Manual Mate Ma Tic as III

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE LA HUASTECA HIDALGUENSE

MATEMTICAS III

ADMINISTRACIN Y EVALUACION DE PROYECTOS

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MANUAL DEL PROFESOR

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ndiceIntroduccin Firmas de autorizacin 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 2. 2.1 2.2 2.3 Probabilidad aplicada Conceptos bsicos Permutaciones y combinaciones Enfoque de probabilidad Distribucin de probabilidad Estimacin Estimacin puntual Estimacin por intervalo Determinacin del tamao de muestra 4 4 5 5 8 12 24 43 43 47 53 58 58 71 76 76 80 86 91 91 95 105 111 115 115 120 125 127 128 128 141 147 147 150 153 160

3. Prueba de hiptesis 3.1. Prueba de hiptesis para medias 3.2. Prueba de hiptesis para proporciones 4. 4.1. 4.2. 4.3. Regresin y Correlacin Mnimos cuadrados. Estimacin mediante lnea de regresin simple. Anlisis de correlacin.

Introduccin a las matemticas financieras Conceptos generales Progresiones aritmticas e inters simple Progresiones geomtricas e inters compuesto Diagramas de flujo de caja 5. Tasa de inters. Tasa de inters efectiva Tasa de inters real Tasa de inters nominal Clculos de tasa real y efectiva 6. Anualidades y amortizacin. 7.1 Anualidades anticipadas y vencidas 7.2 amortizacin 7. Tasa interna de retorno. conceptos generales Mtodo de la tasa interna de retorno Mtodo del valor presente neto Mtodo del costo anual uniforme equivalente

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Firmas Elabor Revis

Ing. Daro Garca Hernndez.

M en C. Juana Garca Morales. Directora de la Carrera Autoriz

Vo. Bo.

MAD. Marisol Flores Contreras Directora de Enlace Acadmico

Dra. Miriam Yta Rectora

Introduccin Elevar la calidad acadmica de esta universidad se ha convertido en el objetivo a corto plazo, es de reconocer el esfuerzo aqu vertido para proporcionar a los estudiantes una formacin de calidad, sin embargo, la participacin global de una institucin educativa obliga a una actualizacin permanente Dentro de este marco los materiales didcticos se convierten en instrumentos indispensables para ayudar a elevar la calidad educativa en las instituciones. Este manual pretende proporcionar una visin de conjunto de la asignatura, as como sealar los conceptos fundamentales tratados en cada uno de los temas del programa. El objetivo principal que se persigue es el de ayudar al alumno a estructurar y organizar la informacin recogida en el manual para facilitar as la compresin de sus contenidos. Por tanto, el equipo docente recomienda a todos los alumnos de la carrera de Administracin y Evaluacin de Proyectos en que lean detenidamente este manual para tener una orientacin general de la asignatura y que la consulten cuando estudien cada uno de los temas tratados en el texto, ya que en ella se proporcionarn las orientaciones didcticas precisas para su estudio.

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Creemos que este manual puede facilitar al alumno de la Universidad Tecnolgica de la Huasteca Hidalguense un material didctico adicional que contribuya al aprendizaje de los contenidos de la asignatura. Se indican igualmente en este manual, otra serie de medios con los que cuenta el alumno para el estudio. Todos ellos obedecen a un inters fundamental, reducir la distancia alumno-profesor. El presente manual presenta ser un instrumento de apoyo para que el profesor lleve acabo una planeacin por sesin y una revisin minuciosa de los contenidos para cumplir con el saber y saber hacer de una manera evidenciable, el curso se divide en VIII unidades temticas, las cuales incluyen las actividades de aprendizaje y los criterios de evaluacin de cada actividad, el manual cuenta adems con 3 anexos, a) Resumen de actividades de aprendizaje, b) Resumen de sesiones, c)justificacin de desfasamiento

Unidad Temtica: I. Probabilidad Aplicada.I.1Tema: Conceptos bsicos. I.1.1 Objetivo de aprendizaje: Que el alumno identifique y maneje los distintos conceptos bsicos fundamentales en la probabilidad. I.1.2 Recurso tiempo del tema: 3 horas I.1.3 Desarrollo: Probabilidad.- Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento. Se utilizan tres palabras clave en el estudio de la probabilidad, experimento, resultado y evento. Estos trminos se emplean en nuestra habla cotidiana, pero en estadstica tienen significados especficos. Experimento.- Proceso que conduce a la ocurrencia de una (y solamente una) de varias observaciones posibles. En el caso de la probabilidad, un experimento tiene dos o ms resultados posibles, y es incierto cual habr de ocurrir. Resultado.- Lo que resulta especficamente de un experimento. Por ejemplo, lanzar una moneda al aire es un experimento se puede observar el lanzamiento de aquella, pero no se est seguro de que si caer cara (anverso) o cruz (reverso). Evento.- Conjunto de uno o ms resultados de un experimento. En el experimento de tirar un dado existen seis resultados posibles, pero hay muchos eventos factibles. Cuando contamos el nmero de miembros de junta de directores que tienen ms de 60 aos de edad en las 500 compaas representadas en la revista Fortune, el No. Total de resultados posibles puede estar entre cero y el nmero total de miembros. Existe un gran nmero de eventos posibles en ste experimento.

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Experimento.

Tirar un dado.

Contar el nmero de miembros de junta de directores de 500 compaas presentadas en Fortune de ms de 60 aos de edad. Ninguno es mayor de 60 uno es mayor de 60 dos son mayores de 60 29 son mayores de 60 48 son mayores de 60 Mas de 13 son mayores de 60 Menos de 20 con mayores de 60.

Todos

los

resultados Caer un 1 posibles Caer un 2 Caer un 3 Caer un 4 Caer un 5 Caer un 6 Un nmero par Un nmero mayor que 4 Un nmero menor que 3

Algunos eventos posibles.

Una probabilidad se expresa con un nmero decimal, del tipo 0.70, 0.27 o bien 0.50. Sin embargo, puede darse como una fraccin por ejemplo 7/10, 27/100 o bien . Puede ser un cierto nmero desde 0 a 1, inclusive. Si una compaa tiene solo cinco regiones de ventas y el nombre o nmero de cada una se escribe en un trozo de papel, las notas se colocan en un sombrero, la probabilidad de escoger del sombrero un trozo de papel que digaacereros de Pittsburg (un equipo deportivo), es 0. De esta forma, la probabilidad 1 representa algo que seguramente va a suceder, y la probabilidad 0 seala algo que no puede ocurrir. Cuando ms se aproxime a 0 una probabilidad, es ms improbable que suceda algo. Cuanto ms se acerque a 1, tantos ms seguros estaremos que ocurrir.

Probabilidad de que el sol desaparezca ste ao.

Posibilidad de que una moneda caiga cara al tirarla una vez

Posibilidad de aumento en los impuestos federales

Posibilidad de que ste ao llueva en Florida.

Ejemplo: El departamento de va pblica, en Huejutla, Hgo., est considerando ampliar la Avenida Jurez a tres carriles. Antes de tomar una decisin, se pregunt a 500 ciudadanos si apoyan la ampliacin.

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a).- Cul es el experimento? b).- Cules son algunos de los posibles eventos? c).- Mencione dos resultados posibles. a).- Preguntar a 500 ciudadanos si estn a favor o en contra de ampliar a tres carriles la Avenida Jurez. b).- 321 a favor de la ampliacin 387 favorecen tal accin 444 opinan a favor de la misma. c).- Una mayora es favorable a la ampliacin .251 o ms. 300 personas estn a favor de la ampliacin. I.1.3.1 Tcnica Didctica: Exposicin del profesor. I.1.3.2 Material de Apoyo: Pizarrn, haciendo uso de marcadores en diferentes colores. I.1.4 Actividades de Aprendizaje Actividad de aprendizaje No. 1: PR-1 : Practica escrita I.1.4.1 Instrucciones: Resuelve de manera correctamente las siguientes Preguntas. a) Valor actividad: 5 Puntos b) Producto esperado: Que sea resuelta de manera satisfactoria la prctica. c) Fecha inicio: d) Fecha entrega: e) Forma de entrega: Por separado, escrito a mano f) Tipo de actividad: Individual g) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega. I.1.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad P-1 Actividad Actividad Practica por escrito Responder la practica. Manejo de los conceptos Utilizar el formato para la bsicos probabilsticas. elaboracin de prcticas. Total I.1.5 Resultado del Aprendizaje: Se pretende que conocimientos fundamentales de la probabilidad. I.1.6 Bibliografa: Estadstica para Administracin y Economa. Robert D. Mason/ Douglas A. Lind/ William G. Marcial. Editorial Alfaomega. Ponderacin 4 1 Puntos Puntos

5 puntos los alumnos adquieran los

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I.2. Tema: Permutaciones y combinaciones. I.2.1Objetivo de aprendizaje: Aplicar las permutaciones en la solucin de problemas prcticos I.2.2 Recurso tiempo del tema: 3.0 horas I.2.3 Desarrollo: Principios de conteoSi el nmero de posibles resultados de un experimento es pequeo, resulta relativamente fcil enlistar y contar todos lo eventos factibles. Por ejemplo, hay seis posibles eventos resultantes de la tirada de un dado, especficamente:

Sin embargo, si existe un gran numero de posibles resultados, como podra ser el numero de nios y nias en familia de 10 hijos, resultara tedioso enlistar y contar todas las posibilidades. Podra tener solo nios, un nio y nueve nias. Dos nios y ocho, nias y as sucesivamente. Para facilitar el conteo, se examinaran 3 formulas: formula de multiplicacin, permutacin y combinacin. Formula de multiplicacin: si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen M X N formas de hacer ambas. En trminos de una formula:

Numero total de arreglos = (M) (N)Esto puede extenderse para ms de dos eventos. Para tres eventos M, N, O: Numero Ejemplo: total de arreglos = (M) (N) (O) Un vendedor de automviles desea anunciar que $19 999 (dlares) usted puede comprar un convertible, un sedan de dos puertas, o un modelo de cuatro, con eleccin de de cubrerrines (o cubrerruedas) deportivos o comunes. Cuntos arreglos diferentes de modelos y cubrerruedas puede ofrecer el comerciante? Solucin: Desde luego, el vendedor podra determinar el nmero total de arreglos esquematizados y contndolo. Hay seis posibilidades. Convertible con cubrerrines deportivos. Convertible con cubrerrines comunes. Dos puertas con cubrerrines deportivos. Dos puertas con cubrerrines comunes. Cuatro puertas con cubrerrines Cuatro puertas con cubrerrines comunes. deportivos. Podemos utilizar la frmula de la multiplicacin para verificar (donde m es el nmero de modelos y n el tipo de cubrerrines. Aplicando la frmula: Total de arreglos posible= (m)(n)= (3) (2) = 6. En este ejemplo no fue difcil en listar y contar todas las posibles combinaciones decubrerrines y modelos de autos. Sin embargo, suponga que el vendedor decidiera ofrecer ocho modelos y seis tipos de cubrerruedas. Resultara tedioso dibujar y contar

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todas las alternativas posibles. En vez de esto podra utilizarse la frmula de multiplicacin. En tal caso, (m) (n) = (8) (6) = 48 arreglos posibles. Frmula de permutacin. Es un arreglo o disposicin de r objetos seleccionados a partir de un grupo nico de n objetos posibles. Observe que el arreglo a,b,c y b,a,c, son permutaciones diferentes. La frmula que se utiliza para contar el nmero total de permutaciones distintas es:nP = r n! ( n r )!

Donde: P es el nmero de permutaciones o, modos en que pueden ordenarse los objetos. N es el nmero total de objetos. En el primero ejemplo, has tres partes electrnicas, de manera que n=3. r es el nmero de objetos que se van a disponer cada vez. n! => se lee como n factorial es el producto de todos los nmeros de 1 a n. Por definicin 0! = 1. Ejemplo 1: Con referencia a un grupo de tres partes electrnicas que deben ensamblarse en cualquier orden En cuantos modos diferentes pueden reunirse? Se tiene que n=3, porque hay 3 partes a ensamblar, Y tambin r=3 porque las 3 partes van a insertarse en la unidad de enchufe.n Pr = n! 3! 3! = = =6 ( n r )! (3 3)! 0!

ABC

BAC

CAB

ACB

BCA

CBA

Ejemplo 2: Supngase que hay ocho maquinas disponibles pero solo tres espacios en el piso de un taller donde se han de instalar tales maquinas .De cuantos modos diferentes pueden colocarse las ocho en los tres espacios disponibles? Solucin: Hay ocho posibilidades par el primer espacio , siete para el segundo (una ya fue utilizada) y seis para el tercero. Entonces. (8)(7)(6) = 336. Como antes, esto tambin puede expresarse matemticamente diciendo que el numero de permutaciones ,P, de n elementos depende del numero de espacios ,r, disponibles.n

Pr =

n! 8! 8! (8)( 7)( 6)5! = = = = 336 ( n r )! (8 3)! 5! 5!

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Formula de la Combinacin

A fin de que se considere como una permutacin es diferente el orden de los objetos para cada resultado posible. Para tres objetos, a, b, c, la ordenacin a, b, c es el de una permutacin ; b, a, c es otra c, a, b es otra ms, y as sucesivamente. Hay seis arreglos posibles para estos tres objetos tomados tres a la vez. Utilizando la formula de la permutacin.n

Pr =

n! 3! (3)( 2)(1) = = =6 ( n r )! (3 3)! 1

Si no importa el orden de los objetos, al nmero total de ordenaciones se le denomina combinacin. Combinacin. Es el nmero de modos para elegir r objetos de un grupo de n de ellos sin considerar el orden. La formula de la combinaciones:n

Cr =

n! r!( n r )!

Ejemplo Si los ejecutivos Abel, Bez y Chauncy han de ser elegidos como un comit para negociar una fusin de empresas, slo existe una combinacin posible de estos tres. El comit formado por Abel, Bez y Chauncy equivale al integrado Bez, Chauncy y Abel. Utilizando la frmula de la combinacin.n

Cr

n! 3.2.1 = =1 r!( n r )! 3.2.1(1)

Ejemplo: A un departamento de mercadeo se le ha solicitado que disee cdigos de color para las 42 lneas de discos compactos (CD)vendidos por Godoy Records. Se han de utilizar tres colores en cada lnea, pero con una combinacin de tres colores empleados para una de ellas no puede reordenarse y ser utilizada para identificar una distinta lnea de CD. Esto significa que si se usaran verde, amarillo y violeta para sealar una lnea, entonces amarillo, verde y violeta (o cualquiera otra combinacin de estos tres colores)no pueden ser empleados para identificar otra sern adecuados siete colores tomados de tres a la vez para codificar por color las 42 lneas? Solucin. Existen 35 combinaciones que se obtienen del clculo de:n! 7! 7! = = = 35 r!( n r )! 3!(7 3)!. 3!4!

n

Cr =

Los siete colores tomados de tres a la vez , no seran adecuados para codificar por color

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los 42 discos compactos diferentes, por que solo permiten 35 combinaciones. Ocho colores tomados tres a la vez daran 56 combinaciones distintas. Esto sera mas que adecuado para codificar cromticamente las 42 lneas. I.2.3.1 Tcnica Didctica: Exposicin del profesor. I.2.3.2 Material de Apoyo: Pizarrn, haciendo uso de marcadores en. diferentes colores. I.2.4 Actividades de Aprendizaje Actividad de aprendizaje No. 2 TA-1 : Ejercicios de aplicacin. I.2.4.1 Instrucciones: Resuelve de manera correctamente los siguientes Ejercicios. h) Valor actividad: 10 Puntos i) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta los ejercicios propuestos. j) Fecha inicio: k) Fecha entrega: l) Forma de entrega: Por separado, escrito a mano m) Tipo de actividad: Individual n) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega. I.2.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad TA-1 Actividad Actividad Ejercicios propuestos. Ponderacin

Resolver los ejercicios 9 Puntos propuestos. Resuelva de manera Utilizar el formato para la 1 Puntos correcta los problemas. entrega de tareas. Total 10 puntos Actividad de aprendizaje No. 3 PR-2 Resolver ejercicios prcticos I.2.4.1 Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios prcticos. o) Valor: 5 Puntos p) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de manera correcta. q) Fecha inicio: r) Fecha entrega: s) Forma de entrega: escrito a mano t) Tipo de actividad: Individual u) Fecha de retroalimentacin: I.2.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad PR-2 Actividad Actividad Practica por escrita. Ponderacin

Resolver en forma rpida 4 Puntos ejercicios sobre

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Uso de presentacin

reglas

permutaciones.. de Utilizar el formato para la 1 Puntos elaboracin de prcticas. Total 5 puntos

I.2.5 Resultado del Aprendizaje: Se pretende que los alumnos resuelvan de manera satisfactoria los problemas propuestos de permutaciones y combinaciones. I.2.6 Bibliografa: Estadstica para Administracin y Economa. Robert D. Mason/ Douglas A. Lind/ William G. Marcial. Editorial Alfaomega. I.3. Tema: Enfoque de probabilidad. I.3.1 Objetivo de aprendizaje: Que el alumno aplique la teora de la probabilidad en la solucin de problemas de dependendencia e independencia estadstica. As como el teorema de Bayes, como una parte importante de sta teora. I.3.2 Recurso tiempo del tema: 3.0 horas I.3.3 Desarrollo:Enfoques de probabilidad:

Probabilidad clsica

PUNTO DE VISTA OBJETIVO: Probabilidad emprica Probabilidad = De un evento No. de resultados favorables No. total de resultados posibles

Ejemplo: Considerar el experimento de tirar un dado de seis caras Cul ser la probabilidad del evento de caer un numero par?

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Probabilidad de un nmero par = 3 6 = 0.5 Mutuamente excluyente: se expresa esto porque la ocurrencia de cualquier evento implica que ningn otro puede ocurrir al mismo tiempo. En el experimento de tirar un dado, el evento un nmero par y el evento un nmero impar son mutuamente excluyentes. Si cay un nmero par, no podra caer, uno impar al mismo tiempo. Si un experimento tiene un conjunto de eventos que incluye cada uno de los resultados posibles, tales como los eventos un nmero par y un nmero impar en el lanzamiento de un dado, entonces el conjunto de eventos se denomina colectivamente exhaustivo. Colectivamente exhaustivo: Se seala esto porque por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento. En el experimento de tirar un dado, cada resultado ser un nmero par o impar. Por lo tanto el conjunto es colectivamente exhaustivo. Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamente excluyentes, la suma de las probabilidades es igual a 1. Para el experimento de lanzar una moneda Probabilidad Evento: Cara Evento: Cruz Total: 0.5 0.5 1.0

Obsrvese que es innecesario realizar un experimento para determinar la probabilidad de que ocurra un evento al utilizar un enfoque clsico. Ejemplo: Es posible llegar en forma lgica a la probabilidad de obtener una cruz en el lanzamiento de una moneda o tres caras en el lanzamiento de tres monedas. Concepto emprico: Otra manera para definir la probabilidad es con base a las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en que fraccin de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. Utilizando una frmula: Probabilidad De que Suceda un evento No. de veces que el evento ocurri en el pasado = No. total de observaciones

Ejemplo: Se efectu un estudio de 751 graduados en administracin en la universidad de Toledo (EUA). Este experimento revel que 383 de los 751 no estaban empleados segn su principal rea de estudio en la universidad. Por ejemplo: Una persona que se gradu en un rea especializada en contadura; ahora es gerente del mercadeo de una empresa de

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procesamiento de tomates. Cul es la probabilidad de que un graduado especfico en administracin est empleado en un rea distinta a la principal de sus estudios de universidad? Probabilidad De que Suceda un evento 383 P(A) = 751 P(A) = 0.51 Con base en la experiencia, existe una probabilidad de 0.51 de que un graduado en administracin est empleado en un campo distinto al de su rea principal de estudio. Probabilidad subjetiva: Posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento especfico, asignado por una persona con base en cualquier informacin de que se disponga. Calcular la probabilidad de que la General Motors Corp. pierda su lugar nmero 1 en unidades totales vendidas frente a la Ford Motor Co., o a la Chrysler Corp. dentro de 2 aos. Valorar la posibilidad de que el alumno x obtenga una calificacin de 100 en este curso. Estimar la probabilidad de que el equipo de los patriotas de Nueva Inglaterra jueguen en el supertazn de ftbol americano el prximo ao. No. de veces que el evento ocurri en el pasado = No. total de observaciones

Hay dos puntos de vista con respecto a la probabilidad; el objetivo y el subjetivo. Se observ que una expresin probabilstica siempre constituye una estimacin de un valor desconocido que regir un evento que todava no ocurre. Desde luego existe una extensin considerable en el grado de incertidumbre que rodea a esta estimacin, con base principal en el conocimiento que posea la persona respecto del proceso bsico. REGLAS DE PROBABILIDAD: Regla especial de adicin. Para aplicar la regla especial de adicin, los eventos deben ser mutuamente excluyentes. Recurdese que mutuamente excluyente significa que cuando ocurre un evento, ninguno de los otros puede ocurrir al mismo tiempo. Un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes en el experimento de tirar un dado son los eventos un nmero 4 o mayor y un nmero 2 o menor. Si el resultado se encuentra en el primer grupo {4, 5, 6} no puede estar en el segundo grupo {1, 2}. Y un producto industrial que sale de una lnea de ensamble no puede ser defectuoso y satisfactorio a la vez. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adicin indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la

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suma de las probabilidades. Esta regla se expresa en la formula siguiente:

Regla especial de adicin

P(A o B) = P(A) + P(B)

Ejemplo: Una mquina automtica Shaw llena bolsas de plstico con un a mezcla de frijoles, brcoli y otras legumbres. La mayora de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a ligeras variaciones en el tamao de las verduras, un paquete puede tener un peso ligeramente menor o mayor. Una verificacin de 4000 paquetes llenados en el mes pasado indic. Peso de Probabilidad de ocurrencia. Con peso menor A 0.025 (100/4000) Satisfactorio B 3600 0.900 Con peso mayor C 300 0.075 Total 4000 1.000 Cul es la probabilidad de que un paquete en especial tenga un peso menor o mayor? Solucin. El resultado peso menor es el evento A. El resultado peso mayor es el evento C. Aplicando la regla especial de la adicin: P(A o C) = P(A) + P(C) = 0.025+0.075 = 0.10 Regla de complemento: Diagramas de Venn El experto en lgica J. Venn (1834 1888) desarroll un diagrama para representar grficamente el resultado de un experimento. El concepto de mutuamente excluyentes y otras reglas diversas para combinar probabilidades pueden visualizarse empleando ste dispositivo. Para elaborar un diagrama primero se delimita un espacio que ha de representar a todos los posibles resultados. Tal espacio tiene generalmente forma de rectngulo. Un evento se representa por un rea redonda que se dibuja proporcional a la probabilidad del evento. Representacin del concepto mutuamente excluyente. No hay superposicin de eventos, lo cual indica que son de ese tipo. Evento Nmero paquetes 100

EVENTO A

EVENTO B

EVENTO C

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La probabilidad de que una bolsa de verduras mixtas seleccionada sea de peso menor, P(A) mas la probabilidad de que no sea una bolsa con peso de menos, que se escribe P(~A) y se lee no A , debe lgicamente ser igual a 1. Esto se expresa como sigue: P(A) + P(~A) = 1 Lo anterior puede ser expresado tambin como:

Regla de complemento P(A) = 1 - P(~A)A esto se le denomina regla del complemento. La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del nmero 1 la probabilidad de que no ocurra. Un diagrama de Venn que ilustre la regla del complemento sera:

Evento A

~A

Ejemplo: Hay que recordar que la probabilidad de que una bolsa con legumbres mixtas tenga peso de menos es 0.025 y que tenga peso de mas, 0.075. Debe de utilizarse la regla de complemento para demostrar que la probabilidad de que una bolsa satisfactoria vale 0.900. Plantear la solucin empleando diagrama de Venn. Solucin: La probabilidad de que la bolsa no sea satisfactoria es igual a la probabilidad de que sea de peso mayor, mas la probabilidad de que sea de menor peso. Esto es, P(A o C) = P(A) + P(C) = 0.025 + 0.075 = 1.00. La bolsa es satisfactoria si no es de peso menor ni de peso mayor, por tanto P(B) = 1- [P(A)] +[P(C)] = 1 - (0.025 + 0.075) = 0.900A= 0.025 C = 0.075

~ (A o C) = 0.90

Regla general de adicin: Los resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes. Por ejemplo Suponga que la Comisin de Turismo de Florida selecciono una muestra de de 200 turistas que visitaron ese estado durante el ao. La encuesta revel que 120 fueron a Disney World , y 100, a Busch Gardens, cerca de Tampa.Cul es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens? Si se emplea la regla especial de adicin, la probabilidad de seleccionar un turista que fue a

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Disney World es 0.60, que se obtiene de 120/200. De manera similar, la probabilidad de que uno de los viajeros haya ido a Busch Gardens es 0.50. La suma es de 1.10. Sin embargo, se sabe que sta probabilidad no puede ser ,mayor que 1.La explicacin es que muchos turistas visitaron ambas atracciones y se estn contando dos veces! Una verificacin de las respuestas de la encuesta revel que 60 de las 200 personas de la muestra en realidad fueron a ambos lugares. Para responder a la pregunta, Cul es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens?(1) se suma la probabilidad de que el turista haya ido a Disney Word y la probabilidad de que haya estado en Busch Gardens, y (2) se resta de la probabilidad de visitar ambos lugares. De esta forma: P(Disney o Busch) = P(Disney) + P (Busch) P(Disney y Busch) = 120/200 + 100/200 60/200 = 0.60 + 0.50 0.30 = 0.80 Cuando dos eventos se traslapan, la probabilidad se le denomina probabilidad conjunta. La probabilidad de que el turista visite ambos lugares (0.30) es un ejemplo de probabilidad conjunta. Probabilidad Conjunta: Es la probabilidad que mide la posibilidad de que dos eventos ocurran en forma simultnea. En resumen, la regla general de adicin se utiliza para combinar eventos que nos son mutuamente excluyentes. Esta regla para dos eventos denotados como A y B se escribe:

Regla general de adicin P(A o B) = P(A) + P(B) (P y B)

En la expresin P(A o B), el trmino o indica que A puede ocurrir o que B tambin puede suceder. Esto incluye asimismo la posibilidad de que A y B puedan ocurrir. A ste uso de la o a veces se le llama inclusivo puesto de otra forma, se ver con agrado cuando tanto A y B sucedan, o bien cuando cualquiera de los dos ocurran. Ejemplo: Cul es la probabilidad de que una carta elegida al azar de una baraja americana sea un rey o una de corazones? Solucin: Uno puede pensar en sumar las probabilidades de que salga un rey y la de que se tenga una carta de corazones. Pero esto crea un problema,. Si se hiciera, el rey de tal smbolo se cuenta con todos los reyes y tambin con todas las cartas de corazones. De modo que simplemente se suma la probabilidad de un rey ( hay 4 en la baraja de 52 naipes) a la de una carta de corazones (hay 13 en dicha baraja) y se expresa que 17 cartas de las 52 cumplen el requisito , se ha contado dos veces al rey de corazones. Se necesita restar 1 carta de las 17 para que dicho rey se cuente una sola vez. Por tanto, hay 16 cartas que son de dicha figura o bien de reyes por lo que la probabilidad es de 16/52 = 0.3072Carta Rey Corazones. Probabilidad P(A) = 4/52 P(B) = 13/52 Explicacin Hay cuatro reyes en la baraja. Hay 13 cartas de corazones en la baraja.

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Rey de corazones

P(A y B) = 1/52

Hay un rey de corazones en la baraja.

Utilizando la formula: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) = 4/52 + 13/52 1/52 = 16/52, o bien 0.3077 Un diagrama de Venn presenta estos resultados que nos son mutuamente excluyentes.Reyes Corazones

Ambos

Reglas de multiplicacin Regla Especial de Multiplicacin. La regla especial de multiplicacin requiere que dos eventos A y B sean independientes. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro. De manera que si los eventos A y B son independientes, la ocurrencia de A no altera la probabilidad B. Independiente. Se expresa esto cuando la ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad de la ocurrencia de cualquier otro. Si hay dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que ocurran A y B se obtiene al multiplicar las dos probabilidades. A esto se llama la regla especial de multiplicacin y expresada en forma simblica:

Regla especial de multiplicacin P(A y B) = P(A) P(B)

Esta regla para combinar probabilidades supone que un segundo resultado no depende del primero. Para ilustrar lo que significa independencia de resultados, suponga que se lanzan al aire dos monedas. El resultado de una moneda (cara o cruz) no se ve afectado por el resultado de la otra moneda (cara o cruz). Puesto de otra forma, dos eventos son independientes si el resultado de un segundo evento no depende del resultado del primero. Para tres eventos independientes A, B y C, la regla especial de multiplicacin utilizada para determinar la probabilidad de que ocurran los tres eventos es:

Regla especial de multiplicacin P(A y B y C) = P(A) P(B) P(C)Ejemplo: Se lanzan dos monedas al aire Cul es la probabilidad de que ambas caigan cruz? Solucin: La probabilidad de que una de las dos monedas caiga cruz (Cr), escrita P(A), es de , o bin 0.5. La probabilidad de que la otra moneda caiga igual,

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denotada por P(B) es tambin de , o 0.5. La probabilidad de que ocurran ambas cosas es de un , o 0.25, lo cual se obtiene como sigue: PA y B) = P(A) P(B) = (1/2)(1/2) = 17$ o bin 0.25 Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. Para ilustrar la dependencia suponga que hay 10 rollos de pelcula fotogrfica en una caja y que se saben que 3 estn defectuosos. Se selecciona 1. Es obvio que la probabilidad de escoger un rollo con defecto es de 3/10, y que la probabilidad de seleccionar uno, satisfactorio es 7/10. Despus se elige un segundo rollo de la caja sin devolver el primero a sta. La probabilidad de que est defectuoso depende de que el primer rollo seleccionado fuera no aceptable o bueno. La probabilidad de que el segundo rollo est defectuoso es 2/9, si el primer rollo seleccionado fuera defectuoso. (Quedaran solo dos rollos defectuoso ms en la caja, que contena nueve piezas) 3/9 si el primer rollo seleccionado fuera bueno (los tres con defectos siguen estando en la caja que contena los nueve originales). A la fraccin 2/9 (0 3/9) se le denomina probabilidad condicional porque su valor tiene tal caracterstica (dependiente de stas) respecto de la primera seleccin de la caja: que se haya sacado un rollo fotogrfico defectuoso o uno normal. Probabilidad condicional: Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento haya ocurrido. Regla General de Multiplicacin: La regla general de multiplicacin se utiliza para determinar la probabilidad conjunta, de que ocurran dos eventos, como seleccionar dos rollos defectuosos de la caja con 10, uno despus del otro. En general, la regla indica que para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se evala al multiplicar la probabilidad de que el evento A ocurra, por la probabilidad condicional de que suceda el evento B. De manera simblica, la probabilidad conjunta P(A y B) se obtiene por medio de:

Regla general de multiplicacin P(A y B) = P(A) P(B/A)

Donde P(B/A) expresa la posibilidad de que ocurra B dado que ya ocurri A. El trazo vertical significa dado que. Ejemplo. Considerar otra vez el ejemplo anterior de los 10 rollos de pelcula en una caja, 3 de los cuales estn defectuosos. Se van a seleccionar dos, uno despus de otro Cul es la probabilidad de escoger un rollo con defectos seguido por otro tambin en tal condicin?

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Solucin: El primer rollo seleccionado de la caja, que se encontr ser defectuoso, es el evento A. De modo que P(A) = 3/10 porque tres de los diez rollos son no aceptables. El segundo rollo seleccionado, resultante con defectos, es el evento B. Por lo tanto , P(B/A) = 2/9, porque despus de descubrir que la primera seccin era un rollo con defectos, solo quedaron dos rollos no buenos en la caja que contena nueve rollos. Se determina la probabilidad de dos rollos defectuosos aplicando la frmula: P(A y B) = P(A) P(B / A) = (3/10) (2/9) = 6/90 o tambin 0.07 aprox. Por cierto que se considera que este experimento se realiz sin reposicin(o reemplazo); es decir, el rollo defectuoso de pelcula no se devolvi a la caja antes de selecciona el siguiente rollo. Tambin debe observarse que la regla general de multiplicacin puede ampliarse a ms de dos eventos: para tres eventos; A, B y C, la frmula sera:

Regla general de multiplicacin P(A y B y C) = P(A) P(B/A) P(C/A y B)

Ejemplo: la probabilidad de que los primeros tres rollos seleccionados de la caja sean todos defectuosos es 0.00833, que resulta de calcular: P(A y B y C) = P(A) P(B/A)P(C/A y B) = (3/10) (2/9) (1/8) = 6/720 o tambin 0. Teorema de BayesEn el siglo XVIII el reverendo Thomas Bayes, ministro presbiteriano ingls, plante la siguiente cuestin Realmente existe Dios? Estando interesado en las matemticas, intent desarrollar una frmula para llegar a evaluar la probabilidad de que Dios exista, con base en la evidencia de que l dispona aqu en la Tierra. Ms adelante. Laplace afin el trabajo de Bayes y le di el nombre de Teorema de Bayes.

Teorema de Bayes P(A1/B) =

P(A1) P(B/A1) P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2)

Ejemplo: Suponga que el 5% de la poblacin de Umen, un pas ficticio del Tercer Mundo, padece una enfermedad que es originaria de ese lugar. Sea A1 el evento tiene la enfermedad, y A2 el evento no tiene la enfermedad. Por lo tanto sabemos que si seleccionamos una persona de Umen al azar, la probabilidad de que la elegida tenga el padecimiento es 0.05, o bien P(A1) = 0.05. Esta probabilidad P(A1) = P(tiene la enfermedad) = 0.05, se denomina probabilidad a priori . Se da ste nombre porque la probabilidad se asigna antes de haber obtenido datos empricos. Probabilidad a Priori = Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de informacin.

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Existe una tcnica de diagnostico para detectar la enfermedad, pero no es muy exacta .Sea B el evento la prueba indica que la enfermedad est presente. Considere que la evidencia histrica muestra que si una persona realmente padece la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la misma vale 0.90. Utilizando las definiciones de probabilidad condicional desarrolladas anteriormente, tal afirmacin se expresa como: P(B/A1) = 0.90 Considere que la probabilidad de que una persona en realidad no tenga el padecimiento, pero que la prueba indique que el mismo est presente, es 0.15. P(B/A2) = 0.15 Seleccionamos en forma aleatoria a un habitante de Umen, al que se le aplica la prueba. Los resultados indican que el padecimiento est presente.Cul es la probabilidad de que la persona tenga realmente la enfermedad? En forma simblica, se desea determinar P(A1/B), que se interpreta como: P(tiene la enfermedad/( los resultados de la prueba son positivos). La probabilidad de P(A1/B) se denomina una probabilidad a posteriori. Probabilidad a Posteriori. Es una probabilidad revisada con base en informacin adicional. Con la ayuda del teorema de Bayes, es posible determinar la probabilidad a posteriori o revisada. P(A1/B) = P(A1) P(B/A1) P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2)

(0.05) (0.90) (0.05) (0.90) + (0.95) (0.15) = 0.0450 0.1875 = 0.24

=

Por lo tanto, la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad, dado que la prueba result positiva, es 0.24. Como se interpreta ste resultado? Si una persona se selecciona al azar de la poblacin, la probabilidad de que padezca el trastorno es 0.05. Si se aplica la prueba a la persona y resulta positiva, la posibilidad de que en realidad tenga el padecimiento aumenta aproximadamente cinco veces, de 0.05 a 0.24. El problema anterior incluy solamente dos eventos, A1 y A2 como probabilidades a priori. Si hay mas de dos probabilidades de este tipo, el denominador del teorema de Bayes requiere trminos adicionales. Si la distribucin probabilstica a priori consiste en n eventos mutuamente excluyentes, el teorema de Bayes queda como sigue: P(A1/B) = P(A1) P(B/A1) P(A1) P(B/A1) +P(A2) P(B/A2) ++P(An) P(B/An)

Donde A1 se refiere a cualquiera de los n posibles resultados. I.3.3.1 Tcnica Didctica: Exposicin del profesor. I.3.3.2 Material de Apoyo: Pizarrn, haciendo uso de marcadores en.

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diferentes colores. I.3.4 Actividades de Aprendizaje Actividad de aprendizaje No. 4 TA-2 : Ejercicios de aplicacin. I.3.4.1 Instrucciones: Resuelve de manera correctamente los siguientes Ejercicios acerca de las reglas de probabilidad. v) Valor actividad: 10 Puntos w) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta los ejercicios propuestos. x) Fecha inicio: y) Fecha entrega: z) Forma de entrega: Por separado, escrito a mano a) Tipo de actividad: Individual

b) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega. I.3.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad TA-2Actividad Ejercicios propuestos de reglas de probabilidad. Resuelva de manera correcta los problemas. Actividad Ponderacin Resolver los ejercicios 9 Puntos propuestos. Utilizar el formato para la 1 Puntos entrega de tareas. Total 10 puntos

Actividad de aprendizaje No. 5 PR-3 Resolver ejercicios prcticos I.3.4.1 Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios prcticos acerca de raglas de probabilidad. c) Valor: 5 Puntos d) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de manera correcta. e) Fecha inicio: f) Fecha entrega: g) Forma de entrega: escrito a mano h) Tipo de actividad: Individual i) Fecha de retroalimentacin: I.3.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad PR-3 Actividad Actividad Practica por escrita considerando reglas de probabilidad. Uso de reglas de presentacin Ponderacin

Resolver en forma rpida 4 Puntos ejercicios sobre reglas de probabilidad. Utilizar el formato para la 1 Puntos elaboracin de prcticas. Total 5 puntos Actividad de aprendizaje No. 6 TA-3 : Ejercicios de aplicacin.

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I.3.4.1 Instrucciones: Resuelve de manera correctamente los siguientes ejercicios considerando condiciones de dependencia e independencia estadstica. j) Valor actividad: 10 Puntos k) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta los ejercicios propuestos. l) Fecha inicio: m) Fecha entrega: n) Forma de entrega: Por separado, escrito a mano o) Tipo de actividad: Individual p) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega. I.3.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad TA-3 Actividad Actividad Ejercicios propuestos de dependencia e independencia estadstica Resuelva de manera correcta los problemas. Resolver los propuestos. Ponderacin Puntos

ejercicios 9

Utilizar el formato para la 1 Puntos entrega de tareas. Total 10 puntos Actividad de aprendizaje No. 7 PR-4 Resolver ejercicios prcticos I.3.4.1 Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios prcticos. q) Valor: 5 Puntos r) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de manera correcta. s) Fecha inicio: t) Fecha entrega: u) Forma de entrega: escrito a mano v) Tipo de actividad: Individual w) Fecha de retroalimentacin:

I.3.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad PR-4 Actividad Actividad Practica por escrita con problemas de dependencia e independencia estadistica. Uso de reglas de presentacin

Ponderacin

Resolver en forma rpida 4 Puntos ejercicios sobre permutaciones..

Utilizar el formato para la 1 Puntos elaboracin de prcticas. Total 5 puntos Actividad de aprendizaje No. 8 TA-4: Ejercicios de aplicacin. I.3.4.1 Instrucciones: Resuelve de manera correctamente los siguientes ejercicios aplicando el teorema de Bayes.. a) Valor actividad: 10 Puntos b) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta los ejercicios propuestos.

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c) Fecha inicio: d) Fecha entrega: e) Forma de entrega: Por separado, escrito a mano f)) Tipo de actividad: Individual g) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega. I.3.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad TA-4 Actividad Actividad Ejercicios propuestos aplicando el teorema de Bayes. Resuelva de manera correcta los problemas. Resolver los propuestos. Ponderacin Puntos

ejercicios 9

Utilizar el formato para la 1 Puntos entrega de tareas. Total 10 puntos

I.3.5 Resultado del Aprendizaje: Se pretende que los alumnos resuelvan de manera satisfactoria los problemas propuestos de reglas de probabilidad, probabilidad de dependencia e independencia estadstica adems del teorema de Bayes. I.3.6 Bibliografa: Estadstica para Administracin y Economa. Robert D. Mason/ Douglas A. Lind/ William G. Marcial. Editorial Alfaomega.

I.4. Tema: Distribuciones de probabilidad. I.4.1 Objetivo de aprendizaje: Que el alumno encuentre las probabilidades de ocurrencia de los datos. I.4.2 Recurso tiempo del tema: 5.0 horas I.4.3 Desarrollo:Recordando la definicin de un experimento como cualquier proceso que genera resultados bien definidos. Ahora deseamos concentrarnos en el proceso de asignar valores numricos a los resultados, para lo que introducimos el concepto de variable aleatoria. Para cualquier experimento en particular, se puede definir una variable aleatoria de manera que cada resultado experimental posible genere exactamente un valor numrico para dicha variable. Por ejemplo, si consideramos el experimento de la venta de automviles durante un da en una agencia en particular, describiramos los resultados experimentales en funcin del nmero de vehculos vendidos. En este caso, si, x = nmero de automviles vendidos, x se conoce como una variable aleatoria. Este valor numrico particular, que toma la variable aleatoria, depender del resultado del experimento. Esto es, no sabremos cul es el valor especfico de la variable aleatoria en tanto no hayamos observado el resultado experimental. Por ejemplo, si en un da dado se venden 3 automviles, el valor de la variable aleatoria ser 3; si en otro da (una repeticin del experimento) se venden 4, el valor ser 4. Definimos una variable aleatoria como sigue: Una variable aleatoria es la descripcin numrica del resultado de un experimento. En la tabla 4. Se dan varios ejemplos adicionales de experimentos y de sus variables aleatorias asociadas. Aunque muchos experimentos tienen resultados experimentales que

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naturalmente se prestan a valores numricos, en otros no ocurre as. Por ejemplo para el experimento de lanzar una moneda una vez, el resultado experimental puede ser cara o cruz, ninguno de los cuales tiene un valor numrico natural. Sin embargo, quizs deseemos an as expresar los resultados en funcin de una variable aleatoria, por lo que necesitamos una regla que pueda utilizarse para asignar un valor numrico a cada uno de los resultados experimentales. Una posibilidad es signar la variable aleatoria x=1 si el resultado experimental en una cara y x=0 si el resultado experimental es una cruz. Aunque los valores numricos para x sean arbitrarios, x es una variable aleatoria ya que describe numricamente los resultados experimentales. Tabla 4.0Experimento Efectuar 100 llamadas de ventas. Inspeccionar un embarque de 70 radios. Construir una nueva biblioteca. Operar un restaurante. Ejemplos de variables aleatorias. Variable aleatoria (x) Nmero total de ventas. Nmero de radios defectuosos Porcentaje del proyecto terminado despus de 6 meses. Nmero de clientes que entran en un da. Valores posibles de la variable aleatoria 0,1,2,3.100 0,1,2,3..70 0x100 0,1,2,3..

Una variable aleatoria puede clasificarse como discreta o continua, dependiendo de los valores numricos que pueda tomar. Aquella variable aleatoria que solamente pueda tomar una secuencia de valores, finita o infinita, (por ejemplo, 1,2,3) es una variable aleatoria discreta. El nmero de unidades vendidas, el nmero defectos observados, el nmero de clientes que entran en un banco durante un da de operacin, y as sucesivamente, son ejemplos de variables aleatorias discretas. Las dos primeras y la ltima de la tabla anterior son discretas. Variables aleatorias como peso, tiempo y temperatura, que pueden tomar cualquier valor dentro de un cierto intervalo o coleccin de intervalos, son variables aleatorias continuas. Son ejemplos de variables aleatorias continuas, la estatura de los clientes de una tienda de ropa, los ingresos de los empleados de un centro comercial local, el tiempo transcurrido entre la llegada de cada cliente a la biblioteca, adems, la tercera variable aleatoria de la tabla es una variable aleatoria continua, porque puede tomar cualquier valor del intervalo del 0 al 100 (por ejemplo, 56.33 0 64.22). Variables aleatorias discretas: Podemos demostrar el uso de una variable discreta al pensar en la venta de automviles en DiCarlo Motors, en Saratoga, Nueva York. El propietario de DiCarlo Motors est interesado en el volumen diario de ventas de automviles. Supongamos que decimos que x es una variable aleatoria que indica el nmero de automviles vendidos en un da dado. Los registros de ventas muestran que cinco es el nmero mximo de automviles que alguna vez haya vendido DiCarlo durante un da. El propietario cree que la historia previa de las ventas representa de manera adecuada lo que puede ocurrir en el futuro, por lo que esperaramos que la variable aleatoria x tome algunos de los valores numricos 0.1.2.3.4 o 5. Los valores posibles de la variable aleatoria son finitos, por lo que clasificaramos a x como una variable aleatoria discreta. La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta:Suponga que al revisar los registros de ventas de DiCarlo encontramos que a lo largo del ao pasado la empresa ha estado abierta durante 300 das. Los volmenes diarios de ventas generados y la y la frecuencia en que ocurrieron se resumen en la tabla 4.1. Teniendo disponibles

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estos datos histricos, el propietario de DiCarlo Motors cree que el mtodo de frecuencia relativa dar un medio razonable de juzgar las probabilidades de la variable aleatoria x. La funcin de probabilidad, indicada como f(x), representa la probabilidad de que la variable aleatoria x tome algn valor especfico. Dado que en 54 de los 300 das de datos histricos, DiCarlo Motors no vendi ningn automvil, dado que ninguna venta corresponde a x=0, asignamos a f(0) el valor de 54/300 =0.18. De manera similar, f(1) indica la probabilidad de que x toma el valor de uno, por lo que le asignamos a f(1)el valor de 117/300=0.39. Despus de calcular las frecuencias relativas de los otros valores posibles de x, podemos desarrollar una tabla de valores de x y de f(x). La tabla 4.2 muestra una forma de representar la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria x.

Tabla 4.1

Automviles vendidos por da en DiCarlo Motors.Volumen de Ventas Numero de das.

Ninguna venta Exactamente 1 automvil Exactamente 2 automviles Exactamente 3 automviles Exactamente 4 automviles Exactamente 5 automviles Total

54 117 72 42 1 12 3 100

Tabla 4.2

Distribucin de probabilidad para nmero de automviles vendidos por da.

x 0 1 2 3 4 5 Total

f(x) 0.18 0.39 0.24 0.14 0.04 0.01 1.00

Tambin se puede representar la distribucin de probabilidad de x de manera grafica. En la figura 4.1 se muestran los valores de la variable aleatoria x en un eje horizontal; la probabilidad de que x tome estos valores aparece en el eje vertical. Para muchas variables aleatorias discretas, la distribucin de probabilidad tambin se puede representar como una frmula que nos da f(x) para cualquier valor posible de x. Ilustraremos ste procedimiento en la siguiente seccin. En el desarrollo de la distribucin de probabilidad discreta, debern satisfacerse siempre dos condiciones: f(x 0 f(x) = 1

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La primera condicin es el requisito que las probabilidades asociadas con cada uno de los valores de x debe ser mayor que o igual a cero, en tanto que la segunda condicin dice que la suma de las probabilidades de todos los valores de la variable x debe ser igual a uno. La tabla 4.2 muestra que las condiciones anteriores han sido satisfechas, por lo que la distribucin de probabilidad desarrollada por DiCarlo Motors es una distribucin de probabilidades discretas vlida.

Figura 4.1. Distribucin de probabilidad para el nmero de automviles vendidos por da.

Probabilidad

0.40 0.30 0.20 0.10 0.0

0

1

2

3

4

5

Numero de automviles vendidos por da.

Despus de establecer una variable aleatoria y su distribucin de probabilidad, podemos desarrollar una diversidad de informacin de probabilidad adicional, dependiendo de las necesidades e intereses de quien toma las decisiones. Por ejemplo en el problema de DiCarlo Motors la distribucin de probabilidad que se muestra en la tabla 4.2 puede utilizarse para obtener la informacin siguiente:

1. Existe la probabilidad de 0.18 que durante algn da no se venda ningn automvil. 2. El volumen mas probable de ventas es uno, con f/x) = 0.39 3. Existe una probabilidad de 0.05 que exista un da de ventas extraordinario, con ventas de 4 o 5 automviles. Utilizando la informacin de probabilidades como la que acabamos de dar, la administracin de Dicarlo puede comprender mejor las incertidumbres asociadas con la operacin de venta de automviles. Quizs esta mayor comprensin puede servir de base a nuevas polticas o decisiones que incrementan la eficacia de la empresa. Valor esperado o esperanza matemtica: Despus de construir la distribucin de probabilidad para una variable aleatoria, a menudo deseamos calcular cual es el valor medio o esperado de dicha variable aleatoria. El valor esperado o esperanza matemtica de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de los valores posibles de la variable aleatoria, para el cual la funcin de probabilidad proporciona las ponderaciones. La formula matemtica para calcular el valor esperado o esperanza matemtica de una variable aleatoria discreta x es:

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E(x) = = x f(x)Para calcular el valor esperado o esperanza matemtica de una variable aleatoria discreta debemos multiplicar cada uno de los valores de la variable aleatoria por su probabilidad correspondiente y, a continuacin, sumar los trminos resultantes. El calculo del valor esperado o esperanza matemtica de la variable aleatoria (nmero de ventas diarias) para DiCarlo Motors aparece en la tabla 4.3. La primera columna contiene los valores de la variable aleatoria x , la segunda sus propiedades asociadas f(x). Multiplicando cada uno de los valores de x por su probabilidad f(x) nos da los valores de xf(x) de la tercera columna siguiendo la ecuacin anterior sumamos esta columna xf(x), a fin de determinar el valor esperado o esperanza matemtica de 1.50 automviles vendidos por da.Tabla 4.3 Calculo del valor esperado x 0 1 2 3 4 5

f(x) 0.18 0.39 0.24 0.14 0.04 0.01

x f(x) 0(0.18) = 0 1(0.39) = 0.39 2(0.24) = 0.48 3(0.14) = 0.42 4(0.04) = 0.16 5(0.04) = 0.05 E(x = 1.50

El valor esperado de una variable aleatoria es el valor medio, es decir promedio. Esto es, par experimentos que puedan repetirse muchas veces, el valor esperado o esperanza matemtica puede interpretarse como el valor promedio a la larga de la variable aleatoria. Sin embargo, el valor esperado no es necesariamente el nmero que pensamos asumir la variable aleatoria la siguiente vez que se conduzca el experimento. De hecho resulta, imposible para DiCarlo vender exactamente 1.50 automviles durante cualquier da. Sin embargo, si podemos imaginar a DiCarlo vendiendo automviles durante muchos das en el futuro, el valor esperado o esperanza matemtica de 1.50 automviles nos da el volumen de ventas diario medio o promedio. El valor esperado puede ser importante para el administrador tanto desde el punto de vista de planeacin como el de toma de decisiones. Por ejemplo, suponga que DiCarlo Motors piensa estar abierto durante 60 das en los siguientes 3 meses. Cuntos automviles se vendern durante este tiempo? Aunque no podemos especificar las ventas exactas de cualquiera de los das el valor esperado de 1.50 automviles por da nos da una estimacin de ventas esperada o ventas promedio de 60(1.50) = 90automoviles para el siguiente periodo de 3 meses. Para el establecimiento de cuotas de ventas o para planear pedidos, el valor esperado o esperanza matemtica puede dar una informacin para la toma de decisiones. Varianza. El valor esperado de una variable aleatoria nos da una idea del valor promedio o central de una variable aleatoria, pero a menudo deseamos alguna idea de la dispersin, es decir de la variabilidad de los valores posibles de la variable aleatoria. Por ejemplo, si los valores de la variable aleatoria solamente muestran una variacin modesta, esperamos un valor relativamente pequeo. La varianza es una medida utilizada comnmente para

Var(x) = = (x )2f(x)

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resumir la variabilidad de los valores de una variable aleatoria. La expresin matemtica para la varianza de una variable aleatoria discreta es:

Como muestra la ecuacin la ecuacin anterior, una parte esencial de la formula de la varianza es una desviacin, x-, que mide lo lejos que un valor particular de la variable aleatoria est del valor esperado o medio, . Al calcular la varianza de una variable aleatoria discreta, elevamos al cuadrado las desviaciones y a continuacin las ponderamos al multiplicarlas por la probabilidad correspondiente. La suma de esas desviaciones cuadrticas ponderadas, para todos los valores de la variable aleatoria es la varianza. En otras palabras, la varianza es el promedio ponderado de las desviaciones cuadrticas de la media. El clculo de varianza para el nmero de ventas diarias en el problema de DiCarlo Motors se resume en la tabla 4.4. Observemos que la varianza para el nmero de automviles vendidos es hoy en da de 1.25. Una medida de variabilidad relacionada es la desviacin estndar , que se define como la raz cuadrada positiva de la varianza. En el caso de Di Carlo motors, la desviacin estndar del nmero de automviles vendidos por da es = 1.25 = 1.118 Para una mas fcil interpretacin, desde el punto de vista administrativo, pudiera referirse la desviacin estndar en vez de la varianza, porque se mide en las mismas unidades que la variable aleatoria (=1.118 automviles vendidos por da). La varianza (2) se mide en unidades cuadrticas, por lo que su interpretacin resulta ms difcil para el administrador. En este momento nuestra interpretacin de la varianza y de la desviacin estndar se limita a comparaciones de variabilidad de distintas variables aleatorias. Por ejemplo, si los datos diarios de ventas de una segunda agencia Dicarlo en Albany , Nueva York ,diera 2= 2.56 y 2= 1.6, podemos concluir que el nmero de automviles vendidos diariamente en esa agencia exhibe mayor variabilidad que la primera agencia DiCarlo, 2=1.25 y 2= 1.118.

Tabla 4.4 x 0 1 2 3 4 5

Clculo de la varianza x- 0-1.50 = -1.50 1-1.50 = -0.50 2-1.50 = 0.50 3-1.50 = 1.50 4-1.50 = 2.50 5-1.50 = 3.50

(x-)2 2.25 0.25 0.25 2.25 6.25 12.25

f(x) 0.18 0.39 0.24 0.14 0.04 0.01

(x-)2f(x) 2.25(0.18) = 0.4050 0.25(0.39) = 0.0975 0.25(0.24) = 0.0600 2.25(0.14) = 0.3150 6.25(0-04) = 0.2500 12.25(0.01) = 0.1225 2 = 1.2500

La distribucin binomial En esta seccin veremos un tipo de experimentos que cumplen con las condiciones siguientes: 1. La totalidad del experimento se puede escribir en funcin de una secuencia de experimentos n idnticos conocidos como ensayos.

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En cada ensayo son posibles dos resultados. Nos referimos a uno de ellos como un acierto y al otro como un fracaso. 3. Las probabilidades de los resultados no se modifican de un ensayo al siguiente. 4. Los ensayos son independientes (es decir, el resultado de un ensayo no afecta el resultado de cualquiera de los dems). Los experimentos que satisfacen las condiciones 2, 3 y 4 se dice que estn generados por un proceso de Bernoulli. Adems, si se satisface la condicin 1(que existan n ensayos idnticos) nos encontramos ante un experimento Binomial. Una variable aleatoria discreta importante asociada con el experimento binomial es el nmero de aciertos en los n ensayos. Si suponemos que x representa el valor de sta variable aleatoria, entonces x puede tener un valor de 0, 1, 2, 3 n. Dependiendo del nmero de aciertos observados en los n intentos. La distribucin de probabilidad asociada con esta variable aleatoria se conoce como la distribucin de probabilidad binomial. En los casos en los que es aplicable la distribucin binomial, la formula matemtica para calcular la probabilidad de cualquier valor de una variable aleatoria es la funcin binomial de probabilidad.

2.

f(x) = n! px (1 - p)n - x x!(n - x)!Donde n = numero de intentos. p = probabilidad de aciertos en un intento. x = numerote aciertos en n intentos. f(x)=probabilidad de x aciertos en n intentos.

x = 0,1n

El trmino n! en la expresin arriba citada se conoce como el factorial de n y se define como: n! = n(n - 1) (n - 2) (2)(1) Por ejemplo 4! = (4)(3)(2)(1) =24. Tambin por definicin, el caso especial de factorial de cero es 0! = 1 Ejemplo: Consideremos el experimento de clientes que entran a la tienda de ropa Nastke. Para mantener relativamente pequeo el problema, restringiremos el experimento a los siguientes tres clientes. Si, con base en la experiencia, el administrador de la tienda estima que la una compra es de 0.30, Cul es la probabilidad de que exactamente 2 de los 3 clientes siguientes efecten una compra? Primero deseamos demostrar que 3 clientes que entran en la tienda de ropa y que han de decidir si van hacer o no una adquisicin se puede considerar como un experimento binomial. Si verificamos los 4 requisitos para un experimento binomial, observamos lo siguiente: 1. El experimento se puede describir como una secuencia de 3 intentos idnticos, un intento para cada 1 de los 3 clientes que entran en la tienda. 2. Para cada uno de los intentos son posibles 2 resultados: el cliente efecta una compra (acierto) o no (fracaso). 3. La probabilidad de adquisicin (0.30) o de no adquisicin (0.70)se supone lamisca para todos los clientes . 4. La decisin de compra de cada cliente es independiente de la decisin de compra de los otros clientes.

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Por lo que, si definimos la variable aleatoria x como el nmero de clientes que efectan una adquisicin (es decir, el nmero de aciertos para los 3 intentos) satisfacemos los requisitos de la distribucin de probabilidad binomial. Con n=3 intentos y la probabilidad de una compra p=30 para cada uno de los clientes, utilizando la ecuacin anterior, para calcular la probabilidad de que 2 clientes efecten una compra. Esta probabilidad, que se identifica como f(2), es F(2) = 3! (0.30)2(0.70)1 2!1! = 3 x 2 x1 (0.30) 2(0.70)1 2x1x1 = 0.189 Similarmente, la probabilidad de que ningn cliente efecte la compra, identificndola como f(0), es: f(o) = 3! (0.30)0(0.70)3 0!3! = 3x2x1 (0.30)0(0.70)3 1x3x2x1 = 0.343 Similarmente, se puede utilizar la ecuacin anterior para demostrar que la probabilidades de 1 y de 3 compras son f(1) = 0.441 y f(3) = 0.027. La tabla 4.5 Muestra resume la distribucin de probabilidad binomial correspondiente al problema de la tienda de ropa Nastke.Tabla 4.5 Distribucin de probabilidad para los clientes que efectan una compra

x 0 1 2 3 Total

f(x) 0.343 0.441 0.189 0.027 1.000

Valor esperado o esperanza matemtica y varianza para la distribucin binomial. De la tabla 4.5 podemos utilizar la ecuacin para el valor esperado o esperanza matemtica de clientes que efectan una compra o el nmero esperado de clientes que efectan una compra: = x f(x) = 0(0.343)+ 1(0.441) +2(0.189)+3(0.027) 0.9. Observe que pudiramos haber obtenido este mismo valor esperado o esperanza matemtica simplemente multiplicando n (el nmero de intentos)por p (la probabilidad de aciertos en cualquiera de los intentos). np = 3(0.30) = 0.90 Para el caso especial de una distribucin de probabilidad binomial, el valor esperado o esperanza matemtica de la variable amatoria est dada por: = np

MATEMTICAS III


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Por lo que, si usted sabe que la distribucin de probabilidad es binomial, no es necesario que efectelos clculos detallados requeridos por la ecuacin para calcular el valor esperado o esperanza matemtica. Ejemplo: Suponga que durante el mes siguiente la tienda de ropa de Nestke espera que entren a la tienda 1 000 clientes. Cual es el nmero esperado de clientes que efecten una compra? Utilizando la ecuacin anterior, la respuesta es = n p = (1000)(0.3) = 300. A fin de incrementar el nmero esperado de ventas, Nastke debe inducir a que entrenen ms clientes en la tienda, o de alguna manera incrementar la probabilidad de que algn cliente en particular efecte una compra una vez que haya entrado. Para el caso especial de una distribucin binomial la varianza de la variable aleatoria es: 2 = np (1-p) Para el problema de la tienda de ropa Nastke con 3 clientes, la varianza y la desviacin estndar para el nmero de clientes que efectan compras son: 2 = np(1-p)=3(0.3)(0.7)=0.63 = 0.63 = 0.79 Distribucin de Poisson: La distribucin de Poisson se llama as en honor a Simen Dennis Poisson. Esta distribucin maneja una variable aleatoria discreta que a menudo resulta til cuando nos enfrentamos con el nmero de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo o de espacio especificados. Por ejemplo, la variable aleatoria de inters pudiera ser el nmero de llegadas a un lavado de automviles en una hora, el nmero de reparaciones que se requieren en 10 millas de autopista o el nmero de fugas existentes en 100 millas de oleoducto. Si se satisfacen las dos hiptesis siguientes, es aplicable la distribucin de probabilidad de Poisson. 1. La probabilidad de ocurrencia de un evento es la misma para cualquiera de 2 intervalos de igual valor. 2. La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia de cualquier otro intervalo. La funcin de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson queda dada por la ecuacin siguiente: f(x ) = x e- x! Donde = numero promedio de ocurrencias en un intervalo. e = 2.71828 para x = 0,1,2.

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x = nmero de ocurrencias dentro de un intervalo. f(x) = probabilidad de x ocurrencias en el intervalo. Ejemplo. Suponga que estamos interesados en el nmero de llegadas al cajero automtico para automovilistas durante un periodo de 15 minutos en las maanas de la semana. Si suponemos que la probabilidad de que llegue un automvil es la misma para cualquiera de de 2 periodos de tiempo de igual duracin, y que la llegada o no llegada de un automvil en cualquier periodo de tiempo, es aplicable la funcin de probabilidad de Poisson. Entonces, si suponemos que un anlisis de los datos histricos muestra que el nmero promedio de automviles que llegan durante un intervalo de 15 minutos es de 1, es aplicable la funcin de probabilidad de Poisson con = 10. f(x ) = x e- = 10 x e-10 x! x! Para x = 0,1,2,

Si deseramos saber cul es la probabilidad de 5 llegadas en 15 minutos, haramos x = 5? F(x) = 105e-10 = 0.0378 5! Distribucin Normal. La distribucin probabilstica normal y su respectiva curva normal tienen las siguientes caractersticas:1. La curva normal es acampanada y presenta un solo pico en el centro de la distribucin. La media (aritmtica), la mediana y la moda de la distribucin son iguales y estn localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del rea bajo la curva. De esta forma, la mitad del rea bajo la curva se encuentra por arriba de ese punto central, y la otra mitad por abajo. 2. La distribucin probabilstica normal es simtrica con respecto a su media. Si se corta la curva normal verticalmente en este valor central, las dos mitades se reflejaran como imgenes en un espejo. 3. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asinttica, lo cual significa que la curva se acerca cada vez ms al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en uno y otros sentidos.

Figura 4.2. Caractersticas de la distribucin normal.

La curva normal es simtrica mitades idnticas

dos

cola La media , La mediana y la moda Son iguales.

cola

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No existe solo una distribucin probabilstica normal, sino que hay una familiade ellas. Existe una distribucin de probabilidad normal para los tiempos de servicio de los empleados de la planta de Camden, para la que la media es 20 (aos) y la desviacin estndar vale 3.1(aos). Existe otra distribucin probabilstica normal para los citados tiempos de la planta de Durkirk, para la cual =20 y =3.9 en la figura 4.3 se ilustran tres distribuciones normales para las que las medias son iguales, pero las desviaciones estndares son diferentes.

Figura 4.3. Distribuciones Probabilsticas normales con Medias iguales, pero diferentes Desviaciones estndares. =3.9 aos, planta de Durkik =3.1 aos, planta Camden

= 5.0 aos, planta de Elmira 20 aos Duracin de servicio

En la figura 4.4. Muestra la distribucin de los pesos de empaques de tres cereales. Los pesos estn distribuidos en forma normal, con medias diferentes, pero con desviaciones estndares idnticas.

Sugar Yummies

=1.6 gramos

Alphabet G ems

=1.6 gramos

Weight Droppers

=1.6 gramos

En la siguiente figura 4.5 muestra tres distribuciones normales321 que tienen distintas 283 310 medias ygramos desviaciones estndares. Muestra la distribucin de resistencias a la tensin gramos gramos medidas en libras por pulgada cuadrada (lb/pulg2) [psi] para tres tipos de cables.

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Distribucin probabilstica normal. = 26 = 41 psi = 52 psi

2 000 Psi

2 048 Psi

2 186 Psi

Se observ que existe una familia de distribuciones normales. Cada distribucin tiene media () o desviacin estndar (), con valores diferentes. Por lo tanto, el nmero de distribuciones normales es ilimitado. Resultara fsicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades (como la binomial y la de Poisson) para cada combinacin de y . Por fortuna, puede utilizarse un elemento de la familia de distribuciones normales para todos los problemas donde tal distribucin resulta aplicable. Tiene una media igual a 0 y una desviacin estndar igual a 1, y se denomina distribucin normal estndar. Cualquier distribucin normal puede convertirse en una distribucin normal estndar restando la media a cada observacin, dividiendo luego entre la desviacin estndar. Primero se convierte o se estandariza, la distribucin a una distribucin normal estndar utilizando e valor z,(tambin denominado, a veces, desvo normal estandarizado, o simplemente desvo normal).

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Valor z Diferencia (desviacin) entre un valor seleccionado, denotado por x, y la media , dividida tal diferencia entre la desviacin estndar, . Por tanto, el valor z es la distancia a partir de la media, medida en unidades de la desviacin estndar. Expresado lo anterior con una formula queda:

Valor normal estndar Z =

X-

Donde: X es el valor de cualquier medida u observacin especfica. es la media de la distribucin. es la desviacin estndar de la distribucin. Como se observa por la definicin anterior, el valor z mide la distancia entre el valor especfico X y la media (aritmtica), en unidades de la desviacin estndar. Conociendo el valor z determinado por la formula anterior, se puede obtener el rea o la probabilidad bajo la curva normal. Recurriendo a la tabla del apndice A. Supngase, como ejemplo que se obtuvo por clculo una z igual 1.91. Cul es el rea bajo la curva normal entre la media y X? Nos vamos a la tabla del apndice A. Descindase por la columna izquierda de sta encabezada por la letra z, hasta 1.91.Luego se desplaza horizontalmente hacia la derecha y se lee la probabilidad bajo la columna encabezada por 0.01. Resulta 0.4719. Esto significa que el 47.19% del rea bajo la curva se encuentra entre la media y el valor X de 1.91desviaviones estndares por arriba de la media. Esta es la probabilidad de que una observacin se encuentre entre 0 y 1.91 desviaciones estndares respecto de la media.

0.4719 0 1.91 z

Ejemplo. La media de un grupo de ingresos semanales con distribucin normal para un gran conjunto de gerentes de nivel medio, es $ 1000(dlares), y la desviacin estndar es de $100.cul es el valor z para un ingreso X de $1 100?Y para uno de $900? Solucin. Utilizando la frmula anterior, los valores z para los dos valores de X ($1 100 y 900) se calculan como sigue: Para X =$1 100 Para X = $900 Z = X- = $1 100 $1 000$ 100

Z = X- = $900 - $1 000$100

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= 1.00

= -1.00

El valor z de 1.00 indica que un ingreso semanal de $1 100 para un gerente de nivel medio est una desviacin estndar por encima de la media; una z de -1.00 indica que un ingreso de $900 est una desviacin estndar por debajo de la media. Obsrvese que ambos ingresos ($1 100 y $900) estn a la misma distancia ($100) respecto de la media. reas bajo la curva normal. Antes de examinar diversas aplicaciones de la distribucin de probabilidad normal estndar, se consideran tres reas bajo la curva que han de ser utilizadas ampliamente en los siguientes temas: 1. Aproximadamente 68% del rea bajo la curva normal est dentro de mas una y menos una desviaciones estndares respecto de la media. Esto se expresa como 1. 2. Aproximadamente 95% del rea bajo la curva normal est dentro de ms dos y menos dos desviaciones estndares respecto de la media, lo que se expresa por 2. 3. Prcticamente toda el rea (99.7%) bajo la curva normal est dentro de tres desviaciones estndares respecto de la media (a uno y otro lados del centro) lo cul se indica por 3. Mostrando esto en un diagrama y utilizando porcentajes ms precisos queda:

-3 -2 -1

+1

+2 +3 Escala de X

El transformar las mediciones a valores z(o desvos normales estndares) cambia la 68.26% escala. Las conversiones se muestran en el siguiente diagrama. Por ejemplo, +1 se 95.44% convierte a un valor z de +1.00. De manera semejante, -2 se transforma en un valor z de -2.00. Observase que el centro de la distribucin z es cero, lo cul indica que no existe 99.74% desviacin respecto de la media, .

-3 -2 -3 -2

-1 +1 se convierte en -1 0 1

+2 +3 Escala de X 2 3 Escala de z

Estos conceptos pueden expresarse de manera algo distinta: el rea bajo la curva normal dentro de ms y menos una desviacin estndar respecto de la media, es 0.6826. El rea dentro de ms y menos dos desviaciones estndares dentro de la media es 0.9544. El rea dentro de tres desviaciones estndares respecto de la media vale 0.9974. Y el rea total bajo la curva normal es 1.0000.

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Ejemplo. Una prueba de vida til para un gran nmero de pilas alcalinas tipo D, revel que la duracin media para un uso especfico antes de la falla, es de 19.0 horas (h). La distribucin de las duraciones se aproxima a una distribucin normal. La desviacin estndar de la distribucin fue 1.2 h. 1. Encuentre que par de valores fall aproximadamente 68% de las pilas? 2. Entre cules dos valores ocurri la falla de alrededor de 95% de las pilas? 3. Entre que par de valores fallaron prcticamente todas las pilas? Solucin 1. Aproximadamente 68% fall entre 17.8 h y 20.2 h, valores obtenidos de 19.01(1.2) 2. Alrededor de 95% lo hizo entre 16.6 h y 21.4 h, calculado por 19.02(1.2). 3. Prcticamente todas las pilas fallaron entre 15.4 h y 22.6 h, lo que resulta de 19.03(1.2).

-3 15.4

-2 16.6

-1 +1 17.8 19.0 20.2

+2 21.4

+3 22.6

La primera aplicacin de la distribucin normal estndar se relaciona con la determinacin del rea bajo la curva normal, entre la media y un valor seleccionado, que se denota por X. Utilizando el mismo problema que en el ejemplo anterior del ingreso semanal [=$1 000(dlares), =$100], Cul es el rea bajo la curva normal entre $1 000 y $1 100? Ya hemos convertido $1 100 a un valor z de 1.00 aplicando la formula, como reiteracin: X $1 100- $1 000 Z= = = 1.00 $100 La probabilidad asociada a un valor z de 1.00 ya se calcul y se muestra en la siguiente tabla: z 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 0.00 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413 0.3643 0.01 0.2611 0.2910 0.3186 0.3438 0.3665 0.02 0.2642 0.2939 0.3212 0.3461 0.3686

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Representado en un diagrama:

0.3413

0 $1 000

1.0 Escala de z $1 100 Escala de dlares

El rea bajo la curva normal entre $1 000(dlares) y $1 100 es 0.3413. Tambin puede decirse que 34.13% de los ingresos semanales estn entre $1000 y $1 100, y la probabilidad de que en un ingreso especfico se halle entre $1 000 y $ 1 100, tiene por valor 0.3413. Ejemplo. Refirase al problema anterior [ =$1 000(dlares), =$100]. 1. Cul es la probabilidad de que un ingreso semanal especfico seleccionado al azar entre $790 y $1 000? 2. Cul es la probabilidad de que el ingreso sea menor de $790? Solucin: Calculando el valor z para $790 mediante la frmula: Z = X- = $790-$1 000 = -2.10 $100

1. El rea bajo la curva normal entre y X correspondiente a un valor z de -2.10, es0.4821. El signo negativo antes de 2.10 indica que el rea est la izquierda de la media, pero no cambia su tamao. 2. La media divide a la curva normal en dos mitades idnticas. El rea bajo la mitad de la grfica a la izquierda de la media, vale 0.5000, y el rea que se encuentra a la derecha de la media tambin es 0.5000. Como el rea bajo la curva entre $790 y $ 1 000 es 0.4824, el rea por abajo de $790 se determina restando 0.4821 de 0.5000. De esta forma, 0.5000-0.4821= 0.0179. En el diagrama queda:

0.5000 0.0179 0.4821

0.5000

-2.10

0

Escala z

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Una segunda aplicacin de la distribucin normal estndar se relaciona con combinar dos reas, una a la derecha y otra a la izquierda de la media. Ejemplo. Volviendo a la distribucin de ingresos semanales [=$1000(dlares), =$100], Cunto vale el rea bajo la curva normal entre $840 y $1 200 dlares? Solucin: El problema se divide en dos partes. Para el rea entre $840 y la media de $1 000: Z = $840-$1 000 = -$160= -1.60 $100 $100 Para el rea entre la media de $1 000 y $1 200: Z = $1 200-$1 000 = $200= 2.00 $100 $100 El rea bajo la curva para un valor z de -1.60 es0.4452. El rea bajo la curva para un z de 2.00, es 0.4772. Sumando las dos reas queda 0.4452+0.4772=0.9224. d sta forma, la probabilidad de seleccionar un ingreso entre $840 y $1 200 es 0.9224. En otras palabras, 92.24% de los gerentes tiene un ingreso semanal entre $840 y $1 200. Mostrado en un diagrama:

0.4452

0.4772

$840 $1 000 $1 200 Ingresos semanales (en dlares)

Escala de ingresos

Una aplicacin adicional de la distribucin normal estndar consiste en determinar el rea por encima, o por debajo, de un valor especfico. Ejemplo: Considerando de nuevo el ejemplo de los ingresos semanales (=$1 000,=$100), Qu porcentaje de los ejecutivos tienen ingresos por semana de $1 245 o ms? Solucin: Primero es necesario determinar el rea entre la media de $1 000 y $1 245. Se utiliza la formula para calcular z. Z = $1 245-$100 = $245 =2.45 $100 $100

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El rea asociada a un valor z de 2.45 es de 0.4929. Esta es la comprendida entre $1 000 y $1 245. Resulta lgico que el rea a partir de $1 245 y que llega hasta el final de la curva, se obtenga al restar 0.4929 de 0.5000. El rea es 0.0071, lo cul indica que slo 0.71% de los ejecutivos tiene un ingreso semanal de $1 245 o mas. En el diagrama siguiente se muestran los diversos aspectos de ste problema:

0.5000

0-5000 0.0071 0.4929 $1 000 0 x $1 245 Escala de dlares + 2.45 Escala z

Aun otra aplicacin de la distribucin normal estndar implica determinar el rea entre valores sobre el mismo lado de la media. Ejemplo Volviendo al ejemplo de los ingresos semanales (=$ 1000,=$100), Cunto vale el rea bajo la curva normal entre $1 150 y $1 250? Solucin: El problema se separa de nuevo en dos partes y se aplica la misma formula. En primer lugar se encuentra el valor z asociado a un ingreso semanal de $1 250: Z = $1 250-$1 000 = 2.50 $100 En seguida se obtiene el valor z para un ingreso semanal de $1 150: Z = $1 150-$1 000 = 1.50 $100 De acuerdo a la tabla, el rea asociada a un valor z de 2.50 es 0.4938. Por tanto, la probabilidad de un ingreso por semana entre $1 000 y $1 250, es 0.4938. En forma semejante, el rea asociada a un valor z de 1.50 es 0.4332, as que la probabilidad de un ingreso semanal entre $1 000 y $1 150, es 0.4332. La de un ingresos por semana entre $1 150 y $1 250 se obtiene restando el rea correspondiente a un valor z de 1.50 (que es 0.4332), de lo que corresponde a un z de 2.50(o sea 0.4938). Por tanto, la probabilidad de un ingreso semanario entre $1 150 y $1 250, es 0.0606. En un diagrama:

0.0606

$1 000 $1 150 $1 250 Escala de ingresos 0 1.50 2.50 Escala de z

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I.4.4 Actividad de aprendizaje No. 9 TA-5: Ejercicios de aplicacin. 1.4.4.1 Instrucciones: Resuelve de manera correctamente los siguientes ejercicios acerca de valor esperado, varianza, distribucin de binomial y distribucin de Poisson. a) Valor actividad: 10 Puntos b) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta los ejercicios propuestos. c) Fecha inicio: d) Fecha entrega: e) Forma de entrega: Por separado, escrito a mano f)) Tipo de actividad: Individual g) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega. I.4.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad TA-5 Actividad Actividad Resolver ejercicios acerca de valor esperado, varianza distribucin binomial, distribucin de Poisson, Resuelva de manera correcta los problemas. Resolver los propuestos. Ponderacin Puntos

ejercicios 9

Utilizar el formato para la 1 Puntos entrega de tareas. Total 10 puntos

Actividad de aprendizaje No. 10 PR-5 Resolver ejercicios prcticos I.4.4.1 Instrucciones: Resolver un ejercicio que incluya uno de los temas. h) Valor: 5 Puntos i) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de manera correcta. j) Fecha inicio: k) Fecha entrega: l) Forma de entrega: escrito a mano m) Tipo de actividad: Individual n) Fecha de retroalimentacin: I.4.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad PR-5 Actividad Actividad Practica por escrita con problemas de valor esperado, varianza, distribucin binomial y distribucin de Poisson. Uso de reglas de

Ponderacin

Resolver en forma rpida 4 Puntos ejercicios de distribuciones discretas. Utilizar el formato para la 1 Puntos

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presentacin

elaboracin de prcticas. Total

5 puntos

Actividad de aprendizaje No. 11 TA-6: Ejercicios de aplicacin. 1.4.4.1 Instrucciones: Resuelve de manera correctamente los siguientes ejercicios acerca de distribuciones continuas. o) Valor actividad: 10 Puntos p) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta los ejercicios propuestos. q) Fecha inicio: r) Fecha entrega: s) Forma de entrega: Por separado, escrito a mano t)) Tipo de actividad: Individual u) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega. I.4.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad TA-6 Actividad Actividad Resolver ejercicios acerca de distribuciones continuas, Resuelva de manera correcta los problemas. Ponderacin

Resolver los ejercicios 9 Puntos propuestos. Utilizar el formato para la 1 Puntos entrega de tareas. Total 10 puntos

Actividad de aprendizaje No. 12 PR-6 Resolver ejercicios prcticos I.4.4.1 Instrucciones: Resolver un ejercicio que incluya distribuciones continuas. h) Valor: 5 Puntos i) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de manera correcta. j) Fecha inicio: k) Fecha entrega: l) Forma de entrega: escrito a mano m) Tipo de actividad: Individual n) Fecha de retroalimentacin: I.4.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad PR-6 Actividad Actividad Practica por escrita con problemas de distribuciones continuas. Uso de reglas de presentacin Ponderacin

Resolver en forma rpida 4 Puntos ejercicios de distribuciones continuas. Utilizar el formato para la 1 Puntos elaboracin de prcticas. Total 5 puntos

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I.4.5 Resultado del Aprendizaje: Se pretende que los alumnos resuelvan de manera satisfactoria los problemas propuestos de distribuciones discretas y continuas. I.4.6 Bibliografa: Estadstica para Administracin y Economa. Robert D. Mason/ Douglas A. Lind/ William G. Marcial. Editorial Alfaomega. Mtodos cuantitativos para los negocios. David R. anderson/Dennis J. Sweeney/Thomas A.Williams. Editorial International Thomson Editores 1998.

Unidad Temtica: 2. Estimacin2.1Tema: Estimacin puntual 2.1.1 Objetivo de aprendizaje: Que el alumno adquiera los conocimientos acerca de estimaciones puntuales en medias y en proporciones, As como su correcta aplicacin en problemas reales de empresa 2.1.2 Recurso tiempo del tema: 4.0 horas 2.1.3 Desarrollo: Estimacin puntual. El valor, calculado a partir de la informacin de muestreo, que se emplea para estimar el parmetro de poblacin. La media muestral, , es una estimacin puntual de la media poblacional, ,.

P es una estimacin puntual de p y as mismo la desviacin estndar de la muestra S es una estimacin puntual de la desviacin estndar de la poblacin . Supngase que una empresa desea calcular la edad promedio de compradores de equipos estreo. Se selecciona una muestra aleatoria de 50 adquirientes recientes, se determina la edad de cada uno y se calcula la edad media de los seleccionados. El valor medio de esta muestra es una estimacin puntual de la media poblacional. Sin embargo, un valor estimado puntual representa slo una parte de la historia. Al tiempo que se espera que la estimacin puntual se acerque al parmetro de la poblacin, quisimos medir que tan cerca se encuentra. Un intervalo de confianza cumple con ste propsito. Estimacin por intervalo de confianza Una gama de valores obtenidos a partir de datos de muestreo, de modo que el parmetro ocurre dentro de esa variedad a una probabilidad especfica. La probabilidad especfica en cuestin se denomina nivel de confianza. Ejemplo

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El gerente de puede decidir que la media poblacional est en algn sitio entre v $35 y $38. Tal intervalo con frecuencia va acompaado de una afirmacin sobre el nivel de confianza que se da en su exactitud. Por tanto se llama intervalo de confianza (I.C). En realidad hay tres niveles de confianza relacionados comnmente con los intervalos de confianza; 99%, 95% y 90%. No hay nada mgico sobre stos tres. Se podra calcular un intervalo de confianza de 82% si se deseara. Estos tres niveles de confianza, denominados coeficientes de confianza, son simplemente convencionales. El gerente mencionado anteriormente puede tener un 95% de confianza en que la media poblacional est entre $35 y $38. Las estimaciones por intervalo gozan de ciertas ventajas sobre las estimaciones puntuales. Debido al error de muestreo, probablemente no ser igual a . Sin embargo,

no hay manera de saber que tan grande es el error de muestreo. El fundamento de un intervalo de confianza. Intervalo de confianza tiene un lmite inferior de confianza (LIC) y un lmite superior de confianza (LSC). Estos limites se hayan calculando primero la media muestral, se suma una cierta cantidad para obtener el LIC. Cmo se puede construir un intervalo y luego argumentar que se puede tener un 95% de confianza en que contiene a , si incluso no se sabe cul es la media poblacional? Vale la pena recordar de la discusin anterior sobre la Regla Emprica que el 95.5% de todas las medias muestrales caen dentro de dos errores estndar de la media poblacional. Entonces la media poblacional est mximo a dos errores de 95.5% de todas las medias muestrales. Por tanto, al comenzar con cualquier media muestral, si se pasa de dos errores estndar por encima de dicha media y dos por debajo de ella, se puede tener un 95.5% de confianza en que el intervalo resultante contenga la media poblacional desconocida. . Luego

para obtener el LSC, y la misma cantidad se resta de

95.5% 2x LIC1 -2 x =? X1 +2 x LSC1

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La informacin desarrollada acerca de la forma de una distribucin de muestreo de medias muestrales, lo cual significa una distribucin de muestreo de,

permite localizar

un intervalo que contenga una probabilidad especfica de incluir a la media de la poblacin, . Para muestras razonablemente mayores, se puede utilizar el teorema del lmite central y afirmar lo siguiente.1.Un 95% de las medias muestrales seleccionadas de una poblacin estar dentro de 1.96 desviaciones estndares respecto de la media poblacional,. La desviacin estndar mencionada aqu es la desviacin estndar de la distribucin de muestreo de medias mustrales. Los intervalos calculados de sta manera se denominan el intervalo de confianza de 95%Cmo se obtiene el valor de 1.96? El 95% se refiere al porcentaje de tiempo del intervalo construido similarmente que incluye el parmetro que se estima. Por ejemplo, el 95% se refiere al 95% central de las observaciones. Por tanto, el 5% restante se divide por igual entre los dos extremos. Vase el diagrama siguiente:

0.5000

0.5000

0.4750 0.25

0.4750 0.025

-1.96

1.96

Escala de z

El teorema de lmite central afirma que la distribucin de muestreo de las medias muestrales se aproxima a la normal. Por lo tanto, puede utilizarse la tabla del apndice A, para determinar los valores de z adecuados. Localice 0.4750 en el cuerpo de la tabla, y despus lase los valores correspondientes de columna e hilera. As resulta 1.96. De modo que la probabilidad de encontrar un valor z entre 0 y 1.96 es o.4750. Del mismo

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modo, la probabilidad de que est en el intervalo -1.96 y 0, es tambin 0.4750. Cuando se combinan ambas, la probabilidad de encontrarse en el intervalo de -1.96 a 1.96 resulta ser 0.9500. Error Estndar de la Media Muestral (x). Desviacin estndar de la distribucin de

muestreo de las medias muestrales. El error estndar es una medida de la variabilidad de la distribucin de muestreo de la media muestral. Se calcula mediante:

Error estndar de la media, cuando se conoce la desviacin estndar de la poblacin.

x =

n

Donde:

x es el error estndar de la media, tambin denominado de

Manual Mate Ma Tic as III

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