DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA

Nombre: Aníbal Fernando Bonilla Ambrossi

Matrícula: 705366

Carrera: Ing. Sonido Y Acústica

Tutor: Sono Daniel David

El Conjunto de los números Reales

Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en forma decimal.

Ejemplos:

1) 5=5,02) −8=−8,0

3)12=0,5

4) √3=1,7

5)23=0,6

6)35=0,6

Subconjuntos Importantes de los Reales

1) Los números naturales o de conteo ¿ {1,2,3 ,…}2) Los enteros no negativos ¿ {0,1,2,3 ,… }3) Los enteros ¿ {…,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 ,… }

4) Racionales{ab } a y b son enteros y b ≠ 0

División para cero 3 casos

1)CUALQUIERNÚMERODIFERENTE DECERO

CUALQUIERNÚMERO≠0

=RespuestaÚnica

123

=4≡3×4=12

2)≠00

=NoExiste

120

=t ×0=12

3)00=indeterminación

00=3√1,3≡ 3√1,3×0=0

Respuesta Infinita

R = RealesQ = RacionalesQ´ = IrracionalesZ = EnterosF = FraccionariosN = Naturales

Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional.

Ejemplos:

1)92=4,5

2)−38

=−0,375

3)149

=1 , 5̂

4)23=0 , 6̂

5)12=0,5

6)136

=2,1666667

Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es periódico.

Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica.

Ejemplos:

1) √2 =1,4142…

2) √3 = 1,73205…

3) π = 1,14159…4) e = 2,718…

Observación y notación de intervalos

El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar dos números reales cualesquiera.

Símbolo Definición Se Leea>b a-b es positivo a es mayor que b a<b a-b es negativo a es menor que b a≥b a-b es positivo o es 0 a es mayor o igual que ba≤b a-b es negativo o cero A es menor o igual que b

Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades.

Recta numérica

Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales.

-∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞

Recta numérica real

Intervalos acotados de números reales

Notación de Intervalo

Tipo de Intervalo Notación de Desigualdad

Gráfico

[a,b] Cerrado a≤x≤b a b

(a,b) Abierto a<x<b a b

[a,b) Semi abierto a≤x<b

(a,b] Semi abierto a<x≤b

Los números a,b son extremos de cada intervalo.

Intervalos no acotados de números reales

Notación de Intervalo Notación de Desigualdad Gráfico

[a, -∞) x≥a

(a,+∞) x>a

(-∞, +b] x≤b

(-∞, +b) X<b

Guía N°1

1. (-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3 -1 < x ≤ 3

-∞ +∞2. (-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8

-3 8

3. X ≤ -7 x es menor o igual a -7

(-∞;-7]

-∞ +∞

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionadas mediante operaciones algebraicas.

Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación.

Ejemplos:

−2 x−x2+x−1

√x−1x2−1

5 x13− 5

x2 +5x−3

Términos:

Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-)

Jerarquía de Operaciones de mayor a menor

Potenciación y radicación

Multiplicación y división

Suma y resta

Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación.

Propiedades de los números reales

Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas.

1.- Propiedad Conmutativa

Suma: u+v = v+u

Multiplicación: uv=vu

2.- Propiedad Asociativa

Suma: (v+v)+w= u+(v+w)

3- Propiedad de la Identidad

Suma: u+o=u

4.- Propiedad del Inverso:

Suma: u+(-u)

Multiplicación: u. 1u

= 1, u ≠ 0

5.- Propiedad Distributiva

Multiplicación sobre la suma:

U(v+w)=uv+uw

(u+v)w=uw+vw

Multiplicaciones sobre la resta

u(v-w)=uv-uw

(u-v)=uw-vw

Propiedad del inverso activo

Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas.

Propiedad:

Propiedad Ejemplo1) –u(-u) = u2) (-u) * v = u * (-v) = -(u*v)

-(-2) = 2(-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12

3) (-u) * (-v) = u* v4) (-1) * (u) = -u5) – (u+v) = (-u) + (-v)

(-6) * (-8) = 6 * 8 = -10-1* (10) = -10-(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16

Exponentes Enteros:

Si a es un número real y n es un número entero o positivo.

Exponente (an=a .a .a .a . a . a…….a)

N veces a

an=b Potencia n de a

base

Ejemplos:

1) 23=2×2×2=82) ¿3) ¿

4) −32=−3×3=−95) ¿6) −43=−4×4×4=−647) ¿

Exponente 0

Definición: Si a es un número real diferente de 0.

a0=1

Ejemplos:

−270=1 70=1 00=noexiste

Exponente Negativo

Definición: Si a es un número real y n un número entero.

a−n= 1

an

Ejemplos:

2−3= 1

23=1

8

(−2)−2= 1

(−2)2=1

4

7−3= 1

73= 1

343

8−2= 1

82= 1

64

Principales Teoremas de Exponentes

Teoremas

1. an+am=an∗m

2.an

am=an−m

3. (a+b)n=an×bn

4. ¿5. ¿

Guía N°2

Identifique la base. No calcule el valor

1. 1311=132. 153=15

Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no son cero.

3.x2 . y7

x5 . y3 =y7−3

x5−2 =y4

x3

4. (x−3 . y3)−4

¿¿

5. [20a7b6

ab3 ] [ 2b2

4a3b8 ]=20.24

×a7−1−3b6+2−3−8=404

a3b−3=10 a3b−3=10a3

b3

Notación Científica

Se dice que un número x está escrito en notación científica si x=b×10n donde

1≤b<x

Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños.

Ejemplos:

Gúgol = 10100=1×10100

Gúgolplex = 1gúgol=110100

Gúgol dúplex = 1gugol plex=11010100

8,571×103

0,000128=1,28×10−4

0,0000000955015=9,55015×10−8

Exponente Fraccionario

amn=

n√an

Ejemplos:

1. 234 =

4√23=4√8

2. √2=212

Radicación

Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente: n√a=b≡a=bn

n√a=a1n

Ejemplos:

1. 3√8=2≡23=82. √25=5≡52=253. 72=49≡√49=74. 210=1024≡ 10√1024=2

Definición de elementos de un radical

Índice De LaRaíz n√a=b Raíz n-sima de a

Cantidad Subradical

3√64=4→Raíz cúbica de64

Simplificación de Radicales

Fundamento 1

n√a .b=n√a . n√b

Ejemplo.

√18=√2. 32=√2 .√3=3√2

Factorización Numérica

18 2

9 3

3 1

1 2.32

Fundamento 2:

n√an√b

=n√ ab

Ejemplo:

3√43√2

=√ 42=√2

Guía N°3

1. Evaluar las siguientes raíces. √64=8

√ 22516

=√225√16

=154

-√ 4100

=√ 125

=−√1√25

=−15

√6 xyz6 √5 x2 y3 z5

= z3 √6 xy . xy z2 √5 yz

= xy z5 √3x y2 z

= x y2 z5√30 xz

Guía N°4

√ 150a2b

c2=√6×52a2b

c=5a√6b

c

√ x+√ y+x+15√ x=16√x+√ y+x=16√ x+x+√ y

Racionalización de denominadores

En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador.

Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el valor de la función.

Fundamento:

ab=a . c

b . c

25=20.10

50.10=0,4

( x+ y ) (x− y )=x2−xy+xy− y2=x2− y2

Guía N°5

1.1√7

= 1√7

× √7√7

= √7

(√7 )2 =

√77

2. √ 100x

=√100√ x

=√100√x

×√x√x

=10√x¿¿¿

3.5√ x

√x+5√ y=

5√ x(√ x+5√ y )

=(√x+5√ y)(√x+5√ y)

=5√x (√x+5√ y)

(√ x)2 =

5x−25√xyx−25 y

Simplifique la expresión

4. 3√192−10√18−8√48=3.22√3−10.2 .3√3−8.2√3=24 √3−60√3−32√3=−68√3

5.√63 x2

√20 y3= √32 .7 x2

√22.5 y3=¿¿

Polinomios

Expresiones Algebraicas

Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.

Ejemplos:

1. 3 x2+2x−52. −2 x3−1

3.12x2−x+√3

4.5x−1

x2−35. 4 x−2+9 x−16. 5 x3

7. 3√ x− 1

x23

+6

8. √x2−42x+1

Polinomios:

Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente operaciones suma, resta o multiplicación.

Ejemplos:

1. 3 x . x+2x−52. – 2x . x . x−1

3.12x . x−x+√3

Forma general de un polinomio en la variable.

Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma.

an xn+an−1 x

n+1+an−2 xn+2+…+a0

Grado: n

Variable: x

Término Independiente: a0

Coeficiente Líder: an

Tipos de Polinimios

Monomios:

Los polinomios que tienen un termino igual.

Binomios:

Los polígonos que tienen dos términos igual.

Trinomios:

Los polinomios que tienen 3 términos o igual.

Polinomios:

Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.

Guía N°6

1. f ( x )=−8 x9+6 x−7

Grado: 9

Coeficiente Líder: -8

2. f ( x )=−14−6+8 x2−13 x3+7 x4

Grado: 4

Coeficiente Líder: 7

Término Independiente: -14

Variable: x

3. q3−q−q4+q5−q2×q4+3

Grado: 5

Coeficiente Líder: 1

Término Independiente: 3

Variable: q

Operaciones con Polinomios

Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos semejantes (términos que tienen igual su parte literal)

4. (5 x−6 )× (−3x+10 )=5x−6−3 x+10=2x+4=2 (x+2)

5. ( 18x2+ 2

5x3−1

6x+7)+(−5

8x4−1

5x3+ 1

3x−9)

Guía n°6

Sume colocando un polinomio debajo del otro:

45x2−1

4x−1

2 y

12x2+ 1

2x+ 3

5

45x2−1

4x−1

2y

12x2+ 1

2x+ 3

5

1310

x2+ 14x+ 1

10

Multiplicación de Polinomios

1. a (b+c )=(ab )+(ac)2. (b+c )a=(ab )+(ac )

3.(−a )b=(−ab)4.a (−b )=−(ab)5. (– a ) (−b )=ab

6.(a ) (b )=ab

Ejemplo:

Guía N°6

(−8 x2 y ) (−4 x4 y6 )=32x6 y7

( x+10 ) ( x−12 )=x2−12 x+10 x−120=x2−2 x−120

Regla

Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio.

Productos Notables

Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede hacer directamente sin realizar la multiplicación.

Algunos Productos Notables

1. (a+b ) (a−b )= (a−b ) (a+b )=a2−b2

Demostración

(a+b ) (a−b )=a2+ab−ab−b2=a2−b2

2. (a+b)2=a2+2ab+b2

3. (a−b)2=a2−2ab+b2

Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una variable.

Ejercicios Guía N°7

9. ( x+13 ) ( x−13 )=x2−13 x+13 x−162=x2−169

Escriba el polinomio a b

a

a2+2ab+b2

b

y

3y 20

3 y2+20 y

14. (7 x+ 17 )(7 x−1

7 )=49x2− 149

15. ¿

16. (7 x+ 17)

2

=49x2+(2.7 x .17 )+ 1

49

17.(4,1+5)2= (4−1 r )2+2 ( 4,1r ) ( s)+s2=16.81r 2+8.2rs+s2

FACTORIAZACIÓN DE POLIGONOS

Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y restas en productos.

Ejemplo:

Factorizar: x2+ xy=x (x+ y)

Factor común:

Proceso:

Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”. Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada

término para el factor común.

GUÍA N°8

1. 30 x+15=15(2x+1)2. 12 x6 y9+36 x4 y6−28 x2 y2=4 x2 y2(3x 4 y7+9x2 y4−7)3. x2 ( x−9 )−( x−9 )=( x−9 )(x2−1)

FACTOR

A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general.

En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego si es posible un factor común general con lo que el polinomio que da factorado.

Nota:

La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es necesario agrupar de otra manera e intentar factorar nuevamente al polinomio.

Determine el factor común por agrupación

15. x2+3x+4 x+12

Forma a Forma b

¿(x¿¿2+3 x )+(4 x+12)¿ (x2+4 x )+(3 x+12)

¿ x (x+3 )+4( x+3) x (x+4 )+3 (x+4)

¿ ( x+4 )(x+3) ¿ ( x+3 )(x+4 )

18. xy−10+2 y−5x

( xy+2 y )+(−10−5 x)

¿ y ( x+2 )−5(x+2)

( x+2 )( y−5)

TRINMIO DE LA FORMA x2+bx+c

Procedimiento:

1. Se escriben dos paréntesis [(.2. Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es “x”.

3. En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y en el segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio.

4. Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del trinomio.

Ejercicios:

x2−x−6=( x−3 )(x+2) x2−x−35=¿

El polinomio es primo por que no existen factores.

a2−2ab−35b2=(a−7b )(a+5b)

TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c

Procedimiento:

1. Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.

2. Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma x2+bx+c3. Simplificar la respuesta

Ejemplos:

42. 15 x2+26 x+8

¿15(15 x2+26 x+8)

15

¿¿¿

¿(15x+20 )(15x+6)

15

¿5 (3 x+4 ) 3(5 x+2)

15

¿ (3 x+4 )(5 x+2)

Demostración:

15 x2+6x+20 x+8

¿15 x2+26 x+8

41. 3 x2+13 x−20

¿3(3 x2+13 x−20)

3

¿(3 x)2+13 (3 x )−60

3

¿¿

Solución:

El polinomio es primo no existen factores.

48. 21 x3−161x2+98 x

¿7 x (3 x2−23 x+14 )

¿7 x [(3 x )2−23 (3 x )+42]

3

¿7 x (3 x−21 )(3 x−2)

3

¿7 x .3(x−17)(3x−2)

3

¿7 x ( x−7 )(3 x−2)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Fundamento:

x2− y2=( x− y )(x+ y)

Ejemplo:

52. x2−4= (x+2 )(x−2)

57. 75 X2−48=3(25 x¿¿2−16)=3 (5 x−4 )(5 x+4)¿

59. 98a2−32b2=2 (7a2−4 b )(7 a2+4b)

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

1. a3−b3=(a−b )(a2+ab+b2)2. a3+b3=(a+b )(a2−ab+b2)

Ejemplo Guía N°9

1. u3+v3=(u+v )(u2−uv+v2)2. u3−v3=(u−v )(u2−uv+v2)

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE CORRESPONDE UN EJERCICIO

1. Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado.2. Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de

términos (cantidades separadas con signos + o -)-

3. Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de x3, suma o diferencia de

potencia al cuadrado.

4. Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma ax2+bx+c .5. Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación.

Guía N°9

1. 343−t2= (7−t )(49+7 t+t 2)2. 16k3m−40k2m2−25k m3=km(16k 2−40km+25m2)=km(4 k−5m)2

3. 54 x4−250 x y3=2 x ( 27 x3−125 y3 )=2 x (3 x−5 y )(9 x2+15 xy+25 y2)4. xy+10 x−8 y−80=( xy−8 y )+ (10x−80 )= y ( x−8 )+10 ( x−8 )=¿

( x−8 )( y+10)5. xy−5 yz+7 z−35 z= (xy+7 x )− (5 yz−35 z )=x ( y+7 )−5 z ( y+7 )=¿

( y+7 ) ( x−5 z )6. 8 x2+10x+12 x+15=(8 x2+10 x )+ (12x+15 )=2x (4 x+5 )+3 (4 x+5 )=¿

(4 x+5 ) (2 x+3 )

EXPRESIONES RACIONALES

Son expresiones de la forma polinomiopolinomio

.

Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir.polinomio1polinomio2

Ejemplos:

x2−1( x+2 )(x−2)

2x+1x−3

x2+x+1x2−1

2x4−3 x3−1x+5

VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN

Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable que hagan 0 a 1 o más denominaciones.

Ejemplos:

x2−1x−2

D=R−(2)

1. En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2”

2x+1x−3

2. En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto “3”. D=R−(3)

3.x2+X+1x2−1

= x2+X+1(X+1 )(X−1)

D=R−(1;−1)

4.2 X4−33−1

X+5En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos x≠−5

Ejercicios propuestos por los estudiantes:

Guía 6:

1. (8 X+10 )−(Z+3 )=8 Z+10−Z−3=7 Z+7 Guía 7:

2. ( x+5 ) (2x+5 )=4 x2+20 x+25

5

2x

Guía 8:

3. 20 x2 y2+3 x y2−9 y2¿ y2 (20x2+3 x−9 )¿ y2.20 (20 x2+3x−9 )20

¿y2. (20 x )2+3 (20 x )−180

20¿y2. (20 x+15 ) (20 x−12 )

20¿y2.5 (4 x+3 ) 4 (5 x−3 )

20

y2 (4 x+3 ) (5 x−3 ) Guía 9:

4. 1000 y3−343=(10 y−7 )(100 y2+70 y+49)5. 54 x4−250 xy3¿2 x (27 x3−125 y3 )¿2 x (3 x−5 y )(9 x2+15 yx+25 y2)

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Fundamento:

P (X )D(X )

.T (X )T (X )

=P(X )D(X )

10x

4x2 10x

25

Ejemplo Guía N 10:

y3−343y−7

=( y−7 )( y2+14 y+49)

y−7

OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES

Multiplicación:

Fundamento:

P (X )D(X )

.T (X )Q(X )

=P (X )T (X)D (X )Q(X )

4 P−4P

.4 p2

9 p−9=

4 ( p−1 )p

.4 p2

9 ( p−1 )=16 p

9

3 z3

4.

32z2 =24 z

DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

Fundamento:

P (X )D(X )

:T (X )Q(X )

=P (X )D (X )

.Q(X)T (X )

2 X2

3:X3

21=2 X2

3.

21X3 =

14X

Z2+6Z+8Z2+7Z+12

:Z2+2Z

Z2+12 Z+27=

(Z+4 )(Z+2)(Z+4 )(Z+3)

.(Z+9 )(Z+3)Z (Z+2)

=Z+9Z

SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES

Fundamento:

ac+bc=a±b

c

ab+ cd=ad ±cb

bd

Proceso:

Para sumar y restar

1. Se factoran los denominadores.2. Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o el

producto de ellos.

3. Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada resultado se multiplica por cada uno de los numeradores.

Sumar y Restar

3

16−15

16=3−15

16=−3

4

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS

Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.

Pasos simplificados:

1. Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que quede una fracción en cada uno de ellos.

2. Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes.

Ejemplo:

15+ 1

612+

13

=

6+530

3+26

=1125

−12

−12

−3

314− 4

1−0.5

=

−12

−723

−14

− 412

=

−12

−7231

−314

=

−17

−1231

=3184

NÚMEROS COMPLEJOS

Ejemplos:

1. ∝=2+3 i2. β=−1+5 i

3. ∈=−3−12i

4. 7 i5. 4

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

a+bi=c+di ≡a=c yb=d

Ejemplo: Guía N° 13

18. 2+3 i=x+ yi≡ x=2 y3= y

19. 6+ yi=x−6 i≡6=x y y=−6

20. (−2−7 i)−3=x− (−1 y+i )−2−7 i−3=x+1− yi−5−7 i=x+1− yi

−5=x+1≡−7 i=− yi−6=x≡−7=− y−6=x≡7= y

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS

Suma y Resta con números complejos:

Para sumar o restar números complejos, se simplifican términos semejantes.

Ejemplos Guía Número 13:

1. (9-5i)+(8+9i) = 9-5i+8+9i = 17+4i2. (4+5i)-(2+i) = 2+4i

3. 5i+(-9-i) = 5i-9-i = 4i-9

4. (5−i)+(6 — 6=5−i+6 — 6=11−i−(√6×√−1 )=11−i−√6i

¿11−i (1+√6 )=11− (1+√6 ) i5. (−7+5 i )−9=−7+5i−9=−16+5 i

6. (i2+3 )− (9+i3 )=−1+3−9+i ×i2=−1+3−9+i (−1 )=−1+3−9+i¿−7+i

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Se multiplica como el producto de 2 binomios cualesquiera, se toma en cuenta i2=−1

Ejemplo Guía Número 13

1. 4 i (3−8 i )¿12 i−32 i2¿12 i−32 (−1 )¿12 i+32¿32−12 i

2. −3 i¿¿−3 i¿¿−3 i [ 16+64 i−64 ]¿−3 i (−48+64 i )¿144 i−192 i2¿144 i+192¿192+144 i

3. (√15+9 i ) (√15−9 i )¿ (√15 )2−¿¿15−81i2¿15+81¿96

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Conjugado: α=a+bi ,α ´=a−bi

Ejemplos:

1.6−7 i5+2 i

=(6−7i )(5+2 i )

×(5−2 i )(5−2 i )

¿ 30−12 i−35 i+14 i2

25−10 i+10 i−4 i2¿ 30−47 i−14

25+4¿ 16−47 i

29¿ 16

29−47

29i

EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables), y números (constantes) relacionados mediante operaciones algebraicas. (Suma, resta, multiplicación y división).

Ejemplos:

1. 2 x3−x2−x−1

2.√x−1x2+1

3. 5 x13− 5

x2 +5x−3

4. 7 y2−x2

Nota: Los términos son cantidades separadas por signos ‘+’ o ‘-’.

Ecuaciones y Desigualdades

Ecuaciones lineales en una variable o de primer grado:

Son ecuaciones de la forma ax+b=0 donde a y b son números reales y a diferente de 0.

Ejemplos:

1.

5 x−3=0

2. 3m+12=0

3. √2 (a )−7=04. −2 y+4=0

Resolución de una ecuación de primer grado:

Fundamento:

1. x+a=0≡x 0−a2. x−a=0≡x 0a

3. ax=1≡x=1a

4.xa=1≡x=1.a≡ x=a

1. Se realizan las operaciones que tenga la ecuación hasta expresarla en la forma

ax+2=0

2. Se despeja a x=−ba

Ejercicios Guía N° 14

1. 8 x−10=148 x=14+10x=248

x=3 Si satisface laecuación .

2. 10k−60410k=4+6k=1010

K=1

3. C=2πrr=c

2 π

4. 4− (x+5 )=2 (2 x−4 )despeje : x=75

4−x−5=4 x−8−1−x=4 x−8−x−4 x=−8+1

−5 x=−7x=75

INECUACIONES DE PRIMExR GRADO

Son desigualdades de la forma ax+b<0 ;ax+b≥0.1

ax+b>0

Fundamentos:

1. x+a>0≡ x>−a2. x−a>0≡x>a

3. ax>1 , (a>0 )→x> 1a

4. ax>1 ,(a<0)→x< 1a

5.xa>1 , (a>0 )→x>a

6.xa>1 , (a<0 )→x<a

7. −a>−b≡a<b (−1 )

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación, hasta dejarle en la forma ax+b>0

Se despeja x

1. 3 x−2>03 x>28 x> 23

Solución: ¿)

Gráfica

2. – 2x+4 ≥0−2 x≥−4x≥−4−2

x≤2

Solución: (−∞;2)

Gráfica:

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Fundamento:

1. |x|≤a≡−a≤ x≤a2. |x|≥a≡x≥a o x≤−a

Ejemplo:

Resolver: |2 x−3|≤5

≡−5≤2x−3≤5≡−5+3≤2x ≤5+3≡−22≤ x≤

82≡−1≤x ≤3 intevalo acotadoSolución:

[−1,4 ]

Gráfica

∞- ∞

Ejercicios Guía N°15

8. |b−7|−3>2≡|b−7|>5≡b−7>5v b−7←5b>12vb<2Solución: (12 ;∞ )U (−∞;2 )¿ (∞ ;2 )U (12;−∞)

Gráfica:

-∞ 2 12 +∞

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Fundamento:

1. |x|≤a≡−a≤ x≤a

2. |x|≥a≡x≥a o x≤−a

Ejemplo:

Resolver: |2 x−3|≤5

≡−5≤2x−3≤5≡−5+3≤2x ≤5+3≡−22≤ x≤4 Intervalo acotado

Solución=[−1,4 ]

Grafica:

-1 4

-∞ ∞

Ejercicios Guía N°15

1. |b−7|−3>2≡|b−7|>5≡b−7>5>v b−7←5≡b>12v b<2

Solución: (12 ,∞ )U (−∞ ,2 )¿ (−∞ ,2 )U (12,8 )

Gráfica:

2 12

-∞ ∞

2. |x−73 |≥3

x−73

≥3vx−7

3≤−3x−7≥9v x−7≤−9x≥16 v x ≤−2

Solución: (−∞,−2 )U (16 ,∞)

Gráfica:

-∞ -2 16 ∞

Ejercicios Guía N°16

Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.

1. x2=−6 x+16x2+6 x−16=0x=−8 x=2S= (−8,2 )

2. 13 x2=2 X13 x2−2x=0x (13 x−2 )=ox=0 x= 213

Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de la propiedad de la raíz cuadrada.

1. 5 x2=20x2=20

5 x=±√4x=±2x=2 x=−2Solución: (2 ,−2 )

2. (4 x+3 )2=7√ (4 x+3 )2=±√74 x+3=±√74 x=±√7−3x=± √7−34

x={−3+√74

,−3−√7

4 }Resolver la ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto.

1. x2+4 x=3x2+4 x+4=3+4( x+2 )2=7x=±√7+2x=−2+√7 x=−2−√7

Solución: {−2+√7 ,−2−√7 }

x2−12 x−5=0x2−12 x+36=5+36( x−6 ) ( x−6 )=5+36( x−6 )2=41√ ( x−6 )2=±√41

x−6=±√41x=−6±√41x=6+√41x=6−√41

Gráfica de una operación cuadrática en 2 variables

Fundamento:

1. Forma de la ecuación.

y=ax2+bx+cLa gráfica siempre es una parábola.

2. Si “a” es positiva entonces la parábola se abre hacia arriba.

3. Si “a” es negativa:

La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente fórmula.

xv=−b2a

Ejercicios Guía N°17

1. y=x2+6 x+8a=1; b=6; c=8a es positiva, la parábola se abre hacia arriba.

a=1>0Solución Algebraica

xv=−b2a

xv=−62

xv=−3

yv=ax2+bx+c yv=1 (−3 )2+6 (−3 )+8yv=9−18+8yv=−1

v=(−3 ,−1 )Intervalos con el eje X

y=00=x2+6 x+80=( x+4 ) ( x+2 )x=−4 x=−2

Gráfica:

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de un número real “a” se representa |a| y se obtiene de la siguiente forma |a|= {a , si a≥0 ;−a , si a<0 }Ejemplo:

1. |5|=55=5

2. |– 7|=−(−7 )7=7

Resuelva la ecuación en valor absoluto o determine si la ecuación no tiene soluciones.

|x|=7x1=7x2=−7Solución=(7 ,−7 )

Comprobación:

|7|=7|−7|=7

7=7; 7=7

Nota: En el valor absoluto es importante por lo que se debe comprobar su solución necesariamente.

18. |12+2|=|3

4x−2| |

12+2|

|34−2|

=|34x−2|

|34x−2||

12x+2

34x−2|=1| x+4

23 x−8

4|=1|2 x+8

3 x−8|=1

2x+83x−8

=1≡2+8=3x−8≡x1=162x+83x−8

=−1≡2 x+8=−3 x+8≡x2=0

Solución: {16,0 }

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Resolver:

|x−2|=3

Solución Algebraica:

|x−2|=3x−2=3≡ x1=5x−2=−3≡ x2=−1

Solución: {5 ,−1 }

Solución Gráfica:

Igualamos a Y

1. y=|x−2|2. y=3

ECUACIONES RACIONALES

Fundamento:

Se debe excluir a la situación los valores de x que dan divisiones a ‘o’.

Inecuaciones Polinomiales:

Son ecuaciones de la formula P ( x )<0 ,P ( x )≥0o P (x)≤0 donde P(x) es un polinomio.

Ejemplo:

1. ( x+5 ) ( x+3 )2. (2 x−3 ) ( x−2 ) (x+1 )(x−4)≤0

3. x3−x2−3 x+3≥0

Solución de una inecuación polinomial.

MÉTODO ABREVIADO

El método abreviado se aplica a inecuaciones polinomiales comparadas con ‘o’ en las que todas las variables tienen coeficientes positivos.

Procedimiento:

1. Se ubican en la recta numérica todos los valores que hacen ‘0’ a cada factor de pimer grado, con lo que la recta numérica queda divide en intervalos.

2. Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda, iniciando por el ‘+’, ‘-‘.3. Se describe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según la

inecuación sea >’0’ o < ‘0’. Cuando es ≤0 ≥ se incluyen los extremos de los intervalos.

Nota: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares no influyen en la respuesta y pueden ir omitidos.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA LÍNEA RECTA:

Ángulo de inclinación de una recta:

Es el menor ángulo positivo entre la recta y el eje “x” (sentido anti horario), en el senido anti horario son positivos.

y

+ ϴ Ángulo de inclinación

-x x

-y

Pendiente de una recta:

Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta y se representa con la letra “m”.

m=tgϴ

m=y2− y1

x2−x1

Guía N° 31

1. (5,4 ) y (8,5 )m=5−48−5

m=13

2. (4 ,−7 ) y (−1 ,−8 )m=−8+7−1−4

m=−1−5

m=15

3. (−2 ,43 ) y (−4

3,−1)m=

−7365

m=−3518

Ecuación de la recta forma del puno y pendiente:

Se conoce un punto P1=¿ y la pendiente m.

Datos:

P1=(x1 , y1)m=y2− y1

x2−x1

m=y− y1

x−x1

m (x−x1 )= y− y1y− y1=m(x−x1)

Punto y Pendiente

Y

P=(x,y)

P1=(X1, Y1)

-X X

-Y

Ejemplo:

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el Punto P=(−2 ,1) y tiene una

pendiente m=2

Punto = (-2,-1)

m = 2

y− y1=m (x−x1 ) y+1=2 ( x+2 ) y+1=2 x+40=2x+4− y−10=2x− y+3

Ecuación de la recta

2. Ecuación de la recta dados 2 puntos.

Procedimiento:1. Hallar m: Pendiente.2. Aplicar la fórmula de punto y pendiente.

Ejemplo:

1. Hallar el valor de la recta que pasa por los puntos dados.

P1=(−1 ,−2 )P2=(3 ,1)

m=y2− y1

x2−x1

m=1+23+1

m=34y− y1=m (x−x1 ) y+2= 3

4( x+1 ) y+2=3 x+3

44 y+3=3 x+3

0=3 x−5−4 y

Ecuación de la Recta

Comprobación:

m=34P= (3,1 )y− y1=m (x−x1 ) y−1=3

4( x−3 ) y−1=3

(3 x−3 )4

4 y−4=3x−9

0=3 x−5−4 y

Ecuación de la recta

3. Ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen.

Ordenada del punto

(o,b)

Abscisa del punto

y− y1=m (x−x1 ) y−b=m ( x−0 )y=mx+b Pendiente y ordenada en el origen.

GUÍA 31

Ejercicio 17

Determine la pendiente y el corte con el eje “y”, para la recta de ecuación dada.

y=−13

x+2m=−13

b=2

Interceptas con el eje y, x=a

y=−13

(0 )+2y=2Ejercicio 22

−x+6 y=186 y=x+18 y= x+186

y=16x+ 18

6y=1

6x+3m=−1

3(0 )+2Intercepto y ; x=0

y=(0,3)

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

L1 L1 paralelo L2

L2 ϴ1=ϴ2

tanϴ1=tanϴ2

m1=m2

Rectas Perpendiculares

L1 Perpendicular L2 = m1.m2=−1m1=−1m2

Guía N° 32

1. m1=−7m2=−7

L1 Paralela L2

2. m1=83m2=

−38

83.

38=−1−1=−1L1Perpendicular L2

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Circunferencia está formada por todos los puntos que se encuentran a una distancia igual a “r” (radio) del centro C.

P1=( x1 , y1)

C=(h , k )

Ecuaciónestandar del radio :r2=√¿¿

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia del centro = (2,2)

Datos:

C= (-2,2)

r=3

¿

Determinar la distancia entre los puntos dados

y

P1 (0,0)

P2 (2,4)

x

P1P2=√¿¿ P1P2=√¿¿P1P2=√¿¿

P1P2=√20P1P2=2√5

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO

Dado el segmento P1=(x1, y1) y P2= (x2,y2) las coordenadas del punto medio es= P = x,

y están dados por x=x1+x 2

2 y

y1+ y 22

Ejemplo:

Hallar el punto medio del segmento:

A = (-3, -2)

B = (4, 1)

P=(−3+42

,−2+1

2 )P=( 12,−1

2)

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

( x−h )2=4 p ( y−k )Guía N° 35

5. y=2 ( x−3 )2−5≡ y+5=2¿( y+5 )

2=( x−3 )2 1

2( y+5 )= (x−3 )2(x−3)2=1

2(x+5)

h=3K=-3(3, -5)

4 P=12P=1

8

P es mayor que cero por lo tanto la parábola se abre para arriba.

La función exponencial f es toda función de la forma f ( x )=a .b donde a es

diferente de “b”, b es positiva y b diferente de 1.

La constante “a” es el valor inicial de f ( el valor en x=0 ) (aesel valor inicial de f ) ( el valor de x=0 ) y b es la base.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Es la forma inversa de la función exponencial y se debe a la siguiente forma:

y=loga x≡ay=x

1. log 28=23=8

2. log10 100=102=100

3. log 18

=−3=2−3=18

Leyes de Logaritmos

1. log10 xy=logax❑+ logay❑

2. log axy=loga x− loga y

3. log a xn=n loga x

ECUACIONES EXPONENCIALES

Tienen la incógnita como exponente.

Método de resolución.

Se igualan bases y exponentes. Llevándolo a un tipo de ecuación conocida. Por logaritmos.

ECUACIONES LOGARITMICAS

Tienen la incógnita dentro de un logaritmo.

Resolución de Ecuaciones Logarítmicas

a. Hallar el dominio (solo hay logaritmos de números positivos)b. Resolver la ecuación para los valores del dominio.

1. log3 x=5a¿ x>0b¿ log3 x=5≡35=x≡x=243Solución=(243 )ϵD