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Matemática y Razonamiento

Lógico4to. semestre

Educación Media Técnica

Por todos los beneficios que esto supone para el desarrollo de tus potencialidades, te invita-mos a que dirijas tu proceso de aprendizaje. Pero, ¿cómo lograrlo a través de este sistema? Con es-fuerzo, constancia y dedicación ¡Nunca te confor-mes! Ve más allá, aviva tu espíritu investigador, consulta las fuentes recomendadas, realiza las ta-reas propuestas, analiza los resultados, contrasta las actividades con las de tus compañeros; así te enriquecerás y sorprenderás con la diversidad de métodos que cada uno aplica en la solución de los problemas.

La metodología empleada está basada en el aprendizaje autónomo dirigido y el análisis de situaciones. La idea es mostrarte que podemos reconstruir los conceptos matemáticos teniendo en cuenta tus experiencias, a través de problemas relacionados con el entorno. Con la ayuda de pre-guntas orientadoras e imágenes ilustrativas, ela-boraremos conceptos propios. Verás que en algu-

La riqueza del área de Matemática y Razonamiento Lógico reside en las situaciones propias que ella plantea, ya que fa-vorecen y afianzan la capacidad de exploración, observación, descripción, formulación de hipótesis, argumentación, análisis de diferentes alternativas, etc. Con todas estas competencias, puedes idear estrategias que te permitan actuar de manera eficiente ante una situación problemática relacionada con el quehacer diario o ámbito científico, lo que conlleva a tomar decisiones fundamentadas, fomentando la participación crí-tica de los ciudadanos en la reconstrucción de una sociedad que refleje bienestar social, avances tecnológicos y científicos, entre otros.

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Presentación

nos tópicos las actividades o lecturas están referidas a “Sensualidad, sentidos y arte”, “Salud emocional” y “Tecnología y sociedad”, pues son precisamente estos los temas centrales correspondientes a este semestre.

Los contenidos están distribuidos en tres bloques: la geometría, que, en términos simples, estudia las propiedades de las figuras, las disposiciones de los cuerpos en el espacio y sus generalizaciones; el algebra, que nos permite usar, de una manera general, las reglas y leyes que hemos visto para los números; y la teoría de probabi-lidad, que junto con la estadística es una herramienta eficaz para decisiones lo más certeras posibles.

Semana 1Mi primer encuentro con el sistema IRFA

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Mi primer encuentro con el sistema IRFA Semana 1

Es un placer tenerte entre nosotros. Todo el equipo del IRFA está agradecido de que hayas seleccionado este siste-ma; esperamos cubrir la mayor parte de tus expectativas y ser facilitadores en tu proceso de formación académica. De antemano te invitamos a un viaje largo ¡ve a preparar tus maletas! Llénalas con cosas de gran valor y riqueza para ti, lleva cosas que no se es-tropeen por los vaivenes del viaje. Y ¡nada de cargas pesadas! Atiborra tu equipaje de paciencia, optimismo, entusiasmo, compromiso, sabiduría, ¡ah, y no olvides la perse-verancia! ¿Qué más quieres llevar? Ahora conozcamos nuestro lugar de encuentro; para ello empecemos por saber qué es el IRFA.

¿Qué has escuchado acerca del sistema de enseñanza IRFA?, ¿sabes qué significan las siglas IRFA?, ¿cuál crees tú que sea la visión de este sistema?, ¿los horarios están adaptados a tu ritmo de vida? Investiga acerca de la metodología empleada por el IRFA.

¿Qué es el IRFA?

Es una red educativa y de comunicación, perteneciente al Movimiento de Educación Popular Integral y de Promoción Social Fe y Alegría que, mediante la generación de propuestas educativas y comunicativas, se dirige a la población excluida, para promo-ver la construcción de ciudadanía y la lucha por la igualdad, la equidad y la inclusión social. Su programación es informativa, educativa, formativa y de entretenimiento, de carácter participativo, especialmente dirigida a los jóvenes y adultos, bajo la modali-dad de educación semi-presencial.

¿Qué servicios nos ofrece?

EBG. Educación Básica General

Dentro de esta tenemos alfabetización y post-alfabetización: Primera Etapa (del 3ro al 6to semestre): Equivale a la primera y segunda etapa de Educación Básica diurna regular. Se otorga constancia de aprobación del 6to grado. Esta etapa se desarrolla en cuatro (4) semestres.

Educación Media Técnica.

Se otorga título de Técnico Medio en Comercio y Servicios Administrativos, en las menciones de: Contabilidad, Informática y Tecnología Gráfica. Tiene una duración de diez (10) semestres.

Mi primer encuentro con el sistema IRFASemana 1

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Los elementos del sistema

Tienes a tu disposición un “kit” de estudios con los siguientes elementos: los mó-dulos (textos de estudio), la página web del IRFA, el CD multimedia, la revista radial y el encuentro presencial (asesoría que se realiza una vez a la semana en los Centros Comunitarios de Aprendizaje). Es necesario que utilices todos estos recursos, para aprovechar tu aprendizaje al máximo.

Saber más

Para conocer la reseña histórica del IRFA, te recomendamos visitar la si-guiente dirección web: http://www.radiofeyalegrianoticias.net/index.php?option=com_content&view=article&id=31&Itemid=107

Sobre los orígenes y la labor de Fe y Alegría hay varios videos disponibles en http://www.youtube.com/watch?v=2uwbjv26uyk y en el CD multimedia del IRFA de este semestre.

A mediados del siglo XIX se inventó el telégrafo eléctrico, el cual transmite por cable una corriente eléctrica, mediante impulsos largos y cortos, utilizando el código Morse. Los impulsos largos están representados por rayas y los cortos por puntos. Así, cada letra del alfabeto tiene su propia representación.

Símbolos del código Morse internacionalSímbolo Código Símbolo Código Símbolo Código

A · - P · - - · 5 · · · · ·B - · · · Q - - · - 6 - · · · ·C - · - · R · - · 7 - - · · ·D - · · S · · · 8 - - - · ·E . T - 9 - - - - ·F · · - · U · · - 10 - - - - -G - - · V · · · - punto · - · - · -H · · · · W · - - coma - - · · - -I · · X - · · - interrogación · · - - · ·J · - - - Y - · - - dos puntos - - - · · ·K - · - Z - - · · punto y coma - · - · - ·L · - · · 1 · - - - - guión - · · · -M - - 2 · · - - - barra oblicua - · · - ·N - · 3 · · · - - comillas · - · · - ·

O - - - 4 · · · -

Semana 1Mi primer encuentro con el sistema IRFA

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Manejando el código Morse, descifra la frase que aparece a continuación, que indica una de las finalidades del sistema IRFA.

Ahora, usando el código Morse, escribe un párrafo acerca de lo que significa para ti el IRFA.

Biografía del padre José María Vélaz

Hay hombres que sembraron sus vidas en la tierra fértil del servicio. Por eso, fue-ron capaces de levantar grandes cosechas en el corazón de multitudes. Uno de estos hombres fue el padre Jóse María Vélaz, fundador de Fe y Alegría, ese movimiento edu-cativo que nació en Caracas y ha llevado su bandera de Educación Popular Integral a los barrios y campos de diecisiete países.

El padre Jose María Vélaz nació en Rancagua, Chile, el 4 de diciembre de 1910, en el seno de una familia en la que se vivía a fondo el cristianismo. Se radicó en España, donde estudió en el internado de los jesuistas en Tudela. Su formación y la situación política de España lo llevaron por varios países europeos y, cuando estaba esperando ser enviado a China, sus superiores decidieron mandarlo a Venezuela en el año 1946.

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguien-te dirección web: http://www.cerpe.org.ve/boletin/biografia/jvelaz.pdf

Realiza un escrito analizando los siguientes pensamientos del padre Vélaz:

“La educación de los pobres no puede ser una pobre educación”.

“Fe y Alegría es un sueño más que va a caballo de grandes nubes de ensueños pasa-dos y de bellas fantasmagorías que por otra parte han sido muy realistas”.

“Fe y Alegría no se puede casar nunca con la desesperanza. Nuestra vocación es ser hom-bres de activa esperanza, frente a ese escenario inmenso de pobreza y de miseria” .

La batalla entre el bien y el mal no se libra con armas, sino con corazones que laten al ritmo de sus propios ideales.

La matemática que aprenderásSemana 2

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La dinámica de esta semana es presentar los contenidos del área que abordaremos en este se-mestre; también te facilitaremos unas estrategias para ayudarte en la resolución de problemas. La idea es que resuelvas un listado de ejercicios de semestres anteriores, otros de razonamiento ló-gico, y vayas aproximándote a algunos nuevos problemas.

Recordemos… Resolución de problemas: métodos

Vamos a hacer énfasis en la resolución de problemas; te mostramos para ello una guía auxiliar que puede ayudarte en el camino (ver tabla 1). Cabe destacar que no hay un método único ni mucho menos efectivo del todo; si lo hubiese, no tendría sentido hablar de “resolución de problemas”. Estos lineamientos por sí solos no hacen “mila-gros”, hace falta tu compromiso y dedicación. La única manera de aprender a resolver problemas, es ¡resolviéndolos!

Tabla 1 Guía para la resolución de problemas

Etapa 1. ENTENDER el problema

¿Qué trato de encontrar?, ¿qué datos tengo?, ¿qué condiciones tiene el proble-ma?, ¿he resuelto algún problema similar?

Etapa 2. Desarrollar o DISEÑAR un plan

¿Qué métodos puedo utilizar para resolver el problema?Etapa 3. Llevar a cabo un PLAN

¿Cuál es la manera correcta de aplicar esos métodos?Etapa 4. Encontrar la RESPUESTA y VERIFICAR

¿Es correcta la solución propuesta?, ¿cuál es la solución del problema?, ¿parece razonable la solución?, ¿establecí la respuesta con claridad?

La etapa 2 implica seleccionar y utilizar uno o más métodos para resolver proble-mas. La tabla 2 muestra algunos de estos métodos.

Tabla 2Métodos para resolver problemas

Hacer un diagrama Adivinar, cotejar y corregir.

Plantear una ecuación.

Hacer una lista organizada

Usar razonamientos lógicos.

Hacer una tabla.

Buscar un patrón Simplificar el problema. Trabajar hacia atrás.

Semana 2La matemática que aprenderás

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A continuación, describimos algunos de los temas que verás en el transcurso de este semestre. Las primeras tres semanas pertenecen a la geometría, donde estudia-remos: circunferencia y círculo, movimientos en el plano y congruencia de triángulos. Estos temas están enfocados desde el arte, considerando, desde luego, la aplicación en otros ámbitos; la idea es mostrarte cómo la matemática influye en muchos aspec-tos de nuestra vida, así podrás valorar la presencia de estos elementos en las iglesias, en las plazas, en la naturaleza, en lo enseres del hogar, etc.

En las semanas siguientes se presentan los temas de radicación y sus propiedades, asociados a la resolución de fenómenos cotidianos y simplificación de expresiones radicales complejas; se abordará la factorización como un método que nos permite simplificar expresiones racionales y se aplica en la resolución de ecuaciones cuadrá-ticas. En la semana 10 se resalta la importancia de la representación gráfica de la fun-ción cuadrática: la parábola, y su aplicación en la física y en el campo tecnológico; por último, estudiaremos un tema que va de la mano con la estadística: la probabilidad.

Saber más

Consulta las guías de los semestres anteriores para reforzar los contenidos y, para conocer sobre los diferentes métodos de resolución de problemas, revisa el CD multimedia del IRFA de este semestre.

Para desarrollar en el CCA.

El facilitador invita a los participantes a sentarse formando un círculo con sillas; debe haber una menos con respecto al número de personas; a cada uno se le asigna el nombre de una fruta. Estos nombres se repiten varias veces, asignando la misma fruta a varias personas.

El facilitador empieza a relatar una historia (inventada); cada vez que se dice el nom-bre de una fruta, las personas que han recibido ese nombre cambian de asiento (el que al iniciar el juego se quedó de pie, intenta sentarse), pero si en el relato aparece la palabra “canasta”, todos cambian de asiento. La persona que en cada cambio queda de pie, debe presentarse. La dinámica se realiza varias veces, hasta que todos se hayan presentado.

Biografía de George Pólya

Stanley y otros (1992)

“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descu-brimiento en la solución de cualquier problema”.


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George Pólya (1887-1985) fue un matemático que pensaba que resolver un proble-ma era un arte, como nadar o tocar un piano, en el que con la práctica se adquiría maestría. Nacido en Hungría, estudió primero leyes, luego literatura y lenguas hasta que su interés en el descubrimiento lo llevó al estudio de las matemáticas. En la ac-tualidad, su influencia en el campo de las enseñanzas es amplia: sus estudios sobre los métodos y reglas del descubrimiento dieron como resultado una propuesta espe-cífica sobre la resolución de problemas, la cual se ha convertido en el modelo a seguir como guía para resolución de estos en la mayoría de programas de estudio. Las cuatro etapas para la resolución de problemas que él describe en su libro “How to solve it”, son: a) entender el problema, b) diseñar un plan, c) llevar a cabo el plan y d) verificar las soluciones obtenidas.

Te presentamos un listado de problemas para que hagas revisión de los conocimien-tos adquiridos. En caso de tener dudas, revisa los módulos de semestres anteriores y, ¡toma los correctivos necesarios! Sin embargo, no te preocupes si no los puedes hacer todos, porque algunos corresponden a este semestre.

1. Un hombre quiere enviar por correo una lámpara fluorescente que mide 92cm. de largo, pero las normas de correo prohíben el envío de paquetes que midan más de 55cm. ¿Cómo podría enviar el objeto sin romperlo, ni doblarlo, ni faltar a las ordenanzas de correos?

2. La zona sombreada representa un terreno. ¿Cuál es su superficie? Los terrenos que lo limitan son cuadrados.

Figura 1

3. ¿Cuál de las opciones (A, B, C, D y E) representa una rotación de la figura 1 en 45º con centro O?

Figura 2

4. ¿De qué manera harías el 19 para que, quitándole uno, quedaran 20?

144m2

25m2

169m2

A B C

D E

Semana 2La matemática que aprenderás

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5. Un matrimonio tiene tres hijos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor sea hombre y la menor mujer?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean del mismo sexo?

6. ¿Cuánto se demora un tren de 1km de largo en atravesar un túnel de 1km de longitud, si viaja a la velocidad de 1km por minuto?

7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 3?, ¿cuántos son rectangulos?

Figura 3

8. Elena ha ideado un código secreto para comunicarse con sus amigos sin que se enteren otras personas. Para ello, a cada letra le ha asignado unas coordenadas, tal y como muestra la figura 4. Intenta descifrar el mensaje que hoy te ha enviado.

Figura 4

9. ¿Qué figura geométrica forman los segmentos AB, AC, BD y CD si A(2,4), B(-1,4), C(2,-3), D(-1,-3)? Determina el perimetro y el área.

10. Utiliza el método de adivinar, cotejar y corregir para encontrar el número que falta.

a) =11 b) =8 c) =20

11. El número de mujeres en una verbena es 6 más que el doble de hombres. Si hay 88 mujeres en la verbena, ¿cuántos hombres hay?

12. De acuerdo a la forma de los objetos mostrados, identifica qué cuerpo geométrico representa cada uno de ellos.

Perdonar es el valor de los valientes. Solamente aquel que es bastante fuerte para perdonar una ofensa, sabe amar. Mahatma Gandhi

(1,2) (0,3) (3,3) (1,3) (3,2) (0,5) (3,4)(0,4) (0,0) (1,1) (0,4) (2,5) (0,0) (2,2) (0,1) (3,3) (0,0) (2,3) (0,1) (3,4) (0,2)(2,3) (0,1) (3,4) (0,3) (1,1) (0,1) (3,3)

3·__+72

4·__-122

__·3+192

B J P WA CEI

UO

D LK Q

F

HG

MÑN V

TSR

ZYX

Circunferencia y círculoSemana 3

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Semana 3 Circunferencia y círculo

Apreciados participantes, ¡bienvenidos a un nuevo encuentro! Comencemos con buen ánimo y muchísima disposición.

Tanto en la naturaleza como en las obras de arte, hay diversidad de formas más o menos redondas, como las secciones de los troncos, las ondas que se forman cuando dejamos caer una piedra en un estanque de agua, el perfil del sol o de la luna llena, etc. De igual manera, las grandes catedrales se encuentran decoradas con grandes ventanales, conocidos como rosetones, cuya forma es circular, considerados obras de arte por sus bellos motivos y la armonía en sus diseños.

Esta semana conoceremos los elementos de la circunferencia y el círculo; veremos cómo se pueden obtener las fórmulas para calcular la longitud y el área de objetos cir-culares. Y aprovecharemos el tema central “Sentidos y arte” que se inicia esta semana, para estudiar las figuras circulares que se aprecian en algunas obras arquitectónicas.

Observa las imágenes y clasifícalas según te den la “idea” de círculo o de circunferencia.

Empecemos con una breve lectura…

Los rosetones

Un rosetón es una ventana circular calada, dota-da de vidrieras, cuya tracería se dispone general-mente de forma radial.

El rosetón se utilizó en la arquitectura románica y con mayor profusión en la gótica: son ornamen-tos arquitectónicos que se encuentran en algunas catedrales y templos; las vidrieras se decoraban normalmente con escenas bíblicas en vivos colo-res. Su misión es doble: la más simple es iluminar el interior de los templos; y a su vez conseguir un ambiente misterioso al incidir en el altar los rayos filtrados por las multicolores vidrieras.

Semana 3Circunferencia y círculo

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Como uno de los ejemplos más representativos de la sublimidad artística que puede encerrar un rosetón se suele citar la pareja que adorna el transepto de Notre Dame de Paris. La primera imagen de la sección Conocimientos previos muestra un tipo de rosetón.

1. Circunferencia y círculo

Dibuja un punto en tu cuaderno y llámale O; con una regla dibuja 10 puntos que es-tén situados a 3cm de dicho punto. Une con una línea todos los puntos que has dibu-jado, menos el punto O. ¿Qué figura obtienes? Si marcas muchos puntos alrededor de O, a una distancia de 3cm, al unir los puntos ¿qué has obtenido? Teniendo en cuenta esta actividad podemos decir que:

Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a una misma distancia de un punto dado que se llama centro (O). La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

Al sombrear el interior de la región que encierra la circunferencia, tendrás que,

El conjunto formado por una circunferencia y todos sus pun-tos interiores determinan un círculo.

Ten en cuenta que círculo y circunferencia son cosas distintas, pues, el primero es una superficie o plano y la segunda una línea o borde.

2. Elementos de la circunferencia

Figura 5

El radio es el segmento que va desde el centro a cualquier punto de la circunferen-cia. Todos los radios de una circunferencia tienen la misma medida (considerando la rueda de la bicicleta, los “rayos” son ejemplos de radios).

ArcoRadio

DiámetroCuerda

A

B


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El arco es una porción cualquiera de la circunferencia. Un arco de extremos A y B se denota por “arco” AB.

La cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Una cuerda divide a la circunferencia en dos arcos.

El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y divide a ésta en dos arcos iguales que se llaman semicircunferencias. Asimismo, podemos observar que el diámetro mide el doble del radio (ver figura 5). Además, el diámetro es la mayor de las cuerdas que pueden trazarse.

3. Longitud de una circunferencia. El número pi

En la semana 3 del 3er semestre realizamos la actividad denominada “Descubriendo el valor de π” , de donde obtuvimos la siguiente relación:

π = = , podemos escribir π =

o , L = π · d, dado que d = 2r; sustituyendo obtenemos: Longitud de la circun-ferencia: L = 2 π r

Para determinar la longitud de objetos que tengan forma circular, sólo debes medir su radio (o diámetro) y aplicar la fórmula anterior.

Ilustremos con un ejemplo: el tronco de un árbol tiene 4m de diámetro. ¿Cuántas personas se necesitan para abrazarlo, suponiendo que cada persona –en promedio– puede abrazar 1,6m?

Con los datos del problema, utilicemos la fórmula L = π · d = 3,14 · 4m = 12,56m. Dividiendo la longitud de la circunferencia entre el promedio de abrazo, obtenemos la cantidad de personas. Esto da 7,85 ¿Podemos tener ese número de personas?, ¿tiene sentido en este ejemplo trabajar con cifras decimales?, ¿por qué?

4. Elementos de un círculo

Figura 6

Sector circular: región del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente.

Segmento circular: región del círculo comprendida entre un arco y su cuerda.

Semicírculo: región limitada por un diámetro y su arco. Mitad del círculo.

Corona circular: región del plano encerrada por dos circunferencias con el mismo centro (concéntricas). El número R-r determina el ancho de la corona.

Longitud de la circunferenciaDiámetro

Ld

Ld

Sector Circular

Segmento

Circular

r

R


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5. Área del círculo

Al trazar dos diámetros perpendiculares en un círculo, éste queda dividido en cua-tros partes iguales (sectores circulares). Dibuja un círculo, recorta esos sectores y pé-galos, como se muestra en la figura 7.

Figura 7

¿Parece un rectángulo? ¡No! Pero, si divides el círculo en muchos sectores iguales cada vez más pequeños y realizas el procedimiento anterior, comprobarás que hay un mayor parecido al rectángulo (ver figura 8). Detalla que durante el corte y pegado de la figura no haya faltado ni sobrado nada. De manera que, el área del círculo es una buena aproximación del área del rectángulo.

Figura 8

Dado que sabemos calcular el área del rectángulo, establezcamos enlaces entre las figuras 7 y 8, para hallar la fórmula que describe el área del círculo. ¿Qué relación hay entre la suma de las longitudes de los arcos de la base y la longitud de la circunferen-cia?, ¿y entre la altura del rectángulo y el radio del círculo? Verifica que efectivamente la base del rectángulo es la mitad de la longitud de la circunferencia, será entonces πr y la altura es igual al radio del círculo r, luego el área del rectángulo será A = b.a = π · r · r = π · r2 por tanto A círculo= π · r2. Un círculo abarca un ángulo de 360º. Si divides el círculo en sectores de un grado, el área de cada sector del círculo quedará dividida entre 360º.

Para hallar el área de un sector circular de nº (cualquier grado), aplicamos

A sector = =

Saber más

Si deseas informarte acerca de la invención de la rueda y el uso de ésta, visita las siguientes direcciones web: http://www.educar.org/inventos/rueda.asp ; http://www.iesmarenostrum.com/departamentos/tecnologia/mecaneso/mecanica_basica/operadores/ope_rueda.htm

En el CD multimedia encontrarás actividades interactivas donde debes iden-tificar los elementos del círculo y circunferencia; además verás un ejemplo de cómo hallar el área de un círculo.

12

3 4

1 1

2

3

4

A círculo nº360º

nº · π · r2 360º


182

1. En la figura 9 el vértice O del triángulo OAB es el centro de la circunferencia. Responde:

a) ¿Cuántos vértices del triángulo OAB están en la circunferencia?

b) ¿Qué son los segmentos OA y OB respecto de la circunferencia?

c) ¿Qué es el segmento AB respecto de la circunferencia?

d) Si OA = 10m , ¿cuánto mide CD y OE ?

Figura 9

2. Las ruedas de una bicicleta tienen 30cm de radio, ¿cuánto recorre la bicicleta, si las ruedas dan vueltas 50 veces?

3. En una plaza de forma circular de radio 25m se van a poner 7 fuentes, cuyas bases son círculos de un 1m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.

Aplicaciones de las circunferencias

Unos de los descubrimientos más importantes de la historia de la humanidad, ade-más del fuego, ha sido la rueda, un invento simple y antiquísimo. Sin embargo, fue algo esencial para la evolución de maquinarias de todo tipo, facilitando el trabajo de transportar objetos y personas. Es un elemento necesario en infinidad de inventos, tanto antiguos como actuales, desde los primitivos molinos hasta la bicicleta, motos, automóvil, avión, tractor, silla de ruedas, etc.

Habrás advertido el uso de la circunferencia y círculo en nuestra vida diaria; gracias a éstas figuras se pueden fabricar objetos con gran precisión, por ejemplo, el CD, un dis-co óptico circular para el almacenamiento de información de forma binaria. ¿Cuál es el valor del diámetro del CD multimedia que acompaña a este módulo?, ¿y su área?

De igual manera, en el ámbito musical tenemos las baterías, formadas por un con-junto de tambores y platillos (de forma circular); para referirnos a las medidas de éstos últimos, se recurre al diámetro. Por ejemplo: “ese platillo es de 18”, significa que el pla-tillo tiene 18 pulgadas de diámetro.

CO

E

D

BA


183

Asimismo, en los medios de transporte se tiene, por ejemplo, la bicicleta, cuyas rue-das están compuestas por una cubierta de caucho, una llanta y un aro (usualmente metálico, sobre el que se monta la cubierta de caucho), un buje y los radios. ¿Cuántos radios tiene una bicicleta de uso común?

Igualmente, en los campos de fútbol, canchas de básquetbol o sitios donde se prac-tican deportes, existen marcas geométricas y circunferencias que determinan situa-ciones reglamentarias.

Por otro lado, en la naturaleza, al cortar un árbol, se pueden apreciar muchos “ani-llos” que están en el tronco, y con el “tamaño” de cada anillo, se logra determinar la edad que tiene cierto árbol, usando el diámetro de éste. ¿En cuáles otras situaciones puedes apreciar estas figuras?

1. A partir de las dos regiones angulares dibujadas, reproduce el rosetón.

Figura 10

Los rosetones se obtienen al aplicar sucesivas rotaciones sobre un sector circular cuya amplitud es un divisor de 360º, manteniendo fijo el centro de rotación hasta completar totalmente la circunferencia. Para conseguir un rosetón se dibuja una región angular cuya amplitud sea un número divisor de 360º, y se repite hasta completar la circunferencia.

2. Realiza un escrito donde menciones objetos tecnológicos cuya forma sea circular; además, resalta la utilidad de la rueda en la vida y tecnologías modernas. Discute con tus compañeros en el CCA para enriquecer las ideas sobre estos aspectos.

El arte de vencer se aprende en las derrotas. Simón Bolívar

Movimientos en el planoSemana 4

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Movimientos en planoSemana 4

Seguimos estudiando la geo-metría, una maravillosa rama de la matemática. Esta vez co-noceremos un tema fascinante: los movimientos en el plano. Veremos que estos están pre-sentes en el arte, la naturaleza, la arquitectura, los logotipos de ciertas empresas, etc. Diversas culturas a lo largo de la historia nos han dejado un legado en sus creaciones artísticas. A manera de ejemplo, dentro de las poblaciones indígenas se aprecian elementos decorativos, en cestas, ta-petes, tejidos, etc., que aluden a la belleza y armonía en todos sus diseños. Otra cultu-ra que pone de manifiesto las composiciones geométricas en el arte es la musulmana; en ella se evidencia de manera sublime la combinación de simetrías, traslaciones, giros, etc. Como puedes ver en los “Sentidos y arte”, tema central de estas semanas, también está involucrada la matemática.

Ahora, ¡detente un momento! Aprecia la naturaleza en todo su esplendor. ¿Qué ves? Armonía y belleza, ¿cierto? Descubre la simetría al observar una mariposa, un pavo real, nuestra flor nacional, y tú, ¿qué tan simétrico eres?

Observa las figuras 11, 12, 13 y 14 ¿En cuáles casos la silueta de la derecha tiene la misma forma y tamaño que la de izquierda? Las primeras tres figuras de la derecha se han obtenido al aplicar algún movimiento o isometría sobre la figura correspon-diente de la izquierda. Sin embargo, existen diferencias notables entre ellas. Cuando hayas culminado de leer este tema, retoma esta situación y especifica el nombre del movimiento en cada caso. Habrás advertido que la última tiene la misma forma, pero distinto tamaño; este tipo de transformación se llama Homotecia y la estudiarás en semestres posteriores.

Figura 11 Figura 12

Figura 13 Figura 14

Semana 4Movimientos en el plano

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Una labor que “humaniza” es brindar apoyo a las personas que presentan alguna disca-pacidad, respetarlas y ayudarlas es un gesto noble. Corresponde al Estado propiciar con-diciones e igualdad de oportunidades para integrarlas en la dinámica social.

Transformaciones geométricas

Las transformaciones geométricas son las operaciones geométricas que permiten crear otra figura a partir de una previamente dada. La nueva figura será una imagen de la original.

Podemos clasificar las transformaciones geométricas atendiendo a estos dos criterios:

a) Conservar o no la forma.

b) Conservar o no las dimensiones (medidas o tamaño).

Revisa en el área de Ciencia y Tecnología la lectura de esta semana. Allí vemos que se emplea la rotoscopia, una técnica de animación muy antigua, que consiste en re-di-bujar o calcar un fotograma teniendo otro como referencia. Fíjate que la nueva anima-ción (o boceto) coincide totalmente con el otro, puesto que es una “copia” del original; observa que estas figuras tienen la misma forma y medida. Las transformaciones en la cuales todas las figuras conservan su forma y tamaño, se denominan movimientos o isometrías. Entre estas tenemos traslación, simetría y rotación. Ahora, establezca-mos las características de cada uno de estos movimientos.

Traslación

Veamos algunos ejemplos antes de dar una definición:

En un ascensor normal los objetos o las personas se deslizan o cambian de lugar al subir o bajar una distancia en una dirección dada (en este caso, vertical). Cuando ca-minas de un punto a otro en la calle, al abrir la gaveta de un escritorio, al deslizar una caja de un lugar a otro, el movimiento de la Tierra alrededor del sol, son situaciones que dan la idea de traslaciones.

Figura 15

Observa la figura 15. Los puntos (A, B y C) se movieron la misma distancia a lo largo de trayectorias paralelas (la misma dirección), dando origen a la nueva figura o ima-


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gen. Vemos que la flecha tiene origen en el punto A y su extremo (punta) marcará el punto correspondiente A´, de igual forma con B y C. Decimos entonces que una traslación es aquella isometría que permite desplazar todos los puntos del plano a una distancia, siguiendo una dirección dada. De los ejemplos anteriores también se desprende que la traslación es un movimiento que cambia la posición de un objeto.

Simetrías

Observa las figuras 16, 17, 18, 19 y 20. Dibuja en una hoja la figura 16 y dóblala por la línea roja, ¿qué observas? Verás que las figuras se superponen, es decir, coinciden. De acuerdo a esto, se dice que dos figuras son simétricas cuando una figura se vuelve exactamente igual que otra, si la volteas.

Figura 16 Figura 17 Figura 18

Figura 19 Figura 20

Una simetría es una correspondencia de posición, forma y dimensiones de las par-tes de un cuerpo o figura a uno y otro lado de un plano. Por su parte, la simetría axial o reflexión respecto de una recta (bilateral) se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. Este tipo de simetría cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.

La simetría axial no sólo se presenta entre dos objetos, pues una misma figura puede “dividirse” en dos secciones que son simétricas con respecto a un eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo, su posición está invertida respecto a un eje de simetría; esto se puede apreciar en la mariposa, por ejemplo. Ahora, ¿puedes ubicar el eje de simetría en la obra de arte “Hombre de Vitruvio” de Leonardo Da Vinci? (ver figura 18).

Utilizando un motivo (figura) y por repetición del mismo, mediante simetrías de diversos tipos, se obtienen diseños geométricos, con los cuales se pueden realizar decoraciones. Cuando el motivo generador se repite a lo largo de una faja, se obtienen los frisos y, si se recubre una parte del plano, sin dejar “hue-cos”, ni superponerse (bien acoplados), se ob-tienen mosaicos o teselaciones.


187

Rotación o giro

Diversos objetos de nuestro entorno están girando constantemente, tal es el caso de nuestro planeta, la Tierra, que realiza un movimiento de rotación sobre sí misma. De igual forma, las agujas de un reloj, abrir la puerta de un cuarto, las hélices de un helicóptero, los engranajes o ruedas dentadas que se utilizan dentro de una máquina, todo gira alrededor de un punto o eje. Ahora, analicemos las figuras 21 y 22 que nos servirán para afianzar el concepto de rotación.

Figura 21 Figura 22

La figura 21 muestra un carrusel; centremos nuestra atención en el punto P, si se rea-liza un giro de 90º ¿dónde quedaría el punto P? y ¿para un giro de 180º?, ¿y si el giro es de 360º? Cuándo realizas esos giros, ¿cambia la longitud que hay desde el centro del carrusel (punto O) hasta el asiento etiquetado con el punto P?

Ahora, observa la figura 22, que representa el limpiaparabrisas de un vehículo. Mientras funciona, la escobilla que está en la posición AB gira hasta la posición A´B´ realizando un giro (con un determinado ángulo) de centro O. ¿Varía la longitud de la escobilla al girar?

Entonces, se puede resumir diciendo que una rotación es un movimiento determi-nado por un punto, que se llama centro de giro (O), que permanece fijo y por un án-gulo orientado.

A manera de cierre, las simetrías, las traslaciones y los giros se llaman movimientos del plano y hacen corresponder a cada punto del plano P otro punto P´ del mismo plano. Si una figura se transforma en otra por una simetría axial, una traslación o un giro, entonces las longitudes de los lados y la medida de los ángulos que se correspon-de en ambas figuras son iguales. Este importante resultado podemos expresarlo en la forma siguiente: los movimientos del plano conservan las distancias y los ángulos, lo que equivale a decir la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene invariable.

Saber más

En el CD multimedia del IRFA de este semestre encontrarás un interesante video sobre los movimientos en el plano, también disponible en la siguiente dirección web: http://video.google.com/videoplay?docid=-744703792589043152#

Para ver algunos ejercicios de traslación y simetría de f igu-ras en el plano, visita la siguiente dirección web: http://www.scribd.com/doc/5108927/SimetriaReflexion-y-Traslacion

Para ver la construcción interactiva de algunos mosaicos nazaríes, visita: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/Mosaicos/alhambra.html:


188

1. Identifica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Coloca V o F en el paréntesis para indicarlo.

· La simetría axial es una isometría…………………………………………( )

· Una traslación es una función que conserva las distancias..……………...( )

· Cualquier triángulo tiene eje de simetría axial…………………..…..……( )

· Mediante una traslación un rectángulo puede transformarse en un rombo…………………………………………………………………...….( )

· Una rotación queda definida si se conoce el ángulo de rotación………..( )

· El cuerpo humano tiene simetría axial……………………………………( )

2. Copia en una hoja las palabras escritas con letras mayúsculas que se muestran en la figura 23.

Las palabras MOTO y VIVA se ven igual, mientras que con las letras de las palabras EJE no ocurre lo mismo. En la palabra MARCA algunas letras no varían, mientras que otras sí, ¿puedes explicar por qué ocurre esto?

M V E MO I J AT V E RO A C

A

Figura 23

3. Señala los ejes de simetría en las figuras 24, 25, 26, 27 y 28.

Figura 24 Figura 25 Figura 27 Figura 28

Figura 26

4. Traza la imagen simétrica de las figuras 29, 30, 31 y 32, respecto a cada recta.


A

B F

C

D

E

G

J

H

F

I

M

G

A

B

C


189

Los mosaicos de la Alhambra de Granada

Becerra y otros (1996)

A partir del siglo VII d.C., la religión islámica se expande desde Arabia y llega has-ta Persia, oriente medio, Egipto, al norte de África y España. Esta religión prohíbe la representación de la figura humana como significado religioso. Por este motivo, los artistas de estos pueblos utilizaron su imaginación para crear formas decorativas de carácter geométrico. Algunos de los más importantes ejemplos de su arte se pueden encontrar en Andalucía, y concretamente en Granada, donde reinaron los monarcas de la dinastía nazarí desde el siglo XIII hasta finales del XV, en el que fue conquista-da por los reyes católicos. Los mejores ejemplos del arte islámico de este período se encuentran en la alhambra de Granada, que era el palacio del rey. Allí se puede con-templar mosaicos muy bellos, donde los motivos mínimos que más veces aparecen en los mosaicos de la Alhambra son el hueso (figura 33), la pajarita (figura 34), el pétalo (figura 35), y el pez volador o avión (figura 36).


1. Dibuja plantillas de los siguientes polígonos regulares: un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono y un octógono, de tal manera que todos tengan el mismo lado y haz varias piezas de cada uno de ellos. En el CCA, con la ayuda del facilitador, formen grupos para construir con los polígonos anteriores los mosaicos semirregulares mostrados en el video Movimientos en el plano, recomendado en la sección Saber más.

2. Elabora un informe ilustrado donde resaltes la importancia de estos movimientos en el arte, tomando en cuenta las civilizaciones antiguas, nuestros indígenas y la presencia de estos movimientos en nuestra vida actual.

En todos sus sueños más bellos, el hombre no ha sabido jamás inventar nada que sea más bello que la naturaleza. Alphonse de Lamartine

Congruencia de triángulosSemana 5

190

Del tópico anterior sabemos que, cuando se aplica algún movimiento sobre una figura, ob-tenemos otra igual, en forma y tamaño, que la original. Veamos, por ejemplo, que cuando sacas una fotocopia a tu cédula (sin reducciones ni am-pliaciones), esta es “similar” a la original. Puedes chequear que al superponerla con la copia “coin-ciden”, es decir, son congruentes. Posteriormente afinaremos esta idea con más ejemplos que evi-dencien que la congruencia está intrínsecamen-te relacionada con nuestro quehacer diario.

La idea central de este tema es establecer unos criterios de congruencia que nos permitan determinar cuándo dos triángulos son congruentes; para ello usaremos un “modelo” que nos facilite la construcción de estos.

Resuelve el crucigrama que, aparte de divertirte, te permitirá repasar algunos con-ceptos claves.

Verticales

1. Isometría que representa una imagen reflejada en un espejo. En plural.2. Una traslación queda definida si conocemos su distancia y… 4. Uno de los mosaicos que aparece en la alhambra de Granada. 5 Movimiento que realizas cuando abres o cierras una puerta.

Horizontales

3. Se conservan las distancias en las rotaciones, traslaciones y simetrías. 6. Una rotación queda determinada si se conoce su centro de giro y... 7. Triángulo que tiene dos lados iguales. 8. Triángulo que tiene sus ángulos menores de 60º

Semana 5 Congruencia de triángulos

1

4

2

3

56

8

7

Semana 5Congruencia de triángulos

191

Cuando una pieza del auto se deteriora, por ejemplo un pistón, se debe buscar en el mercado otra pieza exactamente igual a la dañada, para que el reemplazo pueda hacerse de manera eficiente y rápida. Ambas piezas, la sustituida y la nueva, deben ser congruentes, es decir, deben tener la misma forma y tamaño.

Siguiendo con esta idea, en la industria se em-plean tecnologías para la fabricación de envases plásticos que utilizan un molde de acero, una pie-za hueca en la que se vierte el plástico fundido para que adquiera su forma. Para esto, los plásti-cos se introducen a presión en los moldes y así las maquinarias producen grandes series de piezas. ¿Cómo son las piezas entre ellas?

Figuras congruentes

En un plano, dos figuras P y P´ son congruentes si una es la imagen de la otra me-diante una o varias isometrías, en cuyo caso escribimos: P P´. Para expresar la con-gruencia se usa el símbolo y se lee “es congruente con”.

Naturalmente, al coincidir las figuras, los lados y ángulos coinciden, entonces se dice que dos segmentos o lados, son congruentes si tienen igual longitud. Dos ángulos son congruentes si al superponerlos tienen la misma medida. Observemos las figuras 37 y 38.

Figura 37 Figura 38

En la figura 37 denotamos el A B. Para la congruencia de segmentos lo de-notamos así: AB CD

Para comprobar que dos polígonos son congruentes, debemos mostrar que sus la-dos y ángulos correspondientes guardan congruencia.

Los lados y ángulos que coinciden se llaman correspondientes u homólogos. Por ejemplo, los polígonos de la figura 39 son congruentes, lo cual expresamos así: ABCDE LMNOP

Figura 39

==

AB

C DA

D

C

F

BE

==

A B

E

DC

L

P

O

N

M

ABCDE LMNOP=


192

Criterios de congruencia de triángulos

¿Cómo determinamos si dos triángulos son congruentes? Ciertamente si conoces los tres ángulos y los tres lados de cada triángulo y compruebas que las medidas de estos son iguales, garantizas la congruencia entre ellos. Pero, ¿será necesario com-parar todos esos elementos para demostrar la congruencia?, ¿se podrá demostrar la congruencia considerando menos elementos? A continuación, te ofreceremos los cri-terios de congruencia; sin embargo, te proponemos que, para profundizar más al res-pecto, consultes la sección Saber más.

Criterio de los tres lados o criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente congruentes. Observa los triángulos UVW y XYZ (figura 40).

Figura 40

Como UW XZ, UV XY, VW YZ, entonces UVW XYZ. Se deduce que U X, V Y y W Z

Criterio de dos lados y un ángulo o criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Dos triángulos son congruentes si son respectivamente congruentes (o iguales) dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. Consideremos los triángulos ABC y DEF

Figura 41

De la figura 41 tenemos que AB DE, AC DF y el A B, dado que se ha establecido una correspondencia, decimos que los triángulos son congruentes ABC DEF; de esta manera, tenemos que, los tres pares de lados y los tres ángulos son congruentes. Escribimos el resto de las congruencias: BC EF, B E, C F

Criterio de dos ángulos y un lado o criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vér-tice en los extremos de dicho lado también son congruentes. A estos ángulos se les llama adyacentes al lado. Observa los triángulos OPQ y RST (figura 42).

Figura 42

= = ==

= = =

= = ==

= = =

U V

W Y X

Z

A

BC

D

E F

O

Q

P R S

T


193

En los triángulos se tiene que O R, P S y OP RS . Se concluye que OPQ RST. Podemos deducir que Q T, OQ RT y QP TS

Ahora, apliquemos estos conceptos. La figura 43 representa un triángulo isósceles ABC. Demostrar que ABD ACE, sabiendo que BD CE

Figura 43

Por definición, el triángulo isósceles tiene dos lados iguales; por tanto, tenemos que AB AC. También, por definición, el triángulo isósceles tiene los ángulos de la base iguales, por tanto, B C. Si organizamos toda esta información, tenemos dos pares de lados y un ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes. Así que, por el criterio LAL, concluimos que los dos triángulos son congruentes: ABD ACE. Intenta completar y denotar el resto de los elementos que faltan.

Saber más

Para profundizar los criterios de congruencias, te recomendamos consul-tar la siguiente dirección web: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=137527

1. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica en cada caso.

a) Todos los triángulos equiláteros son congruentes……………………….( )

b) Un triángulo isósceles puede ser congruente con uno escaleno….….…( )

c) Los triángulos que se forman al unir el centro con cada uno de los vértices en un hexágono regular son congruentes………………………………( )

d) Dos triángulos rectángulos cuyos catetos son iguales son congruentes……………………………………………………………….( )

2. En cada caso, los triángulos son congruentes. ¿Por qué? Establece el criterio utilizado y denota la congruencia entre los triángulos dados. Asigna letras a los vértices de los triángulos.

= = = == = =

= =A

B D E C

base

==

=

a b c d


194

3. En el cuadrilátero ABCD se tiene que BC AD y AB CD, entonces C A ¿Por qué?

Figura 44

4. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura 45 son congruentes, es necesario saber que:

a) AB DC b) <BAO <DCO c) AB //CD

d) AO DO y AB CD e) BO CO y AO DO

Selecciona la opción correcta.

Figura 45

Mosaicos de Escher

Maurits Cornelis Escher (1898-1972), un holandés nacido en Leewarden, conocido por sus famosas figuras imposibles, cuando se planteó el problema de recubrir el pla-no con un mismo motivo, partiendo de una figura geométrica muy sencilla, a la que va aplicando sucesivas transformaciones, llega a la construcción de un motivo que relle-na el plano. El mosaico se genera después, mediante giros, simetrías y traslaciones.

Figura 46

= = =

= =

= = = =

A

B D

C

O

A D

B C

Figura 47


195

Basándose en la propiedad recubridora de los triángulos equiláteros, Escher diseñó un mosaico (figura 47), donde cada pez está creado a partir de un triángulo equiláte-ro; por lo tanto, es necesario que seis peces se unan por la cola para formar 360º. Se alternan tres colores: rojo, azul y amarillo.

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguien-te dirección web: http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/actividades/activi-dades/mosaicos/marco_mosaicos20.htm

Completa el dibujo de la alfombra (figura 48), sabiendo que las líneas oscuras son ejes de simetría. Colorea la alfombra de manera que se respete también la simetría del color.

Figura 48

Los hombres construimos demasiados muros y no suficientes puentes.

Isaac Newton

RadicaciónSemana 6

196

RadicaciónSemana 6

¡Seguimos construyendo concep-tos y procedimientos matemáti-cos que nos ayudan a comprender nuestro mundo! En el semestre an-terior observaste cómo surgieron las raíces en los cálculos geométricos relacionados con el teorema de Pitágoras. Esta semana tendrás la oportunidad de profundizar so-bre este tema, partiendo del conocimiento de que la radicación es la operación con-traria de la potenciación.

La utilidad de la radicación es que nos permite resolver situaciones cotidianas como, por ejemplo, los radicales se utilizan para hallar la longitud de la cerca (lado) de un te-rreno cuadrado conociendo su área; de ahí puedes obtener información valiosa acerca de cuántos metros de enrejado necesitas para cercarlo, cuál es el costo, etc. También puedes hallar el espacio lineal que ocupa un tanque esférico (o el radio de una pelota de fútbol) conociendo su volumen, entre otras cosas. Y en semestres posteriores verás la aplicación de los radicales en la ciencia.

Iniciemos con un problemita: Wilson participará dentro de dos semanas en una ca-rrera de ciclismo y necesita abarcar en su entrenamiento el doble del recorrido de la competencia. Para reconocer la distancia, habló con el organizador del evento y éste le dio algunos datos sobre el circuito y la competencia. Ahora Wilson sabe que la pista es circular, que tiene un área de 78,5km2 y que la carrera consta de 5 vueltas. ¿Podrá Wilson calcular cuántos kilómetros debe recorrer en su entrenamiento?

En relación al problema anterior, tomando en cuenta que la pista es circular, ¿cómo harías para calcular la longitud de ésta? Probablemente utilizarás la fórmula l = 2π · r, pero verás que no puedes calcular la longitud porque no tienes el valor del radio; entonces, ¿qué se te ocurre?, ¿qué datos tienes? Cuentas con el valor del área de la pista, que viene dado por: A = π · r2. En este caso, podemos hallar el valor del radio, si sustituimos los correspondientes valores en la fórmula. Nos queda: 78,5 =3,14 · r2. Fíjate que debemos buscar el valor de r. Para hallarlo, debemos dejar a r “solita” en algún miembro de la igualdad. Luego, vamos “eliminando” los números o letras que están a su alrededor, siguiendo unos pasos, lo cual se conoce como despeje (revisa la semana 8 del módulo de 1ero, donde se explica ésta técnica).

Al realizar las operaciones indicadas, se obtiene r2=25. Pero, ¿cuánto vale r? Esta igualdad significa que tienes que buscar un número que, elevado al cuadrado, dé 25 ¡Seguro ya tienes la respuesta!

Hagamos uso del álgebra para establecer una definición muy importante: considere-mos la siguiente expresión an=b. Si conocemos el valor de a y n hablamos de potencia,

Semana 6Radicación

197

pero si conocemos el valor de b y el de n y queremos calcular el valor de a, debemos aplicar la operación inversa de la potenciación, que llamamos radicación.

Decimos que a es la raíz enésima de b, cuando se cumple lo siguiente:

an = b b = a

En el caso anterior escribimos 52 = 25 25 = 5

Y ¿-5 es una solución de r2=25? Por supuesto que sí, pero en este contexto no tiene “sentido” decir que la longitud del radio de la pista es -5.

Las dos igualdades son equivalentes. Puedes decir un número que elevado al cua-drado dé 25 ó decir la raíz cuadrada de 25 es… 5.

Culmina el ejercicio pues ya tienes el valor del radio; sólo tienes que sustituirlo en la fórmula de longitud de una circunferencia y completarlo con tus conocimientos.

Una vida físicamente activa produce bene-ficios, tanto físicos como psicológicos, tales como: previene el desarrollo de hipertensión arterial, mejora el control de peso, ayuda a conciliar el sueño, libera tensiones, mejora el manejo del estrés, aumenta el entusiasmo y el optimismo. Así que ¡práctica algún deporte!

Veamos más ejemplos para concretar la definición de radicación:

· ¿Qué número elevado al cuadrado da 100? a2 = 100

Seguramente habrás respondido que es el número 10, ya que 10 x 10 = (10)2 = 100; pero, ¿qué ocurre con el valor -10? Si utilizamos el mismo procedimiento, tenemos que (-10) x (-10) = (-10)2 = 100

Pues bien, 10 es la raíz cuadrada de 100 y también -10 es la raíz cuadrada de 100.

100 = ±10 Se lee “la raíz cuadrada de 100 es 10 y -10”.

De manera que, la raíz cuadrada es la operación contraria de elevar al cuadrado.

Se puede utilizar el signo ± para denotar las raíces cuadradas positivas y negativas.

· ¿Qué número elevado al cubo da 216? a3=216

Para este caso, debes buscar un número que multiplicado tres veces por él mismo dé 216. Ese número es 6, ya que 6 x 6 x 6 = 216.

Pues bien, 6 es la raíz cúbica de 216.

216 = 6 Se lee “la raíz cúbica de 216 es 6”.

n

2

3

RadicaciónSemana 6

198

Ahora, ¿ese número puede ser negativo? Argumenta tu respuesta.

Generalicemos estos conceptos. ¿Cuál es la operación contraria a la potenciación para cualquier valor del exponente? Observa:

22 = 4 4 = 2 Se lee “la raíz cuadrada de 4 es 2”

43 = 64 64 = 4 Se lee “la raíz cúbica de 64 es 4”

34 = 81 81 = 3 Se lee “la raíz cuarta de 81 es 3”

an= b b = a

Los tres puntos alineados en vertical signifi-can que, si nos basamos en casos particula-res, podemos ir haciendo deducciones hasta establecer la forma general o relación entre la potencia y la raíz.

En general, la raíz enésima de un número real b es igual a a. Y se escribe b = a, donde: n es el índice de la raíz (n N) y b es la cantidad subradical o radicando, si se cumple que an= b

Si el radical no tiene índice, se asumirá que es el 2 y se leerá “raíz cuadrada o raíz”.

Elementos de la raíz

Indice Raíz

Radical

Cantidad subradical o radicando

Ejemplos: Calcula la raíz de los siguientes números:

a) 225 b) -81 c) -625 d) -125 e) 64 f ) 1000 g) -32

a) Podemos expresarlo como 225 a2 = 225. Debemos buscar un número que multiplicado dos veces por él mismo dé 225. Tenemos dos soluciones: 15 x 15 = 225 y (-15) x (-15) = 225. Lo escribimos así 225 = ± 15 .

b) -81 a2= - 81. Ahora, ¿existe un número que multiplicado dos veces por él mismo, de -81? Probablemente hayas pensado en el 9 ó -9, pero verifiquemos si esto es cierto: 9 x 9 = 81 y (-9) x (-9) = 81. Fíjate que en ambos casos el resultado es 81, mien-

3

4

n

n

n

b = a

4 3 3 5

. . .

Semana 6Radicación

199

tras que el radicando es -81. En efecto -81 no tiene raíz real, ya que no existe ningún número real tal que su cuadrado sea negativo.

c) Realízalo y llegarás a un resultado similar al anterior.

d) -125 a3= -125. Busca un número que multiplicado tres veces por él mismo de -125. ¿Será 5 ó -5, o ambos? Veamos 5 x 5 x 5 = 125. 5 no es la raíz cúbica, pues no es el mismo resultado que la cantidad subradical y (-5) x (-5) x (-5) = -125, entonces -5 es solución, escribimos -125 = -5

Culmina el resto de los ejercicios.

Ahora, ¿qué ocurre cuando el índice es par y la cantidad subradical es negativa? Los números negativos no tienen raíces cuadradas (ni cuartas, ni sextas) en el conjunto de los números reales.

Hasta ahora todos los resultados de las raíces son números racionales, pero por lo general encontramos números irracionales. Observa el siguiente ejemplo, donde el resultado es un número irracional.

Problema: la señora Trina compró un tanque esférico, cuya capacidad es de 1100 litros (1100 decímetros cúbicos). Y, dada la inseguridad de estos días, contrató a un he-rrero para enrejarlo. ¿Cuál es la menor longitud (diámetro del tanque) que debe tener el enrejado para ahorrar en materiales y que el tanque quede justo?

Dado que el tanque es esférico, se utiliza la fórmula del volumen para una esfera:

V = π · r3

Luego que encuentres el valor del radio, puedes descubrir el diámetro del tanque, que se corresponde con la menor longitud que debe tener el enrejado. Despejamos r, y nos queda

= r3

Sustituimos los valores correspondientes en la fórmula. Obtenemos 262,6056.... = r3. Aproximando a dos cifras decimales, se puede expresar así: r = 262,61

Puedes tantear hasta conseguir un número aproximado que multiplicado 3 ve-ces dé 262,61 o bien, puedes usar la calculadora. El radio es 6,40375… decímetros ó 0,640375… metros. Observa que este número es irracional, porque tiene cifras deci-males ilimitadas no periódicas. Ahora, debes hallar el diámetro. Pero, ¿cómo hacerlo? Aproxima el resultado con 2 cifras decimales (considera que por ser la reja externa al tanque, su radio debe ser mayor).

Saber más

Para ver presentaciones acerca de las raíces, consulta las siguientes direcciones web: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/s/squareroot.htm; http://www.slideshare.net/tatiana_musica/potencia-rcuadrada

3

3

43

3 · V4 · π

3

RadicaciónSemana 6

200

1. Encuentra las raíces de cada número e identifica el resultado como racional o irracional

a) 49 b) - 12 c) 196 d) 72 e) 300 f ) -343 g) -243

2. Marina compró 3 bambalinas, distribuidas de tal manera que entran justas en un empaque cilíndrico. Si cada una tiene un volumen de 113,1cm3, calcula la altura y el radio del empaque cilindro. Sugerencia: realiza el dibujo.

3. Wilmary vive 35 metros al norte de su emisora comunitaria de radio favorita. Mientras conduce en dirección Este desde su casa, puede captar la señal hasta los 120 metros. ¿Cuál es el alcance de transmisión de su emisora favorita?

Origen de la raíz

El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación que aparece en su libro “Coss”, que se consti-tuyó en el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula, para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, cuyo significado es raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba para representarlo, al que poste-riormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre o en la siguien-te dirección web: http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada

La producción de petróleo se mide de acuerdo con el número de barriles obtenidos diariamente. Asimismo, el precio de crudo utiliza como unidad el barril. Este recipien-te que tiene una capacidad aproximada de 159 litros (o 159dm3) ya no se usa para transportar petróleo, pues para ello existen los tanqueros o barcos y oleoductos; pero sigue siendo la medida universal de la industria petrolera. Si la altura de un barril de petróleo es de 5,63 dm, ¿cuánto debe valer el radio de dicho barril? (toma π = 3,14) y ¿cuánto vale el diámetro? Sabiendo que tienen forma cilíndrica, usa la fórmula:

V = π · r2 · h

No cambies la salud por la riqueza, ni la libertad por el poder. Benjamín Franklin

3 4 53

Casa de Wilmary 120m

35m?

Estación de radio

Semana 7Propiedades de la radicación

201

Seguimos en esta sesión con el tema de la ra-dicación, pero esta vez analizaremos sus propie-dades, las construiremos con los conocimientos que poseemos acerca de la potencia, realizare-mos ejercicios relacionados con la aplicación de la radicación en la vida cotidiana, entre ellos la planificación de proyectos; también, veremos relaciones entre la matemática y la armonía de sonidos que producen bienestar emocional.

Al finalizar esta semana estarás en capacidad de resolver ejercicios aplicando las propiedades de la radicación en expresiones matemáticas más complejas.

¡Áreas enraizadas! Se muestran dos problemas de áreas, con cuatro alternativas y sólo una es correcta. Intenta resolverlos con lo estudiado hasta ahora y luego contras-ta tu solución con las planteadas.

1. ¿Cuál es el área de la figura 49?

a) 6 +1 b) 4 6 +1

c) (4) 6 +1 d) 2 ( 6 +2)

Figura 49

2. El área de un cuadrado inscrito en un círculo es 36m2. ¿Cuál será el radio de la circunferencia? (figura 50).

a) 4 2 m b) 3 2 m c) 6m d) 6 12

Figura 50

Propiedades de la radicación Semana 7

8

12 8

Propiedades de la radicaciónSemana 7

202

Propiedades de la radicación

1. Raíz de un producto

¿Cómo se podría calcular la raíz cuadrada de 2500? Una opción es utilizando la cal-culadora o nuestros conocimientos de potenciación para preguntarnos ¿qué número elevado al cuadrado da 2500? Pero, si observamos el número y recordamos nuestros conocimientos sobre el sistema numérico decimal, 2500 lo podemos escribir como 25 x 100, ambos cuadrados de 5 y 10, respectivamente, de manera que se puede escribir como 52 x 102 y, utilizando propiedades de potenciación, esto es (5 x 10)2 = 502. Ahora, nuestra respuesta podemos escribirla así: 2500 = 25 x 100 = 52 x 102

Observemos que la raíz cuadrada del producto 25 x 100 es igual al producto de la raíz cuadrada de 25 por la raíz cuadrada de 100

Puedes hacer el procedimiento anterior para cualquier índice de la raíz.

La raíz enésima del producto de dos o más números es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de los facto-res. Se expresa así ab = a b

Fíjate que cuando lees la igualdad anterior de derecha a izquierda, expresa que el producto de raíces con igual índice es igual a otro radical de igual índice cuya cantidad subradical es el producto de las cantidades subradicales.

2. Raíz de un cociente

Cómo podrías calcular esta raíz cuadrada:

Una manera sería realizar la división y luego “sacar” la raíz cuadrada, pero al realizar la división obtienes un número decimal y por ahora no hemos visto ningún procedi-miento para hallar raíces de números decimales. Podemos hallar por separado la raíz del dividendo (36) y la raíz del divisor (81), y nos planteamos qué número elevado al cuadrado da 36 y 81 respectivamente, ¿ya lo tienes? Podemos expresar lo anterior así:

= =

La raíz enésima del cociente de dos números es igual al co-ciente de la raíz enésima del numerador entre la raíz enésima del denominador. Se expresa así:

= , b ≠ 0

3. Potencia de una raíz

¿Cuál es el valor de ( 5 )4 ? Al aplicar la definición de potencia, tenemos que la base se repite cuatro veces, así (3 5 ) x (3 5 ) x (3 5 ) x (3 5 ). Ahora aplicamos la propiedad

n n n

3681

3681

3681

62

92

ab

ab

n n

n

3


203

mostrada en la raíz de un producto: 5 x 5 x 5 x 5 = 54, luego ( 5 4). En general:

Para efectuar la potencia de una raíz, se eleva la cantidad su-bradical a dicha potencia y se conserva el mismo índice de la raíz. Se expresa así: ( a )m = a m

4. Raíz de una raíz

¿Cuál es el valor de 729? Seguramente habrás pensado en calcular la raíz cúbica de 729 y al resultado de ésta hallarle la raíz cuadrada. Esa opción es correcta y el re-sultado obtenido es 3 y -3, pero ¿habrá otra forma de calcularla? Reflexiona: en base al resultado anterior ¿cuántas veces debes multiplicar el número 3 ó -3 para obtener 729? ¡Exacto! Ese número representa el índice de la raíz. Así que podemos establecer:

729 = 729

Detalla que en el primer miembro los índices son 2 y 3, mientras que en el segundo el índice de la raíz es 6; éste último se ha obtenido de la multiplicación de 2 x 3 = 6. Es decir:

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical. Se expresa así:

a = a

Veamos algunos ejemplos:

a) 50 b) -8000 c) 2 · 14 · 3 d) 480 e) f ) 32 · a6

Las expresiones radicales se simplifican buscando en el radicando factores que son cuadrados perfectos o descomponiendo el número en factores primos.

a) Para simplificar 50, identificamos que 25 es cuadrado perfecto; lo reescribimos así: 50 = 25 x 2 = 25 x 2 = 52 x 2 = 5 · 2 . La expresión 5 · 2 está en su forma más simple.

Para el caso b) debemos identificar factores que son cubos perfectos, puesto que el índice de la raíz es 3. Para simplificar -8000, identificamos que los números -8 y 1000 son cubos perfectos, así que la cantidad subradical la podemos expresar así:

-8000 = -8 x 1000 = -8 x 1000 = (-2)3 x 103 = -2 x 10 = -20

Analicemos ahora los resultados que hemos obtenido 52 = 5, (-2)3 = -2 ¿Qué pa-trones estas observando? Fíjate que si un número se eleva a una potencia n y luego se extrae la raíz enésima, se obtiene el mismo número, por ello se dice que la potencia y la radicación son operaciones inversas.

Así que la raíz cúbica de -8, es -8 = (-2)3 = -2. Esto se puede generalizar de la si-guiente forma: an = a

3 3 3

n n

3

3 6

m n · mn

3 3 322502560

3

3 3 33 3 3

3

3 3

n


204

Cuando el índice de la raíz y el exponente son iguales, el resultado de la radicación es la cantidad subradical.

Sin embargo, an = a no siempre se cumple.

Por ejemplo (-9)2 = -9 ; pero este resultado es incorrecto, ya que el orden de las operaciones establece que primero se debe efectuar la potencia cuadrada y luego extraer la raíz cuadrada. Resulta entonces (-9)2 = 81 = ± 9.

Por tanto an = a es válido en los siguientes casos:

· Si a es entero positivo y n es cualquier entero positivo. Ejemplo: 94 = 9

· Si a es entero negativo y n es impar. Ejemplo: (-4)3 = -4

Para el caso c) aplicamos también la primera propiedad, pero de derecha a izquier-da. La multiplicación de radicales podemos escribirla así: 2 · 14 · 3 = 2 · 14 · 3 = 84

Para resolver la raíz de 84 descomponemos el número en factores primos y obte-nemos: 22 · 3 · 7. Si aplicamos nuevamente la propiedad de la raíz de un producto, obtenemos 22 · 3 · 7 = 2 · 21

Ahora, consideremos el caso d) 480 = 25 · 3 · 5 = 23 · 22 · 3 · 5 = 23 · 22 · 3 · 5 = 2 · 60

Primero se descompone 480 en factores primos; reescribimos 25 de tal manera que uno de sus exponentes coincida con el índice de la raíz para utilizar an = a; luego aplicamos la propiedad de raíz de un producto y simplificamos.

Ahora, justifica cada paso en los ejercicios e) y f )

e) = = = = =

f ) 32 · a6 = 25 · a6 = 24 · 2 · a4 · a2 = 24 · a4 · 2 · a2 = 2 · a 2 · a2

Observa en los ejemplos que, cuando el exponente de la cantidad subradical es igual o mayor que el índice de la raíz, la cantidad subradical puede ser extraída total o parcialmente de la raíz. Decimos que una expresión radical está simplificada cuando su radicando no tiene factores que sean potencia de un número natural.

Problemas del cálculo de la raíz cuadrada en la vida diaria

1. El consejo comunal ha elaborado un proyecto para la construcción de un comple-jo deportivo para la recreación de los jóvenes del barrio, a fin de integrarlos en una dinámica social productiva para mejorar su calidad de vida. Se están haciendo las dili-gencias pertinentes para conseguir los recursos económicos. Si el consejo comunal ha

n

3

4

3

3 3 3 3 3

n

n

22502560

225 · 10256 · 10

225 10256 10

·225 256

152 162

15 16

4 4 4 4 4 4 4


205

adquirido un terreno cuadrado de 1225 m2 de área, ¿cuál es el costo total de la cerca? El metro tiene un costo de Bs.60.

La figura geométrica asociada es un cuadrado; la fórmula de su área es A = L2 donde L representa el lado del cuadrado (terreno).

En este problema hay que hallar cuál es el costo de la cerca; para ello debes saber cuánto mide el perímetro de ésta. De los datos mostrados, ¿sabes cuánto mide el lado del terreno?, ¿qué operaciones harás para encontrar la medida del lado?

Observa la fórmula; tienes que despejar la letra L; fíjate que lo único que le “estorba” a L es el exponente 2 ¿cómo harías para eliminarlo? Debes aplicar la operación contra-ria a la potencia,

A = L2

A = L2

A = L

A = L L = A

Ahora sólo tienes que sustituir en la fórmula los datos proporcionados por el ejerci-cio. L = A L = 1225m2 L = 1225 · m2 L = 35m .

Justifica el procedimiento (sugerencia: revisa las propiedades de las raíces).

Cada lado del terreno mide 35m y, dado que el terreno tiene cuatro lados, el pe-rímetro es la suma de los lados; al realizar la operación da 140m. Ahora si podemos calcular cuánto es el costo de la cerca; sólo hay que multiplicar 140m por Bs. 60, eso da Bs. 8400.

Saber más

Visualiza más ejercicios en la siguiente dirección web: http://student_star.galeon.com/expyrad02.htm

1. Aplica la propiedad correspondiente y resuelve.

a) 300 b) 9 · x4 c) 45 d) 3 · 27 e) 5b · 15b

f ) 76 · x2 g) 125 · m9 · n12 h) i) j)

k) l) m) n) 27 · x6 · y4 o) ( 24 )5

p) ( 3x2 )5 q) x60 r) 35 · 23

Aplica la operación contraria de la potencia; en este caso esla raíz cuadrada.Aplicamos an = a

n

81 361

64 289

27 75

32 500

48 32

x3 x · y

53 3

34 3

34

3


206

2. Halla 49, 490, 4900, 49000, 490000, 4900000

¿qué patrón observas?

Música y matemáticas

Fue Pitágoras quien descubrió que existía una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos” y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y placer, podía ser medida por medio de razo-nes de enteros. Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende de la longitud, grosor y tensión de la misma. Entendemos que cualquiera de estas variables afecta la frecuencia de vibración de la cuerda. Lo que Pitágoras descubrió es que al dividir la cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído. Eso era una maravillosa confirmación de su teoría. Números y belleza eran uno. El mundo físico y el emocional podían ser descritos con números sencillos y existía una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles.

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguien-te dirección web: http://www.elementos.buap.mx/num44/htm/21.htm

Resuelve el siguiente problema: una compañía siderúrgica fabrica tubos de acero para el sector petrolero, gasífero, industrial y de construcción, para el mercado vene-zolano y para exportar. Si el volumen de un tubo de acero galvanizado para la conduc-ción de agua, gas o vapor, es 0,066 m3 y una longitud de 6,4m., ¿cuál será la medida de su radio? Si se almacenan en estantes de 6,4m de largo, 6,9 de alto y 2,3 de ancho, ¿cuántos tubos caben en el estante?

La salud es la unidad que da valor a todos los ceros de la vida. Bernard Le Bouvier de Fontenelle

Semana 8Productos notables

207

Productos notables Semana 8

En esta sesión seguimos avanzando y profundi-zando en los contenidos matemáticos más espe-cializados, este es el caso de los productos notables. Dedicaremos esta semana a construirlos y utilizarlos como herramienta para el tratamiento de expresiones algebraicas, aunque los abordaremos también desde la aritmética y la geometría.

Es requisito indispensable manejar con facilidad la multiplicación de polinomios y tener claros ciertos términos como binomios y trinomios, propiedades de potencia y cálculo de áreas, por lo que será muy conveniente que revises los módulos de los semestres anteriores.

Iniciemos con este interesante problema: un árbol mide 32 metros de altura. Un día lo parte un rayo. El trozo roto queda apoyado en el suelo formando un triángulo de 16 metros de base. ¿A qué altura se partió el árbol?

Productos notables

Los productos notables son regularidades matemáticas que aparecen en los desa-rrollos de multiplicaciones entre expresiones. Se pueden clasificar en diferentes tipos y estudiar su comportamiento al efectuar las operaciones.

Clasificación de productos notables

1. Cuadrado de una suma o productos de la forma (a+b)2

Para saber a qué equivale la expresión (a+b)2, tomemos como referente la figura 51 ¿a qué se corresponde (a+b)2 en la figura? ¡Muy bien! al área del cuadrado.

Figura 51

Si miras bien la figura, te darás cuenta que hay dos formas posibles de hallar el área.

(a+b)a

b

a2

b2ab

ab

a b

Productos notablesSemana 8

208

· Cómo la figura es un cuadrado, para calcular el área hay que elevar el lado (a+b) al cuadrado, es decir (a+b)2

· Calcular el área por separado de cada parte y sumar, con lo que resulta a2+ab+ab+b2

Por consiguiente, su área es (a+b)2 y es igual a la suma de las áreas de la figura en que está dividida. Por tanto:

(a+b)2 = a2 + ab + ab + b2

Reduciendo términos semejantes obtenemos:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Segundo término

Primer término

Esta igualdad se expresa diciendo que el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término (a2), más el doble del primero por el segundo (2ab), más el cuadrado del segun-do término (b2).

Observa los siguientes ejemplos: Halla el cuadrado de la suma.

1. (5x+7) 2

· El cuadrado del 1er término es (5x) · (5x) = (5x)2 = 25 x2

· El doble producto de ambos términos es 2 · (5x) · (7) = (10x) · (7) = 70x

· El cuadrado del 2do término es 7 · 7= 49

Entonces (5x + 7)2= 25 x2 + 70x + 49

2. (x + 9)2 = x2 + 18x + 81 Justifica el resultado.

Recuerda que multiplicar un número por sí mismo, es igual que elevar el número al cua-drado, así por ejemplo, a.a= a2. Con esta idea en mente, puedes inferir que (5x+7)·(5x+7) = (5x+7)2; es decir, cualquiera de los dos miem-bros de la igualdad representa el cuadrado de una suma.

Área del cuadrado

(a+b)

Área cuadrado

lado a

Área rectángulo

Área rectángulo

Área cuadrado

lado b


209

Observa que se han eliminado los términos semejantes de signos diferentes. ¿Por qué?

Si resolvemos este producto (3x+5)(3x+5) de binomios como lo aprendimos en la multiplicación de polinomios, se hace extenso. Fíjate en el ejemplo. Pero si aplicamos la igualdad (a+b)2, obtenemos directamente 9x2 + 30x + 25, (3x+5)(3x+5) = 3x ·(3x+5) + 5 · (3x+5) = 9x2 + 5x + 15x + 25 = 9x2 + 30x + 25

2. Cuadrado de una diferencia o productos de la forma (a-b)2

Para hallar el desarrollo de este producto podemos hacer uso de la geometría o del álgebra. Analicemos éste mediante el álgebra.

Tenemos que (a-b)2 = (a-b) · (a-b). Resolviendo este producto de polinomios obtene-mos: a(a-b) - b(a-b)= a2 - ab - ba + b2. Agrupando los términos semejantes nos queda a2 - 2aba + b2, así que (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

Fíjate que esta igualdad es similar a la anterior, sólo que difiere en el signo. Escribe el enunciado para esta igualdad.

Observa los siguientes ejemplos: Hallar el cuadrado de la diferencia:

a) (0.3x-6)2

· El cuadrado del 1er término es (0.3x)(0.3x) = (0.3x)2 = 0.09x2

· El doble producto de ambos términos es - 2(0.3x)(6) = (0.6x)(6) = 3.6x

· El cuadrado del 2do término es (6)(6) = 36

Entonces (0.3x - 6)2 = 0.09x2 - 3.6x +36

b) (a-5)2 = a2- 10a + 25 Justifica el resultado.

Cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio, tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

3. Producto de una suma por su diferencia o de la forma (a+b)(a-b)

Consideremos los siguientes productos de dos binomios que sólo difieren en el sig-no, es decir, uno es una suma y el otro una diferencia.

*(x+2) · (x-2) = x2 - 2x + 2x 4 = x2-4

*(3 x3-5) · (3 x3+5) = (3 x3)2 + 15 x -15 x + 25 = 9 x6 -25

*(4 x-10 y) · (4 x+10 y) = (4x)2 + 4 x · 10 y - 10 y · 4 x - (10 y)2 = 16 x2 -100 y 2

¿Qué tienen en común los resultados de estos productos de binomios? Estos ejem-plos sugieren la regla siguiente para multiplicar la suma y la diferencia.

El producto de la forma (a+b)(a-b), es igual al cuadrado del primer término (a2) menos el cuadrado del segundo término (b2).

En general, el producto de una suma por su diferencia se expresa así:

(a-b) (a+b) = a2 - b2


210

4. Cubo de una suma o de la forma (a+b)3

Para hallar (a+b)3, pueden emplearse nuestros conocimientos de potencia. Podemos descomponerlo así:

(a+b)3= (a+b)2(a+b) (se desarrolla el producto notable cuadrado de la suma)

= (a2+2ab+b2)(a+b) (se efectúa el producto de polinomios)

= a3+a2b+2a2b+2ab2+b2a+b3 (se reducen los términos semejantes)

= a3+3a2b+3ab2+b3

El cubo de una suma es igual al cubo del primer término (a3) más el triple del primer término elevado al cuadrado por el segundo (3a2b) más el triple del primer término, por el segundo elevado al cuadrado (3ab2) más el cubo del segundo término (b3). En general (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Ejemplos:a) (5x + 6y)3 =(5x)3 +3(5x)2 (6y)+ 3(5x)(6y)2+(6y)3

· El cubo del 1er término es (5x)3=(5x)(5x)(5x) = 125x3

· El triple del primer término al cuadrado por el segundo término.

3(5x)2(6y)= 3 (25x2)(6y) = (75x2)(6y) = 450x2y

· El triple del primer término por el cuadrado del segundo término.

3(5x)(6y)2= (15x)(6y)2 = (15x)(36y2) = 540xy2

· El cubo del 2do término es (6y)3 =(6y)(6y)(6y) = 216y3

Entonces (5x + 6y)3 = 125x3 + 450x2y + 540xy2 + 216y3

b) (2p+3)3= (2p)3+ 3(2p)2 · 3 + 3(2p) · 32 + 33= 8p 3+ 3 · (4p2) · 3 + 6p · 9 + 27

= 8p3 + 36p2 + 54p + 27

Ahora, justifica cada paso.

5. Cubo de una diferencia o de la forma (a-b)3

Para desarrollar el cubo de la diferencia guíate por el procedimiento del cubo de una suma, pues son similares: (a-b)3= (a-b)2(a-b). ¡Hazlo tu mismo! Considera que en el miembro derecho tienes el cuadrado de una diferencia (a-b)2, obteniendo así: (a-b)3 = a3 - 3a2b+3ab2-b3. Escribe un enunciado que se ajuste a la igualdad anterior; guíate por el cubo de una suma; ten en cuenta los signos.

Ejemplos:a) (x-4)3= x3 -3 · x2 · 4 + 3x · 42 - 43 = x3 -12 · x2 + 48x -64

b) (3a - )3= (3a)3 - 3 · a2 · + 3a · ( )2 - ( )3 = 27a3 - a2 + 3a · -

=27a3 - a2 + a -

Ahora, vamos a darle respuesta a nuestro problema inicial. Dado que el árbol forma un ángulo recto con respecto al suelo, el triángulo que se forma es… De acuerdo al teorema de Pitágoras, obtenemos la figura 52.

2 5

2 5

2 5

2 5

6 5

4 25

8 125

6 5

12 25

8 125


211

Figura 52

Pero, ¿cómo podemos expresar los valores o incógnitas correspondientes al cateto e hipotenusa? Realicemos la siguiente analogía: comparemos un árbol con una línea recta para hacer el análisis.

Recuerda que el teorema de Pitágoras expresa lo siguiente: (Hipotenusa)2= (cateto)2 + (cateto)2. Al sustituir nos queda: (32-x)2= x2 + 162. Ten presente que x representa la altura a la cual se rompió el árbol. ¿A cuáles de los casos que hemos analizado se parece la expresión del miembro izquierdo? ¡Correcto! Desarróllala; luego resuelve la ecuación y compara el resultado. La altura a la cual se rompió el árbol es de 12m.

Saber más

Visualiza una presentación acerca de productos notables y algunos ejerci-cios resueltos en la siguiente dirección web: http://genmagic.org/mates1/prod1c.swf

Para obtener patrones y regularidades del triángulo de Pascal, visita: http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html

1. Copia y completa

Observa los resultados de la tabla y responde:

a) ¿(a + b)2 es igual a a2 + b2?

b) ¿Qué número hay que sumarle a a2 + b2 para que sea igual a (a+b)2?

Longitud del árbol

Punto P de quiebre del árbol

Distribución de segmentos en el árbol

Las relaciones entre los segmentos

16m

??

32m

Extremo

Origen

E

O

P

E

O

Px

32-x32m

x32-x

16m

a. b. c. d.

a b a2 b2 2ab (a+b)2 a2+b2

3 2 9 4 12 25 13

5 7

10 3

-3 2

-5 -4


212

2. Desarrolla las siguientes expresiones aplicando productos notables según corresponda en cada caso.

a) (x+7)2 b) (2a+3)2 c) (x+ )2 d) (2Z -1)2 e) (x2-10)2

f ) (-7+x4)2 g) (z+4)·(z-4) h) (x2-5)(x2+5) i) (2a -4)·(2a+4)

j) (2x+y)3 k) (x+3)3 l) (4a-2)3 m) (y2-3)3

La utilidad de las matemáticas

Actualmente nadie pone en duda el interés que tienen los métodos matemáticos dada su aplicación, no sólo en el campo científico, sino también en su uso cotidiano. Así, acciones como retirar dinero de un cajero automático no serían posibles si no hu-biese detrás un soporte matemático que facilite su diseño y uso.

En economía, el calcular lo que uno va a ganar en el momento de jubilarse ó la tasa de interés del pago de un préstamo; en la medicina, hay modelos matemáticos que ayudan a estudiar las redes neuronales, lo que facilita la comprensión de los meca-nismos cerebrales del aprendizaje. En plena era de la información, la teoría de códi-gos y criptología es una herramienta imprescindible para esta sociedad que necesita trasmitir información de forma segura. Las comunicaciones por telefonía móvil, las cámaras digitales, la predicción del tiempo, los ordenadores, internet y un sinfín de etcéteras no serían posibles sin la matemática.

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre o en la siguien-te dirección web: http://www.euskonews.com/0151zbk/gaia15105es.html

Un participante ha analizado las fases I y II del Proyecto Tecnológico y, en base a sus necesidades, plantea como alter-nativa el cultivo de plantas medicinales (las condiciones del terreno y clima son favorables para el crecimiento de éstas). En su pueblo cuentan con un terreno rectangular: una parte será destinada al cultivo (región sombreada de la figura 53); el área a cultivar corresponde a la expresión (a-b).(a+b).

1. Encuentra el área del terreno grande. Figura 53

a) Encuentra el área de los dos rectángulos pequeños que no fueron cultivados.

b) Encuentra la diferencia de las áreas en la parte a y la parte b.

c) Encuentra el área de la región cultivada y compara este resultado con el inciso c.

Posteriormente, este proyecto se puede expandir, procesando las plantas en cre-mas, infusión, jarabes, pomadas, cápsulas, etc., lo cual traería múltiples beneficios a la población.

La capacidad de entusiasmo es signo de salud espiritual. Gregorio Marañon

a-b b

a

b

a

1 2

Semana 9Factorización de polinomios

213

Estimado participante, continuamos con el tema de la semana anterior sobre pro-ductos notables, que consistió en, dados los factores, observar las regularidades pre-sentes en el desarrollo del producto. Ahora, abordaremos el problema contrario, es decir, buscaremos los factores conociendo el producto. Este proceso es conocido como factorización y es de gran utilidad en la simplificación y resolución de ejercicios de tipo algebraico.

Para comprar una casa, un carro, etc., el venezolano se las ingenia a través del ahorro. Los dividendos obtenidos en un banco dependen del capital, del porcentaje de inte-rés y del tiempo que está depositado el capital. Si se coloca un capital C a una tasa de interés de r %, la cantidad de dinero que se tiene al cabo de dos años viene dada por: R=C(1+2r+r2)= C(1+r)2. Si el dinero se deposita durante tres años, la cantidad de dinero que se tiene al final es R=C(1+r)3.

Responde: si Cleomary deposita Bs.5000 en un banco al 12% de interés, ¿qué capital tendrá al final de los dos años?, ¿cuánto ganará ella en intereses?

Factorización

De la sección anterior, tenemos la siguiente igualdad R=C(1+2r+r2)= C(1+r)2. Si lees la igualdad de derecha a izquierda ¿a cuál caso de producto notable corresponde? ¡Correcto! Fíjate que lo que está en el miembro izquierdo es el desarrollo del cuadrado de una suma o cuadrado de un binomio. Avancemos para descubrir cómo llegamos a esto.

La factorización consiste en “subdividir” o descomponer un entero en un grupo de enteros más pequeños (los factores) de tal modo que, al multiplicarlos entre sí, forman el entero original. Por ejemplo, los factores de 15 son 3 y 5; el problema de la factori-zación consiste en encontrar 3 y 5 cuando nos dan 15.


Factorización de polinomiosSemana 9

214

Esta idea también se puede extender a los polinomios; así, factorizar un polinomio consiste en descomponerlo como el producto de dos o más polinomios llamados factores.

Establezcamos una analogía para facilitar la comprensión de este concepto. En el 2do semestre aprendiste a descomponer un número en sus factores primos; por ejemplo, 20 = 4 · 5 = 22 · 5, con lo cual se ha “factorizado” el 20, pues hemos conseguido expresarlo como producto de sus factores.

Se dice que factorizar es el inverso de multiplicar, por ejemplo, para factorizar mono-mios, encontramos dos monomios cuyo producto sea ese monomio. Compara:

Multiplicar Factorizar

(4x) · (5x) = 20x2 20x2 = (4x) · (5x)

(2x) · (10x) = 20x2 20x2 =(2x) · (10x)

(x) · (20x) = 20x2 20x2 =(x) · (20x)

Hay aún otras maneras de factorizar 20x2, ¡completa el resto!

La factorización es la operación inversa de los productos notables.

Casos de factorización

Caso 1. Factor común

Es aquel número, letra o ambos (monomios) que aparecen en cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplos de polinomios con factor común:

a) 3a2b+3ab2 b) 4 x2a+2a2 x -8a x c) 3z4-6z3+18z2-9z d) 5x +10

Podemos observar que en el caso a) en todos los monomios aparece el 3, la a y la b; así, 3ab es un factor común. En el caso b) tenemos que el factor común es 2ax, ¿por qué? En el caso c) determina cuál es el factor común; en d) a simple vista pareciera que no hay términos comunes, pero dado que el 10 se puede descomponer como 5·2=10, reescribimos la expresión 5x+10= 5x+2·5 y observamos que el 5 es común a los dos términos.

En general, ¿cómo factorizamos este tipo de expresiones?

Se debe transformar la expresión polinómica dada en un producto, donde uno de los factores es común entre todos los términos y el otro se obtiene al dividir cada tér-mino del polinomio “original” entre el factor común.

Ahora, fíjate como factorizamos el siguiente polinomio: 6x3-12 x2+30 x5


215

6x3 6x2

2 · 6x2 6x2

5 · 6x5 6x2

El M.C.D. de (6, 12,30)= 6, luego el factor común es 6x2

Se halla el factor común de cada término; para ello se calcula el máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por la menor potencia de x (en este caso es x2).

- + = x - 2 + 5x3Se divide cada término del polinomio entre

el factor común.

6x3-12x2+30x5= 6x2·(x-2 + 5x3)

El polinomio es igual al producto del factor común por el polinomio obtenido en el paso anterior.

Caso 2. Factorización por agrupación de términos

¿Cómo harías para factorizar el polinomio 2y+xa+2a+xy? Para que x sea factor co-mún debe estar en los cuatros términos; por tanto no puede “extraerse”; de igual ma-nera sucede con y, a, 2. ¿Qué hacemos en este caso? Cuando no hay factor común en todos los términos de un polinomio, éstos pueden asociarse y formar grupos, de manera que se pueda sacar un factor común de cada grupo. En el diagrama 1 se ilustra la factorización.

Diagrama 1Factorización por agrupación de términos

2y+xa+2a+xy (2y+2a)+(xa+xy) 2(y+a)+x(a+y) (y+a) (2+x)

Así que 2y+xa+2a+xy =(y+a) · (2+x)

Caso 3. Factorización de la diferencia de dos cuadrados

El producto de la suma y la diferencia de dos expresiones es 25m2 - 49. ¿Cuáles son las dos expresiones o factores? Con tus conocimientos acerca de productos notables puedes hallar los factores. Podemos decir que: una diferencia de cuadrados es igual a la suma por diferencia. Esto es, si el binomio es x2-a2, entonces se puede factorizar así: x2-a2=(x-a)(x+a)

Luego la factorización del ejemplo anterior es 25m2 -49= (5m-7) · (5m+7)

En general, se puede factorizar a través de esta sencilla regla: para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la diferen-cia de los dos términos por la suma de los dos. Veamos un ejemplo:

Factoricemos el polinomio Determinamos la raíz de cada término.

36x10- 81y8 Diferencia de los dos términos (6x5-9y4)

Raíz Suma de los dos términos (6x5-9y4)

(9y4)2 Finalmente

(6x5)2 36x10 -81y8 = (6x5 - 9y4) (6x5 + 9y4)


216

Caso 4. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

El desarrollo del siguiente cuadrado de una suma (x+3)2= x2+6x+9 es un trinomio cuadrado perfecto. Si intercambiamos los miembros de la igualdad, obtenemos: x2+6x+9=(x+3)2; es decir, si nos dan trinomios cuadrados perfectos, podemos escri-birlo como el cuadrado de una suma o cuadrado de un binomio. En general, puede decirse que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse como el cuadrado de una suma o una diferencia. En la tabla 3 se muestran los pasos para factorizar.

Tabla 3

¿Cómo identificar un trinomio cuadrado

perfecto?¿Cómo se factorizan?

Factoricemos el si-guiente polinomio

49y2- 42y + 9

*Se ordena el trinomio en forma decreciente con respecto a la variable.

*Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos y

*El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de di-chos términos.

1. Se extrae la raíz cua-drada del primer y tercer término.

2. Se verifica que el pro-ducto de ellas sea el do-ble del término central.

La raíz cuadrada de 49y2 es 7y. La raíz cuadrada de 9 es 3.

El doble del producto de ambos es 2 · 7y · 3 = 42y.

3. Se forma un produc-to de dos factores con las raíces separados con el si-gno que tiene el segundo miembro del trinomio.

(7y-3 ) · (7y-3 )

Observa que el segun-do término tiene signo negativo.

4. Este producto es la expresión factorizada.

(7y-3 )2, luego

49y2- 42y + 9=(7y-3 )2

Un número cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto, ya que 9 = 3


217

Simplificación de expresiones racionales

Las expresiones racionales son fracciones cuyo numerador y denominador son po-linomios. Estas tienen las mismas propiedades que los números racionales. Para sim-plificar este tipo de expresiones factorizamos por los métodos estudiados, tanto el numerador como el denominador para reducirla a su minima expresión.

Dada la fracción racional se debe obtener por simplificación una

expresión racional equivalente a ella. Veamos la solución:

=

=

Veamos otros ejemplos:

a) = = = = x + 2y

En el numerador se aplica el caso de factorización de diferencia de cuadrados; lue-go, se cancelan las expresiones iguales, quedándonos en el numerador la expresión (x2- 4y2) que representa una diferencia de cuadrados, aplicamos nuevamente el caso

de factorización anterior, se simplifican los elementos iguales =1 y final-mente obtenemos x+2y.

b) = = = =

Justifica cada paso.

Saber más

Para visualizar ejercicios resueltos de todos los casos de factorización mos-trados en esta sesión, visita la siguiente dirección web: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id115.htm

Observa un video con una sencilla explicación de algunos casos de factori-zación, disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=H-mlMdXnc-g:

5x - 20 x2 - 16

5x - 20 x2 - 16

5(x - 4) (x - 4) (x + 4)

5(x - 4) (x - 4) (x + 4)

5 (x + 4)

En el numerador “sacamos factor común” y en el denominador aplicamos la factorización de diferencia de cuadrados.

Luego se simplifican los elementos que sean iguales, aplicando la regla de potencia

= (x - 4)1-1 = (x - 4)0 = 1x - 4 x - 4

x4 - 16 y4

(x2 + 4y2) · (x - 2y) (x2 - 4y2) · (x2 + 4y2)(x2 + 4y2) · (x - 2y)

(x2 - 4y2) (x - 2y)

(x - 2y) · (x + 2y) (x - 2y)

(x - 2y) (x - 2y)

36z2 + 16 - 48z18z - 12

36z2 - 48z + 16 3 · (6z - 4)

(6z - 4)2

3 · (6z - 4) (6z - 4) · (6z - 4)

3 · (6z - 4) (6z - 4)

3


218

1. Factoriza los siguientes polinomios sacando factor común.

a) 12x+3 b) x20-x16+x10+x17 c) 36m5 +24m3-3m d) y · (x+3) -5(x+3)

2. Factorización por agrupación de términos.

a) xy-2my-2xn+4mn b) 3xa-4ya-3x+4y c) 6ab+3a+1+2b

3. Factorización de la diferencia de dos cuadrados.

a) 121a8 -100 b)-16+4x4 c) 81y6-25y2 d) 4x4 -64

4. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos? Factoriza aquellos que lo sean.

a) x2-14x+49 b) x2+15x-100 c) y6-16y3+64 d) x2+2x+1 e) z6+26z3+169

f ) x2-12x+4 g) 9x2-14x+16 h) 4x2+20x+25 i) 16x2-56x+49 j) 8x2 +40x+25

5. Simplificación de expresiones racionales.

a) b) c) d)

e) f )

Las matemáticas como fuerza interdisciplinar

A partir del siglo XVII, desde los padres fundadores: Galileo, Descartes y Newton, la Matemática forma, junto con el método experimental, el esquema conceptual en que está basada la ciencia moderna y en el que se apoya la tecnología, existiendo estre-chas interacciones entre ellas.

Sobre estas bases nació la sociedad industrial que ha cambiado el mundo en que vivimos. El entramado teoría-práctica de las ciencias está cimentado en el soporte matemático, que no es sólo numérico, pues muchos de los conceptos fundamentales de las ciencias son abstracciones matemáticas, cuya virtualidad práctica se ha ido des-cubriendo con el tiempo.

4x2 - 8x + 4x2 - 1

x2 - 7x + 10x2 - 9x + 20

2x3 - 2xx2 - 1

x3 - 25xx2 - 25

x2 - 2x +1x2 - 1

3x - 63x2 - 12x + 12


219

A partir de la segunda mitad del siglo XX, el desarrollo de los ordenadores dio lugar a un nuevo nicho cultural, el mundo computacional. Su presencia ha remozado todas las ciencias, en realidad está cambiando el mundo en que vivimos mediante las revo-luciones informática y robótica, de comunicaciones y de la imagen. Todo indica que la sociedad de la información que se construye en el presente acentuará el interés por las matemáticas y podremos cultivar sus dos vertientes: por un lado, la belleza y la perfección lógica, y por el otro, su utilidad.

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguien-te dirección web: http://www.encuentros-multidisciplinares.org/Revistan%BA23/Adolfo%20Quir%F3s%20Graci%E1n%20y%20Jos%E9%20Luis%20V%E1zquez%20Su%E1rez.pdf

1. Siguiendo la onda del PPT, veamos un aparato médico necesario para el chequeo de nuestra salud. El electrocardiógrafo digital (hay diversidad de modelos y formas) es un equipo destinado a la realización del electrocardiograma (ECG) que es un estudio de rutina realizado para observar la actividad eléctrica del corazón. Observa que la figura 54 (hay diferentes modelos) tiene forma de paralelepípedo, cuyo volumen viene dado por la expresión V= 4x3-4x2-8x ¿Cuáles podrían ser las medidas de sus aristas (largo, ancho y alto)?

Figura 54

2. En la semana 2 de Ciencia y tecnología se comentó acerca de la aplicación de los rayos x en la medicina para realizar radiografías. El técnico radiólogo debe revelar la placa con el equipo revelador de placas de rayos x, que tiene forma de paralelepípedo (ver figura 55), cuyo volumen viene dado por la fórmula V = x3+5x2+6x. ¿Cuáles podrían ser las medidas de sus aristas (largo, ancho y alto)?

Figura 55

La alegría es el ingrediente principal en el compuesto de la salud. A. Murphy

Ecuaciones de segundo gradoSemana 10

220

Semana 10 Ecuaciones de segundo grado

Esta semana veremos que cuando la expresión polinómica de grado dos se iguala a cero, se obtiene un tipo especial de ecuación que recibe el nombre de ecuaciones de segundo grado o cuadrática. El propósito de esta sesión es que adquieras la habilidad de resolverlas, empleando el método más idóneo, y que también puedas reconocer de antemano si tienen solución en el conjunto de los números reales.

Las ecuaciones de este tipo permiten resolver una variedad de problemas de la física y de nuestro entorno, y muy probablemente nos ayudarán en la solución de la situa-ción planteada en el PPT.

Iniciemos con un problema: Wilmer es muy laborioso; él tiene una finca en un pue-blo del estado Táchira, donde se siembra caña, zapotes y otros cultivos para el con-sumo familiar. La finca es rectangular y su área es de 12852m2. Además, un lado es el doble de largo que el otro, menos 15m. Con estos datos, ¿serías capaz de saber cuáles son las dimensiones de la finca?

Ecuación de segundo grado

Retomemos el ejemplo anterior, ¿ya organizaste la información?, ¿cómo lo hiciste? Recuerda que en la semana 2 se mencionaron los métodos para resolver problemas. Primero ¿qué trato de encontrar?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuáles son los métodos para resolver este problema?

x 12852m2

2x - 15

Lo primero que podemos hacer es una representación de la finca. Como no se co-nocen las medidas de los lados del terreno, debemos empezar por asignarle una in-cógnita a uno de los lados; por lo general se utiliza la letra x. Si el lado L1 = x el lado L2 de acuerdo a las condiciones será L2 = 2x-15. Debemos expresar los lados en función

Semana 10Ecuaciones de segundo grado

221

de algún valor conocido, por ejemplo, el área. Sabemos que el área de un rectángulo es base (ancho) por altura (largo); así tenemos A = L2 · L1. Sustituyendo las igualdades anteriores, en esta última obtenemos:

A= L2 · L1 x · (2x - 15) = 12852 2x2-15x =12852 2x2-15x -12852 = 0

En el primer paso aplicamos la propiedad distributiva o multiplicación de polino-mios, luego restamos 12852 en ambos miembros, obteniendo:

2x2-15x -12852 = 0

Esta expresión es una ecuación de segundo grado.

En general, una ecuación de segundo grado se expresa como:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son números reales, con a ≠ 0

Las soluciones o raíces de la ecuación son los valores de x que, al ser sustituidos, ha-cen que la igualdad se cumpla, es decir, aquellos valores para los cuales la expresión ax2 + bx + c sea igual a cero.

Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas se pueden hallar a través de métodos distintos. Esta semana sólo mencionaremos dos. Puede emplearse el método de fac-torización, el cual es apropiado para resolver con gran facilidad ecuaciones del tipo x2 + bx + c, es decir, a = 1

A continuación, estudiaremos otro caso de factorización, diferente a los estudiados en la sesión anterior.

Factorización de trinomios de la forma x2+ax+b

Para factorizar esta clase de trinomios utilizamos:

x2+(a+b)x+a·b=(x+a)(x+b)

Reconocemos un trinomio de esta forma, así:

x2 + (a+b)x + ab

Cuadrado perfecto

del término común

Suma algebraica de los términos

no comunes multiplicada por

el término común

Producto de los términos no comunes


222

Ejemplo: factorizar x2-7x+12. En la columna izquierda se muestran los pasos a seguir.

(a) · (b)=12 y (a) + (b)= -7

(-4) · (-3)=12 y (-4)+(-3)= -7

x2 -7x +12= x2 + (-3-4)x +(-3)·(-4)

x2 + (-3-4)x + (-3) · (-4)= (x-3).(x-4)

Pero existe una fórmula, llamada fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado, que es aplicable a todas las ecuaciones cuadráticas ax2 + bx + c

Esta fórmula es muy útil, sobre todo cuando otros métodos resultan complicados. Veamos:

X1 = X2 =

Las dos representan solución de la ecuación cuadrática.

Podemos escribir las dos fórmulas anteriores en una sola:

X =

Luego, para saber las dimensiones de la finca, debemos resolver la ecuación: 2x2 - 15x - 12852 = 0. Aplicar factorización no es idóneo en este caso ¿por qué? Usemos la formula general de ecuación cuadrática. Fíjate que en ésta debes sustituir los coefi-cientes a = 2, b = −15, c = −12852 y realizar las operaciones indicadas.

Sustituyendo estos coeficientes en la fórmula que acabamos de ver, tenemos:

x = = = =

Se deben buscar dos números que multipli-cados den el término constante 12 y sumados den el coeficiente de x, -7

Estos deben tener el mismo signo; para que su producto sea positivo y su suma sea -7 los dos números debe ser negativos.

Se sustituyen los coeficientes uno por una suma, y el otro por un producto.

Se aplica la fórmula mostrada al inicio

-b + b2 - 4ac2a

-b - b2 - 4ac2a

-b )± b2 - 4ac ± 2a

- (-15)± (-15)2 - 4·2·(-12852)2 · 2

15± 225+102816 4

15± 103041 4

15±3214

-76,584


223

Por tanto, x = 84, x = −76,5 son las dos soluciones a la ecuación de segundo gra-do. Comprueba que al sustituir los valores de x en la ecuación, se cumple la igual-dad. Dado que x representa una longitud, ésta no puede ser un número negativo. ¿Tendría sentido decir: mide -76,5? Así que las dimensiones de la finca son: x= 84m y 2x-15=2·(84)-15=168-15=153m.

Analicemos otro ejemplo: Diego plantea la siguiente interrogante a su compañero de clase: “el área de un terreno cuadrado tiene 5 unidades menos que el perímetro. Encuentra la longitud del lado”.

Asignemos la letra x a la medida del lado. Por las condiciones, tenemos que A=P-5. Sabemos que tanto el área como el perímetro están en función de la longitud del lado, P=4x y A=x2; sustituyendo ambas fórmulas en la ecuación inicial se obtiene: X2=4X-5, o lo que es igual, X2- 4X+5=0, una ecuación de segundo grado.

Es conveniente hacer uso del determinante, que viene dado por la expresión b2-4.a.c y se encuentra “dentro del radical” de la fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado. Sustituimos en la expresión anterior los coeficientes de la ecuación de segundo grado, (-4)2 - 4 · 1 · 5 = 16-20 = -4 ¿Es posible hallar la raíz cuadrada de un número negativo? Esto indica que esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, por tanto no hace falta utilizar la fórmula general, ya que no hay soluciones que calcular.

El resultado de que la ecuación cuadrática tenga solución depende del valor que se encuentre “dentro del radical”; a la expresión b2 - 4ac, se llama discriminante, y se pue-de utilizar para determinar cuántas soluciones reales tiene una ecuación cuadrática.

La tabla 4 ilustra por medio de ejemplos los tres posibles casos.

Tabla 4

Discriminante b2 - 4ac

Caso 1 Caso 2 Caso 3

3x2 - 2x - 1 = 0

(-2)2 - 4(3)(-1) = 16

Si b2 - 4ac >0, es decir positivo, se tienen dos so-luciones reales.

0 = x2 + 4x + 4

42 - 4(1)(4) = 0

Si b2 - 4ac =0, se tiene una única solución real.

0 = x2 + x + 5

12 - 4(1)(5) = -19

Si b2 - 4ac<0, es decir negativo, no tiene solucio-nes reales.

Solución3x2 - 2x - 1 = 0

x =

x = 1 ó x = -

0 = x2 + 4x + 4

x =

x = -2No hace falta resolverla, ya

que no tiene solución.

Hasta ahora nos hemos limitado al estudio de ecuaciones completas ax2+bx+c=0; pero también podemos encontrarnos con ecuaciones de segundo grado incomple-tas. Veamos en la tabla 5 ejemplos de cómo se resuelve este tipo de ecuaciones.

2 ± 16 6

13

-4 ± 02


224

Tabla 5

ECUACIÓN INCOMPLETA (b = 0) ECUACIÓN INCOMPLETA (c = 0)

Queremos resolver la ecuación:

10x2 − 160 = 0

Sumamos 160 a los dos miembros:

10x2 = 160

Dividimos entre 10 los dos miembros:

x2 = 16

Calculamos la raíz cuadrada de 16:

x = 16 = ± 4

Las dos soluciones o raíces son:

x = 4 x = −4

Queremos resolver la ecuación:

3x2 − 21x = 0

Sacamos factor común a la x:

3x(x − 7) = 0

Para que se cumpla esta ecuación, uno de los dos factores (3x ó x − 7) debe ser igual a cero. Por tanto, igualando por separado cada factor a cero: 3x=0 x−7=0 x=7 Las dos soluciones o raíces son:

x = 0 x = 7

Saber más

Visualiza algunos ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado en la siguiente dirección web: http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/raizcuad.html

1. Halla el discriminante en cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, e indica, según el mismo, la cantidad de raíces que tiene la ecuación; posteriormente resuélvelas (de ser posible) por el método más conveniente.

a) 3x2+3x+3=0 b) -9x2-6x=1

c) -2x2+5x=0 d) 2x2-3x+1=0

e) 48+2x-x2=0 f ) x(x+1)=5x -4

g) (x-13)2=0 h) 5x2-13x+1=0

i) (x-5)2=0 j) x2+5x=-8

2. En un conjunto residencial se quiere construir un estacionamiento rectangular para el resguardo de los vehículos. Al realizar el censo de la cantidad de vehículos y tomar en cuenta el espacio disponible, han establecido que el área máxima (aquella que permite almacenar el mayor número de vehículos) es de 312,5 m2. Si para el cercado van emplear 50m de reja, ¿cuáles son las medidas de largo y ancho? Considera que uno de los lados es un muro y no necesita cerca (ver figura 56).


225

Figura 56

3. Bárbara es bibliotecóloga. Ella se preocupa por brindar lo mejor a sus alumnos; está muy contenta porque ha recibido un donativo de una empresa para ampliar el espacio físico de la biblioteca del liceo. La forma de ésta es cuadrada; si aumentan en 4m dos paredes paralelas obtenemos un rectángulo; la nueva área de ésta es de 77m2. ¿Con estos datos serías capaz de saber cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la biblioteca?

4. Uno de los requisitos para concursar en una exposición de arte, aparte del talento, son las medidas que deben tener los cuadros. Si el marco de una pintura mide 120cm por 84cm y la pintura ocupa 5760cm2, encuentra el ancho del marco, el cual tiene un valor constante.

5. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6cm. Un cateto mide 1cm más que el otro. Encuentra la longitud de los catetos.

Bhaskara, el instruido

Darío Durán (2008)

La resolución de la ecuación cuadrática Ax2+Bx+C=0 tiene una larga historia. Hace unos cuatro mil años, los babilonios resolvían ecuaciones cuadráticas con métodos parecidos a los actuales. Pero fue a partir del XVI que se utilizaron símbolos para repre-sentar incógnitas, operaciones y potencias.

Antes, las ecuaciones se expresaban en prosa. Por ejemplo, se decía: “El duplo del cuadrado de la cantidad buscada es igual a cuatro veces esa cantidad más seis”, para expresar que 2x2=4x+6 y para resolver las ecuaciones se aplicaban las reglas expresa-das en el mismo estilo.

Precisamente en el siglo XII vivió el matemático hindú Bhaskara, llamado “El instrui-do”. Algunos estudiosos lo consideran creador de la técnica para resolver ecuaciones cuadráticas. Bhaskara dirigió el observatorio Ujjain, que era el centro astronómico y matemático de la India; escribió algunos libros, uno de los cuales fue el Lilavati (“La hermosa”) considerado uno de los más populares de todos los tiempos.

Un centro de rehabilitación integral cuenta, entre otros espacios, con una ¡piscina terapéutica!; el empleo de ésta es un método muy útil en el tratamiento de enferme-dades, ya que se consiguen efectos como: fortalecer la musculatura debilitada, incre-


226

mentando la fuerza y resistencia, disminuyendo el dolor y el espasmo muscular, entre otros beneficios.

La piscina es rectangular de 5x3 metros, con un camino alrededor de ésta, como muestra la figura 57.

Figura 57

La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno. Llama x a la anchura constante del camino. ¿Cuál será el área A del camino? Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla. Dibuja unos ejes y ubica los puntos (x, A).

Si el área del camino ha de ser de 30m2, utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino. ¿Para qué valor de x es A = 100?

Hemos aprendido a volar como los pájaros, a nadar como los peces; pero no hemos aprendido el sencillo arte de vivir como hermanos. Martin Luther King

5m

3m

Semana 11Análisis de la función cuadrática

227

Análisis de la función cuadrática Semana 11

En este encuentro abordaremos lo concernien-te a las funciones cuadráticas. La importancia de éstas radica en la aplicabilidad que tienen en la Física para, por ejemplo, describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de pro-yectiles, etc.; en Telecomunicaciones, son útiles para lo que tiene que ver con las antenas sateli-tales, radiotelescopios, etc.

Puedes notar que en la tecnología, tema central de estas semanas, está presente la matemática. En las áreas de Lenguaje y Sociedad se mencionan objetos tecnológicos como la televisión y la radio y se describe cómo estos han influido nuestros modos de vida. A medida que avancemos en el tema, adquirirás la habilidad de analizar e inter-pretar tanto la función cuadrática como el gráfico asociado a ésta.

Detalla las similitudes de las imágenes mostradas.

¿Cómo es la trayectoria o forma de estas imágenes? Sus trayectorias representan una gráfica muy importante en el estudio de las matemáticas, por su aplicación en otras áreas.

Consideremos la siguiente situación: una pelota es lanzada hacia arriba desde la azotea de un edificio de 80m. La altura h alcanzada por la pelota sobre el nivel del suelo en un tiempo igual a t segundos después del lanzamiento, se expresa en función del tiempo por: h(t)= -16t2 + 64t +80.

a) Determina la altura donde estará la pelota al transcurrir 1s, 2s, 3s, 4s, 5s.

b) Elabora una representación gráfica con estos datos.

c) Si la máxima altura que alcanza la pelota es igual a 144m, ¿cuántos segundos habrán de trascurrir para que la pelota comience a caer?

d) ¿Qué tiempo habrá de transcurrir para que la pelota toque el suelo?

Análisis de la función cuadráticaSemana 11

228

La expresión anterior representa una función polinómica. Para determinar la altura (h) en cada instante de tiempo debemos aplicar el valor numérico de un polinomio (revisa la semana 5 del 3er semestre).

Se procede a sustituir en este caso los valores de los tiempos en h(t)= -16t2 + 64t+80. Te mostraremos el procedimiento y tú culminas con el resto de los valores.

Si t=0 h(0)= -16 · 02+64 · (0)+80 = 0+0+80 = 80

Si t=1 h(1)= -16 · (1)2+64 · (1)+80 = -16+64+80 = 128

Si t=2 h(2)= -16 · (2)2+64 · (2)+80 = -64+128+80 = 144

Si t=3 h(3) = -16 · (3)2+64 · (3)+80 = -144+192+80 = 128

Para la parte b debes organizar los resultados en la tabla de valores; luego ubica en el plano cartesiano los pares ordenados y, finalmente, une los puntos con una curva. Las respuestas c y d, se obtienen directamente del gráfico que ya realizaste.

En general, la expresión h(t)= -16t2 + 64t +80 representa una función cuadrática y el gráfico que obtuviste es una curva llamada parábola. Generalizando tenemos,

Una función cuadrática es una función polinómica de se-gundo grado definida por la expresión y=ax2+bx+c, donde a, b y c son números reales y a≠0, su representación gráfica es una curva llamada parábola.

En la función cuadrática, los términos se llaman:

Término lineal

ax2+bx+c = y

Término cuadrático Término independiente

Las funciones cuadráticas son funciones en la que el mayor exponente de la variable independiente es 2.

Estudio de la función cuadrática

· Concavidad de una función cuadrática

Observa estos ejemplos.

El orden de las operaciones debe ser:1º Potencias y raíces.2º Multiplicación y división. 3º Sumas y restas.


229

Tabla 6

a. y = 2x2 X -2 -1 0 1 2 3Y 8 2 0 2 8 18

(x,y) (-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8) (3,18)

Tabla 7

b. y = -x2 +2 x+ 3x -1 0 1 2 3 4y 0 3 4 3 0 -5(x,y) (-1,0) (0,3) (1,4) (2,3) (3,0) (4,-5)

Tenemos dos funciones cuadráticas a) y b); en las tablas 6 y 7 se muestran los valo-res de x e y. Los valores de y se han obtenido al evaluar los valores de x en la función ubicada en la parte superior de cada tabla. A continuación, se muestran los gráficos resultantes de representar los pares ordenados:

Detalla en cada función el coeficiente del término cuadrático. ¿Cómo es el signo en cada caso?

Gráfico 1

En el gráfico 1 el coeficiente es 2. Cuando el coeficiente del término cuadrático es positivo, es decir, mayor que cero (a>0), la parábola es abierta hacia arriba y decimos que es cóncava hacia arriba, y tiene un punto menor o más bajo que cualquier otro punto de la parábola; dicho punto se llama mínimo de la parábola, en este caso es (0,0).

Gráfico 2

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 -3 -2 -1 0

Punto mínimoCóncava hacia arriba: a>0

Eje de simetría

Vértice

1 2 3 4 -3 -2 -1 0

6

5

4

3

2

1

-1

--2

-3

-4

-5

-6

Cóncava hacia abajo: a<0Eje de simetría

Vértice

Punto máximo


230

El coeficiente del gráfico 2 es -1. Como es negativo, menor que cero (a<0), la pará-bola es abierta hacia abajo y decimos que es cóncava hacia abajo y tiene un punto más alto que todos los demás; dicho punto se llama máximo de la parábola, en este caso es (1,4).

Al punto mínimo o máximo de una parábola se denomina vértice; (v) de la parábola.

Las parábolas son simétricas respecto a la recta vertical que pasa por su vértice; di-cha recta se llama eje de simetría de la parábola.

Algunos arquitectos e ingenieros han utiliza-do los arcos parabólicos por ventajas técni-cas. Dada su resistencia, son capaces de so-portar grandes cargas, por lo que se usan en puentes colgantes y vigas; también pueden apreciarse en catedrales, vidrieras y puertas de edificios.

Los arcos parabólicos son elementos muy usados en arquitectura, desde civilizaciones antiguas.

Dominio y rango

Si extiendes los valores del eje x de ambos gráficos, advertirás que siempre es po-sible encontrar un valor para la variable y, entonces decimos que el dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales; se escribe Dom= R

Observa que en el caso a los valores que asume el eje y, incluyen el cero y todos los números positivos 1,2,3,… ¿dónde terminan? Siempre habrá un número que sigue al anterior. Para representar esta situación se utiliza el símbolo +∞ que se lee “más infini-to” así que podemos escribir el rango de la función [0, +∞). Observa el gráfico 2 y de-talla que el valor más grande que asume la función es 4, así que el rango vendrá dado por todos los números menores que 4 {3,2,1,0,-1,-2,-3,…. }, luego el rango es (-∞, 4].

· Cálculo del vértice de una parábola

Para determinar las coordenadas del vértice, calculamos la abscisa x = -

y después sustituimos el valor obtenido en la expresión y = ax2+bx+c, para obtener la ordenada (y).

Halla a través de la expresión anterior el vértice de las funciones cuadráticas que hemos trabajado y comprueba que efectivamente se corresponde con el señalado en el gráfico.

Para practicar, representa gráficamente las siguientes funciones. Determina la con-cavidad y el vértice.

a) y = -3x2 b) y = 2x2+1 c) y = -2x2-4x+2

b2 · a


231

En los casos c y d indica el punto de corte de la gráfica con el eje y.

· Puntos de corte con el eje y

Al realizar la actividad anterior, habrás advertido que las gráficas b y c cortan al eje y en los puntos 1 y 2 respectivamente. Para que el punto esté sobre el eje y la compo-nente x o abscisa debe ser cero; entonces en la expresión y = ax2+bx+c; sustituimos x=0. Nos queda que y=c, por tanto el par ordenado debe ser de la forma (c, 0), es decir el término independiente de la función cuadrática (c) es el punto de corte con el eje y.

· Puntos de corte con el eje x

Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0; de manera equivalente se escriben ax2+bx+c = 0.

A esta expresión se le conoce como ecuación de segundo grado. Para hallar la solu-ción a este tipo de ecuaciones, podemos aplicar los métodos explicados en la semana anterior.

Gráficamente las soluciones de la ecuación de segundo grado o cuadrática corres-ponde a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.

La gráfica intercepta el eje x en dos puntos. Esto nos indica que la ecuación tiene dos soluciones

La gráfica intercepta el eje x en un punto, lo cual nos indica que la ecuación tiene una única solución.

La gráfica no corta al eje x, por tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.

y = x2 + 2x -3 y = x2 + 4x + 4 y = x2 + x + 5

Visualiza que en el segundo gráfico las raíces son -1 y 3, ya que para estos valores y=0.

Para graficar podemos hacerlo de dos maneras; una de ellas es sustituyendo los va-lores de x para obtener los de y, construir la tabla de valores y realizar el procedimiento que ya conoces. La otra manera es más analítica; para ello sigue este procedimiento:

- Observa el signo del coeficiente para saber si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

- Calcula los puntos de cortes con los ejes coordenados.

- Calcular el vértice mediante la fórmula V ( - , ) o por otros procedimientos.

- Considera el eje de simetría de la parábola x = -

- Realiza el gráfico con los valores obtenidos.

b 2 · a

4a · c - b2

4 · a

b 2 · a

y

x

y

x

y

x


232

Saber más

Para ver un análisis detallado de las diferentes posiciones de las parábolas en el plano cartesiano, visita la siguiente dirección web: http://www.slides-hare.net/juanjoexpo/funcion-cuadratica:

1. Indica cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas. En caso de que lo sea, denota cuáles son sus coeficientes.

a) y= x2-3x b) y= 2x-4 c) y = x3-3x2+5 d) y= (x+6)2 e) y= 7-6x+3x2

2. Representa gráficamente las siguientes funciones y determina la concavidad, el punto máximo o mínimo y verifica si la parábola corta al eje x.

a) y=x2-4x+3 b) y=-2x2+10 c) y=-2x2+x+6

3. Analiza la función y= -x2-6x-8 (sin graficarla). Para ello describe sus coeficientes, concavidad, vértice (punto máximo o mínimo), el eje de simetría, el discriminante, los puntos de corte con los ejes. Luego, haz un esbozo del gráfico correspondiente.

4. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4x2+8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil. Realiza una representación gráfica.

Antenas parabólicasEl aula en casa (2006)

La superficie generada por la rotación de una parábola alrededor de su eje de si-metría se denomina parabólica. Con esta forma se fabrican las antenas receptoras y emisoras de ondas empleadas en radares, telescopios y satélites. Las antenas recep-toras de ondas de radio y televisión, procedentes de satélites de telecomunicaciones tienen forma parabólica para concentrar las débiles señales recibidas. Cuando una antena apunta a un satélite de telecomunicaciones, todas las ondas recibidas chocan contra la superficie del paraboloide, rebotan y se concentran en un punto llamado foco, situado en el centro del paraboloide. Así se recogen todas las ondas y se envían, por ejemplo, a un televisor.

Realiza un informe ilustrando las diferentes aplicaciones tecnológicas de la parábola y luego, en el CCA con la ayuda de tu facilitador, realiza en pequeños grupos una breve exposición sobre lo investigado.

El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la ciencia logra abrir. Albert Einstein

Semana 12Nociones elementales de probabilidad

233


Las siguientes acciones de nuestro acontecer diario te darán una idea intuitiva del tema que vamos a trabajar; por ejemplo, cuando los chicos lanzan una moneda al aire para ver quien co-mienza primero el partido o cuando tiras un par de dados en un juego, cuando sacas una carta al azar, cuando juegas un boleto para una rifa; en general, estos y otros ejemplos cotidianos tienen que ver con probabilidades.

El objetivo terminal de esta sesión es que reconozcas y valores la probabilidad como medio para interpretar, describir y predecir situaciones inciertas presentes en la vida cotidiana. Los elementos de la teoría de la probabilidad que veremos pueden ser apli-cados en tu PPT, lo cual puede ayudarte a tomar decisiones eficientes y le dará más solidez a tu investigación.

Observa las siguientes imágenes.

Si estás jugando con la perinola o “trompito” ¿puedes predecir qué va a salir en la siguiente jugada?, ¿crees que existen grandes posibilidades de ganar la lotería? Entonces, ¿por qué algunas personas se sienten motivadas a jugar? Cuando se lanza un dado, ¿qué número es más difícil de obtener?, ¿y cuáles son más fáciles?

El azar en la vida cotidiana

Si dejas un trozo de hielo en un lugar cuya temperatura es de 33ºC ¿se derretirá? Evidentemente sí. A los fenómenos cuyos resultados sabemos de antemano, se les denomina situaciones deterministas.

Si te fijas en los planteamientos anteriores verás que todos tienen algo en común: no se puede saber el resultado antes de realizarlo.

Se dice que los experimentos aleatorios son aquellos sucesos que admiten varios resultados posibles y en los cuales no se puede predecir cuál de ellos ocurrirá. Cuando

Nociones elementales de probabilidadSemana 12

234

lanzamos la perinola o el dado tenemos seis posibilidades, pero no podemos decir qué frase o número quedará en la cara superior.

La vida está repleta de juegos de azar con apuesta de dinero, como las loterías, ca-sinos, carreras de caballos, etc., que no dependen de la habilidad del jugador, sino exclusivamente del azar (si todo está correcto). Y no sólo en las apuestas aparece el azar; hay gran cantidad de juegos en los que participas que también están regidos por la suerte: el bingo, las cartas, etc.

El azar también está presente en el mundo biológico. Muchas de las características heredadas en el nacimiento, como el sexo o color del cabello, no se pueden prever de antemano, sino que dependen del azar. Por ejemplo, cuando una pareja decide tener un bebé, no sabe su sexo de antemano: el azar es el encargado de juntar los cromoso-mas XX (para que nazca una chica) o los cromosomas XY (para que sea un chico).

El azar está presente en la vida cotidiana en muchos contextos en los que aparece la no-ción de incertidumbre, riesgo y probabilidad; por ejemplo, el pronóstico del tiempo, el diag-nóstico médico, el estudio de la posibilidad de tomar un seguro de vida o efectuar una in-versión, etc. Para tomar decisiones, es impor-tante tener cierto grado de certeza, así como para emitir juicios sobre la relación entre su-cesos o efectuar inferencias y predicciones.

Como veremos, matemáticamente podemos analizar los fenómenos aleatorios, sin necesidad de realizar el experimento.

Teoría de la probabilidad

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar a cada resultado posible de un ex-perimento aleatorio, un número que refleje su mayor o menor posibilidad y, en base a eso, tener unos criterios para tomar decisiones en situaciones de incertidumbre.

Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

· Al lanzar un dado se observa ¿qué cara se puede obtener? En efecto {1,2,3,4,5,6} (sin importar el orden).

· Sacamos una bola en una urna que contiene 3 bolas verdes, 2 rojas y una azul. Se puede obtener {v, v, v, r, r, a} (sin importar el orden).

· Al lanzar dos monedas, los posibles resultados son {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}. Donde c representa cara y s sello.

A la colección de todos los posibles resultados que pueden salir en un experimento aleatorio, lo denominamos espacio muestral.

A los subconjuntos del espacio muestral se les llama eventos o sucesos. En el ejem-plo del dado {2,4,6} es un evento que se puede caracterizar por “sale un número par”.


235

Por ahora, vamos a considerar aquellos experimentos en los cuales los posibles re-sultados sean equiprobables, es decir tengan la misma posibilidad de ocurrir.

En términos clásicos, la probabilidad es la relación que hay entre “el número de ve-ces que sucede favorablemente un evento” y “el número de veces que el evento tiene oportunidad de suceder”. Por tanto si P es la probabilidad de un evento E, entonces:

P (E) =

Puedes notar que el número de casos posibles se corresponde con el espacio muestral.

Lanza una moneda al aire ¿cuál es la probabilidad de obtener cara? En el espacio muestral {cara, sello}, como de los dos casos posibles sólo uno es favorable, la proba-bilidad se calcula de la siguiente manera:

P (E) = =

En el experimento del dado ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par? Los casos posibles son seis {1, 2, 3, 4, 5,6} y los casos favorables son tres {2,4,6}.

Así, P (E) = = = 0,5, es decir, 50% de que salgan pares.

Observemos más ejemplos:

1. En una caja hay 3 pelotas rojas, 2 azules y 5 verdes. Si se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?, ¿y de que sea azul?, ¿y de que sea verde?

El espacio muestral está formado por 10 pelotas {r, r, r, a, a, v, v, v, v, v}.

Para las pelotas rojas los casos posibles son 3 P (E) = , para las azules tenemos

P (E) = = y para las blancas tenemos P (E) = =

Si divides la probabilidad de cada pelota, por ejemplo, para la pelota roja, tenemos

= 0,3 = 30%, obtienes un número comprendido entre 0 y 1, o un porcentaje

entre 0 y 100%. Compruébalo para el resto de las pelotas.

Ahora, si sólo se extrae una bola, tenemos tres casos: será azul, roja o verde, pero no las tres a la vez; es decir, si sale una azul, quedan descartados los otros dos; a estos se les se denominan sucesos incompatibles, que son aquellos que, si ocurre uno no puede ocurrir el otro, es imposible obtenerlos a la vez.

¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea verde o azul?

P ( v o a) = + = = 0,7 es decir, existe un 70% de posibilidad que sea roja o azul.

Ahora bien, cuando los sucesos son incompatibles, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos o ambos es la suma de cada una de las probabilidades. Esto es, si A y B son incompatibles: P(A o B) = P(A)+P(B)

número de casos favorablesnúmeros de casos posibles

número de casos favorablesnúmeros de casos posibles

12

36

12

310

210

15

510

12

310

210

510

710


236

Un suceso es imposible si no puede ocurrir. La probabilidad de un suceso imposible es 0, ya que no hay casos favorables. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un 7 al lanzar sólo una vez el dado, es cero.

Por otra parte, un suceso seguro es aquel que sabemos que con certeza va a ocurrir. Su probabilidad es 1. Por ejemplo, si en una gaveta tenemos medias blancas, la proba-bilidad de sacar una media blanca es 1.

2. En un bombo hay 20 bolitas numeradas del 1 al 20. Si se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el número que se obtenga sea primo?

El espacio muestral es 20 {1,2,3….20} Nuestro evento es “el número que se obtenga sea primo”; así que, debemos contar los números primos comprendidos del 1 al 20. El número de casos de favorables es entonces 8 {2,3,5,7,11,13,17,19};

así P (E) = = = 0,4; la probabilidad de obtener un número primo del bombo es 40%.

Fíjate que el evento anterior es “el número que se obtenga sea primo”. Hallemos ahora el suceso contrario, es decir, que ocurra que “el número que se obtenga no sea primo”; así que los números que debemos considerar serán los contrarios a estos {1,4,….20},

P ( Ē) = = = 0,6 donde Ē representa el complemento de E, “entendiéndose

Ē como los valores que le faltan a E para completar el espacio muestral”. Si sumas las dos probabilidades tendrás que P(Ē) + P(E) =1. Para calcular la probabilidad de suce-sos complementarios se emplea P(Ē) = 1-P(E). Verifica esta fórmula para el ejemplo anterior.

Saber más

Para conocer acerca del origen del dominó, te recomendamos visitar la siguiente dirección web: http://www.mipunto.com/temas/4to_trimes-tre02/domino.html

1. De una urna se extrae una de 20 bolitas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la bolita extraída sea múltiplo de 5? Expresa el resultado en porcentaje.

2. En una biblioteca hay 10 libros de Lenguaje, 6 de Química, 8 de Matemáticas y 5 de Inglés. Determina la probabilidad P de que al seleccionar un libro al azar sea de a) Lenguaje, b) Matemática, c) Química, d) Lenguaje o química

3. Tenemos un bombo con 100 bolas numeradas del 1 al 100 y sacamos una. Calcula la probabilidad de: obtener un número múltiplo de 3, obtener un número múltiplo de 5 ¿Cuál es el suceso contrario a obtener múltiplo de 5? Halla su probabilidad. Comprueba que son sucesos complementarios. ¿Será posible obtener un número que sea a la vez múltiplo de 3 y de 5?

4. En una población de 100 pacientes, 5 son diabéticos, ¿cuál es probabilidad de elegir un paciente que no tenga diabetes?

820

25

1220

35


237

Lotería y simetría

Llega la navidad y con ella las filas de gente comprando sus billetes de lotería. Muchas supersticiones. ¿Existe una fórmula para ganarla? El matemático Marcus Du Sautoy opina que, aunque no puede dar una fórmula mágica para el resultado deseado, tam-poco puede decir que “las matemáticas sean totalmente inútiles cuando se trata de jugar lotería”. Entre sus diversas apariciones en medios, estuvo en el programa “The One Show” de la BBC, en el cual habló de las probabilidades en los sorteos. Algunos de sus consejos: a) Agrupar los números seguidos. “Como los buses, los números de la lo-tería a menudo llegan en pares”, dice él. Casi la mitad de las combinaciones ganadoras incluyen números consecutivos. b) Lo anterior es útil, pero, no hay que llevarlo al ex-tremo de escoger 1, 2, 3, 4, 5, 6. “Aproximadamente 10000 personas seleccionan esos números cada semana, así que ud. terminará compartiendo el premio con un montón de gente”. c) Usualmente la gente va por las fechas significativas... el cumpleaños, el aniversario de algo y por ello los números por encima del 31 no son tan populares, con lo cual merece la pena considerarlos para los efectos que nos ocupan. d) “Evitar los múltiplos del número 7 de la suerte”, ya que la popularidad de la tabla del 7 hace que sea muy usada.

Continúa esta interesante lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre o en la siguiente dirección web: http://www.lavanguardia.es/lv24h/20091215/imp_53845545282.html

1. El diagrama 2 muestra el experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de dos dados (o un dado dos veces).

Diagrama 2

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

a) Halla la probabilidad del suceso “la suma obtenida sea 7”.

b) Halla la probabilidad del suceso “la suma obtenida es número primo”.

c) Calcula la probabilidad del suceso “en los dos lanzamientos se obtiene número primo” y la probabilidad del complemento, es el suceso “en alguno de los dos lanzamientos (o en ambos) no se obtiene número primo”.

d) Halla la probabilidad de los sucesos complementarios “obtener suma mayor o igual que 5” y “obtener suma menor que 5”.


238

2. Revisa los elementos que has recabado en el estudio de tu PPT y aplica, en la medida de lo posible, la probabilidad en cada fase; expresa los resultados en porcentajes para que puedas hacer tu análisis; por ejemplo, puedes indicar el tamaño de la población sobre la cual realizaste el estudio, ¿cuántas personas se beneficiaran con tu propuesta?, ¿qué probabilidad representa lo anterior? De las alternativas de solución, ¿cuál tiene mayor probabilidad de ser exitosa?

La fortuna de un jugador es con frecuencia la desgracia de muchas familias. Selgas

Semana 13Diagramas de árbol

239


¡Bienvenidos una vez más! Continuamos con-solidando nuestras experiencias de aprendizaje sobre probabilidad; para ello ya tienes tu “mo-chila” cargada de muchas ideas acerca del tema. Veremos, por ejemplo, que existen experimen-tos aleatorios con espacios muestrales, cuya des-cripción se hace más compleja; para solventar esto recurrimos a los diagramas de árbol.

La intención de esta sesión es que reconozcas la utilidad de estos diagramas como una manera de organizar información de cualquier índole; desde luego que serán de gran utilidad para analizar la información valiosa que hasta ahora tienes acerca de tu PPT relacionado con la salud.

El diagrama 3 muestra la vestimenta de Luis. Él va de paseo por pocos días y sólo lleva los atuendos que aparecen allí ¿Cuántas combinaciones diferentes podrá hacer Luis con estos atuendos?

Diagrama 3

Experimentos compuestos

Consideremos un experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de un dado y una moneda. Por tratarse de la combinación de dos (o más) experimentos simples se le llama experimento compuesto. Observa cómo es el espacio muestral asociado a este experimento:

E = {(1,C), (2,C), (3,C), (4,C),(5,C), (6,C),(1,S), (2,S), (3,S), (4,S),(5,S), (6,S)}

Diagramas de árbolSemana 13

240

Tenemos 12 posibles resultados. Con los conocimientos adquiridos durante la sema-na anterior, halla la probabilidad del evento A: “salga cara” y B: “un número par”. Fíjate que debes considerar los dos eventos simultáneamente.

· Sucesos independientes

Consideremos los siguientes ejemplos:

Si lanzas un dado y una moneda simultáneamente, como en el caso anterior, los eventos o sucesos A y B son independientes, la probabilidad de que salga un número par en el dado es 3/6 y no afecta para nada lo que ocurra con la moneda, y viceversa.

Dos eventos A y B son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada o modificada porque haya sucedido o no B.

Otra situación en la cual se presentan sucesos independientes es la siguiente: en una gaveta hay 5 medias: 3 blancas y 2 negras. Se extrae una media, se observa su color, se devuelve a la gaveta y luego se extrae una segunda media. Sea A el suceso “la pri-mera media es blanca” y B el suceso “la segunda media extraída es blanca”. Tenemos que A y B son sucesos independientes; ya que la primera media se repone, la segunda extracción se realiza en las mismas condiciones que la primera, la probabilidad es de P(A)=P (B) =3/5.

· Sucesos dependientes

Continuemos con el ejemplo anterior, pero consideremos el caso en que la primera media extraída no se devuelve (sin reemplazo), la situación es diferente entonces. Si la primera media extraída es blanca, en la segunda extracción tenemos una media menos, la que no fue reemplazada, así que nuestro espacio muestral se reduce a 4. Para la primera extracción tenemos P(A) =3/5, mientras que para la segunda extrac-ción quedan 2 medias blancas y 2 negras. La probabilidad de la segunda es P(B)= 2/4. En este caso, la probabilidad de B depende o está condicionada por el resultado de la primera extracción. En general:

Dos sucesos A y B son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Diagramas de árbol

A veces es útil utilizar un gráfico como el mostrado en Conocimientos previos para organizar la información. Este tipo de gráfico se conoce como diagrama de árbol, el cual permite de manera práctica representar diferentes formas en que dos o más eventos pueden suceder, uno después del otro, mostrando los diferentes resultados que pueden tener los experimentos.

Consideremos el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces y hallar la probabilidad de los siguientes sucesos A1: aparecen dos o más caras consecutiva-mente; A2: aparecen cuatro sellos; A3: aparecen sólo dos sellos; A4: aparecen tres lados iguales de la moneda; A5: aparecen al menos dos caras; A6: aparecen menos de dos sellos; A7: aparece sólo una cara.


241

Diagrama 4

Una vía para dar respuesta a las interrogantes planteadas es usar un diagrama que permita visualizar de manera organizada la secuencia de los eventos.

A cada resultado le corresponde una manera de recorrer el diagrama. Se empie-za desde el punto inicial o raíz, siguiendo por las ramas hasta el extremo derecho. Observa que la última columna, indica los 8 resultados posibles, es decir, el espacio muestral. En esta situación todos los resultados son equiprobables, cada uno con

probabilidad igual a

Por ejemplo, los caminos (ramas de color marrón) 1, 2 y 5 son los resultados del evento A1. Lo podemos expresar así A1={CCC, CCS, SCC}; así que la probabilidad es

P (A1) =

Detallemos el evento A2; dado que sólo se lanzó una moneda tres veces el suceso es imposible. Culmina el resto de los ejercicios propuestos.

De este ejercicio hay “mucha tela que cortar”. Así que, en base a los ejercicios ante-riores, calcula la probabilidad del evento formado por los elementos comunes a A1 y A4 Casos favorables para A1 = {CCC, CCS, SCC} y para A4= {CCC, SSS}. Dado que tienen que ser elementos comunes, tenemos A1 y A4= {CCC}, así que la probabilidad de estos dos eventos es

Calcula la probabilidad del evento formado por los elementos de A4, A7 o ambos. Casos favorables para el evento A4= {CCC, SSS} y A7={CSS, SCS, SSC}. Observa que este caso es la “unión” o suma de ambos eventos; así tenemos que

P(A4 ó A7)= P(A4) +P(A7)= + =

Calcula la probabilidad del evento formado por los elementos comunes a A1 y A3. Calcula igualmente tanto la probabilidad del evento formado por los elementos de A3, A6 o ambos. Como la probabilidad del evento complementario a A4.

Sabemos que para el primer lanzamiento tenemos la probabilidad de ½=0.5=50% que sea cara y la probabilidad de ½ que sea sello. Para el segundo lanzamiento ¿qué probabilidad tiene de ser cara o sello? La misma, ya que son sucesos independientes; otra forma de dar solución a cualquier evento, por ejemplo CCS, es multiplicar la

probabilidad asociada a cada rama; tenemos · · =

SS S S S

C

S

S

S

S

S

C C

CC

C

C

C C

C C

C

C C

C C

C

C

C

S

S

S S

S S

S

S S

12345678

Partida 1er. lanzamiento

2do. lanzamiento

3er. lanzamiento

Resultadosobtenidosen los treslanzamientos

18

38

18

28

38

58

12

12

12

18


242

En base a esto, se define: en general, la probabilidad de llegar desde el inicio hasta cierto punto del árbol recorriendo las ramas es igual al producto de las probabilidades asociadas a cada rama.

Veamos otro ejemplo de diagrama de árbol: en un taller hay tres máquinas que pro-ducen tornillos. La máquina A produce 40 tornillos, de los cuales 10 son defectuosos; la máquina B produce 60 tornillos con 25 defectuosos; mientras que la C produce 40 con 15 defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo sea defectuoso?

Este es un experimento compuesto por dos simples: A: “Escoger un tornillo produ-cido por las tres maquinas” y B: “que sea defectuoso o no”. Ilustremos este problema a través del diagrama de árbol.

Diagrama 5

En el experimento A los eventos son equiprobables; cada máquina tiene la misma probabilidad (1/3) de ser elegida. Veamos qué posibilidad tenemos en cada máquina de que el tornillo sea defectuoso. Para la máquina A, tenemos que el espacio muestral

es 40, así que la probabilidad de obtener un tornillo defectuoso es =

Fíjate que el suceso contrario de que sea defectuoso es que esté en buenas condi-ciones; habrás advertido que son sucesos complementarios.

Si sabemos que D es por tanto los tornillos no defectuosos que faltan para

“completar” el espacio muestral es 30 y su probabilidad es =

Siguiendo este análisis para las máquinas B y C, hallarás los valores restantes que se muestran en el diagrama.

La probabilidad de elegir al azar un tornillo que esté defectuoso se obtiene a lo largo de los caminos que terminan en D, estos corresponden a los caminos 1, 3 y 5. Cualquiera de los tres caminos es válido. Ahora bien, la “unión” o suma de esos tres caminos dará la probabilidad de extraer un tornillo dañado, dado que estos eventos son incompatibles (extraer un tornillo defectuoso de una máquina es incompatible con extraerlo de cualquiera de las otras dos máquinas), tenemos que P(1er o 2do o 3er)= P(1er)+P(2do)+P(3er) y ¿cómo se obtiene la probabilidad de cada camino? Se obtiene multiplicando la probabilidad de cada una de las ramas que lo integran.

Entonces P= · + · + · = + + =

Esto significa que, de 72 selecciones al azar, probablemente 25 tornillos sean defec-tuosos. Expresa el resultado en porcentaje, ¿cómo harías a partir de ese resultado para determinar la probabilidad de que los tornillos no sean defectuosos?

1040

14

1040 30

4034

13

14

13

512

13

38

112

536

18

2572

13

13

13

34

14

712

512

385

8

Inicio

A

B

C

DNDNDN


243

0,35

0,50

0,15

V

I

C

FPFPFP

Saber más

Observa diversos ejemplos de diagrama de árbol, consultando la siguien-te dirección web: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticori-ta/_private/09Digramas%20de%20arbol.htm

1. Una moneda se lanza 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar salgan dos caras y dos sellos?, ¿cuál es la probabilidad de que salgan al menos dos caras?

2. En un recipiente hay 2 metras rojas, 2 azules y 2 verdes. Se extrae una metra al azar y se devuelve al recipiente y luego se extrae otra. Calcula la probabilidad de que: a) sean rojas; b) sean azules; c) sea una roja y una azul. Calcula la probabilidad de los eventos anteriores considerando que la primera metra no se reemplaza (sin devolución).

3. El 35% de los créditos de un banco son para vivienda; el 50% para industria, y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda; el 25% de los de industria y el 70%, de los de consumo. Calcula la probabilidad de obtener un crédito, elegido al azar.

Diagrama 6

4. Un matrimonio tiene tres hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor sea hombre y la menor mujer?, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean del mismo sexo?

5. Un grupo de participantes, conscientes de los efectos nocivos que produce la adicción al cigarrillo, asumieron la tarea de efectuar un estudio para conocer la tendencia de la comunidad en cuanto a este hábito. Los resultados arrojados por las encuestas realizadas (a 300 personas), se organizaron en el diagrama 7.

Diagrama 7

Hombre 180

Mujer 120

Fuma 130

No FumaH y no f

H y f

M y no f

M y fFuma

No Fuma

50

50

70


244

6. Basándote en diagrama 7, responde:

a) Elegida una persona al azar, halla la probabilidad de que sea hombre.

b) Elegida una persona al azar, halla la probabilidad de que sea hombre fumador.

c) Elegida una persona al azar, halla la probabilidad de que sea mujer no fumadora.

d) Si se ha elegido un hombre, ¿qué probabilidad hay de que sea fumador?

Con base en las probabilidades anteriores ¿qué podrías concluir?, ¿tiene fundamen-to científico la preocupación de los jóvenes?, ¿qué planes de acción tomarías para minimizar este grave problema que afecta a nuestra población?, ¿podrías investigar sobre un medicamento natural que disminuya la adicción al tabaco? Discute con tus compañeros del CCA sobre estas cuestiones.

Epidemiología del tabaco

Las frías cifras del tabaquismo representan personas, seres humanos que se enfer-man y sufren. Y muestran una terrible epidemia extendida a todo el mundo, lo que se interpreta como una pandemia.

Un tercio de la población mundial de 15 años y más fuma, siendo la cantidad total de 1.100 millones de fumadores en el mundo. De estos, 800 millones pertenecen a los países en desarrollo, mientras que en América Latina 150.000 vidas se pierden por año debido al consumo de tabaco.

El hábito de fumar es causa de unas 25 enfermedades comprobadas, siendo sobre todo responsable del 30% de todas las cardiopatías coronarias, el 90% de los casos de cáncer de pulmón, el 70% de cáncer de laringe, el 50% de cáncer en boca, entre otras.

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguien-te dirección web: http://www.pmministries.com/ministeriosalud/tabaco/tabacoin-dex.htm


245

Indaga entre personas de tu edad, que sepas que fuman, el porqué comenzaron a fumar. ¿Qué efectos tiene el consumo de cigarrillos para el organismo?, ¿cómo afecta el cigarrillo a las personas que no fuman? Indica cuál es la finalidad de las leyes vene-zolanas sobre el consumo y producción de cigarrillos. Discute con tus compañeros del CCA, las cuestiones planteadas.

En el año 1988, la Organización Mundial de la Salud (OMS) instauró el Día Mundial sin tabaco, conocido en Venezuela como el Día Mundial de No fumar, que se celebra el 31 de mayo de cada año.

Consolidación de aprendizajesSemana 14

246


Son muchos los que toman el tren de la vida, pero pocos llegan a la última estación. De ti depende hacer el viaje placentero o tortuoso. Recuerda que eres tú el que decide hasta don-de llegar, por ello ¡¡¡felicitaciones!!! Considérate afortunado; tu compromiso y constancia son vir-tudes que te llevarán a donde lo desees, sigue con tu actitud de éxito, y serás un ¡vencedor! Pero recuerda que aún quedan muchos sende-ros por descubrir.

En esta última semana, cerramos con un listado de problemas o ejercicios referi-dos a lo visto durante el semestre y, por supuesto, valoraremos cómo ha sido nuestro desempeño.

¡A divertirse! con esta sopa de letras matemática.

A R E A F F D Y U A C G D P X

T C F D A U J K M D T U P A A

D P R O B A B I L I D A D R G

H E F R W C S A G U K F T A O

R U C U A D R A T I C A I B Y

R O S E T O N E S F T C H O E

E A I D G F W E R Y P T O L C

F R M E S F E R I C A O S A I

S F E T Y B C A T U O R F S T

A R T I N D I C E E G I U X R

R I R R S D G T R S G Z Q F E

C S I F D U O R T U W A D S V

H O A G E F G T C U E R D A T

E S V M O V I M I E N T O S R

G E D O M R V T J K S F T H G

Área - Cuadrática- Cuerda- Esférica- Factoriza- Frisos- Índice- Movimientos- Parábolas- Probabilidad- Rosetones- Simetría- Vértice

Semana 14Consolidación de aprendizajes

247

Autoevaluación: formación Integral

Tómate un momento para que reflexiones acerca de tu actuación; la idea es que lue-go busques alternativas para seguir mejorando tu formación académica y personal: Estas preguntas pueden orientar tu reflexión: ¿consideras que aprovechaste todos los materiales que estuvieron a tu disposición?, ¿qué métodos han sido lo más eficaces en tu aprendizaje de matemática?, ¿consideras que has tenido cambios en el plano cog-nitivo?, ¿qué te falta afianzar en tus saberes? Ahora, tomando en cuenta el aspecto del trabajo en el CCA, ¿cómo ha sido tu integración al grupo?, ¿respetaste a tus compañe-ros cuando había opiniones contrapuestas de un tema?, ¿cumpliste con la entrega a tiempo de las actividades?

Se presentan una serie de ejercicios y problemas; realízalos y luego contrasta los resultados con tus compañeros del CCA.

1. Detecta el error “matemático” que contiene esta frase: “di a mi vida un cambio de rumbo radical, le di un giro de 360º”.

2. Los movimientos que realiza la abeja son:

a) Traslación, rotación, simetría.

b) Simétricos.

c) Traslaciones.

d) Traslación, simetría y rotación.

e) Rotaciones.

3. Dada la figura A en el gráfico 3, describe la transformación isométrica que lleva la figura A en la B, luego la B en la C y así, continúa en orden alfabético hasta la figura F.

Grafico 3

4. Las ruedas de un tractor tienen 1,5m de diámetro, ¿cuántas vueltas darán las ruedas en un terreno de 20m de largo?


248

5. Calcula el área de la zona sombreada, si se trata de un rectángulo y dos círculos, todos tangentes entre sí (10 significa 10cm).

Figura 58

6. A Yuraima le fascina visitar el parque que está cerca de su casa; en él hay un jardín circular, de 1m de ancho, alrededor de una fuente de 2m de radio, que tiene tulipanes, girasoles, margaritas, gardenias y otras flores, Haz un dibujo de la fuente con su jardín ¿qué figura circular es el jardín?

a) Halla el área del jardín.

7. William quiere hacer pasar una pieza circular de cristal de 2,1m de diámetro, por una puerta que mide 0,76m por 2m. ¿Pasará el cristal por la puerta? Razona tu respuesta.

8. Se pidió a tres estudiantes que simplificaran 10 + 50. Sus respuestas fueron 10 · ( 1 + 5 ), 10 + 5 · 2 y 2 · ( 5 + 5) . ¿Cuál es correcta?

9. Para la confección de Jabulani, la pelota diseñada para el Mundial de Sudáfrica 2010, se usaron conocimientos matemáticos, físicos y aerodinámicos, para garantizar que delanteros, mediocampistas y defensores tuvieran un control más estable del juego. Los expertos la consideran casi perfecta dada su esfericidad casi absoluta. Si el volumen de ésta es aproximadamente 5790,9cm3, ¿cuál es el diámetro del balón?

Jabulani, en el idioma isiZulu, significa “cele-brar”. El balón está ornamentado con once colores que simbolizan los 11 jugadores de cada equipo, los 11 idiomas oficiales de Sudáfrica y la unidad de las 11 comunidades sudafricanas.

10. La forma de algunos objetos permite empaquetarlos sin espacios vacíos. Los cereales son empaquetados en cajas de dimensiones 25cm de alto por 15cm de largo y 5cm de ancho, para luego ser embalados en cajas cúbicas para su transporte; si el volumen de ésta es de 421875cm3 ¿cuántas cajas de cereal se disponen en las cajas cúbicas?, ¿cuántas cajas se encuentran distribuidas a lo largo?

11. Simplifica los siguientes radicales

a) b) c) d) 3ab · 6ab3 e) 320

f ) 80 g)

2712

75x4

396y3

16y3

4 200x3

25x

10

Semana 14Consolidación de aprendizajes

249

12. Una pareja, pensando en el porvenir de sus hijos, invierte en el banco Bs.9000 a una tasa de interés r compuesto anual. En dos años aumentará hasta Bs.12000 ¿Cuál es la tasa de interés?

13. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando el método más conveniente.

a) (x-7)2 = 0 b) x2+ 8x +12= 0 c) 3x2- 2x- 3= 0

d) y2-12y + 36 = 49 e) 49m2 -16 = 0

Saber más

Disfruta de una variedad de problemas de razonamiento lógico matemáti-co, consultando la siguiente dirección web: http://platea.pntic.mec.es/jes-cuder/logica.htm

La juventud

La juventud no es un período de la vida, es un estado del espíritu, un efec-to de la voluntad, una cualidad de la imaginación, una intensidad emotiva, una victoria del valor sobre la timidez, del gusto de la aventura sobre el amor.

No se envejece por haber vivido cierto número de años; se envejece cuando abandonas tu ideal. Los años arrugan la cara; la renuncia al ideal arruga el alma.

Las preocupaciones, las dudas, los temores, la desesperación, son enemi-gos que lentamente nos inclinan hacia la tierra y nos vuelven polvo antes de la muerte. Joven es aquél que desafía los acontecimientos y encuentra alegría en el juego de la vida.

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguien-te dirección web: http://dalesomosmas.blogspot.com/2009/01/la-juventud.html

En función de la lectura, escribe un reflexión sobre las ideas que tienes de la juven-tud, sobre cómo la vives y la ves en los otros.

Convéncete de que tienes libertad cuando conviertes en obras la voz incesante de tu noble corazón.

250

Clave de respuestas

Semana 2

Aplica tus conocimientos

1. Puede utilizar para el envío una caja en forma de cubo de 55cm. de lado, pues una caja de estas características tiene una diagonal de 95cm.

2. La superficie de terreno es 30m2

3. Opción D.

4. Usando los números romanos: XIX.

5. Para a y b la probabilidad es de 2/8

6. 2 minutos.

7. Hay 25 triángulos y 4 de ellos son rectángulos.

8. Disfruto con las matemáticas.

9. Un rectángulo, de área 21 y perímetro 20.

10. a) 5; b) 7; c) 7

11. Hay 41 hombres

12. Prisma, cilindro, esfera, cono, cilindro.

Semana 3

Actividades

1. a) Dos vértices A y B

b) Radios

c) Cuerda

d) CD = 20m y OE = 10m

2. Aproximadamente 9424,78cm

3. El área utilizada para sembrar el césped es de 618π aproximadamente 1941,5m2

Semana 4

Actividades

1. • La simetría axial es una isometría (V)

• Una traslación es una función que conserva las distancias (V)

• Cualquier triángulo tiene eje de simetría axial (F)

• Mediante una traslación un rectángulo puede transformarse en un rombo (F)

• Una rotación queda definida si se conoce el ángulo de rotación (F)

• El cuerpo humano tiene simetría axial (V)

251

Clave de respuestas

2. Algunas letras, dependiendo del tipo, son simétricas. Por ejemplo la M, tiene un eje de simetría y es simétrica bilateralmente: al invertirla o verla en el espejo permanece inalterada, mientras las letras J, R, C, no presentan simetría.

Semana 5

Conocimientos previos

Actividades

1. a) Todos los triángulos equiláteros son congruentes (F)

b) Un triángulo isósceles puede ser congruente con uno escaleno (F)

c) Los triángulos que se forman al unir el centro con cada uno de los vértices en un hexágono regular son congruentes (V)

d) Dos triángulos rectángulos cuyos catetos son iguales son congruentes (V)

2. a) Son congruentes por criterio LAL.

b) Son congruentes por criterio LLL.

c) Son congruentes por criterio ALA.

d) Son congruentes por criterio ALA.

3. Ese cuadrilátero es un paralelogramo, porque tiene sus lados opuestos paralelos; la diagonal es común para ambos triángulos ABC y ADC; por el criterio LLL son congruentes y por elementos correspondientes se tiene que el ángulo A es congruente con C.

4. Opción e)

1

4

2

3

56

8

7á n g u l o

a c u t a n g u l o

i s o m e t r i a s

i s o s c e l e sr

t

ción

d

r

cci

n

i

i

etr

a

s

m

hu

so

252

Clave de respuestas

Semana 6

Actividades

1. a) ± 7………………Racional

b) -3,464……………Irracional

c) 5,808……………Irracional

d) 8,485……………Irracional

e) 4,161……………Irracional

f ) -7……………….Racional

g) -3………………Racional

2. La altura del cilindro es de18cm3 y el radio es 3cm3

3. El alcance de la emisora es de 125m.


El diámetro del barril es de 6dm.

Semana 7

Actividades

1. a) 10 · 3 b) 3x2 c) 3 · 5 d) ± 9 e) 5 · 3 f ) 2 · x 9

g) 5m3n4 h) i) j) k) l)

m) n) 3 · x2 · y · y o) 64 · 4 p) 3 · x3 · 9x q) x5

r) 35 · 23

2. En el orden respectivo: 7, 7 · 10, 70, 70 · 10 , 700, 700 · 10


Con un diámetro de aproximadamente 0,115m se almacenan 120 tubos.

Semana 8

Actividades

1.

5

919

817

35

2 5 · 1025

32

xy

3 3 3

12 12

a b a2 b2 2ab (a+b)2 a2+b2

3 2 9 4 12 25 13

5 7 25 49 70 144 74

10 3 100 9 60 169 109

-3 2 9 4 -12 1 13

-5 -4 25 16 40 81 41

253

Clave de respuestas

a) Son diferentes

b) Se debe sumar el término 2ab

2. a) x2+14x+49 b) 4a2+12a+9 c) x2+x+1/4 d) 4z2-4z+1 e) x4-20x2+100

f ) 49-14x4 +x8 g) z2-16 h) x4-25 i) 4a2 -16 j) 8x3 +12x2y 6xy2+y3

k) x3+9x2+27x+27 l) 64a3-96a2+48a-8 m) y6-9y4 +27y2-27


1. a(a+b)

a) a · b y b2

b) a2 - b2

c) a2 - b2, son iguales

Semana 9

Actividades

1. a) 3·(4x+1) b) x10(x10-x6+1+x7) c) 3m·(12m4 +8m2-1) d) (y-5)·(x+3)

2. a) (y-2n).(x-2m) b) (3x-4y).(a-1) c) (2b+1).(3a+1)

3. a) (11a4 -10) (11a4+10) b) (2x2 -4)(2x2+4)

c) (9y3-5y)(9y3+5y) d) (2x2 -8)(2x2 +8)

4. a) (x-7)2

b) No es trinomio cuadrado perfecto.

c) (y3-8)2

d) (x+1)2

e) (z3+13)2

f ) No es trinomio cuadrado perfecto.

g) No es trinomio cuadrado perfecto.

h) (2x+5)2

i) (4x-7)2

j) No es trinomio cuadrado perfecto.

5. a) b) c) 2x d) x e) f ) 4 ( x - 1)( x + 1)

x - 2x - 4

x - 1( x + 1)

1 x -2

254

Clave de respuestas


1. Las dimensiones de las aristas son 4x · (x+1) · (x-2)

2. Las dimensiones de las aristas son x · (x+3) · (x+2)

Semana 10

Actividades

1. a) El discriminante es negativo, no tiene solución.

b) El discriminante es cero, tiene una única solución real x = -1/3

c) El discriminante es positivo, tiene dos soluciones x1 = 0 y x2 = 5/2

d) El determinante es positivo, tiene dos soluciones x1 = 1 y x2 = 1/2

e) El determinante es positivo, tiene dos soluciones x1 = 8 y x2 = -6

f ) El determinante es cero, tiene una única solución x = 2

g) El determinante es cero, tiene una única solución x = 13

h) El determinante es positivo, tiene dos soluciones x1 = y

x2 =

i) El determinante es cero, tiene una única solución x = 5

j) El discriminante es negativo, no tiene solución.

2. El largo es 12,5m y el ancho es 25m.

3. Largo: 7m; ancho: 11m

4. El marco tiene una longitud de 12cm.

5. Los valores de los catetos es 3,7125m y 4,7125m.


El área del camino es 4x2+16x (sin incluir el área de la piscina), si el área es de 30m2 la anchura del camino es 1,39m.

El valor de x es 3,385m.

Semana 11

Actividades

1. a) Es función cuadrática, a= 1, b=-3 y c=0

b) No es función cuadrática.

c) No es función cuadrática.

d) Si es función cuadrática, a= 1, b= 12 y c= 36

e) Es función cuadrática a=3, b=-6 y c=7

13 + 14910

13 - 14910

255

Clave de respuestas

2. a) Es cóncava hacia arriba, porque a>0, su puto mínimo es V(2,-1), corta al eje de las x en los puntos 1 y 3.

b) Es cóncava hacia abajo, porque a<0, su punto máximo es V(0,10), corta al eje x en los puntos + 5 y - 5 .

c) La función es cóncava hacia abajo, porque a<0, su punto máximo V(0.25, 6.13) corta al eje x en los puntos 2 y -1,5

3. Coeficientes a=-1, b=-6 y c=-8, es cóncava hacia abajo con vértice máximo V (-3,-1), eje de simetría x=-3, discriminante es 4 y los punto de corte en el eje x es -2 y -4

4. La altura máxima alcanzada por el proyectil es de 4km.

Semana 12

Actividades

1. La probabilidad de obtener un múltiplo de 5 es de ó 20%

2. a) p(E)= b) p(E)= c) p(E)= d) p(E)=

3. Sea E “sea múltiplo de 3” p(E)= y la probabilidad de obtener un número

múltiplo de 5 es o 20%, el suceso “No obtener un múltiplo de 5” tiene

probabilidad de o 80%. La probabilidad de obtener un número que sea a

la vez múltiplo de 3 y de 5 es ó un 6%

4. p(E)= ó 95% de seleccionar un paciente que no tenga diabetes.


1. a) p(E)=

b) p(E)=

c) La probabilidad del suceso “en los dos lanzamientos se obtiene número

primo” es p(E)= ó un 25% y la probabilidad del complemento es

p(E)= o un 75%

d) La probabilidad de “obtener suma mayor o igual que 5” es p(E)= y

“obtener suma menor que 5” p(E)=

15

1029

829

629

1629

33100

15

45

350

95100

16

512

3129

12561

6

256

Clave de respuestas

Semana 13

Actividades

1. La probabilidad de que al lanzar que salgan dos caras y dos sellos es p(E)=

y la probabilidad que salgan al menos dos caras es p(E)=

2. a) Sean rojas p(E)=

b) Sean azules p(E)=

c) Sea una roja y la otra azul p(E)=

3. La probabilidad de obtener un crédito al azar es de 70%

4. La probabilidad de que el mayor sea hombre y la menor mujer es p(E)=

La probabilidad de que los tres sean del mismo sexo es p(E)=

5. a) La probabilidad es 0,6; es decir un 60% de que sea hombre.

b) La probabilidad es 0,433; es decir, un 43,3% de que sea hombre fumador.

c) La probabilidad es 0,167; es decir, un 16,7% de que sea mujer y no fume.

d) La probabilidad de que sea hombre y fumador es 0,722; es decir, un 72,2%

Semana 14

Conocimientos previos

1116

38

19

19

29

14

14

A R E A F F D Y U A C G D P X

T C F D A U J K M D T U P A A

D P R O B A B I L I D A D R G

H E F R W C S A G U K F T A O

R U C U A D R A T I C A I B Y

R O S E T O N E S F T C H O E

E A I D G F W E R Y P T O L C

F R M E S F E R I C A O S A I

S F E T Y B C A T U O R F S T

A R T I N D I C E E G I U X R

R I R R S D G T R S G Z Q F E

C S I F D U O R T U W A D S V

H O A G E F G T C U E R D A T

E S V M O V I M I E N T O S R

G E D O M R V T J K S F T H G

257

Clave de respuestas

Actividades

1. Cuando giras un punto, recta o figura con un ángulo de 360º estos quedan en su misma posición (permanecen invariables), así que no puedes tener un cambio radical con un giro de 360º; sigues pensando igual, haciendo las mismas cosas.

2. Opción d)

3. Siguiendo el orden alfabético: traslación, traslación, giro, traslación, simetría.

4. Aproximadamente 4 vueltas.

5. El área es 800 - 200π=200(400-π)

6. a) El dibujo representa una corona circular.

El área del jardín es 5π aproximadamente15,71m.

7. Si pasa por la puerta; el lado más amplio de la puerta se corresponde con la diagonal de la misma, la cual mide 2,14m.

8. Las tres son correctas.

9. 22,28cm de diámetro.

10. Se dispone de 225 cajas de cereales en las cajas cúbicas y, a lo largo, se distribuyen 5 cajas de cereal.

11. a) b)5x2 c) 6 · 10 d) 3 · a · b2 · 2 e) 4 5 f ) 2 5 g) 2x 2

12. La tasa de interés es de 15,5%

13. a) x=7 b) x1=-6 y x2=-2 c) x1= y x2 =

d) x1=-1 y x2=13 e) x1= y x2=-

32

3 4

2 + 406

2 + 406

47

47

258

Referencias

Bibliográficas

Amigo, C., Peña, R., Pérez, A., Rodríguez, A, y otros (1996). Matemáticas 3. McGraw H ill/Interamericana de España, S.A.U. Madrid.

Andonegui Zabala, M. (2007). Introducción a la probabilidad. Serie desarrollo del pensamien-to matemático nº 18. Federación Internacional Fe y Alegría.

Becerra, M. V.; Martínez, R.; Pancorbo, L.; y Rodríguez (1996) Matemáticas 2. McGraw Hill/Interamericana de España,S.A.U. Madrid.

El aula en casa (2006). Tomo 7. El comercio. Perú.

Durán, D. y Suárez, E. (2008). Matemática 9. Editorial Santillana.

Matemáticas para todos. El mundo de los movimientos y de las simetrías. Fascículo 4. Fundación Polar.

Stanley, Smith y otros (1992). Algebra. Addison-Wesley Iberoamericana. E.U.A.

Electrónicas

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Congruencias de triángulos. Recuperado el 20 de diciembre de 2009. Disponible en http://132.248.17.238/geometria/t_2_002/t_2_002_m.html

Consideran que jabulani, la pelota del mundial es perfecta. Recuperado el 12 de febrero de 2010. Disponible en http://www.lacapital.com.ar/contenidos/2010/01/31/noticia_0053.html

Criterios de congruencia. Recuperado el 15 de febrero de 2010. Disponible en http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=137527

Definición de congruencia. Recuperado el 21 de diciembre de 2009. Disponible en http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/congruente.html

Definición de probabilidad. Recuperado el 27 de diciembre de 2009. Disponible en http://www.jfinternational.com/mf/probabilidades-definiciones.html

Dinámicas de presentación. Recuperado el 29 de diciembre de 2009. Disponible en http://www.infancia-misionera.com/dinpres.htm

Ejercicios del círculo. Recuperado el 22 de noviembre de 2009. Disponible en http://www.vitutor.com/geo/eso/acActividades.html

El cine de animación. Recuperado el 13 de febrero de 2010. Disponible en http://www.uhu.es/cine.educacion/cineyeducacion/historiacineanimacion.htm

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Factorización. Recuperado el 13 de diciembre de 2009. Disponible en http://www.scribd.com/doc/73301/Select-lect-matematica-20032007:

259

Referencias

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Biografía de José María Velaz. Recuperado el 23 de diciembre de 2009. Disponible en http://www.cerpe.org.ve/boletin/biografia/jvelaz.pdf

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Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes. Recuperado el 28 de di-ciembre de 2009. Disponible en http://www.vadenumeros.es/sociales/probabilidad-com-puesta.htm

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Referencias

Matemática y Razonamieno t Lógico - Radio Fe y Alegría ... · al 6to semestre): Equivale a la...

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