OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

Trazado de curvas; maximizar y minimizar Concavidad puntos de inflexión uso de derivadas Graficadores: GRAPHMATICA, MATHLAB, etc.OptimizaciónDefiniciónMáximos y mínimos de una función con aplicación de derivadas.

Ejercicios:

1.- Se dispone de 320m. de cerca para encerrar un campo rectangular.¿Cómo debe usarse la cerca para el área encerrada sea lo más grande posible?

Datos:Cerca: 320 m. (perímetro)Terreno: rectangular

Aa

b

Área= base × altura1.- Área = ab

Perímetro = a+b+a+bPerímetro = 2 a+2 b 320 = 2 a+2 b2.- 160 = a+ba = 160 – b

Reemplazamos en la primera ecuación del área

A = (160 – b) b

A = ƒ(b)

A = 160 b – b2 GRAFICAR

Derivamos la función del área A` = 160 – 2 bA``= -2Igualamos la primera derivada a 0

A`= 0160 -2 b = 0160 = 2 b 160/2 = bb = 80m.

Si A´´ < 0 Є M A´´ > 0 Є mComo A´´ = - 2 < 0 → A Є M

Reemplazo a = 160 – 80 = 80 a = 80m.b = 80m.

GRAFICO

A B0 0

4800 405500 506000 606300 706400 806300 90600 100

40 50 60 70 80 90 100

GRAFICAR

3000

4000

5000

6000

a

b

1000

2000

A= 160b-b²

2.- Un terreno rectangular va a cercarse y dividirse en 3 partes iguales por dos cercas paralelas a uno de los lados. Si se va a usar un total de 800m. de cerca encuentre las dimensiones del terreno para que su área sea máxima.

Datos:

Cerca: 800m.Terreno rectangular

b

b

a a aa

A = (a)(b)P = a + b + a + b + b + b P = 2a + 4b400 = a + 2ba = 400 – 2bA = (400 – 2b)b

A=f (b)

A = 400b - 2b2

A` = 400 – 4b A``= - 4Igualamos la primera derivada a 0

A`= 0

Reemplazamos en la primera función 400 – 4b = 04b = 400

b = 4004

b = 100

Como A`` - 4 < 0a = 400 - 2(100)a = 400 – 200a = 200

GRAFICO

Af(b) B15000 5016800 6018200 7019200 8019800 9020000 10019800 11019200 120

b

50 60 70 80 90 100 110 120

18000

20000

19000

A = 400b - 2b² GRAFICO

14000

16000

22000

a

10000

12000

3.- Una caja abierta se va a construir con un pedazo de cartón cuadrado de 42cm. de lado cortando un pequeño cuadrado de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados.¿Cuáles son las dimensiones de la caja que debe tener el volumen máximo?

X42

42

42

42 - X

X = 14

V = Área × Altura V = (42 – X) (42 – X) X

V = ƒ(X)

V = (42 - 2X)2 XV = (1764 – 168X +4X2) XV = 1764 – 168X2 + 4X3

Derivamos la ecuación:

V `= 1764 – 336X + 12X2

V ``= - 336 + 24X

Igualamos la primera derivada a 0:1764 – 336X + 12X2 = 03X2 – 168X + 1764Utilizamos la formula general

x=−b±√b2−4ac2a

x=336±√(336)2−4 (12 )(1764)

2 (12)

x=336±√112896−8467224

x=336±8467224

x1 = 21

x2= 74.- El propietario de una licorería espera vender 800 botellas de un popular vino blanco. El costo del vino es de 85 ctvs. por botella, los derechos de pedido son $10 por despacho y el costo de almacenamiento de una botella durante todo el

año es de 40 ctvs. El vino se consume a una tasa uniforme durante todo el año y cada despacho llega apenas se ha terminado el anterior.

a) ¿Cuántas botellas debe pedir el propietario en cada despacho para bajar al mínimo sus costos?

b) ¿Con que frecuencia debe pedirse el vino?c) ¿Cómo cambiaran las respuestas de los literales anteriores si el costo

del vino se aumenta a 95ctvs la botella?

Datos:800 botellas X = 85 ctvs. Cada una Almacenamiento = 40 ctvs. Cada uno por año Variable = X = Número de botellas

Resolvemos el ejercicio con la siguiente formula.

Costo total = Costo del vino + Costo del pedido + Costo almacenamiento C = 0,85X + 0,40X +10(8000/X) C = 1,25X + 8000/X2

C=ƒ(x)

Derivamos la función con respecto a X:

C`= 1,25 – 8000/X2

C``= 16000/X3

Igualamos la primera derivada a 0:

1,25 – 8000/X2 = 08000/ X2 = 1,25X2 = 8000/1,25X = 80

GRAFICO:

C X250 40

222,5 50208,33 60201,78 70

200 80201,39 90

205 100210,22 110

x

40 50 60 70 80 90 100 110

240

250

X²= 8000/1,25 GRAFICO

220

230

c

200

210

5.- Se a pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada, los lados de la caja costarán $3 y la base costará $4 por pie cuadrado.¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo que pueden construirse con $48.?

x

y

Datos:Costo de la base $4Costo de los lados $ 3Costo total para invertir $48DETERMINAMOS LAS VARIABLESx = Lado de la base y = Altura de la base

DETERMINAMOS LA PRIMERA ECUACIÓN V = base × altura Base = (x)(x) = x2

V = x2y

V = ƒ(x, y)

Planteamos la fórmula del costo COSTO = Costo Base + Costo ParedesC = x2(4) + 4xy (3)C = 4x2 + 12xy

C = ƒ(x, y)

48 = 4x2 + 12xyy = 48 – 4x2/12x

Reemplazamos la primera ecuación.V = x2 (48 – 4x2 / 12x)V = 48x / 12 – 4x3 / 12V = 4x – 1 / 3x3

V = ƒ(x)

Derivamos la ecuación anterior:V` = 4 – x2

V``= -1x → V Є M

Igualamos la primera derivada a 0:V`= 04 – x2 = 0x2 = 4x = √4x = 2 pies

Reemplazamos la siguiente ecuación:y = 48 – 4x / 12x y = 48 – 4(2) / 12(2)y = 1,33 pies

GRAFICO:A B0 0

4800 405500 506000 606300 706400 806300 90600 100

40 50 60 70 80 90 100

GRAFICAR

3000

4000

5000

6000

a

b

1000

2000

A= 160b-b²

,

6.- El producto de dos números positivos es 128 el primero se suma al cuadrado del segundo.

a) ¿Qué tan pequeña debe ser esta suma?b) ¿Qué tan grande puede ser esta suma?

x = 1º número

y = 2º numero 1.- xy = 1282.- x + y2 = S

S = ƒ(x, y) debe m

y = 128/x

Reemplazo la segunda ecuación que planteamos con los datos del ejemplo:

S = x + (128 / x)2

S = ƒ(x)

S = x + (1282 / x2) S = x + (16384 / x2)S = x + 16384 x-2

Derivamos la función anterior.

S` = 1 – 2(16384) x-3

S``= -2 (-3)(16384) x-4

S``= 6 (16384) x-4

Como S`` >0 → S Є m

Igualamos la primera derivada a 0:

1 – 32768 x-3= 032768 / x3=1

7.- La función en dólares del costo de un fabricante esta dado por C= 500 / ln (q + 20) encuentre el costo marginal cuando q`= 50.

C = (500

ln (q+20 )) q

C = 500q

ln(q+20)

C = ln (q+20 ) d

dq(500q )−(500q ) d

dq(ln (q+20 ))

¿¿

C = ¿¿

C = ¿¿

C = ¿¿

C = (4.25) (500 )−(357.14 )

4.248

C = 2124−357.14

18045

C = 1766.8618.045

C = 97.90

8.- Para una empresa la producción diaria en el dia “e” esta dado por

q = 500 (1 – е-0.2t) encuentre la razón de cambio para cuando t este en 10 días.

q = 500 (1- e-0.2t)

dqdt

= 500ddt

(1- e-0.2t)+ (1- e-0.2t)ddt

(500)

dqdt

= (500) (0 – (e-0.2t ddt

(-0.2t) ) + (1- e-0.2t)(0)

dqdt

= (500) ((e-0.2t (-0.2)) + 0

dqdt

= (500) (-0.2 e-0.2t)

dqdt

= (500) (1 / (0.2 e2)

dqdt

= 500 / 0.2 e2

dqdt

= 500 / 1.47

dqdt

= 34.013

9.- Un estudiante ha hecho un contrato para producir 150 velas con la forma de la mascota de un colegio. Planea comprar una cantidad de moldes de uso repetido para velas a un taller mecánico a $3 cada una luego contrata a un trabajador al que le paga a $1.50 la hora para que llene los moldes con cera.

Se necesitan 3 horas para producir una sola vela con un molde.

a) ¿Cuántos moldes debe comprar el estudiante para mantener sus costos en el menor nivel posible? b) ¿Cuánto dinero ganara e4l estudiante si se usa el numero optimo de moldes?

Datos:Numero de moldes= x

Con la fórmula del costo determinamos la ecuación

Costo= costo del molde + costo por trabajador

C = (3x + (675x

)3)

C = 3x + 675 x-1

C = ƒ(x)

Derivamos la función anterior

C`= 3 - 675 x-2)

C`` = 1350 x-3

Igualamos la primera derivada a cero

C`= 0

3 – 675 x-2= 0

675 / x2 = 3

x2 = 225

x = 15

GRAFICO

C X5 150

10 97,515 9020 93,7525 10230 112,535 124,28

x

5 10 15 20 25 30 35

50

120

100

140

160

3x + 675/x GRAFICO

170

y

80

Función exponencial Derivada

Función logarítmica

1.- y = ex + e-x / 3

y` = (3) ddx

(ex +e- x) – (ex + e- x) ddx

(3) / (3)2

y` = (3) (ex(1) +e- x(-1)) – (ex + e- x)(0) / 9

y` = (3) (ex - e- x) / 9

y` = (ex - e- x) / 3

2.- xex

ln y = ln xex

ln y = ln x + ln ex

ln y = ln x + x ln e

ln y = ln x + x

1y

× y`= 1x

+ 1

y` = y (1x

+ 1 )

y` = xe x (1x

+ 1 )

UNIDAD VI:

Integración

Definición

Técnicas de integración

Formulas de integración

Métodos de integración (sustitución)

Integral definida

Áreas entre curvas

Excedentes de consumidores y productores

EJERCICIOS1- ) y = x3 – 3x2

PASOS PARA INTEGRAR:

1.- DETERMINAMOS LA DERIVADA DEL EJERCICIO PLANTEADO

y = x3 – 3x2

dydx

= y`= 3x2 – 6x

2.- DESPEJAMOS “y” E INTEGRAMOS LA FUNCION DE LA SIGUIENTE MANERA:

y` = 3x2 – 6x

dydx

= 3x2 – 6x

dy = (3x2 – 6x)dx

y = ∫ (3x2−6 x )dx

y = ∫3 x ²dx−∫6 x dx

y = 3 ∫ x2dx−6∫ x dx

y = 3 (x2+1) / (2 + 1) – 6 (x1+1) / (1 + 1) + C

y = x3 + 3x2 + C

2- ) y` = 3x3 – 12x2 + 12x

dydx

= 3x3 – 12x2 + 12x

dy = (3x3 – 12x2 + 12x) dx

y = ∫ (3 x ³−12x ²+12 x )dx

y = ∫3 x ³dx−∫12 x ²dx+∫12 x dx

y = 3∫ x ³dx−12∫ x ²dx+12∫ xdx

y = 3 (x3 + 1) / (3 + 1) – 12 (x2 + 1) / (2 + 1) + 12 (x1 + 1) / (1 + 1) + C

y = 34 x4 - 4x³ + 6x² + C

3- ) 2( 32 x )+3 x- ½

dydx

= 3x + 3x-1/2

dy = (3x + 3x- ½) dx

y = ∫¿¿-1/2)dx

y = ∫3 x dx+∫ 3x - 1/2 dx

y = 3∫ xdx+3∫ x- 1/2 dx

y = 3 (x1 + 1) / (1 + 1) + 3 (x- 1/2 + 1) / - ½ + 1 + C

y = 3/2 x2 + 6x1/2 + C

4- ) y` = (3x – 1)² + 6x (3x – 1)

y` = (9x² - 6x + 1) + (18x² - 6x)

dydx

= 27x² - 12x +1

dy = (27x² - 12x +1)dx

y = ∫ (27x2−12 x+1 )dx

y = ∫27 x ²dx−∫12 x dx+∫1dx

y = 27∫ x ²dx−12∫ x dx+1∫ dx

y = 27 (x2 +1) / (2 + 1) - 12 (x 1 + 1) / (1 + 1) + x + C

y = 27 (x3)/3 - 12 (x2)/2 + x + C

y = 9x3 – 6x2 + x + C

y = x (9x2 – 6x + 1) + C

y = x (3x – 1)2 + C

5- ) X

√X ²−1 → dydx

x

(x2+1 ) 1/2 → dy = x

(x2−1)1/2 dx

u = x² - 1

du = 2x dx

du2

= x dx

y = ∫ x dx

(x2+1)1/2

y = du2

/ u1/2

y = 12 (

duu 1/2)

y = 12 ∫u-1/2 du

y = 12 u

-1/2 +1 / -1/2 + 1 + C

y = 12 u

1/2 / ½ + C

y = u1/2 + C

y = (x² - 1)1/2 + C

6- ) ∫ 3dx

√2−3 x ²

y = ∫3dx √2+3x ²

y = ∫3√2+3 x ² dx

y = 3 ∫(2+3 x2)1/2 dx

y = 3 (2+3 x2) 1/2 +1 / ½ +1 + C

y = 3 (2+3 x2)3/2 / 3/2 + C

y = 2 (2 + 3x²)3/2 + C

7- ) ∫ x

√2x ²+1dx

Si u = 2x² + 1

dudx

=4 x

du4

=x dx

y = x dx

(2 x2+1)1/2

y = du4

/ u1/2

y = 14 ∫ du

u 1/2

y = 14 ∫u-1/2 du

y = 14 (u -1/2 + 1) / (-1/2 + 1)

y = 14 (u ½) / (1/2)

y = 12u1/2 + C

y = 12(2 x2+1)1/2 + C

8- ) 5x4 – 12x2 + 2

dydx

= 5x4 – 12x2 + 2

dy = (5x4 – 12x2 + 2)dx

y = ∫¿¿4 - 12x² + 2) dx

y = ∫5 x4 −∫12 x ²dx+∫2dx

y = 5∫ x4 −12∫ x ²dx+2∫ dx

y = 5 (x4 + 1) / (4 + 1) – 12 (x2 + 1) / (2 + 1) + 2x + C

y = x5 – 4x3 + 2x + C

9- ) y` = −13

+2 x−2 x ³

dydx

=−13

+2 x−2x ³

dy = (−13

+2 x−2 x ³)dx

y = ∫(−13 +2 x−2 x3)dx

y = ∫−13dx+∫2 x dx−∫ 2x ³dx

y = −13 ∫dx+2∫ xdx−2∫ x ³dx

y = −13x + 2 (x1 + 1) / (1 + 1) – 2 (x3 + 1) / (3 + 1)

y = −13x+ x ²−1

2x4 + C

10- ) y`= 2ax + b

dydx

=2ax+b

dy = ( 2ax + b)dx

y = ∫ (2ax+b )dx

y = ∫2ax dx+∫ bdx

y = 2a∫ xdx+b∫ dx

y = 2a (x1 + 1) / (1 + 1) + bx + C

y = ax² + bx + C

11- ) y`= ma tm – 1 + b(m + n) tm + n – 1

dydt

= ma t m – 1 + b(m + n) t m + n – 1

dy = [ma t m – 1 + b(m + n) t m + n – 1] dt

y = ∫¿¿ t m – 1 + b (m + n) t m + n – 1] dt

y = ∫ma t m – 1 dt + ∫b (m+n ) t m + n – 1dt

y = ma∫ t m – 1 dt + b (m+n )∫ t m + n – 1dt

y = ma (t m – 1 + 1) / (m – 1 + 1) + b (m+n ) [(t m + n – 1 +1)] / (m + n – 1 +1) + C

y = a tm + b tm + n + C

12- ) −πx ²

dydx

=−π ¿-2)

dy = [ - π (x-2) ] dx

y = ∫¿¿-2)] dx

y = - π ∫ x -2 dx

y = - π (x-1 + 1) / (-2 + 1) + C

y = - π (x-1) / (- 1) + C

y = π x-1 +C

13- ) y`= 2x- 1/3 – 5x3/2 – 3x- 4

dydx

= (2x-1/3 – 5x3/2 – 3x- 4)

dy = (2x-1/3 – 5x3/2 – 3x- 4)dx

y = ∫¿¿2x-1/3 – 5x3/2 – 3x- 4)dx

y = ∫2 x-1/3 dx – ∫5 x3/2 dx– ∫3 x - 4 dx

y = 2∫ x-1/3 dx – 5∫ x3/2 dx– 3∫ x- 4 dx

y = 2 (x-1/3 +1) / (-1/3 +1) – 5 (x3/2 +1 ) / (3/2 +1 ) – 3 (x- 4 +1) / (- 4 +1)

y = - 3x2/3 – 2x3/2 + 3x-3 + C

14- ) ∫ (7+е )dx

y = ∫7 dx+∫ еdx

y = 7∫dx+е∫ dx

y = 7 x+еx+C y = x (7+е)+C

15- ) ∫( x7−34 x4)dx

y = ∫ x7dx –∫ 34 x

4dx

y = 17∫ x dx –

34∫ x 4dx

y = 17x2

2−34x5

5+C

y = x ²14

+3 x5

20+C

16- ) ∫ex+ex

exdx

y = ∫ ex

exdx+∫ e2x

exdx

y = ∫ dx+∫ e2 xe− xdx

y = x+∫ ex+C

17- ) ∫ (2 x3+3 x)x4+3 x2+7

dx

Sustituyo:

u = x4+3 x2+7

du = (x4+3 x2+7¿dx

du = 2(2 x3+3 x ¿dx

du2

=(2x3+3 x)dx

Reemplazamos en la ecuación anterior:

y = ∫ du2

/u

y = 12∫

duu

y = 12ln u+c

y = 12ln( x4+3 x2+7)+c

CONDICIÓN INICIAL:

PROBLEMAS:

1- ) y`= 8x – 4; y2 = 5Encontrar “y”:

y = ∫ (8x+4 )dx

y = 8∫ x dx−4∫ dx

y = 8x2

2−4 x+C

y = 4 x2−4 x+C

5 = 4 (2)2−4 (2 )+C

C = - 3

y = 4 x2−4 x−3

2- ) y`` = x2−6 ; y (0)=2 ; y(1)=−1

ENCONTRAR “y”Determinamos la primera derivaday`= ∫ (x2−6 )dx

y`= ∫ x2dx−6∫dx

y = x3

3−6 x+C

2 = 03

3−6 (0 )+C

C = 2

y`= x3

3−6 x+2

Determinamos la derivada con la ecuación de la primera derivada

y` = ∫ ( x33 −6 x+2)dxy =

13∫ x3dx−6∫ xdx+2∫dx

y = 13x4

4−6 x

2

2+2x+C

y = x4

12−3x2+2 x+C

- 1 = (1 )4

12+3 (1 )2+2 (1 )+C

- C = 112

−3+2+1

C = −112

y = x4

12−3x2+2 x− 1

12

3- ) y```= ex+1 ; y (0)=−1; y (0)=2 ; y(0)=3ENCONTRAR “y”:

Determinamos la segunda derivada

y” = ∫ (ex+1 )dx

y” = ∫ ex+1∫dx

y” = ex+x+C

1 = e0+(0 )+C

- C = 1 – 1

C = 0

y” = ex+x

Determinamos la primera derivada con la ecuación de la segunda

y` = (e¿¿ x+ x)dx¿

y` = ∫ ex+∫ x dx

y`= ex+ x2

2+C

(2) = e0+(0)2

2+C

- C = 1 – 2

- C = - 1

C = 1

y`= ex+ x2

2+1

Determinamos la derivada con la ecuación de la primera derivada

y = ∫(ex+ x2

2+1¿)dx ¿

y = ∫ exdx+ 12∫ x2dx+∫dx

y = ex+ 12x3

3+x+C

y = ex+ x3

6+x+C

(3) = e0+(0)3

6+0+C

- C = 1 – 3 - C = - 2

y = ex+ x3

6+x+2

4- ) El ingreso anual promedio “y” que una persona de un grupo con “x” años de educación puede esperar recibir al buscar un empleo ordinario, estimando que la razón a la que el egreso cambia con respecto a la educación asta dada por:

dydx

=100 x3 /2 4≤x≥16

y = 28720; x = 9

y = ∫ (100 x32 )dx

y = 100∫ x3/2dx

y = 100

x5 /2

52

+C

y = 40 x5 /2+C

28720 = 40 (9)5/2+C

C = 1900

y = 40 x5 /2+1900

5- ) ∫ (2 5√x4−7 x3+10e x−1 )dx

y = ∫2 5√ x4dx−∫7 x3dx+∫10e xdx−∫ dx

y = 2∫ x4 /5dx−7∫ x3dx+10e x−x

y = 2x9 /5

95

−7 x4

4+10 ex−x+C

y = 109x9 /5−7

4x4+10ex−x+C

6- ) Un fabricante ha determinado que la función de costo

marginal es dcdq

=0,003 q2−0,4 q+40, donde “q” es el numero de

unidad producida. Si el costo marginal es de $27,50 cuando “q” es 50 y los costos fijos son 5000. ¿Cuál es el costo promedio de producir 100 unidades?

dcdq

=0,003 q2−0,4 q+40

dc=∫ (0,003q2−0,4q+40 )dq

c = ∫0,003 q2dq−∫ 0,4qdq+∫40dq

c = 0,003∫q2dq−0,4∫ qdq+40∫ dq

c = 0,003 q3

3−0,4 q

2

2+40q+C

27,50 = 0,003 (50)3

3−0,4

(50)2

2+40(50)+C

- C = 125 – 500 + 2000 – 27,50

C = - 1597,50

C = 0,001q−0,2q2+40q−1597,50

C = ƒ(q)

CT=C p+C f

CT=0,001q3+0,2q2+40q−1597,50+5000

CT=0,001100

q3+ 0,2100

q2+ 40100

q+34,025

CT=0,00001q3+0,002q2+0,4 q+34,025

7- ) Para el producto de un fabricante esta dado por

dcdq

=10− 100q+10 Donde C=CT ($) cuando se producen 100 unidades

el costo promedio es de $50 por unidad determinar el costo total del fabricante.

dcdq

=10− 100q+10

dc=∫(¿10− 100q+10

)dq¿

c = ∫10dq−∫100(q+10)−1dq

c = 10∫ dq−100∫(q+10)−1dq

c = 10q−100∫ dq(q+10)

c = 10q−100 ln (q+10 )+C1

c = CP+CF

Ĉ = 50; q = 100

Ĉ = cq

Ĉ = 10q−100 ln (q+10 )+C

100

50 = 10q−100 ln (q+10 )+C

100

5000 = 10 (100 )−100 ln (100+10 )+C1

5000 = 1000 – 470 + C1

C1=4470

8- ) Se estima que dentro de “x” meses la población de cierto

pueblo cambiara a una razón de dpdx

=2+6 √x por mes, la

población actual es de 5000.¿Cuál será la población dentro de 9 meses?

dpdx

=2+6 √x

dp=(2+6√x )dx

p=∫(2+6√ x)dx

p=∫ [2+6 ( x )12 ]dx

p=2∫dx+6∫ x12 dx

p=2x+ 6x3 /2

3 /2+C

p=2x+4 x3 /2+C

p=ƒ(x )

P = 5000x = 0

5000=2 (0 )+4 (0)3/2+C

C = 5000

P = 2 x+4 x3 /2+5000

P(X=9)=2 (9 )+4 (9)3/2+5000

P = 5126 (personas)

9- ) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es dcdq

=3q2−60q+400 Cuando se ha producido “q” unidades el CTde

producción de las 2 primeras unidades es de 900.¿Cuál es el CTde producción de las 5 primeras unidades?

dcdq

=3q2−60q+400

dc=(3q2−60q+400 )dq

c = ∫ (3q2−60q+400 )dq

c = 3∫ q2dq−60∫qdq+400∫dq

c = 3 q3

3−60 q

2

2+400q+C1

c = q3−30q2+400q+C1

900 = (2)3−30(2)2+400 (2 )+C1

900 = 8 – 120 + 800 + C1

C = 212

y = q3−30q2+400q+212

y = (5)3−30(5)2+400 (5 )+212

y = 125 – 750 + 2000 + 212

y = 1587 [$]

10. ) ∫ √1+√x√x

dx

y=∫√1+√ x (x)−1 /2dx

y=∫1212

(1+√x )1 /2 x−1/2dx

y=

1212

(1+√ x)1 /2 12x−1 /2dx

y=2(1+√ x)1 /2

12+1

y=2(1+√ x)3 /2

32

y=2(2)(1+√ x)3 /2

3

y= 43

(1+√ x)3 /2+C

11.¿∫√ t(3−t √t)0,6dt

y=∫√t ¿¿

y=∫¿¿

y=∫¿¿¿

12.¿∫ 9 x5−6 x4−ex3

7 x2dx

y=∫(¿9 x5−6 x4−ex3)(7 x¿¿2)−1dx¿¿

y=∫( 97 x3−67 x2− e7x)dx

y=97∫ x3dx−6

7∫ x2dx− e7∫ x dx

y=97 ( x3+13+1 )−67 ( x2+12+1 )− e

7 ( x1+11+1 )+C

y=97 ( x44 )−67 ( x33 )− e

7 ( x22 )+C

y= 928

x 4− 621

x3− e14

x2+C

13.¿∫ xx+1

dx

u=x+1

du=dx

y=∫( u−1u )dx

y=∫ uudx−∫−1

udx

y=x−ln u+c

y=x−ln ( x+1 )+c

14.¿∫ 2 x4−8 x3−6 x2+4

x3dx

y=∫(¿2 x4−8 x3−6 x2+4 )(x−3 )dx ¿

y=∫(¿2 x−8−6x−1+4 x3)dx ¿

y=2∫ x dx−8∫dx−6∫ x−1dx+4∫ x−3dx

y=2 x1+1

1+1−8 x−6 x−1+1

−1+1+4 x−3+1

−3+1+C

y=2 x2

2−8 x−6

(1 )0

+4 x−2

−2+C

y=x2−8x−6−2 x−2+C

15.¿u=e x−e−x

du=ex+e− xdx

y=∫ duu

y=ln u+c

y=ln (ex−e− x )+c

Integrales definidas:

y=∫a

b

f ( x ) dx

Ejercicios:

1.¿ y=∫−1

3

(3 x2−x+6 ) dx

y=¿¿

y=[(3)¿¿3−(3 )2

2+6 (3 )+C ]−[(−1 )3— 122+6 (−1 )+C ]¿

y=27−92+18+c+1+ 1

2+6−c

y=48

2.¿ Encontrar∫0

1x3

√1+x4dx

u=1+ x4

du=4 x3dxdu4

=x3dx

Reemplazamos:

y=

du4

u12

y= 14∫0

1

u12 du

y=¿

y= 142(1+x )

3.¿∫1

2

¿¿

y=4∫1

2

t 1/3dt+∫1

2

t ¿¿¿

y=4t13+1

13+1

+18

¿

y=3 t4 /3

4 /3+ 18

¿

y= (3 ) (2 )43+18

¿

y=33√(2 )4+ 625

8−3−

(2 )4

8

y=6 3√2+ 6258

−3−2

y=6 3√2+ 5858

4.¿ y=∫0

1

e3 tdt=∫0

1

e3 tdt (3t )

y=13e3 t+c

y=13e3 t ¿0

1

y=13

(e3 (1)−e3 (0 ) )

y=13

(e3−1 )

5.¿ x=∫2

3

( y2−2 y+1)dy

x=∫2

3

y2dy−2∫2

3

y dy+∫2

3

dy

x= y2+1

2+1−2 y

2

2+ y¿2

3

x= y3

3− y2+ y¿2

3

x=(3)3

3+(3)2+(3 )−(2)3

2−(2)2−(2)

x=9+9+3−83−4−2

x=373

6.¿ y=∫4

1

(2 t−3 t2 )dt

y=2∫4

1

t dt−6∫4

1

t2dt

y=2 t3

2−3 t

3

3¿41

y=t2−t 3 ¿41

y= (1 )2−(1 )3−¿

y=1−1−16+64

y=48

7.¿ y=∫1 /2

3 /2

(x2+x+1 )dx

y=∫1 /2

3 /2

(x2)dx+∫1 /2

3 /2

x dx+∫1/2

3/2

dx

y= x3

3+ x

2

2+x ¿1

2

32

y=( 32 )

3

31

+( 32 )

2

21

+32−[ ( 12 )

3

3+( 12 )

2

2+ 12 ]

y=( 32 )3

+( 34 )2

+ 32−¿

y=( 13 )3

+( 12 )2

+1

y= 127

+ 14+1

8.) La función de costo marginal de un fabricante es dcdq

=0,004 q2−0,5q+50 si “c” esta dado en dólares determinar el

costo de incrementar la producción de 65 a 75 unidades.

dc=(0,004 q¿¿2−0,5q+50)dq¿

c=∫65

75

(0,004 q¿¿2−0,5q+50)dq¿

c=0,004∫65

75

q2dq−0,5∫65

75

q dq+50∫65

75

dq

c=0,004 q3

3¿6575−0,5 q

2

2¿6575+50q¿65

75

c=0,0043

¿

c=0,0043

(147250 )−0,52

(1400 )+500

c=5893

−7002

+500

c=346.33 dolares(costo de incremento)

9.) El valor presente en dólares de un flujo continuo de ingresos de $2000 al año durante 5 años al 6% compuesto

continuamente esta dado por la integral ∫0

5

2000e0,06 tdt .

y=∫0

5

2000 e0,06 tdt

y=2000∫0

5

e0,06 tdt

y=2000( 10,006

e−0,06 t+6)¿05

y=20000,06

(e−0,06 (5 )+e−0,06 (0 ))

y=20000,06

(e−0,3+1 )

y=20000,06 ( 1e0,3+1)

10.) Encontrar el área de la región limitada por la curva y=x2+2 x+2 con los puntos x1=−2 , x=1

x y 170 2 161 5 153 17 14-1 1 13-2 2 12

1110

987654321

-3 -2 -1 1 2 3

y

x

A=∫−2

1

(x2+2 x¿+2)dx ¿

A= x3

3+ x2+2 x+c¿−2

1

A=(1 )3

3+(1 )2+ (1 )− (−2 )2

3− (−2 )2−2 (−2 )−c

A=6