Editor-tal Rex. S.A.CvCentral No. 42, ;~()de Mayo

'rels.: sas 204, 535-5242, Apdo. 888-2Santo Domingo. R. D.. 19R9.-

Matemática 9ALGEBRA

•

Prohibida la reproducción total oparcial de esta obra por cualquiermedio, sin autorización.Ira. Edición 1989.

©Editorial Rex, S.A.

Editora de Colores. S. A.Impresión:

Editorial RexMargot Santos

Composición:Diagramación:

Kreemly PérezCoordiri.ador:

Rita AbbottHaydee MillerVidalina González'Consuelo RuizKreemly Pérez

Autores:

Matemática 9 - ÁlgebraTítulo:

..1989

Santo Domingo,Rep. Dominicana

Editorial Rex, S.A.

Rita AbbottHayde Miller

Vidalina GonzálezConsuelo RuizKreemly Pérez

Autores:

Matemática 9ALGEBRA

U:\IDAD IV: EXPRESIONES NOTABLES DEL ALGEBRA7 Productos notables 125

A Cuadrados de sumas y diferencias 125B Producto de suma por diferencia 127C Producto de dos binomios con un término común 128D Cubos de sumas y diferencias 130

l"'ID¡\f) lit: ECUACIONES LINEALES. PROBLEMAS DEL ler. GRADO5 Resolución de ecuaciones del 1ero grado 87

5.1- Revisión de la lógica del Algebra 895.2- La regla de la "transposición de términos" 955.3- Ecuaciones. Ecuaciones lineales lOO

La Matemática a través de su historia: Bhask ara."El arte de la razón inmaculada" 107

6 Problemas concretos y modelos algebraicos del ter. grado 1086.1- Enunciados concretos y traducción algebraica 1096.2- Solución de problemas lineales 115

U~If)A[) 11: OPERACIONES CON POLINOMIO SOBRE Z y Q3 Suma y Sustracción. Sumas algebraicas 53

3.1- Reducción de términos semejantes 553.2- Suma y sus propiedades 603.3- Sustracción. Sumas algebraicas 633.4- Ordenamiento de polinomios. 67

4· Multiplicación y División 734.1- Reglas de los sentidos. Productos y cocientes de potencias

de bases iguales ".. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 744.2- Multiplicación de polinomios sobre Z y Q . . . . . . . • . . . . . . 774.3- División de polinomios sobre Z y Q 804.4- Propiedades de la multiplicación. Observaciones sobre la

división 84

U:\IDAD 1: LA LOGICA DEL ALGEGRAI Frases y enunciados numéricos. Números reales 9

1.1- Frases y enunciados numéricos 1I1.2- Números reales :.................................. 131.3- "Sistemas de coordenadas rectilíneas 211.4- Distancia entre dos puntos 231.5- Idea de la estructura de los números reales 25

La Matemática a través de su historia: Augusto de Margan ...El A lgebra de la Lógica" ..............•................. 33

2 Variables y Dominios. Expresiones algebraicas 342.1- Variables. Dominio. Expresiones... .. .. .. 352.2- Expresiones algebraicas \.. 412.3- Expresiones abiertas y cerradas ~. 432.4- Enunciados compuestos 48

Pág.

INDICE

U~ID!\f) VII: EL ALGEBRA DE LAS EXPRESIONES RACIONALES17 M.C.D. y M.C.M. de polinomios.

Fracciones algebraicas en Q 21517.1- Múltiplos y divisores. Factor común 217

UJ\ID¡\D VI: LA ECUACION CUADRATICA15 Estudio de la ecuación de 2do. grado 181

15.1- La ecuación cuadrática. Forma general 18315.2- Ecuaciones cuadráticas incompletas. Solución .........•.... 18515.3- Solución de I~.ecuación cuadrada completa por factorización . 19115.4- Fórmula general de resolución de la ecuación de 2do. grado

(Fórmula de Tartaglia) 19315.5- Naturaleza de las raíces 19615.6- Relación entre las raíces y los coeficientes 198

16 Problemas de 2do. grado 20216.1- Factorización de trinomios cuadráticos 20316.2- Problemas cuyo modelo algebraico es una ecuación cuadrática 20416.3- Problemas con números consecutivos 208

La Matemática a través de su historia: Entre un Tartamudo y unEmbaucador. El "Ars Magna" ......................•..... 213

Cl\IDAD V: TEORIA DE LA FACTORIZACION SOBRE Z y Q9 Factor monomio o polinomio de un polinomio 141

9.1- Ideas preliminares ~: 1439.2- Factor común monomio 1439.3- Factor común polinomio 146

La Matemática a través de su historia: "El hijo de Moisés':El "Hisab Al-yabr Wa'k-Muggabala" 149

10 El trinomio cuadrado perfecto 15010.1- Ideas preliminares '............................... 15110.2- Completar un trinomio cuadrado perfecto 15210.3- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto- ..........•. 154

11 Diferencias de cuadrados 15611.1- Factorización sencilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15711.2- Casos especiales de diferencias de cuadrados. . . . . . . . .. . . . . .. 15811.3- Factorización de diferencias de cuadrados completando

trinomios cuadrados perfectos 16012 Factorización de cubos 162

12.1- Sumas y diferencias de cubos 16312.2- Cuatrinornio, cubo. perfecto 164

13 Factorización de trinomios de 2do. grado 16613.1- Factorización de trinomios de la forma: X2 + bx + e 16713.2- Factorización de trinomios de la forma: ax2 + bx + e 169

La Matemática a través de su historia: El puente a la verdad,"El Algebra es una Cabbalavera". Leibniz · 175

14 Repaso general. Ejercicio-Taller 176

E Productos de la forma (a ± b) (al =t= ab + b1) ••••••••••••••••••• 131·F Binomio de Newton 132

8 Cocientes notables 1368.1- Cocientes notables 137

UNIDAD IX: FUNCIONES LINEALES SIMULTANEAS-23 Sistemas de funciones lineales 311

23.1- Ideas fundamentales ....................•................ 31323.2- Sistemas de funciones lineales.

Métodos de eliminación 31723.3- Eliminación por adición y sustracción.

Clases de sistemas 31923.4- Eliminación por sustitución 32323.5- Eliminación por igualación 32623.6- Problemas concretos o lingüísticos 328

La Matemática a través de su historia: "Una tragedia y una nueva vía ".Evariste Galois 332

UNIDAD VIII: EL ALGEBRA SOBRE R20 Operaciones con radicales 261

21.1- Expresiones algebraicas irracionales ...........•........... 26320.2- Propiedades de los exponentes 26420.3- Propiedades de la radicación ..........•..•...........•... 26720.4- Simplificación de radicales 26920.5- Introducción en radicales ..................•............. 27120.6- Sentidos en los radicales 27220.7- Términos irracionales semejantes 27420.8- Reducción de radicales a común índice 27520.9- Suma algebraica de radicales 27720.10- Multiplicación y División de expresiones algebraicas

irracionales 28120.11- Racionalización de denominadores 282

La Matemática a través de su historia: "Un principe de la Matemática":Carlos Federico Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286

21 Polinomios sobre R 28721.1- Operaciones con polinomios sobre R 28821.2- Factorización sobre R 29021.3- Raíz cuadrada de polinomios 295

22 Ecuaciones con radicales 29922.1- Ecuación cuadrática sobre R 30022.2- Ecuaciones con radicales 303

La Matemática a través de su historia: "La tragedia de unjo vengenio":Niels Abel 309

17.2- Máximo Común Divisor de polinomios (M.C.D.) 21817.3- Mínimo Común Múltiplo de polinomios (M.C.M.) 21917.4- Fracciones algebraicas. Simplificación 222

18 Operaciones con fracciones algebraicas en Q 22818.1- Denominador Común. Suma y diferencia de fracciones 22918.2- Sentidos de las fracciones y artificios especialesen sumas 23518.3- Expresiones racionales mixtas 23918.4- Producto y cociente de fracciones algebraicas 242

19 Ecuaciones y problemas con fracciones algebraicas 24719.1- Ecuaciones lineales con fracciones algebraicas ...........•.. 24819.2- Ecuaciones cuadráticas con fracciones algebraicas ......•.... 25019.3- Problemas concretos con fracciones algebraicas .•........... 25319.4- Ecuaciones literales 257

Este texto de Algebra Elemental ha sido fruto de la experiencia y elestudio continuado de algunos miembros del "Circulo de Estudio para laMatemática Escolar" que ha venido trabajando activamente para lograruna presentación coherente y continuada de la Matemática que debe serasimilada y actuada por los educandos de los niveles primario y secundariode la educación.

Era de esperarse que luego de las publicaciones de los textos de laMatemática para 7mo.y 8vo., se llegara a la cima de la dirección que trazanestos textos con la publicación de la presente obra. En consecuencia losobjetivos generales dentro de la planificación general que orienta su diseñodeberán presentar aquí un desarrollo y cumplimiento casi definitivo. Por lasrazones precedentes en condiciones de afirmar que:

1.- Dentro de los lineamientos relativos a la filosofía de la educaciónmatemática se enfatizan, en el presente texto:

a. El "espíritu" de la nueva Matemática que nació a mediados del siglopasado y que se ha desarrollado poniendo atención no sólo a objetosde estudios nuevos, sino más bien «a la manera nueva de mirarlos"desarrollando así la crítica, la lógica y la metodología apropiadapara hacer que esos nuevos objetos avancen el conocimiento y lasciencias. Como hemos reiterado en otras ocasiones la llamada"Matemática Moderna"no es un conjunto de temas nuevos sino quemás bien es, como decía el gran matemático francés René Thom,"un espíritu", un "modo de hacer matemática".

Desde ese punto de vista no importa que los temas sean tan viejos, comolo son los temas del Algebra Clásica, los cuales datan de los siglos XV,XVIyXVII, y que conforman el presente texto, sino que lo importante es la nuevamanera de mirarlos y la nueva metodología de estudiarlos y presentarlos.

b. El uso preciso y claro de la metodología pedagógica conveniente­mente en cada caso, sin abuso del recurso aplicado en cada uno (jqueno es el fin sino el simple medio!)permite hacer posible una lecturaclara y asimilable, por parte de docentes y alumnos, de cada cues­tión. No insistimos en esta parte,(muy importante de nuestros tex-

A los Profesores

PRESENTACION

Los Autores

tos), puesto, que un estudio de los especialistas del área pedagógicapodría poner en claro el enorme trabajo, la extraordinaria dedica­ción que requirió el lograr la presentación de éste como los demástextos de matemática ya publicados. Sólo queremos hacer menciónde dos innovaciones. En atención a la edad de los alumnos de estecurso hemos reducido los "Piensa" que en cursos anteriores lleva­ron la carga del nuevo espiritu de la Matemática de hoy, pero hemosaumentado las notas históricas, enriquecidas de situaciones criti­cas y de problemas que impliquen la meditación y el pensamientológicos. De ese modo "La Matemática en su historia" no es unamera formalidad extrínseca al texto sino "queparte del mismo quedebe ser trabajada en clase como condición para la comprensióncabal del tema o de los temas donde. dicha historia está enmarcada.

Es de justicia que una vez más los autores señalen como fuente funda­mental de inspiración, tanto en el aspecto de la filosofia de la educaciónmatemática como en la metodologia pedagógica en los textos, a la obraextraordinaria realizada por el "Grupo de estudio de la Matemática Esco­lar", (USchoolMathematic Study Group"). Ha sido en diálogo constante conestos textos, en autocritica con los mismos, como se han logrado las lineasgenerales de los nuestros. Hemos usado muchos de sus segmentos (para locual poseemos permiso directo del SMSG), hemos desechado, organizado oreorientado otros, pero hemos mantenido la estructura básica del ensam­blaje lógico de los temas. Esta fue una labor muy dificil pero necesaria,porque de no hacerla el sentido de la dedución caeria en el vacío y no daría lasensación de seguridad y sustentación, propia de la Matemática.

¿Los objetivos generales que nuestra serie Matemática se ha propuestoconseguir pueden ser considerados como consecuencia inmediatas de lafilosofia de la educación matemática seguida, la cual se fundamenta en laexpresión; al espíritu siguen los hechos. Por eso la orientación de este libroestá centrada en:

a. La formación de una mentalidad critica y de seguridad lógica en eldiscurrir para alcanzar la verdad y la ciencia.

b. La asimilación de patrones de comportamientos mentales que per­mitan a los educandos organizar sus conocimientos y comprenderla estructura lógica de los problemas de las demás áreas delconocimien too

c. Hacer de la Matemática una actividad humana atractiva por simisma de manera que el conocimiento de ella sea asimible sinmuchas resistencias mentales.

Desde luego nunca será bastante insistir en que los profesores deben leer,estudiar y pensar, con sentido critico, el texto que ponemos en sus manos.Sólo una asimilación clara y precisa del contenido activo de este libro puedepermitir su uso correcto y continuado logrando las conductas esperadas enlos educandos. Para lograr estas valiosas metas para la Educación Domini­cana, los autores agradecerán que los docentes les hagan llegar sus sugeren­cias y criticas a través de la Editora Rex.

Frases y enunciados numéricosNúmeros reales

1CAPITULO

UNIDAD ILa Lóg ica del Algebra

t t

Todas "expresan" el número 7. o

- ."--....,,,.- .... "'"u •

14 77 7 + O2 11

40 - 5 45 + 43 + 2 7

OBSERVA Cada una de las siguientes frases numéricas expresa el mismo número.

~

(~-

Quiere decir que:• Toda frase numérica simple "expresa" exactamente un número.

Fíjate en la frase 3+- J4que tiene dos signos de operación: uno de suma(+) y otro de resta (-).Esa frase no tiene "sentido matemático ': porque en matemática notiene sentido alguno escribir dos signos de operación uno a continuacióndel otro.

• Para que una "expresión" sea una Frase Matemática Simple debe tener"sentido matemático".

Una "expresión" formada por números y operacio­nes aritméticas, de modo que su combinación tiene"sentido matemático ': expresando exáctamente unnúmero. es una Frase Numérica Simple.

FRASENUMERICASIMPLE

Si preguntamos ¿qué son cada una de estas "expresiones"], la respuesta correcta debe ser:CADA "EXPRESION" ES EXACTAMENTE UN NUMERO

Si efectúas las operaciones indicadas en .cada "expresión ': verás que el resultado es ¡unnúmero!Cada una de esas "expresiones'íes una/rase numérica simple, porque representa exactamenteun número.

3 + 4 1.. (7 + 3) "-º+ 1 7 5

{l6 O + 5 -2 - 4 + 15 8 + 2 -3 3 + 20 - 19 -4 1

1 - 3 _!_+O -+ 18 - 75 224

Fíjate en las expresiones que van dentro de la "nube" siguiente:

1.1- FRASES y ENUNCIADOS NUMERICOS.

12

Un "enunciado numérico" es una afirmación sobrenúmeros que se expresa mediante frases numéricas,que pueden ser verdaderas o falsas.

• es falsopero no ambas cosas a la vez.

Verifica en el ejemplo anterior que:o t;., un enunciado numérico falso.

o es un enunciado numérico verdadero.

o es un enunciado numérico verdadero.o es un enunciado numérico falso.

€) es un enunciado numérico falso.

Todo enunciado numérico• es verdadero

o

Por eso: -..1+

Todo enunciado numérico es una afirmación en la que se dice queel número expresado en una frase numérica simple está relacio­nado con el expresado por otra frase numérica simple.

Todas ellas son "enunciados numéricos".

,0 (8 + 10) 2 < 8 + 9

Por ejemplo:

0 (3 + 1) ,5 - 2) = 10 0 3+4 -7-a7 -7

0 8-2 13-10 o 2-1 2--= a-10 15-10 5-2 3

Las Frases Numéricas Simples se combinan para formar FrasesNuméricas Compuestas o

ENUNCIADOS NUMERICOS.

¿Cuántas frases numéricas pueden expresar el número 7? Claro que hay infinitas posibles.Escribe 5 frases más que expresen el númeroZ.

13

Estos números resuelven todas las sustracciones posibles con naturales:

4321o-1-2-3••• -4

La representación de Z con la recta numérica es

1Enteros positivos: Z+= {J, 2, 3.... 1

z Enteros negativos: Z- = {..., -3, -2, -l}Cero: {Ol

Están formados por:

z = {..., -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4, ...}

o NUMEROS ENT~KOS (Z)

Son los números que sirven para contar; y responder a la pregunta ¿Cuántos hay?De ahora en adelante usaremos N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, ... } conservando la notaciónNo = {O, 1,2, 3,4, S, 6, 7, ...} cuando incluyamos el O entre los Naturales.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

o NUMEROS NATURALES (N).REPASEMOS:

Como tú puedes ver. las frases y enunciados numéricos necesitan de los números. Por esodebemos ahora recordar lo que nemos aprendido sobre ellos en los cursos anteriores.

1.2- NUMEROS REALES.

Frases numéricas simplesEnunciados numéricos == proposiciones aritméticas

Es muy corriente que tanto a las frases numéricas como a los enunciados numéricos se lesllame, en sentido general, "expresiones aritméticas"; mientras que únicamente a los enuncia­dos numéricos se les llama "proposiciones oritméticas".

14

a - b + c + d - e - m = (a + e + d) - (b + e + m)

= 70 - 34= 36

- 3 + 7 - 20 + 6 + (-9) = 7 + 6 - (3 + 20 + 9)

= 13 - 32

= -19

Estudia los ejemplos siguientes:SUMAS ALGEBRAICAS.

a - (-b) = a + b

ASI ....,.

12-(-8) = 12+ 8= 20- 6 - 3 = - (6+3) = -9

a - (-b) = a + b- a - b = -<a+b)

RESTA

Para restar números enteros se suma al minuendo el opuesto delsustraendo.

RECUERDA

'-ha

5 + (-4) = '5 - 4 = 1-7+5=5-7=-2

a + (-b) = a - b)-a+b=b-a

y las operaciones con ellas pueden ser recordadas así:

"

15

~

QUEBRADOSDECIMALES PERIODICOS

INFINITOS

FRACCIONARIOS

ENTEROS (Z)

~

POSITIVOS == NATURALES (N)CERONEGATIVOS

RACIONAES (Q) -

• Todos los números naturales son racionales.• Todos los números enteros son racionales.• Todos las fracciones quebradas son racionales.• Todos los decimales periódicos infinitos son racionales.

Por eso:

Todo número que puede ser escrito en forma de quebrado es unnúmero racional.

@NUMEROS RACIONALES «».

(-3) 5 = 5 (-3) = - 1?(-7) (-8) = (-8) (-7) = 56

3 X 4 = 4 X 3 = 12

a = -a -a a= - = -b -b b -b

-8 = 8 = - -8 "" - 24 -4 - 4

48 = -48 = -48 = 48 = 68 -8 8 -8

= = =-ab

a-b

-a-1)

-ab

(-a) b = b (-a) = - ab = - ba(-a) (-b) = (-b) (-a) = ab = ba

MULTIPLlCACION

REGLA DE LOS SENTIDOS.Si se multiplican o dividen enteros de igual sentido resultaun entero positivo.Si se multiplican o dividen enteros de diferentes sentidosresulta un entero negativo.

RECUERD~

16

0.1428577

..0.142857

PERIODICO MIXTO

PERIODICO PURO

RECUERDA QUE:Para pasar de quebrado a decimal divides el numera­dor entre el denominador usando la división decimal(es decir, con el punto aecimal) .

1Un. grupo de ~ifras no serepite y otro Si.1Ei - 0.1666•••- 0.1(6)

Un grupo de cifras se repi­ten sin fin ni límites.1

~ - 0.333 •••- O. (3)

~

Las cifras decimales signi­ficativas son finitas.3 35" - 0.6 4- 0.75

1

DECIMAL EXACTOCLAS~S DE

Si observas la "nube" anterior te habrás percatado que los tres primeros son enteros: positivo,negativo y cero. Los tres últimos corresponden a las tres clases de quebrados y, por tanto, a lastres clases de decimales que son números racionales.

10- -2

2 3= = - -2 3

17

... 12J-2901

Se pone por numerador la diferencia entre la parte no periódicajunto al periodo menos la parte no periódica dividido entretantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantosceros como cifras tiene la parte no periódica.(Sin tomar en cuenta los enteros).

Fíjate en este segundo ejemPIO~

DE DECIMAL PERIODICO MIXTO A QUEBRADO

1599

~ Fijate en este segundo ejemplo:

------~----~---0.(3) -

( DE DECIMAL PERIODICO PURO A QUEBRADO 1 •Se toman las cifras decimales del periodo y se divide entre tantosnueves como cifras hay en ese período.(Sin tener en cuenta los enteros).

Fíjate en este segundo ejemplo:

Se toman las cifras decimales como enteros y se divide por launidad seguida de tantos ceros como cifras decimales había. (Sintener e~ cue~ta los ent~!os).

75--lOO

DE DECIMAL EXACTO A QUEBRADO

Para pasar de decimal a quebrado hay tres reglas, una para cadaclase de decimal.

TAMBIEN RECUERDA QUE;

'N

a.3 5 5 2 3 (- 1 1 ) 25

--4 + + (- - ) + - (-4) - -4 2 8 15 2 2 2 12b., ) 2) 4 2 .1..Q_) (-2+ _!_)2 + 5(..!- -1; + ( - - ) + (-5) (- - 3x22 - 22 8 3 5 15 2

IS

4. Lo más importante en Aritmética es escribir enunciados numéricos válidos. Realiza lasoperaciones dadas en cada caso, verificando que el enunciado numérico dado esverdadero.

7-3 8 b. (_2)0 4-3 (5)-1:: 1..a. - - c.2 4 2-1 5

c.. (16-7) 2 8-1 4-4 1 f. V28-1 _ ~-1- e. -3 1+1 2 4-3

3. Determina en cada caso el valor de verdad del enunciado numérico dado.

d. 2- 3+1911

J 26-6c. 5

(3)2b. -7-

7-25a.

l. Escribe cinco frases numéricas simples que expresen el número 5.2. Escribe en cada caso otra frase numérica simple equivalente a la dada.

eS mamentodeREVISAR 1

Por eso:

OBSER VA QUE: --z.t

Es muy importante r1.ber entonces que ~

(x Todo número decimal se puede escribir como un decimal periódico.

¡Claro! los decimales periódicos tienen infinitas cifras decimales.

19

j Los ·números irracionales son decimales escritos a "la loca"!

Como alguien dijera:~~~--~------~--~~~~Un número irracional es el que se expresa por undecimal infinito no periódico.

lff= l.91 29 31 2 '".J2= 1.41 42 13 6 ...

ifl= 1.73 20 50 8 ..~ = 1.82 05 64 2 .

y tanto l. como 2. dicen la misma cosa de diferentes modos.En contraste con los números racionales están los números irracionales.

Los números irracionales tienen las siguientescaracterísticas:1. Son números con infinitas cifras decimales.2. Las cifras decimales no son periódicas.

Así pasa con todas las raíces que no son exactas.

Un número es racional si:l. Puede ser escrito como un quebrado.

o2. Es un decimal periódico infinito.

6. Te habrás fijado que el "juego de los infinitos nueves" es muy importante para escribiralgunos números racionales de dos maneras diferentes. Escribe usando los infinitosnueves decimales, cada número que sigue del otro modo posible.a. 7.2 b. 0.65 c. 498 d. 39.]] 5

7. Responde ]0 más importante que puedas las preguntas que siguen.a. ¿Por qué un número raciona] es siempre un decimal periódico infinito?b. ¿Por qué los enteros (Z) son racionales?

® NUMEROS IRRACIONALES (1).

En la revisión anterior te habrás convencido que:

d. -7.(3)h. 0.0 (7)

c. 0.41(6)g. 3.(9)

b. 3.(]42857)f. 6.25

a. 3.14]6e. 0.2 (9)

5. Dí, en cada caso, la clase de decimal que se dá y luego conviértelo en quebrado siguiendolas reglas estudiadas.

""'1.52(0.1)2 (-2)- ~O. 3 x O. 2) + (O• 2 x O. 5 )

0.2 - (0.5 x 0.3)e • O• 2. x O. 5) - (O• 2 x O. 3)

20

Todos íos números racionales junto a todos los irracionales forman lo que llamamos elconjunto de los números reales.

® NUME~OS' REA~ES (R).

fi = 1.41~O = 1.821

.ji hasta las centésimas:{l20 hasta las milésimas:

El símbolo = significa "aproximado".A todo irracional le pasa lo mismo que a 1T'; por esa razón, en la práctica, sólo pueden usarseaproximaciones de ellos.Asi tenemos que:

[

hasta las décimas: tt = 3.1hasta las centésimas: tt = 3.14hasta las milésimas: rr = 3.142hasta las diezmilésimas: ..1T' = 3.1416

Pero como, en la práctica, sólo se usan algunas de esas cifras, debemos acostumbrarnos apedir la cantidad de decimales con que deseamos el cálculo.

Así: -'1+

• rr no puede escribirse como un quebrado..• 1T' tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

En 1983 los japoneses Kanada, Tamura, Yoshino y Ushiro, calcularonlos primeras ¡16 millones de cifras decimales del número rrtAquí van algunas de ellas:3.14 159265 35 8979 32 38 46 26 43 ...

Por eso:

J

Es la medida del largo de la circunfe­rencia con su diámetro como unidad demedida.

uno de los irracionales más famosos es el número 1T'

0.00 34 70 09 58 12...18.50 12 34 79 1...

Si nos ponemos a escribir decimales después del punto sin una regla fija estaremos escribiendoun número irracional. Claro que los puntos suspensivos indicarán que se continúa asíinfinitamente.

21

• Tomamos una unidad de medida fija y hacemos corresponder a lospuntos marcados a la derecha del cero los números "enterospositivos yala izquierda los enteros negativos.Si subdividimos cada segmento unidad convenientemente podemos asig­nar a cada punto de la recta un número real.

Esa recta recibe el nombre de eje real.

4 •••3-1 2-2-3••• -4

• Si sobre una recta cualquiera marcamos un punto y le hacemos corres­ponder a este punto el cero.

Los números reales pueden servir como "coordena­das" de los puntos de una recta cualquiera.

1.3- SISTEMAS DE COORDENADAS RECTILINEAS.

Un número real es el que puede expresar de una delas dos maneras siguientes:l. Como un decimal infinito periódico.

o2. Como un decimal infinito no periódico.

y por eso podemos escribir que:

I R=Q U I 1Es decir que: ~

FRACCIONES

QUEBRADOS

DECIMALES 1

i POSITIVO == NATURALES (N)

CERO

ENTEROSNEGATIVOS

ENTEROS (Z)

EXACTOS

PERIODICOS PUROS

PERIODICOS MIXTOS

RACIONALES <Q)

IRRACIONALES (1)

NUMEROSREALES (R)

22

-2

_1-- . ............/' I <,/ _._._.-:+./ I ./, \/ , (... / 1 \I

/ I \I / . \NI , V 1M , , ,.-ñ -, o I ti ~

« ,

Fíjate como se construye elpunto M y el punto N tal quetengamos:Coord M = F2,JCoord N = -y2Construimos sobre el seg­mento de extremos O y 1 uncuadrado cuyos lados tienenuna unidad de longitud. Ladiagonal de este cuadradohabrá de ser .J2.según el Teo­rema de Pitágoras. El largo dedicha diagonal se transportasobre el eje usando un compás.

s.

Ie' = a' + b' )

O tambiénS = SI + S2

El área S del cuadrado construidosobre la hipotenusa de un triángulorectángulo ABC es igual a la suma delas áreas SI y S2de los cuadrados cons­truidos sobre los catetos.

~I

EL TEOREMA DE PITAGORAS dice:

3:: -

2

5:: - 2

Así:

32-1-2-3

La manera de determinar un punto cuya coordenada sea un número irracional puede hacerseen algunos casos usando el Teorema de Pitágoras.

¡.Recuerdas el Teorema de Pitágoras?

I •pIo

oI~ I• I

1• Coord Q = -22"• Coord O = O 1• Coord P = 1T

Es el número real quecorresponde al punto enel sistema de coordenadasrectilíneas.

COORDENADA DE UN PUNTO

La correspondencia biunívoca (o uno a uno)que se establece entre los puntos de una recta ylos números reales se llama un sistema de coor­denadas rectilíneas.

23

Se ve entonces que:

• Los números mayores que cero son positivos.• Los números menores que cero son negativos.• Todo número positivo es mayor que todo negativo.

RECUERDA QUE:

Es decir que:• Si el número es mayor que cero, su valor absoluto es él mismo.

x>O .......... lxl=x• Si el número es cero, su valor absoluto es él mismo: cero

x = O .......... [x] = O• Si el número es menor que cero, su valor absoluto es el opuesto del número.

x<O 1 x ] =-x

Sea x un nu.uero real cualquiera; al símbolol x ]

lo leeremos" Valorabsoluto de x", y se define como:

i x si x > OIxl = O si x = O

-x si x < O

Para que podamos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del eje real, usando lascoordenadas de los mismos, necesitamos la idea del valor absoluto de número real.

1.4- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

•-3 -Vi-2 -, o , Z Ij

Siguiendo el mismo procedimiento fíjate en lafigura de la izquierda cómo se construyen lospuntos cuyas coordenadas son .¡s y -vsrespecti vamente .

24

Por eso nuestra fórmula de la distancia entre dos puntos de un sistema de coordenadasrectilíneas puede ser escrita así:

Si a y b son dos números reales(a E R y b fE R)

1 a-b 1= 1 b--a 1

1 3-41 = 1 4-31

Ambas frases numéricas simples representan el número 9.

En general se puede escribir que: ~

1 (-5) -41 = 1-4 -{-5) 1

Ambos resultados son iguales. Por eso se trata de frases numéricas que componen unenunciado numérico verdadero:

y que:

OBSERVA que:

d (P, Q) = 1 Coord P - Coord Q 1= 1 (-5) -41 = 1 -91 = 9y este resultado se corresponde con el número-de unidades que hay entre P y Q.

...-------------------------- ..Es decir que:

d (P, Q) =1 Coord P - Coord Q 1

Para calcular la distancia entre P y Q, que escribiremos d (P, Q), seguiremos el cálculosiguiente:

Cuenta las unidades que hayentre P y Q. Son 9.

SOLUCION:

PROBLEMA p Q

¿Cuál es la distancia entre2 3 4 5 6 7 8 9los puntos P y Q tales que 1

Coord P , -5 y I I ICoord Q = 4 --5 -4 -3 -2 -1 O 2 3 4

25

pie una de las tres propiedades:l. a < b 2. b < a 3. a = b

Entre dos números reales a y b se cum

Si a <b y b < a entonces a = b

Si a < b y b < e entonces a < e

a <a, para todo a E R

R es un conjunto ordenado porque entre sus elementos se cumplen las propiedadessiguientes:

O2 Propiedad reflexiva:o Propiedad transitiva:o Propiedad antisimétrica:o Propiedad de tricotomía:

PROPIEDAD DEL ORDEN

SUMA(a + b) e R(a + b) + e = a + (b + e)a+b=b+a

MULTIPLlCACION(a . b) f R(a . b) . c = a . (b . e)a·b=b·al·a=a·l=aa -1 • a = a . a-I = l

Elemento neutro O + a = a + O = aElementos recíprocos (-a) + a = a + (-a) = ODistributiva g, . -. _. _. _ .... a . (b + c) = a· b + a· c

-. --. --. _. ~ (b + e) . a = b . a + c . a

PROPIEDADCerraduraAsociativaConmutativa

Para que tengas una idea global de la gran estructura que componen los números reales vamosa repasártela ordenadamente.R es un conjunto numérico entre cuyos elementos sedefinen dos operaciones llamadas suma yproducto de modo que cumplen las siguientes propiedades.

1.5- IDEA DE LA ESTRUCTURA DE LOS NUMEROSREALES.

Aritméticamente, los números reales componen el conjunto numérico más amplio posible,definiéndose entre ellos las dos operaciones básicas de suma y multiplicación, con suspropiedades fundamentales.Además, los números reales están ordenados.

d (P, Q) = I Coord P - Coord Q I= I Coord Q - Coord P I

DISTANCIA ENTREDOS PUNTOS ENCOORDENADASRECTILINEAS

26

47

Si, esa frontera es:Diremos que:

¿Habrá algún número frontera exacta entre ambas colecciones ordenadas denúmeros racionales?

Nuestra respuesta es:

< (?) <Ahora nos preguntamos:

• La colección de números racionales A crece de izquierda a derecha, según la flecha.• La colección de números racionales B decrece de derecha a izquierda, según la flecha.Fíjate que los términos de B difieren de sus correspondientes en A sólo en una unidad de laúltima cifra decimal.• Los puntos suspensivos indican que la colección A sigue creciendo sin parar y que la

colección B sigue disminuyendo sin parar.La frontera exacta entra ambas colecciones la simbolizamos:

<---B

< 0.5714286< 0.57142~< 0.57143< 0.5715< 0.572< 0.58< 0.6< l

"-----------------------~vr---------------------~

< ... < (?) < ... <

--->0< 0.5 < 0.57< 0.571< 0.5714< 0.57142< 0.571428< 0.5714285

~-----------~v ~A

las dos colecciones ordenadas de números racionales siguientes:OBSERVAPROPIEDAD DE COMPLETITUD

Por la Propiedad de Tricotomía podemos decir que el orden de R es un orden lineal u ordentotal.

Si a = b y b = e entonces a = e

Si a = b entonces b = a

a=ao Idéntica:

~ Sinnétrica:o Transitiva:

PROPIEDADeS DE LA IGUALDAD

27

0.3 < 0.33< 0.333< 0.3333< 33333< ...< (?) <

... < 0.33334< 0.3334< 0.334< 0.34< 0.4

¿Te atreverías a adivinar cuál es la frontera exacta de la siguiente pareja de colecciones denúmeros racionales ordenados? '

(PROPIEDAD DE COMPLETITUD)Dadas dos colecciones ordenadas de números racionales, demodo que los elementos de la segunda difieran de sus correspon­dientes de la primera en una unidad de la última cifra decimal,entonces la frontera exacta entre ambas colecciones es un"número real que puede ser racional o irracional.

Si hubiéramos requerido que la frontera entre dos colecciones ordenadas de números racio­nales cualesquiera fuera un número racional, entonces en el presente caso no habría habidofrontera, pues ....ti no es racional.Esta es precisamente la importante "propiedad de completitud" de los números reales que losdiferencia de los números racionales. . .La enunciaremos así:

En la frontera exacta entre las dos colecciones ordenadas está la,y'2.

1< 1.4< 1.41< 1.414< 1.4142< 1.41421< 1.414213< ...< (\/2) <

... < 1.414214< 1.41422< 1.4143< 1.415< 1.42< 1.5< 2

en las dos colecciones ordenadas de números racionales que siguen:

• Los elementos de la colección A son las aproximaciones por defecto de+• Los elementos de la colección B son las aproximaciones por exceso de .....i_. 7Pensemos ahora un momento.

¿Será posible afirmar que cualquier par de colecciones de números racionales,.así ordenadas, tengan siempre un valor racional en la frontera exacta entreambas?

Si asi fuera sólo los números racionales serían necesarios; es decir, que con los númerosracionales se resolverian todos los problemas en matemática.Sabemos, sin embargo, que hay números que no son racionales, sino irracionales como Ji,V), 'Ir, etc.

28

entonces:

Es decir, que si _1_ < 2 entonces2 3"'

cómo colocábamos infinitos racionales entre dos racionales dados?Decíamos que si a/b < cid, dos racionales ordenados

¿Recuerdas

Entre dos números reales cualesquiera siempre hayinfinitos números reales.

La colección ordenada de la izquierda son las aproximaciones por defecto detr, mientras que la colección ordenada de la derecha son lasaproximaciones por exceso de tt.

No debes olvidar esta importante propiedad de los números reales. Sólo estos números laposeen. Sólo los números reales son completos.PROPIEDAD DE DENSIDADEsta es una propiedad que tienen tanto los números racionales como los números reales. Engeneral puede ser enunciada así:

3 < 3.1 < 3.14 < 3.141 < 3.1415 < 3.14159 < 3.141592 < 3.1415926 < ......< tt «; ...

< 3.1415927 < 3.141593 < 3.1416 < 3.142 < 3.15 < 3.2 < 4

Finalmente observa que: ~

Donde la frontera exacta es el número \ff

(?) = 3ft

1< 1.9 < 1.91 < 1.912 < 1.9129 < 1.91293 < 1.912931 < ...< ...< (?) < ...<

< 1.912932 < 1.91294 < 1.913 < 1.92 < 2

Seguramente te habrás dado cuenta que esta frontera exacta es sencilla de adivinar. Pero, sin.embargo, ya no es tan fácil de adivinar cuál es la frontera exacta para la pareja de conjuntosordenados de números racionales siguientes:

29

Esto quiere decir que a - b es un entero positivo.Fíjate en los ejemplos:• 5> -8, porque 5 - (-8) = 13 > O• -3 > -11, porque - 3 -{-11) = 8 > O• 12> 10. porque 12 - lO = 2> O

Si a y b son enteros. a e Z y b f Z, entoncesa > b si únicamente a - b > O

(0 EN LOS ENTEROS..---,.,_"......",

Luego de este Piensa necesitarás recordar las definiciones prácticas que determinan el ordenen cada conjunto numérico.Recordémoslas a continuación.

c. Pero todavía podrás encontrar infinitos quebrados más que estén entre 1/2 y3/5 ; basta para ello con sumar numeradores y denominadores de ambosquebrados, es decir, siguiendo la regla:y verás que tampoco 3/4 sigue a 1/2.

d. ¿Podemos decir entonces que no hay número racional alguno que tenga unsiguiente determinado? De seguro que tu respuesta es la correcta: NO; NOHAY.

e. Y qué tal si te preguntamos ¿cuál es el número real que sigue a 1/2? Es naturalque pienses que la situación es peor que en Q, porque Rademás escompleto. Nohay real alguno específico que siga a 1/2. Dá tu mismo la razón de esto último.

y que _l_ no sigue a _1_3 2

b. Pero si te preguntamos:¿Cuál es el número racional que sigue a 1/2?Seguramente verás que la preguntaes difícil. Sin embargo. si recuerdas que Q es denso, te darás cuenta que nopuedes dar respuestas, pues si dices que es 2/3 verás que 2/5 está entre 1/2 y2/3, es decir

_!_<.l<.2253

a. ¿Cuál es el número natural que sigue a 1/2? La respuesta a esta pregunta esmuysencilla.

De ese modo podíamos seguir colocando racionales entre 1/2 y 2/3.Por eso los racionales (Q) son densos, y del mismo modo los reales (R). Pero hay una grandiferencia entre R y Q. pues mientras R es completo. Q no lo es.Estudia el siguiente Piensa que te resultará muy interesante e importante.

30

porque I - ¡I > I - + I ==> _l_ > .Lporque 6 > 4 4 _2

3 <__l...4' 2 J

. -

1 -8- >-5 9• -0.7 < 0.3•• ~> .L

7 -2• 0.23 > -(>.41

3 1• - - <-4 2• -3.1596<2.1

8 EN LOS RACIONALES DE SENTIDO NEGATIVO Y DE DISTINTOS SENTIDOS.

Como las partes enteras son distintas, entonces es mayor el demayor parte entera.

5.34151 > 5.34051Las milésimas son las primeras cifras decimales diferentes y lamayor entre ellas es 1.

5.34151> 5.43051• 7.790851 < 11.990851

•

Fíjate en estos ejemplos: 3 1• c: > "2' porque 3 X 2 > 5 X l ó 6 > 5182 2• 723 > 21' porque 182X21> 723 X2 ó 3822> 1446oEN LOS RACIONALES DECIMALES POSITIVOS:

o EN LOS RACIONALES QUEBRADOS POSITIVOS:

31

b. ¿Cuál es d (C, B)1a. ¿Cuál es d (A, C)?

A e B

Si d (A. C) = t d (C, B) y d (A, B) = 12 cms. entonces

5. Observa el siguiente gráfico de segmentos.

4.14

4 6 - 7 67

11 23 1 -2.71 13- 3 3 1

1 - 1 -958 10 0.1516

4.1416

4. Coloca los números racionales que están dentro de la siguiente "mancha" en ordenascendente.

R P M S NO T Q K4 1 1 1 I 1 l·

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4

a. d (P, Q) b. d (M, S) c. d (R, N) d. d (Q, K)e. d (S, T) f. d (P, Q) g. d (T, K) h. d (P, T)

1. Calcula las siguientes raíces cuadradas y cúbicas aproximadas hasta las milésimas. ParPara que recuerdes el procedimiento de extraer raíces, repasa en tu libro de 8vo. Curso elCapítulo 15, Unidad IV.a.jf7 b. 3.J28 c. V5 d. \/9

2. Usando el procedimiento empleado en el texto construye en una sola gráfica, sobre un ejereal, los siguientes números irracionales.a. ~ b. ~ c. ~ d. ~

3. Calcula la distancia de los puntos que están sobre la gráfica siguiente según se te piden.

• 1 -8 porque 1-1 1< I=ª--I ==> 1< 8

-é >9' -6 9 6 9porque 9 <48

• -8.4215 < -8.4115 porque 1-8.42151 > I -8.41158.4215 > 8.4115

es momentodeREVISAR 2

32

e ::::2.71 18 28 18 28 45 9 ...Con esas cifras escribe los dos conjuntos ordenados de números racionales que sonaproximaciones por defecto y por exceso de e.

e.d. 15

Un número, muy importante en la matemática superior es el número de Euler, que sesimboliza con la letra e. Ese número es irracional y sus primeras cifras son:

11.

10

Escribe nuevamente las proposiciones que en el ejercicio 8 anterior hayan resultado serfalsas de modo que sean verdaderas.Escribe las dos colecciones ordenadas de números racionales, que son las aproxima­ciones por defecto y por exceso, de cada uno de los números reales que van a continua­ción. Escribe los términos de esas colecciones hasta el lugar decimal de las cienmilésimas.Ayúdate para ello de una calculadora de bolsillo.a. \/5" b. 2/3 c. y'7

9.

8. Escribe Ven la raya colocada frente a una proposición si ésta es verdadera, y-F si ésta esfalsa.a. El número 3.1416 es irracional.b. Todo número que puede escribirse como un quebrado

es un número racional.c. El número 0.10110111011110 ... es irracional.d. El conjunto de los números reales es la unión de los

números racionales y los números irracionales.e. El número 3.1416 es la aproximación de 1T' hasta las

diezmilésimasf. Los números racionales tienen la propiedad de completitud.g. Los números racionales son densos en R.h. Entre dos números irracionales hay infinitos números

irracionales.i El número ft es racional.

y 8 en orden ascendente11

coloca .s fracciones entre 37

_!_ < a+c < eb b+d d

7. Usando la regla de colocar fracciones entre dos dadas,

Otra manera de construir segmentos cuyolargo es un número irracional, usando elTeorema de Pitágoras, es el que ilustra lafigura. Este procedimiento es debido algran Teodosio (Siglo V a.C.), discípulode Platón. Explica cómo se ha hecho ycontinúalo dos o tres pasos más adelante.Se obtiene una bella figura si se coloreanlos triángulos con colores diferentes.

6.

33

De Morgan escribió un libro que ha sido famoso como coleccián de paradojas: "Inventario deParadojas" ('Sudget of Paradoxes") que fue publicado un año después de su muerte. 1872.

¿Qué te parece? Sabiendo que De Morgan murió en 1871

• Trata de encontrar el año que es un cuadrado perfecto entre 1800 y 1871.• La raíz cuadrada de ese año era su edad en ese afio.• Finalmente. verificalo todo calculando la edad de De Morgan cuando

murió.

- Profesor. ¿cuántos años tiene Ud? -le pregunto el alumno.- Pues. )"0 tenía x años en el año X1 -le respondió De Morgan.

Pero. a pesar de su gran reputación, De Margan se vio obligado a impartir clases particulares paracubrir las necesidades de su mujer y cinco niños. Sólo tenía una pasión: comprar libros)' estudiarmatemática. Tocaba con maestría la flauta. con la que solla distraerse.En sus últimos años declinó dos honores que le fueron conferidos: rehusó pertenecer a la RealSociedad británica de Matemática. pues. decia que ésta estaba "demasiado abierta a las influenciassociales': es decir, que era usada como medio de ascensión social: y se negó a aceptar el DoctoradoHonoris Causa" que le ofreciá la Universidad de Edniburgo, porque decía "yo no siento como undoctor; )'0 hay muchos':Las dotes excepcionales como profesor no fueron obstáculo para que el humor también se hicierapresente en sus clases. De ese humor se recuerda aquella célebre respuesta a la pregunta que le hicieraun estudiante:

Sus dos famosas leyes del cálculo simbólico son muy útiles.Investiga qué quieren decir ...

LA LOGICA

Augusto De Morgan Este hombre extraordinario nació en Madras, India, depadres ingleses que trabajaban en una compañía inglesaradicada allí.Siendo niño, perdió un ojo lo que le ocasionó muchossufrimientos en la escuela. A pesar de esta desgraciademostrá siempre ser el mejor en Matemática. Se graduócon honores en el Trinity College de Cambridge, pero nopudo continuar allí por motivos religiosos. En esaocasión dijo: ..... de Nuestro Señor Jesucristo, quien creoen mi corazón que es el hijo de Dios. pero a quien yo noconfieso con mis labios. porque en mi época tal confesiónha sido siempre una manera de ascender en el mundosocial".

Este rechazo a valerse de prestigios para ascender en lasociedad fue una norma de su vida. Logró entrar en la

Cdtcdr« ik: la t nivcrsidad C!" tundrcs dotul« IU'/"II/(II/('("Í(; I)(J" 3{1mios. Su."clasesfueron considerudasik: primrr orden .r I"I/ido pUl' la claridad.r brillantez C!" Sil.' cxposiciuncs. PI/Min; cÍt'I1I0S ik: articulusr libro» /10/"(/ la csrucl« srcurutari«. cstinuulas ("(/1110 los 1I1t:;O/"('s c!e .\'11 época.Pensó en la posibilidad de crear el Cálculo Lógico. con slmbolos algebraicos, pues decia que todaciencia tenía su simbología excepto la lógica. Se dedicó con ahinco a ese trabajo. Hoyes considerado,junto a George Boole (/8/5-1864), uno de los fundadores de la lógica Moderna o Simbólica.

LA MA TEMA TICA A TRA VES DE LA HISTORIAAUGUSTO DE MORGAN (1806-1871)"ELALGEBRA DE LA LOG/CA"

Variables y DominiosExpresiones aIgebra icas

2CAPITULO

//

35

Pero cada uno de ellos tiene sus momentos de mayor utilidad. Así, el cálculo mental es másútil cuando compras, haces negocios, y, en general, cuando tienes que emplear la artiméticapráctica. Sin embargo, 'el cálculo algorítmico ofrece la gran ventaja de explicitar las operacio­nes que están implicadas en el problema, paso por paso, y te das cuenta de cada propiedadaplicada en cada paso.

66+2

7 (6 + 2)7 (6 + 2)

CALCULO MENTAL68

5614

¿Cuál de las dos maneras de calcular es la mejor?Te diremos que tanto José David como Jesús han empleado dos métodos que son muy útiles:el cálculo mental y el algorítmico.

Es decir, usando frases matemáticas en elmismo orden en que se van proponiendoliteralmente.Cada una de estas frases numéricas repre­senta cada resultado parcial:

6, 8, 56, 14

• 6• 6+2• 7 (6 + 2)• 7 (6 + 2)

4

6, 8, 56, @Claro que 14es el resultado final del problema. Sin embargo, Jesús, que oía a sus dos amigoshablar, había escrito en un papel la sucesión de operaciones del modo siguiente:

Como José David es muy rápido calculando, fue haciendo la sucesión de resultados para cadaoperación propuesta. Obtuvo:

Toma el número 6, súmale 2; multiplica elresultado por 7 y luego divide entre 4.¿Cuál es el resultado?

Miguel quiso probar qué rápido era su amigoJosé David para calcular, y le propuso el pro­blema siguiente.

2.1- VARIABLES. DOMINIOS. EXPRESIONES.

36

\

Así -> (7 + 3) X 3 = 10 X 3 = 30~ )

Esta suma deberealizarse pn­mero.

o Las operaciones que figuran dentro de

un paréntesis deben realizarse primero.

operaciones.Para verificar que (7 +3) X 3·::¡/:7 + 3 X 3 debemos recordar el orden en que deben realizarse las

(7 + 3) X 3 ::¡/: 7 + 3 X 3IMPORTANTE

No es lo mismo (7 + 3) X 3 que' 7 + 3 X 3, esto es:

OBSERVAel uso que se ha hecho de los "simbolos de agrupación".Paréntesis ()Corchetes []

77+3

(7 + 3) X 3[(7 + 3) X 3] X2[(7 + 3) X 3] X2

12

La sucesión de operaciones es:

PROBLEMAToma el número 7, súmale 3 y multiplica el resultado por 3. Luegomultiplica por 2 y para terminar divide todo entre 12. ¿Cuál es elresultado?

Si seguimos el problema que va a continuación algorítmica mente, podremos escribir la frasenumérica de cada paso y obtener finalmente el resultado.

El Cálculo Algorítmico es el que se usa en:

• ALGEBRA• MATEMATICA AVANZADA• PROGRAMACION DE COMPUTADORAS

CALCULOALGORITMICO

En el cálculo algorítmico importa más "cómo se hace o cómo se razona':'mientras que en elmental importa más "el resultado es... "

37

s S 23 23Sx3 15 23x3 69

(Sli3)+12 27 (23x3)+ 12 81

(Sx3)+ 12 ~ 9 (23x3)+ 12 273 0 3 @(Sx3)+12 -4 (23x3)+ 12 -43 3

Tomando 23

Pensando detenidamente este problema observamos que S tiene 100números, por lo que hay100 maneras de escoger un número de S. Esto quiere decir que en realidad no tenemos unproblema sino 100 problemas.Tomemos cuatro números cualesquiera de S y resolvamos algorítmicamente.

Tomemos un número cualquiera del conjunto S, multipliquémoslo por 3;al resultado sumérnosle 12; dividamos entre 3 y finalmente restemos 4.

y tratemos de resolver el siguiente problema.

77+3

(7+3)x3[(7+3)x31x2

[(7+3)x31x212

donde 5 es el resultado del problema.Imaginemos ahora que tenemos el conjunto S de los números naturales del I al 100.

S = {1, 2, 3, 4, 5, .0., lOO}

7103060o

La secuencia de los números obtenidos en el problema anterior es:

Esta multiplicación deberealizarse primero.

Así -> 7 + 3 X 3 = 7 + 9 = 16

y/

{:;\ Cuando no hay símbolos de agrupación, las multiplicaciones y divisiones deben reali­\V zarse primero de izquierda a derecha.

.,i

¡ .­,~ 38

Pero la palabra "número" esmuy larga y, por tanto.incó­moda de manejar.Por eso, si en su lugar usamosla letra n tendremos:

nnX3

(nX3)+12(nX3)+ 12

3(n X 3) + 12

-4

3-4

NúmeroNúmero X 3

(Número X 3) + 12(Número X 3) + 12

3(Número X 3) + 12

Dentro de los círculos están los resultados en cada caso. Completa el último caso. Fíjate quelos resultados son iguales a los números tomados del conjunto S.¿Ocurrirá esto mismo con todos los elementos de S?Si quisiéramos averiguar esto aritméticamente, no nos quedaría más remedio que resolver los100 problemas posi bIes.Sin embargo, es aquí donde se pone de manifiesto la potencia del método algorítmico, porqueusando este método es posible determinar, en forma general, que siempre nos resultará elmismo número tomado.Vamos a usar la palabra "número" en lugar de un elemento cualquiera de S. Entonces elprocedimiento es de la forma siguiente:

Tomando 61 Tomando 87

61 61 8761x3 183 87x3

(61x3)+ 12 195 (87x3)+ 12

(61x3)+ 12 65 (87x3)+ 123 3

(61x3)+ 12 -4 @ (87x3)+ 12 -4 •3 3

39

Verifica por ti mismo que esto es verdad con los primeros 20 números pares.e. ¿Cuál de los métodos hemos empleado para verificar esta "Conjetura de Gol-

8=5+314 = 7 + 7

6=3+312 = 5 + 7

Por ejemplo: ·4 = 2 + 210=7+3

a. Recuerda a cuáles números naturales se les llama números primos. Escribe sudefinición con precisión.

b. Recuerda la técnica para determinar los números primos, llamada "Criba deErat ástenes", y determina todos los primos que hay entre 1 y 100.

c. Recuerda a cuáles números naturales se les llama pares. Escribe los 20 primerosnúmeros pares.

d. La "Conjetura" de Cristian Golbach (1690-1764) es un problema que dice:

Piensa ... 2

De este modo hemos resuelto los 100 problemas ¡en uno sólo! y nos damos cuenta que lasolución siempre será el número tomado del Conjunto S.De haber empleado el método del cálculo mental o aritmético, no habríamos llegado fácil­mente a "probar" que el resultado de nuestro problema es siempre igual al número tomado.La situación sería aún más dificultosa si S tuviera un millón de números. En caso de que Scontuviera todos los números naturales, N, entonces por el método aritmético a lo más quepodemos llegar es a conjeturar el resultado; en este caso, es imprescindible el métodoalgorítmico para tener una "prueba" definitiva del resultado.

3n 3n3n + 12 3n + 12

3n + 12 3n + 12 _ Zn +3 3 --:7,+ 12

-43

¿Sabes que n X 3 también pueden escribirse así ~ 3n? ¿Cuál de las dos expresiones es másfácil de manejar? Seguramente estás de acuerdo con nosotros en que es más fácil3n. Entonces,una nueva forma de escribir el algoritmo es:

40

Vemos que el resultado es el doble del número tomado.

.- ~---. '"8 n

IOn IOnIOn + 5 IOn + 5

IOn + 5 IOn + 5 = IOn + _2_ = 2n + 15 5 5 5

IOn + 5 - 1 2n + 1 - 1 =G)5 ~

Si continúas tomando números en N podrías conjeturar que el resultado siempre será el dobledel número tomado. Pero eso es sólo una conjetura. Si deseamos la prueba general deberemosemplear el Método algorítmico.Simbolicemos por n el número tomado; entonces el razonamiento general del problema será:

(j) 7 ® 251

10xl 70 10x251 2510

(l Ox7)+5 75 (lOx25 1)+5 2515

(l Ox7)+5 15 (lOx251)+5 5035 5

(10x72+5 -1 @ (lOx2512+5 -15 5

Observa que el conjunto del cual debes tomar un número es todo N. Eso indica que, siusáramos el método del cálculo mental o aritmético, tendríamos que efectuar infinitosproblemas. Pero como esto no es posible, a 10más que nos conduciría este método es a haceruna "conjetura".

En este problema hay infinitosproblemas.

Toma un número natural cualquiera, multiplí­calo por 10. Súmale 5 al resultado y luegodivide entre 5, finalmente, resta la unidad.

Algunos llaman al método algorítmico "método estructural", pues en él se ve con claridad laestructura del razonamiento matemático.

bach"l Debes saber que hasta hoy no ha podido "probarse "que esto es verdaden general, pues los Matemáticos no han encontrado la manera de hacerlousando el método algorítmico.

41

"expresiones algebraicas".oson "frases algebraicas"

-3x -y

Expresiones como las siguientes:

2.2- EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

El símbolo usado para representar una variable nointerfiere en nada con el razonamiento ni altera losresultados.

[ IMPORTANTE>

Si en ambos casos escogemos el mismo elemento de S, digamos 21, vemos que el resultado es elmismo, no importando qué letra se haya usado para simbolizar la variable. ¿Te diste cuentaque el razonamiento no queda afectado?

n4n

4n-8

Si el dominio es S = {3, 4, 5, ...}

4n-84

Fíjate en el ejemplo siguiente.

¿Crees tú que si cambiamos la letra que simboliza la variable, el razonamiento quedaríaafectado?

Es el conjunto cuyos elementos son representa­dos por la variable, y por lo tanto la variablepuede ser sustituida por cualquiera de ellos.

Es el símbolo literal que representatodos los elementos de un conjunto dado.

DOMINIODELA

VARIABLE

Como n ha representado el número tomado, tanto en el conjunto S como en el conjunto N se lellama "variable ",y a estos conjuntos N y S de los cuales se ha escogido la variable se les llama"Dominio" de variación de la variable.

42

Esta es una nube de Polinomios

~.PO LI N () MlOS~)

~

Esta es una nube de Monomios.En un monomio al factor numérico sele llama coeficiente de la variable.

Es la expresión que consta de constantes y variablesdonde sólo entran las operaciones de multiplica­ción, potenciación o radicación.

,.,.......---~')_#f MONOMIOS .',~'

¿Cuáles características observas en las frases algebraicas anteriores?Fíjate bien en sus definiciones:

4x + 2y - z + 10Polinomio

Irracional algebraico

x+y+z; 6-8y-x; m+n-r

1 -8x 3x+2__._ .x+y , 2x+y 6x-8

\["X ; 3.Jx-y; 2x..¡y

Fracción algebraica

Binomios

Trinomios

5-xyz596x-8y

-6xr;45 x+l;

Su; 4x2 ;

x+y; 4-x;

Monomios

EJEMPLOSNOMBRES

CLASIFICACION DE LAS FRASES ALGEBRAICAS

La clasificación de las frases algebraicas es muy importante para la identificación de lasmismas.

Una expresión es una frase algebraica cuandoconsta de variables y constantes numéricasligadas mediante las operaciones aritméticas.

43

I 3. En cada uno de los problemas que van a continuación usa el método aritmético para tresvalores cualesquiera del dominio de variabilidad dado en cada caso para que hagas laconjetura que debe corresponder.a. Toma un número natural, multiplicado por diez y al resultado réstale el mismo

número.b. Selecciona un número natural cualquiera y dinos qué número natural se obtiene

sumando 6 a tres veces ese número natural si luego se le divide entre tres.c. Escoge un número par cualquiera, súmale 18y el resultado dividelo entre dos. Resta

ahora el resultado de 8.d. Escoge un número natural que sea impar, multiplícalo por dos y el resultado

divídelo entre tres. Finalmente multiplica por tres medios.4. Describe algorítmicamente cada uno de los problemas del ejercicio 3 anterior y dá una

solución general de los mismos.). Escribe el dominio de variabilidad, usando la escritura por extensión para conjuntos, de

las variables de cada uno de los problemas del ejercicio 3.

f. 23 - 5 (2) = 36e. (3 + 7) 4 = 3 + (7 X 4)

= ...E_x23

123x2d.1(2x5) +(2xT)

l. Escribe en tu cuaderno de álgebra la respuesta a cada una de las preguntas que siguen.Luego discute en clase con tus compañeros cuál de las respuestas dadas en cada caso es lamás acertada.a. ¿Cuál es la diferencia entre frase numérica y frase algebraica?b. ¿Qué es lo que caracteriza los enunciados o proposiciones numéricas?c. ¿Qué es un algoritmo?d. ¿Cuál es la diferencia entre cálculo mental y cálculo algorítmico?e. ¿Qué diferencia una constante de una variable?f. ¿Qué debemos entender por "conjetura"?g. ¿Podemos llamar "expresión" tanto a una frase como a una proposición?h. ¿Puede una misma variable ser nombrada con diferentes símbolos?1. ¿Afecta el cambio de nombre de una variable los cálculos en que ella participa?J. ¿Qué es el dominio de variabilidad de una variable?

2. Determina cuáles de los siguientes enunciados numéricos son ciertos y cuáles son falsos.

a. 16 +4-3 = _!§_ +(4-3) b. 7+9 = 7+.1..2 2 2 2

es momentocleREVISAR 3

Los polinomios pueden, a su vez, ser: binomios, trinomios y polinomios en general, cuandotienen dos, tres o más de tres sumandos, respectivamente. Cada uno de los sumandos recibe elnombre de término del polinomio.Debes notar que los polinomios son sumas algebraicas, es decir, que contienen sumas y restas.

44

OBSERVA

Las frases corrientes del álgebra son las frases abiertas.

Es la que contiene variables y constantes.

Es la que no contiene variables sino constantes.

Una frase como 3 + 7 es una frase numérica o aritmética que no puede ser otra cosa que elespecífico número 10.Sin embargo, una frase como x + 7 es una expresión algebraica que norepresenta un número específico, sino una infinidad de números, dependiendo del dominio devariabilidad de la variable.Estos dos ejemplos nos indican que hay frases o expresiones cerradas, como 7 + 3, y abiertascomo x + 7.

2.3- EXPRESIONES ABIERTAS Y CERRADAS.

¿Cuánto dá 125X 125?

¿Cuánto será 12345678X 9 + 9?

5 X 5 = 2515X 15 = 22525 X 25 = 62535 X 35 = 122545 X 45 = 2025

b.

6. Clasifica, según el número de monomios, los polinomios siguientes.a. 3x2 + 2y b. m2 + 2n + I c. 8xyd. y3+ 3/ + 3y + I e. X2 + 7 f. I - x

7. Para que agudices tu sentido analítico te vamos a proponer dos reglas numéricas deformáción. Analizalas y enuncia las reglas.

a. I X 9 + 2 = 1112.X9+3=lll123X 9 + 4 = 11111234X 9 + 5 = I 1II 1

45

I_l.

,- - -t Debes tener "siempre "presente que cuando tienes una expresiónalgebraica que sea un enunciado abierto es necesario saber eldominio de variabilidad de las variables.

-...-

,....

~Pero para poder determinar si un enunciado abierto es falso o verdadero hay que asignarle a lavariable los valores del dominio.

es un enunciado abierto.

r Si un enunciado contiene variables es una pro­posición algebraica y, por lo tanto, es una pro­posición o enunciado abierto.

PERO RECUERDA que toda proposición debe ser falsa o verdadera.Los enunciados cerrados son de ese modo enunciados numéricos, que pueden ser falsos overdaderos.

Las proposiciones cerradas nocontienen variables, son siemprearitméticas.

• Al conjunto R se le llama también conjunto de llegada, codominio o valores numéricosde la frase algebraica.Del mismo modo que las frases, los enunciados o proposiciones pueden ser cerradas oabiertas.

6 x + 1

6€~ )' + 1 = 3 + 1 =

del dominio, sustituimos a x por -t en la expresiónAsí por ejemplo:Para el elemento6x + l.

FIJATE que:• 6x + l es una frase o expresión algebraica abierta.• La variable x tiene su dominio de variabilidad en los elementos del conjunto D.• Los resultados de procesar cada elemento del dominio produce los elementos de

conjunto R.

RECUERDA que:• Los elementos de R se obtienen sustituyendo la variable por cada elemento de

su dominio.

46

5 = 10 20 = 1010=10 15=10~_4 __ 9 9 9 14 9 1_9__~

15x - 1 = 9 5x = 10

Si D = {1, 2, 3, 4}

Así para 3x + 1 = 13 con D = {2, 4, 6, 8} el conjunto solución es S = {4}, puesto que:3 (4) + 1= 13 ó 13 = 13. Nota que S e D.

Observa ahora las dos proposiciones abiertas que siguen, las cuales tienen el mismo dominiode variabilidad para la variable.

El conjunto solución o de validez de unaproposición abierta es el subconjunto deldominio de las variables que hacen que laproposición abierta se convierta en unaproposición cerrada verdadera.

CONJUNTO SOLUCION ODE VALIDEZ DE UNA

PROPOSICION ABIERTA

Sólo una de las proposiciones cerradas que se originan es verdadera: 13 = 13. Las demás sonfalsas.Esta situación nos lleva a considerar dentro del dominio de las variables un subconjunto muyespecial: el de los valores que hacen que la proposición abierta se convierta en una cerradaverdadera.

Para obtener estas pro­posiciones cerradas debessustituir a x por cada ele­mento del dominio.

D

64

82

19 = 1313 = 13

25 = 13-._.i 3x+ 1= 13/ . _ ...

L- ~ ~----------------------~

7 = 13

3x + I = 13 Y el dominio es D = {2, 4, 6, 8}obtendremos como conjunto de llegada las proposiciones cerradas que seorigman así:

De este modo si:

Un enunciado abierto sin dominio de las varia­bles carece de sentido alguno.

NECESIDADDEL

DOMINIO

47

d. {A.¡ = N = {I, 2, 3, ... } e. {A5=Z={ ...,-1,0, 1,2, ... }xJ + l x '

c. {A.~= {2, 4, 6, 8}x/2f.{A(, = fo}

ox + 8x+2

b.{A2. {-2,-t,0, I}5 - 2x

a. {Al = {-}, 0, I}x- + 1

l. Usando como dominio de variación de la variable el conjunto que se dá. calcula losvalores correspondientes o valores numéricos de las formas algebraicas dadas en cadacaso.

es momentodeREVISAR 4

donde se ve que en todos los casos las proposiciones cerradas son falsas. Haz tú lo mismo conlas demás y encontrarás la misma situación, es decir, que el conjunto solución o de validez paratodas ellas es el mismo conjunto: el conjunto vacío, S = el> No hay elemento en A que haga aalguna de -esas proposiciones abiertas una proposición verdadera.

7 (3) = 2~

21!28J7 (2) 128

14 = 28

7(1) 1287 = 28

[7 (O) 128°= 28

El conjunto solución o de validez es S ={4} para cada una de esas proposiciones. Por eso todasson equivalentes entre sí.

¿Qué les pasaría a esas proposiciones si el dominio de variabilidad fuera el conjuntoA = {O, 1, 2, 3}?

Para responder a esta pregunta calculamos todas las proposiciones cerradas que correspon­den a cada valor del dominio en cada proposición abierta. Por ejemplo con la tercera de ellas,7x = 28, resultan:

x=47x = 287x + 2 = 30= 6(7x+2)5

o = {I, 2, 3, 4, 5}

Fíjate en la lista de proposiciones que sigue. Todas tienen en común el dominio

Cuando dos proposiciones abiertas tie­nen el mismo conjunto solución se llamanequivalentes.

Como puedes ver, en ambos casos el conjunto solución o de validez de la proposición esS = {2}.

48

Son aquellas que contienen algúnconectivo lógico o el modificador.

Todos los enunciados o proposiciones algebraicas que hemos estudiado hasta aquí han sidosimples.¡,RECUERDAS ... de tus cursos anteriores lo que son

2.4-- ENUNCIADOS COMPUESTOS.

c. 4 + x~ = Ob. I - s = 5 - sa. s + 4 = s + J

5. Usando Z como el dominio determina, ¡con cuidado}, el conjunto de validez de cadaproposición algebraica:

a. x' = 9 b. 12 + y = 8 c. 4y + 5 = 45, 9d. x = '16 e. 3x - 2 = 10 f. 4x + 3x = 14g. 4x - 3x = 14 h. 3x - 2 = 15 1. 7-x= I +x

4. En cada uno de los problemas siguientes, el dominio de variabilidad de la variable es elconjunto Z de los enteros. Determina el conjunto de validez para cada enunciadoabierto.

f. {D ,{ 1, 2, 3, 4}x: + 5x + 6 = °

c. {D = ~ = {I, 2, 3, ...}x: + l = 10

e. {D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}(x+ I)(x-I)= 15

b.[ D = {-l, 0,1,2, 3}x+5=6

d·l D = {,1, 2, -1, -2}x: - l = 3

a [D = {-2, -1, O, 1, 2}x2-4---=02

3. Determina el conjunto solución o de validez en cada uno de los problemas siguientes.

e'e' = {O,tf. [B6 = {-I, ~' lJl l-x2

e. {B5 = {-5, -4'70' 4, 5}

x~

b.{ B2 = {-2, -1, O, I}x-lx+2

a. {BI = {-I, ~' 2, I}

x-l

d. ~B,= (1. 1/3, 1/2, 1/4)

l 2x-l

2. Es posible que una forma algebraica abierta carezca de valor numérico para todos oalgún valor del dominio de variabilidad de la variable. Tal es el caso cuando se presentauna división por cero. Como ya sabes, esta división está prohibida por carecer dedefinición en Matemática. En cada uno de los problemas que siguen determina elconjunto de los valores del dominio dado para los casos que no permita valor numéricola forma abierta correspondiente.

49

Cada uno de ellos es un enunciado único, compuesto por dos enunciados simples unidos omodificados por conectivos.

2 =-+ 327 =

= 5 ,..

CONJUNCION DISJUNCION IMPLICACION MODIFICADOR

P Q pA Q P Q pvQ P Q P->Q P -P

V V

IHV V El V V

H1V 1~IV F V F V F F

F V F V F VF F F F F F

LOS enunciados numéricos siguientes:

¿RECUERDAS ... las tablas veritativas de esos conectivos?Para que las recuerdes te las ponemos a continuación.

SIGNIFICADO ...

SIMBOLO .....

NOMBRE .....

Ahora debemos darte a conocer los símbolos que los lógicos inventaron para hacer mássencillo el uso de esos conectivos. I

SL. entoncesImplicación

Y... ¿recuerdas los conectivos lógicos y el modificador lógico? Te pondremos el cuadro quesigue para que los recuerdes.

50

Este conjunto contiene todos losvalores que hacen que Px v Qx seaverdadera, porque:

"; ¿A U B = f2,51Esto quiere decir que

entonces los conjuntos de vali­dez para ambos son:

//

~/B = {5}

x-l2

~Qx

vSi decimos que: x + 1 = 3

~

es verdadera.x -1 = 22vx+I=3

PROBLEMA:

Si el dominio de la variable es 0= {l. 2, 3, 4, 5} determinar para que valores laproposición:

Para determinar la verdad o falsedad de las proposiciones algebraicas compuestas es impres­cindible conocer los conjuntos de validez de las proposiciones simples que las componen.

Para evitar confusión con los enunciados numéricos cerrados, que se simbolizan con letrasmayúsculas P, Q, R, S, T, etc., a los enunciados algebraicos abiertos se les coloca debajo lasvariables que contienen la proposición: P¿ Qx, Rxy, etc.

._ _.;;f~.--.--. _" __ ,----o

porque

~(3 + 4 = 7) es una proposición falsa

De modo semejante: -. - ._._._.-........

I -;-I=;=:===;:~=I...._. ?I ._.JIA

-. _.--;r--./

\<,

porque

es un enunciado verdaderov 2 =11 + 3

\ 2 2'------.;;'V.-----'J

.....__._._ . ._.---De igual modo:-z. 7 =

/

porque

~-._. ,,!-.~

-- J.._._ .7/-

QP

\

es un enunciado verdaderoFIJAQUE que~ 4 + 1= 5 A 5 = 3 + 2-..-r '---y---l ~

51

En cada caso escribe tres proposiciones más que sean eq uival.entes a la proposición dada.a. O = Z b. O = N c. O = Z

x2+3= 12 (x+5)J4=4' (x+ 1)(x-2)=0

2.

a. D={-1,0,1,2} b. 0·= {-3, 0, 3}x+I=2 x2-3 2=4 - x = 3 3x=1 X2 - 3 = 6,

x: = 9c. O = {-7, 2, 7} d. O = {O,1, 2, 5}

7-x=O x + 8 = 13x = 14 - x x - 13= 8x=7 x = 5

Usando los dominios propuestos para cada caso, determina cuáles de los conjuntos deenunciados dados son equivalentes.

1.

eS momentodeREV/SAR 5

OBSER VA QU E:Para determinar el valor veritativo de una proposición algebraica abierta hay queconvertirla en una proposición cerrada usando los valores de los conjuntos devalidez de las proposiciones simples que componen la compuesta.

Cualquier otro valor del dominio hace falsa la proposición.

IVIQ

PVQv5+1=3L.-_,.---)

P

•

v2+1=3'---.,---)

P

•

52

b. (x 2 = 7) -> (x = 14)

d. ( 'XS3. -1) -> ( X~l -1)

f. (x - 2 = 7) -> (27 - Jx = O)

a. (x2 = 9) -> (x2 - 9 = O)

c. (x - 1 = 3) -> (x2 - 1 = 15)

e. (Xl - 9 = O) -> (x + 1 = 4)

Saca ahora por ti mismo una conclusión parecida, de los ejercicios b y d en las cuales seha usado la disjunción como conectivo lógico.

,6. Siguiendo los análisis que hemos empezado en el ejercicio 5 anterior, observa ahora losejercicios f', g, h. del ejercicio 4. Recuerda que el dominio de la variable es Z. Entonces:a. ¿El conjunto solución de la fes Z ={2}? ¿Por qué? Debes tener presente que se

piden los valores que hacen verdadera la proposición compuesta dada.b. ¿Por qué el conjunto de validez de g debe ser Z - {2, -2}? '-,c. Analiza ahora por ti mismo el problema h.

7. Una implicación Px ->Qx compuesta de proposiciones algebraicas es verdadera si elconjunto de validez de Px es subconjunto del conjunto de validez de Qx, pe Q. Para losejercicios que siguen determina si las implicaciones son verdaderas o no. no.

Px A Qx es verdadera para los valores que están en P n Q.

5. En el ejercicio 4. anterior, si analizas el resultado obtenido en a, c, e, te darás cuenta deque la solución de los mismos corresponden a la intersección de los conjuntos de validezde las proposiciones simples. Es decir:

f. -( 3x + 2 = 8)g. -([3x = 6] v [X2 = 4])

h:- ([ ~ -5] A [x + 2= 1])

a. [(x + 1) (x - 1) = O] A [x:! - 1 = O]

b. (x;2 _ 4) v (x+9='19)

c. (x ' - 16=0) A (~ = 2)

d. (x:! + 3x + 2 = O) v (x:! + 5x + 10 = O), , ,e. (x" + 3x + 2 = O) A (x: + 5x + 10 = O)

4. Para las proposiciones algebraicas compuestas que van a continuación vamos a tomarcomo dominio de variabilidad de la variable el conjunto Z de los enteros. Determinaentonces el conjunto de valores que hace cada proposición verdadera.

f. 2(436" 1)" (-3" 1)

h .......(1 " (_1)2 v 4(i),,6)

d. ......(8-4 , 2)-r- -(5,8-3) v (1 - 3-2)4. (3+4 = 14-7) A ( 2;4 = 1+2)

c. (25-36 =...L ~) v (5-6)222 4 4 '22

e. (6+9 _ 2+9) A ( ~ 16+9 " 4+3)3

g .>: d _2(....L) A 5 - 0+5)1¡;4 • 8

3. Determina el valor veritativo de cada una de las proposiciones cerradas compuestas que'van a continuación.

suma y Sustracci.ónSumas algebraicas

3CAPITULO

"')¡¡

UNIDAD I1Operaciones con polinomio

sobre Z y Q

55

Son los monomios que tienenlos mismos factores literalescon iguales exponentes.

¿Qué tienen en común cada una de estas parejas?• Tienen los mismos factores literales con los mismos exponentes

Por eso se llaman monomios semejantes o términos semejantes.

Gen las parejas de monomios que siguen:FIJATE

Supondremos que todos los coeficientes serán tomados del conjunto Z de los enteros, y que eldominio de nuestras variables es ese mismo conjunto Z.Es corriente hacer la siguiente convención:• Las "primeras" letras minúsculas del alfabeto se usan para simbolizar cons­

tantes cualesquiera (a, b, e, d, e, f, g, ...).• La "últimas"letras minúsculas del alfabeto se usan para simbolizar variables.

Componen las partes literales (x, y, z, ...).

• La parte de variables llamada:-factores literales-

En un monomio distinguimos:

3xl/~\• La parte. numérica constante llamada:

-coeficien te-

Factores LiteralesCoeficiente

3.1- REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES.

En este capítulo estudiarás la suma y la sustracción de polinomios sobre el conjunto Z de losnúmeros enteros y sobre el conjunto Q de los números racionales.Para realizar la operación de suma en estos conjuntos lo que se necesita es "saber reducirtérminos semejantes".En la sustracción, además de reducir términos semejantes es necesario manejar correctamenteel procedimiento para sacar e introducir términos en los paréntesis.Una cosa más de gran importancia es que al estudiar los polinomios sobre Q se deben excluirdel dominio de la variable los valores que anulan el denominador.

56

pues, simplemente, dejandola operación "indicada" así:

Si a las primeras letras se les colocan coeficientes numéricos, entonces seha supuesto que el/astambién son variables.

ax" + bx" = (a + b) x"

L®J

¿Recuerdas que las primeras letras simbolizan constantesrEntonces entenderás que:

7(0 + 5<2) 12~L0_j ¡. Se suman los coeficientes.

L.1 c • Se copian los factores literales.

bien entonces cómo se suman monomios semejantes:FIJATE

Para sumar monomios seme­jantes se suman los coeficientesy se escriben los mismos facto­res literales.

OBSERVA cada suma:

~

porque, aunque tienen los mismos factores literales, x e y, no tienen igual exponente en la y.Sumar monomios semejantes es muy sencillo.

~ r- e- t> r>@ r- íNOI r- ! essemejante) G>@

57

Fíjate en los términos semejantes que contiene. jRedúcelos!

x2 - S..!... + 8x2 -y+Lz

412

Practiquemos juntos el procedimiento para reducir términos semejantes. Fíjate cómo lospolinomios de la izquierda se redujeron a los polinomios de la derecha. Redúcelos tú solo en tucuaderno y verifica si te resulta igual que a nosotros. No dejes de hacerlo ya que así afianzarástu comprensión en este importante tema. Ya verás que lo usarás mucho en toda el álgebra.

3a2 + 2a + 5a2 + 4a = 8a2 + 6alOa2 + 3ab + 3b2 + 8a2 + 5ab + 2b2 = 18a2 + 8ab + 5b2

3m - 4n + 5mn - 7m + n = - 4m - 3n + 5mn-8xy + y - x + 9xy + x + 5y = xy + 6y

¿Entendiste? No los dejes hasta entenderlos bien.Cambiemos ahora el Dominio de Variabilidad de los coeficientes y las variables. En lugar de Ztomemos los racionales Q. Tendremos la oportunidad de escribir polinomios como:

Sumar los términos semejantes de un mismopolinomio es lo que se llama "reducción detérminos semejantes".

lOmn + 5ab3mn - 4ab + 7mn + 9ab

Es decir que:3mn - 4ab + 7mn + 9ab

9+ G

Esos monomios semejantes pueden sumarse dos a dos quedando reducido el polinomio decuatro términos a dos términos así:

3mn - 4ab + 7mn + 9ab

Puedes ver que en este polinomio hay términos que son semejantes. Pongárnosles las mismasmarcas debajo.

OBSER VA ahora el polinomio siguiente:""'-z ~

--- ... - ... QIII............ .:::::::IIIiI.~ 3mn - 4ab + 7mn + 9ab

Seguramente te diste cuenta que el uso de las letras es convencional.

58

Verifica por ti mismo en cada caso el por qué de los valores imposibles.Entonces, desde aquí en adelante cuando se presenten estas situaciones escribiremos losvalores que no puede tomar la variable dentro de un paréntesis.

• Si tienes

entonces• Si tienes

0 no puede ser 0)es decir, x -:¡I:: 1

G:) no puede ser @es decir, x -:¡I:: -7

0 ,..--" 0)no puede ser (,~)~es decir, x -:¡I:: 3 Y x -:¡I::-3

entonces

entonces

• Si tienes

Debes tener cuidado -cuando escribas un polinomio- en señalar aquellos valores deldominio que no pueden ser tomados por algunas de las variables, ya que en esos casos nohabrían valores numéricos correspondientes y el polinomio quedaría indefinido.Ten presente que la división entre cero no está permitida en Matemática. Fíjate en lospolinomios siguientes y analízalos tomando en cuenta que Q es el dominio de variabilidad.

l. En el polinomio anterior: 2 ; - l z + x2 - 5 ; + 8X2 - ~ z

hay términos que tienen la expresión racional algebraica xl y, ¿dirías que esa esuna expresión racional, es decir, en Q? ¿Por qué?

2. Si le das valores a x e y, sacados de Q, tendrás valores numéricos para x¡ y.Obtén los valores para cada uno de los pares de valores siguientes:a. x = 4, Y= 2 b. x = 1, Y= 3 c. x = 3, y = 1/2¿Son todos esos resultados elementos de Z? ¿Y de Q? Por eso puedes decirque x/y e Q y que el polinomio está en Q.

3. Fíjate que O e Q. ¿En la expresión x] y puede y ser cero, y = O?Recuerdasiempre que la división entre cero está prohibida en Matemática porque carecede definición. Es indefinida.

Piensa. ... 3

59

b. {-7xy, 6xy, .xy]

d. {-llmn, 3n. 4m. -6mn, -4m}

{ rf. -8ab, -13xy, 15mn, 23x ~

a. {-3a2, 5a2, -8a2}

c. {4x, -6x, 3y}

e. {5x2y, -7x2l, 13x2y}

2. Suma los monomios de cada uno de los conjuntos dados en Z.

f. Si algún valor del dominio de variabilidad anula el denominador de una expresiónalgebraica ¿qué debe hacerse?

e. ¿A qué se llama "reducción de términos semejantes" en un polinomio?

d. ¿Cómo se suman monomios que no son semejantes?

c. ¿Cómo se suman monomios semejantes?

a. ¿Cuáles son las partes que componen un monomio?

b. ¿A qué llamamos monomios semejantes?

l. Responde por escrito las preguntas siguientes, y luego compara tus respuestas con lasdefiniciones del libro.

es momentodeR VISAR 6

Luego verifica si el resultado que obtienes es el mismo que el nuestro haciendo esas reduccio­nes en tu cuaderno. Esa práctica es muy importante para ti. iNo dejes de hacerla!

• ·3 + S 1 1 S-z-m -n - -m + n = -m + l-n7 2 4 7

x 3y2 + 3x 1 2x 2..!..y2 (Y10)• - 9- + _y2 = -8- -y Sy 2 Sy 2

Sab - O.8a2 + 1 3.1i = 1 + 2.3i• -ab + S-ab8 8

Ahora estudia la siguientes reducciones de términos en Q:

Fíjate en este ejemplo como x no puede ser 3 y tampoco -3, porque esos dos valores hacen laexpresión X2 - 9 cero y, por lo tanto, la división no es posible.

3x + 2y - 8xy-4x + 5y + 20xy

60

Se suman entonces los términos semejantes• (Jx + 2y - 8xy) + (20xy - 4x + 5y) =

3x + 2y - Bxy + 20xy - 4x + 5y = -x + 7y + 12xy.

T Co~o~ndo70~ uno debajo del otro, dei modo que los términos semejantesq estén en la misma vertical.

- _.-==-,,"'_ --........,,~-_......-

(3x + 2y - 8xy) + (20xy - 4x + 5y)

o

Para sumarlos hay dos maneras posibles de colocarlos:(20xy - 4x + 5y)y

Si has aprendido bien a reducir términos semejantes en la sección anterior, entonces resultarámuy sencillo sumar polinomios sobre Z o sobre Q.Fíjate en los dos polinomios siguientes:

(3x + 3y - 8xy)

3.2- SUMA DE POLINOMIOS Y SUS PROPIEDADES.

5x4-y

3 1 5 + 8 ( a;'-8, b+O)a~ a+s +1) a+8 -b-7 5 + 16 + 7 (x;'2, y;'1 )b. x:z 1-y x:2 1-y

Reduce los términos semejantes:5.

x d..:Lc.

4, En cada una de las expresiones siguientes, decide qué valor, elemento de Q, no debe sertomado por las variables:

3 b x+1a. a+8 . 2x-

3. Suponiendo que Q es el dominio, reduce los términos semejantes en cada ejercicio.a. 5x + 3y - 4z + 8y - 2x + 9y - 7z + x - 12y

b. ~ ~ + ~ y2 - t z2 + x2 - y 2 + z2c. -15ab + 3a -b + 7ab - a - 2bd. -llmn + 3n + 4m - 6mn - 4m

18~ + 0.72.. - 3xy .. 3.5~ - 1.6.2: + 7.8xv (x="O: y:/:O)e. y x y xf. -3p + 4q - r - 7Q+ 8p + 4: - 16p + mn

7 3 1 7 1g. nm- "4a + 2n - 7m + lrTI - s-m

h. 0.003x2 - 5.3x + (1/5) X2 - (3/4) x - 0.1 X2

1. ax - 2by + 3x + y - 7x = 5yJ. - x - y - z + ax + by + cz + dx + ey + z

61

Vamos a proponerte esas propiedades enunciándolas y ejemplificándolas. Pero entiende queun ejemplo es sólo eso: un ejemplo; no una comprobación o demostración de las propiedades.

Repite cada ejemplo por ti mismo.La suma de polinomios tiene las mismas propiedades que la suma de números.

0 -x2 + 2x + 7 ® O.3m2 + 1/2 m -5n e al + aL + a + 1-x" - X + 9 -m~ - 1/4 m a3 - a2 + a - 1

3x2 + 2x + 3 3n -7 al + a2 - a + 1-3a3

x' + 3x + 19 -0.7 m2 + 1/4 m -2n -7a2 + a +·1

Ahora lo haremos colocándolos en columnas:

(a3 + a2 + a + 1) + (a' - a2 + a - 1) (al + a2 - a + 1) + (-3a3) =a3 + a2 + a + l + a3 - a2 + a - I + a3 + a2 - a + I - 3af = a2 + a + I

(O.3m2 + It2 m - 5n) + (-m2 - 1/4 m) + (3n - 7) =O.3m + 1/2m-5n-m2- 1/4m+ 3n-7= -O.7m2+ 1/4m-2n-7

(-x2 + 2x +7) + (-x2 -x + 9) + (3x2 + 2x + 3) =-x2 + 2x + 7 - X2 - X + 9 + 3x2 + 2x + 3 = X2 + 3x + 19o

®/f

Hagámoslo yuxtaponiéndolos:

A: {-x2 + 2x + 7; -x2 -x + 9; 3x2 + 2x + 3}B: {O.3m2 + 1/2 m - 5n; - m2 - 1/4 m; 3n _ 7}c: {a3 + a2 + a + 1; a3 + a2 - a + 1; - 3a3}

Y ... ¿si los polinomios no tienen términos semejantes? Pues ... simplemente se yuxtaponen,¿recuerdas?, así:

(3xy - 4x2 + 5y2) + (a + 2b + e) = 3xy - 4x2 + 5l + a + 21)+ eTomemos nuevamente a Q como dominio de variabilidad, Sumemos los elementos de cadaconjunto de polinomios que siguen:

Creemos que te habrás dado cuenta que sumar polinomios esreducir términos semejantes.

En ambos casos el resultado es el mismo:-x + 7y + 12xy

3x + 2y - 8x.y-4x + 5y + 20xy- x + 7y + 12xy

•

62

l. Suma los polinomios que van en cada conjunto, yuxtaponiéndolos y reduciendo lostérminos semejantes. El dominio en cada caso es Q.

2 1 3 1 3 212a {-m3 - -m2n + _ .........2+5 . -m2n-mn2 +2· -m2+2m n- -mn }. 3 5 ¿UUA, 5 '4 2

b. {5x2 + 3x - 7; 6x - 8; -9x2 + 3; X2+ X+ 1: 9: 20x2 + 5x - 31

c. lO.7a2 - 3ab + 5b2; -a2 - b2; a2 + 3.5ab; ab + 0.4b2}d. {3xy - Xl; 5 - 9x; 6x2 + 4xy + l; llxy: - 12y2 + 24x2}

{ 1 3 1 b b - _!_ab+ ...!.bc-3ac+ 2.}c. 2ab-ac+ '2bc- 4'; 5ac+ - c+a; 2 4 8

(5ab - 3a2 + 8b2) + (-7a2 - 3b2 + 6ab) =Ilab - IOa2 + 5b2

(- 7a2 - 3b2 + 6ab) + (5ab - 3a2 + 8b2) =Ilab - IOa2+ 5b2

son polino­mios opues­tos entre si .

3x4 - 5x3 + X2+ 2x - 1-3x4 + 5x3 - X2- 2x + I

Ox4 + Ox3 + OX2+ Ox + O

Casa polinomio tiene entonces su opuestocorrespondiente.

X2 + 5x - O - 28mn

-28mnOmn

X2+ 5x - 7OX2+ Ox + O

Así el neutro toma la forma correspondiente alpolinomio dado.

-3ab + a2 - b2Oab + Oa2+ Ob2

3a2 - 8a + 7ab2a2 + 5a - 2ab

- a2 + 3a + 2ab7ab

(3x - 2y tiz~.±..(-=ª.x- ~y + 6z) +~ + 9y - 3z) =

• (-5x -7y + IOz)+ (x +~~x)=· - 4x + 2y + 7z

(3x - 2y + 4z) + (-7x + 4y + 3z) = -4x + 2y + 7z

es momentodeREVSAR 7

• PROPIEDAD CONMUTATIVAEl orden en que se sumen los poli­nomios no altera el resultado de lasuma.

• PROPII:.DAD DEL OPUESTOPara cada polinomio hay otro quesumado con él da como resultado elpolinomio neutro.

• PROPIEDAD DEL NEUTRO(POLINOMIO NULO)Un polinomio es neutro cuandotodos sus coeficientes son ceros ysumado a cualquier polinomio lorepite.

• PROPIEDAD ASOCIATIVALa suma de varios polinomios sepuede hacer asociando de dos en doslos sumandos de cualquier modo.

• PROPIEDAD DE CERRADURALa suma de varios polinomios es asu vez un polinomio o un monomio.

Te diste cuenta que:

1""- (-5x2 + 8x - 3) = 5X2 - 8x + 3 J

,- (3x2 - 4x + 1) = _3x2 + 4x - 1 ~J-.",----~~-

¿Qué efecto tiene el signo negativo frente a un paréntesis?

3.3- SUSTRACCION DE POLINOMIOS.SUMAS ALGEBRAICAS.

b. {l - 3a + a2; _ 3a2 + a _ 2}d. {O.83m2 _ m; m3' - 1.3m21f 3 1 2 1 1. 4':1 - Sy2 -y+l; y3 -y + 6"Y-3"

a. {7x 2 _ 3x _ 1; 5x - X 2 - 2}c. [z ' + 7.2 _ Z + 2; 7 _ Z2 + Z3}

e. {3xy- X2_ y2; - 5x2 +l- 2xy}

4. Suma cada par de polinomios sobre Q, de cada conjunto dado, y luego conmútalos yvuelve a sumar. Verifica que ambos resultados son iguales según dice la propiedadconmutativa.

1 < 1-rr +n2 - -5 91f -n4. 4e. O. 3z2 + ~z-4 . 5

b. _ 7a2 + a _ 3

3. Determina en cada caso el polinomio opuesto al dado, sobre Q, y verifica tu respuestasumándolos. Debe darte el polinomio neutro.

{2 ' ~"'" " '}h. x - xy + Zxy"; - y _ xy- + x ; 7x + 4y' + x-y + 3xy·

6 9 2g. ~mp+ -ya2x-O.3b c;

2. Realiza la suma de los polinomios que son elementos de cada conjunto colocándolos unodebajo de otro, en columnas, de modo que los términos semejantes estén en la mismavertical. El dominio en cada caso es Q.a. {7x2- 9x + 2; 6x2- 8x + 3; x- 9; X2+ 1; -16}b. {a2 + ab + b2; a2- ab + b2; -a2 + ab- b2; a2 + b~c. {m3 + m2 + m + 1; m' _ m2 + m _ 1; rn' + m2 _ m + 1; -3a~d. {X2+ xy + /; X2_ 2xy + v', X2+ 2xy + y~e. f Z3 + z2w + zw2 + w3; 2zl _ 3z2w + 7zw2 _ 6wj

f. {5x2 - ¿ x2y +O.5xy2+ 9; 5xy2- i y2+5+x2y; 25x2y_y2 + ix2- ~}

64

3X2- 5x + 3::7x¿ - 6x - I-4x2- Ilx + 2

3x2 - 5x + 3

7X2 + 6x + I•

• (3x2 - 5x + 3) - (7x2 + 6x + 1)

3x2 - 5x + 3 - 7x2 - 6x + 1=- 4x2 - IIx + 2

EJEMPLO I

en estos ejemplos: En cada uno hemos realizado la operación de dos maneras.Primero se ha hecho yuxtaponiendo y luego en columnas. OBSER VA cómoen el sustraendo se han cambiado todos los signos, y luego se ha sumado.

FIJATE

La sustracción se convierte en una suma luego de cambiarle todos lossignos al·sustraendo.

Es decir que:-x.REGLA GENERAL DE LA SUSTRACCIONSe suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Todo esto nos ayudará a restar dos polinomios.De igual modo que para la suma, la sustracción de dos polinomios puede hacerse poryuxtaposición o colocando los términos semejantes uno debajo del otro. Pero en ambos casosse emplea la regla general de la sustracción.

Fíjate cómo se cambiaron los signos dentro del paréntesis cuando pusi­mos el negativo delante.

Dado un nolinomio - 3y2+ 4y - 5mu od ú.;ei\· en un paréntesis (- 3y2 + 4y - 5)ponle un signo nr-gativo delante .- (3y2 - 4y + 5)

Puedes tomar el camino inverso.

•El signo negativo ante un paréntesis cambia los signos de todoslos términos que están dentro del paréntesis.

65

• Sigue el corchete con - delante; por esocambiamos de signos todos los términosencerrados en el corchete.

• Sigue elparéntesis con -delante cambia­mos todos los signos.

5x - 4y - 8x + y + 2x - 3y

5x - (4y + 8x - y - 2x + 3y)

OBSERVA ENTONCES LA SOLUCION AL PROBLEMA5x - (4y - [-8x + y + {2x - 3y}D • La llave es el más interior; por eso co-

menzamos eliminando este símbolo.5x - (4y - [-8x + y + 2x - 3y]) .. Tenía + delante, por eso los signos de

sus términos han quedado igual.

Para resolver el problema anterior empleamos la técnica siguiente:

paréntesis

los símbolos de agrupación son:RECUERDA que...

Se desea eliminar todos los símbolos de agrupación de la expresión:5x- (4y- [- 8x + y + {2x- 3y}])

y luego reducir los términos semejantes.

PROBLEMA

3mn2- n + 3m

-5mn2 + 7n + 6m-2mn2 + 6n + 9m

3mn2- n + 3m5mn2 -7n -6m

•

• (3mn2 - n + 3m) - (-6m - 7n + 5mn2) =3mn2- n + 3m + 6m + 7n- 5mn2= - 2mn2 + 6n + 9m

EJEMPLO 2

6ó

l. Escribe en tu cuaderno las respuestas a las preguntas siguientes y luego cornpáralas conlo que te hemos enseñado. Si has cometido algún error investiga por qué ha ocurrido ytrata de que no te vuelva a ocurrir.a. ¿Cuál es la ley general de la sustración?b. ¿Cuáles son los símbolos de agrupación?c. ¿Cuál es la técnica para eliminarlos símbolos de agrupación?d. ¿Qué son las sumas algebraicas de polinomios?e. ¿Cómo se resuelven las sumas algebraicas de polinomios'{f. ¿Cómo se restan dos polinomios?

2. Efectúa las restas de polinomios en Q indicadas en cada ejercicio.a, (a2 + c2- b2) - (a2+ b2- c2)b. (a3 - 3c2+ 7b2) - (6b2- 7c2 - 9a2)c. (7x2 + 5x - 8) - (- 3X2- 5x + 1)d. (ax + cz - by) - (ax - 2by - 3cz)e. (a2b2+ m2n2 - x2l) - (3m2n2+ 4x2y2- 5a2b2)

f. (y3- l +.y - 8) - (- 5/ + y2- Y+ 8)g. (5xSy - 3x4l + 6X3y3- y4)_ (4x4l + 5xSy- X3y3+ 2X2y4)h. (- 3m4n - m3 + 5m2 - n) - (5m4n - 2m3 + 3m2 - 2n)

es momentodeREVISAR 8

(5ab2 + 7a2b - 4ab)- (ab ' + a2b- 7) + (ab + 2ab2 + a2b- 1)=5ab2+ 7a2b- 4ab- ab2- a2b+ 7+ ab + 2ab2+a2b- 1= 6ab2+ 7a2b- 3ab+6

es una suma algebraica de polinomios.

Para efectuarla, basta quitar los paréntesis en la misma forma en que se eliminan los símbolosde agrupación, y luego reducir los términos semejantes. Así:

Una expresión algebraica donde entran sumas y sustracciones esuna suma algebraica de polinomios.

Igualmente sencillas son las sumas algebraicas de polinomios.

5x - 4y - 8x + y + 2x - 3y = -x - 6y

Reduciendo los términos semejantes:

ól

Grado de un monomio es la suma de los exponentesde sus factores literales.

iEsos cuatro monomios distintos tienen el mismo grado: 3!

Suma de los,exponentes delos factoresliterales.

OBSERVA

Los siguientes monomios son distintos, pero ¿tienen algo en común?

3.4- ORDENAMIENTO DE POLINOMIOS.

3. Usa la disposición en columnas para restar los polinomios siguientes sobre Q, colocandolos monomios semejantes uno debajo de otro:a. 2a3- 9b3 menos - (5/2)a3 + 2a2b- (1/9)b3

122b. - ""'3 m2- Smn+9n2 menos - 5"" mn+9n2

lx3+x2_ -31 x+2 menos -x!'x2 + -91 x-7c. 55 2 -41x2 s? +Xy2 menos -21x2y2+ 34.,x2 y+4xy. -0.8d. 0.7 x y-

e. i-6z3 - 8z + 9 menos 3z5 + Z4 + i - Z2 + z + ID4. Eliminar los símbolos de agrupación y luego reduce los términos semejantes.

a. x3 - (3x2y - 3xy2) + [y3 - x3 + (3x2y _ 3xy2 + y3)]b. a - [a + b - (e - d + e - a) + c] - b - (e - d + e)c. 3x - [3x + y - z - {-3x + y - z - 2y)}]d. -[2m - {3n + m - (-5m + 6n)}]e. -5x + {-2y - 2x - [-6x - {x + y - (x - y)}]}f. 7a - {2a - b + e + 4d - [4a + (a - b + 3c - d)]}g. y - [-7x + 8y + z - (5x + y - z + {- x - y - z})]

5. Realiza cada una de las siguientes sumas algebraicas,a. (a- b)- (b- c)- (c- d)- (d- e)- (e- a)b. a- (b- e) + b- (c- d) + c- (d- a)c. (x2 + 2xy + l) - (x2 - 2xy + l) + (3x2 - xy + y2d. 17xy- (l5xy + 4)- (2xy- 8)

e. (8x-3) + (1ix~5)-(3x+4)-(7x- ~x2+2)

f. (x2- ax + b) + (ax' + 3ax + 8b)- (3 + 2x - 5x2)

68

Un polinomio se llama homogéneo cuando todossus términos tienen el mismo grado. Ese es tambiénel grado del polinomio.

Sucede que:

~

y ¿qué sucede si todos los términos de un polinomio tienen el mismo grado?

es de 3er. grado.es de 4to. grado.es de ler. grado.• x+5 1 •••••••••••••••••••••••••••••••

De ese mismo modo puedes ver que:• 5x3 - 8X2+ 1 .• -3m2n + m- n4 + n .

FIJATE entonces:~

5x2y 7xy3 4X2 + 5yI ! 1 1!

Grado de un polinomio es el grado del término quetiene el mayor grado.

Usando el grado de los monomios o términos que forman un polinomio, podemos definir loque llamaremos grado de un polinomio.

1 1 + 2y - 1 <orden descendente I_y3_ _y223 4 <Orden ascendente ]1 + 2y - 1 2 1 3- -y + -y2 4 3

69

En este caso sólo hay una posible letra ordenatriz; por eso tendremos únicamente losdos ordenamientos siguientes:

1_y24

12

] •.32y + -y- -3Ordenemos el polinomio:•

Se llama letra ordenatriz aquella por cuyas poten­cias se ordena el polinomio.

Ordenando por n

. 7n3 - 2mn2 + 4m2n - 3m3

•

<orden desc~ndente.<orden ascendente.

~scendente.< orden ascendente.

• Ordenando por m

FU ATE en el polinomio siguiente:4m2n- 3m3 - 2mn2 + 7n3

Debemos elegir el factor literal por el cual vamos a organizarlo.

Si las potencias de uno de los factores literales,comunes a todos los términos de un polinomio, seorganizan de mayor a menor, se dice que el polino­mio está ordenado descendentemente. Si se organi­zan de menor a mayor, se dice que el polinomio estáordenado ascendentemente.

ORDENAMIENTODE

POLINOMIOS

En muchas ocasiones deseamos que un polinomio posea algún orden para que sea más fácilrecordarlo. La ordenación de un polinomio puede lograrse de varias maneras. La más sencillaes la de organizar las potencias de uno de los factores literales.

70

OBSERVA ...el polinomio incompleto: -Bx + 13x3 - 17

Si lo ordenamos descendientemente: 13x3 - Sx - )7Corno es de 3er. grado, falta la potencia X2

Lo completarnos así: 13x3 + OX2 - Sx - 17

En esta última unea se ve que están todas las potencias de y en forma ordenada: y4, y3, v',y, yO,siendo el polinomio completo y ordenado descendentemente.

Si a un polinomio incompleto deseamos ordenarlos de modo que aparezca completo, entoncescolocarnos cero como coeficiente de las potencias que hacen falta, y las colocamos en susrespectivos lugares.

3y4 + By3 - 2/ +Y + @ <-- puesto que 3/ = 3 . 1 = 3

Es igual que:

Esa potencia corresponden al término que no tiene variable, llamado "término independiente"del polinomio.

3/ + Bl - 2y2 + y + 0 <-- "término independiente"

3y" + 8y·' - 2y' + 84 en:::es comPleto)

iFalta la potencia l! Recuerda que yO = 1

es un polinomio completo .

Un polinomio es incompleto si falta algunapotencia de la letra ordenatriz que deba serconsiderada. De lo contrario el polinomio escompleto.

OBSERVA bien q~

•

• x3- 15x- 3 ~

POLINOMIOSINCOMPLETOS

YCOMPLETOS

Muchas veces cuando ordenamos un polinomio faltan algunas potencias de la letra ordena­triz; entonces diremos que el polinomio es incompleto.

71

h 2 3. - xyz- ~x2 y2 z2 -X39 7

f. abc - mn + xy

c. Ty2 _3y4+ ~ y+ll

e. X4y2 - 2x3y +xy"+ Sx2l- 6+ yS

S. Ordena ascendentemente y luego descendente mente cada polinomio sobre Q que va acontinuación. Haz este trabajo con cada factor literal.a. 2X2+ 8x3_ , b. x7 + 4x2- S + 7xs

3 2 _5x -1 y + -x y 2 +7

4h. -

4. De los polinomios sobre Q que van a continuación, encierra en un círculo aquellos Quesean homogéneos:a. 3xy- Sx2y2 + x)y) b. -Sm2n + m) - 4n2r

b. nr'n - mn" + nS -m)d. 17- 8a2b3 - 23a2b + b

3 2 1 ~?f. :5 xy - gab + 6"mrr

h. x-3- 8i 2 + 3i" I

j. ab - a-lb - ab-I

a. Sx - 13x4 + Sx) - 7c. dxy + ax'y - bxy'

e. - 6x3yz3 + xyi - 14

g. x2i2 + i2

1 - ~-2 +m,.l1.; 9lU

Puedes ver que hay grados negativos y nulos, además de positivos.3. Determina el grado de los polinomios sobre Q en cada ejercicio que sigue:

d. ~

2.

. 2 3 2 31. - xyz.

5Expresiones algebraicas como x/y (y# O) sobre Q pueden ser escritas como un monomiousando exponentes negativos: x/y = xy' '. Determina el grado de dichos monomiosusando la regla que conoces.a 3x b -llmn. ~ . r3

Determina en cada caso el grado del monomio sobre Q.

a. -9a2b b. 7xy2z c. - ~ m2n7d. 2Sz4w e. - 14abc4 f. 13mnrs

1.

es momentodeREVISAR 9

72

8. Fíjate en este polinomio sobre Q con exponentes en Z:x' _ 3x~+ x + 7 _ x-I + Ox-:? + x-·1

Nota que lo hemos completado colocando O como coeficiente de x-2• ¡Observa cómo eltérmino independiente no va al final! ¿Por qué? Completa los polinomios del ejercicio 7anterior, si es que no lo están. Revísalos nuevamente.

b. y-l + 3y-3 + y-2 + y-S

d. Z-3 _ llz + Z-2 + i-7f. xy ' _ 16 + x-2y + x-3i3

a. ~ x-2 -5x-3 +x-10'

c. m3 _ 6m-2 + m2- m-3e. a-2b + ab-2 + a-1b-1+ ab

7. Si recuerdas el orden sobre los enteros negativos, es seguro que podrías organizar enforma ascendente y descendente los siguientes polinomios sobre Q, con exponentes en Z.

1+ -x9 + 2>753-x8h. x3 -8xS +2g. g-xyz-

". x7 + 4X2 _ 5 + 7xs1 2 4 3

e, ZY - 3y + Sy + 11

e. im3 - m4 + ~m

6. Si, al organizar los siguientes polinomios sobre Q, encuentras que alguno está incom­pleto respecto a la letra ordenatriz, complétalo. Haz esto para cada factor literal.

Multiplicación y División

4CAPITULO

74

a·a·a·a·a

FlJATE EN

De está última regla hay, según ya sabemos, dos consecuencias de suma importancia._¿'')( _ 1

;r'/a':a 'a·a - ? _~ ---_-...-------=-+ ~2-5 -3-=--:-;-=a =aa

(a+O)

(a+O)=5-2a

EN GENERAL ...

cuando se dividen potencias de iguales bases el resultado es una potenciade la misma base elevada a la diferencia de los exponentes del dividendo ydivisor.

7x7x7xrx:r 73:Pi.f" =... entonces;

La ley cancelativa de la multiplicación respecto a la división cancelafactores iguales en el dividendo y en el divisor...

EN GENERAL ...

Cuando se multiplican potencias de iguales bases se obtiene otra potenciade la misma base elevada a la suma de los exponentes.

72 X 73 = 72+3 = 7~ a2 • a3 = a2+3 = aS

... entonces:

La potenciación abrevia la operación de multiplicación cuando todos losfactores son iguales ...7 X 7 X 7 X 7 X 7 = 75 a . a . a . a . a = a5

oRECORDEMOS QUE:

Por el título ya puedes ver que esta sección es un simple repaso de cosas muy sabidas. Perodebemos hacerlo en bien de tu aprovechamiento y para que sigas con facilidad las próximassecciones.

4.1- REGLAS DE LOS SENTIDOS.PRODUCTOS Y COCIENTES DE POTENCIAS

DE IGUAL BASE.

Mientras que en la suma y en la sustracción es necesario identificar términos semejantes yreducirlos, en la multiplicación y en la división es imprescindible conocer las reglas de laspotencias, las reglas de los sentidos y la propiedad distributiva de la multiplicación respecto ala suma.

75

( -3a2 b) (-Sab2 ) lSa3 b3 3 ( 8 ) = .J:... ~ y5= (4xy4) - x2y

l ! 1lS ')

! t !+ + + +

-lSa? b3 2Sab2 (a+O, b+O)

-x3yS3-3a2b = S = -xy4 (x+O. y!O)8 4--x2y

lS

Cuando se multiplican o dividen expresiones algebraicas del mismo sentido resultauna expresión algebraica de sentido positivo.

Las reglas de los sentidos aplicadas a las expresiones algebraicas pueden ser escritas ejemplifi­cadas de la manera que va a continuación.

mn=-- (ln+O, n+O)-5

('K+O, y+O)

OBSERVA ... en los ejemplos siguientes la aplicación de estas propiedades:

Toda potencia de exponente cero es igual a 1

a.a.a 1 1 ,= - = aO (a+O)a·a·a 1 = 1

a a a a3 a3-3 = .>:= ar =a a a

Toda potencia de exponente negativo es igual a su recíproca conexponente positivo.

an1

EN GENERAL ...

-1a= 1a2

1a

POR ESO

76

n.(x-y) 3(x-y)-3 (x/y)

1q. ---;cr (x/O)

(mIO)k.

h. Y-2 • Y

c. 10°X 103

f. (mnr' (rnn)"

. x31. ~ (x"O)

l.+ (y/O)

73 X 7Sa.

d. (a - b)O

g. -3 3X • X

j. (a+b)4 (af-b)(a+b)2

z-3m. ~. (z"O)

l. Escribe los resultados de cada expresión teniendo presente las propiedades de losproductos y cocientes de potencias de igual base.

es mornentodeREVISAR 10

No dejes de verificar por ti mismo cada uno de estos ejemplos, haciéndolos nuevamente.

-17z-2 x 17 -3 -2 (z"O, xfO)- Szx3 - - Sz x

OBSERVA ... algunos ejemplos más.

3x2 y = lx (x+O, y"O)Sx y S

( 2._ a4 b2) (_3 a-2 b-2 ) = _!_a26 10 4

Podemos observar que, al aplicar las propiedades de los prod uctos y cocientes de las potenciasde igual base junto a las reglas de los sentidos, hemos multiplicado y dividido monomios.

<-Sí) (3mn) ; -lSm2 n4 (7?? y3) (-Szy4) = -3S2P'l

1 J 111+ + - -

-lSm2n4 -Smn3 (m"O,n"O) 3Sz6~ = -Szy4 (z"O, y"O)=3mn -7z5

Cuando se multiplican o dividen expresiones algebraicas de sentidos diferentesresulta una expresión algebraica de sentido negativo.

77

y TAMBIEN ASI<D -S (8 - 3 + 4 - 7) = (-5) (2) = - 10

-5 (8 - 3 + 4 - 7)= (-S) (8) + (-S) (-3) + (-5) (4) + (-S) (-7) == - 40 + IS - 20 + 3S ===-10

-5 (8 - 3 + 4 - 7) = (-S) (8) + (-S) (-3) + (-5) (4) + (-S) (-7)~ - - - -

Decimos que el -S se distribuye a cada sumando.FlJATE QUE podemos hallar el resultado de dos maneras.

AS!

RECORDEMOS la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a una suma.

4.2- MULTIPLICACION DE POLINOMIOS SOBRE Z y Q.

u.

(xIO, y+O, zlO)2sxmjl zn-Sxyz

s.

q.

c. (-x/) (7xy)f. (-6pX) (3¡Y)i. (xm-l) (-42x4m+q)

l. (-3y-3) (-4y-7)

144ntiré (m+O, n+O)-4m n

n.

v.

t.

r.

-1sXlOl9Z (xIO, ylO)-3x9y8

-119X7 z5 (y+O, z+O)7y5z5

-96a-7b (zIO, ylO)xy

-96a-'1b (a+O)6ab-S

p.

(aIO)m.

b. (-ab) (-ab)e. (9xm) (-7x)h. (_72a2.r+l) (-a4x-2)k. (ax+2) (_aX-2)

a. (-a3) (3a4)d. (a2b2c2) (abe)g. (37x4m) (67x4m)

j. (-Sx3n) (6xSn)

3. a. ¿Por qué en la expresión ~X-Y~:3 debe ser x =1= y?x-y¿Qué pasaría si x = y? ¿Es eso permisible", ¿por qué?

b. ¿Cómo deben ser a y b en la expresión (a+bt/(a+b)2? ¿Por qué?

4. Realiza los siguientes productos de monomios:

b. ~ = a2 (aIO) e 1.. =1 (bIO)a-¿ bO

m-3 n2a. ~ = 7 (mIO, nlO)

2. Explica por qué cada una de las proposiciones algebraicas siguientes es correcta.

78

Vamos a realizar juntos los ejemplos siguientes. Estúdialos bien. Fíjate en la disposición y ponatención a las explicaciones que te hace tu profesor.

ler. Monomio" 4as - 2a<l- a' + 7a).2do. Monomio. - 12a4+ 6a3 + 3a).- 21a. 3.!r. Monomio. 12a3 - 6a~- 3a + 21

4as - 14a4+ 17a"+ 4a).- 24a + 21

a~- 3a + 3

Semultiplica de izquierdaa derecha, y los mono­mios que resultan debencolocarse de modo quelos semejantes quedenuno debajo del otro.

La aplicación de la propiedad distributiva puede hacerse tantas veces como se desee. Por esopodemos pasar inmediatamente a multiplicar polinomios por polinomios. Sólo deberemosmultiplicar el multiplicando por cada monomio del multiplicador y, como cosa nueva, cuidarde la colocación de los resultados de estas multiplicaciones.

a-2b - a-lb2 + ab' - b4a3b-1

5m3- 3m2n + 6mn2- n3

-mn

Realiza con nosotros lOS ejemplos siguientes para que adquieras destreza en esta técnica.

¡Al revés que con los números!

y se multiplica de izquierda a derecha.-7a+9ab2-b-'-3a2b

Para que tengas mayor comocidad al hacer las multiplicaciones, acostúmbrate' a colocar laoperación en forma vertical, así:

¡Verifica ese resultado por ti mismo! Realiza esa multiplicación en tucuaderno.

OBSERVA:

-3a2b (-7a + 9ab2 - b3) = (-3a2b) (-7a) + (-3a2b) (9ab2) + (-3a2b) (-b3)..._.. ..._ .__, .......V /.A J~ =2Ia3b-27a3b3+3a2b4

De forma general, aplicando la propiedad distributiva, podemos escribir la multiplicación deun monomio por un polinomio así:

79

1. Multiplica los monomios por polinomios entre Q, teniendo presente que estás aplicandoreiteradamente la propiedad distributiva.

es momentodeREVISAR 11

Fíjate en el orden en que ha quedado el resultado.

a3b + 3 - _i ab3 ..l b4-a2b2 +2 9 4

1....a3 _ a2b + 3ab2 - 2b33 12

~EP b aSb2 8 _1_ a3b4+_

-a4~ +3 27 6

aSb2 - 3 4 1-a4~ + -a3b4 _ - a2bs2 9 4

3a4 b3 9 4 ~ab6+ -a3b4 - - a2bs +2 3 4

5 5 5 5- --a3b4 - -a2bs + --ab6_

12 8 27 48

l..a6b _§.2_ 4b3+4 79 2l. 2bS 101 ab6-+ --a3b4 - +3 54 él 107 24 a 108

Organizando descendentemente respecto a a, la. colocación ha de ser así:

2 5+ - a3 - - b33 12

En muchas ocasiones es preferible ordenar los polinomios por una letra ordenatriz, porque asíla operación toma un aspecto más claro y elegante.

3a2 - b por a2 + b

3a2 - ba2+ b

3éP - a2 b3a2b-b2

x2y2-3xy3+ 3y43x2y2 + x4- 3~ y

X2 - 3xy + 3l por l + X2

x2_ 3xy + 3:fy2+ x2

80

En la sección anterior la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la sumaalgebraica nos ayudó a multiplicar polinomios. Ahora, e-nesta sección, la propiedad distribu­tiva de la división respecto a la suma algebraica ayudará a dividir polinomios.

4.3- DIVISION DE POLINOMIO SOBRE Z y Q.

2. Si en el prod ucto (a + b) (a - b) deseáramos ver claramente la aplicación de la propiedaddistributiva, haríamos así:

(a + b) (a - b) = (a + b) . a - (a + b) . b= (a2 + ab)- (ab + b2)= a2 + ab - ab + b2= a2 - b2

En los productos que siguen, repite la misma técnica empleada en el ejemplo anterior.a. (x2 - y2) (x + y) b. (m + n) (m + n)c. (a2 + b2) (a2 - b2) d. (a - b) (a2 - b2)e. (x - 7) (x2 - 7x + 1) f. (a2b2 + 1) (ab - 1)g. (x - y) (x2 - xy + l) h. (abe - 1) (1 + abe)

3. Realiza cada una de las multiplicaciones propuestas entre polinomios sobre Q. Trata entodos los casos de escoger una letra ordenatriz, y ordena los polinomios para que tutrabajo sea limpio y elegante.a. X2+ 2xy + l por X2+ 2xy + lb. -Xl + 3x2y - 4xy2 + 3y3 por X2- 2xy + 4y2c. 7l + 8y2 + 6y - 4 por y2 - 4y + 1d. a2x3 - ax' + x - 7 por a2x3 - x + 4e. a2b2c2 + a3b3c3 - abe + 7 .por a2b2c2+ lf. x" + XS + x + 1 + x6 + Xl + X2 por x - X2+ lg. 8x3 - 3X2+ 7x + 3 por x3 + 3x2 - 7x + 3h. - 2/9 m2n + 1/3 m3 - 2nl + 5mn2 por 2m3n2 + 1/2 mS + m'n + m2nli. -0.3xy + X2+ 2y2 por -D.25x2 + 3y2 + 0.5xyj. 5/6 xl + 0.25xly - 0.5y4 - 1/2 x2y2 por - 5xy2 + 0.2yl - 1.5x2yk. x2a - 2xaya + y2a por x2a + 2xa.¡ + v"1. xn - y" por x2n + xny" + s"m. a-3b - a-2b-1 + a-1b-2 - ab-4 por b-2a + b-1a2 + a3 (a::l: O, b::l: O)n. zy-2 - 1/2 z-Iy-I + 1/4 z-2y-3y-3 por Z3 - y3+ z-Iy-I + zy (y::l:O, z::l: O)o. xm+1+ x" + xm-I+ Xm-2por x + 1p. a2m- 2ambm+ b2mpor a" - ab + b"q. - 3/8 xy2 - 8x"y + 3/9 x3 - y3 por O.lxy + 0.01x2 + o.ooi,'r. _xn-3 + xn + xn-2 - xn-I + I por -3 + x-I + X (x::l: O)

a. a (a + b) b. -4a (a - b) c. -8 (4x"y - 3)d. -7 (7x2l-9) e. -IOx (x - y) f. 15y (2xy - 8)g. 0.3m (m-I - m-2) (m::l: O) h. (1/2)a (a-2 - 2b) (a s= O)i. -(1/4)xy(x-1y+xy-l){x::l:O,y::l:O) j. xy (x' - 5xy + x2y2)k. -5ab2 (-4a2b + 5b2 - 7a2) 1. -2.7m-1 (m + 0.2mn - m3+ I)(m::l: O)

m. 6.2x (5y2 - 3xy + X2- 0.lx3)

81

Decimos:

-12xy3+2-12 entre 2 es -6x entre x es 1v' entre y es y2

2xy

ax2 -6';

PASO 4

16X3y -12x1+2-16ry

..~.

° - f2x}13 + 2Sumamos los mono­

Decimos: mios y el resultadoes cero. Bajamos lostérminos restantes.

PASO 3

16\Y -12xl+ 2 12XY-16x y 1--a-:--2--

"<, x-

(8x2) (2xy) = 16x3y"Para restar" -16x3y(y lo colocamos debajo de16x3y).

Decimos:

I 2xy16x3y -12xy3+2-16x3 y

16x3y -12x:¡3+2 r 2x~ax16 entre 2 es 8x3 entre x es X2y entre y es 1

Decimos:

Con el objeto de simplificar y hacer más fácil la división seusa un esquema muy parecido al dela división aritmética. Estudia el esquema siguiente paso a paso.

16~1 12xy3+ 2 16x:3y 12xr + _2_-2xy 2xy 2xy 2xy- ax2 - 6y2 + _1_ (x"O, y"O)xy... hemos usado la propiedad distributiva.

Pero en álgebra esto último no puede hacerse. Es imposible evitar la propiedad distributiva.

12_!_2

25- --214 - 6 + 20 - 32

Claro que, si no usamos la propiedad distributiva, obtenemos el mismo resultado;fíjate:

FIJATE ...

14 - 6 + 20 - 3 14 6 + 20 3- - - -2 2 2 2 27 3 + 10 3 .. 12 1- -2" 2

82

o Se divide el primer mono­mio del dividendo entre elprimero del divisor:-6x4 + 3x" = 2x2o Se multiplica este cocientepor cada monomio del divi­sor; y los productos, cam­biados de signos, se suman alos semejantes en eldividendo.o Se bajan los demás términosjunto al resto, y se repitennuevamente estos pasos.

13x3- 18x2- 29x + 20 13x2+ Sx -4lOx3+ 8x2 2x2+ x -S3x3- 10x2- 29x + 20

-3x3- Sx2+ 4x-lSx2- 2Sx + 20lsi+ 25x - 20

O.(3x2+ 5x - 4+0).

Esta técnica puede ser generalizada para dividir polinomios entre polinomios. Vamos aexplicártela.

lSm2n2x2-3mn-lSm2n 2x2

3x3-5mnx2 + 1-3mn-9mnr+1Snf n2~ -3mn

9mnx3

64a2 b3c4 -48a4b3c2-64a2b3c 4'

-48a4 b3c248a4b3c2

O

Repasa, paso a paso, ese esquema y repítelo por ti mismo hasta dominarlo. Luego estudia losdos ejemplos siguientes. En ambos casos se hace lo mismo. Verás que es muy fácil.

nemos ...

2-2

O

- 12x)13+212xy3

12xy3+212xy3

Repetimos el Paso 2y continuamos en elmismo orden los demás Pasos, obre-

8X2 -6y2+ _1_xy

(x,O, y;O)

12xy16x3 •. - 12xy3 +2

-16x y2xy-16:¡(3y -12xy3+2

16:¡(3y

83

b 4 + 1 2 (O e. - 7xy2+ 3x2y - xv entre 4xy (x # O, (y # O). x entre x x '=¡f= )

c. axy + arnn entre a (a ~ O)f. a3 + a2b2 + ab' + b4 entre -5a-1b-2 (a # u, o # O)

4 4 .g. ID - n entre mn (m # O, n # O)

d. -rnx + my entre -m (m # O)a. x3 + l entre x (x # O)

l. Realiza las divisiones de polinomios entre monomios sobre Q que se te indican acontinuación:

es momentodeREVISAR 12

Cada una de las divisiones anteriores pueden ser verificadas multiplicando el divisor por elcociente. Debes hacer esas verificaciones; así practicarás la multiplicación de polinomios.

b2 a - b 3-b2a + b3

O

(a - b 1: O)a3+ Oa2+ Oa - b3 I a - b_a3+ ba2 a 2 + ba + b2

ba2+ Oa - b3-ba2+ b2a

Entonces:

a' + Oa2+ Oa- b3 entre a-b.tenemos:

• Dividir a3 - b3 entre a - bOrdenando el dividendo por la a y completándolo con los términos que faltan

(-2x2 - x + 7 1: O)-2x3+ 9~+ iZx - 35 I -2x2- x + 73 22x + x- 7x x - 510x2+ 5x - 35

2 5x + 35-lOx -O

Como has podido observar en el ejemplo, junto a las.reglas para dividir polinomios, es buenoque los polinomios estén previamente ordenados. Es aconsejable hacer esto antes de dividir.De igual modo se deben completar los polinomios que estén incompletos.Estudia los ejemplos siguientes:

• Dividir 12x - 35 - 2X3 + 9x2 entre 7 - 2X2- xOrdenando tenemos:

-2x3 + 9X2+ 12x - 35 entre -2x2 - x + 7Entonces podemos hacer la división así:

84

La multiplicación de polinomios, al igual que la suma de polinomios, tiene propiedades comolas que estudiaste cuando se realizan las operaciones con los números reales, que son la base detoda el álgebra. Vamos a estudiar, en detalle, estas propiedades para la multiplicación depolinomios, como hicimos en el caso de la suma de polinomios.

4.4- PROPIEDADES DE LA MUL TIPLICACION.OBSER VACIONES SOBRE LA DIVISION.

m. (_~ b6 x2 _ .1_ b5x3+ _i_b4 x4 + ...§.!_ ~ xS - 23 b2 x6+100bx7 -lOxB)-+5 4' 5 .~ 21 1 1 1(Tb2 x-5bx2+ 2 x3 ) , ( "'2 b2 x-5bx2+ "'2x3 "O)

1 8 -5 1n. (""3 ~ bS_ ""3 a4b4 - ""3~ b3+18a'2b2+20ab) . (3""al b3-2ab2-4b),C-t a2b3-2ab2 -4b "0)

p. (6x" - 17.6x3 - 27.6x - 3.8x2 + 4) + (3x - 0.4), (X" °34 )

q. (~¿~4y6 + !x2 y4 - ~ x3y3 +x6 y 9_ )30,XÓy7 ) + (-x2 y3 + -tXy2) ,

(_x2y3+ _1 xy2 ;0)2

..Lx2m- ...l x3m2+x4m3d. 5 4

120 xm

3. Realiza las siguientes divisiones de polinomios sobre Q:a. (x3 + 3x + 2) + (x + 1), (x:¡i: -1)b. (a2 - 5ab - 6b2) + (a + b), (a:¡i: b)c. (x2 + llxy + 28y2) + (x + 7y), (x:¡i: 7y)d. (y2 + llyz + 28z2) + (y + 4z), (y:¡i: - 4z),e. (x' + x4 - 16x - 4 - 9x2) + (4 + X2+ 4x), (4 + X2+ 4x :¡i: O)f. (6 + / - 12y + lly2 - 5y3) + (3 - 3y + y2), (3 - 3y + y2 :¡i: O)g. (2m4 + 9m - 12 - 5m3 - 7m2) + (1 - m + m"), (1 - m + m2 :¡i: O)h. (6x - X2+ x" - 9) + (x2 + 3 - x), (x2 + 3 - x :¡i: O)i. (a" - 16) + (a - 2), (a:¡i: 2)j. (6x3" + 5x2" - 18x" + 8) + (Jx" - 2), (3x":¡i: 2)k. (lOx2m- lSx" + 3x2m+ 35) + (x" + 5), (xm:¡i: -5)l. (a' + b3) + (a - b), (a:¡i: b)

75a5 b4c3-65a3 b4cS-5a3~b3c3c.

25x3y+35x4z-15xw-5x3

b.-4ax-6a2by+8abxy-2aba.

2. Usa el esquema de la propiedad distributiva directamente para realizar las siguientesdivisiones en Q:

85

Entonces, dos polinomios son recíprocos si su producto es el polinomio unitario. Tal como tedijimos, lo estudiaremos más adelante, junto a las fracciones algebraicas.

¡VERIFICALOS!

([]8-y-. 8 3

Son aquellos cuyo producto es la unidad.

RECUERDAS ... ¿qué son números recíprocos?

• Cada polinomio, no nulo, tiene su recíproco, pero éste no es el momento para estudiarlo;lo harás en ocasiones posteriores.

•(3x + 2) (5x2 + 3) = 15x3 + 10x2+ 9x + 6(5x2 + 3) (3x + 2) = 15x3 + lOx2 + 9x + 6

o PROPIEDAD CONMUTATIVAEl orden en que se colocan lospolinomios factores de un pro­ducto no altera el resultado delmismo.

etc.(5x3+8x2-x+7J (OX3+0X2+0x+1)== 5x3 + 8x - x + 7

OX2+ Ox+ 1Ox3+ OX2+ Ox+ 1Ox4+ Ox3+ OX2+ Ox+ 1

o PROPIEDAD DEL NEUTROEl polinomio que tiene coeficientecero para todas las variables y unocomo término independiente es elpolinomio unitario.

[(3x - 8).(5x + 3)] (x - 2) == (15x2- 31x - 24) (x - 2)= 15x3 - 61x2 + 38x + 48(3x - 8) [(5x + 3) (x - 2)] =

= (3x - 8) (5x2 - 7x - 6)= 15x3 - 61x2 .t- 38x + 48

PROPIEDAD ASOCIATIVASi se asocian los polinomios de unproducto de cualquier forma, elresultado no se altera.

3x3 - 7x2- 8x-3x2 + 7x + 8

3x2-7x-8x - 1

o PROPIEDAD DE CERRADURAEl producto de dos polinomioses otro polinomio.

86

2. En el ejercicio 1, anterior, reordena de todos los rnodoslposibles los factores, y verificaque el resultado siempre es el mismo según dice la propiedad conmutativa.

3. Haz las revisiones del ejercicio 3 de la sección anterior según te hemos indicado en eltexto.

b. (a + b) (a - b) 2ad. (a + b + e) (a + b) (a - e)f. (1/4 m + 1/2 n)'(m + n) (m - n)

a. (3x2 - 8x + 1) (7x + 3)x2c. (5m - n) (0.3m + 0.4n) (1/2 m + n)e. (x - y + z) (x + y - z) (-x + y + z)

1. Usa la propiedad asociativa de dos modos diferentes y verifica que el resultado delproducto de polinomios sobre Q no se altera.

es momentodeREVISAR 13

Revisa ahora los ejercicios 3e, f, g, h, m, n y q de las sección anterior.

Por ahora diremos que:X2 + 4x + 4 # O

:<4+ x3 _ 9x2 _ 16x _ 4x2+ 4x + 4•

Entonces basta, por ahora,decir que X2 - 5x + 1 # O

X2+ 8x _ 2x2_ 5x + 1•

Siguiendo estas observaciones vuelve a revisar los ejercicios 3a, b, e, l y p de la secciónanterior. Encontrarás que tiene sentido nuestro cuidado en evitar que una división se con­vierta en una expresión indefinida.En otros no somos tan explícitos, es decir, que no te decimos para cuáles valores concretos delas variables se anularía el divisor. Ahora te lo presentamos así, porque no podrias dartecuenta de cómo obtuvimos esos valores. Pero a medida que progreses en este curso lo irásaprendiendo.

Entonces a no puede ser igual a -b o b no puede ser igual a -a.Preferimos escribir a # - b - - -•

Se ve que x # 8, porque si x = 8 entonces el divisor es cero y laexpresión indefinida.

En algunos casos te escribimos cuáles son los valores de las variables que no están permitidos,pues ellos convertirían en cero al divisor.• 2x _ 16

x _ 8

o

La división entre cero no está definida en Matemática.3x2 + 5'X- 2 es una expresión indefinida.

No queremos que pases por alto, antes de terminar esta sección, que en toda ocasión en queefectuamos una división, debes tener muy presente que:

Resolución de ecuacionesdel primer grado

5CAPITULO

Ecuaciones linealesProblemas del 1er. grado

UNIDAD 111

89

Partiendo de proposiciones aceptadas como correctas se "demuestra" laverdad o falsedad de las demás proposiciones.

En el método deductivo se usa la lógicadel razonamiento deductivo, puesto que:

El método usado por la matemática es: EL METODO DEDUCTIVO.

El método inductivo es aquel que va de los fenómenos particula­res observados a una teoría general que los explica.

Todo el esfuerzo de la ciencia consiste en conocer cuáles proposiciones son verdaderas ycuálesson falsas. Pero el camino o método que lleva a conocer la verdad o falsedad de unaproposición no es el mismo en cada una de las ciencias particulares. Cada una de ellas posee sumétodo propio para conseguir este fin.Así, por ejemplo, en Ciencias Naturales (Física, Química, Biología), se usa el método experi­mental o método empírico que consiste en:

Observar cuidadosamente y anotar cada faceta del fenómeno quese estudia.Inducir una explicación del fenómeno.Sacar conclusiones de la teoría supuesta.Verificar, con experimentos en laboratorio, las conclusiones quese han sacado de la Teoría.

No nos vamos a detener mucho tiempo en explicarte este método experimental, puesto que entus cursos de ciencias experimentales ya te lo explicarán con más detalles; pero debemosenfatizar que este método es,fundamentalmente inductivo.

-- .--.-- -

,U -. d . ·ó-· - - í . f d I I ..,n enuncia o o proposici n tiene como caracter stíca un amenta e ser ~verdadero o falso.

""" - -

- -

Como ya sabes

En este capítulo verás cómo se emplea el método deductivo, (que es elmétodo fundamental dela matemática), especialmente en las demostraciones de las propiedades de los números que yaconoces y que necesitas dominar para resolver ecuaciones.También estudiarás las reglas para resolver ecuaciones con el propósito de que aprendas asolucionar problemas que las contengan.

5e '1- REVISION DE LA LOGICA DEL ALGEBRA.

90

Esa es la manera "formal" de escribir un Teorema ysu "demostración". Fíjate que ya antes

3. Propiedad transitiva de la igualdad.

2. División de potencias de igual base.

l. Propiedad del elemento recíproco

DEMOSTRACION

1 a 1lo a = --=a a

2. a 1-1 aO- = a =a

3. aO= 1 .

a e R, a =¡I: 0, aO= 1."Para todo número real distinto de cero si se eleva a ceroel resultado es uno".

Teorema 1:Se lee:

OBSERVA

Repasa nuevamente las propiedades en la primera Unidad. Ellas te servirán para que empiecesa hacer algunas "demostraciones" sencillas. Empieza con nosotros en el primer Teorema.

• la suma• la multiplicación• el orden• la igualdad

... de los números reales.

¿Cuáles son las proposiciones primarias del álgebra?Son... las propiedades de ...

El corazón de la matemática es "demostrar" proposiciones apartir de los postulados, usando el Método Deductivo.

FIJATE

PROPOSICIONES PRIMARIAS O AXIOMAS O POSTULADOS• Las demás proposiciones, que deben ser "demostradas", se llaman

PROPOSICIONES SEGUNDAS O TEOREMASEntonces el método deductivo consiste en:• Partir de las proposiciones primarias o postulados, o de otras proposiciones ya

probadas.• Seguir en una cadena de razonamiento, hasta• llegar a la proposición cuya verdad se desea establecer.

• Las proposiciones que son admitidas como correctas en forma arbitraria, perobuscando que sean útiles, son las reglas o propiedades fundamentales llamadas:

91

Repasa con sumo cuidado los dos teoremas anteriores y sus "demostraciones". El Teorema 2es la demostración de la propiedad cancelativa de la suma.Teorema 3: Si a, b, e € R y ab = cb, entonces a = e

•3. a + (b - b) = e + (b - b)4. a + O = e + O5. a = e

RAZON DE LA AFIRMACIONl. Dato2. Propiedad monótona de la resta en la

igualdad.3. Propiedad asociativa de la suma4. Propiedad del opuesto5. Propiedad del neutro.

DEMOSTRACION

AFI RMACIONESI.a+b=c+b2. a + b - b = e + b - b

Si a, b, e € R y a + b = e + b, entonces a = c.Teorema 2:

o Monótona de la igualdad con la multiplicación y división.

Si se multiplican o dividen ambos términos de una igualdad por un mismonúmero, resulta otra igualdad.

Si se suma o resta un mismo número en ambos miembros de una igualdad, se obtiene otraigualdad.

Q) Monótona de la igualdad con la suma y la resta

La deducción" es una cadena de proposiciones, que en la "demostración" se numeransucesivamente (1, 2,3, etc.), y nos van conduciendo a la proposición que sedesea probar. En una columna ponemos nuestras afirmaciones yen la ('tld

las razones de éstas.Aprender a "demostrar 11 toma algún tiempo y mucha práctica. En el curso siguiente, deGeometría Plana, tendrás ocasión de estudiar con mayor profundidad el método matemáticodeductivo, y ejecutarás durante todo un año "demostraciones "con todas sus facetas y modos.Antes de continuar demostrando teoremas es conveniente que recuerdes las propiedadesmonótonas de la igualdad. Estas propiedades se han aplicado en los teoremas que siguen ytambién en la sección 2 de este capítulo.Las propiedades monótonas de la igualdad son:

~ ~ ~~ __ ~_~--- --~ ..~~F'_ __~~~ __~--~ __~--~~~

~ "'Es imposible estudiar matemática sin "demostrar': aun cuando sea de \modo informal. (Matemática es "demostrar", usando la Lógica del Método Deductivo.

habías hecho esa "demostración" de una manera "informal". El símbolo. significa que "seterminó" la demostración.

92

lo 18a2b3 = 3ab26ab

2. 18a2b3 (6ab) ... (3ab2) (6ab)6ab"

3. 18 2~ (6ab) = 18a2b3a (6ab)

4. 18a2b3~ 18a2~

Fíjate en este ejemplo y justifica cada uno de los pasos.

Este último teorema demuestra la propiedad cancelativa de la división.Si recuerdas las técnicas aprendidas para efectuar operaciones con polinomios, te daráscuenta que los dos últimos teoremas que hemos demostrado sobre la propiedad cancelativa,justifican esas técnicas.

•4. a'l = e- 15. a=c

2. Propiedad monótona de la multiplicacióncon la igualdad.

3. Propiedad conmutativa de lamultiplicación.

4. Propiedad del recíproco.5. Propiedad del neutro.

e-b = _. bbb

c+-e-b

ab2.

l. Datoa e .¿l. b = b ,brQ

RAZONES

DEMOSTRACION

AFIRMACIONES

entonces a = ea c .¿- = brO,b bTeorema 4: Si a, b, e f R y

Esta es la demostración de la propiedad cancelativa de la multiplicación.•

3. a(bb-I) = c(bb-I)4. a' 1 = e . I5. a = e

RAZONESl. Dato2. Propiedad monótona de la multiplicación

co n la igualdad.3. Propiedad asociativa de la multiplicación.4. Propiedad del recíproco.5. Propiedad del neutro.

DEMOSTRACIONAFIRMACIONESl. ab = cb2. abb -1 = cbb-I

93

Los matemáticos escogen sus axiomas o postulados de modo que puedan ser útiles. Pero estosno son ni más ni menos que reglas como las de cualquier juego de pasatiempo. Los postuladosson como reglas del beisbol, o las del ajedrez. Ni son verdaderas ni falsas; simplemente son lasreglas y deben ser respetadas. jRecuérdalo!

Un axioma o postulado es una proposición que seadmite arbitrariamente como correcta, y que sirvepara determinar la verdad o falsedad de las demásproposiciones.

AXIOMASO

POt;'fULADOS

Los lógicos de tines del siglo pasado, principalmente el gran David Hilbert, alemán, (1862-1943) YBernardo Bolzano, checoslovaco, (1781-1848) verificaron que esta definición no escorrecta.El príncipe de los matemáticos del siglo XVIII, el alemán Carlos Federico Gauss (1777-1855)ya sabia esto; pero se había abstenido de decirlo por temor a las gentes de su época.Hoy, gracias a esas investigaciones, ya sabemos que

Un axioma es una verdad tan evidente que no nece-)sita demostración.

~--~--~--------~----------_.-

No queremos terminar esta muy matemática sección sin un importante comentario acerca delos Postulados o Axiomas.Antiguamente se decía que:

•

RAZONES1. Producto de potencias de igual

base.2. Teorema l3. Propiedad transitiva de la igualdad.4. Propiedad monótona de la igualdad con la

división.

5. Propiedad del recíproco.

6. Propiedad del neutro .

5 1 •a-n .. _1_ e 1. an

6 -n 1. a =--an

1--- elan

2. aO = J

3. an• a-n = 14. ~~an ea-n

a

AFIRMACIONES1. a" . a" = a?" = a"

Teorema 5: Si a E R, a:#O y n E N, entonces a" = l/anoDEMOSTRACION

94

a. Si a e R, entonces a" > O. (Considera tres casos: a = O, a > O, a < O)

b. Si a e R y a "# O, entonces ..Q. = O. (Escribe _Q = O• ..!.)a ~ ac. Si U, Y02 son neutros de la suma, entonces O,= U2. (El neutro es único, para la suma).

2. Trata de empezar ahora tú mismo a formular tus propias demostraciones para losteoremas que te proponemos a continuación. Debes convencerte que a

Demostrar se aprende demostrando

•

RAZONES1.2.3.4.5.

AFIRMACIONES1. ab = O2. ab = Ob, si b :F: O3. a = O4. ab = Oa, si a :F: O5. b = O

c. Teorema: Si a f R, b e R y ab = O, entonces o bien a = O ó bien b = ODEMOSTRACION

•

RAZONES1.2.3.4.5.

b. Teorema: Si a f R, O' a = ODEMOSTRACION

AFIRMACIONES1.0+0=02. (O + O) a = ña3. (O+ O)a = Oa+ Oa= Oa4. Oa+ Oa= Oa+ O,. Oa = O

•

RAZONES1.2.3.4.5.6.

AFIRMACIONES1. (ab)' = (ab) (ab)2. (ab) (ab) = a (ba) b3. a (ba) b = a (ab) b4. a (ab) b = (aa) (bb)5. (aa) (bb) = a2b2

6. (ab)2 = a2b2

l. Para cada uno de los teoremas siguientes te escribimos las demostraciones sin sus'Justificaciones". Escribelas tú, completando de ese modo dichas pruebas.a. Teorema: Si a f R Y b f R entonces (ab)' = a2b2DEMOSTRACION

es momentodeREVISAR 14

95

O de esta maneraDe esta manera

¿Qué harías si te pidiéramos que despejaras x en la expresión x - 3= 7?¿Qué propiedad de la igualdad aplicarías?Seguramente estarás pensando en sumar 3 a ambos lados dr la igualdad.Si es así, estás en lo correcto; hagámoslo:

OBSERVA

Esto quiere decir que el trabajo realizado al iniciar esta sección ha sido un despeje de lavariable x.

Se llama despejar una variable a la téc:ca empleada Ipara dejar sola la variable en un lado de la igualdad. •... J

2. ¿Qué propiedad se ha empleado cuando restamos miembro a miembro las dosigualdades?Ha sido la propiedad monótona de la resta en la igualdad la que nos ha permitidorestar miembro a miembro las dos igualdades.

3. ¿Qué ha sucedido con la variable?La variable ha quedado sola en un lado de la igualdad.

La experiencia adquirida en el raciocinio anterior nos dice que es posible emplear los axiomasdel álgebra para dejar sola, en un miembro de la igualdad que expresa un enunciadoalgebraico, a la variable.

Así x+3 = 7-3 = -3 O aSÍ: x + 3 - 3 = 7 - 3

x = 4 x=4

Fíjate en esta proposición algebraica: x + 3 = 7, y responde las siguientes preguntas:l. Si restas 3 a ambos lados de la igualdad

5.2- LA REGLA DE LA "TRANSPOSICION".

c. 7 + x = 14 ===> x = 14 - 7 ===> x = 7

(c#O).= (x-a)(x-b)· ~,(x-a) (x-b)eb.

a. Si (x - a) (x - b) = O, entonces ó x= a ó x = b.

3. Trata de justificar cada paso en la siguiente cadena de igualdades:

96

Como el S es un factor que multiplica, para dejar la variable sola debemos realizar la operacióninversa de la multiplicación, quiere decir que debemos dividir entre S. Recuerda que la divisiónes la operación inversa de la multiplicación.

x = x =

1052

5x-- :o:55x

5

5x ...10-:-5=5

En todos ellos se ve que no hay diferencia alguna con lo que habíamos hecho antes, sino que enrealidad hacemos mentalmente las sumas o sustracciones convirtiéndolo todo en una reglamecánica.¿Podremos, acaso, hacer lo mismo cuando se trate de factores o divisores (partes de unmonomio)?Trata de despejar x en 5x = 10. ¿Qué propiedad de la igualdad aplicarías?Si en 5x = 10 dividimos ambos términos entre 5.J}1

l'x - S = 9

x=9+Sx = 141II x+S=9

x = 9 - Sx=4

x-8=1x=I+8x=9I

FIJA TE EN ESTOS EJEM PLOS

Para transponer un sumando o un sustraendo de unlado al otro de una igualdad, se escribe en ese otrolado con la operación inversa a la que realizaba en ellado original.

REGLADE LATRANSPOSICIONDE MONOMIOS

o lo que es igual: empleamos la operación aritmética inversa a la que realiza el3 para despejarla variable x. Esta observación dio como resultado una regla práctica, que ahorra tiempo yespacio, para despejar la variable en estos casos. A esa regla práctica se la ha llamado, sinmucha propiedad, regla de la "transposición".

• Si tenemos x + 3 = 7, restamos 3 en ambos lados. y• Si tenemos x - 3 = 7, sumamos 3 en ambos lados.Es decir que:

97

"..

Si extraemos la raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad, tendremos:, ,)

Despejemos x en la proposición algebraica

Es claro que al llegar aquí debamos preguntarnos: ¿no habrán reglas parecidas en el caso de lapotenciación y la radicación?La respuesta es afirmativa. Observa los dos ejemplos que van a continuación:

Para transponer un factor o un divisor de unlado a otro de una igualdad se escribe en eseotro lado con la operación inversa a la reali­zada en el lado original.

REGLADE LATRANSPOSICIONDE FACTORES

Entonces se ve que hay una regla similar para transponer factores y divisores en el proceso dedespejar variables en el caso de productos y divisiones.

_ .,_

2- =7x 7 = 7

~_'7 = 2 " 77

Para ello multiplicamos por 7 y usamos la propiedad cancelativa.

Despejamos x de la expresión algebraica

98

1. Sacando raíz cuadrada en ambos lados:R = Ji6 ==> m = 4

~ "

3m- = 43 + 5 = 48m2 = 48/3= 16

1. Transponiendo 5:2. Transponiendo 3:

Con esto g está despejada, pues está sola en un lado de la igualdad.

• Despejar m en la expresión algebraica 3m2 - 5 = 43 donde m > O"

2. Transponiendo 5:

3b2=5a3b¿--=a5

l. Transponiendo a:

(arO y b ~ O)• Despejar a en la expresión algebraica 3b2 = 5a

V7 =)49 ==> x = 7

2. Sacando raíz cuadrada en ambos lados:

Estaba multiplicandopasa dividiendo.245 = 49-5-

l. fransponienoo 5:

Vamos a tomar esta regla de una manera mecánica, como una técnica práctica que encualquier momento puede ser justificada con los postulados del álgebra.Hagamos juntos los ejemplos que siguen. No dejes de repetirlos, uno a uno, dándote cuenta delo que haces para que aprendas bien.

• Despejar x en la expresión algebraica 5x2 = 245 donde x > O

Para transponer un elemento de un lado a otro enuna igualdad, se escribe dicho elemento en ese otrolado con la operación inversa a la que realizaba en ellado original.

Si juntamos todas estas experiencias podremos enunciar una regla general de la"transposición ':

~ "> x=8

Elevando al cubo ambos lados de la igualdad tendremos:

9S

z=? (zf.1)(yf.O)

n? (mf.n)m - 3n=m - ,l. }-':z = 3,

(af.-b) J.

(df.O)

te?. ., ...l. 2f. e = Vo-+ 2 gt ,

h '"!4' =' M.m d=?. ... 2 '

dg. E = i/2 mv', v=?

x (a-b), xc?1. -(a+b) .,k. 2 -1 7, y=?- =y

(rf.O)

b. - 2x + 3 = O, x = ?. m-n

d. '--- = st, n=?r

. a. 3y - a = 'b, y = ?S-xc. 2 = 3, . xc?

e. v = $g, e =?

2. En.cada una de las expresiones algebraicas que siguen despeja la variable por la que se teinterroga:

x+7=8 b. S 1 b + 0.7 = 2.3a. x+- = 7; c.3 1 2d. m - 1 = O e. x-3=8 f. a- S = 3g. 3a = 6 h. 2x = -12 1. - 4x = - 12

J. 3 =1 k. 0.9a = 1 l. 2.1x = - 0.1-m 5S

l. Despeja la variable en cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

Debemos observar, sobre todo en este último ejemplo, que hay un orden deprelación en las transposiciones que no puede ser alterado.OBSERVA que en 3m2 - 5 = 43

El 5 debemos transponerlo antes que el J.No es posible decir qué "operación" debe ser transpuesta primero. Esto dependede la expresión algebraica misma, pues:OBSERVA que en 3 (m2 - 5) = 12

El 3 SI se transpone primero que el 5.La experiencia de hacer muchas transposiciones te irá acostumbrando a ese orden natural deprelación en la transposición. , ,

• Despejar m en la expresión 3 (m2 - 5) = 12, donde m > Ol. Transponiendo 3: m2 - 5 = 12/3 ==> m2 - 5 =,42. Transponiendo 5: m2 = 4 + 5 ==> m2 = 93. Sacando raíz cuadrada en ambos lados

.¡;;r-= .)9 ==> m = 3Debes observar que toda vez que se aplica la regla de la transposición, se obtienen proposicio­nes equivalentes a la primera.

100

Las ecuaciones también pueden ser:• COMPLETAS.

Si contienen todas las potencias de las varia­bles desde una determinada._",_------

• INCOMPLETAS.En caso contrario al anterior.

Las ecuaciones algebraicas se clasifican según el mayor exponente de la variable.Así:m - 1= 7 ' es de ler. grado o linealX2- 5x + 6= O es de 2do. grado o cuadráticaxL 2X2= x + 1 es de 3er. grado o cúbica6y -l = y4+ Y es de 4to. gradom5 - m" = 1= m , es de 5to. grado

... etcétera .

De modo que todas las proposiciones que están en la "nube "anterior son ecuaciones; tambiénse llaman "ecuaciones algebraicas".

Son proposiciones algebraicas que contienen unasola variable. J

¿QUE TIENEN EN COMUN TODAS ELLAS?Por lo pronto salta a la vista que todas son diferentes; pero tienen en común que:

TODAS TIENEN UNA SOLA VARIABLE:Esta clase de proposiciones algebraicas son muy importantes y de gran utilidad para toda laciencia. Por eso vamos a ponerles un nombre y definirlas.

m + 1 = Oa3 - al - a = Oz = Z3 - 13

3x' + 5x = 18-5y4 - 7y = y3 - / + 1

las siguientes proposiciones algebraicas:

5.3- ECUACIONES. ECUACIONES LINEALES.

,. .. -_101

Se usa el proceso de transposición.

• Para despejar la variable:

f S desnei .L espeja la vanable

• Para resolver una ecuación:

Encontrar el valor dela variable

• Resolver una ecuación es:

Uno de los problemas tradicionales del álgebra ha sido el determinar las raíces o soluciones deuna ecuación. Nosotros empezaremos ahora a estudiar esta clase de problemas con la sencillaecuación de primer grado o lineal.

Debes recordar que:

Fíjate que la segunda (de las dos ecuaciones anterior) se ha ordenado en forma descendente.Esa es la costumbre que se sigue con las ecuaciones.Una clasificación de las ecuaciones puede ser hecha considerando los coeficientes de lasincógnicas. Así hablamos de:

• Ecuaciones con coeficientes enteros.• Ecuaciones con coeficientes racionales.• Ecuaciones con coeficientes reales.

Ambas proposiciones son equivalentes y por lo tanto ecuacionesiguales

X2 - 8x3 = 5x - 17- 8x3 + X2 - 5x + 17= OEntonces:

Es decir: que uno de loslados de la igualdad que forma la proposición puede hacerse cerotransponiendo todos sus elementos para el otro lado.

TODA ECUACION PUEDE CONVERTIRSE EN UNA IGUALDAD DE CERO

FIJATE que la ecuación 7x - 3x3 = X2 es incompleta porque le falta el término XO o términoindependiente.

Una importante propiedad de todas las ecuaciones es que:

'02

La raíz de la ecuación es 4, o sea x = 4.Por lo tanto, su conjunto solución o de validez es {4}

4. Transponiendo 2:

I2x = 8 I *

8x = "2 =4

3. Sumando términos semejantes:

3x - 2 - x = 63x - x = 6 + 2

l. Transponiendo x:2. Transponiendo 2:

Usando la regla general de transposición lleva­mos todos los términos que contenga la varia­ble a un mismo lado de la igualdad, y al otrolado llevamos los términos independientes.Sumamos términos semejantes, y luego despe­jamos la variable para obtener de ese modo laraíz de la ecuación.

OBSERVA:

¿COMORESOLVER

UNA ECUACION

FUATE en la técnica que seguiremos para resolver las ecuaciones lineales o de primer grado.

, Resolver una ecuación algebraica es usar una téc­nica adecuada 'que conduzca a los elementos delconjunto solución o raíces. ,

A los elementos del conjunto solución o de validezde una ecuación algebraica se les llama raíces de la

.',ecuaClOn.,

¿QUE ESRESOLVERUNA ECUACION?

EN CONCLUSION:

DEBES RECORDAR QUE para determinar ese conjunto de validez hay que conocer eldominio de la variable.

Siempre te.diremos sobre qué conjunto se define 'la ecuación.

RAICESDE UNA

Como todas las proposiciones algebraicas, las ecuaciones tienen conjunto solución o devalídez.

sobre R

103

+ 2x 3 + x4 2

+ 2x = 3 + x4 2

_!Q_ x + 2x-_!_ = _3_ + 53 2 4 3

[29---'29]¡ -6 x = 12 ~ *29 x 6 1x = =12 x 29 2

La raíz de la ecuación es 1/2 o sea x = 1/2

El conjunto solución o de validez es {l/ 2J

5 (4x -2)20 6 10--x---6 6

La raíz de la ecuación es 1, o sea x::= l.El conjunto solución o de validez es {IJ.

4.

r -.! 8x 8 J *8x = - = 18

3.

Resolver: 2 (x + 1)= 3 (3 - 2x) + I sobre R.2x + 2 = 9 - 6x + 12x + 6x = 10 - 2

1.2.

Resolver:

Trata ahora de entender los ejemplos que siguen escribiendo lo que se ha hecho en cada paso.Fíjate que en un solo paso se pueden hacer dos o más operaciones. Es mejor que vayashaciéndolo junto con nosotros.

6. Realizando operaciones:

La raíz de la ecuación es - 6 o sea x = - 6.El conjunto solución o de validez es {-61.

4. Transponiendo 3:5. Transponiendo 7:

3. Sumando términos semejantes: *

- 6 = x

-----= x7

1-14:-fxj(-14)(3)=7x(-14) (3)

5 - 19 = 2x + ~3

x5 = 2x + 19 + -3

x- =3

1. Transponiendo x-32. Transponiendo 19:

OBSERVA:

I104

cada elemento de R es raíz de la ecuación, y R es el conjunto solución ode validez.

[Ox O 1Si a = O y b = O, entonces para••••

no hay raíz, siendo la ecuación imposible de resolver y cp es el conjuntosolución o de validez.

Si a = Oy b '=1= O, entonces para [0"'. x -= b J• • •

x = Oes la raíz de la ecuación y {O}es el conjunto solución o de validez.

Si a =¡é O y b = O, entonces para••

x = b / a es la raíz de la ecuación y [b / a} es el conjunto solución o devalidez.

[ ax ="b]Si a =¡é O Y b =¡é O, entonces para•

FUATE ... en el cuadro siguiente.

Esta forma general de la ecuación lineal permite que hagamos un estudio de todas las posiblesformas que puede presentar la raíz de la misma.

A LA EXPRESION

se le llama forma general ocanónica de la ecuación de primer grado.

FORMA GENERALDE LA

De los cuatro ejemplos anteriores .podemos sacar importantes conclusiones:• Toda ecuación de primer grado tiene exactamente una raíz; por lo tanto,

un solo elemento en su conjunto solución o de validez.• Si sustituyes la variable por el valor de la raíz en la ecuación original, se

verifica una identidad.• Cada paso de la resolución prod uce una proposición algebraica equivalen­

te a la ecuación original.• La resolución de una ecuación lineal llega a una proposición de la forma

[ax ~] •como puede observarse en el paso 3 de cada ejemplo, encerrado en un rectángulo ycon asterisco (*).

105

(2) Ecuación.(4) Resolver una ecuación(6) Identidad aritmética.

(1) Mayor exponente de la variable.(3) Raíces de la ecuación.(5) Término independiente.

l. De los 6 conceptos numerados a continuación, escribe en la raya de la derecha el númeroque corresponde al concepto definido.

o

que R es el conjunto solución de 0= Ox, puesto queSi x = 2 entonces O = O (2) es correcto.Si x = -7 entonces O = O (-7) es correcto.Si x = V2 entonces O = O (.J2) es correcto .

... etcétera ...Si en 7 + x = 2 (3 - x) + 3x + l ponemos x = 5, tendremos:

·7 + 5 = 2 (3 - 5) + 3 (5) + 112=2(-2)+ 15+ 112= 12

que es una identidad numérica. Esto quiere decir que 5 es raíz de laecuación.

CONVENCETE

Todos los números reales son raíces de la ecuación.R es el conjunto solución.

4.

7+x= 2(3-x)+3x·+1 enR.7 + x = 6 - 2x + 3x + 17+x=7+x7-7=x-x

1.2.3.

• RESOLVER

El conjunto solución es 4>.No hay raíz.

3. [ Ox = 7 I *

5 - 6x = 3 (4 - 2x) en R.1. 5 - 6x = 12 - 6x2. 6x - 6x = 12 - 5

• RESOLVER

Trabaja ahora junto con nosotros. No dejes de repetir cada ejercicio identificando, según elcuadro anterior, la forma que presenta la raíz.

106

4. Verifica cada ecuación del ejercicio 3 anterior con su raíz.

x x+3 x 2+xp.- - = -20 6 12 3

r.~ +_5_ 3 + 10=x+2 x-2 x+2 3

l-xn. 5

1. 2(x+l) = 3(3-2x) +1

k. 6-x -1 3-x= -6-3

m. 7-x + x+l = 3x-74 2'3(l-2x) 3 l+x- 3o. - =4 2 2

x2- x (x+5) (x-5) +.1..q. - =6 4

a. 5x - 7 + 3x = 9 b. 7x - 4 - 5x = 10c. 8 + 2x - 19 = x d. 5 - x - 8 + 6x = 17

e. 9 ix + 7 + 4 ¿x = 20 f. 5x - 7 + 3x + 6 + 8x = 13+'6x + 40

g. 8x + 7 - 2x + 5 = 4x + 12 - (x - 30)2 1 1 3 1 3 2

h. 33 x +22 -(53 x -77;) = 73 x -(54 -9Tx) +2

J. x+l = 2x-1710

1. 1+ 3X;1 -x =5x

3. Encuentra la raíz correspondiente a cada una de las ecuaciones 'lineales que van a. continuación. Ve marcando con Iro, 2do, 3ro, 4to de acuerdo al caso de ecuación lineal aque pertenezca.

a. 3x - 5 = X2 + J __ b: -3X7_8x+6=O c. 11 = rrr' + m--

d. /-8/=y4-l6 e. Z3 -12z4 + Z5 = 17 -- f. m + 1 = 2 _

a. Corresponde al término en el que la variable tiene exponente cero.b. Es una proposición algebraica con una sola variable.c. Es el grado de una ecuación algebraica.d. Enunciado aritmético verdadero.e. Son los elementos del conjunto de validez de la ecuación.f. Es encontrar una técnica que conduzca a las raíces.

2. Escribe el grado de cada ecuación en la raya colocada a su derecha.

1

IIIIJ--~-_.----~_ ..._.¿Qué le parece? Averigua por qué esto es correcto.

Suma de unidades 1 + 3 = 4Suma de decenas 5+ 6= 11Suma de centenas 7 + 5 = 12

TOlal ----~13~1~4-

,:Sahes cómo sumaba Bhask ara 75/ más 563? Asi:

EH udia el cuadro adjunto para que notes laforma en que evolucionaron nuest ros anuales numerales.Te darás cuenta que fue ya en Europa, hacia el siglo X VI con el gran pintor Alberto Durero, cuandoadquieren su fisonomía actual.

Pero, no debes olvidar que el nombre "A lgebra' no nació en la india. Para 10.1' hindues esta era:" El artede la razón inmaculada", "arte de la inversión" o el "sistema de Brahma " Bhask ara escribiá el"Lilavatti" en versos . .r es la primera obra matemática donde se afirma que:

1,'''' l" ",1A 01"" ,"VI' ,¡te""

1",··lt~"·1ouro""o (.I,lu xv)

E'I""I'rtbt OC('I~"I.1(IoN.) (.1".. x)

f!! ""01··11'·1,,.he orient.,(Tu.qur•• E,ipto. A••.,;.)

Desde los do, untentos de la antigua du­dad de Mohenio-Daro los hindues des­arrollaron lentamente nuestro actualsistema de numeración. En el año 499Arvabhato escribe las primeras leyes delcálculo algebraico.Pero el más gral/de algebrista antes deBhask ara ha sido Brahrnagupta (sigloVII) que vivió en la ciudad científica deUijain, centro ele un gran observatorioastronómico .r de una gran comunidadcien¡ lfica. .En el 628 Brahmagupta escribió sincélebre álgebra sinicopada. ron el titulo

de "Sistema revisado de Brahma"

Así re:a la aseveración del gran matemático hindú Bhaskara (1114-1185).Bhask ara fue el último .1' más grande matemático hindú del periódico que corresponde al medioevoeuropeo.

Bhaskara había pronosticado a su hija Lilavatti (" La bella") el día y la hora en que ellacontraería matrimonio, 'Cuando se acercaba ese momento ella. ansiosa de ver aparecer dein/proviso (J su apuesto esposo, observaba su reloj de agua. De pronto . .1' sin que ella sediera cuenta. cayó una perla de su tocadoy obstruyo el orlftcio del reloj. Así pasó la horapronosticaday el esperado esposo no apareció. Ante tal desgracia y al ver el desconsuelode la hija. el padre escribió el mayor libro de Matemática de su tiempo .1' le puso el nomhrede su desdichada hija: ..Lilavani":

El" Lilavattt" de Bhask ara es el tratado que encierra todos los grandes aportes de la matemática hindúanterior a él. (O'M••.,.f. d.nu....m .... ~..... df' numrr...16n

"La regla de tres es Aritmética; el Algebra, en cambio. es el arte de la razón inmaculada':

LA MA TEMA TICA A TRA VES DE SU HISTORIABHA$KARA

"EL ARTE DE LA RAZON INMACULADA"I¡

I

Problemas concretos y modelosalqebraicos del 1era grado

CAPITULO

109

x es el número de abejas; es la incógnita.

Pero la variable no puede tener otros valores que no sean los de su .conjunto de validez en el caso de un problema concreto; por eso se la ')ha llamado incógnita. )~--~---,--,,--._"""~~~~"- ../

_-_Como desconocemos el número de abejas representaremos a éste con lavariable x.

•CONSTRUCCION DEL MODELO ALGEBRAICO

OBSERVA ...

Ya puedes entender qué cosa es un problema concreto o lingüístico.Podemos adelantarte que la hermosa niña descubrió que el número de las abejas es 15. Pero¿cómo hizo para descubrirlo?Pues, simplemente, tradujo el problema concreto en un problema algebraico, es decir, unproblema con proposiciones algebraicas, que será llamado "modelo algebraico "de) problemaconcreto, y luego encontró el conjunto de validez de dicha proposición. Los elementos delconjunto de validez son los valores que solucionan el problema concreto.

Dime hermosa niña: ¿cuál es el número de las .abejas?

El triple de la diferencia entre ambos números vuelahacia las flores de un Kutaja, y queda una abejarevoloteando en el aire atraída por el aroma embria­gador de un jazmín lo mismo que de un pandamo.

De un enjambre de abejas_!_ se posa sobre una hermosa flor de Kandamba.5y ~ sobre una rara flor de Silinha.

Los hindúes de los primeros siglos de la Era Cristiana fueron los inventores del Algebra quehoy estudiamos. La usaban para resolver problemas concretos, los cuales fueron llamados poralgunos: "problemas lingüísticos".Para que todos tuviéramos la idea de la belleza de la solución de estos problemas, los hindúes,como Baskara (Siglo XII), tuvieron la feliz idea de escribirlos en forma poética.

6.1- ENUNCIADOS CONCRETOS yTRADUCCION ALGEBRAICA.

1.10

x ~ J5 es el número 'de abejas.Luego:

·1 .==> E x = 1

16-- x - x = 115

- x + .l_ x"= 1 .5 .'

715 x

8 . ·3'x - T5 x - (x ~ 5'" x) = l :

es el modelo algebraico o traducción algebraica al problema concreto de la poesíade Baskara.Tú sabes resolver esa ecuación lineal, sólo hay que reducir los términos semejantes:

1- - x)51- 3(- x3

1- - x51x - -x3

De este modo

1 13()"x - 5'"x) = 1 )

quedó una abeja

. ,J.-x5

Luego de quitar todas esas porciones de abejas al total de ellas, queda sólo unarevoloteando una flor de Jazmín. Es decir:

*

- -+ x ) abejas.1- 3(-x3

1- -x51x - - x3

vuela al Kutaja, quedando

1- - x)513 (- x3

.. El triple de la diferencia de ambos números

x - _1_ x - _!._ x abejas3 5

~x quedando5

Jy* ; de las abejas vuela a la flor de Silinha

quedando abejas1x- 3'" x1

TX

1* 3'" de las abejas vuela a la flor de Kundamba.V

55

consecutivos

3170

consecutivos

consecutivos

una

y aquí las respuestas.Tapa estas respuestascon el borde de tucuaderno.

111

--_ y 55 + 1 son consecutivos.

* Dos números enteros son consecutivos si se diferencianen una unidad.3 y 4 son consecutivos porque se diferencian en _ unidad.12 y 13 son consecutivos.70 y 71 son _

Tres enteros consecutivos son 7, 8 y 9.23, 24 y 25 son ---Los números 30 y son consecutivos.

y 71 son consecutivos.11 y 11 + 1 son

Aquí están los ejercicios

Para que logres aprender a traducir frases concretas en frases alegebraicas, te proponemos laparte que sigue. Las respuestas a estos ejercicios aparecen en la columna de la izquierda. Noveas las respuestas antes de completar la frase en la raya en blanco.

-el13

un tercio menos las tres quintas partes de x es:

Un tercio menos las tres quintas partes de una cantidad.Si x es la cantidad. .

La mitad más uno del número x es

* La mitad más uno de un número.Si x es el número, la mitad del número x es

* Cuatro más cinco veces un número:

Si n es el número, cinco veces ese número es: GJ\ 4 + 5n I

* Cinco veces un número.

Si has seguido el problema paso a paso, te habrás dado cuenta de cómo se construye el modeloalgebraico de un problema concreto y de cómo la solución del modelo es la solución de dichoproblema.Antes de que continuemos aprendiendo a construir modelos de problemas concretos tanextensos como el anterior, veamos cómo aprendemos a traducir frases concretas en frasesalgebraicas. Te darás cuenta de'que todo el secreto de la construcción del modelo descansa ensaber esas traducciones.

1 "1_

es la edad de J osé David.

OBSr!{VA ....J a edad de José David es ~ la de Atiosis y ambas suman 30.x ce:la edad de Atiosis, es la incógnita.

Para seguir practicando las traducciones, construyamos modelos algebraicos sin encontrar laS01'ICió1. .

La mitad de b

La sexta parte de a3-g4

La cuarta parte de hmás uno17 años/4 + x

p+2a2

58t + 1/+12 (f + 1)3 (f+ 1)

2x

2 X 30

a, a + 1, a :t- 2

54 + 2

h+lconsecutivos

900 + 1

bLa expresión "2 significa ---

i- significaLas tres cuartas partes de g es _La expresión 1/4 h + I significa _

* Si tienes 14 años,dentro de tres años tendrásDentro de x años tendrás _

Si a es un número, el doble de a es 2aSi x es un número, el doble de x es __

* El siguiente de lOes II y lo podemos escribir 10 + IEl siguiente de 57 esSi t es un entero, el siguiente de t esEl siguiente de f es __y el doble del siguiente de fes --­y el triple del siguiente de f es ---Si p es el menor de dos enteros pares consecutivos,el siguiente de p es _

* Si a representa un número la mitad de a es __

---------) )------------* El doble de 6 es 12 y lo podemos escribir 2 X 6

El doble de 30 es _ X 30

Si a es el menor de tres enteros consecutivoslos escribimos:

Si b representa un número, entonces los númerosb y b + I son _Si h es un entero su consecutivo esSi 42 es el menor de tres enteros consecutivos los enteroslos podemos escribir: 42, 42 + 1, 42 + 2.Los enteros consecutivos 54, 55 Y 56 los podemos escribir:54,54 + 1,

son consecutivos.900 y

1 13

es un modelo algebraico, fíjate en dos posibles problemas concretos:

1= -x -523 x

Si

• A un problema concreto corresponde un modelo algebraico• A un modelo algebraico corresponde una infinidad de

concretos.

OBSERVA los siguientes:• El triple de la edad de Jesús menos uno es dos.• Tres veces un número disminuido en uno es dos.• Dos es el triple de la cantidad menos uno.• El número de cajas por 3 menos uno son dos.• Dos es el triple de tu edad menos uno.

Convéncete que hay una infinidad de problemas concretos que corresponden al modeloalgebraico dado.Por eso podemos decir que: .

¿Te atreverías a escribir un problema concreto que le corresponda? ?•

Imagina ahora que te damos un modelo algebraico de algún problema concreto.

• Este es el modelo algebraico del problema.

• La suma de dos números es 39 y uno de ellos es 3 más cinco veces el otro.x es uno de los dos números y es la incógnita.3 + 5x es el otro número.

Este es el modelo algebraico.•3x =x+24

• Tres veces un número es igual al mismo más 24.x es el número y también es la incógnita.3x es tres veces el número.x + 24 es el número más 24

Esta ecuación es el modelo algebraicodel problema.•= 307

3 x+xAsí que:

114

3. Para cada uno de los enunciados algebraicos que van a continuación construye dos

2. Para cada uno de los problemas concretos siguientes construye el modelo algebraico quele corresponde:a. César tiene una tabla de 44 pulgadas de largo y quiere cortarla en dos pedazos de

modo que uno sea 3 pulgadas más largo que el otro. ¿Cómo se expresaría el máspequeño de los pedazos?

b. Un rectángulo es 6 veces más largo que ancho. Su perímetro es de 144 pulgadas.¿Cómo se escribiría el ancho del rectángulo?

c. Un curso de 43 estudiantes se dividió en dos secciones, y la sección primera excedíaen 5 estudiantes a la segunda. ¿Cómo se expresaría la segunda sección?

d. La edad de Gabriel es tres veces la de Miguel y hace tres años la suma de sus edadesera 22 años. ¿Cómo se expresaría la edad de Miguel?

e. Un hombre dejó de herencia $10,500,000 para su viuda, un hijo y una hija. La viudarecibió $5,000,000 y la hija dos veces lo que recibió el hijo. ¿Cómo se expresa lo querecibió el hijo?

f. Una planta crece' un número de centímetros determinado por semana. Si en estemomento tiene 20 centímetros, escribe cómo representarías el número de centíme­tros que alcanzaría en 5 semanas.

g. El ángulo mayor de un triángulo mide 20° más que el menor y el tercer ángulo mide70°. ¿Cómo expresarías el ángulo más pequeño?

1. Describe el modelo algebraico de cada frase concreta:a. ¿Cuál es el exceso de un número sobre 45?b. Si un libro cuesta m pesos, ¿cuál es el precio de 20 libros?c. Un número es aumentado en 45.d. Cinco veces una cantidad menos del doble de ella más tres.e. Un número cuyo exceso sobre siete es cinco.f. Siete disminuido en el cuádruplo de una cantidad es el exceso de ésta sobre 21.g. Dos veces el defecto del triplo de una cantidad sobre seis es la quinta parte de dicha

cantidad.

17es momentodeREVISAR

No debes dejar que te confunda la manera de enunciar un problema concreto. Fíjate bien en loque dice para puedas hacer el modelo algebraico correcto. Todo el trabajo dependerá de tucorrecta interpretación y de una buena "traducción". Ejercítate en esto.

...

La unidad menos las dos terceras partes de la edad de Tatiana es un quinto ,de la misma menos 25. ¡Las dos terceras partes de la altura de un edificio sustraidas de la unidad es Iigual a la quinta parte de dicha altura disminuida en 25. )

...

115

es el tiempo de su adolescencia.

es el tiempo de su infancia.

es la unidad total de la vida de Diofanto.

12. 12 x

x

CONSTRUCCION DEL MODELO ALGEBRAICO

Para resolver este problema haremos la construcción del modelo algebraico y luego lasolución del mismo.

,-Dedúzcase la edad de Diofanto.J _

PROBLEMA DE DIOFANTO.En la tumba del gran matemático griego Diofanto(Siglo l l l) se escribió el siguiente epitafio:Aquí yace Diofanto que con gran arte te indica losaños que vivió. Su infancia consumió 1/6 de su vida.Comenzó entonces a brotar en su cara el vello juve­nil transcurriendo 1/ 12 de su vida. Luego se casó ypasó 1/7 más de su existencia. Cinco años después lenació un hermoso hijo que murió de repente cuandoalcanzó una edad igual a la mitad de la que vivió supadre. Este vivió aún 4 años más luego de estesuceso.

•

Si has practicado a construir modelos algebraicos de problemas concretos o lingüísticos, lasolución de estos últimos no es otra que los elementos del conjunto solución del modeloalgebraico.Todo esto ya lo has aprendido en la sección anterior. Ahora vamos a encontrar la solución deproblemas concretos cuyo modelo algebraico es una ecuación de primer grado o lineal.¿Recuerdas el problema de las abejas del hindú Baskara? Así son los problemas que vamos aestudiar ahora. Fíjate en el siguiente:

6.2- SOLUCION DE PROBLEMAS LINEALES.

b. 5n - 2 = nd. a + (a + '1) + (a + 2) = 30

f. m (m + 1) (m + 2) = 15

h. b = 2 (18 - b)

a. 3x + l = 2c. 17 - y = 2y + l.

e. + + (-t + x) =1

g. 5n + 10 (n + 2) + 2n = 480

problemas concretos que le correspondan. No dejes de revisarlo junto a tu profesor; esmuy importante.

117

Relacionamos los datos del problema para obtener el modeloalgebraico.Si la suma de los tres números consecutivos es 24entonces:

Representamos el número con la letra x.El segundo número consecutivo es x + l.y el tercero es x + 2.

Fíjate bien en los pasos para construir el modelo:

Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 24.

PROBLEMA

Antes de seguir adelante revisa de nuevo los problemas que te hemos presentado hasta ahora,y señala los pasos que a tu juicio hemos seguido en la solución de cada uno. Escribe larespuesta en tu cuaderno.A través del estudio de este capítulo te habrás percatado de los pasos que hay que seguir en lasolución de un problema. A continuación te presentamos un ejemplo para que veas conclaridad el procedimiento seguido, el cual debes aplicar en la solución de cualquier otroproblema.

El número es 24.

VERIFICACION 13 de 24 es 8

3 de 24 184 es

1 de 24 + 3 263 4 de 24 =\. -.. ) \......--v--._)

8 + 18 .. 26

entonces x = 24 es la solucióndel modelo ypor lo tanto delproblema.

13'-X" 2612==>

Este es el modelo algebraico1 + 3 26-x -x =3 4

SOLUCION1 + 3 26-x -x =3 4

Luego x = 26x1213 .. 24

•1 1~

¡ (Edad de Ruthen 6 años (

Edad de Rubénen 6 años= dos veces

Edad de RubénEdad de Ruth

Actual En 6 añosx+6

3x + 6x

3x

Como:

MODELOSi x es la edad de Rubén, eruonces:

Comprobamos si la solución satisface la situación del problema:Los tres números consecutivos son 7,8 y 9. Si los sumas verás que:

7 + 8 + 9 = 24

Este es el menor delos tres númerosconsecutivos.

213x =

Resolvamos la ecuación obtenida.x + x + 1 + x + 2 = 24

3x + 3 = 243x = 24 - 33x = 21

Esta ecuación de primer grado es elmodelo algebraico del problema.

•

36 + x = 18+ 2x36 - 18 = 2x - x

18= x

SOLUCION

Es decir:

y 54 es el doble de 279 + 18 = 27

Luego deberán pasar 18 años para que la edad de Ligia sea el doble de laTito, pues: 36 + 18 = 54

Este es elmodelo alge­braico del pro­blema.

=236 + x (9 + x)

= 2 veces(

Edad de _Ligiaen x anos

Actual

(Edad de_Titoen x anos

36

9

Edad de Ligia

Edad de Tito

Ligia tiene 36 años mientras su hijo Tito tiene 9 años. ¿Cuántos años habrán depasar para que la edad de Ligia sea el doble de la edad de Tito?

Al pasar x años

36 + x

9+x

119

x es el número de años que deben pasar hasta que Ligia tenga el doblede la edad de Tito. '

MODELO

• La edad de Rubén actual es 6 años.• La edad de Ruth actual es 3 X 6 = 18 años.

Este es el modeloalgebraico delproblema.

3x + 6 = 2 (x + 6)3x + 6 = 2x + 123x - 2x = 12 - 6

x=6

SOLUCION

Entonces:

..

120

SOLUCION 2x + 2 (6x + 8) = IS6:>y + 12x + 16= 156

14x = 140

x = 140 = 1014

• Es decir que el ancho del rectángulo es io, y por eso el largo ha de ser:6 X 10+ 8 = 68 '

~.~~

2x + 2 (6x + 8) =~Este es el modeloalgebraico delproblema.

Como el perímetro debe ser la suma de los lados, entonces:

es el 'ancho del rectángulo.es el largo del mismo.

ancho

largo

x6x + 8

MODELO

Este es el modeloalgebraico delproblema.

(x + 7) - 11 = 2 (x - 11)x - 4 = 2x - 22

22 - 4 = 2x - x18 = x

• Edad de Gabriel es 18 años• Edad de Tomás es 2S años

es la edad de Gabriel.es la edad de Tomás.es la edad de Gabriel hace once años.es la edad de Tomás hace 11 años.Esta última es el doble de la edad de Gabriel.

Luego:

SOLUCION

MODELOxx+7x - 11(x + 7) - 1]

Luego • (x + 7) - 11 = 2 (x - 11)

121

En cada uno de los problemas que siguen haz el razonamiento que lleve a la construcción delmodelo algebraico y luego determina la solución del problema.l. Nueve veces más que un número es 50. ¿Cuál es el número?2. Ocho veces un número es igual a 30 menos 5 veces el número. ¿Cuál es ese número?3. Tres veces el triplo de un número es igual a 5 menos que el doble del número. Encuentra

ese número.4. Encuentra dos números consecutivos cuya suma sea 53.5. La suma de dos números pares es 654. ¿Cuáles son esos números?6. Halla dos números consecutivos tales que el triple del mayor menos el doble del menor

sea 36.7. Ligia tiene el doble de la edad de Tatiana y la suma de sus edades es 54. ¿Cuál es la edad de

cada una?8. Atiosis tiene 20 años y Amelia 13. ¿Cuántos años hace que Atiosis tenía el doble de la

edad de Amelia?

18es momentodeREVISAR

• El primer número es 4; el segundo es 8 y el tercero ]4.

x + 2 + (2x + 6) = 26x + 2x + 2x + 6 = 26

5x = 20

20x = -a 45

SOLUCION

Este es el modeloalgebraico delproblema.

Luego ..

es el primero de los números.es el segundo de los números.es el tercero de los números.

x2x2x + 6

MODELO

La suma de tres números es 26. El segundo es doble del primero y el tercero es 6más que el segundo. Hallar los tres' números.

122

9. Rafael tiene 37 años y Miguel21. ¿Cuántos años hace que Rafael tenía una edad que erael triplo de la edad de Miguel?

10. David tiene 7 años más que Jesús. Hace II años David tenía el doble de la edad de Jesús.i.Cuáles son sus edades actuales?

11. Eloy y Amelia son mellizos. Su prima Ivonne tiene 5 años más que ellos. La suma de lastres edades es 23. ¿Cuáles son las edades de cada uno?

12. Andrés es 40 años más joven que Sara. Dentro de 3 años Sara tendrá el triplo de la edadde Andrés. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

13. El número de páginas de un libro es tal que un séptimo de su suma con 36 es igual a ladécima parte del número de páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

14. Si a un número se resta 30 y esta diferencia se multiplica por 13resultando 195,¿cuál es elnúmero?

15. En un corral hay 92 aves, entre gallinas y patos. Si hay 26 gallinas más que patos, ¿cuál esel número de patos y cuál el de gallinas?

16. José gasta 1/3 de su fortuna y luego 2/5 de lo que quedaba. Todavía tiene $6,000.00.¿Cuál era la fortuna original?

17. La quinta parte de un número más 4 es 1/3 menos el duplo de dicho número. ¿Cuál es elnúmero?

18. Si a la edad de Fernando se le suma la tercera parte de su edad, ya este resultado se restala edad de Fernando aumentada en 5, el resultado es l. ¿Cuál es la edad de Fernando?

19. Repártense $26,000.00 entre cuatro personas, de modo tal que la primera reciba 3/5 de loque recibe la segunda, la tercera 1/6 de lo que recibe la primera y la cuarta 2/3 de lo querecibe la tercera.

20. Un padre de familia tiene 42 años y su hijo 9. ¿Cuántos años habrán de transcurrir paraque la edad del padre sea doble de la del hijo?

21. Un mercader vende las 2/3 partes de su carga de trigo, luego compra 96 libras más con locuál tiene 3/4 partes de lo que tenía originalmente. ¿Cuál era la cantidad original detrigo?

22. Se ha repartido una suma de dinero entre 8 individuos. Se sabe que sumando $2.00 yrepartiendo entre 11 personas, les habría tocado $2.00 menos que en el primer caso.Calcula la suma repartida y lo que toca a cada individuo.

23. A los 5; de un número se le resta 7 siendo el resultado igual a 93 más los 2;partes del número. ¿Cuál es el número?

Productos notables

7CAPITULO

UNIDADExpresiones notables

del Algebra

125

a2-ab-ab+b2

a-ba-b

Si se efectúa

OBSERVA el producto • (a - b) (a - b) = (a - b)2

Expresar con palabras las expresiones algebraicas es útil en este nivel, para aprender a leerlas;pero a medida que las expresiones se complican resulta engorroso expresarlas. Por eso, sólolas escribiremos en algunos casos.

,.. ..,El cuadrado de una suma es Igual al cuadrado del primersumando más dos veces el producto de los sumandos más elcuadrado del segundo sumando.

~ ~

que expresa. lo siguiente:

!Cl:l+O)' = 6' +260+0'

Sin efectuar la multiplicación puedes recordar laforma que toma este producto. De modogeneral:

Así que: •

ál +2ab+b2

a2+abab+b2

FUATE en el producto • (a + b) (a + b) = (a + b)2

a+ba+b

Si se efectúa

o CUADRADOS DE SUMAS Y DIFERENCIAS.

Siempre ha sido propósito de la Ciencia el simplificar razonamientos y procedimientos, demodo que se obtengan resultados útiles lo más sencillamente posible. Esta es la razón por lacual sehan escogido una.serie de productos cuyos resultados tienen siempre una misma forma,de tal modo' que sin necesidad de efectuar la multiplicación se pueda saber cuál habrá de ser elresultado. Esto da como resultado una gran economía de tiempo en los cálculos algebraicos.A productos de esta Claseque son muy co.uunes en los cálculos se les ha llamado ProductosNotables. Estudiemos los más importantes en este capítulo.

7.1- PRODUCTOS NOTABLES.

126

3. (5a - 3b)22. (x - 3)21. (x - y)2

Escribe el resultado de cada cuadrado por "simple inspección': es decir, sin realizar lamultiplicación.

19eS momentodeR EVISA

Fíjate que para obtener el resultado de 2 (a + b) e se ha aplicado la propiedad distributiva.

2(a+'b)c

..(a + b + C)2= [(a + b) + cr = (a + b)2 + 2 (a + b) e + c2

Observa cómo se asocian a y b de modo que (a + b) aparece como un sólo sumando y luego seaplica la regla. Llevando la expresión anterior hasta el final obtenemos:

~

(a + b + C)2=I« + b) + cr = (a + b)2 + 2 (a + b) e + c2

Compara las expresiones que tienen e con las e e y realiza por ti mismo cada ejemplo.Siguiendo esta forma y usando la propiedad asociativa de la suma se pueden realizar, comocuadrado de sumas o diferencias, cuadrados de polinomios.Así tenemos que'

==

a2c2 - 2acb + b2x" - 2X2y3+ la2"4 +ab+b-

02-20A+A2

m2 - 2mn + n2

(ac)' - 2acb + b2(X2)2- 2X2l + (y3)2

(¿_ )2 -2 (.1!...) b+b22 2

e e (0 _~)2

e e (n, - n)2

e e (ac - b/e e (x' -l)e. (.1!...-b)

2

=

X4 + 2x2 y3 + y6

a2'4 +ab+1:f( .1!...)2 -2 (¿_ ) b+b22 2 ..=e

=m2 + 2 mn + n2(ac)" + 2acb + b2(X2)2+ 2X2y3 + (y3)(x2 + y3)2

(.1!...-b )22

e

Observa entonces cómo colocamos los resultados, sin efectuar los productos, en los ejemplossiguientes. Síguenos:

e (m + n)2e (ae + b)i!

Así que:

127

Esta regla también puede ser aplicada a productos de polinomios.

Observa el último de los ejemplos anteriores. El te indica el cuidado que debes tener al escogerel orden en que tienes que escribir los términos de la diferencia de cuadrados. Ese orden es elmismo que el de la diferencia dada.

* (m - n) (m + n) m2 - n2

* (x + y) (x - y) X2_ y2

* (3 + r) (3 - r) 9 - r2

* (x - 5) (x + 5) X2- 25

* (2x - y) (2x + y) (2X)2-. / 4x2 _ y2

* (3m + 4n) (3m - 4n) - (3mf- (4n)2 9m2 - 16n2

* (6x+-f) (.J_ -6x) = (_L) 2_(6x)2 = 1 - 36x22 2 4

Los ejemplos que siguen están hechos por "simple inspección"; estúdialos cuidadosamente.

!co+[)) (0-6) =0'-6'

~ 1

El producto de una suma por su diferencia es igual a la diferenciade los cuadrados de sus términos. .

~ ~

I Ca + b) Ca - b) = a' - b'Es decir que:

Si lo efectuamos tenemos: a+ba-b

(a + b) (a - b) . (Suma por diferencia)OBSERVA el producto.

® PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA.

b6. (~+_.)210 3

9. (a - b - C)212. (3a + 2b - C)215. (a - b - c - d)2

5. (~+C )2b

8. (m + n - X)211. (rrr' - n2 + b5)214. (a - b + e + d)2

4. (- L+x )22

7. (0.3 - X)210. (5 -a + b)213. (a + b + e + d)2

128

X2+ (a+b) x+abobtenemos:

x:l+ axbx + ab

(x + á) (x + b)x+ax+b

Si efectuamos el producto: ..

y (m - 3)(e - 3b2){5x + 7y)

• (m + 5)• (a.- 3b2)

• (2x + 7y)

término común mtérmino común 3b2término común 7y

término común ~(~ + 1>.2)2yx• (2 +b)

( m n ) (m + _n) 8 (1 x) o + x)7. ? -"3 "2 3 • - 5" 5" 9. (a2b2 - e) (a2 b2+ e)

10. (- x - y) (- x + y) B .. (a2 - b2) (a2 + b2) 12. (0.4 - O.7x) (0.4 + 0.7x)]3. (2m + n-x) (2m + n + x) 14. (- a + b + e) (a + b + e)

<D. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN.

Dos binomios como (x + 7). .y (x.+ 3) tienen, al menos, un término común: x.FIJATE en las parejas de binomios que. tienen un término común:

3. (5 - x) (5 + x)6. (3a + 9b) (3a - 9b)

2. (m + q) (m - q)5. (3x + 8) (8 - 3x)

Efectúa por simple inspección, es decir, sin realizar el producto, cada uno de los productos desuma por su diferencia:1. (a - 1) (a + 1)4. (in2 - 2) (m2 + 2)

20es momentodeREVISAR

(a + b + e) (a + b - e) = [(a + b) + el [(a + b) - el = (a + b)2 - c2

= a2 + 2ab + b2 _ ~2l y _)

(a + b)2

Por eso:

Por ejemplo: Se han aso­ciado de modoque (a + b)actúe como unsolo término.

(a + b + e) (a + b - e) = [(a + b) + el [(a + b) - el

129

11. [7 - (a - b)] [(x - y) - al13. (2a + 3b + 1) (2a + 3b - 1)

15. (x + y + b) (x - y + b)

10. [(a + b) - 3] [(a + b) + 4]12. [(x + y) - a] [(x - y) + a]14. (m + n + 2) (m + n - 3)

3. (a - 1) (a + 2)6. (3 - .x) (2 - x)

9. (rrr' - 1) (m' + 2)

2. (m + 3) (m + 5)x 1 x 3

5. (""4 + 2) (""4 - ""4)S. (a2 b + 5) (a2 b - 2)

1. (x - 7) (x - 9)

4 1 ) ( _!_). (y + T y - 4

7. (x + 1) (1 - x)

Los siguientes productos de binomios con término común realízalos por simple inspección:

es momentodeREVISAR 21

2 2( ~ ), + (7+2) ~ + (7) (2) = xg + 3x + 14x x•(- +7 ) (- +2) =3 J

a2 + a - 6-{X2+ (-S + 4)x + (-S)(4)]-[x2-4x-321- X2+ 4x + 32-a4 - 3a2 - 4

4a2 - Sa + 3

(a2)2 + (1 - 4) a2 + 1 (- 4)

(2a)2 +(-3-1)· 2a + (-3)(-1)• (a2 + 1) (a' - 4)

• (2a - 3) (2a - 1)

X2+ 5x + 6X2+ (2 + 3) x + 2.3m2 + (n + s) m + nsa2 + (- 2 + 3) a + (- 2) (3)- (x - 8) lX + 4)

• (X + 2) (x + 3)

• (m + n) (m + s)• (a - 2) (a + 3)• (4 + x) (S - x)

Observa bien esta forma y ahora trata de hacer con nosotros los ejemplos siguientes. iNo dejesde intentarlo!

~ ~El producto de dos binomios que tienen un término común esigual al cuadrado de este término más el producto del términocomún por la suma de los otros dos más el producto de estos

... últimos.

(x + a) (x + b) = X2+ (a + b) x + ab..Es decir que:

130

••*

** (x + 2)3 = x3 + 3X2(2) + 3x (2)2+ (2)3= x3 + 6x2 + 12x + 8

(x - 1)3 = x3 - 3X2(1) +'3x (1)2- (1)3= x3 - 3x2+ 3x - 1

(3 - a)" = 33- 3 (3)2(a) +- 3 (3) a2 - a3= 27 - 27 a + 9 a2 - a3

(a2 + 1)3 = (a2)3+ 3 (a2)2 (1) + 3 (a2) (1)2 + (1)3= a6 + 3 a4 + 3 a2 + 1

(....!!!_+ 2)3 = (....!!!_)3+3 (.....!!!.._)2 (2) +3 (....!!!_) (2)2 +(2)3 .. m3+ 4m~+6m+82 2 2 2 8 2(+ - y)3 = ( ! )3-3 (+)2 y+3 (!) (y)2 - (y)3 = 6! - l~ y + ¡y2-r

*

Observa que ambas formas sólo difieren en los signos, y que cuando es una diferencia, como en00, salen alternados. Es bueno que recuerdes esto.

Realiza ahora con nosotros los ejemplos siguiente, antes de hacer los ejercicios.

1(6- 0)' = 6' - 36' 0+360'-0'100y traduciendo a palabras en sentido general, se tiene una forma algebraica como la siguiente:

El producto (a - b) (a - b) (a - b) = (a - b)3 puedes realizarlo y encontrar que:

I (a- b)'= a' - 3a'b+ 3ab'- b' 1

Tú podrías traducir ahora en palabras esta última forma, de modo que:

[ (a+ b)'= a' + 3a'b+ 3ab'+ b')Por eso: ...

= a2+2ab+b2= a+b

a3+2a2 b+ ab2a2 b+2ab2 +b3

(a+b) (a+b) = (a+b)2(a+b)

Si lo realizamos por etapas obtenemos:

(a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3OBSERVA el producto

o CUBOS DE SUMAS Y DIFERENCIAS

131

Nos resulta que:

a3+a2b+ab2_a2 b-ab"2_b3

a3· -a2b+ab2a:Jb-ab2 +b3

a2 -ab+b2a+b

FU ATE, que si efectuamos esos productos

Vamos a estudiarlos.

En el ejercicio0) se está multiplicando una suma por el cuadrado del primer sumando menosel producto de los dos sumandos más el cuadrado del segundo sumando.

En el ejercicio 2 se está multiplicando una diferencia por el cuadrado del primer número másel producto del primer número por el segundo más el cuadrado del segundo número.

Los productos que presentamos en el título de esta sección son estos dos:

CD (a + b) (a2 - ab + b2)"..-....

(2) (a - b) (a2 + ab + b2)

® PRODUCTOS DE LA FORMA

l. (x +vr' 2. (2x + y)3 3. (m - n)3

4. (1 - 3X)3 5. (_!_ x+3)3 6 1 1. (-m+-)33 2 2

7. (-3-X)3 8. (x' - 7)3 9. (5 - y3)3

10. (6xy - 1)3 11. (mn + 2)3 12. (3x + 2y)313. [(a - b) + 2r 14. [1 - (x - Y)r 15. [3 + (x + y)r

16. (2a + 2b - 3)3 17. (1-m-n)3 18. (x + 3 - y)3

Por simple inspección escribe los resultados de los cubos de binomios que van a continuación:

[(a + b) + Ir = (a + b)3 + 3 (a + b)2 (1) + 3 (a + b) (1)2 + (1)3

= (a + b)3 + 3 (a + b)2 + 3 (a + b) + 1

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3a2 + 6ab + 3b2 + 3a + 3b + 1

• •

132

El cuadrado de un binomio y el cubo de un binomio son casos particulares de lo que se llama"desarrollo de la potencia de un binomio"; de Newton.

_En realidad la técnica de desarrollar potencias de binomios fue conocida desde varios siglos a.

2. (5x + 2y) (25x2 - 10xy + 4y2)

4. (2 - a) ~4+ 2a + a2)6. (a - 5b) (a2 + 5ab + 25b2)8. (m + n) (rn! - mn + n2)

lO. [(x + 2) - 5] [(x + 2)2+ 5 (x + 2)+ 25]

12. (0-6)(02+06+62)

o BINOMIO DE NEWTON.

1. (2 + 3b) (4 - 6b + 9b2)

3. (x --1) (x2 +x + 1)

5. (x2 - 2) (x" + 2x2 + 4)7. (2a + 3b) (4a2 - 6ab + 9b2)9. (m - n) (m2 + mn + n2)11. (0+6) (02_ 06+62)

Escribe, por simple inspección, los resultados de los productos siguientes.

es momentodeREVISAR 23

* (2a - 3b) (4a2 + 6ab + 9b2) = (La)3 - (3bY = 8a3 - 27b3

• [(x + y) + 3] [(x + y)2- 3 (x + y) + 9] = (x + y)3+ (3i= x3+ 3x2y+3xy2+y)+ 27

*

Expresa con tus palabras cada igualdad.Realiza ahora junto con nosotros los ejemplos siguientes, antes de hacer los ejercicios.

* (x + 2) (x2 - 2x + 4) = (X)3+ (2)3 = x3 + 8* (x + 1) (x2 - X+ 1) = (X)3+ (1)3 = x3 + 1* (3 + b) (9 - 3b + b") = (3)3+ (b)3 = 27 + b3

ro m2

4) = ( .!!!.)3 _ ( 2 )3(2 - 2) (4 + ID + 2

Esta es unadiferencia dedos cubos.

y

Esta es unasuma de doscubos.

133

+ +

10x2. _ 20 = 54 !,

5ab4 + bS<,» f5 .5x1- -=~5

205x4 - - = 10

l. El coeficiente del primer término es l.2. El coeficiente del 2do. término es igual al exponente

del binomio.3. Cualquier otro coeficiente se obtiene multiplicando

el coeficiente del término anterior por el exponentedel primer factor, dividiendo ese producto entre elnúmero de sumandos que se tienen hasta esemomento.

REGLA

DE LOS

Así podríamos seguir sin parar. Fijándonos en los resultados obtenidos, en la matemáticasuperior se han demostrado las dos reglas que rigen la manera en que se forma la potencia deun binomio.

Si multiplicamos nuevamente este resultado por (a + b) obtendríamos:

I (8 + b)4 = 84+ 48'b + 68'b' + 48b' + b4•Es decir que:

a4+4a3 b+6a2 b2+4a ~ +b 4

= a3-+3a2 b+3ab2+b3= a+b

a4+3~ b+3a2 b2+ ab3a3b+3a2 b2+3ab3+b4

(a+b)3(a+b)

Efectuando el producto:

C. por los chinos, y luego fue desarrollada por el geniomatemático y filosófico filósofo francésBlaise Pascal (1623-1662).

FIJATE en la potencia • (a + bt = (a + b)3(a + b)

134

• (x - y)4= x" _ 4x3y + 6x2y2_ 4xy3 + y4

• (2m - 1)5= (2m)s - 5 (Zm)" (1) + 10 (2m)3 (1)2 - 10 (2m)2 (1)3 + 5 (2m) (1)4 - (l)s

= 32m5 - 80m4 + 80m3 - 40m2 + 10m - 1

Si el binomio fuera una diferencia, el resultado del desarrollo seria el mismo con los signosalternados.

• (2m + 3n)5= (2m)5 + 5 (Zm)" (3n) + lO(2m)3 (3n)2 + 10(2m)2 (3n)3 + 5.(2m) (3n)4 +(3n)5

= 32m5 + 240m4n + 720m3n2 + 1080m2n3+ 810mn4 + 243n5

ESTUDIA los ejemplos siguientes:

• (x + y)6= x6 + 6x5y + 15x4y2+ 20X3y3+ 15x2y4 + 6xy5 + y6

(x2 + 1)4 = (""!")4 +4 (....!..)3 (1) +6 (""!")2 (1) 2+4 (_.!.) ( 1)3 + (1'12 2 2 . 2

= _1_ x4+ 1....x3 + l._ K2+2x+ 116 4 2

(a+b)3

(a+b)4

(a+b)5

(a+b)6

\ /1\ .

~ ?{ 1. .l. I\ / \ .

\ .1\. l< .}1 "t! '¿ \I\ /\. ,1\ .'1, .J\ / \ 1 \/ \ I

- \ /5\ ~~ .i~ /~ }\/ \/ \1 \ 1 \/

- 1 6 15 20 15 6 1

1(a+bjl

(a+b)l

(a+b)2

El exponente del primer sumando es el exponentedel binomio.El exponente del primer sumando decrece de unidaden unidad de un término a otro, y el del segundosumando, que aparece en el segundo término,aumenta una unidad de un término a otro.La suma de los exponentes de los factores literalesen cada término del desarrollo es igual al exponentedel binomio.

* Cada coeficiente no extremoes la suma de los dos quetiene encima.

* Los coeficientes de los extre­mos son l.

Fíjate bien en el triánguloformado.

Pascal inventó un triángulo denúmeros como el de la figura.

DE LOS

REGLA

135

1. (a r+T)" 2. (a - 1)5 3. (1/2 - X)4

4. (x + yf 5. (m - n/ 6. (a - b)8

7. (x + yfO 8. (3 - m)" 9. (1 + X)6

10. (2x - 3l 11. (4 - 5y)5 12. (2x + 3y)6

13. (1 - y)7 14. (a2 - 2)5 15. (ab + C)4

Desarrolla las potencias de los siguientes binomios según las reglas de Newton que hasaprendido:

es momentodeREVISAR 24

Cocientes notables. .

8

1~7

Quiere decir que cuando se te presenta un cociente comoése, en que: se divide la diferencia de dos cuadradosentre la diferencia de la raíz cuadrada de los términos delnumerador el resultado es la suma de las raíces cuadradasde los términos del numerador.

OLVIDES!

¡NO LO

• El resultado de ese cociente en la suma de las raíces cuadradas.

y

• El numerador es uná . diferencia de cuadrados.• El denominador es la diferencia de las 'raíces de los términos del numerador

= a+b; a+ba2-b 2a-b

Fíjate que aquír e su lt a unadiferencia.

También ex­presa esta igual­dad con pala­bras.

= = a-b; a+-b~) (a-b)~

a2-b2a+b

Fíjate que aquíresulta unasuma.

Expresa conpalabras' laigualdad queresulta.

= a+b; a+b(a+b) ~~

=

Observa que en el cociente

Observa quehemos cance­lado factoresiguales en elnumerador y eldenominador.

Ambos cocientes son consecuencia de que:

= a-b; a¡!-bIa2'-b2a-b = a+b; a+b

o

De igual modo que hay productos que son notables también hay cocientes notables quepueden y deben ser recordados po~que aparecen corrientemente en los cálculos algebraicos.Aquí estudiaremos los más elementales e importantes.Desde luego que los cocientes notables son consecuencia de los productos notables.

8.1- COCIENTES NOTABLES.

138

x - y••

y;-6= 6-y;36-:t2y+6•3-x2 -.J'1+x;x; f3• =

\[3-x

m2-7 m-V; m;-V• =m+V

Por esto podemos escribir los ejemplos siguientes. Estúdialos bien.

Siempre que a y b sean números reales positivos, esto es, a > Oy b > O.Además a =F b

a - b=

Por eso se puede escribir que:

que en el denominador están las raíces cuadradas de lostérminos del numerador.

(a+b)-(~-b)termina tú de hacerlos.,(a+b)2-(a-b)2y

debes escribir los denominadores•(X-:t)2-X(x-y)+x

Para poder resolver los cocientes de los ejercicios •así:

m2-n2 ..,m+n; m;n • 4-x2 2-x; x;:-2• =m-n 2+x2 2 l-x2• 9x -25y .., 3x+5y; 3x-5y;O • .., l-x; x;-l3x-5y l+x

•• (x-:t)2 -x2 ..,-y; 2x-y,O •• (a+b)2-(a-b)2- 2a; b;O2x-y 2b

Estudia los ejemplos siguientes; no dejes de hacerlos en tu cuaderno.

Te habrás dado cuenta de que al dividir una diferencia decuadrados entre la suma de la raíz cuadrada de los núme­ros el resultado es igual a la diferencia de la raíz cuadradade los números.

¿A qué es igual el numerador?¿y el denominador? ¿Y el cociente?

= a-b; a;-b?¿Qué puedes decir del cociente

139

64+x3• -4';""+"';;"x;'_= 16-4x+x2; x:f-4

m3-1m-1•

Estudia los ejemplos siguientes. iPractícalos!

Los términos del denominador son lasraíces cúbicas de los términos delnumerador.

a3 - b3 == (a - b) (a2 + ab + b2)~--.--~~------Puedes notar que:

Este cociente seobtiene del hecho de•

Este cociente se .obtiene del hecho deque

J•

1. m -4 ;m:f-2 2. él- b2-e2 ;ab:fe 3.100x2 -81:l2 9

2+m ab-e 10x+9y ;x:f- 10

(a-b)2 -a2 •b:fO 25x2-1 1 a2 -(b+e)24. 5. .x+- 6.... ;a+b+e:fO-b ' 5x-1 ' 5 a+b+e

7.x2_(x-x:)2

;Y:fO 8. x4-x:4 2 2 9. a+5 . ..fá+15 , a? Oy x2+y2 ;X +y .(ti- .(5,

10. 4 - x fi+-2, x:>O 11. 49a2 b2e2-1 ;.7abe:f-1.2+ .Ji

, 1+7 abe

Escribe en cada caso el cociente que resulta.

es momentodeREV/SAR 25

140

15.

(X+y)3+(X_y)3 • .lO2x ,Xr14.

(X+y)3 - (x_y)3- - ;y;'O2y

(x+2)3 - (x-3)35

13.

11. m+1 ;~;'-1~+1

s-x3 J~C10. - ;x~ 5~-x

7.

4.

1-a3 a;'l 2. 343m3+n3 ;m'-7m 3. 8a3-12sb3 5. ·a:f-b1-a , 7m+n 2a-5b ' 2

a3 -¡,3 e3 ;a;'be x3+21p ;x:f-6 6. 64x3-27x:3 4a-be 5. x+6 4x-3y ;y"-3-x

a3-(a-b)3;b;'O 8.

x3+(x+;t)3 . ;y;'-2x 9.8~-(2m+n)3

jIl:fOb 2x+y -n

1.

es momentodeREVISAR 26

•• (a-b)3 -b3 = (a-b)2+(a-b)b+b2 = a2-ab+b2 . a;'2b2-2b ,

3•• J-8a=> .:f.9+2.:if3;.+4El-; 'a;' t.if3..if3-2a

•• a + b - ~ -.if;~+..ifbi ; ..r.. ;.~~+~

eab;'- 5125 3b3 3 2 2 2

• a - e - 2sa b + sabe+ e ;Sab - ---c-- -

Factor monomio o polinomiode un polinomio

9CAPITULO

Teoría de la factorizaciónsobre Z y Q

UNIDAD V

143

Analicemos juntos como hallar los factores comunes de la expresión:

Factorizar una expresión algebraica es encontrar losfactores cuyo producto es la expresión dada.

Ahora piensa en que tenemos que deshacer lo que esta propiedad hizo, es decir, obtener losfactores que multiplicados dieran la expresión: ab + ac + ad.

A esa vuelta a los factores es a lo que llamamos factorización.

a (b + e + d) = ab + ac + ad

'<¿J

Sabemos que la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o la sustrac­ción es de gran utilidad para factorizar.

Fíjate que usando esta propiedad podemos realizar multiplicaciones como esta:

9.2- FACTOR COMUN MONOMIO.

Los casos de factorización que estudiaremos están directamente relacionados con los produc­tos notables que ya conoces, por lo que te pedimos revisarlos detenidamente antes decontinuar con el estudio de este tema.

Quizás lo más importante a tener en cuenta cuando queremos "factorizar" una expresióncualquiera es identificar en esa expresión "la forma de factorizarla" de acuerdo a los casos defactorización que vamos a estudiar en esta sección.

Así como hay diversos productos notables, también hay muchas expresiones que pueden ser"factorizadas"

Acabamos de estudiar en el Capítulo 7 los productos notables en los que dadas dos expresio­nes algebraicas podemos hallar su producto sin necesidad de efectuar la 'multiplicación.

En esta Unidad trataremos algunos casos de lo que llamamos factorización. En la factoriza­ción sucede la situación inversa que en los productos notables porque en la factorización nosdan el producto. o resultado de una multiplicación para hallar los factores que dan ese pro­ducto.

9.1- IDEAS PRELIMINARES.

Cociente de dividir entreel factor común a

ab+ac+ad = a(b+c+d)

entre el factor

Para factorizar una expresión algebraica que tiene un factor

/

común se sigue esta regla:l. Se saca el mayor factor común.

Este será el primer factor.Se divide cada término del polinomiocomún para obtener el otro factor. Así:

FACTORCOMUNMONOMIO

Ya sabes como hallar el factor común a un polinomio, ahora estudiaremos cómo factorizarlo.

/ '"Expresiones Mayor Factor Común de: Mayor Fa. .tor ComúnAlgebraicas Coeficiente Parte Literal del Polinomio

1. 5a' + IOa~b + ISa' S a3 Sa3

2. 12m) - !lm!n + m"~.

3. 17x"Y - 34x~i + 51x~y .4. !la.!+ 32a! + 4a'

5. 9r2('1 - 18r:'t! - 27r~t'¡\.. ~

Identifica los factores comunes en cada una de las expresiones siguientes. Completa el cuadro.Fíjate en el primer ejercicio resuelto.

~-----~~-------ti = X2 porque X2 es el mayor factor común de x', X2 y x"...... - y porque y es el mayor factor común de y, s'. y3.

¿Hay más factores comunes?Entonces, el mayor factor común a todos los términos es6x2y.

/Observa que esta expresión tiene como factores comunes a:6 ¿Por qué? porque 6 es el mayor factor común de 12, 18 y 30.

()x~yES EL MAYOR

FACTOR COMUNI A TODOS LOS

TERMINOS

145

El mayor factor común de 12, 15, 21 es 3El mayor factor común de a, a2, a3 es a

f ' 2 b" b6 b2El mayor actor comun de b, , es .El mayor factor común de e, e2, cl es e

Así que: • - 9m3n2 - 18m2n3 + 36mn4rl = 9mn2 (- m - 2mn + 4n2r3)

• 12ab2c+ 1+ 15a2b4c2-21a3b6c3

+18m2n39mn2

Por eso:. 4x3y2 - 2x2y + 8X6y3z= 2x2y (2xy - 1 + 4x4y2Z)

Si usaras la propiedad distributiva en esta última expresión verías que recuperarías laexpresión original. Hazlo en tu cuaderno.ESTUDIA los siguientes ejemplos:• - 9m3n2 - 18m2n3 + 36mn4r3

El mayor factor común de 9, 18, 36 es 9El mayor factor común de rrr', n2, m es mEl mayor factor común de n2, n3, n4 es n2Entonces el factor común a todos los términos es 9mn2

El otro factor ha de ser:

;:: 2xy-l +4x4 y:2Z; xy~O+

Para obtener el segundo factor debes dividir cada término de la expresión entre el factorcomún. aSÍ:

Este es el pri­mer factor

No hay más factores comunes a todos los términos.

El mayor factor común de 4, 2 y 8 es 2~ , 3 ~ 6 2El mayor tactor comun de x ,x y x es x

El mayor factor común de y2, y e v' es y

•••

escomún a todoslos términos.

Estudiemos de nuevo cómo hallar ese factor común.

¿Tiene esta expresión un factor común a todos sus términos? ¿Cuál es? __--_FUATE en este ejemplo:

146

En este caso ambos factores son polinomios.

2ax + b'x - 2ay - b3y = (2ax + b'x) - (2ay + b'y)= x (2a + b3) - Y (2a + b.3)= (2a + b3) (x - y)

Entonces, ~

Por eso podemos factorizar esta expresión así: (2a + b3) (x - y)

2a + b3 es factor común de x (2a + b ') - y (2a + b ')4. Finalmente observa que:

2ax + b3x - 2ay - b3y = (2ax + b'x) - (2ay + b3y)= x (2a + b3) -y(2a + b3)

3. Entonces:

y por eso escribimos:El factor co~ún de 2ax + b3x es xx (2a + b3)

El factor común de 2ay + bjy es y y por eso escribimos:y (2a + b3)

Puede darse el caso que todos los términos de una expresión algebraica no tengan un factorcomún pero que los mismos puedan ser reunidos en grupos que tengan factores comunes.Estudia el ejemplo que sigue con cuidado repitiendo cada paso.

• 2ax + b3x - 2ay _ b3y

¿Tienes esta expresión algún factor común a todos sus términos'!Fíjate ahora que si:

l. Asociamos los términos que tienen a x como factor común y los que tienen a ycomo factor común, así:

2ax + b3x - 2ay - b'y = (2ax + b'x) - (2ay + b3y)

Cada una de las expresiones agrupadas tienen un factor común.

2. Con cada paréntesis procedemos como en los ejemplos anteriores:

9.3- FACTOR COMUN POLINOMIO.

abc s= O

Así que entonces:

~ 12ab'c+ ISa'b'c' - 2Ia'b'c' = 3ab'c (4+ Sabc - 7a'b'c\

abc:fO+

Luego el factor común a todos los términos es 3ab2cPara encontrar el segundo factor dividimos cada término entre el factor común a todosellos:

147

Ahora el factorcomún polino-a3 + a2b2 + ab + b3 = (a) + ab) + (a2b2 + b3)

= a (a2 + b) + b2 (a2 + b)= (a2 + b) (a + b2)

• 15ax - IObx + 3ay - 2by - 3az + 2bzComo no hay factor común a todos los términos observa como hacemos la asociación.

Otra manera de asociar sería:

Aquí tenemosel factor co­mún polino­mio: (a + b2)

a3 + a2b2 + ab + b3 = (a ' + a2b2) + (ab + b')= a2 (a + b2) + b (a + b2)= (a + b2) (a2 + b)

No hay un factor común a todos los términos. Entonces asociamos y sacamos factor común:

Luego: ......_.......~ ~ 17x6y6 ... 51x4/ + 85x2y2 = 17x2l (x'y" - 3x2y2+ 5)

• a) + a2b2 + ab + b)

• l?x6/ _ 51x4y4 + + 85x2 y:'

El mayor factor común de 17, 51 Y85 es 17El mayor factor común de X6y6, x''y", x2l es x2y2

Vamos a estudiar juntos los siguientes ejemplos. Detallaremos el procedimiento, pero esbueno que des todos los pasos que omitimos. Auxiliate de tu profesor cuando no estés seguro.

Claro que el resultado es el mismo (¡El arden de los factores no altera el producto!).

Fíjate que hayun factor co­mún polino­mio: (x - y)

2ax + b)x - 2ay - b''y = (2ax - 2ay) + (b3x - b3= 2a (x -y) + b) (x - y) •

[ ~ (x - y) (2a + b3) J

Entonces:

El factor común de: (2ax - 2ay) es 2aAsí que: (2ax - 2ay) ;: 2a (x - y)El factor común de: (b'x - b'y) es b)Así que: (b'x - b'y) = b) (x - y)

Entonces:

Pero si estudiamos bien el ejemplo anterior veríamos que es posible asociar de otro modo. Porejemplo podríamos haber asociado los términos que tienen el factor 2a y los que tienen a b'.ASÍ:

148

3 1 56xy- 2my+1Oxy2+ '4mx- 4 m2 +""4"mxy20.

2. aS - 3a4 + 7a34. 6x2y - 9xy2 + 3xy6. 3X3y3z3 + 6x2lz2 + 9xyz8. ax + ay + bx + by10. m2y + mn" - mxy - n2x12. a4 + a3b3 + ab + b414. a3b3 + ab + a2b2 + 116. 6xy + 9x + 4y + 618. 9a2x - 3ax2 + 15a - 5x + 6am - 2mx

l. 6a3 + 9a23. - m" - 3m3 - 2m2

5. 5a7b2 - lOasb3 + 15a4b4

7. 17m6n6 - 51m4n4 + 85m2n2

9. ax + ay - bx - by11. a2x + b2x + a2 + b2

13, x2y2+ xy + xyz + z15. m3 + m2n + mn2 + n317. 15mx + 6m + xy - 2x - 5x2 - 3my

19. _2_aY-21a2Y-14y-_l_ a2+2a+3a33 3 .

Factoriza cada expresión polinómica. Si te das cuenta que la factorización puedes hacerla devarias maneras no dejes de hacerlo pués, eso te dará habilidad en el procedimiento.

es momentodeREV/SAR 27

15ax - 10bx + 3ay - 2by - 3az + 2bz = (15ax - lObx) + (3ay - 2by) + (2bz - ~az) == 5x (3a - 2b) + y (3a - 2b) + z (2b - 3a) == 5x (3a - 2b) + y (3a - 2b) - z (3a - 2b) == (3a - 2b) (5x + y - z)

Fíjate como hemos cambiado el signo de z y luego hemos cambiado los signos de los términosdel interior del paréntesis buscando que éste sea igual a todos los demás paréntesis, y de esemodo tenerlo como factor común.

149

Omar Kayyan (1050-1122).

entonces:, , A,

6x- - 4x- = 6x - 2x + 8 - 4 por al-yabr2~! = 4x + 4 por al-Mugg3balaX2 = 2x + 2 por al-h&1I

Sea 6x~ - 6x + 4 = 4X2 - 2x + 8

I)('.'illl/(;.~de al-Kowariznti surgk) ungrupo de connotados matemáticosárabes y persas que fueron conoci­dos mds tarde en los siglos X l. XIIy XIII en Europa a través de loscomerciants del norte de Africa yde la ocupación de España por losmusulmanes, Entre esos matemáti­cos están Tabit ibn Quorra. Abu-l­Wafa. Al-Karkhl, etc. todos ellosde primera línea.El último de todos ha sido de losmás grandes algebristas a la vezque un Kayyan (1050-1/22).nacido en Nisapur (Irán) hijo de unfabricante de tiendas. Escribió un"Algebra" donde da por primeravez la solucián geométrica de lasecuaciones cúbicas. las potenciasdel binomio y la resolución demuchas ecuaciones cuadráticas.Ornar Kayyan fue el inspiradopoeta que escribió el famoso..Rubayyat" y modificó el calenda­rio persa con mayor exactitud queel nuestro actual.

..-Por ejemplo al-Kowarizmi procedlaen su "Algebra" como puede verse enel cuadro de la derecha

"Hisab Al-yebr Wa'I-Muggabala"("Ciencia de la transposición y-la reduccián")

Este primer libro de "A l-yebre"está dedicado al Califa al-Mamun, y su autor nos dice que fue aquelquien lo alentó para que lo escribiera, dejándonos las reglas de la transposición.

Así nació el actual nombre esta importante parte de la Matemática: "El Algebra".En la Arabia de los Califas, después que la ciencia griega e hindú empezó a penetrar en la corte deal-Mausur y del gran Harum al-Rashid (el califa de las "mil y una noche") (786-808) se llevo a cabo lagran labor de traducir y comentar en árabe las grandes obras griegas de Diofanto, Aristóteles, etc. y delos hindues Aryabbata, Brahamagupta; etc.En este gran trabajo descollá, en el época del Califa al-Mamun (809-833), (hijo de Harum at-Rashid),Mohammed ibn Musa al-Kowarizomi (Mahoma, el hijo de Moisés de Khwarezm). Había nacido enKhwarezm, hoy la ciudad de Tiva en la República Socialista de Uzbekistan, y dedicó casi toda su vidaal estudio y a la escritura de comentarios y obras cientlficas. Poco se sabe de su persona, pero. como haindicado el historiador de la Matemática Carl Boyer (norteamericano), ha sido a troves de su obracomofue conocido en Europa el sistema de numeración hindú, que hoy llamamos hlndo-ardbigo, y sugran obra principal:

LA MATEMATICA A TRAVES DE SU HISTORIAEL HIJO DE MOISES

EL "HISAB AL-YABR WAL-MUGGABALA"

El trinomio cuadrado perfecto

CAPI'TUlO

151

2 (2x) (5y) = 20xy....__ ._ .....

es un trinomio cuadrado perfecto pues:•

Estudia los ejemplos que siguen.

Si el segundo término es el doble del producto de las raícescuadradas de los extremos entonces el trinomio es cuadradoperfecto, siempre que el polinomio halla sido previamenteordenado.

¿Cómo podemos saber cuándo un trinomio es cuadrado perfecto?

Un trinomio es cuadrado perfecto si es igual alcuadrado de las suma o la diferencia de doscantidades.

diremos que son "trinomios cuadrados perfectos".

Entonces, los trinomios:

• (a + b/ = a2 + 2ab + b2• la - b)2 = a~ - 2ab + b~

Ahora estudiaremos lo que debes tener en cuenta para factorizar un trinomio cuadradoperfecto.Antes recuerda, de los productos notables, que:

10.1- IDEAS PRELIMINARES.

. 152

Puedes verificar que el trinomiocuadrado perfecto completo es: --1+

(-9X)2 = Blx2-36xy = -9x4y

Segundotémino. -36xy =Dbble dela'4y~. 2(2y)

(1) - 36xy +4l

1 L=J4?

Dividimos el segundo término entre el doble dela raíz cuadrada del término extremo y eleva­mos al cuadrado el resultado.

Para encontrarlo: .~

• (1)- 36xy + 4y2 •• Observa que falta el primer término.

Conocido dos términos de un trinomio cuadrado perfecto podemos completarlo calculando eltérmino que falta según la regla de formación de dichos trinomios.Estudia con nosotros cada ejemplo:

10.2- COMPLETAR UN TRINOMIOCUADRADO PERFECTO.

24ab

9a2 + . (:ab') ~~~0./ -:> \ \\.:0 es un trinomio cuadrado perfecto pues:

~ 0 /t~ , 2 (3a) (4b) = 24ab...J9a2 = ~\ X2(' ~ - J16b2 -,

.........Pero: 24ab :¡i; 4ab

•

/.--.-.__( 3mn ) + 9n2· ...........'<; . ./ -,:

\ .". es un trinomio cuadrado perfecto pues:x2 'lo \

~ = -19-") . -, ............~ Ir _ 2 (l/2m) (3n) = 3mn

•

153

l. En cada ejercicio determina si el trinomio es o no cuadrado perfecto.a. 25x2 + IOx+ 1 b. 9a2b2 - 24ab + 16

es momentodeREV/SAR 28

r~~~í Por eso _1_ a2 + 3ab + 36b2 es el trinomio cuadrado perfecto.~. __.-~-

es el 2do. término.12 (-¡-a) (6b) = 3ab

Sacamos las raíces cuadradas de los extremos ymultiplicamos por 2 el producto de dichas raíces.

Para hallarlo:

{6 ;; + (?) + 36b2 •• Está faltando el segundo término.

Fíjate en este otro ejemplo.

Ya sabes que 81X2 - 36xy + 4i es el trinomio cuadrado perfecto.

= - 2y= -36xy18x

Segundo término .. -36xyDoble de \18 lx2 .. 2 (9x)

Ahora falta el tercer término. Seguiremos lamisma regla anterior.

• 81x2 - 36xy + (?) ••

!J8iX'1= 9x

154

8Ia2 - 54ab + 9b2lit Factoricemos

Estudia los ejemplos que siguen:

Debes tener presente que:

Sacamos la raíz cuadrada de los términos extremosy colocamos entre ellas el signo del segundotérmino.

es encontrar un binomio (a + b) cuyo cuadrado, (a + b)2, sea el trinomio dado.Para encontrar los términos de ese binomio seguiremos la regla siguiente:

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

a2 + 2ab + b2

10.3- FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADOPERFECTO.

a. X2 + 2x + ( ) b. ( ) + 12ab + b2

C. m" - ( ) + 1 d. ( ) - 2xy + 1

e. 16a2 + 24x + ( ) f. 25m2 - ( )+ 4g. ( ) - 3mn + 4n2 h. 144a2b2 + ( )+1

i. 1 2 )1 2 ( 1

25 a +( + 16b j. )-""3 xy+36y2

2. Completa el trinomio como cuadrado perfecto, calculándole el té~mino que falta.

9 1 1s- -m2+-mn+-n216 2 9

d. IOOx2- 25xy + 16y2

f. a2 + ab + b2

c. 1 - 10m + 25m2

e. 49x2 + 28x + 4

155

b. X2 - 6x + 9d. 49a2 + 14ab + b2f. S1m2 + 36mn + 4n2h. 49 X2y4 - 28 x2y2+ 4j. Z2+ 4zy + y2

a. X2 - 4x + 4c. m2 + Sm + 16e. 144a2 - 12ab + b2

g. 1/36 X2 + 1/3 x + 11. 81a2b2 - 54abc + 9c2

1. Verifica en cada caso si el trinomio dado es cuadrado perfecto. Si lo es factoríz.:..lo.

es momentodeREVISAR 29

( ~ x + y)2 \5 j

Entonces,

Claro que éste lo es. Entonces siguiendo la regla:

2~ x2 ffi +y2 entonces (;x+y) es el b~

buscand9, puesto que: I2 (~5x+y)2 = ""'!!:"_y.'J + -4-xY +y'

= S-X y = fY2 25 5

Gx)(:]rr-;'.JI5x·

¡No olvides asergurarte, ante todo, que el trinomio es cuadrad ....perfecto!

_i_ x2 +~ xy+y225 5

e Factoricemos

De esta manera hemos comprobado que SIa2 - 54ab + 9b2 es un cuadrado perfecto y sólo nosqueda expresarlo en factores, así:

(sla' - 54ab+ ~a ~3i(9a - 3b)= (9a~

Entonces (9a - 3b)es el binomio buscado,

puesto que: )(9a - 3b)' = Sla' - 54a~

Sla' e +9b'

v'8W 19a i 3b1J%i

(j)«(_)

Diferencias de cuadrados

11CAPITULO

157

= (x2 + y2) (x2 _ y2)

= (a''b" + e2) (a4b4 - e2)

4m2 - 9n2 = (2m + 3n) (2m .; 3n)

=(a+ 1)(a-l)•••

.~ .Verifica cada una de las siguientes factorizaciones.

\.

xSuma de lasraíces

Diferencia delas raíces

"_~ ...__ " _-......._0..1....-----=:;-/ }

(5x + 6y) (5x - 6y).•~

~ 25x2- 36y2

EJ procedimiento para factorizar una diferencia de cua­drados es el siguiente:

l. Se hallan las raíces cuadradas de los dos términos.

2. Se expresan esas ralees como una suma y una diferen-Icia. Esos son los factores.

Ralees cuadradas decada término

FACTORIZAR UNADIFERENCIA DECUADRADOS

Así: 25x2 36y2

! !vlli! = ® ® = J36?//

Una diferencia de cuadrados es la diferencia de los cuadrados dedos cantidades.

Recordemos de los productos notables que:

{a T b) (a - b) = a2 - b2

Decimos que a2 - b2 es una diferencia de cuadrados.

11.1- FACTORIZACIONES SENCILLAS.

158

Observa la forma en que se han usado los corchetes y cómo luego se han eliminado.Estudia los ejemplos que siguen:

Fíjate que los factoresI son la suma por la dife­rencia de las raíces cua­dradas de los dostérminos.

~ (x + 2y)2 - 9z2 = [(x + 2y) + 3z] [(x + 2y) - 3z]~ = (x + 2y + 3z) (x + 2y - 3z)

[Raíces cuadradasde cada término-

(x + 2y)2

IAsí que:

Se trata de una diferencia de cuadrados aún cuando uno de sus términos (x + 2y), es unpolinomio. La regla de factorización en este caso es la misma que la anterior.

Fíjate ..en la expresión:

11.2- CASOS ESPECIALES DE DIFERENCIASDE CUADRADOS.

2. 9a2 - 25b2

4. 121a2 - 16. 9x4 - 16y48. x4 - 16y410. mS - 412. 400a4 - 0.2514. l6x4 - 0.008ly4

1. 16x2 - 9y23. 36m2 - 49n25. 4 - 12lx27. 169 - 25a29. x4y4c4- 111. l - 25x2l13. 1.44m2 - 1.21n2

Factoriza cada diferencia de cuadrados dada. y luego verifica tu que tu resultado es el correctomultiplicando los binomios:

Realiza las multiplicaciones de los binomios de modo que te des cuenta que, efectivamente, elresultado es el correcto. .

I--'1Aquí tenemos la dife-1 rencia de dos trinomios. ,I_~.u_~dra~osp~~:e~~~=-._ ~J

Asociamos convenientemente:

X2+ y2 - a2 - b2 - 2xy + 2ab = (x2 - 2xy + y2) - (a2 - 2ab + b2)= (x - y)2 - (a - bi= [(x - y) + (a - b)] [(x - y) - (a - b)]= (x - y + a - b) (x - y - a + b)

• Factorizar

Observa que (a2 + 2ab + b2) fue factorizado como un trinomio cuadrado perfecto.(

= (a2 + 2ab + b2) - 16.c2= (a + b)2 - l6c2= [(a + b) + 4c] [(a + b) - 4c]= (a + b + 4c) (a + b - 4c)

a2 + 2ab + b2 - 16c2

$ a'+2ab+b'-16c'

Factoricemos

En ocasiones, un polinomio puede ser fact orizad o agrupando convenientemente los.términos,de modo que resulte una diferencia de cuadrados.Estudia bien cada ejemplo. No dejes de repetirlos paso a paso.

(x + yi - (a - ,b)2 = [(x + y) + (a - b)] [(x + y) - (a - b)]= (x + y + a - b) (x + y - a + b)

(x + y)2 (a - b)2

$ J(x+y)' ~88 ¡J(a-b)'

~p

Estos factores se obtie-Inen sumando y res-¡tando las raíces¡1cuadradas de lostérminos.

$ 2 2 [ .m - (a - b) = m + (a - b)] [ro - (a - b)]= (m + a - b) (m - a + b)

Raíces cuadradas delos términos.

lh()

a" + a2b2 + b4 = a4 + a2b2 + b" + a2b2 - a2b~= a4 + 2a2b2 + b4 - a2b2

= (a" + 2a2b2 -t b4) - a2b2

_ (a2 + b2)2 - a2b2

= [(a2 + b2) + ab] [(a2 + b2) - ab]= (a2 + b2 + ab) (a2 + b2 - ab)

Para completar el trinomio como cuadrado perfecto debemos sumar y restar a la veza2b2, así:

j ¿Qué término debemos sumar para que a4 + a2b2 + b4 sea un trinomio cuadrado ?" perfecto? •

tercer término, osea: Jt1= b2

Raíz cuadrada del

Para que el trinomio sea un cuadrado perfecto el segundo término debe ser:

2 a2 b2

. _ ~ Raíz CU:drada del

t Doble prod~~to ] primer término, o_ ., _ sea: va' = a2

¿ ¿Es a4 + a2b2 + b4 un trinomio cuadrado perfecto? ?Si se tiene:•

Hay expresiones algebraicas en las que alguna de sus partes puede ser convertida en untrinomio cuadrado perfecto sumando y restando un mismo .monomío que complete eltrinomio, y la expresión quede así transformada en una diferencia de cuadrados. Esta puedefactorizarse como el producto de una suma por una diferencia .

,11.3- FACTORIZACION DE DIFERENCIASDE CUADRADOS COMPLETANDO TRINOMIOS

CUADRADOS PERFECTOS.

2. (x + y)2- Z24. (a-b)2-x26. (a-b)2_(a+b)28. (x - y)2- (2m + 3n - s)¡10. 1 - X2+ 2xy _ y212. a4 - b2 - 6a2 - 4m4 + 9 + 4bm2

1. 4x2 - (y + zi3. (x - y)2- Z25. m2 - (n - S)2

2 2'7. (3x - y) - (3m - n)9. X2- 2xy - Z2+ y2JI. a2 - 6ab - 4c2 + 9b2

Factoriza cada una de las expresiones algebraicas siguientes.

es momentodeREVISAR 31

\\

161

2. a4 - 7a2 + 14. 9x4 + 16x2y2+ 2Sy46. 4a4 - 29a2b2 + 2Sb48. x8 + 1610. X16 + 4

1. m4 + m2 + 13. 16x4 + 4x2 + 15. 9m4 - 15m2 + 17. 62Sx4 + 100x2y2+ 16y4

9. 16x8 + 4x4 + 1

Factoriza las expresiones que van a continuación:

es momentodeREVISAR 32

x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2= (x" + 4x2 + 4) -4x2= (x2 + 2)2 - 4x2

= (x2 + 2)2 - 4X2= [(x2 + 2) + 2x] [(x2 + 2) = 2x]= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)

En este ejemplo falta el segundo término, 4x2, para completar el trinomio, de modo quesea un trinomio cuadrado perfecto. Así, sumamos y restamos a la vez 4x2, y luegoasociamos resultando:

• Factorizar

I

Factorizacíón de cubos'

12CAPITULO

163

Explica cómo se haobtenido este factor

Como:• Factorizar:

También puedes hallarlo dividiendo 27x3 + y) entre (3x + y).

Seguramente te has dado cuenta de que el segundo factor se obtiene m{'

~

Como: 27x) + y) - (3x + y) (9x2 - 3xy + y2)¡ I ~ 1Í-'"'\ r:\ ~ / i

V27x3 = ¡jx J \ Y.J = lf1 / j'0'-'" ..'. / /'--._:;.__ '

¿Cómo se ha obtenido el segundo factor?

• Factorizar:

Estas dos expresiones nos enseñan cómo deben factorizarse sumas y,diferencias de cubos.Fíjate que el primer factor binomio es la suma o diferencia de las raíces cúbicas de los términosdados.

a3+a2b+ab2-a2 b-ab2 -})3

;} -b'

a2 -ab+b2a+b

a3 -a2b+ab2a2b-ab2+b3

a3 +b3

y de este una diferenciade cubos.--\j;;. +ab+1J2

a-b

De este producto resultauna suma de cubos.

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Fíjate en las siguientes expresiones, ya aprendidas en el Capítulo 7, donde estudiaste losproductos notables.

12.1- SUMA y DIFEREJ¡CIAS DE CUBOS.

164

As]: 8a3b3 + 12a2b2 + 6ab + I

1 1 1 IComo: ~8ajbj =e......._:.~ab)2 (1) 3(2ab)( 1)2(0 '!JT~.-

tendremos un cuatrinomio cubo perfecto.

'1 •

l. El segundo término es el triple del cuadrado de la primera raíz cúbicapor la segunda; .

2. El tercer término es el triple de la primera rafz cúbica por el cuadradode la segunda, .'

Si sacamos la raíz cúbica de los extremos, y luego se verifica que:r

son cuatrinomios cubos perfectos ..• ¿Cómo sabremos si un cuatrinomio es cubo perfecto?

12.2- CUATRINOMIO CUBO PERFECTO.Los cuatrinomios que tienen la forma de los que siguen:

8. 8m12 - 1

10. a3b3+ 512

12. (x + y)3 + (a + b)3

14. (m + n)3 + 512 (a + b)3

7. x6 _ y6

9. 8x15 + y6

11. m3n3 - 64 (x + y)3

13. (a + b)3 - (x _ y)3

Factoriza las sumas y diferencias de los cubos siguientes:

l. 27m3 - 8n3 2. (x - y)3 + c33. 8x3 - 1 4. I + 27y3

5. 27m3 - 125 6. 216 + x3

es momentodeREVISAR 33

;1..65

3. 8X3y3+ 12x2y2+ 6~y + 1 4. 1 - 6mn + 12m2n2- 8m3nJS. 27x) + 27x2+ 9x + 1 6. 8albl - 12a2b2c+ 6abc¿ - cl7. (a-b») + j (a-b)2 e + 3 (a-b) c2+ e3 8. 12S + SOx+ 20x2 + 8x39. 8z3-12z2 (x+y) + 6z (x+yj' -(x+y)IO. x3- 12x2y+ 48xy2 - 64y3

2. 8a~- 12a2 + 6a - 11. 8x3+ 12x2+ 6x + 1

Verifica primer si cada uno de los cuatrinomios siguientes es cubo perfecto y si lo es,faetorfzalo. '

es momentodeREVISAR 34

Analiza los ejemplos que siguen:

• 8a3b3+ 2a2b2 + 6ab + I = (2ab + 1)3• x3 + y3+ 3xy (x + y) = x3+ y3+ 3x2y+ 3xy2= (x + y)3

• 8x3- 18x2 + S4x - 27 = (2x - 3)3

Si el cuatrinomio es cubo perfecto entonces es igual alcubo del binomio formado por las raíces cúbicas de losextremos separados por el signo del 2do. término.

FACTORIZACIONDEL

CUATRINOMIO

es un cuatrinomio cubo perfecto.

Factorización de trinomiosde 200. grado

13CAPITULO

_ 167

• Factorizar:" X2 - 5x - 14

Este trinomio resulta de la multiplicación de dos binomios.

• El primer término de cada factor esP= x

• Para los segundos términos de cada factor debemos escoger dos factores de -14 que

multiplicados den -14 y sumados den= S.

FACTORIZARTRINOMIOCUADRATICOx" + bx + e

Para factorizar un trinomio de la forma X2 + bx + e• Se halla la raíz cuadrada del primer término. Esta será elprimer término de cada factor.

* Se hallan dos factores p y q del tercer término e cuyoproducto sea este término y cuya suma sea el coeficientedel segundo término. Esos factores son los segundostérminos de cada factor.

Es decir que:

y

Comparando ambos términos vernos que:

Este trinomio(x+ p)(x+ q)= x' + (p.; q)x+.. q" es de la forma

~.---

La regla de factorización de estos trinomios cuadráticos se obtiene de observar el siguienteproducto de binomios.

Ya hemos estudiado trinomios de segundo grado con la especial condición de ser cuadradosperfectos. Puede darse el caso (que es lo más común) de trinomios cuadráticos (de 2do. grado)que no sean cuadrado perfecto.

Este es el caso, por ejemplo, del trinomio cuadrático:

13.1- FACTORIZACION DE TRINOMIOS DE LA FORMA:X2 + bx + c.

168

e Factorizar:" (a + b)2 + 10 (a + b) - 24

• El primer término de cada factor es y'(a+b)2 = (a+b)• Los segundos términos de cada factor son los factores de -24 que sumados den 10.

m2= 12m + 27 = (m - 9) (m - 3)Entonces: ..

e Factorizar:" m2- 12m + 27

• El primer término de cada factor esR = m• Los segundos términos de cada factor son los factores de 27 que sumados den -12 y

multiplicados den 27.Estos factores son -9 y -3, puesto que: ~

X2 + 12x + 35 = (x + 7) (x + 5)Entonces: ..

Estos factores son 7 y 5, puesto que: ..

Si multiplicas ambos binomios, verificarás que esto es cierto.

Estudia ahora los ejemplos que siguen. Repítelos sin omitir paso alguno para que logresdestreza.

e Factorizar:" X2+ 12x + 35

• El primer término de cada factor es.p-: x• Para hallar los segundos términos de cada factor debemos escoger dos factores de 35

que multiplicados den 35 y sumados den 12.

X2- 5x - 14= (x + 2) (x - 7)Por eso: ..

Entonceslosbinomiosson:" (~

Los factores que debemos escoger son 2 y -7, puesto que:

169

En la sección anterior estudiamos la factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + e cona = 1. Veremos ahora el caso general cuando a ::¡é1 y a::¡é O.

Examinemos las características de un trinomio cuadrático de la forma ax ' + bx + c.

13.2- FACTORIZACION DE TRINOMIOS DE LA FORMA:ax2 + bx + e

b. X2 + 10x + 24d. a2 - 5a - 6f. m2 -13m + 40

h. X2 + 2x = 24j. a2-4ab-2Ib2

1. X2 - IOxy - 200y2

n. (a + b)2 - (a + b) - 2

q. I - (m + 3n) + (m + 3n)2

a. X2 + 8x + 15

c. X2 - 5x - 14e. m2 - m - 6g. a2 - 2a - 15

i. X2 + xy - 12y2k. m2 + mn - 72n2m. X2 + xy - 56y2

p. (x - y)2 + 5 (x - y) + 6

2. Descompón en factores los siguientes trinomios cuadráticos.

b. P = 40, S = -13d. P = -14, S =-5f. P = 22, S = -13h. P=-18, S=3

a. P = 24, S = 10c. P = -6, S = -5e. P = -614, S = 5g. P = 28, S = II

l. Encuentra dos números cuyo producto sea P y cuya suma sea S, en 'cada uno de los casossiguientes.

es momentodeREVISAR 35

(a + b)2 + 10 (a + ~) - 24 = [(a; b) + 12][Za + b) - 2] ').I

~ (a+b.+12)~

Entonces: •

Estos factores son 12 y -2, puesto que

170

Para factorizar un trinomio cuadrático de la formaax2 + bx + e se procede así:• Se hallan dos factores mx y nx, del primer término ax'.• Se hallan dos factores p y q del tercer término c.• Se escogen los factores del primer y tercer término de

modo que al multiplicarlos en cruz y sumarlos den elsegundo término bx.

FACTORIZARUN TRINOMIOCUADRATICO

mn x~+ (np+mq)

mqx +pqmnx2+npx.mx + Pnx + q

(mx + p) (nx + q) = mnx' + (np + mq)x + pe _! 1 1 '-;-sS-~-e-\n-~-nt-om-rm-iO-a....

ax' + bx + e ~----­Comparando ambos trinomios vemos que:

E~;E5);8

Para facilitar el trabajo es conveniente ordenar los trinomios en forma decreciente, o sea,escribiendo primero el término en X2, luego el término en x, y por último el términoindependiente.Ordena los dos últimos trinomios de la lista anterior.Estudiemos la forma de factorizar estos trinomios. La regla de esta factorización se obtiene delsiguiente producto de binomios:

• 2X2 + 6x + 8; a = 2, b = 6, c=8• - 3x2 + 2 - Tx: a = -3, b = -7, c=2,• 5 - 4x2 - Zx: a =-4, b = -2. c=5,

Identifiquemos los coeficientes a, b y e de la forma general del trinomio ax' + bx + e, en lossiguientes trinomios cuadráticos.

• El término de 'grado 2, ax', es el primer término. Sucoeficiente es a :¡I:: O.

• El término de grado 1, bx, es el segundo término. Sucoeficiente es b.

• El término de grado O, e, es el término independiente(tercer término).

TENPRESENTE

QUE

171

De estas combinaciones debemos escoger aquella que, al multiplicar en cruz sus términosy sumarlos; el resultado sea el segundo término del trinomio,

,'.

(5x - 1) (x - 2)(5x z: 2) (x - l)

• Combinamos 5x y x con -1',y -2Estos factores pueden combinarse así:

(Sx 4- 1) (x + 2)(5x + 2) (x + 1)

• Combinamos 5x y x con .J y 2Estos factores pueden combinarse de dos maneras, así:

• Combinamos los factores del primer término con los del tercer término,

¿De cuántas maneras pueden combinarse?

Observa que para facilitarel trabajo escogemoslosfac­tores de este término consigno positivo.

Esta suma esel segundotérmino deltrinomio.

Productos Cruzados

-1 Y -2

1 Y 2• Los factores del tercer término, 2, son:

5x y x

Estudia los ejemplos siguientes:

e Factoriza:. 5x2 + 7x + 2

• Los factores del primer. términoSx/ son:

Primer término del tri­nomio, ax', es igual alproducto de los dos pri­meros términos de cadafactor binomio.

Tercer término del trino­mio, e, es igual al pro­ducto de los dos segundostérminos de cada factorbinomio,

1 (np + mq)x •

mqx

npxmx_ + p. _'->'_ ,-'__ ,-_'_'nx _._. + '_'-q. ->Así:

(5x - 14) (3x + 1); (5x - 2) (3x + 7); (5x - 1) (3x + 14); (5x + 2) (3x - 7)(Sx + 1) Px - 14); (5x + J) (3x - 2); (5x +.14) '(3x - 1); (5x - 7) (3x + 2)

172

• Combinando 5x y 3x con cada pareja de factores de -14 obtenemos:

(15x - 14) (x + 1); (15x - 2)'(x + 7); (15x - 1) (x + 14);. (15x + 2) (x -7)(l5x + 1) (x - 14); (l5x + 7) (x - 2); (15x + i4) (x - 1); (l5x - 7) (x + 2)

Combinemos los factores de 15x2 con los factores de -14.¿Cuántas combinaciones se pueden hacer?• Combinando 15x y x con cada pareja de factores de -14 obtenemos:

__ J -14'Y I; -2 y 7

114 y -1; 2 y -7• Factores de -14

J J5x y x

1 5x y 3x• Factores de 15x2 _ __,~

e Factorizar: _ 15x~- llx - 14

Esta suma es el segundo término deltrinomio, por eso estos binomios sonlos factores del trinomio.

Tercer términodel trinomioPrimer término

del trinomio

:: ~ Productos cruzados7x

5x +......2........... '

x/+'l ....

l~X r Productos cruzados

llx~r--------------- .....Esta 'suma NO es el segundo términodel trinomio, por eso descartamos'estos binomios como factores.

5x + 1..'-/

X" '+'2'"

173

Combinamos los factores de 32x2con los de 81¿Cuántas combinaciones se pueden hacer?• Como cada pareja de factores de 32x2puede combinarse de dos maneras con cada

pareja de factores de 81. las combinaciones posibles son 36.

• Factores de 81: •

Si quieres verificarlo', multiplica ambos binomios y lo verás.

e Factoriza:. 32x2+ 867x + 81

• Factores de 32x2: _

• I5x2 - IIx - 14 = (3x + 2) (5x - 7)'---~'-----~--------~~~~-~~_/Por esto los factores binomios son: (3x + 2) y (5x - 7)

Tercer términodel trinomio

Primer términodel trinomio

1 !88

Productos cruzados-21x llOx r-llx .tÍII,.-----------,

... Esta suma dio el segundo términodel trinomio.

~ Productos cruzados

41,...._.._------.Esta suma NO dio el segundo tér­mino del trinomio.

-6x

35x29x

Recuerda que de estas combinaciones debemos escoger aquella que, al multiplicar en cruzsus términos y sumarlos, el resultado sea el segundo término del trinomio.Veamos dos de estas combinaciones:

174

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente de X2 en la formaindicada, y se divide a su vez por el mismo valor. Luego se

Sin embargo, podemos aprovecharnos de otro procedimiento de mayor sencillez que elanterior, utilizando el conocimiento que tenemos de la factorización de los trinomios cuadrá­ticos que tienen a = l. El método consiste en:

Te habrás podido dar cuenta de que el proceso de factorizar estos trinomios no es económico,pues puede dar lugar a largas secciones de tanteos probando con parejas de factores de ax2 yc.Todo dependerá de cuán grande sea el número de combinaciones posibles. Esto hace pensarque el método no es totalmente provechoso debido a la pérdida de tiempo. Por eso, aprendere­mos el mismo y los usaremos en casos de coeficientes pequeños y de pocos factores, ydejaremos para más adelante el estudio de. factorizar estos trinomios de manera más rápida.Esto lo haremos cuando estudiemos las ecuaciones cuadráticas.

Es decir que: _ 32x2 + 867x + 81 = (32x + 3) (x + 27)

Los binomios factores son entonces: (32x + 3) y (x + 27)

1 Primer, térm,ino JI Tercer términoI del tnnomlO _ del trinomio

32x + 3_<; /

x/-i-.....27-

Como puedes notar hay múltiples parejas de binomios que no son los factores deltrinomio que estamos factorizando.Pero:

Como esta suma NO es el segundo tér­mino del trinomio, descartamos estosfactores

-228x 41Productos cruzados

-12x L-216x r

~----------------------------~

Veamos dos de ellas.

8x - 3_........ // "<,4x - 27_

175

2. 15a2.+ 14a - 84. 18x2+ 9x - 26. 4a2 - 4a - 38. 6m2 + 17m + 12

lO. 6a2x2 + 17axy + 12y212. 8a2 + 14ab - 15b214. 130x2y2+ 2lz2 - 109xyz

1. 4x2 + 8x + 33. 8m2 - 10m + 35. 6x2 + 5x - 47. 4x2 + 16x + 79. 6m2 + 17am + 12a211. 125a2b2 + 135abc + 28c213. 1 + 209m2n2 - 30mnx

Factoriza cada uno de IOS-'sÍgUientestrinomios cuadráticos:

36es momentocleREVISAR

6x2 + 7x + 2 = (3x + 2) (2x + 1)Por eso:

(Z) (3x+l) (J1(2x+l)~(,.n

6(i~+7x+2) ... (6x)2 +7(6x)+12 _ (6x+4') (6:&+3) ..666

Entonces:

6(x2+7x+2)6

Multiplicando y dividiendo por 6:

ti Factoriza:. 6x2 + 7x + 2

2x2 + 3x - 2 = (x + 2) (2x - 1)

_,l'{x+.2)(2x-l)- y

(2x+4) (2x-.1)2-(2X)2+3(2x)-4

2-2(2x2+3x-2)2

.2(2x2 +3x-2)2

e Factoriza:. 2X2+ 3x - 2

Multiplicando y dividiendo por 2: •Entonces:

factoriza como un trinomio de la forma X2+ bx + e y sesimplifica.

176

el mayor número primo conocido hasta hoyes:I 22181_ 1 I

¿Cuándo un número es primo? ¿Cómo se obtienen los primos? ¡Investígalo!

Leibniz (1646-1716).

Pero no creas que los slmbolos algebraicos han sido obra de un solo hombre, ni que se usaron de unavez. Los slmbotos algebraicos tienen cada uno su historia. es decir. su evolución.Fijate en la siguiente secuencia rápida que te traemos la aparición casi definitiva de die, lOS simbolos.1200 El Monje. general de la Orden de los Dominicos. Jordano Nemoraico empleó las letrasp

.1' m para la suma y resta,1460 Johunn Wklmaun invenu] IIJ,\siunos + .r r puru SIIII/U.I' resta. 1,IIs mismosfueron usados

(,I/I/'(' tas ,('(/11I idatle» , 5 + 3, por !l/iXI/e1 Stijc] (J.lHfI-15f17),1631 El gran matemático inglés Wi/liam Oughtred usa x para-la multiplicación y otro compa­

triota del mismo, un cura pueroco, T. Horriot (1560-1621) usó el punto (')para indicar lamisma operación e inventó los signos de orden> y <

1620 El genio francés Renato Descartes yustapone las letras (ax) para indicar multiplicación.1600 Uno de los primeros grandes algebristas europeos Francois Vieta (/540- 1603) crea la raya

del quebrado y con ella la escritura actual de estos números.1657 Rahn .1' .Oughtred inventan el signo ..;-para la división,1557 Ya habla sido introducido por el inglés Roberto Recorde el signo de igual =1629 Girard invento y explicó el uso de los paréntesis y símbolos de agrupación,1526 Rudolffinventá el signo de los radicales: VLa historia de estos y demás símbolos de la "Cabbalavera" es muy larga y a veces oscura, pero fon lapequeña lista anterior entenderás cómo la humanidad ha tenido que crear, afuerza de pensamiento. elpuente que en la ciencia lleva a la verdad: los símbolos.

Godofredo Guillermo Leibniz nacióen Leipzig (Alemania) y ha sido unode los más grandes genios que haconocido la humanidad.Dentro de sus relevantes cualidadescientíficas tenia la de ser un gran, yacertado. creador de slmbolosmatemáticos.Una gran cantidad de simbolos quehoy se usan en la matemática superiorhan sido obra de Leibniz. El estabaconvencido de que lapotencia, lagranutilidad. tanto teórica como práctica.de la Matemática le venía de lo acer­tado de su simbo logia y de las tdcnicasdel uso de las mismas. Por eso decíaque el Algebra, con todo ese derrochede simbolismos y de técnicas operati­vos era una gran cabala. una..Cabbala vera n.

LA MATEMATICA A TRA VES DE SU HISTORIALE 1BNI Z 1646-17 16

"EL ALGEBRA ES UNA CABBALAVERA"

Repaso generalEjercicio- Ta ller

14CAPITU·LO

177

X2~ 12x + 27 = (x - 9) (x - 3) = (9 - x) ·(3 -x) = - (9 - x) (x - 3) = - (x - 9) (3 - x)

Por eso:. ¿POR QUE?X2- 12x + 27 = - (x :- 9) (3 - x)

ó

Pero también pudiera ser que:

X2- ,12x+ 2? = - (9 - x) (x - 3)

(-1) (x - 9) (-J) (x - 3) = (9 - x). (3 - x)

Sabes que, (-1) (-1) = 1 lo que hace que en realidad estemos multiplicando por 1. Así que:

X2- 12x + 27 = (x - 9) (x - 3) = (9 - x) (3 - x)

X2- 12x + 27 = (x - 9) (x - 3),

siempre podremos escribir:, X2- 12x T 27 = (9 - x) (3 - x)

Fíjate que hemos multiplicado por (-1) ambos binomios, así:

• Fíjate que si tenemos:

Escribe las diferentes asociaciones posibles si .las hay.Los tres ejercicios anteriores son típicos en las factorizaciones. Si los has realizado, entoncesentenderás mejor las siguientes explicaciones sobre ellos:

¿De cuántas maneras, diferentes puedes agrupar los términos para factorizar laexpresión:

•

Explica por qué todos los resultados' son iguales:(a - 'b) (a - b) = (b - a) (b - a) = (a.- b)2 = (b - a)2

, a2 ,- 2ab + b2 = (a - b)2a2 - 2ab.+ b2= (b - a)2

• Fíjate en las factorizaciones siguientes:

a2 - 2ab + b2 = (a - b) (a - b)a2 - 2ab + b2= (b - a) (b - a)

ax-+ ay - bx - by = -(b - a) (x + y)Explica el por qué:•

Es tan importante, en toda la matemática, 'a destreza en la manipulación algebraica, quedebemos detenernos un momento para recordarte concretamente algunas cosas importantesde todo lo que has aprendido en esta unidad. Con este fin proponernos una variada colecciónde ejercicios, donde se mezclan los diferentes modos de factorizar expresiones algebraicas.para que junto a tu profesor y a tus compañeros realices un taller sobre la factorización. Deesta práctica dependerá mucho tu habilidad en el futuro para la matemática.

14.1- REPASO GENERAL

178

31. I + (2x + y)2+ 2 (2x + y)

33. I + 4a2b2 - 4ab

32. a2 + 2ab - c2 + b2

34. I - X2- 4y2 - 4xy

36. 6x4 + 25x2y2- 91y235. 64m2 - 4mn + 9n2

30. '12a2 - 7ab + b2

x2a- + xa2-a33

22. 729x;l _ y3

24.: i + 6b2+ 12b4 + 8.b6

26. X2+ 2xy + y2

23. 8x3 + 3x2y + S4xy2 + 27y3

25. 1 - 3a + 3a2 - al

20. (a + b)3 - 1

lO. 49a2 - 16b2

12. (a + b)3 +: 1

14. -36 + 9x2

116. 3~ x:2-0.49y2

18. a3 + a - b3 - b

9. 1 _,y6

11. 49x2 - (y + Z)2

13. 1 - (a - b)3

915. 49 m4n2-x6

17. ac - bc - ad + bd

19. 1728x3-1

6. IOxy2- Sx2y + 4my - 2mx5. 15x2-3mx- ~ x-5ax+am++a

7. x4 - X2

111. 22a5b4x2 -33a4 b3 cy + -2 a3b3cx5-121a2 b3xy

2. 3x'y4 z2-9xSy3za+ ~ x7y-lza+3x4y2z-6x5y4 za2b

3. ~ m3n- 1~ m4tf - : m4n+ ; TIfn4+ 1~ ufnp2- 261 ofn2+ 2; ufnp34. am - an + ax - bn + en + bm - cm + bx - ex

Fíjate que todas estas expresiones algebraicas son equivalentes.

Verifica la respuesta obtenida en esta factorización:4ax2 - 2Say2 - ax" -36ax + ~Ia + IOax2y = -a (x2 + 2x - Sy - 9.) (x2 - 2x - Sy + 9)¿Verdad que se-hace muy dificil conseguir otra agrupación diferente? Ten paciencia ytrata de dato todos los pasos hasta llegar a la respuesta.

EJERCICIO - TALLERRealiza las factorizaciones de las expresiones que van a continuación:

179

42. (a - b)2 - 2 (a - b) (4c - d) + (4e - d):l

43. (a + b)2 - 2 (a + b) (e + d) + (e + d)2

44. 36 (a2 - e2) + 12 (ab2 - cd2) + b4 - d4

45. 2x7y - 12xSy2+ 24x3y3 - 16xy"

46. x" - 1 - y2+ x2y

47. x3 + 8y3 + 3x + 6y

48. x7 + a3x" + X3y2 + a3y2 - 2xSy - 2ajx:l y

49. 24x" - 36x3y + 18x2y2- 3xy3

3 9 950. 8" a3x - 4a2 + 2" ax-3x

38. 24a2 - 35b2 + 2ab

40. x3 + 6x2 + Ilx + 6

37. a2 + b" - x" + 2ab2 - y" + 2x2y:1

39. 4a" + 8a2b2+ 121b"

41. ajO+ b~ - e3 - d3 + 3a2b .; 3e2d + 3ab2 - 3ed2

Estudio de la ecuaciónde .2d'o·. grado

15CAPITU·LO

La ecuación cuadráticaUNIDAD VI

...

PUES S~:_

..En la ecuación cuadrática ax2+ bx + e = O,.aunque by e puedenser cero, a nunca puede' ser cero...

FIJATE QUE:

Como esta ecuación puede escribirse así:5x2+ Ox+ O= O,entonces a=5 b=O c=O

• 15x2+ 16 a = 15 b=O e = 16• 32x2+ 12x = O a = 32 - b = 12 c=O

c=5b =-4a=3• 3x2 - 4x + 5 = O* 5X2= O

••*

El coeficiente del primer término ax2 es a =¡é OEl coeficiente del segundo término bx es bEl tercer término o término independiente es e

Recuerda que el primer término es de grado 2; el segundo, de grado 1;y el tercero, de grado O.Identifiquemos ahora los valores de los coeficientes a, by ede la forma general, en cada una delas ecuaciones cuadráticas siguientes:

Si observamos la ecuación cuadrática ax2+ bx + e = Ocon a =¡é O,te darás cuenta de que estáasociada a un trinomio cuadrático ax' + bx + e con a =¡é O.En ella tenemos que:

La forma general de una ecuación cuadráticaes: ax2+ bx + e = O con a =¡é O

FORMA GENERALDE LA ECUACION

DE SEGUNDO GRADOO CUADRATICA

Estas son ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, porque el término de mayor grado esdegrado 2.

Fijate en todas las ecuaciones siguientes:

15.1- LA ECUACION CUADRATICA. FOR'MA GENERAL.

185

• 5x2 = O ~ es de la forma ax ' = O

• 2x'2 +" 5x = O ~ es de la forma ax' + bx = O

• 3X2 - 10 = O ~ es dé la forma ax? + e = O

Estas son las clases de ecuacionesincompletas de segundo grado .

Fíjate en los ejemplos siguientes:

.' ax2 = O• ax2 + bx = O• ax2 + e = O

Quiere decir que:

Si b = O .Ó e = O ó ambos son cero, entonces tenemos:

Entonces esa ecuación cuadrática es incompleta.

• Ambos

• El término independiente, o

• El segundo término, o

Si una ecuación cuadrática NO tiene:

15.2- ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS.SOLUCIONo

TEN PRESENTE QUE ~Al igual que la ecuación de primer grado, la ecuación de segundogrado es un enunciado abierto y, podo tanto, tiene su correspon­diente conjunto de validez o solución.

Si b -::/el> y e f: eI>, entoncesax ' + bx + e = O

es la ecuación completa de segundo grado.

186

Compara esta regla con el ejercicio l.c del momento de revisar. .. 14.Vamos a resolver la ecuación ax ' + bx = O.Estudia detenidamente cada paso.

REGLA DEL PRODUCTO CERO.Si un producto ·de dos números es cero, entonces uno de losfactores es cero o ambos .son cero.Esto es: si ab = O, entonces a = O ó b = O Ó' ambos son cero.

~---------------------~----------------------------~..,

Para resolver este tipo de ecuaciones además de aplicar las reglas .de transposición detérminos, se necesita aplicar la regla del producto cero.

I ax' + hx = O I.

SOLUCION DE ECUACIONESCUADRATICAS INCOMPLETAS DE LA FORMA:

Sacando raíz cuadrada de ambos términos:

• O _a> x2=0O2

X2.como a =F O, transponiendo:

Las ecuaciones cuadráticas incompletas son sencillas de resolver. Estudia bien cada caso.

(0SOLUCION DE ECUACIONESCUADRATICAS INCOMPLETAS DE LA FORMA:

I ax' O I (Caso Trivial)

~-- -_ - - -~El conjunto de valores de la incógnita que son las soluciones de la Iecuación forman el conjunto solución o validez de la ecuación.

~. j..

Resolver una ecuación es encontrar el conjunto de valo­res que satisfacen la ecuación, es decir: que, sustituida lavariable por ellos, la ecuación se convierte en una identi­dad numérica o enunciado cerrado verdadero. Las solu­ciones también son llamadas raíces de la ecuación.

RESOLVER UNAECUACION ...

RECUERDA QUE:

==> -7 7x= -- =-. -5 5

-5x =-7

7x=-5

x=Oo- 5x + 7 = O . ==>

Elconjunto solución es (, 0."0

3x = O ==> x=OÓx - 2.= O ==> x=2

187

==>-5x + 7 = O

x (-5x + 7) = O •

~BSERVAQUE)

Factorizando:

~ -5x2 + 7x = O

De modo que las soluciones son:

Factorizando: 3x (x - 2) = O •

ESTUDIA los ejemplos siguientes:

~ 3x¿ - 6x = O

..roda ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx = O tienedos raíces: O y _ .!..

a..

s-ro, - :}El conjunto solución es

Observa que hemos nombrado las raíces con los símbolos x¡ (léase x sub-uno), y X2 (léase xsub-dos). Esto es costumbre en Matemática.

yb~ - - ax -O1

Se escriben las soluciones y el conjunto solución.

-b-4-a

.---------1 Estas son las raíces osoluciones.

J x=O

1 :X + b = O ==> x=.•x (ax + b) = O

.. Se saca el factor co~ún x del binomio axl + bxx (ax + b) = O

• Se iguala a cero cada factor aplicando la regla del producto cero.

188

podría ser un número negativo.ea

necesita: que lo estudiemos con muchor=cx= ~ ---;--a-

-ea

cuidado, porque _

Este resultado

•Si transportemos:

@ SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS DE LA FORMA:

GX2 + e = O l

• Ambas ecuaciones son equivalentes• Ambas tienen el mismo conjunto solución o de validez.

-ax2 + bx = Oax2 - hx = O

DE MODO QUE:

- axi + bx = O • -ax' (-1) + bx (-1) = O (-1) • ax2 - bx = O

• Ambas son equivalentes.

y, por lo tanto:

• Ambas ecuaciones tienen, el mismo conjunto solución

Además. observa que:

EN GENERAL:

Debemos hacerte notar que siempre que cesees tener el primer coeficiente positivo puedesmultiplicar todos los términos que componen la igualdad por (-1), como puedes ver en estaecuación.

es el conjunto solución

son las raíces-de la ecuación yLuego

189

En la expresiór ~= J -~, -e indica el opuesto de c.

De acuerdo a esto y según el análisis anterior, para que x= J -~

.Cuando un número x es mayor o igual que cero, es decir, x >0, seafirma que x es no negativo .:

.RECUERDA QUE...

Por esa razón, en este curso de Algebra, suponemos siempre que si tenemos·.F,entonces x es cero o posi.tivo, e.sto es, x ;::::= O. .

~ _ _:_::_;,.r----:--__'"

En tus próximos cursos de matemática verás que fue necesario' crear otrosnúmeros para solucionar estos casos. Mientras tanto diremos. que:

No existe número real quemultiplicado por sí mismosea igual a :-4ParaA . i

La raíz cuadrada de un número real negativo no existe dentro de los númerosreales.

()

2 .. puesto que 2 X 2= 4V4=

-2 .. puesto que (-~) X (-2)·= 4

13 .. puesto que 3 X 3 = 9

V9= ..-3 puesto que (-3) X (-3) = 9

Siempre que tengamos la raíz cuadrada de un número. real positivo, habrá dosvalores: uno positivo y otro negativo como resultado .

()

Estudia lo siguiente:

es el conjunto solución.

son las raíces

Y~

.. B y

~..~

,190 _

Entonces:

Transponiendo:

Como a'y b son números' de distintos sentidos, la ecuacióntiene solución en R.

es el conjunto solución .

son las raícesy

82

.. _2X2 + 8,= O

Y:

Entonces:

2X2 -8=0 ~ 2x2 =8 • x2 =Transponiendo:

Como a es un numero positivo y e un número negativola ecuación tiene solución en R.

..ESTUDIA los ejemplos:

.. 2x2 - 8 = O

r ~Toda.ecuación de segundo grado de la forrnaax! + e=Otiene dos

~ raíces reales, XI ~ ~ x2 =- ~ , siempre que a y e sean

, de distintos sentidos.~ ~

-Pa }El conjunto solución es S = {J -~,

Rx .. --1 a

son las raícesy

En estos caso:

debe ser un número positivo, y para esto debe ocurrirax2+c=0,sea raíz de ea

que e y a sean de distintos sentidos.

191

Observa que estas dos ecuaciones sonecuaciones equivalentes.

X2 - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2)Factorizando el trinomio de segundo grado:

En algunas ocasiones, la ecuación cuadrática completa puede fácilmente ser resuelta usando lafactorización de trinomios cuadráticos. Estudia los ejemplos siguientes:

• X2 - 5x + 6-'= O

15.3- SOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICACOMPLETA· POR FACTORIZACION.

3. 5x2 + 25x = O6. X2 - 9x = O9. -36x2 - 49 = O

2. 4x2 - 49x = O5. 4x2 - 12 = O8. 2x2 + 25 = O

l. 4x2 - X = O4. 9x2 - 16 = O7.~X2 + 16x = O

Escribe el conjunto solución de cada una de las ecuaciones cuadráticas incompletas que van acontinuación:

es momentodeREVISAR 37

• x2--4. x-[=4S-4

_2x2-S • x2...Transponiendo:

Como.a v e son números negativos la ecuaciónno tiene solución real

• -2x2-8 = O

En nuestra álgebra esta ecuación no tienesolución .

Como a y e son números positivos, la ecuaciónno ·tiene solución real.

2x2=:-S .)(2_._ -~ --4. x .. ,R·Transponiendo;

Las raíces son:XI = -2 YDos raíces iguales.

192

El conjunto solución es: _

Igualando a cero cadafactor tenemos:

x + 2 =0. x =-2ó

x + 2 = O • x == -2

X2 + 4x + 4 = O(x + 2)2 = O(x + 2) (x + 2) = O

Factorizando:Obtenemos:

~ X2 + 4x + 4 = O

y el conjunto solución:

• -+ -32x + 3 = O 2x =-3 x=--2

Igualando a cero cada factor'tenemos:

5x - 2 = () • 5x = 2 • 2xc- 5

@Entonces las raíces son: y5

IOx2 + 11x - 6 = O.·(2x + 3) (5x - 2) = O

Factorizando:Obtenemos:

y el conjunto solución es: _._._.~ ~

_. IOx2 + I Ix - 6 = O·

y

x=2

x=3x-3=0 •ó

x-2=( •

G=2)Por lo que las raíces de la ecuación son:

. Igualando a cero cada factor y resolviendo lasecuaciones que 'resultan tenemos:

193

"' 4a'x' + 4abx+ b' = b' -4ac !11V

Sumando en ambos miem­bros de la igualdad b2

1111V

(4a) (ax') + (4a)-(bx) = (4a) (-c)

4a2x2 + 4abx = --4acCV Multiplicando tod~s los tér­

minos de la igualdad por 4a

l' ax2 + bx = -c

1111V

(0 Transponiendo e

Ecuación dadaax2 + bx + e = O, con a #: O, b #: O y e #: O

1111V

Una ecuación general de 2do. grado puede ser muy difícil de resolver usando factorización.Hay una fórmula general que da las raíces de cualquier ecuación cuadrática. Esta fórmulaexpresa las raíces haciendo uso de los coeficientes de la ecuación.Vamos a deducir esta fórmula, pues ya tienes todos los conocimientos necesarios paraentenderla. Sigue paso a paso dicha deducción tratando de entender las razones de losmismos.

15.4- FORMULA GENERAL DE RESOLUCIONDE LA ECUACION DE 2do. GRADO.

(FORMULA DE TARTAGLIA)

3. X2 - 3x + 2 = 'o6. X2 + 6x + 9 = O9. 21x2 - 20x + 4 = O12.3x2+x-2=0

2.' X2 ., 6x + S = O5. 7x2 - 13x ~ 2 = O8. X2 - 17x - 60 = O11. 18x2 - 12x + 2 = O

l. X2 - 1Ix + 18 = O4. X2 - 12x + 35 = O7. 4x2 + 4x + 1 = O10. 6x2 + 12x + 6 = O

Usando la factorización de trinomios cuadráticos, determina el conjunto solución de lassiguientes ecuaciones cuadráticas completas: .

38es momentodeREVISAR

194

._ Más o menos la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado delcoeficiente del segundo término y cuatro veces el producto del coeficientedel primer término por el término independiente.

El opuesto del coeficiente del segundo término .

x ..

Si una ecuación cuadráticaax' + bx + e = O tiene solucio­nes, esas soluciones estándadas por la fórmula:

-b+ ~ b2-4ac2a

-b - 4 b2-4ac2a

y

-b + ~ b2-4ac2a

1111V

x =

2ax = -b ± .Jb2 - 4ac

-Qj; 4 b2 -4ac2a

• I

111111'11V

2ax + b = ± ,jb' - 4ac ]

r (2ax + b)2

11

1111V

En el numerador tenemos:

ANALICEMOS LA FORMULA '.

DE TARTAGLIAPARA RESOLVERUNA ECUACIONCUADRATICA

o Las raíces son:

Transponiendo para despe­jar x

Sacando raíz cuadrada aambos miembros y teniendopresente que las raíces cua­dradas, reales tienen dosvalores: uno positivo y otronegativo.

Como4a2x2+4abx + b2 =(2a +b)2sustituyendo.

195

-1±1130=

I-1+-\;12130

c =-2

-ltJ 1~-4(15)(-2)2(15)

x >=

Aplicando la fórmula de Tartaglia obtenemos:

b = 1,En este caso: a = 15,

Fíjate en este otro ejemplo:

.15x2+x-2=O

Observa que el procedimiento para resolver una ecuación cuadráticausando la fórmula general consiste en:• Identificar los valores a, b y e en la ecuación dada y sustituirlos en la

fórmula general.• Realizar las operaciones para hallar las raíces y escribir el conjunto

solución.

1±52

1till_2 -

De donde:

1±~ 1+24 =2

x =2

e:)(2~!~=)El conjunto solución es: G~~2D

-(-l)±J (-1)2 -4(1) (-6)2(1)x =

Entonces:

a b e

X2 - X - 6 = O

1 f fFíjate que:

• * X2 - X - 6 = O

Doble producto del coeficiente del primer término.

Vamos a estudiar cómo se aplica esta fórmula en los siguientes ejemplos:

2a

En el denominador tenemos:

196

En casi todos los casos ~n que hemos resuelto ecuaciones de ,~do."V~,,:d9;ROS hemos encon­trado conque resultan dos raíces para dichas ecuaciones. Por eso, 'y ..paTa ..ser ordenados,

15.5- NATURALEZA ,DE..LAs RAleES

14. 6x2 - 26x = I

l' .".2 _,,,,~,,:::.a::'1 - O~ t~ ~~.~ ~,¡ ~ ~'",.' '.

'6. 'Si2 - 2x + 30 = O9. X2 - 17:1(+ 72 = O12. :x2 - 13x,+ 42 = O1S. 2x2 - 3x = 9

2. X2 + 12x,+ 3S = OS: X2 ., 7x + S = O '8. X2 + X = S11. X2 - 9x + 14 = O. '"

1. X2 - llx + 10 = ,O4. 2X2 - 8x = 37. X2 -, 14x + 33 = O10. 2x2 - Sx + 2 = O13. 6x2 + 13x + 6 = O

Usa la fórmula general de Tartaglia para encontrar los conjuntos &_QlYci9Q.decada una de las. siguientes ecuaciones cuadráticas:

39es momentodeREVISAR

Como la raíz cuadrada de,un número negativo no tiene solución en,~¡'~qnj"n~o de los númerosre~ ~~imos que esta ecuación NO tiene solución real y,por lo '~~ntq/su"cóilj\lnto soluciónes S = tJ>.

3+~-112

Podemos ver entonces que:

x - -( -3).t4 (-3) -4 (1) (5)'2(1)

e = S, al aplicar la fórmula' de Tartaglia obtenemos:b = -3,Como a = 1,

~ X2 -3x + S = O

El conjunto solución es:

e ,"'IIJ ~ ~Entonces las dos rafees son: -1+11 1 ,~1-.11 -2

xl - - 'le ' ." .."- 30 3' 1 30 ---s-

~.' .- , . <.

197

Es decir, que tenemos una raíz doble:o _-x, :i1j.'. Si b2 -: 4ac > O, es decir, que es un número positivo, entonces.Jb1 - 4ac tiené resultado real, por lo que tendremos dos

rafees reales distintas. .

~Y~~:~• Si b2 - 4ac < O, es decir, que es un número negativo, entoncesJb2 -:- 4ac carece de resultado real, por lo que no existen

raíces reales. ..: : , ... ' . ,(§'~·W·o:~~Ción real) .

Xl •-b-+{} -b.--

-b±O »-> 2a 2ax • 2a

~X2. -b-O -b.-2a 2a

Fíjate en lafórmula general

-b±y b2-4acx • 52ara estudiar l4l5~lÍo'pa . ~

uno de esto'~

OBSER VA cóm'G:j1jtw-cantidad discrimina las rafees de la ecuación:

• Si b2 - 4ac = O, entonces:

Se llama discriminante de una ecuación de 2do. grado o cuadrá­tica' a la expresión:

Esta es la razón para que hagamos la siguiente definición:

nos percatamos que el número y naturaleza de las rafees dependen del valor del radicalJ 'b2 - 4ac.

-b±~ },l -4ac2ax •

Vamos a investigar-cémo resultan estas clases de rafees.Si nos fijamos.en la fórmula general de Tartaglia:

..Toda ecuación de 2do. grado tiene siempre dos rafees o carece desolución en el conjunto de los números reales...

diremos que.ios~.eQ.que resulta unaraíz, en realidad son dos raíces iguales, por lo que lallamaremos una ;al-z dobt«

198

_l2 = ~+ n nmn

* SUMANDO AMBAS RAICES:Debes recordar de tus estudios de aritmética que:Para sumar dos fracciones de denominadores iguales que suman los numera­dores y se pone el mismo denominador. Así:

-b- .Jb2 -4ac2aySean:

Entre las raíces de una ecuación de 2do. grado y sus coeficientes deben existir relaciones,puesto que las raíces son calculadas mediante operaciones sobre los coeficientes.Para encontrar esas relaciones vamos a sumar y a multiplicar dichas raíces, suponiendo quelas mismas son reales y distintas.

15.6- RELACION ENTRE LAS RAICESy LOS COEFICIENTES

= 9 +13 Y x _ 9-13xl 2 2 2

No hay rateesreales

(2)2 - 4(1) (6) = - 20 < O

)

Calculando b2 - 4acobtenemos:

Hay dos raícesreales distintas

(9)2 - 4(1) (-22) = 169 > O

)~------...,

Calculando b2 - 4acobtenemos:

= 5-(-lÓ)2(1)x-

(-10)2 - 4( 1) (25) = O

entonces: )

Hay dos ralcesreales iguales

Calculando b2 - 4acobtenemos:

Los ejemplos siguientes ilustran los tres casos:

b2 - 4ac = O,entonces ax2 + bx + e = Otiene dos raíces reales iguales,b2 - 4ac>O,entonces ax1 + bx +e = Otiene dos raíces reales distintas.b1- 4ac < O, entonces ax' + bx + e = Ono tiene solución real.

DISCRIMINACIONDE LASRAICES

ES DECIR:

199

+ + ea

bxa

ax2a

oa=

ahora que si en la ecuación: ax2 + bx + e= O dividimos todos los términos entrea, así:

FIJATE

e= a

r El producto de las raíces es igual al término indep~ndiente divi-ldido entre el coeficiente del primer término.

Esto quiere decir que:

ea

IPorlotanto)2 J 2· 2 2 2(-b)(b -4ac) = 6 -(6 -4ac)-

)( . -b-~ b2 -4ac2a

b2 _b2 + 4ac

)-b+ ~ b2 -qac

2a(

m x _E. = _!!!P_n q' nq

Recuerda que:Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores; esteproducto es el numerador de la fracción producto, y se multiplican losdenominadores para obtener el denominador del producto. -Asf:

* MULTIPLICANDO AMBAS RAICES.

La suma de las raíces es igual al coeficiente del segundotérmino con sentido cambiado, dividido entre el coeficientedel primer término .

Esto quiere decir que:

r

Xl+-b+~ b2-4ac -b-~ b2-4ac -2b bX2 = = = --2a 2a a

]Xl+ x2=-ba

+-b+Jb2-4ac2a

200

5-TSilas raíces de una ecuación son: 'xl 1-halla la ecuación.

es la ecuación correspondiente.

-(XI + X2) __: -{(":'8) + (-5)] = 13XI • X2 = (-8) (-5) = 4D

Entonees: • ex'~~x::0Como:

XI = - 8 y X2 = -5, encuentra la-. Si las raíces de una ecuación de 2do. grado son:ecuación correspondiente.

La ecuación es: •

-(XI. + X2) = - {lO + (-3)} = - (10 - 3) = - 7XI • X2 = (10) (-3) .. -30

Como:

~ Si las raíces de una ecuación cuadrática son 10 y -3, derivamos la ecuación así:conocen sus raíces.Estudia bien cada ejemplo para que aprendas á ~scribir ecuaciones cuadráticas cuando se

Cuando conocemos las raíces de una ecuación cuadrática, pode­mos escribir la ecuación poniendo la suma de las raíces consentido cambiado como coeficiente de x, y el producto de lasraíces como término independiente.

•

El coeficiente del término en x es igual al opuesto de la suma de las raíces, o sea:-tXI + X2).

El término independiente es igual al producto de las raíces .

•

Esta última expresión hace! ver la ecuación a través de sus raíces. Observa que:• El coeficiente del término en x2 es l.

sustituyendo tenem~ea

y

bEsta es la llamadajorma mánica de la ecuación de 2do. grado. Como á -- (Xl+X2)

[ Obtenemos>

~ot

a. Dos raíces positivas b. Dos raíces reales iguales c. Una' de las raíces sea nula.

3. ¿Cuál es el carácter de las raíces de ax ' + bx + e = O si b2 = 4ac? ¿Por qué?

5. En la ecuación 3X2 - 10x + e =O,determina el valor que debe tener e para que la ecuacióntenga:

._-,:

e.. X2 + 4x + 4 = O. f. 2x2-13x + 15 =0

2. Determina, sin resolver la ecuación, usando sólo el discriminante b2 -4ac, la naturaleza delas raíces de las ecuaciones siguientes:a. X2 + x + 1 = O c. 7x2 + 9x - 10 _':'_Ob. X2 + 2x + 3 = O d. 4x2 - 4x - I = O

2· 2g. X - 3x - 9 = Oh. 18x2 - 9x - 2 = Oi. Xl - 9x + 20

d. 121x2 - 4 = Oe. X2 + 7x + 6 = Of. X2 - 10x + 24 = O

a. X2 .; 2x - 15 = Ob. 5x2 - 22x + 21 = Oc. X2 - 2x = O

l. Calcula en la forma más rápida posible (por factorización o por la fórmula general) lasraíces de las ecuaciones siguientes, y luego verifica que éstas cumplen con la relación:

es momentodeREVISAR 40

En este último ejemplo habrás podido notar que cuando una ecuación tiene coeficientesfraccionarios, se pueden eliminar los denominadores multiplicando por el producto de ellos, yluego simplificando la ecuación al sacar los factores comunes y luego transponiéndolos.

como la ecuación definitiva.

3 (18x.:! + 3x - lü) = O

Transponiendo el 3 y luego de dividir ~ ,obtenemos

54x2 + 9x - 30 = Oy como 3 es factor común de todos los términos de la ecuaciórn

Si multiplicamos todos los términos de la ecuación por 54 (el producto de 6 X 9, losdenominadores), obtenemos:

1 5-x -6 E}Entonces la ecuación será:

255= ( 3 ) (-6 ) = - 9

+ (-g )1 = iComo:

Problemas de 2do. grado

6CAPITULO

13=+ .J 28913+17 5

13+ .J 169-4 (-5) (6) 13+17 »>: =12 2-x = = = =12 12 12 <,13-17 1= - 312

203

Usando la fórmula general:

La ecuación de 2do. grado asociada es: 6X2- 13x - 5 = O

~ Factoriza 6X2- 13x - 5

X2+ 6x - 7 = (x + 7) (x - 1)Entonces: •

y

yLas raícesson:'" GTransponiendo: .. 8

= 1-6± ..{642

=-6:!'J36-4(1)(-7J2

x == -7

-6+82

-6-82

-6+8 =~2 ~

=

Usando la fórmula general hallamos las raíces:

La ecuación de 2do. grado asociada es: X2+ 6x - 7 = O.

Debido a esta asociación, es posible que los trinomios cuadráticos puedan ser factorizadosmediante la resolución de la ecuación de 2do. grado asociada. Esta es la forma más práctica defactorizarlos.Estudia los ejemplos siguientes:

~ Factoriza X2+ 6x - 7

La ecuación:* ax2 + bx + e = O está asociada a ax2 + bx + e

Toda ecuación cuadrática está siempre asociada a uncuadrático.

Como ya sabes:

16.1- FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRATICOS

204

Llamamos x al númeroEl siguiente de x esx + 1Ei düpio del,~~~'~r~~Adél número ,menos 1 es 2x2 - 1 -El cuadradC:)del'siguie-nte de x más 1 es (x + 1)2+ 1

MODELO ALGEBRAICO

H'allar un número entero para el cual él 'dtipl~ d~'su cuadrado menos uno,sea igual al cuadrado de su siguiente más uno.

*

Recordemos que hemos ~esl1e.ltoproblemas cuyo, modelo algebraico es una ecuación deprimer grado. De igual manera hay problemas cuyos modelos son ecuaciones de 2do. grado;por eso las soluciones son elementos del conjunto solución de estas ecuaciones.Vamos a estudiar en esta sección problemas típicos cuyo modelo algebraico es una ecuación de2do. grado. Estudia ante todo, junto a nosotros, los ejemplos que te ponemos a continuación.Ellos te darán ideas de cómo encarar la solución de los mismos.

16.2- PROBLEMAS CUYO MODELO ALGEBRAICOES UNA ECUACION CUADRATICA

,1. X2- X - 2 2. X2+ 3x +-2 3. X2- 3x + 24. IOx2 - 30x -= 8 5. 7x2 - 5lx + 54 6. 15x2+31x-247. 5X2- 22x + 21 8.

2 ,',9. 16x2 - 496x -26x,-.1

10. 9 3 11. 1 2' 1 12. 16x2-x- i-x2_ -x+l -x T 7-112 2: 6

Usa la ecuación cuadrática asociada para factorizár los.siguientes trinomios de 2do. grado:, '

41eS momentodeREVISAR

y por esto podemos escribir: •

3x + 1 = Oy2x - 5 = OPor lo tanto:

Entonces las raíces son: •. 8 y .G3Transponiendo convenientemente: • ~B y ~

.. 205

De un cuadrado de piel se ha cortado una tira de ~~m.de ancho y quedó unárea de 63 cm" ¿CuáLera el lado del cuadrado (le piel? .

•'\\

Luego ambas soluciones del modelo algebraico son, a su vez, soluciones cer problema;.esto es, el número 'puedeser: 3,ó -=-1.

. .....

2x2 - 1 = (x + 1)2 + 1

Para x, = 3 • 2 (3)2 - 1 = (3 + 1)2+ 1 • 17 = 17

Para X2= - 1 .. 2 (-1)2 - 1 = (-1 + 1)2+ 1 • 1 = 1

INTERPRETACION y VERIFICACIONPara determinar cuál o cuáles de los valores del conjunto solución de la ecuación de 2do.grado ~s solución del problema, debemos verificar cada uno de ellos en el modelo:

Las soluciones son: • 9 y

El conjunto solución es: +.

XI = 3X2=-}

==>==>

x-3=Ox+l=O

~ualando a ceroI c;da factor:

(x - 3) (x + 1) = OFactorizando:

2 2' "2x - x - 2x - 1 - 2 = OX2- 2x - 3 = o·

Transponiendo:

2xi - 1 . (x + 1)2+ 1

2x2 -'1 = X2+ 2x,+ 1+ 1

2x2 - 1 = X2+ 2x + 2

Como:

Entonces:

SOLUCION DEL MODELO

Esta ecuación cuadrática es el modelo alge­hraico del problema.

Como el doble delcuadrado del número menos 1es igual al cuadrado del siguiente del número.más 1 resulta:

206

. .,Sobre una pared d.escansa una escalera de 10 m. cuyopie dista de la pared 3 veces la altura de la pared, desdeel piso hasta el punto de apoyo de la escalera menos 6 m.Sabiendo que la longitud limitada en la pared por laescalera es ·un número entero, calculemos las longitudes

\.. de la pared y el piso, limitadas por la escalera.

,x

Habrás observado bien las partes de que consta un problema que se resuelve a través de unmodelo algebraico. Luego de haber modelado y encontrado las posibles soluciones demodelo, hay que interpretar las mismas de acuerdo con la realidad concreta del problemapara luego verificar las soluciones escogidas en dicha interpretación.

INTERPRET ACION y VERIFICACIONAún cuando las soluciones del modelo son 9 y -7 solamente x = 9 puede ser solución delproblema puesto que ningún cuadrado puede tener un lado de -7 cms (¡la interpretación esbien clara por el sentido de los números negativos!).

Luego:8 y B·~lo que dice que el lado del cuadrado de piel es 9cms. ~

De modo que el conjunto solución es:

yLas soluciones del modelo son: •

X =-72==>Xl = 9==>J x-9=0

1x+7=0

8~

Igualando a cero cada factor:

X2 - 2x = 63x2 - 2x - 63 = O

(x - 9) (x + 7) = O

Como:Transponiendo:Factorizando:

2C/m

SOLUClON DEL MODELO

Esta ecuación es el modeloalgebraico del problema.

x!

63ClrY)2 IIIi

Si x es el lado del cuadrado, su área es x2• Area de la tiraquitada (rectángulo) es 2x. Como el área del cuadradomenos el área de la tira es 63cm2, tenemos:

MODELO

207

Verificando se ve que: •

INTERPRETACION y VERIFICACIONSegún las condiciones del problema la solución debe ser en números enteros, por lo que:8m es la altura de la pared limitada por la escalera; 3 (8 -6) = 6, y ém.es la distanciadel pie dela escalera a la pared.

donde las soluciones del modelo son: • ~

~Y

108-5220

~

~

20

108+5220._/_~108+52

20108+ 2704

20=11664-8960108+x =

Usando la fórmula general:

Reduciendo términos semejan­tes y transponiendo.

Como: X2 + (3x - 18)2= 102

Entonces: --........ X2 + 9x2 - 108x + 324 = 100

lOx2 - 108x + 224 = O

SOLUCION DEL MODELO

Este es el modelo alge­braico del problema.Entonces: •

8Recordemos el Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo ABe se tiene que:

a2 + b2 = c2..

(La suma de los cuadrados de los catetos es igualal cuadrado de la hipotenusa).

Sea x la longitud limitada en la pared.

La distancia del pie de la escalera a la pared es 3 (x - 6).

MODELO ALGEBRAICO

,-

" ;'.. ~ .... :;,.,:' ~ .... o"

208

x - 1, x - 2, x - 3Como ves, hay infinitas maneras de escribir tres enteros consecutivos. Escribe por ti­mismo todas las que puedas.

Estudia el siguiente I?..oblema;:

o también así:

Esta es la forma más sencilla de escribirlos, pero también pueden ser escritos así:,x + 3, x + 4, x+ 5

x+2

Cuando estudiábamos los 'problemas que se solucionaban mediante un modelo de primergrado, tuvimos la oportunidad de encontrarnos problemas de números consecutivos. Elinterés de estos problemas radica en que, en cursos más avanzados, aparecerán problemasimportantes de esta clase.Ante todo aprendamos a escribir enteros consecutivos con alguna cualidad determinada.

Escribamos tres, enteros consecutivos:X, x + 1,

16.3- PROBLEMAS CON NUMEROS CONSECUTIVOS

1. Hállense las dimensiones de un campo rectangular cuya área es de 12m2 y cuyo anchotiene un metro menos que el largo.

2. Un rectángulo 'se divide en 80 cuadrados mediante rectas paralelas al ancho y a lalongitud. La longitud tiene en una fila dos cuadrados más que en una fila del ancho.¿Cuántos cuadrados hay en la fila del largo y cuántos en la del ancho?

3. La suma de dos cantidades es 2 y su producto -35. ¿Cuáles son esas dos cantidades?4. Un número positivo multiplicado por si mismo y aumentado en 9 es igual a 25. ¿Cuál es

ese número?5. Halla un número cuyo cuadrado sea igual al cuádruplo del número aumentado en 8.6. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 35 y uno de sus catetos es el otro

aumentado en 10, ¿cuánto vale cada cateto?7. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 686m., y su largo es 12m mayor que el

ancho. A su alrededor hay una avenida de igual área. ¿Cuál es el ancho .íe la avenida?8. Halla los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa esde 45m y cuyo perímetro

es de 108m.9. Determina el lado de un cuadrado si éste mide 5m menos que la diagonal.10. Determina las dimensiones de un rectángulo si su área es de 672m2 y su largo tiene 4m

más que su ancho. ,11. Al dividir 295 por un número se obtiene como cociente el triple del divisor disminuido en

una unidad, y como residuo la misma cantidad del divisor, Calcula el divisor.12. El producto de un número aumentado en 3 por dicho número disminuido en 2 es -4.

¿Cuál es el número?

es momentodeREV/SAR 42

209

usando la fórmula general obtenemos:

X2 - 1;9'_ ~-0-1± ..f8i -1±9' /

- 2 .. 2 '" ,'-1-9 -10 /"':1. Xl - 2 - .--r - \::2J. .

-1 ±~1-4(-20) (1)x .. . 2

Si X2 + x - 20 =O,

Es el modelo alge­bnaieo del problema.•

MODELOSean x y x + 1 dos enteros consecutivos.

Entonces ~ (x + 1) = 20 « ~SOLUCION DEL MODELO:

•Puedes cambiar de modelo todas las veces que quieras y verás que el resultado es el mismo .

La solución del modelo es: 3x=33. 8Luego los tres enteros consecutivos son:

se ve que: 8 + 9 + 10 = 27• Si cambiamos de modelo y escogernos: ,

x - 2, x - 2, x - 3 como los tres números consecutivos, entonces el modelo.1

8, 9,. 10Los tres números consecutivos son:INTERPRETACION y VERIFICACION

SOLUCION DEL MODELOSi 3x+3=27. 3x=24. G

~3x +3 = 27 ~ Esta ecuación. lineal

es el modelo algebraico.Entonces: x + x + 1+ x + 2 = 27 •

MODELOSean x, x + 1, x + 2 los tres enteros consecutivos.

Encontrar tres enteros consecutivos cuya suma sea 27•

210

o también puedes restar tres para obtener el anterior, asíx, x - 3, x - 6, x - 9

x + 6,

Pero, como ya has visto, esas no son las únicas maneras posibles de escribir pares, impares ymúltiplos de tres. En cada caso hay infinitas maneras. Esas son las más sencillas.

x+9x + 3,x,

Si supones que x es múltiplo de 3, los siguientes se suceden cada tres números, es decir,que sumas tres para obtener el siguiente, así:

• Escribe cuatro múltiplos de tres consecutivos.

De igual modo se razona para obtener números impares consecutivos.Si x es impar, los siguientes impares deberán ser x + 2, x + 4, x + 6; otambién x - 2, x - 4, x - 6, etc. Todo depende de cómo supongas elprimer símbolo.

Estas maneras de escribir pares consecutivos siguen un proceso lógico deformación:

l. Se toma una variable y se supone que es el primer par.2. Después de ese primero, los demás se suceden cada dos números, es

decir, sumando dos para obtener el siguiente, o restando dos paraobtener el anterior.

1+3=4 y-8 + 3=-5

Tú puedes seguir cambiando de modelo y ver que los resultados son los mismos.• Escribamos tres números pares consecutivos.

• Si X es el primero, entonces X + 2 y X + 4 son los otros.• Si X + 1 es el primero, entonces X + 3 y X + 5 son los otros.• Si X - l es el primero, entonces X --= 3 y x-S son los otros.

1 + 4 = 5, es decir: 4 y 5.y -8 + 4 = -4, es decir: -5 y -4.

Para x¡ = 1:Para XI = -8:

••

• Si XI = -5, X + I = -5 + I = -4; entonces -5 y -4 son los dos números consecuti-vos, ya que (-5) (-4) = 20

• Si x, = 4, X + l = 4 + I = 5; entonces 4 y 5 son los dos números consecutivos, yaque (4) (5) = 20

• Si cambiáramos de modelo y escogiéramos X + 3 y X + 4 como los números consecutivos,entonces el modelo sería:

(x+3)(x+4)=20 • x2+7x-8=0 cuyas soluciones sertan x.v= l y x2=-8,yde ahí que los números consecutivos sean:

INTERPRETACION y VERIFICACION

211

4n2 + IOn + 8 = 44 + 4n2 + IOn - 36 = O

Solucionando el modelo obtenemos:

es el modelo.•Entonces: '-.. ........

~ 111 (2n + 3)2 - (2n + 1) = 44

Si n es entero2n + 1 es el primer impar2n + 3 es el segundo

• l fórmula general de losEn el problema anteiimpares, así:

Entre 5 y -8 sólo 5 es impar, de modo que según las condiciones del problema x =5 es elprimer impar, y x + 2 = 5 + 2 = 7 es el segundo.

Se ve que 72 - 5 = 49 - 5 = 44.

y

INTERPRETACION y V~RIFICACION

XI = 5

=-3±~9-4 (l) (-40)2x = -3±13

2=-3± f1692

X2 =-8

X2 + 3x - 40 = OX2 + 3x + 4 = 44 ..SOLUCION DEL MODELOSi (x + 2)2 - X = 44 ..

Usando la fórmula general:

Es el modelo algebraicodel problema.Entonces: .. E~;=~ ..

Hallar dos impares consecutivos de modo que la diferencia entre el cuadrado del segundoy el primero sea 44.MODELOSi x es impar, su siguiente es x + 2.

•

• 3n es un múltiplo de 3.• 4n es un múltiplo de 4 etc.

••• Si n es un número entero,

2n es siempre par.2n + l y 2n - l son siempre impares.

De igual modo los múltiplos de cualquier número:

No olvides que disponemos de fórmulas específicas con las que obtenemos númerospares e impares a partir de los números enteros.

212

l. Si 3p es un múltiplo de 3, escribe los tres múltiplos de 3 que le siguen los tres que leanteceden.

2. Si x es entero, ¿qué clase de entero es 2x + 6? ¿Y 2x - 613. Si p + 5 es impar, escribe cuatro impares que le sigan y tres que le antecedan.4. Si p - 7 es impar, escribe tres pares que le sigan.5. Si a + I es múltiplo de cuatro, escribe dos más que le sigan y dos que le antecedan.6. Escribe del modo más sencillo 3 múltiplos de 5 consecutivos. Escríbelos luego de otra

manera diferente.7. Si n esentero, ¿es3n - 3 múltiplo de 31¿Por qué? Usando 3n - 3 escribe4 múltiplos de 3

consecutivos.8. Halla dos enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados-sea 313. Empléense

dos modelos diferentes.9. Halla dos números pares consecutivos, tal que la suma de sus cuadrados sea 884.

Empléense dos modelos diferentes.10. Encuentra tres enteros consecutivos de manera que el cuadrado del primero sea igual al

último aumentado en 18.11. Encuentra dos impares consecutivos, de modo que el cuadrado del segundo menos el

primero sea 14. Emplea 3 modelos diferentes.12. Halla tres enteros consecutivos, de manera que eldoble del primero más elúltimo sea 23.

Construye dos modelos diferentes.13. Encuentra cuatro pares consecutivos, de manera que la 'suma de los cuadrados del

primero y el segundo sea igual al último más 12. Construye dos modelos diferentes.14. Encuentra cuatro impares consecutivos, de modo que el doble del segundo aumentado

con el último sume 25.

43es momentodeREVISAR

2n + I = 2 X 2 + I = 52n + 3 = 2 X 2 + 3 = 7

De donde: 63 yEDComo n debe ser entero, entonces n = 2 y los números son:

-10+268

-10+J676_---"-=-",-- =8=-1o.tJ10~-4(4)(-36)

8n =Entonces

213

+ j _n _~ I_l2 + m3T 4 27

Problema (¿Recuerdas el "Lilavatti" de Bhaskara") Fórmula de CardanoSupón que A = 3 y B = 2. Sea A + B =C.Luego(A+B)(A+B)=C(A+B)==>Al+ 2AB -+:- Be= AC + BCEntonces: Al + AB - AC = - AB - BJ + BC ¿Por qué?Luego: A (A + B -C) = - B (A + B - C) ¿Por qué?:. A = - B ==> A + B = O y de aquí 5 = O¿Dónde está el error? Recuerda la recomendación de Bhaskara.

ax ' + bx ' + ex + d = OEcuación cúbica completa

Reducida a: yl + my + n = O sale

Scipione del Ferro (/465-1526) Otromatemático italiano. que fue secreta­rio de Cardano.Ludovico Ferrari (/522-1565) inventóla formula para resolver la ecuaciónde cuarto grado.Con estos descubrimientos entraba yael A lgebra, de manera consolidada. enel mundo moderno.

Ya han sido superadas lasedades oscuras del medioevo.Se ha iniciado el Renacimiento.y es en Italia donde se desarro­lla con mayor fuerza.Todas las traducciones de grie­gos y árabes se han difundidopor Europa y ya se han publi­cado obras importantes enMatemática. como el "Liberobaci" de Leonardo de Pisa(Fibonacci).

En ese cuadro el A lgebra cae en manos de dos rarospersonajes. pero buenos matemáticos.Nicolás Fontana (/500-1557) alias Tartaglia (Tar­tajoso o tartartudo), nació en Brescia. En 1512quedó tartamudo al ser herido en la boca durantela toma de la ciudad por losfranceses. Siendo muypobre estudió con grandes sacrificios. y llegó a serun gran científico. Jerónimo CardanoJerónimo Cardano (/501-1576) Nace en Pavía. De buena familia. estudia medicina. matemática .l'astrología. Su vida es turbulenta. llena de aventuras y de lances tumultuosos. Fue encarcelado porpublicar el horóscopo de Jesucristo. Se dice que engañó a Tartaglia para robarle la fórmula deresolución de la ecuación cúbica. Finalmente publicó su horóscopo personal donde anunciaba la/echa)' hora de su muerte. De más está decir que tuvo que "ayudar un poco" a las estrellas para que el mismose cumpliera. Fue tenido por farsante)' jugador.En 1545. a pesar de las promesas hechas por Cardano a Tartaglia de no publicar su descubrimiento.aquél publica el primer libro de Algebra Moderna. como la conocemos hoy; el libro se llamaba:

Ars Magna (Arte Grande)Es el gran arte. el arte de resolver las ecuaciones.Hubo entonces una agria disputa y controversia entre Tartagliay Cardano. Pero hoy sabemos quetampoco Tartaglia estaba excento de culpas. pues parece que él había también robado las ideas pararesolver la ecuación cúbica a un oscuro catedrático de la Universidad de Bolonio.

LA MA TEMA TI CA A TRA VES DE SU HISTORIAENTRE UN TARTAMUDO Y UN EMBAUCADOR

EL "ARS MA GNA"

M.C.D. y M.C.M. de polinomiosFracciones algebraicas en Q

17CAPITULO

UNIDAD VIIEl algebra de las

expresiones racionales

217

Por eso diremos que todo factor común es un divisor común, siempre que éste no sea cero.

= SIOa-Sb2a-b= a+b

= a...a-b2a2 -3ab-b22a-b

En este caso, se ve que elfactor común 2a - b divide exactamente a cada uno de los polinomiosdados si 2a - b :¡l: 0, o sea, si 2a :¡i: b

••

2a - b••

• Los factores o divisores de 2a2 - 3ab + b2 son (a - b) y (2a - b)• 2a2 - 3ab + b2 es múltiplo de (a - b) y de (2a - b)

Puede ocurrir que una misma expresión algebraica sea factor de más de un polinomio. Eso nospermitirá hablar de Factores Comunes.FUATE en los siguientes polinomios factorizados:

Todo factor, diferente de cero, de un polinomio factorizable esdivisor de dicho polinomio, y el polinomio es múltiplo de cadauno de sus factores.

•

Cada uno de los factores es diviso; del polinomio .yEl polinomio es múltiplo de cada uno de los factores .

•diremos que:

2a2 - 3ab + b2 = (a - b) (2a - b),

Si un polinomio es factorizable según las técnicas de factorización que hemos aprendido hastaeste momento, como:

17.1- MULTIPLOS y DIVISORES.FACTOR COMUN

218

M.C.D. Máximo Común Factor o Máximo Comón Divisor dedos o más expresiones algebraicas que han sido factoriza­das por las técnicas estudiadas, es el producto de todoslos factores o divisores comunes diferentes de cero.

Este ejemplo nos lleva a definirte el Máximo Común Factor o Máximo Común Divisor(ambas expresiones dicen lo mismo).

• 2a3--3a2 b-ab2 2a3 -3a2 b-ab2:'= 2a2-ab = a(a-b)a(2a-b)

• 6a3+3a2.b-3ab2 6a3+3a2 b-3ah2= 2a2-ab = 3(a+b)a(2a-b)

• lOa2b-Sab2 Sab(2a-b)= = Sba(2a-b) a(2a-b)

Como a y (2a - b) son los factores comunes a todos y, por lo tanto, cada uno de ellos es undivisor común de cada polinomio si a #-Oy 2a #- b, entonces el producto de ambos es tambiénun divisor común a todos como puedes ver:

• 2a3 - 3a2b - ab2 = a (a - b) (2a - b)• 6a3 + 3a2b - 3ab2 = 3a (a + b) (2a -b) -----~• lOa2b - 5ab2 = 5ab (2a - b)

FIJA TE ahora en los siguientes polinomios factorizados:

17.2- MAXIMO COMUN DIVIDOR DE POLINOMIOS(M.C.D.)

Todo factor común a varias expresiones algebraicas es un divisorcomún de cada una de esas expresiones, siempre que no sea cero.

Factor común a dos o más expresiones algebraicas es unaexpresión que es factor de cada una de las expresionesalgebraicas dadas.

219

Seguramente te habrás dado cuenta de la importancia que tiene el saber los métodos defactorización para poder encontrar el M.C.D. de un conjunto de polin rmios. Así mismo esnecesario ese conocimiento para obtener el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

17.3- MINIMO COMUNMULTIPLO DE POLINOMIOS

(M.C.M.)

• 2Los factores comunes son: y y (x - 2); entonces si y =F ° y x =F 2, el M.C.D. debe sery (x - 2)2= yx2 - 4xy + 4y, es decir, que si y =F 0, x =F 2M.C.D. {yx3 - 6yx2 + 12yx - 8y; 2yx2 - 8yx + 8y; yx' - 3yx2+4y}=yx2-4xy + 4y

yx3 - 6yx2 + ]2yx - 8y = y (x - 2)22yx2 - 8yx + 8y = 2y (x - 2)2yx3 - 3yx2 + 4y = y (x - 2)2 (x + l ]

Factorizando:

2yx2 - 8yx + By;

Como el único factor común a ellos es 3a - x, entonces si x =F 3aM.C.D. f9a2 - X2; 9a2 - 6ax + X2; 3az - xz] = 3a - x

Hallar el M.C.D. de:

[yx ' - 6yx2 + 12yx - 8y;

••

9a2 - X2 = (3a + x) (3a - x)9a2 - 6ax + X2= (3a - X)2 -~~===:::::===1~

3az - xz = z (3a - x)

•

Factorizando los elementos de este conjunto:• Hallar el M.C.D. de:

ESTUDIA los ejemplos siguientes:

*Se factorizan completamente las expresiones algebraicas.Se halla el producto de todos los factores o divisores comunesdiferentes de cero. Este producto es el M.C.D.

*

MODO DE HALLAR EL M.C.D.

Para hallar el M.C.D. de varias expresiones algebraicas se procede así:

220

[x ' +' " '} , ,M.C. M. x- + xy y- ~ X' - y' ; x- - xy = x (x - y) (x- + xy + y-)Por eso:

Si elegimos los factores comunes con los mayores exponentes (si los hay), y todos losfactores no comunes, tendremos el M.C.M. de esas expresiones así:

x (x - y) (x~+ xy + y~)

X2+ xy + l = X2+ xy + y2x) - y3 = (x - y) (x2+ xy + y2)x~ - xy = x (x - y)

ESTU OlA el ejemplo que sigue:• Hallar el M.C. M. de: {X2+ xy + y2; x3 - y); X2- xy}

Factorizando cada expresión:

•RECUERDA QUE:Una expresión A es múltiplo de otra Bsi A es divisible entre B.•

5 (m-n)3 _ 5(m-n)~ (Si m,n)= (m-n)25(m-n)3

5 (m-n)

son múltiplos de cada una de las expresiones que son elementos del conjunto dado, esdecir, que los elementos del conjunto dado son factores o divisores de cada una de estasúltimas expresiones, pero la "menor" con respecto al coeficiente 5 y con respecto al factorcomún (m-n) es 5 (m-n)", así que: si m ;:¡i; n será:

M.C.M. {5m - Sn ; mJ - 3m.!n+ 3mn~ - n"} = 5 (m - n)3La menor expresión algebraica que es divisible entre cada una de las expresiones queforman el conjunto dado es 5 (m-n»), como puedes ver realizando las divisionessiguientes:

5 (m - n») I 5 (m - n)s (m - 1)52 (m - n)4 15 (m - n)" (m + n)2 • 52 (m - n)3 etc.

Puedes ver que todas estas expresiones

ESTUDIA los ejemplos siguientes:

• Hallar el M.C.M. de: {5m - 5n; m) - 3m2n + 3mn2 - rr']Factorizando cada elemento de ese conjunto:

La menor expresión algebraica respecto a coeficientes yexponentes que es divisible por un conjunto de expresio­nes dadas se llama Mínimo Común Múltiplo de dichasexpresiones dadas.

221

Factor común a2Facto'tes no comunes5, (a - 1) y (a2 - 5)

• Hallar el M_C.D. yel M.e.M de {a3 - a2; 5a3 - 5a2; a4 - 5a2}Factorizando:

•M.C.D. = 1M.C.M. = (a + b) (a - b) (a2 + ab + b2) = (a + b) (a3 - b3)

•

Observa que tanto a - b como a + b no son factorizables con los métodos estudiados.Entonces se ve que el único factor común a todas esas expresiones es 1, así que:

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)a-b=a-ba+b=a+b

• Hallar el M.C.D. yel M.C.M. de: {a3 - b': a - b; a + b}Factorizando:

Estudia detenidamente cómo hemos calculado, en los ejemplos que siguen, el M.C.D. yelM.e. M., siguiendo las reglas de formación que hemos dado:

• M.C.M. {X2- 25; X2- IOx+ 25; x3 - 125} = (x - 5)~(x + 5) (x~+ 5x + 25)

Entonces:

X2- 25 = (x + 5) (x - 5)X2- IOx+ 25 = (x - 5)2 ~)

x3 - 125 = (x - 5) (x2 + 5x + 25)

• Calcular el M.C.M. de: {X2- 25; X2- IOx + 25; x3 - 125}Factorizando:

Para determina el M. C.M. de un conjunto de expresionesalgebraicas se procede así:• Se factorizan las expresiones algebraicas• Se toman todos los factores comunes -si los hay­

con sus mayores exponentes, y todos los factores nocomunes. El producto de dichos factores es el M.C.M.

Observa que X2+ xy + y2 no es factorizable por los métodos que conoces hasta estemomento.

222

~ que en la tercera no tenemos que hacer ninguna aclaración debido a~ que 2 es diferente de cero.> que todas las variables que estamos usando pueden tomar valores, RECUERDA rac~onales, entre los cuales están los enteros; y que cero es un valor

racional.

Son fracciones algebraicas siempre que en laprimera x ::¡i: O y en la segunda x ::¡i: y.

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expre­siones algebraicas siendo el divisor siempre diferente de cero.

17.4- FRACCIONES ALGEBRAICAS.SIMPLIFICACION.

1. { ~a3x2y; 2; a2x3y2z; 2~a4x2z3}

2. {3x - 6y; X2+ 4y2 - 4xy; X2- 4y2}3. {m2+ 3m2n + 3mn2 + n3; m3 + n3; m + n}4. {Sm - 20; m' - mrr' - 4m2 + 4n2; m2 - 8m + 16}S. {X2- 4; xy2 - 4xy + 4x; x2y + 2xy - 4x - 2x2}6. {X2- 2xy + y2; x3 _ y3; X2_ y2; x3 - 3x2y + 3xy2 _ y3}7. {2 (X-y)3; 3x2 - 3y2; X2- 2xy + y2}8. {a2b2+ ab"; a'b + a3b2; a4 (ab + 2b2) + a3b3}

9. { i a3- t-b3; a2-abj ~ (a'2+ba2+b'2a)}

10. {a (a-2b) + b2; b2 - a2; a3 - b3; a4 - b4}

Hallar el M.C.D. y M.C.M. de cada conjunto de expresiones algebraicas:

es momentocleREVISAR 44

a2

Sa2 (a-l) (a2-S)M.C.D. esM.C.M. esLuego: ~

.L': ..~

(x+3) (x+4)4x+y=4x+yFactorizando el denominador tenemos:

4x-{'Y

* Determina los valores de x para los cuales la fracción no está definida:

Si el denominador no está factorizado, entonces sefactoriza y luego se realiza el mismo trabajoanterior.

@ POR FACTORIZACION

'a - 2 = O ==> a = 2, por esto a ~ 2(a - 2) (a + 2) = O ~ o

~ a + 2 = O ==> a = -2, por esto a ~ -2

Esos valores se pueden obtener escribiendo una ecuación, al igualar a cero el denominador yaplicando la regla del producto cero así:

(a-2) (a+2) es fracción si a ~ 2 y a ~ -23xyPor esa razón

Vemos inmediatamente, por simple inspección, que a = 2 y a = -2, hacen el denominador O

(a-2) (a+2)¿Cuáles valores de la variable@hacenel denominador 01

3xy

Si el denominador de la fracción está factori­zado.

® POR SIMPLE INSPECCION

Usaremos dos técnicas.

Estudiemos ahora cómo calcular los valores de la variable para los cuales no existe unafracción algebraica por el sólo hecho de tener en el denominador una expresión abierta.

NumeradorDenominador

<----<----

x-s

que los nombres de los miembros de una fracciónalgebraica son numerador y denominador.

TAMBIEN RECUERDA

224

ax3 - 6aJ+ 12ax - 8a

Determina los valores para los que la siguiente fracción no existe:

2x - 144

•7x

x5-Sx (Si x5-Sx+O)*

x3+2x2-X+13x+S

*

Ahora ya puedes averiguar esos valores prohibidos en un mayor número de casos, pero debesestar alerta pues aún te quedan muchos otros en los cuales no podrás averiguarlos, y serápreferible que escribas simplemente la expresión que figura en el denominador # O ( ... # O)FUATE en los ejemplos siguientes:

x-s

Puedes ver que la fracción algebraica deja de existir como fracción si x = 3 ó si x = -7,pues en ambos casos el denominador es cero.

Recordarás que en las primeras leccionesde estecurso ya habíamos hablado de la importanciade evitar que eldenominador de una fracción fuera cero, pues en este caso la fracción dejaba deexistir por no estar la división entre cero definida. También te decíamos que había casos en queno podías determinar los valores de la variable para los cuales la fracción dejaba de existir. Teescribíamos entonces:

~

--------------~----

(x+7) (x-3)x2+4x-21x-s...x-S

Si factorizamos el denominador de la fracción, obtenemos:

esta deja de ser fracción algebraica.

determina los valores para los cualesx-sDada la fracción algebraica•

•i E 4x+yLntonce~. __ x_2_+_7_X_+_1_2__ e_s_f_ra_c_c_iO_'n_si_x_#_-_3_,_X_#_-4_--,

Igualando a cero el denominador factorizado y aplicando la regla del producto cero,obtenemos los valores que buscamos:

_____ x + 3 = O ==> x = -3 por eso x # -3(x + 3) (x + 4) = O o

x + 4 = O ==> x = -4 por eso x # -4

225

• Se factorizan, si se pueden, las expresiones algebraicas de que consta elnumerador y el denominador de la fracción.y luegoSe aplica la propiedad cancelativa eliminando los factores comunes alnumerador y al denominador.

•

Así mismo se procede para simplificar fracciones algebraicas.

5448

y8=

Simplificar la fracción 2i48

%x&3x3 =. _.2X2x2x2xZ'

•FUATE en el ejemplo:

Se factoriza el numerador y el denominador de la fracción.y luegoSe cancelan factores comunes al numerador y denominador

El procedimiento para simplificar fracciones es el siguiente:

yLas fracciones 912

Al igual que en Aritmética, para operar con las fracciones nos va a interesar que las mismassean lo más sencillas y simples posibles.

Recuerda que, en vezde trabajar con 1i 'preferimos simplificar la fracción previamentey trabajar con ~.

¿_

x=2la fracción algebraica no existe.==>

a=Oó

(Factorizando el cuatrinomio cubo perfecto)

Vemos que tendremos una fracción algebraica siempre que a #-O Y x#- 2, porque si:

x2-144a(x-2)3=a (X3 -6x2 +12x-8)

X2 -144=

Factorizando el denominador ax' - 6ax2 + 12ax - 8x vemos que a es factor común, losacamos como factor.

226

(Si x '# 3x-2x-l=

Entonces, de las fracciones anteriores el denominador de la primera se hace cero parax = 3 y x = 1; y en la segunda para x = 1.Por lo tanto, escribimos:

~

En este resultado se está afirmando que las frac­ciones son equivalentes, esto es cierto siempreque se excluyan los valores que hacen O(cero) eldenominador de cada fracción. .

x-2x-l=x L5x+ó

x2-4x+3

Aplicamos la propiedad cancelativa ya que elfactor (x - 3) aparece en los dos términos de lafracción.

(x-3}(x-2)(x-3)'(x-l)=x2-5x+6

xl-4x+3

Factoricernos ahora el numerador y el denominador de la fracción para simplificarla.

es fracción si x '# 3 ó x '# Ix2-5x+6x2-4x+3Entonces

X2- 4x + 3 = O ________ x-3=O ==> x=3

( X-3)(X-I)=O~ ox-I=O ==> x=l

¿Para qué valores la fracción algebraica deja de ser fracción?Como ya sabes, para hallar los valores que hacen el denominador O(cero), sólo tenemos queigualar a cero el denominador y luego resolver la ecuación, así:

x2'-5x+6x2-4x+3Simplifica:*

24x3 y4 z32x?y.5z3 aplicando la propiedad cancelativa.3x= ---:--""'""""4yz2

Como ambas expresiones son monomios, sus elementos pueden ser simplificados uno auno, y resulta:

(x+O, y"O, z"O)24~tz32X2y5 z3Simplifica:*

De esta manera la fracción algebraica se simplifica y, por lo tanto, es más sencilla. Algunosautores dicen que la fracción se ha reducido. Nosotros usaremos ambas expresiones.

4. a3'+a2b5. x4-y4 6. 4~ -7_x+1

a2+2ab+b2 x2-2xy+y2 Sx2-3x-2

7. x3-8x-8 8. x3-6x2-6x+1 9. a-bx3+x2-10x-12 x3-2x2-34x+S a3-b3

10. x3-x2y+x~2 11. x2-3x-10 12>. 4sx3+45~ +lOx7x4+7xy 7x2-3Sx 30X2-10x-20

227

3.2 b2a -2.

es momentodeREVISAR 45En cada una de las fracciones siguientes determina los valores que no pueden asumir lasvariables del denominador, luego de factorizar el denominador. Escribe la fracciónsimplificada.

a2-b21. (a-b)2

Observa cómo luego de factorizar el denominador de la fracción es más fácil determinarcuáles valores racionales (en Q) no deben asumir las variables en el denominador.

1 (Donde x :¡i: +l )(x + 1)2

- =. (x + 1)3

_!_1~x+Luego la fracción reducida es:

Obtenemos: x+lx3+3x2+3x+l

, -, .,Observa que x + 2x + I es un cuadrado perfecto y X· + .3x- + 3x + I es un cubo perfecto.Factorizamos los dos términos de la fracción y cancelamos los factores comunes a ambostérminos.

I Entonces) a3_ b3 aJ.·· ab + b2 (Si a :¡!: -b)-a4 _ b4 (a2+ b2)(a+b)

* Simplificar: x2+2x+1 (Si x3 + 3x2 + 3x + .}:¡!: O)x3+3x2+3x+1

Cancelando factores comunes en ambostérminos (a :¡!: b)

Factorizando el numerador y eldenominador

(a-b) (a2 -ab+b2)(a2+b2) (a+b) (a-b)=

... (a-b) (a2 -ab+b2)(82 +b2) (a2 -b2 )

* Simplificar

Operaciones con fraccionesalgebraicas en Q

18CAPITULO

229

Para calcular los numeradores se divide el M.C. M. entre cada denominador y el cociente semultiplica por el numerador correspondiente, así:

I M.C.M.esx(x+ I)(x-l) J

/X2 + X = X (x + l)

Este es el denominadorcomún si:x #= O, x #= 1, x #= -1

X2 - 1 = (x + 1) (x - 1)-,

(Con X2 + x #= O)y(Con X2 #= 1) x - 2

x2+ xFactorizamos los denominadores para hallar el M.C.M. de ellos:

De esta misma manera se procede con fracciones algebraicas.

• Vamos a reducir a un denominador común las fracciones:

•Para reducir fracciones a un denominador común el procedimiento es elsiguiente:

Se toma como denominador común el M.C.M. de los denominadores .El numerador se obtiene multiplicando cada numerador por el cociente dedividir el M.C.M. entre el denominador respectivo.

•

no tiene el mismo denominador; pero si necesitamos convertirlas en dos fracciones equivalen­tes con el mismo denominador, es decir, con un denominador común, ¿Qué debemos hacer?¿Recuerdas la técnica usada en Aritmética para reducir fracciones a un denominador común?

tienen la peculiaridad de tener el mismo denominador.

FU ATE en las dos fracciones siguientes:

18.1- DENOMINADOR COMUN.SUMA y DIFERENCIA DE FRACCIONES.

230

Para sumar y restar fracciones algebraicas necesitamos que las mismas tengan un denomina­dor común.ESTUDIA los ejemplos siguientes:

Puedes fijarte que:

El denominador común es el M.C.M. de los denominadores dados.

Para reducir dos o más fracciones a fraccionescon igual denominador se procede así:1° Calculamos el M.e.M. de los

denominadores.2° Dividimos el M.e.M. entre cada denomi­

nador distinto de cero y multiplicamos elcociente por el numerador correspondien­te.

3° Escribiendo el producto conseguido en elpaso dos como numerador, y el M.e.M.como denominador se tienen las fraccionesdeseadas.

METODOPARA

REDUCIR FRACCIONESA FRACCIONES CONDENOMINADORCOMUN

Las expresiones anteriores pueden ser sintetizadas así:

donde ambas fracciones tienen un denominador común:

De este modo,

~'Y

x(x+l) (x-l)(x-2) (x-l)

x3-x

El denominador de cada unade las fracciones es el M.e. M.=E\

(x-2) (x-l)

x(x+l) (x-l)

Este cociente se multiplica por elnumerador.=0.

\3x(x)=

x(x+l)= =x-2x-2x2+x

x(x+l) (t-l)x(x+l)=M.C.M.

~+x

(x+l) (x-l)= 3x

x(x+l) (x-l)(x+l) (x-l)

M.C.M.x2_ 1

.231

Para sumar fracciones algebraicas las convertimos enfracciones con denominador común, sumamos los nume­radores y dividimos la suma entre el denominador

Fíjate que, al reducir las fracciones a fracciones equivalentes de denominador 'común, el problema se reduce todo a sumar los numeradores y dividir esta sumaentre el denominador común.

Estas fracciones tienenun denominador común

2x++xx+y

-

- 2x2x* X2.':"y2

Ahora podemos escribir:

(:x-i'y) (x-y)Xl-x~i!l-y""

x(x-y)-xx+y*

Entonces reducimos las fracciones al denominador común(x + y) (x - y) = X2 _ y2

vemos que:

• M.C.M. {x + y, X2-ll = (x + y) (x - y) = X2 - y2

=x+y= (x + y) (x - y)

••

Como no hay denominador común debemos calcularlo.Factorizando los denominadores:

3x + 5 + x-l 3x+5+(x-l)... ==x+2 x+2 x+2 x:+2

* Sumar: x + 2x (x'Í'y, x,/:-y)x+y x2_y2

En este ejemplo las fracciones sumandos tienen denominador común y, por lo tanto,basta con sumar los numeradores y dividir esa suma entre el denominador común así:

(Si x =1= -2)x-lx+.2 '+5

x+2+3xx+2Sumar:*

232

Si combinamos sumas y restas de fracciones algebraicas, tendremos sumas algebraicas defracciones. Para efectuar las mismas seguiremos las técnicas que hemos expuesto para la suma

Reduciendo términos semejantes(Si x # 1 y x # -1)

Suprimiendo el paréntesis

numeradoresla resta de los

Sustituyendo cada fracción porsu equivalente de denominadorx~- 1

"

=~

~

...

i +2x-(x+1); -1

; +2x-x-1~-L

=

x+1x2-1

1 x2+2x=x-1 x2-1

Entoncesx2+2xx2-1

Ahora podemos restar. porque ya tenemos las fracciones reducidas a un denominador común.

...(x+l) (x-l)

1-- -x-1x+1y

=de donde:

M.C.M.{x2-1, x-I}=(x+I)(x-I)=x2-1

Factorizando los denominadores para hallar el M.C.M. de los denominadores .• X2 - 1 = (x + 1) (x - 1).x-I =x-l

(Si x # 1 y x # -1)1x-l

.,..RESTAR

-3m-m~2

-3mx-2

Como ambas fracciones tienen un denominador común podemos restar losnumeradores y dividir el resultado entre el denominador común.

As! mismo se hace la sustracción, con la sola diferencia de que, en vez de sumar, se resta.ESTUDIA los ejemplos siguientes:

* RESTAR -3m _ __E!_ S' :¡6 2)x-2 x-2 (1 X

2JJ

• a2 + 7a + 12 = (a + 3)(a + 4)• a2 + 8a + 15 = (a + 3) (a + 5)• a+3=a+3

Factorizamos cada denominador:

y determinar cuáles valores no puede tener@

a+332+1EFECTUAR•

-2y2+2x-y'2 (2x-y)=

-, ';- ..... ".,

2x2-xy_~y2+ 2x-y-2x2+~y2(2x-y)

2(2x-y)2x-y-2i2+xy

2(2x-y)+2y22x2-xy2(2x-y)

...l-x2

y2- +2x-y

x2

y podemos escribir:

2x-y-2x~y2(2.x-y)

(l-x)(.2x-y)=2(2x-y)

l-x-- -2

2(2x-y)2y2

2(2x-y)-y2

2x2-xy2(2x-·y)

..!.... = x(2x-y) =2 2(2x-y)

Reduciendo cada fracción a una fracción de denominador 2 (2x - y) tenemos:

donde se ve que M.C.M. {2, 2x - y}= 2 (2x - y), si 2x =1= y

x2• 4x3-xy2

8x2-2y2 =entonces la suma se reduce a:

Podemos simplificar previamente las fracciones que sean simplificables.

(Si 2x =1= y, 2x =1= - y)EFECTUAR*

y la sustracción. Estudia con nosotros los ejemplos siguientes, repitiéndolos por ti mismo yescribiendo la razón que justifica cada paso.

l. 2; + 3a + sa x 2x + 7x4 12 2.5"- 5 5

3 2 1 4. ~+ .s. z3.3""- a2. + + -a a y z x

5. a+b + a-b 6. a+b a+b--- a3 -b3a-b a+b a-b

234

En cada suma, diferencia o suma algebraica de fracciones algebraicas determina los valoresque las variables no deben tomar para que las fracciones existan luego de factorizar losdenominadores y, finalmente, efectúa las operaciones indicadas:

46es momentodeREVISA

-3a2-24a-47= (a+3) (a+4)(a+s)

a+5+2a+8-3a2 -27a-60= (a+3) (a+4) (a+s)

Entonces~~

1 + 2 3 a+s + 2a+8 3a2+27a+60a2+7a+12 a48a+ls - a+3 = (a+3Xa+4Xa+s) (a+3Xa+4Xa+s) -:--(a+3Xa+4)(a+s)

y por tanto:1 (a+5)

. a2+7Ia+12 = (a+3) (a+4) (a+s)

2 2(a+4) 2a+8a2+8a+ls = =(a+3) (a+4) (a+s) (a+3) (a+4) (a+s)

3 3(a+4) (a+5) 3(a2+ 9a + 20) 3a2+27a+60.= = =a+3 (a+3) (a+4) (a+s) (a+3) (a+4) (a-fs) (a+3) (a+4) (a+s)

M.C.M. {a2 + 7a + 12, a2 + 8a + 15, a + 3} = (a + 3) (a + 4) (a + 5).Sia # -3, a # -4 V a #-5

IEntonces)

235

-a-b

-a ab = -b =

a>Ob>O

Para:

ISi una fracción es negativa, entonces podemos escribirla de las siguientesformas equivalentes:

•

= - a>Ob>O

a-=b

-a-=b

-a-b

a----bPara:

Hay sumas algebraicas de fracciones algebraicas que son más sencillas de realizar, si conoce­mos la manera en que es posible mover de posición los "sentidos" positivos o negativos en lasfracciones.

Ante todo debemos recordar que:

x+c+ x2-(a+b)x+ab18. x+a + x+b

x2-(b+c)x+bc x2-(c+a)x+ca

12. x + y + z 13. 3x + 4x + 5y2_ yz 2 2 x+.4 x+3 x2+7x+12z - zx x - xy

14. 1 J 1 15. x-2 x+2 xa2-(b-c)2 - b2-(c-a)2 - c2-(a-b)2 --+ x2+x - x2+2rl1x

16. a+b + a-b a2-b2 1 x+2 x-1-- + x2-y 17. x+1 + x3+1 - x.1-x+1x-y x+y

Si una fracción es positiva, entonces podernos escribirla de las siguientesformas equivalentes:

•

18.2- SENTIDOS DE LAS FRACCIONES yARTIFICIOS ESPECIALES EN SUMAS.

a2-2ab+b2 8ab3a2+2ab+b2 - (a2 -b2) 2

a2+2ab+b2a2-2ab+b2 -11.

7. a2 a 8. x + y(a-1)2 ---a-1 x2_y2 x3_y3

9. a-b + a+b 2a-b 2a+b(a+b)2 (a-b)? 10. 4a2-2ab+b2 + 4a2+2ab+b2

Observa cómo hemos cambiado el sentido al numerador y al denominador de la últimafracción.Factorizando los denominadores:

• EFECTUAR: x +~ 2y+13y-2

+ 4-9y2Y

x x + 2y+1 x + ~+ -2~-1+ - =3y-2 y 4-9y2 3y-2 y 9y -4

=

-m+3+m+5= (m-2)(m-3)(m+5)

(m-2)(m-3)(m+5)(m-2)(m-3)(m+5)m+5+-(m-3)=

- 1 1(m+5)(m-2) + (m-3)(m-2)=

m2-Sm+66-5m+m2 =10-3m-m21+-11+1

Entonces:

~

•

m2 + 3m - 10 = (m + 5) (ro - 2)

~ M.C.M. = (ro - 2) (m - 3) (m + 5)Si m ::F=2, m::F=3, m:¡i: -5, ¿Por qué?// '------------

m2 - 5m + 6 = (m - 3) (m - 2)

•

Observa cómo hemos cambiado el sentido al numerador y al denominador de la primerafracción y cómo hemos ordenado decreciente mente los denominadores.Factorizando los denominadores:

=6-5m+m2+10-3m-m21+-1

6-5m+m2

1

10-3m-m2

1

1+1EFECTUAR•

Los ejemplos que van a continuación te ilustrarán cómo mover los "sentidos" para hacer mássimples las sumas y diferencias. Estúdialos bien y repítelos.

237

Como los denominadores están factorizados, lo que debemos hacer son los cambios de

--:-- ,.....;1~-:-+ 1 . 1 ,donde a;b;c (lPor qué?)(a-b)(b-c) (c-b)(a-e)T (e-a)(b-a)

* EFECTUAR

El ejemplo anterior es muy "fuerte" algebraicamente, por eso sabemos que debes haberlotrabajado "fuerte". Haz lo mismo con el que sigue.

Si querernos restituir la forma original de la última fracción, cambiamos de nuevo, el sentidoa los dos términos de la fracción, así:

12xx:2+2xx:-4x-2y2-x:y(3y+2) (3y-2)- (y;O, y+- ;,

12xy2+2xx:-4x-2x:2-x:y(3y+2) (3y-2)-

_ 3xy2+2xy+9xy2_4x-2x:2-yy(3y+2) (3y-2)

_ 3xx:2+2xy ~ 9xy2_4x -2x:2 -yy(3y+2)(3y-2) . }'(.3y+2}(3y-2) + y(3y+2)(3y-2)

-2~-19y -4

x +...!_+3y-2 .Y

Ahora sustituyendo cada fracción por su equivalente podemos hallar las sumas:

Reduciendo cada fracción al denominador común y (3y + 2) (3y - 2), obtenemos:

* x xy(3y+2) 3xy2+2xy= =3y-2 y(3y+2) (3y-2) y(3y+2) (3y-2)

x(3y+2) (3y-2) 2 9xj2-4* x x(9y-4)-= ~ -y y(3y+2) (3y-2) y(3y+2) (3y-2) y(3y+2) (3y-2)

* -2!-1 - I(-2x:-1) - -2x:2-x:9y2-4 y(3y+2) (3y-2) y(3y+2) (3y-2)

M.C.M. = y (3y + 2) (3y - 2)Siempre que:

2 2Y :¡é O, s » - "3' y :¡é T

3y-2=3y-2 _

y=y ____....9y2 - 4 = (3y + 2) (3y - 2)

23S

En cada caso determina los valores para los cuales las fracciones no existen (por inspección ofactorizando los denominadores), y luego efectúa las operaciones indicadas:

es momentodeREVISAR 47

___________'Oh'!siempre que a -::¡é -b -::¡é e "

<----Aquí debemos cambiar el-sen-.tido al numerador y al denomi­nador para poder simplificar.2(c-b)

=---:-----,--:~;::__:~--~-(a-b) (b-c) (c-a)

2c-2b=--:--~~::""':7-:"""---:--(a-b) (p-c) (a-c)

= -a+c a-b -b+c(a-b) (b-c) (a-c) + -(a-b) (b-c) (a-c) + -(a-b) (b-c) (a-c)

= ---,-_-c:.:.;a=f:...,.....::..c+..L~::....-...::.b....,.-b.::....+_;c:..,.__-(a-b) (b-c) (a-c)

=

Luego:

_____ 1__ + 1 + 1(a-b) (b-c) (c-b) (a-c) (c-a) (b-a)

* 1 1 a-b= = -(a-b) (b-c) (a-c)(c-b) (a-c) -(b-c) (a-c)

* 1 1 -(b-c) -b+c=- = = -(a-b) (b-c) (a-c)(c-a) (b-a) (a-c) (a-b) -(a-b) (b-c) (a-c)

_--,_1__ == -( a-c) _ _,--~~-~a+-c----=-_:__~-(a-b) (b-c) -(a-b) (b-c) (a-c) -(a-b) (b-c) (a-c)*

l.uego: M.e. M. fea - b) (b - e); (e - b) (a - e); (e - a) (b - aj] =- (a - b) (b - e) (a - e)Ahora reducimos cada fracción a un denominador común.

Explica bien lo que se ha hecho en cada caso.

(a - b) (b - e) = (a - b) (b - e)(e - b) (a - e) = - (b - e) (a - e)(e - a) (b - a) = (a - e) (a - b)

Fíjate que:yy

sentidos necesarios para igualar factores y tener un denominador común sencillo.

2~9'-------'--------------'---------~---------------'

Una fracción algebraica cuyo numerador es de grado mayor que ..el denominador suele ser llamada impropia.+

Produce una forma mixta.

(x:;'-2)Toda forma mixta se obtiene de una fraccióncuyo numerador es de grado mayor que eldenominador. efectuando la división indicadaen la fracción.

(Si a =1= b) es una expresión algebraica mixtaa + b - 3a-2a-b

Una expresión algebraica que es la suma indicada.de unaexpresión no fraccionaria y de otra fraccionaria se diceQue es una forma algebraica mixta.

Hay muchas fracciones algebraicas que, aunque no puedan ser reducidas por simplificación defactores comunes, pueden, sin embargo, expresarse de manera más sencilla en forma mixta.

18.3- EXPRESIONES RACIONALES MIXTAS.

____~2 + 1(n-m)(m-n) (m-n)(m+n)

(a-3) (l-a)3___~1~_ + 2

(a-1) (q-2) (a-2) (3-a)1I.

10. a(a-b)~a-C) +b(b-C)~b-a) + c(c-a)~C-b)

(S-x) (x-y)2 2 3

---::2.........--- + x-7 - 3-xx..-10x+219.

3x4x8. (x-S) (x-y)

7 a + b + e• (x-y) (y-z) (z-x) (y-x) (y-z) (x-z)

lo2 + 1 2. 1 1+x -x x-y y-x

3. 1 1 4. 5 __ 3_+..1.....(x-2) (x-3) 3.x:- '2.:x:r ;-14x+45 x-S 9-~

5. 3 + 2 + 2 6.2x 1 + _2_

(x-2) (x+3) x(3-x) (2-x) (l-x) (x+3) x(x-1) 3-x

240

Explica claramente el por qué de esa última expresión.

Este último resultado también puede escribirse así:

-9ab2+b3a2+2ab+b2

, podemos escribir que:Como Dividendo - C· + RestoDivisor - ociente Divisor

a' + 3a2b - 6ab2 + 2b3

a~ + 2ab + b~a+b-9ab:! + bJ

Dividendo:Divisor:Cociente:Resto:

a2+2ab +11a+b

a2 +3a2 b-6a1:>2+2b3. !-a3 -2a2 b- ab2

a2b-7ab2+2b3-a2b-2ab2- b3

-9ab2+b3

Donde D es dividendo, d es divisor, e cociente y R resto.

• Escribe en forma mixta la fracción a? +3a2 b-6ab2+2b3a2+ 2ab + b2

Desde luego que esto no es más que el enunciado de la regla general de la (:ivisión:

I O = de + R ==> ~ - e + ~ I .

Toda fracción impropia es igual a una forma mixtaque es la suma del cociente más el resto divididoentre el divisor.

ES DECI R QUE:

~

5x3 -7x2 +4x+ 1x+2 5x2 -17x+38 +=

38x +1-38x -76

-75

El cociente: 5x2 - 17x + 38El resto: -75

5x3-7x2+4x+1 1 x+2-5x3-lOx2 ---2----

-17x2+4x+1 5x -17x+3817x2+34x

Si dividimos:

241

...

X2+y2-xy-4x2+y2+4xyx-y

x2±y2_(xy+4x2-y2-4xy)x-y-

-x-y

X2+yl_(y+4x) (x-y)x-y

x-yx2ty2 _

- (y+4x)X2+y2

-y-4x -x-y

(XrfY)y-4x¿ ¿

x + yConvierte en fracción impropia:•

m+n(m;-n)- O

o...(m-n)(m+n)_(m2_n2)m+n

Escribimos:

níJ. -n2m-n - m+n (mrf-n)Convierte en fracción impropia:•

x2_y2+2xyx+y- Si Xrf-y

(x-y)(x+y)+2xyx+yx-y + ~­x+yPodemos escribir:

C · tracción i . + ~ (..J. )onvierte a raccion impropia: x-y + xr-yx y•

Para esto multiplicamos el cociente (la expresión sindenominador) por el divisor, a cuyo resultado sesuma el resto dividiéndolo todo por el divisor.

AFRACCIONIMPROPIA

Desde luego que podemos tomar el camino inverso, y convertir una forma mixta en unafracción algebraica impropia.

242

Tanto estas reglas, como las propiedades de la multiplicación y la división, permaneceninvariantes. .

= ad (b+O, e+O, d;O)be

de

a- -- .b'

ed

'a ,b-·--.......--_,DIVISION

"

e ae-=d hdMULTIPLICACION ==> .: <1

Recordemos las reglas generales de la multiplicación y de la división de fracciones en Q:

18.4- PRODUCTO Y COCIENTE DE FRACCIONESALGEBRAICAS.

x + x+z b. a+b +~a. y-Vz a

a+2b + 4b2 d. a")-ab+b2- b3c. a-2b a+b

x+2y +4y2

f. a2+ab+b2+21)3"

e. x-2y a-b

g. x2+2x~-y2 + x+y h. 1+, 3xyx+y --x.2_y2

. .,"

2. Convierte en fracciones impropias las formas mixtas que van a continuación. Señala losvalores que no deben ser tomados por las variables en cada caso:

a4+ a2b2+ b4g. -a2+ab+1f

e. x2+3xy+y2 d. x3+3x2~3x~2+y3x+y x2+y +2xy

m3+3m2n+4mn2+5n3 f. a2b2+3ab+2e. m (m+2n)+n2 ab+2

a+ba-bb.a.' abx+aby

ab

1. Convierte en forma mixta las fracciones impropias dadas, señalando los valores que nopueden ser tomados por las variables:

es momentodeREV/SAR 48

243

Empezamos por pasar las formas mixtas a fracción impropia.

4 72- a-1 ) (a3+ 3a2+ 8a + 24 + a-3 ) (Si a+1, a"3)Efectúa (a-1

-x--x2

x2+2x-8 • x2- x -12 _ x(X+2) (x-3) • (x+4) (x-2) • (x-4) (x+3)x2-2x-8 x4+x3-12x2 (X+3~(x-2) (x-4) (x+~) x2(x+4) (x-3)

g Á(x+2) (x-3) (x+4) (x-2) (x+3) (x-4)x2(x+3) (x-2) (x-4) (x+2) (x+4) (x-3)

3 . 2 6x -x - xx2+X-6

(Siempre que: X2 + x - 6 -:¡I: O, X2 -'2x - 8::¡1: O, x· + x3 - 12x2::¡1: O)

Factorizamos los términos de cada fracción para así simplificar el producto.

x2+2x-8 x2-x-12x2--2x-8 • x4+X3 -12x2

x3_x2-6xx2+x-6

• EFECTUA

Observa cómo al final aplicamos la propiedad cancelativa y simplificamos el resultado.

• Multiplica a2b 5xy3 3b2 (a;O, b"O, x"O, y"O)• . --2x2y 6ab4 5a

ITendremos:> A!.h. ~x:c ._JQ!. 15a2b3xy3=2x2y 6ab4 =5a 60al b4x2 y

Estudiemos los ejemplos siguientes. No dejes de hacer estos ejemplos por ti mismo:

Luego de multiplicar o dividir dos fracciones algebraicas,debemos aplicar la propiedad cancelativa para reducir el resul­tado a su ·forma más simple.

DEBEMOS RECORDARTE que:

244

(A-b)2(a~(Donde a ~ -b)•

Usando la propiedadcancelativa.

(a - b)2 ._.

Factorizando ymultiplicando(a+b) (a+b) (J-ab+b2)

(a-b)(a+b)(a-b)-

Aplicando la regla de la división, tenemos que:

a-b • a3+ 1i a - b ;f - ~a+b -r- a2- b1 - a + b a3+ b3

EFECTUA•

(a-l __ 4_ ) (a3+ 3a2+8a+24 + ..1.1:._)_ (a+l)(a-3) . a2 (a+l)(a-l)a-l a-3 a-l a-3

e (a+l)(a-3)a2 (a+l)(a-l)(Si a+l,a,3)(a-l)(a-3)

Entonces:

=

a4-a2a-3=

a4_~-72+72a-3-

(a3+3a2+8a+24) (a-3)+72a-3

72---a-3

245

b.a.

2. Realiza las divisiones de las fracciones indicadas a continuación, determinando cuálesvalores hacen el denominador de la fracción dividendo cero y cuáles hacen la fraccióndivisor cero.

a. (2x)2 ~3:i~2 • (4z)2b. i-l e, x+y • x4-y1l

y z x x2+ i x-y 4

r-y2 4x d.x2_y2 3xc. . --x2+y2 x+y x2+y2 3y+.3x

(a-b)2 a3+Di i. x2+2xy+y2 x2-2xy+y2 .~e. a+b a-b x-y x+y x+y

a+b-c a-b+c x+:t-z x-:t+zg. x y a b

x2-5x+6 2 1.{2-11x+30h. x -l1x +28x2-9x+20 2 x2-10x+21x ·-8x+12

i. 6x2+5x+l 8x2+2x-3 10x2-29x+1010x 2-9x+ 2 5+8x-4x2 12x2+13x+3

j. 4x2-25 9x2-4 16x2-112x2+11x+2 8x2+18x-5 6x2-19x+l0

l. Efectúa las multiplicaciones de las fracciones siguientes determinando los valores para loscuales los denominadores deben ser diferentes de cero:

es momentodeREVISAR 49

=

Siguiendo iguales técnicas, tendremos:

2 6 2 12 2 2x - x - x + x - x -x-6 x +x-2 =(x-3) (x+2) (x+2) (x-l)+ =2 4 2 2. 2 x2+ x-12 (x+4) (x-1) (x+4) (x-3)x +3x - x + x - x +3x-4

+0)(Donde x2+3x-4+0 yx2+x-12x2-x,:,,:2-.-Dividir•

a(a+2b)+b2a(a-2b)+b2-.

x2-Sx-6• x2+7x+12

__ 246_

x 43x+2h. x2+Bx+1S

a3+b3+3ab(a+b)f. a3-b3-3ab(a-b)

m2-2mnmn+4n2

m2-4n2d. m2+4mn -.

"

_'

X2+y2_Z2+2x:l • x+y+ze. ..-...z2-xa-y2+2xy y+z_;x

4a3+8a2 . a + 2g. a-3 ó 2 39a - a

1. 6a2-23a+21 ~ 20a2-3a-28a2-10a-3 " 12a2-25a-7

4X2_1 .. 2x2+3x-2j. 6X2+13x+6 2X2-Sx-12

.2x2+2y2x-yc.

Ecuaciones y problemas confracciones algebraicas

19CAPITULO

.', ...

_._._ S = {3}Luego el conjunto de validez de la ecuación es

_._.- x=3Transponiendo queda

X2 - 2x + 1 = X2 - X - 2

x-l x+lx-2 (x-2) (x-l) - x-l (x-2) (x-l)

(x - I)~ = (x + 1) (x - 2)

Entonces multiplicando ambos miem­bros de la ecuación por el M.C.M.tenemos:

• x-2=x-2 y x-l=x-l• de donde M.C.M. {x - 2, x - l} = (x - 2) (x - 1)

Factorizando los denominadores:

x-2 x-l-- -x-l x+lResuelve:•

Para resolver una ecuación en la que entran fraccionesalgebraicas se siguen los pasos siguientes:l. Se multiplican todos los términos de ambos miem­

bros de la ecuación por el M.C. M. de los denomina­dores. Eso eliminará todos los denominadores.

2. Se transponen todos los términos para un solo miem­bro de la igualdad y se resuelve la ecuación.

Cuando se tiene una ecuación con fracciones algebraicas, no hay necesidad de eliminar losvalores de la variable que hacen anular los denominadores de las fracciones que figuran comotérminos en la ecuación. Fsto es así porque la variable tendrá finalmente valores especificosque serán las raíces de la ecuación.

Esta es una ecuacióncon fracciones.

OBSERVA la siguiente ecuación:

19.1- ECUACIONES LINEALES CON FRACCIONESALGEBRAICAS.

Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguientes:

lo x 3 1 1 2. x + 1 1+ - 4 = "4 - -=2 a a 3 4

x+1 3 4. x+1 52. = =2 x-1 3

5. x+1 2x-5 6. a+2 2a-5_o_ = =x-1 2x-7 a-3 2a-10

x-S 3x-17 8.2m-1 1 2

7. x+6 = = - 3m3x-6 2m+1

9. 2x + 9 x+5 7x x+3 1= -5 10 5 25 20 25

249

eS momentodeREVISAR 50

. .

3x (2x - 1) = (2x + 1) (3x - 2), 1éx: - 3x = 6x- - x - 2

~3x-~+x=-2-2x = -2x=1

~3X~= 3~o ,J.,((2x+1)Entonces multiplicando ambos miembros de laecuación por el M.C.M.

Factorizando los denominadoresLuego M.C.M. f2x + 1,3xl = 3x(2x + 1)

2x + 1 = 2x + l Y 3x = 3x

3x-23x=2x-1

2x+1Transformando la forma mixta a impropia

2= 1 - 3x

2x-12.x+1

Encontrar las raíces de•

6l-x=(x+12)(x-l)+35

x-1

x-1 1-x=35 6

~5()

I Convertimos la forma mixta del primer miembro al impropia y tenemos:

Resuelve x+12 +*

Después de verificar en la ecuación estas raíces, el conjuntosolución es

5+J25+24 =4

5+.[49 = 5±74 1;

;¿ :3 x(la) (~ ) -(la) ( 10) = 10("2 )

2x~ - 3 = Sx2x::! - 5x - 3 = o

x2

=3la

=

= 5+7 = 3-4-

5-7 = 1-4- "2

~Xl

~x2

De donde:

x =Aplicando la fórmula general:

Como M.C.M. {S, 10, 2} = 10, multi­plicamos todos los términos de la ecua­ción por la

Resuelve: x5,*

Cuando se presentan ecuaciones cuadráticas con fracciones algebraicas, seguiremos lasmismas técnicas de resolución que hemos usado en la sección anterior para resolver laslineales. Pero ahora debemos chequear los valores de las raíces, pues puede darse el caso deque algunas de ellas no sean soluciones reales de la ecuación dada.Estudia con cuidado los ejemplos siguientes, haciéndolos junto con nosotros:

19.2- ECUACIONES CUADRATICAS CON FRACCIONESALGEBRAICAS

] O. 5x+1 2x+3 11. 2m 3 5m-30 4m+7 m-4 13= 2(x+1) = -5x-1 7 8 16 14 8 16

12. 2x - 3 2 - 1=x-1 x -1

~51

( 2 3 ) [12 x+1 ]x - x x2-3x - x-3

Multiplicando todos lostérminos de la ecuaciónpor el M.C.M. .

CLUegO~elM.C.M. {x' - 3x, x - <~[=~_x (x - 3)-= x23)

Factorizamos los denominadorespara hallar el M.C.M.

x-3 xx+1 3

(x + 5)(x + 6) =O

X2 + II x + 24 + 6 = O

X2 + 11x + 30 = O

X2 + 11x + 24 = -6

-6x-l=x2+11x+24

x-1

6l-x=x2+11x-12+3S'

x-1

12Encuentra las raíces de•

Luego de verificar en la ecuaciónestas raíces el conjunto soluciónes:

-lgualando a cero cadafactor obtenemos lasraíces.

Factorizando

Transponiendo

y multiplicamos ambos miembros por x -1, resulta:

\Y cambiamos los signos de ambos términos de lafracción de la derecha, así:

Realizamos las operaciones indicadas en el numera­dor de la fracción de la izquierda,

1. 1 1 1 2.x2

3(x-S) x6 - x-l -6- - =x-2 2

" 5 1 4. 2x-3 + x-2 1J. 1 = =x x+2 x+S 10

25~

Resuelve las siguientes ecuaciones. Ten cuidado con las soluciones extrañas o aparentes.

es momentodeREV/SAR 51

que es un término de la ecuación. no existe. Por eso x = 3 no puede ser considerada comosolución y el conjunto de validez de la ecuación es(~=§=EID Verifícalo.

En muchas ocasiones a las soluciones como x = 3 en el ejemplo anterior se las llaman"soluciones extrañas" o "soluciones aparentes" de la ecuación.

Al sustituir estos valores en la ecuación original vemos que cuando:

~

Igualando a cero cadafactor .obtenernos:

Multiplicando por (-1) G~30-!i~Factorizand o

Transponiendo

Efectuando las multiolicaciones

153

8x - x - 6x = 24

Q3Y~

M.C.M. {8;4} = 8 Multiplica­mos ambos miembros por 8. 8(x- _.!.) = 8( 3x '+ 3)

8 4

8x - x = 6x + 24

3x + 34

xT=x -SOLUCION DEL MODELO

es el modelo del problemaEntonces: G~l3.........~__. -

~ octava parte del número y 3~ las tres cuartas partes.

• x es el número desconocido

MODELO ALGEBRAICO

Si un número se resta de su octava parte esa diferencia será igual a los tres cuartos delmismo más tres. ¿Cuál.es ese número?

...

Son muchos y muy variados e interesantes los problemas concretos cuyos modelos algebraicosson ecuaciones de ler. ó 2do. grado que contienen fracciones algebraicas.Puedes imaginar, por la experiencia adquirida, la importancia que tiene el resolver el mayornúmero posible de estos problemas con el objeto de desarrollar la habilidad necesaria en lasolución de los mismos.Luego de estudiar los ejemplos siguientes tendrás la oportunidad de ejercitarte con losejercicios propuestos.

19.3- PROBLEMAS CONCRETOS CON FRACCIONESALGEBRAICAS.

.'

5. 5 10(5x+3) x-13 6. 1 1 1x3 = ---xr - -- =x l..:.x 2-x 6

7. 5x-8 7x-4 8.5x2-3x-8 7x2+17x-12= x2-1 -x-l x+2 x2+5x+6

9. __JL _ 2. 2-x 10. 4x 13 3- ._-- =x-2 2 -x x 2

10 5x 12. 2 + 13 x11. --:= - X x+2 x2-4 = x-2x-2 x-2

254

que es una proposición verdadera.

33-3 = 33+3 =:::> 6=65 6

Si 33 es el número de pacientes en ambas consultas, entonces debe ser:

30( x-3 ) = 30( x+3)5 6

6 (x - 3) = 5 (x + 3)6x - 18 = 5x + 156x-5x = 15 + 18

(3y§

[ M.C.M. (5, 6) = 30 ]

es el modelo algebraico

INTERPRETACION y VERIFICACION

Multiplicando por 30

x-3 x+3-=5 6

SOLUCION DEL MODELO

x+36=x-3

1)Luego:

x+3 es un sexto del número de pacientes más 3.6•

x-3 es un quinto del número de pacientes menos 35•

x es el número de pacientes.•MODELO ALGEBRAICO

Si 24 es el número, entonces su octava parte es 24 = 38

S ' 3 18us tres cuartas partes seran 24x 1;=

$ .24 - 3 = 18 + 3 ósea 21 = 21

* Un quinto del número de pacientes menos tres de una consulta médica es igual a un sextodel mismo número de pacientes aumentados en tres en otra consulta. ¿Cuál debe ser esenúmero de pacientes?

INTERPRET ACION y VERIFICACION

255

==>

==>_______ to - 6 = O

~ to+I=O

4 = t/ - 6to + to - 2

De donde: (to - 6) (to + 1) = O

Obtenemos:

to2-8to+12

(t!~2 + t;-6 ) (1:0 -6) (t.:> -2.)

. (to-6) (to-2) ..,4

Luego multiplicamos ambosmiembros por el M.C. M. asi:

De donde M.C.M. {t/ - 8to + 12, i, - 2, to - 6} = {(to - 6) (to - 2)}

t/ - 8to + 12 = (t, - 6) (to - 2)to - 2 = to - 2

to- 61to- -- +to-2

es el modelo algebraico

Factorizando los denominadores

tol-8to+124

SOLUCION DEL MODELO

Entonces:

es el recíproco de to disminuido en 61

es el instante to sobre él menos dostoto-2

es 4 veces el recíproco del espacio recorrido en un tiempo to4

MODELO ALGEBRAICO

• La ley de los espacios seguida por un móvil es y= t2 - 8t + 12. Cuatro veces el recíprocodel espacio recorrido en un tiempo to es igual a dicho instante sobre él menos dos, más elrecíproco de dicho tiempo disminuido en seis. ¿Cuál es el valor de to?

_ 256 __.

l. En la sala de un Hospital hay 40 enfermos. ¿Cuántos había hace tres meses si el númerode enfermos ingresados representa la mitad y el de dados de alta la tercera parte delnúmero entonces existente?

2. Se ha repartido una cantidad de dinero entre 8 personas, y se sabe que si se hubieraañadido $2.00 y repartido entre 11 personas, les hubiera correspondido a cada una dospesos menos que en el primer caso. Calcula la suma repartida y lo que ha tocado a cadapersona.

3. Miguel tiene en dinero el equivalente a las tres cuartas partes de lo que tiene Jesús. Si éstele diera $4.00 al primero, ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene cada uno?

4. La mitad de un número, más su cuarta parte, más su octava parte, más su dieciseisavaparte es 120. ¿Cuál es el número?

5. Hallar tres números consecutivos tales que un séptimo del primero, más un quinto delsegundo, más un octavo del tercero sea igual a la mitad del primero.

6. Dos veces una cantidad menos uno por el recíproco del doble de esa cantidad más uno esigual a la unidad disminuida en los dos tercios del recíproco de dicha cantidad. Calcula lacantidad.

7. Cuatro veces la edad de José más uno por el recíproco de la misma es igual a dicha edadmenos 8 sobre dicha edad disminuida en 28. ¿Cuál es la edad de José?

8. Don Fernando vende un bolígrafo en $24.00 perdiendo un por ciento sobre el costo delbolígrafo igual al número de pesos de lo que le costó el bolígrafo. ¿Cuánto le costó elbolígrafo?

9. Manuela compró unas cajas de galletas por $240.00. Si hubiera comprado 3 cajas máspor el mismo dinero, cada caja le habría costado cuatro pesos menos. ¿Cuántas cajascompró y a qué precio?

10. Un número más 7 se divide entre el mismo número menos siete y el cociente es 15.¿Cuáles el número?

Encontrar las soluciones de los problemas siguientes:

es momentodeREVISAR 52

INTERPRETACION y VERIFICACIONLa única solución aportada por el modelo algebraico es to =-1; pero esta solución es imposiblepara el problema concreto puesto que no existe el tiempo negativo. Eso quiere decir que nues­tro problema concreto no tiene solución alguna.

1to-6

Las raíces son r, = 6; to = -l. Pero i, = 6 es una raíz extraña, pueses una fracción del modelo y no existe para ese valor.

Por eso el conjunto solución del modelo es 8

257

2x~ - 5ax = 2ax - 5a22x2 - 5ax - 2ax + 5a2 = O

2x~ - 7ax + 5a2 = O

Si no estuvieras seguro de este modo de razonar, puedes proceder algebrai­camente así:

• I

Hemos obtenido las dos raices posibles de la ecuación por vía delrazonamiento:

5ax= -2-==>2x - 5a = O

Pero si 2x - 5a fuera cero, entonces:

Fíjate que. como te hemos dicho, la solución es una expresión abierta. donde a puede tenercualquier valor real.• Resuelve: x (2x - 5a) = a (2x - 5a)

Fíjate bien que podemos cancelar el factor 2x - 5a en ambos miembros siempre que ésteno sea cero (porque no se puede dividir entre cero). En ese caso nos quedax=a

a~ - 3ax = O

El conjunto solución es

Transponiendo

(a + x) (a - x) = (3a - x) xResuelve:•

Este tipo de ecuaciones es muy corriente en las ciencias. En Física suelen aparecer con muchaprofusión. donde los resultados pedidos deben ser generales. es decir, deben ser expresionesalgebraicas abiertas.Si recordamos que las constantes se representan con las primeras letras del alfabeto y lasvariables e incógnitas con las últimas letras, tendremos que los resultados de las ecuacionesliterales tendrán la variable despejada expresada con números y las primeras letras delalfabeto.

Vamos a estudiar los ejemplos siguientes:

19.4- ECUACIONES LITERALES

258

Resuelve cada una de las ecuaciones que siguen teniendo cuidado de determinar los valoresque no deben ser asumidos por variables o constantes literales en los 'denominadores.

1. ax + 1= ax + 7 2. 2a2bx - e = 2b2cx - a3. 2ax + a = ax + b 4. 4mnpx - np = 4npx + 1

es momentodeREVISAR 53

=

(b2 - a2)x = ab (b - a)

ab(b-a)(b+a) (b-a)

ab(b-a)bZ-a2

X ::z

Podemos multiplicar en cruz, ya que eso equivale a transponer los denomi­nadores y obtenemos:

(x - a) (2x - b)2 = (x - b) (2x - a)2(x - a) (4x2 - 4xb + b2) = (x - b) (4x2 - 4ax + a2)

4x3 - 4bx2 + b2x - 4ax2 + 4abx - ?b2 = 4x3 - 4ax2 + a2x - 4bx2 + 4abx - a2b

K- ~+ b2x - ~ + 4;Hfx - K'+ ~ - a'!x +~- ~= ab' - a1b

x-a (2x-a)2-- =x-b (2x-b)2

Resuelve: x-a = ( 2x-a }2x-b 2x-b

[ Tendremos)

*

dez es ~ donde G) es cualquier número real.

de donde el conjunto de vali-yLuego

7a-3a--4-- = a

5a2=7a+3a

4______.. xl =7a+3a

4~

= M__jR-4 -7a~ J49a2-4(2) (5a2)

1+x =

259

,.

x-a _x=---..::,.b_---+-b a+ x2+a2-eax

x-ax2+2ax+a2

a+x18.

ID

a-xa-dx=a+dx16.15. bx(x+a) - 3{x+a)

m+nx a

17.-1-- b

12. (x+a) (x-b) - .,¡.+abe14. abx2 = (2a+b) x-2

11. ax(x+c) - b(ax-e)13. (x+a)2 - x(x-b)

3x.-b2x-a-6x+a

4x+b10.y+a ..1::E.. e-by- y - b - +b e b9.

6. (x + a) (x + b) = - x (b - x)a+b b-a

8. x+2 = x-a

5. 2x - a2 = x + a2e b

7. a(x+l) - e (1-x)

Operaciones con radicales

20 ..CAPITULO

UNIDAD VIIIEl Algebra sobre R

263

Por eso diremos que ahora estudiaremos el Algebra, sobre todo el conjunto R de los númerosreales. Pero, en lugar de operar con la expresión decimal de los números irracionales, vamos ahacerlo con su forma radical.

son números irraciones, de modo que las expresiones decimales de los mismos contieneninfinitas cifras decimales no periódicas.En este capítulo vamos a estudiar las expresiones algebraicas que contienen raíces, ya sean:

* Números racionaleso

* Números irracionales

Vi ~20.75«rr

V4 Vó.3J7 if8

NUMEROS0" ~.COMO ...

lf3 ~!2.J2f

*

.. Todas las raíces que no son exactas son números irracionales.El conjunto R de los números reales está formado por la unión de los conjuntos Q(racionales) e I (irracionales), esto es, R = Q u. 1.Siempre tenemos que elegir (j) (o cualquier otra expresión subradical) de modoque tenga valor numérico mayor o igual que cero. . '.

*porqueW=2

*

DEBES R-ECORDAR QUE:

* En \IP= an se llama índice de la raízp se llama radicando o cantidad radicala ' se llama raíz, y el símboloV se llama radicalUna raíz es exacta cuando el radicando es una potencia de la raíz de exponente igual alíndice.

En todo lo que llevamos de camino en este curso hemos usado, sin mucha explicación, lasexpresiones irracionales.Lo hemos hecho por que tú ya conocías los números irracionales y la operación de radicación.

20.1- EXPRESIONES ALGEB~AICAS IRRACIONALES.

264

= 17+•

• ' (2. 3)2 5 = 2:!5 • 3~ 5

•

•

Expresa, con tus palabras, cada una de las propiedades de los exponentes. No dejes deescribirlas en tu cuaderno.Indica, sobre la raya de la derecha la propiedad de los exponentes que se ha aplicado en cadauno de los ejercicios siguientes:

RE,CUERDA QU~, (m y n racionales, positivos)

1. am.an .. am+D 2. am (a;O)-- = am-n'fiJPROPIEDAOES 3. (am)D. amn 4. aO =1 (a"O)

DE LOSEXPONENTES 5 .\ Gab)M .. ambM 6.

a m alll(b"O)'(-b) =-

blll

7. 1 a-1 1-. 8. -a a-n (~"O)a an-

La radicación es una operación inversa de la potenciación. Esto hace que entre ellas siempreexistan estrechas relaciones que son de gran interés .para el cálculo.Recordemos entonces las más importantes propiedades de las potencias de exponentesracionales como paso previo al estudio de los radicales.

20.2- P,ROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.

"',Una expresión algebraica que contiene números irracionales,como los radicales, es una expresión algebraica irracional.

~ ~

es una expresiónalgebraica irracional..j7X + 3xy - W

Una expresiónalgebraica como

265

~=amn

•Así que:gg .¡;= a' m etc.

El teorema que sigue es esta misma propiedad, pero con un paso más adelante. Fijate bien.

_ TEOREMA 2 Si a es un número real y n entero positivo (n E Z+),entonces si m esracional

según la propiedad transitiva

Pero como x = va, como supusimos, entonces

.y

... ·¡.Por qué?

.... ---- ¿Por qué?1 1(xn)ñ '!= (a)ñ

i = iD .ñ a ñx

Entonces

DEMOSTRACIONSupongamos que x es un número real tal que:

x = Va. entonces por definición de la radicación x"= a

*= a1m

Si a es un número real y n entero positivo (n E Z+, Z+significa "Conjunto de los enteros positivos'),entonces:

11 TEOREMA 1

Ahora podemos probar dos propiedades más de los exponentes que serán de gran utilidad enel manejo de las expresiones irracionales. Las veremos como dos nuevos Teoremas.

32! 3-1 2

• - 2!~ - 2312~

• 1 o

(2) .- 1

2 2• (2)5 2~- --r3

3~

266

Fíjate bien que el denominador es elÍndice de] radical y el numerador elexponente del radicando.

a/~

J oda potencia de exponente traceionario se.puede escribir comoun radical. .

y recíprocamente:

Toda expresión radical puede ser escrita como una potencia deexponentes fraccionarios.

./lr-;;, ~ 111 11·va;· - a_lIr I uVa . él

De los Teoremas anteriores concluimos que:

vQ = m~7

Como te decíamos, este último Teorema fue un paso más adelante que el anterior. Por esopodemos escribir:

•Por la propiedad transitiva .a/1/II=W

Pero como x =.tif8!ñ, entonces

...¿Por qué?11. 1// _ amo In

X -

¿Por qué?de donde:

Entonces debe ser: Por definición de radicación

x=~

DEMOSTRACIONSigamos iguales orientaciones a las seguidas en la prueba del Teorema 1 yasumamos que x es un número real tal que:

267

Te pedirnos ahora que realices el mismo trabajo con cada una de las otras relaciones delcuadro.Si ya estudiaste el cuadro, te darás cuenta de que los exponentes fracciona ~ios son muy útilespara trabajar con radicales.Las relaciones 2 y 3 nos dicen que:

?•.¿

(Propiedad distributiva de la poten­ciación respecto al producto .

= al 11 • bl"

~Teorema 1) 1~ = (a' b)11I

Te ayudaremos en su estudio.Veamos la relación 2Fíjate cómo pasamos de una forma a otra.

•

ro ~

1. &=~¡;t=a <-> (aI "t = al". 11= (a") I 11= a

2. ~ =.¡if;.4b ,_ <, (ab)11I= al 11 • b1"<, ,

3. ~ =.::.IárJb (b =¡6 O) <-> (a/b)11I = alll/blll (b =¡6 O)

4. .q;;:m;= a'" <-> (a'?") I 11= a"lll. 111= a'"

5. a\[b=~ <-> abl" = (a"b)1 11

6. ~ «: <-> (aI ") I m = aI mil

Estudia bien el cuadro que sigue, para que te familiarices con las importantes relaciones quehay entre los exponentes fraccionarios y las raíces que te presentarnos con una flecha doble«-», porque son proposiciones equivalentes:

20.3- PROPIEDADES DE LOS RADICALES

En general:

(INCORRECTO Iperov'26- 16= y'25 - y'l6 = 5 - 4 = 1

CORRECTOv'25 - 16= V9 = 3

En general:

'ftc;~~~~<INCORRECTO Ipero

v'16+9 = v16+V9= 4+3 = 7

CORRECTO..j25 = 5yl6 + 9

CONTRAEJEM PLO

Hasta con que encontremos un ejemplo donde no se cumpla la distributividad, para que estapropiedad no exista. Es lo que llamamos una "prueba por contraejemplo". Estúdialos acontinuación:

La radicación NO es distributiva respecto a lasuma ni respecto a la resta.

• J47"9=J4·J9=2X3=6=.J36

2Q=..l§ "_§_"3- 94 4 2

Esta propiedad no ocurre con la suma ni con la resta. Es importante que recuerdes:1

r ~La radicación es distributiva respecto a la multiplicación y res­pecto a la división.

~ ~

Por ejemplo:

Simplificando los exponentes Jfraccionarios. .,

<Por los Teore~as 1 y 2 j

Expresando el radicandoen potencias de exponen­tes divisibles entre elíndice.

Aplicando la propiedaddistributiva de la radica­ción respecto al cociente.

= :i 53,a6 b:9a#x9y12z1S

3 9 1Sr 6= ar br aT

9 12 15x3 y3 z3

5a2 b 3. r;:= x3y4 z

~69

_ :d125a7 'Ó9- ~x9y12z15

Observa que, en el lado derecho, justificamos cada paso que damos al simplificar esteradical.

(x;'O, y"O, z"o)•

Es decir, que:

Simplificando los exponen­tes fraccionarios.

< Por el Teorema 2

Por la propiedad distribu­tiva de la radicación res­pecto al producto.

Debemos descomponer cada factor de modo que los exponentes resultantes sean divisi­bles entre dos (índice de la raíz) así:

V2S6a4bsc' = V28a4b4ébc

(b > "O y e > O; ¿por qué?)Simplificar•

Estamos ahora en capacidad de simplificar radicales y expresarlos de la manera más simpleposible usando todas esas propiedades. Estudia junto con nosotros los ejemplos siguientes. Nodejes de repetirlos en tu cuaderno.

20.4- SIM'PLIFICACION DE RADICALES.

270

b.fia.H2. Simplifica los radicales que van a continuación:

b. ab = ifa)n .Mtd. a1b": 1anbc.~Y=~

l. Usando los Teoremas- l: y 2 explica por qué cada un~ de los siguientes resultados escorrecto:

es momento'deREV/SAR 54

< ¿Q~ése hizo ~n ~ste paso?:]

¡,Qué se hizo en este paso?••J

< ¿Qué se..hizo en este paso? ]

< ¿Qué se hizo en este paso? Iy así tendremos:

J ~al2bB = ~a12b15

llamada raíz de una raíz

Fíjate en el cuadro anterior, sobre las Propiedades de los Radicales, y contesta lasiguiente pregunta:¿Qué propiedad aplicarías para simplificar esta -expresión?Claro que aplicarías la propiedad:

(b > 0, ¿por qué")Simplificar

Es decir. que:

* Elevamos el coeficiente a un expo­nente igual al índice de la raíz.y

* El resultado lo colocamos comofactor del radicando.

Para introducir un coeficiente, numé­rico o literal, en un radical se procedeasí:

271

A esto es a 10 que Ilamamos"il7lroducir en un radica' "un elemento cualquicra(coeficicntc).

I! a~ =,¿;;¡,

En a'vfb el número 0 que- está fuera del radical se llama coeficiente.Entre las propiedades de los radicales que te hemos enseñado en la sección anterior está lasiguiente:

20.5- INTRODUCCION EN RADICALES.

a.~ b. j7aIT c.1 Ja1Ob2O

d. #2a3Ob31 e. J JX8y16z r. -<fif'Fg.~ h.~~

3. Simplificar de modo que resulte una expresión simple.

(y+-2x)\/ (x+2y)2s . (y+2x)6

'v. 25a4j . : 49x8y16 (X:fO,ylO)

'\j27a3b6.C (x:fO,ylO, zlO)lo ~25x3y~zI2

n. -\j4a2b2 (miO)16m~

q. (a+b) 2 (a+b)(a-b)2

d.~

272

(-a) • (-a) = (-a)2= a > O(-a) • (-a) • (-a) = (-a)3= -a3< O

Q) Si -a <O

Q) a < O (a es un número real positivo)Cualquier potencia de entero positivo n de a esun número real positivo.

SIOBSERVAQUE)

Para comprender "los" sentidos positivos o.negativos en los radicales, es de mucho interés. recordar las reglas de los sentidos en el producto y su aplicación en la potenciación.

20;6- SENTIDOS DE LOS RADICALES.

Observa que la técnica de "introducir dentro de una radical" es inversa a la de simplificar unradical. ¡ ... .

5xy'2 .,_¡-::3ab'3 'V. xIntroducir en el radical•

2x2ylJ3xyz = J(2X2y3)2 (3xyz)

= Vl2xSy7z

Procederemos así:

• Introducir el coeficiente en el radical: 2x2y"V3xyz

3ab2-.t;b =~ (3ab2i ab

=V/27a3b6 (ab)

=@Hacemos:

Estudia los ejemplos siguientes:

... Introducir el coeficiente en el radical: 3ab2~

* La raíz de índice par de un número real negativo sabemosque no tiene resultado real.

4fi = 3 b) positivo tiene un resultado positivo.

Toda raíz de índice impar de un n~mero reala) negativo tiene un resultado negativo,

*

• Toda raíz de índice par de un número real positivo tienedos raíces: una positiva y otra negativa.

, . ~ .

.r-:ñ =-3

Los ejemplos anteriores ilustran las siguientes propiedades de la 'radicación:

'F ~'.: ' ..;..'NO tiene resultado real

-2 ... porque (-2)7 = -128

- 2 ... porque (-2)6 = 64

2 ~.. porque

-3 ... porque (-3)3 = -27

-3 ... porque (-3t = 81--- '__ ,_.

3 ... porque 34 = 81

Recíprocamente tendremos

• (-3)4= (-3) -3) (-3) (-3) = 81• (-3)3 = (-3) -3) (-3) - -27• (-2)6 = - 64• (-2)7 = = -128

4-128 =

.f--27 =

rsi=

Fíjate que:

La potencia de exponente par de un número negativo espositiva.La potencia de exponente impar de' un número negativo esnegativa.

*

*

274

. Un término que contiene un radical lo llamamos términoirracional.

Dos o más términos con radicalesson semejantes SI los radicales atienen:l. Igual Índice

y2. Igual cantidad subradical

Las tres- tienen la car~cterística común de tener J3x de factor.

(x > O)

FU ~ T~ en.las expresiones siguientes:

20.7-' TERMINOS IRRACIONALES SEMEJANTES

e. .;J-243xI5y21

f. J12a5b13

b. J4a6b3e. ·.¿l-216a5b12

a. f/-8a6bd. -~16x'7y20z

3. Simplifica los radicales que-van a continuación:. . . . .

2. Obtén los valores de las potencias indicadas en cada caso:a. (-5)3 b. (-8)2 c. 53d. (-7)4 e. (-2)5 f. (-3ab)3g.: (qX/)2 h. (-4a2b)6 1. .(-2x2i)5

a. 2abVb b. 5x2y4¡y;. c. -3xy·~

U. ab2c3~ e. (a+b)h f. (a-b)Y/ (a-b)-3xy ~ (a~O, b~O) 2a2b ~g. 2ab xy h. - 5 3 (x~O "~O)-xy , JI

i. /a+b(a~b) j •

a .¡2ab(x~O, y~O)a-b -~xy

k. e (a~O, b~O) lo Gb .(x~O, y~O)ab -3i2y

l. En los ejercicios siguientes introduce, dentro del radical, los factores que estén fuera de él:

55e

Pasando a radicales

~ = 2. y 1 =2.3 1."> 5 15-

1 5 1 3"T b 15a3 = a15 Y b =

! ¡ ¡, 1.ra zyar y 4b W

275

r y siendo: M.C.M. P,51 = 15,

no tienen' Índice común

Necesitarnos saber entonces cómo transformar radicales con índice diferente a radicalescon índice común. aún cuando éstos no sean semejantes (SI ocurriera que llegan a ser seme­jantes tendremos la situación óptima).

En muchos problemas con expresiones algebraicas irracionales se requerirá que en las mismaslos radicales tengan un índice común.

20.8- REDUCCIO.N DE RADICALESA UN INDICE COMUN.

En caso de x = 4, entonces 5Vx = 5';:;:-: 10A pesar de esos casos posibles, seguiremos nombrando a 5VX como un"término irracional". La razón de esta persistencia la conocerás en tuscursos de matemática avanzada

¡CUIDADO!Una expresión algebraica como 5Vxla hemos llamado "término irracio­nal': pero como x es una variable que puede tomar cualquier valor real (enR) puede ocurrir que el resultado sea un valor racional en algún problemaconcreto.

• son tres términos irracionales semejantes.Por eso:

<¡IMPORTANTE! 1276

Si te fijas bien, te darás cuenta de que:La transformación de radicales a radicales equivalentes con índice común se basa en lapropiedad siguiente, que ya conocíamos:

Estos tres radicalestiene un mismo índice.

1 14 3 30 3 4 5X5 70 r: "10 . (3 4) 1 ( X y) 70= X Y = Y x y 14 =o Pasamos a radicales las potencias de exponentes fraccionarios con denominador

común:

1 5y-=14 703 30=7 70

1 145" = 70'

M.C.M. {5, 7, 14}= 70entonces

• Transforma a común Índice los radicales: if;,Vamos a hacerlo siguiendo la regla anterior:o Expresamos cada radical como una potencia de exponente fraccionario:

rx= x' 5 R= / 7 ~ = (X"y4)1 14

® Reducimos los exponentes fraccionarios a fracciones equivalentes de un denomina­dor común:

Se convierten los radicales a poten­cias de exponentes fraccionarios.Se transforman los quebrados delos exponentes a quebrados condenominador común.Se escriben con radicales las poten­cias de exponentes fraccionarioscon denominador oornún.

RADICALES. ACOMUN INDICE

Como ves, es muy sencillo transformar radicales en otros equivalentes que tengan índice co­mún.

tiene índice común 15[ Dondese ve.que)

277

ifi6a'+fia+6a. * Sumar

:r' .- ,

Si tienes que sumar varios radicales. que no,parecen semejantes, debes sacar fuera del radicalcuantos factores se puedan. Si obtienes radicales semejantes, lospuedes sumar; de lo contrario,deja la suma indicada.

FU ATE en el siguiente ejemplo:

• 3~+ 9V'5- 4..r5-v'5' = 715• avx+ bVx - c$ , ,= (ar+ b'- c)$ (x>O)• -27-Ya=b- 3fu +~13"¡;:; , =·~17~ (a > b)• 3ya- 7Vb +4va- 2yb + 5va- Ji) = 12$- IOVb (a>O,b>O)

Estudia los ejemplos que van a continuación:

La suma de dos o más radicales semejantes es otro radical seme­jante cuyo coeficiente es la suma de los coeficiente.

Observa cómo se sacó $x factor común y se sumaron algebraicamente los coeficientes. Enrealidad no hay necesidad de hacer esto, sino que pueden sumarse los coeficientes ycolocar alresultado el radical común.

,Con términos irracionales pueden realizarse sumas algebraicas como en el ejemplo que sigue:

J3x + gy'3X - 5$x = (1+ S- 5)Fx =4Fx

20.9- SUMA ALGEBRAICA DE RADICALES.,

2. {if;!, ~, ~}4. {.Ji: fi: 14:Fs}6. {rx;, fu, ~

1. {Ji:jb, !.RJ3. {~a+b,.¡;;:b, J;b}5. {rx+y, ~ $y}

Transforma cada conjunto de radicales dados en otro de radicales equivalentes pero de índicecomún.

es momentodeREVISAR 56

Esta propiedad nos dice que podernos multiplicar el índice y el exponente del radicando por unmismo número. .: .

278

* MUltipiicar:js..60 '60* Multiplicar: 5-14· 6.(2 = 30rs

'Estudia los ejemplos:

Para multiplicar o dividir radicales, éstos deben tener un índicecomún o transformarse en radicales equivalentes con índicecomún.

FlJATE que:

Ya sabemos que:

Ahora tendremos ocasión de usar los radicales con índice comunes.\

-,\

20 10- MULTIPLICACION y DIVISION DE EXPRESIONES\ ALGEBRAICAS IRRACIONALES.

1. _:'32v'ab+ VXY + 20'ab - \!iY '2. $-7.J5+ 3$- V53. 8«5+7~-rs-~ , 4. 4ra+b' +,f a+ b - 7da + b '5.-712b+6a +,106- 46 , 6~f(x - y)2,-.t(X - y)3 + 6.f(x _ y)2

7. 5V9x + 7~ r: 3y'25X + 4~ + I,Oy'100x8. 3V8+ 2ffi+ 7.¡so - '6y'T62,+' 9y'9.8'+ 7if24f9. ~ +t54 +~ -fus+1-250 ' ,10.132+ 2fuz + 3fsl2+ 5~ - 1/2\Y'2m

Realiza las sumas algebraicas con exponentes algebraicas irracionales siempre que éstas seanposibles.

es momento ".deREVISAR 57

-fua+6+/54a=~ +~+/27 (2a)

= 260 +6a + 3~

=6i2a

Simplificamos

los radicales

179 .-

~'---------~------------~---------------------~~.

Fíjate que hemos colocado los términos con radicales iguales uno debajodel otro para sumarlosalgebraicamente.,

O también:

Observa -que todos los radica­les tienen índice común. Por .eso podernos escribir:

En la multiplicación de expresiones radicales de dos o más términos se aplican las reglas de lamultipl~cación algebraica y la del producto de dos radical~s.Estudia los ejemplos que siguen. No dejes de repetirlos en- tu cuaderno.

• Multiplic~r . (3V2- 50) . '60 '

Para multiplicar dos radicales que tie­nen un 'índi~e común, se procede así: '

* Se multiplican los coeficientesSe multiplican los' radicandos 'Colo­cando el ·producto bajo el signoradical común.

280

-e¿Por qué?

6Y9Yf2~

= ~,,3T9?2 V 3Y

2~ =6~ +

Dividir:•

Como tienen índice común podemos poner:

fl + .if: - D_' = if2aª .., rar:

FU ATE bien en los ejemplos:

• G+% (a'=F O)

Estudiaremos ahora la división de radicales.

(.Jf- 4~) . 8~ = ~ - 4fi> .8#0Por eso:

fi'= 31 ~ = 31~ .ler =~V2: 21 ~ ='i' ,w =fi-17= 71,\ =7111 111 =fi'

Siendo M.C.M. {2, 5, 3} = 30, entonces

Como los radicales notienen índice comúndebemos transformar­los a radicales que ten­gan un índice común.

Para multiplicar radicales de diferente índice, primero se transforman a radicales de un índicecomún y luego se multiplican.

• Multiplica (y3- 4..y2) . 8.f7

11~ + 2'(8; - 77b; - 14~

Como todos los radicales tienen índice común no hay que transformarlos, y tenemos:

11'9'6+ 2~

. ~ - 7vJS;

281

18«18y 18

-18~O

_ 33 ~51s x1s yls+18 ~

33~ 15 x1s yls

2~10Xs l- 11~6~

~~18 \1x -- s"

M.C.M. t,3, 2. 51 = 30

V2x2/ = ~210x20y20.,¡s;:y =.zy' 515X 15/'5"

<R7 =~.

JXY =~

(x #= O, y #= O)

12{i ~4V25 - 2V13 =~

_ 6f)110 x 20y 20

~s 15 1533 x y +~1O 20 206 x y -

Luego:

Como los índices son diferen­tes debemos transformar los. radicales, sabiendo que:

Dividir•

8..[50 - 4[26-8.J56

-41264ff6

o(6-Y2x2y2 - 33v'5XY+ 18ffl> -:- 3v'XY

Como no hay que reducir a común índice disponemos la división en la forma algebraicausual:

Dividir•

En la división de expresiones radicales de más de dos términos se aplican las reglas de ladivisión algebraica y la del cociente de dos radicales.Estudia y realiza junto a nosotros cada uno de los ejemplos que van a continuación:

Para dividir dos radicales que tienen elmismo índice se procede así:

o Se dividen los coeficientes

o Se dividen los radicandos colo­cando el cociente bajo el signoradical común.

COCIENTEDEDOS

2X.2

Estas son fracciones algebraicas con expresiones irracionales.Para ti !'lodebe ser una sorpresa que te .digarnos quees más sencillo dividir entre un númeroracional que entr.e 'un irraccional.. Por esa sencillez, se prefiere que el divisor de, una fracciónsólo ten,g'a 'cantidades racionales; Hace' falta, 'pues) que .aprendamos a transformar una'fracción algebraica, con irracionales en el denominador, en otra equivalente que sólo tengacantidades racionales en el denominador.

Hay fracciones algebraicas que contienen expresiones irracionales como radicales:

20.11- RACIONALIZACION DE DENOMINADORES.

2. Efectúa cada una' de las divisiones propuestas:

a. V'63 -7:fib. ffb7fu (a:l= O" b # O) .

c. (9f24.+ 6fsl- 3fu2) + 3-13.d. (56.J)OX - 84y'i'OX + 1OO~) ,'7 4~ (x '~' O)

e. (18y'5.- 2014) 7,2..[2, f. (abc~ + a'2bcMc - ab2'c~) 7'J abc (a:l= O, b:l= O, c:l= O)

g. [(a + b) J:,...¡ h (ti h :Va2 - b2 + aby'Tb' + ab2] 7 Va + b (a e= -b)

h. (4yJ5 + 16v'35 -10v'3Q + 12)50) 7 2V5

i. (6.J'IT + 5V22 - 7V66 + 8V44) 7 v'Ttj. (141(a:! - b2) + 4V'a2 + 2ab + b2 - 10J'a2 - 2ab - 3b2) 7 -2V'a + b (a :1= b)

b. ("':50+ 40~'J5) . 6.)5, d. (6.0+ 3~' . .if;y "r. (J ~, .Jx), (5 :- Fx'J.h. (~Vx+nVY'_ 4yZ) (mVx - nVY>j. (..JX.«;-Vz> (~-.if;i

, '

a, (2J3+ 3.ji) (2$-, 3J2)c. &Tx -\(60 .fxY ' .e: (v'8x + ffy) (y8x - ffy)g. (a + .2Jb") (3a --:-4y'b)

i. '(~- 3Jy) (2x + 7VY) ,

es mom,entodeREVISAR 58.·.·'. . .

{3x x 16; 76 = -2--•'------ ~

(al-b)

3x.fG = _x_.f6_6.~..!~6- 2

3x .J6= V6' V'b=• 3xV6

Aplicando la regla anterior tenemos:

3x7b;

• Racionalizar

2 {xVx'Vx

numerador y denominador, es decir, por la unidad ....

se multiplica por la fracción formada con dicho radical en el

2'IX (xIO)Si se tiene un radical en el denominador ...

, , '

Este método distingue varios casos posibles, pero para nuestras presentes necesidades bastaque estudiemos los dos casos más sencillos. Los restantes los estudiarás en los cursos másadelantados.

Racionalizar el denominar de l

una fracción algebraica estransformarla en otra equiva­lente sin radicales en eldenominador.

Al métouo que acabamos de emplear en el ejemplo anterior es al que se llama "racionalizaciónde denominadores ".

r vi = " 2~ -1~,._ J

Donde * es la unidad,por eso podemos decir que:

~ .JX 2Vx 2rxL.

-r: .'IX

_. - -V x-----'"

2.' .Si Yx donde x > O(un número real positivo), fíjate en lo que pasa si:

J Luego podemos escribir que: 2 2 (1- ..Ja)i-vs =

l- '\; 1-a2

• Racionalizar ab (a>O, b~O y alb) .\/a-'lt -Entonces: ab ab • C~+~ = abCVA+J¡)= va-VbVa-Vb (~+b) a + 6

284

(1+va)2(1- Va)1- a2

2(1-\[a) =12 -a2(l-ra) =(1- Va)

22 =1+'</aEntonces:

l+Va (a O)2Racionalizar•Repite entonces los siguientes ejemplos para racionalizar denominadores:

(x - 1) y (1 + x)

(a + b) y (a - b)

Dos binomios son conjugados si sólose diferencian en el signo del segundotérmino. .

En la técnica anterior se habla de "binomios conjugados"

Si el denominador de una fracción algebraica está formado por un bino­mio que contiene algún radical, entonces multiplicaremos por una frac­ción cuyo numerador y denominador sea el "binomio conjugado" delbinomio del denominador.Esa operación se repetirá hasta hacer desaparecer los radicales.

= (a-b){a+b

a2-b2= va+'5•

10. x+y~ (x-y.'Y>O)x-y y V y

ll. 1Va+" a:l+2ah+b2

2- rss--rz9.

x3. ?X (x> O)1 3 2. 4..¡x l+n

4. a2-b2 (a-bo O) 5. 3'Ia-b 2..rL

7. 2+fi8.

23- \fi 7-3 \í!"

Racionaliza cada una de las fracciones algebraicas que van a continuación:

es mO"'e"~Qd~.REVISAR59

= ah C-Ja+.[b)a+h

r ahI -rs- \lb~-------------------~Luego:

~ J

286

Tu puedes verificar que si n es un número natural entonces I + 2 + 3 + 4 + ...... + n= n (n: 1)

fS ,;\ suma de los 1'\ primeros números, El problema de Gauss es un caso particular d.e esta fórmula,

(;Seró esto siempre así? ¡Verificalo!Entonces hay 50 parejas que suman 101

¡Es decir que: 50 X 101 = 5050.'

1+ 100 = 101r2 +. 99 = 1013 + 98 = 1014 + 97 = 101-._._._._

Observa¿Cómo. descuhrió'Gau,H la sumade los lOO primeros números?

I

II1l\

En 179ft GOII.U se doctora en la "nÍl'('rsidó" cié Heln;sted y en su tesis doctoral demuestra el:Teorema Fundamental del Algebra:Toda ecuación polinómica p(x) = o tiene al menos una raízEn 1801 publica Sil gran obra "Disguisiüonis arit meticae ", donde ha dicho:

"La Matenuitica es la reina de las Cienciasy la A ritméticaes la reina de la Matemática"

Imparte docencia en la Universidad efe Gotuiga y dirige el Observatorio Astronómico, teniendo elliderazgo matemático el'! 100la Europo.. . .' ' ."Comparado-con los grandes matemdticos, Gauss-se impone COI7 SÚ talento universaly la calidad de suscontribuciones científicas. Por ello lúe llamado "Princeps Matematicorum' (Príncipe de los,Maternáticos). ''Gauss/ue un hombre/río, poco comunicativov muy solitario. Murió durante el sueño la noche del]3de Febrero de 1855, ----'

"(Gauss) es la cima imponente que domina a todoslos maté mdticos del siglo XVI JI.".

La obra cll' f :'/lI,U (',\ ((/1/ impresio­nante qtu: 1/1 ,decir III gran niatemd­IÍI'O alcuuin ,'(;Ii.\'Klein (/849-/925)

El IO.H'O r huraño profesor ha pedido a sus niños de primergrad« sumar todos los números del/al lOO, En menos de tresminutos UI/ diminuto niño de 8 años se presenta ante aquelprofesory le muestra su pizarra: ha terminado; la suma es 5050,'/:~Hahistoria es verídica, Aquel terrible profesor dulcificá surostro .r dejá impresa en la memoria del pequeño genio lagratitud de la comprensián. Fueron desde entonces grandesamigos,Carlos Federico Gauss nade) en Gotinga (Alemania) el 30de abril de /777, Su madre,mur inteligente pero muy

pero n1l \' pobre, era domestica en ('asa dé' familia, ,1' su padre un I

pobre y oseo jardinero,l.a iil/" ,-;ióllal1lcinteligencia del niño , .r tuego del jovencito,GOl/SS lo!{/'{;atraer- la atencián de las clases pudientes. consiguióque 1'1 Duque Carlos Guillermo lo ayudara a realizar SI/S estudiosyle {l1II/JUrar(/siempre ('11 .1'11.1' necesidades econámicas.A los /1} años Gaus» ('('11'1>1'(;,\11 cumpleaños con el descubrimientoele la constr-u-cto» del poligon» de 17 ladas. Desde entonces deci-di(; dedicar« '1 III Mmenuitira. Gau88

r-----L-A-:; ;;M:;;~-;~-:;;;D~E~S-U-H'-I-S-T-O-R-I-A----'li "UN PRINCIPE DE LA MATEMATICA"

CARLOS FEDERICO GAUSS (1777-1855)