UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BAJA CALIFORNIA

CENTRO DE INGENIERIA Y TECNOLOGIA (CITEC)

Unidad Valle de las Palmas

TÓPICOS SELECTOS DE MATEMÁTICAS

ELABORADO POR:

Alberto Hernández Maldonado

Edgar Armando Chávez Moreno

Eduardo Antonio Murillo Bracamontes

Luis Ramón Siero González

TIJUANA, B. C. CICLO 2011-1

1

TÓPICOS SELECTOS DE MATEMÁTICAS

Contenido General: Elementos básicos de Algebra, Trigonometría y Geometría

Analítica.

Objetivo: Reafirmar los conocimientos matemáticos básicos de los estudiantes de

nuevo ingreso en el CITEC, para facilitar su introducción a los cursos de nivel superior

que requieran Matemáticas.

Misión del curso: Aumentar el número de estudiantes de nuevo ingreso que cuentan

con habilidades matemáticas básicas, las cuales fundamentaran el trabajo académico

durante su formación profesional, propiciando una mejor asimilación de la información

proporcionada en los contenidos de las materias cursadas y en actividades académicas

colaterales.

Visión del curso: Influir positivamente en la elevación de porcentaje de permanencia en

la carrera y el índice de egreso de las carreras que ofrecen el CITEC, así como

incrementar la calidad académica de sus egresados.

2

I N T R O D U C C I Ó N

IMPORTANCIA DE ESTE CURSO

Nuestra institución ofrece carreras que están muy vinculadas al desarrollo económico

de la localidad. De modo que están estrechamente relacionadas con la Ciencia y la

Tecnología, tanto por el lado de la aplicación, implementación, diseño e innovación

de equipo y procesos industriales.

Todas las Ingenierías que se ofrecen en el CITEC implican la formación de

profesionistas que requieren habilidades para el manejo y aplicación de las

matemáticas, de acuerdo a cada especialidad. Así pues, dada la orientación de cada

carrera, el estudio de las Matemáticas para todos los estudiantes del CITEC resulta

necesario, importante e ineludible.

En particular, las carreras de Ingeniería se sustentan principalmente en tres pilares

que corresponden a las llamadas Ciencias Básicas: por un lado, las Matemáticas

como materia común a todas; por el otro, la Física y la Química en diferentes

contribuciones de acuerdo a la especialización de cada Ingeniería. Pero

invariablemente las tres siempre están presentes. Esto se debe a que estas tres

asignaturas describen los procesos naturales a cuya aplicación e innovación

tecnológica se dedicarán los futuros ingenieros.

La Física y la Química nos describen procesos inmediatos y vitales relacionados con

la materia y la energía, los únicos dos componentes que conforman el universo.

Hasta donde se conoce, en el espacio en que vivimos no existe nada que no pueda

catalogarse en lo uno o lo otro o ambos.

Por lo tanto, un buen ingeniero debe comprender las leyes de la naturaleza, que se

cumplen invariablemente, para conocer el rango de operación, manipulación y

limitaciones naturales de sus proyectos, evaluar requerimientos materiales y

energéticos, así como para ser capaz de prever resultados posibles.

En todo ello, las Matemáticas, ciencia que estudia las cantidades, sus relaciones y

sus propiedades, resultan ineludibles: un buen ingeniero no sólo debe conocer las

leyes naturales que aplicará, sino también debe saber medir y calcular correctamente.

De hacerlo mal, sea cual sea su especialización, resulta un mal ingeniero y en tal caso

no se alcanza el objetivo del proceso educativo tecnológico. Lo que es peor, un

ingeniero deficientemente formado es un fracaso social, cultural y económico, no

sólo para él sino para toda la sociedad. Pero en primera instancia para él mismo.

Se justifica entonces que en el CITEC todas las carreras de Ingeniería contemplen en

su retícula Matemáticas, todas con el mismo plan de estudios para todas las

Ingenierías, además de otros cursos de Matemáticas, como Probabilidad y

Estadística, y otras asignaturas de cada Ingeniería en particular que también requieren

el uso de las Matemáticas.

El énfasis especial es en las materias de Física y Química, los otros dos pilares de las

Ingenierías. Una mala preparación en Matemáticas inhabilita a los estudiantes a

captar más allá de los conceptos básicos y prácticamente los hace incapaces de

3

dominar las leyes fundamentales que rigen los procesos naturales, en los que se

involucran los elementos de trabajo de un ingeniero: materia y energía.

Puede comprenderse, por tanto, que los estudiantes que optan por carreras de

Ingeniería deben tener habilidades matemáticas. Si no es el caso, deben estar

dispuestos a colaborar en el desarrollo de dichas habilidades.

Si el estudiante entiende esto, comprenderán que tienen en sus propias manos, en su

ánimo y en su buena disposición para aprender, no sólo su éxito académico sino

también su futuro profesional y económico... y de paso, por sus posibles futuras

contribuciones a la tecnología mexicana.

La experiencia docente a nivel superior ha mostrado que los primeros semestres

resultan cruciales en el buen desempeño y desarrollo académico de los estudiantes

durante toda su carrera. En particular, y por la importancia que tiene para las

Ingenierías, el dominio de las Matemáticas es muy decisivo para el aprovechamiento

y éxito escolar.

Por otro lado, el conocimiento de un ingeniero se va dando estructuralmente. No se

aprenden disciplinas separadas, aunque por cuestiones de implementación práctica

así se presentan, sino que los contenidos de todas las materias se van entrelazando

entre sí para formar una sola estructura de conocimiento. Es en la mente del

estudiante donde se entrecruzan los conocimientos adquiridos durante su formación.

La madurez intelectual hace que se asimile el conocimiento como uno sólo. No se da

en una clase, en un día. Ni en un semestre. Se da a lo largo de toda la carrera

profesional. En todo ese proceso, las Matemáticas persisten. Y continúan presentes

en el desempeño de un Ingeniero.

Es importante tomar este curso en serio, de principio a fin. Es una buena oportunidad

de reafirmar grupalmente lo que se supone que debías saber y probablemente no lo

sabes, o lo que probablemente ya conocías y lo has olvidado. Y no es cualquier cosa:

es Matemáticas, la materia que incluyen por igual todas las Ingenierías. La habilidad

que debe desarrollar cualquier futuro ingeniero.

En este manual se pretende aclarar las dudas matemáticas que generalmente se

presentan en las materias básicas de los primeros semestres.

Finalmente, una observaciones importantes para tu desarrollo académico Haz las

cosas por ti mismo ¡te darás cuenta que no es lo mismo que verlas hacer! Sólo así

aprenderás.

¡BIENVENIDOS AL CITEC!

4

Índice

Tabla de contenido.

I N T R O D U C C I Ó N ................................................................................................. 2 1 ARITMÉTICA ......................................................................................................... 6

1.1 Simplificación de fracciones. ............................................................................. 6

1.2 Multiplicación de fracciones. ............................................................................. 7

1.3 División de fracciones. ...................................................................................... 8

1.4 Suma y resta de fracciones ................................................................................. 9

1.5 Mínimo común denominador (MCD) ................................................................ 9

2 ALGEBRA ............................................................................................................. 11

2.1 Nomenclatura. .................................................................................................. 11

2.2 Suma Algebraica. ............................................................................................. 13

2.3 Resta Algebraica. ............................................................................................ 14

2.4 Leyes de los Exponentes. ................................................................................. 15

2.5 Multiplicación Algebraica. .............................................................................. 17

2.6 Multiplicación de polinomio por polinomio. ................................................... 19

2.7 División Algebraica. ........................................................................................ 21

2.8 División de polinomio entre polinomio. .......................................................... 22

2.9 Despeje y sustitución algebraica. ..................................................................... 23

2.10 Productos Notables. ......................................................................................... 25

2.10.1 Producto de binomios conjugados. ........................................................... 27

2.11 Factorización. ................................................................................................... 28

2.11.1 Factor común. ........................................................................................... 28

2.11.2 Trinomio cuadrado perfecto (T. C. P.). .................................................... 29 2.11.3 Diferencia de cuadrados. .......................................................................... 30

2.11.4 Trinomio de segundo grado. ..................................................................... 31

2.12 Mínimo común múltiplo (M.C.M). .................................................................. 32

2.13 Suma de fracciones. ......................................................................................... 33

2.14 División y multiplicación de fracciones. ......................................................... 34

2.15 Radicales. ......................................................................................................... 35

2.16 Formula General .............................................................................................. 37

2.17 Funciones ......................................................................................................... 38

2.18 La función lineal .............................................................................................. 38

2.19 Ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas. ................................... 39

2.20 Fracciones parciales. ........................................................................................ 41

2.20.1 Caso I. Factores lineales distintos. ........................................................... 41 2.20.2 Caso II. Factores lineales repetidos .......................................................... 42 2.20.3 Caso III. Factores cuadráticos distintos .................................................... 43 2.20.4 Caso IV. Factores cuadráticos repetidos................................................... 44

2.21 Conversión de unidades ................................................................................... 46

3 TRIGONOMETRÍA ............................................................................................... 48

3.1 Teorema de Pitágoras ....................................................................................... 48

3.1.1 Distancia entre dos puntos del plano cartesiano. ...................................... 50

5

3.1.2 Funciones trigonométricas. ....................................................................... 51

3.2 Trigonometría .................................................................................................. 52

3.3 Formulas Trigonométricas ............................................................................... 58

3.4 El Alfabeto Griego ........................................................................................... 59

4 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................... 60 5 RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES ............................................. 60

6

1 ARITMÉTICA

1.1 Simplificación de fracciones.

Procedimiento.

Algunas ocasiones los números fraccionarios pueden simplificarse. Consideremos los

siguientes ejemplos,

2

1

)2)(2(

)2)(1(

4

2

El denominador y numerador tienen como factor común a 2, por lo tanto se puede

factorizar. Es importante aclarar que no se eliminan, más bien se utiliza la idea de

formar un 1 = 2/2, el cual es elemento neutro de la multiplicación.

11

6

1111

2311

1111

233

121

66

I) Simplifique las siguientes fracciones.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

7

1.2 Multiplicación de fracciones.

Procedimiento.

Contrario a lo que podríamos esperar es un poco más fácil las operaciones de

multiplicación y división.

Consideremos dos números fraccionarios aleatorios, por ejemplo, y ,

Ejemplo 1

De la misma manera para productos de 3 o más fracciones,

Ejemplo 2

I) Resuelva las siguientes multiplicaciones con fracciones y simplifique el

resultado.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

8

1.3 División de fracciones.

Procedimiento.

La forma más sencilla de realizar división de fracciones es hacer una multiplicación

cruzada, es decir, el numerador de la fracción resultante se encuentra multiplicando el

numerador del primer racional por el denominador del segundo término.

El denominador resultante es el producto del primer denominador por el segundo

numerador.

Ejemplo:

I) Resuelva las siguientes divisiones de fracciones y simplifique el

resultado.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

9

1.4 Suma y resta de fracciones

Procedimiento.

Ahora consideremos lo que sabemos de suma y resta y hagamos la siguiente operación,

Ejemplo:

Este sencillo procedimiento es útil para la suma y/o resta de dos fracciones, sin

embargo, es impráctica para la suma y/o resta de 3 o más fracciones, y a la larga

ineficiente. Para ello se obtiene el mínimo común denominador (MDM).

1.5 Mínimo común denominador (MCD)

Definición.

El mínimo común denominador (MCD) es aquel número divisible entre cada uno de los

denominadores, y además, entre todos los posibles denominadores es aquel de valor

más pequeño y además simplificara las operaciones.

Ejemplo.

Aquí el MCD es 20, ya que, es divisible entre 2, 5 y 10

El paso intermedio consiste en multiplicar el mínimo común denominar por cada uno de

las fracciones y sumar cada uno de los resultados.

10

I) Resuelva las siguientes sumas y restas de fracciones y simplifique el

resultado.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11

2 ALGEBRA

2.1 Nomenclatura.

Termino

332 cba

Coeficientes Base

Términos

Factores

Numerador

2

12a

a Fracción

Denominador

Potencia

)105)(42( ba

12

I. En los siguientes ejercicios, indicar :

1. El numero de factores

2. Los coeficientes

3. La potencia mayor de a y b

1. 01453 23 aba

2. )3(453 24

21 baaba

3. )3)(2()5)(12( 2532 babba

II. En los siguientes ejercicios, indicar:

1.El numero de factores

2.El numero de términos

3.Denominadores y numeradores

1. 53

)8)(15(32

2

a

bababa

2. 2

22

2

22 25

))()(( aba

babababa

3. acba

bacbaba 94)1)()()(5)(3( 22

13

2.2 Suma Algebraica.

Procedimiento.

Se suman únicamente los términos semejantes entre si (x con x, y con y, x2 con

x2, a

2b con a

2b, etc.), considerando los signos de cada termino y sus coeficientes.

- x es igual a (-1)x

Si no aparece otro semejante a algún termino, se le suma 0 y queda inalterado en

el resultado de la suma.

zyxzxzyx 23)2()432(

I) Resuelve las siguientes sumas algebraicas.

1. bababa 810)52()38(

2. )836()574( cbacba

3. )535()472( cbacba

4. )520()1318( baba

5. )654()236( cbacba

6. )278()85119( dcbadcba

7. )527()514( cbaba

8. )5()324()532( cbacbacba

9. )236()52()253( cbacbacba

10. )256()4273()254( dcbadcbacba

11. )423()272()345()538( cbacbacbacba

12. )322()3284()6829()2536( dcbadcbadcbadcba

13. )235()345()32()254( cbadcbdcadba

14. )267()536( 22 aaaa

15. )293()259()378( 222 aaaaaa

16. )24()42()353()232( 2222 aaaaaaaa

14

2.3 Resta Algebraica.

Procedimiento.

Se cambian los signos de la expresión algebraica que se va a restar.

cbacbacbacbacba 82324532)324()532(

I) Resuelve las siguientes operaciones.

1. )2524()536( dcbadba

2. )322()534( zyxzyx

3. )523()4523( pnmpnm

4. )623()2475( dcbadcba

5. )524()432( cbacba

6. )532()253( cbacba

7. )257()543( cbacba

8. )572()9116( cbacba

9. )2358()3579( dcbadcba

10. )5237()23211( dcbadcba

11. )532()854( cbacba

12. )323()254( cbacba

15

2.4 Leyes de los Exponentes.

1. Cuando se multiplican dos potencias de las misma base, los

exponentes se sumas.

nmnm xxx

2. Cuando se dividen dos potencias de la misma base, los

exponentes se restan. nm

n

m

xx

x

3. Cuando una potencia se eleva a otra potencia, los

exponentes se multiplican.

mnnm xx

4. El producto de dos a más factores elevados a una misma

potencia es igual al producto de los factores elevados, cada

uno, al exponente del producto.

nnn

yxxy

5. El cociente elevado a una potencia es igual a dividir el

numerador elevado a la potencia entre el denominador

elevado a la misma potencia. n

nn

y

x

y

x

I) Realiza las operaciones indicadas aplicando las leyes de los exponentes.

1. 532 ))(( xxx

2. ))()(( 243 aaa

3. )2)(2( 53 aa

4. )2)(3( 63 bb

5. )3)(2( 32 xx

6. 632 )( aa

7. 24 )(b

8. 35)(c

9. 43)2( a

10. 2)3( a

11. 6

42

3

2

b

a

b

a

12.

3

3

4

y

x

13.

4

5

3

d

c

14.

2

5

2

b

a

15.

5

2

32

c

ba

16

16. 3

5

8

cc

c

17. 2

5

a

a

18. b

b

2

4 2

19. 4

7

4

12

a

a

20. 3

5

2

10

x

x

21. 64232 )( baba

22. 332 )4( ba

23. 21

222 )2( cba

24. 553 )( zyx

25. 434 )3( ba

26.

4

3

22

z

yx

27. 2

321

29 zyx

28. 432

465

zyx

zyx

29.

2

2

324

9

5

ywx

wyx

17

2.5 Multiplicación Algebraica.

Monomio por monomio y monomio por polinomio.

1. Se multiplica el monomio por cada término en el polinomio, siguiendo la regla de

los signos para la multiplicación y las leyes de los exponentes.

ababaa 820)25)(4( 32

2. Los exponentes con igual base se suman y los coeficientes se multiplican. 3212 20)5)(4()5)(4( aaaa

3. Regla de los signos para la multiplicación:

)())((

)())((

)())((

)())((

Ej. 22 1616)4)(4( aaaa

216)4)(4( aaa

I. Resuelva las siguientes multiplicaciones de monomios por monomios

1. 26)3)(2( aaa

2. )3)(5( xx

3. )5)(2( 32 xx

4. )3)(6( 22 abba

5. )2)(3)(7( 32 aaa

6. )3)(4( 223 xaxa

7. )2)(6( 2 abcab

8. 2

6

5

3

2aa

9. 22

4

3)2( abba

10. 22

4

3)2( abba

11. baa 23

9

4

5

3

12. )2)(6( 332 abba

18

II. Resuelve las siguientes multiplicaciones de monomio por polinomio

1. aaaaaa 232 32)132(

2. )325(2 cbaa

3. )12( abab

4. )524(3 2 aaab

5. )32(5 a

6. zxyx

xyz 342

3

7. )10523(5

4 23 xxxx

8. )236(2 22323 abbababa

9. )234(8 cbaa

10. )342(7 2aaab

11. 2

121

321

3

2

27

3

2

3

3

2

w

yx

w

yxy

z

x=

12. xyzz

yx

z

yx

z

yx3

231

3

231

3

221

9

2

5

2

2

5

=

19

2.6 Multiplicación de polinomio por polinomio.

Procedimiento.

1. Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo

polinomio, siguiendo la regla de los signos de multiplicación y las leyes de los

exponentes.

2. Se suman los términos semejantes

Horizontalmente:

)5)(3()4)(3()5)(2()4)(2()54)(32( bbabbaaababa

= 22 1512108 bababa

= 22 15228 baba

NOTA: Es posible multiplicar de derecha a izquierda, como en aritmética, o de

izquierda a derecha para mantener el orden de los términos

I. Encuentra los productos indicados.

1. )72)(35( baba

2. )23)(56( baba

3. )234)(523( cbacba

4. )5732)(3( 23 aaaa

5. )857)(236( 22 aaaa

6. )32)(74( baba

7. )43)(58( baba

8. )25)(527( 22 bababa

9. )53)(978( 22 bababa

10. )56)(234( 2 aaa

20

11. )734)(253( 2222 babababa

12. )87)(10311( 2222 babababa

13. )23)(5739( 3223 bababbaa

14. )632)(8764( 223223 babababbaa

15. )2)(13( 222/1 babaa

16. xyzxyxyzyx 392232

1 22

17. 2

2

22

310523

yxzy

zx

y

z

y

zx

21

2.7 División Algebraica.

Procedimiento.

Para realizar las divisiones algebraicas, es necesario tomar en cuenta que:

1. Los coeficientes se dividen.

2. los exponentes se restan; el exponente resultante se anota en donde este el exponente

mayor.

3. Regla de los signos:

)()/()(

)()/()(

)()/()(

)()/()(

I) Efectúa las divisiones indicadas.

1. aaa

a2

3

6

3

6 122

2. ab

ba

5

10 2

3. 22

3

4

16

ba

ba

4. ab

ba

10

5 2

5. ba

ba2

34

12

4

6. ba

ab3

2

7

5

7. zyx

zyxzyx25

23344

16

328

8. zyx

xyzyx23

23

22

2.8 División de polinomio entre polinomio.

Procedimiento.

1. Se ordena el dividendo y el divisor, según las potencias descendentes de una

misma literal.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y el

resultado es el primer término del cociente. Se multiplica todo el divisor por este

término y se resta el producto obtenido del dividendo.

3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el

proceso del paso 2 para obtener el segundo término del cociente.

4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior

que el del divisor.

22

4322

4322

3223

3223

2234

43223422

32

0

63300

63300

4220

720

2

672

yxyx

yxyyx

yxyyx

xyyxyx

xyyxyx

yxyxx

yxyyxyxxyxyx

I) Efectuar la división indicada.

1. )1()743( 223 aaaaa

2. )2()53( 23 xxxx

3. )2()432( 223 xxxxx

R

Nomenclatura

A=Dividiendo

B=Divisor

Q=Cociente

R=Residuo

23

2.9 Despeje y sustitución algebraica.

Procedimiento.

Para determinar números

o variables que están

sumando.

5

51055

105

x

x

x

Para eliminar números o

variables que están

dividiendo

50

)10(55

5

105

x

x

x

Para eliminar números o

variables que están

restando.

15

51055

105

x

x

x

Para eliminar

exponentes

3

9

9

2

2

x

x

x

Para eliminar números o

variables que están

multiplicando

2

5

10

5

5

105

x

x

x

Para eliminar radicales

9

3

3

22

x

x

x

I) Despeja las literales que se indican en cada una de las siguientes formulas.

1. aP 4 ,despejar a

2. bhA ,despejar b y h

3. 2

bhA , despejar b y h

4. t

sV , despejar t y s

24

5. 2_ rA , despejar r

6. atVV f 0 , despejar V0, a y t

7. asVV f 22

0

2, despejar Vf, V0, a y s

8. 2

21

r

qqkF , despejar, r y

1q

9. senwwamam1221

, despejar a y sen

10. 2

21 atVy , despejar a y V

11. amamamT3213

, despejar a

12. 21

2 TmasenT , despejar 1

T , 2

T y a

25

2.10 Productos Notables.

Procedimiento.

Cuadrado de un binomio (o “binomio al cuadrado)

Es la expresión algebraica de dos términos separados por un signo de suma o resta,

dentro de un paréntesis elevado al exponente dos: 2)( ba

El binomio al cuadrado también puede expresarse como: 2)())(( bababa

El binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble

producto del primer termino por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo

termino (o sea, un “Trinomio cuadrado perfecto”) 222 2)( bababa 222 2)( bababa

222 9124)32( bababa

I) Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado.

1. 2)35( ba

2. 2)52( ba

3. 2)37( a

4. 2)79( ba

5. 2)54( ba

6. 2)75( a

7. 2)511( ba

8. 2)813( xa

9. 2)95( yx

10. 2)23( yx

11. 2)56( ba

12. 2)8( ba

13. 2)912( ba

14. 2)117( yx

15. 2)23( cab

16. 2)65( a

17. 2)8(a

T.C.P

26

18. 22 )4( ba

19. 222 )27( ba

20. 2

2

3

4

2

3 ba

21. 222 )2

13( yxxy

22. 2

32

5

2

2

1yx

23. 2

421

3

2xyx =

27

2.10.1 Producto de binomios conjugados.

Producto de binomios conjugados.

Los “binomios conjugados” son dos binomios que se multiplican entre si, cuyos

términos son iguales pero con diferente signo en la unión de términos de cada binomio:

))(( baba

El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer termino

de cada paréntesis menos el cuadrado del segundo termino de cada paréntesis (o

sea, una “Diferencia de cuadrados”) 22))(( bababa 22))(( bababa

I) Obtener los siguientes productos:

1. )32)(32( baba

2. )54)(54( baba

3. )52)(52( baba

4. )511)(511( baba

5. )95)(95( yxyx

6. )56)(56( baba

7. )912)(912( baba

8. )23)(23( cabcab

9. )8)(8( aa

10. )27)(27( 2222 baba

28

2.11 Factorización.

2.11.1 Factor común.

Factor común.

Es el proceso de identificar el factor con su mínima potencia en los diferentes

términos y escribirlo como factor de dichos términos. Es el proceso para buscar los

factores que originaron el producto.

Factorizar

1. )1( 223 abaaabaa

2. 232 ))(1(1))(1()()1())(1( yxxyxxyxxyxx

I. Factorizar las siguientes expresiones

1. 223 23 ababba

2. 3322 936 baabba

3. )1(24)1(8)1(2 2234 xyxyyx

4. )1)(()1()( 2324 yyxzyyxz

29

2.11.2 Trinomio cuadrado perfecto (T. C. P.).

Trinomio cuadrado perfecto

(T.C.P.)

Es la expresión algebraica de tres términos cuyos extremos tienen raíz cuadrada exacta.

Se factoriza en un “binomio al cuadrado”. 22 2 baba

Comprobación para saber si un trinomio es un T.C.P.: El doble producto de la raíz

del primer término por la raíz del tercer término debe ser igual al segundo término.

Para factorizar un T.C.P., se saca la raíz cuadrada al primer y tercer términos y se

pone entre ellos el signo del segundo termino; luego se eleva todo al cuadrado: 222 )(2 bababa 222 )(2 bababa

I) Factorizar los siguientes trinomios.

1. 22 254016 baba

2. 962 aa

3. 22 81549 yxyx

4. 22 169260100 yxyx

5. 22 497025 baba

30

2.11.3 Diferencia de cuadrados.

Diferencia de cuadrados.

Es la resta algebraica de dos términos que tienen raíz cuadrada exacta: 22 ba

Para factorizar una diferencia de cuadrados, se saca raíz cuadrada al primer termino

menos la raíz cuadrada del segundo termino, todo dentro de un paréntesis multiplicado

por otro con las mismos términos, pero positivos los dos:

))((22 bababa

I) Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.

1. 22 254 ba

2. 22 ba

3. 22 81yx

4. 2121100 y

5. ba 16916

31

2.11.4 Trinomio de segundo grado.

Trinomio de segundo grado.

Es una expresión algebraica de tres términos que no necesariamente es un trinomio

cuadrado perfecto. En general, el trinomio de segundo grado tiene la forma:

cbxax2 , donde a, b y c son los coeficientes

El trinomio de segundo grado es el resultado de la multiplicación de binomios con

términos semejantes.

Para factorizar un trinomio de segundo grado en el caso especial donde a=1, se

busca una pareja de números cuyo producto sea igual al tercer termino y cuya

suma o diferencia sea igual al segundo termino. Se acomodan en dos paréntesis

con las variables del primer y tercer término.

)10)(5(5015

)3)(4(127

22

2

babababa

xxxx

I) Factoriza los siguientes trinomios.

1. 1072 aa

2. 1582 aa

3. 22 2110 yxyx

4. 22 9821 yxyx

5. 22 149 baba

32

2.12 Mínimo común múltiplo (M.C.M).

Procedimiento.

Hallar el M.C.M de .,2, 332222 yxyxyxyx

Primero se escribe cada polinomio en forma factorizada:

))((

)(2

))((

2233

222

22

yxyxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

Los factores diferentes son 22,, yxyxyxyx . El mayor exponente de yx es

2 y el de los otros factores es 1. Por lo tanto,

M.C.M = ))(()( 222 yxyxyxyx

I) Hallar el M.C.M de las siguientes expresiones.

1) yxxyx 322 12,3,6

2) 276,232 22 xxxx

3) 6,34,2 222 xxxxxx

33

2.13 Suma de fracciones.

Procedimiento.

Considere la siguiente suma algebraica:

1

3

1

3

)1( 22 xx

x

x

x

El menor denominador común es

)1()1( 2 xx

Que es el M.C.M de los denominadores

)1()1(

3

)1()1(

)1(3)1)(3()1(

1

3

)1)(1(

3

)1( 2

2

2

2

2 xx

xx

xx

xxxxx

xxx

x

x

x

I) Efectuar la suma algebraica indicada.

1) 1

1

1

11

xxx.

2) 1

2

11 2mm

m

m

m.

3) 4

3

2

1

2

12x

x

x

x

x

x.

34

2.14 División y multiplicación de fracciones.

Procedimiento.

Considere la siguiente división de fracciones:

)2)(1(

3

)2)(2)(1)(1(

)1)(2)(3(

)2)(1(

)1)(6(

4

1

1

6

1

4

1

62

2

22

22

2

2

xx

x

xxxx

xxx

xx

xxx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

I) Efectuar la operación indicada y simplificar el resultado.

1) 2

2

2

2

10

9

3

5

xy

ab

ab

yx.

2) 22

2

3

2

4

)2(

ba

x

x

ba.

3) yx

yx

yx

yx 329422

22

.

4) baa

ba

112

35

2.15 Radicales.

Radicales. qq aa /1

mmm abba

mm

m

b

a

b

a

Ejemplos:

Simplificar

1. 3 23 23 333 2333 5 2228 aaaaaaa

2. 62

3

2

2

2

33

2

33

2

33

2

27

2

27 2

3.

25252122624

2252163292245032318224

4. 52

10

2

10

5. 2

14

2

2

2

7

2

7

I) Simplificar.

1. 38a

2. 3 527b

3. 2

75 3a

4. 3545 xa

36

5. 643494

6. 33 27282

7. 327

8. b

aab

9. 33 24

10. 8

218

11. 818

2

12. ab

ba 3

13. 3 16

8

37

2.16 Formula General

Solución de ecuaciones de segundo grado utilizando la formula general.

PROCEDIMIENTO:

1. Se escribe la ecuación cuadrática de la forma general:

02 cbxax , donde a,b y c son los coeficientes

2. Se identifican y se escriben los valores de los coeficientes a,b y c.

3. Se sustituyen los valores a,b y c en la formula general:

a

acbbx

2

42

4. Se resuelve la variable para 1x y 2x , usando los signos + y – del radical en la

formula general, respectivamente.

5. Las dos soluciones a la ecuación cuadrática 02 cbxax son 1x y 2x .

I) Encuentre las soluciones para las siguientes ecuaciones de segundo grado,

utilizando la formula general.

1. 0322 xx 2. 423 2xx

38

2.17 Funciones

Definición de función.

Si dos variables x y y están relacionadas de tal modo que para cada valor de x, le

corresponde uno o más valores de y, se dice que y es una función de x.

Notación de función.

52)( xxfy

En donde f(x) se lee “función f de x” o simplemente “f de x”

.,35)1(2)1(

55)0(2)0(

52)(

etcf

f

aaf

Si )1()2(1

)1()2(,

1)(

1

1)(

Ff

Ffhallar

x

xxFy

x

xxf

2.18 La función lineal

Definición de función lineal.

La ecuación lineal con una incógnita

0,0 abax

Tiene la solución única a

bx

Resolver la ecuación .,22 babxabax

Solución.

bax

baxba

babxax

22

22

)(

I) Resolver la ecuación dada.

1. xx 2323

2. 2

6

5

3

2

xxx

39

3. xxaax 3)2()2(2

4. a

ba

b

x

a

x

5. 1

32

1

2

xx

x

2.19 Ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas.

Procedimiento.

Resolver el sistema 1832,123 yxyx

Solución.

Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 2, y obtenemos respectivamente las

ecuaciones equivalentes,

3664

369

yx

yx

Sumando las dos ecuaciones se obtiene

13x = 39, de donde x = 3.

Sustituyendo x en la primera ecuación y resolver para y se obtiene,

9 – 2y = 1, de donde y = 4.

I) Resolver el sistema dado.

1. 532,23 yxyx

40

2. 543,932 yxyx

3. 1152,023 yxyx

41

2.20 Fracciones parciales.

2.20.1 Caso I. Factores lineales distintos.

Procedimiento.

Descomponer )2)(1)(1(

15

xxx

x en fracciones parciales simples.

211)2)(1)(1(

15

x

C

x

B

x

A

xxx

x

La identidad es válida para todos los valores de x exceptuando 1, -1 y -2, pues para cada

uno de estos valores el denominador se anula. Quitando denominadores la identidad es

)1)(1()2)(1()2)(1(15 xxCxxBxxAx

Sustituimos en la identidad anterior los valores de x que fueron excluidos. Así para x = 1

se tiene

)21)(11(15 A , de donde A = 1.

Para x = -1

)21)(11(15 B , de donde B = 2.

Finalmente, para x = -2

)12)(12(110 C , de donde C = -3

Por lo tanto

2

3

1

2

1

1

)2)(1)(1(

15

xxxxxx

x

42

2.20.2 Caso II. Factores lineales repetidos

Procedimiento.

Descomponer 2

2

)3)(4(

245

xx

xx en fracciones parciales simples.

22

2

)3(34)3)(4(

245

x

C

x

B

x

A

xx

xx

)4()3)(4()3(245 22 xCxxBxAxx

Sustituyendo x = 4 en la identidad anterior resulta

2)34(21680 A , de donde A = 2

Para x = -3 se tiene

)43(21245 C , de donde C = -5

Si sustituimos A = 2, C =-5 y algún valor sencillo de x, digamos x = 0, podemos obtener

fácilmente B

3

3612

,2012182

),4)(5()3)(4()3(22 2

B

B

B

B

Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es:

22

2

)3(

5

3

3

4

2

)3)(4(

245

xxxxx

xx

43

2.20.3 Caso III. Factores cuadráticos distintos

Procedimiento.

Descomponer )1)(1(

4322

22

xxx

xxx en sus fracciones parciales simples

)1)(()1)((43

11)1)(1(

43

2222

2222

22

xDCxxxBAxxxx

xx

DCx

x

BAx

xxx

xxx

Sustituimos x por cuatro valores sencillos diferentes, Así:

2851036

),5)(2()3)(2(8424,2

.82233

),2)(()3)((8,1

.622

),2)(()1)((6,1

.0,0

DCBAseao

DCBAxPara

DCBAseao

DCBAxPara

DCBAseao

DCBAxPara

DBxPara

Se deja como ejercicio resolver este sistema de ecuaciones y ver que la solución es

A = 1, B = -1, C = 2, D = 1. Por lo tanto la descomposición en fracciones parciales es

1

12

1

1

)1)(1(

432222

22

xx

x

x

x

xxx

xxx

44

2.20.4 Caso IV. Factores cuadráticos repetidos

Procedimiento.

Descomponer 22

24

)2)(1(

144134

xx

xxx en sus fracciones parciales

.)2(21)2)(1(

14413422222

24

x

EDx

x

CBx

x

A

xx

xxx

Quitando denominadores resulta

).1)(()2)(1)(()2(144134 22224 xEDxxxCBxxAxxx

Para x = 1 se tiene 27 = 9A, de donde A = 3.

Para las constantes restantes sustituimos a x por valores sencillos en la identidad. Así

tenemos:

.30361836

),3)(2()6)(3)(2()6(31485264

,3,2

.142612

),1)(2()6)(1)(2()6(31485264

,3,2

.82_266

),2)((_)3)(2)(()3(335

,3.1

.22

),1()2)(1()4(314,3,0

2

2

2

EDCBseao

EDCB

AxPara

EDCBseao

EDCB

AxPara

FDCBseao

EDCB

AxPara

ECseao

ECAxpara

La solución de este sistema de ecuaciones es B = 1, C = 1, D = 0, E = -4. Por tanto, la

descomposición en fracciones parciales es

22222

24

)2(

4

2

1

1

3

)2)(1(

144134

xx

x

xxx

xxx

45

I) Descomponer en fracciones parciales.

1. )4)(2(

63

xx

x

2. 2)1(

13

x

x

3. )1)(1(

5432

2

xx

xx

4. 22

23

)1(

32

xx

xxx

46

2.21 Conversión de unidades

Procedimiento.

Toda cantidad puede multiplicarse por uno sin que cambie su valor.

s60min1

)60)(1(min)1)(1( s

min

601

s ó 1

60

min1

s

Es igual poner min1

60s que

s60

min1

Lo anterior es valido para cualquier magnitud física

m

km

1000

1 Es igual a

km

m

1

1000

Algunas equivalencias

1 km = 1000m

1 milla (mi) = 1609m

1 m = 100cm

1 pulgada (in) = 2.54cm

1 pie (ft) = 12 in

1 m = 3.14 ft

Ejemplo. Convertir 55 mi/h a m/s

smshmimhmi /25)60min/1min)(60/1)(/1609)(/55(

I. Resuelve las siguientes conversiones

1. hmi /20 a skm/

2. ft34 a cm

3. hmi /80 a hkm /

47

4. hft /85 a sm/

5. Transcribamos en seguida la velocidad máxima de varios animales, pero en

distintas unidades. Convierta estos datos en m/s y luego clasifique los animales

por orden de rapidez máxima creciente: ardilla 19 km/h; conejo, 30 nudos;

caracol, 0.30 mi/h; araña, 1.8 ft/s; leopardo, 1.9 km/min; ser humano, 1000

cm/s; zorro, 1100 m/min, león, 1900 km/día.

6. Convertir 4 años luz a km.

7. Convertir 8 min luz a km

48

3 TRIGONOMETRÍA

3.1 Teorema de Pitágoras

Definición.

“En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos”. 222 bac , donde c es la hipotenusa; a y b son los catetos.

Hipotenusa(c): Lado que se opone al ángulo recto. (Es el lado mas largo en un triangulo

rectángulo).

Catetos ( a y b ): Lados que forman el ángulo recto. (Siempre son menores que la

hipotenusa)

Obtención de un lado de un triangulo rectángulo, a partir de los otros dos lados.

Del Teorema de Pitágoras se obtiene:

222 bac 22 bac

222 cba 22 bca

222 cba 22 acb

I) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, encontrando el lado que

falta.

1. 5

4

b

a

2. 25.5

4.3

b

a

3. 12

5

c

a

4. 1

1

b

a

5. 4

7

b

a

6. 2

2

b

a

7. 5

4

c

a

8. 2

1

c

b

9. 8

10

b

a

10. 4

3

c

b

ac

b

49

11. 6

5.3

c

b

12. 2

1

b

a

II). Resuelve los siguientes problemas.

1. Se instala un poste para cables de energía que mide 8 metros de altura.

¿Que longitud tiene el cable de acero que se instalo para reforzarlo si el

gancho para sujetarlo esta a 4 metros del poste?

2. Tres ciudades están unidas por carreteras como se muestra en el

diagrama. Si se desea construir una carretera que se comunique

directamente a la cuidad A con la cuidad C, ¿Qué longitud tendrá?

x

4m

mm

180km

mm x

80 km

B

A

C

50

3.1.1 Distancia entre dos puntos del plano cartesiano.

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano.

Para calcular la distancia entre los puntos cuyas coordenadas ),( 111 YXP y ),,( 222 YXP se

usa el teorema de Pitágoras:

I) Encuentra la distancia entre las parejas de puntos que se indican a continuación y

grafica los puntos.

1. )3,2(1P

)5,5(2P

2. )3,2(1P

)1,4(2P

3. )2,1(1P

)3,4(2P

4. )2,1(1P

)7,5(2P

Donde:

Es la distancia recorrida en la dirección horizontal.

Es la distancia recorrida en la dirección vertical.

51

3.1.2 Funciones trigonométricas.

Definiciones básicas.

Hipotenusa

c cateto opuesto

b al ángulo Ө Ө

a

Cateto adyacente

(Junto) al ángulo

Funciones Trigonometricas:

Seno del ángulo Ө sen Ө = c

b

hipotenusa

opuesto

Coseno del ángulo Ө cos Ө = c

a

hipotenusa

adyacente

Tangente del ángulo Ө tan Ө = a

b

adyacente

opuestosen

cos

Cosecante del ángulo Ө csc Ө = b

c

opuesto

hipotenusa

sen

1

Secante del ángulo Ө sec Ө = a

c

adyacente

hipotenusa

cos

1

Cotangente del ángulo Ө cot Ө = b

a

opuesto

adyavente

sen

cos

tan

1

NOTAS:

Los valores de las funciones trigonometricas son números sin unidades.

Seno y coseno de Ө son las dos funciones trigonometricas básicas.

Tangente de Ө es muy usual. (Se sugiere memorizar estas tres).

52

3.2 Trigonometría

Obtención del valor del ángulo Ө.

Hipotenusa

c cateto opuesto

Ө b al ángulo Ө a Cateto adyacente

(Junto) al ángulo

Despejando de cada función trigonometría, se tiene:

Ө = sen-1

(b / c) = arc sen (b / c) arco seno

Ө = cos-1

(a / c) = arc cos (a / c) arco coseno

Ө = tan-1

(b / a) = arc tan (b / a) arco tangente

Ө = csc-1

(c / b) = arc csc (c / b) arco cosecante

Ө = sec-1

(c / a) = arc sec (c / a) arco secante

Ө = cot-1

(b / c) = arc cot (b / c) arco cotangente

NOTAS:

Es muy común utilizar el arco tangente para obtener al ángulo Ө. Pero como se

ve, cualquier función trigonometría sirve para despejar Ө. ¿Cuál usar? Dependerá

de los lados del triangulo rectángulo que se conozcan en el problema que se

quiera resolver.

Los valores de Ө que se obtienen pueden estar en grados o en radianes (según la

función Deg o Rad. que se utilice en la calculadora para obtener Ө).

El valor del otro ángulo ( α ) puede obtenerse así:

α = 90° - Ө (con Ө y α en grados)

α = 2

- Ө (con Ө y α en radianes)

53

Calculo del seno y coseno de 0°, 90°, 180°, 270° y 360° a partir de sus gráficas:

Calculo del seno y coseno de 30°, 45° y 60° sin usar calculadora (valor exacto)

Sen 45°

Cos 45°

45°

45°

1

1

54

Sen 30°

Sen 60°

Cos 30°

Cos 60°

Nota: Recordar que 30° = , 60° = y 45° =

I. Calcular el lado que falta, las seis funciones trigonometricas y los ángulos interiores

de los siguientes triángulos.

1.

2.

3.

4.

60°

30°

1 2

55

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

30°

10

32°

5

53°

20°

40° 30°

10

60°

30

56

II. Calcular el lado que falta, las seis funciones trigonometricas y los ángulos interiores

de los siguientes triángulos.

13.

14.

15.

16.

57

III. Resolver los siguientes problemas.

1. Si un monte tiene una altura de 400 metros y una ladera con 60º de inclinación con

respecto a un eje horizontal, ¿Cuántos metros caminara una persona para llegar a la

cima?

2. Si una casa va a construirse con el techo inclinado a 15º con respecto a la

horizontal, ¿Qué tan alto debe estar una pared con respecto a la otra? La distancia

entre paredes es de 4 metros.

3. En un juego de geometría, el lado de una escuadra esta opuesto al ángulo de 60º y

mide 3cm. ¿Cuánto miden los otros dos lados de la escuadra?

4. A un poste de 12 metros de altura se le va a reforzar con un cable de acero. Si el

gancho para sujetarlo se coloca 5 metros del poste, ¿Cuánto mide el cable de

acero? ¿Qué inclinación tiene en grados con respecto a la horizontal?

58

3.3 Formulas Trigonométricas

Identidades Trigonométricas Fundamentales.

1cos22sen

1tansec 22

1cotcsc 22

Formulas de reduccion.

cos)90(sen sen)90cos( cot)90tan(

sensen )180( cos)180cos( tan)180tan(

cos)270(sen sen)270cos( cot)270tan(

sensen )360( cos)360cos( tan)360tan(

Formulas para suma y resta de ângulos.

xsenyysenxyxsen coscos)(

senxsenyyxyx coscos)cos(

yx

yxyx

tantan1

tantan)tan(

Formulas para el ángulo doble.

xsenxxsen cos2)2(

1cos221cos)2cos( 2222 xxsenxsenxx

x

xx

2tan1

tan2)2tan(

Formulas para la mitad del ángulo.

2

)cos1(

2

xxsen

2

)cos1(

2cos

xx

senx

x

x

senx

x

xx cos1

cos1)cos1(

)cos1(

2tan

59

3.4 El Alfabeto Griego

(Mayúsculas y minúsculas)

Α α alpha

Β β beta

Γ γ gamma

Γ δ delta

Δ ε epsilon

Ε δ zeta

Ζ ε eta

Θ ζ theta

Η η iota

Κ θ kappa

Λ ι lambda

Μ κ my o mu

Ν λ ny o nu

Ξ μ xi

Ο ν omicrón

Π π pi

Ρ ξ rho

ζ sigma

Σ η tau

Τ υ ipsilon

Φ θ fi o phi

Υ χ ji o chi

Φ ψ psi

Χ ω omega

60

4 BIBLIOGRAFÍA

1. ÁLGEBRA

Charles H. Lehmann.

Ed. Limusa.

5 RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES