mat-9u3

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55

Resolvamos ecuacionesde segundo gRado yapliquemos tcnicasde conteo

Objetivos de la Unidad:Interpretars y resolvers con seguridad, situaciones problem

escolares y sociales, utilizando ecuaciones de segundo grado.

Resolvers con seguridad y confanza problemas de con

adems los que involucran combinaciones y permutaciones.

MATEMTICA

Unidad 3

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mate tica - nove o grado

Descripcin del proyecto Al nal de esta unidad ayudars a repartir un terreno entre cinco familias que sequedaron sin vivienda por las lluvias; para lo cual utilizars ecuaciones cuadrticas y

tcnicas de conteo.

Ecuaciones cuadrticas

Tcnicas de conteo

Principio fundamental de conteoo de la multiplicacin

Completas

deduccin de

clasificacin en

resueltas por del tipo

resueltas por

utiliza

paraencontrar

paraencontrar

resueltas por

Incompletas

Formula cuadratica

Factorizacin

Propiedad deraces cuadradas

PurasCompletacin decuadrados

Factoreo

Permutaciones Combinaciones

Mixtas

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nove o grado - mate tica 57

Tercera Unidad

Retomando la situacin anterior, puedes plantearla de lasiguiente manera:

Sea: xel ancho

Sea: x+ 2 el largo.

El rea de un rectngulo es igual al producto del largopor el ancho tienes entonces que (A =bh) A x x x

x x

1

2

2

2

( )= +( )= +

Aumentando en 4 metros cada dimensin, tienes:

Nuevo ancho: x+ 4Nuevo largo:x+ 2 +4 = x+ 6

La nueva rea ser: A x x x

x x

2

2

4 6

10 24

( )= +( ) +( )= + +

Motivacin

Leccin

determ n rs on nters los elementos y r terst s que t ene un e u n e segun o gr o.d feren rs l s e u ones omplet s e n omplet s, pur sy m xt s p r t r el nmero e sus trm nos mostr n o

on nz .

Resolvers e u ones u rt s n omplet s pur s y m xt s, tr b j n o on or en y l mp ez .

Indicadores de logro:

E l saln de clases de Luisa es rectangular tiene de largo2 metros ms que el ancho si ambas dimensiones seaumentaran en 4 metros, el rea aumentar en 144 m2 encuentra las nuevas dimensiones del saln.

ecuaciones cuadRticas

Resolviendo la ecuacin:x x x x

2 2

10 24 2 144+ + =

ya que A x A x 2 1 144( ) ( )= 10 2 144 24x x = 8 120x =

x =120

8 x= 15 metros (ancho)

rea inicial: 15 ancho; y 17 largo Largo = x+ 2= 15 + 2= 17

Entonces: 15(17) = 255 m2

rea nal con el aumento: 19 ancho y 21 de largoentonces tienes 19(21) = 399 m2 Comprobacin: 399 255= 144 m2 A este tipo de funcin A x x x 2

210 24( )= + + se le

llama funcin cuadrtica o de segundo grado, la cigualndola a cero, produce una ecuacin cuadrti

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UNIDAD 3

58mate tica - nove o grado

En la expresin planteadax x 2

10 24 0+ + =

Tienes que:a= 1,b= 10 y c = 24

a = 1 coe ciente de x2

b = 10 coe ciente de x

c = 24 trmino independiente

Una ecuacin cuadrtica es completa, si los coe cientesa ,b , y c . Son todos diferentes de cero.

Son ecuaciones cuadrticas completas:a) 2 3 1 02x x + + =

b) 10 15 182x x +

c) + =51

2

3

402x x

d) x x 2

1

3

5

8+

Escribe en tu cuaderno tres ecuaciones cuadrticascompletas.

Una ecuacin cuadrtica en la variable xes unaecuacin que puede escribirse en la forma:

ax bx c 2 0+ + =

En dondea ,b ,c son nmeros reales y a0

Ejemplo 1

Encuentra el valor dea ,by c para las siguientesecuaciones cuadrticas completas:

a) 6 6 1 02x x + =

a= 6 b= 1, y c = 1b) 2 13 15 02x x + =

a= 2 b= 13 y c = 15

c) x x 2 8 5 0 =

a= 1, b= 8 y c = 5

d) + =10 20 15 02 y y

a= 10 b= 20 y c = 15

Ejemplo 2

Escribe cada ecuacin en la forma x2 +bx+c = 0

a) x x x 2 5 18 6 6 + =

Igualas a cero.

x x x 2 5 18 6 6 0 + + =

Sumas trminos semejantes.

x x 2 11 24 0 + =

b) 3 8 12 152x x x + = +

Igualas a cero.

3 8 12 15 02x x x + =


3 4 15 02x x =

c) 10 2 9 2 52 2 y y y = +

Igualas a cero. 10 2 9 2 5 0

2 2 y y y + =


y y 2 5 4 0+ =

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UNIDAD 3


Ejemplo 3

Escribe cada ecuacin en la forma:ax2 +bx+c = 0

a) x x 3 1 2+( )=

3 22x x + = Eliminas parntesis.

3 2 02x x + = Igualas a cero.b) 16 1 z z ( )= z +( )8

16 16 82 z z z = + Distribuyes para eliminar parntesis.

16 16 8 02 z z z = Igualas a cero. + = z z 2 8 16 0 Sumas trminos semejantes.

z z 2 8 16 0 + = Multiplicas por ( 1) ambos lados de la ecuacin.

c) 3 1 2 1 3 2 1 y y y ( ) +( )= +( )3 1 2 3 1 1 3 2 1 y y y y ( )( )+ ( )( )= +( )Distribuyes el primer parntesis sobre (2 y+ 1)

3 2 2 3 1 3 2 1 y y y y y ( )( ) + = +( )Distribuyes. 6 2 3 1 6 32 y y y y + = + Eliminas parntesis. 6 2 3 1 6 3 02 y y y y + = Igualas a cero.

6 5 4 02 y y = Sumas trminos semejantes.

1.Para las siguientes ecuaciones cuadrticas, encuentra el valor dea ,by c .

a) + + =2 3 5 02x x c) y y 2 22 3 0 =

b) 0 3 0 8 02. .x x = d) 1

2

1

21 0

2 y y + =

2.Escribe las siguientes ecuaciones en la formaax2+bx+c = 0

a) 18 2 52x x x x + = c) x x x x x +( ) ( )+ = +( )1 4 2 2 3

b) y y y 9 4 2 5+( )= +( ) d) y y y +( ) +( )= +( )2 2 3 2 2

Actividad 1

Ecuaciones cuadrticas incompletasObserva la ecuacin2 8 02x = Es una ecuacin cuadrtica completa?Qu le hace falta para ser completa? Ahora, observa esta otra ecuacin4 6 0

2x x + = ,Qu le hace falta para ser completa?

Una ecuacin cuadrtica incompleta es de la formaax c 2

0+ = , que carece deltrmino en x , o de la formaax bx 2 0+ = que carece del trmino independiente.

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UNIDAD 3


Ecuacin cuadrtica incompleta puraEs de la formaax c

20+ = donde los valores de a y de c son distintos de cero

Ejemplo 4

Escribe las ecuaciones cuadrticas en la formaax c 2

0+ = y encuentra el valor de a y c.

a) x 2 20 ; x 2 20 0 = ;a= 1 y c = 20

b) = 16 482x ; + =16 48 02x ;a= 16 y c = 48

c) 5 20 3 302 2x x = + ; 5 20 3 30 02 2x x = ; 2 50 02x = a= 2 y c = 50

d) 4 80 202 y = ; 4 80 20 02 y = ; 4 100 02 y = ;a= 4 y c= 100

Ecuacin cuadrtica incompleta mixta

Es de la formaax bx 2

0+ = donde los valores de a y de b son distintos de cero.Ejemplo 5

Escribe cada ecuacin en la formaax bx 2 0+ = y encuentra el valor deay deb.

a) 2 42 y y = 2 4 02 y y + = a= 2,b= 4

b)5 x2 4 x= 5 x 2 x25 x2 4 x 5 x+ 2 x2 = 0

7 x2

9 x= 0 a= 7,b= 9

c)10 x(2 x 3) = (3 x 8)5 x20 x2 30 x= 15 x2 40 x Eliminas parntesis

20 x2 30 x 15 x2 + 40 x= 0 Igualas a cero5 x2 + 10 x= 0 Sumas trminos semejantes

a= 5,b= 10

d) ( x 3)2 = 5 x2 2 x+9 x2 6 x+9 = 5 x2 2 x+9 Elevas al cuadrado el binomio. x2 6 x+9 5 x2+ 2 x 9 = 0 Igualas a cero.

4 x2 4 x= 0 Sumas trminos semejantes.4 x2 + 4 x= 0 Multiplicas por ( 1).

a= 4,b= 4

Si no multiplicas por ( 1) puedes concluir que:a= 4 y b= 4.

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UNIDAD 3


Observa la ecuacin x2= 9.Tiene races la ecuacin?

No tiene porque cualquier valor de xelevado al cuadrado (potencia par) es un nmerono negativo.

Incompletas puras:

Considera la ecuacin x2 = 25. x 2 25=

x = 5. Luegox = 5; las races son x= 5, x= 5.

Considera ahora la ecuacin 3 12 02x =

3 2x = 12 x 212

34= = Es decir

x 2 4 0 = , x x ( ) +( )=2 2 0

Observa quex = 2 x = 2 cumplen la ecuacin por lo que son races de ellas.

Actividad 2Determina qu tipo de ecuacin cuadrtica son las siguientes, y luego, escrbelas igualando a cHaz la actividad en tu cuaderno.

Ecuacin Cuadrticacompleta

Cuadrticaincompleta pura

Cuadrticaincompleta mixta

4 x= x2 x2 4 x= 05 y+ 2 = y2

x( x+ 8) = 03 x2 + 7 = x2 + 131 9 x2 = x( x+ 1)5 x2 = 9 x2

y y2 = 11 y2 + 3 y

Qu es resolver una ecuacin cuadrtica?

Es encontrar los valores de la incgnita que satisfacen la ecuacin. A esos valores se lesllama races de la ecuacin. As, para x2= 25, los valores que satisfacen la ecuacin son: x= 5 y x= 5, ya que (5)2= 25 y (5)2= 25. Y para la ecuacin ( x 1)2 = 0Puedes decir que valores de xsatisfacen (es raz) esa ecuacin? Muy bien x= 1satisface ya que (1 1)2 = 0; se cumple.

Las races de una ecuacin cuadrticason los valores de la incgnita quesatisfacen la ecuacin.

Observa

Recuerda:

x x 2 =

Parax R

Punto de apoyo

x es siempre positivo 3 = 3

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UNIDAD 3


Ejemplo 6

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas incompletas puras aplicando raz cuadrada

a) 2 722x = b) + =3 5 02x

Solucin:

a) 2 722x = ; x 272

2= ; x

2 36=

x 2 36= Aplicas raz cuadrada y resuelvesx = 6 x = 6 x = 6

b) + =3 5 02x ; = 3 52x ; x 25

3=

despejasx 2

x 25

3= ; x

25

3= Aplicas raz cuadrada

x =

=

=

5

3

3

3

15

3

15

3

. Aplicas propiedad

Luego x= 15

3y x =

15

3Son las races de la ecuacin.

Punto de apoyo

Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen la misma solucin

En general tienes que:a) Puedes obtener las races aplicando la raz cuadrada para:

x d 2 = Ecuacin dada.x d 2 = Extraes raz cuadrada.

x d = Aplicas propiedadLuegox d = x d = Siempre que d > 0.

b)Luego obtienes races aplicando factorizacin.

Parax d 2 = con d > 0Igualas a cero.

x d x d ( ) +( )= 0 Factorizas diferencia de cuadrados.x d = 0 x d + = 0 Propiedad del factor cero.x d = x d = Despejas x.

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UNIDAD 3


Incompletas mixtas.

Considera la ecuacin2 02x x = , la cual es equivalente ax x 2 1 0( )=

Puedes encontrar una solucin o raz? Prueba con x= 0 y conx =1

2. Habrs comprobado que los valores que

probaste son races de la ecuacin dada. Este tipo de ecuacin cuadrtica se puede resolver utilizanfactor cero, que dice as:

Actividad 31.Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas aplicando raz

cuadrada o factorizacin.

a) 5 92x = c) 3 182x =

b) 2 32x = d) 7 210 02m =

2.Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas aplicando lapropiedad del factor cero.

a) 4 8 02x x + = c) 17 8 02x x =

b) 10 50 02 y y = d) 14 3 02 y y =

En esta leccin estudiaste la ecuacin generalecuacin cuadrtica completa,ax bx c 2 0+ + = . Asmismo estudiaste la ecuacin general incomp

ax c 2

0+ =( )y tambin la ecuacin incompleta ax bx 2 0+ =( )

Resolviste ecuaciones cuadrticas incompleta y mixtas utilizando la aplicacin de la raz cufactorizacin y la propiedad del factor cero.Ecuacin incompleta Races o solucin

ax c 2

0+ = x c

a x

c

a =

El producto de dos nmeros realesay bes cero, si y slo si al menos uno de losfactores es cero. En smbolos:a.b= 0 si y slo sia=0 b=0

Ejemplo 7

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas incompletas mixtasaplicando la propiedad del factor cero.

a) x x 2 1 0( )= de aqu tienes: x = 0 2 1 0x = aplicas propiedad del factor cero

x = 0 2 1x = ,x =1

2Despejas x

Luego son racesx = 0 y x =1

2

b) 15 20 02x x =

5 3 4 0x x ( )= Obtienes factor comn.

5 0x = 3 4 0x = Aplicas propiedad del factor cero

x =0

5; 3 4x = x =

4

3Despejas x

x= 0Luegox = 0 y x =

4

3son las races de la ecuacin.

Veri ca en tu cuaderno que estos valores cumplen la ecuacin.

Resumen

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UNIDAD 3


Autocomprobacin

4 Los valores de x que satisfacen laecuacin3 7 02x x =a) 0 3

7 y c) 0 7

3 y

b) 073

y d) 0 37

y

2 En las siguientes ecuaciones, cul es unaecuacin cuadrtica incompleta pura?a) 18 2 32 2 = x x b) 2 9 02x x =

c) 2 9 12x x =d) x x ( )=3 0

1 Cul de las siguientes ecuaciones cuadrticases completa?a) 5 452x =

b) 3 2 02x x =

c) x x ( )=7 9d) 16 4 102 2x x =

1 . c . 2 . a . 3 . b . 4 . c . S o l u c i o n e s

3 Cules son las races para la ecuacin3 212x = ?a) x x = = 7 7 y b) x x = = 7 7 y c) x = 49

d) x x = = 63 63 y

La ecuacin de segundo grado y su solucintienen origen antiguo. Se conocieron algoritmos

para resolverla en Babilonia y Egipto.

En Babilonia, la tablilla cuneiforme contieneabundante material relativo a la resolucin de

ecuaciones de segundo grado con una incgnita.

En Grecia fue desarrollada por el matemticoDiofanto de Alejandra.

La solucin de las ecuaciones de segundo gradofue introducida en Europa por el matemtico judeo espaol Abraham bar Hiyya, en su

Liber embadorum.

TM07P110

Biblioteca de Alejandra

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y SU

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Motivacin

Tercera Unidad

Resolvers on persever n problem s ut l z n oe u ones u rt s n omplet s, pur s y m xt s.apl rs orre t mente el mto o omplet n o tr nom osp r en ontr r r es en e u ones u rt s.


A Mara y Juan les regalaron una pequea porcin detierra para sembrar hortalizas. Les dieron estos datos: esun cuadrado y el valor de su permetro es igual al valor delrea. Las unidades estn en metros. Ellos quieren saberlas dimensiones del terrenito. Puedes t ayudarles aencontrar las dimensiones?

mtodos de solucin de una ecuacin cuadRtic

Leccin

Resolvers e u ones u rt s pl n o el mto ou r o perfe to.

Ahora, encuentra las dimensiones del territorio. Le llamas x a un lado del cuadrado,luego, cul es su permetro? Muy bien, es 4 xcul es su rea? es x2.

Como el valor del permetro es igual al del rea entonces planteas la siguiente ecuaci

x x x x 2 2

4 4 0 = , Observa que es una ecuacin incompleta mixta.x x 2 4 0 = La ecuacin formada.x x ( ) =4 0 Descompones en factores.x x = =0 4 0 Aplicas propiedad del factor cero.x x = =0 4 Despejas x.

En este caso x= 0 no es la solucin buscada ya que no habra terreno, pero x= 4 es unasolucin lgica. As las dimensiones del terreno son de 4 metros por lado.

Mtodos para resolver ecuaciones cuadrticas completasRecuerda una ecuacin cuadrtica completa es de la formaax bx c

20+ + =

Mtodo por factorizacin o descomposicin en factores.

Siempre que puedas factorizar, una ecuacin de la formaax bx c 2 0+ + = tambinpuedes aplicar la propiedad del factor cero.

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UNIDAD 3


Ejemplo 1

Resuelve por factorizacin la ecuacinx x 2 2 15+ =

Solucin:

x x 2 2 15+ = Escribes la ecuacin.x x

2

2 15 0+ = Igualas a cero la ecuacin.x x ( ) +( )=3 5 0 Descompones en factores.

x x = + =3 0 5 0 Utilizas la propiedad del factor cero.x x = = 3 5 Resuelves cada ecuacin lineal.

Luego el conjunto solucin es{ }5 3 ,Comprueba en tu cuaderno, las soluciones, sustituyendo cada valor en laecuacin original.

Ejemplo 2

Encuentra el conjunto solucin para la ecuacin y y y 2 4 18 6 2 + = +

y y y 2 4 18 6 2 + = + Escribes la ecuacin. y y y 2 4 18 6 2 0 + = Igualas a cero la ecuacin. y y 2 10 16 0 + = Sumas trminos semejantes.( )( ) y y =8 2 0 Descompones en factores. y y = =8 0 2 0 Utilizas la propiedad del factor cero. y y = =8 2 Resuelves cada ecuacin lineal.

Ejemplo 3

Encuentra la resolucin de la ecuacin cuadrtica9 16 242x x + = , justi ca cada paso.

Solucin:9 16 242x x + =

9 16 24 02x x + =( )( )3 4 3 4 0x x =

3 4 0 3 4 0x x = =

3 4 3 4x x = =

x x = =4

3

4

3

Observa que la solucin es repetida, cuando esto ocurra diremos que la ecuacuadrtica tiene solucin doble. As, el conjunto solucin es

4

3{ }Ejemplo 4

Se ha modi cado una ventana cuadrada para convertirla en rectangular. La nes 4 pulgadas ms que la base original, y la altura es el doble disminuido en

12 x

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UNIDAD 3


As el rea de la ventana actual supera en 24 pulgadas cuadradas al rea de la ventanaoriginal. Encuentra:

a) La medida del lado de la ventana original.b)Las dimensiones de la nueva ventana.

Solucin: Ventana original (cuadrado) Ventana actual (rectangular)

rea del cuadrado: x2 rea del rectngulo: ( x+ 4) (2 x 18)

Como el rea del rectngulo supera en 24 pulg 2 al rea del cuadrado inicial. Entonces:

( )( )x x x + = +4 2 18 242

Escribes la ecuacin.2 10 72 242 2x x x = + Multiplicas los binomios.2 10 72 24 0

2 2x x x = Igualas a cero.x x 2 10 96 0 = Sumas trminos semejantes.( )( )x x + =16 6 0 Descompones en factores y veri ca en tu cuaderno.x x = + =16 0 6 0 Qu propiedad utilizas aqu?x x = = 16 6 Cul de estas dos soluciones te parece lgica?

Muy bien, se descarta x= 6 porque las dimensiones de un cuadrado son siemprepositivas. La solucin x= 16 satisface las condiciones del problema. Verifcala entu cuaderno.

La respuesta es:a) la longitud del lado de la ventana original es de 16 pulgadas.

b)Las dimensiones de la nueva ventana son 20 pulgadas por 14 pulgadas.(Verifcalas sustituyendo x= 16 en x+ 4 y 2 x 18)

Actividad 11.Resuelve por el mtodo de factorizacin las siguientes ecuaciones cuadrticas.

a) x x 2 5 6+ = c) 3 7 2 02x x + =

b) y y 2 12= d) 10 13 3 02x x + =

2.Si las ganancias de una pequea empresa son de + x x 2 160 4800 , donde xrepresenta elnmero de unidades xque producirn ganancias de 1200. (Este ejercicio tiene dos soluciones posibles)

x

x

x + 4

2 x - 18

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UNIDAD 3


Mtodo por completacin del cuadrado.

Parax 2 4= Se tiene que x= 2 x= 2

Parax 2 25= , cules valores de x cumple la ecuacin?

En general parax d 2 = con d > 0 tienes:

x d 2 0 = Igualas a cero.( )( )x d x d + = 0 Descompones en factores.x d x d = + =0 0 Aplicas propiedad del factor cero.x d x d = = Resuelves las ecuaciones lineales.

De lo anterior se enuncia la propiedad de races cuadradas:

Una ecuacin de la forma( )x h k + =2 , donde el primer miembro es el cuadrado deun binomio que contiene la incgnita y el segundo miembro es constante pospuedes resolverla aplicando la propiedad de races cuadradas.

Ejemplo 5

Resuelve la ecuacin( )x =2 92

Solucin:

Utilizas la propiedad de races cuadradas y obtienes que:x x = = 2 9 2 9

x x = = 2 3 2 3

x x = = 5 2 5

Six d 2 = donded > 0 , entoncesx d =

Comprueba estas solucionessustituyndolas en la ecuacin dada.Para resolver una ecuacin cuadrticacomo se hizo en el ejemplo 12, primerotienes que tener el cuadrado de un binomio igualado a un nmero positivo y para ello debes completar el cuadrado.Observa el siguiente ejemplo.

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UNIDAD 3


Ejemplo 7

Justi ca cada paso en la solucin de la ecuacincuadrtica2 10 12

2x x = + resuelta por el mtodo decompletacin de cuadrados.

Solucin:2 10 12

2x x = +2 10 12

2x x =

x x 2 5 6 =

Divides entre 2 para obtener 1 de coe ciente dex 2

x x 22 2

55

26

5

2 +

= +

x x 2 525

46

25

4 +

= +

x =

5

2

49

4

2

x x = = 5

2

49

4

5

2

49

4

x x = = 52

7

2

5

2

7

2

x x = = +122

7

2

5

2

x= 6 x= 1Luego el conjunto solucin es{ }1 6 , . Compruebaestas soluciones en la ecuacin dada.

Ejemplo 6

Resuelvex x 2 8 9 0+ = completando cuadrados.

Solucin:

x x 2 8 9 0+ =

Escribes la ecuacin.x x 2 8 9+ =

Dejas los trminos dex x 2 y a un solo lado.

x x 22 2

88

29

8

2+ +

= +

Sumas el cuadrado del

coe ciente de xdividido entre 2.

x x 2 8 16 9 16+ + = +

Efectas la operacin:

x +( ) =4 252

Factorizas el trinomio cuadrado perfecto.

x x + = + = 4 25 4 25

Utilizas la propiedad de races cuadradas.x x + = + = 4 5 4 5x x = = 1 9

Resuelves la ecuacin lineal.

Comprueba en tu cuaderno que las soluciones cumplencon la ecuacin dada.

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UNIDAD 3


Solucin:

Utilizas el teorema de Pitgoras y obtienes.

x x 2 2 27 13+ =( ) ( )

x x x 2 2 14 49 169+ + =

2 14 169 492x x =

2 14 1202x x =

x x 2 7 60 =

x x 22 2

77

260

7

2 +

= +

x x 2 7

49

460

49

4 + = +

x =

7

2

289

4

2

x x = = 7

2

289

4

7

2

289

4

x x = = 7

2

17

2

7

2

17

2

x x = + = = +17

2

7

2

24

2

17

2

7

2

x x = = 12 5

El valor de x= 5 no es solucin ya que las dimensiones dtringulo son valores positivos. Por lo tanto x= 12 es unasolucin lgica a este ejercicio.

x

x7

13

Ejemplo 8

La gura que se muestra, corresponde a un tringulo rectngulo.Encuentra el valor de x. (Justi ca cada paso en la solucin)

Ejemplo 9

La suma de dos nmeros naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supal producto de los nmeros. Encontrar ambos nmeros.

Solucin:

Primer nmero: xSegundo nmero: (48 x) x x x x 2 248 48 36 = +( ) ( ) Escribes la ecuacin.x x x x x 2 2 22304 96 36 48 + = Qu propiedad utilizaste aqu? x x 2 48 2304 0+ = Igualas a cero. ( )( )x x + =78 30 0 Qu se ha hecho aqu? x x + = =78 0 30 0 Qu propiedad utilizas aqu? x x = =78 30 Resuelves las ecuaciones linealesLos nmeros son 30 y 48 30 = 18. Se elimina 78 porque no es nmero na

Teorema de pitagoras:

c 2

=b2

+ a2

Punto de apoyo

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UNIDAD 3


En esta leccin resolviste ecuaciones cuadrticas por el mtodo de factorizacin para el utilizaste la propiedad del factor cero.

Por otra parte resolviste ecuaciones cuadrticas por el mtodo de completacin de cuadren la cul aplicaste la propiedad de races cuadradas.

Resumen

Ejemplo 10

La base de un pequeo terreno rectangular donde se siembra algodn mide 4metros ms que el doble de su altura. El rea del terreno es de 448 metros cuadrados.Encontrar las dimensiones del terreno.

Solucin:

Altura: xpies.

Base: (2 x+ 4) pies.

x x ( )2 4 448+ = Escribes la ecuacin.2 4 448 0

2x x + = Igualas a cero.x x 2 2 224 0+ = Divides entre dos.( )( )x x + =16 14 0 Factorizas.x x + = =16 0 14 0 Qu utilizaste?x x = =16 14 Resuelves.

La altura del rectngulo es 14 metros y su base es 2(14) + 4 = 32 metros

1.Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas por el mtodo de completacin de cuadrados.

a) x x 2 7 6 0+ + = c) 3 7 22x x =

b) x x 2 7 30 0 = d) 3 32 202x x = +

2.Encuentra el valor de xen el tringulo rectngulo quese muestra a continuacin. x +2

5

x +1

Actividad 2

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UNIDAD 3


Problemas numricos tales como el de lastripletas pitagricas (a, b, c) cona2 + b2 = c 2

fueron estudiados desde al menosel 1700 a. C. Los sistemas de ecuaciones

lineales fueron estudiados en el contexto deresolver problemas numricos. Las ecuacionescuadrticas tambin fueron estudiadas y estos

ejemplos llevaron a una especie delgebra numrica.

Por ejemplo, al calcular la hipotenusa de untringulo rectngulo cuyos catetos se conocen yson iguales, llegamos a una ecuacin cuadrticade la forma x2 =2a2 cuya solucin esx a = 2

S o l u c i o n e s 1 . b . 2 . c . 3 . a . 4 . b .

Autocomprobacin

Cul de las siguientes ecuaciones tiene una so

a) x +

=

1

34

2

c) x ( ) =3 162

b) x + =

1

30

2

d) x x 2 3 18 0 =

4Para cul ecuacin cuadrtica es x= 4 unasolucin?a) x x 2 16 0 =

b) ( )x =4 02

c) b y d son correctasd) x x 2 6 8 0 + =

2

Cul es el conjunto solucin para la ecuacincuadrticax x 2 6 0+ = ?a) 2 3 ,{ }b) { }3 2 ,c) { }2 3 ,d) { }2 3 ,

1 3 Para la ecuacin cuadrtica ( x 5)2= 64 el conjuntosolucin es:a) { }3 13 ,b) 5 8 ,{ }c) 7 5 ,{ }d) 8 13 ,{ }

TM7P118

tarea de un alumno en1700 a.C

TRIPLETAS PITAGRICAS

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Tercera Unidad

Motivacin

de u rs y expl rs on nters l frmul gener l quees rroll e u ones e segun o gr o p r t r e un

e u n u rt .

c l ul rs l s solu ones p r e u ones u rt s,pl n o l frmul gener l on or en y segur .

Resolvers problem s ut l z n o l frmul gener l.


U na empresa pequea desea construir un edi cioen un terreno rectangular que tiene un permetrode 300 m y un rea de 5,400 m2. Le preguntan aladministrador cules son las dimensiones del terreno.Puedes t ayudarle a encontrar las dimensionesdel terreno?

FRmula geneRal de una ecuacin cuadRti

Leccin

Considera el terreno y rotula con x el largo y yel ancho.

Con la informacin dada en el dibujo de la derechapuedes escribir:

Permetro:2 2 300x y + =

rea:xy = 5 400 ,

Considera la ecuacin del permetro y despeja y. 2 2 300x y + =

x y + = 150

y x = 150

Frmula general de una ecuacin cuadrtica

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UNIDAD 3


Ahora, sustituyes el valor de yen la ecuacin del rea y obtienes: x x ( )150 5 400 = , Ecuacin en funcin de x. 150 5 400

2x x = , Eliminas parntesis.

150 5 400 02x x = , Igualas a cero. x x 2 150 5 400 0 + = , Multiplicas por (1) y ordenas. x x 2 150 5 400 = ,

x x 2

2 2

150150

25 400

150

2 +

= +

, Completas trinomio cuadrado perfecto.

x

=

150

2225

2

Ejemplo 1

Justi ca cada paso en la deduccin de la frmula gepara resolver una ecuacin cuadrticaax bx c 2 0+ + = cona 0

Solucin:ax bx c 2 0+ + =

ax bx c 2 + =

x b

a x

c

a 2 + =

x b

a x

b

a

c

a

b

a 2

2 2

2 2+ +

= +

x b

a

c

a

b

a +

= +2 4

2 2

2

x b

a

ac b

a +

=

+2

4

4

2 2

2

x b

a

ac b

a x

b

a

b ac

a + =

++ =

2

4

4 2

4

4

2

2

2

2

x b

a

b ac

a x

b

a

b ac

a + =

+ =

2

4

2 2

4

2

2 2

x b

a

b ac

a x

b

a

b ac

a =

= +

2

4

2 2

4

2

2 2

x b b ac

a

x b b ac

a

=

= +

2 24

2

4

2 Luego el conjunto solucin de la ecuacin cuadrtic

+ b b ac a

b b ac

a

2 24

2

4

2 ,

Efectas la operacin. Comprubala.

( )x =75 2252

x x = =75 225 75 225

Aplicas propiedad de races cuadradas.x x = =75 15 75 15

x x = =60 90

Comprueba esta solucin.

Para x= 60, y= 150 60 = 90Para x= 90, y= 150 90 = 60

Observa que para cualquiera de los dos valores lasdimensiones del terreno sonde 60 90.

As, como resolviste el ejercicio anterior puedes deducirla frmula general para encontrar las races de unaecuacin cuadrtica completa.

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UNIDAD 3


El ejemplo anterior nos permite escribir la frmula cuadrtica

La ecuacin cuadrticaax bx c 2

0+ + = dndea 0 , tiene como races o solucin:

x b b ac a

y x b b ac

a =

+ =

2 2

4

2

4

2

La expresinb2 4ac que aparece dentro del radical se llama: discriminante.Ejemplo 2

Resuelve4 8 52x x = + utilizando la frmula.

Solucin:

4 8 52x x = + Escribes la ecuacin.4 8 5 02x x = Igualas a cero.a b c = = = 4 8 5 , , Identi cas los coe cientesa ,by c .

x = ( ) ( ) ( )( )

( )

8 8 4 4 5

2 4

2

Sustituyesa ,by c en la frmula cuadrtica.

x =

+

=

8 64 80

8

8 144

8

Efectas las operaciones.

x =8 12

8De aqu obtienes dos valores.

x y x =+

= = =

= = 8 12

8

20

8

5

2

8 12

8

4

8

1

2Observa, qu signo tiene el valor del discriminante? Y cuntas soluciones existen?Muy bien continuemos.

Ejemplo 3

Resuelve la ecuacin9 12 4 02x x + + =

Solucin:

a b y c = = =9 12 4 , Sustituyes en la ecuacin cuadrtica:

x =

= ( ) ( ) ( )( )

( )

12 12 4 9 4

2 9

12 144 144

18

2

x =

= =

12 0

18

12

18

2

3

Observa el discriminante, es igual a cero. En este caso solo hay una solucin real que se llama doble solucin.

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UNIDAD 3


Ejemplo 4

Encuentra la solucin para:2 3 5 02x x + =

Solucin:

Para la ecuacin tienes quea= 2,b= 3 y c = 5. Sustituyes en la frmula y obtienes:

x =

= ( ) ( ) ( )( )

( )3 3 4 2 5

2 2

3 9 40

4

2

= 3 31

4

Observa el discriminante, Qu signo tiene?

Pues bien, las races cuadradas de nmeros negativos no estn de nidas en ede los nmeros reales. Por lo que concluyes que esta ecuacin cuadrtica no solucin en los nmeros reales.

En general tienes lo siguiente:

Valor del discriminantebb -- 44aacc 22

Naturaleza de las races deaaxx ++bbxx++cc ==0022

Valor positivo (>0) Dos races reales y distintasCero (=0) Una sola raz doble

Valor negativo (

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UNIDAD 3


Ejemplo 6

La suma de dos nmeros naturales es 14. La diferenciade sus cuadrados supera en 11 al producto de losnmeros. Encuentra dichos nmeros.Solucin:

Sea,x : un nmero.14 x : el otro nmero.( )14 2 2 x x : es la diferencia de sus cuadrados.x x ( )14 : el producto de los nmeros.

Como la diferencia de los cuadrados supera en 11 alproducto de los nmeros puedes plantear la siguienteecuacin:( ) ( )14 14 112 = +x x x . (Para que se cumpla laigualdad le sumas 11 al que tiene menos o le puedesrestar 11 al que tiene ms)

Resuelves la ecuacin:( )14 28 14 112 2 2 2 + = +x x x x x

196 28 14 11 02 2 2 + + =x x x x x x x a b y c 2 42 185 0 1 42 185 + = = = = ; ,

Luego:

x =

=

( ) ( ) ( )( )42 42 4 1 1852

42 1764 740

2

2

x =

=

42 1024

2

42 32

2De aqu tienes dos valores para x:

x y x =+

= =

= =42 32

237

42 32

2

10

25

Pero 37 no satisface las condiciones de este ejercicio yaque 14 37 = 23 que sera el otro nmero no es unnmero natural.

Para x= 5, se tiene que 14 5 = 9.Los nmeros son 5 y 9.

Ejemplo 7

El nmero de diagonales de un polgono de n lados

est dado por D

n n =

( )32 .

Cuntos lados tiene un polgono que posee 54diagonales?

Solucin:

Sustituyes D por 54 y obtienes:

543

22 54 3=

=

n n n n

( ) , ( ) ( )

Observa que se trata de resolver una ecuacincuadrtica. Al quitar los parntesis de la ltima ec

tienes:

108 3 3 108 02 2= =n n n n ,

Utilizas la frmula de la cuadrtica para:a b y c = = = 1 3 108 ,

n =

= +

=

( ) ( ) ( )( )( )

3 3 4 1 108

2 1

3 9 432

2

3 441

2

2

n =3 21

2de aqu:

n n =+

= =

= 3 21

212

3 21

29

Pero 9 no es solucin para este ejercicio ya que nnmero de lados negativos. Por lo tanto la nica soes n = 12.

El nmero de lados del polgono regular es 12.

Situaciones que involucran resolver una ecuacin cuadrtica

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UNIDAD 3


Ejemplo 8

Determina la longitud xdel lado de un tringuloissceles rectngulo que tiene una hipotenusa de 7.5unidades.

Ejemplo 9

En la casa de Mario hay un jardn rectangular que tiene 96 m2 de rea. Alrededor del jardn se hace una cerca de de ancho, en este caso, el rea total es de 252 m2. Encuentra las dimensiones del jardn.

Solucin:

Observa la gura. Puedes plantear lo siguiente:

Seax : el largo y y : el ancho.

rea del jardn:xy = 96

rea total:( )( )x y + + =6 6 252

h = 7 . 5 x

x

Solucin:

Cada lado del tringulo mide lo mismo ya que esissceles, luego le llamas x al lado y aplicas Pitgoras:

x x 2 2 27 5+ = ( . )

2 56 252x = .

x x 2 28 125 28 125 5 3033= = =

. , . . ...

Aproximadamente el lado es de 5.3 unidades.

Si despejas y de la primera ecuacin:

y x

=96

, y luego sustituyes en la segunda tienes:

x x

con x +( ) + = 6

966 252 0

x x

x +( ) + +( ) =696

6 6 252 ,

96

5766 36 252+ + + =

x x ,

5766 252 96 36

x x + =

576 6120

2+

=x

x

576 6 1202+ =x x 6 120 576 02x x + =x x 2 20 96 0 + =( )( )x x =12 8 0

De aqu x= 12 x= 8.

S x= 12, y= 9612

= 8

S x= 8, y=

96

8= 12

Cules son las dimensiones del jardn? Compruebaestos resultados.

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UNIDAD 3


En esta leccin hiciste la deduccin de la frmula cuadrtica:x

b b ac

a =

2 4

2 Adems veri caste que el nmero de races de la ecuacin cuadrtica dependiscriminanteb ac 2 4 . Si ste es positivo tiene dos races reales, si es negativo no races reales y si es cero tiene una sola raz real llamada doble.

Resumen

Ejemplo 10

Si la velocidad de un objeto que cae est dada porv t t = 5 16 2 pies/segundos, dondet es el tiempotranscurrido en segundos, Cunto tardar el objeto enalcanzar una velocidad de 100 pies/s?

a)Calcula las dimensiones de un tringulo rectngulo si su rea

mide 84cm2 , y uno de los catetos tiene 3 unidades ms que eltriple del otro cateto.

b)La longitud de un saln de clases excede su ancho en 4 metros.Si cada dimensin se aumenta en 4 metros, el rea ser el doble.Determina las dimensiones del saln.

Actividad 2

Solucin:

Considera que si el cuerpo se mueve hacia abajo la velocidad es negativa. Se trata de que encuentres ede t para 100 pies/s.

Comov t t = 5 16 2 , sustituyesv = 100 y obtienes: = 100 5 16 2t t .

Resuelves la ecuacin16 5 100 02t t =

Utilizas la frmula cuadrtica para:a = 16,b= 5 y c = 100.

t =

=

+( ) ( ) ( )( )( )

5 5 4 16 100

2 16

5 25 6400

32

2

t t =

=

= =

5 6425

32

5 80 15

32

8515

32 2 66

.

,

.

.

Luego, el tiempo que tardar es aproximadamente2.66 segundos. Por qu el valor negativo det se descarta?

c)Una pintura con marco tiene dimensiones de 20

Si estn a la vista 84 cm2de la pintura.Cul es el ancho del marco?

d)La suma de los primeros nmeros naturales ess n n

=+( )1

2

Cuntos nmeros naturales consecutivos comennmero 1 suman 1,275?

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UNIDAD 3


S o l u c i o n e s 1 . b . 2 . c . 3 . a . 4 . d .

La parbola dibujada a la izquierda, presentados cortes con el eje de las X. Estos

cortes representan las soluciones realesgeomtricamente de la ecuacin cuadrtica

cuando b ac 2 4 0 > .Cmo corta la parbola al eje de las X en los

casos: b ac y b ac 2 24 0 4 0 < = ?

En el casob2 4ac < 0 se tiene que al dibujar la

parbola no existen cortes con el eje x, es decirla ecuacin cuadrtica no tiene solucin.Si:b2 4ac =0, entonces la parbola solo

corta el eje x en un punto, es decir la ecuacincuadrtica tiene una solucin diferente.

Determina cul de las siguientes ecuacicuadrticas tiene solo una raz real.a) x x 2 2 4 0 =

b) 2 3 1 02x x + + =

c) 5 7 4 02x x =

d) x x 2 12 36 0 + =

4Utiliza el discriminante y determina cuntas races realestiene la ecuacin cuadrtica10 5 17 02x x + =a) dosb) unac) ningunad) tres

2

Cuntos lados tiene un polgono que posee 20

diagonales? Recuerda: D n n

=

( )32

a) 10b) 8c) 12d) 6

1Autocomprobacin

3 Utiliza la frmula de la cuadrtica y encuentra el conjunto solucin de la ecux x

2

11 24 0+ + =

a) { }8 3 ,b) 8 3 ,{ }c) { }8 3 ,d) { }3 8 ,

RACES EN UNA PARBOLA

x

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Motivacin

Tercera Unidad

determ n rs, onstru rs y expl rs on segur elpr n p o e l mult pl n.apl rs on segur el pr n p o e l mult pl n en lresolu n e ejer os y problem s e onteo.

determ n rs, nterpret rs y expl rs el f tor l e unnmero on segur .Resolvers on persever n problem s e onteo

pl n o el f tor l e un nmero.


K arina es una alumna de 9 grado que guarda siempre sus 3libros ms utilizados en un estante, un libro es de Matemtica,otro es de Lenguaje y el otro es de Ingls.De cuntas formas distintas puede Karina ordenar en el estantesus 3 libros?Puedes ayudarle a Karina?

apliquemos tcnicas de conteo

Leccin

Principio fundamental de conteo

Crees que las anteriores son todas las posibilidades? Determina en tu cuadernoformas diferentes a las anteriores.Haba 3 formas ms.

Luego hay 6 formas distintas de ordenarlos. El nmero de posibles resultados de unexperimento pequeo, es fcil listar y contar todos los posibles resultados.

Considera la situacin anterior. Unas formas de ordenarlos pueden ser:

L e n g u a j e

I n g l s

I n g l s

M a t e m t i c a s

M a t e m t i c a s

L e n g u a j e

M a t e m t i c a s

L e n g u a j e

I n g l s

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UNIDAD 3


Una forma para encontrar cules son los ordenamientos posibles es usar un dcomo el siguiente. Asignas M al libro de Matemtica, L al de Lenguaje e I a

En tu cuaderno completa lasletras que faltan

Ejemplo 1

Juan resuelve un examen de falso-verdadero. Para 3 preguntasCuntas formas de contestar tiene Juan?

Solucin:

Primero haces un diagrama de rbol. Observa que son 8 formas: VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF , , , , , , ,{ }

Si se agrega una pregunta, cuntas formas son posibles? Hazlo en tu cuader

Al diagrama anterior se le llama diagrama de rbol.

V

1 2 3

V V

V

V

V

V F

F

F

F

F

FF

M

M

M

L

L

LL

I

II

I

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UNIDAD 3


Qu es un diagrama de rbol?

Un diagrama de rbol es una ordenacin empleada para enumerar todas lasposibilidades lgicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir enun nmero nito. Proporciona un mtodo sistemtico de enumeracin objetivade resultados.

El diagrama de rbol a la derecharepresenta el lanzamiento de monedas alaire y sus posibles resultados que comoobservas son cuatro.

Ejemplo 2

Benjamn el mejor alumno del saln de clases obtuvo un premio al nal del ao. Elpremio consista en un viaje a uno de tres lugares: Conchalo, Hotel de Montaa Perqun; poda ir en bus o en coaster y adems acompaado de una persona que debaescoger entre su madre, hermana o su padre. Cuntas posibilidades diferentes se lepresentaron a Benjamn, y cules son?

Solucin:

Con C: Conchalo.HM: Hotel de Montaa.

P: Perqun. b: bus.

c: coaster.h: hermana.m: madre.p: padre.

Cada rama del diagramade rbol es una posibilidad,si las cuentas te darn 18posibilidades. Ahora imaginaque hubiera ms posibilidadesde lugares y ms personaspara elegir de acompaante.Cmo sera el diagrama derbol?

CC

C X

X

X

C

b

b

b

h

h

h

h

h

h

m

m

m

m

m

m

p

p

p

p

p

p

c

c

c

H.M.

P

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UNIDAD 3


Muy bien, a medida que aumentan el nmero de elementos dicha ordenacincomplica por lo que hay que utilizar otro procedimiento ms sencillo para obnmero de resultados.

Puedes dibujar tres casillas.

3 2 3Posibilidad de lugares Posibilidad de Transporte Posibilidad de acomp

Luego multiplicas los tres nmeros: 3 2 3 = 18 posibilidades diferentes.

En general, se puede enunciar el principio fundamental del conteo.

Si un evento A, puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otroevento A 2puede ocurrir de n2 maneras diferentes y as sucesivamente, el evento A k puede ocurrir de nk maneras; entonces el nmero total de formas diferentesen que todos los eventos pueden ocurrir es igual a:n1 x n2 x...nk

A este principio se le llama principio de la multiplicacin.

Ejemplo 3

De cuntas maneras se puede repartir tres premios a un conjunto de 10 perssuponiendo que cada persona no puede obtener ms de un premio?

Solucin:

Copia en tu cuaderno las siguientes casillas:

Primer premio Segundo premio Tercer premio

El primer premio lo puede obtener cualquiera de las 10 personas, por lo que anotar 10.

El segundo premio slo lo pueden obtener 9 personas ya que una de ellas ya primer premio y no vuelve a participar por lo que anotas 9.

Cuntas personas pueden obtener el tercer premio?

Despus de llenar las 3 casillas aplicas el principio de la multiplicacin.

10 9 8 = 720.Imagina 720 maneras de repartir los 3 premios.

Ejemplo 4

Cuntas placas de automvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidasdgitos? No se admiten repeticiones.

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UNIDAD 3


Solucin:

Llena las casillas en tu cuaderno y compara con stas:

26 25 10 9 8

Considera el alfabeto con 26 letras. Adems los dgitos son del 0 al 9. Por qu se pone

25 en la segunda casilla? Y por qu 9 en la cuarta casilla? Cuntas son las placas? Veri ca que son 468,000 placas.

Ejemplo 5

Entre dos ciudades A y B hay dos caminos, entre B y C hay 4. Adems, de C a D hay 5caminos. De cuntas maneras pueden ir desde A hasta D pasando por B y C?Observa el dibujo.

Solucin:

Puedes considerar el viaje en 3 etapas, primero ir de A a B, luego de B a C y por ltimode C a D.

2 4 5 = 40 maneras diferentesPosibilidad de A a B Qu signi ca? Qu signi ca?

Ejemplo 6

De cuntas maneras puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientescondiciones?

a) El examen consiste de tres preguntas de opcin mltiple con cuatro opcionescada una.

Solucin:

1 2 34 4 4

Nmero de posibilidades pararesponder la primera pregunta

Qu signi ca? Qu signi ca el 4?

Luego aplicas el principio de la multiplicacin y obtienes: 4 4 4 = 64

b)Si el examen adems de las tres preguntas de opcin mltiple con cuatroopciones cada una; consta de cinco preguntas de falso y verdadero.

A

B

C D

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UNIDAD 3


Solucin:

Las respuestas de las cinco preguntas de falso y verdadero se comportan as

2 2 2 2 2 25= 32

Hay 32 maneras de responder las cinco preguntas de falso y verdadero. Com

adems las primeras preguntas, consideras todo el examen y construyes 8 ca4 4 4 2 2 2 2 2

64 32Utilizas el principio de la multiplicacin y obtienes: 64 32 = 2,048Hay 2,048 maneras de responde el examen.

Actividad1a)De cuntas formas diferentes puede terminar una competencia de 5 corre

b)Cuntas maneras diferentes de vestirse tiene Carlos, si est en condicioncuatro pantalones, cinco camisas y dos pares de zapatos?

c)Cuntas placas de automviles pueden hacerse utilizando 3 letras seguidpermiten repeticiones?

d)De un grupo de 25 jvenes, de cuntas formas se puede elegir una directipresidente(a), vicepresidente(a), secretario(a) y tesorero(a).

e)Cuntos nmeros impares se pueden formar de tres cifras con los dgitosadmite repeticin?

Ejemplo 7

De cuntas formas puedes escribir un nmero usando todos los dgitos de 1repetir ningn nmero?

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Puedes decir porqu las casillas se llenaron de la forma anterior?El resultado es 9 8 7 6 1 = 362,880

La forma anterior se puede abreviar escribindola as:n ( n 1). (1) =n !Factorial de un nmero naturaln

Para un nmero naturaln , se llama factorial den , y se denota por n!, al producto detodos los nmeros naturales menores o iguales an . As:

n n n n ! ( )( )...( )( )= 1 2 2 1

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UNIDAD 3


Ejemplo 8

Encuentra el factorial de los primeros 6 nmeros naturales.

Solucin:1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 6! ; ! ; ! = = = = =x x( )

4 4 3 2 1 24 5 5 4 3 2 1 120 6 6 5 4 3 2 1! , ! , ! = = = = =( ) ( ) (x x x x x x x x x )) = 720

Observa que la expresin encerrada en el parntesis corresponde al factorialanterior. As:6 6 5 6 120 720! ( )! ( )= = =En general se tiene que:

n n n ! ( )! = 1 de aqu:n

n

n !

( )! = 1

Est ltima igualdad se cumple para cualquier nmero natural. En particular sin= 1obtienes:1

11 1 1 0

! ( )! ; ! ! = = Aunque cero no es un nmero natural, se de ne 0! = 1!

Ejemplo 9

Encuentra el resultado de:

a) 9 6

8 5

! ! ! !

b) 6 7 2 78

( ) ( )! ! !

+

Solucin:

a) 9 6

8 5

9 8 6 5

8 59 6

! !

! !

! !

! ! = =

( ) ( )( )

= 54

b) 6 7 2 7

8

8 7

8

8

8

( ) ( ) ( )! !

!

!

!

!

!

+= =

= 1

Resumen

En esta leccin se estudi el principio fundameconteo o de la multiplicacin el cul consiste elas formas en que cada evento se puede realizaeventos A 1 , A 2 A k que puedan realizarse den n n k 1 2 , , ... formas, el nmero total de maneras de llevar aeventos juntos es:

n1 n2 .........n k = (n1)(n2) (n k ) Adems se de ni el factorial de un nmero nat

n n n n ! ( )( )...( )( )= 1 2 2 1

1.Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 5

0

! ! c)

8

2 6

! ! !

b) 0

1

! !

d) 15

12

! !

2.Encuentra el resultado de las siguientes expresiones:

a) 10 8 5 87

( ) ( )! ! !

b) 5 413 2 2

( )( )

! ! !

Actividad 2

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UNIDAD 3


1 . b . 2 . c . 3 . d . 4 . a . S o l u c i o n e s

Los factoriales se usan mucho en la rama de lamatemtica llamada combinatoria, a travs delbinomio de Newton, que da los coeficientes dela forma desarrollada de( )a b

n + Por medio

de la combinatoria interviene en el clculo delas probabilidades, de eventos que implican

permutaciones y combinaciones.

El factorial de un nmero es el ejemplo msclsico de la matemtica. El factorial es til

en la programacin y algoritmos para realizarmultiplicacin de nmeros enteros en formarecursiva, es decir por ejemplo: 5!=5 4!

En general: n!=n(n 1)!

Autocomprobacin

Cul es el factorial de 7?a) 42

b) 700c) 5040d) 1

2

De cuntas formas puede vestirse Vilma sitiene 4 blusas, 3 faldas y 3 pares de zapatos?a) 12b) 36c) 9d) 4

13 Cuntos nmeros pares se pueden formarde 3 cifras con los dgitos 3, 4, 5, 6 y 7; si

permite que se repitan?a) 12b) 432c) 40d) 24

Cuntas formas hay de elegir un presidentesorero de un grupo de 30 caballeros?a) 870b) 30c) 900d) 15

4

TM7P134

FACTORIALES

Isaac Newton

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Motivacin

Tercera Unidad

C uatro personas entran al banco a la misma hora.De cuntas maneras se pueden ordenar en la la para que los atiendan?Puedes encontrar el nmero de formas?


interpret rs, pl rs y expl rs l s permut ones lresolver ejer os.Resolvers on segur permut ones tom n o to os loselementos e un onjunto.Resolvers problem s on on nz , ut l z n opermut ones.

tcnicas de oRdenamiento

Leccin

determ n rs on segur el nmero e omb n ones eun onjunto e elementos.Resolvers on segur problem s que nvolu r n

omb n ones.

Para encontrar en la situacin anterior los distintos ordenamientos puedes utilizar elprincipio de la multiplicacin visto en la leccin anterior.

Llenas las casillas:

4 3 2 1 (4)(3)(2)(1) = 24

Observa que corresponde a 4!

Cada ordenamiento es una permutacin de los cuatro elementos tomndolos todos.

Nmero de permutaciones tomando todos los elementos de un conjunto.

En general el nmero de permutaciones de un conjunto de n objetos diferentes,tomndolos todos a la vez, es igual al factorial de n. Se denota nPn

As: nPn n = !

Permutacin

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UNIDAD 3


Ejemplo 1

Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puedenformar con los dgitos 1, 2, 3, 4 y 5?

Solucin:

Observa: se tomarn todos los dgitos.Es importante por lo que utilizas la frmula anterior as:

5P5= 5! = 5 4 3 2 1 = 120

Hay 120 nmeros de 5 cifras.

Ejemplo 2

De cuntas maneras distintas se pueden colocar 9libros en una repisa?

Solucin:Colocars todos los libros?Es importante el orden?Se pueden repetir los libros al colocarlos?

Si respondiste: s, s y no; entonces utilizas la frmulanPnconn= 9.

9P9= 9! = 362,880. Comprubalo en tu cuaderno.

Ejemplo 3

De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadoresde un equipo de ftbol teniendo en cuenta que elportero no puede ocupar otra posicin diferente quela portera?

Solucin:

Se dispone de 10 jugadores que pueden ocupar 10posiciones diferentes por lo que se tiene10P10= 10!

El onceavo jugador slo utiliza una posicin, por lo el nmero total de ordenamientos es de:1 10! = 3 628,800. Comprubalo.

Nmero de permutaciones tomando parte de loselementos de un conjunto.

Considera lo siguiente: De 6 libros

a) Ordenas 3 en un espacio para 3.b)Ordenas 4 en un espacio para 4.c)Ordenas 5 en un espacio para 5.

Solucin:

Lo anterior se puede resolver por el principio de lamultiplicacin as:

a) 6 5 46 5 4 3 2 1

3 2 1

6

3 =

=

! !

=( )6

6 3

! !

b) 6 5 4 36 5 4 3 2 1

2 1

6

2 =

=

! !

=( )6

6 4! !

c) 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 11

6

1 =

=

! !

=( )6

6 5

! !

Observa en cada situacin, la ltima expresin en elnumerador se encuentra el factorial del total de libroCmo puedes interpretar el denominador con respea cada situacin?

En general se tiene que:El nmero total de permutaciones de r elementostomados de un conjunto de n elementos se denotapornPr .Se obtiene as:n

n

n r

Pr !

! =

( )

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UNIDAD 3


Ejemplo 4

Se van a retratar 9 personas y se dispone slo de 5asientos De cuntas formas se pueden acomodar laspersonas para el retrato?

Solucin:

En este caso tomas 5 de 9 por lo que utilizas la frmula:n

n

n r

Pr !

! =

( )Tienesn= 9 y r = 5. Luego sustituyes:

9P5 =( )

= =

9

9 5

9

415 120

!

!

!

! , formas.

Ejemplo 3

Se sacan sucesivamente tres cartas de una barajaordinaria de 52 naipes. Cuntos resultados diferentes sepueden conseguir?

Solucin:

Utilizas la frmula nPr paran= 52 y r = 3 y obtienes:

52P3 =( )

= = 52

52 3

52

49

52 51 50 49

49

! !

! !

! !

As,52P3 = =52 51 50 132 600 ,

Actividad 1a)De cuntas maneras diferentes pueden sentars

en una la de asientos?

b)Cuntas formas de seleccionar 3 libros de un existen?

c)En un comit participan 9 personas, De cuntdiferentes se pueden sentar, si el presidente y esiempre van juntos?

d)Cuntas permutaciones pueden hacerse con lapalabra camote?

e)Con las letras de la palabra libro Cuntos ordediferentes se pueden hacer que empiecen por vo

Considera que te dan a escoger dos regalospromocionales de tres posibles que son: un bolgrafo,una agenda o un llavero. Cuntas formas de seleccionarlos obsequios hay?

Si el orden en la eleccin fuera importante lasselecciones posibles seran:

bolgrafo llavero llavero bolgrafo

agenda llavero llavero agenda bolgrafo agenda agenda bolgrafo

Las cuales se hubieran encontrado con la frmula:

3P2 =( )

=

3

3 26

! !

Combinaciones

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UNIDAD 3


Te das cuenta que en esta situacin no es importante el orden ya que:

Bolgrafo llavero y llavero bolgrafo da el mismo resultado en la seleccin. En estecaso slo hay 3 posibilidades diferentes de eleccin:Bolgrafo llavero, Agenda llavero y bolgrafo agenda.

Cada una de ellas es llamada combinacin y de cada una de ellas se forman2 permutaciones2! ( ) .

Si fueran 3 objetos seleccionados de 4 los de la combinacin obtendras 3!Permutaciones de cada una.

As si le l lamas nCr a la combinacin en donde se toman r elementos de los n entotal, tienes:

a) 3C2 . (2!) =3P2 ,3C2 = =( )

3 2

2

3

2 3 2

P

! !

! !

b) 4C3 . (3!) =4P3 ,4C3 = =( )

4 3

3

4

3 4 3

P

! !

! ! Observa puedes generalizar y escribir:nCr =

( )n

r n r

! ! !

Combinacin es cualquier arreglo que se haga de una parte de los elementos deun conjunto, sin tomar en cuenta el orden. Se denota nCr y se calcula as:

nCr =( )

n

r n r

!

! !

Veri ca la seleccin de objetos para3C2.

3C2 =( )

=

( )=

3

2 3 2

3 2 1

2 1 13

!

! ! . ! que son las combinaciones obtenidas.

Ejemplo 4

Una caja de dulces contiene 10 piezas, cada una dediferente sabor. Si se pueden escoger 2 piezas, decuntas formas es posible elegirlas?

Solucin:

Primero debes preguntarte, Es importante elorden en esta situacin? Como no lo es se trata deuna combinacin y de encontrar todas las posiblescombinaciones.

Utiliza la frmula anterior:n= 10 y r = 2.

Sustituyes en la frmula y obtienes:

nCr =( )

n

r n r

!

! ! ; 10C2 =

( )10

2 10 2! ! ! As, 10C2 =

( )=

= =

10

2 10 2

10 9 8

2 8

90

245

! ! !

! ! !

Por lo que existen 45 formas de seleccionar las dospiezas de dulces.

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UNIDAD 3


Ejemplo 5

En una o cina trabajan 6 hombres y 4 mujeres. Deentre stos se van a escoger 3 para formar una comisinespecial. Cuntas formas diferentes de seleccionar a lacomisin existen si:

a) No hay restricciones

b)Debe estar formado por 2 hombres y 1 mujer.

Solucin:

a) Como no hay restricciones, consideras que son 10personas de las cuales se van a seleccionar 3. Ademsel orden no es importante por lo que encuentras elresultado as:

10C3 =( )

=10

3 10 3

10

3 7

!

! !

!

! ! =

( )10 9 8 7

3 2 1 7

! !

Luego10C3= 120, por lo que existen 120 formas deseleccionar la comisin.

b)Encuentras primero la seleccin de los hombres. Estoes seleccionar 2 de un total de 6. Lo haces as:6C2. Adems seleccionas una de cuatro mujeres. Lo hacesas:4C1.

Como es una sola comisin aplicas el principio de lamultiplicacin y efectas:

H H M Luego:6C2 . 4C1= 60

6C2 4C1

6C2=6

2 6 2

6

2 4

6 5 4

2 4

30

2

!

! !

!

! !

!

! ! ( )= = =

x x

= 15

4C1= 41 4 1

43

4 33

! ! !

! !

! ! ( )

= = ( )

= 4

En este caso existen 60 formas de elegir la comisin.

Ejemplo 6

Se dispone de 18 jugadores para integrar los titulade un equipo de futbol. Cuntos equipos diferentfutbol pueden formarse?

Solucin:

Como sabes cada equipo est formado por 11 titulpor lo que encuentras 18C11

18C11=18

11 18 11

! ! ! ( )

=18

11 7

! ! ! 31.824. Verifcalo.

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UNIDAD 3


Ejemplo 7

Se desea elegir un comit de 3 hombres y 2 mujeresentre un grupo de 12 hombres y 8 mujeres. Encuentra elnmero de maneras distintas de formar el comit.

Solucin:

Eliges primero las posibilidades para los hombres:

12C3=12

3 12 3

! ! ! ( )

=12

3 9

! ! !

220

Luego la posibilidad de las mujeres:

8C2=8

2 8 2

8

2 6

28

! ! !

! ! ! ( )

=

=

Finalmente utilizas el principio de la multiplicacin:

H H M

12C3 8C2

Luego12C3 .8C2= 220 28( )( ) = 6160

Existen 6160 manera diferentes de formar el comit.

Ejemplo 8

Para ganar en una lotera local, un participante debeescoger correctamente 6 nmeros entre el 1 y el 49inclusive.

a) Encuentra el nmero total de elecciones posibles.

b)Si el participante slo selecciona nmeros pares, cules el total de elecciones posibles.

Solucin:

En el primer caso se trata de seleccionar 6 de 49

posibilidades. Lo encuentras as:49C6=

49

6 49 6

49

6 43

! ! !

! ! ! ( )

=

( )= 13983816

Ejemplo 9

Don Pedro tiene 8 bienes inmuebles los cuales pienregalar a sus hijos de la siguiente manera: a su hijomayor, 3; a su segundo hijo, 3; y al menor, 2.En cuntas formas puede repartir dichos bienes?

Solucin:

Una manera sera tomar las escrituras, alinendolasdar los primeros tres a su hijo mayor, los siguientes segundo y los dos ltimos al menor.

Como existen 8! Formas de alinearlos en el escritortambin son 8! las formas en que pueden serdistribuidos. Sin embargo, no todas estas formas sondiferentes.

Hay 3! maneras de arreglar el orden de las escriturapara su primer hijo; y 2! para los del tercero. Por lo tlas escrituras se pueden repartir as:

8

3 3 2560

! ! ! !

= formas

El argumento anterior puede extenderse a n escrituras y a r hijos, tal que el primer hijo reciban1, escrituras, elsegundon

2escrituras y el r-simonr (n

1+n

2+..n

r=n). El

nmero de divisiones sera:

n n n n

k

!

! ...... ! 1 2

Se utiliza para formar grupos den1 ,n2 nr que hacen untotal de n elementos.

En el caso que solo se seleccione nmeros pares; ent y 49 hay 24 nmeros pares.

Por lo que debes encontrar24C6as:

24C6=24

6 24 6

24

6 18

!

! !

!

! ! ( )=

( )= 134 596 ,

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UNIDAD 3


Resumen

En esta leccin estudiaste las permutaciones las cuales son arreglos en donde es importante el

orden. Adems estudiaste las combinaciones, las cuales son arreglos en donde no interesa elorden. Para permutaciones utilizaste:

nPn=n!; n n

n r

Pr !

! =

( )Para combinaciones utilizaste: nCr =

( )n

r n r

!

! ! ;

n

n n n k

!

! ...... ! 1 2

a)Un cajn contiene 15 juguetes diferentes. Si seleccionas 4 juguetes, de cuntas formas es posibelegirlos?

b)De cuntas formas pueden repartirse 5 cartas de una baraja de 52 naipes?

c)Se desea formar una comisin de 3 personas, seleccionadas de un grupo de 7 mujeres y 5 hombrla comisin debe estar formada por 2 mujeres y 1 hombre, cuntas formas diferentes de seleccila comisin existen?

d)De un conjunto de 9 personas se quierenformar 3 grupos de 2,3 y 4 personas.De cuntas maneras se pueden formar

dichos grupos?

Actividad 2

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UNIDAD 3


1 . c . 2 . b . 3 . a . 4 . b . S o l u c i o n e s

Autocomprobacin

De un conjunto de 8 personas se forman 2uno de 5 y otro de 3 personas, De cuntase pueden formar los grupos?a) 112b) 56c) 336d) 231,326

4Con las letras de la palabra AMOR, cuntosordenamientos se pueden hacer que empiecencon la letra M?a) 24b) 6c) 12d) 2

2

De cuntas maneras diferentes se puedencolocar 5 libros en una repisa?a) 20b) 40c) 120d) 125

1 3 Se sacan sucesivamente 2 cartas de una bordinaria de 52 naipes. Cuntos resultadodiferentes se pueden conseguir?a) 2,652b) 132,600c) 50d) 1,326

El primero que estudi las permutaciones fueLagrange en 1770, en su trabajo sobre teora

de ecuaciones algebraicas. El objetivo deLagrange era encontrar los motivos por los que

las ecuaciones de tercer y cuarto grado sonresolubles por radicales.

Otro gran matemtico en la historia de laspermutaciones fue Cauchy. En 1815, estudia

las permutaciones de las races de ecuaciones.Introduce la notacin de potencias positivas onegativas (incluida la potencia 0 definindola

como la permutacin identidad), define el ordende una permutacin.

PERMUTACIONES EN LA HISTORIA

Augustin Louis Cauchy

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Solucionarioleccin 1Actividad 1

1. a) a b c = = =2 3 5 , , c) a b c = = = 1 2 3 , ,

b) a b c = = = 0 3 1 0 8. , , . d) a b c = = = 1

2

1

21

, ,

2. a) x x 2 25 0 = c) x x 2 4 4 0+ + =

b) y y 2

20 0+ = d) y y 2 3 2 0+ + =

Actividad 3

1. a) 3

5

53

5

5 , b) 6

2

6

2 , c) 6 6 , d) 30 30 ,

2. a) 2 0 , b) 0 5 , c) 08

17 , d) 0

3

14 ,

Leccin 2Actividad 1

1. a) 2 3 , b) 4 3 , c) 1

32 , d)

3

2

1

5 ,

2.60 unidades 100 unidades.Actividad 2

1. a) 1 6 , b) 3 10 , c) 1

3 2 , d) 4

3 8 ,2. x = 2 , utilizando el teorema de Pitgoras.

Leccin 3Actividad 1

1. a) Una b)Una c)Dos d) Dos

2. a) 53{ } b)5 c) { }1 34 , d) { }

1

22 ,

Actividad 2

a) Un cateto mide 24 cm, el otro 7 cm y la hipotenusa 25 cm.

b)12 m y 8 m c)3 cm d) 50 nmeros naturales.

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mate tica - nove o grado

Solucionario

Leccin 4Actividad 1

a) 120 c) 17 576 000 , , placas e) 60

b)40 formas d) 303 600 , formas.Actividad 2

1. a) 120 b)1 c)28 d) 2730

2. a) 40 b)5

Leccin 5Actividad 1a) 40 320 , c) 10 080 , e) 48

b)210 d) 720

Actividad 2

a) 1365 b)2598960 c)105 d) 1260

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Proyecto

Cinco familias se quedaron sin vivienda por motivo de las lluvias. Un seor

regal un terreno para que a las familias: Lpez, Flores, Martnez, Rodrguez y Ramrez se les entregar una parcela a cada una en donde ellas pudieran hacer su vivienda. El terreno es rectangular, un lado est a la orilla de un ro y el otro ladoparalelo a la orilla de la calle. (Ver gura).

El rea del terreno es de 1,562 m2 y el largo es igual a tres veces el anchoaumentado en 5 metros. Se pregunta:

a) Cul es el ancho del terreno que se va a repartir?

b)Cules son las dimensiones de cada terreno que se les dar a las familias?

c)Se decide darle a las familias Lpez y Flores un lote a la orilla del ro o a la orillade la calle; ya que estas familias tienen ms hijos, llegaron primero y as losolicitaron. De cuntas maneras se pueden repartir los terrenos, si las otrastres familias pueden tener cualquiera de los otros tres?

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Recursos

Earl W. Swokowski, Algebra y Trigonometra, Grupo EditorialIberoamrica, Mxico 1996.

Mauro Hernn Henrquez, Matemtica para noveno grado, sextareimpresin UCA-Editores, El Salvador 2007, 363 p.

William Mendoza y Gloria Galo de Navarro, Matemtica bsica Pre-Universitaria 8 reimpresin; UCA editores, El Salvador 2007.

h p://www.ugr.es/~eaznar/concepto_grupo.htm

h p://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

mat-9u3

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