“MATEMATICA FINANCIERA”SESIÒN II

Prof. CPC Eduardo Espinoza Tello

ANUALIDADES SIMPLES, VENCIDAS Y FACTORES FINANCIEROS

El dinero proporciona algo de felicidad. Pero a partir de cierto momento Solo proporciona algo más de dinero Neil Simon Objetivos Al finalizar el estudio de este capitulo el alumno podrá: Identificar, definir y explicar los diferentes tipos de anualidades. Identificar situaciones en donde se apliquen las anualidades. Plantear y resolver problemas de anualidades vencidas, anticipadas y

diferidas

Introducción Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente

iguales realizados en intervalos de tiempo iguales. El termino anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año, sin embargo, esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser mensual, quincenales, CTC.

Son ejemplos de anualidad el cobro quincenal del sueldo, el pago mensual de la renta de la casa, los abonos mensuales para pagar una computadora comprada a crédito, el pago anula de la prima de seguro de vida, los dividendos semestrales sobre acciones, ctc.

El concepto de anualidad es de gran importancia en matemática financiera ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos en intervalos iguales de tiempo, en vez de pago único realizado al final del plazo.

Los términos de renta, pago periódico, abono u otros, pueden utilizarse en lugar de anualidad.

El tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos se llama periodo de pago o periodo de renta. El periodo de pago puede ser anual, semestral o mensual, entre otros.

Al tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último se llama plazo de anualidad.

Ejemplo Una persona compra un televisor pagando 12 anualidades

de $485 cada una. Identifique la anualidad, el periodo de pago y el plazo de la anualidad.

Solución La anualidad, renta o abono es de $485 El periodo de pago es un mes, y El plazo de la anualidad es un año

Existen cuatro formas de clasificar las anualidades: Utilizando el tiempo como criterio de clasificación, pueden ser: Una anualidad cierta, es aquella en la cual los pagos comienzan y

terminan en fechas perfectamente definidas. Por ejemplo, al comprar un televisor a crédito en una tienda comercial, se establecen de antemano las fechas de iniciación y termino del crédito.

Una anualidad contingente, es aquella en la cual la fecha del primer pago, la fecha del ultimo pago o ambas dependen de algún suceso que se sabe ocurrirá, pero no se sabe cuando. Por ejemplo el contrato de un seguro de vida establece que la suma asegurada se entregue al beneficiario del seguro en 12 pagos mensuales iguales, Se sabe que los pagos deben efectuarse al morir el asegurado, pero ¿Cuándo va a morir?

Utilizando los pagos o abonos como criterio de clasificación, pueden ser:

Las anualidades vencidas, llamadas también anualidades ordinarias, son aquellas cuyos pagos se realizan al final de cada periodo de pago.

En cambio las anualidades anticipadas, son aquellas cuyos pagos se realizan al principio de cada periodo de pago.

Utilizando los intereses como criterio de clasificación, pueden ser: Una anualidad simple, es aquella cuyo periodo de pago coincide con el

periodo de capitalización de los intereses. Por ejemplo, realizar depósitos mensuales e una cuenta de ahorros que paga intereses capitalizables cada mes.

Una anualidad general, es aquella cuyo periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de intereses. Por ejemplo, cuando se realizan depósitos quincenales en una cuenta de ahorros cuyos intereses se capitalizan cada mes.

Por ultimo, si se utiliza el momento de iniciación de la anualidad como criterio de clasificación, pueden ser:

La anualidad inmediata, es aquella en la que no existe aplazamiento alguno de los pagos, es decir, los pagos se realizan desde el primer periodo de pago.

Una anualidad diferida, es aquella en la cual los pagos se aplazan por un cierto número de periodos. Por ejemplo, se compra, hoy, a crédito, una bicicleta estacionaria, la cual se pagara mediante 12 abonos mensuales y el primer pago se llevara a cabo después de 3 meses.

ANUALIDADES VENCIDAS

Formula F =A (1 + i )^n – 1 i Donde: F = Valor futuro A = Anualidad

Ejercicios 1.- Suponga que se depositan S/.1000 al final de cada mes en un banco

que paga intereses de 1.5% mensual capitalizable cada mes ¿Cuál será el monto al finalizar un año?

A = 1000 i = 1.5% mensual = 0.015 por mes n = 12 meses

F = 1000 (1 + 0.015)^12 – 1 0.015

F = 1000 1.195618171 – 1 0.015 F = S/. 13041.21

2.- El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Planea depositar S/.2000 en una cuenta de ahorro al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa de interés es de 9%

a.- ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años? b.- ¿De cuanto serán los intereses? a.- A = S/.2000 i = 9% anual = 0.75% mensual n = 8 años x 12 meses/año = 96 meses

F = 2000 (1 + 0.0075)^96 – 1 0.0075 F = 2000 2.048921228 - 1 0.0075 F = S/.279712.33 b.- En años 8 papá deposita un total de S/.2000 por mes en 96 meses =

S/.192000 Por tanto, el interés ganado será: i = 279712.33 – 192000 = S/.87712.33

Ejercicios propuestos: 1.- Con referencia al ejercicio anterior suponga

que el depósito de S/.2000 mensuales se efectúa únicamente por 5 años y el resto del tiempo se deposita S/.3000 mensuales

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD Se define como la suma de valores presentes de todos los pagos.

Ejemplo, suponga que una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagos mensuales de S/.1183.72 cada uno, que incluyen intereses a 3% mensual con capitalización cada mes. Se desea obtener el valor presente de los pagos.

Donde P es el valor presente de los pagos.

Si la fecha focal se localiza en el momento actual, entonces se puede formar la siguiente ecuación de valor:

P = 1183.72 + 1183.72 + 1183.72 + 1183.72 1.03 1.03^2 1.03^3 1.03^4 La expresión anterior se puede escribir como: P = 1183.72 (1.03)^-1 + 1183.72 (1.03)^-2 + 1183.72

(1.03)^-3 + 1183.72 (1.03)^-4 P= S/.4400

S/.4400 es el valor actual de 4 pagos mensuales de S/.1183.72 cada uno. S/.4400 es el capital pedido en préstamo por el deudor.

El valor presente de una anualidad admite dos interpretaciones, Suponga que en lugar de pagar una deuda de S/.4400 se deposita este dinero en una cuenta que paga 3% mensual capitalizable cada mes; el valor presente se interpreta la siguiente forma: S/.4400 depositados a 3% mensual capitalizable cada mes producirán un monto exactamente igual que el obtenido al depositar S/.1183.72 cada mes durante 4 meses:

F = 4400 ( 1+ 0-03)^4 = S/.4952.24

F = 1183.72 (1 + 0.03)^4 – 1 0.03 F = S/.4952.24 Lo anterior indica que el valor presente de una anualidad se puede

obtener mediante la formula de interés compuesto, calculando el valor presente del monto de la anualidad.

La segunda interpretación de valor presente de una anualidad es el siguiente:

El valor presente es la cantidad que se debe invertir en este momento para efectuar cierto número de retiros en el futuro. Esto es, si una persona invierte en este momento S/.4400 a 3% mensual capitalizable cada mes, entonces podrá retirar S/.1183.72 cada mes, durante 4 meses, al final de los cuales la cuenta estará en ceros.

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA Considere una anualidad vencida en donde A es el pago o deposito

hecho al final de cada uno de n periodos.

Formula: P = A 1- (1 + i )^ - n i La ecuación es la formula para obtener el valor presente o valor actual

de una anualidad vencida.

Ejemplos 1.- ¿Cuál es el valor presente de S/.5000 depositados en una cuenta al

final de cada trimestre durante 4 años, si la tasa de interés es de 14% capitalizable en forma trimestral?

A = 5000 i = 14% anual = 14/4 = 3.5% trimestral n = 4 años = 4 trimestres / año = 16 trimestres

P = 5000 1- (1 + 0.035)^- 16 0.035 P = 5000 1 – 0.576705911 0.035 P = S/.60470.58

El valor actual de la anualidad es S/.60470.58 Esto significa que al depositar esta cantidad de dinero en este momento, se tendrá un monto, al final de cuatro años, igual al que se obtendrá depositando S/.5000 cada trimestre durante 4 años, siendo la tasa de interés de 14% capitalizable cada trimestre, en ambos casos. La otra interpretación es la siguiente: si se depositan S/.60470.58 a una tasa de interés de 14% capitalizable cada trimestre. Entonces se pueden retirar S/.5000 cada trimestre durante 4 años.

2.- Raquel desea jubilarse en este año y cree que una mensualidad de S/.10000 durante los siguientes 20 años será suficiente para vivir bien. ¿Cuánto dinero debe tener en su fondo de retiro para poder retirar la cantidad deseada, sabiendo que este le paga 12% anual capitalizable cada mes?

A = 10000 i = 12% anual = 1% mensual n = 240 meses

P = 10000 1 – (1 + 0.01)^ - 240 0.01 P = S/.908194.16

S/.908194.16 depositados a 12% capitalizable cada mes producirán 240 pagos mensuales de S/.10000 cada uno; es decir, un total de S/.2 400 000. La diferencia entre el valor actual y la cantidad total recibida es el interés compuesto ganado.

Interés compuesto ganado = 2 400 000 – 908194.16 = S/.1 491 805.84

Ejercicios propuestos: 1.- Un distribuidor de automóviles ofreció a un cliente un coche nuevo

mediante un pago inicial de S/.28000 y 30 pagos mensuales de S/.3650 cada uno. Si se carga una tasa de interés de 2.5% mensual capitalizable mensualmente, encuentre el valor de contado del automóvil.

2.- El Sr. Jiménez desea vender su casa ubicada en la ciudad de los Ángeles, California y recibe las tres ofertas siguientes:

1º oferta: 350000 dólares de contado 2º oferta: 100000 dólares de contado y 10200 dólares al mes

durante 30 meses 3º oferta: 11000 dólares al mes durante 3 años ¿Tomando como base una tasa de interés de 0.6% mensual convertible

cada mes ¿Cuál de estas ofertas es la mas ventajosa para el Sr. Jiménez?

3.- ¿Cuanto se tiene que depositar cada quincena en una inversión que gana el 8.55% capitalizable quincenalmente para tener S/.200000 al final de 5 años?

4.- La Sra. Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por S/.650000. Ella escogió no recibir todo el dinero en una sola exhibición, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se encuentra invertido a 18% anula capitalizable cada mes, ¿Qué cantidad mensual recibirá la señora Aguilar?

5.- ¿Cuántos depósitos mensuales de S/.1239.66 cada uno se deben hacer para acumular un total de S/.100000, si se ganan intereses mensuales de 1.83% mensual capitalizable cada mes?

6.- Se efectúan 10 depósitos semestrales en una cuenta de ahorros del Banco Hipotecario por S/.100 cada uno, durante 5 años, a la tasa nominal del 10% nominal anual ¿Cuál es el monto al final del quinto año?

7.- Durante 20 años un ejecutivo de una empresa industrial ha depositado la suma de S/.1100 trimestralmente, a la tasa del 9% de intereses nominal anual ¿Cuál es el monto acumulado a la fecha?

8.- Una persona alquilo su departamento a 5 años, con la condición que pague S/.900 por trimestre vencido y se deposite en una cuenta de ahorros que pague el 8% nominal anual ¿Hallar el monto a 05 años del contrato de alquiler.

9.- Por la venta de una casa valorizada en $40000 se tienen las siguientes ofertas:

a.) $10000 al contado y el saldo en 6 pagos trimestrales de $5500 cada uno

b.) 20 pagos mensuales de $2200 cada uno efectuando el primer pago de inmediato, tasa de interés 12% nominal anual.

¿Qué oferta conviene?

CASO: ACEROS Compañía de Aceros S.A.vende ha treinta días después de haber

recibido la mercadería. No se cargan intereses por treinta días. Sin embargo, si el pago no se recibe al vencimiento, se emite una nota de cargo por intereses.

Constructora Zeta, uno de los mayores clientes de la empresa, tuvo retrasos durante 1998, debido a la recesion.

A enero de 1999, Zeta debía S/.100 millones por concepto de notas de crédito. La empresa solicito que se mantenga los treinta días en las compras, pero que los S/.100000 millones se retuvieran hasta el 31/12/2000. Incluso S/.50000 millones adicionales por cobrar fueron convertidos en notas de cargo al 01/07/00

El interés cargado fue de 20% nominal anual capitalizable trimestralmente durante el año 1999 y al 16% nominal anual capitalizable semestralmente durante el año 2000

La posición financiera de Zeta mejoro y el Gerente financiero de Aceros S.A. vio conveniente efectuar un arreglo y retirar las notas de cargo.

Ambas empresas están de acuerdo en consolidar las notas de cargo para ser canceladas en dos años, con pagos semestrales, comenzando el 1/07/01. Una tasa de 16% capitalizado semestralmente puede ser utilizada

Determine al 31/12/00 cual fue el saldo deudor (capital mas intereses) de las dos notas de cargo y programe la amortización.

PRESTAMOS AMORTIZABLES EN CUOTAS AMORTIZACIONES Se entiende por amortización la devolución del préstamo recibido. El

termino amortización proviene de la palabra francesa “amort” que tiene un significado relacionado con la muerte; al amortizar una deuda la estamos cancelando (matando).

A la amortización y al pago de intereses se les conoce como cuadro o programa de amortización.

* Amortización constante (pagos decrecientes) Préstamo (Principal) : 10000 Plazo : 5 años Tasa de interés : 12% anual TEA Amortización : 10000 / 5 = 2000

Año Saldo Interés Amortización Total pago 1 10000 1200 2000 3200

2 8000 960 2000 2960

3 6000 720 2000 2720

4 4000 480 2000 2480

5 2000 240 2000 2240

* Amortización con pagos iguales Préstamo : 10000 Plazo : 5 años Tasa de interés (TEA) : 12% anual TEA Formula R = ____M_____ 1 – (1 + i) ^n i R = 10000 __R = 2

774.10 1 - (1 + 0.12)^-5 0.12

Año Saldo Interés Amortización Total pago

1 10000 1200 1574.10 2774.10

2 8425.90 1011.11 1762.99 2774.10

3 6662.91 799.55 1974.55 2774.10

4 4688.37 562.60 2211.49 2774.10

5 2476.87 297.22 2476.17 2774.10

* Amortización con periodo de gracia normal Préstamo : 10000 Plazo : 5 años Tasa de interés : 12% anual TEA Periodo De gracia normal : un año Año Saldo Intereses Amortización Total pago 1 10000 1200 0 1200

2 10000 1200 2092.34 3292.34

3 7907.66 948.92 2343.42 3292.34

4 5564.24 667.71 2624.63 3292.34

5 2939.61 352.75 2939.61 3292.34

* Amortización con periodo de gracia total Préstamo : 10000 Plazo : 5 años Tasa de interés : 12% anual TEA Periodo De gracia normal : un año Año Saldo Amortización Interés Cuota 1 10000 0 0 0

2 11200 2343.43 1344 3687.43

3 8856.57 2624.64 1062.79 3687.43

4 6231.94 2939.59 747.83 3687.43

5 3292.34 3292.34 395.08 3687.43

Ejercicios propuestos

1.- El Banco Surmed le ha otorgado un préstamo por S/.25000 a una TEA del 24% con cuotas trimestrales durante 2 años. Por conceptos de comisiones y portes, el Banco carga S/.18 a cada cuota; Se pide:

Calcular el valor de la cuota considerando las cargas de comisiones y portes.

Elaborar el cuadro de amortización con cuotas iguales Calcular el cuadro de amortización con un periodo de gracia normal Calcular el nuevo cronograma de pago si después de pagar la segunda

cuota, la TEA se incrementa a 26%

CASO: EL CARRITO DESEADO Devin, desde que era estudiante universitario, ha soñado con tener su

propio auto. El actualmente se desempeña como ejecutivo de una empresa pesquera y le ha solicitado a Distribuidora Vehiculin, que le proforma la compra del vehiculo modelo WX del año 2009.

Julián, representante de ventas de Vehiculin, le ha informado que la empresa no otorga créditos en forma directa, pero si le podía ayudar con el tramite necesario para poder obtener el crédito promocional automotriz que esta publicitando y ofreciendo el Banco ABC

Julián le entrego la pro forma de venta que además de las características del vehiculo, detallaba lo siguiente:

Valor al contado: S/.18,750.00 Crédito: Cuota inicial 20%, el saldo en 24 cuotas mensuales, a una tasa

efectiva anual (TEA) de 14%. Las cuotas son adelantadas. Pedro funcionario del Banco, se sentó frente a su computadora y

procedió a imprimir y entregar el cronograma de pagos. Para procesar el crédito, le solicito a Devin llenar los formatos de solicitud del Banco y fotocopias de varios documentos.

Se pide: ¿Cuál fue el cronograma de pagos por la operación al crédito?

Preparar el cuadro de amortización con pago vencido