Manual de Prácticas de Dinámica
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. JUÁREZ
“MANUAL DE PRÁCTICAS DE DINÁMICA UTILIZANDO
EL SOFTWARE WORKING MODEL”
MEMORIA DE RESIDENCIA
MIRIAM MEJÍA SALINAS
INGENIERA ELECTROMECÁNICA
CD. JUÁREZ, CHIH., MARZO DEL 2013
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CAPÍTULO 2
FUNCIONES BÁSICAS
Este capítulo pretende explicar las funciones básicas del software, desde
como ingresar al programa, abrir una pieza ya existente, crear un documento
nuevo etc. Con esto se pretende que en el alumno esté familiarizado con elprograma y pueda dibujar cualquier sistema dinámico.
2.1 Ingresar a Working Model
1. Asegúrese de que Working Model esté instalado en su
computadora.
2. En el menú , haga clic en Programas y luego en Working Model
2D, o bien localice en el escritorio el icono del programa y
de doble clic. Esto crea un nuevo documento en Working Model
2D.
2.2 Abrir un documento existente
Para abrir un documento existe:
1. En la ventana de Working Model presione el botón derecho del
ratón en para abrir el archivo; o en el menú de archivos (File),
(Open) o bien presione Ctrl + O.
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2. Seleccione el archivo que desea abrir y presione el botón derecho
del ratón en abrir.
2.3 Términos de Working Model
A continuación se muestra en la figura 2.1 un gráfico de la ventana
principal del software Working Model en el cual se identifican y explican los
términos mas comunes. El alumno debe familiarizarse con estos términos ya que
se verán a lo largo del manual.
Figura 2. 1 Pantalla principal del software
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Barra de cuerpos. En esta se localizan las diferentes figuras que se
pueden realizar en el espacio de trabajo.
Barra unir/partir.
Barra de uniones. Aquí se encuentran las uniones que se pueden
colocar, como lo son la articulación con clavija (pin joint), articulación canalizada
(slot joint), articulación rígida (rigid joint), etc.
Barra de puntos. Son puntos utilizados para unir con otros cuerpos.
Barra de restricciones. En esta barra se encuentran elementos
como resortes, amortiguadores, motores, actuadores, etc.
Hoja o espacio de trabajo. Es en este espacio en el cual se realiza
el dibujo del sistema dinámico.
Barra de herramientas. Aquí se encuentran otras barras como lo
son la barra de edición donde se puede ajustar el tamaño del objeto así como la
barra run control desde la cual se inicia, reinicia detiene la simulación.
2.4 Configuración del espacio de trabajoLo primero que debe de hacer antes de comenzar a trabajar es configurar
el espacio de trabajo. Para eso, realice las acciones siguientes:
1. Desplegue de la barra de menús la pestaña de Vista (View).
2. Seleccione la opción de Espacio de trabajo (Workspace) y active
las casillas de Reglas (Rulers), Líneas cuadriculadas (Grid Lines), y Ejes X, Y ( X,
Y Axes) para observar en el espacio de trabajo la cuadricula y los ejes, así como
las reglas como se muestra en la figura 2.2.
3. A continuación haga clic en Cerrar (Close) para guardar los
cambios.
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Figura 2. 2 Configuración del espacio de trabajo
Ahora ya debe observar en el espacio de trabajo las reglas, el
cuadriculado y los ejes coordenados como se muestra en la figura 2.3.
Figura 2. 3 Espacio de trabajo configurado
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2.5 Selección de las unidades a trabajar
Es muy importante determinarlo desde el principio ya que si no se definen
el software puede generar errores en los cálculos. Para realizar la definición de
las unidades realice las siguientes acciones:
1. Acuda a la barra de herramientas en el menú Vista (View).
2. Seleccione Números y unidades (Numbers and Units) cómo lo
muestra la figura 2.4.
Figura 2. 4 Selección de unidades
A continuación aparece una ventana en la cual se muestran varios
elementos, por ejemplo en Sistema unitario (Unit System) se elije el sistema de
medición, si se desean realizar algunos cambios en un parámetro especifico, se
puede especificar en la pestaña de Mas opciones (More Choises) cómo lo
muestra la figura 1.4 a continuación.
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Figura 2. 5 Especificación de las unidades
2.6 Creación de un dibujo en 2D
1. De la barra de cuerpos, presione con el botón derecho del ratón a
la figura que desea dibujar.
2. Coloque el puntero en la hoja de trabajo y presione el botón
derecho del ratón en la posición deseada para ubicar la figura.
3. Desplace el cursor para darle el tamaño deseado.
4. Realice un clic con el botón derecho del ratón para finalizar.
Es importante acotar que la posición o las dimensiones de la figura se
pueden modificar utilizando otras herramientas, no solamente las reglas. A
continuación se explica cómo.
2.7 Dimensionamiento de la figura
El dimensionamiento de la figura se puede realizar de dos formas, las
cuales se explican a continuación:
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a) Utilizando la barra de menús.
1. Seleccione la figura con el botón derecho del ratón.
2. Posteriormente, desplegué en la barra de menús el menú de
Ventana (Window) y después la opción Geometría (Geometry). Aparecerá un
cuadro en el que podrá modificar las magnitudes, este cuadro se muestra en la
figura 2.6.
3. Después de realizar las modificaciones basta con cerrar el cuadro.
Figura 2. 6 Dimensionamiento de la figura desde el menú
b) Desde la barra de coordenadas.
1. Seleccione la figura presionando el botón derecho del ratón.
2. En la parte inferior de la pantalla se localiza la barra de
coordenadas. En esta barra se observan las dimensiones, coloque el puntero en
el cuadro de la dimensión que desea modificar y presione el botón derecho del
ratón, a continuación cambie el valor.
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3. Presione introducir (enter ) para realizar el cambio.
A continuación se muestra la figura 2.7 la barra de coordenadas
anteriormente mencionada.
Figura 2. 7 Dimensionamiento de la figura desde la barra de coordenadas
2.8 Propiedades de la figura.
Para modificar propiedades como la posición con respecto a los ejes
coordenados, velocidad, material, masa, orientación, etc. acceda al respectivo
cuadro de diálogo realizando doble clic con el botón derecho del ratón a la
figura. Deberá observar el cuadro de la figura 2.8.
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Figura 2. 8 Configuración de las propiedades de la figura
Con esto se da por visto las cuestiones básicas acerca del software,
desde luego que este programa tiene muchas más opciones que se verán
conforme se avance en la resolución de este manual. A partir del capítulo
siguiente se muestran diferentes ejercicios resueltos cada uno de ellos
vinculados con las unidades respectivas al avance programático. Asimismo se
muestra un ejercicio propuesto con la finalidad de que el alumno practique y se
familiarice con el software.
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CAPÍTULO 3
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS, DESPLAZAMIENTO,
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Una pelota como se muestra en la figura 3.1 se lanza con una velocidad
de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 msobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es constante e igual a
9.81 m/s2 hacia abajo, determine a) la velocidad v y la elevación y de la pelota
sobre el suelo en cualquier tiempo t, b) la elevación más alta que alcanza la
pelota y el valor correspondiente de t, c) el tiempo en el que la pelota golpea el
suelo y la velocidad correspondiente.
Figura 3. 1 Plano de situación del problema
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3.1 Solución analítica
a) Velocidad y elevación. El eje y que mide la coordenada de la posición
(o elevación) se elige con su origen O sobre el suelo y su sentido positivo hacia
arriba. El valor de la aceleración y de los valores iniciales de v y y son como se
indica. Al sustituir a en a= dv/dt y observar que en t=0 , v 0 =10 m/s, se tiene
Al sustituir v y v= dy/dt y observar en t=0 , y 0 =20 m, se tiene
2905.41020
905.41020
905.410
81.910
2
2
0
2
20
0200
ecuaciónt t y
t t y
t t y
dt t dy
t y
t y
y
b) Máxima elevación. Cuando la pelota alcanza su máxima elevación, se
tiene v =0. Al sustituir en la ecuación 1
st t
019.1081.910
Al sustituir t = 1.019 s en la ecuación 2, se tiene
181.910
81.910
81.9
81.9
/81.9
010
010
2
0
ecuaciónt v
t v
v
dt dv
smadt
dv
t v
t v
v
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m y
y
1.25
019.1905.4019.11020 2
c) La pelota golpea al suelo. Cuando la pelota golpea el suelo, se tiene
y =0. Al sustituir en (2), se obtiene
st
st
t t
28.3
243.1
0905.41020 2
Solo la raíz t =3.28 s corresponde a un tiempo después de que el
movimiento se ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tiene
3.2 Simulación del sistema
Para la realización de este sistema en esta sección se explica lo
siguiente:
1. Configuración del espacio de trabajo.
2. Asignación del sistema de medición.
3. Modelado del sistema.
4. Asignación de la gravedad.
5. Definición del vector velocidad.
6. Obtención de las gráficas.
7. Realizar la simulación.
smv
smv
/2.22
/2.2228.381.910
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8. Modificación de las gráficas.
9. Interpretación de las gráficas.
3.2.1 Configuración del espacio de trabajo
Para realizar la simulación en el software del problema anterior primero
debe configurar la hoja de trabajo activando en la ventana de Espacio de trabajo
(Workspace), en el menú Vista (View), las opciones de Reglas (Rulers), Líneas
cuadriculadas (Grid Lines) y Ejes X, Y (X, Y Axes) como se observa en la figura
3.2, esto hace que usted puede ver la regla, el cuadriculado y los ejes
coordenados.
Figura 3. 2 Configuración del espacio de trabajo
3.2.2 Asignación del sistema de medición
Realice las siguientes actividades para la asignación de unidades:
1. Desplegue el menú Vista (View).
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2. Seleccione Números y unidades (Numbers and Units) y elija el
sistema de unidades correspondiente que para el caso del
problema es el Sistema Internacional (SI).
3. Presione OK para guardar los cambios.
El cuadro de la figura 3.3 muestra la configuración de las unidades.
Figura 3. 3 Configuración del sistema de medición
3.2.3 Modelado del sistema
Una vez realizada las acciones anteriores se procede a dibujar la pelota.
1. Busque en la barra de cuerpos la figura del círculo y selecciónela
presionando el botón derecho del ratón (figura 3.4).
Figura 3. 4 Elemento en la barra de cuerpos
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2. Ahora presione el botón derecho del ratón en el espacio de trabajo
y desplace el cursor a cualquier posición para crear la figura, para
finalizar vuelva a presionar el ratón como se menciono
anteriormente. Para este problema las dimensiones del círculo no
son importantes así que realícelo de cualquier radio.
3. Ahora seleccione el círculo y posiciónelo en el eje X en 0 y en el
eje Y en 20, utilizando la barra de coordenadas que se encuentra
en la parte inferior del espacio de trabajo como se indica en el
problema (ver figura 3.5).
Figura 3. 5 Posicionamiento de la pelota
3.2.4 Asignación de la gravedad
Para asegurarse de que el valor de la aceleración de la gravedad es
correcto, en el menú Mundo (World), Gravedad (Gravity) aparece el cuadro de
la figura 3.6:
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Figura 3. 6 Cuadro de gravedad
Se observa que la opción Vertical esta seleccionada previamente, sin
embargo, también se puede desactivar es decir, que se puede trabajar sin
aceleración; para este caso el problema indica que se debe considerar la
gravedad.
3.2.5 Definición del vector velocidad
A continuación se procede a colocar la velocidad, para esto
1. Seleccione el círculo con un clic.
2. Despliegue el menú Definir (Define), Vectores (Vectors) y
Velocidad (Velocity).
En la figura 3.7 se muestra el paso número 2.
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Figura 3. 7 Colocación del vector
3. Ahora para asignarle una magnitud a esa velocidad presione dos
veces continuas el botón derecho del ratón en el círculo con lo cual
aparece el cuadro de la figura 3.8. En el recuadro de Vy se coloca
un 10 ya que la velocidad solo tiene componente en el eje de las Y,
obsérvese que las unidades están ya en m/s.
Figura 3. 8 Asignación de la velocidad
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En caso de que se desee cambiar el tamaño del vector para que se pueda
observar mejor en la hoja; en el menú Definir (Define), seleccione Longitud de
los vectores (Vector Lenghts) que muestra la ventana de la figura 3.9. Desplace
la barra hacia la parte inferior y si aun así no disminuye el tamaño del vector
teclee un número más pequeño en el espacio que se encuentra en la parte
inferior de la barra.
Figura 3. 9 Modificación del tamaño del vector
3.2.6 Obtención de las gráficas
Ahora para recabar la información que pide el problema, se necesita
obtener las gráficas.
1. Seleccione el círculo con el botón derecho del ratón.
2. Desplegue el menú Medir (Measure). En él puede observar todas
las magnitudes de las cuales usted puede obtener una gráfica. En
este caso interesa conocer la elevación más alta que alcanza la
pelota y el tiempo correspondiente.
3. Seleccione la magnitud Posición (Posicion). Observe como al
seleccionar esta magnitud se desplegan 4 opciones.
4. Elija Gráfica Y (Y Graph), ya que el desplazamiento de la pelota
ocurre en ese eje.
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5. Para la gráfica de velocidad, en el menú Medir (Measure) elija
Velocidad (Velocity) y Gráfica Y (Y Graph). Aparecerán las gráficas
como se muestra a continuación en la figura 3.10.
Figura 3. 10 Gráficas de velocidad y posición de la pelota
3.2.7 Realice la simulación
Ya se puede correr la simulación, y obtener datos en las gráficas. Para
esto ubique el botón de en la barra de herramientas, o en el menú Mundo
(World) elija la opción Arrancar (Run) o bien presione Ctrl + R.
3.2.8 Modificación de las gráficas
Es probable que no se observen con claridad los valores ya que las
gráficas no están configuradas. Para configurar el rango de valores de las
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gráficas de doble clic en una de las gráficas y aparecerá la ventana de la figura
3.11.
Figura 3. 11 a) Configuración de la gráfica de posición, b) Configuración de la gráfica develocidad
Con los datos obtenidos en el procedimiento analítico se observa que no
interesa ningún tiempo mayor de 4 segundos y ninguna distancia mayor a 30
metros, así que coloque esos valores en su eje respectivo. En la gráfica de
velocidad no interesa ninguna velocidad diferente de los ±25 m/s y un tiempo de4 segundos, así que esos datos se colocan en sus ejes correspondientes.
Ahora bien, si usted desea que la simulación solo dure 4 segundos que es
el tiempo que interesa a este problema se debe agregar una restricción o
condición. Para agregarla, se busca en el menú Mundo (World), Control de la
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pausa (Pause Control) y se selecciona Nueva condición (New Condition). En ese
cuadro se especifican los 4 segundos como se ve en la figura 3.12, así la
simulación solo correrá ese tiempo.
Figura 3. 12 Condición de restricción
Ahora corra la simulación, note usted que las gráficas se detienen al llegar
a los 4 segundos. Se pueden aumentar el tamaño de las gráficas haciendo clic
en ellas y arrastrando la gráfica de alguna esquina. Las gráficas resultantes se
muestran en la figura 3.13.
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Figura 3. 13 Gráficas de velocidad y posición
3.2.9 Interpretación de las gráficas
El punto máximo que se alcanza en la gráfica de posición se observa
alrededor de los 25 metros en un tiempo de 1 segundo, cuando la gráfica de
posición cruza el eje de las X (que en este caso es el suelo), el tiempo es 3.3
segundos aproximadamente, ahora leemos la velocidad en la Gráfica
correspondiente a ese tiempo, observándose que es aproximadamente -22 m/s
corroborando que los datos obtenidos en el método analítico son correctos.
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3.3 Práctica propuesta
Durante una prueba, un elevador viaja hacia arriaba a 15 m/s y el cable
que lo sujeta se corta cuando la cabina se encuentra a 40 metros del suelo (ver
figura 3.14). Determinar la altura máxima sB y su rapidez justo antes de
estrellarse en el suelo. Durante todo el tiempo, el elevador se encuentra en
movimiento, sujeto a una aceleración constante hacia debajo de 9.81 m/s2
debida a la gravedad. Despreciar el efecto de la resistencia del aire.
Figura 3. 14 Elevador
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CAPÍTULO 4
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE
PARTÍCULAS
El proyectil que se muestra en la figura 4.1 se lanza desde el borde de un
acantilado de 150 m con una velocidad inicial de 180 m/s a un ángulo de 30° conla horizontal. Si se ignora la resistencia del aire, encuentre a) la distancia
horizontal desde el cañón hasta el punto en el que el proyectil golpea el suelo, b)
la elevación máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.
Figura 4. 1 Lanzamiento del proyectil
4.1 Solución analítica
Los movimientos vertical y horizontal se considerarán por separado.
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Movimiento vertical. Movimiento uniformemente acelerado. Eligiendo el
sentido positivo del eje y hacia arriba y situando el origen O en el cañón, se tiene
2/81.9
/9030/180 sma
sm sen smv O y
Al sustituir en las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado,
se tiene
)3(62.1981002
)2(90.490
2
1
)1(81.990
222
22
ecuación yvayvv
ecuaciónt t yat t v y
ecuaciónt vat vv
yO y y
o y
yO y y
Movimiento horizontal. Movimiento uniforme. Al elegir el sentido positivo
del eje hacia la derecha, se tiene
sm smvO x /9.15530cos/180
Al sustituir en las ecuaciones el movimiento uniforme, se obtiene
a) Distancia horizontal. Cuando el proyectil choca con el suelo, se tiene
m y 150
Al sustituir este valor en la ecuación 2 para el movimiento vertical, se
escribe
st t t t t 91.1906.3037.1890.490150 22
)4(9.155 ecuaciónt xt v xO x
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Si se sustituye t=19.91 s en la ecuación 4 para el movimiento horizontal
se encuentra
m x x 100391.199.155
b) Elevación máxima. Cuando el proyectil alcanza su máxima elevación,
se tiene vy=0; al considerar este valor en la ecuación 3 para el movimiento
vertical se escribe
m y y 41362.1910080
Máxima elevación sobre el suelo= 150 m + 413 m = 563 m
4.2 Simulación del sistema
Para la simulación de este sistema se llevaran a cabo las siguientes
actividades:
1. Configuración del espacio de trabajo.
2. Asignación del sistema de medición.
3. Construcción del sistema.
4. Definición del vector velocidad.
5. Obtención de la trayectoria del proyectil.
6. Obtención de gráficas de resultados.
7. Interpretación de las gráficas.
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4.2.1 Configuración del espacio de trabajo
Esta es la primera actividad que debe de realizarse para la simulación de
cualquier ejercicio.
En la barra de menú Vista (View), Espacio de trabajo (Workspace) active
las casillas de Reglas (Rulers), Líneas cuadriculadas (Grid Lines) y Ejes X, Y ( X,
Y Axes).
4.2.2 Asignación del sistema de mediciónEn el menú Vista (View), Números y unidades (Numbers and Units) elija el
sistema de unidades en las cuales se encuentra definido el problema. Elija el
Sistema Internacional en grados (SI (degrees)).
4.2.3 Construcción del sistemaPara la construcción del proyectil realice lo siguiente:
1. De la barra de cuerpos, seleccione presionando el botón derecho
del ratón la figura del círculo.
2. Presione el botón derecho del ratón en cualquier lugar del espacio
de trabajo.
3. Desplace el cursor para crear el círculo del tamaño deseado (el
diámetro del círculo para el caso de este ejemplo no es relevante).4. Presione el ratón como se menciono anteriormente para terminar.
5. Posicione el círculo en las coordenadas (0,150) auxiliándose de la
barra de coordenadas que se ubica en la parte inferior del espacio
de trabajo.
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En la figura 4.2 se muestran las actividades anteriores
Figura 4. 2 a) Barra de cuerpos, b) Posicionamiento del proyectil
4.2.4 Definición del vector velocidad Ahora es pertinente colocar el vector velocidad como se realizó en el
ejercicio anterior.
1. Seleccione el círculo, en este caso el proyectil presionando el
botón derecho del ratón.
2. En el menú Definir (Define), seleccione la opción Vectores
(Vectors). Se desplegará un submenú en el cual debe elegir la
opción Velocidad (Velocity).
3. Ahora para darle la magnitud a esta variable, presione dos veces
con el botón derecho del ratón el círculo, con lo cual aparecerá el
cuadro de diálogo de la figura 4.3.
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Figura 4. 3 Introducción de valores de la velocidad
4. Para poder introducir la magnitud de la velocidad es necesario
descomponerla en sus componentes rectangulares, así pues como
la velocidad es de 180 m/s, anote 155.9 y 90 respectivamente en
los recuadros de V x y V y .
4.2.5 Obtención de la trayectoria del proyectilPara que usted pueda observar la trayectoria del proyectil al momento de
realizar la simulación, Working Model le ofrece una opción en la cual el proyectil
deja una sombra al momento de realizar dicha trayectoria.
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1. En el menú Ventana (Window), seleccione Apariencia
( Appearance).
2. Se desplegará una ventana en la cual usted puede modificar
aspectos relacionados con la apariencia como son el color, el
sombreado, las líneas del contorno de la figura, etc. Asimismo
puede pedir que le muestre los centros de masa de la figura, la
carga, la orientación, etc. Seleccione la opción de Seguir la
delineación (Track outline) (figura 4.4).
3. Cierre el cuadro para finalizar.
Figura 4. 4 Activación del rastro de la trayectoria del proyectil
A continuación en la figura 4.5 se muestra la gráfica de la trayectoria del
proyectil obtenida anteriormente, al correr la simulación ( ).
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Figura 4. 5 Trayectoria del proyectil
4.2.6 Obtención de gráficas de resultados
Es momento ahora de obtener las gráficas para validar los resultados del
método analítico. Interesa conocer la distancia horizontal desde el cañón hasta
el punto en el que el proyectil toca el suelo y la elevación máxima sobre el suelo
que alcanza el proyectil.
1. En el menú Medir (Measure), la opción Posición (Posicion)
seleccione Gráfica X ( X Graph) y Gráfica Y (Y Graph).
2. Corra la simulación presionando el botón de .
Se debe detener la simulación cuando se observa que la curva ya pasa
por cero en la Gráfica Y (Y Graph), ya que los demás datos no interesan a este
problema, recuerde que el cero es la referencia del nivel del suelo. Amplíe las
gráficas para que pueda leer con mayor facilidad los datos.
Las gráficas obtenidas son las que se muestran en la figura 4.6 a
continuación.
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F igura 4. 6 Gráficas de posición en el eje X y el eje Y
4.2.7 Interpretación de las gráficas
Se muestra en la Gráfica Y (Y Graph) que el punto más alto de la gráfica
se observa alrededor de los 10 segundos y es de 570 m aproximadamente,
asimismo el tiempo en el que la gráfica pasa por cero es de 20 segundos, con
ese tiempo lea la distancia en la Gráfica X ( X Graph) observe que la distancia
horizontal que recorre hasta tocar el suelo es de 3,100 m es decir que los datos
concuerdan con los obtenidos en el método analítico.
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4.3 Práctica propuesta
En un lanzamiento lento de softbol el picheo por abajo del brazo debe
alcanzar una altura máxima de entre 6 ft y 12 ft por arriba del suelo como se
observa en la figura. Se realiza un lanzamiento con una velocidad inicial v 0 de
magnitud igual a 43 ft/s a un ángulo de 33° con la horizontal. Determine a) si el
lanzamiento cumple con la altura máxima requerida, b) la altura de la pelota
cuando llega el bateador.
Figura 4. 7 Lanzamiento de softbol
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CAPÍTULO 5
CINÉMATICA DE CUERPOS RÍGIDOS
En el mecanismo mostrado en la figura 5.1, la manivela AB tiene una
velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 2000
rpm. Para la posición indicada de la manivela, determine a) la velocidad angularde la biela BD, b) la velocidad del pistón P.
Figura 5. 1 Planteamiento del problema
5.1 Solución analítica
Movimiento de la manivela AB. La manivela AB gira alrededor del punto
A. al expresar ɯ AB en rad/s y escribir vB= r ɯ AB se obtiene
sinV
sin srad in ABv
srad rev
rad
s
rev
B
AB B
AB
/3.628
/3.628/4.2093
/4.2091
2
60
min1
min200
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Movimiento de la biela BD. Este movimiento se considera como
movimiento plano general. Utilizando la ley de los senos, se calcula el ángulo β
entre la biela y la horizontal:
95.1338
40
in
sen
in
sen
La velocidad vD del punto D, donde la biela esta unida al pistón, debe ser
horizontal, en tanto que la velocidad del punto B es igual a la velocidad vB que se
obtuvo antes. Descomponiendo el movimiento BD en una traslación con B y una
rotación alrededor de B (figura 5.2), se obtiene
Figura 5. 2 Descomposición del movimiento de la biela
Al expresar la relación entre las velocidades vD, vB y vD/B, se escribe
B D B D
V V V /
A continuación se dibuja el diagrama vectorial correspondiente a esta
ecuación que se muestra en la figura 5.3. Si se recuerda β= 13.95°, se
determinan los ángulos del triangulo y se escribe
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Figura 5. 3 Diagrama vectorial
s ft vv s ft v ft sinv
sin sinv
sen
sin
sen
v
sen
v
D P
D D
BvD B D
B D D
/6.43/6.436.43/4.523
/9.495/9.495
05.76
/3.628
5095.53
//
/
Puesto que vD/B= lɯBD, se obtiene
srad in sin BD BD /628/9.495
5.2 Simulación del sistema
Para dibujar este sistema requiere realizar las acciones siguientes:
1. Configuración del espacio de trabajo.
2. Definición del sistema de medición.3. Dibujo del sistema
a. Dibujo de la manivela.
b. Dibujo de la biela.
c. Unión manivela-biela.
d. Dibujo del pistón.
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4. Velocidad de animación.
5. Gráficas del sistema.
5.2.1 Configuración del espacio de trabajo
Recuerde activar las opciones Reglas (Rulers), Líneas cuadriculadas
(Grid Lines) y Ejes X, Y ( X, Y Axes) de Espacio de trabajo (Workspace) en el
menú Vista (View).
5.2.2 Definición del sistema de medición
1. En el menú Vista (View), Números y unidades (Numbers and Units)
seleccione el Sistema Inglés en libras (English (pounds)).
2. Presione la pestaña de Más cambios (More Choises) para
personalizar las unidades. Busque las unidades de rotación
(Rotation) y cámbielas a radianes (radians).
3. Presione OK para guardar los cambios.
5.2.3 Dibujo del sistema
5.2.3.1 Dibujo de la manivela.
1. En la barra de cuerpos, seleccione la figura del rectángulo.
2. Presione el botón derecho del ratón en el espacio de trabajo.
3. Desplace el cursor para darle las dimensiones deseadas.
4. Presione una vez más el ratón para terminar el rectángulo.
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5. En la barra de coordenadas, asigne los siguientes datos:
El largo de la manivela es de 3 in por 0.5 in de ancho.
La ubicación de la manivela es (0,0).
La manivela está ubicada según el problema a 40° con respecto
a la horizontal que corresponden a 0.6981 rad así que también
teclee este valor en espacio asignado para ello en la barra de
estado que aparece denotado por la letra ᵠ.
Es probable que no pueda observar el rectángulo con claridad, auxíliese
de la barra de herramientas con el zoom para visualizarlo mejor.
6. Ahora bien, la manivela está girando a una velocidad de 209.4
rad/s. Para asignar esta velocidad realice lo siguiente:
Localice en la barra de restricciones (ver figura 5.4) el elemento
del motor y selecciónelo presionando el botón derecho del
ratón. Note como el cursor adquiere la forma del motor.
Figura 5. 4 Ubicación del motor en la barra de restricciones
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Lleve el motor hacia el rectángulo (o manivela) y ubíquelo en el
ancho inferior de la manivela en el centro. Observe que al
acercar el motor el programa marca con una “x” el punto donde
puede ubicarlo.
Presione la “x” con el botón derecho del ratón para que el motor
quede ubicado.
Para asignarle la velocidad de doble clic derecho en el motor.
Aparece un cuadro como el que se muestra en la figura 5.5 en
el cual debe introducir el valor de -209.4 rad/s (el signo negativo
indica que el giro del motor es en sentido horario).
Figura 5. 5 Asignación de la velocidad del motor
5.2.3.2 Dibujo de la biela
1. De la barra de cuerpos, seleccione la figura del rectángulo.
2. Presione con el botón derecho del ratón el espacio de trabajo.
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3. Desplace el cursor para darle el tamaño deseado (de preferencia
que no interfiera con la manivela).
4. Presione el botón derecho del ratón una vez más para finalizar.
5. Ahora ayudándose de la barra de coordenadas asigne los
siguientes valores:
Las dimensiones del rectángulo que servirá de biela son de 8 in
de largo por 0.5 in de ancho.
El ángulo de inclinación de la biela ya se calculó en el
procedimiento analítico y corresponde a 13.95° que equivalen a
0.2434 rad. Introdúzcalo con signo negativo para que la barra
gire en sentido horario.
5.2.3.3 Unión manivela-biela.
Para realizar esta acción haga lo siguiente:
1. De la barra de puntos localice el Elemento de punto (Point element)
y selecciónelo presionándolo con el botón derecho del ratón, este
elemento le permite ubicar puntos de interés para después unirlos.
Note como el cursor se convierte en dicho punto. Este elemento se
muestra en la figura 5.6.
Figura 5. 6 Elemento en la barra de puntos
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2. Acerque el cursor al ancho superior de la manivela (donde no se
encuentra el motor) y ubíquelo en el centro. Auxíliese de la “x” que
le proporciona el programa para ubicarlo, sino logra visualizarlo
claramente ayúdese de las herramientas de zoom y presiónelo con
el ratón para que quede ubicado.
3. Ahora realice la misma tarea, ubique el Elemento de punto (Point
element) el ancho superior de la biela en el centro.
4. Para realizar la unión:
Seleccione el Elemento de punto (Point element) de la manivela
presionándolo con el botón derecho del ratón (el Point element
se pondrá de color negro). Ahora presione la tecla Shift .
Con la tecla presionada, seleccione el Elemento de punto (Point
element) de la biela. Así ambos quedan seleccionados (ambos
deben verse de color negro, sino es así repita la acción).
Al realizar la acción anterior en la barra de unir/partir se activa
la opción , haga clic en y la biela se unirá a la
manivela. El sistema debe verse como se muestra en la figura5.7.
Figura 5. 7 Unión manivela-biela
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5.2.3.4 Dibujo del pistón.
1. De la barra de cuerpos seleccione la figura del cuadrado.
2. Presione el botón derecho del ratón en la hoja de trabajo y
desplace el cursor para crear la figura.
3. Asigne las dimensiones de 1 in x 1 in en la barra de coordenadas.
4. Ahora bien para unir el pistón a la biela realice lo siguiente:
Coloque un Elemento de punto (Point element) de la barra de
puntos en el centro del pistón (o cuadrado), auxíliese de la “x”
que muestra el programa para colocarlo.
Ahora coloque otro Elemento de punto (Point element) en elcentro del extremo inferior de la biela, auxíliese de las
herramientas de zoom para colocarlo correctamente.
Seleccione el Elemento de punto (Point element) de la biela,
deberá iluminarse con negro al ser seleccionado.
Presione la tecla Shift y haga clic en el Elemento de punto
(Point element) del pistón.
Ahora presione el botón que aparece en la barra
unir/partir, así el pistón deberá unirse a la biela.
5. Ahora bien para que el pistón no rote con respeto a la biela sino
que se desplace solamente en el eje “X” realice las siguientes
acciones:
De la barra de uniones, ubique el elemento Articulación de
cerrojo (Keyed Slot joint) mostrado en la figura 5.8 yselecciónelo presionándolo con el botón derecho del ratón.
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Figura 5. 8 Keyed Slot joint en la barra de uniones
Desplace el cursor hacia el pistón y colóquelo cerca del
Elemento de punto (Point element) pero sin que se empalmen.Deberá aparecer un eje en color verde por el cual se
desplazará el pistón horizontalmente como lo muestra la figura
5.9.
Figura 5. 9 Sistema final
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5.2.4 Velocidad de animación
Ahora el sistema ya está terminado y usted puede correr la simulación
pero es probable que no pueda apreciarla ya que va muy deprisa. Para cambiar
la rapidez de animación realice lo siguiente:
1. En el menú Mundo (World), seleccione la opción Precisión
( Accuracy). Aparecerá el cuadro de la figura siguiente.
2. En el cuadro Frecuencia de la animación ( Animation Step) la
opción Automático ( Automatic) aparece seleccionada previamente.
Para modificarla active la opción que aparece debajo de ésta, para
esto vea la figura 5.10. El primer recuadro muestra la rapidez de la
animación y el segundo los pasos por segundo correspondientes a
la rapidez. Coloque un número menor en el primer recuadro y así
usted apreciara que la animación corre más lento.
3. Presione OK para finalizar.
Figura 5. 10 Velocidad de animación
Ahora corra la simulación para apreciar los cambios.
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5.2.5 Gráficas del sistema
Para obtener la velocidad de la biela y la del pistón obtenga las siguientes
gráficas:
1. Seleccione la biela y del menú Medir (Measure) seleccione
Velocidad (Velocity) y Gráfica de rotación (Rotacion Graph) para
observar la velocidad de rotación.
2. Ahora para el pistón, selecciónelo y del menú Medir (Measure)
seleccione Velocidad (Velocity) y Gráfica X ( X Graph).
Las gráficas obtenidas se muestran a continuación en la figura 5.11. Elvalor de la velocidad de rotación del bloque la biela es aproximadamente 60
rad/s y el valor de la velocidad del pistón es de 500 in/s que equivalen a 41.66
ft/s.
Figura 5. 11 Gráficas de velocidad de la biela y el pistón
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5.3 Práctica propuesta
La rueda del mecanismo corredera-cigüeñal representado en la figura
5.12 gira en sentido antihorario con celeridad constante de 10 rad/s. Determinar
la velocidad v B de la corredera y la velocidad angular de la biela AB del cigüeñal
cuando ᶿ= 60°.
Figura 5. 12 Mecanismo corredera-cigüeñal
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CAPÍTULO 6
CINÉTICA DE PARTÍCULAS. TRABAJO Y ENERGÍA
Dos bloques están unidos por un cable inextensible en la forma que se
muestra en la figura 6.1. Si el sistema se suelta desde el reposo, determine la
velocidad del bloque A después de que este se ha movido 2 m. Suponga que elcoeficiente de fricción cinética entre el bloque A y el plano es µk= 0.25 y que la
polea no tiene peso ni fricción.
Figura 6. 1 Plano de situación del problema
6.1 Solución analítica
Trabajo y energía del bloque A (ver figura 6.2). Al detonar la fuerza defricción FA y la fuerza ejercida por el cable mediante F c, se escribe
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)1()200(2
1)2()490()2(
2
1)2()2(0
490)1962(25.0
1962)/81.9()200(200
2
2
:2211
2
ecuaciónvkg m N m F
vmm F m F T U T
N N W N F
N smkg W kg m
c
A Ac
Ak Ak A
A A
Figura 6. 2 Diagrama de fuerzas del bloque A
Trabajo y energía del bloque B (ver figura 6.3). Se escribe:
)2()300(2
1)2()2()2940(
2
1)2()2(0
2940)/81.9()300(300
2
2
:2211
2
ecuaciónvkg m F m N
vmm F mW T U T
N smkg W kg m
c
Bc B
B B
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Figura 6. 3 Diagrama de fuerzas del bloque B
Al sumar los miembros izquierdo y derecho de la ecuación 1 y 2, se
observa que se cancela el trabajo de las fuerzas ejercidas por el cable sobre A y
B:
smv
vkg J
vkg kg m N m N
/43.4
)500(2
1
4900
)300200(2
1)2()490()2()2940(
2
2
6.2 Simulación del sistema
Para la realización de este problema se llevaran a cabo las siguientes
actividades:
1. Configuración del espacio de trabajo.
2. Asignación del sistema de medición.
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3. Dibujo del sistema.
4. Obtención e interpretación de las gráficas.
6.2.1 Configuración del espacio de trabajo
Recuerde activar las casillas Líneas cuadriculadas (Grid Lines), Ejes X, Y
( X, Y Axes) y Reglas (Rulers) de Espacio de trabajo (Workspace).
6.2.2 Asignación del sistema de medición
Elija el Sistema Internacional de medidas que es el que corresponde a las
unidades del problema.
6.2.3 Dibujo del sistema
Para comenzar a dibujar el sistema de los bloques y la polea, lo primero
es dibujar la superficie en la que se desliza el bloque A. Para esto realice lo
siguiente.
6.2.3.1 Superficie
1. En la barra de cuerpos, localice la figura del Polygon como lo
muestra la figura 6.4 y selecciónelo.
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Figura 6. 4 Polygon en la barra de cuerpos
2. Ahora realice en la hoja de trabajo la superficie mostrada en el
problema. Esta superficie tendrá un largo de 6m por 4 m de ancho
(puede ser cualquier espesor).
3. Colóquela en la posición (3, -0.95) para que la superficie quede
ubicada sobre el eje de las “X”.
4. Ahora bien, para que la superficie no se vea afectada por la
gravedad y caiga a la hora de realizar la simulación, del diagrama
de cuerpos seleccione el ancla y colóquela en la superficie delpolígono como se muestra en la figura 6.5.
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Figura 6. 5 a) Barra de cuerpos, b) Superficie del bloque A
6.2.3.2 Bloques
Ahora es momento de dibujar los bloques.
1. En la barra de cuerpos localice la figura del cuadrado.
2. Dibuje 2 bloques y colóquelos en la posición según lo planteo el
problema.
a. Para el bloque A:
Ubíquelo en (0, -0.5)
Para agregar las otras propiedades como son la masa y la
fricción cinética, de doble clic derecho al bloque A. Aparecerá
un cuadro como el que se muestra en la figura 6.6. En el
recuadro de masa (mass) teclee 200 y en el de fricción cinética
(kin. fric) teclee 0.25.
Cierre el cuadro para terminar.
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b. Para el bloque B:
Ubíquelo en (6, -1.5).
Ahora igual que con el bloque anterior agregue la masa de 300
kg.
Los bloques deben verse como lo muestra la figura 6.6
Figura 6. 6 Configuración de las propiedades del bloque A
6.2.3.3 Polea1. Ubique la polea en la barra de restricciones (figura 6.7).
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Figura 6. 7 Polea en la barra de restricciones
2. Presione el centro de masa de uno de los bloques con el botón
derecho del ratón.
3. Ahora desplace el cursor y presione el ratón en el botón derecho
en el punto donde quiere que quede ubicada la polea.
4. Para terminar de ubicarla realice la misma acción con el ratón en el
centro de masa del bloque restante.
Auxíliese de la cuadricula para colocar la polea de acuerdo a los centros
de masa de los bloques. Si observa que los cables de la polea se muestran
curvos al terminar de ubicarla, basta con que arrastre la polea y vuelva a
ubicarla en el mismo punto para que los cables se acomoden. El sistema final
debe verse como lo muestra la figura 6.8 a continuación.
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Figura 6. 8 Sistema final
6.2.4 Obtención e interpretación de las gráficas
Ya solo falta obtener las gráficas del bloque A, utilice la Gráfica X ( X
Graph) en posición y velocidad, que encuentra en el menú Medir (Measure)
porque el bloque A solo se desplaza en ese eje como se muestra en la figura
6.9.
Figura 6. 9 Obtención de las gráficas
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Las gráficas obtenidas se muestran en la figura 6. 10.
Figura 6. 10 Gráficas de desplazamiento y velocidad del bloque A
Ahora observe que cuando la el bloque A se desplaza 2 m corresponde
un tiempo de 0.9 segundos aproximadamente. En la gráfica de velocidad a ese
tiempo corresponde aproximadamente la de 4.42 m/s.
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6.3 Práctica propuesta
Un bloque de 45 kg descansa sobre una superficie horizontal, según se
indica en la figura 6.11. Determinar el desplazamiento, la velocidad y la
aceleración del bloque 3 s después de aplicarle la fuerza F de 250, si la
superficie horizontal es lisa.
Figura 6. 11 Plano de situación
.
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CAPÍTULO 7
CINÉTICA DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Un collarín de 20 lb se desliza sin fricción a lo largo de una varilla vertical
en la forma que se indica. El resorte unido al collarín tiene una longitud no
deformada de 4 in y una constante de 3 lb/in. Si el collarín se suelta desde el
reposo en la posición 1, determine su velocidad después de que se ha movido 6
in, hasta la posición 2 (ver figura 7.1).
Figura 7. 1 Desplazamiento del collarín
7.1 Solución analíticaPara la resolución de este sistema tomaremos las posiciones según se
indica en figura 7.2
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Figura 7. 2 Posiciones del desplazamiento del collarín
Posición 1. Energía potencial. El alargamiento del resorte
ininin x 4481
Y se tiene
lbinininlbkxV e 24)4()/3(21
21 22
1
Al elegir el nivel de referencia como se muestra, se tiene Vg = 0. Por lo
tanto,
lb ft lbinV V V g e 2241
Energía cinética. Puesto que la velocidad de la posición 1 es cero, T1= 0.
Posición 2. Energía potencial. El alargamiento del resorte es
ininin x 64102
Y se tiene
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lbininlbWyVg
lbinininlbkxVe
120)6()20(
54)6()/3(2
1
2
1 22
2
Por lo tanto,
lb ft lbinVg VeV 5.566120542
Energía cinética
2
2
2
2
2
22 311.0
3.32
20
2
1
2
1vvmvT
Conservación de la energía. Al aplicar el principio de la conservación de
la energía entre las posiciones 1 y 2, se escribe
s ft v
s ft v
lb ft vlb ft
V T V T
/91.4
/91.4
5.5311.020
2
2
2
2
2211
7.2 Simulación del sistema
Para esto se llevarán a cabo las siguientes actividades:
1. Acciones de configuración.2. Dibujo del sistema.
3. Graficas e interpretación.
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7.2.1 Acciones de configuración
Estas acciones se refieren a la configuración del espacio de trabajo y la
selección de unidades vistas ya en ejemplos anteriores.
7.2.2 Dibujo del sistema
Para el dibujo del collarín realice lo siguiente:
1. De la barra de cuerpos, seleccione la herramienta del cuadrado.
2. Asigne las dimensiones de 10 in por lado.3. Ubíquelo en (0,0).
4. Ahora bien, de la barra de puntos seleccione con un clic el
Elemento de punto cuadrado (Square Point element) (ya que el
collarín es un cuadrado), note que al desplazar el cursor éste se
convierte en un cuadrado. Acérquelo al centro de masa del collarín,
el programa le ayuda a ubicarlo con una “x” y presione el botón
derecho del ratón sobre ésta para colocarlo.
5. Una vez realizada la acción anterior proceda a ubicar de la barra
de uniones la Articulación de cerrojo (Keyed Slot joint).
Selecciónelo y colóquelo en donde anteriormente ubico el
Elemento de punto cuadrado (Square Point element), esto para
indicarle al collarín que se desplazara a lo largo de este elemento.
Cada uno de estos elementos se muestran a detalle en la figura 7.3
a continuación.
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Figura 7. 3 Elementos necesarios en la elaboración del collarín, a) Barra de cuerpos, b)Barra de puntos, c) Barra de uniones
El dibujo del collarín debe verse como el que se muestra en la figura 7.4.
Figura 7. 4 Dibujo del collarín
6. Posteriormente proceda a asignar el peso del collarín que es de 20
lb, presione dos veces la figura con el botón derecho del ratón y
modifique la masa en el cuadro de diálogo como se muestra en la
figura 7.5
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Figura 7. 5 Asignación de la masa del collarín de 20 lb
7. Ahora hay que colocar el elemento del resorte a la cual está sujeto
el collarín, para esto localice el resorte en la barra de restricciones
(figura 7.6) y selecciónelo con el botón derecho del ratón.
Posiciónelo en el Elemento de punto cuadrado (Square Point
element) y arrástrelo hacia la izquierda, presione con el ratón para
finalizar. El resorte debe quedar ubicado como se observó en el
planteamiento del problema, es decir, de forma horizontal y con
una longitud de 8 in (esta es la longitud deformada del resorte).
Auxíliese de la regla para ubicarlo adecuadamente.
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Figura 7. 6 Elemento resorte en la barra de restricciones
8. Para proporcionar la constante del resorte y la longitud sin
deformar del mismo realice doble clic derecho en el resorte que
ubicó anteriormente con lo cual aparecerá el cuadro mostrado en la
figura 7.7. Asigne los valores planteados en el problema, la
constante del resorte es de 3 lb/in y la longitud sin deformar de 4 in.
Debajo del espacio de Longitud (Legth) se muestra la longitud
actual del resorte que como indica el problema es de 8 in.
Figura 7. 7 Configuración de las propiedades del resorte
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7.2.3 Gráficas e interpretación
Ahora el sistema ya está completo y solo resta obtener las gráficas para
realizar la simulación. Se requiere conocer la velocidad cuando el collarín se ha
desplazado 6 in, así que seleccione la Gráfica Y (Y Graph) en Velocidad
(Velocity) y en Posición (Posicion) respectivamente del menú Medir (Measure)
como se muestra en la figura 7.8.
Figura 7. 8 Obtención de las gráficas necesarias
Ahora puede proceder a correr la simulación, presionando .
Las gráficas obtenidas se muestran a continuación en la figura 7.9
(recuerde modificar la escala de las gráficas para que pueda observar mejor los
resultados). Se puede observar que las 6 in se alcanzan cuando ha transcurrido
un tiempo aproximado de 0.18 segundos a lo que corresponde una velocidad de
59 in/s que corresponden a 4.91 ft/s. Los resultados son coherentes con el
método analítico.
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Figura 7. 9 Gráficas de desplazamiento y velocidad del collarín
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7.3 Práctica propuesta
Dos masas se deslizan por una barra horizontal exenta de rozamiento,
según se indica en la figura 7.10. La corredera A tiene una masas de 2 kg y se
desliza hacia la derecha a 3 m/s, mientras la corredera B tiene una masa de 0.75
kg y se desliza hacia la izquierda a 1 m/s. si el coeficiente de restitución de las
correderas vale 0.6 determine la velocidad de cada masa después de chocar.
Figura 7. 10 Representación de las masas
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CAPÍTULO 8
CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS. TRABAJO Y ENERGÍA
Cada una de las barras delgadas que se muestra en la figura 8.1 tiene
una longitud de 0.75 m y una masa de 6 kg. Si el sistema se suelta desde el
reposo con β= 60°, determine a) la velocidad angular de la barra AB cuando β=20° b) la velocidad del punto D en el mismo instante.
Figura 8. 1 Planteamiento del problema
8.1 Solución analítica
Cinemática de movimiento cuando β= 20°. Puesto que v B es
perpendicular a la barra AB y v D es horizontal, el centro instantáneo de rotación
de la barra BD se localiza en C . Al considerar la geometría (ver figura 8.2), se
obtiene
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m senmCDm BC 513.020)75.0(275.0
Figura 8. 2 Cinemática del movimiento cuando la barra se encuentra a 20°
Al aplicar la ley de los cosenos al triangulo CDE (figura 8.3), donde E se
localiza en el centro de masa de la barra BD, se encuentra EC= 0.522 m. Al
denotar mediante ɯ la velocidad angular de la barra AB, se tiene
75.0)75.0(
375.0)375.0(
B B
AB AB
V mv
V mv
Puesto que la barra BD parece girar alrededor del punto C, se escribe
522.0)522.0()(
)75.0()75.0()(
BD BD BD
BD BD BD B
V m EC v
mm BC v
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Figura 8. 3 Figura después de la aplicación de la ley de cosenos
Posición 1. Energía potencial. Al elegir el nivel de referencia como se
indica en la figura 8.4, y observar W= (6 kg) (9.81 m/s2)= 58.86 N, se tiene
J m N yW V 26.38)325.0()86.58(22 11
Figura 8. 4 Nivel de referencia para la posición 1
Energía cinética. Puesto que el sistema está en reposo, T1= 0.
Posición 2. Energía potencial (figura 8.5)
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Figura 8. 5 Nivel de referencia para la posición 2
J m N yW V 10.15)1283.0()86.58(22 22
Energía cinética
2
2222
2222
2
222
520.1
)281.0(2
1)522.0()6(
2
1)281.0(
2
1)375.0()6(
2
12
1
2
1
2
1
2
1
281.0)75.0()6(12
1
12
1
BD BD BD AB AB AB
BD AB
I vm I vmT
mkg mkg ml I I
Conservación de la energía
srad srad
J J
V T V T
AB /90.3/90.3
10.15520.126.380 2
2211
Velocidad del punto D
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smV
sm srad mCDv
D
D
/2
/2)/90.3()513.0()(
8.2 Simulación del sistema
Para llevar a cabo la construcción del sistema se realizaran las siguientes
actividades:
1. Acciones de configuración.
2. Construcción del sistema.
a. Barra AB
b. Barra BD y rodillo
c. Unión del sistema.
d. Superficie.
3. Recabación de datos.
8.2.1 Acciones de configuración
Estas acciones son:
1. Configuración del espacio de trabajo, es decir, active las casillas de
Reglas (Rulers), Líneas cuadriculadas (Grid Lines) y Ejes X, Y ( X,
Y Axes) en Espacio de trabajo (Workspace) en el menú Vista
(View).
2. Seleccione las unidades del Sistema Internacional en grados (SI
(degrees)) en Números y unidades (Numbers and Units) en el
menú anterior.
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8.2.2 Construcción del sistema
8.2.2.1 Barra AB
1. De la barra de cuerpos seleccione el elemento correspondiente al
rectángulo presionándolo con el botón derecho del ratón.
2. Proceda a crear la figura en el espacio de trabajo.
3. Asigne las dimensiones de 0.05 m de ancho por 0.75 m de largo (el
ancho de la barra no se especifica en el problema solo que ambas
barras son iguales).
4. Asimismo coloque los 60° de inclinación a la que se encuentra esta
barra.
5. Ahora para asignar el peso de la barra presione la figura dos veces
con el botón derecho del ratón con lo cual se desplegará el cuadro
de propiedades de la figura 8.6. Asigne la masa de 6 kg en el
espacio adecuado. (La posición de la barra no es necesariamente
la que se observa en el cuadro, usted puede ubicar la barra donde
mejor le convenga).
Figura 8. 6 Propiedades de la barra AB
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6. La barra AB está articulada en el punto A, así que coloque una
Articulación con clavija (Pin joint) de la barra de uniones en el
extremo inferior de la barra como se muestra en la figura 8.7.
Figura 8. 7 a) Pin joint en la barra de uniones, b) Colocación del elemento en la primera
barra
8.2.2.2 Barra BD y rodillo
1. Dibuje una barra con las mismas dimensiones que la barra AB.
2. Asimismo configure la masa que también es de 6 kg como se
mostro anteriormente.
3. En el punto D de esta barra se encuentra un rodillo, para crearlo
seleccione de la barra de cuerpos la herramienta del círculo y
créelo en el espacio de trabajo. Asigne un diámetro de 0.08 m (este
diámetro también puede variar, según las dimensiones de la barra).
4. Coloque un Elemento de punto (Point element) (de la barra de
puntos) en el centro del círculo como en el centro del extremo D de
la barra.
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5. Para unirlos seleccione uno de los Elemento de punto (Point
Element) y presione la tecla Shift para seleccionar el otro, esto
hace que los dos puntos queden seleccionados (ambos deben
verse de color negro) y en las barra de unir/separar se activa el
botón de Join como se muestra en la figura 8.8, ahora solo basta
con presionarlo para que se unan. También puede auxiliarse del
zoom para unirlos manualmente.
Figura 8. 8 a) Construcción de la segunda barra, b) Activación del comando Join
A continuación se muestra la unión de la rueda y la barra en la figura 8.9.
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Figura 8. 9 Segunda barra con rodillo
6. Ahora coloque la segunda barra con el ángulo de -60° para que la
barra gire en sentido horario.
8.2.2.3 Unión del sistema
1. Coloque un Elemento de punto (Point element) en los extremos
restantes de las barras.
2. Para unirlas utilice cualquiera de los procedimientos explicados
anteriormente. Debe verse como lo muestra la figura 8.10 a
continuación.
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Figura 8. 10 Unión de las barras
8.2.2.4 Superficie
Por último hay que colocar la superficie en la que deslizaran las barras;
para realizar esto dibuje un rectángulo de una longitud suficiente y ánclelo
utilizando la herramienta de anclar de la barra de cuerpos para que no se mueva
(no se vea afectada por la gravedad), el cuadro de propiedades del rectángulo
se muestra a continuación en la figura 8.11 (la posición está sujeta a la posición
que usted haya dado a las barras).
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Figura 8. 11 Posición de la superficie
A continuación se muestra en la figura 8.12 como debe verse el sistema
terminado.
Figura 8. 12 Sistema final
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8.2.3 Recabación de la información
El problema requiere conocer la velocidad de la barra AB cuando β= 20° y
la velocidad de la rueda.
Para la velocidad de la barra AB:
Del menú Medir (Measure), seleccione Velocidad (Velocity) y Gráfica de
rotación (Rotation Graph).
Asimismo en el menú anterior seleccione Posición (Posicion) y Gráfica de
rotación (Rotation Graph).
Para la velocidad del rodillo:
Del menú Medir (Measure), seleccione Velocidad (Velocity) y Gráfica X ( X
Graph).
Las gráficas obtenidas se muestran en la figura 8.13. En la gráfica de
posición de la barra AB se alcanzan los 20° en un tiempo de 0.58 segundos, a
este tiempo la barra alcanza una velocidad de 225 °/s, que convertidoscorresponden a 3.92 rad/s y el círculo tiene una velocidad de 2 m/s con lo que
se comprueban los resultados obtenidos por el método analítico.
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Figura 8. 13 Gráficas de posición y velocidad de la barra AB y velocidad del círculo
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8.3 Práctica propuesta
La barra delgada de 10 kg que aparece en la figura 8.14 está constreñida,
de modo que sus extremos se mueven sólo en las ranuras. La barra está
inicialmente en reposo cuando ᶿ = 0°. Si el bloque deslizante en B recibe la
fuerza horizontal P= 50 N, determine la velocidad angular de la barra en el
instante ᶿ = 45°. Desprecie la masa de los bloques A y B.
Figura 8. 14 Plano de situación del problema
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CAPÍTULO 9
VIBRACIONES MECÁNICAS. VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO
Un bloque de 50 kg como el que se muestra en la figura 9.1 se mueve
entre guías verticales. El bloque es empujado 40 mm hacia abajo desde su
posición de equilibrio y se suelta. Determine el periodo de la vibración, la
máxima velocidad del bloque y su máxima aceleración.
Figura 9. 1 Arreglo de resortes
9.1 Solución analítica
Resortes conectados en paralelo. Se determina primero la constante k
de un solo resorte equivalente (figura 9.2) a los dos resortes determinando la
magnitud de la fuerza P que se requiere para causar una deformación .
Puesto que para una deformación las magnitudes de las fuerzas ejercidas
por el resorte son, respectivamente, k 1 y k 2 , se tiene
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Figura 9. 2 Equivalencias de resortes en paralelo
)( 2121 k k k k P
La constante k del resorte equivalente es
m N mkN mkN mkN k k P
k /10/10/6/4 4
21
Per iodo de vibración: Puesto que m= 50 kg, la ecuación produce
s
srad nkg
m N
m
k
nn
n
n
444.02
/14.1450
/1042
Velo ci dad máxima:
smv
srad m xv
m
mmm
/566.0
)/14.14()040.0(
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Ac elerac ión máxima:
2
22
/8
)/14.14()040.0(
sma
srad m xa
m
mmm
9.2 Simulación del sistema
Para realizar la simulación del sistema realice las siguientes actividades:
1. Acciones de configuración.2. Dibujo del sistema.
3. Obtención de datos.
4. Interpretación de las gráficas.
9.2.1 Acciones de configuraciónConfigure el espacio de trabajo activando las casillas Líneas
cuadriculadas (Grid Lines), Ejes X, Y ( X, Y Axes) y Reglas (Rulers) en el
submenú Espacio de trabajo (Workspace) del menú Vista (View).
Ahora en el menú Vista (View), Números y unidades (Numbers and Units)
elija el Sistema Internacional en radianes. Haga clic en Más cambios (More
Choices) con lo que se desplegarán las magnitudes con sus respectivas
unidades. Cambie las unidades de distancia (Distance) a milímetros (Milimeters)ya que esas son las unidades de desplazamiento del sistema, así podrá
observar el desplazamiento del bloque con mayor claridad como se muestra en
la figura 9.3.
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Figura 9. 3 Configuración de unidades
9.2.2 Dibujo del sistema
Para dibujar el bloque realice lo siguiente:
1. De la barra de cuerpos, elija la figura del rectángulo.
2. Presione el botón derecho del ratón en la hoja de trabajo y
desplace el cursor para crear la figura, cuando tenga la dimensión
deseada vuelva a presionar para finalizar.
3. En la barra de coordenadas indique las siguientes dimensiones:
300 mm de largo por 100 mm de ancho.4. Posicione el bloque en (0,0).
5. Configure la masa del bloque, presionando dos veces el botón
derecho del ratón en él mismo e introduzca el valor de 50 kg.
6. Para colocar los resortes realice lo siguiente:
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De la barra de restricciones, ubique el elemento del resorte y
selecciónelo con el botón derecho del ratón.
Ubique el resorte en la parte superior del bloque, el programa lo
ayuda a ubicar un punto con una “x” para que pueda colocarlo.
Presione la “x” con el botón derecho del ratón y desplace el
cursor hacia arriba y vuelva a presionar para finalizar. Repita el
procedimiento para el otro resorte. La longitud de ambos
resortes es de 50 mm y están colocados en el bloque en las
coordenadas (-100, 50) y en (100, 50).
Para asignarles la constante k realice doble clic derecho en el
resorte, con lo cual aparecerá un cuadro de diálogo como elque se muestra en la figura. Esta constante se encuentra
expresada en kN/m en el planteamiento del problema y en el
cuadro aparece en N/mm por el cambio de que se realizó al
principio en la configuración de las unidades. Para el resorte del
lado izquierdo, su constante es de 4 kN/m que equivale a 4
N/mm y para el resorte del lado derecho la constante es de 6
kN/m que equivalen a 6 N/mm. Los cuadros de las propiedades
de los resortes se muestran en la figura 9.4.
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Figura 9. 4 a) Elemento Resorte en la barra de construcciones, b) Cuadro depropiedades del primer resorte, c) Cuadro de propiedades del segundo resorte
El sistema debe verse como se muestra en la figura 9.5 a
continuación.
Figura 9. 5 Dibujo del sistema
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9.2.3 Obtención de datos
Se necesita conocer el periodo de vibración, la velocidad y aceleración
máximas, para esto realice lo siguiente:
Busque en el menú Medir (Measure), Gráfica Y (Y Graph) en
Aceleración ( Aceleration) y Velocidad (Velocity) respectivamente.
Asimismo localice en Posición (Posicion) la Gráfica Y (Y Graph),
para poder determinar el periodo de vibración.
Si se desea se puede medir el tiempo y para poder observarlo claramente
cambie la velocidad de la animación como se mostró en el capítulo 5, esto haráque el tiempo corra “más lento” y sea fácil de observar. Las gráficas obte nidas
se muestran en la figura 9.6.
Figura 9. 6 Gráficas de posición, aceleración y velocidad del sistema
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9.2.4 Interpretación de las gráficas
El periodo de vibración es el intervalo de tiempo requerido para que el
sistema realice un ciclo de movimiento completo, en la gráfica de posición se
observa que la gráfica comienza a repetirse a los 0.447 segundos. Para cambiar
la manera en la que se visualizan los datos en las gráficas, basta con presionar
con el botón derecho del ratón en la flecha que se encuentra encima el eje Y. El
problema pide la velocidad y aceleración máximas cuando el bloque se ha
desplazado 40 mm, todas estas magnitudes se encuentran expresadas en mm
así que hay que realizar la conversión para que los datos concuerden con los del
problema. La aceleración es de 8 000 mm/s2 que corresponden a 8 m/s2 y la
velocidad corresponde a 600 mm/s aproximadamente que corresponden a 0.6m/s.
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9.3 Práctica propuesta
Un bloque de 1.4 kg (figura 9.7) está sostenido como se muestra
mediante un resorte de constante k= 400N/m que puede actuar bajo tensión o
compresión. El bloque se encuentra en la posición de equilibrio cuando se le
golpea desde abajo con un martillo que le imprime una velocidad hacia arriba de
2.5 m/s. Determine a) el tiempo requerido para que el bloque se mueva 60 mm
hacia arriba, b) la velocidad y aceleración correspondientes del bloque.
Figura 9. 7 Diagrama del bloque
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FUENTES CONSULTADAS
1. Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., Phillip J. Cornwell
(2012). Dinámica. McGraw-Hill, traducido de la novena edición de
Vector Mechanics for Engineers, México D. F.
2. Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, William E. Clausen (2005).
Mecánica Vectorial para Ingenieros, Dinámica. McGraw-Hill,
séptima edición, México D. F.
3. R. C. Hibbeler (2004). Mecánica Vectorial para Ingenieros,
Dinámica. Prentice Hall, décima edición, Estado de México.
4. William F. Riley, Leroy D. Sturges (1996). Ingeniería Mecánica.
Dinámica, Reverté, edición en español, España.