Matemática Orientado 2

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BACHILLERATO PARA ADULTOS A DISTANCIA - IED > PROF. YANINA FRANCES C C I I C C L L O O O O R R I I E E N N T T A A D D O O M M A A T T E E M M Á Á T T I I C C A A I I I I I I E E S S P P A A C C I I O O C C U U R R R R I I C C U U L L A A R R

Transcript of Matemática Orientado 2

BACHILLERATO PARA ADULTOS A DISTANCIA -IED >PROF. YANINA FRANCES CCCIIICCCLLLOOO OOORRRIIIEEENNNTTTAAADDDOOO MMAATTEEMMTTIICCAA IIIIII EEESSSPPPAAACCCIIIOOO CCCUUURRRRRRIIICCCUUULLLAAARRR 2 Bachillerato Acelerado para Jvenes y Adultos a Distancia Rector Dr. Jorge Finkelstein Directora Dra. ngela Guterrez de Gatto Equipo tcnico Pedaggico Prof. Noem Borisoff Lic. Roxana Gotbeter Docente del Espacio Curricular: Matemtica III Ciclo Orientado Prof. Yanina Frances 3 Estimado alumno: El presente material constituye el mdulo de estudio de la materia MatemticadelCicloOrientadoIIIdelBachilleratoparaAdultos, Acelerado y a Distancia. En l encontrar los contenidos que se abordan en la materia, as como actividades que lo ayudarn en su comprensin, con vistas a la preparacin del examen. El mdulo est organizado de la siguiente manera: (Se debe imprimir el mdulo en tamao carta) Presentacin -MatemticaCicloOrientadoIII:elpresentematerialconstade5 unidades ycorresponde al 2 y3 ao polimodal Organizacin de los C.B.C de Matemtica: los contenidos de ste mdulo sonparaaprenderyaprehendermatemtica.Lanumeracindelos bloques aqu tratados (1,2,3,4) se corresponde con las unidades. -Brevefundamentacin:dondesecomentanlosaspectosquehacen necesario el estudio de la presente asignatura. -Expectativas de logros: se mencionan los objetivos que se espera que Ud.logreatravsdeltrabajoconestematerialparaaprobarla asignatura. -Contenidosdesarrollados:constituyeelprogramadelamateria;en l se mencionan los principales temas que se tratan en el mdulo. 4 Desarrollo -Unidad N: los contenidos estn organizados en cuatro unidades, que dan cuenta de los ejes temticos que se desarrollan. -Actividad de integracin N: al finalizar cada unidad, figura un grupo de ejercicios que le permitirn repasar los puntos ms importantes de los contenidos desarrollados Ud. ya sabe que cuenta con una serie de recursos para facilitar su aprendizaje. Los mismos lo acompaarn a la par que trabaje y estudie con este material: -Consultaadocentes,queelsistemaponeasudisposicinpara aclararledudas,guiarloenlacomprensin,supervisarlosejercicios, etc.Loimportanteesquepuedaconsultarsusdudasatravsdel medio que le resulte ms adecuado. De esta manera, el mdulo -que tiene en sus manos-, las tutoras bajo el recurso que Ud. considere conveniente, se complementan para brindar un mejor abordaje y comprensin de los contenidos que forman parte del programa de la materia. Por ltimo queremos compartir una idea central de esta modalidad queUd.haelegidoparaconcluirsubachillerato:estudiaradistancia significa que puede adecuar el trabajo de estudio con cada materia a su tiempodisponible,quenodebecumplirhorariosprefijados,contando 5 conlaposibilidaddeorganizarsesegnsustareascotidianas.Esto implica un alto grado de autonoma, pero no es sinnimo de estudiar en soledad o aislado. Por eso, en esta presentacin, quisimos recordarle los recursos con los que dispone para facilitarle el abordaje de cada asignatura. BIENVENIDO! Instituto de Estudios a Distancia -I. E. D- 6 BREVE FUNDAMENTACIN Por qu estudiar Matemtica? "Lamatemtica,igualquelamsica,hayqueinterpretarla,el ejecutante es fundamental. Esta analoga es importante en otro aspecto, es posiblehacermsicasinserBachniMozartnimuchsimomenos;es posiblehacermsicacantando,tocandouninstrumento,enuncoro,en unaorquesta...Piensosinceramentequesepuedehacermatemticaa cualquier nivel, ms que una tcnica es una actitud." Enzo R.Gentile(1) Desdesiemprelossereshumanosseenfrentaronatodotipode problemas,algunosdeloscualesfueronresueltoscontando,midiendo, calculando, es decir, usando conocimientos matemticos. Este, como todo conocimientohumano,esunaconstruccinsocialdelossereshumanos, en su intento de adaptarse a la realidad y actuar sobre ella. El uso de calendarios para regular las cosechas y la vida religiosa, la contabilidaddebienesoelcobrodeimpuestos,lamedicindeterrenos para la agricultura, son slo algunos ejemplos de situaciones prcticas que fueronmotordedesarrollodelosconocimientosmatemticos.Tambin, cabe sealar, aquellos problemas que fueron producto de la curiosidad de los seres humanos por resolver nuevos desafos matemticos, o aquellos queotrasdisciplinascomolafsica,labiologa,laeconoma-requeran para su resolucin. 1Enzo RomeroGentile(1928-1991),nacidoenBuenosAires,obtuvoelttulodeDoctoren Matemtica con todos los honores, destacndose en sus trabajos de investigacin en Algebra y Aritmtica. 7 Esdecirque,conelcorrerdelostiempos,lavidasocialsefue complejizandoyelconocimientomatemticofueprogresandoenposde buscarrespuestasdentrodeciertamirada.Sepuededecir,quela matemticaprogresaapartirdenuevasformasderesolverviejos problemas yel planteo de problemas nuevos. Algunas caractersticas Como ciencia, la matemtica se caracteriza por: -Construir conceptos, hiptesis y teoras, y estudiar las relaciones de los mismos. -Crear su propio lenguaje -Crear su propio mtodo de trabajo e investigacin. Estascaractersticassonlasqueseponendemanifiestoalolargo deloscontenidosquesedesarrollanenestaspginas.Claroque,desde losclculosopropiedadesdelprimercaptulo,pasandoporelusode expresionesalgebraicas,hastalaintroduccindelasnocionesde probabilidad, los contenidos propuestos permiten resolver situaciones para actuar sobre la realidad. Claro que esta accin est teida de una mirada muyespecial,aquellaquehaceusodelasnocionesmatemticascomo herramientasparabrindarunmodeloquepermitamatematizarla situacin, y luego ser objeto de estudio. Desdeestepuntodevista,estudiarmatemticanosignificaslo adquirir un conjunto de conceptos sino tambin resolver situaciones en las cuales trabajemos utilizando los modos particulares de pensar y producir en esta disciplina. 8 Entre los procedimientos... a resolver problemas Comoyasemencionlacienciamatemticaprogresaapartirde descubrir nuevas formas de resolver viejos problemas y en el planteo de problemas nuevos. Ahora bien, qu es resolver un problema? Resolver un problema implica: -interpretar y seleccionar la informacin con la que se cuenta; -imaginarse la situacin; -ponerenjuegolosconocimientosmatemticosqueseconsideran necesarios; -planear cmo llevar a cabo la resolucin; -anticipar resultados; -controlarlosresultados,estudiandoloscaminospropuestosylos resultados; -ver si el problema tiene ninguna, una o varias soluciones; -volver a la situacin de partida, para corroborar el resultado obtenido. Esimportantetenerencuentaestasaccionesalenfrentarun problema, ellas le dan pistas sobre la manera de progresar en el rea. El desafo que tiene en sus manos es importante. Consiste, nada ms y nada menos que en hacer matemtica. 9 EXPECTATIVAS DE LOGRO 1.Utilizar funciones en la resolucinde problemas de la vida real. 2.Analizar, comprender y comunicar resultados vinculados al estudio de funciones que permitan avanzar sobre otro tipo de funciones y factorizar polinomios. 3.Identificar,graficareinterpretarfuncionesdeprimerysegundo grado en la resolucin de distinto tipo de situaciones. 4.Conocer y saber usar el lenguaje simblico y las representaciones grficasenlamodelizacinmatemticadefenmenosy problemas. 5. Utilizarecuacionesysistemasdeecuacionesenlaresolucinde distintas situaciones. 6.Resolveranalticaygrficamenteecuacionesysistemasde ecuaciones con dos incgnitas. 7.Saberrecolectar,organizar,procesareinterpretardatos,apartir de distintas representaciones de informacin estadstica. Esperamosquelalecturadeestasexpectativaslepermitacomprender que,atravsdeestamateria,sebuscaqueUd.nosloconozcalos temas fundamentales del rea sino que pueda utilizarlos en el anlisis y resolucindedistintosfenmenosalarealidadactual,apartirdesu modelizacin matemtica. 10 Unidad 1: Funciones exponenciales y logartmicas 1. El modelo exponencial 2. ecuaciones exponenciales 3. logaritmos 4. logaritmos decimales y naturales 5. propiedades de los logaritmos 6. la funcin logartmica Autoevaluacin FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS En fenmenos tan diversos como la evolucin de poblaciones, la desintegracinradiactivaylareproduccindebacteriasse encuentran magnitudes que varan con un ritmo muy acelerado, produciendoaumentosydecrecimientosmuyrpidos,acordes con un modelo expresado por una funcin llamada exponencial. Por el contrario, las funciones logartmicas, que son las inversas alaexponenciales,varanmuylentamente,porlocual proporcionanescalasnumricasadecuadasparamediry representarfenmenosnaturalesqueinvolucrancantidades muygrandesomuypequeas,comolaintensidaddelos fenmenosssmicosolaconcentracindepartculasenuna solucin qumica. 1. El modelo exponencial 1.Enlaactualidad,lamayoradelaentidadesfinancierastrabajan dando inters compuesto sobre los depsito. Sintticamente, esto significa que los intereses se aplican al capital y tambin generan intereses. El caso que vamos a considerar es un banco que otorga intereses en forma tal que el capital depositado se duplica al cabo de un ao transcurrido. 11 Suponganqueunapersonadeposita$1enestebancoynunca hace un retiro. a)Completenlasiguientetablayrealicenelgrfico correspondiente. Tiempo transcurrido (aos)0123456 Dinero acumulado ($)12 b)Encuentrenunafrmulaquepermitacalculareldinero acumulado D en funcin del tiempo transcurrido t c)Al cabo de cunto tiempo se llega a acumular $256? d)Cunto dinero se acumula al transcurrir 10 aos? 2.Existensustanciasqumicasqueencondicionesnormalesde presinytemperaturaseevaporan.Tenemos4litrosdeuna sustancia lquida que evapora en forma continua a la mitad de su volumen por hora. a)Completen la siguiente tabla y realicen elgrfico correspondiente. Tiempo (h)0123456 Volumen de lquido (litros) 12 b)Encuentren la expresin que relacione el volumen del lquido V con el tiempo transcurrido . c)Alcabodecuntotiempoquedaran0,0625litrosde lquido? d)Qu volumen de lquido quedara luego de un da entero? 3.Consideren la funcin ( )xx f 2 =, cuyo dominioes R. a)Completen la tabla de valores y grafiquen la funcin. b)Observen el grfico que hicieron y contesten alas preguntas. I)Cul es el conjunto imagen de f? II) f es creciente o decreciente? Xy 1 2 3 -1 -2 -3 0 13 III)Tienealgnpuntode contactoconelejede ordenadas? Cul? IV)Tienealgnpunto decontactoconel ejedeabscisas? Cul? V)Quocurreconla grficadef(x) cuandoxtoma valores positivos muy grandes? VI)Qusucedeconlagrficaf(x)cuandoxtomavalores negativos cada vez menores? PARA LEER Llamamosfuncinexponencialatodafuncincuyaexpresinseadela forma: ( ) ( ) 1 ; 0 , 0 ; ; . = > = 9 e 9 e = a a k a k a k x fx EldominiodeestasfuncionesesR.Alrepresentarlasgrficamente,se obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tiene al eje de abscisascomo asntota horizontal. Una asntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente, sin llegar a tocarla. 4.a) Representen estas funciones en el mismo sistema cartesiano: ( ) ( ) ( ) ( )x xxxx m x h x g x f 4 ; 4 ;21; 2 = = |.|

\|= = b) Completen Lasgrficasdefygsonsimtricasconrespectoaleje. Las grficas de h y m son simtricas .. Lasfuncionessoncrecientesylasfunciones.. Son decrecientes. 5.Un capital de $ 10000 se depositaen un banco que paga un 1 % mensual de inters compuestoa)Escribanla expresin que relaciona el capital acumuladoC con la cantidad de meses transcurridos t. b)Cunto dinero se logra acumular luego de un ao? 14 6.Enciertocultivosereproducenbacteriasquesetriplican diariamente. Calculen cuntas habr al cabo de cinco das. a)Si inicialmente hay una bacteria. b)Si se comienzan con 500 bacterias. 2. Ecuaciones exponenciales Decimosqueuna ecuacinesexponencialcuandocontienealaincgnitaen algn exponente. Observen el ejemplo de cmo se puede resolver. 73 102 22 . 2 22 . 8 10243 103 10=+ ====+xxxxx 1.Transformen cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia. === = ++ +x x xx xxx xdcba125 . 25 . 5 )8 . 16 )9 . 3 )2 . 4 )3 2 23 2 21 2.Resuelvanlassiguientesecuacionesycompruebenlas soluciones obtenidas. 15 02565 5 )233 3 .21)4 2 2 )0313 . 27 )1 2 . 4 )3 9 )27 3 . 9 )8 2 )414 )12111= += += += =====+++++x xx xx xxx xxxxxihgfedcba 3.Resuelvanlassiguientesecuacionesyverifiquenlas soluciones obtenidas 4192 2 2 )0 1 3 )492 2 )1612 )9 3 . 27 )4 2 . 8 )81 3 )4 2 )3127 )1 31 3313 3 222 12= + += = +=====|.|

\|= +++ ++x x xxx xxx xxxx xxxihgfedcba 3. Logaritmos PARA LEER Elexponentexalquehayqueelevarunabasebparaobtenerun determinado nmero a se llama logaritmo de dicho nmero en esa base. 16 Es decir, a x a bbxlog = = (Donde a y b son nmeros reales, b>o, b distinto de 1, a>0) Por ejemplo: 8 2 3 log5 32 log 32 2913 291log16 2 4 16 log3222342= = == = == == =x x xx xx a)Calculenlossiguienteslogaritmoscuandoseaposibley verifiquenlosresultadosqueobtenganaplicandola definicin. ( )=== === ====7 log )0 log )4 log )01 , 0 log )5 , 0 log )1 log )9 log )91log )2 log )64 log )73210463324jihgfedcba b)Analicenlosejemplosyladefinicin,yrespondanalas preguntas. c)Por qu se establece que el nmero a debe ser positivo? d)Porquseestablecequeelnmerobdebeserpositivoy distinto de 1? 4. Logaritmos decimales y logaritmos naturales 17 1.a)Utilicen las teclas log y ln de una calculadora cientficapara obtener los siguientes logaritmos (redondeen a milsimos) I) log 9,8= II) log 98= III) log 980= IV) log 9800= V) ln 2,5= VI) ln 25= VII) ln 250= VIII) ln 2500= b)Analicenlosvaloresqueobtuvieronyenuncienalguna conclusin. 2.Apliquen la definicin de logaritmo de un nmero para resolver las siguientes ecuaciones y luego verifiquen las soluciones que obtengan. ( )14 8 log . 3 )3 3 ) 6 2 ( log )4 log . 2 )2 2 log )21log )4 log )23124323 = = + = = +=|.|

\| =x fx ex dx cx bx a 5. Propiedades de los Logaritmos PARA LEER Los logaritmos verifican las siguientes propiedades (siempre que a y b sean positivos) -Logaritmo de un producto b a b ac c clog log ) . ( log + =-Logaritmo de un cociente b abac c clog log log = |.|

\| -Logaritmo de una potencia a b acbclog . log =-Logaritmo de una raz 18 abacbclog .1log =-Cambio de base caannclogloglog =La propiedad de cambio de base nos permite transformar un logaritmo dado en ciertabaseenotrologaritmoexpresadoenunabasequenosconvenga,por ejemploaquellasque aparecenen lascalculadoras,estas(ultimastienenbase 10) 1.Resuelvanaplicandopropiedadesdeloslogaritmos,sinusar calculadora ( )( )( ) ==== |.|

\|=533001 , 001 , 0 : 10643281 log )log )64 log )819. 27 log )32 . 8 log )edcba 2.Apliquencambiodebasequeresulteconvenienteparaobtener lossiguienteslogaritmosconunacalculadora,yanotenlos valores redondeados al milsimo. ===25 log )100 log )18 log )1 , 032cba 3.Resuelvanlassiguientesecuacionesyverifiquenlassoluciones que obtengan. 19 ( )( )2 log . 5 log )0 2 3 log )0 17 log log )2 5 log )3 27 log )3 3821== = = + =x ex dx cx bax 6.LA Funcin logartmica 1.Consideren las funciones x x gx x f212log ) (log ) (== Que asignan a cada nmero real positivo su logaritmo en base 2y en base , respectivamente. a)Completen la tabla y construyan las grficas correspondientes. X1/41/2123 Log2x Log1/2 x b)Completen el cuadro FuncinDominio ImagenCeros f(x) g(x) c)Respondan las siguientes preguntas. 20 I)Cortan al eje de ordenadas? Por qu? II)Qu se observa, en ambas grficas, cuando los valores de x se aproximan a cero? III)Cules son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada funcin? IV)Culeslarelacingrficaqueseobservanentreambas curvas? PARA LEER Llamamosfuncinlogartmicaatodafuncincuyaexpresinseadela forma: ) 1 ; ; 0 ( log ) ( = e > = b R b x x x fb Eldominiodeesasfuncionessonlosrealespositivos,yalrepresentarlas grficamenteseobtienencurvascrecientesodecrecientesentodosu dominio, que tienen al eje de ordenadas como asntota vertical Autoevaluacin Marquen la opcin correcta 1.Consideren la funcin.212 log2|.|

\|+ = x ya) Tiene como dominio al intervalo ( )( )|.|

\|+ +|.|

+ + ;41); 0 ),41), )IVIIIIII b) Corta al eje x en el punto ( )|.|

\||.|

\||.|

\|0 ;41)0 ;41)0 ;21)0 ; 0 )IVIIIIII c) Corta al eje y en el punto 21 ( )( )( )|.|

\|21; 0 )0 ; 0 )1 ; 0 )1 ; 0 )IVIIIIII 2.La solucin de la ecuacin8 21=+ x , es: 1 )2 )1 )2 ) === =x IV x IIIx IIx I 3. Se estudia el comportamiento de la concentracin de unasolucinqumicasometidaadistintastemperaturasyse compruebaquedichocomportamientorespondeaunmodelo exponencial Paraunatemperaturade2C,laconcentracinesde9 unidades,yparaunatemperaturade4C,laconcentracin asciende a 20,25 unidades. a) Culeslafuncinquerelacionalatemperaturayla concentracin? xxy II y I5 , 1 . 4 )4 . 5 , 1 )== b) Cul es la concentracin a 6 C? 55 , 46 )56 , 54 )65 , 54 )56 , 45 )IVIIIIII c) Esciertoquelaconcentracinaumentaenforma directamente proporcional a la temperatura? no IIsi I)) d) Aqutemperaturalaconcentracinserde1,125 unidades? 22 C IIIC IIC I 18 , 3 )13 , 3 )13 , 3 ) 23 Unidad 2: Secciones cnicas 1.Circunferencia 2.elipse 3.hiprBola 4.parbola Autoevaluacin Secciones cnicas Para leer Sellamaseccionescnicasalasquepuedenobtenersemediantela interseccin de un plano cono circular un con recto Lasseccionescnicaspuedendefinirsemedianteelconceptolugar geomtrico,queeselconjuntodelospuntosdelplanoquecumplen con una condicin comn. 24 1.Circunferencia La circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es constante. Laecuacindeunacircunferenciadecentroo=(h;k)yradiorest dada por la frmula( ) ( )2 2 2k y h x r + = Ejemplo: -La ecuacin de la circunferencia de centro ( ) 1 ; 4 y radio 3 es( ) ( ) 9 1 42 2= + + y x-Queremos saber siy y x 22 2= + es la ecuacin de una circunferencia. Igualamos la ecuacin a 0 0 22 2= + y y xSumamosyrestamos1paraobteneruntrinomiocuadradoperfecto ( )0 1 1 2212 2= + + _ yy y x Despejamosloscuadradosyobtenemoslaecuacindeuna circunferencia de centro (0; 1) y radio 1 ( ) 1 12 2= + y x 1.Hallenlaecuacindelassiguientescircunferenciasde acuerdo con los datos indicados en cada caso. a) Centro (0;0) y radio 5 b) Extremos de un dimetro (-1;-1)y (5;5) c)Tieneelmismocentroquelacircunferenciacuyaecuacines x y x 22 2 = +y su radio es 3. 2. Resuelvan grficamente los siguientes sistemas a)== +x yy x3252 2 25 b)( ) = + = +4 312 22 2y xy x 3.Encuentrenelcentroyelradiodecadaunadelas siguientes circunferencias a)0 9 2 62 2= + + + y x y xb) 0 14 82 2= + + y y x 2.elipse La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Laecuacindeunaelipseconcentroenelorigendecoordenadasyfocos sobreelejedeabscisases 12222= +byax.Silosfocosestnsobreelejede ordenadas,laecuacindelaelipsees12222= +bxay.Enamboscasosse verifica 2 2 2c b a + = Ejemplos -Parahallarlaecuacindeunaelipsedefocos) 0 ; 3 (1= F y ) 0 ; 3 (2 = F cuyo eje mayor es 10, procedemos as: 26 Hallamos a resolviendo la ecuacin5 10 2 = = a a Hallamos b mediante la relacin 2 2 2c b a + = 2 2 23 5 + = b 29 25 b = 216 b = 4 = b Hallamos c2 2 2c b a = 2 2 24 5 c = 216 25 c = 3 = cLa ecuacin es, entonces116 252 2= + y x -Laecuacin1289 642 2= + y x,hallamoslascoordenadasdelosvrticesy focos de la siguiente manera: Losfocosestnsobreelejeyporque64 289 > ,entonces8 64 ; 17 289 = = = = b ay15 64 289 = = c ,c= 15 Entonces( ) ( ) ) 15 ; 0 ( ); 15 ; 0 ( , 17 , 0 ; 17 , 02 1 2 1 = = = = F F v v 1.Lassiguientesecuacionesrepresentanelipsesconcentroen (0,0).Hallen los focos y los vrtices3 3 )116 9)136 100)2 22 22 2= += += +y x cy xby xa 2.Resuelvananalticamenteygrficamentelossiguientes sistemas a)= + =4 24 162 2y xy x b) == +412542 22 2y xy x 27 3.Hiprbola Para leer Lahiprbola esel lugargeomtricodelos puntosdelplanotalesqueel mdulodeladiferenciadesusdistanciasadospuntosfijosllamados focos es constante. Laecuacindelahiprbolaconcentroenelorigendecoordenadasy focossobre el eje de las abscisas es12222= byax. Si los focos estn sobre eje de las ordenadas, la ecuacin es 12222= + aybx. Las asntotas de una hiprbolason las rectasxaby =e xaby = .En ambos casos se verifica que 2 2 2b a c + = Ejemplos -Laecuacindelahiprboladefocos) 0 , 2 (1 = F y( ) 0 , 22 = F y asntotasx y = yx y =se puede hallar de la siguiente manera Como1 =aby1 =ab, por las ecuaciones de las asntotas , entonces b a = . Reemplazamos en la expresin 2 2 2b a c + =y obtenemos ( )2 222 b a + =.Despejamos: 12= a y,porlotanto,12= b .Laecuacin buscada es: 12 2= y x. 28 -Losfocosdelahiprboladeecuacin14 92 2= y x,lospodemoshallar de la siguientemanera: Reemplazamos los valores de a y b en la relacin 2 2 2b a c + =Y obtenemos 13 4 9 = + = c Comolosfocosestnsobreelejexporque4 9 > ,suscoordenadas son( ) 0 ; 131 = F y( ) 0 ; 131 = F ,ylasecuacionesdelasasntotasson x y32=e x y32 = . 1.Lassiguientesecuacionesrepresentanhiprbolasconcentro en (0,0). Encuentren los focos, los vrtices y las asntotas. 144 16 9 )136 64)14)2 22 222= = = y x cx ybyxa 2.Identifiquencadaunadelassiguientescnicas.Determinen, encasotenerlas,lascoordenadasdelcentro,elvrtice,el foco y las ecuacionesde las asntotas, y luego grafquenlas. 1822)313 3 )144 36 9 )2 22 22 2y xcy x by x a = = = 29 4.Parbola Para leer La parbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que sus distancias a un punto fijo llamadofoco y a una recta llamada directriz son iguales. Laecuacindeunaparbolaconvrticeenelorigenydirectrizde ecuacinp x = esecuacinpx y 42= .Silaecuacindeladirectrizes p y = , la ecuacin de la parbola espy x 42= . Ejemplos -Laecuacindelaparboladefoco(5;0)ydirectrizx=-5es x y 5 . 42= , o sea , x y 202= . -Para hallarlascoordenadasdelfocoy dela ecuacindela directriz delaparboladelaecuacinx y 122 = procedemosdelasiguiente maneraIgualamos3 12 4 = = p pEntonces el foco es F=(-3;0) y la directriz x=3. 30 1.Hallenlascoordenadasdelfocoylaecuacindeladirectrizde las parbolas cuyas ecuaciones son las siguientes. y x cx y bx y a4 )8 ))222= == 2.Hallen la ecuacin de las siguientes parbolas de acuerdo con los datos indicados en cada caso. a)Foco en (4;0) y directriz de la ecuacin x=-4 b)Foco en (-12;0) y directriz de la ecuacin x=12 c)Foco en (0;8) y directriz de la ecuacin y=-8 3.Resuelvan analticamente y grficamentelos siguientes sistemas == = + =y xx yby xx ya2222)2) 4.a) Hallen la ecuacin dela circunferenciade centro (-2;5) a la que pertenece el punto (-2;0). b)Encuentrenlospuntosdeinterseccindelacircunferencia anterior con la curva de ecuacin: 0 16 62 2= + x y x 31 Autoevaluacin Marquen la opcin correcta 1.La ecuacin de la elipse de centro (0;0) y que pasa por (0;-3) y (5;0) es: a)116 92 2= + y x b)19 162 2= + y x c)125 92 2= + y x d)19 252 2= + y x 2.Laecuacindelahiprboladevrtices(2;0)y(-2;0)y asntotas y =2x y y=-2x es : a)116 42 2= y x b)14 162 2= y x c)125 42 2= y x d)14 252 2= y x 3.La ecuacin0 2 4 4 22 2= + + y x y x corresponde a: a)una hiprbola b)una circunferencia c)una elipse d)una parbola 32 Unidad 3: Sucesiones 1.Las sucesiones numricas 2.Sucesiones aritmticas 3.lasumadelosprimerosntrminosdeunasucesin aritmtica 4. Sucesiones geomtricas5.Sumadelosprimerosntrminosdeunasucesin geomtrica Autoevaluacin 1.Las sucesiones numricas Para leer Una sucesinnumrica esuna funcincuyodominioesel conjunto N delosnmerosnaturalesounsubconjuntodesteycuyaimagen est incluida en el conjunto de los R de los nmeros reales. Cundotrabajamosconsucesiones,prestamosespecialatencinal nmero de orden n que le corresponde a cada una de las imgenes, y a stas las llamamos trminos de sucesin. Los trminos de una sucesin siguen una regularidad o ley que las caracteriza, que se expresa algebraicamente mediante una frmula a la que llamamos trmino general o trmino ensimo de la sucesin. Observenenelsiguienteejemplolanotacinque na utilizamospara trabajar con sucesiones. Consideremos la sucesin de trmino general2 3 + = n an Lugar que ocupan=1n=2n=3n trminos 52 1 . 311=+ =aa 82 2 . 322=+ =aa 112 3 . 333=+ =aa 2 . 3 + = n an 33 a)Dadoslostrminosgeneralesdecuatro sucesionesnumricas,hallenparacadauna losseisprimerostrminosylasumade stos. na1 + nn 1 3 + n121 n ( ) nn. 1 1a2a3a4a5a6a6s b)Encuentrenunaexpresindeltrmino generaldecadaunadelassiguientes sucesiones. a)1; 3; 5; 7; 9........ .......... =nab)-1; 2; -3; 4; -5;........ .......... =nac) ;...321;161;81;41;21 ........ .......... =nad)2; ;...252;81;92;21........ .......... =na 2. Sucesiones aritmticas Para leer Unasucesinaritmticaesunasucesinnumricaenlacualcadatrmino seobtienesumandounvalorconstante,llamadodiferencia,altrmino anterior. 34 d a a + =1 2d a a + = 1 2 d a a d a d d a d a ad a a d a d d a d a a+ = + = + + = + =+ = + = + + = + =3 4 1 1 3 42 3 1 1 2 33 22 ( ) + = d n a an. 11Frmuladeltrminogeneraldeuna sucesin aritmtica. 1.Despejen cada una de las variables en la frmula del trmino general, y completen. a)Siendo31 = a y 73 = a trminosdeunasucesinaritmtica, hallen 10, a d y 15a . b)Siendo 2792 = a y393 = a trminosdeunasucesin aritmtica, hallen 10, a d y 15a . 2.Losdatosquesedancomohiptesis corresponden a sucesiones aritmticas. Analicen si en cada caso la tesis es verdadera o falsa. a) Si 31 = ay812 = a , entonces tesisd 1 = . b)Si213 = ay 21= d , entonces 211 = a c)Si 111 = a , entoncesd a 4 115+ =d)Si 41 , 378 = = a an y13 = d , entonces14 = n 3) la suma de los primeros n trminos de una sucesin aritmtica Para leer Consideremos una sucesin aritmtica cuyos seis primeros trminos son: 7;11;15;19;23;27 Podemos calcular la suma de estos trminos haciendo: S6 = (7+27).6/2 35 S6=102 Para sumar los primeros n trminos de cualquier sucesin aritmtica, podemos aplicar la siguiente frmula:

( )2.1na a Sn n+ = 1.Calculen la suma de los primeros 40 nmeros naturales 2.Hallenlasumadelosmltiplosde5mayoresque42ymenores que 158. 3.Cuntos mltiplos de 9 se encuentran entre 1000 y 3000? 4.Elsegundoyeltercertrminodeunasucesinaritmticason respectivamente7y-3/2.Calculenlasumadelosprimeros10 trminos. 4.sucesiones geomtricaspara leer Unasucesingeomtricaesunasucesinnumricaenlaculcadatrmino seobtienemultiplicandoporunvalorconstante(sir>0yrdistinto1), llamado razn , al trmino anterior. a2=a1.r a3=a2.r=a1.r.r=a1.r2 a4=a3.r=a1.r2.r=a1.r3 an=a1.rn-1 Frmula del trmino general de una sucesin geomtrica. 1.Sobre la base de la informacin dada, analicen si cada una de las siguientes sucesiones es o no una sucesin geomtrica. Para las que lo sean, calculen la razn y escriban la frmula del trmino. a)3;6;12;24;48;. b) -1;2;-4;8;-16; c)3;6;24;192;3072; 36 2.Losdatosquesemuestrancorrespondenasucesiones geomtricas. Completen las frases. a)Si a1=3 y r=1/2 , entonces a5=. b)Si a7=-64 y a3-4, entonces r= 3.El primer trmino de una sucesin geomtrica es 4 y su razn es 2. Hallen los cinco primeros trminos. 5.suma de los primeros n trminos de una sucesin geomtrica para leer Consideremosunasucesingeomtricaderazn3,cuyo5primerostrminos son : 2;6;18;54;162 La suma de estos 5 trminos podemos calcularla haciendo: 2423 13 1. 2555= ||.|

\|= s sPara sumar losprimeros n trminos de cualquier sucesin geomtrica, podemos aplicar la siguiente frmula: ||.|

\|=rrsnna11.1donde r es la razn. 1.Losdatosdecadafiladelasiguientetablacorrespondenala misma sucesin geomtrica. Completen los que faltan. a1 a2 a3 a4 rs4 420 15 95 40,1 0,22,496 -8-15 2.Enunprismarectangularde216cm3devolumen,tresaristas distintasformanunasucesingeomtricaysusumaes21. Encuentren las dimensiones del prisma. 37 Autoevaluacin Marquen la opcin correcta 1.Losnmeros2,3y4sonlosprimerostrminosdeuna sucesin cuyo trmino general es: a) 12+ = n an b)n n nan+=2 c)12 = n an d)nnan1 2 +=2.1;2;6;24 son los primeros cuatro trminos de una sucesin . el quinto trmino es: 1.33 2.48 3.96 4.120 3.Siunasucesingeomtricaa1=-81;an=-1/3;r=1/3 entonces a)8119 = ab) n es impar c)33646 = s Unidad3 Ejercicios de aplicacin: a) Escribir, a partir del trmino general, los 6 primeros trminos de cada una de las sucesiones. 1) 2) 1 2 + =n an3 2 =nna 38 b)Indicarsilassiguientessucesionessonaritmticaso geomtricas y calculen la razn. 1) 5; 9; 13; 17; 21;... 5)

2)... ;25; 2 ;23; 1 ;216) ... ; 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; t t t t t 3) 7) 4)8) ;... 2 4 ; 2 3 ; 2 2 ; 2

Enunasucesinaritmticacadatrminoseobtienesumndole al anterior un valor constante d. Para calcular 6a en una sucesin en la cual 7 22 1= = a y a, se debe hallar la razn. ... ;812;272;92;32; 2... ; 9 ; 3 3 ; 3 ; 3... ;321;161;81;41;21 ;... 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64veces nd d d a d a ad a d d d a d a ad a d d a d a ad a ad a an n1.......... .......... .......... .......... .......... ..........32101 11 1 3 41 1 2 31 21 1+ + + + = + =+ = + + + = + =+ = + + = + =+ =+ =d n a aes a general o tr Elnn. ) 1 (: min1 + =43 9 . 5 2 9 ). 1 6 ( 2 ). 1 6 (9 2 7 ) 2 ( 76 6 6 1 61 2= + = + = + == + = = =a a a d a ad d d a a d 39 Laraznesigualaladiferenciaentredostrminos consecutivos:{} 11 e N k y a ak k Para calcular 4a en una sucesin en la cual 10a = -35 y d=-8,seconsideraa 4acomoprimertrminoya10a, por lo tanto, como sptimo. Parahallarelnmerodetrminosdelasucesin8;20; ....;140, se debe calcular la razn. 12 1 11 12 ). 1 ( 132 12 ). 1 ( 8 140 ). 1 (12 8 2011 2= = = + = + == = =n n n n r n a ad d a a dn Ejercicios de aplicacin Ejercicios resueltos a) Dados5 31= = d y a ,hallar. 1) Los 10 primeros trminos de la sucesin aritmtica. 3; 8; 13; 18; 23; 28; 33; 38; 43; 48 2)El trmino generalna

2 5 5 5 3 5 ). 1 ( 3 ). 1 (1 = + = + = + = n a n a n a d n a an n n n 3)La suma de los 20 primeros trminos. 010 . 1 10 . 101220 ). 98 3 (98 5 . 19 320= = += = + =n n nS S S a 13 48 35 ) 8 .( 6 35 . ) 1 7 ( ). 1 (4 4 4 4 10 1= + = + = + = + = a a a d a a d n a an 40 b) Calcular el nmero de trminos de cada una de las siguientes sucesiones. 1)-7; 6;...;175 15 1 14 13 ). 1 ( 182 13 ). 1 ( 7 175 13 = = = + = = n n n n d 2) 10 1 931). 1 ( 331). 1 ( 3 0310 ;31;...; 3= = |.|

\| = |.|

\| + = = n n n n d c) Calcular y responder. 1) Cul es la suma de los nmeros naturales del 1 al 100? 2)Cuntos mltiplos de 4 hay entre 21 y 95? 18 1 17 4 ). 1 ( 24 92 4 92 , 241= = + = = = = n n n d y a an 3)Cul es la suma de los 30 primeros mltiplos naturales de 7? 255 . 3 15 . 0217230 ). 210 7 (210 7 . 29 730 = += = + =n nS S a 050 . 5 50 . 1012100 ). 100 1 (= = +=n n nS S S 41 Unidad 4: probabilidades 1.combinatoria,diagramaderboly de casilleros 2.permutaciones y variaciones3.combinaciones 4.probabilidad de un suceso probabilidades Sibienesciertoquelateoradeprobabilidadessurgi dejuegosdeazar,enlaactualidadtienevariadas aplicaciones. Para calcular el tamao de una muestra en un control de calidad,paraaveriguarelerrordeestimacinenuna encuesta,paraverificarsilasvariablesqueintervienen enunatabladedobleentradadependenunadeotra, paraprobarsiuntratamientomdico-quefueexitoso para una muestra-se puede aplicar en el resto de los que padecen la enfermedad, debemos aplicar los conceptos y los mtodos de la teora de probabilidades. 1.combinatoria, diagrama de rbol y de casilleros para leer Lailustracinmuestralasposibilidadesdealmuerzodelosalumnos en el comedor de una escuela. Las distintas formas en que un alumno puedeelegirelalmuerzosepuedenesquematizarmedianteun diagrama de rbol. Men del da ComidaBebidas MilanesaJugo de naranja PanchoJugo de pomelo hamburguesa 42 Sisolamentequisiramoscontarlacantidaddealmuerzosdistintos quepuedenarmarunalumnoconelmen,podemosutilizaren diagrama de casilleros , de la siguiente manera: Cantidad de almuerzos =3.2 32 Naranja o pomelo Milanesa , pancho o hamburguesa naranja Milanesa pomelo naranja Almuerzospanchopomelo naranja hamburguesa pomelo 1.Considerenslolosdgitosdel1al5pararesponderlas preguntas. a)Cuntos nmeros de 3 cifras distintas se pueden formar? b)Cuntos de 3 cifras se pueden formar? 2.Decuntasmaneraspuedensentarse4personasenun colectivo que tiene 8 asientos libres? 3.Cuntaspalabras(conosinsentido)de4letraspueden formarse con todas las letras de la palabra CUBO? 4. a) Cuntas palabras (con o sin sentido) distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra OSTRA? b) cuntas de ellas terminan en vocal? c)Cuntas tienen una vocal en el medio d) Cuntas terminan con s? 5.En la carrera final de la prueba de 100 metros llanos de una escuela intervienen 7 alumnos. a) de cuntas formas distintas puede resultar la carrera? b) En cuntas de ellas Gustavo llega primero? c)En cuntas de ellas Gustavo llega primero y Matas ltimo? 2.permutaciones y variacionespara leer UnapermutacindeunnmerondeobjetosPn esunadisposicindeesos objetosenunciertoorden.Paracontarlasdistintaspermutacionesquese 43 pueden formarcontodoslosnelementos deungrupo,sepuedeseguiralguno de los siguientes procedimientos. 4)Utilizar diagrama de casilleros, 5)Utilizar la frmula Pn=n! n! se lee faltorial del nmero n y se calcula mediante el producto n!= n. (n-1). (n-2) .1 o bien , con la calculadora cientfica, utilizando la tecla x! Ejemplo Lacantidaddeformasdistintasenquesepuedenordenar5librosenun estante puede calcularse as: P5=5!=5.4.3.2.1=120 formas distintas Una variacin de k elementos elegidos de grupos de n Vn;k es una disposicin de los k elementos seleccionados en un cierto orden Para contar las variaciones de k elementos elegidos de un grupo De n elementos podemos seguir algunos procedimientos -Utilizar diagrama de casilleros -Aplicar la frmula )! (!;k n nVk n=Ejemplo: La cantidad de formas en que se puede distribuir 3 premios distintos entre 7 personas se puede calcular con V7;3=7!/(7-3)!=5040/24= 210 SidisponendeunacalculadoracientficaqueincluyalateclanPr,pueden verificar el resultado oprimiendo la siguiente secuencia:7 nPr 3= 210 1.Luego de un amistoso de vley, los jugadores posan para una foto a)Decuntasformasdistintaspuedenordenarselos6jugadores de cada equipo? b)Decuntasformasdistintaspuedenordenarsetodoslos jugadores en lnea para la foto? c)Y si se posan los de un equipo de pie y los otros en cuclillas? 2.Consideren los dgitos del 1 al 7 a)Cuntos nmeros de 4 cifras distintas se pueden formar? b)Cuntos son pares? c)Cuntos son mayores de 3000? d)Cuntos son menores de 4200? 44 3. combinaciones para leer Una combinacines una seleccin de objetos sin considerar el orden. Unaseleccindekobjetosenungrupodendistintossellama combinacindenelementostomadosdeak.Paracontartodaslas combinaciones de n elementos tomados de a k podemos seguir alguno de los siguientes procedimientos -Aplicar el cociente.kk nk nPVC;; =-Usar el nmero combinatorio ( )! !!k n knkn=||.|

\| Ejemplo : Juan prepara su bolso para irse un fin de semana de campamento. Vaallevar3remerasyenelplacardtiene8disponiblespara empacar,. La cantidad de grupos distintos de 3 remeras que puede llevar se puede calcular mediante:C8;3=8!/3!.(8-3)!=40320/720=56 SidisponendeunacalculadoracientficaqueincluyalateclanCr,pueden verificar el resultado oprimiendo la siguiente secuencia:8 nCr 3= 56 1.Decuntasformasdistintassepuedeseleccionaruna comisin de 4 alumnos en un curso de 25? 2.Jsica va de compras a una liquidacin de remeras en la quevenden3por$10.Sihay7modelosdistintos,De cuntas formas distintas puede seleccionar 3 remeras? 3.Enunainmobiliariahay10empleadosyseorganizan guardias de 3 personas para los das domingo, en forma rotativa,demodoqueseaequitativoparatodoslos empleados. 4.Un domingo coincidieron Esteban, Gonzalo y Cecilia y se hicieronmuyamigosDentrodecuntosdomingos volvern a coincidir en la guardia? 45 RESUMEN DE FRMULAS COMBINACIONESVARIACIONESPERMUTACIONES ! ) ( . !!a b abCab=! ) (!a bbV ab= ! b PB = Ejercicios de aplicacin Antes de comenzar a resolver problemas es necesario saber distinguir si se trata de un clculo de combinaciones, permutaciones o variaciones. a)Elplanteldeunequipodeftbolcuentacon8volantes.Parael partido del domingo, el director tcnico debe elegir a 3 de ellos. De cuntas maneras pueden ser elegidos?b) Decuntasmanerasposiblespuedenubicarse3automvilesen una playa de estacionamiento que tiene 5 lugares disponibles? c)Interpretarlossiguientesenunciadoseindicar(sinresolver)sise trata de combinaciones, permutaciones o variaciones. 1)Unapersonaasisteauncriaderodeperros.Hay7cachorrosdesu agrado, pero slo dispone en su casa de espacio suficiente para tener 2. De cuntas maneras puede elegir 2 de los 7 cachorros? 2)Enunestantepuedencolocarse12videoscassettes.Decuntas maneras pueden ubicarse? 3)De cuntas maneras pueden ubicarse 5 personas en una fila? 4)Cuntas posibilidades hay de elegir 4 candidatos a un mismo cargo entre 10 postulantes ? 5)Enunrecital,elcantantesolistainterpretar7temas.Decuntas maneras diferentes puede ubicar cronolgicamente sus canciones en ese recital? 6)Seis atletas (A, B, C, D, E, F) van a competir en una carrera de 200 metros.Elganadorserpremiadoconunamedalladeoroyel segundo con una de plata. El tercero con una de bronce. De cuntas maneraspuedenrepartirselos3premiosentre6atletas participantes? 7)Recuerdaslacaractersticadelnmerotelefnicodeunamigoylos dosnmerossiguientes:75348--,peroolvidastelasdoscifras finales.Cuntosnmerostelefnicospuedencomenzarcon753 48 - - ? 4 P 46 8)Decuntasmanerasdistintaspuedenubicarselos20equiposde ftboldeprimeradivisinenlatabladeposicionesalterminarun campeonato? 9)Una persona tiene que elegir 3 libros entre 9 que son de su inters. Cuntas elecciones diferentes puede hacer? 10)Unmuchachoobservaqueensuplacardhay10camisas.Desea seleccionar7parautilizarunaencadadadelasemanasiguiente. Cuntas elecciones puede hacer? 4. probabilidad desucesos para leer Llovermaana?Elpremiodelgordodeaonuevoterminaren5?Se producir algn accidente de aviacin el mes entrante? Conseguir estudiar el temario completo del prximo examen? As,ennuestravida aparecencentenaresdeacontecimientoscuyarealizacin esincierta.Elgradodeincertidumbre(esdecirdeausencia,certezao seguridad) suele ser menor o mayor, segn el caso. A esos sucesos que dependen del azar se los llama aleatorios y, justamente, la teoraencargadademedirhastaqupuntounsucesoocurraono,esladela Probabilidad. Enmuchoscasossetratadepredecirunacontecimientofuturoteniendoen cuentaexperienciasanteriores.AsesquelateoradelaProbabilidades ayudada por las Estadsticas. La probabilidad es entonces, la medida que seala hasta qu punto puede o no ocurrir un determinado suceso. Matemticamente se define como el cociente que resulta de dividir el nmero total de casos favorables por la suma de todos los casos, igualmente posibles, sean stos favorables o no. Probabilidad = Totaldecasos favorables Resultados esperados Totaldecasos posibles Resultados igualmente posibles Por ejemplo: Qu probabilidad hay que caiga en cara una moneda que se arroj al aire? 47 En este caso, es evidente que la moneda caer mostrando cara o cruz todas las veces que la arrojemos, puesto que no hay ms casos posibles en un tiro. O sea que la probabilidad de que caiga encara es igual quela de que caiga en cruz. La relacin de probabilidad siempre est entre 0 y 1. Probabilidad 0 Implicalaimposibilidadtotaldequeocurraun determinadosuceso.Porejemploquemaanaelro Paran se seque. Probabilidad 1 Eslaseguridadtotaldequeocurraunsuceso.Por ejemploqueunapersonaqueenlaactualidadviva, algn da muera. As,entre0y1sedantodoslosgradosdedeprobabilidad,cuantoms cercanoa0,elsucesoserpocoprobableycuantomscercanoa1,ms probable, hasta llegar a ser casi seguro o completamente seguro si llega a 1. 1)Si del mazo se extraen 3 reyes: Cul es la probabilidad de extraer el rey que falta? 2)Qu probabilidad hay de extraer el 4 de copas? 3)Seseparandelmazoloscomodines,lascopasylosbastos.Qu probabilidadhaydeextraer,deentrelascartasquequedan,elasde espadas? Ejercicios de aplicacin a) Cul es la probabilidad de... 1)... obtener un 5 al arrojar un dado? 2)... sacar un as de un mazo de 40 cartas espaolas? 3)... sacar una carta de basto de un mazo de 40 cartas espaolas? 4)...obtener 3 caras al arrojar 3 monedas al aire? 5 , 021Pr5 , 021Pr= = == = =posibles casosfavorables casoscruz en caiga que obabilidadposibles casosfavorables casoscara en caiga que obabilidad 48 b)Enuncia3ejemplosdeimposibilidad(probabilidad0)y3decerteza (probabilidad 1). Esposibleestimarlaprobabilidaddequeocurraunsucesoantesde efectuarunaexperiencia,siempreycuandoelinstrumentoaleatorio presente caractersticas de regularidad, por ejemplo, un dado; pero si es irregular,porejemplounas chinchesoundadodefectuoso, slopuede valorarselaprobabilidaddequeocurraunsucesodeexperimentar reiteradamente. 49 Unidad 5: Lmite 1. aproximacin intuitiva al concepto de lmite 2.lmite de una funcin en un punto 3. lmites en el infinito 4. clculo de lmite Propiedades de los lmites 5. indeterminaciones 6. indeterminacin del tipo 00 7. indeterminacin del tipo 8. indeterminacin del tipo Autoevaluacin 1.aproximacin intuitiva al concepto de lmite Para leer En este captulo comenzaremos a manejar algunas herramientas del clculo diferencial, empezando por el concepto de lmite Tantoenlarelacinconesteconceptocomoconmuchosotrosdelosque trataremos,notrabajaremoscondefinicionesydemostracionesformales, sino con aproximaciones intuitivas que nos permitirn aplicar algunas de sus propiedades en la profundizacin del estudio de funciones. -Cuandolosvaloresdexse aproximan a 5 por la derecha , f(x)tomavalorescadavez mayores. Decimosentoncesqueellmitedef(x) cuando x tiende a 5 por la derecha tiende 50 a ms infinito y lo simbolizamos de la siguiente manera:

+ =+) (lim5x fx -Cuandolosvaloresdexseaproximana5porlaizquierda,f(x) toma valores cada vez menores. Decimosentoncesqueellmitedef(x)cuandoxtiendea5porla izquierdatiendeamenosinfinitoylosimbolizamosdelasiguiente manera:

=) (lim5x fx -Cuando los valores de x son cada vez mayores, f(x) toma valores cada vez ms cercanos al 3. Decimos entonces que el lmite de f(x) cuando x tiende a ms infinito es 3 y lo simbolizamos de la siguiente manera:

3 ) (lim=+ x fx -Cuando los valores de x son cada vez menores, f(x) toma valores cada vez ms prximos al 3. Decimos entonces que el lmite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es 3 y lo simbolizamos de la siguiente manera:

3 ) (lim= x fx 1.Completen a) .. .......... ) (lim0=+x fx .. .......... ) (lim0=x fx .. .......... ) (lim=+ x fx 51 .. .......... ) (lim= x fx b) .. .......... ) (lim2=+ x fx .. .......... ) (lim2= x fx .. .......... ) (lim=+ x fx .. .......... ) (lim= x fx 2. lmite de una funcin en un punto 1.Realicenlasgrficasdelassiguientesfuncionesyluego completen: a)2) ( / : x x f f = 9 9.. ..........22lim=+xx.. ..........22lim=xxX1,91,991,99922,0012,012,1 F(x) 52 b) { } 1 2 ) ( / 2 : + = 9 9 x x g g.. .......... ) 1 2 (lim2= ++xx ( ) .. .......... 1 2lim2= +xx X1,91,991,99922,0012,012,1 g(x) c)> s = 9 92 22 1) ( / :x xx xx h h.. .......... 2lim2=+xx .. .......... ) 1 (lim2= xx X1,91,991,99922,0012,012,1 h(x) Cuandocalculamosellmitedeunafuncinenunpuntodelaabscisax=a, pueden presentarse las siguientes situaciones apertenecealdominiodefyfes continuaendichopunto.Enestecaso,el lmite coincide con la imagen de a

53 a no pertenece al dominio de f y los lmites lateralescoinciden. La funcin tiene lmite en ese punto. apertenece al dominio de f y los lmites lateralesno coinciden. La funcinno tiene lmite en ese punto. 2. Calculen los siguientes lmites a) 2 3lim2xx= b)( ) = 225 , 0lim xx c)( ) = + 232limx xx d)=214 3limxxx e)= xx2lim2 54 2.Grafiquen cada una de las funciones y calculen) (lim3x fx. a)> < =3 3 33 2) (x xx xx f b) > < =3 53 5) (2x xxx f c) > < =3 33 2) (x xxx fx 3.Grafiquen las funciones y completen las tablas a) { }xx f f1) ( / 0 : = 9 9.. ..........1lim0=+xx .. ..........1lim0=xx X-0,1-0,01-0,00100,0010,010,1 f(x) b) a) { }21) ( / 0 :xx f f = 9 9.. ..........120lim=+xx .. ..........120lim=xx 55 X-0,1-0,01-0,00100,0010,010,1 f(x) Para leer 4.Para cada una de las siguientes funciones indiquen el dominio, el conjunto imagen y los lmites pedidos. 56 5.Calculen los lmites de cada funcin en aquellos puntos donde no pertenezcan a su dominio. a)22) (xxx f+=b)4) (=x xx gc)11) (2=xx h 3.lmites en elinfinito a) { }13) ( / 1 :+= 9 9x xx f f x 10100 1000 10000 100000 F(x) x-10-100-1000-10000-100000 F(x) 57 .. .......... ) (lim=+ x fx .. .......... ) (lim= x fx b) 1 ) ( / :2+ = 9 9 x x f f .. .......... ) (lim=+ x fx .. .......... ) (lim= x fx para leer Enlossiguientesejemplospuedenobservarcmoexpresamosmediante lmiteselcomportamientodeunafuncincuandolosvaloresdexcrecen indefinidamente (cuando x tiende a + ) o cuando los valores de x decrecen indefinidamente (cuando x tiende a ) x 10100 1000 10000 100000 F(x) x-10-100-1000-10000-100000 F(x) 58 a.Hallen los lmites a) .. ..........12lim=|.|

\|+ xx b) .. ..........12lim=++ xx 4.clculo de lmites Propiedades de los lmites Para leer Sim x fa x=) (limyk x ga x=) (lim,siendomyknmerosreales,severificanlas siguientes propiedades: -| | k m x g x fa x+ = +) ( ) (lim -| | k m x g x fa x. ) ( ). (lim= 59 - kmx g x fa x=((

) () (lim (solo si k= 0) -| | cm x f ca x. ) ( .lim= Ejemplos 422lim=xx y( ) 3 1lim2= +xx ( ) | | 7 3 4 ) 1 (22lim= + = + +x xx | | 12 3 . 4 ) 1 ).( (22lim= = +x xx 34) 1 () (22lim=((

+xxx | | 20 4 . 5 . ) .( 522lim= =xx 1.Calculen los siguientes lmites a)( ) ......... 22 33lim= + +x x xx b).........2 212 3221lim= + x x xx c).........3 421 3227lim=+xxx 5.indeterminaciones Para leer Enalgunoscasosnosencontraremosconquecuandointentamoshallarun lmite por clculo directo obtenemos una expresin en la cual no es posible concluirculserlatendencia.Aestoscasoslosllamamos indeterminaciones Algunas indeterminaciones Que pueden presentarse son las siguientes: 00

1 0 . 000 60 Nosdedicaremosatrabajarconalgunosrecursosalgebraicosquesirven para resolver algunos casos del tipo de las tres primeras 6.indeterminacin del tipo 00 Enlosejemplossiguientesseresuelvenindeterminacionesdeltipo00 para las funciones racionales. ( )( )4 222 . 224lim lim lim2 222= + = += xxx xxxx x x(aplicamospropiedad cancelativa) 1)Calculen los siguientes lmites a) =99 323lim xxx b)=++ 2 221limxx xx c)=x xx xx525235lim d)=+ ++ + 6 54 4222limx xx xx 7.indeterminacin del tipo En el siguiente ejemplo se resuelve una indeterminacin del tipo =+=+=+ _ 222 222 23233223 223 22lim lim limxxxx xxxxxxxx xx x x dividiendo a cada trmino por la potencia ms grande del denominador . 61 1)Calculen los siguientes lmites a)=+ xxx62 3lim b)=+ x xxx34 522lim c)=+ x xx xx2523lim d)=+ x xx xx2 53 432lim 8. indeterminacin del tipo En el siguiente ejemplo se resuelve una indeterminacin del tipo = |.|

\| = |.|

\| =||.|

\| _ _ 322 253 .53 5 3lim lim lim limxxxx x xx xactorcomun extraemosfx x 1)Calculen los siguientes lmites a)( ) = 25 2limx xx b)( ) = x xx3 33lim c)( ) = + 25limx xx Bibliografa -Carpeta de matemtica I, Carlos Abdala-Mnica Real-Claudio Turano,editorial Aique. -Carpeta de matemtica II, Carlos Abdala-Luis Garaventa -ClaudioTurano, editorial Aique. -Matemticas , Bachillerato 1, Miguel de Guzmn y otros, editorial Anaya.