UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO MECÁNICO

MECÁNICA ESTÁTICA

Masas. Centro de Gravedad.

Circulo de Mohr.

Estudiante:

Luis Cardozo

C.I.: 21125770

Noviembre de 2016

Realice una Investigación sobre centro de Masas, centro de Gravedad, circulo

de Mohr, Momento de Inercia, formulas etc, Cual es la Importancia para el Ingenier

MASA

Masa es un concepto que identifica a aquella magnitud de carácter físico

que permite indicar la cantidad de materia contenida en un cuerpo. Dentro del

Sistema Internacional, su unidad es el kilogramo (kg.). Esta noción, que tiene

su origen en el término latino massa, también se aprovecha para hacer

referencia a la mezcla que surge al incorporar un líquido a una materia que ha

sido previamente desmenuzada, cuyo resultado es una sustancia espesa,

blanda y consistente.

En relación a la magnitud física, hay que decir que la noción de masa

tiene su origen a raíz de la combinación de dos leyes: la ley de gravitación

universal y el segundo principio de Newton. De acuerdo a la gravitación

universal, la atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de dos

constantes (definidas como masa gravitatoria), razón por la cual puede decirse

que la masa gravitatoria constituye una propiedad de la materia gracias a la

cual dos cuerpos consiguen atraerse entre sí.

En base al segundo principio de Newton, hay que recordar que la fuerza

que se aplica sobre un cuerpo es proporcional de forma directa a la aceleración

que experimenta. Según los criterios de la Organización Internacional de

Metrología Legal, la masa convencional de un cuerpo es idéntica a la masa que

posee un patrón de densidad igual a 8000 kg/m3, la cual consigue equilibrar en

el aire a ese cuerpo bajo condiciones escogidas por convención (temperatura

del aire equivalente a 20 ºC y la densidad del aire estimada en 0,0012 g/cm3).

CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad (C.G.) es el punto de aplicación de la resultante

de todas las fuerzas de gravedad que actuán sobre las distintas masas

materiales de un cuerpo. En física, el centroide, el centro de gravedad y el

centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En

estos casos es válido utilizar estos términos de manera intercambiable.

El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los

otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo.

Para que el centroide coincida con el centro de masas, el objeto tiene que tener

densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener

ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el

centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masas y el

objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

DIFERENCIA ENTRE CENTRO DE GRAVEDAD Y MASA

Conceptualmente son dos puntos distintos: El centro de masa es el

punto donde debe aplicarse una fuerza para el el cuerpo adquiera un

movimiento de traslación pura, es decir, sin rotaciones. El centro de gravedad

es el punto donde está aplicado el peso de un cuerpo. En un lugar del universo

que no exista gravedad, no existe centro de gravedad, pero sí centro de

masa. El centro de gravedad y centro de masa con coinciden en un campo

gravitatorio no uniforme (donde la aceleración de la gravedad no es constante)

En la práctica de todas las experiencias que hacemos en laboratorios de

física, no hay forma de medir las diferencias entre estos centros. Por lo tanto

coinciden. Imaginemos un prisma homogéneo regular de gran altura (varios

cientos de kilómetros). El centro de masa es el centro geomético del

cuerpo. Pero el centro de gravedad no. Estaría ubicado más abajo que el

centro de masa. Es así porque una partícula del prisma ubicada en la base del

cuerpo pesaría más que una partícula de igual masa ubicada en la parte

superior de prisma. Entonces su centro de masa está más cerca de la más

baja, ya que esta pesaría más.

DIFERENCIA ENTRE CENTRO DE PESO Y MASA

CIRCULO DE MOHR

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr

es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos

puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido

a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en

general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre

ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones

son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.

Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres

dimensiones.

CÍRCULO DE MORH PARA LA TRACCIÓN SIMPLE

El círculo de Morh es un círculo en el que las coordenadas de los puntos

de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en

una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una técnica

usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y

calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando

los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es

posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación

máxima absoluta.

El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma:

Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas

situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones

cortantes. A continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la

figura.

Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras

perpendiculares definen un diámetro del círculo de morh.

Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones

perpendiculares son iguales y de sentido contrario.

Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta

los siguientes detalles:

– El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el

sentido de giro del plano AB en la realidad.

– El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si

giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y

negativo en caso contrario.

– El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo

entre los planos reales correspondientes.

INERCIA

La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en

su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe

claramente en la Primera Ley del Movimiento de Newton lo cual dice: “Un

objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento

tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos

una fuerza externa”.

MOMENTO

un momento es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto

hace girar elementos en torno a un eje o punto El momento es constante, se

puede tomar en cualquier punto del plano y siempre dara el mismo resultado,

siendo la distancia la perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza.

Teniendo estas 2 definiciones podemos adentrarnos a la definición misma de:

MOMENTO DE INERCIA

El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área;

Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad

geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. Tomando

en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de inercia, es la suma

de los productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por el

cuadrado de su distancia al eje.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de

un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de

inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del

movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular

longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende

de su forma (más bien de la distribución de su masa), y de la posición del eje

de rotación. Aun para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser

distinto, si se considera ejes de rotación ubicados en distintas partes del

cuerpo. Un mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia,

dependiendo de dónde se considere el eje de rotación. Mientras más masa

está más alejada del eje de rotación, mayor esel momento de inercia. El

momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4 , m4

, pulg4.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES

Tenemos que calcular la cantidad

donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.

Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se

colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de

uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de

un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de

Un extremo

De la segunda masa

Del centro de masa

El momento de inercia respecto a un eje

perpendicular a la varilla y que pasa por la primera

partícula es

IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875

kgm2

El momento de inercia respecto a un eje

perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda

partícula es

IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9

375 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje

perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera

partícula (centro de masas) es

IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.62

5 kgm2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos

calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner.

Conocido IC podemos calcular IA eIB, sabiendo las distancias entre los ejes

paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.

La fórmula que tenemos que aplicar es

I=IC+Md2

IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por

el centro de masa

I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior

M es la masa total del sistema

d es la distancia entre los dos ejes paralelos.

IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.

IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución

continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación

Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías

Aplicación directa del concepto de momento de inercia

Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido

MOMENTO DE INERCIA: LA ROTACION EN LA INERCIA

Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla

inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de

rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación

está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta „‟la resistencia que

un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro‟‟.

El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que

es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la

tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en

linea recta a la misma velocidad. La inercia puede interpretarse como una

nueva definición de masa. El momento de inercia es, masa rotacional y

depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay

entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia. El

momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas

producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual

este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo

flexión junto con las propiedades de dicho material.

MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES

El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar

de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos

ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se

intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia

en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los

problemas relacionados con la rotación de placas.

SEGUNDO MOMENTO DE INERCIA

En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también

denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es

una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos

estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado

con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un

elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material

determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El

segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a

la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico

relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al

cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento

de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este

artículo.

IMPORTANCIA PARA LA INGENIERIA

El centro de masa es importantísimo en análisis de choques,

construcciones de compuertas, de presas, en fin, cualquier construcción, pues

si sabemos la localización del centroide como es afectada nuestra estructura

por ciertas fuerzas aplicadas sobre ella. Para tratar de comprender y calcular el

movimiento de un objeto, suele resultar más sencillo fijar la atención

en el centro de masa. Por ejemplo, si se arroja una varilla al aire, ésta se

mueve de forma compleja.

La varilla se mueve por el aire y al mismo tiempo tiende a girar. Si se

siguiera el movimiento de un punto situado en el extremo de la varilla, su

trayectoria sería muy complicada. Pero si se sigue el movimiento del centro de

masa de la varilla, se comprueba que su trayectoria es una parábola que puede

describirse matemáticamente con facilidad. El complicado movimiento del

extremo de la varilla puede describirse como una combinación de su

rotación en torno al centro de masa y del movimiento parabólico de éste. El

centro de masa también puede ser un concepto útil cuando se estudia el

movimiento de sistemas complicados que están formados por muchos

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para

representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con

ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a

las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es

posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación

máxima absoluta.

En cuanto a la inercia, esta es muy importante en el área de las

estructuras, en el diseño estructural, la inercia es con lo que diseñas, la inercia

depende de la geometría del material. Por ejemplo si se quiere diseñar una

columna de acero, pues la longitud de la misma no se puede cambiar, el

material tampoco porque es acero, pero lo que si se puede diseñar es la

geometría de esta, y lo mismo pasa con un cable, con una viga, con una

armadura, etc.