Matematica ii poligonos

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA PITAGORAS - AYAVIRICURSO DE GEOMETRIATEMA: POLIGONOS

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS

UN POLÍGONO CUALQUIERA

FORMULA

1. El número de vértices es igual al número de lados.

2. La suma de los ángulos internos.

3. La suma de los ángulos externos.

4. Número de diagonales trazadas desde un solo vértice

5. Número de diagonales totales.

6. Número de diagonales medias, trazadas de un solo vértice.

7. Número de diagonales medias totales.

8. Número de diagonales trazadas de “m” vértices consecutivos.

V = n

S<i = 180°(n-2)

S<e = 360°

dV = n-3

d t =n(n−3 )2

dMV = n-1

d MT=n( n−1 )2

d m=nm−(m+1)(m+2 )

2UN POLÍGONO REGULAR O EQUIÁNGULO.

FORMULA

9. La medida de un ángulo interno.

10. La medida de un ángulo externo.

m∠i=180º ( n−2 )

n

m∠e=360ºn

UN POLÍGONO REGULAR FORMULA11. La medida del ángulo

central m∠c=360 ºn

EJERCICIOS BASICOS1. Hallar la suma de los ángulos interiores de un

nonágono.Rpta. ……………………

2. Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular.

Rpta.……………………

3. Hallar la suma de los ángulos exteriores de un heptágono.

Rpta.…………………

4. Hallar el valor de un ángulo exterior de un polígono regular de 20 lados.

Rpta.……………………

5. Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un pentadecágono.

Rpta.……………………

6. Cuál es el polígono en el que se pueden trazar seis diagonales desde un vértice?

Rpta.……………………

7. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un undecágono.

Rpta.……………………8. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar

14 diagonales en total? Rpta……………………

9. Calcular la medida del ángulo central de un polígono regular de 12 lados.

Rpta.……………………

10. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono que tiene 7 vértices?a) 14 b) 119 c) 17 d) 120 e) 28

11. ¿En qué polígono el número de diagonales es igual al número de lados?a) Hexágono d) Octógono b) Pentágono e) Nonágonoc) Heptágono

EJERCICIOS DE POLIGONOS1. Calcular el número de diagonales de aquel

polígono en el cual al duplicar su número de lados la suma de las medidas de sus ángulos internos se cuadruplica.a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 8

2. Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 21 diagonales desde 4 vértices consecutivos?a) Octógono b) nonágono c) decágonod) endecágono e) dodecágono

3. En un heptágono regular ABCDEFG, calcular la medida del ángulo formado por la diagonal EG y la bisectriz del ángulo DAG.

a) 60° b) 80° c) d) e)

4. Dado un hexágono convexo ABCDEF tal que: B = 40°, C+ D = 330° y E = 150°, calcular la medida del ángulo que forman las rectas AB y EF al intersectarse.a) 60° b) 70° c) 80° d) 20° e) 100°

5. De siete vértices consecutivos de un polígono se pueden trazar 258 diagonales. Cuantas diagonales se podrán trazar de 14 vértices consecutivos?a) 516 b) 586 c) 416 d) 526 e) 468

6. Se tiene un hexágono equiángulo ABCDEF de tal manera que AB = 2m, BC = 6m, EF = 1 y AF = 9m. Calcular: DE.a) 4m b) 5m c) 6m d) 7m e) 8m

Docente : Dora Anita Mamani Chura UNA PUNO - 1


7. En un hexágono regular ABCDEF, determinar el segmento que une los baricentros de los triángulos ABC y DEF, si AB = 3m.a) 4m b) 3m c) 6m d) 5m e) 4,8m

8. En un polígono la suma de sus números de lados, vértices y ángulos interiores es 36, calcule su número de diagonales.a) 27 b) 20 c) 54 d) 56 e) 44

9. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el cuádruplo de la suma de las medidas de los ángulos exteriores?a) Octógono b) Hexágono c) Decágonod) Endecágono e) Dodecágono

10.¿Cuánto es la suma de ángulos internos de aquél polígono convexo, cuyo número total de diagonales excede en 25 al número de sus ángulos externos?a) 144 b) 1440 c) 4410 d) 10

e) 1620

11.En un hexágono equiángulo ABCDEF se sabe que AB = 3, BC = 4, CD = 2 y DE = 5. Hallar CF.a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

12.Calcular el número total de diagonales de un polígono regular convexo en el cual, el cuadrado de su ángulo central es igual a quince veces la medida de su ángulo interior.a) 14 b) 20 c) 27 d) 35 e) 16

13.Calcular el número de lados del polígono en el cual al disminuir dos lados, su número de diagonales disminuye en 19.a) 6 b) 8 c) 10 d) 9 e) 12

14.En la figura, ABCDEF es un hexágono equiángulo; calcular PF, si PD//EF, PE//CD además AB = 1, BC = 5, CD = 2 y AF = 4.

a) 3b) 4c) 2d) 6

e)

15.La suma de las medidas de los ángulos interiores, centrales y externos de un

polígono regular es igual a 2520°, determinar la medida de su ángulo central.a) 30° b) 45° c) 60° d) 24° e)

36°

16.En un polígono equiángulo ABCDE . . ., cuyo número de lados es n, las prolongaciones de AB y ED se intersecan en L, de modo que el ángulo ALE es obtuso, calcular el mínimo valor de n.a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e)

15

17.Calcular la medida del ángulo interior de un polígono regular sabiendo que excede en 20° a la de otro polígono regular que tiene 3 lados menos.a) 140° b)130° c)160° d)145°

e)153°

18.Se tiene un pentágono convexo ABCDE tal que: AB = CD, BC = DE y A+ C+E = 360°; calcular BQD siendo Q punto medio de AE.a) 30° b) 45° c) 60° d) 75° e) 90°

19.Calcular el número de lados del polígono equiángulo ABCDEF…., si las mediatrices de AB y EF forman un ángulo de 36°.a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 36

20.En un polígono regular ABCDEF…., de n lados. Determinar el menor valor que puede tener el ángulo ACE.

a) 36° b) 60° c) 45° d) e)

21.¿En qué polígono equiángulo se cumple que la suma de las medidas de tres ángulos internos es k veces la medida de su ángulo externo, siendo k mínimo?a) Triangulo b) Cuadrilátero c) Pentágonod) Hexágono e) Heptágono

22.En un polígono de n lados, por cuatro vértices consecutivos se trazan 3n diagonales, decir cómo se llama el polígono.a) Pentágono b) decágono c) icosagonod) dodecágono e) pentadecágono



23.En la figura, los lados AB y CD son paralelos. Si AB = 5 y BC = 12. Hallar la longitud del segmento CD.

a) 15b) 16c) 10d) 18e) 17

24. Calcular el número de diagonales de un polígono convexo de n lados, si al trazar las diagonales desde (n - 4) vértices consecutivos estos hacen un total de (2n + 1) diagonales.a) 17 b) 20 c) 27 d) 35

e) 44

25. En un polígono regular al disminuir en 6 el número de sus lados, la medida de un ángulo externo aumenta en 80. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?a) 5 b) 6 c) 7 d) 10

e) 9

26. Las medidas de los ángulos internos de dos polígonos regulares difieren en 20, las medidas de los ángulos externos suman 100. Calcular el número de diagonales del polígono de mayor número de lados.a) 44 b) 5 c) 20 d) 27 e) 54

4427.Si el ángulo B es obtuso; AM = AN y CQ =

CP; calcular el máximo valor entero de x.

a) 112°b) 91°c) 179°d) 134°e) 149°



b) En la figura mostrada. Calcular x, si: BC = AD.

a) 40°b) 20°c) 30°d) 45°e) 25°

c) Hallar x, si BM es mediana, además AB = 3, BM = 2 y BC = 5.

a) 37°b) 34°c) 53°d) 45°e) 30°

d) Si BC = 2AB, hallar x.

a) 53°b) 37°c) 30°d) 40°e) 60°

e) El ángulo B de un triángulo ABC mide 60°. Sobre los lados BC y AC se toman los puntos P y Q respectivamente, de tal manera que: PB = QA = AB y QAB = PQA; calcular la medida del QPC.

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 60°

f) Si AB = AD = DE = EC. Calcular x.

a)20°b) 8°c)10°d)12°e) 14°

g) Del gráfico, hallar x; si AM = MC.

a) 20°b) 8°c) 15°d) 10°e) 30°

h) En la figura calcular x.

a) 5°b) 9°c) 10°d) 12°e) 14°

i) Si AH = 3 y HC = 8. Calcular x.

a) 54°b) 37°c) 53°d)53/2°e)37/2°

j) Fdsvd

El triángulo ABC es acutángulo; AD = DC, DB = BC. Calcular el mínimo valor entero que toma θ.

a) 23°b) 31°c) 46°d) 30°e) 29°

Calcular x, si EB = BC = CD.

a)40°b)50°c)60°d)70°e) 80°


B

m m C

x

α3α

x

CA

B

θ C

D

B

A


k) El angulo ABC de un triangulo ABC mide 68° y el angulo BCA mide 12°. ¿Cuál es el menor angulo que forman entre si las alturas bajadas de los vértices B y C?

a) 40° b) 60° c) 80° d) 56° e) 112°

l) En un triangulo ABC, se traza la bisectriz interior BP (P en AC), luego por A se traza AQ perpendicular a BP (Q esta en BP). Calcular la medida del angulo C, sabiendo que BAQ – PAQ = 34°

b) 17° b) 34° c) 45° d) 60° e) 68°

m) En un triangulo ABC se traza la ceviana BE, de modo que m∠AEB = 45º y AB = EC. Si ∠BAC = 2∠BCA, calcular m∠

ACB.

a)

45 º2 b)

37 º2 c) 45 d) 53º e)

75 º2

n)

2. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y - 5 = 0.A) x2 = 20y B) x2 = - 20y C) x2 = -12yD) x2 = -16x E) x2 = 16y

3. Determine la ecuación de la directriz de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4,3) y (-1,3) respectivamente.a) x=-1 b) x=7 c) x=-7 d) x=-11 e)

x=-54. Un punto se mueve en el plano, de tal

manera que su distancia al eje Y es siempre igual a su distancia del punto (4,0). Halle la ecuación del lugar geométrico.

a) y2−8 x+18=0

b) y2−8 x+16=0

c) y2+4 y−12=0

d) y2−3 x+16=0

e) y2−3 x−16=0

5. En una parábola de foco F, se traza la cuerda focal BC y se ubica el punto A en la región interior, tal que ABC es un triángulo

equilátero si AB es paralelo al eje focal y BF = 3, calcule AC.A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 10

6. En un triangulo ABC: A(1,1), B(5,3) y C(6,-4) cuyo baricentro es el vértice de una parábola y su foco es el punto (6,0). Hallar la ecuación de la parábola.

a) y2=−4 ( x−4 )

b) y2=4 ( x+2)

c) y2=−2( x+4 )

d) y2=−8( x+2 )

e) y2=8( x−4 )

7. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 + 8y = 0 que es paralela a la recta 3x + 4y - 7 = 0.

A) 10 B) 11 C) 12 D)

252 E)

272

8. Calcular la ecuación de la tangente de pendiente -1 a la parábola y2 - 8x = 0.A) x + y = 0 B) x + y + 3 = 0C) x + y + 2 = 0 D) x + y = 1E) x + y + 4 = 0

9. Determine el valor máximo de la función

f ( x )= {( x , y )∈R2/ x2+6 x+2 y+5=0 }a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

10.Determinar el máximo de la función si, f(x) = 6 + x – x2.A) 2 B) 4 C) 6 D) 7,5 E) 6,25

11.En la figura F y L son el foco y la directriz, respectivamente de la parábola P, si ABCD

es un cuadrado y FB = 4AF, calcule

AEED .

a)

14

b) 1

c)

12

d)

13

e)

32

12.Calcule el arco TB si O, V y L



son el foco, vértice y directriz respectivamente de la parábola P.

a) 30ºb) 45ºc) 53ºd) 25ºe) 37º

13.Del gráfico, el proyectil que parte del origen describe una trayectoria parabólica, cuya altura máxima es V(4,5) e impacta en la ladera de la colina en el punto A, calcular las coordenadas de A.

a)(265 ,

9120 )

b)(245 ,

8516 )

c)(206 ,

7520 )

d) (2,5)e) (6,5)

14.Del grafico CM es el lado recto de la parábola CV = MV, m∠CMV = 30°, V =(1, 0) y el área de la región sombreada es 94

√3 cm2. Hallar la ecuación de la parábola.

a) ( x+2 )2=3√3 yb) ( x−1 )2=3√3 yc) ( x−1 )2=−2√3 yd) ( x+3 )2=−3√2 ye) ( x−1 )2=3√2 y

15.Hallar la ecuación de una parábola cuyo foco es el centro de la circunferencia:

x2+ y2=81 , sabiendo que ella determina en el diámetro que esta en el eje X tres segmentos de igual longitud.

a) x2=3(2 y+3 )

b) x2=−2( y+1)

c) x2=−3(2 y−1)

d) x2=2(2 y−3)

e) x2=−4 (2 y+5 )

16.Hallar la ecuación de la parábola P, si F y V son el foco y el vértice.

a)

b)

c)

d)

e)

17.Se tiene una circunferencia C:

x2+ y2+9=10 y , hallar la ecuación de la parábola donde su eje focal es el eje Y, el vértice es el centro de la circunferencia y su foco es un punto de la circunferencia.

a) x2=−2 y+1

b) x2=−2( y+4 )

c) y2=16( x−2 )

d) x2=−16( y−5 )

e) y2=−4 ( x+2)

18.Hallar la ecuación de la recta L, que es la directriz de la parábola. Siendo F el foco.

a) 2x - y -8 = 0b) 4x + 3y – 12 = 0c) x – 2y +8 = 0d) 5x + 4y + 6 = 0e) 3x – 4y + 12 = 0

19.En la figura hallar la ecuación de la recta L sabiendo que es la directriz de la parábola cuyo foco es F.


L

143°

Y

X

(5,3)

FO

Proyectil

V

Y

X

(8,7)

A

MC

O

Y

XV

Y

X

(-2,3)

F

O


a) 3y + 4x + 9 = 0b) 3x + 4y + 10 = 0c) 4y - 3x - 9 = 0d) 5y - 3x - 11 = 0e) 2y +3x +8 = 0

20.Una antena de radar se construye tal que cualquier sección transversal que pasa por su eje es una parábola. Suponga por su eje es una parábola. Suponga que el receptor se coloca en el foco. Hallar la ubicación del receptor, si la antena tiene un diámetro de 5m en la abertura y 1m de profundidad.

a)(0 , 2415 )

b)(2 , 1511 )

c)(2112 , −2)

d)(0 , 2516 )

e) (0, -1)

21.El vértice de la parábola x2=20 y , coincide

con el centro de la circunferencia que es tangente a la directriz de dicha parábola. Calcular la ecuación de la circunferencia.

a) x2+ y2=16

b) x2+ y2=9

c) x2+ y2=25

d) x2+ y2=36

e) x2+ y2=81

22.Hallar la ecuación de una parábola, cuyo lado recto pertenece al eje Y; y si los puntos de intersección de la parábola con los ejes coordenadas son (-5,0) y (0,4).

a) ( x−10 )2=16 ( y+4 )

b) ( x+2 )2=−3 ( y+2 )

c) ( x−6 )2=12 ( y−6 )

d) ( x+8 )2=−4 ( y+12 )

e) ( x−12 )2=16 ( y−4 )

23.Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva representativa de la función determinada por la ecuación y = x2 en el punto P(2,4).a) 4x – y – 4 = 0b) 3x + 2y – 6 = 0c) 2x – 3y + 8 = 0d) 4x – y + 5 = 0e) 3x – 2y – 5 = 0

24.Determinar la ecuación de la tangente a la

parábola y2+12 x+12=0 , paralela a la recta

que une el foco de la misma curva con un

punto de ella de ordenada 3(1+√5 ).a) 2x + y – 5 = 0b) 3x – 4y + 2 = 0c) 4x + 2y + 1 = 0d) x + 3y – 3 = 0e) 2x – y – 1 = 0

25.En la figura, calcular la ecuación de la circunferencia, si L(3,0) y A(13, 0).

a) ( x−5 )2+( y+3 )2=61

b) ( x+4 )2+( y−3 )2=61

c) ( x+8 )2+ ( y−6 )2=61

d) ( x−6 )2+( y+8 )2=61

e) ( x−8 )2+( y+6 )2=61

26.Del grafico CM es el lado recto de la parábola CV = MV, m∠CMV = 30°, V =(1, 0) y el área de la región sombreada es 94

√3 cm2. Hallar la ecuación de la parábola.

f) ( x+2 )2=3√3 yg) ( x−1 )2=3√3 yh) ( x−1 )2=−2√3 yi) ( x+3 )2=−3√2 y


53°

Y

XL A

O

MC

O

Y

XV


j) ( x−1 )2=3√2 y

27.Se desea construir la puerta de una iglesia de forma parabólica con eje vertical cuya base es de 8 m. calcular la altura de la puerta si el foco debe encontrarse a 3m de la base.a) 3 mb) 4 mc) 6 md) 5 me) 8 m

Calcular el área de la región sombreada.

a) 30 u2.b) 28 u2.c) 25 u2. d) 27 u2.e) 35 u2.

28.En la figura T es punto de tangencia, el área del semicírculo es 50 π u2, L es el eje focal de la parábola P, el eje X es su

directriz y

TI3

=TO2 . Hallar la ecuación de la

parábola.

a) ( x+3 )2=16( y−4 )

b) ( x−3 )2=−12( y−4 )

c) ( y+1 )2=4 ( x−3 )

d) ( x−3 )2=16 ( y−4 )

e) ( y+2 )2=8( x−1 )

29.Un punto P(x,y) se mueve de tal manera que su distancia al eje Y es el doble de su distancia al punto A(3,1). Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe.

a)

( x−1 )4

2

+( y−2 )3

2

=1

b)

( x−4 )3

2

+( y−1 )4

2

=1

c)

( x−2 )3

2

+( y−3 )4

2

=1

d)

( x+3 )4

2

+( y+2 )3

2

=1

e)

( x−4 )4

2

+( y−1 )3

2

=1

30.Hallar el volumen del cono recto cuyo

vértice es V = (0, √3 , 0) cuya base es la región limitada por el lugar geométrico:

x2+ y2−36=0 .

a) 12√3 π u3

b) 124√3π u3

c) 15√2π u3

d) 16√2π u3

e) 14√3π u3

1. El espejo de faro de un auto tiene la forma

de una parábola en su sección transversal.

Hallar el parámetro de esta parbola, si el

diámetro del faro mide 20 cm. Y la

profundidad 15 cm. El eje OX es el eje del

faro y el origen se ubica en la parte

profunda del espejo.

Rpta.:………

2. El cable de un puente colgante esta

soportado por dos postes de 15m de alto y

situadas a 120m una de la otra. Si el punto

mas bajo del cable esta a 3m sobre el piso

del puente, hallar la longitud de una barra

que esta a 30m a la derecha del punto

mas bajo del cable y que va, en forma

vertical, del cable al piso del puente.


T

LIP

O

Y

X

V

F

(2,9)

(-2,0)

Y

X

V(0,-4)


Rpta.:

……………………………

3. Hallar la ecuación de una parábola cuyo foco es el centro de la circunferencia x2 + y2 = 81, sabiendo que ella determina en el diámetro que esta en el eje X tres segmentos de igual longitud.

a) x2=3 (2 y−2 ) b) x2=3(2 y+3 ) c)

x2=3(2 y−3 )d) x2=3(2 y+6)e) N.A.

4. En un triangulo ABC, A(1;1), B(5;3) y C(6;-4) cuyo baricentro es el vértice de la parábola y su foco es el punto (6,0). Hallar la ecuación de la parábola.

a) x2=8( y+4 ) b) x

2=8( y−4 ) c) N.A.

d) y2=8( x−4 ) e)y

2=8( x+4 )

31.En la figura el triangulo OLA es equilátero

de lado 8√3 , hallar la ecuación de la parábola de vértice V.

a) x2−5√3 x−9 y−6=0

b) x2−6√3 x+9 y−6=0

c) x2−7√3 x−9 y−6=0d) x

2−8√3 x+9 y−6=0e) x

2−9√3 x−9 y−6=0

5. Halle la ecuación de una parábola, cuya bisectriz es la recta x + 5 = 0, su eje focal pasa por el punto (5,3) y una cuerda focal es determinada por la recta 5x-6y+3=0.

Rpta.: .........................................................................

32.Hallar las coordenadas del foco de la parábola de eje horizontal que pasa por los puntos A(1,2), B(5,3) y C(11,4).

33.Una parábola de eje horizontal pasa por los puntos A(4,5), B(-2,-1) y C(4,-3). Hallar la ecuación de la cuerda focal paralela a la recta L: 3x + 2y = 8.

34.En una parábola se ubican en forma consecutiva los puntos A, B y C, tal que el foco de dicha parábola es el baricentro de la región triangular isósceles ABC de base

AC. Si AC =

4 √65 , calcule la longitud de la

mediana relativa a BC.

a) 2 b) 3 c)

32 d)

52 e)

72

35.Según el grafico, el eje X es la directriz de la parábola P, y L es su eje focal. Si AB = 0.5, AF = 1 y FE = 3, determine la ecuación de la parábola.

3( y−3)=( x−3 )2

3( y−34 )=(x−3√34 )2

3( y−32 )=(x+√3 )2

3( y−32 )=(x−√3 )2

3( y−32 )=(x−2√3 )2

36.en la figura se muestra una parábola cuyo eje coincide con el eje de las ordenadas, su foco es el punto (0;0) y su vértice es el punto (0;-3). La recta L que pasa por el punto A, forma con el eje de las abscisas un ángulo que mide 45°. Calcular AB.

a) 24 √2b) 25√2c) 24 √3d) 26√3e) 21√2


A

BO

L

A

Matematica ii poligonos

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