Manual de Estática y Dinámica

8/20/2019 Manual de Estática y Dinámica

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CENTRO DEVERACRUZ

Programa Educativo:

Técnico Superior Universitario en Mantenimiento Industrial

Estática y Dinámica

Manual de Asignatura

Autores: Ing. Carlos Alberto Ventura de la Paz

Ing. Jesús Juárez Borbonio

Fecha de publicación: 10/julio /2010


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Contenido

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 4

DESARROLLO ................................................................................................................................. 5

UNIDAD I. SISTEMAS DE UNIDADES ............................................................................................ 5TEMA 1.1 SISTEMA INTERNACIONAL .......................... .......................... .......................... ...... 5

TEMA 1.2 SISTEMA INGLÉS ................................................................................................... 10

TEMA 1.3 UNIDADES MECÁNICAS......................................................................................... 12

TEMA 1.4 CONVERSIÓN DE UNIDADES ................................................................................. 14

TEMA 1.5 NOTACIÓN CIENTIFICA ......................... .......................... ......................... ............. 15

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN ......................... .......................... ......................... ............. 21

UNIDAD TEMATICA II. Estática .................................................................................................. 24

TEMA 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales. ........................... .......................... ................. 24

TEMA 2.2 Fuerzas coplanares ............................................................................................... 28

TEMA 2.3 Resultante de un sistema de fuerzas .......................... .......................... ................. 32

TEMA 2.4 Pares de fuerzas ................................................................................................... 43

TEMA 2.5 Leyes de Newton .................................................................................................. 50

TEMA 2.6 Sistemas en equilibrio........................................................................................... 52

TEMA 2.7 Centroides ............................................................................................................ 60

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN ......................... .......................... ......................... ............. 61UNIDAD III. CINEMÁTICA Y DINÁMICA ...................................................................................... 63

TEMA 3.1 MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN CUERPO ......................... ......................... ......... 63

TEMA 3.2 CAIDA LIBRE ......................................................................................................... 65

TEMA 3.3 TIRO PARABÓLICO ................................................................................................ 69

TEMA 3.4 MOVIMIENTO CIRCULAR ...................................................................................... 73


UNIDAD TEMATICA IV. Trabajo, energía y potencia .................................................................. 80

TEMA 4.1 Conceptos básicos de trabajo, energía y potencia. ........................... ..................... 80

TEMA 4.2 Ejercicios prácticos ............................................................................................... 83


PROYECTO DE ASIGNATURA ......................................................................................................... 90

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN ................................................................................................ 91


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Cuestionario............................................................................................................................. 91

Lista de cotejo: ......................................................................................................................... 98

Guía de observación ............................................................................................................... 101


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INTRODUCCIÓN

La mecánica se pude definir como la ciencia que describe y predice las condiciones dereposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se divide en tres partes: lamecánica de cuerpos rígidos, la mecánica de cuerpos deformables y la mecánica defluidos.

La mecánica de cuerpos rígidos se divide en estática y dinámica, la primera estudia loscuerpos en reposo y la segunda los cuerpos en movimiento.

La mecánica es una ciencia física puesto que estudia fenómenos físicos. Sin embargoalgunos la asocian con las matemáticas, mientras que otros la consideran un tema de laingeniería. Ambos puntos de vista se justifican parcialmente. La mecánica es la base de lamayoría de las ciencias de la ingeniería y es un requisito indispensable para estudiarlas.Sin embargo no tiene el carácter empírico propio de algunas ciencias de la ingeniería, esdecir, no se basa solo en la experiencia u observación; por su rigor y la importancia que

da al razonamiento deductivo se parece a las matemáticas. Pero tampoco es una cienciaabstracta, ni siquiera una ciencia pura; es una ciencia aplicada. Su propósito es explicar ypredecir los fenómenos físicos y poner las bases para aplicarlas en ingeniería.

El manual de asignatura de Estática y Dinámica contribuye al logro de la siguientecompetencia: Determinar la existencia de planes, programas y tipos de mantenimiento através del análisis de manuales, historiales o características de los equipos productivos enla organización, para identificar la información útil.

Determinar historiales de consumo de las actividades de mantenimiento, en base a lainformación estadística existente, recomendaciones del fabricante, el número de

ocurrencias de falla, el costo y políticas de la organización; para conocer la situaciónactual del sistema.


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DESARROLLO

Objetivo de la asignatura: El alumno resolverá problemas prácticos de la estática y ladinámica de los cuerpos relacionados con aplicaciones industriales, mediante formulas y

tablas de conversión de unidades.

UNIDAD I. SISTEMAS DE UNIDADES

Objetivo de la unidad: El alumno convertirá magnitudes físicas entre los sistemas deunidades internacional e inglés para la solución de problemas industriales mediante el usode formulas.

Resultado del aprendizaje: El alumno entregará un reporte de medición de magnitudes

en los sistemas de unidades Internacional e inglés, realizando conversiones entresistemas y representando magnitudes en notación científica.

TEMA 1.1 SISTEMA INTERNACIONAL

SABER

Establecer que el metro es la unidad patrón de la longitud es producto de una largahistoria de la humanidad. Antiguamente la longitud de los cuerpos se medía

comparándola con las dimensiones de algunas partes del cuerpo humano.

Antes de que el Sistema Métrico Decimal fuese establecido las unidades de medida sedefinían muy arbitrariamente y variaban de un país a otro, dificultando el intercambiocomercial y el desarrollo de las ciencias entre naciones.

Estas inconveniencias mencionadas motivaron a científicos y comerciantes de los siglosXVII y XVIII a proponer unidades de medidas definidas o basadas en elementos:universales, reproducibles, fácilmente manejables por todos los usuarios y entendibles .

Así el 7 de abril de 1795 mediante un decreto se instauró el Sistema Métrico Decimal,durante la Revolución Francesa.

El sistema métrico original se adoptó internacionalmente en la Conferencia General dePesos y Medidas de 1889 y derivó en el Sistema Internacional de medidas.

En 1960, durante la 11a Conferencia General de Pesas y Medidas, realizada en París, seacordó reestructurar el sistema métrico decimal en uno más preciso, con ello se elaboróun nuevo sistema al cual se le llamó Sistema Internacional de Unidades (SI) En este


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sistema las unidades están definidas más rigurosamente y actualizadas y es el queoficialmente se enseña en las escuelas de México.

El sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades fundamentales que sonlas que se muestran en la tabla 1 y de estas unidades fundamentales se toman las tresprimeras como unidades básicas puesto que son las más usadas en la vida cotidiana.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.

Magnitud Fundamental Unidad Patrón Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Corriente eléctrica Amperio A

Temperatura Kelvin K

Cantidad de sustancia Mol mol

Intensidad luminosa Candela cd

Tabla 1: Magnitudes Fundamentales y Unidades Patrón del S I = Sistema Internacional .

Magnitud derivada Nombre especial Símbolo Equivalencia

Ángulo plano Radián rad 1

Velocidad angular rad/s


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Aceleración angular rad/s2

Frecuencia Hertz Hz. s-1

Velocidad lineal v m / s

Aceleración lineal a m / s2

Fuerza Newton N Kg m / s2

Presión Pascal Pa N / m2

Energía, trabajo, calor Julio J Kg. m2 / s2, N m

Potencia watio W Kg. m2 / s3 , J/s

Momento angular Kg m2/s, N m s

Carga eléctrica Coulomb C A s

Potencial eléctrico, fem voltio V W / A, J / C

Resistencia ohm, ohmio V / A

Conductancia siemens S

Fuerza de campo eléctrico V / m, N /C

Temperatura Celsius grados Celsius ºC K

Flujo luminoso lumen Lm cd sr

Iluminación lux Lx lm/m2

Radioactividad becquerel Bq s-1

Tabla 2. Ejemplos de Magnitudes Derivadas del SI


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La práctica de este tema permite al alumno convertir unidades dentro del SistemaInternacional de Unidades, pasando de las unidades básicas a unidades derivadas. Paraello es necesario auxiliarnos de la siguiente lista de factores de conversión.

LONGITUD

1 Km = 1,000 m

1m = 100 cm = 1000 mm

1 dcm = 10 cm = 100 mm

MASA

1 Kg = 1,000 g

1 Ton = 1,000 KgTIEMPO

1 Día = 24 hr = 1,440 min = 86,400 s

1 hr = 60 min = 3,600 s

SABER HACER

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Un arquitecto indica en un plano que el ancho de una recamara es de 2,328 mm¿Cuál es esa medida expresada en Km y en m?

2.- Un súper-saco es un recipiente moderno que se empieza a utilizar en los ingenios

azucareros para envasar su producto y cuya capacidad es de 3.5 Ton ¿Cuál es lacapacidad expresada en kg.?


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Un mecánico compró un juego de llaves de 5, 10, 15 y 20 mm. ¿Cuál es laequivalencia de estas llaves si expresamos las medidas en m, cm y en km,respectivamente?

2.- Una grúa viajera tiene una capacidad de carga de 10 Ton. ¿Cuál es la capacidad deesa grúa expresada en Kg y en gr?

3.- En un ingenio azucarero se cambio la forma de envasado del producto final “elazúcar”, ahora ya no se utilizarán sacos de 50 kg solo se utilizaran súper -sacos concapacidad de 3.5 Ton cada uno. ¿Cuál es la capacidad de los súper-sacos expresada engr?

4.- En un proceso de torneado la velocidad de avance del carro porta herramientas es de58 mm/min. ¿Expresa esa velocidad en m/s y en km/hr?

5.- Si para llenar una botella de refresco de 3.3 lt la maquina llenadora se tarda 10 s.¿Cuántas horas se tarda en llenar 14 paquetes? Recuerde que cada paquete contiene 8refrescos de los antes mencionados.

6.- Si en un horno de fundición de acero tiene capacidad para fundir 45 kg en cada cargay en un turno de ocho horas de trabajo se realizan 24 cargas aproximadamente. ¿Cuántastoneladas funde la fábrica en una semana de 6 días con tres turnos por día?

7.- Un depósito de combustóleo utilizado en una caldera del Ingenio “La paz”, tiene unacapacidad de almacenamiento de 150,000 lt. ¿Cuál es la capacidad del depósitoexpresada en hectolitros, en m3, en cm3, en decim3

8.- En una zona industrial el Sr. Ignacio Martínez compra un lote de terreno para construiruna nave industrial donde estará su nueva empresa, si le han informado que el lote tieneun área de 2.3 Hectáreas. ¿Cuántos m2 tendrá dicho lote?

9.- Si para desplazar la carga de una banda transportadora el motor que la mueve debeaplicar una fuerza de 72,300 N. ¿A cuántos KN y MN equivale dicha fuerza?

10.- Un arquitecto diseña un cuarto de maquinas y entrega un plano al gerente de planta,donde el ancho del cuarto será de 5,200 mm y la profundidad de 10,500 mm. Expresaestas medidas en m y en km.


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TEMA 1.2 SISTEMA INGLÉS

SABER

El sistema Inglés permanece hasta nuestros días gracias a que en la celebración de la

Conferencia General de Pesos y Medidas de 1889 los miembros del reino unido noparticiparon, negándose a adoptar el Sistema Internacional en su país y sus colonias,incluyendo también los Estados Unidos, quienes ya utilizaban el sistema inglés por habersido una colonia inglesa durante algunos siglos.

Por lo expuesto anteriormente, en la actualidad, aún cuando el Reino Unido ya adoptó elsistema internacional, los Estados Unidos de Norteamérica continúan utilizando en suterritorio el sistema inglés; y para fines comerciales realizan conversiones al sistemainternacional, razón por la que en algunos productos procedentes de este país se puedeapreciar en su etiqueta el sistema inglés, con su respectiva equivalencia del sistemainternacional encerrada entre paréntesis.

A continuación se muestra una tabla con equivalencias del Sistema Inglés al SistemaInternacional.

LONGITUD

1 ft = 12 pulg = 0.3048 m = 30.48 cm

1 yarda = 3 ft = 0.9144 m

1 milla = 1.609 km = 1609 m = 536.33 yardas = 5,278.87 ft

FUERZA

1 lb = 4.448 N = 0.453 kgf

1 N = 0.2248 lb

1 kgf = 2.205 lb

1 Onza = 0.2780139 N = 0.02834952 kgf

MASA1 slug = 14.59 kg

1 Onza = 0.02834952 kg = 28.35 gr

1 lbm = 0.4536 kg


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SABER HACER


Un motor de dos tiempos de una motocicleta tiene 250 cm3 de cilindrada (volumen) y undiámetro interior de 50.8 mm. Exprese estas medidas en in3 y en in.

Un pitcher (jugador de baseball) lanza la pelota hacia el “home” a una velocidad media de

95 millas/hr. Determine esa velocidad en m/s y en km/hr.


1. Un terreno para construcción rectangular mide 100.0 pies por 150.0 pies. Determine elárea de este terreno en m2.

2. Suponga que se llena un tanque de gasolina de 30.0 galones en 7.0 min.

a) Calcule la proporción a la cual se llenará el tanque en galones por segundo.

b) Calcule la rapidez a la cual se llenará el tanque en litros (lt) por segundo.

3. Suponga que un familiar de Ud. acaba de comprar un automóvil Europeo y quiere sabersi puede usar su juego de llaves, cuya escala está en el Sistema Inglés para trabajar enél.

4. Usted tiene llaves con anchos w = ¼ pulg, ½ pulg, ¾ pulg, y 1 pulg, y el auto tienetuercas con dimensiones n = 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm y 25 mm. Si definimos queuna llave ajusta si w no es 2% mayor que n, ¿cuál de sus llaves puede usar?


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TEMA 1.3 UNIDADES MECÁNICAS

SABER

Se consideran unidades mecánicas aquellas que son usadas en la solución de problemas

de fuerzas, presiones, potencias, trabajo, energía, calor, etc., de ahí que su nombre hagaalusión a la mecánica.

En la siguiente tabla se observan algunos factores de conversión de estas unidades delsistema internacional al sistema ingles y viceversa.

ACELERACIÓN

1 ft/s2 = 0.3048 m/s2

1 in/s2 = 0.0254 m/s2

ÁREA

1 ft2 = 0.0929 m2

1 in2 = 645.2 mm2 = 6.4516 x 10-4 m2

ENERGÍA

1 ft * lb = 1.356 J

MOMENTO DE UNA FUERZA

1 lb * ft = 1.356 N * m1 lb *in = 0.1130 N * m

POTENCIA

1 lb * ft /s = 1.356 Watts

1 Hp = 550 lb * ft / s = 745.7 Watts

PRESIÓN O ESFUERZO

1 lb/ft2 = 47.88 Pa

1 lb/in2 (psi)= 6.895 kPa = 6895 Pa

VELOCIDAD

1 ft/s = 0.3048 m/s

1 mph = 0.4470 m/s = 1.609 km/hr


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VOLUMEN

1 ft3 = 0.02832 m3

1 in3 = 16.39 cm3

1 m3

= 1000 lt

1 Gal = 3.785 lt

SABER HACER


Un motor eléctrico entrega una potencia de 20 Hp en su flecha de salida. ¿Cuál es el valorde esa potencia expresada en lb * ft / s y en watts?

La forma de dar solución a la conversión anterior es llamada método del factor completo ya que solo es necesario tener el factor de conversión de la unidad mecánica para realizarla conversión en forma directa, aunque pudiera ser posible convertir por unidades,teniendo en cuenta que la potencia es una unidad derivada que involucra fuerza, distanciay tiempo.


En un estudio de resistencia a una estructura, el resultado indica que el esfuerzo normalpermitido no debe exceder 120 kPa. ¿Cuál es el valor del esfuerzo en psi?

El par torsional que debe aplicarse a los tornillos de sujeción de la cabeza de un motor decombustión interna, para realizar el ajuste debe ser de 3. 5 kgf * m. Exprese ese torque enN * m y en lb * ft.

Si una pipa que transporta melaza tiene escrita una leyenda que dice que su capacidadmáxima es de 35,500 lt. ¿Cuántos m3 tiene de capacidad? Exprese ese volumen en ft 3 yen yardas cubicas.

Si el campeón olímpico de los 100 metros planos realiza su carrera en 9.53 s ¿Cuál es lavelocidad promedio que desarrolla expresada en km/hr?


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TEMA 1.4 CONVERSIÓN DE UNIDADES

SABER

La conversión de unidades pude darse de un sistema a otro o bien, en el mismo sistema,

cuando pasamos de la unidad base a los múltiplos y submúltiplos de la misma.

Gracias a la cercanía que tiene nuestro país con los Estados Unidos de América escomún que se tenga la necesidad de utilizar el sistema inglés y al mismo tiempo utilizar elSistema Internacional de Unidades.

De acuerdo a los factores de conversión de unidades vistos en los temas anteriores esposible realizar cualquier conversión de unidades entre ambos sistemas dándole solucióna una simple ecuación matemática que relaciona ambos sistemas a través del factor deconversión.

Lo anterior es posible utilizando un factor de conversión de unidades y en algunos casosa través de factores completos .

Se le llama factor completo a aquel factor de una unidad derivada que relaciona las dos omás unidades fundamentales de la unidad derivada con su equivalencia en el otrosistema.

SABER HACER


A continuación se muestra un ejemplo de la conversión por medio del factor completo:

En una línea de producción de una factoría se utiliza aire comprimido para laautomatización de un proceso. Si un manómetro colocado en la tubería indica una presiónde 98 psi. ¿a cuánto equivale esta presión en Pa?

Utilizando el método del factor completo

Si se realiza la conversión por unidades de debe tomar en cuenta que psi = lb/in2

y quePa = N/m2, por lo tanto la conversión se realiza de la siguiente manera:


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Como puede apreciarse hay una diferencia en los resultados, esto se debe a que en casitodos los factores de conversión utilizados, no se toman todos los dígitos ya que el factorreal de 1 lb es de 4.448222 N y 1psi equivale a 6894.757 Pa, esto hace que ladiferencia se pueda apreciar sin embargo cualquiera de los dos resultados es tomadocomo correcto porque la diferencia no excede el 0.001 %

EJERCICOS PROPUESTOS

Un señor compra un terreno de 10 m x 20 m ¿Cuál será el área de este terreno expresadaen ft2 y en yrd2?

La velocidad lineal de un ventilador que gira a 200 rpm es de 12 m/s ¿A cuánto equivaleesta velocidad en ft/s?

El par torsional que se aplica a un volante para abrir compuertas en un canal de riego esde 1200 lb * ft ¿Cuál es el valor de este par torsional expresado en N * m?

TEMA 1.5 NOTACIÓN CIENTIFICA

SABER

La notación científica (o notación índice estándar) es un modo conciso de representar unnúmero utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresarfácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

Siendo:

a un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombrede mantisa.

n un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante enpaíses de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.


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Escritura

100 = 1

101 = 10

102

= 100

103 = 1 000

104 = 10 000

105 = 100 000

106 = 1 000 000

107 = 10 000 000

108 = 100 000 000

109 = 1 000 000 000

1010 = 10 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0. (n –1ceros) 1:

10-1= 1/10 = 0,1

10-3 = 1/1 000 = 0,001

10-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escritocomo 1.56234×1029, y un número pequeño como 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9.10939×10 -31 kg.

Usos

Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es 4.6×1026 m y la masade un protón es 1.67×10-27 kg. La mayoría de las calculadoras y muchos programas decomputadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; labase 10 se omite generalmente y se utiliza la letra E (mayúscula o minúscula) para indicarel exponente; por ejemplo: 1,56234E29. Nótese que esto no está relacionado con la basedel logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e.


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La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden sermedidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitossignificativos se da toda la información requerida de forma concisa.

Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal quecontenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demásdígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por la potencia de 10que indique el exponente. Ejemplos: 238294360000 = 2.3829436E11 y 0.00031416 =3.1416E-4.

OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando

la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente,debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como seanecesario para obtener el mismo exponente):

Ejemplo:

2×105 + 3×105 = 5×105

0.2×105 + 3×105 = 3.2×105

Para sumar y restar dos números (o más) debemos tener el mismo exponente en laspotencias de base diez. Tomamos como factor común el mayor y movemos la coma

flotante, en los menores, tantos espacios como sea necesario, elevando loscorrespondientes exponentes hasta que todos sean iguales. Ejemplo:

2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 (tomamos el exponente 5 como referencia)

0.2 × 105 + 3 × 105 – 0.06 ×105 =

3.14 ×105

Entonces la notación científica es una manera de recoger todos los 0 en una base 10

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y sesuman los exponentes.

Ejemplo: (4×1012)×(2×105) = 8×1017

División


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Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restanlos exponentes (el del numerador menos el del denominador).

Ejemplo:

(4×1012)/(2×105) = 2×107

Potenciación

Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012

Radicación

Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz.

Ejemplos:

Discrepancia de nomenclatura

A pesar que la notación científica pretende establecer pautas firmes sobre la referencia

numérica en materia científica, se presentan discrepancias de lenguaje.

Por ejemplo en EE.UU. 109 se denomina «billon» (billón, en español). Para los países dehabla hispana y en la mayor parte de los países de Europa, 109 es mil millones o millardo(del francés millard), en tanto que y el billón se representa 1012. Llegamos a un casopráctico donde para los estadounidenses one bi l l ion d ol lars , para los hispanohablantesserá un millardo de dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).

Otra particularidad del mundo hispano es que a 104 (10 000), se le denomina miríada. Noobstante para 10 000 se usa diez mil como uso frecuente y miríada cuando se quierehacer notar el diez mil como "muchísimo" respecto a una comparación con algo

cuantificable que elevó su cuenta significativamente, sin que este uso tenga fundamentocientífico sino de costumbres.

Para simplificar las expresiones del sistema internacional se usan con mucha frecuencialos prefijos, los cuales se pueden expresar a través de un símbolo que simplifica tambiénel uso de la notación científica. A continuación se muestra la tabla 3 que presenta losfactores múltiplos y submúltiplos.


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Tabla 3. Prefijos SI.

FACTOR MÚLTIPLO

PREFIJO SÍMBOLO FACTOR SUBMÚLTIPLO

PREFIJO SÍMBOLO

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 milli, mili m

1015 peta P 10-6 micro

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto h 10-21 zepto z

101 deka, deca d 10-24 yocto y


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SABER HACER

EJERCICOS RESUELTOS

Si la distancia media entre la Tierra y la Luna es de 38 x 107 m. Expresa éste númerocomo número natural .

d = 380, 000,000 m

Si la velocidad de crecimiento del cabello es de 0.001 mm/día. Exprese esta razón decrecimiento en m/s y nm/s.

V = 0.01574 nm/s


No utilice calculadora resuelva los ejercicios de acuerdo a los postulados dados en eltema.

Si el diámetro de la tierra en promedio es de 12.756 x 106 m y el de la luna es de 3.476 x106 m ¿Cuál sería la distancia de centro a centro entre ambos, si se supone los dos astros

estuvieran en contacto?

Si la masa de un átomo de cobre es de 1.06 x 10-22 gr. ¿Cuánta masa habrá en 1.5 x 1023

átomos.

El cuerpo humano está compuesto por 1 x1045 millones de células ¿Cuántas células tieneel cerebro si corresponden a la octava parte del total de células del cuerpo?


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INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Examen¿Cuántas unidades fundamentales tiene el Sistema Internacional de Unidades?

2 c) 4

6 d) 7p

Las fuerza medida en unidades del SI ¿Pertenece a las unidades fundamentales?

Si b) No

¿Cuál es la unidad en la que se mide la fuerza del SI?

Libras c) Dinas

Newtons d) Onzas

¿Cuál es la unidad de medida de la masa en el Sistema Inglés?

Libras c) Slugs

Onzas d) Newtons

¿Cuál es la unidad para medir temperatura en el SI?

Celsius c) Kelvin

Fahrenheit d) Rankine

¿En qué unidades del sistema inglés se mide la aceleración?

in/seg2 c) yarda/seg2

ft/s2 d) mills/seg2

¿Qué nombre recibe la notación científica en algunos países?

Magnitudes escalares c) Magnitudes vectoriales

Sistema coma flotante d) Sistema métrico decimal

El prefijo Giga expresado como número en notación científica se representa con: a) 1 x106 c) 1 x 109

b) 1 x 103 d) 1 x 1012


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LISTA DE COTEJOInstrucciones: Resuelva todos los ejercicios propuestos para cada tema de esta unidad yentregue el reporte a su profesor. Al finalizar cada unidad deberán entregar el reporte conla solución de todos los ejercicios

No. INDICADORES CUMPLE NO CUMPLE

1 El reporte muestra el planteamiento decada uno de los problemas

2 El reporte muestra por cada ejercicio losdatos que se dan en el problema y losdatos que se solicitan

3 El reporte muestra por cada ejercicio undiagrama de cuerpo libre o diagrama desituación real.

4 El procedimiento para la solución de losproblemas es correcto

5 La solución que se da para cada ejercicioes correcto

6 La solución de cada problema se presentaen una hoja en blanco, sin rayonesmarquesinas o figuras de fondo, etc.


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GUIA DE OBSERVACIÓNInstrucciones: Dos ejercicios de los planteados en cada tema serán resueltos en equiposde alumnos, durante las horas de sesión planeadas frente a grupo.

El desempeño del alumno durante la solución de los problemas será evaluado como elsaber ser y saber convivir por lo que a continuación se muestra la Guía de Observación.

NO. CRITERIOS CUMPLI OBSERVACIONES

SI NO

1 El alumno se integra en círculos conlos demás integrantes de su equipo

2 El alumno discute con suscompañeros para presentar posiblessoluciones al problema

3 El alumno muestra interés y apoya enla resolución del problema.

4 El grupo de alumnos realizan enconjunto la conclusión final al resolvercada ejercicio.

5 Los grupos van mas allá de suspropias conclusiones y buscancomparar resultados con los demásequipos y discutir posibles alternativasde solución.

6 El equipo termina cada ejercicio en eltiempo que fue estipulado por elprofesor.


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UNIDAD TEMATICA II. Estática

OBJETIVO DE LA UNIDAD: El alumno determinará las fuerzas en equilibrio queintervienen en un sistema mecánico industrial para asegurar su correcta aplicaciónmediante el algebra vectorial.

RESULTADO DE APRENDIZAJE: Presentará un reporte de resolución de casosprácticos, empleando la resultante de un sistema de fuerzas y pares de fuerzas.

TEMA 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales.

Saber

Explicar las características de las magnitudes escalares y vectoriales.

Mencione las diferencias entre un recipiente con agua y un tren de pasajeros.

VARIABLE RECIPIENTE CON AGUA

TREN DEPASAJEROS

USO Almacenar agua Desplazar personas

PESO Un kilogramo Diez Tonelada

DIRECCION DEMOVIMIENTO

No se mueve Siguiendo las vías

SENTIDO DE MOVIMIENTO No se mueve Hacia el frente

¿Qué podemos observar de las diferencias de los objetos mencionados?

El recipiente con agua no tiene dirección, ni sentido de movimiento y el tren si tiene.

El recipiente con agua no se mueve y el tren si

Con lo anterior podemos afirmar que el recipiente con agua solo tiene magnitud de fuerza(peso), pero carece de dirección y sentido; y el tren de pasajeros tiene magnitud (peso),dirección y sentido.

A las cantidades físicas que no tienen dirección, como volumen, masa o energía serepresentan por números escalares . Mientras que a las cantidades que poseen magnitud,dirección y sentido se pueden representar por vectores.


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Los vectores se suelen representar por líneas, que representan su magnitud, y conterminación en punta de flecha, que representan su dirección y sentido.

Saber hacer

Calcular magnitudes escalares y vectoriales.


Especificar, mediante un vector, una fuerza de 12 N, 6 N y 24 N, con dirección de25°, 90° y 270°, respectivamente.

NOTA: Cuando se trazan vectores en un caso especifico, se debe tener cuidado en que lalongitud de la flecha corresponda al valor de la magnitud de fuerza.

Se recomienda, por ejemplo, utilizar cada centímetro de la flecha por cada Newton de la

fuerza (siempre y cuando el valor de los newton no sea muy grande, en este caso utilizaruna escala)

Un objeto se deja caer desde un edificio con una fuerza de 20 N, establecer elvector de la fuerza correspondiente del objeto.

El vector fuerza es vertical hacia abajo porque el objeto es soltado sin ejercer algunafuerza que lo lance hacia su horizonte.

12 N6 N

24 N

20 N


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Establecer el vector que especifica el volumen contenida en un garrafón de agua.

El volumen no se puede representar por un Vector por carecer de dirección y sentido, solotiene una magni tud escalar .

Establecer el vector que especifique el peso del agua contenida en un recipiente.

¿Porque ahora si se pudo establecer un vector sobre el recipiente de agua? Por lavariable. La variable peso si tiene dirección (hacia el centro de la tierra, abajo), por lotanto si se puede representar mediante un vector.


Establecer los vectores, si fuese el caso, de los siguientes ejemplos.

a) La velocidad de un avión que va descendiendo a 45° para aterrizar en la pista.

b) El peso de una persona de 75 Kgf.

c) La masa de un automóvil.

d) Los tensores que se coloca a un poste de luz para que no se caiga.

Peso W


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e) El vector que se genera en el brazo BD cuando se aplica la fuerza representadapor el vector Q.

f) Los vectores de la siguiente figura


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TEMA 2.2 Fuerzas coplanares

Saber

Explicar las fuerzas en un plano que se aplican a un cuerpo.

Observemos el siguiente diagrama y saquemos las fuerzas que actúan.

Ahora solamente dibujemos los vectores fuerza que actúan en el diagrama mostrado.

Al diagrama que representan las fuerzas que actúan en un sistema se le llama diagramade cuerpo l ibre.

FBDFBC


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Si ahora la caja es jalada con dos cuerdas, una hacia la derecha y otra hacia la izquierdacon un ángulo de 30°, como se muestra en la figura, ¿hacia dónde se moverá y con quéfuerza?

Decir que la caja se mueve hacia la derecha con una fuerza de 50 N es incorrecto.Tendremos que descomponer la fuerza de 100 N, para poder resolver el problema, lo queveremos más adelante.

Por el momento, podemos afirmar que “las fuerzas que comporten el mismo eje sepued e sumar o restar de fo rma ari tmética, pero las fuerzas qu e no comparten el

mismo eje se pueden sumar o restar de forma vectorial”.

Saber hacer

Resolver problemas de aplicación que involucren fuerzas en dos dimensiones.


Se presentan a continuación diagramas de cuerpo libre, analizarlos y determinar la fuerzaque resultará una vez realizando las sumas de vectores.

150 N

100 N

10 Klb

8 Klb

Como ambas fuerzas comparten el mismo eje (en este caso el

eje de las Y) se pueden sumar algebraicamente:

Recordar que en el eje de las Y, una fuerza hacia arriba se le

asigna signo positivo y una fuerza hacia abajo se le asigna signonegativo.

Por lo tanto, las fuerzas se restan quedando una fuerza de 2 klb

positivos (hacia arriba)


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EJERCICIOS PROPUESTOS.

Realizar la suma algebraica de vectores presentados.

12 KN

8 KN

Este sistema de fuerza no se puede sumar de forma algebraica

ya que las fuerzas no pertenecen al mismo eje de acción.

Este tipo de ejercicios los veremos más adelante.

100 N

180 N

200 N

¿Podemos sumar todas las fuerzas algebraicamente?

No se pueden sumar todas algebraicamente, pero la de 100 N y

200 N, comparten el mismo eje, por lo tanto si se pueden sumar

de forma algebraica. Queda de la siguiente manera:

100 N

180 N

24 kN

22 kN

10 kN

40 kN

50 lb

45 lb

50 lb40 lb


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TEMA 2.3 Resultante de un sistema de fuerzas

Saber

Definir el efecto de un sistema de fuerzas y su resultante equivalente.

En el tema anterior se menciono una cosa interesante que es importante recordar: “losvectores solo se pueden sumar algebraicamente si comparten el mismo eje”.

Entonces, ¿qué sucede con las fuerzas que no comparten el mismo eje?, ¿Cómo hacerpara que se puedan sumar algebraicamente? La respuesta es muy simple, debemosllevar las fuerzas a los ejes conocidos (eje “X” y eje “Y”), y así poder sumarlas. Enotras palabras, debemos descomponer las fuerzas que no compartan dichos ejes paraque coincidan en ellos.

Antes de continuar necesitamos recordar un poco de trigonometría. Obtengan lascaracterísticas de un triangulo rectángulo.

Los catetos son los lados que forman 90° en el triangulo.

La hipotenusa es la línea inclinada que une los extremos de los catetos.

El ángulo α nace del eje de las X.

El ángulo β nace del eje de las Y.

El cateto 1 es adyacente al ángulo α, pero opuesto al ángulo β.

El cateto 2 es opuesto al ángulo α, pero adyacente al ángulo β.

Pare determinar la hipotenusa es necesario conocer los catetos. Para la hipotenusautilizamos el Teorema de P itágo ras.

Hipotenusa

Cateto 1

Cateto 2

α

β


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Cuando no se conoce el valor de alguno de los catetos pero se conoce el valor de algunosde los ángulos se utilizan las formulas trigonométricas:

Obsérvese que no se utilizo el ángulo α o β para expresar las funciones trigonométricas,

además, no se utilizó cateto 1 ni cateto 2. Lo anterior es porque depende de que ángulo

se conozca.

Ahora bien, apliquemos la trigonometría para la solución de vectores que no compartenlos mismos ejes.

Consideremos el siguiente sistema de vectores fuerza (recordando que los vectorespueden son representaciones de cantidades que tienen magnitud, dirección y sentido,como por ejemplo: velocidad, peso, corriente, potencia, etc.)

Para este sistema no es posible realizar la suma algebraica de los vectores porque nocomparten el mismo eje, por lo que se debe descomponer la fuerza de 25 N en suscomponentes “X” e “Y” con ayuda de las formulas trigonométricas. Consideremos solo la

fuerza de 25 N

25 N

13 N40°

25 N

40°

25 N

40°Fx

Fy 25 N

40°

Fx

Fy


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La fuerza de 25 N se descompone en Fx (fuerza en el eje X) y Fy (fuerza en eje Y), comose muestra en la figura anterior.

La última representación de la descomposición de la fuerza de 25 N se comporta como untriangulo rectángulo, donde se conoce la hipotenusa (25 N) y el ángulo que nace del eje X(40°).

Utilizando las formulas trigonométricas, tenemos:

Sustituyendo los valores del triangulo rectángulo,

Despejando Fy, tenemos:

Con la función de seno se determino el valor de la fuerza descompuesta en el eje “Y”.

Ahora utilizaremos la función coseno para determinar el valor de la componente en “X”.

Sustituyendo los valores del triangulo rectángulo,

Despejando Fx, tenemos:

Por lo tanto, el sistema de fuerzas que resulta es el siguiente:

Es importante hacer un momento de reflexión antes de continuar . ¿Cuál fue el motivode descomponer la fuerza de 25 N en sus componentes “X” e “Y”? El ser de la

13 N Fx=19.15 N

Fy=16.07 N


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descomposición de fuerzas es para que todas las fuerzas estén en los ejes conocidos, “X”e “Y”, para poder así sumar las fuerzas de forma algebraica.

Las fuerzas se pueden representar de dos formas: polar y rectangular. La forma polar sedistingue por la magnitud de la fuerza y el ángulo que representa al vector. La formarectangular representa al vector mediante las componentes Fx y Fy (NOTA hay ocasionesen que a la fuerza Fy se le agrega una i para distinguir el valor de la componente Fx).

Por ejemplo, escribir los vectores fuerza, en la forma polar y rectangular, del sistemamostrado anteriormente:

VECTOR FORMA POLAR FORMA RECTANGULAR

Nota: El ángulo se toma apartir del eje de las “X”

positivo.

Nota: Como la fuerza Fx vahacia la derecha es positivo,así mismo la fuerza Fy vahacia arriba por lo quetambién es positivo.

25 N

40°

13 N


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Una vez reflexionado sobre el porqué de las cosas que se hicieron, proseguimos con lasuma algebraica de las fuerzas que pertenecen al mismo eje de acción.

Obsérvese que solo se pudieron sumar (∑) dos fuerzas de forma algebraicas (las queactuaban en el eje de las “X”).

Cuando se realiza la sumatoria de fuerzas del eje de “X”, se puede expresar el vector

fuerza de forma rectangular, quedando de la siguiente manera:

Ahora si se desea expresar el vector fuerza en sus forma polar, se debe determinar lafuerza resultante (FR). Realizando la semejanza con un triangulo, tenemos que FR es lahipotenusa, Fx y Fy son los catetos. Según el diagrama del triangulo rectángulo mostradoen la figura anterior, ¿Cómo podemos determinar el valor de la FR? Con el teorema dePi tágoras.

Y el ángulo al que se encuentra desplazado la fuerza del eje “X”. Utilizando la formula de

tangente, tenemos:

∑Fx=32.15

Fy=16.07 NFR

∑Fx=32.15

Fy=16.07 NFR

∑Fx=32.15

Fy=16.07 N

FR = 35.94 N26.56°


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¿Cómo queda la expresión del vector fuerza resultante en su forma polar?

Concluyendo:

Solo pueden sumarse las fuerzas que compartan el mismo eje.

Los ejes que se manejan son: eje “X” y eje “Y”.

Las fuerzas que no pertenecen a los ejes “X” o “Y”, se deben descomponer en sus fuerzas

Fx y Fy.

Una vez que todas las fuerzas están en los ejes del plano (“X” e “Y”), se debe realizar la

sumatoria algebraica de fuerzas (∑Fx y ∑Fy).

Las fuerzas en el eje “X” que vallan hacia la derecha se consideran con signo POSITIVO ylas que se dirigen a la izquierda se consideran con signo NEGATIVO.

Las fuerzas en el eje “Y” que vallan hacia arriba se consideran con signo POSITIVO y las

que se dirigen hacia abajo se consideran con signo NEGATIVO.

Los vectores se pueden representar en dos formas: forma polar y forma rectangular.

Las formulas para descomponer una fuerza en Fx y Fy, son las formulas trigonométricas(senos y cosenos).

La fórmula para determinar la FR a partir de las ∑Fx y ∑Fy es el Teorema de Pitágoras.

Con la función tangente se puede obtener el ángulo de la FR.


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Saber hacer

Calcular resultantes de sistemas de fuerzas, y las expresará en forma rectangular y polar.

EJERCICIOS RESUELTOS.

Dos fuerzas son aplicadas al ojillo, como se muestra en la figura. Determinar lafuerza resultante en su forma rectangular y polar.

Descomponiendo las fuerzas en Fx y Fy, tenemos:

NOTA: Para no cometer errores cuando se determina el valor de las fuerzas que sedescomponen, se recomienda tomar el ángulo respecto al eje “X” positivo y girando encontra de las manecilla del reloj.

4.5 kN

6 kN

25°

50°

Diagrama de cuerpo libre

4.5 kN

25° 4.078 kN

1.9 kN

6 kN

50° 3.86 kN

4.6 kN


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Una vez descompuesto los vectores fuerza, se tienen fuerzas compartiendo los mismosejes. Ahora se realiza la sumatoria de fuerzas en “X” (∑Fx) y la sumatoria de fuerzas en

“Y” (∑Fy).

Una vez obtenidos las sumatorias de la fuerzas lo colocamos un el plano cartesiano.

Nótese que en la ∑Fy se obtuvo un signo negativo, sin embargo cuando se puso en el

plano cartesiano se emitió dicho signo. El motivo es que al poner la flecha con direcciónhacia abajo, se deduce que el signo es negativo por lo que no hace falta escribir el signonegativo.

Ahora, para obtener la Fuerza resultante (FR), se utiliza el Teorema de Pitágoras.

Por último, se establece la forma polar y rectangular de la fuerza resultante.

4.078 kN

1.9 kN3.86 kN

4.6 kN

2.7 kN7.938 kN

18.8°

8.4 kN


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Dos fuerzas, P y Q, son aplicadas en el punto A. Se conoce que P = 15 lb y Q = 25lb, determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante FR.

Descomponiendo P y Q en sus componentes Px, Py, Qx y Qy, tenemos:

15 lb

25 lb

15°30°

D.C.L

Qy = 21.65 lb

Px = 3.88 lb

Py = 14.49 lb

Qx = 12.5 lb


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Realizando la sumatoria de fuerzas en los ejes “X” y en “Y”, se tiene:

Encontrando la fuerza resultante FR, tenemos:

Representando la FR en forma polar y rectangular, se tiene:

∑Fy = 36.14 lb

∑Fx = 8.62 lb

FR = 37.15 lb

Ø = 76.58°


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Dos fuerzas, P y Q, se aplican en el punto A del soporte. Se conoce que la fuerzaP = 45 lb y la fuerza Q = 15 lb. Determinar la magnitud y dirección de la fuerzaresultante FR. Expresar la FR en su forma polar y rectangular.

Determinar la fuerza resultante de los siguientes sistemas de fuerzas, expresadaen su forma polar y rectangular.

10 kN17 kN

22 kN

40 °50°

55 lb

55 lb

55 lb

45 °

127 N

127 N

127 N

30°

60°


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TEMA 2.4 Pares de fuerzas

Saber

Explicar el momento resultante de la aplicación de un par de fuerzas.

Hasta ahora hemos utilizado los vectores en sistemas que comparten el mismo punto deinicio (el origen). A continuación analizaremos vectores que no comparten el origen.

Consideremos el siguiente sistema de vectores fuerza.

¿En qué eje se encuentran los vectores fuerza?, para este sistema ¿se sumanalgebraicamente o vectorialmente?, cuando las fuerzas mostradas se aplican ¿Quéprovocan en la barra horizontal?

Las fuerzas, P y F, están compartiendo el mismo eje (eje de las “Y”), por lo tanto, las

fuerzas se suman algebraicamente.

Cuando las dos fuerzas existen de la forma mostrada, provocan un movimiento (giro), en

este caso a favor del giro de las manecillas del reloj. Entre más grande sea la distancia “d”entre las fuerza, más grande va a ser la intensidad del giro. ¿Qué sucederá cuando ladistancia “d” se acorta hasta ser de cero (0)? No existirá giro.

Al producto de la fuerza por la distancia, que trae como consecuencia un giro, se leconoce como momento de fuerza.

M = Momento de fuerza (N.m; lb.plg)

F = Fuerza (N; lb)

d = Distancia entre las fuerzas (m; plg)

Nota: la distancia que se utiliza en la formula de momento, es la distancia perpendicularentre las fuerzas. Las fuerzas deben ser paralelas, de lo contrario habrá que buscar lacomponente paralela a la fuerza a tratar.

P

F

d


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Ahora si es posible observar de mejor manera que la distancia Dx se encuentra de formaperpendicular con la fuerza de 100 lb. Por lo tanto, el momento de fuerza es:

Del mismo ejemp lo, determinar la fuerza horizon tal apl icada en A qu e origina el

mismo m omento c on respecto a 0.

Observando la figura, se determinar que la distancia que es perpendicular a la fuerza A esla distancia Dy = 20.785 in (que ya habíamos calculado anteriormente). Por lo tanto,podemos encontrar la fuerza de la siguiente manera:

¿Qué quiere decir este resultado? Se entiende que si aplicamos una fuerza de 57.73 lb almismo objeto, pero de forma horizontal, se generara el mismo momento (1200 lb.in) quesi le aplicamos una fuerza de 100 lb, pero de forma vertical.

60°

24 in

0

A


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Siguiend o c on el m ismo ejercicio, determin ar la fuerza mínim a apl icada en A q ue

or ig ina el mismo momento con respecto a 0.

Obsérvese que de las 3 distancia que forman el triangulo de la palanca mostrada en lafigura, la más larga es la de 24 in (la hipotenusa). Ahora bien, para poder utilizar la menorfuerza posible para general el mismo momento (1200 lb.in), se debe tomar la mayordistancia perpendicular que exista. Sabiendo que la distancia de 24 in se encuentra a 60°respecto a la horizontal, la fuerza debe encontrarse a -30° de A para que se encuentreperpendicularmente (a 90°).

Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una palanca de 3 ft, como se

muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a 0.

Al descomponer la fuerza de 30 lb, tenemos:

60°

24 in

0

A

30°

50°

3 ft

0

A 30 lb

20°


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Observemos que la fuerza que nombráramos P, es perpendicular a la distancia de 3 ft.También obsérvese que la fuerza que nombramos Q es paralela al eje de la palanca, porlo que no produce algún momento de fuerza. Calculando el momento, tenemos:

Una fuerza de 800 N actúa sobre la ménsula, como se muestra en a figura.Determine el momento de la fuerza con respecto a B.

Este ejercicio es muy interesante, obsérvese que al descomponer la fuerza de 800 N, enFx y Fy, ambas fuerzas descompuestas generan momentos de fuerza respecto al puntoB. Observe que Fx es perpendicular a la distancia de 160 mm y la fuerza Fy esperpendicular a la distancia de 200 mm. Descomponiendo la fuerza, tenemos:

50°

3 ft

0

A 30 lb

Q

P

A

B

60°

800 N

160 mm

200 mm


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Por lo tanto, debemos calcular los dos momentos que se generan por la Fx y la fuerza Fy,y después se suman ambos momentos de fuerza.

Sumando ambos momentos, M1 y M2, tenemos:

Otra forma de resolver este tipo de problemas para los momentos de fuerzas es utilizandodeterminantes.

Como podemos observar en las determinantes se debe tener cuidado de los sentidos dela fuerza y de las distancias, respecto al punto de giro. Se coloco -0.2 porque la distanciadx va hacia lado izquierdo del punto B.

A

B

800 N

160 mm

200 mm

Fx

Fy


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Una fuerza P de 13.2 N es aplicado en el freno de una bicicleta. Determinar elmomento de P respecto al punto A, con un ángulo α de 30°.

Determinar el momento de la fuerza de 300 lb con respecto a un eje que pasa por A, como se muestra en la figura.

30°300 lb

34

L=10’

A


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TEMA 2.5 Leyes de Newton

Saber

Enunciar las leyes de Newton.

Uno de los personajes importantes para la física es Isaac Newton, el cual formulo tresleyes fundamentales en la que se basa la ciencia de la mecánica.

PRIMERA LEY DE NEWTON

“Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en

reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con velocidad constante en línea

recta (si originalmente estaba en movimiento)”

Con la primera ley de Newton se pueden establecer las ecuaciones de equilibrio.Imaginemos un objeto al cual se le aplican “n” fuerzas, si la sumatoria de las fuerzas en

“X” (∑Fx) es igual a cero, entonces la partícula no se desplazará de forma horizontal; si lasumatoria de fuerzas en “Y” (∑Fy) es igual a cero, la partícula no se moverá de forma

vertical; y si la sumatoria de los momentos de fuerza (∑Mo) son igual a cero, la partícula

no girará; por lo tanto, se dice que la partícula permanece en reposo.


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SEGUNDA LEY DE NEWTON

“Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una

aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza

resultante”

Su una partícula en reposo se le aplica una fuerza de forma horizontal y se mueve en lamisma dirección de la fuerza, la partícula experimentará una aceleración constante con elmismo sentido de la fuerza de acción. La aceleración que surja en la partícula esdirectamente proporcional a la fuerza que la produce. Pensemos, si la partícula 1 tiene eldoble de masa que la partícula 2, ¿cuál de ellas se acelerará con mayor magnitud,cuando se le aplica la misma fuerza? Claro que la partícula que tenga menos masa seacelerara más. Esto quiere decir que la aceleración es inversamente proporcional a lamasa de la partícula.

TERCERA LEY DE NEWTON

“Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones

mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas”.

Saber hacer

Relacionar la aplicación de las leyes de Newton con situaciones o contextos industriales


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TEMA 2.6 Sistemas en equilibrioSaber

Definir las condiciones de equilibrio de un cuerpo o sistema en un plano.

Una de las aplicaciones importantes de los vectores es encontrar la fuerza que tendrá quesoportar un miembro cuando este soportando una carga.

Los sistemas en equilibrio son un conjunto de miembros que ejercen fuerza, pero laestructura permanece en equilibrio (reposo). Con ayuda de la primera ley de Newton(ecuaciones de equilibrio) y la suma (algebraica y vectorial) de los vectores, podremosresolver ejercicio de sistemas en equilibrio.

Antes de continuar con los ejercicios, explicare las formas alternas de poder descomponerun vector (componentes “X” y “Y”).

Vector Componente Fx Componente Fy

100 N

25 °

Fx = 100 Cos (25)

Fx=90.63 N

Fy = 100 Sen (25)

Fy=42.26 N

100 N

2

5

Primero se obtiene la hipotenusa

del triangulo equivalente.

5.39


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Saber hacer

Calcular las fuerzas de reacción que mantienen en equilibrio estático a un sistema.


Determinar la fuerza en los miembros AC y BC que deben ejercer para que elsistema se mantenga en equilibrio (reposo) cuando se le aplica la fuerza de1000N. Observe la figura siguiente.

El primer paso es establecer el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la estructura. Peroantes, debemos comprender como se comparta el sistema para poder dar la dirección alos vectores fuerza.

Cuando la fuerza de 1000 N se aplica, el miembro AC es tensionado (jalado) hacia laderecha). Por lo tanto, las fibras internas de miembro AC deben oponerse con la mismamagnitud pero son sentido contrario (tercera ley de Newton), en otras palabras el vector

AC debe ser con sentido hacia la izquierda.

Ahora bien, el miembro BC es comprimido cuando se aplica la fuerza de 1000 N, por loque sus fibras internas deben oponerse a la compresión. Por lo tanto, el vector BC seestablece con dirección hacia el punto C. El DCL queda de la siguiente forma:


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El siguiente paso es colocar todas las fuerzas en los ejes “X” y “Y”, para que puedan sersumadas algebraicamente. Descomponiendo las fuerzas tenemos:

Una vez descompuestas las fuerzas, se establecen las ecuaciones de equilibrio (primeraley de Newton):

Como todas las fuerzas del sistema parten del mismo punto de origen, se omite lasumatoria de momento (distancia es igual a cero).

¿Con cuál ecuación debemos comenzar?

Observemos cuantas fuerzas en “X” tenemos, tres, de las tres que tenemos ¿Cuántas noconocemos?, dos, por lo tanto aun no puedo utilizar la ∑Fx.

¿Cuántas fuerza hay en “Y”?, dos, de esas dos cuantas no conocemos, una, por lo tantopodemos buscar la otra. Utilizamos primero la ∑y:


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Una vez encontrado el valor de FB solo tenemos una incógnita en el eje “X” por lo queahora utilizamos la ∑Fx.

Determinar de fuerza de reacción de los miembros AC y BC para mantener enequilibrio (reposo) la estructura mostrada.

Estableciendo el DCL, teniendo cuidado con el sentido de los vectores de los miembros AC y BC.

Si somos observadores, cuando las fuerzas de 400 N y 900 N se aplican al sistema, labarra AC es tensionada hacia la derecha (hacia C). Por lo tanto, la barra AC debe ejerceruna fuerza de reacción que se oponga a dicho movimiento. El sentido de la barra AC seráen dirección hacia A. La barra BC es comprimida cuando las fuerzas se aplican, por loque la barra BC debe oponerse a dicha fuerza de compresión. La dirección de la fuerzade la barra BC es hacia el punto C.


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Descomponiendo las fuerzas para dejarlas n los ejes “X” y “Y”, tenemos:

Observar que tanto en las fuerzas en “X” y en “Y” se tienen dos incógnitas, entonces

¿Cómo resolver este ejercicio? Con apoyo de las ecuaciones simultaneas.

Utilizando la ∑Fx, tenemos:

400 lb

900 lb

45° 4

3

BA

C

400 lb

900 lb

0.707FAC lb

0.707FAC lb 0.6FBC lb

0.8FBC lb


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Utilizando la ∑Fy, tenemos:

Utilizando el método de suma y resta para la solución de las ecuaciones simultaneas,tenemos:

Multiplicando por -1 la ecuación 2 para poder eliminar las F AC, tenemos:

Realizando la suma y resta tenemos:

Sustituyendo FBC en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos:

Observar que F AC se obtiene con un signo negativo (-), lo que significa que el sentido del

vector fuerza F AC se tomo en sentido contrario. No hay que preocuparnos o pensar quetodo el procedimiento está mal, solo basta quitar el signo (-) y colocar el vector fuerza180° de cómo originalmente se estableció.


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¿Qué significan los resultados obtenidos? Significa que el miembro AC debe ser capaz desoportar una fuerza de 484.94 lb y el miembro BC 928.57 lb, de lo contrario el sistema noestará en equilibrio (reposo).

EJERCICIOS PROPUESTOS.

Determinar las fuerzas de los miembros AC y BC para que los sistemas mostradosse mantengan en equilibrio (reposo).


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TEMA 2.7 CentroidesSaber

Definir los conceptos de centroide y centro de gravedad.

Centro de masa: Es el punto donde puede considerarse que está concentrada toda la

masa de un cuerpo para estudiar determinados aspectos de su movimiento. El centro demasa de una esfera de densidad uniforme está situado en el centro de la esfera. El centrode masa de una varilla cilíndrica de densidad uniforme está situado a la mitad de su eje.En algunos objetos, el centro de masa puede estar fuera del objeto.

Para tratar de comprender y calcular el movimiento de un objeto, suele resultar mássencillo fijar la atención en el centro de masa. Por ejemplo, si se arroja una varilla al aire,ésta se mueve de forma compleja. La varilla se mueve por el aire y al mismo tiempotiende a girar. Si se siguiera el movimiento de un punto situado en el extremo de la varilla,su trayectoria sería muy complicada. Pero si se sigue el movimiento del centro de masade la varilla, se comprueba que su trayectoria es una parábola que puede describirse

matemáticamente con facilidad. El complicado movimiento del extremo de la varilla puededescribirse como una combinación de su rotación en torno al centro de masa y delmovimiento parabólico de éste. El centro de masa también puede ser un concepto útilcuando se estudia el movimiento de sistemas complicados que están formados pormuchos objetos, por ejemplo, el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Centro de gravedad: Punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo, y que essiempre el mismo, sea cual sea la posición del cuerpo. Para determinar el centro degravedad hay que tener en cuenta que toda partícula de un cuerpo situada cerca de lasuperficie terrestre está sometida a la acción de una fuerza, dirigida verticalmente hacia elcentro de la Tierra, llamada fuerza gravitatoria.

Cuando se trata de cuerpos de dimensiones muy pequeñas frente a la Tierra, se puedeadmitir que las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las distintas partículas del cuerposon paralelas y de módulo constante. Por tanto, se puede calcular la posición del centrode gravedad hallando la recta de acción de la resultante de esas fuerzas. Si el cuerpo eshomogéneo, el centro de gravedad coincide con su centro geométrico.

Si un cuerpo es tan pequeño que la aceleración de la gravedad es la misma para todaslas partículas, entonces el centro de masa y el de gravedad coinciden

El centro ide : es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización

puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar elcentro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar elpunto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figurasgeométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar elpunto en el que se concentran las fuerzas de un puente


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LISTA DE COTEJO

Instrucciones: En base al resultado de aprendizaje propuesto para esta unidad, resuelva 3

ejercicios propuestos para cada tema de esta unidad y entregue el reporte a su profesor.

El reporte se evaluará en base a los siguientes criterios

No. INDICADORES CUMPLE NO CUMPLE

1 El reporte muestra el planteamiento de

cada uno de los problemas

2 El reporte muestra por cada ejercicio los

datos que se dan en el problema y los

datos que se solicitan

3 El reporte muestra por cada ejercicio un

diagrama de cuerpo libre o diagrama de

situación real.

4 El procedimiento para la solución de los

problemas es correcto

5 La solución que se da para cada ejercicio

es correcto

6 La solución de cada problema se presenta

en una hoja en blanco, sin rayones

marquesinas o figuras de fondo, etc.


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GUIA DE OBSERVACIÓN

Instrucciones: El profesor formará equipos de trabajo y propondrá ejercicios para resolver

en clase durante las horas de sesión planeadas frente a grupo.

El desempeño del alumno durante la solución de los problemas será evaluado como el

saber ser y saber convivir por lo que a continuación se muestra la Guía de Observación.

NO. CRITERIOS CUMPLIÓ OBSERVACIONES

SI NO

1 El alumno se integra en círculos con

los demás integrantes de su equipo

2 El alumno discute con sus

compañeros para presentar posibles

soluciones al problema

3 El alumno muestra interés y apoya en

la resolución del problema.

4 El grupo de alumnos realizan en

conjunto la conclusión final al resolver

cada ejercicio.

5 Los grupos van más allá de sus

propias conclusiones y buscan

comparar resultados con los demás

equipos y discutir posibles alternativas

de solución.

6 El equipo termina cada ejercicio en el

tiempo que fue estipulado por el

profesor.


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UNIDAD III. CINEMÁTICA Y DINÁMICA

Objetivo de la Unidad: El alumno examinará el comportamiento de los cuerpos enmovimiento para determinar las condiciones de operación de un equipo o dispositivo,mediante el estudio de las leyes de movimiento rectilíneo, caída libre, tiro parabólico ymovimiento angular.

Resultado del Aprendizaje: Realizará reporte de práctica donde comprueba losconceptos de: Movimiento rectilíneo, caída libre, tiro parabólico y movimiento circular.

TEMA 3.1 MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN CUERPO

SABER

Decimos que un cuerpo se encuentra en movimiento relativo respecto a otro cuando suposición cambia conforme transcurre el tiempo. Por el contrario, si dicha posición nocambia conforme transcurre el tiempo se dice que el cuerpo está en reposo relativo. Porejemplo desde nuestro asiento, a la Luna la observamos en movimiento. Sin embargo,un astronauta situado en la Luna observaría que está en reposo. Ambos observadoresestán en lo correcto, movimiento y reposo de un cuerpo depende del lugar deobservación.

Cuando la trayectoria que describe un cuerpo en movimiento es una línea recta, es decir,que la dirección no cambia, se dice que el movimiento es rec ti líneo , por el contrario si la

dirección cambiará en la misma proporción en cada instante del movimiento, sedescribirá una curva que no tendrá fin, mientras no se detenga el objeto, ya que éstellegará al punto de partida y continuará recorriendo por los puntos que ya ocupo antes. Aeste movimiento se le llama movimiento circular el cual se verá más adelante.

Si un cuerpo con movimiento rectilíneo recorre distancias iguales por cada unidad detiempo que transcurre se dice que el movimiento es uniforme, por lo tanto, el nombrecorrecto es mo vim iento r ecti líneo uni forme .

Para predecir las condiciones del movimiento rectilíneo uniforme es utilizada la razón:

Donde:

v = Velocidad expresada en m/s para el SI

Δx = Diferencial de posición expresada en unidades de longitud m para el SI

Δt = Diferencial de tiempo expresado en segundos.


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En el campo real difícilmente se tienen velocidades exactas y uniformes por lo que lamayoría de las veces esta fórmula se refiere más bien a velocidades promedio y enalgunos casos, en las industrias, se hace referencia en lugar de distancias recorridas, aproductos terminados en la unidad de tiempo. A esto se le conoce como ritmo de trabajo ocantidades producidas en la unidad de tiempo, por lo que a la rapidez de producción

también es llama velocidad, y a la velocidad algunos autores la describen como rapidez.

El término empleado en la fórmula para determinar la diferencia de posición involucra unadistancia inicial y una distancia final o simplemente una distancia recorrida, pero parafines de estudio se toma como una diferencial, lo mismo ocurre con el tiempo, por lo quela velocidad en términos matemáticos es expresada como “la derivada de la posición conrespecto al tiempo”.

De la fórmula de velocidad es posible calcular, la distancia recorrida por un móvil cuandoes conocida su velocidad y el tiempo. También es posible conocer el tiempo necesariopara recorrer una distancia determinada si es conocida la velocidad.

SABER HACER

EJERCICOS RESUELTOS

Tomas Bunker el primer campeón olímpico en la carrera de los 100 m realizo su recorridoen un tiempo de 12 s ¿Cuál es la velocidad que desarrollo? ¿Cuántos km recorrería simantuviera esa velocidad por 30 min?

EJERCICOS PROPUESTOSEn el baseball la distancia que hay desde el montículo hasta el home es de 63.63 ftaproximadamente. Si los aparatos que miden la velocidad del lanzador indican que se hanalcanzado 90 millas/hr. Calcule el tiempo que tarda la pelota en llegar desde que la sueltael lanzador hasta que llega al receptor. Para mayor comodidad exprese el tiempo ensegundos.


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TEMA 3.2 CAIDA LIBRE

SABER

Cuando un objeto se deja libre desde cualquier altura se dice que éste cae. En realidad

se ha presentado un movimiento rectilíneo debido a la trayectoria que describe el objetoal caer. El cuerpo cae por la acción de la fuerza de la gravedad, que es quien lo atraehacia el centro de la tierra.

La velocidad del móvil no será constante, gracias a la acción de la fuerza de gravedad,de tal manera que irá en aumento en una razón proporcional.

Este cambio de la velocidad es llamado aceleración, pero en este caso como la fuerza degravedad tiene un valor constante, la aceleración que se imprime en los cuerpos que sonatraídos hacia el centro de la tierra, también es constante y para fines prácticos y despuésde muchos experimentos de determinó que tiene un valor aproximado de 9. 81 m/s2.

Es difícil describir el concepto de aceleración, por lo que nos limitaremos a mencionarlacomo la diferencial de velocidad con respecto a la diferencial de tiempo, pero en vista deque la velocidad es una diferencial de posición con respecto a una diferencial de tiempo,entonces la aceleración será una segunda diferencial de la posición con respecto a otradiferencial de tiempo. De aquí que la aceleración incluya en sus unidades el tiempo alcuadrado.

La fórmula matemática que describe la aceleración queda determinada por:

…………………………….ec. 1

De lo anterior de obtiene:

………………………………..……..…ec. 2

Por lo tanto:

………………………………..…..…….….ec. 3

En el caso de la caída libre como la aceleración de la gravedad es constante se utiliza laletra g para representar esta aceleración. Por lo tanto en caída libre la formula quedacomo sigue:


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Si se expresa la aceleración en términos del cambio de velocidad y la diferencial deltiempo se tiene

………………………………..……………….ec. 4

Del tema de velocidad lineal se tiene:

……………………………………………………..ec. 5

Si despejamos dt

………………………………..…………………….ec. 6

Sustituyendo la ec. 6 en la ec. 4 se obtiene

……………………………………………..………ec. 7

Resolviendo la ecuación cuatro por medio de integración se obtiene

……………………..……………ec. 8

Para caída libre la ecuación queda como sigue:

Considerando que vf se puede expresar como dx/dt

Resolviendo así la ec. 2 por medio de integración se obtiene

……………………………….ec. 9

Para caída libre la ecuación queda como sigue:

Con las ecuaciones 1, 8 y 9 se resuelven muchos problemas que involucran la distanciarecorrida mientras se mantiene una aceleración constante, conociendo las velocidadesiniciales y finales; también es posible calcular la velocidad final si es conocida laaceleración y el tiempo que se tardó en realizar ese cambio de velocidad, conociendo la


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velocidad con que inició el móvil. De igual manera es posible calcular la aceleración si seconocen la velocidad inicial y final y el tiempo empleado para ese cambio.

SABER HACER


Si un avión aterriza en la pista a 355 km/hr y tarda 27 s en detenerse por completo.Suponiendo que se desacelera de manera constante ¿Cuál es la desaceleración quesufrió?

Datos

El signo negativo indica que hubo una desaceleración

Una persona viaja en bicicleta a 40 km/hr y de repente observa un tronco de árbol en elcamino que lo obliga a detenerse si aplica los frenos con desaceleración constante y si ladistancia que existe desde donde comienza a aplicar los frenos hasta el tronco es de 50m ¿Cuál es la desaceleración que debe aplicar con sus frenos, para no chocar en eltronco?

Despejando y recordando que la velocidad final es igual a cero.


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El signo negativo indica que hubo

desaceleración.


A una vagoneta se le prueban la aceleración y los frenos. En la primera prueba deaceleración en la calle, transcurrió un tiempo de 8.2 s para lograr un incremento develocidad de 10 km/ hr hasta 100 km/hr. En la prueba de frenos la vagoneta recorrió unadistancia de 44 m durante el frenado desde 100 km/ hr hasta cero. Si se suponen valoresconstantes para la aceleración y la desaceleración, determine a) la aceleración durante la

primera prueba en la calle b) la desaceleración durante la prueba de frenos.

Al lado de autopistas montañosas se construyen rampas de seguridad para permitir quevehículos con frenos defectuosos frenen de manera segura. Un tractocamión entra a unarampa de 750 ft a una alta velocidad v0 y recorre 540 ft en 6 s con desaceleraciónconstante antes de que su rapidez se reduzca a v0/2.

Suponiendo la mismadesaceleración constante determine a) el tiempo adicional requerido para que el tractocamión se detenga, b) la distancia adicional recorrida por el tracto camión.

Un grupo de estudiantes lanza un cohete a escala en dirección vertical. Con base en losdatos registrados, determinan que la altitud del cohete fue de 27.5 m en la parte final delvuelo, cuando aun tenia impulso, y que aterriza 16 s después. Si el paracaídas dedescenso no pudo abrir y el cohete descendió en caída libre hasta el suelo después dealcanzar la altura máxima, y suponiendo que g = 9.81 m/s2, determine a) la velocidad v1 del cohete al final del vuelo cuando aun tenía impulso, b) la altura máxima alcanzada

En una exhibición de fuegos artificiales se lanzan dos cohetes. El cohete A se lanza con

velocidad inicial v0 y el cohete B, 4s después con la misma velocidad inicial. Los doscohetes están programados para explotar de manera simultánea a una altura de 240 ft.Cuando A desciende y B asciende. Considerando una aceleración constante g = 32.2ft/s2, determine a) la velocidad inicial v0, b) la velocidad de B en relación con A al momentode la explosión.


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TEMA 3.3 TIRO PARABÓLICO

SABER

Cuando un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial; si el

sistema de deferencia desde el cual se lanza está en reposo, y su movimiento solo seafecta con la aceleración de la gravedad se dice que hay t i ro vert ical .

Cuando el objeto se lanza formando un ángulo con respecto a la horizontal, la velocidadinicial se puede descompone para fines de estudio, en una componente horizontal y unacomponente vertical, de manera que este movimiento es llamado t i ro paraból ico . Envista de que la gravedad actúa en dirección hacia el centro de la tierra, solo lacomponente vertical se afectará por la gravedad y la componente horizontal no. Por loanterior la componente horizontal se estudia con la fórmula del movim iento recti líneouni forme y la componente vertical se estudiará con las formulas del movimientorect i líneo un iformemente acelerado.

Se recomienda que las componentes se representen en diagrama de cuerpo libretomando como referencia el plano cartesiano de manera que x represente la horizontal yy la vertical. Para lo cual las formulas quedan representadas de la siguiente manera:

Para la componente de la velocidad inicial en x.

Hay que recordar que si esta componente se comporta bajo las leyes del movimientorectilíneo uniformo durante todo el movimiento entonces

Para la componente vertical se tienen que utilizar las formulas del movimiento rectilíneouniformemente acelerado, por lo que las formulas quedan expresadas de la siguientemanera:

Donde yf = Posición inicial de la partícula

yi = Posición final de la partícula

vf = Velocidad final de la partícula

vi = Velocidad inicial de la partícula


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SABER HACER


Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 800 ft/s a un blanco ubicado a 200 ftpor arriba del cañón A y a una distancia horizontal de 12,000 ft. Si se ignora la resistencia

del aire, determine el valor del ángulo de disparo.

Datos:

v0 = 800 ft/s Para la componente horizontal

(xf – xi) = x = 12,000 ft

x = es la distancia total recorrida en la horizontal.

yi = 0 ft Al utilizar la ec. del movimiento rectilíneo

yf = 2000 ft

a = g = - 32.2 ft/s

Como x = 12,000

Despejando t …………….. (1)

Para la componente vertical

Al sustituir en la ec. del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

……. (2)

Si el proyectil da en el blanco cuando x = 12,000 y y = 2,000 para un tiempo t = 15/cos α

Entonces sustituyendo estos valores en la ecuación 2 se tiene

Como y además se simplifica la ecuación a:


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Resolviendo la ecuación cuadrática para tan α se tiene que

Lo anterior indica que el proyectil se puede disparar desde cualquiera de los dos ángulosy se asegura que dará en el blanco


Un saltador de esquí inicio su salto con una velocidad de despegue de 25 m/s y aterrizasobre una pendiente recta de 30° de inclinación. Determine a) el tiempo transcurrido entreel despegue y el aterrizaje, b) la longitud d del salto, c) la máxima distancia vertical que

hay entre el esquiador y la pendiente sobre la que aterriza.

Un jugador de golf dirige su tiro para que pase por encima de un árbol a una distancia hen el punto máximo de la trayectoria y evitar que la pelota caiga en el estanque del ladoopuesto. Si la magnitud de v0 es de 30 m/s, determine el rango de valores de h que debeevitarse.


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Un helicóptero vuela con una velocidad horizontal constante de 90 mi/hr y estádirectamente por encima del punto A cuando una pieza suelta comienza a caer. La piezatoca tierra 6.5 s después, en el punto B, sobre una superficie inclinada. Determine a) ladistancia d entre los puntos A y B, b) la altura inicial h.

Una bomba esta cerca del borde de la plataforma horizontal que muestra la figura. Laboquilla colocada en A descarga agua con una velocidad inicial de 25 ft/ s formando unángulo de 55° con la vertical. Determine el rango de valores de la altura h para los cualesel agua entra en la abertura BC


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TEMA 3.4 MOVIMIENTO CIRCULAR

SABER

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

Cuando una partícula gira alrededor de un eje fijo la trayectoria que el cuerpo describeserá un círculo, lo cual indica que la partícula en algún momento retorna al punto deorigen y continúa su recorrido por los puntos que ocupo en unos instantes anteriores.

Para definir el movimiento es importante recordar que cada vez que la partícula regresa asu posición de inicio se dice que se ha completado una vuelta completa. Por lo tanto:

La velocidad angular se define como los ángulos que recorre la partícula en un tiempodeterminado

Donde:

ω = velocidad angular ( rad/s)

dƟ = diferencial del ángulo (Angulo recorrido por la partícula) (rad)

dt = diferencial de tiempo (tiempo empleado para recorrer el ángulo) se expresa ensegundos (s)

El segundo movimiento que se puede predecir de una partícula con movimientocircular es la velocidad lineal, la cual depende del radio de giro de la partícula y de lavelocidad angular, quedando la formula de la siguiente manera.

Donde v = Velocidad lineal en m/s

ω = Velocidad angular de la partícula en Rad/s

r = radio del eje fijo en m

Pero la velocidad angular se puede expresar como


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De lo anterior ω es la velocidad angular y k representa el vector unit ario sobre el cual sedirige esta velocidad.

Al diferencial la velocidad angular se obtiene la aceleración angular

Si la velocidad angular no es constante entonces se dice que existe una aceleraciónangular que se obtiene de igual manera como se obtiene la aceleración en el movimientorectilíneo.

Donde se denota mediante α y se denomina aceleración ang ular del cuerpo, de

manera que al sustituir en la formula anterior y expresar la velocidad lineal en términos dela aceleración angular se tiene:

Sustituyendo y en la ecuación anterior se obtiene

Otra manera sencilla de expresar la aceleración angular es

Al revolver las dos últimas formulas anteriores y la formula de velocidad angular, mientras

α sea constante se tiene


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SABER HACER


Un volante ejecuta 1800 revoluciones mientras gira hacia el reposo desde una velocidadde 6000 rpm. Suponiendo un movimiento uniformemente acelerado, determine el tiempo

requerido para que el volante a) llegue al reposo b) ejecute las primeras 900 rpm.

Datos

Para el inciso b)

Se tiene que Despejando α para resolver el inciso a)

Sustituyendo esta expresión en la ecuación

y despejando t se obtiene

Sustituyendo los valores

Para el inciso b) se deberá calcular primero la aceleración angular de la formula que yatenemos despejada

Sustituyendo los valores con t =36 s se obtiene

De la formula se sustituyen valores recordando que Ɵ es la

distancia angular recorrida hasta las 900 rev.


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Sustituyendo en se obtiene


Cuando se pone en operación, un motor alcanza su velocidad nominal de 2400 rpm en 4s y, al desactivarse, tarda 40 s para llegar al reposo. Si el movimiento es uniformementeacelerado, determine el número de revoluciones que ejecuta el motor a) al alcanzar lavelocidad nominal b) al detenerse.

La banda mostrada se mueve sin deslizamiento sobre dos poleas. En el instante indicado,las poleas giran en el sentido de las manecillas del reloj y la velocidad del punto B sobrela banda es de 12 ft/s, aumentando a razón de 96 ft/s. Determine, para ese instante, a) lavelocidad angular y la aceleración angular de cada polea, b) la aceleración del punto Psobre la polea C.


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Examen

1.- Cuando un objeto en movimiento genera una trayectoria en línea recta se dice que el

movimiento es:

a) Curvilíneo b) Circular

c) Rectilíneo d) Parabólico

2.- La velocidad lineal, es la relación entre la distancia recorrida por un móvil y el tiempo

que ocupa para recorrer dicha distancia. ¿Por qué entonces se dice que recorre km por

hora o metros por segundo si en realidad la formula indica km/hr y m/s?

3.- La aceleración se expresa en m/s2 . ¿Existen segundos cuadrados?

a) Si b) No

Explique:________________________________________________________________

4.- La aceleración ¿Puede ser positiva y negativa?

a) Si b) No

Explique:________________________________________________________________

5.- Si un individuo lanza una pelota desde un Automóvil. Si despreciáramos el rozamiento

con el aire. ¿La pelota al descender cae en las manos del individuo que la lanzó, o cae en

la carretera algunos metros más atrás?

Explique su respuesta:______________________________________________________

6.- Si un motor gira a 1200 rpm ¿Este número está expresando la velocidad angular?

a) Si b) No

Explique:________________________________________________________________

7.- Una revolución de un móvil en movimiento circular uniforme equivale en radianes a:


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a) 2¶ Rad b) 6.28 Rad

c) 3.1416 Rad d) 57.3 Rad

8.- ¿Cuántos radiane

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