Mat teoremas geométricos
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PROP. Nº 21, 22, 23: TEOREMAS GEOMÉTRICOS TEOREMA DE PITÁGORAS “El cuadrado de la hipotenusa en cualquier triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de sus catetos” TEOREMA DE EUCLIDES a. Teorema de la altura: “La altura correspondiente a la hipotenusa, en cualquier triángulo rectángulo, es la media geométrica de los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa” b. Teorema del cateto: “Un cateto, en cualquier triángulo rectángulo, es media geométrica de la hipotenusa y de la proyección ortogonal del cateto sobre la hipotenusa” TEOREMA DE TALES “Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas secantes cualesquiera son proporcionales” TEOREMA DE TALES EN LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS “En cualquier par de triángulos semejantes con un vértice común (ángulo igual), los lados o segmentos de ellos son proporcionales” EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS 1. Desde un balcón de un castillo en la playa se ve un barco a 85 metros, cuando realmente se encuentra a 84 metros del castillo. ¿A qué altura está el balcón? 2. Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar la letra 3. El cilindro de la figura representa un portalápices. ¿Cuál es la medida del mayor lápiz que cabe en él sin sobresalir del mismo? 4. Determinar la longitud del lado x en cada triángulo dado. 5. Calcula la altura de un cono en el que el radio de la base mide 9 m y la generatriz mide 15 m. 6. Calcula la diagonal de una cara e = PR y la diagonal del cubo d = PQ de arista a = 10 7. ¿Es posible guardar una regla de madera de 35 centímetros en una caja con forma cúbica de 20 cm de lado, sin que sobresalga nada? Explique 8. La siguiente gráfica muestra tres lotes que colindan uno a uno. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los tres lotes en la calle 9 mide 120 metros. Determine la longitud de cada uno de los frentres de los terrenos en la calle 9. 9. Si nos situamos a 120 metros de distancia de un cohete, la visual al extremo superior del mismo recorre un total de 130 metros. ¿Cuál es la altura total del cohete? 10. Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¿Qué altura alcanza la escalera? a b c c 2 =a 2 +b 2 p q m x y w p 2 =q 2 +m 2 w 2 =x 2 +y 2 m n k y z w y 2 = z.w m n k y z w m 2 = k.w n 2 = k.z b d c a L 1 L 2 L 3
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PROP. Nº 21, 22, 23: TEOREMAS GEOMÉTRICOS
TEOREMA DE PITÁGORAS “El cuadrado de la hipotenusa en cualquier triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de sus catetos”
TEOREMA DE EUCLIDES a. Teorema de la altura: “La altura correspondiente a la hipotenusa, en cualquier triángulo rectángulo, es la media geométrica de los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa”
b. Teorema del cateto: “Un cateto, en cualquier triángulo rectángulo, es media geométrica de la hipotenusa y de la proyección ortogonal del cateto sobre la hipotenusa”
TEOREMA DE TALES “Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas secantes cualesquiera son proporcionales”
TEOREMA DE TALES EN LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS “En cualquier par de triángulos semejantes con un vértice común (ángulo igual), los lados o segmentos de ellos son proporcionales”
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS
1. Desde un balcón de un castillo en la playa se ve un barco a 85 metros, cuando realmente se encuentra a 84 metros del castillo. ¿A qué altura está el balcón?
2. Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar la letra
3. El cilindro de la figura representa un portalápices. ¿Cuál es la medida del mayor lápiz que cabe en él sin sobresalir del mismo?
4. Determinar la longitud del lado x en cada triángulo dado.
5. Calcula la altura de un cono en el que el radio de la base mide 9 m y la generatriz mide 15 m.
6. Calcula la diagonal de una cara e = PR y la diagonal del cubo d = PQ de arista a = 10
7. ¿Es posible guardar una regla de madera de 35 centímetros en una caja con forma cúbica de 20 cm de lado, sin que sobresalga nada? Explique
8. La siguiente gráfica muestra tres lotes que colindan uno a uno. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los tres lotes en la calle 9 mide 120 metros. Determine la longitud de cada uno de los frentres de los terrenos en la calle 9.
9. Si nos situamos a 120 metros de distancia de un cohete, la visual al extremo superior del mismo recorre un total de 130 metros. ¿Cuál es la altura total del cohete?
10. Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¿Qué altura alcanza la escalera?
a
b
c
c2=a
2+b
2
p
q
m x
yw
p2=q
2+m
2 w
2=x
2+y
2
m n
k
y
z w
y2 = z.w
m n
k
y
z w
m2 = k.w
n2
= k.z
b
d c
a
L1
L2
L3
11. Una gran antena de radio, de 50 metros de longitud, se ha anclado al suelo verticalmente, mediante cuatro cables sujetos a los puntos A, B C y D, como se indica en la figura. ¿Cuál es la longitud total, en metros, de los cables utilizados?
12. ¿Qué altura tiene el edificio?
13. Sea el triángulo rectángulo ∆ABC. Calcula la altura AH, si sus dimensiones están medidas en cm.
14. Hallar la medida x en los triángulos
15. El triángulo de la figura adjunta está formado por tres rectas. A su vez, este triángulo esta intersecado por tres rectas l, m y k paralelas entre sí.
a. Con PB = 12, PC = 10 y CD = 5, determine AB
b. Con PC = 18, BP = 30 y PD = 27, determine AP
16. Según la imagen ¿Cuál es la altura aproximada del edificio?
17. Para determinar qué tan lejos está la embarcación, el hombre colocó una tabla desde el acantilado de tal forma que su extremo (externo) coincidiera con la (línea) visual. Si el señor tenía una estatura aproximada de 1,7 m, el acantilado una profundidad de 150 m y la tabla de 2,5 m. ¿Qué tan lejos estaba el barco? ¿A qué distancia lo observaba el hombre?
18. ¿Cuál es la altura del poste de electricidad?
19. Un gato trepó por un tronco. ¿Qué tan alto está el gato? Tomando en cuenta que su dueño tiene una estatura de 1,63 m.
20. ¿Cuánto mide de alto la estatua?
21. ¿Qué longitud tiene la lámina que mantiene unidas la parte frontal y posterior de la escalera?
22. Por qué las personas suelen usar su pulgar o un objeto de referencia (como se ve en la imagen) para tener una idea de la altura de otro objeto que no puede ser medido directamente. (Utilice fundamentos matemáticos)
x
104cm
126cm
