0 Curso Matematica Basica Lenguaje Algebraico

7/25/2019 0 Curso Matematica Basica Lenguaje Algebraico

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5 Curso Matemtica Bsica Lenguaje algebraico

Lenguaje algebraico

Compilacin y armado: Sergio Pellizzadto. Apoyatura Acadmica I.S.E.S.

Lecc 1 Lenguaje Algebrico.Lecc 2 A qu llamamos Trminos?; Expresiones Algebricas.Lecc 3 Grado de un Monomio, Grado de un Polinomio. Ordenar unPolinomio y Ordenar un Polinomio respecto a una Letra.

Lecc 4 Polinomio Completo respecto a una Letra.

Trminos Semejantes.

Lecc 5 Reducir Trminos Semejantes Y Reducir Trminos

Semejantes de Distinta Clase.Lecc 6 Coeficientes Fraccionarios en la Reduccin de los TrminosSemejantes.Lecc 7 Valor Numrico de una Expresin Algebrica.Lecc 8 Operaciones con Expresiones Algebricas. Suma dePolinomios.Lecc 9 Resta de Polinomios y Productos de un Monmio.Lecc 10Multiplicacin de un Polinomio por un monomio y Productode un Polinomio por otro Polinomio.Lecc 11Productos Notables.

Lecc 12 Tringulo de Tartaglia.Lecc 13 Cociente de dos Monomios. Divisin de un Polinomio porun Monomio.Lecc 14 Divisin de un Polinomio por otro.Lecc 15 Factorizacin o descomponer en Factores.Lecc 16 Sacar Factor Comn.Lecc 17Simplificacin de Fracciones.Lecc 18 Operaciones con Fracciones Algebraicas.

AUTOR: Prof. Ignacio Pujana
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LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje que se utiliza en lgebra es muy sencillo. Lo que desconoces lo sustituyescon letras: Veinticuatro ms un nmero vale 123sera lo mismo que escribir: 24 + a=123

* Cuando veas un grupo de dos o ms letras seguidas, un nmero seguido de una letra:

se entiende que entre ellos existe el signo x . Sera lo mismo que

escribir: .

* Una letra sin exponente, se entiende que lleva el 1.

* Una o ms letras sin un nmero por delante, se entiende que lleva 1.

Teniendo en cuenta lo que acabas de leer observa unos ejemplos de lenguaje algebraico:

1) La suma de dos nmeros es igual a 15: a + b = 15

2) La suma de 4123 con otro nmero vale 8765: 4123 + m = 8765

3) El triple de un nmero vale 375: 3xa = 12 3a = 12

4) La diferencia de dos nmeros es igual a 456: xy = 456

5) Un nmero aumentamos en 15 unidades: a + 15

6) El producto de dos nmeros vale 375: m xn = 375y tambin: mn = 375

7) Tres veces un nmero ms 36: 3x + 36

8) El cociente de dos nmeros vale 36:

9) Cinco veces un nmero menos el doble del segundo es igual a 45: 5x2y = 45

10) La raz cuadra de un nmero ms el triple de su valor vale 1005:

11) El doble de la suma de dos nmeros vale 7566: 2(x + y) =7566

12) 12 veces un nmero ms 36 es igual a 72: 12x + 36 = 72


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9.1 Escribe en lenguaje algebraico:

1. La diferencia de dos nmeros

2. El doble de un nmero ms 5 igual a 678

3. Un nmero aumentado en 12

4. Un nmero disminuido en 5 es igual a 20

5. Ocho veces un nmero menos el doble de otro

6. El producto de dos nmeros vale 144

7. El cuadrado de la suma de dos nmeros

8. El cociente de dos nmeros ms su producto

9. La raz cuadrada de un nmero ms el triple de su raz cbica.

10. El cubo de la diferencia de dos nmeros

Respuestas:

9.2 Cmo lees?:


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Respuestas:

a) Triple de un nmero

b) Un nmero menos el doble de otro

c) El cuadrado de la diferencia de dos nmeros

d) El doble del cuadrado de un nmero

e) El cociente de dos nmeros

f) La suma de dos nmeros ms su diferencia

g) La suma de dos nmeros por su diferencia.

CONCEPTOS BSICOS QUEDEBES SABER


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Se llama: Trmino.Un Trmino separamos de otro, con los signos ms o menos:

Un Trmino consta de dos partes: numrica y li teral .Numrica: Es el nmero que va delante de las letrastambin se le llama coeficiente -(si no lleva ninguna cifra, recuerda que lleva el 1).Literal:Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.

Expresin algebraica:

Se llama a un conjunto de letras y nmeros ligados por los signos de las operacionesaritmticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresin algebraica que tiene un solo trmino.Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo trmino:

Binomio: Se llama binomio a la expresin algebraica que tiene dos trminos.Ejemplos de expresiones algebraicas de dos trminos:


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Trinomio:Se llama trinomio a la expresin algebraica que tiene tres trminos.Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen ms de tres trminos se llaman Polinomios.

9.3 Escribe en lenguaje algebraico:Tres veces un nmero es mayor que si al nmero le sumamos 12.Respuesta: 3a > a + 12

9.4 La expresin: es un monomio o un binomio?

Respuesta: Es un monomio, tiene un solo trmino aunque ste sea un cociente indicado.

GRADO DE UN MONOMIOSe llama grado de un monomio a lasuma de los exponentes de su parte literal:El

monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6 grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el gradorespecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.


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GRADO DE UN POLINOM IOEs el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 Cul es el grado de: ?



Respuestas:9.5 39.6 59.7 8 y con respecto a: ade 3, respecto a bde 4 y respecto a cde 5.

ORDENAR UN POLINOM IO

Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuentasu grado:

9.8 Ordena el polinomio:

Respuesta:


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ORDENAR UN POLINOM IORESPECTO A UNA LETRA

Si hay dos o ms letras se deben indicar respecto a que letra se ordena.

Ejemplo:9.9Ordena respecto a x, el polinomio:

Respuesta:

9.10Ordena con respecto a z:

Respuesta:

9.11Escribe un trinomio ordenado de quinto grado (los nmeros y letras los queprefieras)

Respuesta: (con respecto a c) :

9.12De qu grado son las expresiones:


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Respuestas:1) Primer grado2) Quinto grado

POLINOMIO COMPLETORESPECTO A UNA LETRA

Llamamos polinomio completo cuando contiene todos los exponentes de un modo

consecutivo.Ejemplo:Polinomio completo y ordenado respecto a la letra a:

Cuando encontramos un trmino sin letra o letras se le llama trmino independiente.Un trmino independiente lo podemos considerar como si estuviera acompaado de unaletra con exponente cero. Recuerda que un nmero o letra si elevamos a cero su

resultado vale 1.

El ejemplo anterior lo podemos escribir:

Si ves que a un polinomio le falta un trmino basta que le pongas un cero comocoeficiente:Ejemplo:

A este polinomio ordenado segn la letra a le falta el trmino cuyo exponente de a es3:


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Como cero por cualquier valor equivale a cero, las dos ltimas expresiones son iguales.

9.13 Ordena y completa:

Respuesta:

9.14Ordena y completa con relacin a x:

Respuesta:

POLINOMIOS HOMOGNEOS

Son los que todos sus trminos tienen el mismo grado.

Si sumas los exponentes dela parte literal de cada trmino comprobars que el resultado es siempre el mismo

TRMINOS SEMEJANTES:Llamamos trminos semejantes los que tienen la misma parte literal. Esto quiere decirque, dos o ms trminos son semejantes si tienen las mismas letras con los mismosexponentes.

Son semejantes:


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Como ves, los signos y los coeficientes o partes numricas pueden ser diferentes.

9.15Escribe 3 trminos semejantes a:

Respuesta: Entre los infinitos trminos semejantes podran ser:

(Recuerda que es suficiente quela parte literalincluidos los exponentes, sean iguales-).

REDUCIR TRMINOSSEMEJANTES

Imagina que tienes 4 en un bolsillo y 3 en otro, inmediatamente dirs: Tengo 7 En realidad tienes 4 + 3 = 7

4 y 3 es como si fueran dos trminos que tienen la misma parte literal ().

As como el euro es la moneda de Europa, el dlar es para los Estados Unidos y no nosextraa sumar: 5 $ + 3 $= 8 $En este caso, la parte literal es el signo $.

Para finalizar, en el caso de la moneda japonesa que se llama YEN y se escribe

podemos sumar:

Otro caso sencillo sera: 9 manzanas - 2 manzanas = 7 manzanas

Si la parte literal no es la misma no podemos sumar ni restar.No podemos sumar 4 naranjas + 3 peras porque la parte literal no es igual.En todos los casos anteriores no nos importa que la parte numrica o coeficientes y sussignos sean iguales.Lo mismo sucede con las letras y sus exponentes.

Ejemplos:Vamos a reducir los trminos semejantes:


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Notas:

1. Recuerda que cuando la parte literal carezca de coeficiente, se entiendeque lleva el 1.

2. La parte literal nunca vara al hacer una operacin aritmtica. Quiencambia de valor es la parte numrica o coeficiente.

Si tienes que sumar o restar trminos de signo diferente como:

que como ves, son semejantes por tener la misma parteliteral, se restan los nmeros: 4-2 = 2 y se le coloca la misma parte literal.

Pero si tienes que restar:

Te encuentras que el sustraendo o el segundo nmero es mayor que el minuendo oprimer nmero. No pasa nada:

Si los trminos semejantes tienen distinto signo:1 Se restan los nmeros o coeficientes2 Al nmero que resulta de la resta se le pone el signo del nmero ms grande:

En el primer caso, el 8 es el nmero ms grande. Restamos los dos nmeros y se le poneel signo del mayor que como es negativo, el resultado ser negativo.En el segundo caso hacemos lo mismo teniendo en cuenta que nueve es el mayornmero y su signo es negativo.En el tercer caso, hemos agrupado los trminos negativos por un lado y los positivos porotro.

9.16 Reduce los trminos semejantes:


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Respuestas:

REDUCIR TRMINOSSEMEJANTES DE DISTINTACLASEObserva el polinomio siguiente que tiene trminos semejantes de dos clases:

Debemos hacer los pasos siguientes:1) Agrupamos los trminos semejantes de cada clase:

2) Reducimos los trminos semejantes de cada clase:

A los coeficientes calculados les aadimos su parte literal y nos quedar:


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9.17Reduce los trminos semejantes:

Respuesta: a

Solucin:


Respuesta: 0

Solucin:


Respuesta:

Solucin:

Primero agrupamos los trminos semejantes por clases:

Reducimos por clases:


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COEFICIENTESFRACCIONARIOS EN LA

REDUCCIN DE LOS TRMINOSSEMEJANTES

Supongamos que tenemos que reducir:

Podemos dejar separados el coeficiente de la parte literal:

Ahora sumamos los coeficientes:

Al valor calculado le aadimos la parte literal y obtenemos el resultado:

9.20 Reduce estos dos trminos semejantes:

Respuesta:


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Solucin:Calculamos la diferencia de sus coeficientes:

Simplificamos por 3 al numerador y denominador:

Aadimos la parte literal al numerador, pero como el coeficiente 1 no lo escribimos siva acompaado de parte literal nos queda:


Respuesta:


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Solucin:

Agrupamos los trminos semejantes de la misma clase:

Sumamos los coeficientes de cada

clase:

Aadimos sus partes literales:

Como tienen iguales los denominadores, sumamos los numeradores:


Respuesta:


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Solucin:

Es lo mismo que:

Recuerda que es lo mismo que:

es lo mismo que :

Agrupamos por clases:

Sumamos coeficientes de cada tipo:


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Aadimos sus correspondientes partes literales y nos queda:

9.23 Reduce trminos semejantes:

Respuesta:

9.24 Reduce trminos semejantes:

Respuesta:

VALOR NUMRICO DE UNA

EXPRESIN ALGEBRICA


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Se trata de una simple sustitucin de nmeros por letras para despus hacer los clculosindicados por la expresin y obtener as un resultado:

Ejemplo:

Dada la expresin:

Respuesta:1066

Solucin:Sustituimos las letras por los nmeros teniendo en cuenta los signos aritmticos:

9.25 Calcula el valor numrico de:

3a2b + 4a + 3b si a = 2 y b = 3

Respuesta:17

9.26Calcula el valor numrico de:

Respuesta:7


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Respuesta:

9.28 Halla el valor numrico: para a = 3, b = 4 y c = 5

Respuesta:


Para p = 5, a = 2, b = 3 y c = 4

Respuesta:

Solucin:


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Respuesta:


Para a = 5 y b = 3

Respuesta:

Solucin:Recuerda que si entre parntesis no hay signos aritmticos, se entiende que se encuentrael signo X.


Respuesta: 15


Para a = 1 y b = 2 Cuidado con los signos negativos.

Respuesta:-3


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9.33Calcula el valor numrico de:

Para

Respuesta:

9.34Halla el valor numrico de:

Respuesta:

OPERACIONES CONEXPRESIONES ALGEBRCAS


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Despus de lo estudiado y aprendido hasta aqu, vers que sumar, restar, multiplicar,. polinomios es una tarea adems de poco aburrida muy sencilla.

SUMAR POLINOM IOS:Para sumar y restar te basta saber lo que se refiere a la reduccin de los trminossemejantes.De aqu en adelante, representamos con una P la palabra polinomio.Si un polinomio est ordenado con respecto a una letra, por ejemplo, la x escribimos

P(x) que se lee: pe de equis.

P(a) sera un polinomio ordenado respecto a la letra a.Si tenemos 3 polinomios ordenados respecto a la misma letra a la primera P lecolocamos el subndice 1, a la segunda el 2, etc.

9.35Sumar los polinomios:Solucin:

Primero los ordenamos y completamos:

Una vez colocados debidamente, reducimos los trminossemejantes:

Respuesta:


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9.36 Sumar los polinomios:

Solucin:Ordenamos y completamos:

Es igual a:

Respuesta:

9.37Suma los polinomios:

Ordenamos y completamos:


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Sumamos:

9.38 Suma los polinomios siguientes:


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Solucin:Ordenamos y completamos:

Sumamos:

Respuesta:

9.39 Calcula la suma de:


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Respuesta:

RESTA DE POLINOMIOS

Al polinomio sustraendo se le cambia de signo y se suma al minuendo.

Ejemplo:

9.40 Restar los polinomios siguientes:

Cambiamos de signo a cada trmino del sustraendo:

Sumamos:


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Respuesta:

9.41 Resta los polinomios siguientes:

Respuesta:

Solucin:Ordenamos:


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Cambiamos de signo al sustraendo y

restamos:

9.42Hallar la diferencia entre y

Respuesta:

9.43 Restar:

Respuesta:

Solucin:

Recuerda que cuando no haya trminos semejantes puedes sustituirles por ceros a suscoeficientes o parte numrica aadiendo su parte literal si lo tienen:


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PRODUCTO DE MONOMIOSPara multiplicar un monomio por otro, se multiplica la parte numrica y si hay potenciasde la misma base, se suman los exponentes y si no, se colocan las letras unas seguidas

de otras guardando el orden alfabtico:Ejemplos:

9.44Calcula los productos siguientes:

Respuestas:

9.45 Calcula los productos siguientes:

Respuestas:


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MULTIPL ICACIN DE UNPOLINOM IO POR UN MONOMIO.Se coloca el polinomio como multiplicando y el monomio como multiplicador yseguidamente multiplicamos el monomio por cada trmino del polinomio. Debes teneren cuenta:

1.- La ley de los signos.2.- Producto de potencias de la misma base se suman los exponentes.

9.46 Calcula el producto siguiente:

Respuesta:

Solucin:

9.47 Calcula:


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Respuestas:


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PRODUCTO DE UN POLINOMIOPOR OTRO POLINOMIO.a)Escribes el multiplicando y debajo el multiplicador y trazas una raya por debajo deestas dos lneas.

b)Multiplicas cada trmino del multiplicador por cada uno del multiplicando. Primero

multiplicamos por a a cada trmino del multiplicando, comenzando por delante (deizquierda a derecha)

c)Cuando acabas de multiplicar el primer trmino del multiplicador por cada uno delmultiplicando pasas a otra lnea ms abajo y en sta, vas colocando los resultadoshaciendo coincidir los trminos semejantes. Pasamos a multiplicar por b a cada

trmino del multiplicando, comenzando por delante (de izquierda a derecha)

d)Trazamos una raya horizontal y sumamos los trminos semejantes comenzando porla izquierda:


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9.48Multiplica (x+3)por(x+5):

Respuesta:

Solucin:

9.49Multiplica (2x-5)(3x-2)

Respuesta:

Solucin:

9.50 Multiplica

Respuesta:


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Solucin:

9.51 Multiplica

Respuesta:

Solucin:

9.52 Multiplica

Respuesta:

9.53 Multiplica (a+b+c)(a+b-c)

Respuesta:


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Solucin:Ten en cuenta: 1) Guarda el orden alfabtico de la parte literal

despus de calcular el producto2) Coloca los trminos semejantes en la misma

columna y si no coinciden escribe el trmino calculado ms a la

derecha.

9.54Multiplica (abc)(ab + c)

Respuesta:

Solucin:

9.55 Multiplica

Respuesta:

9.56 Multiplica


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Respuesta:

Solucin:Recuerda que si no encuentras trminos semejantes colcalos a la derecha de la ltimacolumna. No importa que en todo el proceso del producto no hayas encontrado trminossemejantes.

9.57 Multiplica (a + b)(a + b)(a + b)

Respuesta:

Solucin:- Primero multiplicamos los dos primeros factores.- Al resultado obtenido del paso anterior lo multiplicamos por el tercer factor:


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9.58Multiplica (a + b + c) (a + bc) (abc )Respuesta:

PRODUCTOS NOTABLES

Son productos cuyo resultado se obtiene sin necesidad de efectuar la operacin demultiplicar siendo suficiente aprenderse de memoria su desarrollo clsico.Antes de comenzar a estudiarlos recordamos que para multiplicar trminos semejantesse suman los exponentes:


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Los factores pueden ser binomios:

Cada factor ( X + Y ) es una potencia de base ( X + Y ) y su exponente es 1. Paramultiplicar ambos factores, se suman los exponentes.

9.59 Escribe en forma de una potencia los productos:

Respuestas:

Los productos notables ms importantes son:

Analiza detenidamente cada signo y palabra que tienes encima y compara cada uno delos seis pasos que tienes a continuacin.


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9.59 Sin hacer la multiplicacin escribe el resultado de:

Respuesta:

9.60Sin hacer la multiplicacin escribe la respuesta de:

Respuesta:

Solucin:El cuadrado de la suma de dos nmeros es igual a:

Cuadrado del primer trmino:

Ms dos veces el primer trmino: 2 x 2a = 4apor el segundo trmino:4a x b = 4ab

Ms cuadrado del segundo trmino: cuadrado de

El resultado ser


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De otro modo:

9.61 Calcula de memoria

Respuesta:


Respuesta:


Respuesta:


Respuesta:


Respuesta:

9.66 Calcula de memoria:


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Respuesta:

Pasamos a estudiar el segundo producto notable.2. Cuadrado de la diferencia de dos nmeros:

Como habrs notado hay una pequea variacin, cambia el signo del trminocorrespondiente a: menos dos veces el primer trmino por el segundo


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9.67 Escribe el desarrollo de:

Respuestas:

3.- El tercer producto notable trata de la suma de dos nmeros por su diferencia (a +b)(ab) es igual a la diferencia de sus cuadrados, o, cuadrado del pr imer trmino

menos el cuadrado del segundo trmino:

Como el orden de los factores no altera el resultado del producto, es igual decir: suma

por diferencia que diferencia por la suma.

9.68 Cunto vale:


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Respuestas:

TRINGULO DE TARTAGLIA.


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Tartaglia es una palabra italiana que significa tartamudo. El gran matemtico italianoNiccolo Fontana, siendo nio, recibi un fuerte golpe en la mandbula que le impedahablar bien, de ah que le llamaran Tartaja o Tartaglia : Naci el ao 1500, hurfano

de padre desde muy joven y a pesar de la pobreza en la que vivan su madre y sushermanos, a base, de trabajo y constancia consigui llegar a ser un gran matemtico. Le

debemos gratitud por los descubrimientos que hizo en el campo de las ciencias.

Cuando la suma de dos trminos elevamos al cuadrado vemos que la parte literal de lostrminos (de momento no tenemos en cuenta los coeficientes o parte numrica de lostrminos resultantes) sigue una ley sencilla e interesante:

Podramos escribir tambin:

Recuerda que una potencia de exponente cero vale 1. Como a0 y b0 valen 1 cualquiervalor por 1 no cambia el resultado.

Si te fijas bien en el resultado, los exponentes de avan decreciendo de uno en uno.Comienza en 2 y acaba en cero.

Los exponentes de bhacen lo contrario, comienzan por cero y acaban en 2.

Supongamos que tenemos: o el cubo de la suma de dos nmeros, la parte

literal del resultado sera teniendo en cuenta lo que acabamos de estudiar:

Los exponentes de a van decreciendo de uno en uno y los de b crecen de uno en uno.Vers, que siempre, el grado de cada trmino equivale al exponente al que elevamos lasuma de los dos nmeros.Veamos el resultado de elevar a la cuarta potencia:

Observa que la suma de exponentes de la parte literal de cada trmino siempre ser

igual a la potencia a la que hemos elevado el binomio.De ahora en adelante, omitimos los exponentes de exponente cero por valer 1. Da igualque a un nmero lo multipliques o no por 1, continua con el mismo nmero:

9.69 Escribe el desarrollo de la parte literal de

Respuesta:


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Respuesta:

Cmo calculamos la parte numrica o los coeficientes de cada trmino sin hacer lasmultiplicaciones?

Imagina que tenemos que multiplicar es decir,

Seguro que tardaramos muchos minutos en hacer las multiplicaciones con riesgo deequivocarnos. Aqu tenemos la solucin de Niccolo Fontana, el seor Tartaglia. El nosahorr hacer tantas multiplicaciones con un mtodo sencillo y ameno.Toma un papel y un boli y escribe bastante separados dos unos:

1 1Ahora suma los dos nmeros que has escrito y el resultado lo colocas en la lneasiguiente en medio de los dos unos:

1 12

En la misma lnea donde tienes el dos escribe dos unos: uno de ellos comenzando estasegunda lnea y el otro al final guardando la forma del tringulo:

Las llaves te indican los nmeros que sumamos. Guarda las distancias para que te quedebien.La tercera lnea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 2 y 2 + 1 colocamos losresultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta lnea:


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Las llaves te indican los nmeros que sumamos. Guarda las distancias para que te quedebien.

La tercera lnea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 2 y 2 + 1 colocamos losresultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta lnea:

La cuarta lnea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 3, 3 +3 y 3 +1 colocamos losresultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta lnea:


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La quinta lnea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 4, 4 +6, 6 + 4 y 4 +1 colocamoslos resultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta lnea:

9.71 Cul sera la sexta lnea?Respuesta:

1 6 15 20 15 6 1


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9.72 Cul sera la sptima lnea?Respuesta:1 7 21 35 35 21 7 1

. y todo esto para qu?

Colocamos el tringulo de Tartaglia sin llaves ni explicaciones, ya ves que es todo muysencillo:

Imagina que nos dicen que calculemos:

Recuerdas que dejbamos unos espacios en blanco para la parte numrica de cadatrmino?Los nmeros de cada lnea del tringulo de Tartaglia representan los coeficientes o parte

numrica de cada trmino.

Si tienes que calcular escribes:

Ahora vas a la segunda lnea del tringulo de Tartaglia y colocas delante de cadatrmino los nmeros que contiene:

Como los coeficientes de valor 1 no se escriben si no van solos nos queda:

Si nos dicen que calculemos:


51/86

En lugar de multiplicar :

Utilizamos el sencillo tringulo de Tartaglia .Primero escribimos la parte literal dejando huecos para los coeficientes o parte numrica

de cada trmino, menos para el primero y ltimo trminos que llevan el 1 y por lo tanto,no los colocamos:

Ahora nos desplazamos a la cuarta lnea del tringulo de Tartaglia porque la suma de a+ b elevado a 4 y copiamos los nmeros que figuran en ella (excepto los unos) ytendremos:

9.73 Calcula el valor de

Respuesta:


Respuesta:

Cuadrado de la diferencia de dos

nmeros:Hasta ahora hemos estudiado cuanto se refiere a la suma, pero qu sucede si se trata deuna diferencia como: ?

No tienes ningn problema. El primer trmino lleva signo positivo, segundo negativo,el tercero positivo, cuarto negativo,Como notars se van alternando los signos comenzando por el signo ms.Los trminos que ocupanlugar par tienen signos negativos y los que ocupan lugarimpar tienen signos positivos:


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Respuesta:

TRINGULO DE TARTAGLIA.

Tartaglia es una palabra italiana que significa tartamudo. El gran matemtico italianoNiccolo Fontana, siendo nio, recibi un fuerte golpe en la mandbula que le impedahablar bien, de ah que le llamaran Tartaja o Tartaglia : Naci el ao 1500, hurfano

de padre desde muy joven y a pesar de la pobreza en la que vivan su madre y sushermanos, a base, de trabajo y constancia consigui llegar a ser un gran matemtico. Ledebemos gratitud por los descubrimientos que hizo en el campo de las ciencias.

Cuando la suma de dos trminos elevamos al cuadrado vemos que la parte literal de lostrminos (de momento no tenemos en cuenta los coeficientes o parte numrica de lostrminos resultantes) sigue una ley sencilla e interesante:

Podramos escribir tambin:

Recuerda que una potencia de exponente cero vale 1. Como a0 y b0 valen 1 cualquiervalor por 1 no cambia el resultado.

Si te fijas bien en el resultado, los exponentes de avan decreciendo de uno en uno.Comienza en 2 y acaba en cero.

Los exponentes de bhacen lo contrario, comienzan por cero y acaban en 2.

Supongamos que tenemos: o el cubo de la suma de dos nmeros, la parteliteral del resultado sera teniendo en cuenta lo que acabamos de estudiar:

Los exponentes de a van decreciendo de uno en uno y los de b crecen de uno en uno.Vers, que siempre, el grado de cada trmino equivale al exponente al que elevamos lasuma de los dos nmeros.Veamos el resultado de elevar a la cuarta potencia:


53/86

Observa que la suma de exponentes de la parte literal de cada trmino siempre serigual a la potencia a la que hemos elevado el binomio.

De ahora en adelante, omitimos los exponentes de exponente cero por valer 1. Da igualque a un nmero lo multipliques o no por 1, continua con el mismo nmero:


Respuesta:


Respuesta:

Cmo calculamos la parte numrica o los coeficientes de cada trmino sin hacer lasmultiplicaciones?

Imagina que tenemos que multiplicar es decir,

Seguro que tardaramos muchos minutos en hacer las multiplicaciones con riesgo deequivocarnos. Aqu tenemos la solucin de Niccolo Fontana, el seor Tartaglia. El nos

ahorr hacer tantas multiplicaciones con un mtodo sencillo y ameno.Toma un papel y un boli y escribe bastante separados dos unos:1 1

Ahora suma los dos nmeros que has escrito y el resultado lo colocas en la lneasiguiente en medio de los dos unos:

1 12

En la misma lnea donde tienes el dos escribe dos unos: uno de ellos comenzando estasegunda lnea y el otro al final guardando la forma del tringulo:


54/86



La cuarta lnea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 3, 3 +3 y 3 +1 colocamos losresultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta lnea:


55/86

La quinta lnea comenzamos con un 1. Sumamos 1 + 4, 4 +6, 6 + 4 y 4 +1 colocamoslos resultados de las sumas como aparece debajo. Termina con un 1 esta lnea:

9.71 Cul sera la sexta lnea?Respuesta:

1 6 15 20 15 6 1


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9.72 Cul sera la sptima lnea?Respuesta:1 7 21 35 35 21 7 1

. y todo esto para qu?

Colocamos el tringulo de Tartaglia sin llaves ni explicaciones, ya ves que es todo muysencillo:

Imagina que nos dicen que calculemos:

Recuerdas que dejbamos unos espacios en blanco para la parte numrica de cadatrmino?Los nmeros de cada lnea del tringulo de Tartaglia representan los coeficientes o parte

numrica de cada trmino.

Si tienes que calcular escribes:

Ahora vas a la segunda lnea del tringulo de Tartaglia y colocas delante de cadatrmino los nmeros que contiene:

Como los coeficientes de valor 1 no se escriben si no van solos nos queda:

Si nos dicen que calculemos:


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En lugar de multiplicar :

Utilizamos el sencillo tringulo de Tartaglia .Primero escribimos la parte literal dejando huecos para los coeficientes o parte numrica

de cada trmino, menos para el primero y ltimo trminos que llevan el 1 y por lo tanto,no los colocamos:

Ahora nos desplazamos a la cuarta lnea del tringulo de Tartaglia porque la suma de a+ b elevado a 4 y copiamos los nmeros que figuran en ella (excepto los unos) ytendremos:


Respuesta:


Respuesta:

Cuadrado de la diferencia de dos

nmeros:Hasta ahora hemos estudiado cuanto se refiere a la suma, pero qu sucede si se trata deuna diferencia como: ?

No tienes ningn problema. El primer trmino lleva signo positivo, segundo negativo,el tercero positivo, cuarto negativo,Como notars se van alternando los signos comenzando por el signo ms.Los trminos que ocupanlugar par tienen signos negativos y los que ocupan lugarimpar tienen signos positivos:


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Respuesta:

DIVI SIN DE UN POLINOM IOPOR OTRO.

Sigue los pasos que tienes ms abajo con atencin y vers que se trata de una sencillaoperacin matemtica.

Vamos a dividir

Paso 1:El dividendo y divisor deben estar ordenados respecto a la misma letra.

Paso 2:Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor y este

resultado se coloca como primer trmino del cociente:

Paso 3:Este primer trmino del cociente se multiplica por cada uno de los trminos del

divisor y los valores que vas obteniendo los pasas al dividendo cambiando de signo ylos escribes debajo de sus semejantes:

Paso 4:Reducimos los trminos semejantes y bajamos el siguiente trmino del dividendo:


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Paso 5:Dividimos el primer trmino del nuevo dividendo o del resto obtenido entre el

primer trmino del divisor TENIENDO EN CUENTA LA REGLA DE LOS SIGNOS:

Al dividir2a entreahemos de tener en cuenta que primero dividimos los signos:menos entre ms igual a menosy luego

2a : a = 2

Paso 6:

Repetimos el paso 3, es decir, multiplicamos2por cada uno de los trminos deldivisor. Cambiamos de signo a los valores que vamos obteniendo y los pasamos aldividendo colocndolos debajo de los semejantes. Reducimos los trminos semejantes:

Se continua el mismo proceso hasta que el resto sea igual a cero o que EL GRADODEL DIVIDENDO SEA MENOR QUE EL DEL DIVISOR.

Respuesta:

9.81 Dividir:


60/86

Hemos dividido entrex.Ahora multiplicamos x por cada trmino del divisor y elresultado de la multiplicacinCAMBIADO DE SIGNOlo colocamos debajo deldividendo haciendo coincidir los trminos semejantes los reducimos y bajamos eltrmino siguiente que es -20:

Ahora dividimos 3xentrexteniendo en cuenta la regla de los signos. El nuevo trmino

del cociente ser:

Multiplicamos 3por (x4) = 3x12 lo cambiamos de signo y lo colocamos debajodel resto haciendo coincidir los trminos semejantes y los reducimos:

Nos queda un resto igual a -8. Como el grado del dividendo es cero porque no hayparte literal y el grado del divisor es 1, no podemos continuar la divisin.

Respuesta:x + 3 de cociente y -8 de resto.

9.82Dividir


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Respuesta: m4

Solucin:

9.83 Divide

Respuesta:x + 5

9.84 Divide

Respuesta.x - y

Solucin:No importa que en el divisor haya ms trminos, el proceso es el mismo: se multiplicael cociente obtenido por cada trmino del divisor y los valores obtenidos, cambiados de

signo se colocan debajo del dividendo para reducir los trminos semejantes.

Solucin:


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Quhacer cuando no encontramosen el dividendo trminos semejantes?

Una sola cosa tienes que tener en cuenta: los trminos siempre han de estar ordenadosrespecto a la misma letra.Eso quiere decir que tendrs dejar huecos para los trminosque no sean semejantes.

A veces, se recurre a reemplazar con ceros los trminos que no existen.Supongamos que nos dicen que dividamos:

Como ves que en el dividendo no existe ningn trmino conx2y conx(guardando elorden respecto a la letrax).Podemos hacer dos cosas:a) Dejar espacios libres para los dos trminos que faltan:

b) Reemplazar con ceros los trminos que faltan:

A partir de este momento podemos hacer la divisin sin problemas:

9.85 Dividir:

Solucin:


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9.86 Divide

Respuesta:x5+ x4y + x3y2+x2y3+ xy4 + y5

9.87Calcula el cociente de la divisin:

Respuesta:

Solucin:La divisin se realiza del mismo modo que si en el divisor hubiera 2 o ms de dostrminos. El proceso es el mismo:


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FACTORIZACIN ODESCOMPONER EN FACTORES.

Factorizar es descomponer un nmero en factores ms pequeos de modo que almultiplicarlos obtengo el nmero.Ejemplo: El nmero 21 lo escribo con valores ms pequeos cuyo producto me da 21:21 = 3 x 7. Los valores ms pequeos son el 3 y el 7 y su producto es 21.

Si quiero factorizar el nmero 6 lo escribo como: 2 x 3Tambin puedo factorizar expresiones algebraicas:

La mayor parte de los ejercicios que tienes ms arriba exigen que conozcas bien losproductos notables.

9.88Factoriza:

Respuestas:


65/86

Solucin:

Como vers se trata de la diferencia de cuadrados de dos nmeros. Recordars queprocede del producto de dos nmeros por su diferencia:

3.-Como en el caso anterior vemos que 25 es el cuadrado de 5 y es el cuadrado deb:

4.Sabemos que y que el cuadrado de la suma de dos

nmeros es igual al cuadrado del primero ms dos veces el primero por el segundo

ms el cuadrado del segundo

5.- Recuerda que y que el cuadrado de la suma de dos

nmeros es igual al cuadrado del primero ms dos veces el primero por el

segundo ms el cuadrado del segundo .

9.89 Descomponer en factores o factorizar:


66/86

Respuestas:


67/86

Solucin:

Comentamos los que te pueden ofrecer alguna dificultad:

El cuadrado de puedes escribir . Para elevar un producto a una potencia seeleva cada factor a dicha potencia:

Para elevar una potencia a otra se multiplican los

exponentes:


68/86

Ten en cuenta lo que hemos comentado en el ejercicio anterior.

En primer lugar, vemos que se trata de una diferencia de cuadrados. El primer trminoes el cuadrado de la suma de dos nmeros. Debemos tratarlo como si fuese el cuadradode un monomio. Tenemos que hacer uso de los corchetes para mantener dentro de ellosla suma y la diferencia de los trminos. Despus, si se puede, reducimos trminos

semejantes.

Es similar al ejercicio anterior.

En este ejercicio es importante de que no te olvides:el signo menos delante de unparntesis, al quitar lo, cambi an de signo cada uno de los trminos que hay dentro de

ellos:

Se trata de una diferencia de cuadrados, luego este resultado procede de la suma de dosnmeros por su diferencia. El procedimiento es el de siempre: Suma de dos nmeros por

su diferencia es igual al cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo .

Hacemos uso de los corchetes por tratarse de binomios, tanto el primer trmino como

el segundo.Si se puede, reduces trminos semejantes.No te olvides de que un signo menos delante de un parntesis, al quitar los parntesis,cambian de signo cada uno de los trminos encerrados en ellos. Es como si cadatrmino que est dentro del parntesis multiplicases por -1

Las mismas consideraciones son vlidas para los ejercicios 11 y 12.


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SACAR FACTOR COMN.

Cuando ves que una expresin algebraica de ms de un trmino tienen en comn uno ovarios factores decimos que podemos sacar el factor o factores comunes:

Por ejemplo: 36 + 24 tienen en comn a 12 como factor porque

Esto quiere decir que 36 + 24 es igual a

Vemos que en la suma: cada trmino tiene a 12 como factorcomn.

Para sacar el factor comn debes hacer dos cosas:1.- Escribir el factor comn.

2.- Abrir un parntesis y escribir dentro de l el cociente de cada trmino por el valorque est delante del parntesis.

36 + 24 = 12( 3 + 2)El factor comn es 12.Lo escribimos y abrimos un parntesis y dentro de l escribimos el cociente de cadatrmino entre 12: 36 entre 12 = 3

24 entre 12 = 2

9.90Saca el factor comn en: 25 + 15Respuesta: 5(5 + 3)

9.91 Saca el factor comn en:

Respuesta:

Solucin:Como sabemos que los nmeros y letras de un trmino se multiplican entre s losconsideramos factores. En este ejercicio el factor x es comn para los dos sumandos,

por eso, podemos sacarlo fuera del parntesis.

9.92Sacar el factor comn en 10m5mn


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Respuesta:5m(2n)

9.93 Sacar el factor comn en

Respuesta:

Solucin:

Recuerda que para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes:

y

9.94 Sacar el factor comn en: 20n50mn

Respuesta:10n(25m)

9.95Sacar el factor comn en

Respuesta: 10xn(2x5)

9.96Sacar el factor comn en:


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Soluciones:

El nico factor comn es 6; lo dejamos fuera del parntesis y dentro escribimos elcociente de cada trmino entre seis:

Vemos que son semejantes el 1 y 3, y 2 y 4:En el primero y 3 sacamos factor comn a axy en el 2 y 4 a bc:

ax(74) + bc(52) = 3ax + 3bcComo 3ax + 3bc tienen el 3 como factor comn: 3(ax + bc)

3.- 3(a + b) + 5(a + b)

El factor comn es (a + b):(a + b)(3 + 5) = 8(a + b)


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El primer factor puedes escribir Este ejercicio

podemos escribir:

Los dos sumandos tienen en comn:

Sacamos este factor:

Al segundo trmino lo desarrollamos:(a + b) - (a + b)(a - b)

El factor comn es (a + b):(a + b)[1(ab)] = (a+b)[1 a + b] =

= (a + b)(1a + b)Recuerda que el signo menos delante de un parntesis, al quitarlo, cada trmino que haydentro de l, cambia de signo.

Descomponemos en factores cada uno de los trminos:(a + b) (a + b)(a +b)(ab)

El factor comn presente en los dos trminos es (a + b)

(a +b)[(a + b)(ab)] = (a + b)[ a + ba + b] =Como siempre, cuidado al quitar parntesis con el signo menos. Reducimostrminos semejantes y nos queda, ordenando los factores: (a + b)2b = 2b(a + b)

Vemos que el factor comn en los dos trminos es (a + b);

El primer factor procede de la suma de dos nmeros por su diferencia:

Podemos escribir siguiendo con el ejercicio:

El factor es comn en los dos trminos


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Descomponemos el primer factor que como se trata de una diferencia de cuadrados

procede de la suma de dos nmeros por su diferencia

El ejercicio nos queda: El factor comn es (ab), luego,(ab)(a + b)(ab) = (ab)( a + b1)

Como ya que para multiplicar potencias de la mismabase se suman los exponentes.

Sustituimos este producto en

El factor comn es

tendremos:

SIMPLIF ICACIN DEFRACCIONES.

Simplificar significa hacer ms sencillo, reducir a una forma ms sencilla.Para simplificar los nmeros o trminos deben estar multiplicando. Cuidado! Si losnmeros o trminos estn sumando o restando no se deben simplificar.La operacin para simplificar es la divisin. Se divide al numerador y denominadorporel factor comn ms grande.

Ejemplo:


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Podramos haber simplificado por 2, pero habramos comprobado que todava podamossimplificarlo por 3.

Simplificar expresiones algebraicas es muy sencillo. Te basta con recordar quepotencias de la misma base, se restan los exponentes y el resultado se coloca all dondeel exponente era mayor.

Simplificar expresiones algebraicas es muy sencillo. Te basta con recordar quepotencias de la misma base, se restan los exponentes y el resultado se coloca all dondeel exponente era mayor.

9.97 Simplifica:

Respuesta:

Solucin: La parte numrica del numerador y del denominador la dividimos por 4. Laparte literal est formada por potencias de la misma base, por lo tanto, restamos susexponentes. El resultado lo colocamos all donde el exponente era mayor:

9.98 Simplifica las fracciones siguientes:


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76/86

Respuestas:


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78/86

Soluciones:

Recuerda lo que hemos dicho anteriormente:a)la parte numrica se simplifica separadamente de la literal.b)Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes y el resultado se

coloca en el lugar donde el exponente era mayor. En el caso que nos ocupa, como a5 esmayor que a4 lo escribiremos en el denominador:

Cuando los valores del numerador y denominador son iguales los anulamos. En estecaso la letra c.

Cuando los signos del numerador y denominador son diferentes, el resultado esnegativo.

Es lo mismo escribir: porque el signo por delante de unafraccin le afecta solamente al numerador.

Cuando los trminos estn sumando o restando no se deben simplificar, han de estarmultiplicando.En el numeradorpodemos sacar a b como factor comn y en el denominador a ab:

Ahora ya hemos transformado al numerador y denominador en un producto. Dado que

el factor )lo tenemos en el numerador y denominador, lo tachamos de ambos


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lugares ya que es igual a y comouna potencia de exponente ceroes igual a 1, cualquier nmero por 1 no cambia su valor.

Como el numerador procede de la suma de dos nmeros por su diferencia (a + b)(ab)y en el denominador tenemos (a + b), los simplificamos suprimindolos y nos queda (a

b).

En el numerador tienes el desarrollo del cuadrado de la diferencia de dos nmeros ydebajo el resultado del producto de la suma de dos nmeros por su diferencia:

El factor (ab) que lo tenemos en el numerador y denominador lo podemos simplificar(eliminar) y nos queda:

El denominador es una diferencia de cuadrados porque y 9 son cuadrados. Unadiferencia de cuadrados procede de la suma de dos nmeros por su diferencia (x + 3)(x

3):


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En el numerador podemos sacar factor comn a 2xque al dividir cada trmino entreeste valor nos queda dentro del parntesis: (x + 2y). En el denominador sacamos factorcomn a 8yy el cociente de dividir cada trmino entre este valor lo colocamos dentrodel parntesis:

Simplifico al numerador y denominador por (x + 2y) y me queda:

Al numerador y denominador les puedo dividir por 2:

El numerador es el desarrollo del cuadrado de la suma de dos nmeros: quees lo mismo que (a + b)(a + b):

No tengo ms que simplificar al numerador y denominador por (a + b):


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En este ejercicio saco factor comn en el numerador a 4ay al dividir cada trmino poreste valor obtengo:

que como habrs observado, son los mismos valores que hay en el denominador. Al

denominador le puedes considerar como un factor si le encierras en un parntesis.Simplificamos lo que tienes entre parntesis y nos queda:

En este ejercicio ves que el numerador es una diferencia de cuadrados.

Despus simplificamos los factores iguales:


82/86

Basta sacar factor comn a xen el denominador para poder simplificar los factoresiguales.

OPERACIONES CONFRACCIONES ALGEBRAICAS

SUMAR Y RESTAR:

9.99 Calcula el resultado de la suma:

1 Calculas el mnimo comn mltiplo de los denominadores:vemos que el m.c.m.(2, 3, 4) = 12

2 Divides el m.c.m. por cada denominador y el cociente lo multiplicas por elnumerador:

9.100 Calcula el valor de:

Respuesta:

Solucin:


83/86

1 Calculamos el m.c.m.(3, 4 y 5) = 60

2 Dividimos 60 entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por sunumerador y escribiendo por delante el sino que le corresponda:

9.101 Calcula la suma:

Respuesta:

Solucin:

Cuando tengas un trmino entero (sin denominador), si encuentras alguna dificultad lepones un 1 como denominador. Dividir o multiplicar un nmero por 1 es dejarle comoest, pero a veces, resuelve alguna duda:

El m.c.m. de denominadores es 5. Cada denominador lo dividimos por este nmero y el

cociente lo multiplicamos por su numerador.

9.102Calcula:

Respuesta:


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9.103Calcula

Respuesta:

Solucin:Trabajar con letras es muy sencillo. El m.c.m. de a y b es ab. Estas dos letras no

tienen nada en comn. Imagina que a es igual a 7 y b es igual a 5. Como 7 y 5 sonprimos, no tienen nada en comn, el m.c.n.(5 y 7) = 5x7 = 35 lo mismo que el m.c.m.(a

y b) = axb = ab.

El m.c.m. de los denominadores dividimos por cada denominador y el cociente lomultiplicamos por su numerador:

Dividir es como dividir suponiendo que a = 7 y b = 5Simplificamos los factores iguales en el numerador y denominador y nos quedaran:

9.104Calcula:

Respuesta:


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Solucin:

Este ejercicio puedes escribirlo:

El m.c.m. de los denominadores es XYDividimos este valor por cada denominador y el cociente multiplicamos por sunumerador:

No se debe simplificar xy del numerador con el xy del denominador porque el del

numerador est sumando y para simplificar los trminos tienen que estar

multiplicando.

9.105Calcula la suma:

Respuesta:

Solucin:El m.c.m. de los denominadores es ab. Lo dividimos por cada denominador y elcociente lo multiplicamos por su correspondiente numerador:

Vemos que el numerador es el cuadrado de la diferencia de dos nmeros:

luego:


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