MATEMATICA BASICA UNIDAD_IV

Matemática Básica I - Unidad IV Eduardo Alcántara B. / Félix Peña P.

159 Sistema a Distancia

UNIDAD IV

LECCION 7

TÓPICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sistema Coordenado rectangular.- distancia entre dos puntos.- division de un segmento en una razon dada.- la recta.- pendientede una recta.- ecuaciones de la recta.- posiciones relativas de la recta.- angulo entre dos rectas.- area de triangulos.- la circunferencia .- ecuaciones de la circunferencia.

COORDENADAS RECTANGULARES

O

Cuadrante II

Cuadrante III

(-,+) (+,+)

(-,-) (+,-)

x’

y’

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES. El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto O. La horizontal X’OX se denomina eje de las abscisas, o eje de las X; y la vertical Y’OY, eje de la ordenadas, o eje de las Y; y ambas constituyen los llamados “Eje de coordenadas”. El punto O se llama origen del sistema. La distancia de un punto P al eje Y se llama abscisa. La distancia de un punto P al eje X es la ordenada, y ambas constituyen las coordenadas del punto en cuestión y se representan por el símbolo (x, y). Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del eje y, y negativas en caso contrario. Las ordenadas son positivas cuando el punto está por encima del eje X, y negativas en caso contrario. Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar una escala adecuada sobre cada uno de los ejes coordenados. Ambas escalas pueden ser iguales o distintas.

Un punto cualquiera del plano estará representado por un par ordenado. Así, un punto P estará denotado por P(x,y). Gráficamente será:

y

x

Cuadrante I

Cuadrante IV

O

P(x;y) y

x



DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean los puntos P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2). Puede ocurrir: 1.- Si la recta es horizontal:

El segmento determinado por dos puntos es paralelo al eje de las X. Así, la distancia entre P1 y P2 es igual en valor absoluto de la distancia entre Q1 y Q2, es decir:

3.-El segmento no es paralelo a ninguno de los ejes. Sea la recta L que pasa por los puntos P1(x1-y1) y P2(x2 ,y2). Trazadas desde P1 y P2 las paralelas a los ejes, el segmento P1P2 resulta

hipotenusa del triángulo rectángulo P1RP2 y entonces, por el teorema de PITÁGORAS.

2121222

RPRPPP +=

Como: =RP1 x2 – x1 , y

=2RP y2 – y1

Se tiene reemplazando.

)()( 121221222

yyxxPP −− +=

La fórmula de la distancia es, entonces:

)()( 121221

222

yyxxPP −− +=

Será positivo si el segmento es trazado de abajo hacia arriba, esto es, cuando el segundo punto está encima del primero, y negativa en caso contrario.

O

Q1 P1

x

Q1Q2 = P1P2 = 12 xx −

En cambio la distancia dirigida entre P1 y P2 será:

P1P2= x2 –x1 Los segmentos horizontales son positivos cuando son trazados de izquierda a derecha, y negativos cuando son trazados de derecha a izquierda. La distancia entre P1 y P2 será positiva cuando P2 queda a la derecha de P1 y negativa en caso contrario.

2.-Si la recta es vertical: El segmento P1P2 es paralelo al eje de las y.

La distancia P1P2 es igual, a la

Distancia Q1Q2, es decir:

Q 1Q 2 = P1P2 = 12 yy −

Y la distancia dirigida será: P1P2= y2 – y1

y

O Q1 (x1 ,0) Q2 (x2 ,0)

P1 P2

x

Y

Q2 P2

R P1

P2

Q1 Q2 O



Así, por ejemplo el valor absoluto de la distancia entre los puntos P1 (-1, 2) y P2 (5, -6), es:

d = 22 )26()]1(5[ −−+−−

donde: d = 10 P1 (-1, 2)

P2(5,-6)

Si el segmento pertenece a una recta orientada, se adoptará el signo correspondiente a esa orientación. En adelante, salvo indicación contraria, al hablar de distancia entre los puntos P1 y P2 , nos referiremos al valor absoluto de esa distancia.

Como caso particular, la distancia de un punto P (x, y) al origen estará dado por:

OP = 22 yx + .

EJEMPLO : Hallar las longitudes de los lados de un triángulo de vértices A (-2, -3); B (5, 1) y C (-2, 5).

y

x

Solución: Como la distancia entre dos puntos está dada por:

212

212 )()( yyxxd −+−=

8))3(5())2(2( 22 =−−−−−−=AC

AB = 22

)31()25( +++ = 65

BC = 22

)51()25( +++ = 65

Las longitudes nos muestran que el triángulo es isósceles.

B (5, 1)

O

C (-2, 5)

A(-2,-3)



EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Dados los puntos A (2, -3); B (2, 1) y C (2, 5); hallar las distancias dirigidas AB, BA, AC, CA, BC y CB. 2. Ubicar los puntos A (-1, 0); B (2, 0) y C (5, 0) y verifique las siguientes ecuaciones con sustituciones numéricas: AB + CB = AC; AC + CB = AB; BA + AC = BC. 3. Encontrar las distancias entre los pares de puntos que se dan: a. (1, 3), (4,7); b. (-2, -3), (1, 0); c. (0, -4), (3, 0); 4. Determinar la medida de cada uno de los lados del triángulo cuyos vértices son P1 (2, 1), P2 (-1, 3) y P3 (7, -2). Determinar también el área del triángulo empleando la conocida formula:

A = ),)()(( cpbpapp −−−

En la cual p es el semiperímetro.

5. Por medición primero y luego por cálculo verificar que los puntos (-3, 2) (3, 10) y (7, 2); son los vértices de un triángulo isósceles.

6. Trazar la figura cuyos vértices son (0, -4), (-4, 2), (-4, 7), (6,3) y hallar su perímetro. 7. Determinar los puntos de ordenada 3, distancia 5 unidades del punto (2, -1). 8. Determinar un punto del eje x, equidistante de P1 (4, 3) y P2 (1, -1). 9. Encontrar los puntos distantes 3 unidades del eje x y 6 unidades del punto

P(2,1). 10. Si el punto P (x, 3) se encuentra equidistante de (3, -2) y (7, 4) .Encontrar el valor de la abscisa x del punto P.

d. (-3, 4), (2, -8); e. (5, -12), (0,0); f. (2, 7), (-1, 4);



CORDENADAS DEL PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO

Sea el Punto P(x, y) que divide al segmento 21PP en una razón dada. Si consideremos los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x 2 , y2)

Y la razón: 2

1

PP

PPr = . Como P1P y PP2 son del mismo sentido , dicha relación

es positiva .

Observando la figura: ⇒∆≈∆ 21 PNPMPP 112

11 : xxMPcomorPP

PP

PN

MP−=⇒==

y PN = x – x2, se tiene que rxx

xx=

−−

2

1

r

rxxx

++

=⇒1

21

Análogamente, para la relación: rPP

PP

NP

MP ==2

1

2

Se tiene que : r

ryyyr

yy

yy

−+

=⇒=−

−1

21

2

1

Por lo tanto: Las coordenadas del punto P (x, y) que dividen al segmento P1P2, están

dadas por: las fórmulas: r

rxxx

++

=1

21 , y =r

ryy

++

121 ; con 1−≠r

Si P (x, y) es el punto medio del segmento P1P2, la razón r = 1; entonces:

2

21 xxx

+= ,

221 yy

y+

=

P1 (X1, Y1)

O

X – X1 M

Y – Y1

X2- X

Y2 – Y

P (X, Y)

P2(X2,, Y2 )

X

Y

O

y

P1 x

A (-2, 5)

B (6, -3)

P2



Ejemplo1: Encontrar los puntos de trisección del segmento AB., con A (-2,5) y B (6,-3) Solución. Trisección es la división de un segmento en 3 partes iguales. Tales como P1 y P2. Para hallar el punto P1 (x, y) la razón es:

r = 2

1

1

1 =⇒ rBP

AP

Por fórmula:

x = r

rxx

++

121 y =

r

ryy

++

121

Entonces; x = -2 + ½ (6) ; x = 2/3 1 + ½ Luego; P1 (2/3, 7/3) y = 5 + ½ (-3) ; y = 7/3 1 + ½ Para hallar las coordenadas de P2, la razón es:

r = BP

AP

2

2 ; 21

2 =⇒= rr

Luego, X = -2 + 2(6) ; X = 10/3 1 + 2 Luego; P2 (10/3, -1/3)

Y = 5 + 2(-3) ; Y = -1/3 1 + 2 Ejemplo 2: El segmento que une A (-2, -1) con B (3, 3) se prolonga hasta C. sabiendo que BC = 3AB. Hallar las coordenadas de C.

Solución: Como C está en la prolongación de AB entonces, la razón es: __ r = AB como, BC = 3AB � AB = 1 BC BC 3 Luego; r = 1/3

Por fórmula: X= X1 + rX2; 3 = -2 + 1/3(x); 1 + r 1 + 1/3

X= 18 Y = Y1 + rY2; 3 = -1 + 1/3(y); 1 + r 1 + 1/3 Y = 15; Luego; (18,15)

A (-2, 1)

B (3,3)

C (x, y)

Y

X



Ejemplo 3: Hallar las coordenadas del punto que divide el segmento determinado por los puntos P1 (-1, 3) y P2 (4, 6) en partes proporcionales a los números 2 y 5. Solución: Sea el punto P (x, y) , que divide a P1P2 en la razón r=2/5 .Se tiene aplicando las fórmulas:

x = 7

3

7

85

5

21

)4(5

21

=+−=+

+−

7

27

7

1215

5

21

)6(5

23

=+=+

+=y

Ejemplo 5: Determinar las coordenadas del baricentro del triángulo, cuyos vértices son A (4, 6), B (-3, 1) y C (3, -2). Solución: Se sabe que el baricentro o centro de gravedad de un triángulo está en el punto de intersección de las medianas, es decir, a 2/3 de cada mediana a partir del correspondiente vértice. Todo se reduce, entonces, a encontrar primero las coordenadas del punto medio M del lado AB, por ejemplo, y luego las coordenadas del punto G que divide el segmento MC en dos segmentos. MG y GC, tales que:

⇒=2

1

GC

MG efectuando, se tiene: A(4,6)

Xm = 4 - 3 = 0,5 Coordenadas del punto M 2

M(1/2,7/2)

Ym = 6 + 1 = 3,5 2

Xg = 1 + 3 = 1,33 Coordenadas del punto G 3

Yg = 7 - 2 = 1,66 3 C(3,-2)

X O

B (-3,1) G

Y



EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) Determinar las coordenadas del punto que divide el segmento que une P1 (-1, 6) con P2 (4, -4) en la razón r = 2/3.

2) Determinar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son A (-1, 2) y B (7, 8).

3) Los vértices se un triángulo son A (1, 4); B (3, 1) y C (-2, -1). Determinar el perímetro del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados del triángulo ABC.

4) Determinar las coordenadas del centro de gravedad del triángulo cuyos vértices son A (3, 2); B (0, 4) y C (-2, -1).

5) Encontrar las coordenadas del punto P que divide el segmento A (1, 2) y B (4, 5) en la razón r = AP = -5

PB 2 6) Dos fuerzas f1 = 10kg y f2 = 6kg paralelas y de sentido contrario, se hallan

aplicadas en P1 (4, 6) y P2 (8, 9) respectivamente. Hallar el punto de aplicación en la resultante.

7) Dado el triángulo A (X1, Y1); B (X2, Y2) y C (X3, Y3); demostrar que el punto de

encuentro de las medianas es. M ( X1+X2+X3 ; Y1+Y2+Y3 ) 3 3

8.) Si los puntos medios de los lados del triángulo ABC son M1 (4, 3); M2 (6, 5) y M3 (3, 4). Hallar los vértices del triángulo ABC.



ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA: El ángulo de inclinación de una recta L , es el ángulo formado por la recta y el eje X en su sentido positivo ( sentido contrario al de las agujas del reloj) . Si L fuera paralela al eje x, su inclinación sería cero. cualesquiera que sean los cuadrantes en los que estén situados los puntos P1 y P2.

Así, la pendiente de una recta cuyo ángulo es de 60º es : m = tg60º = 3 ≈ 1.73. En general, se tiene, que si el ángulo de inclinación es α , donde: Si 0 < α < 90º; la pendiente es positiva. Si 90º < α < 180º; la pendiente es negativa. Si α = 0; la pendiente es cero. Si α = 90º; la pendiente no se define.( es infinita) RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES:

1. Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Así, en la (fig. a) los ángulos α1 y α2 que forman las rectas L 1 y L2 con el eje x son iguales ; o sea sus respectivas pendientes son iguales: m1 = m2

2. Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es igual al recíproco de la pendiente de la otra con signo contrario. Esto es, llamando m1 a la pendiente de L1 y m2 a la de L2 se tiene que m1 = -1/m2 , o bien m1. m2 = -1.

C

(fig. b). Sean las rectas L1 y L2 perpendiculares (fig. b). Si α1 y α2 son sus respectivos ángulos, se tiene, en el ∆ABC por ser α2 ángulo exterior de ese triángulo.

La pendiente de una recta denotado por m es la tangente de su ángulo de inclinación. En estas condiciones m = tgθ, siendo θ el ángulo de inclinación y m la pendiente. La pendiente de la recta que pasa por dos puntos P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) es:

m = tgθ = 12

12

xx

yy

−−

X’

P1 (X1, Y1)

θ o

X

Y

X2 – X1

Y2 – Y1

P2 (X2, Y2)

θ

X

L1 L2

O

α1

α2

Y

Fig. (a)

L1 L2

O

A

B X

α1

α2

90º

Y



α2 = α1 + 90º; donde tgα2 = - ctgα1 Luego: tgα2 = - 1_ ⇒ m2 = - 1 , m1.m2 = -1 tgα1 m1

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS: El ángulo α, el ángulo formado por las rectas L1 y L2 , medido en el sentido contrario al de las agujas del reloj, y m1 y m2 sus respectivas pendientes:

12

12

.1 mm

mmtg

+−

=α

L2 L1 Demostración: θ 2 = α + θ 1, o α = θ 2 - θ 1 Entonces: tg α = tg (θ 2 - θ 1) Donde por fórmula: θ1 θ 2

12

12

1 θθθθα

tgtg

tgtgtg

+−

= , entonces se tiene que :

12

12

.1 mm

mmtg

+−

=α , donde: m1 es la pendiente de la recta inicial L1 y

m2 es la pendiente de la recta final L2 EJEMPLOS:

1. Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45º y que la pendiente de L1 es 2/3. Hallar la pendiente de L2.

Como: 21

12

1 mm

mmtg

+−

=α , entonces:

tg 45º = m2 -- m1 , 1 + m2 m1

1 = 51 2

232

32

2 =⇒+

−m

m

m

2.- Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A (-3, -2), B (2,5) y C (4, 2).

x

Y

α

O X

Y

L1

L2

45º



Solución: Hallamos las pendientes de los lados del triángulo ABC. Así:

mab = 5

7

32

25 =++

mbc= 324

52 =−−

74

34

22 =++=Acm

ACAB

ACAB

mm

mmtgA

.1 .+−

= ; º4.2463

29

)(1 74

57

74

57

=⇒=+

−= AtgA

( )( )( )

( )( ) º4.862

29

11

º2.6911

29

11

73

74

23

74

57

23

57

23

=⇒=+

−=

+−

=

=⇒=+

−−=

+−

=

−

−

−

Cmm

mmtgC

Bmm

mmtgB

ABAC

ABAC

ABBC

ABBC

Verificando, la suma de los ángulos internos del triángulo ABC es: A + B + C = 180º

ÁREA DE UN TRIÁNGULO:

Conociendo las coordenadas de los vértices del 321 PPP∆ , puede hallarse el área

de dicho triángulo.. Así si vértices son P1 (x1, y1); P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3).

El área del triángulo P1, P2 y P3 está dado por: = 1 2 EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Sea el triángulo cuyos vértices son: P1 (-2, -3), P2 (3, 1) y P3 (-4, 5). Aplicando la fórmula descrita se tiene: área ∆ P1P2P3 = 1 2 o sea, área ∆ P1P2P3 = 24 u2.

x

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

A

-2 -3 1

3 1 1

-4 5 1

= 1 2

48,

P2 (X2, Y2)

O M1 M3 M2 X

P1 (X1, Y1)

P3(X3, Y3)

Y

P1 (-2, -3)

P2 (3,1)

P3 (-4,5)

X

Y

Y

A (-3, -2)

B (2, 5)

C(4,2)



2.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el origen y los puntos P1 (3,1) y P2 (-2, 6) Solución: = 1 ⇒ = 1

2 2

= 1 3 1 ⇒ = 1 (18-(-2)) 2 -2 6 2 A = 10 u2

3.- Hallar el área del polígono cuyos vértices son A (-5, -2), B (-2, 5), C (2, 7), D (5, 1) y E (2, -4).

Solución: Dividiendo el polígono ABCDE en Triángulos de áreas A1, A2 y A3.

A1 =

152

172

125

2

1−−

⇒ A1 = 2

1(22) = A1 = 11 u2

A2 =

172

115

125

2

1−−

⇒ A2 =2

1(69) = A2 = 69/2u2

A3 = 1 ⇒ A3 = 1(41) = A3 = 41u2 2 2 2 Luego:

AT = A1 + A2 +A3

AT = 11 + 69 + 41 ⇒ AT = 266u 2 2

A x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

A 0 0 1

3 1 1 -2 6 1

A A

O

X

Y

P2 (-2, 6)

P1 (3, 1)

-5 -2 1 2 -4 1 5 1 1

C (2, 7)

D (5, 1)

x

A (-5, -2)

B (-2, 5)

E (2, -4)

Y

A2

A1



4.- Los vértices de un triángulo son: A (-2, 1); B (6, 3) y C (2, -3). Hallar:

a) El ángulo formado por la altura y la mediana trazada a partir del vértice A al lado opuesto BC.

b) El área del triángulo ABC. Solución: Como el ángulo formado por la ____ ____

altura AH y la mediana AM es α; se tiene:

12

12

.1 mm

mmtg

+−

=α mf = pendiente inicial AM

mi= pendiente final AH Como AH ⊥ BC ⇒ mah = - 1 mbc

Como el punto medio es: M (4, 0), entonces la pendiente de AM es: mam = 1 – 0 ⇒ mam = - 1 ⇒ mf = - 1 -2 – 4 6 6

La pendiente de la altura mah = mi donde BC

ah mm

1−=

Pendiente BC: mbc = -3 – 3 ⇒ mbc = 3 2 – 6 2 Luego, la pendiente de la altura es: mah = mi = - 2 3 Finalmente se tieneaplicando la fórmula:

tgα = -1/6 – (-2/3) ⇒ tgα = 9 1 + (-1/6)(-2/3) 20 α = arc tg (9/20) b) El área del triángulo ABC está dado por:

A = 2

1 ; A = 220u

-2 1 1 2 -3 1 6 3 1

B (6, 3)

C (2, -3)

y

x

A (-2, 1) M (4, 0)

H

α



5.-Los puntos medios de los lados del triángulo ABC son M (-1, 1); N (3, 7) y P (7, 1). Encontrar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC.

- 1 = x1 + x2 ⇒ x1 + x2 = -2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1) 2 1 = y1 + y2 ⇒ y1 + y2 = 2 - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - (2) 2

3 = x2 + x3 ⇒ x2 + x3 = 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- (3) 2

7 = y2 + y3 ⇒ y2 + y3 = 14 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- (4) 2

7 = x1 + x3 ⇒ x1 + x3 = 14 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5) 2

1 = y1 + y3 ⇒ y1 + y3 = 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- (6) 2 Resolviendo ecuaciones: (1), (3) y (5) x1 + x2 = -2 x2 + x3 = 6 x1 + x3 = 14 x1 = 3 ; x2 = 3 ; x3 =11

Resolviendo ecuaciones: (2), (4) y (6) y1 + y2 = 2 y2 + y3 = 14 y1 + y3 = 2 y1 = 5 ; y2= 7 ; y3 = 7 Luego los puntos son: A(3,5) ; B ( -5,7) y C ( 11, 7)

Solución: Sean los vértices del triángulo

A (x1, y1); B (x2, y2) y C (x3, y3)

Como los puntos M, N y P son puntos medios de AB, BC y AC; entonces, las coordenadas del triángulo serán: O x

y C (x3, y3) B (x2, y2)

A (x1, y1)

P (7, 1) M (-1, 1)

N (3, 7)



6.-Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan una a otra.

: y Podemos escribir las coordenadas de los vértices como O (0, 0); P1 (a, 0); P2 (b, c) y P3 (a+b, c). Como 31PP es igual y paralelo a 2OP , entonces,

Las diagonales OP3 y P1P2 se bisecan una a otra, y encontramos las coordenadas del punto medio de cada diagonal.

Punto medio de OP1: x = 2

ba + ¸ y =

22

0 cc =+

Punto medio de P1P2; x = 2

ba + y =

2

c

Por lo tanto, como el punto medio de las diagonales son las mismas:

:

+2

,2

cba, el teorema queda demostrado.

Solución: Dibujemos primero el paralelogramo en el sistema de ejes coordenados. Tomando como origen uno de los vértices del paralelogramo, tal como O y los puntos, P1 , P2 y P3 , como indica la figura se tiene: .

O X P1 (a, 0)

P2 (b, c) P3 (a+b, c)



RESUMEN: 1.- Cuando un plano se divide en 4 partes, mediante la intersección de dos restas perpendiculares, entonces, estamos construyendo el Sistema de Coordenadas Rectangulares. 2.-Cada parte del plano resultante de esta división, se llama cuadrante. Por lo tanto, el plano ha sido dividido en 4 cuadrantes. 3.- Un punto en el plano, se ubica mediante un par ordenado de números reales y se escribe en la forma P (x, y); donde el primer elemento “x” se llama 1era. Componente o abscisa y el 2do. elemento “y” se llama 2da.componente u ordenada. 4.- La distancia entre los punto P1(x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ), está dado por:

212

212 )()( yyxxd −+−=

5.- Si un punto P (x, y) divide al segmento P1P2, donde P1(x1, y1) y P2 ( x2 , y2 ), en la

razón r=2

1

PP

PP, entonces, las coordenadas del punto P son:

r

rxxx

++

=1

11 , r

ryyy

++

=1

21

6.- Las coordenadas del punto medio de P1P2, donde la razón r = 1 será:

2;..

22121 yy

yxx

x+

=+

=

7.- El ángulo de inclinación de una recta, es el ángulo formado por la recta y el eje X en su sentido positivo. 8.- La pendiente “m” de una recta es. αtgm = 9.- Si la recta pasa por los puntos: P1(x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2), entonces la pendiente està

dado por: m = 12

12

xx

yy

−−

10.- Si L1 y L2, son rectas con sus respectivas pendientes m1 y m2 , entonces: L1 y L2 son paralelas , si m1 = m2 , o L1 y L2 , son perpendiculares, si m1.m2 = -1 11.- El ángulo formado entre dos rectas L1 y L2, con sus respectivas pendientes m1 y

m2 , está dado por la fórmula: 21

12

1 mm

mmtg

+−

=α ; donde m1 es la pendiente de la recta

inicial , y m2 es la pendiente de la recta final, considerando el ángulo en sentido antihorario.



PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la distancia entre los pares de puntos cuyas coordenadas son: a. (4, 1), (3, -29; c. (0, 3), (-4, 1); e. (2, -6), (2, -2); b. (-7, 4), (1, -11); _ d. (-1, -5), (2, -3);__ f. (-3, 1), (3, -1);

Sol: a. √10; b. 17; c. 2√5; d. √13; e. 4; f. 2√10

2. Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son: a. (-2, 5), (4, 3), (7, -2); c. (2, -5), (-3, 4), (0, -3); b. (0, 4), (-4, 1), (3, -3); d. (-1, -2), (4, 2), (-3, 5);

Sol: a. 23,56; b. 20,67; c. 20,74; d. 21,30

3. Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos:

a. (3, 3), (6, 2), (8, -2); c. (2, 3), (4, -1), (5, 2); b. (4, 3), (2, 7), (-3, -8);

Sol: a. (-3, 2); b. (-5, 1); c. (3, 1)

4. Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto (-3, 6). Sol: (3, -2), (3, 14)

5. Hallar las coordenadas de un punto P (x, y) que divida al segmento que

determinan P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la relación r = P1P PP2

a. P1 (4, -3), P2 (1, 4); r = 2/1. d. P1 (0 , 3), P2 (7, 4); r = 2/7 b. P1 (5, 3), P2 (-3, -3); r =1/3 e. P1 (-5, 2), P2 (1, 4); r =-5/3 c. P1 (-2, 3), P2 (3, -2); r =2/5 f. P1 (2, -5), P2 (6, 3); r =3/4 Sol: a. (2, 5/3); b. (3, 3/2); c.(-4/7, 11/7); d. (-14/5, 13/5); e (10, 7);f. (26/7, -11/7)

6. Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son:

a. (5, 7), (1, -3), (-5, 1); c. (3, 6), (-5, 2), (7, -6); e. (-3, 1), (2, 4) (6, -2) b. (2, -1), (6, 7), (-4, -3); d. (7, 4), (3, -6), (-5, 2); Sol: a. (1/3, 5/3); b. (4/3, 1); c. (5/3, 2/3); d. (5/3, 0); e (5/3, 1)

7. Sabiendo que el punto (9, 2) divide al segmento que determinan los puntos P1

(6, 8) y P2 (x2, y2) en la relación r= 3/7, hallar las coordenadas de P2. Sol: (16, -12)

8. Hallar las coordenadas de los vértices de un triangulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son (-2, 1), (5, 2) y (2, -3)

Sol: (1, 6), (9, -2), (-5, -4)

9. Hallar las inclinaciones de las rectas que pasan por los puntos:



a. (4, 6) y (1, 3); c. (2, 3) y (1, 4); e. (√3, 2) y (0, 1); b. (2, √3) y (1, 0); d. (3, -2) y (3, 5); f. (2, 4) y (-2, 4);

10. Hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son:

a. (3, 2), (5, -4) y (1, -2); Sol: 45º, 45º y 90º. b. (4, 2), (0, 1) y (6, -1); Sol: 109º39,2’; 32º28,3’; 37º52,5’ c. (-3, -1), (4, 4) y (-2, 3); Sol: 113º29,9’; 40º25,6’; 26º4,5’

11. Hallar las áreas de los triángulos cuyas coordenadas de los vértices son:

a. (2, 3), (4, 2) y (-5, -2); Sol: 18,5 unidades de superficie b. (-3, 4), (6, 2) y (4, -3); Sol: 24,5 c. (-8, -2), (-4, -6) y (-1, 5); Sol: 28 d. (0, 4), (-8, 0) y (-1, -4); Sol: 30 _

12. Hallar las áreas de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:

a. (2, 5), (7, 1), (3, -4) y (-2, 3); Sol: 39,5 unidades de superficie. b. (0, 4), (1, -6), (-2, -3) y (-4, 2); Sol: 25,5 c. (1, 5), (-2, 4), (-3, 1), (2, -3) y (5, 1) Sol: 40



LA LINEA RECTA

Admitiremos la siguiente definición de línea recta basada en el concepto de pendiente dado anteriormente. Definición de línea recta: Llamamos línea recta al conjunto de puntos, que tienen la propiedad , de que tomados dos puntos diferentes pertenecientes a la recta, tales como P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), el valor de la pendiente m, calculado por medio de la fórmula es siempre constante:

m = ,12

12

xx

yy

−−

con 21 xx ≠

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada: Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada si se conoce un punto y su pendiente. (tangente de su ángulo de inclinación) . α TEOREMA 1: La recta que pasa por el punto dado P1 (x1, y1) y con pendiente m, tiene por ecuación:

y – y1 = m (x- x1) (1) DEMOSTRACIÓN : Sea un punto cualquiera de la recta, tal como P (x, y) y sea un punto conocido de la recta, tal como P1 (x1, y2). Por la definición de recta .

1

1

yy

xxm

−−

=

De lo que obtenemos la ecuación:

y – y1 = m (x – x1) Expresión que representa a la ecuación de la recta conociendo un punto y su pendiente.

X X’

Y

P1 (X1, Y1)

O



OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA a) ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO SU PENDIENTE Y SU

ORDENADA EN EL ORIGEN: La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto (0, b) (siendo b la ordenada del origen) , es:

y = mx + b b) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS CONOCIDOS: La

ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) es:

12

121 xx

yyyy

−−

=−

Donde como sabemos la pendiente es: m = 12

12

xx

yy

−−

c) ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO LOS PUNTOS DE

INTERSECCIÓN CON LOS EJES: La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados x e y en los puntos (a, 0) y (0, b) respectivamente , es:

1=+b

y

a

x

(a,0) d) ECUACIÓN DE LA RECTA, DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN

EL ORIGEN: Consideramos una recta l cuya pendiente es m y cuya ordenada es el origen, es el punto (0,b), es decir que su intercepción con el eje Y, es b.

Se tiene la ecuación

y – b = m (x – 0),

Donde reduciendo , se tiene:

y = m x + b

(0, b)

x

y (0, b)

(0, b)

P(x, y)

O X X’



FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA: Hemos visto que la ecuación de una recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal;

AX + BY + C = 0,

En donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. Esta ecuación se llama la forma general de la ecuación de una recta. La pendiente m, de la ecuación de una recta en su forma general AX + BY + C =0 es:

m = - B

A

La ecuación general de una recta puede presentar las siguientes formas: FORMA I: En la ecuación general:

AX + BY + C = 0, Si, B = 0, entonces, se tiene:

AX + C = 0, En general, la ecuación escribimos :x = k; es la ecuación de la recta vertical. FORMA II : En la ecuación general:

AX + BY + C = 0, Si, A = 0, entonces, se tiene:

BY + C = 0, donde y = - B

C

En general, la ecuación escribimos: y = k Es la ecuación de una recta horizontal. FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA:

O M B

Sean (x1, y1) las coordenadas del punto C. En el triángulo OMC:

x1 = p cosω; y1 = p senω, y pendiente de AB es: mab = onm

1−

mab = -ωtg

1 = - ctgω = -

ωω

sen

cos

Otra forma particularmente importante de la ecuación de la recta es la llamada forma normal, debida a Hesse (1811 – 1874).

Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que dicha perpendicular forma con el eje x.

Sea AB la recta y ON la perpendicular desde el origen O a AB. La distancia p (parámetro) de O a la recta AB se considera siempre positiva cualquiera sea la posición de AB, es decir, para todos los valores del ángulo ω que forma la perpendicular con el semieje x positivo

y

l

x

y

x

y = k

x ω

y

A

N

p

C (X1, Y1)



Llamando (x, y) otro punto cualquiera de AB, y – y1 = - cotω (x – x1),

o bien, y – p senω = - ωω

sen

cos(x – p cosω),

Simplificando se tiene la ecuación: x cosωωωω + y senωωωω - p = 0;

que representa la ecuación de la recta en su forma normal. REDUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA A SU FORMA NORMAL

Sean AX + BY + C = 0, y x cosω + y senω - p = 0; las ecuaciones de una recta dada en su forma general y su forma normal, respectivamente, los coeficientes de estas ecuaciones son proporcionales ,y escribimos así:

A

ωcos =

B

senω =

C

p− = k, siendo k la constante de proporcionalidad.

En estas condiciones cosω = kA, senω = kB, - p = kC. Elevando al cuadrado las dos primeras igualdades: )(cos 22222 BAksen +=+ ωω

O sea: )(1 222 BAk += ; donde 22

1

BAk

+±=

Teniendo en cuenta este valor de k será:

22cos

BA

A

+±=ω ;

22 BA

Bsen

+±=ω ;

22 BA

Cp

+±=−

Por consiguiente, la forma normal de la recta: AX + BY + C = 0, también podemos escribir así:

0222222

=+±

++±

++± BA

C

BA

By

BA

Ax

En la que se debe considerar el signo del radical el opuesto al de C. si C = 0, el signo del radical se considerará igual al de B. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

1. Sea la recta L1: AX + BY + C = 0, un punto P1 (x1, y1); entonces la distancia del punto conocido P1 (x1, y1) a la recta AX + BY + C = 0 está dada por:

d = 22

11

BA

CByAx

+

++

2. Si la recta L1; tiene por ecuación en su forma normal x cosω + y senω - p = 0; la distancia del punto P1 (x1, y1) a la recta L está dada por: d = x1 cosωωωω + y1 senωωωω -- p

y

d

x

L



POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS: Ahora consideraremos las posiciones relativas de dos rectas, cuyas ecuaciones pueden escribirse en sus formas generales: L1 : AX + BY + C = 0 (1) L2: A’X + B’Y + C’ = 0 (2)

En particular, determinaremos las condiciones analíticas bajo las cuales estas dos rectas son: a) paralelas; b) perpendiculares; c) coinciden; d) se cortan en uno y solamente en

un punto. Donde la pendiente de L1 : es - B

A si B ≠ 0, y la pendiente de L2: es -

'

'

B

A

si B’ ≠ 0. Por lo que se tiene el teorema.

TEOREMA : Si las ecuaciones de dos rectas son L1: AX + BY + C = 0, y L2: A’X + B’Y + C’ = 0, las relaciones siguientes son condiciones necesarias y suficientes para:

a. Paralelismo, 'A

A =

'B

B, o sea, AB’ – A’B = 0;

b. Perpendicularidad, una condición necesaria y suficiente para que las rectas (1) y (2) sean perpendiculares que:

(-A/B) (-A’/B’) = -1, ⇒ AA’ + BB ‘= 0

L1

x

y

L2

x

y

L1

L2



c. Coincidencia: Dos rectas coinciden si tienen un punto común y la misma dirección o pendiente , por lo tanto , escribimos:

o sea, 'A

A =

'B

B=

'C

C;

d. Intersección en uno y solamente en un punto; Las rectas L1 y L2, se

interceptan, si sus pendientes son diferentes, o sea :

'A

A ≠

'B

B

EJERCIOS RESUELTOS:

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-2, 3) y cuyo ángulo de inclinación de la recta es α = 30º.

Como la pendiente m es:

m = tgα ⇒ m = tg30º =3

1

Luego, la ecuación de L es:

y – (-3) = 3

1 (x-2)

_ _ _ √3 (y+3) = x-2; x -√√√√3y – (2+3√√√√3) = 0

Solución

La ecuación de la recta conociendo un punto y su pendiente es:

y – y1 = m (x – x1)

O

y

x

L1 L2

L2

O

y

x

L1

O

y

x

L1

α = 30º

P (2, -3)



2. Encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente “m” es -2 y pasa por el punto P(-1, 4).

Como m = -2 y P1 (-1, 4), se tiene:

y – 4 = -2 (x + 1) ⇒ y – 4 = -2x -2

Luego la ecuación es: 2x + y – 2 = 0 3. Una recta L intercepta a los ejes coordenados en A (2, 0) y B (0, -5). Hallar la

ecuación de la recta L.

Solución: l: La ecuación es

a

x+

b

y= 1 ⇒

2

x +

5−y

= 1

Luego, se tiene. -5x + 2y = -10 5x – 2y – 10 = 0 4. Una recta L pasa por el punto P1 (2, 7) y es perpendicular a otra recta L1 de

ecuación 3x – y + 2 = 0. Hallar la ecuación de la recta L.

Solución: Como la recta L y L1 son perpendiculares, entonces, sus pendientes m, m1 = -1; donde la

pendiente de L1: 3x – y + 2 = 0 es m1 = -1

3

−= 3

entonces, la pendiente de L es: m = -3

1 y como

pasa por P1(2, 7); su ecuación es:

y – y1 = m (x – x1) ⇒ y – 7 = -3

1 (x – 2)

x + 3y – 23 = 0

Solución: La ecuación de la recta L esta dado por:

y – y1 = m (x – x1)

O x

y

P (-1, 4)

L

B(0; - 5)

O

y

x

L

A (2, 0 )

O

L1

P1(2, 7)

y

x

L



5. Los vértices de un triángulo son A (x, y); B (3, -5) y C (6, 10). El punto donde se cortan las medianas es G (1, 3). Hallar:

a) Las coordenadas del vértice A. b) El perímetro del triángulo ABC

Solución:

a) Como el punto G (baricentro) está dado por:

G ( (3

1x1+x2+x3); (

3

1 y1+y2+y3));

Entonces;

(3

1 x1+6+3) = 1 ⇒ x1 = -6

(3

1 y1+10-5) = 3 ⇒ y1 = 4

Luego, las coordenadas del punto A son: A (-6, 4).

b) El perímetro del triángulo ABC es: __ __ __

P = |AB| + |BC| + |AC| __

P = |AB| = 22 )45()36( −−++ = )8181( + = 9 2

__

P = |BC| = 22 )510()36( ++− = 2259+ = 134

__

P = |AC| = 10918036144)410()66( 22 ==+=−++

Luego:

P = (9 2 + 134 + 109 ) 6. La recta L, de pendiente positiva pasa por el punto A (0, 1) formando un ángulo

de 45º con la recta L1 de ecuación 3x+2y-1 = 0. Hallar la ecuación de la recta L.

Solución:

La pendiente de L1 es: m2 = -2

3

y la pendiente de L es m, como el ángulo entre L1 y L esta dado: tgα = m2 – m1, se tiene:

1+ m2.m1

tgα = _-3/2 – m1 ⇒ 1 – 3 m1 = -3/2 – m1 , m1 = 5 1+ (-3/2) (m1) 2 Como L pasa por (0, 1) y tiene pendiente m1 = 5; su ecuación es:

O

y

x

A (x, y)

B (3, -5)

C (6, 10)

G (1, 3)

L1

A(0;1)

45º

O

y

x

L



y – 1 = 5(x – 0) ⇒ 5x – y + 1 = 0 7. Los vértices de un triángulo ABC son A (-3, 2), B (-1, 6) y C (7,- 8). Hallar:

a) La ecuación de la altura trazada a partir del vértice A. b) La ecuación de la median trazada a partir del vértice A y. c) El ángulo formado por la altura y la mediana trazada del vértice A.

Solución: a.-) Para hallar la ecuación de la altura

AH, sabemos que AH es perpendicular a BC. Luego hallamos la pendiente de BC:

m = 8

14

17

68 −=+−−

⇒ mbc = 4

7−

H

Luego; pendiente de AH es: mah = 7

4

Luego, la ecuación de la recta es.

y + 2 = 7

4(x+3)

4x – 7y – 2 = 0

b.-) Para hallar la mediana hallamos el punto medio M de BC.

x = 2

)1(7 −+ = 3; y =

2

68+− = -1

M (3, -1) Ecuación de la mediana AM, conociendo pendiente

mAM = 2

1

33

21 −=+−−

y el punto A (-3, 2) es:

y - 2 = )3(2

1 +− x ; Luego la ecuación es x+2y-1=0

c) El ángulo α formado por AM y AH está dado por:

tgα =AMAH

AMAH

mm

mm

.1+−

⇒ tgα = )2/1)(7/4(1

)2/1()7/4(

−+−−

⇒

tgα = 10

15 ⇒ arc. tgα =

2

3

x

A(-3;2)

y

O

B (-1, 6)

C (7, -8)

M (3, -1)

α



8. El punto P de ordenada 10, está sobre la recta L cuya pendiente es 3 y pasa por el punto A ( 7, -2 ). Calcular la abscisa del punto P. Solución:

Como la pendiente L es: 12

12

xx

yym

−−

=

⇒ 3 = 10-(-2) x – 7 3 (x-7) = 12 ⇒ 3x – 21 =12 3x = 33 ; x= 11 Luego; P (11, 10)

9.- Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación de la recta Ax + By + 4 = 0; que pasa por los puntos P1 (-3, 1) y P2 (1, 6).

Solución :

Pendiente de L es: m = 4

5

31

16 =+−

Como m = 4

5=B

A

A = 5; B = - 4 10.. Los lados de un triángulo ABC, están dados por las ecuaciones: 5x– 7y + 27 = 0; 9x – 2y – 15 = 0; y 4x + 5y + 11 = 0.

a) Hallar los vértices del triángulo ABC. b) Hallar el área del triángulo ABC.

O x

y

A (7, -2)

P (x, 10)

O x

P1 (-3, 1)

y P2 (1, 6)

L



Solución: Primero graficamos las rectas:

a) Hallamos los puntos de intersección de las rectas: L1 ∩ L2: 5x– 7y + 27 = 0 9x – 2y – 15 = 0 x = 3; y = 6: A (3, 6) L2 ∩ L3: 9x – 2y – 15 = 0 4x + 5y + 11 = 0 x = 1; y = -3: C (1, -3) L1 ∩ L3: 5x– 7y + 27 = 0 4x + 5y + 11 = 0 x = -4; y = 1: B (-4, 1) Luego, los vértices del triángulo ABC son: A (3, 6), B (-4, 1) y C (1, -3). b) El área esta dado por:

A =

1

1

1

2

1

33

22

11

YX

YX

YX

⇒ A =

131

114

163

2

1

−−

A = 2

1 [53]; ⇒ A = u2

2

53

11.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 5/2) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área P = 5u2

x

y

L2 : 9x – 2y – 15 = 0

L1 : 5x– 7y + 27 = 0

L3:= 4x + 5y + 11 = 0

A (3, 6)

B (-4, 1)

C(1,-3)



Solución: La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados es:

1=+b

y

a

x, como pasa por el punto P (1, 5/2),

Se tiene: 12/51 =+

ba ⇒ b + )1.....(

2

5aba =

Como el área es. A = ab2

1

5 = ab2

1 ⇒ ab = 10…… (2)

De la ecuación (2) en (1):

b + 1010

2

5 =

b ⇒ 2b2+50 = 20b

2b2-20b + 50 = 0 b2- 10b+25 = 0 0)5( 2 =−b ⇒ b = 5 a = 10/5 ; a = 2 Luego la ecuación es:

152

=+ yx ⇒ 5x + 2y = 10

x

y

b

a

P (1, 5/2)



RESUMEN 1.- Siendo la recta un conjunto de puntos, de modo que la pendiente es constante para dos puntos cualesquiera pertenecientes a la recta , que pasa por el punto P (x1 , y1) y pendiente “m”, tiene por ecuación a : y – y1 = m ( x – x1 ) 2.- Hay otras formas de ecuación de la recta:

a.) Si se conoce dos puntos P1 y P2 , su ecuación es: ( )122

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

b.) Si se conoce un punto en el eje ordenado, tal como (0,b) y su pendiente “m”, su ecuación es: y = mx + b c.) Si se conoce los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados, tales

como P1 (a,0 ) y P2(0, b) , su ecuación es: 1=+b

y

a

x

3.- La ecuación general de una recta está dada por : Ax + By + C = 0, donde la

Pendiente es m = B

A−

4.- La forma normal de la ecuación de la recta está dada por: x cosωωωω + y senωωωω - p = 0; donde p es la distancia del origen al punto de intersección de la recta L con su recta normal y ϖ es el ángulo formado por la recta y el eje X. 5.- La distancia del punto conocido P1( x1 , y1 ) a la recta cuya ecuación es

Ax+By+C=0 está dado por d = 22

11

BA

CByAx

+

++

6.- Si las ecuaciones de las rectas L1 y L2 son: L1 : A1x + B1y + C1 = 0 y L2 : A2x + B2y + C2 = 0. La Posición relativa Estas rectas son: Paralelas: si sus pendientes son iguales: m1 = m2 Perpendiculares, si m1.m2 = -1 Coincidentes, si tienen la misma pendiente y tienen un punto en Común,

y escribimos así: 2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A==



EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar la ecuación de la recta con los datos que se tiene. a) Si tiene pendiente m = ½, y pasa por el punto P1 (-4, 3). b) Si pasa por el punto P1 (0, 5) y tiene pendiente m = -2. c) Si pasa por los puntos P1 (-2, -3) y P2 (4, 2) Resp:. a) x-20y+10 = 0, b) 2x+y+5 = 0; c) 5x-6y+8 = 0;

2. Encontrar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada son 5 y -3 respectivamente. Resp. 3x-5y-15 = 0

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y. a) Es paralela a la recta que pasa por los puntos (4, 1) y (-2, 2) b) Si es perpendicular a la recta 2x-3y+6 = 0

Resp. a) x+6y+16 = 0; b) 3x+2y = 0 4. Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos

(7, 4) y (-1, -2). Resp. 4x+3y-15 = 0 5. Si el ángulo de indicación de una recta L es 60º. Hallar la ecuación de L, si pasa

por el punto (2, -3)

Resp. 0)323(3 =+−− yx 6. Encontrar el valor de k, si ocurre los siguientes casos.

a) 3kx+5y+k-2 = 0; pasa por el punto (-1, 4) b) 4x-ky-7 = 0; tenga pendiente m = 3; c) Kx – y = 3x-6; tenga abscisa en el origen.

Resp. A) k = 9; b) k = 4/3; c) k = -3 7. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente m = -3/4 que formen con los ejes

coordenados un triángulo de área de 24u2 Resp. 3x + 4y – 24 = 0; 8. En el triángulo de vértices A (-5, 6), B (-1, -4) y C (3, 2), hallar:

a) Las ecuaciones de sus medianas Resp. 7x+6y-1 = 0, x+1 = 0; x-6y+9 = 0 b) El punto de intersección de las mismas. Resp. (-1, 4/3)

9. a) Hallar las ecuaciones de las alturas del triángulo del Problema 8. Resp. 2x+3y-8 = 0; 2x-2y-2 = 0; 2x-5y+4 = 0; b) Hallar el punto de intersección de dichas alturas. Resp. (7/4, 3/2) 10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cuya abscisa en el

origen es el doble que la ordenada en el origen. Resp. x + 2y -8 = 0.

11. Hallar el valor del parámetro k en la ecuación 2x + 3y + k = 0, de forma que dicha recta forme con los ejes coordenados un triángulo de área de 27 unidades de superficie. Resp. k= ±18

12. Hallar el valor del parámetro k para que la recta de ecuación 2x + 3Ky – 13 = 0; pase por el punto (-2, 4). Resp. k = 17/12

13. Hallar el valor de K para que la recta de la ecuación 3x – Ky – 8 = 0; forme un ángulo de 45º con la recta 2x + 5y – 17 = 0. Resp. k = 7 -- 9/7.

14. Hallar un punto de la recta 3x + y + 4 = 0; que equidista de los puntos (-5, 6) y (3, 2). Resp. (-2, 2).



15. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1, -6) y cuyo producto de coordenadas en el origen es 1. Resp. 9x + y – 3 = 0; 4x + y + 2 = 0.

16. Hallar la ecuación de la recta de abscisa en el origen -3/7 y que es perpendicular a la recta 3x + 4y – 1 0 = 0. Resp. 28x + 21y + 12 = 0.

17. Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta 2x + 7y – 3 = 0 en su punto de intersección con 3x +2y + 8 = 0. Resp., 7x – 2y + 16 = 0.

20. Hallar las ecuaciones y el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo formado por las rectas 4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0 y 3x +4y-5 = 0.

Resp. 9x-13y-90 = 0, 2x-11y-20=0, 7x+y-70 = 0. Punto (0,0) 21. Hallar las ecuaciones y el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos

interiores del triángulo cuyos lados son las rectas y= 0,3x-4y = 0 y 4x+3y-50 = 0 Resp. x-3y= 0; 2x+4y-25 = 0; 7x – y -50 = 0; Punto (15/2, 5/2)

22. Hallar el área y la longitud de la altura trazada desde A al lado Bc de los triángulos cuyos vértices son:

a. A(-3,3), B(5,5), C(2,-4); Resp.Altura = 5

1011, área= 33 u.

b. A(5,6), B(1,-4), C(-4,0); Resp.: Altura = 41

4166, área= 33 u.

c. A(-1,4), B(1,-4), C(5,4); Resp.: Altura = 5

512, área= 24 u.

d. A(0,4), B(5,1), C(1,-3); Resp.: Altura = 4 2 , área= 16 u.

23. Hallar el valor de K en las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x – 5y + 9 = 0 y 4x + 7y – 28 = 0 y cumple la condición siguiente: a. (2+K)x-(3-K)y+4k+14 = 0; pase por l punto (2,3) Resp. K = -1 b. Kx+(3-K)y+7 = 0, la pendiente de la recta sea 7. Resp . K = 7/2 c. 5x-12y+3+K=0, la distancia de esta recta al punto (-3,2) sea, n valor absoluto, igual a 4. Resp. K = -16, K = 88

24. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x – 5y + 9 = 0 y 4x + 7y – 28 = 0; y cumple la condición siguiente.

a. Pasa por el punto (-3,5) Resp.13x – 8y – 1 = 0 b. Pasa por el punto (4, 2) Resp.. 38x + 87y – 326 = 0 c. Es paralela a la recta 2x + 3y – 5 = 0 Resp.. 82x + 123y -514 = 0 d. Es perpendicular a la recta 4x+5y-20 = 0 Resp.205x-164y+95 = 0 e. Iguales coordenadas en el origen Resp.. 41x+41y-197 = 0; 120x-77y= 0

25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

x – 3y + 1 = 0 y 2x + 5y – 9 = 0; y cuya distancia al origen es (a)2, (b) 5 . Resp.. (a) x – 2 = 0, 3x+ 4y – 10 = 0; (b) 2x + y -5 = 0



AUTOEVALUACIÓN 1.- Qué ángulo forman las rectas cuyas ecuaciones son : 7x – 3y + 2 = 0 y 2x – 5y + 4 =0 A) 22.5° ; B) 45° ; C) 60° ; D) 30° ; E) 120° 2.- Determinar la verdad o falsedad de las relaciones que se dan las rectas: L1: A1x + B1y + C1 =0 y L2 : A2x + B2y + C2 =0 I.- Si A1 = O y A2 = 0, entonces L1 y L2 son paralelos.

II.- La distancia del punto P1 ( x1 , y1 ) a la recta L1 , es: 22

1111

BA

yBxAd

−

+=

III:- Si L1 y L2 son perpendiculares, entonces: A1A2 + B1B2 = 0 A) VVF ; B) VVV ; C) VFF ; D) VFV; E) FFV 3.-Cuál es el valor de “a” para que la recta ax + (a – 1 )y – 18 = 0, sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0 A) 1 ; B) 6 ; C) 7 ; D) 4 ; E) 9

4.- La distancia entre las restas paralelas: L1: 15x – 8y – 51 = 0 y L2: 15x – 8y + 68 =0, es A) 5 unid. ; B) 7 unid. ; C) 3 unid. ; D) 4 unid. ; E) 8 unid. 5.- El área del triángulo cuyos vértices son A( 0,4) , B(5,1 ) y C(1, -3) es: A) 8 u2 ; B) 18 u2 ; C) 16 u2 ; D) 14 u2 ; E) 22 u2 RESPUESTA:

1 2 3 4 5 B D D B C



LA CIRCUNFERENCIA Definición: Es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El punto fijo se llama centro y la distancia constante se llama radio. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Sea la circunferencia de centro C (h, k) y radio r. Sea un punto cualquiera de la curva tal que P(x, y) Por definición: |CP| = r; donde escribimos;

rkyhx =−+− 22 )()(

222 )()( rkyhx =−+−

Expresión que representa la ecuación de la circunferencia de centro (h, k) y radio r conocidos. A esta ecuación se le llama forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si la circunferencia es el origen; y radio r; la circunferencia tendrá por ecuación:

ryx222 =+

A esta ecuación se le conoce como ecuación canónica de la circunferencia . NOTA: Para hallar la ecuación de una circunferencia es necesario conocer el centro y el radio. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Sabemos que la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria está dada por:

222 )()( rkyhx =−+− ,centro (h, k) y radio r; desarrollando la expresión se tiene:

022 22222 =−+−++− rkkyyhhxx

0)(22 22222 =−++−−+ rkhkyhxyx , lo que podemos escribir así:

Donde: D = -2h ; E = -2k ; F = 222 rkh −+

Lo que el centro será:

−−2

;2

ED y; radio Fkhr −+= 222

y

x

C (h, k)

r

P (x, y)

022 =++++ FEyDxyx

P (x, y) r

o



TEOREMA.- La ecuación de una circunferencia que pasa por 3 puntos no colineales P1(x1, y1); P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3) está dado por el determinante.

0

1

1

1

1

3323

23

2222

22

1121

21

22

=

++++

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyos extremos de su diámetro son: A (-2, 7) y B (4, 1)

Solución: Como el centro C(h,k) de la circunferencia está en el el punto medio del diámetro AB:

)4,1(4

217

12

42

C

k

h

=+=

=+−=

el radio r es: r = AC

donde |AC | = 2399)47()12( 22 =⇒+=−+−− r

Luego la ecuación es: 18)4()1( 22 =−+− yx

Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en (-4, -1) y tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0.

Solución:

Hallamos el radio CP; por la distancia de un punto a una recta:

2222

11

23

12)1(2)4(3

+−−+−=

+

++=

BA

CByAxr

13

26=r

La ecuación de la circunferencia es: 222 )

13

26()1()4( =+++ yx

52)1()4( 22 =+++ yx

B (4,1)

A (-2, 7)

C(h, k)

C (-4 -1) r

P 3x+2y-12=0



Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y pasa por los puntos A (1, 3) y B (4, 6).

Solución:

| AC | = |BC | 2222 )60()4()30()1( −+−=−+− hh

Hallamos el radio r

r = |AC | = 459)17( 2 =+−

Luego la ecuación es: 45)0()7( 22 =−+− yx

45)7( 22 =+− yx Ejemplo 4.- Hallar la ecuación de la circunferencia de radio r = 13 que pasa por el origen y tiene centro en (-12, k). Solución Su ecuación es de la forma: (x-h)2 + (y-k)2 = 132 ; como pasa por (0,0) Entonces se tiene: 122 + (0-k)2 = 169 144 + k2 = 169 ; 5±=k Luego la ecuación es: (x + 12)2 + (y-5)2 = 169 o (x + 12)2 + (y+5)2 = 169 EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas: x + y + 4 = 0, y 7x + y + 4 = 0 y tiene por centro la recta 4x + 3y – 2 = 0.

Solución:

|CM | = |CN |

25

47

2

4 +−=

++ khkh

5 |h+k+4| = |7h-k+4| Por teorema: 5(h+k+4) = 7h-k+4 ν 5(h+k+4) = - (7h-k+4) h-3k-8 = 0….. (1) ν 3h+k+6 = 0….. (2) Como el centro (h, k) pertenece a la recta 4x + 3y – 2 = 0; escribiremos: 4h + 3k – 2 = 0…..(3) Resolviendo ecuaciones (1) y (3) Resolviendo ecuaciones (2) y (3) h - 3k - 8 = 0 3h + k + 6 = 0 4h +3k – 2 = 0 4h +3k – 2 = 0 h = 2; k = -2 h = -4; k = 6 C1 (2, -2) C2 (-4, 6)

donde: 81 =r donde 23=r Luego la ecuación de las circunferencias son:

7426 =⇒= hh

A (1,3)

B (4,6)

C (h,0)

C (h,k)

N

M

7x+y+4=0

4x+3y-2=0

x+y+4=0



18)6()4(:

8)2()2(:22

2

221

=−++

=++−

yxC

yxC

2.- Encontrar la ecuación d la circunferencia que pasa por los puntos A (-3, 3) y B (1, 4), sabiendo que el centro está sobre la recta 3x + 2y – 23 = 0. Solución: Como el centro es O (h,k), entonces: |OA| = |OB |

2222 )4()1()3()3( −+−=−++ khkh

Simplificando se tiene la ecuación: 8h + 2k + 1 = 0…..(1)

Como el centro (h, k) pertenece a la recta 3x + 2y – 23 = 0; entonces, escribiremos: 3h + 2 – 23 = 0…..(2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente 8h + 2k + 1 = 0 3h + 2 – 23 = 0 11h = 22 h = 2; k = -17/2; Centro O (2, -17/2)

donde el radio |OA| = 4

629)3

2

17()32( 22 =−−++

luego, la ecuación es: 4

629)()2( 2

2172 =++− yx

3.- Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (-2, 3) y es concéntrica a la circunferencia cuya ecuación es 054622 =++−+ yxyx

Solución: Como la circunferencia cuya ecuación deseamos hallar tiene el mismo centro de la circunferencia 054622 =++−+ yxyx ; su centro es: D = -2h -6 = -2h ⇒ h = 3; E = -2k O (3, -2) 4 = -2k ⇒ k = -2; Luego, el radio de la circunferencia es:

r= 50)32()23( 22 =−−++

La ecuación es: (x+2)2 + (y-3)2 = 50 4.- Una circunferencia pasa por los puntos A (5, -3); B (3, 5) y C (-1, 1). Hallar la ecuación de la circunferencia, su centro y su radio.

Solución:

Escribimos la ecuación de la circunferencia en su forma general:

y

(3,-2)

A(-2,5)

x

O (h,k) B (1, 4)

A (-3,3)

3x-2y-23=0



022 =++++ FEyDxyx …….(α)

Si la circunferencia pasa por los puntos A (5, -3); B (3, 5) y C (-1, 1), entonces, estos puntos satisfacen la ecuación (1) y escribimos así: Si pasa por A (5, -3) ⇒ reemplazando se tiene: 5D – 3E + F = -34…... (1) Si pasa por B (3, 5) ⇒ reemplazando se tiene: 3D – 5E + F = -34…... (2) Si pasa por A (5, -3) ⇒ reemplazando se tiene: -D + E + F = -2…. (3) Resolviendo el sistema se tiene:

5D – 3E + F = -34 3D – 5E + F = -34

-D + E + F = -2

D = ;532−

E = ;58−

F = 534−

Luego reemplazando estos valores en (α) se tiene:

03483255

05

34

5

8

5

32

22

22

=−−−+

=−−−+

yxyx

yxyx

5.- Una circunferencia de radio r = 13 es tangente a la circunferencia

0472422 =−+−+ yxyx en el punto (6, 5). Hallar la ecuación de la circunferencia.

Solución:

Hallamos el centro y el radio de la circunferencia.

0472422 =−+−+ yxyx

Completando cuadrados:

52)1()2(

1447)12()44(

47)2()4

22

22

22

(

=++−

++=++++−

=++−

yx

yx

yx

yx

yx

Luego el centro y radio de la circunferencia

mayor es O (2, -1); r = 13252 =⇔ r Para hallar las coordenadas (h, k) de circunferencia pedida;

por división del segmento OO’ por el punto P (6, 5) en la razón r = 13

132

'=⇒ r

PO

OP

O (2,-1)

132 x

y O’(h,k)

P (6,5)



r = 2; se tiene por fórmula: x = ;1

21

r

rxx

++

y = r

ryy

++

121

Luego: 21

)(226

++= h

; h = 8

O’ (8, 8)

21

)(215

++−= k

; k = 8

Luego, la ecuación de la circunferencia pedida es: 13)8()8( 22 =−+− yx 6.- Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro en (-4, 2) y que sea tangente a la recta 3x + 4y – 16 = 0.

Solución:

Hallamos el radio r. Por distancia de punto a recta:

169

16)2(4)4(3

+−+−

=r ⇒ r = 4

Luego, la ecuación de la circunferencia es:

16)2()4( 22 =−++ yx ó 044822 =+−++ yxyx 7.- Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias 010842 =+−++ yxyx y

0322 =−−+ yxyx ; y hallar los puntos de intersección.

Solución:

Sabemos que el eje radical es la recta perpendicular a la recta que une los centros de la circunferencia. Por lo tanto: Para 0108422 =+−++ yxyx …… (α)

10)4()2( 22 =−++ yx

Para 0322 =−−+ yxyx ……. (β)

2

5

2

3)( 2

21 =

−+− yx

23

,21

'O

O(-4,2)

r

x

y

3x+4y-16=0

O (-2, 4)

x

y

O’ (1/2,3/2)



Al resolver las ecuaciones (α) y (β) hallamos la ecuación del eje radical, entonces:

0108422 =+−++ yxyx

0322 =−−+ yxyx

5x – 5y + 1 0 = 0 luego, la ecuación es: x – y + 2 = 0…. Ec. Eje Radical Para hallar los puntos de intersección de las circunferencias, resolvemos el sistema de ecuaciones formados por el eje radical y por una de las circunferencias; así: Resolviendo: x – y + 2 = 0 110322 =∧−=⇒=−−+ xxyxyx encontramos los puntos (-1, 1) y (1, 3) que son los puntos de intersección de la circunferencia. 8.- Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-1,1) y B(2,3), sabiendo que el centro de la circunferencia está en la recta 3y = x-11. Solución: Si el centro es O(h,k), entonces:

OA=OB 2222 )3()2()1()1( −+−=−++⇒ khkh

Efectuando se obtiene: 6h + 4k = 11........(1) B(2,3) Como el centro es (h,k) y pertenece a la recta 3y = x -11; sustituyendo: 3k-h=-11 …..(2) Resolviendo (1) y (2) 6h+4k= 11

-h+3k = -11 ;

Luego la ecuación es: x2 + y2 -7x + 5y -14 = 0 9.- Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y tangente a la circunferencia : x2 + y 2 = 100 , en T( 6,-8 ) Solución:

25

10 ===TC

OTr

Por división de un segmento:

6 = 921

20 =⇒++

hh

1231

208 −=⇒

++=− k

k

El centro es C (9,-12) , la ecuación pedida será: (x-9)2 + (y+12) 2= 25

A(-1;1) o

2

5,,

2

7 −== kyh

C

T

o



10.- Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-1,-3) y es tangente a la recta que pasa por los puntos (-2,4) y (2, 1) Solución: Encontramos la ecuación de la recta por los puntos dados y tenemos:

01043);2(22

411 =−+⇒−

+−=− yxxy

Ahora por distancia de un punto (-1.3) a la recta

Se tiene : 5169

10)3(4)1(3=⇒

+

−−+−= rd

Luego la ecuación será: (x-1)2 + (y+3)2 =25 o x2 + y2 + 2x + 6y- 15 = 0

.(-1,-3)

(2,1)

(-2,4)



RESUMEN: 1.- La circunferencia es el conjunto que equidistan de un punto fijo llamado centro.. 2.- La ecuación de la circunferencia, conociendo su centro (h, k) y su radio r , está Dado por: (x – h)2 +( y – k )2 = r2

3.- Si el centro es el origen y tiene radio r, su ecuación es: x2 + y2 = r2 4.- La ecuación general de la circunferencia está dado por: x2 + y2 + Dx + Ey +F = 0 , donde el centro (h,k), es: D = 2h ; E = 2k , F = h2 + k2 – r2 5.- La ecuación de una circunferencia que pasa por 3 puntos no colineales P1(x1, y1); P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3) está dado por el determinante.

0

1

1

1

1

3323

23

2222

22

1121

21

22

=

++++

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx




1. Hallar la ecuación de la circunferencia. a) De centro el punto (3, -1) y radio 5

Resp. 0152622 =−+−+ yxyx

b) De centro el punto (0, 5) y radio 5

Resp. 01022 =−+ yyx

c) De centro el punto (-4, 2) y diámetro 8

Resp. 044822 =+−++ yxyx

d) De centro el punto (4, -1) y que pase por (-1, 3)

Resp. 0242822 =−+−+ yxyx

e) De diámetro el segmento que une los puntos (-3, 5) y (7, -3)

Resp. 0362422 =−+−+ yxyx

f) De centro el punto (-4, 3) y que sea tangente al eje y.

Resp. 096822 =+−++ yxyx

g) De centro el punto (3, -4) y que pasa por el origen.

Resp. 08622 =+−+ yxyx

h) De centro el origen y que pase por el punto (6, 0)

Resp. 03622 =−+ yx

i) Que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de radio r = 8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante.

Resp. 064161622 =++−+ yxyx

j) Que pase por el origen, de radio r =10 y cuya abscisa de su centro sea -6. Resp. 0161222 =−++ yxyx

2. Hallar el centro y el radio de las circunferencias siguientes. Determinar si cada una de ellas es real, imaginaria o se reduce a un punto. Aplicar la fórmula y comprobarla por suma y resta de los términos adecuados para completar cuadrados. a) 01210822 =−+−+ yxyx Resp. (4, -5); r = 53 ; real.

b) 062433 22 =++−+ yxyx Resp.

−3

1,

3

2; r = 13

3

1 − ; imaginaria.

c) 07822 =−−+ yxyx Resp.

2

7,4 ; r = 113

2

1; real.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos.

a) (4, 5), (3, -2) y (1, -4) Resp. 0445722 =−−++ yxyx

b) (8, -2), (6, 2) y (3, -7) Resp. 0124622 =−+−+ yxyx

c) (1, 1), (1, 3) y (9, 2) Resp. 095327988 22 =+−−+ yxyx

4. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados.



a) x – y + 2 = 0, 2x + 3y – 1 = 0, y 4x + y – 17 = 0 Resp. 03483255 22 =−−−+ yxyx

b) x + 2y – 5 = 0, 2x + y – 7 = 0, y x – y + 1 = 0 Resp. 020111333 22 =+−−+ yxyx

c) 3x + 2y – 13 = 0, x + 2y – 3 =0, y x + y – 5 = 0 Resp. 05271722 =+−−+ yxyx

5. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-1, -3) que sea tangente a la recta que une los puntos (-2, 4) y (2, 1). Resp. 0156222 =−+++ yxyx

6. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esté en el eje x y qu pase por los puntos (-2, 3) y (4, 5). Resp. 0671433 22 =−−+ xyx

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, -4) y (5, 2) y que tiene su centro en la recta x – 2y + 9 = 0. Resp. 0476622 =−−++ yxyx

8. Determinar el valor que K que la recta 2x + 3y + k = 0, sea tangente a la circunferencia 04622 =+++ yxyx . Resp. -1 ó 25

9. Determinar el valor de K de manera que la mayor distancia del punto P (1, 2) a la circunferencia 010622 =−−++ kyxyx sea de 12 unidades. Resp. 15.

10. Una circunferencia de radio 22 tiene su centro en la recta 4x + 3y = 2 y es tangente a la recta x + y + 4 = 0, hallar la abscisa de su centro. Resp. 2 ó 26.

11. Hallar la longitud de una cuerda a la circunferencia 06041222 =−−−+ yxyx , si P (8, 6) es el centro de la cuerda. Resp.

8 5 .

12. Si P (8 + 3 , 7) s un punto de la circunferencia 096121622 =+−−+ yxyx , hallar la pendiente de la tangente a la circunferencia que pasa por dicho punto.

Resp. - 3

13. Hallar la ecuación de una circunferencia con centro en la recta 2x + 4y – 1 = 0 y que pertenece a la familia 0)42(24 2222 =−−+++−+ xyxkyxyx

Resp. 01322 =−+−+ yxyx

14. Hallar la ecuación de la familia de circunferencias tangentes al eje Y; y a la recta 3x + 4y = 0. Resp. 024 222 =+−−+ kkxkxyx

15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-3, 2) y (4, 1) y sea tangente al eje x.

Resp. 0110222 =+−−+ yxyx ; 04412904222 =+−−+ yxyx 16. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 3) y (3, 6) y

sea tangente a la recta 2x + y – 2 = 0. Resp. 04522622 =+−−+ yxyx ; 02110222 =+−−+ yxyx

17. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (11, 2) y sea tangente a la recta 2x + 3y – 18 = 0 en el punto (3, 4).



Resp. 07371429855 22 =+−−+ yxyx 18. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10 que sea tangente a la recta

3x – 4y – 13 = 0 en el punto (7, 2). Resp. 0105122622 =++−+ yxyx ; 0120222 =+−−+ yxyx

19. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas x – 2y + 4 = 0 y 2x – y – 8 = 0 y que pase por el punto (4, -1). Resp. 010963022 =++−+ yxyx ; 0309467022 =++−+ yxyx

20. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas x – 3y + 9 = 0 y 3x + y – 3 = 0 y que tenga su centro en la recta 7x +12y – 32 = 0. Resp. 03110822 =+−++ yxyx ; 072015270248961961 22 =++++ yxyx



AUTOEVALUACIÓN 1.- El centro de una circunferencia es el punto de intersección de las rectas 7x-9y-10=0 y 2x-5y+2=0. Si la circunferencia pasa por el punto (7, -5). El área del círculo es: A) π48 u2 ; B) π58 u2 ; C) π54 u2 ; D) π52 u2 ; E) N.A 2.- Hallar el valor de k, tal que la circunferencia x2 + y2 + 4x -6y – k = 0 , tenga radio r = 10. A) 87 ; B) 3 ; C) -3 ; D) 8 ; E) 5 3.- Encontrar el centro y radio de la circunferencia 2x2 + 2y2 – x = 0. A) (1/2 , 1 ) y r = 2 ; B) (0, 1/4 ) y r = 4 ; C) ( 1/4 ,0 ) , r = 1/4 ; D) ( 0, 1/2 ), r= 3 E) NA 4.- La ecuación de la circunferencia de radio 5 y tangente a la recta 3x + 4y – 16 = 0 en el punto ( 4, 1) es: A) x2 + y2 – 14 x – 10y + 49 =0 B) x2 + y2 – 2 x + 9y -6 =0; C) x2 + y2 – x – y + 4 =0 D) x2 + y2 – 14 x – 10y + 9 =0 ; E) x2 + y2 + 2 x – 9y + 6 =0 5.- Si una circunferencia pasa por el origen y por los puntos (-4,-3) y ( -1, -7 ); el centro de la circunferencia es: A) (-1, 7 ) ; B) (-1, -7) ; C) ),( 2

721 −− ; D) ),( 2

721 ; E) NA.

RESPUESTA 1 2 3 4 5 B C C A C



LECCION 8

LAS CURVAS CONICAS

Definición.- la parabola.- ecuación de la parabola. - la elipse.- ecuaciones de la elipse.- la hiperbola.- ecuaciones de la hiperbola.- hiperbola equilatera.- hiperbolas conjugadas.

Definición: Se llama curva cónica al conjunto de puntos de un plano cuya distancia de un punto cualquiera de la curva a un punto fijo y a una recta fija, es una razón constante. Al punto fijo F se llama Foco, y la recta fija DD′ se llama directriz.

Es decir: PM

PF= constante “e “ D

a la constante “e” se le llama excentricidad y denotamos:

PM

PF = e

El valor de la excentricidad identifica a una cónica, así: _ Si e = 1; la cónica se llama parábola. _ Si e < 1; la cónica se llama elipse. D’ _ Si e > 1; la cónica se llama hipérbola. Toda sección cónica, puede describirse como la intersección de un plano a 2 conos superpuestos por el vértice. Cuando el plano secante no es paralelo a la generatriz del cono, la intersección es una superficie de forma elíptica (elipse); cuando el plano secante es paralelo a una generatriz del cono, entonces, la intersección que queda tiene la forma parabólica (parábola); cuando el plano secante corta a los dos conos y no pasa por el vértice, las superficies tienen la forma hiperbólica (hipérbola). Elipse Parábola Hipérbola Ejemplo: Encontrar la ecuación de la cónica de excentricidad e = 2/3, cuya directriz es la recta 2x + y – 2 = 0 y foco F (1, 4). Solución: Sea un punto de la cónica tal como P (x, y), entonces, por definición de cónica:

F

P M



PM

PF= e ⇒

3

2

5

22

)4()1( 22

=−+

−+−yx

yx

222)4()1(535

22

3

2)4()1( 2222 −+=−+−⇒

−+=−+− yxyx

yxyx

Elevando al cuadrado y efectuando se tiene: 074934458411637 22 =+−−+− yxyxyx

LA PARÁBOLA

Definición: Es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija. El punto fijo se llama Foco ( F ); y la recta fija se llama directriz D′ D. Es decir: | PF | = | PM | Elementos: 1.Eje Focal: Es la recta perpendicular a la directriz y pasa por el foco MM′

2.Vértice: es el punto de intersección de la parábola con el eje Focal.

3.Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la parábola: SW.

4.Cuerda Focal: Es la cuerda que pasa por el foco HT.

5.Lado Recto: Es la cuerda focal perpendicular al eje Focal. LR.

6.Excentricidad: Es la relación de:

PQ

PFe = W

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EN EL EJE COORDENADO.

1) Si el eje focal es el eje X, y con vértice en el origen. Sea el foco F (p, o) y el

punto M (-p, y); entonces: Por definición: |PF | = |PM |

22 )()( yypy −++ = 22 )0()( −+− ypx

Efectuando Resulta: pxy 42 = Expresión que representa a la ecuación de la parábola

F

P ( x,y )

M

D

D’

H

M’

T

R

F V M

Q P S L

D

D’

D’

D

M(-p;y) P(x,y)

V F(p,0)



con vértice en el origen y eje focal el eje X. Por lo tanto, en la ecuación:

pxy 42 =

Se tiene las siguientes características:

a) La distancia del vértice V al foco F se distingue por p = |VF|

b) Si p>0; la parábola se abre hacia la derecha.

c) Si p<0; la parábola se abre hacia la izquierda.

d) La longitud del lado recto LR = 4p. 1

2) Si el eje focal es el eje y; y tiene vértice en el origen, su ecuación, es con proceso similar al anterior:

pyx 42 =

_ Si p >0; la parábola se abre hacia arriba. _ Si p<0; la parábola se abre hacia abajo. Y F (o,p) _

NOTA: Para hallar la ecuación de una parábola de vértice

En el origen, basta conocer el valor de p , es decir la distancia del vértice al foco

D’ D

x

D’ D

X

F(o,- p)

D

V F

(p,0)

F

-(p,0)

V

D

D’ D’



ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO:

1) Si el eje focal es paralelo al eje X. Para el efecto, sea el vértice (h, k), un punto cualquiera; donde el eje focal una recta paralela al eje X que pasa por

(h, k). La ecuación de la parábola con respecto

al eje x′ o y′ es: Y

′=′ px4y2

(1)

Donde: x′ = x – h y′ = y – k Luego, sustituyendo en la ecuación (1) se tendrá: )(4)( 2 hxpky −=− que representa a la ecuación de la parábola de vértice en (h,k) y eje focal paralelo al eje X Teniendo en cuenta que: _ Si p>0; la parábola se abre hacia la derecha. _ Si p<0; la parábola se abre hacia la izquierda. _ La longitud de su lado recto será LR = 4p. El foco será F (h ± p, k) _ La ecuación de la directriz será: x = h ± p. 2) Si el eje focal es paralelo al eje Y; su ecuación se obtiene de modo similar al caso anterior, es decir , la ecuación de la parábola con respecto al sistema X’OY’ es: '4'2 pyx = y como x’ = x-h ; y’ = y-k Sustituyendo, se tiene: )(4)( 2 hyphx −=− --- que representa a la ecuación de la parábola de vértice en (h,k) y eje paralelo al eje Y Teniendo en cuenta que: _ Si p>0; la parábola se abre hacia arriba. _ Si p<0; la parábola se abre hacia abajo. X _ El lado recto será LR = 4p. _ El foco será F (h, k± p). La ecuación de la directriz será: y = k ± p. NOTA: Para hallar la ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y eje focal paralelo a un eje coordenado, basta conocer su vértice (h,k) y p=VF

X

x’ F V

(h,k) (h+p, k)

D

D’

p

y’

F(h ,k+p)

V(h,k)

D’ D

x’

Y

y’



ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA Teniendo en cuenta las ecuaciones ordinarias de la parábola, obtendremos la ecuación general, así: _ Para la parábola de eje focal, paralela al eje x; se obtuvo desarrollando la ecuación de la forma:

)(4)( 2 hxpky −=− efectuando y ordenando se tiene: 0)4(24 22 =++−− phkkxpxy , en general escribiremos:

02 =+++ DEyDxy ………(1) _ Para la parábola de eje focal paralela al eje Y; cuya ecuación es

)(4)( 2 kyphx −=−

efectuando y ordenando: 0)4(42 22 =++−− pkhpyhxx , en general escribiremos:

02 =+++ FEyDxx ………(2) Las ecuaciones (1) y (2) representan a la forma general de la ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje X y eje focal paralelo al eje Y; respectivamente: EJEMPLOS:

Ejemplo 1.-Sea la parábola con vértice en el origen. a) Hallar la ecuación de la parábola si tiene foco en F (2, 0). b) Hallar la ecuación de la parábola; la ecuación de su directriz, si su foco F(0, -3) c) Hallar la ecuación de la parábola si su directriz es y = -2

Solución: a) Para este caso, la ecuación de la

parábola es: pxy 42 = ; como p = 2 entonces la ecuación será: xy 82 = y

b) Para este caso, la ecuación de la parábola es: pyx 42 = , como p = -3

(se abre hacia abajo), su ecuación es: yx )3(42 −= ⇒ yx 122 −=

La ecuación de la directriz D′D es: y = 3

c) Su ecuación es de la forma: pxx 42 = como p = |VF| = |FM| = 2 -- con p>0; su ecuación es:

yx )2(42 = ; yx 82 =

F (2, 0) x

D

D’

F(0,-3)

V

D’ D

x

y

F(0,2)

D D’ M

x



Ejemplo 2.-La ecuación de una parábola es: 017862 =+−+ yxx , encontrar su vértice, foco y directriz. Trazar la parábola.

Solución:

Como la ecuación general es: 017862 =+−+ yxx Ordenando y completando

cuadrados, escribimos: 17862 −=+ yxx ( sumando a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente 6)

)1(8)3(

88)3(

9178)96

2

2

2

−=+−=+

+−=++

yx

yx

yxx

El vértice es r (-3, 1); h = -3; k = 1 V(-3,1) 4p = 8; p= 8/4 ⇒ p =2 Su foco es: F (h, k+p) = (-3, 1+2) D’ D F (-3, 3) Ecuación de la directriz es y = k - |p| y = 1 – 2; y = -1 Ejemplo 3.-Hallar la ecuación de la parábola de foco (1, 1) y directriz y – 3 = 0.

Solución:

El vértice V es el punto medio entre el foco F y la directriz D′D: V (1, 2) Su ecuación es de la forma: -- )(4)( 2 kyphx −=− , donde h = 1, k = 2; p = |VF| = 1, como la parábola se abre hacia abajo p<0; luego p = -1, entonces, la ecuación será: )2)(1(4)1( 2 −−=− yx ⇒ )2(4)1( 2 −−=− yx EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Encontrar la ecuación de la parábola d eje focal paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0); (8, -4) y (3, 1).

y

Solución:

Como los puntos dados están sobre la parábola, sus coordenadas satisfacen o la ecuación de la parábola cuya forma general es: 02 =+++ FEyDxy - Si pasa por (0, 0) ⇒ F = 0……(1) 0

Y

F

F(1,1)

V(1,2)

D’ D (1,3)

x

x (0,0)

(8,-4)

(3,1)



- Si pasa por (3, 1) ⇒ 1+3D+1E+F=0 o sea 3D+E+F = -1……(2) - Si pasa por (8, -4) ⇒ 16+8D-4E+F=0 o sea 8D-4E+F=-16…...(3) Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene que: F= 0; D= -1; E= 2. La ecuación es: 022 =+− yxy 2.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el punto (4, -1), eje la recta y + 1 = 0 y que pasa por el punto (3, -3).

Solución: Y

Como la parábola tiene eje paralelo al eje x; su ecuación es de la forma: )(4)( 2 hxpky −=− , donde: h= 4; k= -1; entonces, se tiene: )4(4)1( 2 −=+ xpy …….(α) ° Como pasa por (3, -3) podemos escribir (α) así: )43(4)13( 2 −−=+ p

⇒ 16 = -28p; p = 74− . Luego, la ecuación es: ( )4

7

44)1( 2 −

−=+ xy

)4(7

16)1( 2 −−=+ xy

3.- La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0 y su foco es el punto (4, -3). Hallar la ecuación de la parábola y la longitud de su lado recto.

Solución: Según los datos el eje focal es vertical y pasa por el foco F(4, -3) y perpendicular a la recta y = 1. El vértice es el punto medio de FM ; o sea V (4, -1) Por lo tanto, la ecuación de la parábola es:

)1(4)4(

)(4)(2

2

+=−−=−

ypx

kyphx ⇒ |p| = |VF| ⇒ |p| = |-1-(-3)| = 2.

Como la parábola se abre hacia abajo p<0 ⇒ p= -2 Luego la ecuación es: Y

)1(8)4(

)1)(2(4)4(2

2

+−=−+−=−

yx

yx

X

P(3,-3)

V(4,-1)

x

F(4,-3)

V(4,-1)

M(4,1)




1. Hallar las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de las parábolas siguientes. Represéntelas gráficamente. a. xy 62 = Resp. (3/2, 0),6; x+3/2=0.

b. yx 82 = Resp. (0, 2),4/3; y+2=0.

c. xy 43 2 −= Resp. (-1/3, 0), 4/3; x-1/3=0.

2. Hallar la ecuación de las parábolas siguientes: a. Foco (3,0), directriz x + 3 = 0. Resp. 0122 =− xy

b. Foco (0,6), directriz l eje x. Resp. 036122 =+− yx c. Vértice el origen, el eje de coordenadas x, y que pase por (3,6). Resp. xy 122 =

3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (-2, 3) sea igual a su distancia a la recta x + 6 = 0. Resp. 023862 =−−− xyy

4. Hallar la ecuación de la parábola de foco al punto (-2, -1) y cuyo lado recto es el segmento entre los puntos (-2, 2) y (-2, -4). Resp. ;020622 =−−+ xyy 04622 =+++ xyy

5. Hallar la ecuación de la parábola de vértice 8-2, 3) y foco (1, 3) Resp. 0151262 =−−− xyy

6. Dadas las parábolas siguientes, calcular: a) las coordenadas del vértice; b) las coordenadas del foco; c) la longitud del lado recto y d) la ecuación de la directriz. (1) 08642 =−+− xyy Resp. a) (2,2); b) (1/2,2); c) 6; d) x-7/2=0

(2) 02593 2 =−−− yxx Resp. a) (3/2,-7/4); b) (3/2,-4/3); c) 5/3

(3) 013642 =+−− xyy Resp. a) (3/2, 2); b) (3,2); c) 6; d) x = 0 7. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje x; y pase por los

puntos (3, 3), (6,5) y (6,-3). Resp. 09422

=+−− xyy

8. Hallar la ecuación de una parábola de eje vertical y que pase por los puntos

(4,5), (-2,11) y (-4,21). Resp. 010242 =+−− yxx

9. Hallar la ecuación de una parábola cuyo vértice esté sobre la recta 2y - 3x = 0, que su eje sea paralelo al de coordenadas x, y que pase por los puntos (3,5) y (6,-1). Resp. 017462 =+−− xyy ; 05391089811 2 =+−− xyy

10. Hallar la abscisa del punto medio de la cuerda focal de la parábola yx 82 −=

que es paralela a la recta 3x + 4y = 7. Resp. 3. 11. Hallar la longitud del radio parábola 043 2 =+ xy cuya ordenada es 2.

Resp. 10/3 12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el extremo derecho del lado recto de

la parábola yx 82 = y por el punto de intersección de la directriz con el eje de la parábola. Resp. x – y – 2 = 0.

13. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje horizontal y que pasa por A (-3, 6). Resp. xy 122 −=



14. La recta 4x + 5 = 0 es la directriz de una parábola de foco F (-3/4, 4). Hallar la ecuación de la parábola. Resp. 01582 =+−− yxy

15. Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal que pasa por los puntos A (1,2); B (5,3) y R (11, 4). Resp. 012 =−−− yxy

16. Hallar la ecuación de una parábola de directriz horizontal, foco F (2,1) y vértice sobre la recta 3x + 7y + 1 = 0. Resp. )1(8)2( 2 +=− yx

17. Si la directriz d una parábola es 3x – 4y + 5 = 0 y su foco F (6,2), hallar la distancia del vértice a la directriz. Resp. 3/2

18. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el vértice de la parábola 07422 =−−− xyy y que pasa por los extremos d su lado recto.

Resp. 02422 =−++ yxyx

19. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (4, -2) y (-2,4) si la tangente a la parábola en su vértice es la recta y + 4 = 0. Resp. 04242 =−−− yxx ; 02818202 =+−− yxx

LA ELIPSE Definición: Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancia de un punto cualquiera de la curva a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos. X

Es decir: | aPFPF 2|' =+

Siendo P un punto cualquiera de la curva y los puntos F y F′ los puntos fijos llamados focos, y 2a un número real positivo (distancia entre los vértices).

y

(a, 0)

R

L

O

M

A

V′

A′

F(c,0) F’ (-c,0) V

D D

D′ D′

P(x,y) ( 0,b )

(0,-b)

(-a, 0)

S



ELEMENTOS: Focos: Son los puntos fijos F y F′. Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos. Vértices: Son los puntos de intersección de la curva con el eje focal; tales como V y V’. Centro: Es el punto medio de los vértices o punto medio de los focos: Punto O. Eje Mayor: Es el segmento formado por los vértices tal como V’V cuya longitud es 2a. Eje Menor: Es el segmento A′A, cuya longitud es 2b. Eje Focal: Es el segmento que pasa por los focos F′F cuya distancia es 2c. Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la curva, tal como AM. Cuerda Focal: Es la cuerda que pasa por el foco; tal como SA′. Lado Recto: Es la cuerda focal perpendicular al eje focal tal como LR. Radio Focal: Es el segmento que une un punto de la curva con el foco PF o PF′. ECUACIONES DE LA ELIPSE

1.-Ecuación de la elipse de centro en el origen y eje focal un eje coordenado a) Si la elipse tiene eje focal el eje x: Sean los dos puntos fijos F (c, 0) y F′ (-c, 0) y 2a la suma constante ( a>c ). Considere un punto tal como P1 (x, y) que pertenezca al lugar. Por definición.

|F′P + PF| = 2a

Es decir; aycxycx 2)0()()0()( 2222 =−+−+−++

O bien; 2222 )0()(2)0()( −+−−=−++ ycxaycx

Elevando al cuadrado simplificando y ordenando se tiene: )()( 22222222 caayaxca −=+− D A D

Dividiendo por )( 222 caa − se obtiene (-a,o)V V

la ecuación 122

2

2

2

=−

+ca

y

a

x

Como a > c; 22 ca − es positivo. A’ Haciendo 222 bca =−

resulta la ecuación de la elipse en la forma : 12

2

2

2

=+b

y

a

x;

Ecuación que representa a la elipse con centro en el origen y eje focal el eje x.

donde la excentricidad a

ce= y las ecuaciones de las directrices están dadas por:

c

ax

2

±= y lado recto: a

bLR

22= ; Eje mayor: VV’ = 2a ;

Eje menor: AA’ = 2b

F(c,0) -F (-c,0)

P(x,y)

V’(a,o)

D′

(-a, 0)

D

D′



b) Si la elipse tiene eje focal en el eje y: Sean los focos los puntos F (0, c) y F’(0, -c) y un punto cualquiera de la curva, tal como P(x,y), el eje mayor estaría sobre el eje Y, en forma similar al caso anterior,

|F′P + PF| = 2a

Es decir; acyxcyx 2)()0()()0( 2222 =++−+−++

O bien; 2222 )()0(2)()0( cyxacyx ++−−=−++

Elevando al cuadrado, simplificando y ordenando se tiene: Y

)()( 22222222 caaxayca −=+− resolviendo y ordenando resulta la ecuación : D’ D

12

2

2

2

=+a

y

b

x V(0,a)

Cuya ecuación representa cuando la elipse tiene centro en el origen y el eje focal el eje Y P(x,y)

con excentricidad: a

ce= X

Ecuaciones de sus directrices: c

ay

2

±=

y el Lado Recto: a

bLR

22= V’((

2.-Ecuación de la elipse con centro en un punto (h,k) del plano y eje focal paralelo a un eje coordenado.

a.-Si el eje focal es paralelo al eje x; ecuación es:

1)()(

2

2

2

2

=−+−b

ky

a

hx

donde los vértices son: V′(h-a, k) y V (h+a, k) y los focos F′(h-c, k) y F (h+c, k). Las ecuación de la directriz son:

c

ahx

2

±=

Y b. Si el eje focal es paralelo al eje y

su ecuación es de la forma

1)()(

2

2

2

2

=−+−a

ky

b

hx

donde los vértices son: V′(h, k-a) y V (h, k+a) y los focos F′(h, k-C) y F (h, k+c).

F′ F

V V′

(h,k)

(h-a, k) (h+a, k)

D

D′

D

D′

F

F’

(h,k)

V′(h,k-a)

V′(h,k+a)

D′ D

D D′

F(0,c)

F′(0.-c)

V′’ (0,-a) D′ D



Ecuación de la directriz son:

c

aky

2

±=

3.- Ecuación general de la elipse Desarrollando cualquiera de las ecuaciones ordinarias de la elipse se obtiene la siguiente expresión general:

022 =++++ FEyDxByAx

llamada ecuación general de la elipse donde A y B son diferentes pero del mismo signo. Si A < B, la elipse tiene eje focal paralelo al eje x. Si A > B, la elipse tiene eje focal paralelo al eje y. Ejemplos: Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen; si uno de los focos es F1(0, 3) y excentricidad e = ½. Además hallar las ecuaciones de sus directrices. Solución. y Como F1(0, 3), entonces OF1= c = 3

además como 21==

a

ce FFf

entonces; ;21=

a

c

213 =

a ⇒ a = 6.

x Luego los vértices son V (0, ±6) Así mismo, se sabe que: 222 cab −= 223 36 −=b 272 =b Como la ecuación es de la forma:

12

2

2

2

=+a

y

b

x; se tiene la ecuación encontrada : 1

3627

22

=+ yx

cuyas ecuaciones de sus directrices son:

c

ay

2

±= ⇒ 336±=y ⇒ y = 12±

Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la elipse con vértices en V1 (4, 0) y V2 (-4, 0) y focos F1 (3, 0) y F2 (-3, 0). Solución: Con los datos que se tiene, la ecuación es de la forma: Y

12

2

2

2

=+b

y

a

x; donde: a = 4; y c = 3

Como: 9162222 −=⇒−= bcab

Luego la ecuación es:

F1 (0,3)

O

V2

V1

D D′

D′ D

V1(4,0)

F2 F1

V2(-4,0)

O



1716

22

=+yx

Ejemplo 3: Encontrar la ecuación de una elipse de centro en el origen si el eje menor

coincide con el eje x y pasa por el punto ( )3,27 , sabiendo que la longitud del eje mayor es el doble de la de su eje menor. Y Solución: V Eje mayor = 2a

Eje menor = 2b La ecuación es de la forma:

;12

2

2

2

=+a

y

b

x como pasa por

3,

27

; X

Como a= 2b, se tiene:

( )1

)2(

)3(2

2

2

2

27

=+bb

; ⇒ 14

922

47

=+bb

2497 b=+ ⇒ ;42 =b b = 2 ’ donde a = 2(2); a = 4 V’ Luego la ecuación es:

142 2

2

2

2

=+ yx ⇒ 1

164

22

=+ yx

Ejemplo 4: Encontrar los vértices, focos, longitudes de su eje mayor, menor y de su lado recto; su excentricidad y las ecuaciones de sus directrices si la ecuación es:

3694 22 =+ yx Solución: De la ecuación: 3694 22 =+ yx Dividiendo entre 36; se tiene:

149

22

=+ yx

de esta ecuación se deduce que: 92 =a ⇒ a = 3 42 =b ⇒ b = 2

Como b2 =a2 – c2 donde c2 = a2 – b2 c2 =9-4 , c = 5 Lugo, los vértices son: V1 (3, 0) y V2 (-3,0)

Los focos: F1 ( )0,5 y F2 ( )0,5− Eje Mayor: 2a = 2(3) = 6 Eje Menor: 2b = 2(2) = 4

Por dato: a = 2b

V2(3,0) V1(3,0)

O

3,

2

7P



Lado recto 3

8

3

)2(22 22

==⇒= LRa

bLR

Excentricidad: 35=⇒= e

a

ce

Ecuaciones de sus directrices: c

ax

2

±=

559

5

9 ±=⇒±= xx

EJERCICIOS RESUELTOS 1.-: Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos, las longitudes de sus ejes y las ecuaciones de sus directrices, sabiendo que sus vértices son (-3, 7) y (-3, -1) , sabiendo que su lado recto es 2. Solución: El centro es el punto medio de los vértices: O (-3,3) La ecuación es de la forma:

1)()(

2

2

2

2

=−+−a

ky

b

hx; donde h = -3 y k = 7

Longitud eje mayor: 2a = V1V2= 8)1(7 =−− ; a = 4

Como 2;44

22

2 222

==⇒=⇒= bbb

a

bLR

Luego la ecuación es:

116

)3(

4

)3( 22

=−++ yx

Como F 1F2 = 2c

Sabemos que 222 cab −= ;

32

222

=

−=

c

bac X

Luego los focos son F1 (0, )32 y F2 (0, - )32 Ecuaciones de sus directrices:

c

aky

2

±= ⇒ 32

163±=y ;

338

3±=y

2.- La ecuación general de una elipse es 061224 22 =+−++ yxyx . Hallar las coordenadas del centro, vértices, focos, longitudes de sus ejes, de su lado recto, su excentricidad y las ecuaciones de sus directrices.

y

F1

F2

O(-3,3)

V1(-3,7)

V2(-3,-1)



Solución: Como la ecuación es:

061224 22 =+−++ yxyx Transformamos a su forma ordinaria, ordenando y completando cuadrados, del siguiente modo: ( ) ( )( ) ( )

11

)(

4

)1(

4)(4)1(

916493412

6342

2232

223

22

22

=−

++

=−++

++−=+−+++

−=−++

yx

yx

yyxx

yyxx

Donde:

3;3;

1;1

2;4

2222

2

2

==−=

==

==

ccbac

bb

aa

Luego: Centro O (-1, 3/2) Vértices: V1 (-1+a, 3/2); V1 (1, 3/2) V2 (-1-a, 3/2); V2 (-3, 3/2) Focos: F1 (-1+c, 3/2); F1 (-1+√3, 3/2) F2 (-1-c, 3/2); F2 (-1-√3, 3/2) Eje Mayor: 2a = 2(2) = 4 Eje Menor: 2b = 2(1) = 2

Lado Recto: ;2 2

a

bLR = 1

2)1(2 ==LR

Excentricidad: ;a

ce=

23=e

Ecuaciones de sus directrices:

;2

c

aky ±= ;

3

423 ±=y

334

23 ±=y

3.- Hallar el área del polígono cuyos vértices son los extremos de los lados rectos de la cónica .014472150925 22 =++−+ yxyx Solución: Y Completando cuadrados se tiene:

,225)4(9)3(25 22 =++− yx

de donde: 125

)4(

9

)3( 22

=++− yx

que representa una elipse de eje x = 3 y centro (3, -4), donde a = 5 y b = 3; asimismo 9252 −=c , esto es c=4 Área LRL′R′, como: L′R′ = LR = 18/5; FF′ = 2C; 2C = 8

X L R

F

O

F′

L1 R1

x-3



entonces: 2

5

144uA =

4.- Hallar la ecuación de la elipse cuyo eje mayor de longitud 6, está sobre la recta 2x – y = 0, y cuyo eje menor de longitud 4 está sobre la recta x + 2y = 0. Solución: Representando las rectas R: 2x – y = 0 y S: x + 2y = 0 como mR = 2 y mS = -1/2, entonces R es perpendicular a S, y constituyen un sistema de coordenadas: R 0 S en el cual la ecuación de la elipse será:

)1.....(149

22

=+ sr

Ahora, si P (x,y) es un punto de la elipse, entonces:

5

2),(

yxRPds

−== , de donde:

s2 = 1/5(4x2 + 4xy + y2 )

5

2),(

yxSPdr

+== , d donde:

( )222 445

1yxyxr ++= , sustituyendo en (1) resulta:

,120

44

45

44 2222

=+++++ yxyxyxyx

Suprimiendo denominadores y simplificando s obtiene la ecuación:

036548 22 =−+− yxyx 5.- Un arco tiene la forma de una semielipse de eje mayor igual 48 u. y 20 u. de semieje menor. Cuál será el ancho tendrá la elipse para una altura de 10 unidades Solución: Según los datos: 2 a = 48 Eje mayor ) con b = 20 La ecuación que corresponde es de la forma :

12024 2

2

2

2

=+ yx ; como Y = 10 , entonces x será:

3121400

100

576

2

=⇒=+ xx

Por lo tanto el ancho que corresponde será : 2x = 324 6- Determinar la ecuación de la elipse de excentricidad e = 2/3 y focos : (4, 2 ) y (-8, 2)

P(x,y)

R

2x-y=0

x+2y=0

S

y

x



Solución.-

Conociendo los focos, podemos hallar el centro: h = 22

48 −=+− ; y

k = )2,2(22

22 −⇒=+O , como la distancia entre

los focos es 12 = 2ae, como e= 2/3 , a = 9 ;

b2 = a2 – c2 ; 53=⇒ c Luego la ecuación será

145

)2(

81

)2( 22

=−++ yx

V2(7,2) V1(-11,2) O(-2,2) F2 F1




1) En cada una de las elipses siguientes hallar: a) la longitud del semieje mayor, b) la longitud del semieje menor, c) las coordenadas de los focos, d) la excentricidad.

(1) 1144169

22

=+ yx Resp. a) 13, b) 12, c) (±5,0), d) 5/13

(2) 1128

22

=+ yx Resp. a) 2 3 , b) 2 2 , c) (0,±2), d) 33

(3) 025.65289225 22 =+ yx Resp. a) 17, b) 15, c) (±8,0), d) 8/17

2) Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se indican.

(1) Focos (±4, 0) y vértices (±5,0) Resp. 1925

22

=+ yx

(2) Focos (0, ±8) y vértices (0,±17) Resp. 1289225

22

=+ yx

(3) Longitud del lado recto = 5, vértices (±10, 0) Resp. 125100

22

=+ yx

3) Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, focos en el eje x, y que pase por

los puntos (-3, 23 ) y (4, 4 )35 . Resp. 14494 22 =+ yx

4) Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, semieje mayor de 4 unidades de longitud sobre el eje y, y la longitud del lado recto igual 9/2. Resp. 144916 22 =+ yx

5) Hallar el lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (3, 1) y (-5, 1) sea igual a 10. ¿Qué curva representa dicho lugar? Resp. 01915018259 22 =−−++ yxyx

6) Hallar el lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (2, -3) y (2, 7) sea igual a 12. Resp. 0208441441136 22 =−−−+ yxyx

7) Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (3, 2) sea la mitad de la correspondiente a la recta x + 2 = 0. ¿Qué curva representa dicho lugar? Resp. 048162843 22 =+−−+ yxyx , una elipse

8) Encontrar los vértices, focos, longitudes de sus ejes mayor y menor, de su lado recto y las ecuaciones de sus directrices de la elipse cuya ecuación es: 576169 22 =+ yx

Resp. V (±8, 0); F (±2√7, 0); LR = 9 ; x = 7

732±

9) En una elipse los radios focales son las rectas que unen los focos con un punto cualquiera de la curva. Encontrar las ecuaciones de los radios focales correspondientes al punto (2, 3) de la elipse cuya ecuación es 4843 22 =+ yx Resp. x = 2; 3x – 4y + 6 = 0



10) Hallar la ecuación de la elipse de la forma 222222 bayaxb =+ si la distancia entre

las directrices es 5021 y la excentricidad es 21/5. Resp. 100254 22 =+ yx

11) Hallar la circunferencia inscrita en una elipse pasa por sus focos, hallar la

excentricidad de la elipse. Resp. 2/2

12) Una cuerda de la elipse 222222 bayaxb =+ de longitud “a” es paralela al eje

mayor, hallar su distancia al centro. Resp. 2/3b

13) Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos focos es F (-3, 2) y directriz correspondiente y – 5 = 0 y pasa por el punto (-2, -5) Resp. 012122 22 =++++ yxyx

14) Hallar el menor ángulo con que se observa desde el origen al segmento que une los focos de la elipse 012124 22 =++++ yxyx . Resp. π/3

15) Si uno de los focos de la elipse es (7,0) y las directrices x=1 y x=9, hallar su ecuación. Resp. 82)5( 22 =+− yx

16) Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos focos es el punto (-1, -1), directrices

x=0, y excentricidad 22=e . Resp. 04442 22 =++++ yxyx

17) Un arco de 80 metros de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura es de 30 metros, hallar la altura del arco en un punto situado a 15 metros del centro.

Resp. 45515 Metros.

18) La órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148,5 millones de kilómetros y que la excentricidad vale 0,017, hallar la máxima y la mínima distancia de la Tierra al Sol. Resp. (152, 146) millones de kilómetros.

19) Hallar la ecuación de la elipse de focos (±8, 0) y que pasa por el punto (8, 18/5).

Resp. 136100

22

=+ yx

20) Los focos de una elipse están sobre las rectas 3x + 5y + 12 = 0 y 2x + 3y - 6 = 0, el eje focal es x = 6, hallar la ecuación de la elipse si el eje mayor mide 6 unidades. Resp. 225)2(9)6(25 22 =−+− yx

21) Una elipse con centro en el primer cuadrante y sobre la recta y = 2x es tangente a los ejes coordenados y pasa por el punto (2,2), hallar el valor a + b. Resp. 3 ó 5.



LA HIPÉRBOLA

Definición: Dado los puntos fijos F1 y F2 y un número real 2a > 0. La hipérbola es el conjunto de puntos de un plano tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias de un punto de la curva a dos puntos fijos es igual a una constante. Los puntos fijos se llaman focos y la constantes es 2a. Directrices: Son las rectas D y D′ entre las ramas de la curva y perpendiculares al eje. Asíntotas: Son las rectas S y S′ que pasan por el centro C y se aproximan a las ramas de la curva en tanto que estas se extienden ilimitadamente. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA 1. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre un

eje coordenado: a. Hipérbola con Eje Focal sobre el eje X: Sea una hipérbola con centro en el origen y eje transverso coincidente en el eje x, con focos f (c, 0) y F (-c, 0) si d es la diferencia de las distancias de un punto P (x, y) Y de la hipérbola a los focos F y F′, se tiene que: |d(PF′) – d(PF)| = 2a Sea P(x, y) un punto cualquiera de la curva. Por definición aPFPF 2' =−

o bien;

aycxycx 2)0()()0()( 2222 =−+−−−++

Transponiendo un radical:

2222 )0()(2)0()( −+−+=−++ ycxaycx

ELEMENTOS: Focos: Son los puntos F y F′. Eje: Es la recta que pasa por los focos. Vértices: Intersecciones de la curva con el eje. Eje Transverso: Es el segmento vv′= 2a . Eje Conjugado: Es el segmento BB′= 2b Eje Focal: Es el segmento FF′= 2c. Radio Focal: Es el segmento que une un punto de la curva con su foco PF o PF ′. Cuerda Focal: Es el segmento que pasa por un foco MN . Lado Recto: Es la cuerda focal perpendicular al eje.

M

(-c,0) F′

F (c, 0) X

L B

RN

D D′

V′

B′

F (c, 0) V(a, 0)

P

F′ (-c,0)

P(x, y)

l′ l

A

A′



Elevando al cuadrado y reduciendo términos, 222 )( ycxaacx +−=−

Nuevamente elevando al cuadrado y simplificando, )()( 22222222 acayaxac −=−−

Dividiendo por )( 222 aca − , se obtiene la ecuación 122

2

2

2

=−

−ac

y

a

x

Como 22, acac −⇒> es positivo. Haciendo 222 bac =− se obtiene la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje x.

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Observación:

_ En toda hipérbola, la excentricidad 1>=a

ce , Lado Recto:

a

bLR

22=

Ecuación de las directrices: c

ax

2

±= ; Vértices: V1(a,0) y V2(-a,0)

Focos: F1(c,0) y F2(-c,0); Longitud eje transverso: V1V2 = 2a. Longitud del eje conjugado: AA ′ = 2b

Las rectas asíntotas l y l′ que limitan a las curvas están dadas por: xa

by ±= .,

y se obtienen haciendo que 02

2

2

2

=−b

y

a

x

b. Hipérbola con Eje Focal sobre el eje Y: Sea una hipérbola con centro en el origen y eje transverso sobre el eje Y. En forma análoga al desarrollo Y anterior, se establece que la segunda ecuación canónica de la hipérbola es:

,12

2

2

2

=−b

x

a

y 222 acb −= V

Ecuaciones de las directrices: X

c

ay

2

±= ó e

ay ±= V’

Ecuaciones de las asíntotas: xb

ay ±=

F′ (0,-c)

F (c, 0)

O

L L′



2. Ecuación de la hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo a un eje coordenado. a) Hipérbola con eje paralelo al eje X. Sea la hipérbola con centro C (h, k) y eje transverso paralelo al eje X. Consideremos un nuevo sistema X′CY′ de ejes paralelos al lado, de manera que X′ coincida con el eje de la hipér- bola; en este caso su ecuación es:

1''2

2

2

2

=−b

y

a

x, por las ecuaciones

de translación: V’ V x′ = x – h ; y′ = y – k Sustituyendo, se tiene la ecuación La ecuación de la hipérbola con eje Paralelo al eje X y centro en (h,k)::

1)()(

2

2

2

2

=−−−b

ky

a

hx; donde:

222 acb −= , y además se cumple que los vértices: son V(h+a, k), V’(h-a, k), focos(h±c, k);

eje transverso: y = k; directrices c

ahx

2

±= ó e

ahx ±= y asíntotas )( hx

a

bky −±=−

b) Hipérbola con Eje paralelo al Eje Y: Sea la hipérbola con centro en C (h, k) y eje transverso paralelo al eje Y. Determinamos su ecuación considerando un nuevo sistema X′CY′, cuyo eje Y′ es coincidente con el eje de la hipérbola. En el nuevo sistema su ecuación es:

12

2

2

2

=−b

x

a

y, como

x′= x – h o y′= y – k, entonces, la ecuación de la hipérbola con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje Y es:

1)()(

2

2

2

2

=−−−b

hx

a

ky, donde:

222 acb −= , y se cumple que los vértices son: V(h, k+a), V’(h, k-a), focos (h, k±c); para F y F’

directrices c

aky

2

±= ó e

aky ±= y las ecuaciones de las asíntotas son:

)( hxb

aky −±=− ., si el eje focal es paralelo al eje Y

Y

h

k

Y′

X

C (h,k) X′

h

k C (h,k)

X′

F′

F

X

Y′ Y



3. Forma General de la Ecuación de la Hipérbola

La ecuación general de una hipérbola esta dada por: 022 =++++ FEyDxByAx

Donde A y B son de signos contrarios.

Hipérbola Equilátera o Rectangular:Una hipérbola 12

2

2

2

=−b

y

a

x en la cual

es a=b se llama hipérbola equilátera o rectangular, cuya ecuación se escribe así: 222 ayx =− , fig.(a) y se cumple que: 2ac = , su excentricidad es 2=e y sus

asíntotas son las rectas x – y = 0 , y x + y = 0. Si los ejes transversos y conjugados son coincidentes con la recta x–y= 0 y

x + y = 0, fig. (b), la ecuación de la hipérbola toma la forma 2

2axy = , en este caso

la curva está ubicada en el primer y tercer cuadrante; y está en el segundo y cuarto

cuadrante si su ecuación es 2

2axy −= , en ambas situaciones sus asíntotas son los

ejes coordenados. fig. (a) fig. (b) Hipérbolas Conjugadas Dadas dos hipérbolas para las cuales se cumplan que el eje transverso de una es idéntica al eje conjugado de la otra y viceversa se dice que las hipérbolas son conjugadas y de ecuaciones:

12

2

2

2

=−b

y

a

x , 1

2

2

2

2

=−a

x

b

y

Se observa que la circunferencia de radio C y cuyo centro es el centro de las hipérbolas conjugadas pasa por los focos de las hipérbolas, y además ambas hipérbolas tienen las mismas asíntotas.

a

x

y

P(x, y)

x+y=0 x-y=0

a

P(x, y)

y

x

a

b

x

y

F2

F’ 1

F’ 2



EJEMPLOS: Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje sobre el de coordenadas Y, y que pase por los puntos (4, 6) y (1, -3).

Solución:

La ecuación es de la forma:

12

2

2

2

=−b

y

a

y ……..( 1 )

Sustituyendo x e y por las coordenadas de los puntos dados en la ecuación ( 1 ) , resultan

11636

22=−

ba y; 1

1922

=−ba

Resolviendo este sistema de ecuaciones: 5/362 =a y 42 =b

Sustituyendo y simplificando , 1436

5 22

=− xy, o bien 3695 22 =− xy

Ejemplo 2: La ecuación de una hipérbola es 144916 22 =− yx . Hallar las coordenadas de sus vértices, focos, las ecuaciones de sus directrices; las longitudes de sus ejes trasversos y conjugado; y lado recto y las ecuaciones d sus directrices. Solución: Si la ecuación es: 144916 22 =− yx Escribimos en su forma:

1169

22

=− yx; donde 92 =a ; a=3

162 =b ; b=4 y como 222 acb −= 222 abc += ⇒ 252 =c c = 5 Luego, los vértices son V (±3,0) Los focos son; F (±5,0)

Ecuaciones de asíntotas: y = xa

b± ⇒ xy34±=

Sus ecuaciones de sus directrices: c

ax

2

±= ⇒ 59±=x

Longitud de su eje transverso: 2a = 2(3) = 6 Longitud de su eje conjugado: 2b = 2(4) = 8

Longitud d su Lado Recto: 3

16

3

)4(22 22

===a

bLR

(1,-3)

(4,6)

x

y

V2 V1 F2 F1

A1 (0,-4)

A (0,4)

(5,0) (-5,0)

L

R

D D

D′ D′



Ejemplo 3: Si los focos de una hipérbola con F (0,±3) y con eje conjugado igual a 5; hallar la ecuación de la hipérbola y las ecuaciones de sus asíntotas. Solución: Por dato: c=3; eje conjugado 2b = 5; b=5/2 Como 222 acb −=

⇒ 4

2592 −=a ;

4

112 =a

Como la ecuación es de la forma:

12

2

2

2

=−b

x

a

y ⇒ 1

425

411

22

=− xy ó 27544100 22 =− xy

Ecuación de las asíntotas: y= xb

a± ; ⇒ x

25211

±

⇒ xy511±=

Ejemplo 4: Encontrar la ecuación de la hipérbola de vértice en V (±6,0), sabiendo que una de sus asíntotas tiene por ecuación a la recta 4x – 3y = 0. Solución: Como una de las asíntotas es: 4x – 3y = 0; la otra asíntota será: 4x + 3y = 0. Por lo tanto la ecuación de la hipérbola escribiremos : (4x)2 –(3y)2 = k ……( 1 ) Como pasa por el punto (6,0), entonces éste punto satisface la ecuación (1) Y hallamos el valor de k . Para esto se tiene: 16(6)2 – 9(0)2 = k , entonces k = 576. Luego la ecuación será:

16x2 -9y2 = 576 ó 16436

22

=− yx

F2

F1

x



EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- La ecuación general de la hipérbola es. 01996418169 22 =−−−− yxyx . Encontrar el centro, los vértices, focos, ecuaciones de las asíntotas y las ecuaciones de las directrices. Solución:

01996418169 22 =−−−− yxyx Escribimos en su forma ordinaria para el efecto, agrupando términos:

19

)2(

16

)1(

144)2(16)1(9

649199)44(16)12(9

199)4(16)2(9

199)6416()189(

22

22

22

22

22

=+−−

=+−−

−+=++−+−=+−−

=+−−

yx

yx

yyxx

yyxx

yyxx

a = 4; b = 3; y 222 bac += ; c=5. De esta ecuación deducimos que: Centro: O (1, -2) Vértices: V (h±a, k) ⇒ V1 (5, -2) y V2 (-3, -2) Focos: F (h±c, k) ⇒ F1 (6, -2) y F2 (-4, -2)

Ecuaciones de las asíntotas: )1(43

2 −±=+ xy

2.- Hallar la ecuación de la hipérbola conjugada de 1169

22

=− yx; y encontrar las

ecuaciones de las asíntotas y las coordenadas de los focos de ambas hipérbolas. Solución:

La ecuación de la hipérbola conjugada es: 1169

22

=+− yx

En las dos hipérbolas, 5169 =+=c . Luego las coordenadas de los focos de la hipérbola dada son (±5,0), y la de la conjugada (0, ±5).

Las ecuaciones de las asíntotas, xy34±= son las mismas para las dos hipérbolas.

3.- Dada la ecuación de la hipérbola 064363294 22 =+++− yxyx . Hallar su excentricidad y las ecuaciones de sus asíntotas. Solución: Completando cuadrados en la ecuación resulta:

F2 F1 V1 V2

(1,-2)

O

y



36)2(9)4(4 22 −=−−+ yx

De donde: 19

)4(

4

)2( 22

=+−− xy por lo que a = 2 y b = 3.

Como el centro de la hipérbola es C (-4, 2), las asíntotas son:

)( hxb

aky −±=− es decir: )4(

32

2 +±=− xy o también

2x – 3y + 14 = 0 y 2x + 3y + 2 = 0 4.-: La ecuación de una hipérbola esta dada por 011385449 22 =++−− yxyx . Encontrar el centro, vértices, focos, longitud de sus ejes transversos, conjugado y lado recto, su excentricidad y las ecuaciones de sus asíntotas. Solución: De la ecuación: 011385449 22 =++−− yxyx Agrupando y completando cuadrados, obtenemos la ecuación en su forma ordinaria:

;14

)3(

9

)2( 22

=−−− xy

Donde.

1313

4

3

2

222

2

2

=⇒=

+=

=

=

cc

bac

b

a

Entonces: El centro es: O (1,3) Vértices: V1 (3, 1+3) y V2 (3, 1-3), o sea V1 (3, 4) y V2 (3, -2)

Focos: F1 (3, 1+ 13 ) y F2 (3, 1- 13 ) Eje Transverso: 2a = 6 Eje Conjugado: 2b = 4

Excentricidad: a

ce= ⇒

313=e

De las ecuaciones de las asíntotas:

De la ecuación ;14

)3(

9

)1( 22

=−−− xy escribimos haciendo que el 2do. Miembro sea

cero, y se tiene: 2)1(4 −y - 9(x-3)2 = 0 Factorizando, e igualando a cero cada factor obtenemos las ecuaciones 2(y-1)+3(x-3)=0; 2(y-1)- 3(x-3) = 0 ⇒ 3x + 2y - 11 = 0; 3x - 2y- 7 = 0



RESUMEN. 1.- Una curva cónica es el conjunto de puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo, llamado foco, y a una recta fija , llamado directriz, es siempre una constante llamado excentricidad. 2,. El valor de la excentricidad “e” identifica a una cónica: - Si e = 1 ; la curva es una parábola. - Si e<1 ; la curva es una elipse. - Si e> 1; la curva es una hipérbola. 3.-La parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija. El punto fijo, se llama foco, y la recta fija se llama directriz. 4.- La ecuación de la parábola con eje paralelo a los ejes coordenados y vértice en el origen está dado por: y2 = 4px; si tiene eje focal al eje X ; x2 = 4py , si tiene eje focal al eje y , donde p es la distancia del vértice al foco, y 4p = LR (Lado Recto) 5.- Si la parábola tiene como vértice un punto (h,k) y eje focal paralelo a un eje coordenado, sus ecuaciones son: (y-k)2 = 4p(x-h), si tiene eje paralelo al eje x ; (x-h)2 = 4p(y-k) ; si tiene eje focal paralelo al eje y 6.- La ecuación general de una parábola es. x2 + Dx + Ey + F = 0 , si tiene eje paralelo al eje y o , y2 +Dx + Ey + F = 0 , si tiene eje paralelo al eje x 7.- La elipse es el conjunto de puntos de un plano cuya suma de las distancias de un punto cualquiera de la curva a dos puntos fijos es igual a la constante 2a ( 2a = distancia entre los vértices); los puntos fijos se llaman focos. 8.- Las ecuaciones de la elipse se presentan del siguiente modo:

Si tiene centro en el origen y eje focal el eje x, su ecuación es: 12

2

2

=+bb

y

a

x

Si tiene centro en el origen y eje focal el eje y, su ecuación es: 1

2

2

2

2

=+a

y

b

x

Donde a= semieje mayor , y b = semieje menor 9.- Si la elipse tiene centro en un punto (h,k) y eje focal paralelo al ejex o paralelo al eje

y sus ecuaciones correspondientes son: 1)()(

2

2

2

2

=−+−b

ky

a

hx o

1)()(

2

2

2

2

=−+−a

ky

b

hx

10.- La ecuación general de la elipse está dado por: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0, con AB>0 ( A y B diferentes pero de signos iguales)



11.- La hipérbola es el conjunto de puntos de un plano, tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias de un punto cualquiera de la curva a dos puntos fijos es siempre igual a 2 a ( 2 a = distancia entre sus vértices) los puntos fijos se llaman focos. 12.- La ecuación de la hipérbola de centro en el origen y eje focal un eje coordenado es:

12

2

2

2

=−b

y

a

x , si su eje focal es el eje x. o 1

2

2

2

2

=−b

x

a

y , si su eje focal es el eje y;

donde a = semieje transverso ; b= semieje conjugado. 13.- Si la hipérbola tiene centro en un punto (h,k), y eje focal paralelo a un eje coordenado, su ecuación es.

1)()(

2

2

2

2

=−−−b

ky

a

hx , si su eje focal es paralelo al eje x.

1)()(

2

2

2=−−−

b

hx

a

ky , si su eje focal es paralelo al eje y

14.- Las asíntotas de la hipérbola, son las rectas que limitan a las curvas y obtienen

igualando a cero . Así para 12

2

2

2

=−b

y

a

x si, b2x2 - a2y2 = 0, factorizando e igualando a

cero cada factor se obtienen las asíntotas: bx + ay = 0 y bx – ay = 0 , que corresponden a las asíntotas de dicha hipérbola. 15.- La ecuación general de una hipérbola está dado por la ecuación: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 ; donde A B<0 ( A y B de signos contrarios)




1. Hallar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que:

a) Focos F (±5,0), y eje transverso 8 Resp. 144169 22 =− yx

b) Foco F (0, ±13); eje conjugado 24 Resp. 360025144 22 =− xy

c) Foco F (8, 0) y vértice (b, 0) Resp. 25297 22 =− yx 2. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro el origen, focos sobre el eje X,

distancia entre sus directrices 4 unidades y que pase por el punto P (4, 3). Resp. 3023 22 =− yx

3. Hallar la distancia del foco de la derecha de la hipérbola 144916 22 =− yx a cualquiera de sus asíntotas. Resp. 8 unidades

4. Calcular el área del cuadrilátero que tiene por vértices los focos y los extremos del

eje conjugado de la hipérbola 3694 22 =− yx Resp. 2134 u

5. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje real sobre el eje de coordenadas, excentricidad 2√3 y longitud de lado recto 18 unidades.

Resp. 8111121 22 =− xy

6. Si los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse 225259 22 =+ yx , hallar la ecuación de la hipérbola de excentricidad igual 2.

Resp. 123 22 =− yx

7. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los mismos que los de la elipse 1243 22 =+ yx y cuya excentricidad es 3/2 unidades mayor que la excentricidad de

la elipse. Resp. 03412 22 =−− yx

8. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, longitud del lado recto 36 y distancia entre los focos es igual a 24.

Resp. 1083 22 =− xy

9. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, ejes sobre las coordenadas y que pase por los puntos (3,1) y (9,5). Resp. 63 22 =− yx

10. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices (±6,0) y asíntotas 6y = ±7x. Resp. 17643649 22 =− yx 12. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos

fijos (-6, -4) y 82, -4) sea igual a 6. Resp. 17

)4(

9

)2( 22

=+−+ yx

13. Hallar las coordenadas de a) el centro, b) los focos, c) los vértices y d) las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 01243236169 22 =−−−− yxyx

Resp. a) (2, -1); b) (7, -1), (-3, -1); c) (6, -1), (-2, -1); d) y – 1 = ±3/4 (x-2)

14. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancia a las rectas 3x - 4y – 1 = 0 y 3x + 4y – 7 = 0 o sea 144/25. ¿Qué curva representa dicho lugar?

Resp. 1513218169 2 −+−− yxyx Hipérbola



15. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (0, 0), un vértice en (3,0) y ecuación de una asíntota 2x – 3y = 0. Resp. 3694 22 =− yx

16. Dadas las hipérbolas conjugadas ,143 22 =− yx 134 22 =− xy , hallar el área

limitada por la circunferencia que pasa por los focos. Resp. 7π/12 u2

17. Hallar la ecuación de la hipérbola de asíntotas x ± 3y = 0 y 12 unidades de longitud de su eje transverso. Resp. 369 22 =− yx ó 3249 22 =−xy

18. Una hipérbola equilátera tiene su eje transverso de 2 2 unidades de longitud, hallar la longitud de su semieje focal. Resp. 2.

19. Un punto de la hipérbola 122 =− yx del primer cuadrante, es P (m,n) si la distancia

del punto a su asíntota correspondiente es 42 , hallar el valor de m+n. Resp. 2

20. La directriz de una hipérbola, de 7 unidades de longitud, es 3x – 4y + 3 = 0, hallar la distancia del foco al punto P (1, -1) de la hipérbola. Resp. 14 unidades.

21. Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola son x – 2y + 4 = 0 y x + 2y - 6 = 0,

si P (2, -1) es punto de la hipérbola determinar su ecuación. Resp. 0242024 22 =−−+− yxxy 22. Identificar la cónica de focos (1, -1) y (-1, -3), cuyas pendientes directrices son

x + y + 1 = 0 y x + y + 3 = 0. Resp. e =√2. H. Equilátera

23. Las asíntotas de una hipérbola son x – y + 1 = 0 y x + y + 3 = 0 si uno de sus vértices es (4, 2), hallar su ecuación. Resp. 16)1()1( 22 =−+− yx

24. Los focos de la elipse 033716054169 22 =++++ yyyx son los vértices d una hipérbola y recíprocamente, hallar la ecuación de una hipérbola.

Resp. 0157705479 22 =−−+− yxyx

25. Hallar la ecuación de la hipérbola de asíntotas 2x – 1 = 0 y 2y + 3 = 0 y que pasa por el punto P (1, -4). Resp. 2xy + 3x – y + 1



AUTOEVALUACIÓN 1.- Los extremos del lado recto de una parábola son (-6, 1) y (2, 1), hallar su ecuación, si p<0. A) x2 + 4x – 8y + 28 = 0 ; B) x2 + 4x + 8y - 20 = 0 ; C) x2 + 8y - 20 = 0 ; D) y2 + 4x – 8y + 28 = 0 ; E) x2 + 2x – 8y - 20 = 0 2.- Si la ecuación de una parábola es: 2x2 – 8x – 16y + 24 = 0. Cuál de las siguientes expresiones son falsas: I.- Su eje focal es paralelo al eje y II.- Su foco es ( 2 , -1) III.- Su directriz es x +1 = 0

A) I y III ; B) Sólo I ; C) Sólo II ; D) Sólo III ; E) II y III 3.- Con respecto a la ecuación y2 + 3x -2y + 7 = 0; determinar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: I:- Vértice ( 1, -2 ) II.- Excentricidad e = 1

III.- Distancia del vértice al foco 3

1=VF

A) FVF ; B) VVF ; C) FVV ; D) VFF; E) NA. 4.- Hallar la ecuación de la directriz de la parábola de eje horizontal cuyo vértice es ( 1, 3 ) y cuyo foco está sobre la recta 2x + 3y – 6 = 0 A) y = 5/2 ; B) x = 7/2 ; C) x = 5/2 ; D) x = - 5/2 ; E) y = 7/2 5.- Si la ecuación de una elipse es 9x2 + 16y2 = 576 ; la longitud de su lado recto es: A) 12 ; B) 6 ; C) 3 ; D) 9 ; E) 7 6.- Dada la elipse 9x2 + 4y2 – 18x -32y + 1 = 0. su excentricidad es:

A) 3

52, B)

3

10 , C)

3

5 ; D)

5

3 ; E) NA

7.- Una elipse de centro en el origen y eje focal el eje x, pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2) su ecuación es: A) x2 + 4y2 = 13 ; B ) 4x2 + y2 = 52 ; C) x2 + 4y2 = 52 ; D) 15x2 + 12y2 = 180 ; E) NA 8.- Si los vértices de un triángulo coinciden con el vértice y extremos de uno de los lados rectos de la elipse 9x2 + 5y2 = 45. Cuál es el área del triángulo. A) 10/3 u2 ; B) 25/6 u2 ; C) 12 u2 ; D) 25/3 u2 ; E) NA. 9.- Encontrar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen y eje focal el eje y, si pasa por los puntos ( 4, 6) y ( 1, -3) A) 5y2 – 9x2 = 36 ; B) 4y2 – 9x2 = 36 ; C) 4x2 – 9y2 = 36 ; D) 9x2 – 5y2 = 36 ; E) NA 10 Si la ecuación de una hipérbola es 9x2 – 16y2 = 144; sus asíntotas son:

A) xy4

3±= ; B) yx4

3±= ; C) xy3

4±= ; D) yx3

4±= , E) NA



11.- Si la ecuación de una hipérbola es 9x2 – 16y2 – 18x – 64y -199 = 0 , las coordenadas de sus focos son: A) (4, -2) y (-6, -2) ; B) ( -4,-2) y ( 6, -2) ; C) (1, -4) y (8,-4) ; D) (-2, -4 ) y (-2, 6); E) NA 12.- Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por (4, 6) , sabiendo que sus asíntotas son

xy 3±= . A) x2 – y2 = 12; B) 3y2 – x2 = 12 ; C) 3x2 – y2 = 12 ; D) 3x2 –2 y2 = 6 E) y2 – 3x2 = 12 RESPUESTA: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B E A B D C C D A A B C



TEXTO PARA COMENTAR Los Problemas Futuros de la Matemática. David Hilbert.

Versión y traducción: José Ramón Ortiz ¿Quién de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuáles serán las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático? La historia nos enseña la continuidad del desarrollo de la ciencia. Sabemos que cada época tiene sus propios problemas, y dependerá de la próxima generación, ya sea, resolverlos o bien, desecharlos por considerarlos improductivos y remplazarlos por nuevos problemas. Si queremos darnos una idea del desarrollo probable del conocimiento matemático en el futuro inmediato, debemos plantear a nuestras mentes aquellas cuestiones dudosas al observar los problemas que la ciencia de hoy nos propone y cuya solución la esperamos del futuro. El momento presente, marcado por el encuentro de dos siglos, me parece una buena ocasión para presentar una revisión de estos problemas. Porque el cierre de una gran época no sólo nos invita a mirar al pasado, sino que también dirige nuestros pensamientos hacia el futuro. No podemos negar el profundo significado que representan ciertos problemas tanto para el avance de la ciencia matemática en general, como por el importante papel que juegan estos problemas en el trabajo del investigador particular. Siempre que una rama de la ciencia nos ofrezca una abundancia de problemas, permanecerá siempre viva; una carencia de problemas pronosticaría una extinción o cesantía en su desarrollo independiente. Así como cada empresa humana persigue ciertos objetivos, así también la investigación matemática requiere sus problemas. Es por medio de la solución de problemas que se templa la fuerza del investigador, descubriendo nuevos métodos y nuevos enfoques, y ganando un horizonte más vasto y más libre. Es muy difícil y casi imposible juzgar correctamente, de antemano, el valor de un problema, porque la recompensa final depende de la ganancia que obtenga la ciencia de dicho problema. Sin embargo, podemos preguntar si existen criterios generales que puedan caracterizar lo que es un buen problema matemático, Un matemático francés de tiempos pasados dijo: "Una teoría matemática no debe ser considerada completa hasta que sea tan clara de entender que pueda ser explicada al primer hombre que pase por la calle". Esta claridad y facilidad de comprensión, que aquí se le exige a una teoría matemática, yo la exigiría, aún con más razón, para un problema matemático perfecto; porque lo que es claro y fácil de comprender nos atrae, lo complicado nos repele. Más aún, un problema matemático debería ser lo suficientemente difícil como para



retarnos, pero sin ser inabordable, ya que burlaría nuestros esfuerzos. Por el contrario, debería ser una señal-guía para conducirnos por el laberinto de las ocultas verdades, recompensando nuestros esfuerzos con el placer que nos depara la solución hallada. Los matemáticos de siglos pasados se ocuparon de resolver con gran fervor y pasión los problemas más difíciles. Ellos sabían el valor de estos problemas. Sólo citaré, a manera de ejemplo, el Problema de la braquistóocrona de Jean Bernoulli. La experiencia nos enseña, nos explica Bernoulli en el anuncio publicó de este problema, que los espíritus nobles nunca cesan de trabajar por el progreso de la ciencia, por medio del planteamiento de problemas difíciles y al mismo tiempo útiles. Y de esta forma él esperaba merecer el reconocimiento del mundo matemático, siguiendo el ejemplo de Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani y otros, al plantear, ante los más distinguidos analistas de su época, un problema, por medio del cual, como con una piedra de toque, podrían ensayar la excelencia de sus métodos y al mismo tiempo valorarlos entre sí. Es así, a partir del problema de Bernoulli y de otros problemas similares, que tiene su origen el cálculo de variaciones. Fermat ha propuesto, como es bien conocido, que la ecuación diofantica (Diophanto): x n + y n = z n , es imposible de resolver para números enteros x, y, z, -salvo en casos evidentes-. El problema de la demostración de esta imposibilidad nos ofrece un ejemplo convincente de la influencia que puede tener sobre la ciencia un problema tan especial y en apariencia tan poco importante. En efecto, es el problema de Fermat el que lleva a Kummer a introducir los números ideales y al descubrimiento del teorema de la descomposición unívoca de los números de un campo ciclotómico en factores ideales primos, teorema que, junto a la extensión a cualquier campo algebraico, hecha por Dedekind y Kronecker, se ha convertido en el punto central de la teoría moderna de números, y cuya significación se extiende más allá de los límites de la teoría de números, dentro de las regiones del álgebra y la teoría de funciones. ____________

Esta traducción es una versión de la conferencia original dada por el Prof. David Hilbert en el Segundo Congreso Internacional de Matemática realizado en París del 6 al 12 de Agosto de 1900.

MATEMATICA BASICA UNIDAD_IV

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