matematica-financiera-5482-completo

Matemática financieraAutor: Jesús de la Caridad Mesa Oramas

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Presentación del curso

En este curso, a través de sus 14 clases se resumen los aspectos fundamentalesabordados por la Matemática Financiera, cuyos contenidos pueden agruparse en lostres bloques siguientes: generalidades acerca de las finanzas que a partir de sudefinición analiza la esfera de acción de esta disciplina así como los conceptos yprincipios que la sustentan, un segundo grupo destinado a presentar los métodospara las operaciones financieras que devengan interés, concluyendo con una seccióndestinada a los métodos utilizados para cuantificar las operaciones de renta yamortización de adeudos.

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1. Generalidades sobre las finanzas

Las finanzas pueden definirse como la especialidad de las Ciencias Económicas quese encarga del estudio de la disponibilidad de recursos así como la eficiencia yeficacia en el manejo de éstos.

De la definición anterior se desprende el rol protagónico de esta disciplina comopuente entre la empresa y el entorno (mercados de activos y capitales), así como elcarácter dinámico y la dependencia temporal de su comportamiento, quegráficamente puede representarse a través del flujo de tesorería, el cual se muestraen la figura 1.

En correspondencia con todo lo expuesto, el papel del directivo financiero, es el deactuar como un intermediario entre las operaciones de la empresa y el entorno, porlo cual debe entender como actúan los mercados, lo que equivale a comprendercomo serán valorados los activos en el transcurso del tiempo.

Por tanto, el trabajo de los especialistas en finanzas se encuentra encaminado abrindar respuesta a las dos interrogantes siguientes:

- ¿Cuánto invertir y en qué?, cuya respuesta es la decisión de inversión.

- ¿Cómo conseguir los fondos para las inversiones?, que tiene como respuesta ladecisión de financiación.

De todo lo expuesto puede afirmarse que la elaboración de estrategias financierases «el arte de pronosticar el comportamiento de los flujos de recursos financieros».

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2. Conceptos generales

Riesgo. Es una condición desventajosa cuya tendencia es conocida, pues existenantecedentes de donde se encuentran las dificultades y cual es el beneficio,permitiendo la determinación de una probabilidad histórica.

Riesgo financiero. Es el riesgo de no estar en condiciones de cubrir los costosfinancieros y est` asociado al crecimiento de los costos financieros fijos de laempresa, a cambio de lo cual se obtiene un incremento superior al pronosticado porel modelo lineal en las ganancias por acción.

Riesgo operativo. Es el riesgo de no estar en capacidad de cubrir los costos deoperación y está asociado al incremento de los Costos Fijos de la empresa, a cambiode lo cual las utilidades antes de intereses e impuestos experimentan un incrementosuperior al pronosticado por el modelo lineal con un incremento en las ventas.

Incertidumbre. Es un caso particular de riesgo que ocurre cuando no se tienenantecedentes históricos de las probabilidades de ocurrencia de eventos osituaciones y por tanto no se puede determinar una probabilidad de ocurrencia objetiva.

Costo de oportunidad. Rentabilidad del mercado de capitales a la que renunciapara invertir en otra alternativa.

Mercado de capitales. Mecanismo a través del cual se puede transferir riqueza através del tiempo.

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3. Principios Financieros y su impacto

Primer principio. Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad monetariamañana.

Este principio se fundamenta en dos hechos relevantes:

- Las unidades monetarias pueden entregarse al banco e incrementar el montoinicial a través del interés obtenido como pago por la postergación de su empleopor parte del propietario de esos recursos en otras transacciones de tipo comercialo privadas.

- La políticas Macroeconómicas de los gobiernos, tienden a mantener una emisiónmonetaria superior a sus ingresos, aunque sea en una escala moderada, comoconsecuencia de los cual se presenta la inflación, que no es otra cosa que ladisminución en el transcurso del tiempo del poder adquisitivo de las unidadesmonetarias.

Por tanto, este principio se refiere a la transferencia de riqueza en el tiempo, esdecir, al cambio de unidades monetarias del presente por unidades monetarias delfuturo.

Segundo principio. Una unidad monetaria segura vale más que una con riesgo.

Este principio se fundamenta en el hecho práctico de que la mayoría de losinversionistas evitan el riesgo, cuando pueden hacerlo, sin sacrificar la rentabilidaddel negocio.

De lo expuesto puede afirmarse que este postulado, establece la necesidad detransferir el riesgo. En la práctica, la materialización de este principio se lograr através de las instituciones del seguro, compra de opciones, etc.

Como resultado de estos dos principios en la estrategia financiera la selección deproyectos de inversión se utiliza el criterio de que los índices de rentabilidad,incluidos los pagos correspondientes al seguro sean iguales o superiores al interésbancario alcanzado por el monto requerido para la inversión.

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4. Recursos Financieros

Los recursos financieros pueden clasificarse atendiendo a diversos aspectos, perouna forma de hacerlo muy importante es en correspondencia con la liquidez(capacidad inmediata de pago) que representan.

Bajo este criterio pueden identificarse las siguientes cinco categorías:

- Efectivo (en caja o banco): es el recurso financiero que obviamente proporcionala mayor liquidez. Tiene asociado el riesgo de la inflación y de las variaciones en eltipo de cambio.

- Obligaciones de pago de corto plazo: ocupa el segundo lugar en términos deliquidez y está constituido por los diferentes documentos que avalan la deudacontraída con la entidad por personas naturales o jurídicas. Tiene asociado el riesgode la insolvencia de los deudores.

- Obligaciones de pago a largo plazo: ocupan el tercer lugar en cuanto a lafactibilidad de aportar liquidez, ya que la disponibilidad de esos recursos es másdistante que en el caso anterior. En este caso el riesgo existente, además de lainsolvencia (cuya probabilidad es superior al caso anterior ya que se requiere de unmayor tiempo para efectuar el cobro) es la inflación y el tipo de cambio.

- Inventarios: Normalmente los inventarios se consideran los activos con mayorinercia en el aporte de liquidez, atendiendo a que su venta mayorista puede demorarbastante, al representar un monto elevado. No obstante, en esta clasificación seubican por delante de los activos fijos, atendiendo a que éstos últimos secomercializan en su totalidad en el caso extremo de que la empresa cierre porcualquier causa y no durante su operación cotidiana, donde es posible que sereemplace una parte de los mismos. Tiene asociado el riesgo del deterioro, elvencimiento y la obsolescencia, asumiendo una debida cobertura en el seguro.

- Activos Fijos: ocupan el último lugar en los recursos financieros pues surealización es la más demorada, ya que generalmente el monto de la transacción esrelativamente elevado. A este tipo de recurso se le asocia el riesgo de ladepreciación moral.

Tipos de obligaciones de pagos

Obligaciones. Son valores representativos de deuda que pagan un interés que secalcula usando un procedimiento determinado desde la emisión del título.

Bonos. es una obligación en la cual se hace constar que una sociedad anónima secompromete a pagar una suma determinada en una fecha fija, y al abono deintereses sobre su valor nominal al porcentaje que el documento indique.

Acciones. Parte alícuota del capital, valor de renta variable, tiene un valor devencimiento de la inversión desconocido e incierto

Letra de cambio. Es un Título de Crédito, mediante la cual una persona (Librador)manda a pagar a su orden o a la de otra persona (Tomador o Beneficiario) unacantidad determinada en una cierta fecha a una tercera persona (Librado).

Pagaré. Es un título de valor muy similar a la letra de cambio utilizado generalmentepara obtener recursos financieros, mediante el cual una persona natural o jurídica

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para obtener recursos financieros, mediante el cual una persona natural o jurídicase compromete a pagar a otra o a su orden una determinada cantidad de dinero enuna fecha acordada previamente.

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5. Interés (I)

Conceptos fundamentales

Préstamo. Operación financiera mediante la cual una persona natural o jurídica(acreedor o prestamista) entrega a otra (deudor o prestatario) una cierta cantidad derecursos monetarios (deuda u obligación) para su utilización.

Principal (P). Cantidad de recursos monetarios con que se inicia una operación.

Monto o Valor Final (M). Es la cantidad total de recursos monetarios que debeentregar el deudor al acreedor de un principal al término de una operación.

Interés (I). Cantidad adicional al Monto del Préstamo que el deudor entrega alacreedor por el uso de los recursos monetarios de éste durante el tiempo pactado.

Interés comercial u ordinario. Utiliza como base de tiempo el año comercial de360 días (12 meses de 30 días), para referir los plazos de interés.

Interés real o exacto. Utiliza el año calendario de 365 días (366). En este tipo deoperación para el cálculo del tiempo se excluye del cómputo el día en que se iniciala operación (fecha inicial o de otorgamiento) o el día en que la operación concluyecon la devolución del principal (fecha final o de vencimiento). Cuando no seespecifica se asume el interés comercial u ordinario.

Plazo o tiempo de imposición (T). Tiempo convenido para la liquidación de ladeuda, el cual se considera dividido en una cierta cantidad de intervalos de tiempo(t) unitarios.

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6. Interés Simple (II)

Interés Simple (ls). Se define como la magnitud Is que se obtiene de la siguienteexpresión donde:

i: tasa de Interés Simple.t: cantidad de intervalos unitarios de tiempo que durará la operación.

Como consecuencia de la definición anterior se cumple que el Interés Simpledevengado en cualquier periodo de tiempo es el mismo.

Tasas equivalentes. Dos o más tasas son equivalentes si aplicadas a un mismoprincipal (P) durante la misma cantidad de intervalos de tiempo unitarios (t)producen el mismo interés (I).

Monto Simple (Ms). Es el monto de un principal cuando el interés es obtenido porel Método Simple. Matemáticamente viene dado por la siguiente ecuación:

Función Interés Simple (Is(t)). Es una función que expresa la relación entre elInterés Simple y el tiempo.

Función Monto Simple (Ms(t)). Es una función que expresa la relación existenteentre el Monto Simple y el tiempo.

La representación gráfica de las funciones Monto e Interés Simple se muestra en lasiguiente figura.

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7. Interés Compuesto (III)

Intervalo de acumulación. Intervalo de tiempo, considerado unitario, al final delcual el Interés Simple devengado se incorpora a la suma que devengará intereses enel próximo intervalo.

Interés Compuesto (lc). Es el interés devengado por un principal P a la tasa deinterés i durante t intervalos de acumulación. Matemáticamente la magnitud de Icviene dada por la siguiente expresión, donde los símbolos tiene el mismosignificado que en el Interés Simple:

Tasas de Interés Compuesto. Es la tasa de interés simple a la cual se calcula elinterés correspondiente a cada intervalo de acumulación. En este caso si se conocein, entonces:

- El plazo de la operación se considera dividido en t intervalos de acumulación de1/n años.

- Los intereses se acumulan n veces cada año a la suma que devenga intereses.

- Cada unidad monetaria impuesta en un intervalo de acumulación devenga iunidades monetarias como interés en dicho intervalo.

Tasa efectiva (in). Tasa de Interés Compuesto que describe la acumulación real delos intereses de una operación financiera dada.

Tasa nominal anual (jn). Es la tasa proporcional a la cual se enuncia in y se calculamediante la expresión jn=nin.

Tasa efectiva anual (i1). Tasa de Interés Compuesto que describe la acumulaciónreal de los intereses de una operación financiera dada en el periodo de un año. Larelación entre la tasa efectiva anual y la tasa efectiva, viene dada a través de lasiguiente expresión:

Tasas compuestas equivalentes. Dos tasas de Interés Compuesta son equivalentessi se cumple que , donde m y n representan la cantidad respectiva de intervalos deacumulación pactados en la operación.

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8. Interés Continuo (IV)

Interés Continuo (lcc). Es el Interés Compuesto devengado por un principal P a latasa de interés i cuando el número de períodos de acumulación (m) es muy grande ypuede suponerse infinito.

Monto Continuo (Mcc). Es el monto de un principal cuando el interés es obtenidopor el Método Continuo.

Matemáticamente, la expresión para Mcc puede deducirse transformando laexpresión de Mc convenientemente.

Se un Principal P colocado a la tasa efectiva anual i con m periodos de acumulaciónanual durante n años. Entonces se cumple que el valor de Mcc puede obtenerse a

través de fórmula

El cálculo de Icc puede realizarse directamente restando a la expresión de Mcc elprincipal P. Por tanto, Icc viene dada por:

No obstante, queda indeterminado en la práctica cuando puede considerarse mgrande y cual es la interpretación del Tipo de Interés Continuo. En la práctica, elInterés Continuo puede interpretarse como un Tipo de Interés Compuesto en el cualel periodo de acumulación de los intereses es diario.

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9. Valor Actual y Descuento

Valor Actual o real (V). Se define como la suma con la cual se liquida una operaciónen la fecha de evaluación o vencimiento, que matemáticamente viene dada a travésde la siguiente expresión, donde las magnitudes que aparecen en la misma tienen elsignificado que se explica a continuación:

Ck: cobro esperado en el periodo k.

rk: tasa de interés (descuento) del periodo de tiempo k. Es la compensación queexige el inversor por un pago aplazado. También se denomina tasa de rentabilidad,tasa mínima o Costo de Oportunidad.

Descuento. Consiste en la liquidación de una deuda o hacer efectivo un documentomercantil que la representa, mediante el pago de su Valor Actual en unadeterminada fecha de evaluación.

Elementos de una operación de descuento

- Valor Actual (V). Suma con la cual se liquida la operación en la fecha deevaluación o de vencimiento.

- Valor nominal o monto (V). Valor Actual de la inversión o deuda en la fecha devencimiento pactada.

- Descuento (D). Interés que recibe como estímulo una persona natural o jurídicaque liquida con anticipación una deuda o inversión, o en hacer efectivo undocumento mercantil que la representa.

- Tasa de descuento (d). Tasa bajo la cual se calcula el descuento D.

- Tiempo de anticipo (ta). Intervalo de tiempo comprendido entre la fecha dedescuento y la fecha de vencimiento, que se considera dividido en t periodos detiempo. Por tanto, toda fecha en que se realiza un descuento es también fecha deevaluación por calcularse el valor actual con que se liquida la operación dada, el cualviene dado por V=M-D.

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10. Rentas e imposiciones (I)

Definiciones fundamentales

Renta (R). Toda sucesión de abonos periódicos. Nótese que el concepto de rentaimplica necesariamente periodicidad.

Término de una renta. Cada uno de los abonos que forman parte de la renta.

Periodo de renta. Intervalo de tiempo entre dos términos consecutivos.

Anualidades. Es un término de una renta de periodo anual.

Fecha de convenio (fc). Fecha en que se concierta la renta.

Fecha inicial (fi). Fecha en que se inicia en primer periodo de una renta dada y quepuede coincidir o no con la fecha de convenio.

Fecha final (ff). Fecha en que termina el último periodo de una renta dada.

Plazo de una renta (T). Intervalo de tiempo entre la fecha inicial y final (incluyeambas), el cual se considera dividido en t intervalos unitarios de tiempo,considerándose como unidad el periodo de renta.

Imposición. Es un caso particular de renta que constituye un subconjunto delconjunto de las rentas, en el cual cada término devenga interés (simple ocompuesto) desde la fecha de su abono hasta la fecha final.

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11. Rentas e imposiciones (II)

Clasificación de las Rentas

Rentas eventuales, contingentes o vitalicias. Rentas cuyo comienzo y/o final esincierto, dependiendo de algún acontecimiento probable, pero de fechaindeterminada.

Rentas ciertas o fijas. Rentas cuyo comienzo y final están perfectamentedeterminados y pueden clasificarse como se indica en la tabla siguiente.

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12. Rentas e imposiciones (III)

Representación esquemática de las Rentas Fijas

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13. Amortización (I)

Definiciones fundamentales

Amortización. Cualquier pago periódico o no destinado a reponer el principal deuna deuda.

Liquidación. Cualquier pago que incluye la amortización y el pago de intereses deuna deuda.

Fondo de Amortización. Cantidad de recursos monetarios que se acumulan con elobjetivo de amortizar una inversión o deudas a través de una imposición cierta contasa y plazos preestablecidos.

Término o cuota del Fondo de Amortización. Los abonos colocados a la tasa delFondo de Amortización y cuyo monto se corresponde con el deuda que se deseaamortizar.

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14. Amortización (II)

Métodos de liquidación de adeudos con pago único

a) Amortización con pago único del adeudo y los intereses

En este método en la fecha de vencimiento se abona el monto de la operación (M)dado por M = D + I, donde, D representa el adeudo a liquidar e I el interés a pagar.

b) Amortización con pago único del adeudo y los intereses mediante rentaconstante

En este método la liquidación del adeudo se realiza mediante el siguienteprocedimiento:

- En la fecha de vencimiento se amortiza el adeudo pagando D.

- Al final de cada periodo unitario se realiza el pago de los intereses devengadosdurante el periodo.

c) Reconstitución del Principal

Es un procedimiento que se utiliza cuando el deudor que desea amortizar su adeudocon un pago único en la fecha de vencimiento, pero no quiere realizar la extraccióníntegramente en ese momento, para lo cual acumula gradualmente la sumanecesitada en el Fondo de Amortización. La depreciación es un ejemplo de estemétodo, en cuya formación del fondo se utilizan los métodos que se relacionan enla tabla siguiente.

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