Manual de teoría: Geometría Matemática Bachillerato · PDF...

Geometra:
Manual de teora:
GeometraMatemtica Bachillerato
Realizado por Jos Pablo Flores Ziga
Jos Pablo Flores Ziga
Manual de teora:Geometra Matemtica Bachillerato
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Manual de teora:
Matemtica Bachillerato

Geometra: Jos Pablo Flores Ziga Pgina 2
Contenido: 3) Geometra
3.1 Crculo y Circunferencia 3.2 Polgonos 3.3 Estereometra

Geometra:
3.1 Crculo y Circunferencia 3.11Teoremas:
1) Un radio perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y viceversa.
2) Una recta perpendicular a un radio en su punto extremo, es tangente a la circunferencia.
3) Las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia, son c
Geometra
3.1 Crculo y Circunferencia
Un radio perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y viceversa.
Una recta perpendicular a un radio en su punto extremo, es tangente a la circunferencia.
Las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia, son congruentes.
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Un radio perpendicular a una cuerda, biseca a dicha
Una recta perpendicular a un radio en su punto
Las tangentes trazadas desde un mismo punto ongruentes.

r
A
4) En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes equidistan del centro y viceversa.
Ejercicios resueltos: a) En una circunferencia de radio 10cm de longitud, una cuerda dista 8cm del centro. Cul es la longitud de la cuerda?
La distancia desde la cuerda es 8cm y el radio mide 10cm. Puesto que la distancia ms cerca de un punto a un segmento o recta es el segmento perpendicular a ella; se forma un tringulo rectngulo entre la distancia del centro a la cuerda, el radio y la mitad de la cuerda como se observa en la figura. Entonces por el teorema de Pitgoras se calcula la mitad de la cuerda: Finalmente la cuerda mide el doble 12cm por teorema 1
r
m
A
cmc
c
c
c
c
6
36
36
64100
810
2
2
222
=
=
=
=
+=

b) El segmento IC__
mide 4cm, HI__
mide 8cm, HD__
mide
17cm, cuanto mide el segmento CD__
si los segmentos CD__
,
HD___
, y HC___
son tangentes a la circunferencia.
Segn el teorema 3 las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia son congruentes,
entonces el segmento CJ___
mide 4cm y HK___
mide 8cm.
Como HD___
mide 17cm, KD___
mide 9cm por diferencia y
adems congruente con JD___
que mide 9cm. CD__
es la
suma de los segmentos CJ___
y JD___
: 1394 =+ cm.
c1
C
DH
IJ
K

A
A
A
3.12 Posiciones relativas de circunferencias o crculos Tangentes: Secantes: Concntricas: Interiores: Exteriores:

3.13 Arcos y ngulos ngulos en la Circunferencia
ngulo Definicin: ngulo que tiene el vrtice en:
Dibujo
Medida igual a la:
Frmula
Central El centro de la circunferencia
Medida del arco que intercepta
BCm
Inscrito La circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma
Mitad de la medida del arco interceptado
2
BDm
Seminscrito Uno de los lados es tangente y el otro cuerda
Mitad de la medida del arco interceptado
2
CDm
Interior Un punto interior a la circunferencia
Semisuma de la mediada de los arcos
2
mEFmBD +
Exterior Un punto
exterior, sus lados secantes, o uno secante y otro tangente
Mitad de diferencia de medidas de arco mayor y menor
2
mCFmCE
2
mMNmJL
Un punto exterior y sus lados tangentes
Diferencia entre 180 y arco
mCE180
B
C
B
C
D
C
D
c1
A
B D
E
F
C
D
E
F
J
K
L
M
N
C
D
EF

A
C
D
E
F
G
3.14 Lneas que cortan dentro y fuera de la circunferencia Concurrentes:
GFEGGDCG____________
= Secantes concurrentes en un punto exterior a una circunferencia:
FDCDGDED____________
= Secante y tangente concurrentes:
FDCDEF______2___
=
C
D
E
F
G
C
D
E
F

3.15 Medida de arcos en radianes Paso de grados a radianes:
180
n
Ejemplo: Convertir 60 en radianes
318060
=
Paso de radianes a grados
180n
Ejemplo: convertir 3
2a grados
120180
3
2=
3.16 Longitud de arco
180
nrAB
=
Ejemplo: Calcule la longitud de un arco si el radio mide 3cm y el ngulo 45
cmAB
4
3
180
453=
=

3.17 reas rea de un crculo: 2r Sector circular
360
2 nrAs
=
Segmento Circular:
= Anr
Aseg 360
2
Corona circular:
( )22 rRAc = Trapecio circular:
( )360
22 nrRAt
=

R
S 1O
1X
1Y
150
1120
1B
B
1K
1
50
1140
1S
1A
Ejercicios Resueltos:
a) En la figura XY es tangente a la circunferencia de centro O. Entonces calcule la medida del ngulo SBY
El ngulo XBR es seminscrito por lo que el arco BR mide el doble: 100 El ngulo ROS es central y el arco RS mide igual 120 La circunferencia en total mide 360 por diferencia sacamos la medida del arco SB: 140)120100(360 =+ El ngulo SBY es seminscrito y mide la mitad del arco SB entonces mide 70
b) En la figura KB es tangente a la circunferencia, calcule el valor de
El SKA es inscrito por lo que arco SA mide el doble 100. Por diferencia el arco AK mide 120)140100(360 =+ El ngulo es seminscrito por lo que mide la mitad del arco AK y por lo tanto mide: 60

c) De acuerdo con los datos de la figura:
cmcmcm CDGDEG 15,11,9_________
=== Calcule la medida de FD___
Segn el teorema: FDCDGDED____________
= ( )
3
44
15
1120
1511119
=
=
=+
x
x
d) Calcule el rea de un sector circular y longitud de arco
de radio 3cm y ngulo central 4
radianes.
Convertimos el ngulo en radianes a grados:
45180
4=
222
8
9
360
453
360
cm
nrAs
=
=
=
cmnr
AB
4
3
180
453
180
=
=
=
C
D
E
F
G

Geometra:
e) Calcular el rea de un segmento circular si el dimetro mide 8cm y esta formado por un ngulo de 60
Como el dimetro mide 8cm el Tenemos que calcular el rea del tringulo que pertenece al sector circular y ocupamos la altura del tringulo. Note que el ngulo es de 60 y el tringulo es issceles, entonces la altura marcada es mediana, bisectriz y mediatriz a la vez entonces al ser bisectriz parte el ngulo en dos congruentes midiendo cada uno 30 y al ser altura se prolonga perpendicular hacia el lado. Por lo tanto se forman en el tringulo dos tringulos rectngulos especiales congruentes. (Ver en anexo trespeciales) Resulta que al realizar este anlisis el tringulo es equiltero porque todos sus ngulos son congruentes: 60. Entonces la altura mide la mitad del radio multiplicado
por la raz de tres:
del tringulo:
342
324A =
=
circular: 2
360
4As
=
Finalmente calculamos el rea del segmento circular:
2
360
nrAseg
=
Calcular el rea de un segmento circular si el dimetro mide 8cm y esta formado por un ngulo de 60
Como el dimetro mide 8cm el radio mide la mitad: 4cmTenemos que calcular el rea del tringulo que pertenece al sector circular y ocupamos la altura del tringulo. Note que el ngulo es de 60 y el tringulo es issceles, entonces la altura marcada es mediana, bisectriz y
a la vez entonces al ser bisectriz parte el ngulo en dos congruentes midiendo cada uno 30 y al ser altura se prolonga perpendicular hacia el lado. Por lo tanto se forman en el tringulo dos tringulos rectngulos especiales congruentes. (Ver en anexo trespeciales) Resulta que al realizar este anlisis el tringulo es equiltero porque todos sus ngulos son congruentes: 60. Entonces la altura mide la mitad del radio multiplicado
por la raz de tres: cm3232
4= Ahora calculamos el re
23 cm Luego calculamos el sector
22
3
8
360
60cm=
Finalmente calculamos el rea del segmento circular:
2343
8cmA
=
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Calcular el rea de un segmento circular si el dimetro mide 8cm y esta formado por un ngulo de 60
radio mide la mitad: 4cm Tenemos que calcular el rea del tringulo que pertenece al sector circular y ocu

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