MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL. · ecuación matricial A2+2A+3I=0, expresando c en función de...

MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.

ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes

Profesor: Fernando Ureña Portero

CURSO 14-15

1.-Se pide a) (1p) Enuncia brevemente: qué es el rango de una matriz y cuándo una matriz es

regular. b) (5p) Discutir según los valores del parámetro m el rango de la matriz

(

)

c) (4p) ¿Para qué valores de m, la matriz A es regular? Para m=1, calcula A-1.

2.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {

. Se pide:

a) (6p)Discutir según los valores del parámetro a. b) (2p)Resolver dicho sistema para a=2. c) (2p)Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.

3.-Se sabe que |

| Hallar indicando, en cada caso, las propiedades que

utilices:

a) (3p)|2A3|; |(4A2)-1|; |A+At|; b)(3p)|

|; c)(3p)|

|

d) (1p)¿Cuándo una matriz es simétrica? ¿Y cuándo es una matriz singular?

4.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {

. Se pide:

a) (4p)¿Cuál será el valor de a para que la única solución sea la nula? b) (2p)Resolver para a=-1

c) (4p)Determinar una matriz simétrica X de orden 2 sabiendo que ( ) (

) y

que el |3X|=-9.

5.-Sean las matrices: (

) (

). Se pide:

a) (4p)¿Para qué valores de m se verifica la siguiente ecuación matricial: A2=2·A+I? b) (6p)Para m=1, calcula A-1 y la matriz que satisfaga la ecuación matricial: A·X-

B=A·B.

6.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {

. Se pide:

a) (6p)Discutir según los valores del parámetro k. b) (4p)Resolver dicho sistema para k=-1 y k=0.




7.-a) (4p) Determinar a y b para que la matriz (

) tenga inversa.

Calcular A-1 para a=3 y b=1.

b) (6p) Sean las matrices (

) (

) (

) Determinar

las matrices cuadradas de dimensión 2, M y N para que cumplan que {

.

8.-a) (7p) Discutir, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{

.

b) (3p) Resolver cuando el sistema sea compatible.

9.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {

. Se pide:

a) (7p.) Discutir las soluciones del sistema según el parámetro m. b) (3 p.) Resolver para m=2. Para dicho valor, calcular (si es posible) una solución en la que z=2.

10.-Dadas las matrices: (

) (

) (

). Se pide:

a) (3p.) Hallar a para que la matriz A tenga inversa. b) (4 p.) Para a=-2, calcular A-1. c) (3p.) Para a=1, calcula las soluciones del sistema de ecuaciones A·X=B.

11.-a) Sean las matrices (

) (

). Hallar la matriz X que

verifique que A-1·X·A=B-A.

b) Sabiendo que|

| . Calcula: b.1) |

|; b.2) |

|

12.-Sea la matriz (

). Se pide:

a) (5 p.) ¿Para qué valores del parámetro existe la matriz inversa de A? b) (5 p.) Hallar A-1 para .

13.-a) Dado el sistema de ecuaciones lineales {

. Discutir según los

valores del parámetro a. Resolver para a=1.

b) Calcular los valores de a, b y c para que la matriz (

) verifique que (A-2I)2=0.

Donde I es la matriz unidad de orden 2 y 0 es la matriz nula de orden 2.




CURSO 13-14

1.-Dadas las matrices (

) y ( ), donde B

t es la matriz traspuesta de B e I la matriz unidad de

orden 3.

a) (6p.)Estudiar según el parámetro el rango de A·Bt+I.

b) (4p.) Calcular la matriz X que verifica: A·Bt·X-X=2B.


) (

), obtener razonadamente el valor de los

determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4p.) |A+B| y |·(A+B)-1|. b) (3p.) |(A+B)-1·A| y |A-1·(A+B)|. c) (3p.) |2·A·B·A-1| y |A3·B-1|.

3.-Dado el sistema de ecuaciones: {

a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o en los casos) en que sea compatible indeterminado.

4.-Sea la matriz (

) .

a) (3p.) La matriz A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones homogéneo.

Discutir dicho sistema según los valores del parámetro m.

b) (3p.) Resolver para m=-1 y m=2.

c) (4p.) Determinar A-1 para m=0.

5.- a) (5p.) Calcular la matriz X que cumpla la siguiente ecuación matricial: X·A-B=2X, sabiendo que

(

) (

).

b) (5p.) Sea el determinante | | |

| . Se pide Calcular el valor de los siguientes

determinantes, explicitando las propiedades utilizadas.

|

| |

|




6.-Dado el sistema de ecuaciones {

a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.

7.- a) (3p.) Sea M una matriz cuadrada donde |M|=-1 y |-2M|=8. Calcula el orden la matriz

cuadrada M.

b) (4p.) Sea la matriz (

). Determinar la matriz B para que se cumpla: A+B=A·B.

c) (3p.) Sean las matrices: (

) (

). Se pide: B-1 y |A·B2013·At|

8.- Dado el sistema de ecuaciones: {

. Se pide:

a) (6p.) Discutir la compatibilidad según los valores de .

b) (4p.) Resolver para

9.-Se sabe que las matrices A y B cumplen las siguientes condiciones:

(

) (

). Se pide calcular:

a) A-B b) A c) B.

10.-Sean las matrices (

) (

) (

). Se pide:

a) (3p.) |A-1|; b) (5 p.) la matriz X, sabiendo que A · X = Bt · C; c) (2p.) |A2013 ·Bt B|


) ( ) (

). Se pide:

a) (5p.) Rango de la matriz A según los valores de m. b) (3p.) Discutir el sistema formado por A·X=B según los valores de m. c) (2p.) Resolver la ecuación A·X=B para m=1.


) (

) . Se pide:

a) (3p.) Calcular λ para que la ecuación X·A=B tenga solución (única). b) (3p.) Calcular la matriz X para λ=4. c) (4p.) Calcular |A2·B| en función de λ.




CURSO 12-13

1.-a) Sea la matriz (

), calcular el Rango de A según los valores del parámetro a.

b) Para a=1, calcular |2At·A

-1|.

c) Sean A y B matrices cuadradas de orden n2, tales que B=A-1

. Se sabe que |A|=3, razona cuánto vale |B|. ¿Cuál es el rango de B?

2.- a) Calcula todas las matrices cuadradas de orden 2 de la forma (

) que satisfagan la

ecuación matricial A2+2A+3I=0, expresando c en función de a.

b) Demostrar que las matrices del apartado anterior (a) son invertibles y calcular su inversa. 3.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 2 y columnas C1 y C2 y determinante 5, y la matriz B cuadrada de orden 2 y determinante 2. Si D es la matriz cuadrada de orden 2 y columnas 4C2 y C1-C2. Calcular el determinante de la matriz B·D

-1.

b) Sea la matriz (

). Calcular x e y para que se cumpla B-1

=Bt.

4.-Sean las matrices ( ) (

) (

). Se pide:

a) Determinar la matriz, sabiendo que se cumple: |A|=7 y A·B=C. b) Sean las matrices anteriores y que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuál de

las igualdades siguientes se cumple. Justifica la respuesta. b.1) A=C·B

-1; b.2) B=A

-1·C; b.3) A

-1=B·C

-1

5.-Dadas las matrices: A= (

) (

) ( ) (

). Se pide:

a) (5p) Hallar el rango de A en función del parámetro k. b) (2,5p) Para k=2, hallar si existe solución en el sistema A·X=B. c) (2,5p) Para k=1, hallar si existe la solución del sistema A·X=C.


) y B una matriz de orden 2 no nula y que verifica que B2=-7B+. Se pide:

a) (4p) Calcular los parámetros a y b para que se cumpla que A2=a·A+b·.

b) (3p) Calcular los parámetros p y q para que se cumpla que B-1

=p·B+q·. Justificar que existe B-1

.

c) (3p) Calcular los parámetros x e y que verifique que B3=x·B+y·.


) (

) ( ) . Se pide:

a) (2p) Determinar para qué valores de a y b, la matriz A es regular. b) (3p) Determinar para qué valores de a y b se cumple que A=A

-1.

c) (5p) Para a=2 y b=2, determinar las matrices C que verifican A·C=C·A.


}. Se pide:

a) (7p) Estudiar la compatibilidad del sistema en función del parámetro a. b) (3p) Resolver para a=0




9.-Sea el sistema de ecuaciones: {

}. Se pide:

a) (5p) Calcular el valor de k para que tenga más de una solución. b) (2p) Calcular el valor de k para no tenga solución. c) (3p) Resolver para k=0.


) y B=3·3 (donde 3 es la matriz identidad o unidad de orden 3).

Calcular:

a) (3p) An, cuando n es par.

b) (7p) Resolver la ecuación matricial: 6·A20

·X=B-3·A·X. (tener en cuenta A20

en función de lo calculado anteriormente)

11.-Sabiendo que |

| . Calcular, indicando las propiedades utilizadas, el valor de:

a) (5p) |

|; b) (5p) |

|


} . Se pide:

a) (4p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que al añadirle la ecuación ax+y+z=9 sea un sistema de ecuaciones compatible y determinado? b) (3p) Resolver para a=0. c) (3p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que el sistema de 3 ecuaciones anterior no tenga solución?

13.-Dada la matriz (

) y sea B la matriz que verifica que (

).

a) (4p) Demostrar que A y B tiene inversas. b) (6p) Resolver la ecuación matricial A

-1·X-B=B·A.


) (

).

a) Hallar una matriz X tal que A·X·A-1

=B. b) Calcular A

10.

c) Hallar todas las matrices M que satisfacen (A+M)·(A-M)=A2-M

2.


.

a) (7 p.) Discutirlo según los valores de k. b) (3 p.) Resolverlo cuando el sistema sea compatible.

16.-Dada la matriz (

).

a) (5 p.) Determinar el rango de M según valores del parámetro .

b) (5 p.) Determinar para qué valores de , existe la matriz inversa de M. Calcular dicha inversa para

=0.




CURSO 11-12

1.-a) (5p.) Sean A y B matrices cuadradas de orden 3, cuyos determinantes son |A|=½ y |B|=-2. Hallar: a.1) |A

3|; a.2) |A

-1|; a.3) |-2A|; a.4) |A·B

t|; a.5) Rango de B

b) Utilizar las propiedades los determinantes para calcular el valor de:

b.1)(2p. ) |A|=| |; b.2) (3p.)|B|= |

|

2.-Dada la matriz A=(

). Se pide:

a) (5p.) Rango de A según los valores del parámetro a.

b) (5p.) Para a=2, discutir el sistema A·( ) (

) en función de los valores del parámetro b y

resolverlo cuando sea posible.

3.-Dado el sistema de ecuaciones {

. Se pide:

a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro . b) (4p.)Resolver el sistema de ecuaciones para .

4.-a) Dada la matriz A=(

). Se pide:

a.1) (2,5p.)Determina los valores de para los que A2+3A no tiene inversa.

a.2) (2,5p.)Para , hallar la matriz X que verifique que A·X+A=2I.

b) (5p.)Dada la matriz A=(

). Calcular a y b para que A-1

=At.

5. Sean las matrices (

) (

). Se pide:

a) (4p.) ¿Para qué valores de m la matriz A no tiene inversa?

b) (4p.) Para m=1, calcular la inversa de A.

c) (2p.) Resolver la ecuación matricial A·X=B para m=1.

6.1-(6p.)Sea la matriz (

) cuyo determinante vale 4. Se pide, indicando las propiedades que

utilizas:

a) |-3At|; b) |

| ; c) |A-1

At| ; d) Si B es una matriz cuadrada y B

3=I, calcula |B

-1|

6.2.-Dadas la matriz (

)e I la matriz unidad de orden 2. Resolver el sistema de ecuaciones

matricial: {




7.-Sea el sistema de ecuaciones {

. Se pide:

a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro a.

b) (3p.)Resolver para a=2.

c) (1p.) Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.

8.- a) (5p.)Dadas las matrices (

) (

) , razonar para qué valores de t el

sistema homogéneo A·X=0, tiene más de una solución.

b) (4p.)Dadas las matrices (

) (

), calcular a, b y c, sabiendo que no

pueden valer 0 a la vez, para que las matrices M y N tengan, simultáneamente, rango 2.

c) (1p.)Enuncia brevemente qué es el rango de una matriz.

9.- a) (5p.)Dadas las matrices (

) (

), se pide:

a.1) Determinar para qué valores de k la matriz Bt·A

t tiene inversa.

a.2) Resolver la ecuación matricial (A·B)t·X=I para k=0.

b) (5p.)Dadas la matrices (

) (

). Resolver el sistema de ecuaciones matricial:

{

10.- a) (5p.) Sea la matriz (

), se pide:

a.1) Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro m.

a.2) Para m=-1, calcular A-1

.

b) (5p.) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los valores a y resolver cuando el sistema

sea compatible indeterminado: {

11.-Indicando las propiedades de los determinantes utilizadas en cada caso, se pide:

a) (6p.)Si | | |

| , calcular

a.1) |

|=; a.2) |

|; a.3) |

|




b) (2p.)Si |

| , calcular|

|

c) (2p.) Sabiendo que x, y, z y u son valores no nulos, justificar sin efectuar su desarrollo que

|

|


) ( ).

a) Discutir el rango de A según los valores de .

b) Para =2, resuelve el sistema de ecuaciones (o la ecuación matricial) A·X=B.

13.- Sean las matrices (

) (

)

a) Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es

·A.

b) Para =-3, determina la matriz X que verifica la ecuación At·X=B, siendo A

t la matriz traspuesta de

A.

14.- a) Discutir, según los valores de m, el sistema: {

b) Resolver para m=0 y m=1.




CURSO 10-11


) (

) (

).

a) Matriz inversa de otra. ¿Por qué no tiene inversa la matriz C? b) Matriz inversible o regular. ¿Es invertible la matriz D? c) Hallar los valores de m para que exista B

-1.

d) Hallar B-1

para m=0. e) Calcular la matriz X para que cumpla que X·B+C=D para m=0.

2.-Sabiendo que (

) y que |A|=4. Indicando en cada caso las propiedades utilizadas, se pide:

a) | |; | |; |

|.

b) Calcular A, si A·(

)=I.

c) Si (

) ¿qué relación existe entre b, c y d para que se verifique B-1

=2I-B.

d) Menor complementario de un elemento de un determinante 3.-El sistema A·X=B tiene diferentes soluciones según sea la matriz B, sabiendo que:

A (

) ( )

a) Rango de matriz b) Determinar si existen valor/es de a para los que el sistema sea compatible.

c) Si a=4 y B (

), determinar, si existen, el valor/es de b para los que el sistema es

incompatible.

d) Si a=4 y B (

), determinar, si existen, el valor/es de c para los que el sistema es compatible

indeterminado. Resolver el sistema.

4.-a) Discutir según los valores del parámetro a y resolver cuando sea posible: {

b) Sean (

) (

) . Calcular: |(B.A)t|

-1 y B

2.

c) ¿Qué es un adjunto en un determinante?

5.-Sea la matriz (

). Se pide:

a) Estudiar el rango de A según los valores de a. b) Hallar el valor de a para que A sea una matriz regular. c) Hallar A

-1 para a=1.

d) Enunciar brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius

6.-a) Sea (

), encontrar todas las matrices (

) tal que se verifique B·P=P·B.

b) Sea | | |

| Se pide el valor de: |C4·C

-1|, |

| y |

|.




7.-Sea el sistema de ecuaciones: {

a) Discutir según los valores de a. ¿Tiene siempre solución? b) Resolver para a=-1. c) ¿Qué es un sistema homogéneo? ¿Cuándo será incompatible?

8.-a) Dadas las matrices P (

) y A (

), hállese razonadamente la matriz B,

sabiendo que B·P=A.

b) Sea el sistema de ecuaciones {

. Discutir y resolver según a.


) (

) (

).

c) ¿Para qué valores de m existe B-1

? d) Para m=1, calcular B

-1.

e) Para m=1, hallar la matriz X tal que X·B+C=D.

10.-Determina, según los valores de m, el rango de la matriz (

). ¿Cuándo tiene

inversa A? Para m=1, soluciona el sistema ( ) (

).

11.- a) Discutir, según los valores de a, el sistema: {

b) Resolver para a=0.

12.-Sea la matriz (

). Se pide:

a) Determinar los valores de λ para que la matriz A2+3A no tenga inversa.

b) Para λ=0 hallar una matriz X que verifique que A·X+A=2I.

13.- Discutir según los valores de a el siguiente sistema: {




CURSO 09-10

1.-Dada la matriz (

)

a) Estudia, según los valores de m, el rango de A.

b) Para m=-1, calcula la matriz X que verifica XA+A=2I3.

2.-Sea el sistema {

a) Discutir las soluciones del sistema anterior en función de a.

b) Resolver para el valor de a que hace al anterior sistema compatible indeterminado.

3.-Se consideran las matrices (

)

a) Halla los valores de x, y, z para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Determina los valores de a para los que el sistema que se forma de B·A=C tiene solución.

c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.

4.-Realiza las cuestiones siguientes:

a) Sea (

). Halla An, siendo .

b) Busca una matriz B tal que B·A=(0 0), siendo (

).

c) Sean las matrices (

) (

). Estudia en función de los valores de k, si la

matriz B·A tiene inversa.

5.-Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A·X·B=C.

a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que |A|=3, |B|=-1 y |C|=6, calcula |X| y

|2X|.

b) Si (

), (

) y C (

), calcula la matriz X.

6.-Sea el sistema de ecuaciones {

a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible.

b) Resuelve el sistema para m=-1.

7.-Se consideras las matrices (

) y B=A-kI2, donde k es una constante.

a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.

b) Calcula B-1

para k=-1.

c) Determina las constantes y para las que se cumple A2+A=I2.





) y ( ).

a) Calcula, si existe, la inversa de la matriz A.

b) Resuelve ¡el sistema A·X=3X.

9. Dadas las matrices: (

) (

)

a) Encontrar las condiciones que debe cumplir a, b, c para que se verifique A·B=B·A.

b) Para a=b=c=1, calcular B10

.

c) Calcular A-1

.

10. Dado el sistema {

a) Clasificarlo según los valores de k.

b) Resolverlo para k=-1

11. Se considera el sistema {

}

a) Discutir según los valores de m.

b) Resolver para m=0.

12. Dada la matriz (

). Obtener A-1

.

13. Dadas las matrices (

) (

). Obtener una matriz cuadrada X2 que verifique

A·X·B=A+B.




CURSO 08-09

1.- a) Calcular razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

mzzyx

myzyx

mxzyx

42

2

2

b) Resuelve el sistema anterior para el caso m=0 y para el caso m=1.

2.-Dadas las matrices

111

402

201

111

121

211

ByA

a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuación matricial: A·X+B=A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.

3.-Sabemos que el sistema de ecuaciones:

22

132

zyx

zyx. Tiene las mismas soluciones que el que

resulta al añadir la ecuación ax+y+7z=7.

a) Determina el valor de a. b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de las incógnitas sea igual a la unidad.

4.-Considera la matriz

2

22

111

mmm

mmmA

a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

b) Estudia si el sistema

1

1

1

·

z

y

x

A tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en

el apartado anterior. Si tienen solución hállalas.

5.-Dada la matriz

k

k

k

A

71

31

31

a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para k=0, halla la matriz inversa de A.

6.-Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

1)1(

0

1

kkzykx

zky

yx

a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z=2

7.-Dadas las matrices:

1

1

11

02

1

1

0

2

0

1

;

221

010

111

CyBA

Calcula la matriz P que verifica AP-B=Ct.




8.-Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

1

2

1

zayx

aazyx

axyx

a) Discútelo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en el caso a=2.

9.-Considérese el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial A·X=B, donde

z

y

x

XyB

a

aaA ,

3

2

1

,

11

12

211

Siendo a un parámetro real. Se pide:

a) Clasifica el sistema en función del parámetro a . b) Para a=0, obtén las soluciones mediante el cálculo X=A

-1·B.

10.-Calcula una matriz cuadrada X, sabiendo que verifica: X·A

2+BA=A

2 siendo:

002

020

200

001

010

100

ByA

11.-Estudiar el rango de la matriz:

11

1

)1(1

mm

mm

mmmm

A según los valores del parámetro m.

12.-Sean las matrices:

76

98

10

02ByA Hallar una matriz X, tal que X·A·X

-1=B.

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