Mate I Teo 12 Integracion Parte III

Integracin(tercera parte)

(tcnicas de integracin)

Ctedra de Matemtica I

2013

Tcnicas de integracin

Una integral definida es un nmero que se define (se calcula) al tomar el lmite de las sumas de Riemann asociadas a particiones de un intervalo cerrado finito cuya norma tiende a cero.

El Teorema Fundamental del Clculo dice que una integral definida de una funcin continua puede calcularse fcilmente si se es capaz de encontrar una antiderivada de dicha funcin.

En general, encontrar antiderivadas es ms complejo que calcular derivadas. Se vern a continuacin dos tcnicas de integracin para hallar antiderivadas: por sustitucin y por partes.

Integracin por sustitucin

La regla de potencias en la forma integral

Si es una funcin diferenciable de y es un nmero racional distinto de -1, la regla de la cadena expresa que:

Es decir, es una antiderivada de la funcin

Por lo tanto:

O sea:


Ejemplo 1 de uso de regla de potencias para calcular integrales

(verificar la solucin derivndola para obtener el integrando del primer miembro)


Ejemplo 2 de uso de regla de potencias para calcular integrales


Los dos ejemplos anteriores cumplen la siguiente regla general:

Teorema: La regla de sustitucin

Si es una funcin diferenciable cuyo rango es un Intervalo y es continua en , entonces:


La regla de sustitucin proporciona el siguiente mtodo para

evaluar la integral cuando y son funciones

continuas:

1. sustituir y para armar la integral

2. integrar respecto de

3. reemplazar por en el resultado


Ejemplo 3


Ejemplo 4


Ejemplo 5(dos versiones)

1)

2)


Ejemplo 6

Ejemplo 7

Integracin por partes

Obsevar las siguientes dos integrales:

Por lo tanto, es claro que:

Es decir, la integral de un producto, en general, no es el producto de las integrales:

no es igual a


La integracin por partes es una tcnica para simplificar integrales de la forma

Integrar por partes es til cuando puede diferenciarserepetidamente y puede integrarse repetidamente sin dificultad.

Un ejemplo de este tipo de integral es ya quepuede diferenciarse dos veces y puede integrarse demanera repetida sin dificultad.

La integracin por partes tambin es til para integrales del tipo en las que cada parte del integrando vuelve a aparecer despus de diferenciaciones e integraciones sucesivas


Regla del producto en forma integral

Si y son funciones diferenciables de , la regla del productoestablece que

Entonces, en trminos de integrales indefinidas, se tiene

O sea


Por lo tanto

La ecuacin anterior conduce a la frmula de integracin por partes


Quizs puede resultar ms simple recordar la frmula de integracin por partes si se la escribe en forma diferencial. Sea

Reemplazando en la frmula de integracin por partes, se tiene:

Esta frmula expresa una integral (la de la izquierda) en trminos de una segunda integral (la de la derecha). Con una eleccin adecuada de y , la segunda integral puede resultar fcil de resolver.


Ejemplo 1

Resolver

Se utiliza la frmula con:

Entonces


Ejemplo 2

Resolver

Esta integral puede escribirse como . Puede usarse entonces la siguiente eleccin:

Entonces:


Ejemplo 3

Algunas veces es necesario utilizar la integracin por partes ms de una vez en un mismo clculo

Resolver . Puede elegirse:

Entonces:

La nueva integral (la de la derecha) es ms sencilla que la original. Para evaluar la integral de la derecha, nuevamente debe integrarse por partes. Puede elegirse:

Por lo tanto:

Finalmente:

----- pag 563 el objetivo de la integracin por partes es pasar de una integral .., que se desconoce como evaluar, a una integral. .... la cual se conoce su evaluacin


Ejemplo 4

Despejar una integral desconocida

Resolver . Sean

Entonces:

Observar que la segunda integral es como la primera. Para calcularla, se integra nuevamente por partes con:

Entonces:


Ejemplo 4

Ahora, la integral desconocida aparece en ambos lados de la ecuacin. Sumando la integral a ambos lados y agregando la constante de integracin, se obtiene:

Dividiendo entre 2 y renombrando al constante de integracin, se obtiene finalmente:


Ejemplo 5

Integracin por partes para integrales definidas

Resolver

Sean

Entonces:

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