Ecuac tres momentos

Análisis EstructuralAnálisis Estructural

______________________________________________________________________________Universidad César Vallejo

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Civil

Tema 5 - Deflexión en Vigas

Tema 5

Deflexión en vigas

Ecuación diferencial de la elástica

Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica

Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

Donde ‘’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).



IExM

)(1

(5.1.1)

Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:



23

2

2

2

1

1

dxdy

dxyd

2

2

dxyd

dxdy Corresponde a la primera

derivada de la función

Corresponde a la segunda derivada de la función

(5.1.2)


Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.



IExM

dxyd

)(12

2

(5.1.3)


Método de Doble Integración

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 – Método de Doble Integración

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.



Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:



IExM

dxyd

)(2

2

10

)( CdxxMdxdyIE

x

(5.1.3)

(5.2.1)

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 2 - Método de Doble Integración

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante.

Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:



)(tgdxdy

10

)( CdxxMdxdyIE

x

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

(5.2.1)

(5.2.2)


Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.



x x

CdxCdxxMxyIE0

20

1)()( (5.2.3)


En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:



Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:

x = LA → y = 0

Y, debido al apoyo en ‘B’ :

x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’ :

x = LA → y = 0

x = LA → = 0


Método de Área de Momento

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 3 - Método de Area de Mometo

El método de área-momento proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga.

La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y momentos concentrados.

El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector.______________________________________________________________________________

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La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.



Puede observarse que ‘B/A’ es el ángulo que forma la tangente que pasa por el punto ‘B’ respecto a la que pasa por ‘A’. De forma análoga se define el ángulo ‘A/B’. Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario.

Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos plantear la ecuación de la elástica de la forma:

IExM

dxd

dxdy

dxd

)( (5.3.1)


Si integramos la expresión anterior, obtenemos:

Planteando que:

Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:



B

A

B

A

x

x

dxIExMd )(

ABAB /

B

A

x

xAB dx

IExM )(

/

(5.3.2)

(5.3.3)

(5.3.4)


Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento:



B

A

x

xAB dx

IExM )(

/

“El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’ entre esos dos puntos”

(5.3.5)


Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproximación:

Donde ‘d’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la distancia medida desde el punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘d’ queda:




dxdt (5.3.6)

dxIExMxdt

)(

(5.3.7)

Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:

Lo cual puede rescribirse de la forma:

Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existe entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’.




B

A

x

xBA dx

IExMxt )(

/(5.3.8)

B

A

x

xABA dx

IExMxt )(

/(5.3.9)

La ecuación 5.3.9 supone la base del segundo teorema de área momento:

“La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Este momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la desviación vertical ‘tA/B’ ”.




De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’ respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir:

Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).




A

B

x

xBAB dx

IExMxt )(

/ (5.3.9)

Tema 5 - Deflexión en vigasSección 4 - Método de Tres Momentos

VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

1. INTRODUCCIÓNEl equilibrio es un requisito principal a satisfacerse; por lo tanto un análisis debe conducir a un conjunto de reacciones y fuerzas internas que satisface las condiciones de equilibrio estático. Si estas ecuaciones son suficientes para el análisis la estructura es estáticamente determinada. Por el contrario si existen más componentes reactivas independientes o fuerzas de miembros internas que pueden determinarse a partir de la aplicación de las ecuaciones de equilibrio, entonces la estructura será estáticamente indeterminada. Esto no implicará que no exista una solución al problema de análisis. En tanto la estructura sea estable, existirá una solución; sin embargo las condiciones de equilibrio son insuficientes para completar la solución.





2. GRADOS DE INDETERMINACIÓNPara el desarrollo de todas las vigas hiperestáticas todos los criterios que se van a desarrollar implican una comparación entre el número de magnitudes de fuerzas independientes desconocidas y el número de ecuaciones independientes de equilibrio que están disponibles para la solución de incógnitas. Los criterios siempre toman la forma siguiente:

Si hay más ecuaciones que incógnitas, la estructura es estáticamente inestable.Si hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la estructura es estáticamente determinada.Si hay menor número de ecuaciones que de incógnitas, la estructura es estáticamente indeterminada.





El grado de determinación exterior es igual al número de componentes reactivas que están disponibles en exceso del número requerido para la estabilidad exterior. Estas componentes reactivas se llaman redundantes debido a que no son necesarias para la estabilidad de la estructura.

El grado de indeterminación interior se da por el número de componentes de fuerzas interiores que están presentes en exceso de las que se necesitan para la estabilidad interna. También se les llama redundantes por que no se requiere para una estructura estable.




VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS3. VIGAS CONTINUAS

Son vigas indeterminadas o hiperestáticas que tienen en sus extremos apoyos simples e internamente uno o más apoyos.Una ventaja de estos tipos de estructuras es que proporcionan mayor rigidez para resistir cargas que una estructura estáticamente determinada comparable.Otra ventaja es que tendrá menores intensidades de esfuerzos que una estructura estáticamente determinada comparable.



Método de Tres Momentos


Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones.

En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas.




Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura.

Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (‘1’, ‘2’ y ‘3’), donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las que están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadas sobre los tramos ‘L12’ y ‘L23’.______________________________________________________________________________




Se tendría entonces:

Note que los momentos flectores (‘M1’, ‘M2’, ‘M3’) se han dispuesto en su sentido positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes ‘V2i’ y ‘V2d’ no son necesariamente iguales; depende de la condición de apoyo ó carga que exista en el punto ‘2’.______________________________________________________________________________




Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En el caso mostrado, se ha asumido que ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.




Ahora, observemos una representación exagerada de la curva elástica entre los puntos 1 y 3. Puede notarse que se cumple la relación de triángulos:



23

32/3

12

2/11

Lht

Lth

(5.4.1)


Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha asumido ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.




Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexión de los puntos ‘1’ y ‘3’ respecto a la tangente que pasa por ‘2’:



2

1

)(12/1

x

x

dxIExMxt

(5.4.2)

2

3

)(12/3

x

x

dxIExMxt

11212122121212/1 3

221

31

211 xALLMLLM

IEt

32323233232322/3 3

121

32

211 xALLMLLM

IEt (5.4.3)


Finalmente, al sustituir ‘t1/2’ y ‘t3/2’ en la ecuación 5.4.1, se obtiene:

Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentos flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres momentos.

Si los puntos ‘1’, ‘2’ y ‘3’ están al mismo nivel en la viga flexionada, los términos ‘h1’ y ‘h3’ se anulan, con lo cual el miembro derecho de la ecuación se hace cero.______________________________________________________________________________



23

323

12

11223323122121

66)(2LxA

LxALMLLMLM

(5.4.4)

23

3

12

16Lh

LhIE


Consideramos los momentos interiores en los (m-1) puntos de apoyo como las redundantes




Ejemplo: Para la viga mostrada:

Encontrar las reacciones externas de los apoyos.Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flectorLa ubicación de los momentos máximos y los puntos de inflexión.




Solución: Empleando el método de tres momentos:Consideremos los tramos que corresponden a los apoyos 1,2 y 3 como se muestra en la figura:




A continuación separemos los elementos, de tal forma que cada tramo se analice como una viga simplemente apoyado

A partir de estas vigas calcularemos el valor de los giros en los extremos de cada apoyo.Para el primer elemento emplearemos el método de área de momento.Calculamos las reacciones externas y trazamos los diagramas de momentos por partes y emplearemos la fórmula general para calcular el desplazamiento indicado.




Para el segundo elemento se calculará el giro de los apoyos haciendo uso de tablas:




Tarea:En la viga mostrada determinar el valor de las reacciones externas, los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes.



Ecuac tres momentos

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