1. LA DERIVADAIntroduccin:Fue Isaac Newton que estudiando las leyes del movimiento de los planetas que Keplerhaba descubierto medio siglo antes, lleg a la idea de incremento de una funcin como se nos ofrece en dos ejemplos; la velocidad y la aceleracin de los cuerpos en movimiento, conceptos bsicos de la Dinmica.En el Clculo Diferencial es fundamental comprender esta idea de incremento que seasocia a la nocin de derivada y ha permitido a lo largo de los siglos hallar soluciones aproblemas como determinar la ecuacin de rectas tangentes a una curva y calcular los valores mximos o mnimos de las funciones.La derivada expresa la variacin de las funciones entre dos puntos muy cercanos y seaplica a situaciones fsicas como el clculo de la velocidad de un mvil, conocida su ley de movimiento como tambin a la solucin de otros problemas ligados a economa, demografa, costos, ingeniera, etc.La interpretacin geomtrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangentea una curva en un punto dado .El concepto de derivada est ntimamente ligado a el del lmite .Para comenzar debemos recordar cual es la ecuacin de una recta en funcin de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') :El segundo trmino de la ecuacin es lo que se llama pendiente de la recta, y nos da la inclinacin o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal.Si tenemos una funcin f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuacin de la recta secante (corta a la funcin en dos puntos):Por lo tanto tendremos que :Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez ms pequea (h tiende a 0 ) obtendramos una recta tangente (corta a la funcin en un solo punto)La ecuacin de la recta tangente vendr dada por :Donde la pendiente es :Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la funcin en ese punto :Cmo se calcula la derivada de una funcin en un punto?Puesto que la derivada es un lmite , lo que tenemos que hacer es calcularlo . Veamos un ejemplo sencillo :Sea la funcin f(x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que :f '(1) = 2 1 = 2Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 .Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la funcin es creciente, es decir, al aumentar la x aumenta la y.Para que se puede utilizar el concepto de derivada?Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos quef '(-1) = 2 (-1) = -2En este caso la pendiente es negativa por lo que la funcin en este punto es decreciente.Si analizamos en general el valor de la derivada de esta funcin en un punto cualquiera, vemos que si x0 es positivo, la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la funcin es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la funcin es decreciente.Qu ocurre en el punto x0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mnimo ya que la funcin pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha.la derivada nos puede servir para estudiar las funciones.1. Tasa de variacin mediaIncremento de una funcinSea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valerf(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la funcin.Tasa de variacin medialeft0Llamamos tasa de variacin media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la funcin y =f(x) en el intervalo[a, b] al cociente entre los incrementos de la funcin y de la variable, es decir:T.V.M. [a, b]. 2. Tasa de variacin instantnea. La derivadaConsideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).La tasa de variacin media en el intervalo [a, a +h] sera .Nos interesa medir la tasa instantnea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:A este valor se le llama la derivada de la funcin f en el punto a y se designa por, por lo tanto, la derivada de una funcin en un punto es el lmite de la tasa de variacin media cuando el incremento de la variable tiende a 0.Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.Observacin 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , tambin puede expresarse as:Ejercicio 2. Hallar la derivada de la funcin f(x) = -x2 +4x el punto de abscisa x =1.Observacin 2. Tambin se puede hablar de derivadas laterales, f + y f - (obligatorio que f sea continua) segn se considere el lmite para h>0 o h0 entonces f es creciente en el punto a.La demostracin de este resultado puede hacerse usando la definicin de derivada y e concepto de lmite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geomtrico de la derivada.Si f es derivable en un intervalo I y f >0 en ese intervalo entonces f crece en I.El recproco no se cumple en general.6. Mximos y mnimos relativos (o locales) de funciones derivablesSi una funcin tiene un mximo o mnimo relativo (o local) se dir que tiene un extremo relativo.Condicin necesaria de extremoProposicin.Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f (a)=0.Demostracin. Si no fuera cierto y por ejemplo f (a)>0 entonces por la proposicin anterior f sera creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de extremo.La condicin no es suficiente.Criterio prctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la funcin en ese punto es cero (condicin necesaria f (0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver figura 2.Condicin suficiente de extremoProposicin. Sea f una funcin derivable en a y tal que f (a)=0:a) Si f >0 entonces f tiene un mnimo relativo en el punto a.b) Si f 0 se verifica que f es convexa en a.Anlogamente si f es derivable en a y f(a)0 , f es creciente. Si f (x)0 convexa , f