MaqEcs
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M´aquinasEl´ ectricas I - ELI326 Ecuaciones transformadas: Procedimiento de obtenci´on M´ aquina el´ ectrica de campo giratorio con rotor anisotr´opico El presente documento constituye un material de apoyo para uso en clases y presupone la lectura previa del texto gu´ ıa principal. Complementa la secci´on 1.4 del cap´ ıtulo 1 ( Fundamentos Anal´ ıticos para las M´aquinas de Campo Giratorio). Se plantea el sistema completo para los enlaces de flujo de cada devanado, se aplica la transformaci´on de componentes sim´ etricas ampliada, detallando el desarrollo de las expresiones para la transformaci´on de cada submatriz, para finalmente exponer el sistema de ecuaciones resultante en t´ erminos de las componentes sim´ etricas de los valores instant´aneos. 1. Planteamiento de ecuaciones y aplicaci´on de la transformaci´on Una vez obtenidas las inductancias propias y mutuas para todos los devanados de la m´aquina el´ ectrica anisotr´ opica, las ecuaciones para los enlaces de flujo pueden ser escritas en la forma matricial indicada en (1), donde se ha separado la contribuci´ on de los campos de dispersi´on, expresada en el ´ ultimo t´ ermino de la derecha: ψ a ψ b ψ c ψ f ψ D ψ Q = L aa L ab L ac L af L aD L aQ L ba L bb L bc L bf L bD L bQ L ca L cb L cc L cf L cD L cQ L fa L fb L fc L ff L fD 0 L Da L Db L Dc L Df L DD 0 L Qa L Qb L Qc 0 0 L QQ i a i b i c i f i D i Q + L σ1 0 0 0 0 0 0 L σ1 0 0 0 0 0 0 L σ1 0 0 0 0 0 0 L σf 0 0 0 0 0 0 L σD 0 0 0 0 0 0 L σQ i a i b i c i f i D i Q (1) donde ψ ε Enlace de flujo del devanado ε i ε Corriente que circula por el devanado ε L εη Inductancia mutua entre devanados ε y η L σε Inductancia de dispersi´on para el devanado ε (se indica 1 para cualquier devanado del estator) Las inductancias mutuas que se observa en (1) son iguales entre ellas (por ejemplo L fD = L Df ), por lo que en adelante se escribir´a s´olo una forma para ellas. Se reescribe (1) realizando una partici´on de matrices, para identificar las porciones relacionadas exclusivamente con fases del estator, con devanados del rotor, y con acoplamientos entre rotor y estator: ψ a ψ b ψ c ψ f ψ D ψ Q = L aa L ab L ca L fa L Da L Qa L ab L bb L bc L fb L Db L Qb L ca L bc L cc L fc L Dc L Qc L fa L fb L fc L ff L fD 0 L Da L Db L Dc L fD L DD 0 L Qa L Qb L Qc 0 0 L QQ i a i b i c i f i D i Q + L σ1 0 0 0 0 0 0 L σ1 0 0 0 0 0 0 L σ1 0 0 0 0 0 0 L σf 0 0 0 0 0 0 L σD 0 0 0 0 0 0 L σQ i a i b i c i f i D i Q (2) La expresi´on compacta para (2) permite una notaci´on m´as c´omoda para trabajar posteriormente con las trasformaciones: JJA – 2011 1
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Ecuaciones transformadas para máquina de campo giratorio con rotor anisotrópico
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Maquinas Electricas I - ELI326
Ecuaciones transformadas: Procedimiento de obtencion
Maquina electrica de campo giratorio
con rotor anisotropico
El presente documento constituye un material de apoyo para uso en clases y presupone la lectura previa del
texto gua principal. Complementa la seccion 1.4 del captulo 1 (Fundamentos Analticos para las Maquinas
de Campo Giratorio).
Se plantea el sistema completo para los enlaces de flujo de cada devanado, se aplica la transformacion de
componentes simetricas ampliada, detallando el desarrollo de las expresiones para la transformacion de cada
submatriz, para finalmente exponer el sistema de ecuaciones resultante en terminos de las componentes
simetricas de los valores instantaneos.
1. Planteamiento de ecuaciones y aplicacion de la transformacion
Una vez obtenidas las inductancias propias y mutuas para todos los devanados de la maquina electrica
anisotropica, las ecuaciones para los enlaces de flujo pueden ser escritas en la forma matricial indicada
en (1), donde se ha separado la contribucion de los campos de dispersion, expresada en el ultimo termino de
la derecha:
abcfDQ
=
Laa Lab Lac Laf LaD LaQLba Lbb Lbc Lbf LbD LbQLca Lcb Lcc Lcf LcD LcQLfa Lfb Lfc Lff LfD 0
LDa LDb LDc LDf LDD 0
LQa LQb LQc 0 0 LQQ
iaibicifiDiQ
+
L1 0 0 0 0 0
0 L1 0 0 0 0
0 0 L1 0 0 0
0 0 0 Lf 0 0
0 0 0 0 LD 0
0 0 0 0 0 LQ
iaibicifiDiQ
(1)
donde
Enlace de flujo del devanado
i Corriente que circula por el devanado
L Inductancia mutua entre devanados y
L Inductancia de dispersion para el devanado (se indica 1 para cualquier devanado del estator)
Las inductancias mutuas que se observa en (1) son iguales entre ellas (por ejemplo LfD = LDf ), por lo que
en adelante se escribira solo una forma para ellas. Se reescribe (1) realizando una particion de matrices, para
identificar las porciones relacionadas exclusivamente con fases del estator, con devanados del rotor, y con
acoplamientos entre rotor y estator:
abcfDQ
=
Laa Lab Lca Lfa LDa LQaLab Lbb Lbc Lfb LDb LQbLca Lbc Lcc Lfc LDc LQcLfa Lfb Lfc Lff LfD 0
LDa LDb LDc LfD LDD 0
LQa LQb LQc 0 0 LQQ
iaibicifiDiQ
+
L1 0 0 0 0 0
0 L1 0 0 0 0
0 0 L1 0 0 0
0 0 0 Lf 0 0
0 0 0 0 LD 0
0 0 0 0 0 LQ
iaibicifiDiQ
(2)
La expresion compacta para (2) permite una notacion mas comoda para trabajar posteriormente con las
trasformaciones:
JJA 2011 1
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Maquinas Electricas I - ELI326
=
[sr
]=
[Lss LsrLtsr Lrr
]IsIr
]+
[Lss 03,303,3 Lrr
]IsIr
](3)
Donde las submatrices Lss, Lsr, Lrr, Lss y Lrr corresponden a la particion hecha en (2) y 03,3 es la matriz
nula de 3x3. Tambien se ha definido los vectores de corriente como sigue:
Is =
iaibic
Ir =ifiDiQ
(4)Para los enlaces de flujo vale una definicion analoga a (4). A continuacion se expresa explcitamente, cuando
corresponda, la dependencia del angulo (posicion del rotor) en las submatrices del sistema (3):
Lss =
L1 + L2 cos 2 L12 + L2 cos
(2 23
)L12 + L2 cos
(2 + 23
)L12 + L2 cos
(2 23
)L1 + L2 cos
(2 + 23
)L12 + L2 cos 2
L12 + L2 cos(2 + 23
)L12 + L2 cos 2 L1 + L2 cos
(2 23
)
(5)
Lsr =
L1f cos L1D cos L1Q sin
L1f cos( 23
)L1D cos
( 23
)L1Q sin
( 23
)L1f cos
( + 23
)L1D cos
( + 23
)L1Q sin
( + 23
)
(6)
Recuerdese la matriz T de transformacion no normalizada de las componentes simetricas y su inversa
T =
1 1 1a2 a 1a a2 1
T1 = 13
1 a a21 a2 a1 1 1
(7)donde a = ej
23 . Sea ahora la matriz P de dimension 6x6
P =
[T1 03,303,3 I3
](8)
donde I3 es la matriz identidad de 3x3. Al premultiplicar por P ambos lados de (3), resulta
P =
[T1sr
]=
[T1Lss T
1LsrLtsr Lrr
]IsIr
]+
[T1Lss 03,3
03,3 Lrr
]IsIr
](9)
que puede ser convenientemente expresada segun
P =
[T1sr
]=
[T1LssT T
1LsrLtsrT Lrr
]T1IsIr
]+
[T1LssT 03,3
03,3 Lrr
]T1IsIr
](10)
o bien
P =
[120r
]=
[T1LssT T
1LsrLtsrT Lrr
]I120Ir
]+
[T1LssT 03,3
03,3 Lrr
]I120Ir
](11)
donde
JJA 2011 2
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Maquinas Electricas I - ELI326
I120 = T1Is =
i1i2i0
= T1iaibic
120 = T1s =120
= T1abc
(12)Las corrientes i1, i2 e i0 son las componentes simetricas de los valores instantaneos de secuencia positiva,
negativa y cero, respectivamente. Una identica definicion vale para los enlaces de flujo. Al considerar (7)
y (12) se deduce trivialmente que
i1 =1
3
(ia + aib + a
2ic)
(13)
i2 =1
3
(ia + a
2ib + aic)
(14)
i0 =1
3(ia + ib + ic) (15)
Del examen de (13) y (14) y, recordando que las corrientes de fase son escalares, se deduce que i2 = i1.
Por otro lado, una conexion del devanado del estator en estrella sin neutro implica que ia + ib + ic = 0,
lo que lleva a que, segun (15), la componente de secuencia cero i0 = 0. Se aprecia entonces que, desde el
punto de vista de las corrientes, se ha producido una notable simplificacion con relacion al conjunto de
variables necesarias para describir al estator: el sistema i1, i2 e i0 reproduce en conjunto el comportamiento
del sistema ia, ib e ic, sin embargo, considerando lo expuesto, basta con conocer solo la componente de
secuencia positiva (o negativa) para conocer todo el resto del sistema de componentes de secuencia y, por
lo tanto el comportamiento completo de las corrientes de estator. En otras palabras, el comportamiento de
las corrientes de estator puede ser descrito por una unica variable compleja. Por lo general se trabajara con
la componente de secuencia positiva i1, la cual, como se vera en el texto gua, esta ntimamente ligada al
concepto de fasor espacial de la corriente de estator.
Para los enlaces de flujo 1, 2 y 0, componentes de 120 en (11), valen expresiones similares a (13)(15).
2. Desarrollo de las transformaciones de submatrices
Se desarrolla a continuacion las transformaciones y multiplicaciones de matrices que aparecen en (11).
La matriz Lss presentada en (5) se puede escribir como la suma de dos matrices. Se agrupa los terminos
constantes en una de ellas y los terminos dependientes de en la otra:
Lss = LssL1 + LssL2 =
L1 L12
L12
L12 L1 L12
L12 L12 L1
LssL1
+
L2 cos 2 L2 cos
(2 23
)L2 cos
(2 + 23
)L2 cos
(2 23
)L2 cos
(2 + 23
)L2 cos 2
L2 cos(2 + 23
)L2 cos 2 L2 cos
(2 23
)
LssL2
(16)
Cabe mencionar que con rotor isotropico la matriz LssL2 es nula. La transformacion de Lss indicada en (11)
se puede escribir como
L120 = T1LssT
= T1LssL1T+ T1LssL2T = L120L1 + L120L2 =
32L1 0 00 32L1 00 0 0
L120L1
+
0 32L2ej2 032L2e
j2 0 0
0 0 0
L120L2
(17)
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Maquinas Electricas I - ELI326
con L120 la matriz transformada. Se aprecia que LssL1 es diagonalizada mediante la transformacion anterior
y, en forma particular, se observa que el parametro correspondiente a la secuencia cero se anula. LssL1 es la
matriz que describe los acoplamientos entre fases en una maquina asincronica o en una maquina sincronica de
rotor cilndrico. La transformacion de LssL2 no presenta una estructura diagonal, pero es importante hacer
la siguiente observacion: La estructura de L120L2 indica que existira un acoplamiento entre las secuencias
positiva y negativa. Sin embargo, como se observo anteriormente que las corrientes de secuencia negativa no
son mas que los conjugados de las de secuencia positiva, tal acoplamiento es solo aparente. La ecuacion para
la secuencia positiva, por tanto, puede reducirse a una que contenga solo variables de esta misma secuencia.
En (11) tambien puede observarse los productos T1Lsr y LtsrT, que son desarrollados a continuacion:
T1Lsr = L120x =
L1f2 e
j L1D2 e
j jL1Q2 e
j
L1f2 e
j L1D2 e
j j L1Q2 ej
0 0 0
(18)
LtsrT = L120y =
32L1fe
j 32L1fe
j 0
32L1De
j 32L1De
j 0
j 32L1Qej j 32L1Qe
j 0
(19)
Las matrices L120x y L120y representan el acoplamiento entre las componentes de secuencia del estator y las
variables del rotor. Se aprecia de (18) y (19), considerando el sistema (11), que no hay acoplamiento entre
los devanados del rotor y la componente de secuencia cero del estator.
Por otro lado, puede demostrarse trivialmente que la ultima transformacion de matriz que se observa en (11),
T1LssT, arroja como resultado la matriz original Lss, debido a que ella ya es diagonal.
3. Sistema de ecuaciones resultante
Al exponer los resultados de las secciones anteriores en forma matricial se obtiene:
1
2
0
f
D
Q
=
L1 +32L1
32L2e
j2 0L1f2 e
j L1D2 e
j jL1Q2 e
j
32L2e
j2 L1 +32L1 0
L1f2 e
j L1D2 e
j j L1Q2 ej
0 0 L1 0 0 0
32L1fe
j 32L1fe
j 0 Lf + Lff LfD 0
32L1De
j 32L1De
j 0 LfD LD + LDD 0
j 32L1Qej j 32L1Qe
j 0 0 0 LQ + LQQ
i1
i2
i0
if
iD
iQ
(20)
Para lo que sigue es conveniente reordenar el sistema (20):
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0
1
2
f
D
Q
=
L1 0 0 0 0 0
0 L1 +32L1
32L2e
j2 L1f2 e
j L1D2 e
j jL1Q2 e
j
0 32L2ej2 L1 +
32L1
L1f2 e
j L1D2 e
j j L1Q2 ej
0 32L1fej 3
2L1fej Lf + Lff LfD 0
0 32L1Dej 3
2L1Dej LfD LD + LDD 0
0 j 32L1Qej j 32L1Qe
j 0 0 LQ + LQQ
i0
i1
i2
if
iD
iQ
(21)
Se observa que la tercera ecuacion del sistema (21) (ecuacion para la secuencia negativa) se obtiene con-
jugando la segunda (secuencia positiva), es decir, no aporta nueva informacion para la descripcion de la
maquina. Se aprecia tambien que, en caso de existir corriente de secuencia cero, esta solo produce campos de
dispersion (0 = L1i0). Empero, si la maquina esta conectada en estrella sin neutro, esta corriente es nula.
Segun lo mencionado, solo es necesaria la componente de secuencia positiva de los valores instantaneos para
obtener una descripcion completa del estator de la maquina, es decir, esta unica cantidad compleja resume el
comportamiento de las variables de tres fases acopladas, observacion en extremo importante desde el punto
de vista analtico.
Al considerar lo expuesto en el parrafo anterior, se escribe en forma desarrollada la ecuacion matricial (21)
sin incluir la secuencia negativa:
0 = L1i0 (22)
1 = (L1 +3
2L1)i1 +
3
2L2i
1e
j2 +1
2(L1f if + L1DiD + jL1QiQ)e
j (23)
f =3
2L1f i1e
j +3
2L1f i
1e
j + (Lf + Lff )if + LfDiD (24)
D =3
2L1D i1e
j +3
2L1D i
1e
j + LfDif + (LD + LDD)iD (25)
Q = j3
2L1Qi1e
j + j3
2L1Qi
1e
j + (LQ + LQQ)iQ (26)
Se aprecia que la representacion analtica de los enlaces de flujo se ha simplificado enormemente producto
de la transformacion aplicada sobre el sistema original (1). Sin embargo, esta representacion puede ser
simplificada aun en mayor medida. Se volvera a estas ecuaciones cuando se introduzca formalmente la idea
de fasor espacial, el cual esta relacionado directamente con la componente de secuencia positiva mas bien
podra decirse que esta ultima puede reinterpretarse como aquel.
En el sistema (22)(26) se aprecia que, mientras el enlace de flujo de secuencia positiva del estator 1 esta re-
ferido a un sistema de referencia fijo al estator, los enlaces f , D y Q estan referidos a un sistema de
referencia fijo al rotor. La misma observacion vale para las corrientes. Mas adelante se referira todas las va-
riables a un sistema de referencia comun, lo que traera consigo la desaparicion o enmascaramiento de las
funciones exponenciales en las ecuaciones, obteniendose finalmente un sistema de ecuaciones muy compacto
y de facil lectura. Se aprecia, entonces, que la aparente dificultad analtica introducida por el tratamiento
va componentes simetricas de los valores instantaneos permite, sin embargo, una notable simplificacion del
sistema original, lo que traera ventajas a la hora de estudiar el comportamiento de la maquina tanto en
estado transitorio como estacionario.
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