MApli 06 Ecuac Lineal

7/30/2019 MApli 06 Ecuac Lineal

1/17

16/11/12

1

Ecuaciones

EvelynDelPezoIzaguirre,Msig.

Ecuaciones

EDCOM-ESPOL

2

Unaecuacinesunaexpresin:

Establece un planteamiento posible de verificarse, el mismo que es unaigualdad.

Sisedaunplanteamientodondeenlugardelsignoigualestnlosderelacin,entoncesesunaINECUACIN:

4x+5 = 23

2

5x+3= 4 9

x+ 4 > 6


2/17

16/11/12

2

Ecuaciones

EDCOM-ESPOL

3

4x+5=2-3Paraestecaso,conHeneunavariable(letraX),lamismaquedebedespejarsepara saber que valor puede tomar, de tal menara que al reemplazarla en laecuacin,laigualdadsecumpla.Pasosaseguir:1. Agrupartrminossemejantesacadalado(laxaunladodelaecuacinylos

losnmerosenelotro.)2. A medida que cambie un trmino al lado contrario del signo igual, este

cambia,porejemplo:

SiesposiHvopasaalladocontrariocomonegaHvoyviceversa

SimulHplicapasaalladocontrariocomodivisin,yviceversa.

Ecuaciones

EDCOM-ESPOL

4

Elejercicioquedara:

4x+5=2-3 (laxalaizquierdaylosnmerosaladerecha)

4x=2-3-5

4x=-6

x=-6/4

x=-3/2


3/17

16/11/12

3

Ecuacioneslineales

EDCOM-ESPOL

5

Sellamanecuacioneslinealesalasexpresiones

ax+b=0 (laxalaizquierdaylosnmerosaladerecha)

aybsonconstantes

aesdiferentedecero

Una ecuacionLINEALselaconocetambincomogrado1,yaquelapotenciamsaltadesuvariableeslaunidad.

Propiedadesdelasumayresta

Seulizapararesolverecuacionesdelaforma

x+a=b x-a=b

x=ba x=b+a

Eslaqueaplicamosalmomentodehacerelpasodetrminosaladoscontrariosdelaigualdadodesigualdad.

EstapropiedaduHlizalosinversosadiHvosonegaHvossegnconvenga,quesonlosnmeroscontrariosaldado,detalmaneraquealescribirlosaambosladosdelaecuacin,estanosealtera.

InversonegaHvode4es-4

6

EDCOM-ESPOL


4/17

16/11/12

4

Propiedadesdelasumayresta

x+2=5

x+2-2=5-2

X=52

X=3

7

paraquenosealterelaecuacinalinsertarel

inverso negavo que es - 2 lo escribo en

amboslados,yluegoreduzco

x-8=19

x-8+8=19+8

x=198

x=11

P a ra e st e e je mp l o

u li z o e l i n v e rs o

adivoquees+8

EDCOM-ESPOL

Propiedadesdelamultiplicacinydivisin

Seulizapararesolverecuacionesdelaforma

EscuandoidenHficolosrecprocosdeunnmero.

Unnmeroesrecprocodeotrosisuproductoes1. CEROnoHenerecprocoElrecprocoesequivalenteadecirelinversomulplicavo

8

x a = b

x =b

a

x

a= b

x = b a

4 1

4=

4

4=1

EDCOM-ESPOL


5/17


6/17

16/11/12

6

Otraformadepresentarlasecuaciones

En cualquier aspecto de nuestra vida prcHca nos podemos encontrar conecuaciones,taleselcasode:

SedeseareparHr$4.545entretrespersonas,demaneraquelaprimerarecibaelduplodelasegundaylaterceraeltriplodelaprimera.Cuntocorresponderacadauna.

EDCOM-ESPOL

13

Persona#1:2xPersona#2:xPersona#3:6x

2x+x+6x=45459x=4545x=4545/9

x=505

Persona#1:2(505)=$1.010Persona#2:505=$505Persona#3:6(505)=$3.030

Ecuacionescon2variables

EDCOM-ESPOL

14

EntreAyBHenen$84.SiApierde$16yBgana$20,ambosHenenlomismo.CuntoHenecadauno.

Observe que los planteamientos estn dados en funcin de otra ecuacin,cuandoesasreemplazamosunadentrodeotra.

PersonaA:A-16PersonaB:B+20

A-16=B+20

84B-16=B+20-B-B=20+16-84-2B=20+16-84

-2B=-48B=24

ParaobtenerA,simplementereemplazovalores:

A+24=84A=84-24

A=60

AmbosHenenlomismo: A-16=B+20Luegonosdicen: A+B=84

DespejandoAquedara: A=84-B


7/17

16/11/12

7

RaznoRelacin

EsunacomparacinentredoscanHdadesqueseobHenendedosmaneras:

RestandoambascanHdadesRaznARITMTICAyseescribe

a-b a.b

DividiendoambascanHdadesRaznGEOMTRICAyseescribe: a:ba%b

IndisHntamentedelHposeleeaesab

Endondeaeselantecedente,beselconsecuente,ambossonlostrminosdelarazn

19

a

b

EDCOM-ESPOL

Consideraciones

CuandonoseespecificalaraznsesobrenHendequeesgeomtrica. Lascomparacionespormediodeunaraznsehacenenunidadesdelmismo

Hpo. Por ejemplo, para expresar la relacin entre 6 m y 30 cm ambascanHdades deben expresarse en la misma unidad. Entonces, la forma

apropiadaparaestarelacines600cm:30cm,no6m:30cm.

EDCOM-ESPOL

20


8/17

16/11/12

8

RaznGeomtrica

La razn geomtrica o razn por cociente, se obHene dividiendo ambasvalores, sinembargoportemade facilitar lainterpretacin,se sugieresesimplifiquehastaobtenersumnimaexpresin.ElresultadoindicalasvecesqueunacanHdadconHeneaotra,oestcontenidaenotra.

RaznGeomtrica:

Dacomoresultado25,porque4vecesestcontenidoel25en100

21

100

4= 25

EDCOM-ESPOL

EjemplosdeRaznGeomtrica

Unapersonaquehatomadouncursorpidodelecturalee400palabrasporminuto,mientrasqueunlectornormallee250.

Laraznsera:400:250

Simplificandoobtenemos:

Interpretandoresultadossera: lapersona quetomel curso delectura rpidalee8palabrasporminutoenrelacinalnormalquelee5

22

400

250

400

250=

8

5

EDCOM-ESPOL


9/17

16/11/12

9

23

JuanharunprstamoyrevisandosuscuentasobservaqueHenecomocapital$100,sinembargosusdeudasasciendena$40.Aplicandolaraznsera:Interpretandolosresultados: Porcada$2quedebeJuan,

Hene$5dlarespararesponder

100

40=

5

2

EDCOM-ESPOL

Proporcin

Eslaigualdaddedosrazones.

a:b=c:d

Queselee"aesabcomocesad

24

a

b=

c

d

medios

extremos

EDCOM-ESPOL


10/17

16/11/12

10

PropiedadfundamentaldelaProporcin

EnunaproporcinsecumpleSIEMPREqueelproductodelosextremos(ayd)esigualaldelosmedios(byc).

25

400

250=

8

5

4012

= 103

Recuerdan que se mencion SIMPLIFICAR a DIVIDIR por facilidad de interpretacin deresultados, pues esa simplificacin nos lleva a obtener fcilmente la proporcin y alcumplimientodeestapropiedad.

EDCOM-ESPOL

ProporcinDirecta

Dosvariablesestnenproporcionalidaddirectasisucocientepermanececonstante:

26

x

y= k

20

4= 5

30

6= 5

Sidivido20para4suresultadoes5

IncrementandolamitaddesuvaloraXyY,tendremos:

EDCOM-ESPOL

SisuproporcinseincrementaequitaHvamenteenXyY,seguirdando5comococienteoresultado.


11/17

16/11/12

11

ProporcinDirecta:Ejercicioaplicado(1de2)

EDCOM-ESPOL

27

Uncarroconsumeen16km1galndegasolina,cuntosgalonesconsumirsiensuviajedeberecorrer240km? Establezcoelplanteamientocomounaecuacin,asignandounavariableal

valorquemepidenhallar

Analizo el Hpo de cada proporcin: cada relacin dada deben tener igualsigno

16km

240km

1galn

x

Amenoskilmetrosderecorrido,menosgalonesconsumo;Amskilmetros,deberconsumirmsgasolina.

km

+km=

galones

+galones

EDCOM-ESPOL

28

Uncarroconsumeen16km1galndegasolina,cuntosgalonesconsumirsiensuviajedeberecorrer240km?MulHplicoendiagonaltrminosopuestos(kmygalones)yluegodividoparaelelementosobrantequemepermiHrsimplificartrminoscomunes(km)

x =1galn 240km

16km=15galones

EstoesloqueconocemoscomounaREGLADE3SIMPLEDIRECTA

16km

240km

1galn

x

ProporcinDirecta:Ejercicioaplicado(2de2)


12/17

16/11/12

12

ProporcinDirecta:conceptoversusejercicioaplicado

EDCOM-ESPOL

29

Siloanalizamosenfuncinalconcepto,elvalordesucocienteesconstanteenlarelacin:

16

1=16

240

15=16

x

y= k

16km

1galn

=

240km

15galones

ProporcinIndirecta

Dosvariablesestnenproporcionalidadindirectasisuproductopermanececonstante:

30

x y = k

35=15

3, 75 4 =15

SimulHplico3*5suresultadoes15

SiincrementoenXel25%desuvalorydisminuyoen Y el 20% de su valor, seguir dando 15 comoproductoresultante

EDCOM-ESPOL


13/17

16/11/12

13

ProporcinIndirecta:Ejercicioaplicado(1de2)

EDCOM-ESPOL

31

Unacasademora en construirse 16 semanas trabajando 10 personas,cuntodemorarn15personasenhacerla Establezcoelplanteamientocomounaecuacin,asignandounavariableal

valorquemepidenhallar

Analizo el Hpo de cada proporcin: cadarelacin dada deben tener signoscontrarios

10personas

15personas

16semanas

x

Mientrasmenospersonastrabajen,sedemorarnmsHempo;Siseincrementaelnmerodepersonasenlaobra,elHempodisminuir.

personas

+personas

+semanas

semanas

EDCOM-ESPOL

32

Unacasademora en construirse 16 semanas trabajando 10 personas,cuntodemorarn15personasenhacerla

MulHplico horizontalmente trminos opuestos (personas y semanas) y luegodivido para el elemento diagonal sobrante que me permiHr simplificartrminoscomunes(personas)

x =10semanas 16personas

15personas=10,66semanas

EstoesloqueconocemoscomounaREGLADE3SIMPLEINDIRECTA

10personas

15personas

16semanas

x

personas

+personas

+semanas

semanas

ProporcinIndirecta:Ejercicioaplicado(2de2)


14/17

16/11/12

14

PorporcinIndirecta:ConceptoversusEjercicioaplicado

EDCOM-ESPOL

33

Siloanalizamosenfuncinalconcepto,elvalordesusproductosesconstanteenlarelacin:

10 16 =160 1510,66 =160

x y = k

10personas

15personas

16semanas

10,66semanas

10personas

16semanas

15personas

10,66semanasEscribiendolarazn,finalmentequedara:

Ecuacionesde2do.grado

Esunaecuacinquepuedeserescritaenlaforma.

ax2+bx+c=0

Dondea,bycsonnmeroreales aybsonloscoeficientesdex2yxrespecHvamente ceseltrminoindependiente

5x2+13x+6=0

EDCOM-ESPOL

36


15/17

16/11/12

15

Ecuacionesde2do.grado

ax2+bx+c=0

PararesolverestasecuacionestenemosdosalternaHvas:

Factorizacin RazcuadrHca

EDCOM-ESPOL

37

ResolucinporFactorizacin

Dadoelejercicio:

x2+x-12=0

(x+4)(x-3)=0

Siemprequeunproductodedosomsnmerosseacero,entonces,almenosunodelosnmerosHenequesercero.

x3=0;x+4=0

x=3;x=-4

EDCOM-ESPOL

38


16/17

16/11/12

16

ResolucinporEcuacinCuadrtica

LaecuacincuadrHcapermiteresolverCUALQUIERecuacinde2dogrado:

Laexpresindentrodelsignoderazcuadrada,sellamadiscriminante,elmismo

Henelassiguientesconsideraciones:

EDCOM-ESPOL

39

x =b b

24ac

2a

b2-4ac NmerodeSoluciones

PosiHvo DossolucionesrealesdisHntas

0 Unanicasolucin

NegaHvo NoHenesolucionesreales

EDCOM-ESPOL

40

4

5

8

102

38

241

8

717

8

4917

8

24028917

)4(2

)15)(4(4)17()17( 2

==

==

=

=

=

=

x

x

x

x

x

Resolver4x2-17x+15=0,dondea=4,b=-17yc=15

x =b b

24ac

2a


17/17

16/11/12

17

EDCOM-ESPOL

41

x=

(13) (13)24(5)(6)

2(5)

x=

(13) (13)24(30)

2(5)

x=

(13) 169+120

2(5)= x=

13 289

10

x= 1317

10

x1=4

10=

2

5

x2 =30

10= 3

Resolver5x2+13x+6=0,dondea=5;b=13;c=6

x =b b

24ac

2a

MApli 06 Ecuac Lineal

Documents

Transcript of MApli 06 Ecuac Lineal