Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato · PDF fileObserva la...

Funciones:

Manual de teoría:

FuncionesMatemática Bachillerato

Realizado por José Pablo Flores Zúñiga

José Pablo Flores Zúñiga

Manual de teoría:Funciones Matemática Bachillerato


Página 1

Manual de teoría:

Matemática Bachillerato


Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 2

Contenido: 2) Funciones

� 2.1 Conceptos Básicos de Funciones � 2.2 Función Lineal � 2.3 Rectas � 2.4 Función Cuadrática � 2.5 Función Exponencial � 2.6 Función Logarítmica


Funciones 2.1 Conceptos básicos: Función: Dados dos conjuntos no vacíos, A y B, se llama función de A en B, a la correspondencia que asocia a todo elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B. Preimagen: Si BAff →:, es una función, los elementos del conjunto A se llaman preimágenes. Imagen: Si BAff →:, es una función, los elementos del conjunto B a quienes se les ha hecho corresponder al menos algún elemento del conjunto A se les llaman imágenes. Si “y” es el correspondiente de “x” por f se expresa como: )(xfy = Dominio: Si BAff →:, es una función. Al conjunto A se llama dominio o conjunto de partida de la función. Codominio: Si BAff →:, es una función. El conjunto B se llama codominio o conjunto de llegada de la función. Ámbito o Rango: Si BAff →:, es una función. Se llama rango o ámbito de f al conjunto de imágenes de la función. Criterio: Si BAff →:, es una función y la correspondencia obedece a alguna ley general para cada uno de los elementos del dominio, se expresa por )(xfy = Y se llama criterio de asociación de la función.


-10 10

-10

10

x

y

Gráfico: Si BAff →:, es una función, el conjunto de pares ordenados ),( yx en donde Ax∈ y By∈ , se llama gráfico de la función. Gráfica: Si BAff →:, es una función, A y B son subconjuntos de los números reales, la representación de los elementos del gráfico en un sistema coordenado cartesiano XY, se le llama gráfica de la función. Variables dependientes y variables independientes: Si

BAff →:, es una función con )(xfy = . “x” recibe el nombre de variable independiente. “y” recibe el nombre de variable dependiente. Estas variables se localizan en la gráfica de la función. Ejemplo: Sea IRIRff →:, tal que 3)( += xxf El dominio es IR El codominio es IR Imagen de 2: se sustituye en la x: 532)2( =+=f Preimagen de -1: se iguala a la función: 431 −=⇒+=− xx Criterio: 3+= xy Rango: IR Ejemplo Gráfico x -4 -1 0 3 y -1 2 3 6 Gráfica: Observe a la derecha:


Dominio Máximo de una función Real Se analizarán cuatro casos: Caso 1: Funciones Fraccionarias: En este caso el denominador nunca podrá ser cero. Analizamos que valores hacen que el denominador se haga cero o sea donde se indefine la función. Ejemplos:

a) 12

6)(

−

−=x

xxf

Entonces el denominador lo igualamos a cero:

2

1

012

=

=−

x

x

El dominio máximo es:

−2

1IR

b) 1

1)(

2+−

−=

xx

xxg

012=+− xx

Puesto que { }=S no hay indefiniciones: el dominio máximo es: IR Caso 2: Funciones Radicales en el numerador: Analizaremos raíces de índice par, las de índice impar el dominio es IR . Recuerde que el subradical debe ser positivo o cero. Ejemplos: a) 3)( += xxf Entonces el subradical debe ser positivo o cero 03 ≥+x

3−≥x El dominio máximo es: [ [+∞− ,3


b) xxg 25)( −=

2

5

52

025

≤

−≥−

≥−

x

x

x


∞−2

5,

Caso 3: Funciones Radicales en el denominador: Recuerde que si el denominador es cero se indefine la función. Se trabaja como el método anterior pero el subradical debe ser mayor que cero, o sea sólo positivo. Ejemplos:

a) 4 35

5)(

+

+=

x

xxf

5

3

35

035

−>

−>

>+

x

x

x


∞+

−,

5

3

b) x

xxg

−=1

)(

1

1

01

<

−>−

>−

x

x

x

El dominio máximo es: ] [1,∞−


Caso 4: Radicales en el numerador y fraccionarias Se analizan los dos casos por aparte Ejemplos:

a) 152

2)(

2−+

+=

xx

xxf

Analizamos el radical

2

02

−≥

≥+

x

x

[ [+∞− ,2 Analizamos el denominador:

01522=−+ xx Quedando una ecuación cuadrática

3

5

2

1

=

−=

x

x

Ahora analizamos: [ [+∞−∈− ,25 ? Como no pertenece se descarta

[ [+∞−∈ ,23 ? En este caso si pertenece y como 3 indefine al denominador. El dominio máximo es: [ [ { }3,2 −+∞− Observe que queda el intervalo del radical que no indefine menos las indefiniciones del denominador.

b) 652

)(+−

=xx

xxg

[ [+∞

≥

,0

0x

Como [ [ [ [+∞∈+∞∈ ,03,02 y El dominio máximo es: [ [ { }3,2,0 −+∞

2

3

065

2

1

2

=

=

=+−

x

x

xx

Funciones:

Función creciente y decreciente Si x < y además fSi x > y además fAdemás existen funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece.Se analiza en el dominio, si es Ejemplos: a)

Decrece: ] [2,−∞− Se mantiene constante en: Crece: ] [+∞,5 Ámbito: [ [+∞,3 b) xxf =)( es creciente:

-10

José Pablo Flores Zúñiga

Función creciente y decreciente

)()( yfxf < es creciente )()( yfx > es decreciente

Además existen funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece.Se analiza en el dominio, si es gráfica, en las x.

Se mantiene constante en: ] [5,2−

es creciente:

-10 10

-10

10

x

y

Página 8

Además existen funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece.


-10 10

2

10

x

y

c) 2)( xxf =

Decrece: ] [0,∞− Crece: ] [+∞,0

Función Sobreyectiva: Es aquella función en la cual el ámbito coincide con el codominio. Función Inyectiva: Es aquella función tal que cada segmento del codominio que es imagen de al menos un elemento del dominio, la es de una única preimagen. Función Biyectiva: Es aquella función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez. De estos últimos tres conceptos lo más importante es que una función biyectiva tiene inversa, en las funciones estudiadas por bachillerato, las funciones biyectivas son las lineales, exponencial y logarítmica y recuerde que tienen su función inversa. La función cuadrática no es biyectiva. Función Inversa: Si BAff →:, es una función biyectiva. Entonces existe

una función inversa denotada por 1−f tal que:

ABff →−− :, 11


Observemos el siguiente gráfico:

3)( += xxf x -4 -1 0 3 y -1 2 3 6

)(1 xf − x -1 2 3 6 y -4 -1 0 3 Note que los puntos en la inversa se alternaron con respecto a la función. Ahora veamos la gráfica:

La que esta más arriba es )(xf y la de abajo )(1 xf − note la simetría de ambas funciones. Siempre xy = va a ser el eje se simetría de una función y su inversa.

Ahora observamos la gráfica de xxf 3)( = y su inversa xy3

log=

-10 10

-10

10

x

y


Observa la simetría de ambas funciones y el eje de simetría y = x Determinación de la función inversa: Si se tiene el criterio de una función. Se despeja de ella la variable x en términos de y. Ejemplos: a) 32 += xy Entonces despejamos x:

xy

xy

xy

=−

=−

+=

2

3

23

32

Ahora cambiamos y por x

La función inversa es: 2

3−=x

y

-10 10

-10

10

x

y


b) xy −= 5

xy

xy

xy

=−

−=−

−=

5

5

5

Entonces la inversa es: xy −= 5

c) xy 2= más adelante en este capítulo sabrá que es una función exponencial y la inversa es la logarítmica

La inversa es: xy2

log=

d) xy ln=

La inversa es: xey =

e) si 62 += xy calcule )0(1−f Lo que piden es la imagen en la inversa de 0. Entonces si 0 es preimagen, en la función inversa 0 es imagen. Note que igualamos a 0 la función:

x

x

x

=−

=−

+=

3

26

620

3)0(1 −=−f

f) si 13 −= xy Cuánto es la preimagen de 5 en la inversa. Entonces sustituimos el 5 en la función:

14153 =−•=y En la función inversa: la preimagen de 5 es 14


Ejercicios: Determine el dominio máximo de:

1) 67

2)(

2++

=xx

xxf

2) 8 25)( xxf −=

3) 12

62)(

+

+=

x

xxf

4) 1432

8911)(

2

6

−−

−=

xx

xxf

Determine el criterio de la función inversa:

1) 465

1+= xy

2) xy 10=

3) x

2

1log

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

-10 10

-10

10

x

y

62+−= xy


2.2 Función Lineal La función lineal estándar viene dada de la forma: Donde m se llama pendiente y b intersección Análisis de la función lineal Es una función biyectiva y por lo tanto tiene inversa Si 0>m es estrictamente creciente Si 0=m es constante Si 0<m es estrictamente decreciente. Si 01 == bym o sea: xxf =)( se llama función identidad Interseca al eje y en (0, b)

Interseca al eje x en

−0,

m

b

Dominio: IR Rango: IR Si se tienen dos puntos: ( ) ( )2211 ,, yxyyx

Entonces la pendiente es: 12

12

xx

yym

−

−= y la intersección

viene dada por: mxyb −= Ejemplo: Si se tienen: ( ) ( )3,11,2 −y entonces:

3

2

3

2

21

13−=

−=

−−

−=m

12313

23 =−=−•−−=b

El criterio de la función es: 13

2+−= xy


-10 10

-10

10

x

y

-10 10

2

10

x

y-10 10

-10

10

x

y

1) Analicemos la función: 511)( −= xxf Como 011>=m Es estrictamente creciente Interseca al eje y en ( ) ( )5,0,0 −=b

Interseca al eje x en

=

−0,

11

50,

m

b

Dominio: IR y Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: 2) Analicemos: xxh −=)(

0)( +−= xxh 01<−=m Es estrictamente decreciente

Interseca al eje y en ( )0,0 Interseca al eje x en )0,0( Dominio: IR y Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: 3) Analicemos: 3)( =xg

0=m Es constante Interseca al eje y en ( )3,0 No interseca al eje x Dominio: IR y Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: Ejercicios: Analice las funciones y realice un gráfico y gráfica de: a) 62)( += xxf b) 34)( +−= xxd c) 3)( −=xj


2.3 Rectas: En una gráfica pueden venir varias funciones lineales y recuerden que son rectas, por lo tanto vienen dadas por la forma de bmxy += . En caso de que vengan de la forma:

dcbyax =++ , hay que transformarlas a la forma estándar de bmxy += despejando y. Rectas paralelas: Son funciones lineales que tienen la misma pendiente. Ejemplo: 13:53: 21 −=+= xyyxy ll tienen la misma pendiente por lo que las rectas son paralelas 1l ║ 2l Rectas perpendiculares: Son funciones lineales que las pendientes son recíprocas y de signos contrarios. Quiere decir que si multiplica las pendientes da menos uno.

Ejemplo: 13

1:53: 21 −

−=+= xyyxy ll Las pendientes son

recíprocas y opuestas, quiere decir que: 13

13 −=

−•

Entonces 21 ll ⊥ Rectas oblicuas: Son funciones lineales que no son paralelas ni perpendiculares. Rectas concurrentes: Son dos rectas que se intersecan en un punto. Entonces son rectas concurrentes las perpendiculares o oblicuas.


Ejemplos a) 13:53: 21 −=+= xyyxy ll rectas paralelas

b) 13

1:53: 21 −

−=+= xyyxy ll rectas perpendiculares

c) 12:53: 21 −−=+= xyyxy ll rectas oblicuas

-10 10

-10

10

x

y

-10 10

-10

10

x

y

-10 10

-10

10

x

y


Ejercicios resueltos:

a) Si los puntos: )1,2()2,3( y− pertenecen a una recta 1l y es paralela a una recta 2l que tiene el punto: ( )1,5 −− Determine los criterios de la rectas.

Podemos comenzar con encontrar el criterio de la recta 1l

5

7

5

212

5

11

5

1

32

21

=+=•−

−=

−=

−−

−=

b

m

El criterio de 1l es 5

7

5+

−=

xy

Puesto que 2l es paralela a 1l entonces las pendientes son la misma:

5

1−=m

Entonces calculamos la intersección con el punto dado:

21155

11 −=−−=−•

−−−=b

El criterio de la recta 2l es 25

−−

=x

y

b) Si se tienen que los puntos: )1,1()3,1( y− pertenecen a

una recta 1l y es perpendicular a una recta 2l que tiene el punto: ( )5,3 Calcular los criterios de las rectas:

Comencemos por encontrar el criterio de 1l

12

2

11

31−=

−=

−−

−=m El criterio de 1l es: 2+−= xy

213113 =−=−•−−=b Puesto que las rectas son perpendiculares, las pendientes son opuestas y recíprocas. Podemos calcular la pendiente de la otra recta 2l


-10 10

-10

10

x

y

-10 10

-10

10

x

y

1

11

2

2

=

−=•−

m

mLa pendiente de la recta 2l es 1

Ahora calculamos la intersección:

235315 =−=•−=b El criterio de 2l es 2+= xy

c) si el criterio de la recta 1l es 62 += xy y el criterio de la recta 2l es: 3+−= xy Calcular el punto de intersección de ambas rectas:

Como es el punto de intersección es donde la preimagen e imagen son comunes en las rectas. En donde se igualan: Si 62 += xy además 3+−= xy para encontrar el punto igualamos:

1

33

632

362

−=

−=

−=+

+−=+

x

x

xx

xx

Y calculamos el valor de la imagen de -1 en cualquiera de las dos funciones:

4

431)1(

=

=+−−=−

y

f

El punto de intersección es: ( )4,1− recuerde ( )yx,


Ejercicios: a) Determine el punto de intersección de las siguientes rectas: 1) 52 += xy y 411 +−= xy 2) 43 −= xy y 2−= xy

3) 4

5

3

1−= xy y 4

3

2+

−= xy

4) 2132 =−+ yx y 7421 =−+− yx b) Calcule los criterios de las rectas si las rectas son paralelas 1) ( ) ( ) ( ) 21 8,46,23,1 ll ∈−∈− y 2) ( ) ( ) ( ) 21 7,26,43,5 ll ∈∈− y 3) ( ) ( ) ( ) 21 1,03,25,0 ll ∈∈−y c) Calcule los criterios de las rectas si las rectas son perpendiculares 1) ( ) ( ) ( ) 21 8,46,23,1 ll ∈−∈− y 2) ( ) ( ) ( ) 21 8,10,23,0 ll ∈∈y 3) ( ) ( ) ( ) 21 6,25,12,4 ll ∈∈−−y


2.4 Función Cuadrática La función cuadrática es de la forma general:

cbxaxxf ++=2)(

Análisis de la función Si 0>a es cóncava hacia arriba Si 0<a es cóncava hacia abajo Interseca al eje y en ( )c,0

Interseca al eje x si 0≥∆ en

∆±−0,

2a

b Entonces puede

tener una o dos intersecciones con el eje x. Tiene dominio: IR

Ámbito:

Vértice:

∆−−

aa

b

4,

2

si 0>a es punto mínimo y si 0<a es un punto máximo

Eje simetría: a

bx

2

−=

Crece:

−∞−<

+∞

−>

a

bcreceasi

a

bcreceasi

2,:0

,2

:0

Decrece:

+∞

−<

−∞−>

,2

:0

2,:0

a

bdecreceasi

a

bdecreceasi

∆−∞−<

+∞

∆−>

aesasi

aesasi

4,:0

,4

:0


-10 10

-10

10

x

y

Ejemplos:

a) Analicemos la parábola: 6)( 2−+= xxxf

Puesto que 01>=a es cóncava hacia arriba

25)6)(1(412 =−−=∆

Vértice:

−−

4

25,

2

1 y es punto mínimo

Interseca al eje y en ( )6,0 − Intersecciones con eje x:

2

3

06

2

1

2

=

−=

=−+

x

x

xx

Interseca al eje x en ( )0,3− y ( )0,2

Dominio: IR

Rango:

+∞

−,

4

25

Eje de simetría en 2

1−=x

Crece en:

+∞

−,

2

1

Decrece en:

−∞−2

1,


-4 4

-10

2

x

yb) analizar la función: 1)( 2+−= xxf

Como 01<−=a es cóncava hacia abajo 4)1)(1(40 =−−=∆

Vértice: ( )1,0 y es un punto máximo Interseca al eje y en ( )1,0 Interseca al eje x en: ( )0,1− y ( )0,1 Dominio: IR Rango: ] ]1,∞− Eje de simetría: 0=x o sea el eje y Crece: ] [0,∞− Decrece: ] [+∞,0 Ejercicios: Analice las siguientes funciones, construya un gráfico y su gráfica: 1) 642)( 2

++= xxxf 2) 2)( xxf =

3) 622)( 2−+−= xxxf

4) 2)( xxf −=


-4 4

2

10

x

y

10y

2.5 Función Exponencial

La función exponencial posee la forma: xaxf =)( Recuerde que es biyectiva y por lo tanto tiene función inversa que es la logarítmica. Análisis de la función: Dominio: IR Codominio: +

IR Si 1>a es estrictamente creciente Si ] [1,0∈a es estrictamente decreciente Interseca el eje y en ( )1,0 No interseca al eje x Tiene asíntota al eje x Ejemplos:

a) Analizar la función: xxf −= 3)(

Debemos llevarla a la forma estándar: x

xxf

==

−

3

13)(

Dominio: IR Codominio: +

IR

] [1,03

1∈=a

Es estrictamente decreciente Interseca al eje y en ( )1,0 Tiene asíntota al eje x

b) Analizar la función: xxh π=)(


Dominio: IR Codominio: +

IR 1>= πa

Es estrictamente creciente Interseca al eje y en ( )1,0 Tiene asíntota al eje x

c) Si ] ] +→∞− IRff 0,:, para xexf =)( ¿Cuál es el rango?

Para este tipo de ejercicios, sugiero hacerse una gráfica sabiendo si es creciente o decreciente, en este caso es creciente. No importa si no corresponde a la gráfica correcta, solo si es creciente o decreciente. Nos puede servir la gráfica del ejercicio anterior porque es creciente. Observe que para dominio ] ]0,∞− el rango va de: ] ]1,0

d) Si ] ] +→+∞ IRff ,0:, para xexf =)( ¿Cuál es el rango?

Como en el ejercicio anterior, observe que si el dominio es: ] ]+∞,0 El rango es: [ [+∞,1

Ejercicios: Analice las funciones, realice un gráfico y gráfica.

1) xexf =)(

2) ( )xxf 2ln)( =

Note que 2ln es un número y no una función.


2 10

-4

4

x

y

2.6 Función Logarítmica La función logarítmica tiene la forma: x

axf log)( = Recuerde que es una función biyectiva y por lo tanto tiene inversa a la función exponencial. Análisis de la función: Dominio: +

IR Codominio: IR Si 1>a es estrictamente creciente Si ] [1,0∈a es estrictamente decreciente Interseca el eje x en ( )0,1 No interseca al eje y Tiene asíntota al eje y Ejemplos:

a) Analizar la función: xxf 5log)( =

Dominio: +IR

Codominio: IR 15 >=a

Es estrictamente creciente Interseca el eje x en ( )0,1 Tiene asíntota al eje y


2 10

-4

4

x

y

b) Analizar la función: xxj ln)( −= Debemos llevarla a la forma estándar:

x

e

xxj1

logln)( =−=

Dominio: +IR

Codominio: IR

] [1,01

∈=e

a

Es estrictamente decreciente Interseca el eje x en ( )0,1 Tiene asíntota al eje y

c) Si ++→ IRIRff :, para xxf ln)( −=

¿Cuál es el dominio? Observando la gráfica en el ejercicio anterior, observe que

si el rango es: +IR el dominio es: ] [1,0

d) d) Si −+→ IRIRff :, para xxf ln)( −=

¿Cuál es el dominio? Observando la gráfica en el ejercicio anterior, observe que si el rango es: −IR el dominio es: ] [∞+,1

Ejercicios: Analizar las funciones, realizar un gráfico y una gráfica 1) xxf log)( =

2) xxf

6

5log)( =

Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato · PDF fileObserva la...

Documents

Transcript of Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato · PDF fileObserva la...