado al extranjero. ¿Cuántos alumnos tiene el instituto?

78. ●● Un vendedor de coches recibe como comisión el 0,8 % de las ventas que realiza.

a) Si en un mes recibió 300 € de comisión, ¿qué ventas realizó?

b) Si el mes siguiente vendió por valor de 45 000 €, ¿qué comisión obtuvo?

20. ●● Un producto que valía 168 € lo han rebajado a 142,80 €. ¿En qué porcentaje se ha rebajado?

79. ●● Un comerciante decide subir el precio de una mercancía, que era de 72 €, un 3 %, y a la semana siguiente, otro 3 % sobre el último precio. ¿Cuál es el precio final de venta?

80. ●● En dos semanas consecutivas se han aplicado al precio de un artículo aumentos del 2 % y 5 %. ¿En qué porcentaje se ha incrementado el artículo sobre su precio original?

81. ●● En una tienda suben el precio de un producto de 200 € un 10 %. A la semana siguiente deciden rebajarlo un 10 % del precio que tiene en ese momento. ¿Qué ha ocurrido con el precio?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL PRECIO INICIAL CONOCIENDO EL PRECIO REBAJADO?

21. El precio de la reparación de un automóvil ha sido de 242 €, habiendo hecho un 10 % de descuento. ¿Cuánto hubiese costado la reparación si no hubieran hecho descuento?

PRIMERO. Se forma una regla de tres en la que uno de sus términos es 100 y le corresponde 100 menos el tanto por ciento rebajado.

Si de cada 100 € pagamos

-------" (100 - 10) € de x €

pagaremos-------" 242 €

3

SEGUNDO. Se resuelve la regla de tres directa.

100 $ 90 x $ 243

3 "

10024390

90100 243

270?

xx= = =" "

100

24390

90100 243

270?

xx= = =" " €

22. ●● El precio de un teléfono, rebajado en un 15 %, es de 84,15 €. ¿Cuánto valdría el teléfono sin rebaja?

23. ●● Según la prensa, el precio de la vivienda ha bajado, en los últimos dos años, un 22,5 %.

a) ¿Cuánto costaba hace dos años un piso que ahora vale 220 000 €?

b) ¿Cuál sería el precio hoy de una casa que hace dos años valía 325 000 €?

c) Si compré hace dos años un piso que me costó 275 000 €, ¿cuánto dinero perderé si lo vendo ahora?

24. ●● Por no haber llevado el coche al taller durante el año pasado, me han rebajado el seguro de mi coche en un 20 %. Si este año he pagado 952,40 €, ¿cuánto pagué el año pasado?

25. ●● El año pasado, cuando el IVA era del 16 %, una cámara fotográfica costaba 148 €. Si este año el IVA ha subido al 18 %, ¿cuánto valdrá? ¿Cuánto me hubiera ahorrado si la hubiera comprado el año pasado?

103

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La mascota de la princesa

El rey de Sicilia, Federico II, había encargado al filósofo de la Corte, Juan de Palermo, que examinara a Leonardo de Pisa con problemas matemáticos de difícil solución.

Leonardo, más conocido como Fibonacci, les presentó las soluciones y esperó a que las evaluaran. A medida que estudiaban el trabajo, sus caras reflejaban la sorpresa que les producía.

Mientras tanto, Fibonacci se había alejado un poco y charlaba con una niña que, sentada en la escalera, acariciaba a un conejito que mantenía en su regazo.

–Yo tuve una pareja de conejos –decía Fibonacci.

–¿De qué color eran? –se interesó la niña.

–Eran blancos y los tuve en casa, a ellos y sus crías, durante 12 meses, luego me trasladé con mi padre y no me los pude llevar. ¡En un año tenía 144 parejas!

–Eso es imposible –dijo la niña mientras imaginaba todo lleno de conejos.

–La primera pareja comenzó a criar al segundo mes, y de cada camada me quedaba con otra pareja, que comenzaba a procrear a su vez a los dos meses de vida –repasaba mentalmente el sabio.

Mes E F M A M J J A S O N D

Parejas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

La niña iba apuntando y, de repente, lo vio claro.

–El número de parejas es, cada mes, la suma de los dos meses anteriores.

Progresiones

1. Leonardo de Pisa fue un matemático de la Edad Media. Busca información sobre su vida.

2. El problema que aparece en el texto está incluido en su obra Liber Abaci. Investiga sobre este libro.

3. Averigua qué otros trabajos relacionados con las matemáticas realizó Fibonacci.


7

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Antes de empezar la unidad... LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico. A las expresiones que utilizamos en este lenguaje las llamamos expresiones algebraicas.

Pautas y regularidades

Al observar secuencias geométricas o numéricas podemos comprobar que en muchas ocasiones siguen pautas y regularidades.

…

El número de estrellas de las figuras anteriores es:

1 + 1 22 + 1 32 + 1 …

Observamos que el número de estrellas que forma cada figura es el cuadrado del lugar que ocupa en la secuencia, más 1.

Lugar 6 " 62 + 1 Lugar 11 " 112 + 1 Lugar n " n2 + 1

Al igual que para expresarnos en el lenguaje

usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizamos expresiones

algebraicas.

• Resolver problemas reales de interés compuesto.

Un número más 2 unidades F n + 2

La mitad de un número F n2

El número siguiente a un número F n + 1

Un número par F 2n

El siguiente número par F 2n + 2

Un número impar F 2n + 1

El siguiente número impar F 2n + 3

Exp

resi

ones

esc

rita

s

Exp

resi

ones

alg

ebra

icas


EVALUACIÓN INICIAL

1. Expresa algebraicamente estas relaciones entre números.

a) La tercera parte de un número par.b) El doble del número siguiente a uno dado.c) La mitad de un número impar.

1 En esta secuencia, ¿cuántos palillos tendrá la siguiente figura?

3 5 7 9 …

¿Y la figura que ocupe el lugar 10?


• Distinguir los tipos de progresiones.

• Determinar la diferencia de una progresión aritmética, y la razón de una geométrica.

• Calcular el término general de una progresión.

PLAN DE TRABAJO

105

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Sucesiones

Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales:a1, a2, a3, a4, a5, a6, …

A cada uno de los números que forman la sucesión se le llama término de la sucesión, y se designa por ai , donde i indica el lugar que ocupa en la sucesión.

EJEMPLO

1 Determina cuáles son los términos a2 y a5 en estas sucesiones.a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, … c) -1, -5, -10, -15, -20, -25, …b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, … d) 20, 30, 40, 50, 60, 70, …

a2 es el segundo término de la sucesión, y a5, el quinto.a) a2 = 2 y a5 = 5 c) a2 = -5 y a5 = -20b) a2 = 4 y a5 = 10 d) a2 = 30 y a5 = 60

1.1 Regla de formación

Existen sucesiones en las que se pueden determinar sus términos a partir de un cierto criterio; a este criterio se le denomina regla de formación.

EJEMPLOS

1 Escribe los cuatro primeros términos de una sucesión que cumpla que:a) El primer término es 3 y cada uno de los siguientes es la suma

del anterior más 2.b) El primer término es -1 y cada uno de los siguientes es el anterior

multiplicado por 2.

a) a1 = 3 a2 = 3 + 2 = 5 a3 = 5 + 2 = 7 a4 = 7 + 2 = 9b) a1 = -1 a2 = -1 ? 2 = -2 a3 = -2 ? 2 = -4 a4 = -4 ? 2 = -8

2 Determina la regla de formación de las siguientes sucesiones.

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … --" Cada término es el anterior más 2.b) 1, 2, 4, 8, 16, 32, … -" Cada término es el anterior multiplicado por 2.c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … " Cada término es la suma de los dos anteriores.d) 1, 3, 6, 10, 15, 21, … " Cada término es el anterior más 2, más 3, más 4…

1

2 Construye una sucesión que cumpla que:

a) El primer término es 5 y cada uno de los siguientes es la suma del anterior más 3.

b) El primer término es 12 y cada uno de los siguientes es el anterior multiplicado por 3.

1 Determina a8 en la sucesión: 28, 26, 24, 22, 20, 18, …


1 Di cuáles son los términos a1, a3 y a6 de las siguientes sucesiones.

a) 6, 7, 8, 9, 10, …b) 0, -2, -4, -6, -8, …c) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …d) -1, -1, -1, -1, -1, …e) -2, -4, -8, -16, -32, …

El sexto término de la sucesión es a6.

a4 es el cuarto término de la sucesión.

106

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7 Escribe el término general de estas sucesiones.

a) 2, 3, 4, 5, 6, …b) 3, 6, 9, 12, 15, …c) 5, 10, 15, 20, 25, …


4 Escribe los cuatro primeros términosde la sucesión con término general:

a) an = 3n - 2

a) an = n2 - 3n + 2

b) ann2 1

4n= +

+

1.2 Término general


Cómo se calcula el valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por sus valores correspondientes y operar.

EJEMPLO

2 Determina el valor numérico de estas expresiones algebraicas.

a) 3 5 2x2 - -x , para x = 2 y x = -1

Para x = 2 3 2 5 2 2 12 10 2 0? ?2- - = - - =" Para x = -1 ( ) ( )? ?3 1 5 1 2 3 5 2 62- - - - = + - ="

b) n

24 1+

, para n = 2 y n = -1

Para n = 2 4 2 1?

2 29+

="

Para n = -1 2

3 ( 1) 122

1? - +

=- =-"

El término general de una sucesión es una expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, y se representa por an.

EJEMPLO

3 Encuentra el término general de estas sucesiones, y calcula a10 y a100.a) 2, 4, 6, 8, 10, …

2 ? 1, 2 ? 2, 2 ? 3, 2 ? 4, 2 ? 5, … " Cada término es el doble del lugar que ocupa. Término general " an = 2n, siendo n el lugar que ocupa el término

en la sucesión.

an = 2n n = 10---" a10 = 2 ? 10 = 20 an = 2n n = 100

---" a100 = 2 ? 100 = 200

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … 12, 22, 32, 42, 52, 62, … " Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa.

Término general " an = n2, siendo n el lugar que ocupa el término en la sucesión.

an = n2 n = 10---" a10 = 102 = 100 an = n2 n = 100

---" a100 = 1002 = 10 000

d) 4, 7, 10, 13, 16, …

e) , , , , ,71

72

73

74

75

…

107

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• La sucesión de los números enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, …, es una progresión aritmética con d = 1.

• La sucesión de los números enteros negativos: -1, -2, -3, …, es una progresión aritmética con d = -1.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término (me-nos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo d, llamado diferencia de la progresión.

EJEMPLO

5 Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas.

a) 5, 8, 11, 14, 17, 20, …

5, 8, 11, 14, 17, 20, …

Es una progresión aritmética con diferencia d = 3.

b) 16, 11, 6, 1, -4, -9, …

16, 11, 6, 1, -4, -9, …

Es una progresión aritmética con diferencia d = -5.

En una progresión aritmética se cumple que:a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = … = d

EJEMPLO

6 Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas.

a) 4, 8, 12, 16, 20, …

a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = … = d8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12 = 20 - 16 = … = 4

Como se cumplen las igualdades, es una progresión aritmética con diferencia d = 4.

b) 1, 4, 7, 11, 15, …

a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = … = d

4 - 1 = 7 - 4 ! 11 - 7 " No es una progresión aritmética.

2

F F F

+3 +3 +3F F+3 +3

F F F

+(-5) +(-5) +(-5)

F F+(-5) +(-5)

2 Escribe los cinco primeros términos de una progresión aritmética con:

a) Diferencia d = 3 y primer término a1 = 2.b) Diferencia d = -2 y primer término a1 = -1.

9 En una progresión aritmética a1 = 4,8 y a2 = 5,6. Calcula.a) La diferencia, d. b) El término a8.


8 Determina si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas.

a) 1, 0, -1, -2, …

b) 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

c) 2, 4, 7, 11, 16, …

d) 1, 4, 9, 16, 25, …

e) 11, 10, -1, -2, …

108

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12 En una progresión aritmética, el primer término es 5 y la diferencia es -2. Determina an.

3 En una progresión aritmética, a3 = -1 y d = 2. Calcula a5 y a11.


11 Halla el término general de estas progresiones aritméticas.

a) , 1, , 2,21

23

25, …

b) 25, 22, 19, 16, …

La fórmula an = a 1 + (n - 1)d

solo es válida si la sucesión es una progresión

aritmética.

2.1 Término general de una progresión aritmética



La propiedad distributiva nos permite transformar un producto en una suma o una resta.

4 (7 12) 4 7 4 12 28 48 76? ? ?+ = + = + =

4 (7 12) 4 7 4 12 28 48 20? ? ?- = - = - =-( 11 22) ( 2) ( 11) ( 2) 22 ( 2) 22 44 22? ? ?- + - = - - + - = - =-

( 11 22) ( 2) ( 11) ( 2) 22 ( 2) 22 44 66? ? ?- - - = - - - - = + =

El término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n - 1)d, siendo a1 el primer término y d la diferencia.

EJEMPLO

7 Encuentra el término general de esta progresión aritmética:

3, 5, 7, 9, 11, …

• El primer término de la progresión es a1 = 3.

• Calculamos la diferencia: a a d

d5 3 2

22 1 "- =- =

=2

Por tanto, resulta: an = a1 + (n - 1) ? d F F F

an = 3 + (n - 1) ? 2 = 3 + 2n - 2 = 1 + 2n

El término general de la progresión es: an = 1 + 2n

Dados dos términos, ap y aq, de una progresión aritmética (p < q), se cumple que:

aq = ap + (q - p)d

EJEMPLO

3 Halla el término a 7 de una progresión aritmética de la que sabemos que a3 = 6 y d = 4.

Aplicando la fórmula para q = 7, p = 3 y d = 4:

p ( ) ?a a q p dq= + - " (7 3) 4 6 4 4 22? ?a a7 3= + - = + =

El séptimo término de la progresión es a7 = 22.

109

301386 _ 0104-0119.indd 109 21/07/11 9:49

2.2 Suma de n términos de una progresión aritmética

Si conocemos el primer término de la progresión aritmética, a1, y el último término que queremos sumar, an:

La suma, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an - 1 + an, de los n primeros términos de una progresión aritmética, es:

?

2( )

Sa a n

nn1

=+

EJEMPLO

8 Calcula la suma de los 6 primeros términos de la progresión aritmética. 5, 8, 11, 14, 17, 20, …

El primer término de la progresión es a1 = 5, y el sexto, a6 = 20.

n( ) ?a a n

2n1

=+

S a1 = 5, a6 = 20, n = 6

----------" ( ) ?

S2

5 20 6756=

+=

Si conocemos el primer término de la progresión aritmética, a1, y la diferencia, d:

La suma, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an - 1 + an, de los n prime-ros términos de una progresión aritmética, es:

1nn

d??

2( )

S an

n 1= +-

EJEMPLO

4 Halla la suma de los 9 primeros términos de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 3 y cuya diferencia es d = -5.

Como conocemos el primer término y la diferencia, aplicamos la fórmula:

2( 1)

??

S a nn n d

1n= +-

Para n = 9, a1 = 3 y d = -5, tenemos:( ) ( ) ( )

?? ?

S 3 92

9 9 1 527

272 5

1539= +- -

= +-

=-

Si queremos sumar los 6 primeros términos

de una progresión, el último término que queremos sumar es a6.

5 Calcula la suma de los 20 primeros términos de una progresión aritmética que tiene como término general:

an = 2n - 5

¿Cuál sería la suma de sus 21 primeros términos?

16 Dada la progresión aritmética con an = 10 - 5n, halla la suma de los 25 primeros términos.


15 Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, …

4 Halla la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 = -5 y cuya diferencia es d = 3. ¿Cuál sería la suma de sus 13 primeros términos?

110

301386 _ 0104-0119.indd 110 21/07/11 9:49

6 Escribe los cinco primeros términos de estas progresiones geométricas con:

a) a1 = 2 y razón r = 3.b) a1 = 2 y razón r = -3.c) a1 = -2 y razón r = -3.


18 Determina si son progresiones geométricas.

a) 1, 5, 25, 125, 625, …b) -1, -2, -4, -8, -16, …c) 3, 9, 24, 33, …d) 4, 4, 4, 4, 4, …

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo r, llamado razón de la progresión.

EJEMPLOS

9 Determina si la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … es una progresión geométrica.

F

? 2

F

? 2

F

? 2

F? 2 F? 2

1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Es una progresión geométrica de razón r = 2.

5 Determina si la sucesión: 4, -8, 16, -32, 64, -128, … es una progresión geométrica.

F

? (-2)

F

? (-2)

F

? (-2)

F? (-2) F? (-2)

4, -8, 16, -32, 64 -128, …

Es una progresión geométrica de razón r = -2.

En una progresión geométrica se cumple que: …aa

aa

aa

r1

2

2

3

3

4= = = =

EJEMPLO

6 Determina si estas sucesiones son progresiones geométricas.

a) 1, -3, 9, -27, 81, …

13

39

927

2781

3...aa

aa

aa

r1

2

2

3

3

4= = = =

-=-=-

=-

=-"

Como se cumplen las igualdades, es una progresión geométrica de razón r = -3.

b) 1, 5, 25, 50, 100, …

...aa

aa

aa

r15

525

2550

1

2

2

3

3

4!= = = = ="

Como no se cumplen las igualdades, no es una progresión geométrica.

3

Si la razón es un número negativo, los signos

de los términos de la progresión se alternan.

111

301386 _ 0104-0119.indd 111 21/07/11 9:49

La fórmula an = a 1 ? r n – 1

solo es válida si la sucesión es una progresión geométrica.

3.1 Término general de una progresión geométrica


Cómo se calculan potencias de números reales

En una potencia de base un número entero y exponente natural:• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva.• Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando

el exponente es par y negativa si es impar.

23 = 8 24 = 16 23

8273

=d n 23

492

=d n

(-2)3 = -8 (-2)4 = 16 23

8273

- =-d n 23

492

- =d n

El término general de una progresión geométrica es: an = a1 ? rn-1, donde a1 es el primer término y r es la razón.

EJEMPLO

10 Calcula el término general de la progresión geométrica: 2, -8, 32, -128, …


• Calculamos la razón: raa

28

41

2= =

-=-

Por tanto, tenemos que: an = a1 ? rn-1 a1 = 2, r = -4------" an = 2 ? (-4)n-1

En una progresión geométrica, un término ap se relaciona con otro tér-mino aq (p < q) de esta forma: aq = ap ? r q - p

EJEMPLO

7 Halla el término a7 de una progresión geométrica de la que sabemos que a3 = 6 y r = -2.

Aplicando la fórmula para q = 7, p = 3 y r = -2:

?a a rq pq p= - " ( )? ? ?a a r 6 2 6 16 967 3

7 3 4= = - = =-

El séptimo término de la progresión es a7 = 96.

19 Halla el término general y el término a 6.

a) 5, 15, 45, … b) , ,, ,3 3 3 9 9 3 …

8 Obtén el término a12 de las siguientes progresiones geométricas con:

a) a4 = 2 y r = 3.b) a14 = 126 y r = -3.


7 Calcula el término general de estas progresiones geométricas.

a) 1, 4, 16, 64, …b) -2, 6, -18, 54, …c) 64, 32, 16, 8, …d) 243, -81, 27, -9, …e) 2, -2, 2, -2, …

112

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3.2 Suma de n términos de una progresión geométrica

Si conocemos el primer término, a1, y la razón, r, de la progresión:

La suma, Sn, de n términos de una progresión geométrica de razón r, es:

(S

a11)

rr1

n

n

=-

-

EJEMPLO

11 Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica: -1, -2, -4, -8, -16, …

• El primer término de la progresión es a1 = -1.

• Calculamos la razón: raa

12

21

2= =

-

-=

( )S

ra r

11

n

n1

=-

- a1 = -1, r = 2, n = 10------------"

( 1) (2 1)?S

2 110

10

=-

- -=

( 1) (1024 1)?

11023=

- -=-

Si conocemos el primer término, a1, la razón, r, y el último término que queremos sumar, an:

La suma, Sn, de n términos de una progresión geométrica de razón r es:

1S

r

a r a1n

n=

-

-

EJEMPLO

8 Halla la suma de los 9 primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 = 3 y cuya razón es r = -2.


• La razón es r = -2.

• Tenemos que calcular el término noveno de la progresión. Para ello utilizamos la fórmula: ?a a rq p

q p= - , con q = 9 y p = 1.

?a a rq pq p= - " 3 ( 2) 3 256 768? ? ?a a r9 1

9 1 8= = - = =-

Por tanto, tenemos a1 = 3, r = -2, n = 9 y a9 = 768:

1ra r a1

nn

=-

-S " ( )

768 ( 2) 3?S

ra r a

1 2 199 1

=-

-=

- -

- -= 513

9 Halla la suma de los 10 primeros términos en estas progresiones geométricas con:

a) a1 = -7 y r = 2.

b) a1 = 8 y r = -2.

c) a2 = 27 y r = 3.


21 Dada la sucesión:

2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; …

a) Comprueba que es una progresión geométrica. Halla su razón.

c) Halla la suma de sus 10 primeros términos.

113

301386 _ 0104-0119.indd 113 21/07/11 9:49


2. CALCULAR LA DIFERENCIA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Halla la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas.

a) 3, 9, 15, 21, … b) a3 = 2 y a5 = 6

PRIMERO. Determinamos dos términos.

a) a1 = 3, a2 = 9 b) a3 = 2, a5 = 6

SEGUNDO. Calculamos la diferencia.

• Si los términos son consecutivos, su resta es la diferencia de la progresión.

a) a a dd

9 3 662 1- =

- =="2

• Si no lo son, aplicamos: aq = ap + (q - p)d

b) aq=ap+(q-p)d p = 3, q = 5------" a5=a3+(5-3)d

d d6 2 224

2= + = ="

3. CALCULAR LA RAZÓN DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Halla la razón de las siguientes progresiones geométricas.a) 3, 9, 27, 81, … b) a3 = 2 y a5 = 6

PRIMERO. Determinamos dos términos.a) a1 = 3, a2 = 9 b) a3 = 2, a5 = 6

SEGUNDO. Calculamos la razón.

• Si los términos son consecutivos, su cociente es la razón de la progresión.

a) aa

r39

31

2= ="

• Si no lo son, aplicamos: aq = ap ? rq-p

b) aq = ap ? rq-p p = 3, q = 5------" a5 = a3 ? r5-3

? r r r6 226

3 32 2= = = =" "

1. DETERMINAR SI UNA SUCESIÓN ES UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA O GEOMÉTRICA

Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas.a) 3, 9, 15, 21, … b) 3, 9, 27, 81, … c) 3, 9, 15, 27, …


PRIMERO. Es una progresión aritmética si: a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = …

a) 9 - 3 = 15 - 9 = 21 - 15 = 6 " Es aritmética.

b) 9 - 3 = 6 27 - 9 = 18 81 - 27 = 54 No es aritmética.

c) 9 - 3 = 6 15 - 9 = 6 27 - 15 = 12No es aritmética.

SEGUNDO. Es una progresión geométrica si:

…aa

aa

aa

1

2

2

3

3

4= = =

b) 39

927

2781

3= = = " Es geométrica.

c) 39

39

1535

1527

59

= = =

No es geométrica.

Sucesión

F

2,Ta1

4,Ta2

6,Ta3

8,Ta4

10,Ua5

…, 2nUanTérminos F Término general

F

F F

F

-2

-2

-2

-2

6, 4, 2, 0, -2, … " Término generalan = a1 + (n - 1)d

Progresión aritmética

F

F F

F

? (-2)

? (-2)

? (-2)

? (-2)

2, -4, 8, -16, 32, … " Término generalan = a1rn-1

Progresión geométricaTérmino general: an = -2n + 2

...

?

?

?

a n a

a

a

2 2 2 1 2 0

2 2 2 2

2 3 2 4

n 1

2

3

=- + =- + =

=- + =-

=- + =-

n = 1---"

n = 2---"

n = 3---"

114

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4. DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Determina el término general de estas progresiones aritméticas.a) 3, 9, 15, 21, … b) a3 = 2 y a5 = 6 c) d = 4 y a4 = 5

PRIMERO. Calculamos d.a) d = a2 - a1 " d = 9 - 3 = 6 b) ( )a a d d d5 3 6 2 2 25 3= + - = + =" " c) d = 4

SEGUNDO. Hallamos el primer término, a1.a) a1 = 3 c) an = a1 + (n - 1)d n = 4

---" 5 = a1 + 3 ? 4 " a1 = -7b) an = a1 + (n - 1)d n = 3

---" 2 = a1 + 2 ? 2 " a1 = -2

TERCERO. Calculamos el término general, que viene expresado por an = a1 + (n - 1)d.a) an = 3 + (n - 1) ? 6 = -3 + 6n c) an = -7 + (n - 1) ? 4 = -11 + 4nb) an = -2 + (n - 1) ? 2 = -4 + 2n

5. DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Determina el término general de estas progresiones geométricas.a) 3, 9, 27, 81, … b) a3 = 9 y a5 = 81 c) r = 4 y a4 = 128

PRIMERO. Calculamos r.

a) raa

r39

31

2= = =" b) ? ?a a r r r81 9 9 35 3

5 3 2= = = =- " " c) r = 4

SEGUNDO. Hallamos a1.a) a1 = 3 b) an = a1 ? r n-1 n = 3

---" 9 = a1 ? 32 " a1 = 1 c) an = a1 ? r n-1 n = 4---" 128 = a1 ? 43 " a1 = 2

TERCERO. Calculamos el término general, que viene expresado por an = a1 ? rn-1.a) an = 3 ? 3n-1 = 3n b) an = 1 ? 3n-1 = 3n-1 c) an = 2 ? 4n-1 = 2 ? 22n-2 = 22n-1


1. Escribe una progresión aritmética cuya diferencia sea 2 y otra geométrica cuya razón sea 2.

1. El término general de una sucesión es an = -n + 3. Calcula sus siete primeros términos.

Determinar si una sucesión es una progresión aritmética o geométrica3. Decide si la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, … es una

progresión aritmética o geométrica.

Calcular la diferencia de una progresión aritmética4. Halla la diferencia de la progresión aritmética

con a2 = 21 y a4 = 43.

Calcular la razón de una progresión geométrica

5. Halla la razón de la progresión: 4, -16, 64, -256, …

Determinar el término general de una progresión aritmética

6. Calcula el término general de la progresión:3, 7, 11, …

Determinar el término general de una progresión geométrica

7. Determina el término general de la progresión: 3, 6, 12, …

Y AHORA… PRACTICA

115

301386 _ 0104-0119.indd 115 26/07/11 9:44

ActividadesSUCESIONES

35. ● Escribe los siguientes términos de estas sucesiones.

a) 5, 6, 7, 8, 9, …b) 30, 20, 10, 0, -10, …c) 7, 14, 21, 28, 35, …d) 1, 5, 25, 125, …

¿Qué criterio de formación sigue cada una de ellas?

36. ●● Dada la sucesión: 1, 8, 27, 64, …

a) ¿Cuál es su sexto término?b) ¿Y su criterio de formación?

37. ●● La sucesión 1, 4, 9, 16, 25, … tiene por término general an = n2. Obtén el término general de las sucesiones.

a) 2, 8, 18, 32, 50, … c) 4, 9, 16, 25, …b) 3, 6, 11, 18, 27, … d) 16, 25, 36, 49, …

38. ●● La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … tiene por término general an = 2n. Determina el término general de las sucesiones.

a) -1, 1, 3, 5, 7, … c) -2, -4, -6, -8, …b) 6, 8, 10, 12, … d) 6, 12, 18, 24, 30, …

39. ● Halla los cinco primeros términos de la sucesión cuyo término general es:

a) an = 2n e) ?a 231

n

n 1

=-

e ob) an = (-3)n+2

f) an = n2 + 3n - 2c) an = 5 - 3nd) an = 2 + 4(n + 1) g) a

nn 3

n 2=+

40. ● Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones.

a) El primer término es 5 y cada término se obtiene sumando 2 al anterior.

b) El primer término es 2 y cada uno de los siguientes se obtiene multiplicando

el anterior por 21

.

c) El primer término es 3, el segundo 4 y los siguientes son la suma de los dos anteriores.

d) El primer término es 8 y los siguientes son cada uno la mitad del anterior.

¿CÓMO SE DETERMINA EL TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES DE FRACCIONES?

41. Halla el término general de la siguiente sucesión:

, , , , ...14

39

516

725

PRIMERO. Se busca el criterio de formación de los numeradores y se determina su término general.

4, 9, 16, 25, … --" El primer término es el cuadrado de 2.

El segundo, el cuadrado de 3. El tercero, el cuadrado de 4…Término general " (n + 1)2

SEGUNDO. Se busca el criterio de formación de los denominadores, y se determina su término general.1, 3, 5, 7, … ---" Sucesión de números imparesTérmino general " 2n - 1

TERCERO. El término general de la sucesión será el cociente entre los dos términos generales.

Término general " an = ( )

nn2 1

1 2

-

+

HAZLO ASÍ

42. ●● La sucesión 1, 2, 3, 4, 5, … tiene por término general an = n. La sucesión 2, 4, 8, 16, … tiene por término general an = 2n. Halla el término general de estas sucesiones.

a) , , , , ...121

31

41

c) , , , , ...21

41

81

161

b) , , , , ...425

36

47

d) , , , , ...21

43

87

1615

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

45. ● Halla la diferencia y el término general de estas progresiones aritméticas.

a) 10, 7, 4, 1, … c) 7, 2, -3, -8, …

b) , , , , ...2 2 2 3 2 4 2 d) 16, 8, 0, -8, …

46. ● Con los datos de las siguientes progresiones aritméticas:

a) a1 = 13 y a2 = 5, calcula d, a8 y an.b) b1 = 4,5 y b2 = 6, calcula d, b10 y bn.c) c2 = 13 y d = -5, calcula c1, c8 y cn.d) h1 = 8 y h3 = 3, calcula d, h10 y hn.

116

301386 _ 0104-0119.indd 116 21/07/11 9:49

47. ● Considera la sucesión 2, 4, 6, 8, 10, ...

a) ¿Es una progresión aritmética? b) Halla su término general.c) Calcula el término 30.

10. ● Considera la sucesión 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

a) ¿Es una progresión aritmética? Si es así, ¿cuál es su diferencia?

b) Halla su término general.c) Calcula su término 42.

48. ● Dada la sucesión , , , , , ...35

34

132

0 :

a) Comprueba que es una progresión aritmética.b) Halla su término general.

49. ● Sabiendo que los términos de una progresión aritmética se pueden obtener con la calculadora, mediante el sumando constante:

d + + a1 = = = = = …

obtén los 10 primeros términos de las progresiones aritméticas.

a) a1 = 8 y d = 5 c) c1 = -10 y d = 3b) b1 = 3 y d = -5 d) h1 = -12 y d = -8

50. ● En una progresión aritmética, a10 = 32 y d = 5. Averigua el valor del término a25.

11. ● En una progresión aritmética, el término a4 = 12 y la diferencia d = -3. Calcula a1 y el término general.

12. ● En una progresión aritmética, a6 = 17 y a9 = 23.

a) Calcula a1.b) Halla la diferencia.c) Determina su término general.

51. ●● En una progresión aritmética, a3 = 21

y a4 = 65

.

a) Obtén a1 y d.b) Determina el término general.

52. ●● En una progresión aritmética, a8 = 12 y a12 = 32. Calcula la diferencia y el término general.

54. ●● Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas.

a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85; … c) , 1, , 2, 21

23

…

b) 5, 2, -1, -4, -7, … d) , , , , a a a a1 3 5 7

…

13. ● Comprueba que estas sucesiones son progresiones aritméticas, y calcula su término general:

a) 0,5; 0,25; 0; -0,25; ... b) -1, -4, -7, -10, ...

¿CÓMO SE INTERPOLAN TÉRMINOS QUE FORMEN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA?

57. Interpola tres términos entre 1 y 9 para que formen una progresión aritmética.

PRIMERO. Se calcula a1 y d.La progresión que se quiere construir será de la forma:

1, a2, a3, a4, 9Por tanto, resulta que: a1 = 1 y a5 = 9.Como tiene que ser una progresión aritmética:

an = a1 + (n - 1)d n = 5--" 9 = 1 + (5 - 1)d

9 = 1 + 4d " d = 48

= 2

SEGUNDO. Se hallan los términos intermedios.a2 = 1 + (2 - 1) ? 2 = 3a3 = 1 + (3 - 1) ? 2 = 5a4 = 1 + (4 - 1) ? 2 = 7

Los tres términos que hay que interpolar serán 3, 5 y 7.

HAZLO ASÍ

58. ●● Interpola 6 términos entre 1 y 3 para que formen una progresión aritmética.

59. ●● Interpola 5 términos entre los números 27

-

y 27

para que formen una progresión aritmética.

61. ● Sea an = 4n + 1 el término general de una progresión aritmética. Calcula a25 y la suma de los 20 primeros términos.

62. ● En una progresión aritmética, a8 = 40 y d = 7. Halla el primer término y la suma de los 10 primeros términos.

63. ● Calcula la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética si el tercer término es 24 y el décimo es 66.

64. ● Halla la suma de los 100 primeros números pares.

65. ●● Calcula la suma de los múltiplos de 3 comprendidos entre 200 y 301.

66. ● Halla la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética en la que a1 = 7 y a4 = 40.

117

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

72. ● Calcula la diferencia o la razón de las siguientes progresiones, y halla su término general.

a) 3, 6, 12, 24, … d) 16, 8, 4, 2, 1, …b) 10, 7, 4, 1, … e) 16, 8, 0, -8, …c) 1, 1, 1, 1, … f) 3, 9, 15, 21, …

73. ● En una progresión geométrica, a1 = 4 y a2 = 3. Obtén el término general y a20.

74. ● En una progresión geométrica, a1 = 6 y a3 = 30. Halla a4 y el término general.

75. ● Calcula.

a) El término general de una progresión geométrica en la que a1 = 3 y r = 5.

b) El término que ocupa el lugar 7.

76. ● Dada la sucesión , , , , ...32

92

272

812

:

a) Comprueba que es una progresión geométrica.b) Calcula el término 10.

77. ●● Halla los términos que faltan en las siguientes progresiones geométricas.

a) 1; 0,1; •; 0,001; •

b) •, 21

, 61

, •, 541

, •

c) •, 31

, •, 121

, •

d) •, 23

, •, •, 481

78. ● El término general de la progresión 3, 6, 12, 24, ... es:

a) an = 3 + (n - 1) ? 3b) an = 3 ? 3n-1

c) an = 3 ? 2n-1

d) No se puede calcular.

79. ● En una progresión geométrica de términos positivos, a2 = 60 y a4 = 2 400. Obtén:

a) Los 5 primeros términos.b) El término general.c) Los 10 primeros términos.

80. ● En una progresión geométrica, a2 = 10 y a5 = 10 000. Calcula r y los 10 primeros términos de la progresión. ¿Cuál es el término general?

81. ●● Un término de una progresión geométrica vale 3 720 087. Si el primer término es 7 y la razón es 3, ¿de qué término estamos hablando?

83. ● En una progresión geométrica, el primer término es 5 y la razón es 3. Calcula la suma de los 8 primeros términos.

84. ● En una progresión geométrica, el segundo

término es 2 y el cuarto es 21

. Halla la suma

de los 6 primeros términos.

14. ● Obtén la suma de los términos que se indican en las siguientes progresiones geométricas.

a) S10 si a1 = 5 y a2 = 7.b) S20 si b3 = 1 y b4 = 4. c) S30 si c2 = 4 y c4 = 1. d) S40 si d1 = -1 y d3 = -4.

86. ● Dada una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 0,1, obtén:

a) La suma de los 6 primeros términos.

87. ● En una progresión geométrica, a1 = -1 y r = 7. Calcula.

a) La suma de los 10 primeros términos.

15. ● Obtén la suma de los términos que se indican en las siguientes progresiones geométricas.

a) S10 si a1 = 5 y r = 2. b) S20 si b3 = 1 y r = -2. c) S30 si c2 = 4 y r = -1. d) S40 si d1 = -1 y r = 3.

16. ● Dada una progresión geométrica cuyo término general es an = (-3)n-1:

a) Halla los tres primeros términos de la progresión geométrica.

b) Determina la suma de los 6 primeros términos.

17. ●● Calcula la suma de los múltiplos de 3 comprendidos entre 200 y 301.

18. ●● Halla la suma de los cien primeros múltiplos de 6.

19. ●● La sucesión 1, -1, 1, -1, 1,-1, …a) ¿Es una progresión aritmética o geométrica? b) Calcula su término general.

20. ●● La sucesión 2, -2, 2, -2, 2, -2, … a) ¿Es una progresión aritmética o geométrica?b) Calcula su término general.

118

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PROBLEMAS CON PROGRESIONES

94. ●● El número de usuarios de un polideportivo los fines de semana comenzó siendo de 150 personas y aumentó en 30 personas cada fin de semana a partir de entonces.

a) ¿Cuántos usuarios hubo en la semana 12?b) ¿Y en las 10 primeras semanas?

95. ●● Teresa ha comprado un caballo y quiere herrarlo. Para ello tienen que ponerle 20 clavos, el primero de los cuales cuesta 1 céntimo de euro y cada uno de los restantes vale 1 céntimo más que el anterior. ¿Cuánto paga en total por herrarlo?

96. ●● ¿Cuánto pagaría Teresa si el precio del primer clavo fuese el mismo, pero cada uno de los siguientes costara el doble que el anterior?

97. ●● En un aparcamiento cobran 0,25 € por la primera hora de estacionamiento y, por cada hora siguiente, el doble de lo cobrado en la hora anterior. ¿Cuánto pagaremos por estar aparcados durante 8 horas?

98. ●● Un árbol de rápido crecimiento multiplica su altura por 1,2 cada año. Si al comenzar el año medía 0,75 cm, ¿qué altura tendrá dentro de 10 años? ¿Cuánto crecerá en esos 10 años?

99. ●● Dejamos caer una pelota desde una altura de 1 metro, y en cada uno de los botes que da sube a una altura igual que la mitad del bote anterior. ¿A qué altura llegará en el quinto bote?

100. ●● Lanzamos un balón que da botes a lo largo de un pasillo, como se ve en la figura.

Si al séptimo bote choca con la pared y se para, ¿qué distancia habrá recorrido?

101. ●● Halla la profundidad de un pozo si por la excavación del primer metro se han pagado 20 €, y por la de cada uno de los restantes se pagan 5 € más que en el anterior, siendo el coste total de 1 350 €.

102. ●● Una rana está en el borde de una charca circular de 7 metros de radio y quiere llegar al centro saltando. Da un primer salto de 3 metros y, después, avanza en cada uno la mitad que en el salto anterior. ¿Logrará llegar al centro?

103. ●● Durante los cuatro primeros meses de vida, un bebé ha ido ganando cada mes un 20% de peso. Si al nacer pesaba 2 900 gramos, ¿cuál ha sido su peso al final del cuarto mes?

104. ●● Una escalera tiene todos los peldaños iguales menos el primero, que mide 20 cm. Al subir 100 escalones, la altura ascendida es de 1 505 cm. ¿Qué altura tiene cada peldaño?

105. ●●● Una bióloga está estudiando la evolución de una población de moscas.

a) Si el número inicial de moscas es de 50 y, cada 10 días, la población de moscas se cuadruplica, halla el término general de la progresión formada por el número de moscas cada 10 días.

b) ¿Cuántas moscas habrá a los 50 días?c) Si el precio del alimento para las moscas

en el primer día es de 1 €, y cada día aumenta 2 céntimos más, halla el término general de la progresión.

d) Determina el valor del alimento en el día 20.e) Calcula el valor del alimento en los

40 primeros días.

119

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La riqueza de los sabios

Aquella fue la gota que colmó el vaso: su propia madre le reprochaba que siendo tan sabio no fuera igualmente rico. La chanza no era nueva pero a Tales de Mileto le dolió como nunca. Se encerró en casa y comenzó a fraguar su plan.

Sus estudios de los astros le permitieron predecir un perfecto año para el cultivo. Así que reuniendo todo el dinero del que disponía y aun el que, en secreto, pudo pedir prestado, se hizo con el control de todas las prensas de aceite de Mileto y su vecina Quíos.

Su predicción sobre el clima fue acertada, y sus vecinos se frotaban las manos pensando en los beneficios de la cosecha de aceituna. Pero cuando fueron a moler las aceitunas sus sonrisas se tornaron en muecas, pues hubieron de pagar lo estipulado por Tales.

Cumplida su pequeña venganza, y además convertido en rico, vendió las prensas y las tierras y se dedicó a sus estudios de filosofía y matemáticas, no sin antes decirle a sus vecinos: «Tomad para vosotros los consejos que dais a otros».

Uno de los postulados de Tales es que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre un ángulo recto.

Figuras planas 8

1. Busca información sobre Tales de Mileto.

2. A Tales de Mileto se le atribuye la medición de la Gran Pirámide. Explica cómo lo hizo.

3. Además del postulado que se enuncia en el texto, investiga qué otras aportaciones geométricas realizó Tales de Mileto.


301386 _ 0120-0135.indd 120 21/07/11 9:55



• Determinar las rectas y puntos notables de un triángulo.

• Calcular el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

• Reconocer y calcular el área del círculo y de las figuras circulares.

PLAN DE TRABAJO

POLÍGONOSUn polígono es una figura plana limitada por segmentos.

Clasificación de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar según:

• Su número de lados.

• La igualdad de sus lados y ángulos. A los polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales se les llama polígonos regulares. En caso contrario, son polígonos irregulares.

Los lados son los segmentos que limitan el polígono.

La suma de las longitudes de los lados es su perímetro.

Los ángulos son las regiones que forman los lados

al cortarse. Se escriben así: EU.

Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula.

Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.A

B

C

D

E

F

F

F

F

F

F

A partir de 12 lados, los polígonos se

nombran: polígono de 13, 14… lados.

Nombre N.º de lados Regular Irregular

Triángulo 3

Cuadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

Nombre N.º de lados Regular Irregular

Heptágono 7

Octógono 8

Eneágono 9

Decágono 10

EVALUACIÓN INICIAL

1 Dibuja este polígono en tu cuaderno y señala sus lados, vértices y ángulos. Traza sus diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene?

2 Dibuja un octógono, un eneágono y un decágono que no sean regulares, y traza sus diagonales.

3 Contesta si es verdadero o falso.

a) Un polígono puede tener más vértices que lados.b) Un polígono puede tener más vértices que ángulos.c) Un polígono puede tener más vértices que diagonales.

4 Indica el nombre de estos polígonos.

b)a)

121

301386 _ 0120-0135.indd 121 21/07/11 9:55

Rectas y puntos notables en un triángulo

2.1 Medianas

Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto.A

G

B

C

Las tres medianas del triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.

2.2 Mediatrices


Cómo se construye la mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Trazamos dos arcos, con centro en los puntos A y B, de igual radio y que se corten.

La recta que pasa por los puntos de corte P y Q es la mediatriz.

A B A

P

Q

B

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio.

A

O

B

C Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. Este punto está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo.

Con centro en el circuncentro, y radio, la distancia del circuncentro a cualquier vértice, se puede dibujar una circunferencia que pasa por los tres vértices: la circunferencia cir-cunscrita al triángulo.

2

4 Dibuja la circunferencia circunscrita a estos triángulos.a) C

A B

b)


1 Copia estos triángulos en tu cuaderno y determina su baricentro.a) b)

B

C

A

Se dice que un polígono está inscrito en una

circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia.

122

301386 _ 0120-0135.indd 122 26/07/11 9:48

7 Dibuja la circunferencia inscrita de estos triángulos.

a) C

A B

b)


2 Copia estos triángulos en tu cuaderno y determina su ortocentro.

a) b)

2.3 Alturas

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice del triángulo al lado opuesto o su prolongación.

A

HB

C

Las tres alturas del triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

2.4 Bisectrices


Cómo se construye la bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la línea recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

Con centro en el vértice O y cualquier abertura, trazamos un arco.

Trazamos dos arcos que se corten, uno con centro en C y otro con centro en D.

Los arcos se cortarán en P. La recta que pasa por O y P es la bisectriz.

O A

B

A

B

D

CO A

B

O

P

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en dos partes iguales.

A

I

B

C Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro. Este punto está a la misma distancia de los tres lados del triángulo.

Con centro en el incentro, y radio, la distancia del incentro a cualquier lado, se puede dibujar una circunferencia que pasa por los tres lados del triángulo: la circunferencia inscrita.

C

A

B

Distancia entre el punto P y la recta r :

r

Distancia

Perpendicular

P

r

Distancia

123

301386 _ 0120-0135.indd 123 26/07/11 15:12

Teorema de Pitágoras


Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos

Triángulo rectánguloUn ángulo recto

Triángulo acutánguloÁngulos agudos

Triángulo obtusánguloUn ángulo obtuso

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2

A B

C

ab

c

EJEMPLOS

6 Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 20 y 21 cm, respectivamente.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2 b = 20, c = 21------" a2 = 202 + 212 = 841

Despejando a: a 841 29= = cm

7 Si un cateto de un triángulo rectángulo y la hipotenusa miden 5 y 13 cm, respectivamente, ¿cuánto mide el otro cateto?

Aplicando el teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2 a = 13, b = 5------" 132 = 52 + c2 " c2 = 132 - 52 = 144

Despejando c: c 144 12= = cm

8 Comprueba si los triángulos con estas medidas son triángulos rectángulos.

a) 48 cm, 55 cm y 73 cm b) 3 cm, 4 cm y 6 cm

Si un triángulo es rectángulo tiene que cumplir el teorema de Pitágoras. La medida mayor siempre corresponde a la hipotenusa.

a) Hipotenusa = 73 cm Catetos = 48 cm y 55 cm

a2 = b2 + c2 a = 73, b = 48, c = 55----------" 732 = 482 + 552 " 5 329 = 5 329

Luego el triángulo es rectángulo.

b) Hipotenusa = 6 cm Catetos = 3 cm y 4 cm

a2 = b2 + c2 a = 6, b = 3, c = 4--------" 62 ! 32 + 42 " 36 ! 9 + 16

Luego el triángulo no es rectángulo.

3

a

20 c

m 21 cm

El triángulo rectángulo es el único triángulo

que cumple el teorema de Pitágoras.

3 Halla un cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa 22 cm y el otro cateto, 16 cm.


10 Calcula el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 24 cm.

124

301386 _ 0120-0135.indd 124 21/07/11 9:55

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

4.1 Altura de un triángulo equilátero o isósceles


Cómo se clasifican los triángulos según sus lados

Triángulo equiláteroLados y ángulos

iguales

Triángulo isóscelesDos lados y dos ángulos iguales

Triángulo escalenoLados y ángulos

desiguales

Podemos hallar una altura de un triángulo equilátero, o la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles, conociendo la longitud de sus lados y utilizando el teorema de Pitágoras.

En ambos casos, la altura siempre corta en el punto medio de la base.

Los triángulos AMC& y MBC& son rectángulos con hipotenusa uno de los lados del trián

gulo ABC&, y catetos, la altura y la mitad de la base.

EJEMPLOS

9 Calcula la altura de este triángulo isósceles.

h h h5 4 5 4 9 9 3 cm2 2 2 2 2 2= + = - = = =" "

La altura de este triángulo isósceles mide 3 cm.

1 Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm.

10 5 10 5 75h h2 2 2 2 2 2= + = - ="

75 8,66h cm= =

La altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm mide 8,66 cm.

4

Al/2 l/2M

B

C

h

5 cm 5 cm

8 cm

h5 cm

4 cm

hF

h10 cm

5 cm5 cm

4 ¿Cuánto mide x en este triángulo equilátero de lado 6 cm?


14 Calcula el valor de a en el triángulo equilátero.

a)

4 cma

6 cmh

x x

En un triángulo escaleno, la altura no corta en

el punto medio de la base.

125

301386 _ 0120-0135.indd 125 21/07/11 9:55

4.2 Diagonal de un rectángulo


Cómo se clasifican los cuadriláteros según sus lados y sus ángulos

PARALELOGRAMOS " Lados paralelos dos a dos

CuadradoÁngulos rectos y lados iguales

RectánguloÁngulos rectos y lados

iguales dos a dos

RomboideÁngulos y lados

iguales dos a dos

RomboLados

iguales

TRAPECIOS " Dos lados paralelos

Trapecio rectánguloDos ángulos rectos

Trapecio isóscelesDos lados iguales

Trapecio escalenoLados y ángulos

desiguales

TRAPEZOIDES " No tienen lados paralelos

Podemos determinar la longitud de la diagonal de un cuadrado o un rectángulo, conociendo la medida de sus lados.

Los triángulos ABC& y CDA& son rectángulos con hipotenusa la diagonal, y catetos, dos de los lados.

EJEMPLO

10 Halla la longitud de la diagonal de este rectángulo.

,d d4 6 52 52 7 21cm2 2 2= + = = ="

La diagonal de este rectángulo mide 7,21 cm, aproximadamente.

A

d

B

D C

4 cm

6 cm

d 4 cm

6 cm

dF

14 Calcula el valor de a en el cuadrado.

b)

6 cma


5 Calcula la longitudde la diagonal de este rectángulo.

5 cm

9 cm

126

301386 _ 0120-0135.indd 126 21/07/11 9:55

18 Halla el áreade la figura.


17 Calcula el área de los siguientes polígonos.

a) Un trapecio de bases 12 cm y 8 cm y altura 5 cm.

Área de figuras planas


Cuáles son las unidades de medida de superficie

kilómetro cuadrado

(km2)1 000 000 m2

hectómetro cuadrado

(hm2)10 000 m2

decámetro cuadrado

(dam2)100 m2

metro cuadrado

(m2)

decímetro cuadrado

(dm2)0,01 m2

centímetro cuadrado

(cm2)0,0001 m2

milímetro cuadrado

(mm2)0,000001 m2

5.1 Área de triángulos y cuadriláterosA continuación tienes las fórmulas para calcular el área de estos polígonos.

Triángulo Cuadrado

b

h?

Ab h

2= l

l

A = l ? l = l2

Rectángulo Rombo

h

b

A = b ? h dD

?A

D d2

=

Romboide Trapecio

h

b

A = b ? h h

B

b

( ) ?A

B b h2

=+

EJEMPLO

11 Determina el área de esta figura.

Dividimos la figura en otras más simples cuya área sepamos calcular.Esta figura se puede descomponer en un rectángulo y un triángulo.

, , ,

? ?? ?

A b h

Ab h A A A

5 2 10

2 25 1

2 510 2 5 12 5

cm

cmcm

12

22 1 2

2= = =

= = == + = + ="4

El área de esta figura es 12,5 cm2.

5

1 cm

2 cm

5 cm

Podemos calcular el área de cualquier polígono, dividiéndolo en otros polígonos de los que

sabemos calcular el área.

10 cm2 cm

6 cm

26 cm4 cm

127

301386 _ 0120-0135.indd 127 21/07/11 9:55

5.2 Área de un polígono regular


Qué es el perímetro de un polígono

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

Cuáles son los elementos de un polígono regular

• Laapotema, a, es el segmento perpendicular al lado trazado desde su punto medio hasta el centro del polígono regular.

• Elradio, r, es el segmento que une el centro del polígono regular con un vértice cualquiera.

El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre 2.

?A

P a2

=

EJEMPLOS

2 Calcula el área de un hexágono regular de 58,8 cm de perímetro y 8,5 cm de apotema.

?A

P a2

= P = 58,8; a = 8,5-------"

8,558,8 ?A

2= = 249,9 cm2

El área del hexágono es 249,9 cm2.

3 Halla el área de un octógono regular de 2,48 cm de lado y 3 cm de apotema.

Como un octógono tiene 8 lados y el lado mide 2,48 cm:

P = 2,48 ? 8 = 19,84 cm?

AP a

2= P = 19,84; a = 3

--------" , ?

A2

19 84 3= = 29,76 cm2

El área del octógono es 29,76 cm2.

a

e

d c

b

P = a + b + c + d + e

r

a

8,5 cml

3 cm

l

24 Halla el área de la siguiente figura. Observa que el interior es un hexágono regular.

2 cm 2 cm

2 cm 2 cm

2 cm


23 Determina el área de un hexágono regular de lado 6 cm.

21 Halla la apotema de un heptágono regular de lado 6 cm y área 130,8 cm2.

En un hexágono regular, el lado y el radio son

iguales.

128

301386 _ 0120-0135.indd 128 21/07/11 9:55

5.3 Área de figuras circulares


Cuáles son los elementos de una circunferencia

• Centro de la circunferencia: es el punto del cual equidistan todos los puntos que la forman.

• Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

• Diámetro: es un segmento que une dos puntosde la circunferencia y que pasa por el centro. Su longitud es el doble que la del radio.

• Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Figuras circulares Área

Círculo: superficie plana contenida dentro de una circunferencia.

r

O A = rr2

Sector circular: parte de un círculo limitado por dos radios y un arco.

a r

O Ar360

2r a=

Corona circular: superficie plana comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

r RO A = r(R2 - r2)

EJEMPLO

4 Halla el área de estas figuras.

a) 40°

3 cm

b)

5 cm3 cm

,

A360 360

3603 14 cm

2 2

2

= = =

= =

,

,

? ?r 3 14 3 40

1 130 4

r a A = r(R 2 - r 2) == 3,14 ? (52 - 32) == 3,14 ? 16 = 50,24 cm2

Radio

Diámetro

Arco

O

B

A

Dos circunferencias son concéntricas

cuando tienen el mismo centro.

27 Dos circunferencias concéntricas tienen radios de 5 y 3 cm, respectivamente. Calcula el área de la corona que originan. Halla también el área de los círculos que generan.


26 Halla el área de un círculo cuyo diámetro mide 6 cm.

6 Calcula el área de un sector circular determinado por un círculo de radio 4 cm y ángulo de 100°.

129

301386 _ 0120-0135.indd 129 21/07/11 9:55


2. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO

Calcula el lado de estos polígonos.

a) b) c)

PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.

Área de triángulos y cuadriláteros Área de un polígono regular

Área de figuras circulares

( ) ?A

B b h2

=+

1. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR LA ALTURA DE UN POLÍGONO

Halla la altura de estos polígonos.

PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo que determina la altura, y sus medidas.

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.a) 132 = 52 + h2 b) 62 = 32 + h2 c) 172 = 82 + h2

h2 = 132 - 52 h2 = 62 - 32 h2 = 172 - 82

h2 = 144 " h 144 12 cm= = h2 = 27 " , h 27 5 2 cm= = h2 = 225 " h 225 15 cm= =


a) 202 = 122 + b2

b2 = 202 - 122

b b256 256 16 cm2= = ="

b) l2 = 122 + 52

l2 = 169

l 169 13 cm= =

c) , ,l l

13 10 52 2

58 752 22 2

= + ="e eo o

, , , l

l2

58 75 7 66 15 3 cm= = =" "

hh

b

b

B

a

l?A

D d2

=A = b ? h A = l2

A = b ? h

h

b

h

b

d D

l

l

l

10,5 cm13 c

m

b

12 cm20 cm 10 cm

24 cmG

G

G

h

5 cm

13 cm

a)

h

6 cm

b)

h

8 cm

17 cm

c)

?A

b h2

=

?A

P a2

=

A = rr 2

rO

A = r(R2 - r 2)

r

R

Ora

Ar

360

2r a=

O

130

301386 _ 0120-0135.indd 130 21/07/11 9:55

3. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR LA APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR

Calcula la apotema de estos polígonos regulares.

PRIMERO. El triángulo de lados el radio, la apotema y la mitad del lado es rectángulo.

Identificamos sus medidas considerando que en el hexágono regular el radio es igual al lado.

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.

a) 62 = 32 + a2 " a2 = 62 - 32 b) 17,52 = 62 + a2 " a2 = 17,52 - 62

, a a27 27 5 2 cm2= = =" , , , a a270 25 270 25 16 44 cm2= = ="

4. CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

Determina el área de esta figura.

PRIMERO. Descomponemos la figura en otras cuyas áreas sepamos calcular. FIGURA A " Triángulo isósceles con lados iguales de 1,3 m y base de 2,4 m.FIGURAS B, C, D, E, F y G " Semicírculos iguales de diámetro 2,4 : 6 = 0,4 m.

SEGUNDO. Hallamos cada una de las áreas de las figuras que hemos obtenido en la descomposición.

Figura A " Calculamos h.1,3 1,2 0,25 , 0,5 h h 0 25 m2 2 2= - = = ="

, ,,

? ?A

b h2 2

2 4 0 50 6 mA

2Figura = = =

Figura B " Calculamos r.r = 0,4 : 2 = 0,2 m

,,

?A

r2 2

0 20 06 m B

2 22

Figurar r

= = =

TERCERO. Operamos para obtener el área total. ATotal = AFigura A + 6 ? AFigura B = 0,6 + 6 ? 0,06 = 0,96 m2

Comprende estas palabras1. Calcula el área de un trapecio cuyas bases

miden 8 cm y 5 cm, y su altura, 3 cm.2. Halla el área de una corona circular comprendida

entre dos circunferencias de radios 5 cm y 3 cm.

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de un polígono3. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo

lado mide 10 cm.

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono4. ¿Cuánto mide el lado de un rombo cuyas

diagonales miden 2 cm y 4 cm?

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de un polígono regular

5. Calcula el área de un hexágono regular de perímetro 24 cm.

Calcular el área de una figura plana

6. Halla el área de la figura.

14 cm

13 cm12 cm 12 cm

Y AHORA… PRACTICA

a) b)

12 cm17,5 cm

1,3 m 1,3 m

B C D E F G2,4 m

Ah

6 cm

a r a

131

301386 _ 0120-0135.indd 131 21/07/11 9:55

ActividadesELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

33. ● Dibuja varios triángulos rectángulos y señala su ortocentro. ¿Dónde se encuentra situado?

35. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles, la hipotenusa mide 10 cm. Si se traza una circunferencia circunscrita, ¿cuál es el radio?

36. ●● En un triángulo equilátero de perímetro 36 cm se traza la circunferencia circunscrita. Sabiendo que la mediana mide 10,39 cm, ¿cuál es el radio de la circunferencia?

37. ●● En un triángulo rectángulo, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro son puntos situados:

a) En el exterior del triángulo.b) En el interior del triángulo.c) Sobre un lado.

38. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles, señala el circuncentro y el ortocentro. El segmento que une estos dos puntos del triángulo es:

a) Mediana c) Alturab) Mediatriz d) Bisectriz

¿Se verifica esto también en un triángulo rectángulo y escaleno?

39. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles:

a) La altura correspondiente a la hipotenusa, ¿es mayor que un cateto?

b) La mediana correspondiente a la hipotenusa, ¿es mayor o menor que un cateto?

TEOREMA DE PITÁGORAS

40. ● La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de los catetos 6 cm. Obtén la longitud del otro cateto.

41. ● Calcula la longitud del lado que falta en cada triángulo rectángulo (a es la hipotenusa).

a) a = 34 cm, b = 30 cmb) b = 28 cm, c = 21 cm

42. ●● Halla la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos se diferencian en 2 cm y que el menor mide 6 cm.

43. ● Determina si los siguientes triángulos son rectángulos. En caso afirmativo, indica la medida de la hipotenusa y los catetos.a) Triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm.b) Triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 12 cm.c) Triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 61 cm.d) Triángulo de lados 7 cm, 24 cm y 25 cm.

44. ●● Halla la longitud de los segmentos indicados.a) b)

45. ● En un triángulo isósceles sabemos que los lados iguales miden 7 cm y el otro lado es de 4 cm. Calcula su altura.

46. ●● Halla la altura de un triángulo equilátero de perímetro 30 cm.

47. ●● Obtén la longitud de la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 cm y su altura 8 cm.

48. ●● Halla la longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 42 cm y su altura 20 cm.

49. ●● Determina la longitud del lado de un triángulo equilátero cuya altura es de 6 cm.

53. ● Calcula la longitud de x en las figuras.

a) 4 cmx

4 cm

c) 5 cm

8 cm

x

b) x

10 cm

x

d)

x

9 cm

117 cm

56. ●● Observa la siguiente figura:

Si los lados del rectángulo son 15 cm y 20 cm, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia?

2 cmA E

?

D

B

C

1 cm

1 cm

1 cm

2 cm

4 cm

2 cm

1 cm

3 cm

A F

E

?

D

B

C

20 cm

15 cmG

132

301386 _ 0120-0135.indd 132 21/07/11 9:55

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

58. ● Elige la respuesta correcta en cada caso.

a) El área de un rombo de diagonales 2 cm y 4 cm, es: I) 4 cm2 III) 6 cm2

II) 2 cm2 IV) 12 cm2

b) El área de un trapecio de bases 10 cm y 8 cm y altura 6 cm, es:

I) 240 cm2 III) 108 cm2

II) 54 cm2 IV) 60 cm2

c) El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm, es:

I) 86,6 cm2 III) 43,3 cm2

II) 50 cm2 IV) 100 cm2

7. ● Calcula el área de estas figuras geométricas.

a) Un cuadrado de lado 6 cm.b) Un rectángulo de 7 cm de largo y 4 cm de ancho.c) Un triángulo de 15 cm de base y 8 cm de altura.d) Un rombo con diagonales de 14 cm y 6 cm. e) Un romboide de altura 7 cm y base 12 cm. f) Un trapecio de 8 cm de altura y cuyas bases

miden 14 cm y 10 cm.

59. ●● El área de un triángulo isósceles es 24 m2 y el lado desigual mide 6 m. Halla la longitud de los otros lados.

60. ●● El área de un triángulo rectángulo es 12 cm2 y uno de los catetos mide 6 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa.

61. ●● Obtén el área de un triángulo equilátero de perímetro 90 cm.

62. ●● Si el área de un triángulo equilátero es 30 cm2, halla la longitud de su lado.

63. ●● Obtén el área de un triángulo rectángulo dehipotenusa 13 cm, siendo uno de los catetos 5 cm.

8. ●● Determina el área de un cuadrado, sabiendo que su perímetro es 48 cm.

64. ●● Calcula el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 7,07 cm.

9. ●● Halla el área de

4 cm 41 cm

este rectángulo.

66. ●● Calcula el área de un rectángulo cuya base mide 10 cm y la diagonal 116 cm.

67. ●● Determina el área de un rectángulo de base 7 cm y perímetro 24 cm.

68. ●● Calcula el área 4 cm

6 cm

9 cm

4 cm 11 cm

8 cmF

de la zona sombreada.

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIO ISÓSCELES SI SE DESCONOCE LA ALTURA?

69. Calcula el área 5 cmD C

A 8 cm

2,5 cm

B

de este trapecio isósceles.

PRIMERO. Se calcula la base del triángulo rectángulo que determina la altura.

Por ser el trapecio isósceles, las alturas determinan dos triángulos rectángulos iguales cuyas bases son la mitad de la diferencia de las bases del trapecio.

5 cmD

hh

C

A 8 cm

2,5 cm2,5 cm

1,5 1,5BE F

, AE FBAB CD

2 28 5

1 5 cm= =-

=-

=

SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que determina la altura.

1,52 + h2 = 2,52

h2 = 2,52 - 1,52 = 4

h 4 2 cm= =

TERCERO. Se halla el área del trapecio.

( ) ( )

? ?A

B b h2 2

8 5 213 cm2=

+=

+=

D

h

A

2,5 cm

1,5E

HAZLO ASÍ

10. ●● Calcula el área y el perímetro del siguiente trapecio isósceles.

6 cm

12 c

m

16 cm

133

301386 _ 0120-0135.indd 133 21/07/11 9:55

70. ●● Halla el área de estos trapecios isósceles.

a) c)

b) d)

11. ● Calcula el área de estos polígonos regulares.

a) Un hexágono regular de 5 cm de lado y apotema 4,33 cm.

b) Un heptágono regular de 4,17 cm de lado y apotema 4,33 cm

c) Un octógono regular de 5 cm de lado y apotema 6,0355 cm.

d) Un octógono regular de 4,299 cm de lado y apotema 5,19 cm.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR CUANDO CONOCEMOS SU ÁREA Y EL LADO?

12. Calcula el perímetro de un octógono regular de lado 12 cm y cuya área mide 789,12 cm2.

PRIMERO. Se calcula el perímetro del polígono.Como un octógono tiene 8 lados y su lado mide 12 cm:

P = 8 ? 12 = 96 cm

SEGUNDO. Se sustituyen los datos conocidos en la fórmula para calcular el área de un polígono regular.

?A

P a2

= A = 789,12; P = 96--------" ,

? a2

789 1296

= =

TERCERO. Se calcula el valor de la apotema despejando a en la ecuación resultante.

789,1296

789,12 2 96?

? ?a

a2

= =" "

,16,44

?a

96789 12 2

cm= ="

13. ●● Calcula la apotema de un heptágono regular de 5 cm de lado y cuya área es 90,825 cm2.

14. ●● Halla la medida del lado de un octógono regular de 4,33 cm de apotema y cuya área es 62,01 cm2.

15. ●● Obtén el área de un heptágono regular de lado 5 cm. ¿Cuál sería su área si fuese un octógono con el mismo lado?

6 cm

3 cm

10 cm

7 m

3,5 m 4,13 m

16 m

24 m

164 m

14 m4 m 3 m

73. ●● Determina el área de las superficies coloreadas.

16. ● Calcula el área de las siguientes figuras circulares.

a) Un círculo de radio 9 cm.b) Un sector circular determinado por un círculo de

radio 7 cm y con un ángulo de 80°.c) Una corona circular determinada por un círculo

de radio 18 cm y otro círculo concéntrico de radio 7 cm.

74. ●● Calcula el área de un círculo circunscrito a un triángulo rectángulo de catetos 6 cm y 8 cm.

75. ●● Halla el área de la corona circular limitada por las circunferencias circunscrita e inscrita de un cuadrado de lado 8 cm.

76. ●● Calcula el área de un sector circular de amplitud 60°, y radio, el de una circunferencia de longitud 12r cm.

77. ●● Obtén el área de un círculo cuyo diámetro es igual que el perímetro de un cuadrado de lado 7 cm.

78. ●● En una circunferencia de radio 5 cm se inscribe un triángulo rectángulo e isósceles. Calcula el área comprendida entre el círculo y el triángulo.

79. ●● Halla el área de la zona coloreada, sabiendo que el diámetro de la circunferencia mide 10 cm.

5 cm

4 cm

3 cm

b)

a)

d)

c)

G

5,54 cm

10 cm

b)

a) c)

10 cm

10 cm

134

301386 _ 0120-0135.indd 134 21/07/11 9:55

PROBLEMAS CON ÁREAS

86. ●● Observa esta torre y su sombra.

¿Qué distancia hay desde el punto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra?

87. ●● Una escalera

10 m

6 m

de 10 m de longitud está apoyada sobre una pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

88. ●● En los lados de un campo cuadrangular se han plantado 32 árboles, separados 5 m entre sí. ¿Cuál es su área? ¿Cuánto mide el lado?

89. ●● Esta señal de tráfico indica la obligatoriedad de parar. Halla su área si su altura es 90 cm y su lado mide 37 cm.

93. ●● En una pista circular se echan 15 kg de arena por metro cuadrado. ¿Qué radio tiene la pista si se han echado 4 710 kg de arena en total?

94. ●● En otra pista circular de 30 m de diámetro se quieren echar 30 kg de arena por metro cuadrado.

a) ¿Cuántas toneladas de arena se necesitan?b) Si una carretilla mecánica carga 157 sacos

de 5 kg cada uno, ¿cuántos desplazamientos tendrá que realizar?

17. ●● Calcula la longitud de las rampas del puente.

18. ●● Un jardín en forma de trapecio isósceles tiene dos lados paralelos de 80 y 140 m, y los otros dos de 50 m de longitud. Determina su área.

200 m

150

m 95. ●● Se desea hacer un círculo con losas

en un jardín cuadrado, como indica la figura.

10 m

a) ¿Cuánto mide el área enlosada?b) ¿Qué área ha quedado con césped?

97. ●● Construimos la montura de un monóculo con 10 cm de alambre. ¿Cuál es el área de la lente que encaja en la montura?

98. ●● Calcula el área que puede grabarse (en color azul en la fotografía) de un disco compacto. ¿Qué porcentaje del área total del disco se aprovecha para grabar?

6 cm

2 cm

G

F

G F

100. ●● Esta es la bandera de Brasil.Mide y calcula qué porcentaje del área total supone el área de cada color.

101. ●● El teleférico de la ciudad A sale de la base de una montaña y llega hasta la cima. Desde ese punto se dirige a la ciudad B o a la ciudad C.

800 m

A B C1 500 m 3 200 m

a) ¿Qué distancia recorre el teleférico desde la ciudad A hasta C?

b) ¿Y desde A hasta B?

5 m

15 m

8 m

135

301386 _ 0120-0135.indd 135 21/07/11 9:55

9El legado de Arquímedes

En Sicilia, preocupado porque el ideal de su hijo Marco fuera el espíritu guerrero y las conquistas de Julio César, Cicerón razonaba con él de esta manera:

–Muy cerca de aquí, en Siracusa, vivió el ingeniero bélico más grande de todos los tiempos. Él solo fue capaz de detener al ejército romano durante más de tres años.

Marco se interesó vivamente por el tema y su padre le contó la historia de Arquímedes, prometiéndole que al día siguiente irían a ver su tumba.

Al día siguiente, ante la tumba donde Marco esperaba ver las hazañas de Arquímedes, solamente encontró una esfera inscrita en un cilindro.

Entonces Cicerón le dijo a su hijo:

–Pese a todos sus logros en ingeniería militar, no dejó ni un solo escrito sobre ellos y sí numerosos libros de matemáticas y mecánica. Él pensaba que su mayor tesoro era haber descubierto que el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la contiene.

Cuerpos geométricos

1. ¿Cuáles fueron las aportaciones de Arquímedes a las matemáticas y a la mecánica?

2. ¿Cuándo encontró Cicerón la tumba de Arquímedes? ¿A qué se refiere Cicerón cuando dice que: «Él solo fue capaz de detener al ejército romano durante más de tres años»?

3. ¿Cuál es el descubrimiento más importante en geometría que se atribuye a Arquímedes?


301386 _ 0136-0151.indd 136 21/07/11 9:51



• Distinguir elementos de los poliedros.

• Reconocer los poliedros regulares.

• Aplicar el teorema de Pitágoras en el espacio.

• Calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.

PLAN DE TRABAJO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Los planos son superficies sin aristas ni ondulaciones. No tienen grosor y son ilimitados; es decir, no tienen principio ni final.

Posiciones relativas de dos planos

Dos planos son paralelos si no tienen ningún punto en común.

Decimos que dos planos son secantes si se cor tan en una recta.

Posiciones relativas de dos rectas

Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Si están en el mismo plano y tienen un único punto en común, se denominan secantes. Y si las rectas están en planos distintos y no tienen puntos comunes, se cruzan.

Paralelas Secantes Se cruzan

Posiciones relativas de una recta y un plano

Una recta es paralela a un plano si no tienen ningún punto en común, es secante si tienen un punto en común, y está contenida en el plano si todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

Paralela Secante Contenida

EVALUACIÓN INICIAL

1. Observando tu habitación, indica elementos que sugieren:

a) Planos paralelos. e) Rectas perpendiculares a un plano.b) Planos secantes. f) Rectas paralelas a un plano.c) Rectas paralelas. g) Rectas secantes a un plano.d) Rectas secantes. h) Rectas contenidas en un plano.

1 Indica las posiciones relativas de rectas y planos que ves en estos cuerpos geométricos.

a) b)

Los planos, por ser ilimitados, no se pueden dibujar en su totalidad, por lo que dibujamos un

paralelogramo.

137

301386 _ 0136-0151.indd 137 21/07/11 9:51

Poliedros


Cuáles son los elementos de un polígono

Los elementos de un polígono son:• Lados: segmentos que delimitan el polígono.• Vértices: puntos donde se unen dos lados.• Diagonales: segmentos que unen

dos vértices no consecutivos.• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.

Cómo se nombran los polígonos

Nombre N.º de lados

Triángulo 3

Cuadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

Nombre N.º de lados

Heptágono 7

Octógono 8

Eneágono 9

Decágono 10

Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por polí-gonos.

Los poliedros se nombran según su número de caras:

4 caras " Tetraedro 5 caras " Pentaedro 6 caras " Hexaedro…

Llamamos desarrollo plano de un poliedro a la figura que se obtiene al extenderlo sobre un plano. A partir de él podemos reconstruir el poliedro.

1

Cara

Cada polígono que limita al poliedro.

Arista

Lado de cada cara.

Diagonal

Segmento que une dos vértices no consecutivos.

Vértice

En él concurren tres o más caras. Coinciden con los vértices de las caras.

F

G

G

F

F

Vértice

Diagon

al

Lado

Ángulo interior

2 Halla el número de caras, aristas y vértices de este poliedro.


1 Cuenta el número de caras, aristas y vértices del poliedro.

138

301386 _ 0136-0151.indd 138 21/07/11 9:51

1.2 Fórmula de Euler

En la mayoría de los poliedros se cumple la relación de Euler:

C + V = A + 2 N.o de caras N.o de vértices N.o de aristas

EJEMPLO

1 Comprueba que se verifica a) b)la relación de Euler en los siguientes poliedros.

a) C = 7, A = 15, V = 10 " 7 + 10 = 15 + 2b) C = 7, A = 15, V = 10 " 7 + 10 = 15 + 2

1.3 Poliedros regulares


Qué son polígonos regulares e irregulares

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, si tiene algún lado o ángulo distinto, el polígono es irregular.

Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice se une el mismo número de caras.

Solo existen cinco poliedros regulares:

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

4 caras Triángulos equiláteros

6 caras Cuadrados


12 caras Pentágonos regulares


Polígono regular Polígono irregular

3 Indica los polígonos que forman las caras de estos poliedros regulares.a) Octaedro. b) Dodecaedro. c) Icosaedro.

5 Indica el poliedro regular que se puede formar con:a) Triángulos equiláteros. b) Cuadrados.¿Cuántas caras coinciden en cada vértice?


4 Este poliedro es un cubo truncado (cada vértice del cubo ha sido cortado formando un triángulo equilátero).

Comprueba que se cumple la relación de Euler.

139

301386 _ 0136-0151.indd 139 21/07/11 9:51

Prismas. Área2

Según la forma de las bases, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales…

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí (bases) y el resto de caras son paralelogramos (caras laterales). La altura del prisma es la distancia entre las bases.

Decimos que un prisma es recto cuando sus caras laterales son todas rectángulos, es decir, son perpendiculares a las bases. En caso contrario, se denomina oblicuo.Se dice que un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares.

Área de un prismaEl área de un prisma recto es la suma del área lateral (área de sus caras la-terales) y el área de las bases. El área lateral es el área de un rectángulo de ancho, el perímetro de la base, y de altura, la altura del prisma.

A = ALateral + 2ABase = PBase ? h + 2ABase

Fh hPBase

EJEMPLO

3 Calcula el área del ortoedro que ves a la izquierda.

A = PBase ? h + 2ABase = (2 ? 9 + 2 ? 6) ? 16 + 2 ? (9 ? 6) = 588 cm2

Prisma cuadrangular oblicuo

Arista básica

Cara lateral

Alt

ura

Base

Arista lateral

Prisma pentagonal recto

G

G

G

9 cm6 cm

16 cm


Cómo se calcula el área de los principales polígonos

Rectángulo

A = b ? hh

b

Triángulo

?A

b h2

=h

b

Polígono regular

í ?A

a2

per metro=a

9 Halla el área de un prisma triangular, es decir, la base es un triángulo equilátero regular, de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura.


7 Clasifica este prisma y nombra sus principales elementos.

Los prismas rectos cuya base es un rectángulo

o un cuadrado reciben el nombre de ortoedros.

a)

140

301386 _ 0136-0151.indd 140 21/07/11 9:51


Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos

12 Calcula el área total de una pirámidehexagonal regular, con arista básica 6 cm y apotema de sus caras laterales 12 cm.


11 Clasifica esta pirámide y nombra sus principales elementos.

Pirámides.Área3

Según la forma de las bases, las pirámides pue-den ser triangulares, cuadrangulares, pentago-nales…

Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono y sus caras laterales son triángulos con un vértice común, llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirá-mide es la distancia de la base a dicho vértice.

Decimos que una pirámide es recta cuando sus caras laterales son todas triángulos isósceles. En caso contrario, se denomina oblicua.

Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono regular.

Llamamos apotema de una pirámide regular a la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Área de una pirámideEl área de una pirámide regular es la suma del área lateral (suma de las áreas de los triángulos) y el área de la base. Si n es el número de aristas básicas:

( )?

? ? ? ?A n

l a n l a P a2 2 2Lateral

Base= = =

?A A A A

P a2Base Lateral Base

Base= + = +

EJEMPLO

4 Calcula el área de una pirámide cuadrangular regular, de arista básica 6 cm y apotema 8 cm.

Como la pirámide es regular, su área es: ( )? ? ?

A AP a

26

26 4 8

132 cmBB 2 2= + = + =

6 cm

8 cm

Pirámide hexagonal recta

Arista básica

Vértice

Cara lateral

Alt

ura

Base

Arista lateral

ApotemaG

F

F

F

l

l

ll

l

l l

l

a

En una pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles.

EquiláteroLados

y ángulos iguales

IsóscelesDos lados

y dos ángulos iguales

EscalenoLados y ángulos

desiguales

a)

141

301386 _ 0136-0151.indd 141 21/07/11 9:51


Cómo se calcula la longitud de una circunferencia y el área de un círculo

Los cuerpos de revolución son cuerpos geométricos que se obtienen al girar una figura plana alrededor de una recta (eje de giro).

4.1 CilindroSe obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Su desa-rrollo plano consta de un rectángulo y dos círculos (bases).

El área es la suma del área lateral más el área de las dos bases.

A = ALateral + 2ABase == 2rrh + 2rr2 == 2rr(h + r)

r

h

r

h2rrF

EJEMPLOS

5 Halla el área del cilindro de altura 4 cm y radio de la base 3 cm.

A = 2rr(h + r) h = 4, r = 3

" A = 2r ? 3(4 + 3) = = 2 ? 3,14 ? 3 ? 7 = 131,88 cm2

El área del cilindro es 131,88 cm2.

2 Calcula la altura de un cilindro de área 242 cm2 y con radio de la base 3 cm.

A = 2rr(h + r) A = 242, r = 3

" 242 = 2r ? 3(h + 3) 242 = 6r(h + 3) " 242 = 6rh + 18r

242 =18,84 ? h + 56,52 " ,

,,h

18 84242 56 52

9 84=-

= cm

La altura del cilindro es 9,84 cm.

4 cm

3 cm

Cuerpos de revolución. Área4

Longitud de una circunferencia

L = 2rr

4 Calcula el área de los cilindros con estas características.a) Altura 3 cm y radio de la base 8 cm.b) Altura 6 cm y radio de la base 2 cm.

15 ¿Qué altura tiene un cilindro de área lateral 75,36 cm2 y radio de la base 4 cm?


14 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área de los siguientes cuerpos de revolución.

a) Un cilindro de 3 cm de radio de la base y 5 cm de altura.

b) Un cilindro de 5 cm de radio de la base y 2 cm de altura.

Radio

Eje de giro

Alt

ura

FG

r Área del círculo

A = rr 2r

142

301386 _ 0136-0151.indd 142 21/07/11 9:51

5 ¿Qué generatriz tiene un cono de área lateral 75,36 cm2 y radio de la base 4 cm?

6 Si el área de una esfera mide 642,26 cm2, ¿cuánto medirá su radio?


14 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área de los siguientes cuerpos de revolución.

a) Una esfera de 5 cm de radio.

b) Un cono de 4 cm de radio y 6 cm de generatriz.


Cómo se calcula la longitud de un arco y el área de un sector circular

4.2 ConoSe obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su desarrollo plano consta de un círculo (base) y un sector circular.

El área es la suma del área lateral más el área de la base.

A = ALateral + ABase =

A = ?gg

rr

2

22 2rr

rr+ =

A = rrg + rr 2 = rr(g + r)

g

r r

g2rrF

EJEMPLO

5 Halla el área de un cono de altura 4 cm y radio de la base 3 cm.

Calculamos primero la generatriz del cono:

2g r h2= + r = 3, h = 4

" 5g 3 4 25 cm2 2= + = =

Calculamos ahora el área del cono:

( )A r g rr= + r = 3, g = 5

" ( )? ?A 3 5 3r= + =

, ,? ?3 14 3 8 75 36 cm2= =

4.3 EsferaSe obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. La esfera no tiene desarrollo plano.

El área se calcula con la fórmula: A = 4rr2

EJEMPLO

3 Calcula el área de una esfera de 3 m de radio.

A = 4rr 2 r = 3" 4 3 4 3,14 9 113,04? ? ?A m2 2= = =r

4 cm

3 cm

Área de un sector circular

A360

2r a=

rLongitud de un arco

LAB"

?

3602r a

=r

a r

O

Radio

Centro

F

F

Eje de giro FG

a

A

B

Radio

Eje de giro

Alt

ura

FG

143

301386 _ 0136-0151.indd 143 26/07/11 15:13

r

3 cm

7 cm

Volumende cuerpos geométricos

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio encerrada dentro de su superficie.


Cuáles son las unidades de medida de volumen

kilómetro cúbico(km3)

1 000 000 000 m3

hectómetro cúbico(hm3)

1 000 000 m3

decámetro cúbico(dam3)1 000 m3

metro cúbico

(m3)

decímetro cúbico(dm3)

0,001 m3

centímetro cúbico(cm3)

0,000001 m3

milímetro cúbico(mm3)

0,000000001 m3

5.2 Volumen del prisma y el cilindro

Para calcular el volumen de un prisma o un cilindro necesitamos cono-cer el área de su base y su altura.

Base

h

r

Alt

ura

Base

VPrisma = ABase ? Altura = ABase ? h VCilindro = ABase ? Altura = rr2h

EJEMPLO

7 Halla el volumen de un prisma cuadrangular, de lado de la base 3 cm y altura 7 cm. Calcula también el volumen del cilindro inscrito en el prisma.

Para calcular el volumen del prisma, hallamos primero el área de su base. Su base es un cuadrado de lado 3 cm: A = l 2 = 32 = 9 cm2

Por tanto, el volumen del prisma será:

VPrisma = ABase ? h ABase = 9, h = 7

" V = 9 ? 7 = 63 cm3 Y para calcular el volumen del cilindro tenemos que determinar el radio de la base. El radio será la mitad del lado de la base del prisma.

r 23

= = 1,5 cm " VCilindro = rr2 ? h = r ? 1,52 ? 7 = 49,455 cm3

5

7 ¿Qué generatriz tiene un cono de área lateral 75,36 cm2 y radio de la base 4 cm?

8 Si el área de una esfera mide 642,26 cm2, ¿cuánto medirá su radio?


20 Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular cuya arista de la base mide 3 cm y la altura 4 cm.

21 Halla el volumen del cilindro circunscritoen el prisma del ejercicio anterior.

144

301386 _ 0136-0151.indd 144 21/07/11 9:52

5.3 Volumen de la pirámide y el cono

Para calcular el volumen de una pirámide o un cono necesitamos cono-cer, también, el área de su base y su altura.

Base

hg

r

Alt

ura

Base

VPirámide = 31

(ABase ? h) VCono = 31

(rr2h)

EJEMPLO

8 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.a)

Es una pirámide de base cuadrada.

V = 31

(ABase ? h) = 31

(62 ? 10) = 120 cm3

b) Es un cono. Primero calculamos su altura.

h2 = 82 - 42 " 8 4 6,93 h cm2 2= - =

V = 31

(rr2 ? h) = 31

(r ? 42 ? 6,93) = 116,05 cm3

5.4 Volumen de la esfera

Para calcular el volumen de una esfera tan solo hace falta conocer su radio.

Esfera 34 3= rV r

EJEMPLO

9 Calcula el volumen de esta figura.

a) El radio de la esfera es la mitad del diámetro, luego r = 2 cm. El volumen de la esfera es:

, ?V r34

34

2 33 49 cm3 3 3r r= = =

4 cm

Si un poliedro es regular, su base

es un polígono regular, y por tanto, los lados

de su base son iguales.

4 cm

8 cmh

4 cm

8 cmh

6 cm

10 c

m

27 Calcula el volumen de una esfera cuyo diámetro es 10 cm.


24 Calcula el volumen de las siguientes figuras.

10 cm

3 cm

7 cm

a)

4 cm

5 cm

b)

a)

145

301386 _ 0136-0151.indd 145 21/07/11 9:52


Prismas

Pirámides

Cilindros


1. APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN CUERPOS GEOMÉTRICOS

Calcula el dato desconocido en estos cuerpos geométricos.

PRIMERO. Determinamos el triángulo rectángulo que relaciona los datos conocidos y el dato desconocido, y aplicamos el teorema de Pitágoras.

a) b) c)

SEGUNDO. Resolvemos la ecuación resultante.

a) g2 = 32 + 42 b) 52 = (al)2 + 32 " (al)2 = 52 - 32 c) a2 = 32 + 42

g 3 4 5 cm2 2= + = a 5 3 4 cm2 2= - =l 3 4 5 a cm2 2= + =

Conos

Esferas

h h 2rr h

r

h

PBA = PBase ? h + 2ABase

V = ABase ? h

A = 2rr(h + r)V = rr2h

A = rr(g + r)

31

V r h2r=

A = 4rr2

34

V r3r=

a a

al

h

r

r

g2rr

g

r

a) b) c)

g

4 cm

3 cmal

3 cm

5 cm

a

4 cm

6 cm

g

4 cm

3 cm al

3 cm

5 cm

G

g2 = 32 + 42 52 = (al)2 + 32

?

?

A AP a

V A h

2

31

BaseBase

Base

= +

=

a

4 cm a2 = 32 + 42

26

3 cm=

F

F

F

F

r

r

2rr

146

301386 _ 0136-0151.indd 146 21/07/11 9:52

2. CALCULAR EL ÁREA DE UN POLIEDRO

Halla el área de este poliedro.

PRIMERO. Determinamos el tipo de poliedro y los datos necesarios para calcular su área.Pirámide cuadrangular regular:

n = 4 " PBase = 4 ? 6 = 24 cmCalculamos su apotema:

a2 = 52 - 32 " a 5 3 4 cm2 2= - =

ABase " Área de un cuadradoABase = 62 = 36 cm2

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.

236

224 4

84? ?

A AP a

cm2Base

Base= + = + =

4. CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CUERPO GEOMÉTRICO

Halla el volumen de estos cuerpos geométricos.

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.

a) V = ABase ? h = 19,28 ? 4 = 77,12 cm3 b) ,? ?V r h31

31

3 4 37 68 cm2 2 3r r= = =


1. Completa la tabla siguiente:

C V A

Prisma pentagonal

Pirámide octogonal

Aplicar el teorema de Pitágoras en cuerpos geométricos

2. Calcula la altura de un cono con 5 cm de radio de la base y 12 cm de generatriz.

Calcular el área de un poliedro

3. Obtén el área de un prisma triangular regular, de arista básica 3 cm y arista lateral 2 cm.

Calcular el área de un cuerpo de revolución

4. Halla el área de un cono de radio 4 cm y altura 3 cm.

Calcular el volumen de un cuerpo geométrico

5. ¿Cuál es el volumen de un tetraedro de arista de la base 2 cm y altura 1,63 cm?

Y AHORA… PRACTICA

a

5 cm

6 cm

4 cm

3 cm

4 cm

3 cm

3. CALCULAR EL ÁREA DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN

Obtén el área de estos cuerpos de revolución.

PRIMERO. Determinamos el tipo de cuerpo de revolución y los datos para calcular su área.a) Cilindro: r = 3 cm h = 4 cmb) Cono: r = 3 cm

Calculamos su generatriz:

g g4 3 4 3 5 cm2 2 2 2 2= + = + ="

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.a) A = 2rr(h + r) = 2r ? 3 ? (4 + 3) =

= 131,88 cm2

b) A = rr(g + r) = r ? 3 ? (5 + 3) = 75,36 cm2

PRIMERO. Determinamos el tipo de cuerpo geométrico y los datos necesarios para calcular su volumen.a) Prisma octogonal regular:

( ) ,19,28

? ? ?A

P a2 2

8 2 2 41cm2

Base= = = h = 4 cm

b) Cono: r = 3 cm h = 4 cm

a) b)

a) b)

4 cm

3 cm

4 cm

2,41 cm 2 cmF

147

301386 _ 0136-0151.indd 147 21/07/11 9:52

ActividadesPOLIEDROS

33. ●● Dibuja el desarrollo de estos poliedros.

34. ●● Los siguientes poliedros, ¿son regulares? Razona tu respuesta.

35. ●● Comprueba si estos poliedros cumplen la relación de Euler.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

36. ● En esta tabla están representados los poliedros regulares. Complétala y comprueba que todos cumplen la relación de Euler.

37. ● Dibuja una pirámide pentagonal. Cuenta sus aristas, vértices y caras, y comprueba que se cumple la relación de Euler.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE DETERMINA EL POLÍGONO QUE FORMA LA BASE DE UN POLIEDRO CONOCIENDO ALGUNA DE SUS CARACTERÍSTICAS?

9. Determina el polígono de la base en:a) Un prisma con 12 vértices.b) Una pirámide con 8 aristas.c) Un prisma con 10 caras.

PRIMERO. Si se conocen los vértices.• Un prisma solo tiene vértices en las bases.

Se divide entre 2 el número de vértices y se obtienen los lados del polígono de la base.

• Una pirámide tiene todos los vértices en la base, excepto uno. Se resta 1 al número de vértices y se obtienen los lados de la base.

a) Prisma " 2

12 = 6 lados " Base = Hexágono

SEGUNDO. Si se conocen las aristas.• Un prisma tiene las mismas aristas en las bases

y en las caras laterales. Se divide entre 3 el número de aristas.

• Una pirámide tiene las mismas aristas en la base y en las caras laterales. Se divide entre 2 el número de aristas.

b) Pirámide " 28

= 4 lados " Base = Cuadrado

TERCERO. Si se conocen las caras.• En un prisma, restando 2 (las bases) al número de

caras, se obtienen los lados del polígono de la base.• En una pirámide, restando 1 (la base) al número

de caras, se obtienen los lados de la base.c) Prisma " 10 - 2 = 8 lados " Base = Octógono

a)

b) d)

c)

a) b) c)

Caras Vértices Aristas C + V - A

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

148

301386 _ 0136-0151.indd 148 21/07/11 9:52

38. ● Determina el polígono que forma la base de un prisma en cada caso.

a) Si tiene 10 vértices.b) Si tiene 9 aristas.c) Si tiene 9 caras.

39. ● Averigua el polígono que forma la base de una pirámide en cada caso.

a) Si tiene 10 vértices. b) Si tiene 12 aristas.c) Si tiene 9 caras.

41. ● Las tres aristas de un ortoedro miden5, 6 y 4 cm, respectivamente. Halla su diagonal.

6 cm5 cm

4 cm

42. ●● Obtén la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.

44. ● La apotema de una pirámide cuadrangular regular mide 12 cm y su arista básica 10 cm. ¿Cuánto mide su altura?

45. ● La apotema de una pirámide hexagonal regular mide 10 cm y su arista básica 10 cm. ¿Cuánto medirá su altura?

46. ●● Halla la longitud de los segmentos marcados en los siguientes cuerpos geométricos.

a) 6 cm

b) 8 cm

8 cm

ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

51. ● Calcula el área total de un prisma triangular recto de altura 3 cm y cuya base es un triángulo equilátero de 2 cm de lado.

52. ● Halla el área de un ortoedro de altura 5 cm y cuya base es un rectángulo de 3 # 4 cm.

3 cm

54. ● Determina el área total de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm, y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

55. ●● Obtén el área de una cara y el área total de un tetraedro regular cuya arista vale 2 cm.

56. ●● Calcula el área de una cara y el área total de un octaedro regular cuya arista mide 4 cm.

57. ●● Halla el área de una cara y el área total de un icosaedro regular cuya arista es de 6 cm.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UNA MEDIDA DESCONOCIDA EN UN POLIEDRO DEL QUE CONOCEMOS SU ÁREA?

10. Calcula en cada caso:a) La altura de un prisma de área 214 cm2 y cuya

base es un rectángulo de lados 6 cm y 4 cm.b) La apotema de una pirámide con área 132 cm2

y cuya base es un cuadrado de lado 6 cm.

PRIMERO. Se sustituyen los datos conocidos en la fórmula del área del poliedro correspondiente.

a) 2 6 2 4 206 4 24? ?

?

?

PAA P h A2

cmcm2

Base

Base

Base Base

= + =

= == +

214 20 2 24 214 20 48? ? ?h h= + = +"

b) ?

?

PA

A AP a

4 6 246 36

2

cmcm

Base

Base

BaseBase

2 2

= =

= =

= +

132 36 132 36 12?

?a

a2

24= + = +" "

SEGUNDO. Se despeja el valor desconocido.

a) 214 20 4820

214 488,3? h h cm= + =

-="

La altura del prisma mide 8,3 cm.

b) 132 36 1212

132 368? a a cm= + =

-="

La apotema de la pirámide mide 8 cm.

11. ●● Determina la altura de un prisma de base cuadrangular de lado 8 cm sabiendo que su área mide 345 cm2.

12. ●● Calcula la apotema de una pirámide de base un rectángulo de lados 8 cm y 3 cm, sabiendo que su área mide 216 cm2.

A = 214, PBase = 20, ABase = 24"

A = 132, PBase = 24, ABase = 36"

149

301386 _ 0136-0151.indd 149 21/07/11 9:52

13. ●● Calcula la altura de un cilindro de área 86 cm2 que tiene como radio de la base 8 cm.

14. ●● Obtén la generatriz de un cilindro de área 102 cm2 cuyo radio de la base mide 12 cm.

58. ●● Calcula la arista de:

a) Un tetraedro de área total 16 3 cm2.

b) Un icosaedro cuyas caras miden 3 cm2.

c) Un octaedro de área total 18 3 cm2.

59. ● Determina el área de los siguientes cuerposy figuras esféricas.

a) e)

b) f)

c)

60. ● Halla el área de:

a) Un cubo cuya diagonal de una cara mide 10 cm.b) Un cilindro de 20 cm de diámetro de la base

y altura 12 cm.c) Un cono de 4 cm de radio y 6 cm de altura.d) Una esfera de 12 cm de diámetro.e) Un huso esférico de 80° y radio 20 cm.f) Un casquete esférico de 10 cm de radio

y 9 cm de altura.g) Una zona esférica de 8 cm de altura

y 12 cm de radio.h) Una pirámide hexagonal regular de altura 3 cm

y lado de la base 3 cm.

61. ●● El área lateral de una pirámide recta de base cuadrada y regular es de 80 cm2, y el perímetro de la base mide 32 cm. Calcula la apotema de la pirámide.

68. ● El radio de una esfera mide 3 cm. Calcula su área total.

VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

71. ● Obtén el volumen de una pirámide cuadrangular recta de arista 10 cm y altura 5 cm.

72. ●● Calcula el volumen de un prisma triangular recto de altura 8 cm y cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm.

73. ●● Halla el volumen de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 8 cm, y con base, un triángulo equilátero de 7 cm de lado.

74. ●● Calcula el volumen de un cilindro de 12 cm de diámetro, y altura, el triple del diámetro.

77. ● Halla el volumen de un cono:

a) De radio 5 cm y altura 8 cm.b) De radio 5 cm y generatriz 8 cm.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN CUERPO GEOMÉTRICO CONOCIENDO SU VOLUMEN?

15. Calcula en cada caso:a) La altura de un prisma de volumen 63 cm3

y cuya base es un cuadrado de lado 3 cm.b) La altura de un cono de volumen 164 cm3

y cuyo radio de la base mide 6 cm.

PRIMERO. Se sustituyen los datos conocidos en la fórmula del volumen del cuerpo geométrico correspondiente.

a) ABase = 32 = 9 cm2

V = ABase ? h V = 63, ABase = 9

" 63 = 9 ? h

b) )r31

(V h= r2 V = 164, r = 6

" 3164 (3,14 6 )? ? h1 2=

64 37,68 ? h1 =

SEGUNDO. Se despeja la altura en las expresionesque hemos obtenido.

a) 63 9963

7? h h cm= = ="

La altura del prisma mide 7 cm.

b) 164 37,6837,68164

4,35? h h cm= = ="

La altura del cono mide 4,35 cm.

78. ●● Obtén el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 20 cm.

6 cm5 cm

4 cm3 cm 3 cm

3 cm

G

4 cm

6 cmG

5 cm

3 cmG

150

301386 _ 0136-0151.indd 150 21/07/11 9:52

16. ●● Determina la altura de los siguientes cuerpos geométricos.

a) Un prisma de volumen 96 cm3 y que tiene como base un rectángulo de 6 cm y 2 cm.

b) Un prisma de volumen 96 cm3 y que tiene como base un hexágono regular de 4 cm de lado.

c) Un cilindro de volumen 78 cm3 y cuyo radio de la base mide 3 cm.

d) Una pirámide de volumen 84 cm3 y que tiene como base un cuadrado de 8 cm de lado.

e) Un prisma de volumen 84 cm3 y que tiene como base un pentágono regular de 4 cm de lado.

f) Un cono de volumen 62 cm3 y cuyo radio de la base mide 5 cm.

17. ●● Calcula el radio de una esfera cuyo volumen mide 124 m3.

18. ●● Halla el volumen de esta figura.

2 cm

19. ●● Determina el volumende la siguiente figura.

5 cm

2 cm

2 cm

F

80. ●●● Obtén el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a)

2 cm

2 cm

2 cm

4 cm

c)

b) e)

20. ●● En el interior de un cubo de 12 cm de arista construimos una pirámide cuya base es una cara del cubo y el vértice es el centro de la cara opuesta. Calcula el área y el volumen de esta pirámide. 12 cm

4 cm

4 cm

4 cm

3 cm

4 cm

G

G

5 cm

3 cm

PROBLEMAS CON CUERPOS GEOMÉTRICOS

86. ●● Un ascensor tiene las siguientes medidas: 100 # 100 # 250 cm. ¿Es posible introduciren él una vara metálica que mide 288 cm?

87. ●● Queremos pintar una habitación rectangular (incluido el techo) de 4 # 6 m y 3 m de altura. Cada uno de los botes que vamos a utilizar contiene pintura suficiente para pintar 30 m2.

a) ¿Cuántos botes tendremos que comprar si nos atenemos a lo que indica el fabricante?

b) Si al final hemos utilizado 4 botes, ¿para cuántos metros cuadrados nos da cada bote?

88. ●● La pirámide de Kefrén tiene las medidas que se indican en la figura.

Halla la altura de la pirámide.

89. ●● Calcula el área total de una torre cúbica de 10 m de arista, que tiene un tejado en forma piramidal cuya altura es 12 m.

90. ●● Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, 125 cm3. ¿Cuál tiene menor área? Si tuvieras que construir un depósito cúbico o esférico, ¿en qué forma se necesita menos material?

91. ●● La Géode es un gigantesco cine con forma de esfera. Calcula su área sabiendo que su volumen es de 24 416 640 dm3.

92. ●● Halla el volumen de esta piscina:

179,37 m

215,25 m

G

151

301386 _ 0136-0151.indd 151 21/07/11 9:52

10El carro del Sol

Cuenta la leyenda que en Alejandría, en los tiempos en que se construía el famoso faro, un grupo de hombres derrotó al Sol.

Apolo, al que otros llaman Ra, ordenó a sus siervos que le llevaran los ocho hombres más sabios de todos los tiempos, pues quería para él la sabiduría del mundo.

Los siervos comenzaron la tarea y encontraron a los siete primeros. Fue fácil, pues todos ellos estaban en el Hades y se les conocía como los Siete Sabios.

Al octavo lo buscaron entre los vivos y entre los muertos, en la tierra y en el cielo, pero no aparecía. Cansados de tanto buscar, le preguntaron al Oráculo:

–Su nombre es Euclides, y el lugar donde se encuentra es la biblioteca de Alejandría.

Montados en el carro de Apolo volaron hasta la biblioteca y allí hallaron a un grupo de hombres. El más anciano, que estudiaba dos cuadrados de diferente tamaño, anotando sus semejanzas y sus diferencias, fue capturado por los siervos de Apolo.

–¡Euclides es nuestro!

En ese instante todos los demás hombres los rodearon diciendo:

–¡Yo soy Euclides! ¡Yo soy Euclides!

Los enviados, ante la imposibilidad de reconocer quién era realmente Euclides, se fueron y le dijeron a Apolo que el octavo sabio no existía, que era uno y eran todos. Después de esto, Apolo liberó a los Siete Sabios, y preguntado por la razón contestó que no hay muros que contengan la sabiduría y el conocimiento.

Movimientos y semejanzas

1. Busca información sobre la vida de Euclides, matemático que vivió alrededor del año 300 a.C.

2. Existen diversas teorías sobre la existencia de Euclides, investiga sobre ellas.

3. Euclides está muy relacionado con la geometría. Investiga sobre la obra de este matemático.


301386 _ 0152-0165.indd 152 21/07/11 9:57



• Conocer las magnitudes vectoriales.

• Transformar una figura mediante traslaciones, giros o simetrías.

• Construir un polígono semejante a otro mediante homotecias.

• Reconocer polígonos semejantes.

PLAN DE TRABAJO

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas perpendiculares denominadas ejes de coordenadas.

En este sistema de coordenadas llamamos:• Eje de abscisas a la recta horizontal,

y se representa por X.• Eje de ordenadas a la recta vertical,

y se representa por Y.• Origen de coordenadas al punto de

intersección de los ejes, y se representa por O.

Coordenadas de un punto

Los puntos del plano quedan determinados por dos números entre paréntesis llamados coordenadas. Gráficamente, la primera coordenada se representa en el eje X, y la segunda, en el eje Y.

Representamos el punto (-1, 2):

• La primera coordenada, -1, la llevamos sobre el eje horizontal y trazamos una recta perpendicular al eje X.

• La segunda coordenada, 2, la llevamos sobre el eje vertical y trazamos una recta perpendicular al eje Y.

El punto de corte de esas dos rectas es (-1, 2).

Y

X

2(-1, 2)

-1

A

Eje de ordenadas

Eje de abscisas

Origen

O

Y

X

B

G

Los ejes de coordenadas dividen

el plano en cuatro partes, que se llaman

cuadrantes.

Segundo cuadrante

Primer cuadrante

Y

XTercer

cuadranteCuarto

cuadrante

EVALUACIÓN INICIAL

1 Indica las coordenadas de cada punto.

A

B

C

D

E

F

1

1

G

Y

X

1

1

AB

C

DEF

Y

X

1

1

2 Dados los puntos A(4, -1), B(3, 4), C(-3, 2) y D(-2, -3):

a) Represéntalos en el plano.b) Únelos en orden alfabético y une también D con A. ¿Qué figura obtienes?

3 Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(2, -1).

A

153

301386 _ 0152-0165.indd 153 26/07/11 9:56

Vectores


Qué es una recta, una semirrecta y un segmento

Línea recta No tiene origen ni final.

Semirrecta Tiene origen pero no tiene final.

Segmento Tiene origen y final.

Dos puntos del plano, A y B, determinan un vector fijo ABW, en el que A es el origen y B es el extremo. La distancia entre A y B (longitud del segmento AB) se llama módulo del vector, y la recta que pasa por A y B es la dirección del vector. El sentido es el que va de A a B.

EJEMPLO

1 Calcula el módulo, la dirección y el sentido de los vectores ABW y BWA.

a)

A B

Vector ABW b)

A B

Vector BAW

• Módulo ABW: 3 cm. • Módulo BAW: 3 cm.• Dirección: la de la recta AB. • Dirección: la de la recta AB.• Sentido: de A a B. • Sentido: de B a A.

Coordenadas de un vector

Dados los puntos del plano A(a1, a2) y B(b1, b2) en un sistema de coordena-das cartesianas, las coordenadas del vector AB son AB = (b1 - a1, b2 - a2).

El módulo del vector ABW se escribe ⏐ABW⏐, y se define como:

⏐ABW⏐ = + 2( ) ( )b a b a1 12

2 2- -

EJEMPLO

2 Halla las coordenadas y el módulo del vector ABW.

Las coordenadas de los puntos A y B son:A(2, 3) B(5, 4)

Por tanto, las coordenadas del vector son:

ABW = (5 - 2, 4 - 3) = (3, 1)

Y su módulo es:

⏐ABW⏐ = 3 1 102 2+ =

1

W W

5

3

1

1 3 5 X

BA

Y

Para expresar un vector lo hacemos mediante

su origen y su extremo, ABW, o mediante una letra: vW, wW, aW, bW…Estas letras son

las más utilizadas.

1 Dada esta pareja de puntos, calcula las coordenadas del vector ABW y halla su módulo.

b) A(4, 0) B(-1, -5)


1 Dada esta pareja de puntos, calcula las coordenadas del vector ABW y halla su módulo.

a) A(1, 3) B(-4, 5)

A

B

P

154

301386 _ 0152-0165.indd 154 21/07/11 9:57

8 Un cuadrado tiene como vértices los puntos A(-1, 1), B(1, 1), C(1, -1) y D(-1, -1).

a) Determina su trasladado AlBlClDl mediante la traslación de vector vW = (4, -2).


7 Obtén la figura trasladada de la figura F mediante el vector vW. F

vW

Traslaciones


Cómo se traza una recta paralela a otra que pasa por un punto

Para trazar una recta paralela a la recta r y que pase por P:

PRIMERO. Apoyamos uno de los bordes que forman el ángulo recto de la escuadra sobre la recta r. Colocamos, después, la regla pegada al otro borde.SEGUNDO. Deslizamos la escuadra sobre la regla, hasta que el borde coincida con el punto P.TERCERO. Trazamos la recta s que es paralela a la recta r y pasa por P.

Una traslación de vector vW transforma cualquier punto P en otro pun-to Pl, de forma que PPWl tiene el mismo módulo, dirección y sentido que vW. Se representa por tvW.

EJEMPLO

4 Realiza una traslación de vector vW al triángulo ABC.

Partiendo de cada vértice, colocamos vectores iguales en módulo, dirección y sentido que vW.

A

BC

Al

Bl

Cl

vW

Uniendo los extremos de los vectores, Al, Bl y Cl, obtenemos la figura transformada de la inicial.

AAl

BBl

C Cl

vW

Dados un punto A(x, y) y un vector vW = (v1, v2), el punto trasladado de A, Al, tiene como coordenadas Al(x + v1, y + v2).

EJEMPLO

5 Dados el punto A(2, 1) y el vector vW = (5, 2), determina las coordenadas del punto Al, transformado de A mediante la traslación tvW.

A(2, 1) traslación

"vW = (5, 2)

Al(2 + 5, 1 + 2) " Al(7, 3)

3

sP

r

A

Al

Y

X

6

4

2

2 4 6 8

vW

Una traslación transforma una figura en otra figura igual.

155

301386 _ 0152-0165.indd 155 21/07/11 9:57

Giros


Cómo se contruye un ángulo

Para dibujar un ángulo de 60°:

PRIMERO. Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta. A continuación, hacemos una marca en 60°.

SEGUNDO. Retiramos el transportador y unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada.

Un giro de centro O y ángulo a asocia a cada punto P otro punto Pl, situado a la misma distancia de O que el punto P, y de forma que POPl = a. Se expresa como G(O; a).

EJEMPLO

6 Transforma el triángulo ABC mediante un giro de centro el punto O y ángulo 120°.

Primero trazamos rectas que unan los vértices con el centro de giro, O. Después, dibujamos nuevas rectas que formen ángulos de 120°, el ángulo de giro, con las anteriores.

O

C

B

A

120°

Con el compás medimos, sobre la recta correspondiente, las distancias OA, OB y OC, obteniendo los puntos Al, Bl y Cl, que son los vértices del triángulo transformado.

OA

120°

Al

Bl

ClB

C

4

Un giro transforma una figura en otra

figura igual.

1 Un triángulo tiene por vértices los puntos A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 4). Halla su transformado por un giro de centro (0, 0) y ángulo:

a) De 90°. b) De 60°.

11 Un triángulo tiene por vértices los puntos A(3, 0), B(-1, 4) y C(2, 5). Halla su transformado por un giro de centro (2, -1) y ángulo de 180°.


10 Obtén la figura transformada de la figura F mediante un giro de centro O y ángulo de 90°.

O

F

156

301386 _ 0152-0165.indd 156 21/07/11 9:57

Una simetría respecto a un punto transforma

una figura en otra figura igual.

Simetrías5.1 Simetría respecto a un punto

Una simetría respecto a un punto O (centro de simetría), S(O), asocia a cada punto P otro punto Pl, tales que:

• Los puntos P, O y Pl están alineados, es decir, pertenecen a una misma recta.

• El punto O es el punto medio del segmento PPl.

EJEMPLOS

7 Realiza una simetría central de centro O al triángulo ABC.

Unimos los vértices con el centro de simetría, O. Este punto O, cada vértice y su transformado estarán en la misma línea recta, ya que la simetría central equivale a un giro de 180°.

A

B

O

C

Con el compás medimos la distancia OA, la llevamos sobre su recta correspondiente al otro lado del punto O y obtenemos Al. De forma similar obtendremos los puntos Bl y Cl.

180°

OA

Al

Bl

Cl

B

C

1 Realiza la simetría respecto al punto O(0, 0) del triángulo de vértices A(1, 0), B(5, 0) y C(3, 4).

1 5

4

X

Y

O

1 5

4

X

Y

O

5

2 Un triángulo tiene por vértices A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 4). Realiza una simetría respecto a (0, 0).

14 Dibuja el cuadrado de vértices:A (1, 1) B (-1, 1) C (-1, -1) D (1, -1)

y calcula su simétrico respecto al origen de coordenadas y respecto al punto A(1, 1).


13 Obtén la figura transformada de la figura F mediante una simetría central de centro O.

O

F

Punto medio

G

14424431442443A BMisma distancia

RECUERDA

157

301386 _ 0152-0165.indd 157 21/07/11 9:57

En una simetría respecto a una recta, la figura original se ve

como si estuviera reflejada en un espejo.

5.2 Simetría respecto a una recta


Cómo se traza una recta perpendicular a otra que pasa por un punto

Para trazar una recta perpendicular a la recta r y que pase por P:

PRIMERO. Apoyamos uno de los bordes que forman el ángulo recto de la escuadra sobre la recta r. SEGUNDO. Deslizamos la escuadra sobre la recta, hasta que el otro borde coincida con el punto P.TERCERO. Trazamos la recta s que es perpendicular a la recta r y pasa por P.

Qué es la mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Una simetría respecto a una recta r, Sr, asocia a cada punto P otro punto Pl, tales que:

• El segmento PPl es perpendicular a r.• Las distancias desde P y Pl a r son iguales.

Por tanto, la recta r es mediatriz del segmento PPl y se denomina eje de simetría.

EJEMPLO

8 Transforma el triángulo ABC mediante una simetría respecto a e.

En primer lugar, trazamos rectas perpendiculares al eje e desde cada uno de los vértices.

e

B

C

A

Con el compás medimos la distancia de A al eje e, la llevamos al otro lado del eje y obtenemos Al. De forma similar obtendremos los puntos Bl y Cl.

Al

Bl

Cl C

e

B

A

s

P

r

MediatrizA

B

3 Un triángulo tiene por vértices los puntos A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 4). Realiza una simetría respecto a:

a) El eje X.

b) El eje Y.


16 Obtén la figura transformada de la figura F mediante una simetría de eje e.

eF

158

301386 _ 0152-0165.indd 158 21/07/11 9:57

Homoteciasy semejanzas


Qué es una razón y una proporción

Una razón es un cociente entre dos números o cantidades comparables.Una proporción es una igualdad de dos razones.

Razones: 32

,

102 2

,6 83

Proporciones: ,21

63

0 5= = ,,

,,

,1 61 2

0 80 6

0 75= =

Una homotecia de centro O y razón k (k > 0) hace corresponder a cada punto P otro punto Pl, alineado con O y P, de forma que OPl = k ? OP.

EJEMPLO

9 Aplica a la figura ABCDE una homotecia de centro O y razón 2.

A partir del punto O trazamos rectas que pasan por cada uno de los vértices A, B, C, D y E de la figura original.En cada una de esas rectas marcamos los puntos Al, Bl, Cl, Dl y El, de forma que:

OAl = 2 ? OA OCl = 2 ? OC

OBl = 2 ? OB ODl = 2 ? OD…

AlBlClDlEl es el transformado de ABCDE por una homotecia de razón 2.

Polígonos semejantes

Dos polígonos son semejantes si cada ángulo y su transformado son iguales, y el cociente de la longitud de cada lado y su transformado es constante. A este número se le llama razón de semejanza.

EJEMPLO

10 Determina si las dos figuras del margen son polígonos semejantes.

• Cada ángulo y su transformado son iguales.• El cociente de un lado y su transformado es constante.

B C D A 32AB BC CD DA

k= = = = =A B DCl l l l l l l l

Las dos figuras son semejantes, con razón de semejanza 32

.

6

Bl

AlEl

Dl

D

CO

B

AE

Cl

Bl

Al

Dl

Cl

DC

B

A

Una homotecia transforma un polígono

en otro semejante.

4 ¿Son semejantes un triángulo de lados 6 cm, 9 cm y 12 cm, y otro de lados 9 cm, 13,5 cm y 18 cm?


20 Determina si un triángulo de lados de 3, 4 y 5 cm es semejante a otro de lados de 1,5; 2 y 2,5 cm.

159

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Lo esencial

2. REALIzAR GIROS


Vectores

Homotecias

1. REALIzAR TRASLACIONES

Transforma esta figura mediante una traslación tvW.

Transforma esta figura mediante un giro G(O; a).

PRIMERO. Ayudados de la escuadra y la regla, trazamos rectas paralelas al vector que pasen por cada uno de los vértices de la figura.

SEGUNDO. Utilizamos el compás o las coordenadas del vector para calcular su módulo.

TERCERO. Medimos esa distancia sobre las rectas que hemos dibujado, utilizando como origen los vértices de la figura. Los extremos serán los vértices de la nueva figura.

PRIMERO. Ayudados de la regla, trazamos rectas que unan cada vértice de la figura con el centro de giro, O.

SEGUNDO. Utilizamos el transportador para trazar otras rectas que formen un ángulo a con cada una de las rectas dibujadas.

TERCERO. Medimos las distancias entre el centro, O, y cada uno de los vértices de la figura, y llevamos esas distancias sobre las nuevas rectas. Los extremos serán los vértices de la nueva figura.

Respecto a un punto S(O)

Respecto a una recta Sr

ABW = (b1 - a1, b2 - a2)

Giros G(O; a)

Simetrías

Q

P

O

A

B

C

e

Al

Bl

Cl

A(a1, a2)

B(b1, b2)ABW

a

a

O

BC

Bl

Cl

Traslaciones tvW

A

B

C

Al

Bl

Cl

vW

A

BC

O

Al

Bl E

D

El

Dl

Cl

A

DB

C

vW

A

DB

C

vW

AlBl

Dl

Cl

A

DB

Ca

O

A

DB

Ca

Al

Bl

DlCl

HAzLO DE ESTA MANERA

160

301386 _ 0152-0165.indd 160 21/07/11 9:57

3. REALIzAR SIMETRÍAS RESPECTO A UN PUNTO

5. DIBUJAR UNA FIGURA SEMEJANTE A OTRA

Dibuja una figura semejante a esta cuya razón de semejanza sea k.

PRIMERO. Fijamos un punto cualquiera O, y desde ese punto trazamos rectas que pasen por cada uno de los vértices de la figura.

SEGUNDO. Con el compás, determinamos la distancia entre el punto O y los vértices de la figura.

TERCERO. Multiplicamos esas distancias por k, y las llevamos sobre las rectas dibujadas. Los extremos serán los nuevos vértices.

Aplica a esta figura una simetría S(O).

PRIMERO. Trazamos rectas que unan cada vértice con el centro de simetría, O.

SEGUNDO. Con el compás, medimos las distancias entre el centro y cada uno de los vértices.

TERCERO. Llevamos esas distancias sobre las rectas, al otro lado del punto O.

4. REALIzAR SIMETRÍAS RESPECTO A UNA RECTA

Aplica a esta figura una simetría Sr.

PRIMERO. Trazamos rectas perpendiculares al eje de simetría, r, desde cada vértice.

SEGUNDO. Con el compás, medimos las distancias entre el eje y cada vértice.

TERCERO. Llevamos esas distancias sobre las rectas, al otro lado de la recta r.

A

D

B

C

O

A

D

B

C

r

A

D

B

C

Al

OBl

DlClA

D

B

C

Al rBl

DlCl

A

B

C

Al

OBl

Cl


1. Dibuja un vector de extremos A(2, 3) y B(-2, 3).

2. ¿Cuánto mide el ángulo de un giro de centro O equivalente a una simetría de centro O?

Realizar traslaciones

3. ¿Cuál es el transformado del punto P(5, -6) por la traslación de vector vW = (-1, 6)?

Realizar giros

4. Halla el ángulo del giro que transforma F en Fl.

Realizar simetrías respecto a un punto

5. ¿Cuál es el simétrico de A(0, 2) respecto al origen?

Realizar simetrías respecto a una recta

1. Razona si es verdadero o falso.

Una simetría respecto de una recta:

a) Es equivalente a un giro.b) Se obtiene una figura igual.

Dibujar una figura semejante a otra

7. ¿Cómo es el perímetro de una figura semejante a otra con razón 0,5?

Y AHORA… PRACTICA

FO

Fl

161

301386 _ 0152-0165.indd 161 21/07/11 9:57

ActividadesVECTORES

31. ● Dadas las parejas de puntos, calcula las coordenadas del vector ABW y su módulo.

a) A(-1, 3), B(4, 5) c) A(4, -1), B(2, -6)

b) A(-2, 0), B(1, -3) d) A(-3, -3), B(-1, -2)

5. ● Calcula el módulo de los siguientes vectores.

a) AB = (3, 4) e) AB = (6, 8)

b) AB = (-3, 4) f) AB = (-6, 8)

c) AB = (3, -4) g) AB = (6, -8)

d) AB = (-3, -4) h) AB = (-6, -8)

¿Qué observas?

HAzLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN EXTREMO DE UN VECTOR DEL QUE CONOCEMOS EL OTRO EXTREMO Y SUS COORDENADAS?

6. Determina las coordenadas del punto A en el vector AB = (3, -4), sabiendo que B(1, 2).

PRIMERO. Se expresan las coordenadas del vector en función de las coordenadas de sus extremos.

AB = (b1 - a1, b2 - a2) = (3, -4)

G

A(a1, a2), B(1, 2)

(1 - a1, 2 - a2) = (3, -4)

SEGUNDO. Se iguala, coordenada a coordenada, y se resuelve la ecuación resultante.

1 3 1 3 22 4 2 4 6

a a aa a a

1 1

2 2 2

1- = - = =-- =- + = =

" "" "

Las coordenadas del otro extremo del vector son A(-2, 6).

32. ● Determina las coordenadas de A en el vector ABW y represéntalo gráficamente.

a) ABW = (2, 3) y B (-3, 4)

b) ABW = (-1, 0) y B (2, 5)

33. ● Obtén las coordenadas de B en el vector ABW y represéntalo.

a) ABW = (2, -2) y A (-3, 3)

b) ABW = (-2, -3) y A (2, -1)

c) ABW = (3, 0) y ,A 225

-e o

W W

W W

W W

W W

W

W

35. ●● Determina las coordenadas de los extremos del vector ABW, y obtén sus coordenadas y su módulo.

a) b)

36. ●● Dibuja el vector de extremos A(-2, 2) y B(3, 0) y calcula sus coordenadas y módulo.

7. ●● Determina el módulo de los siguientes vectores.

1

1

Y

X

AF

C

D

B E

¿CÓMO SE CALCULAN LAS COORDENADAS DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS?

34. Halla las coordenadas de los vectores.

Se considera el vector como la diagonal de un rectángulo y se calculan las dimensiones de sus lados.

PRIMERO. La primera coordenada del vector es la dimensión del largo del rectángulo que determina.

Se considera positiva si el desplazamiento es hacia la derecha, y negativa si es hacia la izquierda.

a) AAl " 3 unidades a la derecha " 3b) CCl " 3 unidades a la izquierda " -3

SEGUNDO. La segunda coordenada es la dimensión de la altura del rectángulo. Se considera positiva si el desplazamiento es hacia arriba, y negativa si es hacia abajo.

a) AlB " 2 unidades hacia arriba " 2b) ClD " 1 unidad hacia abajo " -1

Luego las coordenadas de los vectores son ABW = (3, 2) y CDW = (-3, -1).

HAzLO ASÍ

A

B5

3

1

1 3 5

Y

X

5

3

1

1 3 5

Y

X

A

B

5

3

1

1 3 5

Y

X

A

BD

CCl

Al

162

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TRASLACIONES

40. ● Obtén la figura transformada de la figura F mediante una traslación de vector vW.

a)

b)

c)

d)

8. ●● Dado el segmento AB, formado por los puntos A(1, 4) y B(-3, 5), calcula las coordenadas del segmento AlBl, transformado de AB mediante la traslación de vector v = (-1, -3).

9. ●● Calcula las coordenadas del segmento AlBl, trasladado del segmento AB mediante la traslación v = (2, -5), siendo A(-1, 3) y B(-2, 4).

10. ●● Tenemos una traslación t v de vector v = (2, 1). Halla los transformados por esa traslación de los puntos A(2, 3), B(-1, 4), C(-2, -2) y D(2, -3).

41. ●● Completa la siguiente tabla:

W

W

W W

11. ● Calcula las coordenadas del triángulo AlBlCl, trasladado de ABC mediante el vector v de la figura.

X

A

BC

1

1vW

Y

42. ● ¿Cuál es el vector de la traslación que transforma el punto A(2, -3) en el punto Al(-1, 7)?

43. ● Calcula las coordenadas del punto transformado del punto B(4, -2) mediante

una traslación de vector vW = 51,

32

-e o.

44. ●● Determina gráficamente los vectores de las traslaciones que transforman la figura F en Fl y Fm, respectivamente. Obtén también sus coordenadas.

F

Fl

F m

Y

X

5

3

1

-4 -2 1 3 5 7

45. ●● Halla la figura F que ha dado lugar a la figura Fl, al aplicarle una traslación de vector vW = (-2, -3). Antes de hacerlo, determina cuáles serán las coordenadas de los vértices de la figura F.

Fl

Y

X

3

1

-8 -6 -4 -2 1 3

12. ●● Un triángulo tiene por vértices los puntos:A (3, 0), B (-1, 4) y C (2, 5)

a) Halla el transformado de ABC, AlBlCl, mediante el vector v = (-3, 5).

b) Halla el transformado de AlBlCl, AmBmCm, mediante el vector v = (2, 4).

W

W

W

Punto Vector de traslación Punto trasladado

A(1, 3)

B(-2, -4)

D(1, 5)

E(0, 3)

vW = (1, -2)

wW = (-3, -5)

tW = (3, -2)

Bl(0, 3)

Cl(7, 2)

Dl(5, 1)

FvW

F

vW

FvW

F

vW

163

301386 _ 0152-0165.indd 163 21/07/11 9:57

GIROS

48. ● Obtén la figura transformada de F por el giro de centro O y el ángulo indicado.

a) Ángulo de 90°.

b) Ángulo de 45°.

c) Ángulo de -120° (120° en el sentido de las agujas del reloj).

13. ●● Copia la figura en tu cuaderno y determina gráficamente el triángulo AlBlCl, transformado del triángulo ABC por un giro de 45° con centro en el punto A.

14. ●● Halla la figura transformada de esta por G(O; 90°) y G(A; 90°). Escribe, en cada caso, las coordenadas de los vértices del triángulo.

A1

1

O

Y

X

A

1

1

CY

X

B

15. ●● Dibuja un triángulo equilátero ABC. Haz giros de centro el vértice A y ángulos 60° y 120°. ¿Qué figura forman los tres triángulos que se obtienen?

49. ●● Determina el centro y el ángulo del giro que transforma F en Fl.

F Fl

50. ●● Halla la figura F que ha dado lugar a la figura Fl al aplicarle un giro de centro el origen y ángulo de 90°.

Fl

Y

X

5

3

1

-6 -4 -2 1 3 5

51. ●● Completa esta tabla, referida a distintos giros con centro en el origen de coordenadas.

Punto Ángulo Punto transformado

A(1, 0)

C(1, 2)

E(0, 3)

90°

90°

180°

180°

Bl(0, 3)

Dl(3, 4)

El(-3, 0)

SIMETRÍAS

53. ● Obtén la figura transformada de F por una simetría central de centro O.

a)

O

F c)

OF

b) F

O

d) F

O

F

O

F

O

F

O

164

301386 _ 0152-0165.indd 164 21/07/11 9:58

54. ● Determina la figura transformada de F mediante:

a) Una simetría de centro el origen.b) Una simetría de eje el eje de ordenadas.

F

Y

X

3

1

-6 -4 -2 1 3 5

¿Qué relación hay entre las coordenadas de los vértices de F y los de sus transformados?

16. ● Calcula las coordenadas del punto Pl, simétrico del punto P(2, 1), en la simetría de centro O(0, 3). Represéntalos gráficamente.

17. ● Dibuja el segmento de extremos A(1, 3) y B(-2, -2) y, después, construye y calcula su simétrico respecto al punto C(-3, 4).

18. ● Dibuja en tu cuaderno esta figura y construye la figura simétrica a la dada respecto al punto A.

55. ●● Determina el centro de simetría que transforma F en Fl y Fl en Fm, y el eje de simetría que realiza las mismas transformaciones.

F Fl

Fm

56. ●● Completa la tabla, referida a distintas simetrías.

Punto Eje de simetría Punto trasladado

A(1, 3)

Ordenadas

Ordenadas Bl(0, 3)

HOMOTECIAS Y SEMEJANzAS

57. ● Las figuras T y Tl son homotéticas. Halla el centro y la razón de la homotecia.

58. ● Calcula la longitud de los lados de un triángulo semejante a otro cuyos lados miden 7, 11 y 13 cm, si la razón de semejanza es k = 3.

59. ●● Los seis lados de un hexágono miden 13, 14, 15, 17, 19 y 20 cm. Un lado de otro hexágono semejante mide 80 cm. Si la razón de semejanza es un número entero, ¿cuánto miden los demás lados?

60. ●● Dibuja un rectángulo de 8 # 6 cm y añádele 3 cm en cada lado. ¿Has obtenido un rectángulo semejante? ¿Por qué?

61. ●● Calcula la razón de semejanza de estos polígonos. ¿Qué relación tienen los perímetros?

3 cm

5,1 cm

1,4 cm F

PROBLEMAS CON MOVIMIENTOS Y SEMEJANzAS

78. ●● Queremos hacer un armario en miniatura, semejante a otro cuyas dimensiones son 180 # 110 # 45 cm, de forma que la altura sea 13,5 cm. Calcula su ancho y su profundidad.

79. ●● Determina las dimensiones que tendrá una casa rectangular en un plano a escala 1 : 50, si en la realidad su base es la mitad de la altura y su área es 144 m2.

80. ●● Una célula humana tiene un diámetro aproximado de 3,5 millonésimas de metro y, con un microscopio electrónico, se ve con un diámetro de 1,75 cm. Calcula cuántos aumentos tiene el microscopio.

Tl

T

165

301386 _ 0152-0165.indd 165 21/07/11 9:58

La gripe española

Salamanca, 1918. Dos enfermeras, una de ellas con evidentes signos de agotamiento, realizaban el cambio de turno en el hospital. La enfermera saliente, Carmen, le daba unas pautas a la inexperta enfermera que llegaba a relevarla.–No te involucres personalmente con el paciente, no quieras saber ni su nombre, porque probablemente en pocos días habrá muerto. –La gripe causaba estragos entre la población–. Observa los síntomas y si ves que el enfermo tiene los pies azules… no te entretengas y reza por su alma.Tres años después, Ana, cuyo trabajo de voluntaria había concluido, leía en el periódico local las cifras oficiales de muertes

por gripe en los últimos años.Sus ojos se humedecieron al recordar a su amiga Carmen, que engrosaba el número de víctimas correspondiente a 1918.El número de muertes a causa de esta pandemia se cifró entre 20 y 40 millones en todo el mundo.El otro diario de la ciudad, en lugar de una tabla, presentó la información mediante una gráfica.

11 Funciones

1. El ámbito científico es uno de los campos en los que más se utilizan las funciones. Busca casos reales en los que se use la representación de funciones.

2. Según los datos oficiales, ¿cuántas muertes hubo por gripe española en España entre los años 1915 y 1921?

3. Busca datos y distintos tipos de gráficas sobre la incidencia de la gripe A en el mundo durante el año 2009.


1915191619171918191919201921

6 4817 0217 479

147 11421 23517 825

5 837

Muertes anuales

por gripe en España

El Diario

LA VERDADMuertes anuales por gripe

140

100

60

2015 16 17 18 19 20 21M

iles

de

mu

erto

s

Año

301386 _ 0166-0181.indd 166 21/07/11 9:54

Antes de empezar la unidad... POLINOMIOS

Monomios Polinomios


-x 74x 2 -6x 4

-x + 24x 2 - 6x + 4

Para designar los polinomios utilizamos una letra mayúscula, indicando entre paréntesis las letras (variables) que aparecen en el polinomio.

P(x) = -x + 7 " Polinomio con una variable, x.

P(x) = 4x 2 - 6x + 4 " Polinomio con una variable, x.

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el valor que obtenemos al sustituir las letras por valores determinados y operar después.

P(x), para un valor x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando.

P(x) = -6x + 2 para x = 2 P(2) = -6 ? 2 + 2 = 10 para x = -1 P(-1) = -6 ? (-1) + 2 =

= 6 + 2 = 8

P(x) = 7x 2 + 3x para x = 2 P(2) = 7 ? 22 + 3 ? 2 = 34 para x = -1 P(-1) = 7 ? (-1)2 + 3 ? (-1) =

= 7 ? 1 - 3 = 4

Podemos obtener tantos valores

numéricos en un polinomio como

números diferentes asignemos a la

variable o variables del mismo.


• Reconocer si una relación entre variables es o no una función.

• Determinar el dominio, puntos de corte con los ejes y máximos y mínimos de una función.

• Representar y analizar funciones.

PLAN DE TRABAJO1 Construye tres polinomios con cualesquiera de estos monomios:

x2 -x2 4x -3x 8 -8

2 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = -2.

a) P(x) = 2x - 1b) P(x) = -x - 7 c) P(x) = x2 + 4xd) P(x) = -5x2 + 8x - 24

3 Determina el valor que tiene que tomar x para que se cumpla que P(x) = 0 en estos polinomios.

a) P(x) = x - 4b) P(x) = 2x + 8 c) P(x) = -4xd) P(x) = -x + 6

EVALUACIÓN INICIAL

167

301386 _ 0166-0181.indd 167 21/07/11 9:54

La relación en la que a cada número le hacemos

corresponder su raíz cuadrada no es una función.

Al número 4 le correspondería 4 = ±2,

es decir, dos valores distintos.

Concepto de función

Una función es una relación entre dos magnitudes o variables numé-ricas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

La variable x se denomina variable independiente, y la variable y, variable dependiente.


Qué son magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.

Peso (kg) 1 2 3 … 6 …

Precio (€) 8 16 24 … 48 …

? 2 : 2F F

? 2 : 2F F

EJEMPLO

1 El precio del metro de alambre es 0,60 €. La relación entre las variables Longitud de alambre y Precio, ¿es una función?

El precio es proporcional a la longitud de alambre:

Longitud (en m) Precio (en €)

1 ? 0,60" 0,60

2 ? 0,60" 1,20

3 ? 0,60" 1,80

x ? 0,60" 0,60 ? x = y

Podemos expresar esta relación como: y = 0,60x.

Si agrupamos algunos pares de valores en forma de tabla, tenemos que:

Longitud (m) 0,5 1 1,5 2 2,5

Precio (€) 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50

Vemos que para cada longitud, x, tenemos un único precio, y, porque una cantidad de alambre no puede tener dos precios distintos.

Luego esta relación sí es una función, donde la variable independiente, x, es la longitud de alambre y la variable dependiente, y, es su precio.

1

2 Dados los números 3, 5, 7 y 9, calcula para cada uno el número o números que le corresponden con esta relación, e indica si es función.

a) Su doble más 2.


1 Di, razonando tu respuesta, si la relación entre este par de magnitudes es o no una función.

a) El peso de una persona y su altura.

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor se puede expresar por un número.Son magnitudes: la longitud, el peso, la superficie…

RECUERDA

168

301386 _ 0166-0181.indd 168 21/07/11 9:54

La expresión algebraica de la función que asocia a cada número su triple menos 7 se puede escribir como:

y = 3x - 7 f(x) = 3x - 7 y = f(x) = 3x - 7Y el valor de esta función en x = 4 se representa como:

f(4) = 3 · 4 - 7O como:

y = f(4) = 3 · 4 - 7

5 Obtén la expresión algebraica de la función que asocia a cada número:

a) Su triple. c) Su doble más 5.


4 Expresa, mediante un enunciado, las siguientes funciones.

a) y = 2x - 1 b) y = -x + 3

Formas de expresaruna función

2.1 Función definida por un enunciado

La relación entre las variables de una función la podemos expresar de forma verbal.

• «A cada número le asociamos su cuadrado».

• «Dado un número, le asignamos su mitad más 1».

EJEMPLO

2 Pon varios ejemplos de funciones expresadas mediante enunciados.

• Las ofertas de un supermercado relacionan el peso o la cantidad de unidades con un determinado precio.

• Los parquímetros de una ciudad muestran el tiempo que podemos estacionar en función del dinero abonado.

2.2 Función definida por una expresión algebraica


Cómo se expresa un enunciado con una expresión algebraica

Enunciado Expresión algebraica

El triple de un número " 3xLa mitad de un número "

x2

El cuadrado de un número " x2

El cuadrado de un número más 2 unidades " x2 + 2

En ocasiones, las funciones vienen dadas por una expresión algebraica. Esta expresión se denota y = f(x) y se llama ecuación de la función.

Cada valor de la variable independiente x, sustituido en la ecuación de la función, permite calcular el valor de la variable dependiente y.

EJEMPLOS

3 Determina la expresión algebraica de la función que asocia a cada número, x, un valor, y, igual que su cuadrado, x2.

Expresión algebraica " y = x2

4 ¿Cuál es la expresión algebraica de la función que asocia a cada número su triple menos 7? ¿Qué valor tiene la función para x = 4?

Expresión algebraica " y = f (x) = 3x - 7

Para x = 4 " f (4) = 3 ? 4 - 7 = 12 - 7 = 5

2

169

301386 _ 0166-0181.indd 169 21/07/11 9:54

Antes de unir los puntos debemos reflexionar sobre

si tiene sentido hacerlo o no.Esto dependerá de

los valores que puedan tomar las variables.

x

-2

-1

0

1

y

-3

-1

1

3

2.3 Función definida por una tabla de valores

Una función puede estar definida también por una tabla de valores.

EJEMPLO

5 Construye una tabla de valores para la función y = 2x + 1.

y = 2x + 1

x = -2 " y = 2 ? (-2) + 1 = -3

x = -1 "y = 2 ? (-1) + 1 = -1

x = 0 "y = 2 ? 0 + 1 = 1

x = 1 "y = 2 ? 1 + 1 = 3

2.4 Función definida por una gráfica


Qué es un sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por:• Eje de abscisas, X, que es la recta horizontal.• Eje de ordenadas, Y, que es la recta vertical.• Origen de coordenadas, O, que es el punto

de corte de los ejes.

Los pares de valores relacionados de una función, (x, y), determinan puntos del plano en un sistema de coordenadas cartesianas. La repre-sentación de todos esos puntos forma su gráfica.La variable independiente, x, se representa en el eje de abscisas y la variable dependiente, y, en el eje de ordenadas.

EJEMPLO

6 Utilizando la tabla del ejemplo anterior, dibuja la gráfica de la función y = 2x + 1.

Según la tabla, las coordenadas de los puntos son: (-2, -3) (-1, -1) (0, 1) (1, 3) (2, 5)

En principio, la gráfica estaría formada solo por esos puntos. Sin embargo, como la variable x puede tomar cualquier valor, podemos unir los puntos.

y = 2x + 1

1

1

Y

X

8 Halla una tabla de valores para las siguientes funciones y obtén su representación gráfica.

e) y = -3x - 1 f) y = x 2 + 1 h) y = -x


8 Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprésalas mediante un enunciado.

a) y = x + 2 b) y = 2x + 3 c) y = x 2

F

F

F

F

B(-3, 3)

C(-2, 0)

D(-1, -2)

A(2, 2)

E(1, 0)1

1

Y

X

170

301386 _ 0166-0181.indd 170 26/07/11 15:16

12 Dada la función que asocia a cada número real su triple menos 6, obtén:a) Su expresión algebraica.b) Su dominio y gráfica.

13 Considerando la función que asocia a cada número real su inverso más 3.

a) Escribe su expresión algebraica.b) Obtén su dominio.


11 Determina el dominio de la función.

Características de una función

3.1 Dominio


Qué es un intervalo

-1

-0,7 -0,5 -0,1234…

-0,001

0

F

El segmento coloreado de verde es el intervalo de extremos -1 y 0, y lo representamos como [-1, 0], [-1, 0), (-1, 0] o (-1, 0), según pertenezca o no a él cada uno de los extremos.Los puntos -0,5; -0,001; -0,7; -0,12345… pertenecen a este intervalo. Es decir, pertenecen a él todos los números reales comprendidos entre -1 y 0.

El dominio de una función f (x) es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente. Se representa por Dom f.

EJEMPLOS

7 Calcula el dominio de la función.

El dominio se calcula en el eje X.

Son todos los valores de x para los que existe función. En este caso,los intervalos [-6, 3] y [5, 6].Lo escribimos así:

Dom f = [-6, 3] , [5, 6]

8 Determina el dominio de la función y = x2.

y = x2 " Asocia a cada número su cuadrado. Como existe el cuadrado de cualquier número, su dominio es todos los números reales. Lo escribimos así:

Dom f = R

3

X

Y

1

-6 1 3f(x)

5 6

Y

X

2

3F

CERRADOEl extremo pertenece

al intervalo.

ABIERTOEl extremo no

pertenece al intervalo.

F [a, b)

Para indicar que una propiedad se cumple en varios intervalos a la vez utilizamos el símbolo ,.

[4, 5] , [7, 9]

Es decir, todos los puntos del intervalo [4, 5] y todos los puntos del intervalo [7, 9].

SE ESCRIBE ASÍ

171

301386 _ 0166-0181.indd 171 21/07/11 9:54

Una función es continua cuando

no tiene puntos de discontinuidad.

3.2 Continuidad

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.

EJEMPLO

9 María va en motocicleta y circula a una velocidad constante de 25 km/h. Estudia y representa la función que relaciona el tiempo transcurrido con el espacio que recorre María.

Primero, construimos una tabla de valores.

Podemos tomar cualquier cantidad de tiempo, y para calcular la distancia recorrida bastará con multiplicar por 25, es decir, podemos unir los puntos de la gráfica. La función es continua.

3.3 Puntos de discontinuidad

Si al dibujar la gráfica de una función existe algún punto en el que la gráfica se interrumpe, decimos que es un punto de discontinuidad de la función.

EJEMPLO

10 Un artesano fabrica relojes que vende a 600 € cada uno. Si emplea una semana en fabricar cada reloj, representa la función Tiempo – Ganancia y determina sus puntos de discontinuidad.

Hasta que no termina la primera semana, no construye ningún reloj; por tanto, la ganancia es 0. A partir de la primera semana, su ganancia es 600…

Los puntos de discontinuidad de la función son los números naturales: 1, 2, 3, …

19 Determina los puntos de discontinuidad de esta función.


16 Dadas las funciones y = -x + 3 e y = x2:a) Forma las tablas de valores.b) Representa las funciones.c) ¿Son funciones continuas?

Función no continua

Función continua

X

2 400

1 800

1 200

600

Y

1Tiempo (semanas)

Gan

anci

a (€

)

2 3 4

Tiempo (h)

0

1

2

3

4

Distancia (km)

0

25

50

75

100X

100

75

50

25

Y

1Tiempo (h)

Esp

acio

(km

)

2 3 4

X

Y

1

1

172

301386 _ 0166-0181.indd 172 21/07/11 9:54

3.4 Puntos de corte con los ejes


Cómo se resuelve una ecuación

En una ecuación, para despejar la incógnita, podemos hacer que cualquier término aparezca en el otro miembro de forma inversa a como estaba:

• Si estaba sumando, aparece restando; y si estaba restando, sumando.x - 4 = 7 " x = 7 + 4 x + 4 = 7 " x = 7 - 4

• Si estaba multiplicando, aparece dividiendo; y si estaba dividiendo, multiplicando.

3x = 9 " x39

= x3

9= " x = 9 ? 3

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de la gráfica con ambos ejes de coordenadas.

• Los puntos de corte con el eje X son de la forma (a, 0) y el valor de a se calcula resolviendo la ecuación f (x) = 0.

• El punto de corte con el eje Y es de la forma (0, b) y el valor de b se calcula obteniendo f (0).

EJEMPLO

11 Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = -3x + 2.

• Puntos de corte con el eje X.

Su ordenada es 0. Para hallar su abscisa resolvemos la ecuación.

f (x) = -3x + 2 f (x) = 0

" -3x + 2 = 0 " -3x = -2 " 32

x=

El punto de corte con el eje X es A 32

, 0e o.

• Punto de corte con el eje Y.

Su abscisa es 0. Para calcular su ordenada hallamos f (0).

f (x) = -3x + 2 x = 0" f (0) = -3 ? 0 + 2 = 2

El punto de corte con el eje Y es B (0, 2).

Si representamos la función y = -3x + 2, vemos que los puntos de corte coinciden con los que hemos determinado.

x

-2

-1

0

1

2

y

8

5

2

-1

-4

X

Y

1

2

A

B

26 La función y = 5x, ¿en qué punto corta al eje Y? ¿Y la función y = 5x + 1?


22 Halla los puntos de corte con los ejes.a) y = 3x - 6 b) y = x + 1 c) y = -2x

Una función solo puede tener un punto de corte con el eje Y.

Si tiene más de un punto de corte, no es

una función.

Y

X

(a, 0)(0, f(0))

Y

X

173

301386 _ 0166-0181.indd 173 21/07/11 9:54

Esto significa que en el eje X, a la izquierda del 8, hay un trozo de eje del que

hemos prescindido porque no tiene gráfica.

8

Y

X

3.5 Crecimiento y decrecimiento

Dada una función f (x) y los valores x = a y x = b, tales que a < b:

a b

f(b)f(a)

Y

X

• La función es creciente entre a y b si f(b) > f(a).

a b

f(a)

f(b)

Y

X

• La función es decreciente entre a y b si f(b) < f(a).

a b

f(a) = f(b)

Y

X

• La función es constante entre a y b si f(b) = f(a).

EJEMPLO

12 Determina el crecimiento y el decrecimiento en esta gráfica, que representa a las personas, en miles, que acuden a un centro comercial a lo largo de un día.

6

5

4

3

2

1

10 12 14 16 18 20 22 24Horas

Y

8

Per

son

as (

mile

s)

X

Para estudiar el crecimiento y el decrecimiento de una función debemos mirar su gráfica de izquierda a derecha. Analizando la gráfica de esa manera, vemos que:

• Desde las 8 h hasta las 12 h, la función crece.• Entre las 12 h y las 14 h, decrece.• Desde las 14 h hasta las 16 h, se mantiene constante.• De las 16 h a las 18 h, vuelve a crecer.• Desde las 18 h hasta las 20 h, y desde las 20 h hasta las 24 h,

la función decrece.

Utilizando intervalos, esto lo podemos expresar así:

• Es creciente en los intervalos (8, 12) y (16, 18).• Es decreciente en los intervalos (12, 14) y (18, 24).• Es constante en el intervalo (14, 16).

29 Dibuja la gráfica de una función que sea creciente en los intervalos (0, 3) y (6, 8) y decreciente en (3, 6) y (8, 10).


1 Dibuja la gráfica de una función que sea siempre creciente. Después, dibuja la gráfica de otra función que sea siempre decreciente.

174

301386 _ 0166-0181.indd 174 21/07/11 9:54

3.6 Máximos y mínimos

• Una función continua tiene un máximo en el punto x = a cuando pasa de ser creciente a decreciente en ese punto.

YMáximo

Crec

iente

Decreciente

X

• Una función continua tiene un mínimo en el punto x = a cuando pasa de ser decreciente a creciente en ese punto.

Y

Mínimo

Crec

iente

Decreciente

X

EJEMPLOS

13 La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de un paciente a lo largo de 10 horas. Halla sus máximos y mínimos.

La función tiene tres máximos que se alcanzan al cabo de x = 3, x = 5 y x = 8 horas, y tres mínimos transcurridas x = 4, x = 6 y x = 9 horas.

1 Esta gráfica muestra el número de ardillas que han poblado una reserva natural durante los últimos 10 años.

a) ¿En qué años ha habido más ardillas?

b) ¿En qué años ha habido menos?

c) ¿Cuál ha sido el año en el que ha habido más ardillas? ¿Y el año en el que ha habido menos?

a) Los años en los que ha habido más ardillas han sido 2004 y 2009.

b) Los años en los que ha habido menos ardillas han sido 2002 y 2007.

c) El año en el que ha habido más ardillas ha sido 2004, y el que menos, 2007.

02 03 10 11

800

700

600

Ard

illas

Años

X

Y

2 Dibuja una función creciente en los intervalos (0, 2) y (6, 10), y que tenga un máximo en x = 2.


33 Dibuja una función que tenga máximos en x = -2 y x = 3, y mínimos en x = 1 y x = 2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

40

39

38

37Tem

per

atu

ra (

°C)

Horas

X

Y

175

301386 _ 0166-0181.indd 175 21/07/11 9:54



1. REPRESENTAR UNA FUNCIÓN

Representa la función que relaciona el tiempo que circula un ciclomotor a 20 km/h con el espacio que recorre.

PRIMERO. Construimos una tabla de valores de la función.

SEGUNDO. Representamos los puntos en unos ejes cartesianos.

TERCERO. Analizamos el tipo de variables de la función.• El tiempo es una variable continua (puede tomar cualquier valor).• El espacio recorrido es también una variable continua

(puede tomar cualquier valor entre dos valores dados).

Unimos los puntos representados con una línea porque ambas variables son continuas.

Funciones

y = x2 - 1 " f (2) = 22 - 1 = 3f (-2) = (-2)2 -1 = 3

Ecuación de la función

Variable dependiente

Variable independiente

2. CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = 2x + 1.

• Con el eje X

PRIMERO. Resolvemos la ecuación f(x) = 0.

f(x) = 2x + 1 f (x) = 0" 2x + 1 = 0 "

21

x=-

SEGUNDO. Escribimos el punto cuya ordenada es 0 y cuya abscisa es la x que hemos calculado.

Punto de corte con el eje X " -21

, 0d n

• Con el eje Y

PRIMERO. Hallamos f(0).

f(x) = 2x + 1 x = 0" f(0) = 2 ? 0 + 1 = 1

SEGUNDO. Escribimos el punto cuya abscisa es 0 y cuya ordenada es el valor de la función en ese punto, que es el resultado anterior.

Punto de corte con el eje Y " (0, 1)

y = f(x)

Tiempo (h)

Espacio (km)

1

20

2

40

3

60

4

80

5

100

6

120

…

…

X

100

80

60

40

20

Y

1

Tiempo (h)

Esp

acio

(km

)

2 3 4 5

G

P(a, b)

Eje de abscisas

Mínimo

Máximo

XO

YG Eje de

ordenadas

176

301386 _ 0166-0181.indd 176 21/07/11 9:54

3. ESTUDIAR UNA FUNCIÓN

Estudia esta gráfica que muestra la temperatura de un paciente a lo largo de un día, tomada cada 4 horas.


1. En la función f(x) = 3x - 2, ¿cuál es el valor de f(x) si x = -1? ¿Y si x = -2?

1. En la función y = -2x + 1, ¿cuál es el valor de f (0)? ¿Y de f (3)?

Representar una función

2. Un kilo de naranjas cuesta 0,72 €. Representa gráficamente la función que relaciona el número de kilos de naranjas con su precio.

2. Una compañía telefónica factura a sus clientes por minutos completos. Si cada minuto cuesta 3 céntimos, representa la función.

3. Representa gráficamente la función y = x + 1. ¿Se pueden unir los puntos de la función?

4. Representa gráficamente la función y = 1 - x. ¿Se pueden unir los puntos de la función?

Calcular los puntos de corte con los ejes

3. Calcula los puntos de corte con el eje X de y = x2 - 1.

Estudiar una función

4. Decide cuáles de estas condiciones cumple la función.

a) Tiene máximos, pero no mínimos.b) Tiene dos máximos y dos mínimos.

c) Es siempre decreciente.

d) Es siempre creciente.

5. Observa esta gráfica e indica los máximos y mínimos.

X

1

1

Y

Y AHORA… PRACTICA

X

Y

PRIMERO. Calculamos el dominio.

En el eje X se toman valores entre 0 h y 24 h " Dom f = [0, 24]

SEGUNDO. Determinamos los puntos de corte.La gráfica no corta al eje X.La gráfica corta al eje Y en 38 °C " El punto de corte con el eje Y es (0, 38).

TERCERO. Mirando la gráfica, de izquierda a derecha, determinamos el crecimiento y el decrecimiento.

Es creciente en los intervalos (0, 4), (8, 12) y (16, 20).Es decreciente en los intervalos (4, 8), (12, 16) y (20, 24).

CUARTO. Determinamos los máximos y los mínimos.

Hay máximos en x = 4, x = 12 y x = 20.Hay mínimos en x = 8, x = 16 y x = 24.

X

40

39

38

37

Y

4 Horas

Tem

per

atu

ra (

°C)

8 12 16 20 24

177

301386 _ 0166-0181.indd 177 21/07/11 9:54

ActividadesCONCEPTO DE FUNCIÓN

39. ● De estas relaciones, señala las que representan una función. Razona tu respuesta.

a) Un número positivo y su raíz cuadrada.

b) Un número positivo y su raíz cúbica.

c) Un número negativo y su valor absoluto.

d) El número de lados de la base de una pirámide y su número total de aristas.

40. ● Escribe tres ejemplos de funciones y señala cuál es cada variable.

42. ● Indica cuáles son funciones y cuáles no.

a) c)

b) d)

EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN

43. ● Escribe la expresión algebraica de la relación que existe entre las siguientes magnitudes.

a) El radio de una circunferencia y su longitud.b) El radio de una esfera y su volumen.c) El área de un círculo y su radio.

3. ● En esta tabla se reflejan el número de nacimientos de una localidad en los últimos 7 años. Dibuja una gráfica que refleje esta situación.

2005 2006 2007 2008 2009 2010 20113 5 0 11 3 8 14

4. ● Dada la función que asocia a cada número entero su cuarta parte más 5 unidades:

a) Halla su expresión algebraica.b) Calcula los valores de la función para x = 2

y x = 0.c) ¿Existe valor de la función en x

32

= ?

5. ●● Responde a las cuestiones de la actividad anterior con las siguientes funciones.

a) La función que asocia a cada número su triple menos 2 unidades:

f (x) = 3x - 2b) La función que asocia a cada número el doble

de su inverso: f (x) = 2 ?

x1

c) La función que asocia a cada número el doble de su cuadrado:

f (x) = 2 ? x2

47. ●● Una bolsa de patatas fritas cuesta 1,50 €. Expresa algebraicamente la función Número de bolsas – Precio, construye una tabla de valores y realiza su gráfica.

6. ●● La tarifa para mandar un telegrama es la siguiente: 70 céntimos de euro de cuota fija y 5 céntimos por cada palabra.

a) Expresa la relación funcional entre tarifa y número de palabras mediante una tabla y mediante una gráfica.

b) Determina la expresión algebraica que relaciona ambas magnitudes.

¿CÓMO SE IDENTIFICA UNA FUNCIÓN MEDIANTE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA?

41. Indica si estas gráficas son funciones o no.

a) b)

PRIMERO. Se determina si a algún valor de x le corresponde más de un valor de y.

a) b)

SEGUNDO. Si ocurre así, la gráfica no corresponde a una función. En caso contrario, sí corresponde a una función. Por tanto, b) es una función y a) no lo es.

HAZLO ASÍ

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

178

301386 _ 0166-0181.indd 178 21/07/11 9:54

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

49. ● Estudia la continuidad de estas funciones. ¿Tienen puntos de discontinuidad?

a) b)

50. ● Luis está enfermo y le toman la temperatura 4 veces al día durante 3 días, obteniendo los puntos de esta gráfica.

57. ● Halla los puntos de corte con los ejes de las funciones.

a) y = 4x - 1 d) y = (x - 3)2

b) y = 5 e) y = x 3 - 8c) y = x 2 - 3 f) y = -3

11. ● Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función.

4 6 82

2

4

6

Y

X

12. ● Observa esta gráfica de una montaña rusa e indica los máximos y mínimos.

A B C D E F G X

Y

59. ● Observa la gráfica de esta función.

7654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

Y

a) Señala su dominio.b) ¿Es una función continua?c) Estudia su crecimiento y decrecimiento.d) Señala sus máximos y mínimos, si los tiene.

13. ● Estudia el crecimiento de esta función. Determina sus máximos y mínimos.

4

2

-4 -2

-2

-4

2 4

Y

X

4039

38

3736

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72

Tem

per

atu

ra (

°C)

Tiempo (h)

Y

X

¿Podemos unir los puntos? ¿Es una función continua?

7. ● Dada la función que asocia a cada número su cuádruplo más 2 unidades:

a) Escribe su expresión algebraica.b) Representa gráficamente la función.c) ¿Es continua?

8. ● La gráfica que marca la temperatura de un local a lo largo del día, ¿es continua?

9. ●● Un vendedor de muebles tiene un sueldo base de 480 € y, por cada mueble que vende, cobra una comisión de 10 €.

a) Representa la gráfica que expresa la ganancia total en función del número de muebles vendidos.

b) La función, ¿es continua?

10. ● Determina los puntos de corte con los ejes en esta función.

1

1

Y

X

Y

X

1

1

4

2 4 6

Y

X

179

301386 _ 0166-0181.indd 179 21/07/11 9:54

14. ● Representa gráficamente la función y = 3x.

a) ¿Es continua?b) Estudia su crecimiento y decrecimiento.c) ¿Tiene máximos esta función? ¿Y mínimos?

15. ● Representa gráficamente la función y = x - 3.


16. ● Representa gráficamente la función y = 3 - x.


68. ●● Representa una función con estas características:

• Dom f = R

• Pasa por los puntos (-3, 0) y (0, 2).• Es creciente hasta x = -2, constante en el

intervalo (-2, 4) y decreciente a partir de x = 4.

17. ●● Representa una función con las siguientes características:

• Creciente en los intervalos [2, 5] y [7, 9],• Decreciente en [5, 7] y constante en [0, 2].• La función es continua.

18. ●● Representa una función con estas características:

• Dom f = [0, 10]• Es siempre creciente.

PROBLEMAS CON FUNCIONES

19. ●● El número de asistentes a una representación teatral se muestra en la siguiente tabla.

Día 1 2 3 4 5 6 7Asistentes 1 210 1 195 1 065 1 207 765 1 198 1 126

a) Representa gráficamente estos datos.b) ¿Puedes unir los puntos?c) ¿Es una gráfica creciente?d) ¿Hay algún máximo en la función? ¿Y mínimo?

71. ●● En un instituto han medido la longitud, en metros, de la sombra del edificio principal cada hora, a lo largo de un día de invierno (a partir de las 18:00 horas era de noche), obteniendo esta tabla.

Hora

Longitud

8

23

9

18

10

14

11

10

12

4

13

2

14

6

15

10

16

16

17

21

a) Haz la representación gráfica.b) ¿Es una función continua?c) Estudia las características de la función.

¿CÓMO SE REPRESENTA UNA FUNCIÓN CONOCIENDO ALGUNAS DE SUS CARACTERÍSTICAS?

66. Representa una función con estos datos:– Dom f = R– Pasa por los puntos (-2, 0), (2, 0) y (4, 0).– Tiene un mínimo en (3, -2).– Tiene un máximo en (0, 2).

PRIMERO. Se representan los puntos por los que pasa la función.

SEGUNDO. Se dibujan los puntos en los que hay mínimos y máximos. Sobre los máximos se representa un arco con su parte cóncava hacia abajo.

Y sobre los mínimos, un arco con su parte cóncava hacia arriba.

TERCERO. Siguiendo las indicaciones de las flechas que señalan la dirección de la gráfica y los puntos por los que pasa, se representa la función.

HAZLO ASÍ

2

-2

-2

2 4

Y

X

2

-2

-2

2 4

Y

X

67. ●● Representa una función tal que:

• Dom f = R

• Pasa por los puntos (5, 0) y (7, 0).• Tiene puntos mínimos en (0, 1) y (6, -3).• Tiene un máximo en (3, 5).

180

301386 _ 0166-0181.indd 180 21/07/11 9:54

20. ●● En esta tabla aparecen los puntos que he anotado en los 9 partidos de baloncesto disputados en el torneo.

Partido 1 2 3 4 5 6 7 8 9Puntos 12 8 17 5 3 14 10 9 11

a) Representa estos datos en una gráfica.b) ¿Se pueden unir los puntos de esa gráfica?

¿Es continua la función que has dibujado?c) ¿En qué partido conseguí anotar más puntos? d) ¿Cuál fue el partido en el que anoté menos

puntos?

73. ●● En la gráfica se muestra la superficie de edificación de viviendas (en millones de metros cuadrados) concedida en cada mes del año.

13

12

11

10

9

E F M A M J J A S O N D X

Y

a) Analiza su continuidad.b) ¿En qué puntos corta a los ejes?c) Estudia su crecimiento.d) Señala sus máximos y mínimos.e) ¿En qué meses se superaron los 12 millones

de metros cuadrados? ¿Entre qué dos meses se registró el mayor crecimiento?

21. ●● Esta tabla muestra la conversión de velocidad medida en kilómetros por hora a millas por hora.

km/h 16,1 32,2 48,3 64,4 80,5 …millas/h 10 20 30 40 50 …

a) Represéntala gráficamente.b) Escribe la expresión algebraica que relaciona

la velocidad en kilómetros y en millas por hora.c) Si un coche circula a 60 millas/h, ¿cuál es

su equivalente en kilómetros por hora? ¿Y si va a 100 km/h?

22. ●● Con un operador telefónico, en las llamadas nacionales cada paso cuesta 5 céntimos de euro y dura medio minuto.

a) Haz una tabla y representa la función Tiempo – Coste.

b) Indica su expresión algebraica.c) Calcula su dominio.

74. ●● En un entrenamiento para una carrera de 5 000 m, un atleta ha registrado estos tiempos.

a) Representa los datos en una gráfica.b) Si continúa con la misma velocidad,

¿qué tiempo tardará en recorrer 5 000 m?c) Escribe la expresión algebraica que relaciona

el espacio recorrido con el tiempo empleado.

23. ●● La gráfica siguiente representa un viaje en coche.

50

Esp

acio

(km

)

30

10

20 40Tiempo (min)

Y

X

a) ¿Cuántos kilómetros recorrió en la primera media hora? ¿Y en la segunda media hora? ¿A qué velocidades?

b) ¿Cuánto tiempo estuvo parado?c) ¿Qué distancia recorrió desde el minuto 30

al minuto 40? ¿A qué velocidad, en km/h?

24. ●● El siguiente gráfico muestra la altura del sol sobre el horizonte (expresada en grados) en una ciudad el día 1 de octubre.

50

30

10

4 8 12 16 20

Alt

ura

(m

)

Hora

Y

X

a) ¿A qué hora sale el sol aproximadamente y a qué hora se pone?

b) ¿Es una función continua?c) Calcula sus intervalos de crecimiento

y decrecimiento.d) ¿Cuál es el máximo de la función? e) ¿Cuántas horas de sol hay ese día?

Tiempo (s)

Espacio (m)

0

0

10

65

20

130

30

195

40

260

50

325

…

…

181

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Funciones lineales y afines

1. Busca información sobre la vida y la obra de los personajes que aparecen en el texto.

2. ¿Cuál fue el conflicto que enfrentó a Newton con Leibniz? ¿Cómo se resolvió la pugna?

3. ¿Cuáles fueron las aportaciones más importantes de Leibniz al estudio de las funciones?


El cálculo tiene dos padres

Al oír abrirse la puerta, Leibniz levantó los ojos del papel en el que escribía y, sin tan siquiera saludar al recién llegado, comenzó a quejarse, visiblemente alterado:

–De todos es conocido que la trayectoria de mi vida es intachable. ¿Cómo es posible que duden de mí? He dado sobradas pruebas de honestidad y talento suficientes para esto y aún para más.

La respiración agitada de Leibniz hizo que su interlocutor, Bernoulli, lo calmara asegurándole que nadie en todo el mundo, salvo en Inglaterra, dudaba de él.

–Yo no conocía el trabajo del maestro Newton, incluso le escribí contándole mis progresos. Pero no he plagiado el trabajo de nadie –aseveró Leibniz.

–He venido a comunicarte una buena noticia: la comisión ha acabado sus investigaciones y su conclusión es que las dos teorías han sido desarrolladas independientemente. Es más, en mi opinión tu sistema es mucho mejor, sobre todo por la notación que utilizas.

La teoría desarrollada por Leibniz y por Newton es de capital importancia para el estudio de muchas propiedades relativas a las funciones. Leibniz fue el primero en utilizar el término «función» para designar la relación entre dos magnitudes.

12

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• Identificar las funciones cuya gráfica es una recta.

• Representar rectas a partir de su ecuación.

• Calcular la ecuación de una recta.

• Reconocer y estudiar funciones lineales en la vida cotidiana.

PLAN DE TRABAJO

FUNCIONES

Una función es una relación entre dos magnitudes o variables numéricas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

Y

X

Es una función, porque no tiene más de un punto en la misma vertical.

Y

X

No es una función, porque hay más de un punto en la misma vertical.

La variable x se denomina variable independiente, y la variable y, variable dependiente.

Representación gráfica de una función a partir de su expresión algebraica

La expresión algebraica de una función se escribe como y = f(x) y se llama ecuación de la función.

Representamos la función y = 2x - 1. Para ello, primero elaboramos una tabla de valores.

Valor de x y = f(x)

-1 f (-1) = 2 ? (-1) - 1 = -2 - 1 = -3

0 f (0) = 2 ? 0 - 1 = 0 - 1 = -1

1 f (1) = 2 ? 1 - 1 = 2 - 1 = 1

2 f (2) = 2 ? 2 - 1 = 4 - 1 = 3

x y

-1 -3

0 -1

1 1

2 3

F

Representando estos puntos obtenemos la gráfica de la función.

En este caso, es posible unir los puntos porque se puede calcular el doble menos una unidad de cualquier número, aunque no sea entero.

Y

X

y = 2x - 11

1

Si el valor de x es 3, el valor

correspondiente de y es

f (3) = 2 · 3 – 1 = 5.

1. Indica si estas gráficas son funciones o no.

a) Y

X

b) Y

X

1 Representa gráficamente las siguientes funciones. Para ello construye primero una tabla de valores.

a) y = 3x c) y = 3x - 2 e) y = -3x + 2b) y = 3x + 2 d) y = -3x f) y = -3x - 2

EVALUACIÓN INICIAL

183

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Funciónlineal


Cuándo una función es creciente y cuándo decreciente

Dada una función f (x) y los valores x = a y x = b, tales que a < b:

• Si f (b) > f (a), la función es creciente entre a y b.

a b

f(b)f(a)

Y

X

• Si f (b) < f (a), la función es decreciente entre a y b.

a b

f(a)

f(b)

Y

X

Una función lineal (o de proporcionalidad directa) es una función con ecuación de la forma y = m ? x, siendo m un número.

• Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0, 0).• El número m se llama pendiente.• La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.

EJEMPLO

1 Representa gráficamente estas funciones lineales.

a) y = 2x " Función lineal

x 0 1 2 3

y 0 2 4 6

Pasa por (0, 0). Pendiente m = 2 > 0 " Función creciente.

b) y = 3x " Función lineal

x 0 1 2 3

y 0 3 6 9

Pasa por (0, 0). Pendiente m = 3 > 0 " Función creciente.

c) y = -x " Función lineal

x 0 1 2 3

y 0 -1 -2 -3

Pasa por (0, 0). Pendiente m = -1 < 0 " Función decreciente.

1

y = 2x

Y

X

y = -x

y = 3x

2

1

Una línea recta es siempre creciente

o siempre decreciente.

3 Obtén una tabla de valores y representa las siguientes funciones lineales.

a) y = 0,5x c) y = 4x e) y = -0,5x

b) y = -2x d) y = x f) y = 10x


1 Indica si las funciones son lineales y, en ese caso, determina su pendiente y su crecimiento o decrecimiento.

a) y = 3x - 4 b) y = 5x c) y x43

=

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Funciónafín


Cómo se calculan los puntos de corte con los ejes

• Los puntos de corte con el eje X son de la forma (a, 0) y el valor de a se calcula resolviendo la ecuación f (x) = 0.

• El punto de corte con el eje Y es de la forma (0, b) y el valor de b se calcula obteniendo f (0).

Una función afín es una función con ecuación de la forma: y = m ? x + n

siendo m y n números. • Su gráfica es una línea recta.• El número m es la pendiente.• El número n es la ordenada en el origen. La recta corta al eje Y

en el punto (0, n).• La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.

EJEMPLO

2 Representa gráficamente estas funciones lineales.

a) y = x + 1 " Función afín

x 0 1 2 3

y 1 2 3 4

Pendiente m = 1 Como m > 0 " Función creciente. Ordenada en el origen n = 1. La recta corta al eje Y

en el punto (0, 1).

b) y = -2x - 3 " Función afín

x 0 1 2 3

y -3 -5 -7 -9

Pendiente m = -2 Como m < 0 " Función decreciente.

Ordenada en el origen n = -3.

La recta corta al eje Y en el punto (0, -3).

2

y = x + 1

y = -2x - 3

1

1

Y

X

7 Obtén una tabla de valores y representa estas funciones afines.

a) y = 2x + 3 b) y = -x + 4


5 Indica si estas funciones son afines, y determina su pendiente y su ordenada.

a) y = 3x - 4 c) y = x2 - 5

Una función lineal es una función afín

con n = 0.

Y

X

(0, f(0))

(a, 0)

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Funciónconstante


Cuáles son las posiciones relativas de dos rectas

Rectas paralelas Rectas secantes Rectas coincidentes

No tienen ningún punto en común.

Tienen un punto en común.

Son la misma recta.

Una función constante es una función con ecuación de la forma y = n, siendo n un número.

• El valor de la variable y es el mismo, n, para cualquier valor de la variable x.

• Su gráfica es una línea recta paralela al eje X.• Su pendiente es m = 0.• Su ordenada en el origen es n, es decir, la recta corta al eje Y en el

punto (0, n).

EJEMPLO

3 Representa la función y = 3.

Es una función constante, de la forma y = n, siendo n = 3.Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por (0, 3). Al hacer una tabla de valores, el valor de la variable dependiente, y, es siempre constante e igual a 3.

x 1 2 3 4 5

y 3 3 3 3 3

Si representamos los puntos de la tabla, obtenemos la gráfica de la función, que es una recta paralela al eje X.

1

y = 3

Y

X1

3

Una función constante es una función

afín con m = 0.

9 Representa las siguientes rectas.

a) y = -7 d) y = 2b) y = 0 e) y = -2c) y = 1 f) y = -3

1 Calcula los cortes con los ejes.

a) y = -7 d) y = 2b) y = 0 e) y = -2c) y = 1 f) y = -3


186

301386 _ 0182-0195.indd 186 26/07/11 10:23

Ecuacionesy gráficas

4.1 De la ecuación a la gráfica

Si conocemos la ecuación de una función lineal o afín, para representarla gráficamente determinamos dos de sus puntos y trazamos la recta que pasa por ellos.

EJEMPLOS

1 Representa gráficamente las siguientes funciones.a) y = 4x

Calculamos dos puntos de la función. Para ello, damos dos valores cualesquiera a x y hallamos el valor de y.Si x = 0 " y = 4 ? 0 = 0 " La función pasa por el punto (0, 0).Si x = 1 " y = 4 ? 1 = 4 " La función pasa por el punto (1, 4).

Representamos en un sistema de coordenadas los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ellos.La línea recta que resulta es la gráfica de la función.

b) y = 4x - 1Determinamos dos puntos dando dos valores cualesquiera a x.Si x = 0 " y = 4 ? 0 - 1 = -1 " La función pasa por el punto (0, -1).Si x = 1 " y = 4 ? 1 - 1 = 3 " La función pasa por el punto (1, 3).

Representamos los dos puntos y trazamos la recta que pasa por ellos.La línea recta que resulta es la gráfica de la función.

4 Representa estas funciones.a) y = 2x + 1 b) y = -x

x y

0 1

1 3

x y

0 0

1 -1

4

Y

X

1

1

Y

X

1

1

1

1

Y

X

y = 2x + 1

1

Y

X-1

y = -x

13 Determina dos puntos por los que pasen las siguientes funciones y represéntalas.

e) y = 4x - 2 g) y = -0,4xf) y = -x + 3 h) y = x - 2


13 Determina dos puntos por los que pasen las siguientes funciones y represéntalas.

a) y = -3x c) y = -2x + 4b) y = -6x + 7 d) y = -4x

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4.2 De la gráfica a la ecuación

Cuando la gráfica de una función es una recta:• Si la recta pasa por el origen de coordenadas, es una función lineal,

y = mx, y su pendiente, m, es la ordenada de x = 1.• Si no pasa por el origen, es una función afín, y = mx + n, donde

n es la ordenada de x = 0 y m + n es la ordenada de x = 1.

EJEMPLOS

2 Calcula la ecuación de las siguientes funciones.

a) Y

X

1

1

Como la recta pasa por el punto (0, 0) su ecuación es de la forma y = mx.Para determinar m calculamos la ordenada para x = 1.La recta pasa por el punto (1, 5) " m = 5La función es y = 5x.

b) Y

X

1

2

Como la recta no pasa por el punto (0, 0) su ecuación es de la forma y = mx + n.Para determinar n calculamos la ordenada para x = 0.La recta pasa por el punto (0, -2) " n = -2Para determinar m calculamos la ordenada para x = 1.

La recta pasa por (1, -1) " m + n = -1 n = -2" m - 2 = -1" m = -1 + 2 = 1

La función es y = 1 ? x + (-2) = x - 2.

5 Determina la expresión algebraica de estas funciones.

a) Pasa por (0, 0) --" y = mxPasa por (1, -2) -" m = -2La función es y = -2x.

b) No pasa por (0, 0) " y = mx + nPasa por (0, 1) --" n = 1

Pasa por (1, 2) --" m + n = 2 n = 1

--" m = 1La función es y = x + 1.

1

a)b)

-2

Y

X

Las funciones lineales pasan por los puntos

(0, 0) y (1, m).Las funciones afines pasan por los puntos

(0, n) y (1, m + n).

3 Calcula la ecuación de estas funciones.


2 Halla la ecuación de estas rectas.

Y

X

1 1

a) b)

Y

X

1

1

a)b)

c)

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Aplicaciones


Cómo se resuelve una ecuación de primer grado

En una ecuación, para despejar la incógnita, podemos hacer que cualquier término aparezca en el otro miembro de forma inversa a como estaba.

2 3 11 2 11 3 2 8x x x x28

4+ = = - = = =" " "

F

F

Pasa restando Pasa dividiendo

EJEMPLO

8 Los taxis de una localidad cobran 1,75 � por la bajada de bandera y 0,80 � por cada kilómetro recorrido.

a) Estudia y representa la relación Precio – Distancia recorrida. b) ¿Cuántos kilómetros hemos hecho si el viaje nos ha costado 5,80 �?

a) El precio por recorrer x kilómetros es: 0,8 x, a lo que hay que añadir 1,75 � que nos cobran por la bajada de bandera. Así, el precio del taxi, y, al recorrer x kilómetros es: y = 1,75 + 0,8 x

La ecuación de la función Precio – Distancia recorrida es una función del tipo y = mx + n, con m = 0,8 y n = 1,75.

Para representarla determinamos dos de sus puntos:

y = 1,75 + 0,8x x = 0----" y = 1,75 + 0,8 ? 0 = 1,75 " Punto (0; 1,75)

y = 1,75 + 0,8x x = 1----" y = 1,75 + 0,8 ? 1 = 2,55 " Punto (1; 2,55)

5,80

5

4

3

2

1

y = 1,75 + 0,8x

1 2 3 4 5 6Distancia (km)

Pre

cio

(�

)

Y

X

b) Si el viaje nos ha costado 5,80 �:

y = 1,75 + 0,8x y = 5,80

------" 5,80 = 1,75 + 0,8x " 0,8x = 5,80 - 1,75 " x = 5,06 km

La distancia recorrida ha sido 5 km, aproximadamente.

7

1,75 � +0,80 � +0,80 �

1,75 � +0,80 �1,75 �

25 La temperatura, en un lugar de la Antártida, a las 12 h es de 5 °C y cada hora baja 4 °C.

Representa gráficamente la relación entre la hora del día y la temperatura en ese lugar de la Antártida.


24 En un puesto del mercado hemos visto la siguiente oferta: «Una bolsa de 10 kg de tomates cuesta 16 €».

c) ¿Qué tipo de función es?

d) ¿Cuánto cuesta una bolsa de 7 kg?

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2. CALCULAR LA ECUACIÓN A PARTIR DE SU GRÁFICA

Halla la ecuación de estas rectas.

PRIMERO. Observamos si la recta pasa por el origen de coordenadas.• Si pasa, la recta es

de la forma y = mx.• Si no pasa, es de la forma y = mx + n.Como r pasa por el origen " y = mxY como s no pasa por el origen " y = mx + n

SEGUNDO. Si la recta es de la forma y = mx + n, n es la ordenada para x = 0.La recta s corta al eje Y en (0, 2) " n = 2

TERCERO. Hallamos la ordenada para x = 1.• Si y = mx, la ordenada es m.• Si y = mx + n, la ordenada es m + n.r pasa por (1, -1) " m = -1Ecuación: y = -xs pasa por (1, 3) " m + n = 3 n = 2

----" m = 1Ecuación: y = x + 2

1. REPRESENTAR RECTAS A PARTIR DE SU ECUACIÓN



Lo esencial

Función lineal Función afín

Pendiente

y = mx y = mx + nPendiente Ordenada

en el origen

r s

2

Y

X2

1

Y

X1

y = -x + 2

Realiza la gráfica de la siguiente función:y = -x + 2

PRIMERO. Calculamos dos puntos de la función. Para x = 0:

y = -x + 2 x = 0----" y = 0 + 2 = 2

La recta pasa por (0, 2).

Para x = 1:y = -x + 2 x = 1

----" y = -1 + 2 = 1La recta pasa por (1, 1).

SEGUNDO. Dibujamos los puntos y trazamos la recta que pasa por ellos. Esta es la gráfica de la función.

y = mxm > 0

y = mxm < 0

Y

X

Función constante

y = nOrdenada

en el origen

y = n(0, n)

Y

X

y = mx + n(0, n)

Y

X

Representación de rectas

y = x - 2

1

2

Y

X

x y

0 -2

1 -1

y = x - 2

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1. Identificasiestasgráficaspertenecenaunafunciónlineal,afínoconstante.

Y

X

a)

Y

X

b)

Y

X

c)

Representar rectas a partir de su ecuación

2. Determinasilossiguientespuntospertenecen

alarectay x21

2= + .

a) (0,0) c) (2,3)

b) (1,2) d) (-1,0)

Calcular la ecuación a partir de su gráfica

3. Larectarepresentadatienecomoecuación:

a) y=xb) y=x+3c) y= -xd) y= -x+1

Resolver problemas mediante funciones lineales y afines

1. Elpreciodeunbolígrafoesde1,10€.RepresentagráficamentelarelaciónexistenteentreCoste – Número de bolígrafos comprados.

Y AHORA… PRACTICA

2

Y

X1

1. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE FUNCIONES LINEALES Y AFINES

El coste fijo de la factura del agua es de 12,06 € al mes. A esa cantidad hay que añadir el precio por metro cúbico consumido, que es de 1,11 €. Representa gráficamente la relación existente entre el Importe de la factura – Número de metros cúbicos consumidos.

PRIMERO.Determinamoslasvariablesdependienteeindependientedelafunción.

Elimportedelafacturadependedelosmetroscúbicosconsumidos.

Variabledependiente:y " importedelafactura.Variableindependiente:x" metroscúbicosconsumidos.

SEGUNDO.Planteamoslaecuacióndelafunción.

Elimportedelafacturaseráde12,06€,quesepagancomocostefijo,más1,11€porcadametrocúbicodeaguaconsumido.Esdecir:

Costefactura=12,06+1,11?númerodemetroscúbicosconsumidos y=12,06+1,11?x

TERCERO.Representamosgráficamentelafunción.

Comoesunafunciónlineal,pararepresentarlafuncióndeterminamosdosdesuspuntos:

Six=0" y =12,06+1,11?0=12,06Lafunciónpasaporelpunto(0;12,06)

Six=1" y =12,06+1,11?1=13,17 Lafunciónpasaporelpunto(1;13,17)

Representamoslosdospuntosytrazamoslarectaquepasaporellos.

Lalínearectaqueresultaeslagráficaquerelacionaelimportedelafacturayelnúmerodemetroscúbicosconsumidos.

Y

X

3

1 2 3 4 5 6 7 8

69

121518212427

191

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ActividadesFUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES

4. ● Determina cuáles de las siguientes funciones son lineales y, en caso de que lo sean, indica cuál es su pendiente y si son crecientes o decrecientes.

a) y = 4x d) y = -4x - 2

b) y = 4x + 2 e) y x43

=

c) y = -4x f) y x x43 2=- +

5. ● Determina la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones afines. ¿Son funciones crecientes o decrecientes?

a) y = 2x + 3 d) y x21

3= +

b) y = -2x + 3 e) y x21

3=- +

c) y = -2x - 3 f) y x21

3=- -

6. ● Considera las funciones siguientes.

a) y = -3x d) y = x + 1b) y = -3x + 2 e) y = x - 4c) y = -3x + 5 f) y = x

Halla la pendiente y la ordenada en el origen de cada una.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN LINEAL SI CONOCEMOS UN PUNTO POR EL QUE PASA, DISTINTO DEL ORIGEN?

7. Determina la ecuación de una función lineal que pasa por el punto de coordenadas (3, 12).

PRIMERO. Sustituimos los valores de las coordenadas del punto por x e y en la ecuación de la función lineal, y = mx.

y = mx x = 3, y = 12

" 12 = m ? 3

SEGUNDO. Calculamos m.

12 3?m m312

4= = ="

TERCERO. Escribimos la ecuación de la función sustituyendo m por el valor calculado.La ecuación de la función lineal es y = 4x.

30. ●● Una función lineal pasa por el punto de coordenadas (2, 8). Determina su pendiente y su ecuación. ¿Es creciente o decreciente?

8. ● Una función lineal pasa por el punto P(-5, 10).

a) Calcula su pendiente.b) Determina su expresión algebraica.c) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente?

9. ●● La función lineal que pasa por P(-3, -8), ¿será creciente o decreciente?

10. ●● Indica el signo de la pendiente de la función lineal que pasa por cada punto. Después, calcúlala.

a) P(3, 4) b) P(-2, 5) c) P(-3, -9)

31. ● Este es el gráfico de una función de proporcionalidad directa. Dibuja los ejes si el punto A tiene de abscisa x = 3.

A

a) ¿Cuál es la ordenada del punto A?b) ¿Y la expresión algebraica de la función?

32. ● Clasifica estas funciones en lineales y afines. ¿Cómo lo haces? r

st

u

Y

X

33. ● Clasifica las funciones.

a) y x31

=- c) 5y x21

= +

b) y = -0,25x d) y = 1,7x

34. ● En las siguientes funciones, señala cuál es el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen.

a) y = -3x + 6 c) y = -2x - 5b) y = 10x d) y = -9x

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HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN AFÍN SI CONOCEMOS UN PUNTO POR EL QUE PASA Y SU PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y?

11. Determina la ecuación de una función afín que pasa por el punto de coordenadas (3, 12) y cuyo corte con el eje Y es (0, 6).

PRIMERO. Calculamos n sustituyendo las coordenadas del punto de corte con el eje Y por x e y en la ecuación de la función afín, y = mx + n.

y = mx + n x = 0, y = 6

" 6 = m ? 0 + n " n = 6

SEGUNDO. Calculamos m sustituyendo las coordenadas del otro punto conocido por x e y en la ecuación de la función afín donde añadimos el valor de n calculado.

y = mx + 6 x = 3, y = 12

" 12 = m ? 3 + 6

12 m m6 336

2- = = =" "

TERCERO. Escribimos la ecuación de la función sustituyendo n y m por los valores calculados.

La ecuación de la función afín es y = 2x + 6.

12. ●● Halla la ecuación de una función afín que pasa por el punto de coordenadas (2, 8) y cuyo corte con el eje Y es (0, 4).

13. ●● Calcula la ecuación de una función afín que pasa por el punto de coordenadas (-2, -6) y cuyo corte con el eje Y es (0, -3).

14. ●● Determina la ecuación de una función afín que pasa por el punto de coordenadas (-2, 6) y cuya ordenada en el origen es 3.

15. ●●¿Es creciente la función afín que pasa por el punto de coordenadas (1, 12) y cuyo corte con el eje Y es (0, -4)?

16. ●● Determina la pendiente de las siguientes funciones afines.a) Pasa por (2, 7) y su punto de corte con el eje Y

es el (0, 3).b) Pasa por (-2, 7) y su punto de corte con el eje Y

es el (0, 3).c) Pasa por (-2, -7) y su punto de corte con

el eje Y es el (0, -3).

17. ● Representa las funciones y = 3 e y = -2. ¿Qué característica tienen?

ECUACIONES Y GRÁFICAS

35. ● Clasifica las funciones en crecientes y decrecientes sin representarlas. ¿Cómo lo haces?

a) y = 12x - 3 d) y = -7x - 4

b) y x61

32

= + e) y x5

12=-

c) y = 0,25x - 3 f) y = 0,7x + 0,65

36. ●● Determina el signo de la pendiente y de la ordenada en el origen de estas funciones:

r

u s

Y

X

t

37. ● Representa las siguientes funciones.

a) y = x + 2 b) y = 2,5x c) y = -2x - 3

18. ● Clasifica estas funciones en lineales y afines. Señala, en cada caso, el valor de la pendiente y la ordenada en el origen y represéntalas.

a) y = -0,7x c) y = -14

x

b) y = 12

x + 3 d) y = -3,5x - 3

19. ● Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad directa, en unos mismos ejes de coordenadas.a) y = 3x c) y = -3x

b) y = 31

x d) y = -31

x

20. ● Representa en unos mismos ejes de coordenadas estas funciones. Explica las diferencias entre ellas.a) y = -x c) y = -3x

b) y = -12

x d) y = -31

x

21. ● Representa, sobre el mismo sistema de coordenadas, estas funciones.a) y = 4x c) y = 5x e) y = 6xb) y = -4x d) y = -5x f) y = -6x

¿Qué ocurre con las gráficas a medida que la pendiente es mayor?

193

301386 _ 0182-0195.indd 193 21/07/11 9:58

22. ● Representa en unos mismos ejes de coordenadas estas funciones. Explica las diferencias entre ellas.

a) y = x b) y = 12

x c) y = 2x d) y = 5x

23. ● Representa estas funciones.

a) y = -4x + 1 b) y = 5 c) y = x

24. ● Representa, en unos mismos ejes, las siguientes funciones y explica las diferencias entre ellas.

a) y = 2x b) y = 2x - 3 c) y = 2x + 1

39. ● Calcula las expresiones algebraicas de las funciones representadas por estas rectas.

X

Y

d) c)

b)

a)1

1

40. ● ¿Cuál es la representación de y x21

1=- - ?

a) c)

b) d)

41. ●● Di qué puntos pertenecen a la gráfica de la función y = 3x - 6.

A (1, 3) C(1, -9) E(-4, -6)B (-1, -9) D (11, 27) F(5, 9)

42. ●● Escribe cuatro puntos que pertenezcana cada una de estas rectas.

a) y = 2x - 5 c) y x21

23

=- -

b) y = -3x - 2 d) y = 0,25x - 3

PROBLEMAS CON FUNCIONES LINEALES Y AFINES

25. ●● El coste fijo en la factura mensual de electricidad es de 10 € al mes. Además, cada kWh cuesta 0,02 €. Haz una tabla que relacione el gasto mensual en kWh y el importe. Escribe la función asociada y represéntala.

66. ● Pilar quiere comprar patatas fritas a granel para celebrar su cumpleaños. Una bolsa de 200 gramos le cuesta 2 €.

a) Estudia y representa gráficamente la función que relaciona los gramos comprados y el precio.

b) ¿Cuánto costará comprar medio kilo?

67. ●● Una motocicleta se desplaza a una velocidad constante de 35 km/h.

a) Escribe la ecuación de la función que relaciona el tiempo con el espacio recorrido.

b) ¿De qué tipo es? Obtén su gráfica.c) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 245 km?

68. ●● Al abrir las compuertas de un estanque, el nivel de agua inicial es de 120 cm, y desciende a razón de 6 cm por minuto.

6 cm/min

a) Haz una tabla en la que se refleje el nivel de agua (cm) en función del tiempo (minutos).

b) ¿Qué tipo de función es? Represéntala.c) ¿Qué nivel de agua habrá a los 15 minutos?d) ¿Cuánto tarda el estanque en vaciarse?

26. ●● De un muelle de 5 cm vamos colgando diversos pesos y anotamos la longitud en función del peso, obteniéndose la siguiente tabla:

Peso (kg) 0 2 4 6 8 …

Longitud (cm) 5 6 7

a) Copia y completa la tabla, y escribe la función que representa la longitud del muelle en función del peso.

b) Represéntala gráficamente.

X

Y

1 1 1

1 X

Y

1

1 X

Y

1

1 X

Y

194

301386 _ 0182-0195.indd 194 21/07/11 9:58

69. ●● La siguiente tabla relaciona la presión que ejerce el agua en el mar y la profundidad a la que estamos.

Profundidad (m) 1 2 3 10

Presión (atm) 0,096 0,192 0,288 0,96

Estudia la función que relaciona ambas magnitudes y represéntala. ¿Qué presión ejercerá el agua en la Fosa de las Marianas, cuya profundidad es 11 033 m?

70. ●● A nivel del mar, el agua hierve a 100 °C, pero cada incremento de 100 m en la altitud supone una décima de grado menos para hervir.

a) Calcula el punto de ebullición en las cimas del Aneto (3 404 m) y del Everest (8 850 m).

b) Indica la expresión algebraica de la función Temperatura de ebullición – Altitud.

71. ●● Un corredor sale del kilómetro 2 de un maratón con una velocidad de 9 km/h.

a) Completa la tabla.

Tiempo (horas) 0 1 2 3 4

Distancia (al km 0) 2 11

b) Escribe la expresión algebraica de la función Distancia – Tiempo y represéntala gráficamente.

27. ●● Expresa el perímetro de un hexágono en función del valor de su lado.

a) Haz una tabla con algunos valores que relacionen el lado del hexágono con su perímetro.

b) Representa gráficamente esta función.c) Calcula su expresión algebraica.d) ¿Cuál es el valor de la pendiente de la función?

72. ● La gráfica siguiente refleja la temperatura atmosférica (°C) en función de la altitud (km).

Y

X

Tem

pera

tura

(°C

)

Altitud (km)

10

6

2

1 3 5-2

-6

a) Escribe la expresión algebraica de la función Altitud – Temperatura.

b) ¿Cuál es su ordenada en el origen? ¿Qué significado tiene?

c) ¿Qué temperatura habrá a 9 km de altitud?

28. ●● En un momento del día, la sombra de un palo de 1 m de altura es de 0,3 m. Considerando que la altura de un objeto y la longitud de su sombra son directamente proporcionales, haz una tabla donde se refleje la longitud de la sombra de varios objetos en función de su altura para ese mismo instante. Escribe la ecuación de la función y represéntala.

29. ●● Se quiere representar una función que dé el precio de la leche en función de los litros que se compran. ¿Cuál es el gráfico más adecuado a dicha función? ¿Por qué?

Y Y

YY

X

X

X

X

1 2

34

195

301386 _ 0182-0195.indd 195 21/07/11 9:58

13 Estadística

1. Florence Nightingale ocupa una página honorífica en la historia de las matemáticas. Busca información sobre su vida y su obra.

2. ¿Cuáles fueron las medidas que adoptó Florence para frenar la mortalidad en los hospitales militares?

3. ¿A qué campo aplicó Florence Nightingale sus estudios de Estadística?


¡Dios salve a la Reina!

Sidney Herbert, que ocupaba el cargo de Secretario de Estado para la Guerra, había tomado la decisión más arriesgada de su carrera política al encargar a su amiga Florence Nightingale la organización del cuerpo de enfermeras de campaña con objeto de mejorar los hospitales en la guerra de Crimea. Era el año 1854 y su futuro político estaba en manos de aquella dama.

Cuando se preparaba para ir a la zona de conflicto, el país entero se estremeció por la aniquilación de la Brigada Ligera, tras una carga suicida contra las baterías rusas. Esta acción fue difundida, no como un desastre, sino como prueba del valor y el honor de los ingleses.

Nightingale comenzó a aplicar medidas higiénicas, y fue recopilando datos y organizándolos mediante gráficos para facilitar su lectura.

El informe, que fue enviado al Secretario de la Guerra, solicitaba ayuda para eliminar las trabas que estaba encontrando entre los mandos del ejército, y concluía con una nota manuscrita que rezaba:

“Nuestros hospitales

causan más muertos

que los cañones del enemigo.

Señor, no permitáis

que el honor de Inglaterra sea enterrado

en una sala de hospital.”

¡Dios salve a la Reina!

Muerte por heridas de guerra

Muerte por otras causas

Muerte por enfermedad

JULIO

AGOSTO

OC

TU

BR

E

MAY

O

JUNIO

AB

RIL

18

54

MA

RZ

O 1

855

FEBRERO

ENERO 1855

DICIEMBRE

NO

VIEMBRE

SEPT

IEM

BR

EAbril 1854

a Marzo 1855

301386 _ 0196-0213.indd 196 21/07/11 9:59



• Reconocer los elementos de un estudio estadístico.

• Construir tablas de frecuencias.

• Interpretar y representar datos mediante gráficos.

• Calcular e interpretar medidas estadísticas.

PLAN DE TRABAJOEVALUACIÓN INICIAL

1 Escribe tres números que pertenezcan al intervalo (12, 14).

1. Define cinco intervalos de la misma amplitud, en los que estén contenidos estos valores:

14 16 12 20 10 19 16 14 17 15 12 11 10 12 1320 15 12 14 20 19 13 16 17 12 11 10 14 12 19 ¿Cuántos valores contiene cada intervalo?

2. Define cuatro intervalos de la misma amplitud, en los que estén contenidos estos valores:

3,5 5,2 6,3 3,2 4,1 6,8 6 5,1 6,3 4,9 5,4 3,7 4,6 5,7 5 6,2 5,9 4,2 7 5,3 4,6 5,3 3,8 4,2 ¿Cuántos valores contiene cada intervalo?

INTERVALOS

Un intervalo de extremos a y b está formado por todos los números comprendidos entre a y b.

Los números -0,5; -0,7!

; -0,12345… pertenecen al intervalo de extremos -1 y 0. Es decir, pertenecen a este intervalo todos los números reales entre -1 y 0.

Tipos de intervalos

Un intervalo puede contener a los dos extremos, uno o ninguno.

• Si los dos extremos pertenecen al intervalo, se dice que es cerrado.

El intervalo cerrado [0, 2] contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2.

• Si los extremos del intervalo no pertenecen a él, se dice que es abierto.

El intervalo abierto (0, 2) contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2.

• Si el extremo menor pertenece al intervalo y el mayor no, se dice que es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.

El intervalo [0, 2) contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 0 y excluido el 2.

• Si el extremo menor no pertenece al intervalo y el mayor sí, se dice que es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.

El intervalo (0, 2] contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 2 y excluido el 0.

0 1 2

0 1 2

0 1 2

0 1 2

-1 0

(a, b]

ABIERTO

El extremo no pertenece al

intervalo.

CERRADO

El extremo pertenece

al intervalo.

a b

GG

G G

197

301386 _ 0196-0213.indd 197 21/07/11 9:59

Conceptosbásicos

La Estadística es la ciencia que se encarga de recopilar y ordenar datos referidos a diversos fenómenos para su posterior análisis e interpretación.

1.1 Población y muestra

• Población. Todos los elementos que son objeto de estudio.

• Muestra. Parte de la población que estudiamos.

• Individuo. Cada elemento de la población o la muestra.

• Tamaño. Número de elementos que tiene la población o la muestra.

EJEMPLO

1 Se quiere realizar una encuesta entre los alumnos de 3.o ESO de una ciudad, en total 6 578 alumnos. Para ello, se elige a los 63 alumnos de 3.º ESO del IES «Cervantes». Determina la población y la muestra.

• Población: Todos los alumnos de 3.º ESO de la ciudad.

• Muestra: Los alumnos de 3.o ESO del IES «Cervantes».

• Individuo: Cada alumno de 3.º ESO de la ciudad es un individuo de la población. Cada alumno de 3.º ESO del instituto es un individuo de la muestra.

• Tamaño: El tamaño de la población es 6 578 alumnos.El tamaño de la muestra es 63 alumnos.

1

POBLACIÓN

MUESTRASi la muestra no se escoge bien, las conclusiones

del estudio pueden ser erróneas.

1 Para hacer un estudio estadístico sobre la incidencia de una enfermedad en una provincia hemos estudiado la aparición de esa enfermedad en una localidad. ¿Estamos estudiando a toda la población o solo una muestra?

3 Este es el titular de un periódico.«EL PESO MEDIO DE LOS ESPAÑOLES ES 69 KG.»

a) ¿Cómo crees que se llega a esta conclusión? ¿Se habrá estudiado a toda la población?

b) ¿Qué características debe tener la muestra? ¿Podrían ser todos los individuos de la muestra de la misma edad? Si todos son mujeres, ¿sería correcta la muestra?


1 Queremos realizar un estudio estadístico de la talla de calzado que usan los alumnos de 3.o ESO de un instituto.

a) ¿Cuál sería la población?b) Elige una muestra. ¿Qué tamaño tiene?

c) ¿Quién sería un individuo?

2 Señala en qué caso es más conveniente estudiar la población o una muestra.

a) La longitud de los tornillos que, ininterrumpidamente, produce una máquina.

b) La estatura de todos los turistas en un año.c) El peso de un grupo de cinco amigos.

198

301386 _ 0196-0213.indd 198 21/07/11 9:59

2 Se hace una encuesta para estudiar las características de los alumnos de un instituto. Pon un ejemplo de variable cuantitativa y otro de cualitativa.

6 Clasifica estas variables en cualitativas o cuantitativas, y en ese caso, di si son discretas o continuas.a) Provincia de residencia.b) Número de vecinos de un edificio.c) Profesión del padre.d) Consumo de gasolina por cada 100 km.e) Año de nacimiento.


5 Determina si las variables estadísticas son cualitativas o cuantitativas.

a) Año de nacimiento.b) Color del pelo.c) Profesión de una persona.d) Perímetro torácico.e) Estado civil.f) Perímetro de la cintura.g) Número de veces que se ha viajado

en avión.

h) Color de la camisa que se lleva puesta cierto día.

1.2 Variables estadísticas

Una variable estadística es cada una de las propiedades o características que podemos estudiar de un conjunto de datos.

Las variables estadísticas, dependiendo de los posibles valores que puedan tomar, se clasifican según la siguiente tabla:

Tipos Propiedades Ejemplos

CualitativasLos valores de la variable no son números, sino cualidades.

– Sexo {mujer, varón}.– Color del pelo

{moreno, castaño…}.

CuantitativasLos valores que toma la variable son números.

– Peso.– Número de hermanos.

Cuantitativas discretas

En cada intervalo, la variable solo puede tomar un número finito de valores.

– Número de amigos: entre 2 y 5 solo puedo tener 3 o 4 amigos, pero no 3,5 o 3,6.

Cuantitativas continuas

La variable puede tomar tantos valores como queramos, por pequeño que sea el intervalo.

– Altura: entre 1,70 m y 1,80 m de altura tenemos 1,71 m; 1,715 m; 1,767 m…

EJEMPLO

2 Pon varios ejemplos de variables cualitativas y cuantitativas discretas y continuas.

Variables cualitativas: mes de nacimiento, calle en la que se vive…Variables cuantitativas discretas: número de hijos, número de canastas triples en un partido de baloncesto, talla de pantalón…Variables cuantitativas continuas: peso, tiempo empleado en realizar un trabajo, volumen…

Los valores de una variable estadística

se designan: x1, x2, x3, …, xn

199

301386 _ 0196-0213.indd 199 21/07/11 9:59

Frecuenciasy tablas

2.1 Recuento de datos

Después de recopilar los datos, se procede a su recuento para expresarlos de manera ordenada, generalmente en forma de tablas.

• Si la variable es cualitativa, tras la recogida de datos, se escribe cada valor (modalidad) y se anota el número de veces que aparece cada uno de ellos.

EJEMPLO

1 Se pregunta a 40 alumnos de 3.º ESO sobre su tipo de novela favorito y obtenemos estos resultados. Realiza el recuento.

Consideramos el siguiente código:

A = Aventuras C = Ciencia ficción H = Histórica R = Romántica

Novela favorita

H A A A C C H C R H

H A C C C R C A A H

C A C C R A R C C C

C A A R A A H R H H

F

A

H

C

R

//// //// //

//// ///

//// //// ////

//// /

12

8

14

6

Recuento

• Si la variable es cuantitativa discreta, después de recoger los datos, se ordenan en orden creciente y se anota el número de veces que aparece cada uno.

EJEMPLO

3 Construye una tabla de valores con los libros leídos por 24 alumnos durante el último año.

N.º de libros Recuento

1

2

3

4

4

7

9

4

1 3 4 2 2 32 2 1 3 3 11 2 4 4 2 33 2 3 3 3 4

2

3 Esta es la cantidad de horas diarias que ha estado funcionando una máquina.

3 6 4 8 3 9 2 6 1 6 0 5 2 36 8 9 1 0 6 9 7 6 4 8 6 4 7

Realiza una tabla de frecuencias.


9 El color de pelo (M = moreno, R = rubio, P = pelirrojo) de 30 personas es:

M R P M M M M R R P P M M M MM M P R R R P M M M M R M M M

Construye su tabla de frecuencias.

200

301386 _ 0196-0213.indd 200 21/07/11 9:59

4 Estos son los pesos de los últimos 20 pacientes de una consulta médica.

42 51 56 66 75 47 51 45 63 79

69 59 50 70 59 62 54 60 63 58

Organiza los siguientes datos en una tabla de frecuencias agrupando los datos en 5 intervalos de amplitud 8.


8 Las estaturas, en cm, de 28 jóvenes son:155 178 170 165 173 168 160166 176 169 158 170 179 161164 156 170 171 167 151 163158 164 174 176 164 154 157

Agrupa los datos en 3 intervalos de amplitud 10 y construye su tabla de frecuencias.


Cómo se calcula el punto medio de un intervalo

El punto medio de un intervalo es el punto que equidista de los extremos del intervalo. Se calcula sumando los extremos del intervalo y dividiendo el resultado entre 2.

El punto medio del intervalo (3, 5) es:

3 4

Punto medio

5 Punto medio

23 5

4=+

=

• Si la variable es continua, los datos se agrupan en intervalos o clases, usualmente de la misma amplitud y, como mínimo, 4 intervalos. Para facilitar los cálculos tomamos el punto medio del intervalo, que se llama marca de clase.

EJEMPLO

4 Construye la tabla de frecuencias del peso, en kg, de 20 alumnos.

66,5 59,2 60,1 64,2 70,4 50,4 41,6 47,9 42,8 5552,2 50,3 42,2 61,9 52,4 49,2 41,6 38,7 36,5 45

Para ello define 6 intervalos de amplitud 6.

Como el peso es una variable continua podemos agrupar los datos en intervalos. Como el menor peso es 36,5, utilizaremos como extremo izquierdo del primer intervalo 36. El extremo derecho será 36 + 6 = 42.

El segundo intervalo tendrá por extremos 42 + 6 = 48 y 48 + 6 = 54. De la misma manera calculamos los extremos de los demás intervalos.

Peso Marca de clase

[36, 42)

[42, 48)

[48, 54)

[54, 60)

[60, 66)

[66, 72)

39

45

51

57

63

69

Recuento

4

4

5

2

3

2

Las marcas de clase son los puntos medios

de cada intervalo. Para el intervalo [36, 42)

la marca de clase es:

36 + 422

= 782

= 39

201

301386 _ 0196-0213.indd 201 21/07/11 9:59

2.2 Frecuencia absoluta y relativa

• La frecuencia absoluta de un dato, xi, es el número de veces que aparece. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, N.

• La frecuencia relativa de un dato es el cociente de su frecuencia ab-soluta, fi, entre el número total de datos, N. Se representa por hi.

La suma de las frecuencias relativas es igual a la unidad.

Una vez efectuado el recuento de datos, los valores de la variable y las frecuen-cias se organizan en una tabla. A esta tabla se le llama tabla de frecuencias.


Cómo se calcula el tanto por ciento de una cantidad

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100.

% ?

t Ct C100

de =

Un tanto por ciento también se puede expresar como una fracción o un decimal. , %

43

0 7510075

75= = "

EJEMPLO

5 Construye una tabla de frecuencias con la talla de calzado de 20 personas.

43, 42, 41, 39, 41, 38, 40, 43, 44, 40 39, 39, 38, 41, 40, 39, 38, 39, 39, 40

Contamos el número de veces que aparece cada valor, fi. Dividiéndolo entre N = 20, obtenemos hi. Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100, se calcula la columna de porcentajes (%).

Dato

xi

F. absoluta

fi

F. relativa

hNf

ii

=

Porcentaje

%

38 3 3/20 = 0,15 15 %

39 6 6/20 = 0,30 30 %

40 4 4/20 = 0,20 20 %

41 3 3/20 = 0,15 15 %

42 1 1/20 = 0,05 5 %

43 2 2/20 = 0,10 10 %

44 1 1/20 = 0,05 5 %

Total 20 1 100 %

La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total

de datos.

6 Los resultados de un test han sido:100 80 92 101 65 72 121 68 75 93Obtén la tabla de frecuencias, tomando intervalos de amplitud 10.


5 El número de horas diarias que trabajan con el ordenador 15 personas es:3 4 0 5 5 3 4 5 0 2 2 5 3 2 0Construye la tabla de frecuencias.

202

301386 _ 0196-0213.indd 202 21/07/11 9:59

2.3 Frecuencias acumuladas

• La frecuencia absoluta acumulada de un dato xi es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él. Se representa por Fi.

• La frecuencia relativa acumulada de un dato xi es la suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales que él. Se repre-senta por Hi. Equivale al cociente entre la frecuencia absoluta acu-mulada del dato y el número total de datos.

EJEMPLO

6 Obtén la tabla de las frecuencias acumuladas de los pesos, en kg, de 20 alumnos.

36,5 59,2 39,146,2 46 3841,6 47,9 42,855 52,2 50,342,2 55,9 52,449,2 36,6 38,736,5 45

Peso xi fi Fi hi Hi

[35, 40) 37,5 6 6 0,3 0,3

[40, 45) 42,5 3 9 0,15 0,45

[45, 50) 47,5 5 14 0,25 0,70

[50, 55) 52,5 3 17 0,15 0,85

[55, 60) 57,5 3 20 0,15 1

20 1

$+ $+

$+ $+$+ $+

+ +# #

# #

# #

# #

F

G

F

G

La última frecuencia absoluta acumulada coincide con el número total de datos.

F

La última frecuencia relativa acumulada es siempre 1.

F

$ $

Las frecuencias absoluta y relativa acumuladas del intervalo [45, 50) son 14 y 0,70, respectivamente. Esto significa que 14 alumnos, o el 70 % de los alumnos, pesan menos de 50 kg.

Como el peso es una variable continua, podemos agrupar los datos en intervalos.

El menor peso es 36,5 y el mayor, 59,9:

59,9 - 36,5 = 23,4Así, tomamos 5 intervalos de amplitud 5.

Solo podemos calcular frecuencias

acumuladas en variables cuantitativas,

ya que es necesario que los datos puedan ordenarse de menor

a mayor.

7 Estas son las notas que ha obtenido un alumno en este curso. Realiza una tabla de frecuencias.

7 5,6 9 5 5,75 6,25 8 7,5 9 5,75 6

15 El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 20 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3Obtén la tabla de frecuencias.


14 Los pesos, en kg, de 24 personas son: 68,5 34,2 47,5 39,2 47,3 79,2 46,5 58,3 62,5 58,7 80 63,4 58,6 50,2 60,5 70,8 30,5 42,7 59,4 39,3 48,6 56,8 72 60

a) Agrúpalos en intervalos de amplitud 10 y obtén la tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántas personas pesan menos de 50 kg?

c) ¿Y cuántas más de 55 kg?

203

301386 _ 0196-0213.indd 203 21/07/11 9:59

Gráficosestadísticos

Los datos estadísticos se suelen expresar de forma gráfica ya que, en un golpe de vista, nos podemos hacer una idea de su distribución. En función del tipo de variable usaremos un tipo de gráfico u otro.

3.1 Diagrama de barras


Qué es un sistema de coordenadas cartesianas

Un sistema de coordenadas está compuesto por:• Eje de abscisas, que es la recta horizontal.• Eje de ordenadas, que es la recta vertical.• Origen de coordenadas, que es el punto de corte

de los ejes. El origen de coordenadas coincide con el 0 de ambas rectas numéricas.

En él se pueden representar los valores de dos variables relacionadas.

Se usa para representar variables cualitativas o cuantitativas discretas.

• El eje de abscisas representa los datos, y el de ordenadas, las frecuencias.

• Sobre cada dato se levantan barras verticales cuya altura es la frecuencia que estamos representando.

• En variables cuantitativas, si traza-mos una línea poligonal que una losextremos de las barras obtenemos el polígono de frecuencias.

EJEMPLO

7 Representa, en un diagrama de barras, las tallas de calzado de 20 personas que se muestran en esta tabla.

3

DatosFr

ecue

ncia

s

Talla (xi)

fi

37

1

38

2

39

6

40

4

41

3

42

1

43

2

44

1

El polígono de frecuencias está compuesto por los puntos: (37, 1), (38, 2), (39, 6), (40, 4), (41, 3), (42, 1), (43, 2) y (44, 1)

6

5

4

3

2

37 38 39 40 41 42 43 44

1

fi

xi

No hay polígono de frecuencias de variables

cualitativas.

Y

P (a, b)b

aO X

Eje de ordenadas

Eje de abscisas

18 En un aparcamiento público hay 25 coches rojos, 19 amarillos, 39 plateados, 50 blancos, 27 verdes, 30 azules y 10 negros.

c) Realiza el diagrama de barras.


17 En un edificio de 16 vecinos, el número de televisores por vivienda es:

0 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 2 3 0 3 2b) Realiza el diagrama de barras.

204

301386 _ 0196-0213.indd 204 21/07/11 9:59

3.2 Histograma

Se usa para representar variables cuando los datos se agrupan en intervalos.

• En el eje de abscisas representamos los datos, y en el eje de ordena-das, las frecuencias.

• Se divide el eje de abscisas en intervalos y se levanta un rectángulo, sobre cada uno, de altura igual a su frecuencia.

• El polígono de frecuencias se obtiene uniendo los puntos medios de los extremos superiores de los rectángulos, o los vértices supe-riores de la derecha, en el caso de frecuencias acumuladas.

EJEMPLO

2 Con la siguiente tabla de frecuencias, realiza un histograma y su polígono de frecuencias.

Dibujamos unos ejes de coordenadas, en el eje horizontal marcamos los extremos de los intervalos y en el vertical, las frecuencias.

Dibujamos un rectángulo sobre los extremos de cada intervalo. La anchura del rectángulo coincide con la amplitud del intervalo y su altura, con su frecuencia.

Para dibujar el polígono de frecuencias, unimos los puntos medios de los extremos superiores de los rectángulos. Estos puntos tienen como primera coordenada la marca de clase del intervalo, y como segunda coordenada su frecuencia.

Intervalo Marca de clase Frecuencia

[65, 75) 70 5

[75, 85) 80 4

[85, 95) 90 4

[95, 105) 100 6

[105, 115) 110 4

[115, 125) 120 2

Los histogramas solo se pueden hacer

si los datos están agrupados

en intervalos.

fi

5

3

1

7565 85 95 105 115 125xi

fi

5

3

1

7565 85 95 105 115 125xi

fi

5

3

1

7565 85 95 105 115 125xi

20 Las longitudes, en cm, de 18 grillos son:

1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,81,7 1,9 2,3 1,6 2,1 32,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6

b) Realiza un histograma agrupando los datos en 4 intervalos de amplitud 0,5.

8 Realiza el histograma y el polígono de frecuencias correspondiente a esta tabla.

Intervalo Frecuencia

[8, 16) 8

[16, 24) 2

[24, 32) 7

[32, 40) 1


205

301386 _ 0196-0213.indd 205 21/07/11 10:00

3.3 Diagrama de sectores


Cómo se dibuja un ángulo

Para dibujar un ángulo de 60°:

• Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta.

• Hacemos una marca en 60°.

• Utilizando una regla, unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada.

Qué es un sector circular

Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.

Para dibujar un sector circular en una circunferencia hay que conocer el centro de la circunferencia y el ángulo que abarca.

Sirve para representar cualquier tipo de variable.

• Es un círculo dividido en sectores, uno para cada dato o intervalo.• La amplitud de cada sector circular es proporcional a la frecuencia,

y se calcula multiplicando 360º por la frecuencia relativa.

EJEMPLO

8 Representa con un diagrama de sectores estos datos:

Calculamos los ángulos correspondientes a cada intervalo del diagrama de sectores. [54, 60)

[48, 54)

[42, 48)

[36, 42)

[36, 42) " 360° ? 154

= 96° [48, 54) " 360° ? 155

= 120°

[42, 48) " 360° ? 154

= 96° [54, 60) " 360° ? 152

= 48°

Intervalo

[36, 42)

[42, 48)

[48, 54)

[54, 60)

fi

4

4

5

2

hi

4/15

4/15

5/15

2/15

No se puede realizar un diagrama de sectores

con frecuencias acumuladas.

Radio

Radio

ArcoCentro

9 Las edades de 18 alumnos de un IES son:

13 15 14 16 13 15 14 16 15 14 13 13 13 15 14 16 14 14

Dibuja un diagrama de sectores.


20 Las longitudes, en cm, de 18 grillos son:

1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,8 1,7 1,9 2,3 1,6 2,1 3 2,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6

c) Realiza un diagrama de sectores.

206

301386 _ 0196-0213.indd 206 21/07/11 10:00

Medidas de centralización

Una vez organizados los datos de un estudio estadístico, vamos a calcu-lar una serie de valores que nos ayudarán a interpretarlos: las medidas de centralización.

• Media aritmética, x: es el cociente de la suma de todos los valores multiplicados por su frecuencia, entre la suma de todas las frecuencias.

/…? ? ? ? ?x

Nf x f x f x f x

Nf xn n i i1 1 2 2 3 3

=+ + + +

=

Si la variable es continua, xi es la marca de clase del intervalo.

• Moda, Mo: es el valor de la variable, o la marca de clase para datos en intervalos, que tiene mayor frecuencia. Puede no ser única.

• Mediana, Me: es el valor que ocupa la posición central de los datos después de ordenarlos, o la media de los dos valores centrales en el caso de que el número de datos sea par.

EJEMPLO

9 Esta tabla resume los resultados obtenidos en una encuesta realizada entre 10 parejas a las que se les preguntaba sobre el número de hijos que tenían. Calcula sus medidas de centralización e interprétalas.

N.º de hijosFrecuencia absoluta fi

0

1

2

3

Total

2

4

3

1

10

Media:? ? ? ?

x10

2 0 4 1 3 2 1 31,3 hijos=

+ + +=

El dato con mayor frecuencia es 1. Hay 4 parejas que tienen 1 hijo.

Moda " Mo = 1 hijo

Para calcular la mediana, primero ordenamos los datos:

0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 " Me2

1 11 hijo=

+=

INTERPRETACIÓN

• La media es 1,3. Es decir, por término medio tienen entre 1 y 2 hijos.• La moda señala que lo más frecuente es tener 1 hijo.• La mediana indica que hay tantas parejas que tienen 1 o más hijos como

parejas que tienen 1 hijo o menos.

4

CALCULADORA

Para introducir datos estadísticos en la calculadora:

1.o Ponemos la calculadora en modo Estadístico.

MODE SD

2.o Se teclea el dato, el signo de multiplicar, la frecuencia y pulsamos en la tecla DATA .

0 # 2 DATA 1 # 4 DATA 2 # 3 DATA 3 # 1 DATA

3.º Para borrar un dato, se escribe el dato y se concluye pulsando en las teclas:

3 # 1 DEL

11 Halla la media, mediana y moda de estos datos relativos al número de días soleados durante los doce meses del último año. Una vez hayas calculado esas medidas, interprétalas.

5 6 9 11 18 22 24 26 12 15 8 12


10 Organiza estos datos, relativos al número de sobresalientes de 15 alumnos, en una tabla de frecuencias y calcula sus medidas de centralización.

4 1 0 6 1 4 1 2 3 0 2 4 0 3 1

207

301386 _ 0196-0213.indd 207 21/07/11 10:00


Estadística

Alumnos del IES ----" Población

Alumnos de una clase " Muestra

Color de ojos ------" Variable cualitativaN.o de hermanos ----" Variable cuantitativa

discretaAltura ------------" Variable cuantitativa

continua

Tabla de frecuencias

Gráficos estadísticos

Histograma Polígono de frecuencias Diagrama de sectores

Marca de clase

Frecuencias acumuladas

Inte

rval

os o

cla

ses

Intervalo

[35, 40)

[40, 45)

[45, 50)

[50, 55)

[55, 60)

xi

37,5

42,5

47,5

52,5

57,5

fi

6

3

5

3

3

20

Fi

6

9

14

17

20

hi

0,30

0,15

0,25

0,15

0,15

1

Hi

0,30

0,45

0,70

0,85

1,00


1. CONSTRUIR TABLAS DE FRECUENCIAS

Realiza una tabla de frecuencias para los siguientes pesos, en kg, de 20 personas.

80 45 57 66 49 54 58 69 73 81 72 63 43 61 49 57 59 68 49 69

PRIMERO. Ordenamos los datos y efectuamos el recuento. El número de veces que se repiten es su frecuencia absoluta. Si la variable es cuantitativa los agrupamos en intervalos y calculamos las marcas de clase.

SEGUNDO. Dividimos cada frecuencia absoluta entre el número total de datos y hallamos las frecuencias relativas, que anotaremos en otra columna.

TERCERO. Si la variable es cuantitativa calculamos las frecuencias acumuladas sumando, para cada intervalo, su frecuencia y las de los intervalos anteriores a él, y anotamos los resultados en dos columnas, una para las frecuencias absolutas acumuladas, y la otra, para las frecuencias relativas acumuladas.

Intervalo

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

[80, 90)

xi

45

55

65

75

85

fi

5

5

6

2

2

20

Fi

5

10

16

18

20

hi

0,25

0,25

0,30

0,10

0,10

1

Hi

0,25

0,50

0,80

0,90

1

F

F G

Diagrama de barras

Frec

uenc

ias

Datos

Frec

uenc

ias

Datos

Frec

uenc

ias

Datos

208

301386 _ 0196-0213.indd 208 21/07/11 10:00


1. Si queremos estudiar la cantidad de melocotones que exceden un cierto peso, ¿deberíamos estudiar la población o una muestra? ¿Qué tipo de variable se estudia?

Construir tablas de frecuencias

2. ¿Qué significa que la frecuencia relativa acumulada de un dato es 0,35?

Dibujar un histograma y su polígono de frecuencias

3. Si la frecuencia absoluta de [a, b) es c, ¿cuál es la altura del rectángulo que representa a ese intervalo en el histograma?

Calcular las medidas de centralización

4. Determina la media, la mediana y la moda de los siguientes datos:

1 2 1 1 3

Y AHORA… PRACTICA

2. DIBUJAR UN HISTOGRAMA Y SU POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de esta tabla.

PRIMERO. Marcamos las frecuencias en el eje vertical, y los intervalos, en el eje horizontal.

SEGUNDO. Dibujamos rectángulos cuya base es la anchura del intervalo, y altura, la frecuencia correspondiente.

TERCERO. Si las frecuencias son absolutas, formamos el polígono de frecuencias uniendo los puntos medios de la parte superior de los rectángulos. Si son acumuladas, unimos los vértices superiores de la derecha de cada rectángulo.

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

[80, 90)

Intervalo

5

5

6

2

2

fi

fi

6

5

4

3

2

1

40 50 60 70 80 90 xi

1. CALCULAR LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Halla las medidas de centralización de estos datos estadísticos:

PRIMERO. Completamos la tabla con una nueva columna: el producto de cada valor por su frecuencia. Además, añadimos una fila con las sumas de los datos de las columnas para facilitar el cálculo de la media.

SEGUNDO. Hallamos las medidas.

• La media es: ,x 1 924892

= = • El dato con mayor frecuencia es 2 " Mo = 2

• Hay 48 datos (par), luego la mediana será la media de los datos 24 y 25, después de ordenarlos.

12 veces 28 veces 8 veces 644474448 644474448 644474448

1, 1, …, 1, 2, 2, …, 2, 3, 3, …, 3 " Me2

2 22=

+=

x i f i

1

2

3

12

28

8

x i f i f i ? x i

1

2

3

Total

12

28

8

48

12

56

24

92

209

301386 _ 0196-0213.indd 209 21/07/11 10:00

ActividadesVARIABLES. TABLAS DE FRECUENCIAS

32. ● Queremos hacer un estudio del número de horas que los alumnos dedican a la lectura.

a) Elige una muestra para realizar el estudio.b) ¿Qué tamaño tiene dicha muestra?c) ¿Cuál es la población?

12. ● En una revista leemos que el pastor alemán tiene una altura media de 55 cm. ¿Crees que han medido a todos los pastores alemanes del planeta? Explica cómo crees que han llegado a esta conclusión.

33. ● Indica el tipo de variable estadística que estamos estudiando y di, en cada caso, qué sería mejor, si estudiar una muestra o la población.

a) El programa favorito de los miembros de tu familia.

b) La talla de calzado de los alumnos de un IES.c) La temperatura media diaria de tu provincia.d) La edad de los habitantes de un país.e) El sexo de los habitantes de un pueblo.f) El dinero gastado a la semana por tus amigos.g) Los efectos de un nuevo medicamento

en el ser humano.h) El color del pelo de tus compañeros de clase.

34. ● De las siguientes variables, ¿cuáles son discretas?

a) Número de mascotas.b) Talla de calzado.c) Perímetro craneal.d) Ingresos diarios en una frutería.e) Kilogramos de carne consumidos en el comedor

de un IES durante una semana.

35. ● Al preguntar a 20 personas sobre el número de veces que habían viajado al extranjero, el resultado fue:

3 5 4 4 2 3 3 3 5 2 6 1 2 3 3 6 5 4 4 3

a) Organiza los datos haciendo un recuento.b) Obtén la tabla de frecuencias.

13. ● El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:

3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 20 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3

a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias.

b) ¿Qué significan las frecuencias acumuladas?

14. ● Copia y completa esta tabla de frecuencias:

xi fi Fi %

10 4

20 5 10

30 16

40 10

50 41

60 18

15. ● Calcula la marca de clase del intervalo [10, 15). Si en este intervalo su frecuencia absoluta es 32, ¿qué interpretación se le da a la marca de clase?

16. ● Lanza 20 veces un dado y anota el resultado. Construye una tabla de frecuencias asociada a los datos que has recogido.

17. ●● En la primera evaluación, entre los 30 alumnos de una clase, se han obtenido los siguientes resultados:

• El 10 % aprobó todo.• El 20 % suspendió una asignatura.• El 50 % suspendió dos asignaturas.• El resto suspendió más de dos asignaturas.

a) Realiza con estos datos una tabla de frecuencias.

b) ¿Hay algún tipo de frecuencia que responda a la pregunta de cuántos alumnos suspendieron menos de dos asignaturas? Razona tu respuesta.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO EN UN PRODUCTO DE POTENCIAS?

35. Copia y completa.

a) 32 ? 3X = 38

PRIMERO. Se aplican las propiedades de las potencias.32 ? 3X = 38 = 38 " 32+X = 38

SEGUNDO. Se igualan los exponentes.3 + 4 = 8. El número que sumando a 3 nos da 8 es 5. El exponente buscado es 5.

210

301386 _ 0196-0213.indd 210 21/07/11 10:00

18. ●● Para realizar un estudio de mercado encargamos una encuesta entre la población de jóvenes de un barrio. Preguntamos el número de veces que van al cine por semana. Los resultados de la encuesta son:

0 0 2 3 5 1 1 1 3 20 2 2 4 1 1 3 2 0 01 1 1 1 1 3 5 2 3 24 1 2 4 3 2 1 5 4 02 0 1 1 1 1 2 3 2 2

a) ¿Cuál y de qué tipo es la variable estadística que estamos estudiando?

b) Construye una tabla de frecuencias.c) ¿Cuántas personas van al cine más de dos

veces por semana?d) ¿Cuántas van, al menos, una vez por semana?

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

36. ● La talla de calzado que utilizan 20 alumnos en una clase de Educación Física es:

37 40 39 37 3838 38 41 42 3743 40 38 38 3840 37 37 38 38

Representa el diagrama de barras y el polígono de frecuencias para las frecuencias absolutas y para las frecuencias absolutas acumuladas.

19. ● Realiza un estudio entre tus compañeros de clase, preguntándoles qué idioma extranjero prefieren estudiar: inglés, francés o alemán.

a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias.

b) Realiza un diagrama de barras con los resultados.

20. ● Con los siguientes datos:

55 78 70 85 73 78 80 66 86 79 58 70 79 61 64 56 70 81 87 51 83 58 54 74 76 64 64

Utiliza intervalos de amplitud 10, comenzando con el intervalo [50, 60), para formar una tabla, efectúa el recuento y obtén las marcas de clase. Representa finalmente los datos en un histograma.

37. ● Las estaturas, en cm, de 27 jóvenes son:

155 178 170 165 173 168 160 166 176169 158 170 179 161 164 156 170 171167 151 163 158 164 174 176 164 154

a) Utiliza intervalos de amplitud 5 para formar una tabla de frecuencias.

b) Representa los datos en un histograma, utilizando las frecuencias absolutas y las frecuencias absolutas acumuladas.

21. ●● En la tabla tienes los resultados de lanzar 50 veces un dado.

Cara 1 2 3 4 5 6

N.° de veces 8 12 5 9 6 10

a) Representa el diagrama de barras de frecuencias absolutas y relativas. ¿Qué observas?

b) Sobre el gráfico anterior, dibuja su polígono de frecuencias.

c) ¿Podrías representar los datos en un histograma? Razona tu respuesta.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CONSTRUYE UNA TABLA DE FRECUENCIAS A PARTIR DE SU HISTOGRAMA?

22. Haz la tabla de frecuencias que corresponde a este gráfico.

PRIMERO. Se determinan los extremos de los intervalos fijándonos en los vértices de los rectángulos que están situados en el eje horizontal.

SEGUNDO. Se calculan las frecuencias de cada intervalo calculando la altura de los rectángulos correspondientes.

5040302010

10 20 30 40 50 60

fi

xi

Intervalos Frecuencia

[0, 10) 15

[10, 20) 30

[20, 30) 45

[30, 40) 50

[40, 50) 35

[50, 60) 25

211

301386 _ 0196-0213.indd 211 21/07/11 10:00

23. ● Determina la tabla de frecuencias correspondiente a estos histogramas.

a)

b)

24. ●● Reconstruye la tabla de frecuencias asociada al siguiente gráfico de frecuencias acumuladas.

39. ●●● El número de veces que se alquiló cada mes la pista de tenis de un polideportivo viene representado en este gráfico.

E F M A M J J A S O N D

100

70

120 126

60 62 66 69

97 100

7890

140fi

100

60

20

a) Obtén las frecuencias relativas y acumuladas.b) ¿En qué porcentaje de meses se alquiló la pista

más de 80 veces?

25. ● De 500 personas, 175 nunca han viajado al extranjero, 225 han ido una vez y 100, tres veces. Representa los datos en un diagrama de sectores.

26. ● De los 30 asistentes a una cena, el 20 % comió ternera, el 40 % cordero y el resto pescado. Indica la variable estadística y organiza los resultados en una tabla de frecuencias; después, representa los datos en un diagrama de sectores.

27. ● Realiza un diagrama de sectores para el peso de 20 alumnos que se muestra en la siguiente tabla.

Peso (en kg)

Marca de clase

Frecuencia fi

[36, 42) 39 4

[42, 48) 45 4

[48, 54) 51 5

[54, 60) 57 2

[60, 66) 63 3

[66, 72) 69 2

28. ● Copia y completa la tabla de frecuencias de la actividad anterior y dibuja su histograma de frecuencias relativas acumuladas.

29. ●● Hemos estudiado el contenido en sales de 25 botellas de agua y obtenemos los siguientes datos, expresados en miligramos:

46 25 27 30 48 4027 44 37 62 56 29 76 75 49 59 33 52 54 45 66 69

a) Clasifica la variable estadística.

b) Justifica el hecho de tomar o no intervalos al realizar una tabla.

c) Realiza la representación gráfica que consideres más adecuada.

30. ● Utiliza los datos de la actividad anterior y dibuja su histograma de frecuencias absolutas acumuladas y frecuencias relativas acumuladas.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

31. ● Obtén las medidas de centralización de la siguiente serie de datos.

7 3 2 4 5 1 8 6 1 53 2 4 9 8 1 0 2 4 12 5 6 5 4 7 1 3 0 58 6 3 4 0 9 2 5 7 40 2 1 5 6 4 3 5 2 3

2824201612841

12 18 24 30 36 42 48 54

80

6040

20

1 2 3 4 5 xi

fi

400

300200

100

60 70 80 90 100 xi

fi

212

301386 _ 0196-0213.indd 212 21/07/11 10:00

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULAN LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN CUANDO LA VARIABLE ES CONTINUA?

32. Calcula las medidas de centralización de estos datos.

PRIMERO. Se calcula la marca de clase de cada intervalo y las frecuencias acumuladas.

IntervaloMarca

de claseFrecuencia

Frecuencia acumulada

[0, 5) 2,5 8 8

[5, 10) 7,5 5 13

[10, 15) 12,5 6 19

[15, 20) 17,5 2 21

SEGUNDO. Se halla la media multiplicando cada marca de clase por su frecuencia y dividiendo entre el número total de datos.

2,5 8 7,5 5 12,5 6 17,5 27,98

? ? ? ?x

21=

+ + +=

TERCERO. La moda es el intervalo que mayor frecuencia tiene.

El intervalo que mayor frecuencia tiene es [0, 5).Moda " [0, 5)

CUARTO. La mediana es el intervalo en el que está el dato que ocupa la posición central.

Tenemos 21 datos, 21 : 2 = 10. La posición central es la posición 11.

La primera frecuencia absoluta mayor que 11 es 13, que corresponde al intervalo [5, 10).

Mediana " [5, 10)

40. ● Obtén las medidas de centralización de esta serie de datos.

3 2 4 9 8 7 3 2 4 5 1 8 6 1 5 1 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 5 8 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6

41. ●● Vuelve a realizar la actividad anterior con intervalos de amplitud 2. ¿Obtienes los mismos resultados? ¿Por qué crees que sucede esto?

42. ● Determina la mediana de estos datos.

a) xi 1 2 3 4 5 6

fi 5 3 4 2 4 6

b) Var. [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40)

fi 1 3 5 2

43. ●● Obtén la media, mediana y moda de los datos de la tabla.

xi 26 28 30 32

fi 6 7 4 3

a) Si cada valor de la tabla se multiplica por 3, ¿cuál será la media? ¿Y la mediana? ¿Y la moda?

PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA

33. ●● Un particular invierte 6 000 € en un fondo de inversión el 1 de enero de 2007. Las rentabilidades anuales del fondo durante los años siguientes han sido:

Año 2007 2008 2009 2010

Rentabilidad (%) 5 4 -3 5

Si durante esos años no ha retirado capital de dicho fondo, ¿cuál ha sido la rentabilidad media del fondo durante los cuatro años?

34. ●● La cadena de televisión RFT-TV ha realizado un estudio, entre 200 espectadores, para determinar el grado de satisfacción de la audiencia del programa La noche de los genios, obteniendo los resultados que aparecen a continuación.

OpiniónMuy

buenoBueno Regular Malo

Muy malo

Porcentaje 15 25 30 25 5

Calcula e interpreta las medidas de centralización de estos datos.

Intervalo Frecuencia

[0, 5) 8

[5, 10) 5

[10, 15) 6

[15, 20) 2

213

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141. Abraham de Moivre,

Isaac Newton y Edmund Halley son tres personajes a los que los unió una gran amistad. Investiga sobre su vida y su obra.

2. ¿Qué era el Slaughter’s Coffee House? ¿Cuál es la relación entre De Moivre y el ajedrez?

3. Investiga sobre las aportaciones de De Moivre al estudio de la Estadística y la Probabilidad.


¡Jaque mate!

Desde que cruzó el Canal, perseguido por la intransigencia política y religiosa que recorría la Europa continental, se le podía encontrar en aquel café: el Slaughter’s Coffee House era para Abraham de Moivre su segunda casa.

Era un centro de reunión de intelectuales, donde se podían defender las ideas sin más armas que la razón.

Los dos personajes que acababan de entrar en el local, Newton y Halley, amigos de Abraham de Moivre, lo buscaron con la mirada y lo encontraron en una de las mesas del fondo jugando al ajedrez. Su contrincante, visiblemente nervioso, movía su mano de una a otra pieza sin decidirse a mover ninguna. Apenas lo hubo hecho, Abraham cantó un triunfal: ¡Jaque mate!, y levantándose se acercó a sus amigos.

–Nunca aprenderá, todavía piensa que para ganar al ajedrez interviene el azar y que algún día le tocará.

–Monsieur De Moivre –contestó Halley–, jugáis con la ventaja de vuestros conocimientos de probabilidad y de este apasionante juego. Vuestro contrincante tenía siete posibles movimientos pero solo tras dos de ellos podíais dar jaque mate.

–Sin embargo lo hizo y yo gané –repuso De Moivre, al tiempo que guardaba en sus bolsillos las monedas que había apostado en la partida.

Probabilidad

301386 _ 0214-0227.indd 214 21/07/11 8:47



• Distinguir entre experimento aleatorio y determinista.

• Calcular el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Calcular el suceso complementario a un suceso.

• Hallar la probabilidad de un suceso.

PLAN DE TRABAJO

NÚMEROS DECIMALES

Un número decimal es un número que se compone de:

• Parte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte del número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas…

• Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta parte del número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas…

Comparación de números decimales

Para comparar números decimales comparamos cada unidad decimal:

1.º Parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera.

2.º Parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas, las centésimas, las milésimas…, siendo mayor el número con mayor parte decimal, comparada cifra a cifra.

Comparamos 0,46 y 0,48 " Parte entera: igualDécimas: iguales " 0,46 < 0,48Centésimas: 6 < 8

Z][]\

Comparamos 0,2 y 0,203.

Para poder compararlos los expresamos con el mismo número de cifras decimales. Para ello añadimos ceros a la derecha del número con menos decimales.

Comparamos 0,200 y 0,203 "

Parte entera: igualDécimas: iguales " 0,200 < 0,203 " 0,2 < 0,203Centésimas: igualesMilésimas: 0 < 3

Z][]\

Al añadir ceros a la derecha

de un decimal, el número sigue siendo

el mismo.

1,35 1,350 1,3500 1,35000

EVALUACIÓN INICIAL

1 Determina la parte entera y la parte decimal de estos números decimales.

a) 0,23 b) 0,7 c) 0,624

¿Cuál es la cifra de las centésimas en estos números?

2 Ordena de mayor a menor los siguientes números decimales.

0,34 0,89 0,203

0,3 0,891 0,202

3 Copia en tu cuaderno y completa con números las siguientes desigualdades para que sean ciertas.

0,21 > 0,d3 0,1 > 0,d27 0,93 > 0,9d3

0,361 < 0,364 0,5 < 0,6d3 0,3 > 0,2d

215

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Experimentos aleatorios. Sucesos

1.1 Experimentos aleatorios

Los experimentos, dependiendo de sus resultados, pueden ser:

• Aleatorios " No podemos predecir el resultado que se ob-tendrá al realizarlos, es decir, depende del azar.

• Deterministas " Conocemos de antemano el resultado.

EJEMPLO

1 Clasifica estos experimentos en aleatorios o deterministas.

a) Lanzar una moneda " Experimento aleatorio Puede salir cara o cruz, no sabemos de antemano el resultado.

b) Sumar dos números conocidos " Experimento determinista Siempre obtenemos como resultado la misma suma.

1.2 Sucesos

Cada posible resultado al realizar un experimento aleatorio se llama suceso elemental, y el conjunto de todos los sucesos elementales es el espacio muestral, E.En general, un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.

EJEMPLO

2 Determina el espacio muestral, los sucesos elementales y algún suceso compuesto del experimento aleatorio de lanzar un dado de parchís.

Al lanzar un dado podemos obtener 6 posibles resultados: que salga 1, que salga 2, que salga 3, …

Espacio muestral " E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada posible resultado es un suceso elemental.

Sucesos elementales " {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}

Varios sucesos elementales forman un suceso compuesto.

Sucesos compuestos " «Obtener número par» = {2, 4, 6}«Obtener múltiplo de 3» = {3, 6}

1

Si un suceso contiene varios sucesos

elementales se llama suceso compuesto.

1 Determina el espacio muestral.

a) Lanzamos una moneda y observamos si sale cara o cruz.

b) Lanzamos dos monedas y observamos el número de caras y cruces.


1 Clasifica los siguientes experimentosen aleatorios o deterministas.

a) Extraer una carta de una baraja.b) Pesar un litro de mercurio.c) Preguntar a tus compañeros un número.

216

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2 Quiero pintar una valla de dos colores. Si tengo pintura roja, verde y amarilla, ¿de cuántas maneras la puedo pintar?


5 Lanzamos una moneda y un dado de seis caras. ¿Cuál es el espacio muestral? Ayúdate con un diagrama de árbol.

1.3 Diagrama de árbol

Para determinar los sucesos elementales y el espacio muestral, asociados a un experimento aleatorio, podemos utilizar un diagrama de árbol.

EJEMPLOS

3 Marta tiene en su armario 2 pantalones de colores azul y verde, respectivamente, y 3 jerséis de colores blanco, azul y verde. Si escoge al azar unos pantalones y un jersey, ¿cuál será el espacio muestral?

Podemos escoger primero el pantalón y, después, elegimos entre las tres opciones de jersey. Este sería su diagrama de árbol.

AB AA AV

VB VA VV

"

"

"

"

"

"

Cada uno de los casos de la derecha es un suceso elemental y, por tanto, el espacio muestral es: E = {AB, AA, AV, VB, VA, VV}

1 Se lanzan dos monedas y se observan los resultados. ¿Cuál será el espacio muestral?

Las posibilidades en la primera moneda son cara o cruz, y en la segunda tenemos las mismas posibilidades.

1.ª moneda 2.ª moneda Resultados

F

F

F

F

F

F

F

F

Cara – Cara

Cara – Cruz

Cruz – Cara

Cruz – Cruz

Espacio muestral " {Cara – Cara, Cara – Cruz, Cruz – Cara, Cruz – Cruz}

Sucesos elementales " {Cara – Cara} {Cara – Cruz} {Cruz – Cara} {Cruz – Cruz}

Cada elemento del espacio muestral

es un suceso elemental.

217

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Operaciones con sucesos

El suceso contrario o complementario de un suceso A, A, es el forma-do por todos los sucesos elementales que no están en A.

EJEMPLO

2 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, determina los siguientes sucesos.

a) El espacio muestral.

b) Obtener un número mayor que 4.

c) No obtener un número mayor que 4.

d) Obtener el número 3.

e) Obtener cualquier número excepto el 3.

f) Obtener un número par.

g) Obtener un número impar.

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) A = «Obtener un número mayor que 4» = {5, 6}

c) Si A = «Obtener un número mayor que 4» = {5, 6} Entonces, A = «No obtener un número mayor que 4» A está formado por todos los elementos de E menos los elementos

de A. Es decir:A = {1, 2, 3, 4}

d) B = «Obtener el número 3» = {3}

e) Si B = «Obtener el número 3» = {3} Entonces, B = «No obtener el número 3» =

= «Obtener cualquier número excepto el 3» B está formado por todos los elementos de E menos los elementos

de B. Es decir:B = {1, 2, 4, 5, 6}

f) C = «Obtener un número par» = {2, 4, 6}

g) Si C = «Obtener un número par» = {2, 4, 6} C = «No obtener un número par» = «Obtener un número impar» C está formado por todos los elementos de E menos los elementos

de B. Es decir:C = {1, 3, 5}

2

Cuando decimos… Escribimos

No ocurre A " A

4 Al lanzar dos monedas, halla el complementario de estos sucesos.

a) A = «Obtener dos caras»b) B = «Obtener al menos una cara»


3 En el experimento tirar un dado, determina los sucesos complementarios a estos sucesos.

a) A = «Salir 1 o 2»b) B = «No salir 5»

218

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Probabilidad de un suceso3

La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. A mayor probabilidad, mayor es la posibilidad de que ocurra.

De esta forma, si un suceso ocurre siempre su probabilidad es 1, y decimos que es un suceso seguro, P(E ) = 1.

Análogamente, si un suceso nunca ocurre su probabilidad es 0, y entonces diremos que es un suceso imposible, P(Q) = 0.

EJEMPLO

7 Tenemos 2 bolas iguales en una bolsa, una azul y otra amarilla. Si introducimos la mano en la bolsa y extraemos una bola, calcula la probabilidad de que salga:

a) Una bola azul o amarilla.

b) Una bola verde.

c) Una bola azul.

d) Una bola amarilla.

a) P (bola azul o amarilla) = 1 " Es un suceso seguro.

b) P (bola verde) = 0 " Es un suceso imposible.

c) y d) Como las dos bolas son idénticas salvo en el color, la probabilidad de extraer cada una de ellas será igual.

P (bola azul) = P (bola amarilla)

Por tanto, tiene sentido repartir la probabilidad de ocurrencia total, 1, entre los dos sucesos elementales.

P (bola azul) 21

=

P (bola amarilla) 21

=

17 En el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda:

a) Calcula el espacio muestral.b) Di un suceso seguro y uno imposible.c) ¿Qué probabilidad le asignarías al suceso

«Salir cara»? Razona la respuesta.

5 En el experimento tirar un dado y una moneda, pon ejemplos de:

a) Sucesos imposibles.b) Sucesos seguros.


15 Lanzamos 2 dados y sumamos los puntos que salen. Determina.a) Un suceso seguro.b) Un suceso imposible.

¿Cuál será la probabilidad de estos dos sucesos?

16 En una urna hay 5 bolas blancas y 4 bolas rojas. Escribe.a) Un suceso imposible.b) Un suceso seguro.

E " Espacio muestral Q " Conjunto vacío

(no hay ningún elemento)

SE ESCRIBE ASÍ

La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1

219

301386 _ 0214-0227.indd 219 21/07/11 8:47

Regla de Laplace


Cómo se expresa una fracción como un número decimal

Para expresar una fracción como un número decimal se divide el numerador de la fracción entre el denominador.

Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir al realizar un experimento aleatorio. Si todos los sucesos elementa-les de un experimento son equiprobables, decimos que es regular.

En un experimento regular, la probabilidad de que ocurra un suce-so A, P(A), se puede calcular aplicando la regla de Laplace.

( )ú

úP A

AN mero de casos posibles

N mero de casos favorables al suceso =

EJEMPLO

8 En el experimento aleatorio de tirar un dado, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) «Sacar 2» b) «Sacar número par» c) «Sacar número menor que 4»

El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} " Casos posibles = 6Está formado por 6 resultados equiprobables: la probabilidad de obtener cada una de las caras es la misma. Podemos aplicar la regla de Laplace.

a) A = «Sacar 2» = {2} " Casos favorables = 1

( )P A61

Casos posiblesCasos favorables

= =

b) B = «Sacar número par» = {2, 4, 6} " Casos favorables = 3

( )P B63

21


= = =

c) C = «Sacar número menor que 4» = {1, 2, 3} " Casos favorables = 3

( )P C63

21


= = =

53

" 3 0 5 " ,53

0 6=

0 0,6

125" 5 0 1 2 " , ...

125

0 41666=

2 0 0,4166 ... 8 0 8 0

4

Para aplicar la regla de Laplace, el experimento debe ser regular, es decir, sus sucesos elementales

tienen que ser equiprobables.

20 De una baraja española extraemosuna carta. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballo? ¿Y una figura? ¿Y oros? ¿Y una sota que no sea de copas?


19 Al lanzar un dado, calcula la probabilidad de obtener:

d) Número 3.h) Menor que 10.i) Número impar.

220

301386 _ 0214-0227.indd 220 21/07/11 8:47

29 Una urna tiene 4 bolas blancas, 2 rojas y 5 negras. Calcula la probabilidad de sacar una bola:

a) Blanca.b) Roja.

c) Azul.d) Blanca, roja o negra.


28 De una baraja española se extrae una carta. Obtén la probabilidad de que:

a) Sea espadas. d) No sea un rey.e) No sea de oros.f) No sea una figura.

b) Sea oros.c) Sea un rey.

Propiedades de la probabilidad6

El complementario de E es Ø.

E = Ø Y viceversa, el complementario

de Ø es E. Ø = E

1.ª Para cualquier suceso A se cumple que 0 # P(A) # 1.

2.ª La probabilidad de un suceso seguro es 1 y la probabilidad de un suceso imposible es 0.

P(E) = 1 P(Q) = 0

5.ª Si A y A son sucesos contrarios:P(A) = 1 - P(A)


Cómo se resta a un número natural una fracción

Se multiplica el denominador de la fracción por el número natural, y se le resta el numerador.

EJEMPLO

10 Lanzamos un dado y observamos la puntuación que sale. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos.

a) Obtener un número menor o igual que 6.b) Obtener un número mayor que 9.c) Obtener un número mayor que 5.d) Obtener un número menor o igual que 5.

Como hay las mismas posibilidades de que salga cualquier número, podemos aplicar la regla de Laplace.

a) A = «Obtener un número menor o igual que 6» = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E P (E ) = 1

b) B = «Obtener un número mayor que 9» = Ø P (Ø) = 0

c) C = «Obtener un número mayor que 5» = {6}

P (C) = 61

d) D = «Obtener un número menor o igual que 5» = C

P (D) = P (C) = 1 - P (C) = 1 - 61

66 1

65

=-

=

16 1 5?

65

6 61

- =-

=

F

m.c.m. (1, 6) = 6

221

301386 _ 0214-0227.indd 221 21/07/11 8:47



1. DETERMINAR EL ESPACIO MUESTRAL CON AYUDA DE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL

Determina el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda y un dado cuyas caras opuestas están pintadas del mismo color, siendo los colores azul, rojo y verde.

PRIMERO. Fijamos la primera posibilidad de elección.

En este caso, el lanzamiento de la moneda cuyo resultado puede ser cara o cruz.

SEGUNDO. Añadimos el resto de posibilidadesa partir de la primera.

A partir de cara o cruz indicamos los posibles colores que pueden obtenerse al lanzar el dado.

TERCERO. Escribimos los resultados finales.

E = {CA, CR, CV, +A, +R, +V}

2. HALLAR EL SUCESO COMPLEMENTARIO

En el experimento aleatorio de lanzar un dado y, después, una moneda, calcula el suceso contrario, A, del suceso A = «Sacar un divisor de 6 en el dado y cara en la moneda».

PRIMERO. Calculamos el espacio muestral y el suceso A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}A = «Sacar divisor de 6 en el dado y cara en la moneda» = {1C, 2C, 3C, 6C}

SEGUNDO. El contrario de A está formado por los elementos del espacio muestral, E, que no están en A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}A = {1C, 2C, 3C, 6C}

A = {4C, 5C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}

CA

CR

CV

+A

+R

+V

"

"

"

"

"

"

Experimentos aleatorios

Espacio muestral

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso elemental

{5}

Suceso elemental

{3}

Suceso elemental

{1}

F

F

F

Suceso contrario Propiedades de la propiedad

P (E ) = 1

P (Ø) = 0

P (A) = 1 - P (A)

EA

A

222

301386 _ 0214-0227.indd 222 21/07/11 8:47

3. UTILIZAR LA REGLA DE LAPLACE PARA CALCULAR PROBABILIDADES

Calcula la probabilidad de los sucesos A = «Salir número par» y B = «Salir número menor que 3» en el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado.

PRIMERO. Determinamos el espacio muestral y los sucesos de los que queremos calcular su probabilidad.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {1, 2}

SEGUNDO. Evaluamos si los sucesos elementales son equiprobables. En este caso, al lanzar el dado, todas las caras tienen la misma posibilidad de salir.

TERCERO. Contamos el número de sucesos elementales de cada uno y aplicamos la regla de Laplace.

( )P AA

63

Casos posiblesCasos favorables a

0,5= = = ( )P BB

62

Casos posiblesCasos favorables a

0,33= = =

4. CALCULAR PROBABILIDADES UTILIZANDO SUS PROPIEDADES

En una fábrica se fabrican bombillas de dos colores: rojas y amarillas. Según sus controles de calidad, la probabilidad de que una bombilla esté fundida es 0,2. Calcula estas probabilidades.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una bombilla sea de color rojo o amarillo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea verde?c) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una bombilla no esté fundida?

PRIMERO. Escribimos los sucesos que nos piden en función de los sucesos conocidos utilizando el suceso seguro (E), el suceso imposible (Ø) y el complementario de un suceso.a) A = «Obtener bombilla roja o amarilla» = E ! Suceso segurob) B = «Obtener bombilla verde» = Ø ! Suceso imposiblec) C = «Obtener bombilla fundida» " C = «Obtener bombilla sin fundir»

SEGUNDO. Aplicamos las propiedades de la probabilidad para calcular las probabilidades pedidas.a) P (A ) = P (E ) = 1 b) P (B ) = P (Ø ) = 0 c) P (C ) = 1 - P (C ) = 1 - 0,2 = 0,8


1. Lanzamos tres monedas al aire y anotamos el número de caras que salen. Determina.a) El espacio muestral.b) El suceso «Salir dos caras».c) El suceso «Salir una cara o ninguna».d) El suceso «Salir dos cruces».e) El suceso «Salir al menos dos caras».

Determinar el espacio muestral con la ayuda de un diagrama de árbol

2. ¿Cuál es el número de sucesos elementalesal lanzar una moneda y un dado?

Hallar el suceso complementario

3. Al lanzar un dado, ¿cuál es el suceso complementario de A = «Salir número par»?

Utilizar la regla de Laplace para calcular probabilidades

4. En una urna tenemos 8 bolas blancas, 2 rojas y 10 azules. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar una bola roja?

Calcular probabilidades utilizando sus propiedades

5. Si en una sala hay 50 personas y 33 son varones, ¿cuál es la probabilidad de que, elegida una persona al azar, sea mujer?

Y AHORA… PRACTICA

223

301386 _ 0214-0227.indd 223 21/07/11 8:47

ActividadesEXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS

31. ● Clasifica los siguientes experimentosen deterministas o aleatorios.

a) Extraer una carta de la baraja española.b) Medir la hipotenusa en un triángulo rectángulo

de catetos 3 cm y 4 cm.c) Lanzar 3 monedas y anotar el número

de caras.d) Lanzar una chincheta y observar en qué

posición queda.e) Apretar el pulsador que enciende

una bombilla en un circuito eléctrico.f) Elegir al azar una ficha de dominó.g) Medir la altura de un aula.h) Lanzar una piedra al vacío y medir

la aceleración.i) Averiguar el resultado de un partido antes

de que se juegue.

6. ● Di cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles deterministas. Justifica tu respuesta.

a) Pesar 1 dm3 de agua.b) Observar el color de una bola que extraemos

de una urna que tiene bolas de distintos colores.c) Medir el lado de un cuadrado que tiene de área

2 cm2.d) Preguntar un número de 2 cifras.

32. ● Escribe dos experimentos aleatorios y otros dos que no lo sean. Justifica tu respuesta.

33. ● Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios.

a) Extraer una carta de la baraja española.b) Lanzar una chincheta y anotar la posición

de caída. c) Sacar una bola de una urna con 5 bolas

rojas, 3 azules y 2 verdes.d) Lanzar 2 dados y restar las caras superiores.e) Lanzar 2 dados y multiplicar las caras

superiores.f) Considerar las espadas de la baraja española

y extraer una carta de ese grupo.g) Escoger al azar un país de la Unión Europea.

7. ● Define los sucesos elementales, el espacio muestral y dos sucesos no elementales.

a) Apuntar la primera letra de una página elegida al azar.

b) Elegir un número al azar y anotar su resto al dividir por 3.

8. ● Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios.

a) En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 2 al 9 y se extrae una bola.

b) Lanzar una moneda y, después, extraer una carta de una baraja.

c) Extraer una bola de una bolsa que contiene 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 amarilla.

9. ● Lanzamos simultáneamente una moneda y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es el espacio muestral? Ayúdate con un diagrama de árbol.

34. ● Se lanzan 2 dados, uno rojo y otro azul. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?

10. ●● Jaime lanza dos dados y, después, suma la puntuación obtenida. Describe el espacio muestral de este experimento. Haz lo mismo si, tras sumar los puntos, dividimos el resultado entre 3 y anotamos el resto de esa división.

35. ● Se lanzan 2 dados y se multiplica el número de puntos obtenido en cada uno. ¿Cuántos resultados se pueden obtener? Describe el espacio muestral e indica dos sucesos que no sean elementales.

11. ● Se lanzan tres monedas y se anota el resultado.

a) Determina el espacio muestral.b) Describe los siguientes sucesos:

• A = «Sacar 2 caras» • B = «Sacar al menos 1 cara» • C = «Sacar menos de 2 caras» • D = «No sacar ninguna cara»

224

301386 _ 0214-0227.indd 224 21/07/11 8:47

12. ● Se extrae una carta de una baraja española.

a) Determina el espacio muestral.

b) Escribe los siguientes sucesos: • A = «Sacar copas» • B = «Sacar rey de espadas»

13. ●● Se lanza un dado de 12 caras y se consideran los sucesos:

• A = «Salir cara par»• B = «Salir cara impar»• C = «Salir cara múltiplo de 3»• D = «Salir cara múltiplo de 5»• E = «Salir cara mayor que 5»• F = «Salir cara menor que 4»

Escribe cada uno de estos sucesos.

14. ●● Una urna contiene 10 bolas, de las cuales hay 1 roja, 2 verdes, 3 amarillas y 4 azules. Se extrae una bola y se anota su color.

a) Determina el espacio muestral.

b) Escribe los siguientes sucesos: • A = «Sacar bola roja» • B = «Sacar bola distinta de roja» • C = «Sacar bola azul»

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO CON UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA?

15. Calcula el espacio muestral asociado al experimento aleatorio de lanzar un dado y una moneda.

PRIMERO. Se determinan los sucesos elementales.«Lanzar un dado» = {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}«Lanzar una moneda» = {C}, {+}

SEGUNDO. Hacemos corresponder los sucesos anteriores con las columnas y las filas de una tabla.

1 2 3 4 5 6

C 1C 2C 3C 4C 5C 6C

+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+

Los resultados del interior de la tabla son los sucesos elementales que forman el espacio muestral.

16. ●● Calcula, con una tabla de doble entrada, el espacio muestral asociado al lanzamiento de dos monedas.

17. ●● Calcula, con una tabla de doble entrada, el espacio muestral asociado al experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.

OPERACIONES CON SUCESOS

36. ● Elegimos una ficha de dominó al azar. Determina los elementos de:

a) El espacio muestral.b) A = «Elegir una ficha cuyos números sumen 6» c) B = «Elegir una ficha cuyos números

multiplicados den 12»

d) Ae) B

37. ●● Considera el lanzamiento de 3 monedas. Escribe los siguientes sucesos: A = «Obtener al menos una cara» y B = «Obtener una sola cara». Calcula.

c) A d) B

38. ●● Extraemos una de las 28 fichas del dominó al azar y sumamos los puntos. Escribe los sucesos.

a) A = «Obtener múltiplo de 5»b) B = «Obtener número par»

c) Ad) B

39. ●● En un bombo hay 15 bolas numeradas del 1 al 15 y se extrae una de ellas. Escribe los elementos que forman los sucesos.

a) «Múltiplo de 3» d) «Mayor que 3 y menor que 8»b) «Múltiplo de 2» e) «Número impar»c) «Mayor que 4»

Escribe los sucesos contrarios a cada uno de los sucesos anteriores.

41. ●● Se lanza un dado de 6 caras y se consideran los sucesos A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} y C = {3, 4}. Calcula.

a) A b) B c) C

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PROBABILIDAD DE UN SUCESO. REGLA DE LAPLACE

42. ● Sacamos dos cartas de una baraja española.Un suceso imposible es:

a) «Sacar dos oros»

b) «Sacar dos caballos de copas»

c) «Sacar dos cartas de distinto palo»

d) «Sacar dos figuras iguales del mismo palo»

18. ● Estudia los siguientes experimentos aleatorios y clasifícalos en regulares o no regulares. Justifica tu respuesta.

a) Lanzar un dado.

b) Lanzar una moneda.

c) Observar si una chincheta cae con la punta hacia arriba o hacia abajo.

d) Contestar al azar una pregunta que tiene cuatro posibles respuestas.

19. ● En un dado se suprime la cara 6 y se añade otra cara 1. ¿Cuál es el nuevo espacio muestral? ¿Son los sucesos equiprobables?

43. ● Al lanzar un dado, ordena, de menor a mayor grado de probabilidad, los siguientes sucesos.

a) «Número impar»

b) «Número igual o mayor que 5»

c) «Número menor que 7»

d) «Número mayor que 7»

20. ●● Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos de experimentos regulares.

a) Sacar cara al lanzar una moneda.

b) Obtener un 5 cuando juegas al parchís.

c) Acertar el reintegro de la Lotería de Navidad.

d) Salir un 2 en un dado con forma de tetraedro y caras numeradas del 1 al 4.

e) Sacar oros al extraer una carta de una baraja española.

21. ●● En una bolsa hay 5 bolas rojas, 10 verdes y 5 azules. Se extrae una bola. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Sacar una bola roja.

b) Sacar una bola verde.

c) Sacar una bola que no sea azul.

22. ●● Se lanza un dado de 6 caras. Halla la probabilidad de:

a) A = «Salir cara par»b) B = «Salir cara impar»c) C = «Salir cara múltiplo de 3»d) D = «Salir cara múltiplo de 5»e) E = «Salir cara mayor que 5»f) F = «Salir cara menor que 4»g) G = «Salir múltiplo de 7»

44. ● De una baraja de 40 cartas se extrae una carta. Calcula las probabilidades de estos sucesos.

a) A = «Obtener oros»b) B = «Obtener el rey de oros»c) C = «Obtener espadas o copas»

23. ●● Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Obtén la probabilidad de que la suma:

a) Sea 3.b) No sea 7.c) Sea inferior a 11.d) Sea mayor que 7.

45. ●● Se lanza un dado al aire y se suman los puntos de todas las caras menos la de arriba. Calcula el espacio muestral y la probabilidad de obtener un número múltiplo de 3.

46. ●● En el juego del parchís se ha trucado el dado para que la probabilidad de que salga 5 sea cinco veces la probabilidad de que salga cualquier otra cara. ¿Qué afirmación es cierta?

a) P (cara 5) 32

= c) P (cara 5) 65

=

b) P (cara 5) 21

= d) P (cara 1) 61

=

47. ●● En el caso del dado anterior, la probabilidad de sacar cara impar es:

a) 21

b) 103

c) 67

d) 107

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48. ● Al lanzar una chincheta, puede caer con la punta hacia arriba o hacia abajo.

a) ¿Es un experimento aleatorio o determinista?b) ¿Cuáles son los sucesos elementales?c) ¿Son estos sucesos equiprobables?

53. ●● Se lanzan 4 monedas iguales.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras?b) ¿Y de no obtener ninguna cara?c) ¿Qué suceso es más probable, obtener

2 caras u obtener, al menos, 3 cruces?

55. ● La probabilidad de un suceso es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad del suceso contrario?

56. ●● Si en un dado P(1) = P(2) = P(3) = 0,14 y P(4) = P(5) = P(6) = x, ¿cuál es el valor de x?

58. ●● Se extrae una carta de la baraja española. Halla la probabilidad de:

a) Obtener un caballo.b) No salir una figura.

PROBLEMAS CON PROBABILIDADES

62. ●● En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han tomado carne 16 hombres y 20 mujeres, y el resto pescado. Si elegimos una persona al azar, calcula la probabilidad de estos sucesos.

a) Sea hombre.b) Haya tomado pescado.c) Sea hombre y tome pescado.

63. ●● En una guardería hay 20 niños y 16 niñas. La mitad de los niños y tres cuartas partes de las niñas son morenos y el resto son rubios. ¿Cuál es la probabilidad de que, elegido uno al azar, sea niño o tenga el pelo moreno?

65. ●● Luis y Juan tienen que recoger la habitación que comparten. Luis pone en una bolsa 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 azul, y le propone a su hermano sacar una. Si es roja, recoge Juan, y si es azul, recoge él.

a) ¿Cuál es la probabilidad de cada bola?b) ¿Es justo lo que propone Luis?c) Juan no acepta el trato y propone que si sale

roja, recogerá él, y si sale azul o verde, recogerá Luis. ¿Es justo este trato? ¿Por qué?

¿CÓMO SE CALCULAN PROBABILIDADES CON AYUDA DE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL?

52. Lanzamos tres monedas. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

A = «Sacar 3 caras»B = «Sacar 2 caras»C = «No sacar ninguna cara»D = «Sacar 1 cruz»F = «Sacar a lo sumo 1 cara»G = «Sacar más de 1 cara»

PRIMERO. Se aplica la técnica del diagrama de árbol para encontrar los sucesos elementales.

1.a moneda

2.a moneda

3.a moneda

Resultado

C CCC C X CCX C C CXC X X CXX

C XCC C X XCX X C XXC X X XXX

E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}SEGUNDO. Se calculan las probabilidades utilizando la regla de Laplace.

P(A) 81

= P(D) 83

=

P(B) 83

= P(F ) 84

21

= =

P(C) 81

= P(G ) 84

21

= =

HAZLO ASÍ

"

"

"

"

"

"

"

"

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Y ahora... practica (Soluciones)UNIDAD 1

1. Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) ,8

181227

b) ,1222

1833

c) ,1626

80130

2. a) 53

b) 1811

c) 3723

1. a) 813

b) 2425

-

2. a) 6

b) 53

-

c) 65

-

3. a) 6 b) -1

c) 521

-

4. a) 840169

-

b) 576355

-

UNIDAD 2

1. a) 64 g) 1

b) -64 h) 1

c) -64 i) 1

d) 641

j) 41

e) 641

- k) 41

-

f) 641

- l) 41

-

2. Pertenecen al intervalo 0 y 1.

1. a) 39

b) 35

c) 63

d) (-6)3

2. a) 35

b) 39

c) 3-2

d) 33

3. a) 522

b) 52

c) 5-26

d) 522

6. a) 2,103 ? 106

b) -4,503 ? 10-5

UNIDAD 3

1. a) •Términos: -x 3y 5y 2 14xy 1 •Grado:4

b) •Términos: x 5 x 2 x 4 •Grado:5

2. a) x 2 - 2x + 1

b) 4x 2 + 12x + 9

1. P(x) + Q(x) = -2x 4 - x 3 + 3x 2 + 3x - 4 P(x) - Q(x) = 4x 4 + x 3 + 3x2 - 13x + 6

2. P(x) ? Q(x) = 3x 6 + 4x 4 - 15x 3 - 12x 2 + 25x - 5

3. 4x 3 -3x - 5

4. a) x 2 ? (3x 3 + 5x - 14)

b) 6xy ? (3x 4 - xy - 2y)

d) -6xy 2 ? (1 + 2x + 4x 2)

UNIDAD 4

1. a) • Miembros:3x - 44(x - 1)

• Términos: 3x 4x 4

• Incógnitas: x

b) • Miembros: -x 2 + 7x - 1-2(x 2 - 1)

• Términos: -x2 7x 1-2x2 2

• Incógnitas: x

2. x = 56

3. a) 1 y -2

b) Sinsolución

c) 0 y 71

d) 0

4. a) Ninguna

b) Dos

c) Dos

d) Una

2. 6 y 7

5. 19, 20 y 21

UNIDAD 5

1. a) Incógnitas:x, y Coeficientes: 2, -5, 1, 2 Términosindependientes:3,-4

b) Incógnitas:x, y Coeficientes: -1, 1, 4 Términosindependientes:0,-2

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1.

x yx y

2 34 6+ =

- + =3

2. a) x = 2, y = 1

b) x = 1, y = 34

3. a) x = 0, y = 1 b) x = 2, y = 3

4. a) x = 1, y = 1

b) x = 0, y = 32

UNIDAD 6

1. Existe proporcionalidad inversa, k = 600.

2. 85,26

3. 59,50 €

4. 14 €

5. En el reparto directamente proporcional a 3 le corresponden 30 y a 7, 70.En el reparto inversamente proporcional a 3 le corresponden 70 y a 7, 30.

1. 144 hombres

UNIDAD 7

1. Respuesta abierta. Por ejemplo: Seriearitméticadediferencia2:1,3,5,7,9,… Seriegeométricaderazón2:1,2,4,8,16,…

1. 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4,…

3. Noesaritméticanigeométrica.

4. d = 11

5. r = -4

6. an = -1 + 4n

7. an = 3 ? 2n-1

UNIDAD 8

1. 19,5 cm2

2. 50,24 cm2

3. 43,3 cm2

4. 2,24 cm

5. 41,52 cm2

6. 198 cm2

UNIDAD 9

1. Prisma pentagonal: 7 C 10 V 15 A

Pirámide octogonal: 9 C 9 V 16 A

2. 10,91 cm

3. 25,8 cm2

4. 113,04 cm2

5. 0,94 cm3

UNIDAD 10

1.

B

Y

X

A

1

1

2. 180°

3. Pl(4, 0)

4. 90°

5. Al(0, -2)

1. a) Falso b) Verdadero

5. Es la mitad.

UNIDAD 11

1. f(-1) = -5 f(-2) = -8

1. f(0) = 1 f(3) = -5

2. Y

X1

1

2.

1 X

Y

3

Minutos

Pre

cio

(cen

t.)

3. Y

X

1

1

3. Corta al eje X en (-1, 0) y (1, 0).

4. Cumple las condiciones de b).

4. TienemáximosenB, D y F. TienemínimosenC y E.

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230

UNIDAD 12

1. a) Funciónconstante

b) Funciónafín

c) Funciónlineal

2. a) No pertenece a la recta. c) Pertenece a la recta.

b) No pertenece a la recta. d) No pertenece a la recta.

3. La recta es y = -x + 1.

1. Y

X

1

1

UNIDAD 13

1. Depende de la cantidad de melocotones que formen la población,siesunnúmeroelevadoconvieneelegiruna muestra.

La variable es cuantitativa discreta.

2. El35%delosdatossonmenoresoigualesqueél.

3. La altura es c.

4. Media:1,6 Mediana:1 Moda:1

UNIDAD 14

1. a) E = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, +++} b) Salir dos caras = {CC+, C+C, +CC} c) Salir una cara o ninguna = {C++, +C+, ++C, +++} d) Salir dos cruces = {C++, +C+, ++C} e) Salir al menos dos caras = {CCC, CC+, C+C, +CC}

2. Hay 12 casos elementales.

3. Salirnúmeroimpar= {1, 3, 5}

4. P(roja) = 202

= 0,1

5. P(mujer) = 5017

= 0,34

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Cualquierformadereproducción,distribución,comunicaciónpúblicaotransforma-cióndeestaobrasolopuedeserrealizadaconlaautorizacióndesustitulares,salvoexcepciónprevistaporlaley.DiríjaseaCEDRO(CentroEspañoldeDerechosReprográficos,www.cedro.org)sinecesitafotocopiaroescanearalgúnfragmentode esta obra.

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Dirección de arte: José Crespo

Proyecto gráfico: Portada: Pep Carrió Interiores: Rosa María Barriga, Manuel García

Ilustración: Grafitti s.c., José María Valera

Fotografía de cubierta: Antonio Fernández

Jefa de proyecto: Rosa MarínCoordinación de ilustración: Carlos AguileraJefe de desarrollo de proyecto: Javier TejedaDesarrollo gráfico: Rosa María Barriga, José Luis García, Raúl de Andrés, Jorge Gómez

Dirección técnica: Ángel García Encinar

Coordinación técnica: Lourdes RománConfección y montaje: Alfonso García, Luis González, Hilario Simón, Marísa Valbuena

Corrección: Marta López, Marta Rubio, Nuria del PesoDocumentación y selección fotográfica: Nieves Marinas

Fotografías: A. Toril; GARCÍA-PELAYO/Juancho; J. Escandell.com; J. Jaime; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK; DIGITALVISION; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Photos.com Plus; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; Kodak EasyShare; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA

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