Mate i límites
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SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra
visión de ser competitivos e innovadores para tener
acreditación internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.”
MATEMÁTICA I
Límites
de
Funciones
1
CONTENIDOS
2
Noción Intuitiva
Notación de Límite
Límites Básicos
Propiedades
Cálculo de Límites
Determinados
Indeterminados
Límites Laterales
NOCIÓN INTUITIVA
3
1
1)(
3
x
xxf
1
3
• Tabulemos y grafiquemos la función en cercanías de
x = 1
1
1)(
3
x
xxf
1x
1x
x
x
)(xf
)(xf
2.1 1.1 05.1 01.1
64.3 31.3 1525.3 0301.3
8.0 9.0 95.0 99.0
44.2 71.2 8525.2 9701.2
CONCEPTO DE LÍMITE
El límite de cuando tiende al
punto , es , cuya notación es:
Siempre que esté arbitrariamente
cerca a para todo lo
suficientemente cerca de NOTA.- Si no existe tal número , se dice que el límite no existe.
4
)(xf x
a L
LxfLimax
)(
)(xfL
L
.ax
ALGUNOS LÍMITES BASICOS
5
kkLimax
axLimax
nn
axaxLim
553
xLim
33
xLim
x
83
2
xLim
x
883
x
Lim
99
xLimx
14
1
xLim
x
TEOREMAS DE LÍMITES
kLxfLimkxkfLimaxax
)()(
MLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax
)()()()(
MLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax
.)().()().(
0,1
)(
1
)(
1
M
MxgLimxgLim
ax
ax
Sean dos funciones tales que
y k una constante, entonces
MxgLimyLxfLimaxax
)()(gyf
6
nLxfLimxfLim nn
ax
n
ax,)()(
nn
ax
n
axLxfLimxfLim
)()(
LxfLimxfLimaxax
)()(
)()()()(
xgLim
ax
xg
ax
axxfLimxfLim
0,)(
)(
)(
)(
M
M
L
xgLim
xfLim
xg
xfLim
ax
ax
ax
7
TEOREMAS DE LÍMITES
8
CÁLCULO DE LÍMITES
El calcular se realiza de la siguiente manera:
1°.- Reemplazamos x=a en la función f(x).
2°.- Si obtenemos una forma indeterminada:
tratamos de salvar el límite, para lo cual factorizamos
o racionalizamos, luego simplificamos y volvemos a
aplicar el paso 1°.
3°.- Si a pesar de aplicar el paso 2°, seguimos obteniendo
una forma indeterminada, concluimos que dicho límite NO
EXISTE.
00 1000
0
,,.,,,
)(xfLimax
Calcule los siguientes límites:
13
42
1 x
xLimx
x
xLimx 2
5
1
x-x
4x-
24xLim
0
0
1)1(3
4)1(2
12
15
4-)4(
4-42
12
42
4 xx
xLimx
124-)4(
4-42
9
12
2
21
4
012
0
10
12
42
4 xx
xLimx
34
4
4 xx
xLimx
34
4
4 xx
xLimx
7
1
3
1
4
xLimx
7
1
12
42
4
xx
xLimx
Calcule:
43
2092
2
4
xx
xxLimx
4
)1)(4(
)4)(5(
4
xx
xxLimx
1
5
4
x
xLimx 5
1
43
2092
2
4
xx
xxLimx 5
1
0
0
11
Calcule:
6
xx
xxxLímx
23
242
23
0
0
0
2
1
x2+x3
x+x2-x42
23
0xLim
2
1
12
Calcule:
23
124 2
0
xx
xxxLímx
23
124 2
0
x
xxLímx
0
0
3
2
xxx
xLimx 2
423
2
2
)1(2
22
2 xxx
xxLimx
)1(
2
2
xx
xLimx
xxx
xLimx 2
423
2
2
3
2
13
Calcule:
9 0
0
2
22
2
x
xLimx
2
22
2
x
xLimx
)22)(2(
42
2
xx
xLimx
)22)(2(
2
2
xx
xLimx
)22(
1
2 xLimx 4
1
)22(
)22(
x
x
2
22
2
x
xLimx 4
1
14
Calcule:
10 0
0
3
4
4 - 16x+
3 - 9x+
0xLim
4 - 16x+
3 - 9x+
0xLim
3) 9x+(
3) 9x+(
3) 9x+)(16 - 16(
4) 16x+)(9 - 9(
0
x
xLimx
3 9x+
4 16x+
0
xLim
4 - 16x+
3 - 9x+
0xLim
3
4
15
Calcule:
4) 16x+(
4) 16x+(
3) 9x+4)( 16x+4)( - 16x+(
4) 16x+3)( 9x+3)( - 9x+(
0
xLim
LÍMITES LATERALES
2 -3 -1
4
6
)(xf
)(2
xfLimx
)(2
xfLimx
)(3
xfLimx
)(3
xfLimx
4
4
1
6
No
existe )(
3xfLim
x
4)(2
xfLimx
DERECHA + DERECHA + IZQUIERDA -
IZQUIERDA -
LxfLimxfLimLxfLimaxaxax
)()()(16
Verificar si existen los siguientes límites
1,4
1,5)(
2
xx
xxxf
2,2
333
2,4
8
)(2
3
xsix
x
xsix
x
xf
)())())()111
xfLimcxfLimbxfLimaxxx
)())())()222
xfLimcxfLimbxfLimaxxx
2,84
21,23
1,1
)(
23
xaxbx
xaxbx
xx
xx
xf
Determinar el valor de a y b, si se sabe
que existen
)()(21
xfLimyxfLimxx
17
Dada la gráfica de la función
Calcular los siguientes límites )(xf
1 3 -2
-3
12
7
3
)())())() xfLimcxfLimbxfLimaxxx 222
)())())() xfLimfxfLimexfLimdxxx 111
)())())()333
xfLimixfLimhxfLimgxxx
3 7 NO EXISTE
12 -3 NO EXISTE
0 0 = 0 18
• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa :
•· Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es menos infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa:
Límites infinitos de una función en un punto: definición
x0+lim
1
| x | =
x0–lim
1
| x | =
x0lim
1
| x | =
Ejemplo: observando la gráfica de la
función f(x) = 1
| x | se ve que:
)(lim xfax
)(lim xfax
Límite infinito en un punto: definición formal
Ejemplo: En la medida en que x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?
x+lim
x + 1
x = +
x 1 0,1 0,01 0,01 0+
f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001 +
• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la derecha es infinito si para cada número K > 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) > K si a < x < a + d donde d es función del K elegido .
• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la izquierda es menos infinito si para cada número K < 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) < K si a – d < x < a donde d debe ser función de K.
De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que: x–lim
x + 1
x = –
Límites finitos en el infinito: Definición
x 10 102
103
104
+
f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1
Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?
Lxfx
)(lim
x+
lim x + 1
x = 1
Se dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen valores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota
Lxfx
)(lim
Límites infinitos en el infinito: Definición
x+
lim x2 = +
En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = x2?
x 10 102
103
104
+
f(x) = x2 102 104 106 108 +
Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser función de M.
Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límite
Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1. Ambos límites no existen.
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0
Cuando el x a lim
P ( x ) Q ( x )
es indeterminado 0 0 siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e-
mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x – a)
x 3 lim
–18 + 21x – 8x 2 + x
3
x 2 – 9
= x 3 lim
(x – 3) 2 (x – 2)
(x – 3)(x + 3)
= x 3 lim
(x – 3)(x – 2)
(x + 3) =
0
6 = 0
Indet 0
0
x 3
2
lim –18 + 33 x – 20 x
2 + 4 x
3
9 – 12 x + 4 x 2 =
x 3
2
lim (x – 2)(2x – 3)
2
(2x – 3) 2 =
x 3
2
lim (x – 2) = –1
2
Indet 0
0
Cálculo de límites
Límites simples
Algunos límites típicos (trigonométricos y exponenciales)
x
x
lim
1 + a x
= e a , para todo a
Cuando las funciones verifican se pueden obtener directamente
por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x por el de a hacia el que tiende.
)()(lim afxfax
sen x
x 0 lim
x = 1
x
x lim
e x
p = , para todo p
ln x
x
lim x
p = 0 , para todo p > 0
Ejemplo de cálculo de indeterminaciones: tipo 0 .
= 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0
1/x = y
Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para
obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo 0 0 o
Recordando que x lim x p
e – x = 0
x lim (x
3 + 5x
2 + 7x)e
–x =
Indet 0 .
Recordando que x
x
X
ln lim
= 0
x 0
+ lim x
. ln x =
x 0 + lim ln x
1 x
= 0 y lim
– ln y
y =
5 x lim x 2 e –x +
x lim x 3 e –x + 7
x lim xe
–x =
Indet 0 .
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo /
En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.
ln x = y
x lim
– 2x 3 + 3x – 5
– x 3 – 2x + 5
=
Indet
x lim
–2 + 3
x 2 –
5
x 3
–1 – 2
x 2 +
5
x 3
= –2
–1 = 2
x lim
ln ( ln x )
ln x =
y lim
ln y
y = 0
Indet
Cuando el x lim
P ( x ) Q ( x )
es indeterminado
siendo P(x) y Q(x) polinomios,
podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más alta de x que aparezca en ambos.
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipos 0, 00
Indet 0
e0 = 1
ln
0lim 1x
x
xe e
Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y expresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo».
x 0 + lim x x
=
Indet 0 0
x 0 + lim e
ln (x x ) =
x 0 +
lim e x ln x
=
1
lim x
x x
1
ln lim
x x
x e
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 1
Indet 1
Indet 1
1
2x2 + x
4 = y
e8
Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión de e
a como límite, combinada con un cambio de variable.
x lim
1 + 1 x
2x
= x lim
1+ 1 x
x 2
=
x lim
1+ 1 x
x 2
= e 2
x 0 lim ( 1 + 2x 2
+ x 4 )
4 x
2 =
x 0 lim
1 + 1
1
2x 2 + x
4
4
x 2 =
x 0 lim
1 + 1
1
2x 2 + x 4
1 2x 2 + x 4 ( 2x 2 + x 4 )
4 x 2
=
= y lim
1 + 1 y
y
x 0 lim
4 ( 2x 2 + x 4 ) x 2
= y lim
1 + 1
y y
x 0 lim ( 8 + 4x 2 )
=