Manual de Matematicas Financieras 2011(2)

Manual de Matemáticas Financieras 1

INTERESESI = $ 1.000

$ 100.000 $ 101.000 ______________________________________ Hoy 30 días

CONCEPTO DE INTERÉS

FACTORES QUE DETERMINAN LA CUANTÍA DEL INTERÉS.

CAPITAL O PRINCIPAL ( C ) : Suma de dinero originalmente prestado o pedido en préstamo.

TIEMPO ( t ): Es el número de unidades de tiempo para el cual se calculan los intereses.

TASA DE INTERÉS ( i ): Es el interés por unidad de tiempo, expresado como tanto por ciento (%) o tanto por uno del capital.(Generalmente las tasas se expresan en términos mensuales o anuales).

MODALIDAD DE CÁLCULO DEL INTERÉS: La cuantía del interés va a depender si la operación es a interés simple o a interés compuesto

INTERÉS SIMPLE:La base de cálculo corresponde al capital inicial otorgado en préstamo.Los intereses que se generan no se transforman en capital, por tal motivo, los intereses resultantes para los distintos periodos son iguales:

$ 200.000 |_____________|_____________|____________| 0 I = 2O.000 1 I = 20.000 2 I = 20.000 3 años

i = 10 % anual

INTERÉS COMPUESTO:El interés que genera el capital para cierto tiempo se capitaliza, es decir, el interés se transforma en capital.Para el periodo siguiente, el capital relevante será el capital inicial más el interés resultante del primer periodo, generando con ello, un interés mayor en el segundo periodo, el cual también se capitaliza.En interés compuesto, los intereses en los distintos periodos son diferentes y crecientes (los intereses se calculan sobre intereses).Cuando la deuda cambia, se habla de interés compuesto.

$ 200.000 220.000 242.000 266.200|______________|_______________|______________|0 I1 = 20.000 1 I2 = 22.000 2 I3 = 24.200 3 años

i = 10 % anual

HARDY SEPULVEDA DÍAZ

MATEMÁTICAS FINANCIERAS constituyen un conjunto de herramientas, de métodos y procedimientos que ayudan a la toma de decisiones, en materia de obtención y uso del dinero.

(I), desde el punto de vista del deudor, la renta que se debe pagar por el uso del dinero tomado en préstamo. Y desde el punto de vista del acreedor, la renta que se tiene derecho a cobrar cuando se presta dinero. Es el costo del dinero. Es lo que el deudor debe sacrificar por usar dinero ajeno.


OPERACIONES A INTERÉS SIMPLE

Interés acumulado al primer año:$ 20.000 ( 20.000 x 1 ) C x i x 1

Interés acumulado al segundo año:$ 40.000 ( 20.000 x 2 ) C x i x 2

Interés acumulado al tercer año:$ 60.000 ( 20.000 x 3 ) C x i x 3

Por lo tanto, si se quiere determinar el interés acumulado para n periodos, el interés que genere el capital, para un periodo ( C x i ), se debe multiplicar por el número de periodos ( n)

I = C x i x n

n: Corresponde al número de veces que se genera intereses en el tiempo de uso del dinero.

Depende de:o Tiempo de uso del dineroo Tiempo de la tasa de interés

Ejemplo: Se hace un depósito durante un año a un 0,4% mensualTiempo de uso del dinero 1 añoTiempo de la tasa de interés Mensual

n Veces que se genera intereses mensuales en un año: 12

Ejemplo: Se hace un depósito durante un año a un 3,4% trimestralTiempo de uso del dinero 1 añoTiempo de la tasa de interés trimestral

n Veces que se genera intereses mensuales en un año: 4

Ejemplo: Se hace un depósito durante un 3 años a un 0,4% por periodos de 35 díasTiempo de uso del dinero 3 añosTiempo de la tasa de interés 35 días

n Veces que se genera intereses mensuales en un año: 30,85 periodos de 35 días cada uno

n = Numerador tiempo de uso del dinero 360*3 días 30,85

Denominador tiempo de la tasa de interés 35 días

Ejemplos a Interés Simple

Un capital de $600.000 durante un periodo de 8 meses ha generado un interés de $38.374. ¿Qué tasa de interés mensual se aplico?

Datos disponibles;Capital; $600.000Interés por 8 meses; $38.374Tiempo; 8 mesesTasa de interés; ¿????

I = C x i x n

38.374 = 600.000 * i m * 8

i m = 38.374/(600.000*8)i m = 0,00799458i m = 0,799%

Fórmula de tasa de interés despejada i = I/(C*n)



Fórmula de número de periodos de generación de intereses (n) n = I/(C*i)Formula de Capital ( C) C = I/(n*i)



MONTO A INTERÉS SIMPLE.

M = C + II = C x i x n

M = C + C x i x n / Factorizando por C

Fórmulas despejadas;

Fórmula para n; n = ( M/C -1)/i

Ejemplo para comprobar el uso de la fórmula despejada

M = 500.000C = 400.000I = 2% mensual

n = 500.000/400.000 – 1)/0,02 = 12,5

Comprobación;M = 400.000(1+0,02*12,5) = $500.000

Fórmula para i; i = ( M/C -1)/n

Fórmula para C; M /(1+i*n)


El monto de una deuda ( M ) a una fecha dada, corresponde al capital inicial más los intereses acumulados a esa fecha.

M = C ( 1 + i x n )


PRUEBA Nº 1

Juan Pérez solicita en préstamo $ 300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual.

a.- Determina el interés acumulado para un periodo de:1.- 3 meses2.- 9 meses3.- 2 años4.- 2 años y 5 meses.

b.- Determina el interés acumulado para un año, si la tasa de interés es de un 6 % semestral.

c.- ¿ Qué cantidad de dinero deberá invertir para que en un lapso de 10 meses, se genere un interés de $ 18.000?

d.- ¿Cuál deberá ser la tasa de interés mensual para que en un plazo de 2 años, el interés resultante sea la cuarta parte del capital inicial.

e.- Determina el interés que genera la obligación durante el 5º mes.



Pauta de Corrección:

a.- C = $ 300.000 i = 2,2% mensual

a1 n = 3 meses I = 300.000 x 0,022 x 3 = $ 19.800a2 n = 9 meses I = 300.000 x 0,022 x 9 = $ 59.400a3 n = 2 años I = 300.000 x 0,022 x 24 = $ 158.400a4 n = 2 años, 5 meses I = 300.000 x 0,022 x 29 = $ 191.400

b.- c = 300.000 I = C x n x ii = 6% semestral I = 300.000 x 0.06 x 2t = 1 año I = $ 36.000n = 2 semestres

c.- C = ? $ 18.000 = C x 10 x 0,022n = 10 $ 81.818 = Ci = 2,2% mensualI = $ 18.000

d.- i = ? C / 4 = C x i x 24n = 2 años (24 meses) 0,25 C = C x i x 24 / : CI = C/4 0,25 = 24 x iC = C i = 1,0417%

e.- Se pide:

|________|________|________|________|© _ © ©|

0 1 2 3 4 5 meses

Para responder la pregunta, puedes abordar el problema de dos maneras:

a.- Como en interés simple, los intereses para los distintos periodos de uso del dinero son iguales, y el interés para el primer mes es de $ 6.600 ( 300.000 x 0,022), el interés para el quinto mes será también de $ 6.600.

b.- En interés simple, los intereses no se capitalizan, es decir el capital o deuda pendiente de pago para el quinto mes es de $ 300.000 y como en este mes ( al igual que los otros meses), el interés es el resultante de multiplicar el capital por la tasa de interés ( C x i ), $ 300.000 x 0,022 = $ 6.600.

PRUEBA Nº 2

Se deposita en un banco $ 400.000 a una tasa de interés del 12 % anual, durante un periodo de 3 años.

A.- Determina la cantidad de dinero que se retirará al final del periodo.

B.- Determina la cantidad de dinero que se retirará al cabo de 5 meses, si en esa fecha se cierra la cuenta.

C.- ¿Cuánto dinero se deberá depositar, para que en un periodo de 18 meses se acumule un monto de $

500.000

D.- ¿Qué tasa de interés deberá aplicarse al préstamo para que el monto sea un 25% superior al capital

inicial?

E.- ¿Cuánto tiempo deberá mantenerse el dinero depositado para que se pueda retirar $450.000 y dejar

en la cuenta el 50% del capital depositado.




A.- C = $ 400.000 M = 400.000 ( 1 + 0,12 x 3 )

i = 12 % anual M = $ 544.000

t = 3 años

n = 3

B.- C = 400.000.- M = 400.000 ( 1 + 0,12 x 5 / 12 )

i = 12 % anual M = $ 420.000

t = 5 meses

n = 5 / 12 años

!Recuerda! también puedes transformar la tasa anual a mensual. En interés simple seria 0.12 / 12 = 0.01 o 1%, por lo tanto el monto se obtendría de la siguiente manera:

M = 400.000 ( 1 + 0.01 x 5 ) = $ 420.000

C.- M = 500.000 500.000 = C ( 1 + 0,12 X 18 / 12 )

C = ? C = $ 423.729

t = 18 meses

i = 12 % anual

n = 5 / 12 años

Si trabajas con una tasa mensual (0,12 / 12), n será 18 (porque en el tiempo de uso del dinero (18 meses), habrán 18 periodos mensuales de generación de intereses), por lo tanto, el monto lo calcularíamos así:

500.000 = C ( 1 + 0,12 / 12 x 18 )

C = $ 423.729

Si trabajas con una tasa semestral ( i = 0,12 / 2 = 0.06 o 6% ), por lo tanto, n = 3 (en 18 meses existen 3 semestres).

500.000 = C ( 1 + 0,06 x 3 ) = 423.729

D.- C = 400.000 500.000 = 400.000 ( 1 + 3 x i )

t = 3 años i = 0.083

M = 500.000 i = 8,3 % anual

n = 3

i = ?

!No te olvides de colocar siempre el periodo de la tasa de interés!

E.- Dinero depositado + Dinero dejado en depósito = Monto

450.000 + 200.000 = 650.000

650.000 = 400.000 ( 1 + 0,12 x n )

n = 5,2 años

5 años, 2 meses ( 0,2 x 12 ), 12 días (0,4 x 30)

OPERACIONES A INTERÉS COMPUESTO

C0 M1 = C1 M2 = C2 M3=C3

|____________ ____|_________________|_________________|

0 I1 1 I2 2 I3 3 años

I1 = C0 x n x i ( n = 1 )

M1 = C0 + I1

I2 = C1 x n x i ( n = 1 )

M2 = C1 + I2

I3 = C2 x n x i ( n = 1 )



M3 = C2 + I3

MONTO A INTERÉS COMPUESTO

Monto usando fórmula

CAPITAL $ 200.000TASA 10%N 10MC $ 518.748

Monto usando calculado periodo a periodo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10CAPITAL INICIAL $ 200.000 $ 220.000 $ 242.000 $ 266.200 $ 292.820 $ 322.102 $ 354.312 $ 389.743 $ 428.718 $ 471.590INTERÉS $ 20.000 $ 22.000 $ 24.200 $ 26.620 $ 29.282 $ 32.210 $ 35.431 $ 38.974 $ 42.872 $ 47.159MONTO $ 220.000 $ 242.000 $ 266.200 $ 292.820 $ 322.102 $ 354.312 $ 389.743 $ 428.718 $ 471.590 $ 518.748

M / C = ( 1 + i ) n

M / C = n log ( 1 + i )

Fórmulas despejadas;

Fórmula para C; C = M/( 1 + i ) n

Fórmula para i; i = -1

i = (M/C )1/n -1

i a = (518.748/200000) 1/10 -1 = 10% anual

Fórmula para n; n = log (M/C)/ log ( 1 + i )


M = C ( 1 + i ) n


INTERÉS COMPUESTO ACUMULADO, conociendo el monto compuesto:

M = C + I

I = M - C

M = C ( 1 + i ) n

I = C ( 1 + i )n - C

Ejemplo para uso de fórmula

CAPITAL $ 200.000TASA 10%n 10

Interés Compuesto para 10 años; 200.000*((1+0,1)10 – 1) = $318.748


I = C ( ( 1 + i ) n - 1 )


PRUEBA N° 3

Resuelve la prueba Nº 1 y Nº 2 de interés simple, suponiendo que los intereses se capitalizan periódicamente. Recordemos las pruebas.

PRUEBA Nº 1

Juan Pérez solicita en préstamo $300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual.

a.- Determina el interés acumulado para un periodo de:

1.- 3 meses

2.- 9 meses

3.- 2 años

4.- 2 años y 5 meses.

b.- Determina el interés acumulado para un año, si la tasa de interés es de un 6 % semestral.

c.- ¿ Qué cantidad de dinero deberá invertir para que en un lapso de 10 meses, se genere un interés de $ 18.000?.

d.- ¿Cuál deberá ser la tasa de interés mensual para que en un plazo de 2 años, el interés resultante sea la cuarta parte del capital inicial.

e.- Determina el interés que genera la obligación durante el 5º mes.

PRUEBA Nº 2

Se deposita en un banco $400.000 a una tasa de interés del 12 % anual, durante un periodo de 3 años.

A.- Determina la cantidad de dinero que se retirará al final del periodo.

B.- Determina la cantidad de dinero que se retirará al cabo de 5 meses, si en esa fecha se cierra la cuenta

C.- ¿Cuánto dinero se deberá depositar, para que en un periodo de 18 meses se acumule un monto de $ 500.000?

D.- ¿Qué tasa de interés deberá aplicarse al préstamo para que el monto sea un 25% superior al capital inicial?

E.- ¿Cuánto tiempo deberá mantenerse el dinero depositado para que se pueda retirar $450.000 y dejar en la cuenta el 50% del capital depositado?



Pauta de Corrección:1.- De la prueba Nº 1:

C = $ 300.000i = 2,2% mensual compuesto

a.- 1.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )3 - 1 )= 20.2392.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )9 - 1 ) = 64.9043.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )24 - 1) = 205.758

Al igual que en interés simple la tasa de interés se puede transformar de mensual a anual. (Tema que será tratado más adelante).

4.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )29 - 1) = 263.894

b.- C = 300.000t = 1 año I = 300.000 ( ( 1 + 0,06 )2 - 1 )i = 6%semestral I = $ 37.080n = 2 ( semestres)

c.- t = 10 meses 18.000 = C ( ( 1 + 0,022 )10 -1 )i = 2,2% mensual C = $ 74.041n = 10I = $ 18.000

d.- C = 300.000 75.000 = 300.000 ( ( 1 + i )24 - 1 )t = 2 años (75.000/ 300.000 ) + 1 = ( 1 + i )24

i = 2,2% mensual 1,25 = ( 1 + i )24

I = 1/4 ( 300.000) im = 0,009341n = 24 im = 0,9341%

e.- Para calcular el interés que genera el capital durante el quinto mes, es necesario determinar el dinero adeudado al inicio del quinto mes ( saldo insoluto o saldo de capital). Para ello, se debe calcular el monto al final del mes cuatro (se supone que no hay pagos intermedios).

M4 = 300.000 ( 1 + 0,022 ) 4 = $ 327.284

El monto resultante ($ 327.284), corresponde al capital o deuda para todo el quinto mes, por lo tanto, el interés para este mes será:

I5 = 327.284 ( ( 1,022 )1 -1 ) = $ 7.200

También podemos obtener el interés para el 5ª periodo descontándole al M5 el M4.Si te das cuenta, el interés compuesto para el 5ª periodo ($ 7.200), es el mismo si se hubiese hecho a interés simple, usando como capital el M4 .!Calcúlalo! ). Esto se debe, a que para un periodo de uso del dinero donde no existen aún capitalizaciones, ambos métodos (IS e IC ), arrojan el mismo resultado.

2.- De la prueba Nº 2 a Interés compuesto

a.- C = 400.000 M = 400.000 (1 + 0,12 )3 = $561.971t = 3 añosi = 12% anualn = 3

b.- C = 400.000 M = 400.000 ( 1,12 )5/12 = $419.341i = 12% anualt = 5 mesesn = 5 / 12 ( años )Otra alternativa para resolver el problema es transformar la tasa anual a mensual ( siendo n = 5 ). El procedimiento

de transformación de tasa a interés compuesto es tratado más adelante.

c- M = 500.000 500.000 = C ( 1, 12 )18/12 = $ 421.835 t = 18 mesesi = 12 % anualn = 18 / 12

d.- C = 400.000 500.000 = 400.000 ( 1 + i )3

M = 500.000 i = 0.077217345 anualt = 3 años i = 7,7217345 % anual

e.- C = 400.000M = 450.000 + 0,5 x 400.000 = 650.000i = 12 % anual

650.000 = 400.000 ( 1,12 ) n

1,625 = n 1,12 / logn = 4,28 años

Si n lo dejamos expresado en términos de años, meses y días, quedaría:4 años, 3 meses y 10,8 días



TIEMPO DE USO DEL DINERO.

DETERMINACIÓN DEL NÚMERO DE DÍAS ENTRE DOS FECHAS.

Criterio Exacto: Se cuenta el número exacto de días existente entre la fecha inicial y la fecha terminal.

Criterio aproximado: Se cuenta el número de días de la fracción de año entre la fecha inicial y fecha terminal, considerando que el mes tiene 30 días (si el mes tiene 28 29, 30 o 31 días, se considera que tiene 30 días).

Para contar los días es costumbre excluir el primer día e incluir el último.

Si se invierte el 15 de marzo y se retira la inversión el 16 de marzo, el tiempo es de sólo 1 día:o Se considera solo el día 16 de marzo.o Se puede obtener restando 16 – 15= 1 día

DETERMINACIÓN DE LA FECHA DE VENCIMIENTO (FF) DE UNA DEUDA

1.- Si el plazo esta dado en días, la fecha de vencimiento va a ser:

FF = Fecha inicial + N° exacto de días

2.- Si el plazo esta expresado en meses ( años ), la fecha de vencimiento será:

FF = Fecha inicial + N° de meses ( años )

Ejercicio:

Determina el tiempo transcurrido entre el:

1.- 16.02.07 y 12.10.072.- 16.02.07 y 12.10.08

Respuesta:

1.- Como puedes observar, el tiempo entre las dos fechas es menor a un año, por lo tanto, se debe utilizar el criterio exacto.

MESES PARTICIPANTES DÍAS DEL MESDÍAS DE USO DEL DINERO EN EL MES

Febrero 28 12Marzo 31 31Abril 30 30Mayo 31 31Junio 30 30Julio 31 31

Agosto 31 31Septiembre 30 30

Octubre 31 12total 238

2.- Como puedes observar, el tiempo entre las dos fechas es superior a un año, por lo tanto, se debe utilizar el criterio aproximado.

2008 años 10 meses 12 díasmenos 2007 años 2 meses 16 días

1 año 7 meses 26 días

es decir, 1 x 360 + 7 x 30 + 26 = 596 días

(Como la resta de 12 menos 16 arroja un resultado negativo, se debe pedir prestado a la columna de meses 1 mes, llegando a la columna de días, 30 días, por lo tanto, quedaría 30 + 2 – 16 = 26 días)

Ejercicio

Supón que la fecha inicial es el 30.03.07. Determina la fecha de vencimiento en los siguientes casos:

a.- plazo 90 díasb.- plazo 3 meses



c.- plazo 3 años



Respuesta:

a.- = 28.06.07 (exacto)b.- = 30.06.07 (aprox.)

c.- = 30.03.2010 (aprox.)

Para el caso a.- en que el plazo esta dado en días, se ha de usar el criterio exacto en la determinación de la fecha de vencimiento.

Por otro lado, para resolver el problema a..- es posible utilizar la siguiente metodología:

MESES PARTICIPANTES

DÍAS DE CADA MES

DÍAS DE USO DEL DINERO EN CADA MES

DÍAS ACUMULADOS

Marzo 31 1 1Abril 30 30 31Mayo 31 31 62Junio 30 28 90

Hasta el 31 de Mayo se ha usado 62 días el dinero, faltan 28 días para completar los 90 días pactados, por lo tanto, estos 28 días son los correspondientes al mes de Junio, es decir, FF = 28 de Junio.

EJERCICIOS PROPUESTOS Tiempo de Uso del Dinero

3.1 Determine el tiempo de uso del dinero en forma exacta y aproximada, para los siguientes periodos:

3.1.1 Del 12.05 06 al 19.12.063.1.2 Del 24.01.06 al 22.08.063.1.3 Del 18.10.06 al 14.02.06

Problemas de determinación de la fecha de vencimiento

3.2 Determinar la fecha de vencimiento para los siguientes casos:

3.2.1 Se contrae una obligación el 25.04.06, con vencimiento en:

TIEMPO FECHA DE VENCIMIENTOa.-120 díasb.- 88 días

c.- Un año y tres mesesd.- Cuatro meses

3.2.2 Se contrae una obligación el 08.06.06, con vencimiento en:

TIEMPO FECHA DE VENCIMIENTOa.- 90 días

b.- 6 mesesc.- dos años , tres meses y 22 días

3.3 Un Capital de $2.000.000 se depositó el 25 de enero del presente año, a una tasa de interés del 3,6% anual.

3.3.1 Si el tiempo de depósito es de 200 días, ¿cuál es la fecha de vencimiento del depósito?3.3.2 ¿En qué fecha el capital genera un interés de $33.000?



TASAS DE INTERÉS EN OPERACIONES DE CRÉDITO

1. Aspectos Introductorios Para determinar la cantidad de interés que genera un depósito o préstamo, se debe considerar los siguientes factores:

1. La cantidad de dinero depositado o solicitado en préstamo (Capital; C) 2. El tiempo que involucra la operación (t) 3. La tasa de interés pactada entre las partes (i) 4. La modalidad de cálculo del interés. En este caso puede ser:

a. Interés Simple: Los intereses que genera la deuda no se capitalizan (no se suman al capital, para el cálculo del próximo periodo de generación de interés)

b. Interés Compuesto: Los intereses que genera la deuda se capitalizan (se suman al capital, para el cálculo del próximo periodo de generación de interés)

A continuación se desarrollará el efecto que provoca la utilización de la tasa de interés en el cálculo de intereses.

Recordar NO es lo mismo INTERÉS ($5.300) que TASA DE INTERÉS (0,12% mensual)

2. Concepto de Tasa de Interés

Es aquel porcentaje que se aplica, por unidad de tiempo, sobre cierto capital con el objeto de determinar la cuantía de interés que genera el depósito o préstamo, en dicho tiempo.

Porcentaje de un monto de dinero prestado por un periodo, que tiene que pagar el agente económico que usa los fondos, al propietario de ellos.

Es lo que se debe pagar por el derecho de usar fondos que se prestan, expresado como porcentaje de lo que se debe.

Es el precio (%) que permite regular la oferta y la demanda de fondos en una economía, obteniéndose de esta forma una mejor distribución de los recursos crediticios.

Factor que determina cuanto vas a ganar por prestar tu dinero como depósito o cuanto dinero pagarás por concepto de préstamo.



3. Tipos de tasas de Interés 1.- Tasa Activa Bancaria: TAB: Esta tasa es calculada por la asociación de Bancos

e Instituciones Financieras y corresponde a la tasa mínima a la cual puedan prestar los Bancos, pues de lo contrario pierden dinero. Se calcula tomando la tasa máxima de captación para depósitos a 90, 180 y 360 días y agregando el costo de encaje Bancario y la inflación. Se calcula agregándole a la tasa máxima de captación el encaje bancario y la inflación

2.- Tasa de Captación: Es la tasa de interés que los Bancos e instituciones

financieras ofrecen pagar sobre el capital, a los agentes económicos que depositen su dinero por un periodo determinado”.

3.- Tasa de Colocación: Se refiere a la tasa de interés que aplican los Bancos e

Instituciones financieras a las empresas y personas, por prestarle una determinada cantidad de dinero, por un cierto tiempo”.

4.- Tasas de Corte. Es un tipo de interés que aplica el Banco Central a otras

entidades financieras que se ven obligadas por medio de un pagaré. 5.- Tasa de Descuento: Tasa de interés que el Banco Central impone a los

préstamos otorgados a los bancos comerciales. Se aplica este concepto también a las operaciones con letras en cobranza, en especial cuando son de montos altos, a la que se aplica una tasa de descuento. En esta operación el banco paga en forma anticipada al cedente.

6.- Tasa de Encaje: Porcentaje del monto total de depósitos en los bancos e

instituciones financieras que la autoridad monetaria exige que se mantengan como reservas. Las tasas de encaje exigidas difieren en los distintos tipos de depósitos que realizan los bancos e instituciones financieras.

7.- Tasa de Interés Fija: Es aquella que mantiene su valor, para ser aplicada por

distintos periodos durante cierto tiempo. Por ejemplo. Préstamo de consumo a 12 meses, a una tasa de interés del 1,3% mensual. Esta tasa se aplica los doce meses para determinar los intereses que se genera mes a mes.

La Tasa de Interés Variable se caracteriza por que para cada periodo para determinar el interés se utiliza una tasa de distinto valor. En el mercado financiero chileno, un ejemplo puede ser la tasa de interés de depósito a plazo con renovación automática. Para cada periodo se utiliza la tasa de interés que esta en pizarra o la que el cliente negocia con el banco.

8.- Tasa de Interés Nominal: Es aquella tasa de interés que se paga o se cobra en términos monetarios. Incluye el pago por la pérdida de poder adquisitivo que se



genera en los fondos prestados producto de la inflación. Se obtiene agregándole a la tasa de interés real la inflación del periodo que indica la tasa.

9.- Tasa de Interés Penal: Sobretasa a aplicar sobre aquella cuota de un préstamo

que se ha pagado fuera del plazo de vencimiento. Su monto está definido y equivale a la tasa máxima convencional.

10.- Tasa de Interés Real: Es aquella tasa de interés que mide realmente el precio

que se paga por utilizar los fondos ajenos, una vez descontados los efectos de la inflación sobre el poder de compra de dichos fondos. La tasa de interés real se calcula, en forma aproximada, como la tasa de interés nominal menos la tasa de inflación para un periodo determinado.

11.- Tasa de Interés promedio (TIP): Es el promedio de las tasas de captación y

colocación del sistema financiero. Es una tasa referencial que sirve para observar cuánto esta pagando en promedio la banca en sus instrumentos.

Las tasas TIP pueden ser: 1.- Para operaciones no reajustables de entre 30 y 89 días 2.- Colocaciones no reajustables para el público en general y los bancos para 30 y 89 días. 3.- Captaciones reajustables (UF + tasa de interés real) para plazos entre 90 y 365 días.

Todo este cálculo lo realiza diariamente el Banco Central de Chile.

12.-. Tasa Interbancaria: Es la tasa de interés que aplican los bancos para préstamos

entre sí. Ésta es menor que la tasa de colocación entregada al público por las instituciones financieras, ésto debido a diferentes factores tales como el mayor volumen de montos transados y el menor riesgo de un Banco como deudor.

13.- Tasa Interna de Retorno (T.I.R): Es la tasa a la cual se consiguen depósitos en

los bancos. Esta tasa representa el mínimo a la cual podrían prestar dichos fondos, ya que nadie puede obtener por un préstamo una tasa inferior a la que al banco le costo obtener los fondos. Es un promedio ponderado, pero ocupando como ponderadores los activos de cada banco y se determina para captaciones nominales a 30 días, y reales a 90 y 360 días.

Desde el punto de vista de la Evaluación de Inversiones la Tasa Interna de Retorno: Es aquella tasa de descuento que al ser utilizada para realizar una actualización de flujos futuros de ingresos netos de un proyecto de inversión, hace que el valor actual neto (VAN) de esta alternativa sea igual a cero. Es una medida de la rentabilidad que nos generaría la inversión que se evalúa.



4. Características de la Tasa de Interés

o Es un porcentaje (%, 4,5%; 0,2%) o Se puede considerar como sinónimo, Rentabilidad o Esta referido a un tiempo determinado (0,3% para un periodo de 35 días; 6,4%

anual) o Se puede obtener dividiendo la ganancia que genera una inversión por la

inversión realizada, o bien, dividir el interés que genera un capital por el capital invertido.

o El valor de la tasa de interés puede depender de: o El poder de negociación de las partes o La tasa de interés que establezca el Banco Central o El riesgo del cliente o De la cantidad de dinero invertida o solicitada en préstamo o Del plazo del crédito o Otras.

5. Efecto que provoca la Modalidad de Cálculo de Interés en la Tasa de Interés Se debe recordar que los intereses se pueden determinar ya sea a Interés Simple (no se capitalizan los intereses) o a Interés Compuesto (se capitalizan los intereses). La modificación de la tasa de interés de un periodo a otro, va a tener efectos distintos si se trata a interés simple o a interés compuesto. Veamos un ejemplo:

Capital: $ 2.000.000 Tasa de Interés: 1% mensual Tiempo: 2 años

n: 24

Interés Simple Interés Compuesto

I = C i*n I = 2.000.000 * 0,01*24 I = $ 480.000

I = C ((1 + i ) n -1 ) I = 2.000.000*((1+0,01) 24 - 1) I = $ 539.469

Si se transforma la tasa de interés mensual a una tasa anual, multiplicando la tasa mensual por 12, obtendremos una tasa de 12% anual.



Ahora con la nueva tasa volvamos a determinar el interés que genera el capital de $2.000.000 por un periodo de 2 años. Con esta modificación, n = 2

Con la tasa anual, los intereses se capitalizan anualmente. Por lo tanto en un periodo de dos años habrá dos capitalizaciones de intereses, es decir, n = 2

Interés Simple Interés Compuesto

I = C i*n I = 2.000.000 * 0,12*2 I = $ 480.000

I = C ((1 + i ) n -1 ) I = 2.000.000*((1+0,12) 2 - 1) I = $ 508.800

Comentario:

o Si la operación es a INTERÉS SIMPLE, al cambiar la tasa de interés de un periodo a otro (por supuesto cambiando n, dado que el valor de n depende del tiempo de uso del dinero y del tiempo en que esta expresada la tasa de interés), el interés resultante no se ve modificado.

o Si la operación es a INTERÉS COMPUESTO, al cambiar la tasa de interés de

un periodo a otro, multiplicando o dividiendo la tasa, según corresponda (en este caso, la tasa mensual se multiplicó por 12 para pasar la tasa mensual a anual), (por supuesto cambiando n, dado que el valor de n depende del tiempo de uso del dinero y del tiempo en que esta expresada la tasa de interés), el interés resultante es diferente.

o Con la tasa anual, para un periodo de dos años, se obtiene menores intereses que si se aplica una tasa mensual. Esto se debe a que al aplicar una tasa anual, la capitalización de los intereses se realiza una vez que ha transcurrido recién un año, por lo tanto en el periodo de dos años solo se van a producir dos capitalizaciones de intereses. En cambio, si se aplica la tasa mensual, las capitalizaciones de intereses se producirán mes a mes, es decir, en el periodo de dos años habrá 24 capitalizaciones de intereses, generando con ello, mayores intereses.

Por lo tanto, para cambiar tasas de interés se debe tener en cuenta si la operación de crédito es a interés simple o a interés compuesto.



5.1 TRANSFORMACIÓN DE TASAS DE INTERÉS EN OPERACIONES A

INTERÉS SIMPLE Situación A

Si una tasa anual se desea transformar a una tasa por un periodo menor, aquella se debe dividir según corresponda:

1. Transformación de Tasa anual a Tasa Semestral: ia / 2 2. Transformación de Tasa anual a Tasa Trimestral: ia / 4 3. Transformación de Tasa anual a Tasa Mensual: ia / 12 4. Transformación de Tasa anual a Tasa Diaria: ia / 360

En este último caso, el dividir la tasa anual por 360, se conoce con el nombre de transformación de tasa según criterio ordinario. Existe el criterio exacto, donde la tasa anual se divide por la cantidad de días exactos que tiene el año (365 o 366 si es bisiesto), pero en la práctica no es utilizado.

Situación B

Si una tasa semestral se desea transformar a una tasa por un periodo menor, aquella se debe dividir según corresponda:

1.- Transformación de Tasa semestral a Tasa Trimestral: is / 2 2. Transformación de Tasa semestral a Tasa Mensual: is / 6 3. Transformación de Tasa semestral a Tasa Diaria: is / 180



Situación C

Si una tasa Trimestral se desea transformar a una tasa por un periodo menor, aquella se debe dividir según corresponda:

1. Transformación de Tasa trimestral a Tasa mensual: itr / 3 2. Transformación de Tasa trimestral a Tasa Diaria: itr / 90

Situación D

Si una tasa Mensual se desea transformar a una tasa diaria, la tasa mensual se debe dividir por 30 (criterio ordinario).

El criterio exacto, que consiste en dividir la tasa mensual por 28, 29, 30 o 31 días, según sea el mes en cuestión, no es aplicado en la práctica.

Situación E

Si se desea transformar una tasa de interés para un periodo mayor, la tasa debe ser multiplicada, según sea el caso:

1. De tasa diaria a tasa mensual: id * 30 2. De tasa diaria a tasa trimestral: id * 90 3. De tasa diaria a tasa semestral: id * 180 4. De tasa diaria a tasa anual : id * 360 5. De tasa mensual a tasa trimestral: im*3 6. De tasa mensual a tasa semestral: im*6 7. De tasa mensual a tasa anual: im*12 8. De tasa trimestral a tasa semestral: itr*2 9. De tasa trimestral a tasa anual: itr*4 10. De tasa semestral a tasa anual: is*2

5.2 TASAS DE INTERÉS EN OPERACIONES A INTERÉS COMPUESTO En operaciones a Interés compuesto es necesario distinguir entre las siguientes tasas de interés:

o Tasa de Interés Nominal o Tasa de Interés Efectiva o Tasa de Interés Equivalente



5.2.1 Tasa de Interés Nominal Se refiere a aquella tasa de interés pactada por las partes en una operación de crédito, que se aplica sobre el capital o dinero adeudado para generar intereses, durante el periodo indicado en la tasa de interés.

Ejemplo: Un capital de $500.000 a una tasa de interés del 2% trimestral.

o El interés resultante para un trimestre sería de $10.000 (500.000 * 0,02)

o La tasa de interés nominal trimestral es de un 2% 5.2.1.1 Capitalizaciones de los Intereses En general, cuando se señala una tasa nominal anual, significa que los intereses se van a capitalizar (sumar los intereses al capital), cada vez que se cumpla un año.

Si la tasa de interés es nominal mensual, al final de cada mes los intereses se sumarán al capital.

Si la tasa de interés nominal es por periodos de 55 días, cada 55 días los intereses se capitalizarán.

En la fórmula de INTERÉS COMPUESTO, I = C*((1+i)n – 1), el exponente “n” representa la cantidad de capitalizaciones de intereses que se producirá durante el tiempo de uso del dinero.



5.2.1.2 Capitalización de Intereses en un periodo menor al tiempo de la Tasa de Interés

Existen operaciones de crédito en que la capitalización de los intereses no se realiza en el tiempo indicado en la tasa de interés nominal.

(En este caso NO se debe usar el concepto nominal para relacionarlo con la inflación. Tema se verá más adelante).

Por ejemplo, los créditos hipotecarios que otorgan los bancos, generalmente se establecen a una tasa anual, pero las cuotas se pactan mensualmente. En este caso, como la deuda cambia mes a mes, es necesario determinar los intereses mensualmente, es decir, la capitalización de intereses es “mensual”.

Implícitamente la tasa anual es con capitalización mensual

Por ejemplo, si la tasa anual es del 6% y la capitalización de intereses es mensual, la tasa de interés por periodo de capitalización sería: 6%/12, es decir, 0,5%. Para calcular los intereses mensuales se debe usar la tasa del 0,5%

En estos casos la tasa de interés por periodo de capitalización ya no es la tasa nominal. Alternativas de Tasas de Interés por Periodos de Capitalización

Tasa por periodo de capitalización o Tasa anual con capitalización mensual ia / 12 o Tasa anual con capitalización trimestral ia / 4 o Tasa anual con capitalización semestral ia / 2 o Tasa semestral con capitalización mensual is / 6 o Tasa semestral con capitalización trimestral is / 2 o Tasa trimestral con capitalización mensual it / 3

En Chile, el periodo mínimo de capitalización es de 30 días



Efectos de la Capitalización de los intereses en “n” Es necesario recordar, que “n” es número de veces que se genera intereses en el tiempo de uso del dinero. En el caso de interés compuesto, donde la capitalización de intereses es por periodos menores a lo indicado en la tasa de interés, el exponente de la fórmula I = C*((1+i)n – 1) representa la cantidad de veces que se capitalizan intereses en el tiempo de uso del dinero.

Ejemplo: Capital: $500.000 Tasa de interés anual con capitalización mensual: 15% Tiempo de uso del dinero: 3 años

Tasa de

interés por periodo de

capitalización:

0,15/12

“n” 36

I = 500.000*((1+0,15/12)36 - 1) = $ 281.972 Ejemplo; Del problema anterior, determinemos el interés para los primeros 7 meses

Tasa de interés por periodo de

capitalización:

0,15/12

“n” 7

I = 500.000*((1+0,15/12)7 - 1) = $ 45.425

Del siguiente ejemplo, explica que cambios hay respecto al ejercicio anterior I = 500.000*((1+0,15)7/12 - 1)

NOTA. Si la tasa de interés se pacta para cierto tiempo y la capitalización de los intereses es por dicho periodo, NO corresponde transformar la tasa de interés de un periodo a otro



(ya sea dividiendo o multiplicando), porque distorsionaría los resultados.

5.2.2 Tasa de Interés Efectiva Cuando la capitalización de intereses es por periodos menores al tiempo de la tasa de interés, el interés resultante es mayor que si la capitalización es por el tiempo que indica la tasa. Mientras mayores sean las capitalizaciones mayores serán los intereses para un mismo periodo. Por lo tanto es posible encontrar que frente a la misma tasa de interés nominal, durante un mismo tiempo, cierto capital puede generar distintos intereses. Veamos un ejemplo;

Capital: $2.000.000 Tiempo de uso del dinero: 4 años

Tasa nominal anual; 12% Tasa nominal anual con capitalización

mensual; 12% Tasa de interés por periodo de

capitalización: 0,12 (12%) Tasa de interés por periodo de

capitalización: 0,12/12 (12%/12) I = C*((1+i)n – 1) I = C*((1+i)n – 1)

I = 2.000.000*((1+0,12)4-1) I = 2.000.000*((1+0,12/12)48-1) I = $ 1.147.039 I = $ 1.224.452

Por lo tanto, para tomar decisiones no basta con conocer la tasa de interés nominal de un crédito, sino más bien, la tasa de interés efectiva que se esta aplicando a un préstamo. 5.2.2.1 Concepto de Tasa de Interés Efectiva

o Corresponde a aquella tasa de interés que permite generar intereses, durante cierto tiempo, con una sola capitalización de intereses.

o Se obtiene dividiendo el interés que genera la inversión, depósito o préstamo durante cierto tiempo, por la cantidad de dinero invertido, depositado o solicitado en préstamo.

Tasa de interés efectiva: Interés (que genera la inversión)

Inversión



Ejemplo: Capital (Inversión): $300.000 Interés anual: $60.000 Tasa efectiva anual: iea: 60.000 / 300.000 Tasa efectiva anual: iea: 0,2 Tasa efectiva anual: iea: 20%

o Es posible determinar la tasa efectiva para cualquier tiempo. (lo importante es

que debe haber una sola capitalización de intereses en dicho periodo). Por ejemplo:

o Tasa de interés efectiva anual: Interés anual / Inversión o Tasa de interés efectiva semestral: Interés semestral / Inversión o Tasa de interés efectiva trimestral: Interés trimestral / Inversión o Tasa de interés efectiva mensual: Interés mensual / Inversión o Tasa de interés efectiva 45 días: Interés para 45 días / Inversión

o La tasa efectiva es igual a la tasa nominal cuando la capitalización de los intereses de la tasa nominal se produce en el tiempo indicado en esta última. Por ejemplo, si la tasa nominal anual es de 10% y la capitalización de intereses es anual, la tasa efectiva anual es de un 10%.

o Cuando la tasa nominal pactada tiene capitalizaciones de intereses en periodos

menores al tiempo señalado en la tasa de interés (ejemplo, 6% anual con capitalización mensual), la tasa efectiva será mayor a la tasa nominal.

Comprobación:

Capital: $800.000 Tiempo: 12 meses Tasa nominal anual con capitalización mensual: 6% I 12 meses: 800.000*((1+0,06/12)12-1) = $ 49.342 Cálculo de tasa efectiva anual: Fórmula: Interés efectivo anual / Inversión (capital) Tasa efectiva anual: 49.342 / 800.000 Tasa efectiva anual: 6,17% La tasa nominal anual pactada es de un 6%, pero efectivamente se esta pagando por el préstamo un 6,17%. Es este último dato el que se debe tener presente para la toma de decisiones.



Los bancos cuando ofrecen, por los créditos hipotecarios, una determinada tasa de interés anual, la tasa efectiva que ganan es mayor, dado que la capitalización de intereses es mensual. (¡la letra chica!)

5.2.3 Tasa de Interés Equivalente 5.2.3.1 Antecedentes Previos Como se ha demostrado anteriormente, en interés compuesto, al cambiar la tasa de interés, utilizando el procedimiento descrito en interés simple (dividiendo la tasa o multiplicándola), los intereses resultantes son distintos. Hasta el momento, cuando el tiempo de uso del dinero se encuentra expresado de un modo distinto a como esta establecida la tasa de interés (tiempo en días y la tasa anual), se ha procedido a dejar establecido el tiempo de uso del dinero al periodo en que esta expresada la tasa de interés. Algunos ejemplos.

Tasa de interés anual: 15% Tiempo de uso del dinero: 7 meses

La tasa se expresa: 15% o bien 0,15 El tiempo se expresa: “n” 7/12

Tasa de interés anual: 15% Tiempo de uso del dinero: 267 días


Tasa de interés semestral: 4% Tiempo de uso del dinero: 7 meses


Tasa de interés mensual: 1,2% Tiempo de uso del dinero: 267 días

La tasa se expresa: 1,2% o bien 0,012 El tiempo se expresa: “n” 267/30

También se ha podido comprobar que si en vez de transformar el tiempo, se deja expresada la tasa de interés al modo como esta expresado el tiempo de uso del dinero, los intereses resultantes en interés simple no sufren modificación, pero a interés compuesto cambian.



Para su comprobación tomemos los siguientes datos:

Capital: $2.000.000 Tasa de interés anual: 15% Tiempo de uso del dinero: 7 meses

Tiempo según tasa de interés Tasa de interés según se expresa el

tiempo de uso del dinero Tasa de interés anual: 0,15 Tiempo de uso del dinero: 7/12

Tasa de interés 0,15/12 Tiempo de uso del dinero 7

I = C*((1+i)n – 1) I = C*((1+i)n – 1) I = 2.000.000*(1+0,15)7/12-1) I = 2.000.000*(1+0,15/12)7-1)

I = $ 169.887 I = $ 181.701 Se produce mayores intereses dado

que la capitalización de intereses es mensual

Si se desea calcular intereses pero trabajando con una tasa de interés por un periodo distinto al pactado, y no se quiere que se produzcan distorsiones en los intereses, se debe calcular una tasa de interés que sea equivalente a la establecida originalmente.



5.2.3.2 Concepto de Tasa Equivalente Dos tasas de interés son equivalentes, si aplicadas sobre un mismo capital, durante un mismo tiempo, permiten generar un mismo interés o monto.

La tasa equivalente se puede determinar tanto a interés simple como compuesto. (En interés simple basta multiplicar o dividir la tasa. En interés compuesto se verá a continuación su procedimiento de cálculo).

Procedimiento para determinar Tasa de Interés Equivalente Alternativa 1: PASO A: Con la tasa de interés pactada (original) se determina el interés que

generará el capital por el tiempo establecido. PASO B: Con el interés obtenido en PASO A, se calcula la tasa de interés que

permita generar al capital establecido en el tiempo señalado, el interés respectivo. (Se obtiene la tasa de interés equivalente)

Ejemplo:

Capital: $3.000.000 Tiempo: 2 años Tasa nominal semestral: 5% SE PIDE: Tasa equivalente mensual: iem PASO A: I 2 años: 3.000.000*((1+0,05)4 – 1) = $ 646.519 PASO B: I 2 años: 3.000.000*((1+ iem)24 – 1)

Ahora como la tasa que se solicita es mensual, la cantidad de capitalizaciones en dos años “n” es 24

646.519: 3.000.000*((1+ iem)24 – 1)

El interés que debe generar el capital para un periodo de dos años, aplicando una tasa de interés mensual, debe ser de $646.519.

o Si se despeja la ecuación, se obtendrá la tasa equivalente mensual

de la tasa del 5% semestral.



o Es posible aplicar la siguiente fórmula (obtenida del despeje de la fórmula de interés)

Tasa de interés: n CI 1/ - 1 Apliquemos la fórmula

Tasa de interés mensual: 24 )13000000/646519( -

1 Tasa de interés mensual: 0,81648%

Comprobación:

Para comprobar si la tasa determinada es equivalente a tasa original vamos a determinar el interés que genera un capital de $1.000.000 durante 128 días. Para cualquier tiempo y capital la tasa equivalente debe generar el mismo interés que la tasa original. Capital: $1.000.000 Tiempo: 128 días

Tasa SEMESTRAL: 5% Tasa equivalente MENSUAL:

0,81648%

I = C*((1+i)n – 1) I = C*((1+i)n – 1) I = 1.000.000*((1+0,05)128/180-1) I = 1.000.000*((1+0,0081648)128/30-1)

I = $ 35.304 I = $ 35.304

AMBAS TASAS SON EQUIVALENTES

PROCEDIMIENTO CORTO PARA CALCULAR TASA EQUIVALENTE

Caso; Transformar tasa de interés mensual del 2% a una tasa de interés anual

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

I = C* n * i I = C ((1 + i) n -1 )

Si consideramos que el capital C = $1

i** = i * n i** = (1 + i) n -1En interés simple para transformar la tasa de interés de un periodo a un periodo mayor, la tasa de interés dada se debe multiplicar por el número de periodos actuales que hay en el nuevo periodo de la tasa de interés. En el ejemplo como la tasa actual es mensual, y la nueva tasa buscada es anual, existen 12 periodos mensuales en un año; n =12

En interés compuesto para transformar la tasa de interés de un periodo a un periodo mayor, la tasa de interés dada más 1, se debe elevar por el número de periodos actuales que hay en el nuevo periodo de la tasa de interés. En el ejemplo como la tasa actual es mensual, y la nueva tasa buscada es anual, existen 12 periodos mensuales en un año; n =12

Tasa anual = 2%*12 = 24%La tasa anual del 24% es equivalente a la tasa mensual del 2%.

Tasa anual = (1+2%) 12 -1 = 26,82%

Caso 2;Transformar tasa trimestral del 4% a una tasa semestral equivalente a interés simple e interés compuesto.


i** = i * n i** = (1 + i) n -1Tasa semestral = 4%*2 = 8% Tasa semestral =(1+4%)2 -1 = 8,16%



Caso 3;

Transformar tasa trimestral del 4% a una tasa anual equivalente a interés simple e interés compuesto.


i** = i * n i** = (1 + i) n -1Tasa anual = 4%*4 = 16% Tasa anual =(1+4%)4 -1 = 16,99%

Caso 4

Transformar tasa trimestral del 3% a una tasa mensual equivalente a interés simple e interés compuesto.INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

i** = i * n i** = (1 + i) n -1Tasa mensual = 3%* 1/3 = 1% Tasa mensual =(1+3%)1/3 -1 = 0,99%



6. Tasa de Interés Nominal y Tasa de Interés Real

“Inflación en las Matemáticas Financieras”

Para entender el concepto de tasa NOMINAL y tasa REAL, es necesario tratar el tema “Inflación”.

Se entiende por “Inflación”, el alza sostenida en el nivel de precios. Nivel de Precios es el conjunto de precios que existe en la economía.

o Cuando el nivel de precios disminuye sostenidamente recibe el nombre de “deflación”.

o La inflación, en Chile, la determina el INE por intermedio de la variación en el IPC (índice de precios al consumidor).

o La inflación provoca pérdida en el poder adquisitivo del dinero. (con el mismo dinero, dado el aumento en los precios, se puede comprar menos bienes y servicios).

o En las libretas de ahorro bancarias, para reflejar la pérdida del valor del dinero producto de la inflación, se cancela “reajuste”. Cuando la variación del IPC es negativa el reajuste pasa a ser negativo (disminuye el dinero mantenido en ahorro).

6.1 Tasa de Interés Nominal Es aquella tasa de interés, o porcentaje, que se aplica a determinado capital, obteniendo cierta cantidad de dinero adicional, denominado “Interés”. No toma en consideración el comportamiento de los precios durante el periodo.

o Indica, en porcentaje, la cantidad de dinero que se ganará o gastará por usar el dinero durante cierto tiempo.

o Las tasas de interés por depósitos a plazo, las tasas de interés de colocación de préstamos de consumo, entre otras, están expresados en términos nominales.



Ejemplo: Un depósito de $400.000 se realiza por periodos de 30 días durante 6 meses a una tasa de interés nominal del 0,33%.

I = C*((1+i)n – 1)

I = 400.000*((1+0,0033)6-1) I = $ 7.986

o La persona que hará el depósito, suponiendo que la tasa de interés

se mantiene durante los 6 periodos mensuales, ganará en el semestre $7.986. Es decir, retirará al final de los 6 meses $407.986.

o La persona, por el depósito ganará dinero. Con ese mayor dinero

debería estar en condiciones de poder comprar mayor cantidad de bienes o servicios, si los precios de éstos no varían o su incremento es menor a la tasa de interés.

o Si la inflación mensual durante el periodo es mayor a la tasa de

interés nominal pactada, el ahorrante, a pesar de ganar dinero, su poder de compra se verá disminuido, dado que podrá comprar menores cantidades de bienes o servicios.

o Por tal motivo, para tomar buenas decisiones, es necesario

conocer la rentabilidad real o tasa de interés real. 6.2 Tasa de Interés Real Es aquella tasa de interés que permite determinar, en términos porcentuales, el mayor o menor poder de compra que puede generar las ganancias de una inversión o préstamo, durante cierto tiempo.

Por ejemplo: Si una operación de crédito se pacta a una tasa de interés real del 1% por periodos de 90 días, significa que la persona que gane los intereses, al final de los 90 días podrá comprar 1% más de bienes o servicios con la cantidad de dinero que recibirá. Si hoy puede comprar 100 unidades de un artículo X, al final de los 90 días podrá comprar 101 unidades de ese artículo.

Toda tasa de interés que se pacte en UF (Unidad de Fomento), es una tasa de interés real.



6.2.1 Procedimiento para determinar la Tasa de Interés Real Para determinar la tasa de interés real, un modo fácil y rápido de hacerlo, es restar a la tasa de interés nominal la inflación del periodo.

Tasa Real = Tasa nominal – Inflación ir = in - inflación

Por ejemplo; Una persona el 01 de septiembre deposita en un banco cierta cantidad de dinero, a una tasa de interés nominal a 30 días del 0,4%. Al retirar su dinero se entera que la inflación durante el mes de septiembre fue de 0,1%. La rentabilidad real obtenida por el depósito durante el mes de septiembre sería:

ir = in - inflación ir = 0,4% - 0,1% ir = 0,3%

La tasa real del 0,3% significa, que la persona por hacer el depósito durante el mes de septiembre aumentará el poder de compra del dinero depositado en un 3%, es decir, aumenta su riqueza en un 0,3%

También es posible, conociendo la tasa de interés real y la inflación del periodo, determinar la tasa de interés nominal por dicho tiempo.

in = ir + inflación

Por ejemplo;

Un depósito se realiza al 4% real anual durante un año. Por dicho tiempo la inflación es de un 6%. La tasa nominal sería:

ina = ir + inflación ina = 4% + 6% ina = 10%

o Por el depósito anual el inversionista vería incrementado el poder de

compra en un 4%. Por ejemplo, si hoy, con el dinero que se deposita, puede comprar 100 kilos de pan, al final del año, con la cantidad de dinero que recibe podrá comprar 104 kilos de pan. (si la variación en el precio del pan refleja la inflación del periodo)



o Por el depósito anual el inversionista vería incrementado su cantidad de dinero en un 10%. Por ejemplo, si el depósito es de $100.000, al final del año el dinero a retirar será de $110.000, obtendrá $10.000 adicionales por permitir que el banco use su dinero durante un año.

6.2.2 Uso de Método de Fisher para estimar tasa de interés Real/Nominal Para determinar la tasa de interés real /nominal de un modo exacto es recomendable utilizar el método planteado por Fisher.

o El método Fisher señala que para determinar la tasa de interés nominal, a la tasa de interés real se le debe “agregar” (no sumar) la inflación.

o Hay que tener presente que la inflación representa un “alza sostenida” en los niveles de precios. Es decir, la base de cálculo para determinar la variación del IPC va cambiando. (Es parecido a como va cambiando la base de cálculo en interés compuesto). Por tal motivo, las inflaciones mensuales no deben ser sumadas sino agregadas, según se muestra en la fórmula de Fisher.

Método de Fisher:

(1 + in)t = (1+ir)

t*(1+inflación)t

t: Corresponde al tiempo de uso del dinero. El valor de “t” dependerá del tiempo de la tasa nominal, de la tasa real como del periodo inflacionario considerado. Lo importante que los exponentes representen un mismo tiempo.

Por ejemplo: Tasa nominal anual: ¿?? Tasa real semestral: 3,5% Inflación promedio mensual: 0,4% La tasa nominal anual, aplicando Fisher sería:

(1 + in)t = (1+ir)

t *(1+inflación)t

(1 + ina)

1 = (1+irs)2*(1+inflaciónm)12

(1 + ina)1 = (1+0,035)2*(1+0,004)12

(1 + ina)1 =

1,1238%

ina = 12,38%



Un capital de $1.000.000 invertido durante un año generará una ganancia nominal de $123.800.

6.2.3 Procedimiento para determinar la cantidad de dinero a ganar en

depósito a tasa de interés real

1. Determinar la cantidad de dinero a depositar 2. Obtener el valor de la UF para el día del depósito 3. Transformar la cantidad de dinero a depositar en UF 4. Determinar los intereses que generará el depósito, en términos UF, durante el

periodo de la inversión. 5. Calcular el monto que se obtendría con el depósito, en UF 6. Transformar el monto,(UF), en dinero multiplicando por el valor de la UF al día del

retiro del depósito. 7. Si se quiere determinar la tasa de interés nominal efectiva, se divide el interés

nominal resultante por la cantidad de dinero depositada.

PRUEBA Nº 4

Juan Pérez prestó a su amigo David Raúl $300.000 el 18.03.07, a una tasa de interés del 15% anual. David Raúl se comprometió a devolver el préstamo más los intereses el 22.05.07.

a.- Determina el tiempo de uso del dinero ,según criterio exacto y aproximado. b.- Determina la tasa de interés equivalente mensual a interés simple y a interés compuesto. c.- Calcula el interés que genera la deuda, a interés simple y a interés compuesto. d.- Si el plazo del préstamo hubiese sido de 2 meses:

1.- Determina su fecha de vencimiento2.- Calcula el interés del préstamo (IS e IC)

e.- Si Juan Pérez desea que el préstamo genere $15.000 por concepto de interés, ¿Cuál debería ser la fecha de vencimiento de la deuda a interés simple e interés compuesto (manteniéndose la tasa de interés).

f.- Determina el interés que genera la deuda entre los días 14.04.07 y 21.04.07 (ambas fecha inclusive). ( IS, IC )

g.- ¿Cuánto debería ser el dinero prestado por Juan Pérez para obtener un monto de $400.000.- (IS, IC).

h.- Explica porqué en la letra c, el interés compuesto resulta ser menor que el interés simple.

Pauta de Corrección

a.-Determinación de tiempo exacto: 18.03.07 --- 22.05.07

Marzo 31 13Abril 30 30Mayo 31 22

65 díasDeterminación de tiempo aproximado

año mes día97 05 2297 03 18 0 2 4

2 x 30 + 4 60 + 4 = 64 días

b.-Tasa de interés equivalente mensual simple

0,15 = 1,25 % 12

Tasa equivalente mensual compuesto



( 1 + 0,15 )1 = ( 1 + im )12 => im = 1.17 %

c.-Interés que genera la deuda a interés simple

I = 300.000 x 0,15 x 65 = $ 8.125360

Interés que genera la deuda a interés compuesto

Tasa equivalente diaria ( 1 + 0,15 )1 = ( 1 + id )360

id = 0,000388303id = 0,0388303%

I = 300.000 [(1.000388303)65 -1 ) = $ 7.667

d.-1.- Fecha de Vencimiento: 18.05.072.- Interés Simple:

I = 300.000 x 0,15 x 2 = $ 7.500 12

Interés Compuesto

I = 300.000 ( (1,0117)2 -1 ) = $ 7.061

e.-1.-

I = 15.000C = 300.000i = 15% anual

a interés simple:

I = C x n x i15.000 = 300.000 x 0,15 x n

n = 0,333 añosn = ¼ de añon = 4 meses

=> fecha de vencimiento: 18.07.07 (aproximado )

a interés compuesto:

15.000 = 300.000 ((1,15)n -1 )1.05 = (1 .15)n /log.nn = log(1.05)

log (1,15)n = 0.3490947774 año

tiempo : 4 meses, 5 días, 16 horasfecha de vencimiento: 24.07.07

Al emplear el método de Interés Compuesto se requiere mayor tiempo que en interés simple debido a que la tasa de interés equivalente mensual compuesta es menor a la tasa de interés equivalente mensual simple:

f.-Periodo 14.04.07 --- 21.04.07 (ambos fechas inclusive)Días exactos : 8

a.- Interés para el periodo (8 días): método simple

I = 300.000 x 0,15 x 8 = $ 1.000360

b.- Interés para el periodo (8 días): método compuesto

1.- Cálculo del Monto acumulado al día 13.04.07

M = 300.000 ( 1 + 0,0117 ) 26/30



M = 303.040

También pudiste calcular el monto, utilizando una tasa equivalente diaria, y usando como exponente 26 (número de días exactos entre el 18.03 y el 13.04)

I = 303.040 ( (1,000388303)8 -1 ) = $ 943

g.-M = $ 400.000C = ?i = 15% anual5 = 65 días

a) Interés simple400.000 = C ( 0,15 x 65 + 1)

360

C = $389.452

b.- Interés Compuesto400.000 = C (1 + 0,000388303 )65

C = $390.032

h.- En c el interés compuesto es menor al interés simple, para el tiempo indicado, debido a que la tasa de interés equivalente mensual compuesta es menor a la tasa equivalente mensual simple:



VALOR ACTUAL DE UNA DEUDA CON VENCIMIENTO EN EL FUTUR0 Situaciones posibles: CASO 1.- Una persona debe cancelar a un amigo $300.000 el 22 de junio del presente

año. CASO 2.- Juan en una casa comercial debe dos cuotas de $40.000 cada con

vencimiento el 01 de junio y el 1 de julio del presente. CASO 3.- María desea saber cuanto dinero le esta debiendo al banco por un préstamo,

del cual quedan solo tres cuotas de $85.000 cada una. La primera vence el 16 de junio, la segunda el 16 de julio y la tercera el 16 de agosto.

CASO 4.- Una casa comercial tiene en su poder un pagaré firmado por uno de sus

clientes por un valor de vencimiento de $380.000. La fecha de vencimiento es el 23 de septiembre del presente año. Esta casa comercial acude a una empresa factoring el 8 de mayo a vender el pagaré. La institución financiera por operaciones aplica una tasa de interés del 2,5% mensual, más una comisión del 2%.

VALOR ACTUAL Es aquel capital o dinero que debe ser invertido en la fecha del valor actual a una determinada tasa de interés, para que a cierta fecha en el futuro, se transforme en el valor futuro de la deuda.

Factores que determinan el VALOR ACTUAL Para determinar el valor actual de una deuda con vencimiento en el futuro, es necesario conocer:

1.- El valor de deuda futura 2.- El tiempo entre la fecha del valor y la fecha del valor futuro 3.- Tasa de interés o Tasa de descuento. La tasa de interés que permite calcular los intereses a descontar del valor futuro para obtener el valor actual recibe el nombre de TASA DE DESCUENTO (d)

TASA DE DESCUENTO para cada uno de los casos anteriores: CASO 1.- Rentabilidad que se puede obtener con el uso del dinero. Costo de oportunidad. Para determinar la tasa de descuento las partes, dependiendo de su poder de negociación deben determinar la tasa de interés a aplicar. CASO 2.- Las casas comerciales generalmente por prepago de deuda no descuentan intereses, es decir, la tasa de descuento es CERO (0). CASO 3.- Corresponde a la tasa de interés del crédito. Los banco comerciales descuentan los intereses NO devengados. Pero por operaciones de prepago suelen cobrar comisiones e intereses de algunas cuotas. CASO 4.- Las empresas factoring usan como tasa de descuento la tasa de interés que ellas cobran por esta operaciones, más comisiones por dicho servicio. El interés, además de la tasa de interés, depende del tiempo de adelantamiento de la deuda, del valor de vencimiento del documento.



Determinación de VALOR ACTUAL para cada uno de los casos:

CASO 1.- Se supone como tasa de descuento una rentabilidad del 1% mensual. Tiempo de uso del dinero al 8 de mayo, 45 días. Valor futuro $300.000.

M = C ( 1 + i * n) 300.000 = C ( 1 + 0,01 *45/30) C = $295.567

El VALOR ACTUAL (8 de mayo) de los $300.000 que vencen el 22 de junio es de $295.567.

Cuantía de intereses a descontar: $4.433

NOTA: Los intereses a descontar (4.433) se determinaron tomando como base el capital o valor actual. Es decir: 295.567 * 0,01 * 45/30 = 4.433. Si se hubiese tomado como base el valor futuro el interés a descontar habría sido de $4.500

CASO 2.- Como la tasa de descuento es CERO, el valor actual de cada una de

las cuotas es de $40.000, es decir, el VALOR ACTUAL TOTAL es de $80.000

CASO 3.- Se supone que el crédito bancario se estableció a una tasa de interés del

1,5%. El tiempo de uso del dinero para cada cuota en relación a la fecha del 8 de mayo es de:

Cuota 1: 39 días Cuota 2: 69 días Cuota 3: 100 días

Valor Actual cuota 1: 85.000 = C ( 1 + 0,015 ) 39/30 = $83.371 Valor Actual cuota 2: 85.000 = C ( 1 + 0,015) 69/30 = $82.139 Valor Actual cuota 3: 85.000 = C ( 1 + 0,015) 100/30 = $80.885

Total deuda al 8 de mayo = $246.395 VALOR ACTUAL al 8 de mayo

NOTA: Para descontar intereses se utilizó como base de cálculo el valor actual de cada cuota.

CASO 4.- En el caso de operaciones de factoring los intereses a descontar usan

como base de cálculo el valor de vencimiento del documento. En este caso no es posible aplicar interés compuesto. La operación se debe hacer a interés simple.

Determinación Interés:

Fórmula de interés simple: I = C * i * n

El capital (C) corresponde al valor de vencimiento del documento

I = 380.000 * 0,025 * 138/30 = $43.700



Determinación de Comisión: 380.000 * 0,02 = $7.600 Total de descuento = $51.300

Valor Actual de Pagaré: $328.700

Valor de Vencimiento del Pagaré: $380.000 - Valor total de descuento $ 51.300

CONCLUSIONES:

Los intereses a descontar pueden utilizar como base de cálculo ya sea el valor actual o bien el valor futuro.

Siempre es necesario determinar, en forma exacta, el tiempo que media entre la fecha del valor actual y la fecha del valor futuro.

Tipos de DESCUENTO de intereses Según sea la base de cálculo para determinar los intereses a descontar, tenemos dos métodos de descuento de intereses. Estos son: 1.- Descuento Bancario 2.- Descuento Racional o Matemático Descuento Bancario:

Usa como base de cálculo el valor futuro de una deuda, es decir, el valor de vencimiento de una obligación.

Como la base de cálculo es el valor de vencimiento para cada periodo de descuento de intereses, la modalidad de cálculo de interés debe ser interés simple.

Fórmula de Interés simple: I = C * i * n

1.- Descuento Bancario: Db = VF * i * n

Para determinar el Valor Actual al valor futuro se le debe descontar los intereses (D), es decir: VA = VF – D Para determinar el descuento de intereses según esta modalidad la fórmula establecida anteriormente es: Db = VF * i * n Por lo tanto el Valor Actual de una deuda con vencimiento en el futuro bajo la modalidad de descuento bancario sería determinado de la siguiente manera: VA = VF – VF * i * n Factorinzando por VF

VA = VF ( 1 - i * n)



Por ejemplo. Un documento con valor de vencimiento de $590.000 vence el 16 de octubre del presente año. Se utiliza como tasa de descuento un 2% mensual. La fecha en que se vende el documento es el 9 de mayo del presente año:

Datos:

En la venta de documentos se utiliza descuento bancario La tasa de descuento es 2% mensual Valor de vencimiento de la obligación es $590.000 Tiempo para descontar intereses es de 160 días

Descuento Bancario: 590.000 * 0,02 * 160/30 = $62.933 Valor Actual Bancario: 590.000 * ( 1 – 0,02 * 160/30) = $527.067

2.- Descuento Racional

Utiliza como base de cálculo el Valor Actual Se aplicar la modalidad de interés como interés compuesto, según las partes pacten

la forma de determinación de intereses a descontar. En el prepago de los créditos bancarios se utiliza el descuento de interese según modalidad compuesta.

El valor actual según descuento racional, puede ser: a.- Valor Actual Simple b.- Valor Actual Compuesto Formulación

Valor Actual Simple: VA = . VF . (1 + i * n) Valor Actual Compuesto : VA = . VF . (1 + i ) n

Descuento Racional Para determinar el descuento racional de un valor futuro, conociendo el valor futuro y el valor actual, se debe descontar al valor futuro el valor actual:

D r = VF – VA Descuento Racional Simple: Drs = VF – VArs

= VF - . VF . (1 + i * n)

Drs = VF ( 1 - . 1 . ) (1 + i * n) Descuento Racional Compuesto : Drc = VF – VArc

= VF - . VF . (1 + i ) n



Drs = VF ( 1 - . 1 . ) (1 + i ) n

Por ejemplo. Una deuda con valor de vencimiento de $590.000 vence el 16 de octubre del presente año. Se utiliza como tasa de descuento un 2% mensual. La fecha en que se determina el valor actual de la deuda es el 9 de mayo del presente año: Datos: Valor Futuro: $590.000 Tasa de descuento: 2% mensual Tiempo (días) 160

Valor Actual racional simple Valor Actual racional compuesto

VArs = 590.000 / ( 1 + 0,02 * 160/30)

VA rs = $533.133

VA rc = 590.000 / ( 1 + 0,02) 160/30

VArc = $530.865

Descuento racional simple Descuento Racional compuesto

Drs = 590.000 ( 1 – 1 / ( 1 + 0,02* 160/30)

Drs = $56.868

Drc = VF ( 1 – 1 / ( 1 + 0,02 ) 160/30)

Drc = $59.135

PRUEBA N° 5

Un pagaré de monto nominal $100.000 con vencimiento el 1º de Diciembre de 2006 fue descontado (vendido ) en un banco al 3% mensual el día 1º de Mayo de 2007, posteriormente, el 1º de Agosto se vendió al Banco Central al 4% mensual. (Use tiempo aproximado).

a.- Calcula el valor de compra del documento por parte del banco comercial.b.- Calcula el dinero ganado por el banco comercial por la compra del pagaré.c.- Calcula el valor de compra del documento por parte del Banco Central.d.- Calcula el dinero ganado por el Banco Central por la compra del pagaré.e.- Responde las preguntas de las letras a, b, c, d utilizando descuento racional (emplea tiempo

aproximado).


Recta de tiempo

d = 3 % $ 100.000________________________________________________________

01.05 01.06 01.07 01.08 01.09 01.10 01.11 01.12

a.- VA = VF ( 1 - n x d )

VA = 100.000 (1 - 7 x 0,03 ) = $ 79.000

b.- D2 = 100.000 x 7 x 0,03 = $ 21.000



c.-

d = 4 % 100.000

________________________________ 01.08 01.09 01.10 01.11 01.12

VA = 100.000 (1 - 4 x 0,04 ) = $ 84.000

d.- Db = 100.000 x 4 x 0.04 = $ 16.000

e.-a.- VA = . 100.000 . = $ 82.645

1 + 7 x 0,03

RECUERDA: Si el tiempo de uso del dinero es menor a un año, debes calcular el tiempo usando método exacto.

b.- VF - VA = Dr.

100.000 - 82.645 = $ 17.355

c.- VA = . 100.000 . = $ 86.2071 + 4 x 0,04

d.- Dr. = VF - VA

100.000 - 86.207 = $ 13.793



PAGOS PARCIALES Aspectos Generales

Un préstamo u obligación puede ser devuelto en un pago único o en dos o más parcialidades o cuotas.

Cada cuota tiene una parte de intereses (I) y una parte de amortización de capital (Ak) (devolución total o parcial de un préstamo o deuda).

El interés que se cancela en una cuota se determina respecto al saldo insoluto de la deuda (parte del préstamo que se adeuda). El interés NO se determina sobre el valor de la cuota sino sobre el saldo insoluto.

Al cancelar una cuota, y en ella amortizar capital, el saldo insoluto de la deuda disminuye y el interés resultante para el próximo periodo, que será cancelado en la próxima cuota, será menor. En este caso estamos en presencia de INTERÉS COMPUESTO.

Para descontar intereses de una cuota y/ determinar el saldo insoluto de una deuda se aplica la modalidad de descuento racional, preferentemente a interés compuesto.

SITUACIONES DE PAGOS PARCIALES

SITUACIÓN 1: Don Carlos, hoy 15 de mayo, mantiene una deuda con un banco. Esta

consiste en tres cuotas iguales de $55.000, con vencimiento el 01 de junio, 01 de julio y 01 de agosto. La tasa de interés aplicada al crédito es de un 1,5% mensual. Se pide; determinar el saldo insoluto de la deuda.

Aspectos teóricos:

o A las cuotas de les debe descontar los intereses NO devengados. o Para determinar los intereses que se cancela en cada cuota es necesario calcular

los intereses que tiene implícito cada cuota. o Al descontar los intereses de las cuotas, lo que queda es la amortización de

capital de cada cuota. o La suma de las amortizaciones de capital de las respectivas cuotas corresponde

al saldo insoluto de la deuda en una determinada fecha. o Para descontar intereses o determinar la amortización de capital de cada cuota se

debe calcular el valor actual de cada cuota, aplicando la fórmula de VALOR ACTUAL RACIONAL. ( VA = VF / ( 1 + i ) n )

55.000 55.000 55.000 ? ? ? ? 15/05 01/06 01/07 01/08 SI. Saldo Insoluto de la Deuda: Tiempo para descontar intereses de cada una de las cuotas: Tiempo (días) Cuota 01/06: 17 (16 + 1) Cuota 01/07: 47 (16 + 30 + 1) Cuota 01/08: 78 (16 + 30 + 31 + 1) S.I. = 55.000 / ( 1 + 0,015) 17/30 + 55.000 / (1 + 0,015) 47/30 + 55.000 / (1 + 0,015) 78/30



S.I = 54.538 + 53.732 + 52.912 S.I. = $161.182

En una situación práctica, los bancos, para operaciones de pre-pago, aplican comisión de pre-pago y en algunos casos ciertos bancos aplican intereses adicionales. Se recomienda cuando se solicite un crédito averiguar cuales son las condiciones de pre-pago que aplica la entidad que otorga el crédito.

SITUACIÓN 2: Don Carlos, hoy 15 de mayo, pide un préstamo en un banco de $200.000. Este consiste en tres cuotas iguales, con vencimiento el 01 de junio, 01 de julio y 01 de agosto. La tasa de interés aplicada al crédito es de un 1,5% mensual. Se pide; determinar el valor de la cuota

Cuota 1 Cuota 2 Cuota 3 ? ? ? ? 15/05 01/06 01/07 01/08 Préstamo

El tiempo ya se ha determinado anteriormente.

Tiempo (días) Cuota 01/06: 17 (16 + 1)

Cuota 01/07: 47 (16 + 30 + 1) Cuota 01/08: 78 (16 + 30 + 31 + 1)

200.000. = cuota 1 / ( 1 + 0,015) 17/30 + cuota 2 / (1 + 0,015) 47/30 + cuota 3 / (1 + 0,015) 78/30

Valor cuota: $68.246 Composición de las CUOTAS Para determinar como están compuestas las cuotas, se ha de confeccionar una tabla de amortización o también llamado tabla de desarrollo. TABLA DE AMORTIZACIÓN Muestra como se compone las cuotas en términos de intereses y amortización de

capital. Los intereses se determinan sobre el saldo el saldo insoluto de la deuda Las cuotas se componen por intereses y amortización de capital El amortizar capital disminuye el saldo de insoluto de la deuda Al disminuir el saldo insoluto el interés resultante para el próximo periodo es menor Al disminuir el interés la amortización de capital aumenta. El saldo insoluto después de cancelar la última cuota debe ser igual a cero. Estructura de Tabla de Amortización

Periodo Capital Interés Cuota Amortización

de capital Saldo

insoluto



Datos: Préstamo: $200.000 Tasa de Interés: 1,5% Valor cuota: $68.246 Fechas de vencimiento de cada cuota:

Cuota 1: 01 de junio Cuota 2: 01 de julio Cuota 2: 01 de agosto

Periodo Capital Interés Cuota Amortización

de capital Saldo

insoluto

1 $ 200.000 $ 1.695 $ 68.246 $ 66.552 $ 133.448 2 $ 133.448 $ 2.002 $ 68.246 $ 66.244 $ 67.204 3 $ 67.204 $ 1.042 $ 68.246 $ 67.204 $ 0

NOTA:

1. El interés se determina sobre el saldo insoluto

2. La amortización de capital se obtiene descontando al valor de la cuota

los intereses del respectivo periodo.

3. El saldo insoluto corresponde al capital inicial del periodo menos la

amortización que se cancela en la respectiva cuota.

4. El capital corresponde al saldo insoluto de la deuda del periodo

anterior.

Problema de PAGOS PARCIALES con elevado número de cuotas (ANUALIDAD o Teoría de Rentas)

ANUALIDAD:

Es una sucesión de pagos o cobros Los pagos o cobros pueden ser mensualmente, trimestralmente, semestralmente, anualmente, etc. Las cuotas

anuales significa que se cancela una sola cuota por año. Cuando una ANUALIDAD presenta ciertas características es posible aplicar unas fórmulas que permiten

simplificar los cálculos y ser más precisos en los resultados. Estas características son: o Las cuotas tienen la misma cuantía (igual valor) o Los periodos de pagos son todos iguales. o La tasa de interés durante todo el periodo de la deuda es fija.

Si una anualidad NO presenta alguna de las características señaladas anteriormente, No puede aplicarse las fórmulas y se debe proceder usando el método carretero (uno a uno).

Existen varios tipos de anualidades que cumplen con los requisitos, éstas son: o Anualidades Vencidas o Anualidades Anticipadas o Anualidades Diferidas o Anualidades Perpetuas

Las situaciones de crédito generalmente están relacionadas con anualidades vencidas y diferidas. Con respecto a las anualidades se pueden dar dos situaciones:

o Calcular VALOR ACTUAL de una ANUALIDAD o Calcular MONTO de una ANUALIDAD



VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

El cálculo de Valor Actual de una Anualidad, permite:

o Descontar intereses de las cuotas pendientes de pago. Es decir, calcular Saldo Insoluto de una Deuda. En tiempo cero (0) corresponde al valor del préstamo. Se debe conocer, el valor de las cuotas (R), la tasa de interés por periodo de pago (i) y número de cuotas pendientes de pago (n).

o Determinar el valor de la cuota de un préstamo ( R ). Se debe conocer, el valor del préstamo

(VA), la tasa de interés por periodo de pago (i) y número de cuotas (n).

o Calcular la cantidad de cuotas que se deben cancelar de un préstamo cuando se desea cancelar una determinada cuantía de cuota. Se debe conocer, el valor del préstamo (VA), la tasa de interés por periodo de pago (i) y el valor de la cuota (R).

o Determinar la tasa de interés que se aplica a una operación de crédito. Se debe conocer, el

valor del préstamo (VA), el número de cuotas (n).y el valor de la cuota (R).

Fórmula de Valor Actual de una Anualidad Vencida: o Las cuotas se cancelan al final de cada periodo de pago.

VA AV = R ( 1 – (1 + i ) –n ) i

SITUACIÓN 3: Don Carlos, hoy, pide un préstamo en un banco de $200.000. Este

consiste en 12 cuotas iguales mensuales y vencidas. La tasa de interés aplicada al crédito es de un 1,5% mensual. Se pide; determinar el valor de la cuota.

Usando método carretero (uno a uno). Procedimiento utilizado en Situación 2.

200.000. = R / ( 1 + 0,015) 1 + R / (1 + 0,015) 2 + ….. + R / (1 + 0,015) 12

Factorizando por R

200.000. = R (1 / ( 1 + 0,015) 1 + 1 / (1 + 0,015) 2 + ….. + 1 / (1 + 0,015) 12 )

R = $18.336

Usando Fórmula

200.000 = R ( 1 – ( 1 + 0,015) -12 ) 0,015

R = $18.336

Confeccionemos la tabla de amortización respectiva:

TABLA DE AMORTIZACIÓN

Periodo Capital Interés Cuota Amortización de

Capital Saldo

Insoluto

1 $ 200.000 $ 3.000 $ 18.336 $ 15.336 $ 184.664 2 $ 184.664 $ 2.770 $ 18.336 $ 15.566 $ 169.098 3 $ 169.098 $ 2.536 $ 18.336 $ 15.800 $ 153.298 4 $ 153.298 $ 2.299 $ 18.336 $ 16.037 $ 137.262 5 $ 137.262 $ 2.059 $ 18.336 $ 16.277 $ 120.985 6 $ 120.985 $ 1.815 $ 18.336 $ 16.521 $ 104.464 7 $ 104.464 $ 1.567 $ 18.336 $ 16.769 $ 87.695 8 $ 87.695 $ 1.315 $ 18.336 $ 17.021 $ 70.674 9 $ 70.674 $ 1.060 $ 18.336 $ 17.276 $ 53.398

10 $ 53.398 $ 801 $ 18.336 $ 17.535 $ 35.863 11 $ 35.863 $ 538 $ 18.336 $ 17.798 $ 18.065 12 $ 18.065 $ 271 $ 18.336 $ 18.065 $ 0



Fórmula para determinar valor de la cuota:

Valor de la cuota ( R) = Préstamo * i ( 1 – (1 + i ) – n )

Otras Fórmulas relacionadas con el Valor Actual de una Anualidad Vencida Saldo Insoluto de una Deuda

S.I. = Cuota * ( 1 – (1 + i ) –n ) i

Datos: Valor cuota mensual: $130.000 Tasa de interés mensual: 1,1% Número de cuotas: 12

Saldo insoluto: 130.000 * ( 1 – (1+ 0,011) -12 = $ 1.453.958

0,011

Número de Cuotas de un Crédito

n = - log ( 1 – VA * i / R) log ( 1 + i)

Datos: Préstamo o Saldo Insoluto: $1.000.000 Tasa de interés mensual: 1,1% Valor de la Cuota: $90.000

Número de Cuotas: n = - log ( 1 – 1.000.000 * 0,011 / 90.000) = 11,92

Log ( 1 + 0,011)

El resultado significa 11 cuotas de $90.000 y la cuota 12 de $ 82.452 ($90.000 * 0,9161364)

Tasa de Interés implícita de un Crédito

No existe posibilidad de despejar la fórmula de Valor Actual de la anualidad, por tal motivo se debe utilizar el método de ensayo o error, también llamado método del tanteo. El método del tanteo consiste en descubrir aquella tasa de interés o de descuento que permite la igualdad de la fórmula de la anualidad.

Datos: Préstamo o Saldo Insoluto: $1.000.000 Valor de la Cuota: $90.000 Número de cuotas: 15

1.000.000 = 90.000 ( 1 – ( 1 + im) -15 ) im

¿Qué tasa de interés mensual permite que se produzca la igualdad?

Si probamos con un 2% mensual, valor actual de la anualidad es: $ 1.156.434

Se descontó pocos intereses, se debe subir la tasa de descuento Si probamos con un 3% mensual es valor actual de la anualidad es: $ 1.074.414,16

Todavía la tasa de descuento es muy baja, hay que seguir subiendo la tasa. Si probamos con un 4% mensual es valor actual de la anualidad es: $ 1.000.654,87

Para que nos dé la igualdad, la tasa de descuento requerida es de: 4,009363868928%



VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA

Una Anualidad diferida es aquella sucesión de ingresos o pagos en que comienzan a producirse después de cierta fecha o periodo. Ese periodo recibe el nombre de periodo de gracia.

El periodo de gracia puede ser: o Aquel tiempo donde la deuda no genera intereses o Aquel tiempo donde se cancela solo intereses y la amortización de capital se

paga posteriormente en un pago único o en pagos parciales. o Aquel tiempo donde se genera intereses, pero éstos no se cancelan, se

capitalizan. La deuda se incrementa. En la práctica todas las instituciones financieras ofrecen la posibilidad de pago

diferido de las cuotas. Esto encarece el valor de los pagos. Fórmula de Valor Actual de una Anualidad diferida

VA AD = R ( 1 – (1 + i ) –n ) i * (1 + i ) p.g.

SITUACIÓN 4: Don Carlos, hoy, pide un préstamo en un banco de $500.000. Este

consiste en 6 cuotas iguales mensuales y vencidas.. La tasa de interés aplicada al crédito es de un 1,5% mensual. Se otorga un plazo de gracia de 3 meses. Se pide; determinar el valor de la cuota.

500.000 = R * (1 – (1+ 0,015) – 6 ) 0,015 * ( 1 + 0,015) 3

Valor de la cuota R = $ 91.771,46


Periodo Capital Interés Cuota Amortización de

Capital Saldo

Insoluto

1 $ 500.000 $ 7.500 $ 507.500 2 $ 507.500 $ 7.613 $ 515.113 3 $ 515.113 $ 7.727 $ 522.839 4 $ 522.839 $ 7.843 $ 91.771 $ 83.929 $ 438.910 5 $ 438.910 $ 6.584 $ 91.771 $ 85.188 $ 353.723 6 $ 353.723 $ 5.306 $ 91.771 $ 86.466 $ 267.257 7 $ 267.257 $ 4.009 $ 91.771 $ 87.763 $ 179.494 8 $ 179.494 $ 2.692 $ 91.771 $ 89.079 $ 90.415 9 $ 90.415 $ 1.356 $ 91.771 $ 90.415 $ 0

OTRAS FÓRMULAS DE VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

Valor Actual de una Anualidad Anticipada

VA Aa = R ( 1 – (1 + i ) –n ) *(1 + i) i *

Valor Actual de una Anualidad Perpetua

VA AP = R / i



MONTO DE UNA ANUALIDAD

Corresponde al valor futuro de las distintas cuotas de una anualidad a una determinada fecha.

A las distintas cuotas se le debe agregar intereses hasta la fecha del valor futuro. Generalmente se utiliza la modalidad de interés compuesto.

Sirve para calcular cuantía de la deuda de varias cuotas impagas en que además se le aplica intereses moratorios. Otro ejemplo puede ser el determinar el monto acumulado del dinero cotizado para pensión de vejez.

Se aplica para determinar fondos de amortización. Fórmula de Monto de una Anualidad.

MA = R ( (1 + i )n - 1) i

Esta fórmula calcula el monto de la anualidad

en la fecha de la última cuota

SITUACIÓN 4: Don Carlos desde hace 2 meses ha depositado $80.000 en una cuenta de ahorro que ha generado intereses correspondiente a un 0,3% mensual. Hoy, en la fecha del último depósito, desea saber cuánto dinero tiene derecho a retirar.

80.000 80.000 80.000 _____________________________

2 1 0 meses Usando método carretero (uno a uno)

MA = 80.000 * (1+ 0,003) 2 + 80.000 (1+0,003) 1 + 80.000 = $ 240.720,72

Usando fórmula de Monto de una Anualidad MA = 80.000 ( (1+0,003) 3 – 1) = $ 240.720,72 0,003



MATEMATICAS FINANCIERAS EN LA EVALUACIÓN DE INVERSIONES Para evaluar si una inversión es buena o mala, existen varios criterios de decisión, entre ellos, desde el punto de vista financiero, se pueden señalar los siguientes:

El tiempo para recuperar la inversión Si la inversión No se recupera, o se recupera en un periodo mayor a lo requerido por los inversionistas, se debe rechazar la inversión.

La rentabilidad anual de la inversión Si la rentabilidad que pueda generar la inversión es superior a la rentabilidad mínima que se le exige al proyecto para llevarlo a cabo, es recomendable realizar la inversión. Frente a inversiones de similar riesgo se debe preferir la de mayor rentabilidad.

El riesgo que la rentabilidad esperada no se dé al realizar la inversión. Frente a inversiones de similar rentabilidad, se debe elegir la de menor riesgo. En relación a los objetivos del presente módulo, no se analizará el riesgo de las inversiones.

A continuación se procederá a analizar técnicas de evaluación de inversiones donde se apliquen las matemáticas financieras. FLUJOS DE FONDOS

o Para evaluar si una inversión es conveniente realizar, desde el punto de vista de la rentabilidad, NO se debe utilizar las estimaciones de utilidad que pueda generar una inversión (dado que la utilidad es un concepto contable y no necesariamente representa retornos de una inversión). Es necesario determinar los flujos de fondos que generará una inversión durante cierto tiempo.

o Los flujos de fondos que están relacionados con una inversión o proyecto son:

o Inversiones Inversiones en activo fijo Inversiones en Gastos de Puesta en Marcha Inversiones en Capital de Trabajo

o Ingresos anuales Ventas por bienes y/o servicios Ventas de activos fijos (por reposición o no) Ventas de residuos Valor de desecho del proyecto (venta de la empresa al final de la vida

útil de proyecto) Valor de la empresa al final del horizonte de evaluación (capacidad de

la empresa para generar retornos futuros)

o Egresos anuales Costos operacionales anuales Costos No operacionales (intereses, impuesto a la renta) Gastos NO desembolsables (solo para efecto de impuesto a la renta)

Depreciación Amortización de Gastos de Puesta en Marcha



Ejemplo de Flujo de Caja

FLUJO DE CAJA Item 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ventas $ 100.000 $ 100.000 $ 100.000 $ 100.000 $ 100.000 $ 100.000 $

100.000 $

100.000 $ 100.000 $ 100.000

Costo Fijo -$ 30.000 -$ 30.000 -$ 30.000 -$ 30.000 -$ 30.000 -$ 30.000 -$ 30.000 -$ 30.000 -$ 30.000 -$ 30.000

Costo Variable -$ 20.000 -$ 20.000 -$ 20.000 -$ 20.000 -$ 20.000 -$ 20.000 -$ 20.000 -$ 20.000 -$ 20.000 -$ 20.000

Intereses -$ 15.846 -$ 6.428

Depreciación -$ 25.000 -$ 25.000 -$ 25.000 -$ 25.000 -$ 25.000 -$ 25.000 -$ 25.000 -$ 25.000 -$ 25.000 -$ 25.000 Utilidad antes de Impuesto $ 9.154 $ 18.572 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000

Impuesto a la renta -$ 1.373 -$ 2.786 -$ 3.750 -$ 3.750 -$ 3.750 -$ 3.750 -$ 3.750 -$ 3.750 -$ 3.750 -$ 3.750 Utilidad después de Impuesto $ 7.781 $ 15.786 $ 21.250 $ 21.250 $ 21.250 $ 21.250 $ 21.250 $ 21.250 $ 21.250 $ 21.250

Depreciación $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000 $ 25.000

Préstamo $ 159.500

Amort Capital -$ 75.041 -$ 84.459

Capital de Trabajo -$ 40.000

Inversión Inicial -$ 250.000

Valor de Desecho $ 150.000

FCN - 130.500 - 42.260 - 43.673 46.250 46.250 $ 46.250 $ 46.250 46.250 46.250 $ 46.250 196.250

Explicación del flujo de caja:

El proyecto implica incurrir en inversiones por un valor de $290.000. En caso de pedir un préstamo de $159.500 se deberá destinar con fondos propios $130.500. Para los primeros dos años se incurrirá en déficit de caja. A contar del tercer año los ingresos anuales superarán los egresos anuales


GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICAS FINANCIERAS

TÉCNICAS DE EVALUACIÓN DE INVERSIONES Con el objeto de aplicar las matemáticas financieras, se utilizarán dos técnicas de evaluación de inversiones de conocimiento universal, tales como:

1. Valor Actual Neto (VAN) 2. Tasa Interna de Retorno (TIR)

Ambas técnicas:

o Consideran que el dinero tiene distinto valor en el tiempo. o Su procedimiento involucra calcular el valor actual de los flujos futuros de

fondos que generaría el proyecto. o Se requiere conocer la rentabilidad mínima exigida para realizar el proyecto,

también llamada Tasa de Costo de Capital.

Tasa de Costo de Capital: Corresponde a la rentabilidad mínima exigida a un proyecto para su

realización. Representa el costo de financiamiento del proyecto Si los flujos están en términos reales (UF) se debe utilizar una tasa real,

es decir, descontando la inflación. Si los flujos de fondos se estiman en términos nominales, la tasa de costo de capital debe ser nominal.

Debe considerar el riesgo del proyecto. Un proyecto más riesgoso requiere utilizar una tasa mayor.

VALOR ACTUAL NETO (VAN)

Técnica de Evaluación de Inversiones. Consiste en calcular el valor actual (tiempo cero (0), fecha de la inversión inicial) de los flujos de fondos que generará un proyecto, utilizando como tasa de descuento la rentabilidad mínima exigida al proyecto para su realización.

Si el VAN de un proyecto tiene un valor positivo, se recomienda hacer el proyecto, dado que éste generaría retornos actualizados mayores a lo exigido. El VAN NO indica cuanto se ganará por hacer el proyecto, sino cuánto más se gana, al día de hoy, respecto a la rentabilidad mínima exigida.

Si el VAN de un proyecto es negativo, se debe rechazar el proyecto, NO porque genere pérdidas, sino que los retornos esperados no alcanzan a la rentabilidad mínima exigida.

Se supone que los flujos de fondos intermedios se reinvierten a la tasa de costo de capital.

HARDY SEPULVEDA D. 56


Ejemplo: Si los Flujos de Caja Neto (FCN) de un Proyecto son los siguientes, y la tasa de costo de capital es de un 15% anual:

Años 0 1 2 3 4 Ingresos Egresos

FCN -15.000 5.000 6.000 5.000 6.000

VAN: -Inversión Inicial + Valor actual de los flujos de caja futuros

VAN: -15.000 + 5.000 ___+ 6.000 ___ + 5.000 + 6.000__

(1+ 0,15) 1 (1+ 0,15) 2 (1+ 0,15) 3 (1+ 0,15) 4

VAN; $ 603

Comentario: El proyecto, dado los flujos de caja estimados y la rentabilidad mínima exigida, es recomendable hacerlo, dado que el proyecto generaría aumentar la riqueza en $603 más respecto a lo exigido.

Uso de Excel: Excel no tiene dentro de sus f unciones el VAN, pero se puede usar la f unción VNA (permite calcular el valor actual de una anualidad vencida), y luego agregar con signo negativo la inversión inicial. Se debe colocar además la tasa de costo de capital.



TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Técnica de evaluación de inversiones. Consiste en aquella tasa de descuento que permite que el VAN sea igual a cero. Representa la rentabilidad que generaría la inversión, generalmente anual, durante toda la

vida útil del proyecto. Supone que los flujos de fondos intermedios se reinvierten a la tasa TIR. Según este método, se debe aceptar el proyecto si la TIR es superior a la tasa de costo de

capital (K). Se rechaza el proyecto si la TIR < K. En caso de igualdad, el proyecto es indiferente.

Para determinar la TIR, se puede utilizar los siguientes métodos: o Método de ensayo y error (tanteo), consiste en ir probando tasas de descuento hasta

que se logré que el VAN sea igual a cero. o Uso de Calculadora Financiera o Uso de Excel. Se debe utilizar la función financiera TIR (función, financiera, TIR).

Se debe marcar la fila donde se registra los flujos de fondos, desde la inversión inicial hasta el último flujo.

Ejemplo: Si los Flujos de Caja Neto (FCN) de un Proyecto son los siguientes, y la tasa de costo de capital es de un 15% anual:

Años 0 1 2 3 4 Ingresos Egresos

FCN -15.000 5.000 6.000 5.000 6.000

VAN: -Inversión Inicial + Valor actual de los flujos de caja futuros = 0

VAN: -15.000 + 5.000 + 6.000 + 5.000 + 6.000 = 0

(1+ i) 1 (1+ i) 2 (1+i) 3 (1+ i) 4 Si se prueba con un 10% anual, VAN = $ 2.359

Se ha descontado pocos intereses, se debe aumentar la tasa de descuento

Si se prueba con un 15% anual; VAN = $ 603



Se debe seguir subiendo la tasa de descuento Si se prueba con un 16%; VAN = $ 286 Se debe seguir subiendo la tasa de descuento Si se prueba con un 17%; VAN = -$ 20

Nos pasamos. La TIR se encuentra entre un 16% y un 17%. Muy cercano al 17%.

A continuación se puede optar por dos caminos:

1. Seguir probando tasas hasta llegar a un valor muy cercano a cero. (Generalmente la tasa de descuento que hace que el VAN sea igual a cero tiene muchos decimales).

2. Interpolar. Para ello se necesita una tasa con VAN positivo y una tasa con VAN negativo.

TI R = 16,9%

Comentario: El proyecto, dado los flujos de caja estimados y la rentabilidad mínima exigida, es recomendable hacerlo, dado que el proyecto generaría una rentabilidad anual hasta el final de la vida útil, de un 16,9%, superior a la rentabilidad mínima exigida del 15% anual. (TIR > K)



EJERCICIOS A INTERÉS SIMPLE

EJERCICIO Nº 1

Datos:Capital: $2.400.000Tiempo de inversión: 3 añosTasa de interés anual: 15%

Se pide:A. Interés simple para 3 añosB. Monto simple para 3 años

Interés simple: C * i * n = 2.400.000 * 0,15 * 3 = $1.080.000

Monto simple: C *(1 + i * n) = 2.400.000*(1+0,15 * 3) = $3.480.000

EJERCICIO Nº 2

Datos:Capital: $2.400.000Tiempo de inversión: 3 añosTasa de interés semestral: 8%

Se pide:

a. Interés simple para 3 añosb. Monto simple para 3 años

Interés simple: C * i * n = 2.400.000 * 0,08 * 6 = $1.152.000

Monto simple: C *(1 + i * n) = 2.400.000*(1+0,08 * 6) = $3.552.000

EJERCICIO Nº 3

Don José el 21 de mayo del presente año prestó $400.000 a su amigo Pedro, a una tasa de interés trimestral del 6%. Pedro se comprometió a cancelar los intereses acumulados al 12 de agosto y el 23 de octubre cancelar los intereses faltantes más el préstamo. Determine la cantidad de dinero que recibiría Don José en ambas fechas. Haga los cálculos tanto a interés simple.

$400.000¡__________I_______________!____________I____________!

21/05/08 12/08/08 23/10/08

Interés generado entre 21/05/08 y 12/08/08

Capital: $400.000Tasa de interés: 6% trimestralTiempo (días): 83 (10+30+31+12)

INTERÉS SIMPLEI = C * i * n

I = 400.000 * 0,06 * 83/90I = $22.133


Capital: $400.000Tasa de interés: 6% trimestralTiempo (días): 72 (19+30+23)

INTERÉS SIMPLEI = C * i * n

I = 400.000 * 0,06 * 72/90I = $19.200

Respuesta:



Don José debe recibir el 12 de agosto (interés simple) $22.133 y para el 23 de octubre recibiría $419.200.

EJERCICIO Nº 4

Un capital de $600.000 se invierte durante 120 días a una tasa de interés del 15% anual simple.

a.- Determine el interés del periodo utilizando tasa anual

Datos:Capital: $600.000Tasa de interés: 15%Tiempo: 120 días

n: 120/360

I = C * i * n

I = 600.000 * 0,15 * 120/360I = $ 30.000

b.- Determine el interés del periodo utilizando tasa diaria

I = C * i * n

I = 600.000 * 0,15/360 * 120I = $ 30.000

EJERCICIO Nº 5

Don Juan dueño de una pequeña empresa turística, al final de la temporada alta, ha decidido invertir su dinero en una alternativa que proporciona el mercado de capitales chileno. La rentabilidad esperada por dicha inversión es de un 12% anual.

La cantidad de dinero a invertir es de $958.000, y la fecha de inversión fue el 3 de junio del 2006.

Al 01 de diciembre del mismo, Don Juan ha decidido hacer una serie de preguntas a un profesional universitario. Estas son:

1. Cuánto será la cantidad de dinero que ha ganado en la inversión, si ésta se llevo a cabo a interés simple?

2. El cumpleaños de Don Juan es el 6 de agosto. Cuándo dinero generará la inversión durante el día de su cumpleaños? ( a interés simple)

DESARROLLO

1.- Cuánto será la cantidad de dinero que ha ganado en la inversión, si ésta se llevo a cabo a interés simple?

Tiempo de uso del dinero: 181 díasFecha de inicio: 03/06/2006Fecha de Término: 01/12/2006Capital: $958.000Tasa de interés: 12% anual

I = C * i * n

I = 958.000 * 0,12 * 181/360= $57.799.-



2.- El cumpleaños de Don Juan es el 6 de agosto. Cuándo dinero generará la inversión durante el día de su cumpleaños? ( a interés simple)

Cálculo de interés simple de un día

Capital: 958.000Tasa de interés: 12% anualTiempo de uso del dinero: 1n: 1/360

Interés simple (un día) = C * i * n

958.000 * 0,12 * 1/360 = $319.-

EJERCICIO Nº 6

Cierto capital de invirtió el día de hoy a una tasa de interés del 2,2% mensual. Se estima que dentro de 3 años y 2 meses dicho capital se transformará en $1.077.033.

a. Determine la cantidad de dinero que fue invertido hoy.

Datos:Capital: ¿???Tasa de interés mensual: 2,2%Tiempo de uso del dinero: 3 años y 2 mesesn: 38Monto: 1.077.033

M = C*(1+i * n)

1.077.033 = C*(1+0,022*38)C = 1.077.033/(1+0,022*38)C = $ 586.619

b. Determinar el interés que genera el capital durante el día de los inocentes.

I = C * i * n

I = 586.619*0,022*1/30I = $ 430

c.- Determine el tiempo que sea necesario para que la inversión genere un interés de 105.000

Datos:Capital: 586.619Tasa de interés mensual: 2,2%Tiempo de uso del dinero: ¿????n: ????Interés 105.000Monto: 691.619

M = C*(1+i * n)

691.619 = 586.619*(1+0,022*n)

n = ((M/C)-1)/i

n = ((691.619/586619)-1)/0,022 = 8,1359916 meses

Tiempo de uso del dinero:Fracción de mes en términos diarios: 0,1359916*30 = 4,1

Respuesta: 8 meses y 4,1 días

d. Cuánto dinero se ganará durante los 13 primeros días de la inversión.

Datos:Capital: 586.619Tasa de interés mensual: 2,2%Tiempo de uso del dinero: 13 días



n: 13/30

Interés = 586.619*0,022*13/30

EJERCICIO Nº 7

CAPITAL: $380.000TASA DE INTERÉS: 0,55% (periodo de 45 días)TIEMPO DE USO DEL DINERO: 210 días

periodotiempo del periodo

capital interés monto

1 45 $ 380.000 $ 2.090 $ 382.0902 45 $ 380.000 $ 2.090 $ 384.1803 45 $ 380.000 $ 2.090 $ 386.2704 45 $ 380.000 $ 2.090 $ 388.3605 30 $ 380.000 $ 1.393 $ 389.753tiempo 210 interés del periodo $ 9.753

EJERCICIO Nº 8

Don Mario, le prestó a su amigo José, $600.000 a una tasa de interés del 0,4% mensual, durante un año y 7 meses.

a. Cuánto dinero ganará don Mario por el préstamo?

Capital: $600.000Tasa de interés mensual: 0,4%Tiempo de uso del dinero: 1 año y 7 meses

n; 19

I = C * i * n

I = 600.000 * 0,004 * 19 = $45.600

b. Cuánto dinero deberá pagar José el día de vencimiento de la obligación?

Monto:Procedimiento nº1 Capital más intereses

600.000 + 45.600= 645.600

Procedimiento nº2 M = C ( 1 + i * n)

M = 600.000*(1 + 0,004 * 19)M = $645.600

EJERCICIO Nº 9

Suponga que don Mario hizo el préstamo a José el 16 de agosto del presente año y la fecha de término de la obligación es el 31 de diciembre del mismo año. La tasa de interés deja de ser mensual para transformarse en una tasa del 0,4% por periodos de 38 días. Habrá algún cambio en las preguntas anteriores?

Tiempo de uso del dinero:agosto septiembre octubre noviembre diciembre Meses

31 30 31 30 31Días de cada mes

15 30 31 30 31 137 = total

Periodos de usos del dineroPeriodo

1Periodo

2Periodo

3Periodo

416 de agosto

23 de sep 31 de oct

8 dic Fecha inicio

23 de sep

31 de oct 8 dic 31 dic Fecha termino

38 38 38 23 tiempo



Interés Simple: 600.000 * 0,004 * 137/38 = $8.653

Monto Simple: 600.000 * (1 + 0,004 * 137/38) = $608.653

EJERCICIO Nº 10

Don Juan hace dos meses y 4 días depositó en banco BCI $2.900.000 a una tasa de interés del 0,9% por periodos de 60 días. El banco el día de hoy (29 de agosto) le informa vía correo electrónico que por el presente día su depósito ha generado interés de $38.

a.- ¿Estará correcta la información que le proporciona el banco?

Fecha de depósito: 25 de junio

Interés diario según contrato con banco: 2900000 * 0,009/60 * 1 = $435

Comentario; el interés diario que debería generar el depósito es de $435 y no $38

b.- ¿Qué tasa de interés para periodos de 60 días estaría aplicando el banco si el depósito genera intereses diarios de $38?

Interés diario: $38Interés para 60 días: 38 * 60 = $2.280

Tasa de interés para 60 días:

Interés para 60 días = 2900000 * i 60 * 1

2.280= 2900000 * i 60 * 1i 60 = 2280 / 2900000i 60 = 0,0007862i 60 = 0,07862%

EJERCICIO Nº 11

El día de hoy una persona invirtió $900.000 a una tasa de interés del 1,4%. Determine el interés para un periodo de:

a.- 2 años

I = $302.400 900.000 * 0,014 * 24

b.- 48 días

I = $20.160 900.000 * 0,014 * 48/30

C.- Calcule el dinero acumulado al cabo de 5 años

M = $ 1.656.000 900000*(1+0,014*60)

EJERCICIO Nº 12

Un capital de $2.400.000 hace 7 meses se invirtió en una institución financiera, la cual al día de hoy ha informado que por tal inversión se ha ganado $112.000.

Qué tasa de interés mensual paga el banco? Resp 0,67%

Qué tasa de interés semestral paga el banco? Resp: 4%

Qué tasa de interés anual paga el banco? Resp: 8%



EJERCICIO Nº 13

Un capital de $300.000 se invierte durante 1 año y 7 meses a una tasa de interés mensual del 0,5%. Determine el interés que generará el capital

I = $28.500 300000*0,005*19

EJERCICIO Nº 14

Un capital de $300.000 se invierte durante 1 año y 7 meses a una tasa de interés anual del 12%. Determine el monto que generará el capital

M = 300000 (1+0,12*19/12) = $357.000

EJERCICIO Nº 15

CAPITAL: $2.000.000Tasa de interés mensual: 0,7%Fecha de Inicio: 19/08/2007Fecha de Termino: 04/01/2008

Se pide:1. Interés simple que genera la inversión2. Monto Simple que genera la inversión

DESARROLLO

1 Interés simple que genera la inversión

Tiempo de uso del dinero: 138 días

I = 2000000*0,007*138/30 = $ 64.400

2 Monto Simple que genera la inversión

Ms = 2.000.000 + 64.400 = $2.064.400

EJERCICIO Nº 16

Don Mario, le prestó a su amigo José, $600.000 a una tasa de interés del 0,4% mensual, durante un año y 7 meses.

a. Cuánto dinero ganará don Mario por el préstamo?

Capital: $600.000Tasa de interés mensual: 0,4%Tiempo de uso del dinero: 1 año y 7 meses

n; 19

I = C * i * n

I = 600.000 * 0,004 * 19 = $45.600

b. Cuánto dinero deberá pagar José el día de vencimiento de la obligación?

Monto:

Procedimiento nº1 Capital más intereses

600.000 + 45.600= $645.600

Procedimiento nº2 M = C ( 1 + i * n)

M = 600.000*(1 + 0,004 * 19)M = $645.600

EJERCICIO Nº 17



Cierto capital se invirtió el día de hoy a una tasa de interés del 2,2% mensual. Se estima que dentro de 3 años y 2 meses dicho capital se transformará en $1.077.033.

a. Determine la cantidad de dinero que fue invertido hoy.

Datos:Capital: ¿???Tasa de interés mensual: 2,2%Tiempo de uso del dinero: 3 años y 2 meses

n: 38

Monto: $1.077.033

M = C * ( 1 + i * n )

1.077.033 = C*(1+0,022*38)C = 1.077.033/(1+0,022*38)C = $ 586.619

b. Determinar el interés que genera el capital durante el día de los inocentes.

I = C * i * n

I = 586.619*0,022*1/30I = $ 430

c. Determine el tiempo que sea necesario para que la inversión genere un interés de 105.000

Datos:Capital: 586.619Tasa de interés mensual: 2,2%Tiempo de uso del dinero: ¿????n: ????

Interés 105.000Monto: 691.619

M = C*(1+i * n)

691.619 = 586.619*(1+0,022*n)

n = ((M/C)-1)/i

n = ((691.619/586619)-1)/0,022 = 8,1359916 meses

Tiempo de uso del dinero:Fracción de mes en términos diarios: 0,1359916*30 = 4,1

Respuesta: 8 meses y 4,1 días

d. Cuánto dinero se ganará durante los 13 primeros días de la inversión.

Datos:Capital: 586.619Tasa de interés mensual: 2,2%Tiempo de uso del dinero: 13 días

n: 13/30

Interés = 586.619*0,022*13/30

EJERCICIO Nº 18

CAPITAL: 586.000Tasa de interés anual: 14%Tiempo de uso del dinero: 9 meses

INTERÉS SIMPLE: ¿??????INTERÉS COMPUESTO: ¿?????

Interés simple: $61.530Monto Simple $647.530



EJERCICIO Nº 19

Interés 124 días: $17.986Tasa mensual: 1,1%Tiempo de uso de dinero: 124 días

a.- Determinar la cantidad de dinero invertido en el préstamo

17.986 = C * 0,01 * 124/30

Capital: $ 395.587

EJERCICIO Nº 20

Don Mario el 15 de agosto depositó $2.580.000 en el banco Santander en un depósito a plazo de 40 días cuya tasa de interés por dicho periodo era de 0,36%. Don Mario mantendrá su dinero depositado hasta el 15 de enero del próximo año. Si el banco le informa que por el día 30 de agosto su dinero ha generado intereses por $33, ¿es correcta la tasa del 0,36% por 40 días?

Interés para 40 días: 2.580.000 * 0,0036 = $ 9.288

Interés diario: 9288 / 40 $ 232

EJERCICIO Nº 21

Una persona solicitó un préstamo a un amigo por una cantidad de $440.000. La tasa de interés aplicada al préstamo fue de un 0,45% mensual (30 días).

a. Cuánto será el costo financiero que deberá asumir la persona si cancela la deuda más intereses después de transcurridos 3 años y 7 meses.

Datos:Capital: $440.000Tasa de interés mensual: 0,45%Tiempo de uso del dinero: 43 meses

I = C * i * n

I = 440.000 * 0,0045 * 43I = $ 85.140

b. Solucione el problema considerando que la tasa es de 4,5% anual

Datos:Capital: $440.000Tasa de interés anual: 4,5%Tiempo de uso del dinero: tres años y 7 mesesn: 43/12 meses

I = C * i * n

I = 440.000 * 0,045 * 43/12I = $ 70.950

c. Si una vez transcurrido 55 días se desea saber cuando dinero ha ganado el prestamista. Cuánto es?

Datos:Capital: $440.000Tasa de interés mensual: 0,45%Tiempo de uso del dinero: 55 días

n: 55/30 meses

I = C * i * n

I = 440.000 * 0,0045 * 55/30I = $ 3.630

d. ¿Cuál sería la respuesta del problema c si la tasa de interés es la planteada en b?



Datos:Capital: $440.000Tasa de interés anual: 4,5%Tiempo de uso del dinero: 55 días

n: 55/360 meses

I = C * i * n

I = 440.000 * 0,045 * 55/360I = $ 3.025

e. Si se considera los datos del problema d y se toma en cuenta que el dinero en cuestión se deposita en el banco en depósitos a plazo por cada 360 días. ¿Cuánto dinero deberá pagar el banco por concepto de intereses cuándo el depositante retire su dinero al cabo del día 55.

Respuesta: Interés a pagar por el banco; cero (0)

f. Transcurrido 1 año con 3 meses el interés que debe pagar por el préstamo es de $24.653, qué tasa de interés semestral se estaría aplicando el préstamo?

Datos:Capital: $440.000Tasa de interés semestral: ¿???Tiempo de uso del dinero: 1 año y 3 meses

n: 15/6

I = C * i * n

24.653 = 440.000 * isemestral * 15/6isemestral: 24653/(440000*15/6)isemestral = 2,24%

g. El deudor del préstamo desea cancelar la deuda más intereses una vez que se haya acumulado un total de $500.000. Indicar el tiempo en términos de años, meses y días.

Datos:Capital: $440.000Monto: $500.000Tasa de interés mensual: 0,45%Tiempo de uso del dinero: ¿????n: ???????

I = C * i * nn: I/(C.i)

n: 60000/(440000*0,0045)n: 30,30303

Tiempo de uso del dinero: 2 años, 6 meses y 9,1 días

EJERCICIO Nº 22

Don Mario el 15 de agosto depositó $2.580.000 en el banco Santander en un depósito a plazo de 40 días cuya tasa de interés por dicho periodo era de 0,36%. Don Mario mantendrá su dinero depositado hasta el 15 de enero del próximo año.

a.- Si el banco le informa que por el día 30 de agosto su dinero ha generado intereses por $33, ¿es correcta la tasa del 0,36% por 40 días?

Interés para 40 días: 2.580.000 * 0,0036 = $ 9.288

Interés diario: 9288 / 40 $ 232

EJERCICIO Nº 23

Determine el interés simple de un capital de $75.000 invertido en una institución financiera al 4,7% mensual, durante 6 meses.



Capital :$75.000Tasa 4,7% mensualtiempo : 6 meses

respuesta: $21.150



EJERCICIO Nº 24

Encontrar el interés simple y monto simple de un préstamo de $12.000.- al 8% anual, si el préstamo se piensa cancelar en dos años y tres meses.

DatosCapital: $12.000Tasa de interés anual: 8%Tiempo: dos años y tres meses

Interés simple: ¿?Respuesta: $2.160

Monto simple: ¿? 12000 + 2.160 : 14.160

EJERCICIO Nº 25

Hace 6 meses se prestó $580.000 a una tasa de interés del 0,9% mensual;

a. Cuánto dinero se deberá devolver al día de hoy?

Capital: 580.000Tasa de interés: 0,9% mensualTiempo 6 meses

Respuesta: 580.000 + 31.320 $611.320

b. Determine la cantidad de dinero que se ganará por la operación de crédito

Interés: 580000 * 0,009 * 6 = $31.320

EJERCICIO Nº 26

Si del problema anterior (capital $580.000; tasa de interés mensual 0,9%), el monto a devolver en dicho tiempo corresponde a $650.000.

a. ¿Cuál es la tasa de interés mensual aplicada?

650000 = 580000 ( 1 + i *6 )

im = 2,01%

b.- ¿Cuál es la tasa de interés trimestral aplicada?

650000 = 580000 ( 1 + i * )

i tr: 6,03%

EJERCICIO Nº 27

Si por un préstamo de $800.000 le están cobrando por concepto de interés semanal $1.500. ¿Cuál es la tasa de interés semestral que se está cargando al préstamo.

Interés semanal: 1500Interés diario: 214,285714Interés semestral: 214,285714 * 180 = 38571,4286

Tasa de interés semestral: 4,82%

EJERCICIO Nº 28

Si Usted deposita en el banco cierta cantidad de dinero, a una tasa de interés mensual del 2%, en cuánto tiempo obtendrá por concepto de intereses la mitad del capital invertido?

I = C * i * nC/2 = C * 0,02 * nn = 25



EJERCICIO Nº 29

Si un préstamo de $138.000 ha generado un interés de $30.000

Capital: 138000Interés: 30.000

a. ¿Cuál es la tasa de interés anual aplicada por haber usado el dinero durante 8 años?

Tiempo: 8 añosn : 8

30.000 = 138000 * ia * 8

ia: 2,72%

b. ¿Cuántas semanas ha usado el dinero si la tasa de interés aplicada ha sido del 2% mensual. (Considere que un mes tiene 4 semanas)

$30.000 = 138.000 * 0,02 * n

n: 43,48 semanas

EJERCICIO Nº 30

Don Juan acaba de depositar en el banco Estado $540.000 en un depósito a plazo a 42 días, cuya tasa de interés por dicho periodo es de 0,35%. Don Juan desea mantener el depósito durante 6 meses. El banco NO cancela intereses por periodos menores a lo pactado. Cuánto dinero ganará don Juan si cada 42 días acude al banco a retirar los intereses?

Capital: 540000Tasa de interés = 0,35% para periodos de 42 díasTiempo de uso del dinero: 6 meses

I = C * i * n

I= 540.000 * 0,035 * 4

I =$7.560

EJERCICIO Nº 31

Una persona hace 7 meses depósito en una institución financiera $310.000. Transcurridos tres meses hizo un segundo depósito por $98.000. El día de hoy retira $55.000.

a. ¿Cuánto dinero tendrá a su disposición en el banco dentro de 2 meses? Considere que la institución financiera utiliza como método de cálculo interés simple y aplica una tasa de interés del 0,5% mensual.

RESPUESTA: $369.340.-

b. Confeccione recta de tiempo donde se visualice el flujo de fondo producido en las operaciones bancarias.

c. ¿Cuánto dinero tendrá a su disposición en el banco dentro de 5 meses?

Dinero depositado: 353.000Interés tres primeros meses: 4.650Interés 4 meses siguientes: 8.160Interés 5 meses siguientes: 8.825TOTAL: $374.635

EJERCICIO Nº 32

Una inversión de $280.000 fue realizada hace 5 meses, a una tasa de interés del 0,8% mensual simple.

a. Determine la cantidad de periodos de generación de intereses que sea necesario para que la inversión genere una ganancia de $92.000.

92000 = 280000 * 0,008 * nn: 41,07



b. Indique el tiempo necesario para lograr el objeto planteado en la pregunta anterior. Entregue la respuesta en términos de años, meses y días.

Resp: 3 años, 5 meses y 2,1 días

c. Si al cabo de tres años de la inversión, se recupera un total de $325.000, qué tasa de interés mensual se aplicó.

Resp. 0,446%

EJERCICIO Nº 33

Se invierte $500.000 durante 9 meses, a una tasa de interés del 0,6% mensual.

a. Determine el interés simple que genera la inversión

Capital: $500.000Tasa: 0,6%Tiempo : 9 meses

I = 500.000 * 0,006 * 9 = $27.000

b. ¿Cuánto dinero se ganará durante el mes 9?

Respuesta: 500.000 * 0,006 = $3.000

c. Si durante 3 años y 3 meses el interés de la inversión es de $44.200;

¿Qué tasa de interés mensual se aplicó?

Capital: 500.000Interés 44.200Tiempo 3 años y 3 mesesTasa mensual:n 39

i: 0,23%

¿Qué tasa de interés anual se aplicó?

i a. 2,72%



EJERCICIOS A INTERÉS COMPUESTO

EJERCICIO Nº 1

Datos:Capital: C $2.400.000Tiempo de inversión: t 3 añosTasa de interés mensual: i 1,5%

Se pide:

C. Interés compuesto para 3 añosD. Monto compuesto para 3 años

Desarrollo:

Interés compuesto: C *(( (1+ i) n– 1) = 2.400.000((1+0,015)36-1) = $1.701.935

Monto compuesto: C *(1 + i ) n = 2.400.000*(1+0,015 )36 = $4.101.935

EJERCICIO Nº 2

Datos:Capital: $2.400.000Tiempo de inversión: 9 mesesTasa de interés anual : 8%

Se pide:

A. Interés compuesto para 9 mesesB. Monto compuesto para 9 meses

Desarrollo:

Interés compuesto: C *(( (1+ i) n– 1) = 2.400.000*((1+0,08)(9/12)-1) = $142.606 $1.701.935

Monto compuesto: C *(1 + i ) n = 2.400.000*(1+0,08 )(9/12)= $2.542.606

EJERCICIO Nº 3

Un capital de $600.000 se invirtió a una tasa de interés del 12% anual durante un periodo de 215 días, determine la cantidad de dinero ganado en dicho tiempo.

Datos:Capital: $600.000Tiempo de inversión: 215 díasTasa de interés anual: 12%

Interés compuesto: C *(( (1+ i) n – 1) = 600.000 ((1+0,12) 215/360 – 1) = $42.015

EJERCICIO Nº 4

Don José el 21 de mayo del presente año prestó $400.000 a su amigo Pedro, a una tasa de interés trimestral del 6%. Pedro se comprometió a cancelar los intereses acumulados al 12 de agosto y el 23 de octubre cancelar los intereses faltantes más el préstamo. Determine la cantidad de dinero que recibiría Don José en ambas fechas. Haga los cálculos tanto a interés simple como compuesto.

$400.000¡__________I_______________!____________I____________!

21/05/08 12/08/08 23/10/08




Capital: $400.000Tasa de interés: 6% trimestralTiempo (días): 83 (10+30+31+12)

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTOI = C * i * n

I = 400.000 * 0,06 * 83/90I = $22.133

I = C *(( (1+ i) n – 1)

I = 400.000 ((1 + 0,06) 83/90 -1)I = $22.083


Capital: $400.000Tasa de interés: 6% trimestralTiempo (días): 72 (19+30+23)

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTOI = C * i * n

I = 400.000 * 0,06 * 72/90I = $19.200

I = C *(( (1+ i) n – 1)

I = 400.000 ((1 + 0,06) 72/90 -1)I = $19.087

Respuesta:Don José debe recibir el 12 de agosto (interés simple) $22.133 y para el 23 de octubre recibiría $419.200.

EJERCICIO Nº 5

El 14 de febrero del presente año una persona le regaló a su esposa $2.600.000. Ella los depositó en un banco en depósito a plazo por periodos de 55 días a una tasa de interés del 0,45% (por periodos de 55 días). El banco al 23 de mayo le informa que su dinero ha ganado intereses por $38.000. Usted se queda callada o va a pelear al banco? Resuelva el problema a interés compuesto.

Datos:Capital: $2.600.000Tiempo (días): 99 (15+31+30+23)Tasa de interés 55 días: 0,45% (0,0045)

I = C *(( (1+ i) n – 1)

I = 2.600.000 ((1 + 0,0045) 99/55 -1) = $21.098

EJERCICIO Nº 6

En relación al problema nº 5, ¿Qué tasa de interés por periodos de 55 días ha estado aplicando el banco por los depósitos a plazo?

I = 2.600.000 ((1 + i55) 99/55 -1) = $38.000

i55 = 0,81%

EJERCICIO Nº 7

El 13 de mayo una persona prestó $950.000 a una tasa de interés del 15% anual hasta el 11 de septiembre.

1. Determine la cantidad de dinero ganado hasta esa fecha. 2. Señale la fecha en que el dinero invertido genere $100.000 de ganancia.

1.- Determine la cantidad de dinero ganado hasta esa fecha

Tiempo de uso del dinero: 121 (18+30+31+31+11)Capital: $950.000Tasa de interés anual: 15%

I = C *(( (1+ i) n – 1)



I = 950.000*((1+0,15) 121/360 -1) = $ 45.692

2.- Señale la fecha en que el dinero invertido genere $100.000 de ganancia

I = 950.000*((1+0,15) n -1) = $ 100.000

n = log (I/C+1)log (1 + i)

n = log (100.000/950.000+1) / log (1+0,15)

n = 0,716 años

Tiempo expresado en días

t = 257,8 días 0,716 * 360t = 258

Fecha de Inicio: 13/05/2008

Meses Días de cada mes

Días de uso del dinero en cada mes

Días acumulados

Mayo 31 18 18Junio 30 30 48Julio 31 31 79Agosto 31 31 110Septiembre 30 30 140Octubre 31 31 171Noviembre 30 30 201Diciembre 31 31 232Enero 31 26 258

Fecha para generar $100.000 por concepto de interés es el 26 de enero del 2009

EJERCICIO Nº 8

El 13 de mayo una persona prestó $950.000 a una tasa de interés del 15% anual con capitalización mensual, hasta el 11 de septiembre. Determine la cantidad de dinero ganado hasta esa fecha. .

La tasa del 15% anual recibe el nombre de tasa de interés nominal

Cómo los intereses se generan y capitalizan mensualmente (según las partes), se necesita una tasa de interés mensual, es decir, una tasa por periodo de capitalización mensual:

Tasa mensual: tasa anual /12 0,15/12

Tiempo de uso del dinero: 121 (18+30+31+31+11)Capital: $950.000Tasa de interés anual: 15%

I = C *(( (1+ i) n – 1)

I = 950.000*((1+0,15/12) 121/30 -1) = $ 48.812

EJERCICIO Nº 9

Del problema nº 8 calcule el interés del periodo considerando;

a.- La capitalización de intereses es trimestral

I = 950.000*((1+0,15/4) 121/90 -1) = $ 48.203



b.- La capitalización de intereses es semestral

I = 950.000*((1+0,15/2) 121/180 -1) = $ 47.326

EJERCICIO Nº 10

DATOS Capital $ 770.000Tasa de interés anual 12%fecha de inicio 15/04/2008Fecha de termino 12/08/2008

Respuestatiempo 119 días

Interés $ 29.392

Monto si la capitalización de intereses es trimestral $ 800.690Interés durante mes de junio $ 7.413

Tasa efectiva anual si la capitalización de intereses es mensual 12,68%

Tasa efectiva trimestral si la capitalización de intereses es mensual 3,03%

Si el interés entre el 12 de junio y el 19 de julio es de $124 y el dinero invertido el 12 junio es $300000, ¿Qué tasa de interés semestral con capitalización trimestral se aplicó? 0,20%

Ejercicio Nº 11CAPITAL $ 800.000Tasa de interés 1,50% mensualtiempo 142 días

I 142 días $ 58.412 I = 800000*(1+0,015)(142/30) -1)

Ejercicio Nº 12CAPITAL $ 800.000Tasa de interés anual 13%tiempo 142

Interés $ 39.511 I = 800000*((1+0,13) (142/360)-1)

Ejercicio Nº 13Capital $800.000tiempo 142 díasInterés $ 39.511

Tasa de interés mensual 1,02% 39.511 = 800000* (1+ im) (142/30) -1)

Ejercicio Nº 14Capital $ 800.000Tiempo 142Interés $ 39.511Tasa de interés anual con capitalización trimestral 12,41% 39.511 = 800000* (1+ ia/4) (142/90) -1)

Ejercicio Nº 15

Capital 800000tiempo (días) 131

Fecha otorgamiento crédito 12/08/2007 19+30+31+30+21Fecha de pago préstamo 21/12/2007Tasa de interés semestral 8%Capitalización de intereses Mensual

Monto $ 847.634 M = 800000*(1+0,08/6) 131/30

Ejercicio Nº 16Capital $ 800.000Fecha otorgamiento 12/08/2007



créditoFecha de pago préstamo 21/12/2007Tasa de interés semestral 8,00%Capitalización de intereses Mensual

Tasa efectiva anual 17,23% iea = Ia / C

ia = $800.000*((1+0,08/6) 360/30 - 1) /800.000

Ejercicio Nº 17Capital $800.000Fecha otorgamiento crédito 12/08/2007Fecha de pago préstamo 21/12/2007Tasa de interés semestral 8,00%Capitalización de intereses Mensual

Tasa efectiva trimestral 4,05% iet = It / C

It = 800.000*((1+0,08/6) 90/30 - 1)

EJERCICIO Nª 18Capital $ 3.000.000Fecha de inversión 12/03/2008Fecha de retiro de inversión 25/06/2008Tasa de interés pactada (anual) 15%Capitalización de intereses pactada mensual

Tiempo de uso del dinero 105

a Interés de la inversión $ 133.314 I = 3000000*((1+0,15/12)105/30 - 1)

b Interés de la inversión si los intereses se capitalizan semestralmente

Interés $ 129.269 I = 3000000*((1+0,15/2)105/180 - 1)

c Monto de la inversión durante el mes de marzo, considerando que la capitalización de los intereses es anual

Interés $ 3.022.211 I = 3000000*((1+0,15)19/360

d Si la tasa efectiva se determina dividiendo el interés del periodo por la inversión, y basado en el problema original, determine:

d.1 La tasa efectiva anual

Interés efectivo anual $ 482.264

Tasa de interés efectiva anual 16,1%

d.2 Tasa efectiva trimestral

Interés efectivo trimestral $ 113.912

Tasa de interés efectiva trimestral 3,8%

EJERCICIO Nª 19Capital $2.600.000tiempo (días) 44tasa anual 18%

a Calcular el interés por el periodo de la inversión $ 53.132

b Determine una tasa mensual que sea equivalente a la tasa anual del 18%

Tasa mensual 1,39%



EJERCICIO Nº 20CAPITAL 990000TASA ANUAL 16%FECHA INICIO 12/03/2008FECHA DE TERMINO 19/06/2008TIEMPO 99

Interés $ 41.243 I = 990000*((1+0,16)99/360 - 1) EJERCICIO Nº 21CAPITAL 990000TASA MENSUAL 2%FECHA INICIO 39519FECHA DE TERMINO 39618TIEMPO 99

Interés $ 66.856 I = 990000*((1+0,02)99/30 - 1)

EJERCICIO Nº 22Del problema 3 calcular tasa efectiva anual

capital 990000Tasa anual 16%cap de int mensual

Tasa efectiva anual

Interés anual $ 170.548I = 990000*((1+0,16/12)360/30 - 1)

tasa efectiva anual 17,2% 170.548/990.000*100

EJERCICIO Nº 23Una inversión de $2.100.000 durante 3 meses ha generadointereses por $39.555.a.- Determine la rentabilidad mensual que se esta ganando.

capital $2.100.000tiempo (meses) 3interés 3 meses $39.555

Tasa mensual 0,62% (39555/2100000+1)(1/3)-1

b.- Determine la rentabilidad anual que se esta ganando.

capital 2.100.000tiempo (meses) 3interés 3 meses $39.555

Tasa anual 7,75% (39555/2100000+1)(12/3)-1

EJERCICIO Nº 24CAPITAL $990.000TASA ANUAL 16%FECHA INICIO 12/03/2008FECHA DE TERMINO 19/06/2008

TIEMPO 99 díasCapitalización de intereses MENSUAL

Interés $ 44.232 I = 990000*((1+0,16/12)99/30 - 1)



EJERCICIO Nº 25CAPITAL $990.000TASA MENSUAL 2%FECHA INICIO $39.519FECHA DE TERMINO 19/06/2008TIEMPO 99Capitalización de intereses diaria

Interés $ 67.521 I = 990000*((1+0,02/30)99 - 1)

EJERCICIO Nº 26

Determine el interés compuesto de un capital de $75.000 invertido en una institución financiera al 4,7% mensual, durante 6 meses.

Capital: 75000Tasa mensual 4,7%tiempo : 6 meses

I = C*((1+i) n – 1)

I = 75000 * (1 + 0,047)6 -1)

Respuesta: $ 23.796

EJERCICIO Nº 27

Encontrar el interés compuesto y monto compuesto de un préstamo de $12.000, al 8% anual, si el préstamo se piensa cancelar en dos años y tres meses.

DatosCapital: 12000Tasa de interés anual: 8%Tiempo: dos años y tres meses:n: 2,25 (27/12)

Interés compuesto:

I = C*((1+i) n – 1)

I = 12.000 * (1 + 0,08)27/12 -1)

Respuesta:$ 2.269

Monto compuesto: = 12000 + 2.269: $14.269

EJERCICIO Nº 28

Hace 6 meses se prestó $580.000 a una tasa de interés del 0,9% mensual;

a. Cuánto dinero se deberá devolver al día de hoy?

Capital: 580.000Tasa de interés mensual 0,9%Tiempo de uso del dinero 6 mesesn: 6

Monto: ¿?????

M = C *(1 + i) n

M = 580000*(1+0,009)6

M = $ 612.033

b. Determine la cantidad de dinero que se ganará por la operación de crédito.

I = M - C



I = 612.033 - 580.000 I = $32.033

c. Si del problema anterior (capital $580.000; tasa de interés mensual 0,9%), el monto a devolver en dicho tiempo corresponde a $650.000.

i. ¿Cuál es la tasa de interés mensual aplicada?

Datos:Capital: 580.000Tasa de interés mensual: ¿????Monto: 650.000Tiempo de uso del dinero: 6 mesesn: 6

M = C*(1+i) n

650000 =580000*(1+im) 6

im =

im = 1,92%

ii. ¿Cuál es la tasa de interés trimestral aplicada?

Datos:Capital: 580.000Tasa de interés trimestral: ¿????Monto: 650.000Tiempo de uso del dinero: 6 mesesn: 2

M = C*(1+i) n

650000 =580000*(1+itr) 2

itr =

itr = 5,863%

EJERCICIO Nº 29

Si por un préstamo de $800.000 le están cobrando por concepto de interés semanal $1.500. ¿Cuál es la tasa de interés semestral que se está cargando al préstamo.

Datos:Capital: 800.000Interés semanal: 1500Tasa de interés semestral: ¿?????

I = C*((1+i) n – 1)

1500 = 800.000 * (1 + isemanal)1 -1)

isemanal = 1500/800000 +1 -1isemanal = 0,18750%

Calculo de interés semestral

I = C*((1+i) n – 1)

I semestral = 800.000 * ((1 +0,18750% )180/7 -1)

I semestral = $ 39.479

Calculo de tasa de interés semestral:

I = C*((1+i) n – 1)

39.479 = 800.000 * (1 + isemestral)1 -1)

isemanal = 39.479/800.000 +1 -1



isemanal = 4,93%

EJERCICIO Nº 30

Si Usted deposita en el banco cierta cantidad de dinero, a una tasa de interés mensual del 2%, en cuánto tiempo obtendrá por concepto de intereses la mitad del capital invertido?

Capital: CInterés: C/2Monto: 1,5CTasa de interés mensual: 0,02Tiempo de uso del dinero: ¿???n: ¿????

n: log(1,5C/C)/log(1+0,02)

n: log(1,5)/log(1+0,02)

n: 20,47531886

Tiempo de uso del dinero:

Tiempo en años: 20,475/12 = 1,706 años

Fracción de año expresado en meses: 0,70627657 * 12 = 8,47531886 mesesFracción de meses expresado en días: 0,47531886 * 30 = 14,3

Respuesta: 1 año, 8 meses y 14,3 días (15 días). Se obtendrá un poco más de dinero que el requerido)

EJERCICIO Nº 31

Si un préstamo de $138.000 ha generado un interés de $30.000.

a. ¿Cuál es la tasa de interés anual aplicada por haber usado el dinero durante 8 años?

Datos:Capital: 138.000Interés: 30.000Monto: 168.000Tiempo de uso del dinero: 8 años

n: 8tasa de interés anual: ¿?????

M = C*(1+i) n

168.000 =138.000*(1+ia) 8

ia =

ia = 2,489%

b.- ¿Cuántas semanas ha usado el dinero si la tasa de interés aplicada ha sido del 2% mensual. (Considere que un mes tiene 4 semanas)

Datos:Capital: 138.000Interés: 30.000Monto: 168.000Tiempo de uso del dinero:n:tasa de interés mensual: 2%

M = C*(1+i) n

168.000 =138.000*(1+0,02) n

n = log(168000/138000)/log(1+0,02)



n = 9,933545246

Respuesta: tiempo de uso del dinero: 9,933545246 *4= 39,7

EJERCICIO Nº 32

Don Juan acaba de depositar en el banco Estado $540.000 en un depósito a plazo de 42 días, cuya tasa de interés por dicho periodo es de 0,35%. Don Juan desea mantener el depósito durante 6 meses. El banco NO cancela intereses por periodos menores a lo pactado. Cuánto dinero ganará don Juan?

Datos:Capital 540000Tasa de interés 42 días 0,35%Tiempo de uso del dinero: 6 meses

n: 180/42 = 4,285714286n = 4

I = C*((1+i) n – 1)

I = 540.000 * (1 + 0,0035)4 -1)

I = $ 7.600

EJERCICIO Nº 33

Una persona hace 7 meses depósito en una institución financiera $310.000. Transcurridos tres meses hizo un segundo depósito por $98.000. El día de hoy retira $55.000.

a. ¿Cuánto dinero tendrá a su disposición en el banco dentro de 2 meses? Considere que la institución financiera utiliza como método de cálculo interés simple y aplica una tasa de interés del 0,5% mensual.

Periodos depósito giro monto intereses1 $ 310.000 $ 310.000 $ 1.5502 $ 311.550 $ 1.5583 $ 313.108 $ 1.5664 $ 98.000 $ 412.673 $ 2.0635 $ 414.737 $ 2.0746 $ 416.810 $ 2.0847 $ 418.894 $ 2.0948 $ 55.000 $ 365.989 $ 1.8309 $ 367.819 $ 1.839 Dinero a disposición $ 369.658

b. Confeccione recta de tiempo donde se visualice el flujo de fondo producido en las operaciones bancarias.

310.000 98.000 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

55.000

c. ¿Cuánto dinero tendrá a su disposición en el banco dentro de 5 meses?

Periodos depósito giro monto intereses1 $ 310.000 $ 310.000 $ 1.5502 $ 311.550 $ 1.5583 $ 313.108 $ 1.5664 $ 98.000 $ 412.673 $ 2.0635 $ 414.737 $ 2.0746 $ 416.810 $ 2.0847 $ 418.894 $ 2.0948 $ 55.000 $ 365.989 $ 1.8309 $ 367.819 $ 1.839

10 $ 369.658 $ 1.84811 $ 371.506 $ 1.858

12 $ 373.364 $ 1.867



dinero a disposición $ 375.231

EJERCICIO Nº 34

Una inversión de $280.000 fue realizada hace 5 meses, a una tasa de interés del 0,8% mensual compuesto.

i. Determine la cantidad de periodos de generación de intereses que sea necesario para que la inversión genere una ganancia de $92.000.

Datos:Capital: 280.000Tiempo de uso del dinero: ¿???Tasa de interés mensual: 0,8%Interés: 92.000Monto: 372.000n ¿¿¿¿

n = log (M/C)/log(1+i)

n = log (372.000/280.000)/log(1+0,008)

n = 35,655

ii. Indique el tiempo necesario para lograr el objetivo planteado en la pregunta anterior. Entregue la respuesta en términos de años, meses y días.

Tiempo de uso del dinero:

Tiempo en años: 35,655/12 = 2,97125 años

Fracción de año expresado en meses: 0,97125*12 = 11,655 meses

Fracción de mes expresado en días: 0,655 * 30 = 19,65 días

Respuesta: 2 años, 11 meses y 19,65 días (20 días)Respuesta; Para que el capital de $280.000 puede generar interés compuesto de $92.000 se requieren 35,655 periodos mensuales, es decir, 35 meses y 20 días (0,655*30)

2 años, 11 meses y 20 días

iii. Si al cabo de tres años de la inversión, se recupera un total de $325.000, qué tasa de interés mensual se aplicó?

Datos:Capital: 280.000Tiempo de uso del dinero: tres añosTasa de interés mensual: ¿???Interés: 45.000Monto: 325.000n ¿¿¿¿

M = C*(1+i) n

325.000 =280.000*(1+im) 36

ia =

ia = 0,4148%



EJERCICIO Nº 35

Se invierte $500.000 durante 9 meses, a una tasa de interés del 0,6% mensual.

a. Determine el interés compuesto que genera la inversión

Datos:Capital: 500.000Tiempo de uso del dinero: 9 mesesTasa de interés mensual: 0,6%n: 9Interés ¿???

I = C*((1+i) n – 1)

I = 500.000 * ((1 + 0,006)9 -1)

I = $ 27.657

b. ¿Cuánto dinero se ganará durante el mes 9?

I mes 9 = M8 *(1+0,006)1 -1)

M8 = C*(1+0,006) 8

M8 = 500.000*(1+0,006) 8

M8 = $ 524.510

I mes 9 = 524510*(1+0,006)1 -1)

I mes 9 = $ 3.147

c. Si durante 3 años y 3 meses el interés de la inversión es de $44.200;

a. ¿Qué tasa de interés mensual se aplicó?

Datos:Capital: 500.000Tiempo de uso del dinero: 3 años y 3 mesesTasa de interés mensual: ¿????n: 39Interés 44.200Monto 544.200

M = C*(1+i) n

544.200 =500.000*(1+im) 39

im =

im = 0,22%

b.- ¿Qué tasa de interés anual se aplicó?

Datos:Capital: 500.000Tiempo de uso del dinero: 3 años y 3 mesesTasa de interés anual: ¿????n: 39/12Interés 44.200Monto 544.200

M = C*(1+i) n

544.200 =500.000*(1+ia) 39/12

ia =



ia = 2,64%

EJERCICIO Nº 36

El dueño de un restaurante para la temporada alta que comienza en diciembre desea disponer de un local con mayor capacidad y mejor implementación. Para ello requiere de $6.500.000. El banco BCI aplica una tasa de interés de colocación del 1,4% mensual y el Banco Chile un 1,5% mensual. ¿Dónde conviene pedir el préstamo?

M= C (1+i )n

BCI

M = 6.500.000 * ( 1 + 0,014) 7

M = $ 7.164.387

CHILE

M = 6.500.000 * ( 1 + 0,015) 7

M = $ 7.213.992

Diferencia: $ 49.605

EVALUACIÓN considerando tiempo exacto

Fecha de Inicio: 06/09/2007Fecha de Termino: 31/03/2008

Tiempo de uso del dinero: 207

n: 6,9

I = C * (( 1 + i ) n -1)

BCI:

I = 6.500.000 (( 1 + 0,014) 207/30 -1) = $ 654.433

CHILE:

I = 6.500.000 (( 1 + 0,015) 207/30 -1) = $ 703.259

Diferencia: $ 48.826

EJERCICIO Nº 37

Un inversionista del rubro hotelero realizó hace 8 meses inversiones que han generados ganancias por $312.000. La rentabilidad de dicha inversión cada tres meses es de un 4,5%

a. ¿Cuánto dinero se invirtió en esa oportunidad?

Datos:Capital:Tiempo: 8 mesesTasa de interés trimestral: 4,5%n: 8/3

C = I / ( 1 + i ) n -1 )

C = 312.000 / ((1+0,045) 8/3 -1)

Respuesta: $ 2.505.122

b. Cuánto tiempo deberá mantener la inversión para obtener una ganancia de $500.000?

Datos:Capital: 2.505.122Interés: 500.000Tasa: 4,5%Monto: 3.005.122

n: 4,134339 trimestres



tiempo: 1 año y 12,1 días

EJERCICIO Nº 38

Un crédito por $5.600.000 se otorga a una tasa de interés del 14% anual. El préstamo se concedió el 14 de septiembre del presente año.

a.- Cuándo será aquel día en que el interés resultante sea de $44.000.

Datos:Capital: $5.600.000Tasa de Interés anual: 14% anual:Interés del periodo: $44.000Periodos de generación de intereses: ¿???Tiempo de uso del dinero ¿????

44.000 = 5.600.000*((1+0,14)n-1)

n: log(44000/5600000+1)/log(1+0,14)

n: 0,0597309 años

Tiempo expresado en meses: 0,0597309*12 = 0,71677082

Tiempo en días: 0,71677082*30 = 21,5 días

Fecha en que el préstamo genera un interés del $44.000: 06 de octubre del 2007

b.- Determine la fecha en que el préstamo genera una ganancia para el prestamista de $1.890.000

Datos:Capital: $5.600.000Tasa de Interés anual: 14% anual:Interés del periodo: $1.890.000Periodos de generación de intereses: ¿???Tiempo de uso del dinero ¿????

1.890.000 = 5.600.000*((1+0,14)n-1)

n: log(1.890000/5600000+1)/log(1+0,14)

n: 2,2193853 años

Fracción de año expresado en meses: 0,2193853*12 = 2,63262363

Fracción de mes expresado en días: 0,63262363*30 = 18,98 días

Tiempo: 2 años, 2 meses 19 días

Fecha en que el préstamo genera un interés del $1.890.000

Fecha de otorgamiento del préstamo: 14 de septiembre de 2007 + dos años 14 de septiembre del 2009+ dos meses 14 de noviembre del 2009+19 días 3 de diciembre del 2009

Respuesta; 3 de diciembre del 2009



EJERCICIO Nº 39

El dueño de un pequeño taller mecánico desea comprar algunos equipos que permitan realizar nuevos servicios de mantención. Para ello requiere disponer de $3.000.000. El proveedor del equipo acepta que le cancele en tres cheques. Uno al día por un valor de $1.500.000. El segundo cheque por un valor de $1.000.000 a 30 días y el tercer cheque por el saldo a 60 días. El dueño cree que con los servicios que permita realizar el equipo podrá cancelar fácilmente los cheques que vencen a 30 y 60 días. El problema que tiene es financiar el pie de $1.500.000. No tiene posibilidad que alguna institución financiera le otorgue un préstamo dado deudas que se encuentran en Dicom. Por motivo acude a un prestamista de dudosa reputación, que presta dinero a una tasa de interés del 3,9% mensual con capitalización de intereses diarios. El dueño piensa en devolver el préstamo en una fecha tope de 90 días.

a.- ¿Cuánto deberá pagar en esa oportunidad?

Datos:Capital: $1.500.000Tasa de Interés anual: 3,9% mensual con capitalización diaria:Interés del periodo: ¿???Periodos de generación de intereses: 90 Tiempo de uso del dinero 90 días

Monto: $1.500.000*(1+0,039/30)90 = $ 1.686.051

b. Determine el interés que genere el préstamo durante el primer día y el último día de operación.

Interés primer día de operación:

Datos:Capital: $1.500.000Tasa de Interés anual: 3,9% mensual con capitalización diaria:Interés del periodo: ¿???Periodos de generación de intereses: Tiempo de uso del dinero 1 días

Interés primer día: 1.500.000*((1+0,039/30)1-1)Interés primer día: $ 1.950

Interés último día de operación:

Monto día 89: 1.500.000*(1+0,039/30)89

Monto día 89: $ 1.683.862

Interés día 90 = 1.683.862*0,039/30Interés día 90 = $ 2.189

EJERCICIO Nº 40

En una operación de crédito realizada el 13 de septiembre del 2007 se ha señalado que el interés que genera la deuda durante 15 de noviembre será de $380. Se sabe además que la tasa de interés anual del crédito es de un 18%.

a.- Determine la cantidad de dinero otorgado en préstamo el 13 de septiembre.

Datos:Interés día 15 de noviembre: $380Tasa de interés anual: 18%

Capital Inicial al 15 de noviembre:

380 = C*((1+0,18) 1/360

C = 380/(1+0,18) 1/360

C = $ 826.324

Cuantía del depósito al 13 de septiembre:

Tiempo de uso del dinero: 17 + 31 + 14 = 62

826.324 = C*(1+0,18)62/360



C = 826.324/(1+0,18)62/360

C = $ 803.102

b.- Calcule la tasa de interés semestral que implícitamente se paga en el préstamo.

Datos:Capital: $803.102Tiempo de uso del dinero: 6 mesesTasa de interés anual: 18%

Calculo de interés semestral:

Interés semestral: 803102*((1+0,18)6/12-1) = $ 69.290

Calculo de Tasa de interés semestral:

69.290 = 803.102*((1+isem) 1 -1)

isem = 8,63%



3. EJERCICIOS DE TASAS DE INTERÉS

3.1 EJERCICIOS DE TASA DE INTERÉS EQUIVALENTE

Concepto: DOS tasas de interés son equivalentes, si aplicadas sobre un mismo capital permiten generar el mismo interés

Ejercicio Nº 1

Capital: 500000Tasa de interés mensual: 1,5%Tiempo: 2 años

I 2 años. 500000*((1+0,015) 24 – 1) = $ 214.751

Cálculo de tasa equivalente anual:

$ 214.751 = 500000*((1+ ia) 2 – 1)

ia = ((214.751/500.000 + 1) ½ -1 )*100 = 19,561783 %

Comprobación:

Capital: $140Tiempo: 2 días

I 2 días : 140*((1 + 0,015) 2/30 -1)

I 2 días : 140*((1 + 0,19561783) 2/360 -1)

Ejercicio Nº 2

Capital: $2.300.000Tasa anual con capitalización trimestral 5%Tiempo: 94 días

Interés 94 días = 2.300.000*((1+0,05/4) 94/90 -1) = $30.036

Interés 94 días = $30.036 = 2.300.000*((1+ i sem) 94/180 – 1)

i sem = 2,51%

Usando método corto;

i sem = (1+ 0,05/4 )180/90 -1 = 2,51%

Tasa equivalente semestral: 2,51%

Ejercicio Nº 3

Calcular tasa equivalente trimestralcapital $ 980.000tasa mensual 1%tiempo (meses) 6

Respuesta; 3,03%

Ejercicio Nº4

Un capital de $560.000 se ha invertido durante 4 meses a una tasa de interés del 5% trimestral. Determine la tasa de interés equivalente para los periodos que se indican:

A. Tasa equivalente anual(1+ 0,05)4-1 = 21,55%

B. Tasa equivalente semestral

(1+ 0,05)2-1 = 10,25%



C. Tasa equivalente anual con capitalización mensual(1+ 0,05tr)1/3-1 = 1,64% mensual

Tasa anual con capitalización mensual; 1,64*12 = 19,68%ia/12 =im

DESARROLLO

A.- Tasa equivalente anual:

Capital: 560.000Tasa de interés trimestral: 5%Tiempo: 4 meses

Interés para 4 meses:

I 4 meses = 560.000*((1+0,05) 4/3 – 1) = $ 37.641

I 4 meses = 560.000*((1+ia) 4/12 – 1) = $ 37.641

ia = - 1

ia = 21,55%

B.- Tasa equivalente semestral:



I 4 meses = 560.000*((1+0,05) 4/3 – 1) = $ 37.641

I 4 meses = 560.000*((1+is) 4/6 – 1) = $ 37.641

ia = - 1

ia = 10,25%

C.- Tasa equivalente anual con capitalización mensual



I 4 meses = 560.000*((1+0,05) 4/3 – 1) = $ 37.641

I 4 meses = 560.000*((1+ia/12) 4 – 1) = $ 37.641

Ia/12 = - 1

ia/12 = 1,64%

iac/cm = 19,68%

3.2 EJERCICIOS DE TASAS EFECTIVAS

Ejercicio Nº1

Capital: $780.000Tasa mensual: 2,2%Determinar tasa efectiva semestral:

Respuesta 13,95%



Ejercicio Nº 2Calcular tasa efectiva trimestralcapital $ 500.000tasa anual c/c mensual 3%

Respuesta; 0,75%

Ejercicio Nº 3

Para un capital de $790.000 se ha establecido una tasa de interés nominal con capitalización trimestral del 12%. Se pide, determinar la tasa efectiva para los siguientes periodos:

1. Tasa Efectiva Anual2. Tasa Efectiva Semestral3. Tasa Efectiva Mensual

DESARROLLO

1.- Tasa Efectiva Anual

Cálculo de interés anual (se calcula el interés para un año, porque se pide la tasa efectiva anual)

I = 790.000*((1+0,12/4)4 – 1) = $ 99.152

Tasa efectiva anual: $ 99.152/790.000= 0,1255 = 12,55%

iea = 12,55%

2.- Tasa Efectiva Semestral

Cálculo de interés semestral (se calcula el interés para un semestre, porque se pide la tasa efectiva semestral)

I = 790.000*((1+0,12/4)2 – 1) = $ 48.111

Tasa efectiva semestral: $ 99.152/790.000= 0,0609 = 6,09%

ies = 6,09%

3.- Tasa Efectiva Mensual

Cálculo de interés mensual (se calcula el interés para un mes, porque se pide la tasa efectiva mensual)

I = 790.000*((1+0,12/4)(1/3) – 1) = $ 7.822

Tasa efectiva mensual: $ 99.152/790.000= 0,0099 = 0,99%

iea = 0,99%

Ejercicio Nº 4

Durante 7 meses un capital de $1.400.000 ha generado intereses por $104.300. Determine la tasa efectiva anual.

Desarrollo

Cálculo de tasa de interés mensual

104.300 = 1.400.000*((1+im) 7 – 1) =

im= -1

im= 1,03%

Cálculo de interés anual para determinar tasa efectiva anual

Ianual: 1.400.000*((1+0,0103)12 – 1) = $ 183.187

Tasa efectiva anual: 183.187/1400000= 13,08%



Segundo procedimiento.

Se usa tasa anual para determinar el interés para 7 meses

104.300 = 1.400.000*((1+ia) 7/12 – 1) =

im= -1

iea = 13,08%



3.3 EJERCICIOS DE TASA NOMINAL / REAL

Ejercicio Nº 1

CAPITAL: $2.000.000Tasa De interés real mensual: 0,3%Tiempo de inversión: 3 mesesInflación mensual: 0,4%

¿Determinar cantidad de dinero a retirar dentro de 3 meses?

Tasa de interés nominal: tasa real + inflación

Tasa de interés nominal: 0,003 + 0,004

Tasa de interés nominal mensual: 0,007 0,7%

Monto a interés compuesto: 2000000*(1+0,007)3

Monto a interés compuesto: $ 2.042.295

Ejercicio Nº2

Tasa nominal anual: 15%Inflación trimestral: 5%Tasa de interés real mensual:

(1+0,15) (1/12) / (1+0,05) (1/3) -1 -0,46%

Ejercicio Nº 3

Inflación semestral: 5%Tasa real trimestral: 0,8%

Tasa nominal anual:

(1+0,008) (4) / (1+0,05) (2) -1 = 13,82%

Ejercicio Nº 4

Tasa nominal anual con capitalización trimestral: 12%Tasa inflacionaria mensual: 0,3%

Tasa de interés real semestral:

(1+0,12/4)2/(1+0,003)6-1 = 4,20%

Ejercicio Nº 5

Tasa Nominal anual con capitalización mensual: 15%Inflación trimestral: 2,2%

¿Tasa de interés real semestral?

Respuesta 3,15%

Ejercicio Nº 6

A:_Tasa nominal 30 días: 0,5%B: Tasa real 90 días: 0,2%

Inflación anual 7%

¿Tasa real 90 días alternativa A?

Respuesta -0,195%

Conviene invertir en alternativa B



Ejercicio Nº 7

Tasa real mensual: 0,3%Inflación anual: 5%

¿Tasa nominal anual?Respuesta: 8,84%

Ejercicio Nº 8Calcular tasa real semestralTasa nominal mensual 0,2%inflación trimestral 1%

Respuesta; -0,79%Ejercicio Nº 9

Inflación anual: 8%Tasa Real Mensual: 0,3%Tasa Nominal trimestral (Fisher):

Respuesta; 2,86%

Ejercicio Nº 10

Un banco acaba de publicitar en televisión que ofrece depósitos a plazo por 90 días una tasa de interés de colocación del 0,3% real. Si el banco donde usted en cuentacorrentista le ofrece una tasa de interés nominal por depósitos a plazo por 30 días del 0,4%, le convendrá depositar su dinero en su banco?

Se estima que la inflación mensual para los próximos 5 meses será de un 0,3%

Datos:Tasa de interés real 90 días otro banco: 0,3%Tasa de interés nominal banco donde es cuentacorrentista: 0,4% 30días.Inflación mensual: 0,3%

Calcular tasa nominal para 30 días del otro banco

(1+in) t = (1+ir) t*(1+inflación)t

Sea t: 90 días

(1+in) 90 = (1+ir) 90*(1+inflación)90

(1+in30) 90/30 = (1+0,00390) 90/90*(1+0,00330)90/30

(1+in30)3 = (1+0,00390) 1*(1+0,00330)3

in30 0,40%

Respuesta:

Da lo mismo depositar en el banco donde es cuenta correntista que en el otr banco por depósitos a 30 día dado que ambos pagan una tasa nominal del 0,4%.

VALOR ACTUAL, PAGOS PARCIALES Y ANUALIDADES

EJERCICIO Nº 1

Interés para 148 días: $7.663Tasa de interés anual: 16%Capital: ¿?????

7.663 = C*((1+0,16)148/360 – 1)

Monto $129.458Capital: $121.795

EJERCICIO Nº 2



Cierto capital que el día 15 de junio se invirtió al 18% anual con capitalización mensual, ha permitido generar un interés compuesto, hasta el día 23 de octubre, de $23.845.

Determine la cantidad de dinero invertida.

Determinación de tiempo de uso del dinero.

Meses junio julio agosto septiembre octubre TotalDías de cada mes 30 31 31 30 31Días de uso del dinero

15 31 31 30 23 130

23.845 = C*((1+0,18/12)130/30-1)

23.845/((1+0,18/12)130/30-1) = C

C: $ 357.796

Respuesta:Para poder obtener un interés de $23.845 en 130 días será necesario invertir al 18% anual con capitalización mensual $357.796.

En otras palabras, al monto de (357.796 + 23.845) $381.641 se le descuenta los intereses que genera el capital de $23.845 obteniéndose el dinero invertido.

Es decir, si a cierta cantidad de dinero se le desea descontar intereses, es necesario calcular el capital invertido usando la fórmula:

C = M/(1+i) n

En el ejemplo sería: C: 381.641/(1+0,18/12) (130/30)

C: $357.796

Para determinar el VALOR ACTUAL de una deuda que vence en el futuro, se debe usar la fórmula VA: VF/(1+i)n

EJERCICIO Nº 3

El 15 de diciembre vence una cuota de $148.000. Esta contiene intereses determinados a una tasa de interés del 3% mensual. Si se acuerda cancelar la deuda el 23 de octubre descontando los intereses NO devengados. ¿Qué cantidad de dinero se deberá pagar el 23 de octubre?

VA = 148.000/(1+0,03)53/30

VA = $ 140.470

Si se descuenta intereses, la cantidad de dinero que se debe pagar el 23 de octubre debería ser de $ 140.470, ahorrando intereses por (148.000 – 140.470) $7.530

EJERCICIO Nº 4

Una persona debe tres cuotas de un crédito que se pactó al 1% mensual. La primera cuota vence al cabo de un mes por un valor de $70.000, la segunda cuota vence 4 meses después de la primera cuyo valor es de $90.000 y la última 6 meses después de otorgado el crédito con un valor de vencimiento de $100.000. Determine la cantidad de dinero que debe dicha persona al día en que se otorgó el crédito.

Valor de las cuotas:

Préstamo: Valor actual C1 + Valor actual C2 +Valor actual C3

Valor actual C1: 70.000/(1+0,01) 1 = $69.307Valor actual C2: 90.000/(1+0,01) 5 = $85.632Valor actual C3: 100.000/(1+0,01) 6 = $94.205

Deuda al día de hoy (0) = $249.143



EJERCICIO Nº 5

Un préstamo de $400.000 a una tasa de interés del 2% mensual se acordó cancelar en 3 cuotas iguales con vencimiento cada dos meses. Determine el valor de la cuota.

$400.000 = C/(1+0,02)2 + C/(1+0,02)4 + C/(1+0,02)6

$400.000 = C(1/(1+0,02)2 + 1/(1+0,02)4 + 1/(1+0,02)6)

C = $400.000/(1/(1+0,02)2 + 1/(1+0,02)4 + 1/(1+0,02)6)C = $ 144.249

EJERCICIO Nº 6

Don Jorge, desea determinar el saldo insoluto de la deuda que mantiene con un banco al día 23 de octubre. Le quedan por cancelar 3 cuotas de $78.000 cada una con vencimiento en los días 15 de noviembre, 15 de diciembre y 15 de enero del 2008. La tasa de interés del crédito es de un 4% trimestral con capitalización mensual.

Saldo Insoluto = 78.000/(1+0,04/3)23/30 + 78.000/(1+0,04/3)53/30 + 78.000/(1+0,04/3)84/30

Saldo Insoluto = 78.000/(1+0,04/3)23/30 + 78.000/(1+0,04/3)53/30 + 78.000/(1+0,04/3)84/30

Saldo Insoluto = $ 228.568

EJERCICIO Nº 7

Don José, el 13 de marzo pidió un préstamo de $2.200.000 a una tasa de interés anual con capitalización mensual del 15%. La forma de pago se pactó de la siguiente manera:

Valor cuota VencimientoPrimera cuota: $300.000 06 de junioSegunda cuota: $500.000 12 de septiembreTercera cuota: $400.000 15 de diciembreCuarta cuota: ¿?? 15 de febrero

Determine el valor de la cuarta cuota.

Tiempos de uso del dinero para cada cuota (tiempo de descuento de intereses para cada cuota)Valor cuota Vencimiento tiempo (días)

Primera cuota: 300.000 06 de junio 85Segunda cuota: 500.000 12 de septiembre 183Tercera cuota: 400.000 15 de diciembre 277Cuarta Cuota: ¿?? 15 de febrero 339

$2.200.000 = 300.000/(1+0,15/12)85/30 + 500000/(1+0,15/12)183/30 + 400000/(1+0,15/12)277/30 + X/(1+0,15/12)339/30

X = ($2.200.000-300.000/(1+0,15/12)85/30-500.000/(1+0,15/12)183/30 – 400.000/(1+0,15/12)277/30))*(1+0,15/12)339/30

X = $ 1.254.511

EJERCICIO Nº 8

Se pide un préstamo de $800.000 a una tasa de interés del 1,6% mensual. Se acuerda cancelar la deuda más intereses en 3 cuotas iguales con vencimiento a 30, 90 y 150 días.

a. Determine el valor de la cuota

$800.000 = C/(1+0,016)1 + C/(1+0,016)3 + C/(1+0,016)5

$800.000 = C(1/(1+0,016)1 + 1/(1+0,016)3 + 1/(1+0,016)5)C = $800.000/(1/(1+0,016)1 + 1/(1+0,016)3 + 1/(1+0,016)5

C = $ 279.579

b. Determine los intereses que se cancelan en las respectivas cuotas

Interés primer periodo: 800.000*0,016*1 = $ 12.800

Interés de la segunda cuota: I = C*((1+0,016)3-1)



o Amortización de capital, primera cuota: $266.779 $ (279.579 - $ 12.800)

o Saldo insoluto de la deuda: $533.221 ($800.000- $266.779)

I = C*((1+0,016)3-1)

I = $533.221*((1+0,016)2-1)I = $ 17.200

Amortización de capital, segunda cuota $ 262.379 ($279.579 - $17.200 )Saldo insoluto de la deuda: $ 270.842 ($533.221- $ 262.379)

Interés de la tercera cuota: I = C*((1+0,016)2-1)

I = $ 270.842*((1+0,016)2-1)I = $ 8.736

Amortización de capital, tercera cuota $ 270.843 ($279.579 - $ 8.736)

Saldo insoluto de la deuda:- $1 ($ 270.842 -$ 270.843 )



c. Confeccionar Tabla de Amortización de la Deuda

TABLA DE AMORTIZACION

Periodo Capital interés cuotaamortización de

capitalsaldo

insoluto

1 $ 800.000 $ 12.800 $ 279.579 $ 266.779 $ 533.2212 $ 533.221 $ 17.200 $ 279.579 $ 262.379 $ 270.8423 $ 270.842 $ 8.736 $ 279.579 $ 270.842 $ 0

EJERCICIO Nº 9

Un préstamo de $2.400.000 se pactó en 4 cuotas iguales semestrales vencidas a una tasa de interés del 2% mensual.

2.1 Determine el valor la cuota semestral2.2 Confeccione tabla de amortización respectiva

Cálculo de tasa equivalente semestral:

Tiempo de 1 año:Interés semestral:2.400.000*((1+0,02)6-1) =$ 302.790

isem = -1

isem = 12,62%

EJERCICIO Nº 10

Una persona solicita un préstamo de $2.400.000 a un banco, el cual aplica una tasa de interés de colocación del 1,5% mensual. Se desea cancelar el préstamo en 6 meses. Sin plazo de gracia.

a. Determine el valor del cuota mensual

Datos: fórmula utilizada:Préstamo. $2.400.000 Cuota: Préstamo * i /(1-(1+i) –n )Tasa de Interés 1,5% Función – Financieras—Pago (Excel)Número de Cuotas: 6

Valor de las cuotas: $ 421.261



b. Confeccione tabla de amortización respectiva

Tabla de amortización

Periodo Capital Interés CuotaAmortización de

CapitalSaldo Insoluto

1 $2.400.000 36000 $ 421.261 $ 385.261 $ 2.014.7392 $ 2.014.739 $ 30.221,09 $ 421.261 $ 391.039 $ 1.623.7003 $ 1.623.700 $ 24.355,50 $ 421.261 $ 396.905 $ 1.226.7954 $ 1.226.795 $ 18.401,93 $ 421.261 $ 402.859 $ 823.9365 $ 823.936 $ 12.359,05 $ 421.261 $ 408.901 $ 415.0356 $ 415.035 $ 6.225,52 $ 421.261 $ 415.035 -$ 0

c. Determine el valor de la cuota y confeccione tabla de amortización respectiva si se otorga un plazo de gracia de 5 meses.

Datos: fórmula utilizada:Préstamo. $2.400.000 Cuota: Monto * i /(1-(1+i) –n )Tasa de Interés 1,5% Función – Financieras—Pago (Excel)Número de Cuotas: 6Plazo de gracia (meses): 5

Monto acumulado en plazo de gracia: $ 2.585.482Valor cuota: $ 453.817


Periodo Capital Interés CuotaAmortización de

CapitalSaldo Insoluto

1 2.400.000 224.264 $ 453.817 $ 229.553 $ 2.170.4472 $ 2.170.447 $ 32.556,70 $ 453.817 $ 421.261 $ 1.749.1863 $ 1.749.186 $ 26.237,79 $ 453.817 $ 427.579 $ 1.321.6074 $ 1.321.607 $ 19.824,10 $ 453.817 $ 433.993 $ 887.6145 $ 887.614 $ 13.314,20 $ 453.817 $ 440.503 $ 447.1116 $ 447.111 $ 6.706,66 $ 453.817 $ 447.111 -$ 0



EJERCICIO Nº 11

Don Roberto pide $85.000 a una tasa de interés de 1,2% mensual cancelable en 36 cuotas. Se pide, determinar valor de la cuota y confeccionar tabla de amortización respectiva.

Datos:Préstamo: $85.000Tasa de interés: 1,2%Número de cuotas: 36

Valor de las cuotas: $ 2.922


Periodo Capital Interés Cuota Amortización de Capital Saldo Insoluto

1 85000 1.020 $ 2.922 $ 1.902 $ 83.0982 $ 83.098 $ 997,18 $ 2.922 $ 1.924 $ 81.1743 $ 81.174 $ 974,09 $ 2.922 $ 1.948 $ 79.2264 $ 79.226 $ 950,72 $ 2.922 $ 1.971 $ 77.2555 $ 77.255 $ 927,07 $ 2.922 $ 1.995 $ 75.2616 $ 75.261 $ 903,13 $ 2.922 $ 2.019 $ 73.2427 $ 73.242 $ 878,91 $ 2.922 $ 2.043 $ 71.2008 $ 71.200 $ 854,40 $ 2.922 $ 2.067 $ 69.1329 $ 69.132 $ 829,59 $ 2.922 $ 2.092 $ 67.04010 $ 67.040 $ 804,48 $ 2.922 $ 2.117 $ 64.92311 $ 64.923 $ 779,08 $ 2.922 $ 2.143 $ 62.78112 $ 62.781 $ 753,37 $ 2.922 $ 2.168 $ 60.61213 $ 60.612 $ 727,35 $ 2.922 $ 2.194 $ 58.41814 $ 58.418 $ 701,02 $ 2.922 $ 2.221 $ 56.19715 $ 56.197 $ 674,37 $ 2.922 $ 2.247 $ 53.95016 $ 53.950 $ 647,40 $ 2.922 $ 2.274 $ 51.67617 $ 51.676 $ 620,11 $ 2.922 $ 2.302 $ 49.37418 $ 49.374 $ 592,49 $ 2.922 $ 2.329 $ 47.04519 $ 47.045 $ 564,54 $ 2.922 $ 2.357 $ 44.68820 $ 44.688 $ 536,26 $ 2.922 $ 2.385 $ 42.30321 $ 42.303 $ 507,63 $ 2.922 $ 2.414 $ 39.88922 $ 39.889 $ 478,66 $ 2.922 $ 2.443 $ 37.44623 $ 37.446 $ 449,35 $ 2.922 $ 2.472 $ 34.97324 $ 34.973 $ 419,68 $ 2.922 $ 2.502 $ 32.47225 $ 32.472 $ 389,66 $ 2.922 $ 2.532 $ 29.94026 $ 29.940 $ 359,27 $ 2.922 $ 2.562 $ 27.37727 $ 27.377 $ 328,53 $ 2.922 $ 2.593 $ 24.78428 $ 24.784 $ 297,41 $ 2.922 $ 2.624 $ 22.16029 $ 22.160 $ 265,92 $ 2.922 $ 2.656 $ 19.50430 $ 19.504 $ 234,05 $ 2.922 $ 2.688 $ 16.81731 $ 16.817 $ 201,80 $ 2.922 $ 2.720 $ 14.09732 $ 14.097 $ 169,16 $ 2.922 $ 2.752 $ 11.34433 $ 11.344 $ 136,13 $ 2.922 $ 2.786 $ 8.55934 $ 8.559 $ 102,70 $ 2.922 $ 2.819 $ 5.74035 $ 5.740 $ 68,88 $ 2.922 $ 2.853 $ 2.88736 $ 2.887 $ 34,64 $ 2.922 $ 2.887 $ 0

EJERCICIO Nº 12

Don Carlos, el 18 de diciembre del 2006 solicitó un crédito a un amigo por un valor de $2.400.000, a una tasa de interés del 15% anual. Se acordó devolver el crédito más intereses en tres cuotas iguales, en las siguientes fechas:

Cuota Nº 1; 24 de febrero del 2007 Cuota Nº 2; 17 de mayo del 2007 Cuota Nº 3; 02 de agosto del 2007

SE PIDE:

1. Determinar el valor de cada cuota2. Confeccionar tabla de amortización3. Confeccionar tabla de amortización y valor de cada cuota si la amortización de capital es pactada en

forma fija4. Determinar valor de la cuota y tabla de amortización si los intereses se calculan a interés simple.



5. El 5 de junio del 2007 don Carlos desea determinar el saldo insoluto de la deuda. Determine el saldo insoluto de la deuda.

6. Si el 5 de junio del 2007 se desea prepagar la deuda. El costo del prepago corresponde a un 2% sobre el saldo insoluto. Determine la cantidad de dinero a cancelar en esa oportunidad.

7. Si el 5 de junio del 2007, don Carlos desea reprogramar la deuda, de tal modo de cancelar cuotas iguales mensuales de $80.000. La tasa de interés se mantiene y no se cobra comisión por reprogramar la deuda.

a. Determine el número de cuotas y el valor de cada una de ellas.b. Confeccione tabla de amortización, indicando solamente los valores para los periodos 1, 5 c. Determine el interés que se cancela en la cuota 4d. Determinar el valor de la cuota considerando que se solicita un periodo de gracia de 4

meses. Confeccione la tabla de amortización indicando solamente los periodos 1, 2, 3, 4, 5 y 8.

8. Si la tercera cuota no se podrá cancelar en la fecha que se indica. Se acuerda pagar la deuda más los intereses moratorios del 3,5% mensual el 01 de septiembre y 01 de octubre.

a. Determine el valor de la cuotab. Confeccione tabla de amortización



Desarrollo

1.- Determinar el valor de cada cuota

2.400.000 = X / ( 1 + 0,15) 68/360 + X /(1+0,15) 150/360 + X / (1+0,15) 227/360

2.400.000 = X(1/( 1 + 0,15) 68/360 +1/(1+0,15) 150/360 + 1/ (1+0,15) 227/360 )

2.400.000 = X (2,83301894)

X = $ 847.153

Si se usa tasa equivalente mensual

Calculo de tasa equivalente mensual

(1 + 0,15 ) 1/12 = (1 + im ) 1

im = 1,17%

2.400.000 = X / ( 1 + 0,0117) 68/30 + X /(1+0,017) 150/30 + X / (1+0,0117) 227/30

2.400.000 = X(1/( 1 + 0,0,0117) 68/30 +1/(1+0,0117) 150/30 + 1/ (1+0,0117) 227/30

2.400.000 = X (2,83301894)

X = $ 847.153

2.- Confeccionar tabla de amortización


PERIODO CAPITAL INTERÉS CUOTAAMORTIZACIÓN

DE CAPITALSALDO

INSOLUTO

1 $ 2.400.000 $ 64.202 $ 847.153 $ 782.950 $ 1.617.0502 $ 1.617.050 $ 52.306 $ 847.153 $ 794.846 $ 822.2033 $ 822.203 $ 24.950 $ 847.153 $ 822.203 $ 0

Interés primer periodo: 2.400.000 * (( 1 + 0,15 ) 68/360 -1 ) = $64.202Interés segundo periodo: 1.617.050 * (( 1 + 0,15 ) 82/360 – 1) = $52.306Interés tercer periodo: 822.203 * (( 1 + 0,15 ) 77/360 -1) = $24.950



3.- Confeccionar tabla de amortización y valor de cada cuota si la amortización de capital es pactada en forma fija.

Determinación de amortización fija: 2.400.000 / 3 = $800.000



DE CAPITALSALDO

INSOLUTO

1 $ 2.400.000 $ 64.202 $ 864.202 $ 800.000 $ 1.600.0002 $ 1.600.000 $ 51.755 $ 851.755 $ 800.000 $ 800.0003 $ 800.000 $ 24.276 $ 824.276 $ 800.000 $ 0

Interés primer periodo: 2.400.000 * (( 1 + 0,15 ) 68/360 -1 ) = $64.202Interés segundo periodo: 1.600.000 * (( 1 + 0,15 ) 82/360 – 1) = $51.755Interés tercer periodo: 800.000 * (( 1 + 0,15 ) 77/360 -1) = $24.276

4.- Determinar valor de la cuota y tabla de amortización si los intereses se calculan a interés simple.

Interés simple periodo = 2.400.400 * ( 1 + 0,15 * 227/360) = $ 227.000

Interés simple diario = 227.000 / 227 = $ 1.000



DE CAPITALSALDO

INSOLUTO

1 $ 2.400.000 $ 68.000 $ 868.000 $ 800.000 $ 1.600.0002 $ 1.600.000 $ 82.000 $ 882.000 $ 800.000 $ 800.0003 $ 800.000 $ 77.000 $ 877.000 $ 800.000 $ 0

Interés primer periodo: 2.400.000 * 0,15 * 68/360 = $68.000Interés segundo periodo: 1.600.000 * 0,15 * 82/360 = $82.000Interés tercer periodo: 800.000 * 0,15 * 77/360 = $77.000

5. El 5 de junio del 2007 don Carlos desea determinar el saldo insoluto de la deuda.

Determine el saldo insoluto de la deuda.

Saldo insoluto al 5 de junio del 2007 = $ 847.153 = $ 828.290(1+0,15) 58/360



6.- Si el 5 de junio del 2007 se desea prepagar la deuda. El costo del prepago corresponde a un 2% sobre el saldo insoluto. Determine la cantidad de dinero a cancelar en esa oportunidad.

Saldo insoluto: $828.290Comisión 2%: $ 16.566

Total a pagar: $ 844.856

7.- El 5 de junio del 2007, don Carlos desea reprogramar la deuda, de tal modo de cancelar cuotas iguales mensuales de $80.000. La tasa de interés se mantiene y no se cobra comisión por reprogramar la deuda.

7.1 Determine el número de cuotas y el valor de cada una de ellas.7.2 Confeccione tabla de amortización, indicando solamente los valores para los periodos 1, 5 7.3 Determine el interés que se cancela en la cuota 47.4 Determinar el valor de la cuota considerando que se solicita un periodo de gracia de 4

meses. Confeccione la tabla de amortización indicando solamente los periodos 1, 2, 3, 4, 5 y 8.

7.1 Determine el número de cuotas y el valor de cada una de ellas.

Datos:

Saldo insoluto: $828.290Tasa de interés anual: 15%Valor cuota: 80.000

Calculo de tasa equivalente mensual

(1 + 0,15 ) 1/12 = (1 + im ) 1

im = 1,17%

Cálculo del número de cuotas

n = - log ( 1 – VA * i / R) log ( 1 + i)

Datos:Saldo Insoluto: $828.290Tasa de interés mensual: 1,17%Valor de la Cuota: $80.000

Número de Cuotas: n = - log ( 1 – 828.290 * 0,0117 / 80.000) = 11,102 Log ( 1 + 0,0117)


7.2 Confeccione tabla de amortización, indicando solamente los valores para los periodos 1, 5



DE CAPITALSALDO

INSOLUTO

1 $ 828.290 $ 9.703 $ 80.000 $ 70.297 $ 757.9942 3 4 5 $ 542.124 $ 6.351 $ 80.000 $ 73.649 $ 468.4756 7 8

9

10

11

12



EJERCICIO Nº 13

Temas a Evaluar Tasa equivalente Valor de cuota Tabla de amortización Tasa de interés efectiva anual del crédito

DATOS:Préstamo líquido: $1.700.000Tasa de interés mensual: 1,9%Número de cuotas trimestrales: 4Costos adicionales del crédito: $58.000

Total préstamo $ 1.758.000

tasa equivalente trimestral 5,8089859%

cálculo valor de la cuota $ 505.127


periodo capital interés cuotaamortización de

capitalsaldo insoluto

1 1.758.000 102.122 505.127 403.005 1.354.9952 1.354.995 78.711 505.127 426.415 928.5803 928.580 53.941 505.127 451.185 477.3954 477.395 27.732 505.127 477.395 0

tasa efectiva trimestral del crédito 7,3%

EJERCICIO Nº 14

DatosPréstamo líquido: 1.700.000Número de cuotas trimestrales: 4Valor cuota trimestral $ 505.127

tasa efectiva anual 32,5%

EJERCICIO Nº 15MONTO DE UNA ANUALIDAD

FONDO DE AMORTIZACIÓN

Una persona no ha podido cancelar las últimas dos cuotas de un préstamo. El valor de las cuotas es de $102.000. Él desea cancelar las dos cuotas morosas en la fecha de vencimiento de la siguiente cuota. El banco cobra como tasa de interés moratorio un 3,5% mensual.

1.- Cuando dinero se deberá cancelar en esa oportunidad?2.- Cuánto dinero se deberá pagar si se acuerda pagar toda la deuda 15 días después de vencida la tercera

cuota. En el pago se incluye el valor de la tercera cuota más los intereses moratorios respectivos.

1.- Monto de la Anualidad: 102000 * ( (1 + 0,035) 3 – 1 ) = $ 316.8350,035

2.- Monto: 102000 * ( (1 + 0,035) 3 – 1 ) (1 + 0,035) 15 / 30 = $ 322.3320,035

EJERCICIO Nº 16

Se pide un préstamo de $2.000.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual y se acuerda cancelar la deuda en 3 cuotas iguales con vencimiento al final del mes 2, mes 4 y mes 6.

a.- Determinar valor de la cuotab.- Confeccionar tabla de amortización



Para el cálculo del valor cuota use método carretero y fórmula de anualidad

Datos:

Capital: 2.000.000Tasa de interés mensual: 2,2%Número de cuotas bimestrales: 3

Método Carretero:

2.000.000 = R/(1+0,022) 2 + R/(1+0,022) 4 + R/(1+0,022) 6

2.000.000 = R(1/(1+0,022) 2 + 1/(1+0,022) 4 + 1/(1+0,022) 6)

R = $ 726.839

Fórmula de Anualidad:

Tasa equivalente bimestral: (1 + 0,022) 2 = (1 + ibm) 1

Tasa equivalente bimestral: 4,4484%

2.000.000 = R (( 1 – ( 1+ 0,044484) – 3 ) /0,044484 )

R = $ 726.839

PERIODO CAPITAL INTERÉS CUOTAAMORTIZAC

IÓN DE CAPITAL

SALDO INSOLUTO

1 $ 2.000.000 $ 88.968 $ 726.839 $ 637.871 $ 1.362.1292 $ 1.362.129 $ 60.593 $ 726.839 $ 666.246 $ 695.8833 $ 695.883 $ 30.956 $ 726.839 $ 695.883 $ 0


Para calcular el interés del primer periodo bimestral se puede usar la tasa mensual o bien la tasa equivalente bimestral, por ejemplo:

Usando tasa mensual: 2.000.000 *((1+0,022) 2 – 1) = 88.968Usando tasa bimestral: 2.000.000 * (1 + 0,044484) 1 -1) = 88.968

Recuerda que para el primer periodo de uso del dinero, el interés resultando es igual a interés simple como interés compuesto.

EJERCICIO Nº 15PRÉSTAMO CON PERIODO DE GRACIA

Recuerda que el periodo de gracia es aquel en que el deudor tiene cierto beneficio, tal como:

o No se genera intereseso Se genera intereses y en dicho periodo solo se paga los intereses pero no se amortiza capitalo Se genera intereses y en dicho periodo no se paga cuotas. Es este caso los intereses se van

capitalizando.

Se pide un préstamo de $2.000.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual y se acuerda cancelar la deuda en 3 cuotas mensuales, iguales y vencidas con 2 meses de plazo de gracia.

Se pide:o Determinar valor de la cuotao Confeccionar tabla de amortización

Para el cálculo del valor cuota use método carretero y fórmula de anualidad

Datos:

Capital: 2.000.000Tasa de interés mensual: 2,2%Número de cuotas mensuales: 3



Método Carretero:

2.000.000 = R/(1+0,022) 3 + R/(1+0,022) 4 + R/(1+0,022) 5

2.000.000 = R(1/(1+0,022) 3 + 1/(1+0,022) 4 + 1/(1+0,022) 5)

R = $ 727.183

Fórmula de Anualidad:

2.000.000 = R (( 1 – ( 1+ 0,022) – 3 ) /0,022 ) *(1/(1+0,022) 2 )

R = $ 727.183


IÓN DE CAPITAL

SALDO INSOLUTO

1 $ 2.000.000 $ 134.925 $ 727.183 $ 592.258 $ 1.407.7422 $ 1.407.742 $ 30.970 $ 727.183 $ 696.213 $ 711.5293 $ 711.529 $ 15.654 $ 727.183 $ 711.529 $ 0


Para calcular el interés del primer periodo debes determinar elinterés compuesto para 3 periodos mensuales:

Usando tasa mensual: 2.000.000 *((1+0,022) 3 – 1) = $ 134.925

Recuerda que para los próximos periodos puedes usar la fórmula de interés simple, dado que para un periodo el interés simple y el interés compuesto son iguales.

EJERCICIO Nº 16SALDO INSOLUTO DE UNA DEUDA

Una persona a un banco le adeuda 8 cuotas de $36.000 cada una. Estas vencen al final de cada mes (recién se ha pagado una cuota). La tasa de interés del crédito fue de un 3,3% mensual. ¿Cuánto dinero se le debe al banco al día de hoy?

Saldo Insoluto = 36.000/(1+0,022) 1 + 36.000/(1+0,022) 2 +.. + R/(1+0,022) 8

Saldo Insoluto = 36.000 ((1 – ( 1 + 0,022) -8 ) / 0,022 ) = $ 249.541

EJERCICIO Nº 17TASA DE INTERÉS IMPLÍCITA DE UN CRÉDITO

Un banco ofrece a sus clientes un préstamo de $1.000.000 pagadero en 12 cuotas de $108.000 cada una. Qué tasa de interés mensual esta aplicando el banco?

1.000.000 = R/(1+ i) 1 + R/(1+ i) 2 + + + R/(1+0,022) 12

1.000.000 = R ( ( 1 – ( 1 + i ) -12 ) / i )

Usando método de ensayo y error:

Tasa = Valor Actual de la Anualidad2% = $ 1.142.137 para bajar el VA debo subir la tasa3% = $ 1.075.0324% = $ 1.013.5885% = $ 957.2314,1% = $ 1.007.7324,2% = $ 1.001.9274,3% = $ 996.171

La tasa más cercana a un VA de 1.000.000 es un 4,2%



EJERCICIO Nº 18NÚMERO DE CUOTAS DE UN PRESTAMO

Una persona desea pedir un préstamo de $ 2.000.000 pero solo puede cancelar cuotas de $90.000 cada una. La tasa interés que cobra el banco es de un 2,6% mensual. En cuántas cuotas deberá devolver el préstamo más intereses.

n = log (1 - (VA/ R) * i)) / log (1+ i)

n = log ( 1 – 2.000.000*0,026/50000)/log (1 + 0,026)

EJERCICIO Nº 19

Se ha solicitado un préstamo de $1.400.000 a una tasa nominal anual del 18%. Se acordó cancelar el préstamo en 12 cuotas iguales vencidas con vencimiento los días primeros de cada mes. (considere que los meses tienen 30 días).

a.- Determine el valor de la cuota

Cuota mensual: 1.400.000 * 0,18/12 / (1 – (1+0,18/12) -12) = $ 128.352

b.-- Una vez cancelado la cuota correspondiente al 01 de julio, se desea pagar el saldo insoluto de la deuda. La institución bancaria cobra como comisión de prepago un 2% del saldo insoluto. Determine la cantidad de dinero a cancelar en esa fecha.

Saldo Insoluto: 128.352/(1+0,18/12) 1 + 128.352/(1+0,18/12) 2 + … + 128.352/(1+0,18/12) 7

Saldo Insoluto: 128.352 ((1 – ( 1 + 0,18/12) -7 )/0,18/12 )

Saldo Insoluto: $ 846.894

Comisión de por Prepago: $ 846.894 * 2% = $ 16.938

Cantidad de dinero a cancelar: $ 863.832 846.894 + 16.938

Ahorro de intereses $ 34.632 898.464 – 863.832

Cantidad de dinero adeudado (con intereses) $ 898.464 128.352 * 7

c.- El papá del deudor del crédito ha decidido ayudar a su hijo. Para ello cancelará los intereses que se cancelen en la cuota que vence el 01 de octubre. Calcule el interés respectivo.

Saldo Insoluto: 128.352/(1+0,18/12) 1 + 128.352/(1+0,18/12) 2 + … + 128.352/(1+0,18/12) 5

Saldo Insoluto: 128.352 ((1 – ( 1 + 0,18/12) -5 )/0,18/12 )

Saldo Insoluto:$ 613.862

Interés periodo de septiembre: $ 9.208 613.862*0,18/12

d.- El deudor desea cancelar la deuda pendiente (más intereses respectivos) el 25 de septiembre (fecha en que la empresa le cancela el sueldo). Cuánto dinero deberá pagar.

Procedimiento Nº 1. Basado en el saldo insoluto después de cancelar la cuota que vence el 01 de septiembre se determina el interés por los 24 días faltantes de septiembre y se acumula al saldo insoluto (monto).

Interés durante 24 días de septiembre: 613.862 * ((1+ 0,18/12) 24/30 – 1) = $7.355

Monto al 24 de septiembre del 2008 $ 621.217



EJERCICIOS DE VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

EJERCICIO Nº 20

Se pide un préstamo de $900.000 a una tasa de interés del 2% mensual. Se acuerda cancelar la deuda en 3 cuotas iguales mensuales y vencidas. Determinar el valor la cuota y confeccionar tabla de amortización.

$900.000 = C1 / (1 + 0,02)1 + C2 / (1 + 0,02)2 + C3 / (1+ 0,02)3

Valor cuota ( C ): $ 312.079

PERIODOCAPITAL INTERÉS CUOTA

AMORTIZACIÓN DE

CAPITAL

SALDO INSOLUTO

1 900000 18000 $ 312.079 $ 294.079 $ 605.9212 605920,795 12118,4159 $ 312.079 $ 299.961 $ 305.9603 305960,005 6119,2001 $ 312.079 $ 305.960 -$ 0


EJERCICIO N º 21

Se pide un préstamo de $2.000.000 a una tasa de interés del 1,5% mensual. Se acuerda cancelar las cuotas en 4 cuotas iguales mensuales y vencidas. Determinar el valor la cuota.

$3.500.000 = C1 / (1 + 0,015)1 + C2 / (1 + 0,015)2 + C3 / (1+ 0,015)3 + C4 / (1 + 0,015)4

VA av =C * ((1 – (1 + i) –n ) / i )

$3.500.000 = C * ((1 – (1 + 0,015) –4 ) / 0,015 )

Valor cuota: $ 518.890


IÓN DE CAPITAL

SALDO INSOLUTO

1 $ 2.000.000 $ 30.000 $ 518.890 $ 488.890 $ 1.511.1102 $ 1.511.110 $ 22.667 $ 518.890 $ 496.223 $ 1.014.8883 $ 1.014.888 $ 15.223 $ 518.890 $ 503.666 $ 511.2214 $ 511.221 $ 7.668 $ 518.890 $ 511.221 $ 0


EJERCICIO N º 22

Se pide un préstamo de $5.000.000 a una tasa de interés del 15% anual. Se acuerda cancelar la deuda en 4 cuotas iguales trimestrales y vencidas. Determinar el valor la cuota trimestral y confeccionar tabla de amortización.

Tasa de interés trimestral: 0,15/4 = 3,75%

$5.000.000 = C * ((1 – (1 + 0,0375) –4 ) / 0,0375 )

Valor cuota: $ 1.369.344


IÓN DE CAPITAL

SALDO INSOLUTO

1 $ 5.000.000 $ 187.500 $ 1.369.344 $ 1.181.844 $ 3.818.1562 $ 3.818.156 $ 143.181 $ 1.369.344 $ 1.226.163 $ 2.591.9933 $ 2.591.993 $ 97.200 $ 1.369.344 $ 1.272.144 $ 1.319.8494 $ 1.319.849 $ 49.494 $ 1.369.344 $ 1.319.849 $ 0


EJERCICIO N º 23

Se pide un préstamo de $5.000.000 a una tasa de interés efectiva del 15% anual. Se acuerda cancelar las cuotas en 4 cuotas iguales trimestrales y vencidas. Determinar el valor la cuota trimestral y confeccionar tabla de amortización.



Tasa de interés equivalente trimestral: (1 + 0,15) ¼ - 1 = 3,55581%

Valor cuota: $ 1.363.060


IÓN DE CAPITAL

SALDO INSOLUTO

1 $ 5.000.000 $ 177.790 $ 1.363.060 $ 1.185.269 $ 3.814.7312 $ 3.814.731 $ 135.644 $ 1.363.060 $ 1.227.415 $ 2.587.3163 $ 2.587.316 $ 92.000 $ 1.363.060 $ 1.271.060 $ 1.316.2564 $ 1.316.256 $ 46.804 $ 1.363.060 $ 1.316.256 $ 0


EJERCICIO Nº 24

Un préstamo de $3.500.000 se otorgó a una tasa de interés del 2,2% mensual. Se acordó pagar en 4 cuotas con vencimiento en los meses 2, 6, 7 y 11 contados desde la fecha de otorgado el préstamo.

Se pide: o Determinar valor de la cuotao Confeccionar tabla de amortización

$3.500.000 = C1 / (1 + 0,022)2 + C2 / (1 + 0,022)6 + C3 / (1+ 0,022)7 + C4 / (1 + 0,022)11

C1 = C2 = C3 =C4

C = $ 1.005.507


IÓN DE CAPITAL

SALDO INSOLUTO

1 $ 3.500.000 $ 155.694 $ 1.005.507 $ 849.813 $ 2.650.1872 $ 2.650.187 $ 241.026 $ 1.005.507 $ 764.481 $ 1.885.7053 $ 1.885.705 $ 41.486 $ 1.005.507 $ 964.022 $ 921.6834 $ 921.683 $ 83.824 $ 1.005.507 $ 921.683 $ 0


Cálculo de intereses de las cuotas

Interés C1: 3.500.000 * (( 1 + 0,022) 2 – 1) = $155.694Interés C2: 2.650.187 * (( 1 + 0,022) 4 – 1) = $241.026Interés C3: 1.885.705 * (( 1 + 0,022) 1 – 1) = $41.486Interés C4: 921.683 * (( 1 + 0,022) 4 – 1) = $83.824

EJERCICIO Nº 25

Determinar el valor de la cuota mensual, basado en los siguientes datos:

Préstamo: $2.500.000Tasa de interés mensual: 1,5%Número de cuotas mensuales: 3

2.500.000 = X/(1+0,015)1 + X/(1+0,015)2 + X/(1+0,015)3

2.500.000 = X(1/(1+0,015)1 + 1/(1+0,015)2 + 1/(1+0,015)3)X = 2.500.000/(1/(1+0,015)1 + 1/(1+0,015)2 + 1/(1+0,015)3)X = $ 858.457

Intereses que se cancelan en las cuotas:$ 858.457*3 - 2.500.000 = $ 75.371

Si se aplica la fórmula de Valor Actual de una Anualidad Vencida

VA AV: R ( (1 – (1 + i) –n)/i)2.500.000 = R ( (1 – (1 + 0,015) –3)/0,015)

R = $ 858.457





DE CAPITALSALDO

1 $ 2.500.000 $ 37.500 $ 858.457 $ 820.957 $ 1.679.0432 $ 1.679.043 $ 25.186 $ 858.457 $ 833.272 $ 845.7713 $ 845.771 $ 12.687 $ 858.457 $ 845.771 $ 0

EJERCICIO Nº 26

Del problema anterior (25), calcular el valor de la cuota, si el número de cuotas es 24

Préstamo: 2.500.000Tasa: 1,5%n: 24

Valor cuota:

2.500.000 = R ( (1 – (1 + 0,015) –24)/0,015)

R = $ 124.810


º CAPITAL INTERÉS CUOTAAMORTIZACIÓN

DE CAPITALSALDO

1 $ 2.500.000 $ 37.500 $ 124.810 $ 87.310 $ 2.412.6902 $ 2.412.690 $ 36.190 $ 124.810 $ 88.620 $ 2.324.0703 $ 2.324.070 $ 34.861 $ 124.810 $ 89.949 $ 2.234.1214 $ 2.234.121 $ 33.512 $ 124.810 $ 91.298 $ 2.142.8225 $ 2.142.822 $ 32.142 $ 124.810 $ 92.668 $ 2.050.1546 $ 2.050.154 $ 30.752 $ 124.810 $ 94.058 $ 1.956.0967 $ 1.956.096 $ 29.341 $ 124.810 $ 95.469 $ 1.860.6288 $ 1.860.628 $ 27.909 $ 124.810 $ 96.901 $ 1.763.7279 $ 1.763.727 $ 26.456 $ 124.810 $ 98.354 $ 1.665.37210 $ 1.665.372 $ 24.981 $ 124.810 $ 99.830 $ 1.565.54311 $ 1.565.543 $ 23.483 $ 124.810 $ 101.327 $ 1.464.21612 $ 1.464.216 $ 21.963 $ 124.810 $ 102.847 $ 1.361.36913 $ 1.361.369 $ 20.421 $ 124.810 $ 104.390 $ 1.256.97914 $ 1.256.979 $ 18.855 $ 124.810 $ 105.956 $ 1.151.02315 $ 1.151.023 $ 17.265 $ 124.810 $ 107.545 $ 1.043.47816 $ 1.043.478 $ 15.652 $ 124.810 $ 109.158 $ 934.32017 $ 934.320 $ 14.015 $ 124.810 $ 110.795 $ 823.52518 $ 823.525 $ 12.353 $ 124.810 $ 112.457 $ 711.06719 $ 711.067 $ 10.666 $ 124.810 $ 114.144 $ 596.92320 $ 596.923 $ 8.954 $ 124.810 $ 115.856 $ 481.06721 $ 481.067 $ 7.216 $ 124.810 $ 117.594 $ 363.47222 $ 363.472 $ 5.452 $ 124.810 $ 119.358 $ 244.11423 $ 244.114 $ 3.662 $ 124.810 $ 121.149 $ 122.96624 $ 122.966 $ 1.844 $ 124.810 $ 122.966 $ 0

EJERCICIO Nº 27

Préstamo: $1.000.000Tasa de interés mensual: 2%Número de cuotas mensuales: 6

Valor cuota: $ 178.526



CAPITAL SALDO1 $ 1.000.000 $ 20.000 $ 178.526 $ 158.526 $ 841.4742 $ 841.474 $ 16.829 $ 178.526 $ 161.696 $ 679.7783 $ 679.778 $ 13.596 $ 178.526 $ 164.930 $ 514.8484 $ 514.848 $ 10.297 $ 178.526 $ 168.229 $ 346.6195 $ 346.619 $ 6.932 $ 178.526 $ 171.593 $ 175.025



6 $ 175.025 $ 3.501 $ 178.526 $ 175.025 $ 0

EJERCICIO Nº 28

DATOS:Préstamo: $1.400.000Tasa de interés mensual: 2%Número de cuotas: 3Vencimiento de las cuotas: 90, 120, 180

$1.400.000 = C/(1+0,02)3 + C/(1+0,02)4 + C/(1+0,02)6

$1.400.000 = C(1/(1+0,02)3 + 1/(1+0,02)4 + 1/(1+0,02)6)C = $1.400.000/(1/(1+0,02)3 + 1/(1+0,02)4 + 1/(1+0,02)6)C = $ 508.326


Periodo de pago

CapitalInterés del periodo de

pagoCuota

Amortización de Capital

Saldo Insoluto

1 $ 1.400.000 $ 85.691 $ 508.326 $ 422.635 $ 977.3652 $ 977.365 $ 19.547 $ 508.326 $ 488.778 $ 488.5873 $ 488.587 $ 19.739 $ 508.326 $ 488.587 $ 0

EJERCICIO Nº 29

Se pide un préstamo de $1.000.000 a una tasa de interés del 1,5% mensual. Se acuerda cancelar la deuda más intereses en 4 cuotas iguales mensuales y vencidas.

Se pide determinar valor de la cuota y confeccionar tabla de amortización

$1.000.000 = C/(1+0,015)1 + C/(1+0,015)2 + C/(1+0,015)3+ C/(1+0,015)4

$1.000.000 = C(1/(1+0,015)1 + 1/(1+0,015)2 + 1/(1+0,015)3) + C/(1+0,015)4

C = $1.400.000/(1/(1+0,015)1 + 1/(1+0,015)2 + 1/(1+0,015)3) + C/(1+0,015)4

C = $ 259.445

EJERCICIO Nº30

DATOSPréstamo: $1.700.000Tasa de interés mensual: 1,7%Cuotas (3); 60, 90 y 150 días

Determinación de Valor de la Cuota

$1.700.000 = C/(1+0,017)2 + C/(1+0,017)3 + C/(1+0,017)5)$1.700.000 = C(1/(1+0,017)2 + 1/(1+0,017)3 + 1/(1+0,017)5)C = $1.700.000 /(1/(1+0,017)2 + 1/(1+0,017)3 + 1/(1+0,017)5))C = $ 599.287

Confección de tabla de amortización


PERIODO de pago

CAPITAL INTERÉS CUOTAAMORTIZACIÓN

DE CAPITALSALDO

INSOLUTO

1 $ 1.700.000 $ 58.291 $ 599.287 $ 540.996 $ 1.159.0042 $ 1.159.004 $ 19.703 $ 599.287 $ 579.584 $ 579.4203 $ 579.420 $ 19.868 $ 599.287 $ 579.420 $ 0



EJERCICIO Nº 31

De los siguientes datos, determinar el valor de la cuota y confeccionar la tabla de amortización respectiva.

DATOSPRESTAMO $2.000.000TASA 3,00%CUOTAS 4

VALOR CUOTA $ 538.054,09

TABLA DE AMORTIZACIÓNperiodo de

pagocapital interés cuota

amortización de capital

saldo insoluto

1 $ 2.000.000 $ 60.000 $ 538.054 $ 478.054 $ 1.521.9462 $ 1.521.946 $ 45.658 $ 538.054 $ 492.396 $ 1.029.5503 $ 1.029.550 $ 30.887 $ 538.054 $ 507.168 $ 522.383

$ 522.383 $ 15.671 $ 538.054 $ 522.383 $ 0

EJERCICIO Nº 32

1.- Don Jorge necesita obtener $3.000.000 con el objeto de ampliar su casa. Para ello dispone de dos alternativas de financiamiento.

Alternativa APréstamo bancario a cancelar en 6 cuotas mensuales, iguales y vencidas con 3 meses de plazo de gracia. La tasa de interés anual que aplica el banco es de un 13% con capitalización semestral. Se estima que los costos adicionales del crédito ascenderían a $58.000.

Alternativa BPréstamo de una financiera clandestina, con tasa de interés del 2,2% mensual. Se acepta plazo de gracia de tres meses y 6 cuotas iguales mensuales y vencidas. No se cobra intereses adicionales.

Se Pide:

1. Determine el valor de la cuota para cada alternativa,2. Confeccione tabla de amortización para la alternativa seleccionada3. determine la tasa efectiva anual de la alternativa seleccionada.



DESARROLLO

1.- Determine el valor de la cuota para cada alternativa

ANÁLISIS DE ALTERNATIVA A:

Cálculo de tasa equivalente mensual

im = ( 1 + 0,13 / 2) (1/6) -1 = 0,01055107 = 1,06%

Cálculo de Préstamo Bancario

Préstamo líquido = $3.000.000Costos del crédito = $58.000Costo total del crédito = $3.058.000

Determinación del valor de la cuota

3.058.000 = CUOTA * ( 1- ( 1 + 0,01055107) -6 ) 0,01055107 * (1 + 0,01055107) 3

CUOTA = $ 545.563

ANÁLISIS DE ALTERNATIVA B

Datos:Préstamo: $3.000.000Tasa de interés: 2,2% mensualNúmero de cuotas: 6Plazo de gracia: 3

Determinación del valor de la cuota

3.000.000 = CUOTA * ( 1- ( 1 + 0,022) -6 ) 0,022 * (1 + 0,022) 3

CUOTA = $ 575.574

Comentario: La mejor alternativa de financiamiento es el crédito bancario, dado que significa un menor pago de cuotas.



Confeccione tabla de amortización para la alternativa seleccionada



DE CAPITALSALDO

INSOLUTO

1 $ 3.058.000 $ 32.265 $ 3.090.2652 $ 3.090.265 $ 32.606 $ 3.122.8713 $ 3.122.871 $ 32.950 $ 3.155.8204 $ 3.155.820 $ 33.297 $ 545.563 $ 512.266 $ 2.643.5545 $ 2.643.554 $ 27.892 $ 545.563 $ 517.671 $ 2.125.8836 $ 2.125.883 $ 22.430 $ 545.563 $ 523.133 $ 1.602.7507 $ 1.602.750 $ 16.911 $ 545.563 $ 528.653 $ 1.074.0988 $ 1.074.098 $ 11.333 $ 545.563 $ 534.230 $ 539.8679 $ 539.867 $ 5.696 $ 545.563 $ 539.867 $ 0

3.- Determine la tasa efectiva anual de la alternativa seleccionada

Datos:Préstamo líquido: $3.000.000Valor cuota: $ 545.563Número de cuotas: 6Plazo de Gracia: 3

3.000.000 = 545.563 * ( 1- ( 1 + im) -6 ) im * (1 + im) 3

Si se prueba con 2% mensual, su valor actual es: $ 2.879.676Hay que bajar la tasa de descuento

Si se prueba con 1% mensual, su valor actual es. $ 3.068.812Nos pasamos, se descontó muchos intereses a los cuotas futuras

Si se prueba con 1,3% mensual, su valor actual es: $ 3.010.514Si se prueba con 1,4% mensual, su valor actual es: $ 2.991.384

Calculo de tasa efectiva anual

Tasa mensual: 1,4%

Tasa efectiva anual = ( 1 + 0,014 ) 12 – 1 = 18,16%



EJERCICIO Nº 33

Una persona necesita que un banco le preste $1.000.000. Desea cancelar la deuda en 6 cuotas iguales mensuales y vencidas. Un banco le cobra una tasa de interés del 1,4% mensual y costos asociados al crédito por una cantidad de $28.642 correspondiente a impuesto de timbre y estampilla, seguros y gastos notariales.

Determinación del valor de la cuota vencida:

1.028.642 = R ( 1 – ( 1 + 0,014) -6 )0,014

R = $ 179.938


PERIODO CAPITAL INTERES CUOTAAMORTIZACIÓN

DE CAPITALSALDO

INSOLUTO

1 $ 1.028.642 $ 14.401 $ 179.938 $ 165.537 $ 863.1052 $ 863.105 $ 12.083 $ 179.938 $ 167.855 $ 695.2503 $ 695.250 $ 9.734 $ 179.938 $ 170.205 $ 525.0454 $ 525.045 $ 7.351 $ 179.938 $ 172.588 $ 352.4585 $ 352.458 $ 4.934 $ 179.938 $ 175.004 $ 177.4546 $ 177.454 $ 2.484 $ 179.938 $ 177.454 $ 0

EJERCICIO Nº34

Don Pedro, debe a un banco 7 cuotas de $180.000 con vencimiento al final de cada mes. La tasa de interés del crédito fue de un 1,9% mensual. Don Pedro, desea terminar con la deuda prepagando la totalidad del saldo insoluto. El banco acepta el prepago pero cobra una comisión de prepago del 2%. Le convendrá de Don Pedro prepagar la deuda? La evaluación se hará al principio del mes.

Valor cuota: 180.000Tasa de Interés: 1,9%Número de cuotas pendientes de pago: 7

Determinación de Saldo Insoluto: 180.000 * ( 1 – (1 + 0,019) -7 )0,019

SALDO INSOLUTO: $ 1.169.449

Comisión de Prepago: 1.169.449 * 0,02 = $ 23.389Ahorro de intereses: (180.000 * 7 – 1.169.449) = $ 90.551

AHORRO NETO: $ 67.162

A DON Pedro el prepago le significa disminuir sus pagos en $67.162, es decir, sería un ahorro de intereses.

Para evaluar la conveniencia de prepagar la deuda es necesario considerar el costo de oportunidad para don Pedro de prepagar la deuda. Para ello se necesita conocer la rentabilidad que pueda tener don Pedro al utilizar su dinero. Por ejemplo, él puede obtener una rentabilidad mensual del 0,3%

Determinación de intereses que se obtendría si se invierte el dinero en vez de prepagar la deuda. Tiempo de evaluación, 7 meses.

Inversión: 1.169.449 + 23.389 = $ 1.192.838Tasa de interés: 0,3%Tiempo: 7 meses

Interés 7 meses: 1.192.838 * (( 1 + 0,003) 7 – 1) = $ 25.276

AHORRO NETO considerando costo de oportunidad: = $ 41.885

Conclusión: Conviene prepagar la deuda dado el ahorro neto de intereses.

EJERCICIO Nº 35

La señora Maria, pidió un préstamo hace algunos meses. Por dicho préstamo debe cancelar cuotas de $75.382. Quedan por cancelar 15 cuotas. La tasa de interés pactada por crédito fue de un 1,7% mensual.



La señora maría, en los últimos meses ha estado complicada para pagar las cuotas, dado que una hija de ella con su marido y sus 7 nietos se ha ido a vivir a su casa. Hija y Yerno se encuentran sin trabajo. Por tal motivo, la señora maría a acudido al banco para reprogramar la deuda, de tal modo de cancelar solamente $30.000 por cuota. ¿Cuántas cuotas deberá cancelar la señora María?

Determinación de saldo insoluto de la deuda: $ 990.701

Número de cuotas: n = - log ( 1 – 990.701 * 0,017 / 30000) = 48,89098 Log ( 1 + 0,017)




EJERCICIO Nº 36

Don Agustín, recibió una carta de una institución financiera ofreciéndoles créditos con una tasa de interés privilegiada. Por ejemplo, para un crédito de $2.000.000 pagadero en 24 cuotas se pagarían cuotas de $105.000. El banco donde Don Agustín es cuentacorrentista le ofrece créditos por una tasa de interés del 1,4% mensual, para montos de $2.000.000.

¿Dónde le conviene pedir crédito a don Agustín? (no considere costos adicionales del crédito).

Datos:Préstamo: $2.000.000Valor Cuota: 105.000Número de cuotas: 24

Tasa de interés: 1,9%

A don Agustín, le conviene pedir el préstamo en su banco, dado que le aplica una tasa de interés menor respecto al 1,9% que le cobraría la institución financiera.



EVALUACION DE INVERSIÓNES

EJERCICIO Nº 1

Un proyecto presenta la siguiente estimación de flujos de caja, por una vida útil de 5 años. Para dicha inversión se exige una rentabilidad mínima de un 14% anual.

0 1 2 3 4 5-$2.000.000 $500.000 $1.800.000 $2.400.000 $1,300.000 $600.000

Se pide, evaluar el proyecto aplicando las técnicas de Valor Actual Neto (VAN) Y Tasa Interna de Retorno (TIR).

VAN = -$2.000.000 + $500.000 + $1.800.000 + $2.400.000 + $1,300.000 + $600.000 (1+0,14)1 (1+0,14)2 (1+0,14)3 (1+0,14)4 (1+0,14)5

VAN = $ 2.524.895

TIR 55%

TASA VAN14 $ 2.524.895

20% $ 1.923.61140% $ 600.10760% -$ 142.853

EJERCICIO Nº 2

Juan José acaba de ser despedido de la empresa donde él laboraba desde hace 7 años. La experiencia adquirida en dicha empresa le ha permitido formular un proyecto para la creación de una empresa de mantenimiento industrial, de tal modo de ser competencia directa de su antigua empresa.

Juan José ha estimado que requerirá comprar una maquinaria industrial con tecnología de punta por un valor de 12 millones de pesos. Por el momento piensa adecuar una de las habitaciones de su casa como oficina. En ella instalará un computador ($400.000) y un par de muebles ($200.000).

El Servicio de Impuestos Internos informa que la maquinaria industrial tiene 12 años de vida útil, los muebles y el computador 3 años. Solo la maquinaria industrial se estima que tiene valor de desecho de $1.000.000.

Juan José ha podido estimar que los ingresos por venta anuales durante los tres primeros años serían de $5.000.000 y los siguientes tres años de $10.000.000. Los costos operaciones alcanzarían un 40% de los ingresos.

Al final del quinto año se estima cerrar la empresa, vendiendo la maquinaria industrial en $5.000.000.

Para financiar el proyecto se recurrirá al 70% de las indemnizaciones que la empresa le cancele por los años de servicio. El sueldo mensual que obtenía Juan José era de $750.000.

Para completar el financiamiento se solicitará un crédito CORFO, cuya tasa de interés es de un 8% anual. Se pedirá al banco un plazo de gracia de 1 año y cancelar 3 cuotas iguales semestrales y vencidas.

Para evaluar, Juan José exige una rentabilidad del 14% anual. Considere como tasa de impuesto a la renta un 17%.

Le convendrá a Juan José dedicarse a este negocio?

DESARROLLO

1.- Determinación de Depreciaciones lineales de activos fijos

a.- Depreciación de Maquinaria Industrial: 12.000.000 – 1.000 .000 = $ 916.66712

b.- Depreciación Computador: 400.000 = $ 133.3333

c.- Depreciación Muebles: 200.000 = $ 66.6673



2.- Determinación de valor libro de maquinaria industrial al final del año 5

12.000.000 – 916.667 * 5 = $ 7.416.667

3.- Determinación de Inversión requerida:

Maquinaria industrial: 12.000.000Computador: 400.000Muebles: 200.000

Total inversión: $12.600.000

4.- Monto de las indemnizaciones:

7 * 750.000 = $5.250.000

5.- Monto de dinero a invertir en la empresa:

70% de las indemnizaciones

70% * 5.250.000 = 3.675.000

6.- Monto del préstamo bancario:

12.600.000 – 3675.000 = 8.925.000

7.- Determinación de tasa equivalente semestral

( 1 + 0,08 ) 1/2 = ( 1 + i sem ) 1

isem = 3,92%



8.- Determinación de valor cuota semestral

VA AD = R ( 1 – ( 1+i) –n )i(1+i)p.g

8.925.000 = R ( 1 – ( 1+ 0,0392) -3 ) 0,0392*(1+0,0392)2

R = $ 3.468.328

9.- Confección de Tabla de Amortización


PERIODO CAPITAL INTERES CUOTAAMORTIZACION

DE CAPITALSALDO

INSOLUTO

1 8.925.000 350.132 9.275.1322 9.275.132 363.868 9.639.0003 9.639.000 378.143 3.468.328 3.090.185 6.548.8154 6.548.815 256.913 3.468.328 3.211.415 3.337.4005 3.337.400 130.928 3.468.328 3.337.400 0

10.- CONFECCIÓN DE FLUJO DE CAJA

FLUJO DE CAJA PROYECTOITEM 0 1 2 3 4 5Ventas 5.000.000 5.000.000 5.000.000 10.000.000 10.000.000Venta maquinaria 5.000.000

Costos operacionales -

2.000.000-

2.000.000-

2.000.000 -4.000.000 -4.000.000Intereses -635.056 -130.928 depreciación maquinaria -916.667 -916.667 -916.667 -916.667 -916.667depreciación computador -133.333 -133.333 -133.333 depreciación muebles -66.667 -66.667 -66.667 Valor libro de maquinaria industrial -7.416.667Utilidad antes de impuesto a la renta 1.883.333 1.248.277 1.752.405 5.083.333 2.666.666Pérdida de Arrastre Utilidad tributable 1.883.333 1.248.277 1.752.405 5.083.333 2.666.666impuesto a la renta -320.167 -212.207 -297.909 -864.167 -453.333Utilidad después de impuesto a la renta 1.563.166 1.036.070 1.454.496 4.219.166 2.213.333Préstamo 8.925.000

Maquinaria industrial:-

12.000.000

Computador: -400.000

Muebles: -200.000 depreciación maquinaria 916.667 916.667 916.667 916.667 916.667depreciación computador 133.333 133.333 133.333 depreciación muebles 66.667 66.667 66.667 Valor libro de maquinaria industrial 7.416.667

Amortización de capital -

6.301.600-

3.337.400

FLUJO DE CAJA NETO-

3.675.000 2.679.833-

4.148.863 -766.237 5.135.833 10.546.667

11.- Evaluación del Proyecto

11.1 .- Determinación Valor Actual Neto (VAN) del Proyecto

VAN: -3.675.000 + 2.679.833+ -4.148.863+-766.237 + 5.135.833 + 10.546.667(1+0,14) 1 (1+0,14) 2 (1+0,14) 3 (1+0,14) 4 (1+0,14)5

VAN: $ 3.484.562



11.2- Determinación Tasa Interna de Retorno (TIR) del Proyecto

Método del tanteo (ensayo y error)

Tasa del 20% VAN: $ 1.948.856

VAN: -3.675.000 + 2.679.833+ -4.148.863+-766.237 + 5.135.833 + 10.546.667(1+0,2) 1 (1+0,2) 2 (1+0,2) 3 (1+0,2) 4 (1+0,2)5

Tasa del 30% VAN: $ 221.419

VAN: -3.675.000 + 2.679.833+ -4.148.863+-766.237 + 5.135.833 + 10.546.667(1+0,3) 1 (1+0,3) 2 (1+0,3) 3 (1+0,3) 4 (1+0,3)5

Tasa del 35% VAN: -$ 379.552

VAN: -3.675.000 + 2.679.833+ -4.148.863 + -766.237 + 5.135.833 + 10.546.667

(1+0,35) 1 (1+0,35) 2 (1+0,35) 3 (1+0,35) 4 (1+0,35)5

TIR = 32% aproximadamente

Entre las tasas 30% y 35% el VAN más cercano a cero corresponde al 30%, por lo tanto, en forma aproximada la tir es un 32%

11.3. Análisis del Proyecto

El proyecto de Juan José, es recomendable realizarlo dado que la rentabilidad anual que daría su proyecto durante los 5 años de vida útil es de un 32% y él solo le exige un 14% anual. Por otro lado, Juan José obtendría además del 14% anual durante toda la vida útil, $ 3.484.562.



Ejercicio Nº 3

INVERSIÓN INICIAL: $15.000.000FLUJOS DE CAJA NETO: $2.500.000VIDA ÚTIL DEL PROYECTO: 10 AÑOSTASA COSTO DE CAPITAL: 15%

0 1 2 3 4 5 6 7 8-

15.000.000 2.500.000 2.500.000 2.500.000 2.500.000 2.500.000 2.500.000 2.500.000 2.500.000k 18%

van -$ 3.764.784tir 11%



Ejercicio Nº 4

La formulación de un proyecto ha podido determinar que las inversiones necesarias para llevar a cabo un proyecto ascenderían a $4.000.000.

Especialistas en el tema han manifestado que se hace muy difícil realizar proyecciones realistas sobre más allá de 10 años.

Después de realizar estudios de mercado y considerando aspectos técnicos, organizacionales y legales, se ha podido estimar ingresos y egresos anuales por toda la vida útil del proyecto, los cuales en términos netos corresponderían a $900.000

En un estudio reciente sobre la rentabilidad obtenida por empresas similares, se ha podido establecer que la rentabilidad promedio anual es de un 15%.

DATOS:Inversión Inicial: $4.000.000FCN $900.000Vida útil (años) 10Tasa de costo de capital 15% anual

VAN = -4.000.000 + 900.000 * ( 1 – ( 1 + 0,15) -10 ) 0,15

VAN = $ 516.892

TIR = 18,3%

Ejercicio Nº 5

EVALUACIÓN DE PROYECTO GG-33

Total de inversión en Activos Fijos $ 23.900.000Capital de trabajo $ 3.500.000Gastos de Puesta en Marcha $ 622.000Vida útil del Proyecto 4Vida útil de activos Fijos 12Valor residual de activos fijos $ 6.000.000Ventas anuales $ 35.000.000Costos de Producción $ 10.000.000Precio de venta de activos al final año 4 $ 15.000.000Prestamo bancario $ 13.000.000Tasa de interés anual 22%Cuotas semestrales vencidas 5Tasa de costo de capital 18%Tasa de impuesto a la renta 17%

Datos

DESARROLLO

Calculo de valor cuota $ 3.517.414

PERIODO CAPITAL INTERÉS CUOTA

AMORTIZACIÓN DE CAPITAL

SALDO INSOLUTO

1 $ 13.000.000 $ 1.430.000 $ 3.517.414 $ 2.087.414 $ 10.912.5862 $ 10.912.586 $ 1.200.384 $ 3.517.414 $ 2.317.030 $ 8.595.5563 $ 8.595.556 $ 945.511 $ 3.517.414 $ 2.571.903 $ 6.023.6544 $ 6.023.654 $ 662.602 $ 3.517.414 $ 2.854.812 $ 3.168.8415 $ 3.168.841 $ 348.573 $ 3.517.414 $ 3.168.841 $ 0




ITEMES \ AÑOS 0 1 2 3 4Ingresos TributablesIngresos anuales $ 35.000.000 $ 35.000.000 $ 35.000.000 $ 35.000.000Venta de activo fijo $ 15.000.000Egresos TributablesCostos operacionales -$ 10.000.000 -$ 10.000.000 -$ 10.000.000 -$ 10.000.000INTERESES -$ 2.630.384 -$ 1.608.113 -$ 348.573Gastos No DesembolsablesDepreciación AF -$ 1.491.667 -$ 1.491.667 -$ 1.491.667 -$ 1.491.667Valor libro af año 4 -$ 17.933.333Utilidad antes de Impuesto $ 20.877.949 $ 21.900.220 $ 23.159.761 $ 20.575.000Impuesto a la renta -$ 3.549.251 -$ 3.723.037 -$ 3.937.159 -$ 3.497.750Utililidad después de impuesto $ 17.328.698 $ 18.177.183 $ 19.222.601 $ 17.077.250Ingresos NO tributablesPRESTAMO $ 13.000.000Egresos NO TributablesInversión en activos fijos -$ 23.900.000Capital de Trabajo -$ 3.500.000Gastos de Puesta en Marcha -$ 622.000

AMORTIZACIÓN DE CAPITAL -$ 4.404.444 -$ 5.426.715 -$ 3.168.841Gastos No desembolsablesDepreciación AF $ 1.491.667 $ 1.491.667 $ 1.491.667 $ 1.491.667Valor libro af año 4 $ 17.933.333

Flujo de Caja Neto -$ 15.022.000 $ 14.415.921 $ 14.242.135 $ 17.545.427 $ 36.502.250

FLUJO DE CAJA DEL INVERSIONISTA

VAN $ 36.929.504TIR 101%

Conclusiones: Proyecto GG-33 es recomendable realizarlo dado que la rentabilidad anual que se obtendría sería de un 101% superior a la tasa exigida por los inversionistas del 18% anual. En otras palabras permite aumentar el valor de la empresa en $36.929.504. Se obtendría esa cantidad de dinero además de la rentabilidad anual exigida.

Ejercicio Nº 6

Carlos Antonio desea invertir en proyecto que requiere de inversiones en activos fijos por $9.000.000, capital de trabajo por $580.000 y Gastos de puesta en marcha de $1.400.000.

El proyecto generaría ingresos anuales por $4.500.000 y costos operacionales por $2.100.00.

Se estima una vida útil del proyecto de 20 años.

Para Carlos Antonio el invertir en este proyecto le de significar una rentabilidad promedio anual del 18%.

Evalué el proyecto aplicando las técnicas VAN y TIR. Haga los comentarios respecto a lo atractivo de este proyecto.

Desarrollo

Inversiones: $10.980.000

Activos Fijos: $9.000.000Gastos de puesta en marcha: $1.400.000Capital de Trabajo: $580.000

AÑOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Ingresos $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000Egresos $ 10.980.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000FCN -$ 10.980.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20$ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000 $ 4.500.000$ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000 $ 2.100.000$ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000 $ 2.400.000

VAN $ 1.866.592TIR 21,4%


Manual de Matematicas Financieras 2011(2)

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