manual de matemática 1 cibertec

Matemática I

Escuela de Tecnología

2

CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC

MA TEMÁ TIC A I 3

CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES

Índice

Página

Presentación 5

Red de contenidos 7

Unidad de aprendizaje 1

LOGICA

9

1.1 Tema 1 : LOGICA PROPOSICIONAL 11

1.1.1 : Lógica proposicional 11

1.1.2 : Clases de proposiciones 14

1.1.3 : Operadores lógicos 14

1.1.4 : Jerarquía de los conectivos lógicos 23

1.1.5 : Tablas de verdad 23

1.1.6 : Proposiciones equivalentes 26


MAGNITUDES PROPORCIONALES 33

2.1 Tema 2 : PROPORCIONALIDAD 35

2.1.1 : Razones proporcionales 35

2.1.2 : Regla de tres simple 37

2.2 Tema 3 : REGLA DEL TANTO POR CIENTO 42

2.2.1 : Porcentajes y propiedades 42

2.2.2 : Descuentos y aumentos sucesivos 44

2.2.3 : Precio de venta, precio de costo, precio de lista, descuento y

ganancia

46


FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA BASICA

55

3.1 Tema 4 : TEORIA DE EXPONENTES 56

3.1.1 : Potenciación 56

3.1.2 : Radicación 59

3.2 Tema 5 : Productos Notables 65

3.2.1 : Propiedades 65

3.3. Tema 6 : Factorización 73

4


3.3.1 : Factor común 73

3.3.2 : Por agrupación 73

3.3.3 : Por identidades 73

3.3.4 : Por aspa simple 75

3.3.5 : Por Ruffini 76

MA TEMÁ TIC A I 5


Presentación

Matemática I pertenece a la línea formativa y se dicta en todas las carreras de la

Escuela de Computación e Informática de la institución. Todo aquel que se dedique a

la Tecnología Informática necesita contar con ciertas herramientas que le permita

efectuar cálculos con rapidez y eficiencia. Por ello, el curso de Matemática I pretende

que el estudiante maneje los conceptos básicos y fundamentales, así como los

procesos aritméticos y algebraicos resolviendo problemas aplicativos, que les

permitirán, en ciclos superiores, un mayor dominio en la resolución de problemas.

El manual para el curso ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de

aprendizaje, las que se desarrollan durante un periodo determinado. En cada una de

ellas, se hallarán los logros que debe alcanzar el alumno al final de la unidad; el tema

tratado, el cual será ampliamente desarrollado; y los contenidos que deben

desarrollar, es decir, los subtemas. Por último, se encuentran las actividades que

deberá desarrollar en cada sesión, lo cual le permitirán reforzar lo aprendido en la

clase.

El curso es teórico – práctico. En tal sentido, en cada sesión, se ha contemplado la

teoría necesaria para la aplicación en la solución de los ejercicios propuestos, y como

modelo encontrará varios ejercicios resueltos que le servirá de guía.

La solución de ejercicios, en algunos casos, la realizará solamente el profesor quien

demostrará las definiciones, propiedades, teoremas, etcétera, que intervienen en la

solución del caso; en otros, el profesor los resolverá con los alumnos. Sin embargo,

con la práctica directa e indirecta, los alumnos estarán en condiciones de

desarrollarlos por cuenta propia. Asimismo, hallará preguntas de prácticas y/o

exámenes propuestos en ciclos pasados relacionados con la sesión que se está

desarrollando, las mismas que permitirán la autoevaluación y preparación antes de

asistir a las evaluaciones calificadas.

6


MA TEMÁ TIC A I 7


MATEMATICA I

Lógica

Fundamentos del

Algebra Básica

Magnitudes Proporcionales

Lógica

Proposicional

Proporcionalidad

Regla del Tanto

por Ciento

Teoría de

Exponentes

Productos Notables

Factorización

Red de contenidos

8


MA TEMÁ TIC A I 9


LÓGICA

LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la segunda semana, el alumno, elabora el valor de verdad y simplifica los esquemas moleculares a partir de otro haciendo uso de las tablas de verdad de los operadores lógicos y de las leyes del algebra proposicional.

TEMARIO

1.1 Tema 1 : LOGICA PROPOSICIONAL

1.1.1 : Lógica proposicional

1.1.2 : Clases de proposiciones

1.1.3 : Operadores lógicos

1.1.4 : Jerarquía de los conectivos lógicos

1.1.5 : Tablas de verdad

1.1.6 : Proposiciones equivalentes

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Discusión general acerca de lo que es enunciado y proposición.

Exposición dialogada. Trabajo de grupos.

Como actividad para la casa, se propone desarrollar los ejercicios pendientes del manual.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

1

10


MA TEMÁ TIC A I 11


1.1. LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1.1. Definición Clásica Es una disciplina formal que tiene por objeto el análisis de la condición de los razonamientos, por lo que se comienza eliminando las ambigüedades del lenguaje ordinario. Se introducen símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias y aporte claridad y economía de pensamiento.

Figura 1.- Lógica Fuente.- Tomado de elpostulante.wordpress.com

Se utilizan los siguientes conceptos:

1.1.1.1. Enunciado:

Es toda frase, oración o sentencia que usamos en nuestro lenguaje. Ejemplos:

1) La matemática es base de todas las ciencias. 2) ¿Aprobaremos el curso de Lenguaje de Programación? 3) ¡Arriba Perú! 4) El Perú es grande. 5) Te visitaré mañana. 6) X es un número par. 7) José estudia y canta. 8) 4x + 5 = 6 9) 2x + 5 < 8

12


Todas las preguntas, las admiraciones y las órdenes, son “simplemente enunciados” no sufren ninguna transformación o modificación.

1.1.1.2. Enunciado Abierto

Es aquel enunciado o ecuación con una o más variables, en el cual no se conocen los valores específicos de las variables. Estos enunciados pueden ser modificados a “proposición”(asignándole cualquier val or a la(s) variable(s). Ejemplos:

1) Algunos alumnos del Primer ciclo son más hábiles en álgebra: 2) 3x + y = 10 x = ?, y = ? 3) x + 5 > 20 x = ? 4) Ella está estudiando “No se conoce quién es ella”

1.1.1.3. Proposición.-

Es todo enunciado, al cual se le puede asignar un valor de verdadero o falso; pero nunca ambos a la vez. Ejemplos:

1) Ramón Castilla fue Presidente del Perú ( v ) 2) El Perú produce plata ( v ) 3) 4 x 2 = 8 ( v ) 4) 5 < 0 ( f ) 5) Todo hombre es mortal ( v )

1.1.1.4. Notación.-

Las proposiciones se denotan con las letras minúsculas como p, q, r, s, t, ...etc Ejemplo: 1) p: El Perú es hermoso v (p) = v 2) q: 2 + 6 8 v (q) = f

3) r: 6 +1 < 5 + 10 v (r) = v

MA TEMÁ TIC A I 13


Ejercicios Propuestos

1. Indique cuales de los siguientes enunciados son proposiciones o simplemente enunciados.

a) Todo hombre es mortal

b) ¿Cuántos años tienes?

c) ¡ Apúrate !

d) 18 es un número primo.

2) Escriba cuatro ejemplos de

enunciados abiertos.

a) …..

b) …..

c) …..

d) ……

3) ¿Cuál es la diferencia entre simplemente enunciado y enunciado abierto?

4) ¿Cuál es la diferencia entre una

proposición y un enunciado abierto?

14


1.1.2.Clases proposicionales

1.1.2.1 Simples

Llamadas también atómicas o elementales. Son aquellas que tienen un solo sujeto y un solo predicado. No llevan conectivo lógico.

Ejemplos: 1) Cibertec es un Instituto líder en enseñanza. 2) Electrónica es una especialidad. 3) La pizarra es verde. 4) Los animales mueren.

1.1.2.2 Compuestas

Llamadas también moleculares o coligativas. Son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples, las cuales son enlazadas por algún conectivo lógico.

Ejemplos: 1) César Vallejo nació en Perú y es poeta. 2) Alberto es técnico electrónico y practica deportes. 3) Si el cielo está despejado, entonces se ve celeste. 4) El sol es grande y emite luz.

Además, existen enunciados que no son proposicionales como por ejemplo:

Exclamativos : Socorro

Interrogativo : ¿Hasta qué hora dura la clase?

Imperativo : Fuera

Admiración : ¡Oh!

1.1.3. Conectivos Lógicos

Son aquellos símbolos que usamos para enlazar dos o más proposiciones simples. Son los siguientes: : que se lee “y”

: que se lee “o”

, : que se lee “o” pero no ambas

: que se lee “si ... entonces...”

: que se lee “si y sólo si”

MA TEMÁ TIC A I 15


Ejercicios propuestos

1) Indique que tipo de proposiciones son :

a) Dos y tres son números consecutivos

b) No es cierto que 5 es un número

primo o cuatro no es un número cuadrado perfecto.

c) No es cierto que 6 es un cubo

perfecto, y que 13 sea un número par.

d) 9 es un impar y si 6 tiene más de

2 divisores, entonces es un número compuesto.

2) Con las siguientes proposiciones simples indique proposiciones compuestas. Sea p: 2 es primo ; q: 3 es impar a.- b.- c.- d.- e.-

3) Escriba tres ejemplos de proposiciones simples y tres proposiciones compuesta

4) Escribe el significado de los siguientes conectivos:

: ...................................................

: ....................................................

: ....................................................

: ....................................................

: ....................................................

: .....................................................

16


OPERADORES LÓGICOS

1.1.3.1 Negación de una proposición

Negar una proposición consiste en cambiar el valor de verdad que tenía antes. Es el conectivo lógico que se usa para negar el valor de verdad de una proposición cualquiera. Simbólicamente se le denota por: ~p

Ejemplos: 1) p: Las rosas no son rojas

~p: Las rosas son rojas 2) q: 7 es mayor que 5 o q: 7 > 5 V(q) = V

~q: 7 no es mayor que 5 ~q: 7 5 V(~q) = F

1.1.3.2 Conjunción

Definición

Es el conectivo lógico que se usa para afirmar simultáneamente la veracidad de dos oraciones componentes. Se le denota por:

Lógica clásica

P q

Ejemplo: Sean p: 4 es divisor de 20 V(p) = V q: 20 es múltiplo de 5 V(p) = V p q = p y q

= 4 es divisor de 20 y 20 es múltiplo de 5. V(p q) = V

Tabla de verdad # de combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples es:

#c = 2n, donde n = # de proposiciones simples.

Lógica Clásica

P ~p

V F

F V

MA TEMÁ TIC A I 17


Su tabla de verdad es:

Lógica Clásica

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

1.1.3.3. Disyunción Inclusiva

La llamada disyunción inclusiva o disyunción débil es un conectivo lógico que se usa para afirmar que, por lo menos una de las oraciones componentes, es verdadera. Se le denota por:

Lógica clásica

p v q

Ejemplo:

P : 8 es menor que 5 V(p) = F

q : 6 es mayor que 3 V(q) = V

p v q: 8 es mayor que 5 ó 6 es mayor que 3 V(p v q) = V


Lógica Clásica

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

1.1.3.4 Condicional Es una proposición recíproca, implicación u oración condicional. Una proposición condicional es falsa, cuando la proposición como antecedente es verdadera y la proposición como consecuente es falsa. En cualquier otro caso es verdadero. Se le denota por:

Lógica clásica

p q

Ejemplos:

1) Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Nueva York Si p = Patricia consigue visa de turista

q = Patricia viajará a Nueva York

Entonces la proposición se simboliza por:

p q

2) Si los hombres son inmortales, entonces la luna brilla. Si p = Los hombres son inmortales V(p) = F

q = La luna brilla V(q) = F

18


Luego se simboliza: V ( p q) = V

3) Explique por qué las condicionales siguientes tienen los valores veritativos indicados.

a) 2 + 3 = 8 5 < 6 (V) b) 3 – 1 = 4

2 2

9 <2 (V)

c) Si 5 es primo, entonces es un número par (F)

Nota: Una implicación puede transformarse en una disyunción, así: p q ~ p v q


Lógica Clásica

p q P q

V V V

V F F

F V V

F F V

1.1.3.5. Bicondicional Es el conectivo lógico que se lee “....si y sólo si ......”.

En general una oración bicondicional es llamada también “equivalencia material” que se usa para afirmar los casos en que p = q en valores de verdad. Se le denota por:

Lógica Clásica

p q

Ejemplo:

p: 2 > 4 V(p) = F

q: 2 + 6 > 4 + 6 V(q) = F

p q: 2< 4 si y solamente si 2 + 6 < 4 + 6 V(p q) = V

También se lee como:

“p si y solamente si q”

“p es una condición suficiente y necesaria para q”

Nota .- La diferencia que existe entre p q y p = q, está en que una bicondicional es

una proposición, pero p = q es una declaración acerca de dos proposiciones más no es una proposición.


Lógica Clásica

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

MA TEMÁ TIC A I 19


1.1.3.6 Disyunción Exclusiva

Es llamada disyunción excluyente o disyunción fuerte. Este conectivo lógico se usa para afirmar que sólo una de las oraciones componentes es verdadera. Además la disyunción excluyente es la negación de una bicondicional.

Se le denota por:

Lógica clásica

p q

Ejemplo:

p: 3 < 5 V(p) = V

q: 2*3 < 2*5 V(q) = V

p q: 3 < 5 2*3 < 2*5 V(pq) = F


p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplos:

1) Sean p, q y r proposiciones tales que p = V, q = F y r = F. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

zywpd

b

xrqpa

t~q~)

pq~qp~q~p~qpc)

t)(qp~)

)()

Solución

a)

b)

20


c)

d)

2) Sean p , q , r, s proposiciones tales que . Indica ¿Cuál de las siguientes proposiciones son falsas?

q~)

wqr~b)

)s~q~()q~p~()

qpqpc

srq

a

Solución:

a)

b)

c)

MA TEMÁ TIC A I 21



1) Si se cumple: Fsq;Fsp;Vrqp

Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

rsqp)cqpr)bsp)a

R: a) V b) V c) V

2) Si Ftpssqpqrp ~

Halle el valor de: qppuqrqp ~~

R: ( V )

3) Si la negación de la siguiente proposición es verdadera:

qprpsqs ~~

Halle el valor de verdad de: spmrqp

R: ( F ) 4) Si: FnpmΔmqpqrp

Determina el valor de verdad de: nmrprqp

R: ( V )

22


5) Si la negación de la proposición: qqprp ~~~ es

verdadera,, determine el valor de: rpqpsr ~~

R: ( F )

6) Si la proposición: Fptrqp

Determine el valor de : qtpqrtp ~

R: ( V )

7) Si la proposición Vprsqrqs ~~~

Halle el valor de : ptqxrs ~~~~

R: ( V )

MA TEMÁ TIC A I 23


1.1.4 Jerarquía de conectivos lógicos

Si en una proposición compuesta no aparecen los signos de agrupación como: paréntesis, llaves, corchetes, etc., los conectivos lógicos: “~”, “”, “” tienen igual

jerarquía, y , tienen mayor jerarquía, avanzando de izquierda a derecha.

1.1.5 Tablas de verdad

La verdad o falsedad de una proposición se denomina validez (o su valor de verdad). La validez de la negación, de la conjunción, de la disyunción, de la condicional y de la bicondicional se pueden representar en tablas.

En consecuencia, dadas dos o más proposiciones simples cuyos valores de verdad son conocidos, el valor de verdad de una proposición compuesta depende de la verdad de cada una de las proposiciones componentes y se determina mediante TABLAS DE VERDAD.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

1.1.5.1 TAUTOLOGÍA ( T ) .- Es toda proposición simple o compuesta cuyo valor

de verdad es siempre verdadero, para cualquier combinación de valores veritativas de sus componentes.

Ejemplo:

1) La proposición: [(~p v q) ~q] ~p es una tautología.

p q [(~p v q) ~q] ~p

V V F V F T = tautología = V

V F F V F

F V F V V

F F V V V

T

1.1.5.2 CONTRADICCIÓN ( C ).- Es toda proposición que tiene como valor de

verdad siempre falsa para cualquier combinación de sus valores veritativas de sus componentes.

Ejemplo

2) La proposición: [(p q) q] ~q es una contradicción.

p q [(p q) v q] ~q

V V V F F C = contradicción = F

V F F F V

F V V F F

F F F F V

C

24


1.15.3 CONTINGENCIA ( CONT ).- Cuando la tabla de una proposición tiene al

menos una V y una Falsa.

Ejemplo:

La proposición: (~p ~q) v ~q es una contingencia.

p q (~p ~q) v ~q]

V V F F F

V F F V V

F V F F F

F F V V V

Contigente


1) Por medio de Tabla, determine si los siguientes esquemas moleculares representa una Tautologìa, Contradicción o Contingencia

rpqrqpa ~~~~)

R: ( T )

pqpb )

R: ( CONT )

rqprqpc ~)

R: ( C )

rprqqpd )

R: ( T )

MA TEMÁ TIC A I 25


2) Si la siguiente proposición: .~~ Falsaesmpqp Indique si la

siguientes proposiciones representan una Tautología, Contradicción o Contingencia.

mrpa )

R: ( T )

mrpqb )

R: ( C )

nrnrmc )

R: ( T )

nsmqd ~)

R: ( C )

26


1.1.6 Proposiciones equivalentes

Dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si al ser unidas con el conectivo resulta una tautología; es decir, sus tablas de verdad son idénticas.

La equivalencia se denota por “”. Se llama también proposiciones equivalentes.

Se lee “ P es equivalente a Q” o “Q es equivalente a P”.

Ejemplo: las proposiciones (p q) y [(~q) ~p] son equivalentes.

p q (p q) [~q ~p]

V V V F V F

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Idénticas


¿La proposición rqqp es equivalente a cuál de las siguientes

proposiciones? ( Use Tablas )

a) qrpp

R: ( si es )

b) qrpqp

R: ( Si es )

MA TEMÁ TIC A I 27


GUÍA DE EJERCICIOS EJERCICIOS RESUELTOS:

1) Si la proposición ~(~r v s) [(p q) r] F

Halla el valor de:

q ~p~s ~r~~)

q ~s~)

s~p r~)

sqc

srqb

qa

Solución

28


2) Si se sabe que:

Fpq

Fsr

Vps

Determina el valor de verdad de:

rqprs~p)b

psqr~)a

Solución:

Valores veritativos:

s = V r = F q = V p = F

V

V

FF

F

FF

V

FVFF

FF

VV

VFVF

rqprpbpsa

s~)qr~)

MA TEMÁ TIC A I 29


3) Si la negación de la siguiente fórmula lógica es verdadera:

sq ~ rpsp

Hallar el valor de verdad de:

s~qp~sr~

Solución:

R: ( V )

30


4. Si se sabe que:

Fqp

Vrq

Fsr

Fts

Halla el valor de verdad de la siguiente proposición:

ntmspxrk

Solución:

La proposición es falsa.

MA TEMÁ TIC A I 31


c

d

a b

5. Sean las proposiciones p , q, r, y s tales que:

Fessr

Vesps

Fesqp

Determina el valor de las siguientes proposiciones:

a) spxr ~ b) xqs )(

c) pw~ xpw d) pqrsqp ~

FqFrVsVp

Luego:

pqrsqp ~

Es verdadero (Tautología)

V F F F

? F V

F

V

V

V

32


Resumen

Un enunciado es cualquier expresión. La proposición es un enunciado que puede ser Verdad o Falsa. Operadores Lógicos:

p ~p

V F

F V

p q qp qp qp qp qp

V V V F V V V

V F V V F F F

F V V V F V F

F F F F F V V

Tipos de proposiciones

1. Tautológica: significa Verdad. 2. Contradicción: significa Falso. 3. Contingencia: significa que no es Verdad ni Falso.

Proposiciones equivalentes.- dos proposiciones son equivalentes cuando sus

tablas de verdad sin idénticas. Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes

páginas.

Aquí encontrará toda la información relativa a la lógica.

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos.

http://www.guiamath.net/

Aquí encontrará ejercicios sobre álgebra de proposiciones.

http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_01_03-Logica_Alg-

Proposiciones/0_algebra-proposiciones.html

En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos.



http://www.guiamath.net/

http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_01_03-Logica_Alg-


MA TEMÁ TIC A I 33


MAGNITUDES

PROPORCIONALES


Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de porcentajes y fracciones,

aplicados a los distintos conceptos del precio, haciendo uso de la regla de tres simple.

2.1 TEMA 2 :

2.2 TEMA 3 :


Los alumnos aplican los conceptos de fracciones, razones y regla de tres simple.

Los alumnos diferencian, de acuerdo con el enunciado de los problemas, si se trata

de una regla de tres simple directa o inversa.

Resuelven los ejercicios y problemas propuestos bajo la asesoría del profesor.

Proporcionalidad

2.1.2 Razones proporcionales

2.1.2. Regla de tres simple.

Regla del tanto por ciento

2.2.1 Porcentajes y propiedades.

2.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos

2.2.3 Precio de venta, precio de costo,

precio de lista, descuento y ganancia.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2

34


MA TEMÁ TIC A I 35


2.1 PROPORCIONALIDAD

2.1.1 Razones proporcionales Una razón es la comparación que se establece entre dos cantidades, si dicha comparación se da por medio de una división será una razón geométrica Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12 : 15 o . Simplificando se observa que están en la relación:

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Es una proporción, se cumple que el producto de términos extremos es igual al producto de términos medios : 12 • 5 = 4 • 15

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:

2.1.1.1. Proporcionalidad directa

Dos magnitudes están en proporcionalidad directa si el cociente de sus valores correspondientes permanece constante:

Donde: k es la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

36


Ejemplo:

Un vehículo tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta; por lo tanto, son directamente proporcionales).

Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,

16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante)

2.1.1.2. Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes están en proporcionalidad inversa si el producto de sus valores correspondientes es una constante.

Donde : k es la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Analizando el gráfico, se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.

MA TEMÁ TIC A I 37


Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?

La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

Entonces, 3 x 5 = 15 (constante) y 4 x 3,75 = 15(constante)

2.1.2. Regla de tres simple

La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales; es un procedimiento basado en la relación proporcional de dos magnitudes.

La regla de tres consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos magnitudes proporcionales. 2.1.2. Regla de tres simple directa:

Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (DP). Procedimiento:

Ejemplo:

1) Una persona puede caminar normalmente 9 kilómetros en 2 horas. En una caminata normal de 6 horas, ¿cuántos kilómetros puede caminar? Solución: Horas km 2 9

6 x

kmx 272

96

Magnitudes: M (DP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son DP su cociente es constante. Luego:

x

c

b

a

Los kilómetros caminados son DP a las horas de caminata.

38


2.1.2.1. Regla de tres simple inversa: Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP). Procedimiento:

Ejemplo:

2) Se ha calculado que para construir un edificio se necesita 80 obreros y 60 días. Pero se cuenta solamente con 75 obreros. ¿Cuántos días se tardará en construir el edificio? Soluciòn: # obreros días 80 60

75 x

díasx 6475

6080

Magnitudes: M (IP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son IP su producto es constante

Luego: xcba

El # de obreros que intervienen en una obra y el tiempo que demoran en ejecutarla son IP.

MA TEMÁ TIC A I 39



1. Para pintar una pared de forma cuadrada se necesitan 14 tarros de pintura ¿Cuántos tarros de pintura se necesitará? Para pintar otra pared cuadrada cuya lado mida tres veces el lado de la pared anterior

2. La eficiencias de Juan y Pedro están en la relación de 2 a 3 . Si Juan demora 15 días en hacer una obra .¿En qué tiempo? realizarían la misma obra trabajando juntos.

3. 3. Las eficiencias de Juan y Luis están en la

relación de 2 a 3 y juntos realizan una obra en 21 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Luis redujera a su tercera parte su eficiencia ¿en qué tiempo harían la misma obra?

4. Se sabe que 10 obreros pueden realizar una obra en 22 días. Si al cabo de 4 días son despedidos 4 obreros ¿En qué tiempo se culminará toda la obra?

MATEMATICA I 40

ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC

Guía de Ejercicios

1. Las edades de Juan y Pedro (juntos) con las edades de Pedro y Luis (juntos) están

en la relación de 8 a 7. Si las edades de Juan y Luis están en la relación de 5 a 3, halle ¿Cuánto tiene cada uno? , si las edades de los tres suman 57 años.

Rpta 9 , 15 y 33 años

2. Las eficiencias de A y B están en la relación de 2 a 3. y se sabe que ambos pueden realizar una obra en 33 días. Si B reduce su eficiencia a la mitad y A lo duplica ¿En qué tiempo harían la misma obra? Rpta 30 días

3. Juan es el doble de eficiente que Enrique y ambos pueden realizar una obra en 32 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Enrique duplicara el suyo ¿en qué tiempo ambos harían la misma obra? Rpta 12 días

4. Pedro realiza una obra en 55 días. Se sabe además que Juan y sus dos hermanos tienen el doble, triple y mitad de eficiencia que Pedro respectivamente. ¿En qué tiempo Juan y sus hermanos harían la misma obra? Rpta 10 días

5. Juan puede realizar un trabajo contable en 15 días. Julia es 50% más eficiente que Juan. Si juntos realizan el mismo trabajo contable ¿En qué tiempo lo terminarían?

MA TEMÁ TIC A I 41

CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA

2.2 TEMA 4: TANTO POR CIENTO

2.2.1 Regla del tanto por ciento, porcentajes y propiedades Es una aplicación de la regla de tres simple. Se denomina “Tanto por ciento” porque es el número de unidades que se toman en cuenta de cada 100. Es decir: Total : 100 partes

............... ............................................

“ a “ partes Se toma “a” partes de “100” partes.

Representación:

Ejemplo:

5% nos indica que tomamos: 100

5 de una cantidad cualquiera.

05,0100

5%5

5

2% nos indica que tomamos:

100

52

de una cantidad cualquiera.

004,0500

2

100

1

5

2%

5

2

Ejemplos: 1) Halle el 0,008% de 0,2

100%

aacientopora

NOTA

Se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad. Ejemplo: a) 25% de A + 63% de A = 88% de A b) 58% de P +126% de P – 20% de P = (58+126-20)

% de P

= 164% de P

c) Mi edad más el 18% de ella me dará: 118% de mi edad.

¡ATENCIÓN!: Las palabras “de”, “del” o “de los” matemáticamente significan

multiplicación y la palabra “es” significa igualdad.

MATEMATICA I 42



1. Hallar el 10% del 20% del 75% de 40000

2. Operar : 12% A + 13% (2A) - 5% (3A) + 18% (4A)

3. 3. Se tiene un deposito con dos tipos de

líquidos: 7 L del primero y 28 L del segundo ¿Qué tanto por ciento representa cada uno de estos líquidos respecto al total?

4. Cierta empresa gasta primero el 20 % de su presupuesto, luego gasta el 25% de resto del presupuesto, quedándose con 12000 soles ¿Cuánto fue dicho presupuesto?

MA TEMÁ TIC A I 43


2.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos Es cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento o aumento, por lo cual se puede utilizar la siguiente fórmula: Descuento:

Aumento: Aplicaciones :

%100

100

...1001001001

321

n

AAAAu

Donde: A1, A2, A3,… Son los aumentos sucesivos n: Es el número total de aumentos Au: Es el aumento único equivalente a

todos los aumentos realizados.

%100

100

...1001001001

321

n

DDDDu

Donde: D1, D2, D3,… Son los descuentos sucesivos

n: Es el número total de descuentos Du: Es el descuento único equivalente a

todos los descuentos realizados.

1. Dos descuentos sucesivos del 40% y 20% equivalen a un descuento único de:

%52

%10048

%100100

8060

%100100

201004010012

Du

Du

Du

Du

Nota:

El signo (-) nos indica el descuento,

por lo que los descuentos sucesivos

del 40% y 20% equivalen a una

descuento único de 52%.

2. Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de:

%56

%100156

%100100

130120

%100100

301002010012

Au

Au

Au

Au

El signo (+) nos indica aumento, por lo que

los aumentos sucesivos del 30% y 20%

equivalen a un aumento único del 56%.

MATEMATICA I 44


3. Roberto compra un refrigerador y le hacen 3 descuentos sucesivos del 20%, 20% y

30%. En lugar de estos tres descuentos, pudieron haberle hecho uno solo. ¿De cuánto

sería este descuento?

Solución:

%100100

30100201002010013

Du

Du = [ 44,8 – 100 ]% = -55,2 %

El descuento único sería de 55,2 %.

4. El director del programa académico de Cibertec le dice a un profesor de la carrera de

Computación: “Por tu esfuerzo, durante el año pasado, voy a sugerir que te otorguen

tres aumentos sucesivos del 30%, 10% y 20% en el presente año”. ¿A qué aumento

único equivale?

Solución:

%6,71%1006,171

%100100

20100101003010013

Au

Au

El aumento único equivale 71,6 %.

MA TEMÁ TIC A I 45


2.2.3 Precio de Venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia 2.2.3.1 Precio de venta

Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios

que recibe. Su fórmula es:

GPcPv o PePcPv

Donde: Pc : Precio de costo del bien o servicio

G : Ganancia

Pe : Pérdida

2.2.3.2 Precio de costo

Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases:

Costo neto.- En el cual se incluye sólo el precio de compra de una

mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los gastos de

transporte hasta el almacén, carga y descarga.

2.2.3.3 Ganancia y pérdida

Ganancia : Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio.

Pérdida : Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.

Nota: La Ganancia o Pérdida generalmente se expresa como un tanto por del precio de costo

Los aumentos o descuentos generalmente se expresa como un tanto por del precio de lista

MATEMATICA I 46


Guía de Ejercicios

1. Si al vender uno de mis libros de matemática a S/.35.00, gano S/.10.00,

¿cuál es el porcentaje de ganancia? Solucion:

(i) Según fórmula: GPcPv , entonces :35 = Pc + 10,

Luego Pc = S/.25

(ii) Como G está en función de Pc, luego: 4.025

10% G ;

por tanto %G = 40 %

2. Calcule el precio de venta de un Televisor LCD, si costó S/.4 000 y al vender se perdió el 20%.

Solución :

(i) Calculamos la pérdida: 20%(4 000) = S/.800.00

(ii) Según fórmula: PePcPv , se tiene: Pv = 4000 – 800

Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 3 200.00

3. ¿A cuánto asciende la venta de un departamento que costó $60 000.00, si se

quiere ganar el 25%? Resolución :

(i) Calculamos la ganancia: 25%(60 000) = S/.15 000.00

(ii) Según fórmula: GPcPv , se tiene: Pv = 60 000 + 15 000

Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 75 000.00

4. Determine el porcentaje de utilidad o pérdida, conociendo el precio de costo e importe de la venta, si en el 2007 la empresa ATAJA obtuvo una utilidad de S/.50 000.00 y, al año siguiente, su utilidad se incrementó a S/. 80 000.00.

¿Cuánto fue el porcentaje de incremento? Resolución:

Como el incremento es de S/. 30 000.00, entonces:

%Incremento = 375,080000

30000

Por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 37.5%. 5. Calcule el costo de un artículo que se vendió en S/. 6 000.00, con un 20% de

utilidad (ganacia) Resolución:

(i) Según fórmula: GPcPv , entonces : 6 000 = Pc + (20%

Pc)

MA TEMÁ TIC A I 47


(ii) Resolviendo: Pc = S/. 5 000.00

Precio de Venta, Precio de Lista y Descuento

2.2.3.4 Precio de Lista. - Es el precio que figura en el catálogo al que debe

venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:

DPvPl Pl : Precio de lista en el catálogo

D : Descuento

Pv : Precio de venta

Prob 1. Si el precio de lista de un perfume de Ebel es de S/.65.00, calcule el

precio de venta si el perfume tuvo un descuento del 30%.

Resolución :

(i) Como: DPvPl , entonces: 65 = Pv + (30% Pv)

(ii) Resolviendo: Pv = S/. 50.00

MATEMATICA I 48



1. Compré un artículo a $54. ¿A cómo debo vender para ganar el 30% del precio de costo más el 10% del precio de venta?

2. Vendiendo un libro por $1.44 se gana el 20% del costo. ¿Cuánto costó el libro?

3. Un señor vendió dos casas en $15000 cada una. En la primera ganó el 25% y en la segunda perdió el 25%. ¿En este negocio ganó o perdió?

4. Carmen quiere vender su escritorio que le costó $270 y ganar el 20% del precio de costo más el 10% del precio de venta más $81.

5. ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 2 700 para ganar el 20% del precio de costo, más el 10% del precio de venta , más $180?

6. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que costó $420 para que aún descontando el 20% se gane el 40%?

Problemas de aplicación:

1. La empresa “Exportación A” ha destinado el 22% de su presupuesto del

presente año en la reparación de su equipo automotor. Halle dicho

presupuesto, si el resto del presupuesto que asciende a 11700 soles lo

destina a sus otras áreas.

2. La corporación telefónica destina el 10 % de su presupuesto a su unidad de

negocio “cable mágico” , el 20% de lo restante lo destina a su unidad “Atento”

y lo restante que asciende a 36000 soles los destina al resto de sus unidades

de negocios. Halle dicho presupuesto.

3. Halle el 10% del 25% del 75% del 30% de 320000.

4. Perdí el 40% de mi dinero y luego recuperé el 25% de lo que perdí, con lo

cual tengo la suma de 490 soles. ¿Cuánto tenía al inicio?

MA TEMÁ TIC A I 49


5. Si del total de alumnos que llevan Matemática I aprobaron el 80% de ellos, y

en un examen sustitutorio aprobó el 10% de los que habían desaprobado

¿Qué tanto por ciento de los alumnos han aprobado al finalizar?

6. En la venta de un producto se realizan 2 descuentos sucesivos del 20% y

30% y aun así se gana el 20%. Si el precio fijado y precio de costo suman

4400 soles, halle el precio de costo.

7. En la venta de un producto se gana el 30% a pesar de un descuento del 40%.

Halle el precio de venta si el precio fijado y precio de costo se diferencian en

700 soles.

8. En la venta de un producto se gana el 20% del precio de venta. Halle el

precio de costo si el precio de venta excede al precio de costo en 200 soles.

9. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y

20% respectivamente y aun así se está ganado el 30%. Halle el precio de

costo si se sabe que el precio fijado y precio de costo suman 9700.

10. En la venta de un producto se gana el 10% del Pv , si el precio de costo y el

precio de venta suman 3800 soles ¿Cuánto es el precio de costo?

MATEMATICA I 50


Ejercicios de aplicación

1) No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella $3840, con lo cual hubiera

ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750 ¿Qué

porcentaje del costo gané al hacer la venta? Rpta. 17,19%

2) Compré un auto a $10 000. ¿A cómo debo vender para ganar el 25% del precio de

costo más el 10% del precio de venta, más $1000 en trámites documentarios?

Rpta. 15 000

3) ¿A cómo debo vender un televisor LCD que me costó S/. 840 para ganar el 20 % del

precio de costo, más 10 % del precio de venta, más S/ 63 por gastos administrativos?

Rpta. 1190

4) Un vendedor le hace a un cliente descuentos sucesivos del 15% y 20% sobre un

producto de $200. ¿Cuánto pagó dicho cliente por su compra? Rpta. 138

5) Gabriel desea comprar un auto usado y reclama un descuento. La tienda accede a su

pedido y le otorga 3 descuentos sucesivos sobre el precio de venta del 20%, 10% y 5%.

Él observa que el descuento efectivo ha sido de $ 316. ¿Cuál será el precio de venta de

dicho auto? Rpta. 1000

6) ¿Cuál es el precio de lista de un artículo, que tuvo un descuento del 10% al venderlo, si

el costo del artículo es de $45 y la ganancia es el 20% del precio de compra más el 20%

del precio de venta? Rpta 75

7) Julio compró un objeto que vendió después a 300 nuevos soles y obtuvo una ganancia

igual al 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuánto costó el

objeto?

Rpta 250

8) Se venden dos caballos en $9,600 c/u. En uno de ellos se gana el 20% y en el otro se

pierde el 20%. ¿Se ganó o se perdió, y cuánto?

Rpta. se perdió 8 soles

9) Un comerciante vende un artículo con un descuento de 30% del precio de lista, ganando

así el 20% del precio de costo ¿cuánto es el precio de lista? si el precio de lista y costo

suman 1900.

Rpta 1200

MA TEMÁ TIC A I 51


10) ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 1 450 para ganar el 20% del

precio de costo, más el 10% del precio de venta , más $60 por gastos administrativos?

Rpta 2000

MATEMATICA I 52


Problemas de Repaso

1. Luis hace limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Qué tanto por

ciento de zumo de limón hay en la limonada?

2. En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, y quedan 164. ¿Cuántos

han muerto?

3. Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la

cantidad que hay al principio de cada año, ¿qué ganancia obtendremos al cabo de un

año? ¿Y después de 4 años?

4. Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros.

¿Cuánto costaba antes de la subida?

5. Una mercancía se encareció en un 10 % y luego se abarató también un 10 %. ¿Cuándo

vale menos: antes o después de todo el proceso?

6. En la venta de un producto se ganó el 25% del precio de venta a pesar de realizar dos

descuentos sucesivos del 10% y del 20%.respectivamente. Hallar el precio fijado del

producto si este costó 540 soles.

7. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%,

respectivamente, y aún así se está ganado el 35%. Halle el precio de costo, si se sabe

que el precio fijado y precio de costo suman 23000 soles.

8. En la venta de un producto que costó 4800 se realizan dos descuentos sucesivos del

20 % y 25 % respectivamente y así se obtiene una ganancia del 20% del precio de

venta. Calcula el precio fijado para la venta.

9. Un comerciante compra pantalones en Gamarra a S/. 45 cada uno. ¿A cómo deberá

vender cada uno de ellos si desea ganar el 20% del precio de costo más el 10% del

precio de venta?

10. Una persona vende dos televisores a 990 soles cada uno. En una de ellas gana el 10%

y en el otro pierde el 10%. Al final ¿ gana o pierde y cuánto?.

MA TEMÁ TIC A I 53


Resumen Regla de tres simple directa :

Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales

Magnitudes: M (DP) Q

Supuesto: a b Pregunta: c x

Como son DP su cociente es constante: x

c

b

a

Regla de tres simple inversa:

Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales Magnitudes: M (IP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x

Como son IP su producto es constante, Luego:

xcba

Precio de venta.- Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes

y/o servicios que recibe. Su fórmula es:

GPcPv

Precio de costo.- Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de

dos clases:

Costo neto .- En el cual se incluye sólo el precio de compra de

una mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los

gastos de transporte hasta el almacén, carga y descarga. Ganancia y pérdida

Ganancia .- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio. Pérdida .- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.

Precio de Lista.- Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un

bien y/o servicio. Su fórmula es:

DPvPl

MATEMATICA I 54


MA TEMÁ TIC A I 55


FUNDAMENTOS

DEL ALGEBRA BASICA


Al término de la unidad, el alumno, calcula el valor de una variable a través de la simplificación de las expresiones algebraicas Para ello, debe aplicar las teorías de exponentes, los productos notables, racionalización y los procesos de factorización.

TEMARIO

3.1 Tema 4 : TEORIA DE EXPONENTES

3.1.1 : Potenciación

3.1.2 : Radicación

3.2 Tema 5 : Productos Notables

3.2.1 : Propiedades

3.3. Tema 6 : Factorización

3.3.1 : Factor común

3.3.2 : Por agrupación

3.3.3 : Por identidades

3.3.4 : Por aspa simple

3.3.5 : Por Ruffini


Los alumnos aplican las leyes del álgebra básica

Los alumnos identifican qué ley van a utilizar y explican cada paso realizado.

Por equipos, trabajan los ejercicios y se comprueban los resultados obtenidos.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3

MATEMATICA I 56


3.1 Tema 5: TEORÍA DE EXPONENTES

3.1.1 Propiedades de potenciación

Potenciación Radicación

base

exponente

potencia

índice

radicando

raíz

bn =

veces"n"

b..........bbbb

Kbn =

veces"K"

nnnn b..........bbb

3.1.1.1. Leyes de potenciación:

1. a0 = 1 , a R , a 0 ,

2. am . an = am + n

3. 0a,aa

a nm

n

m

4. a- n = na

1 , a 0

5. 0b,0a,a

b

b

ann

6. (a . b )n = a

n . b

n

MA TEMÁ TIC A I 57


7. 0b,b

a

b

a

n

nn

8. (am

)n = a

m n = (a

n )

m

Ejemplos:

MATEMATICA I 58



1) Realice lo siguiente: a) Efectúe:

6054

294

336

1630.14.15

80.35.21

M

b) Simplifique: 2

523

2.4

2.42

23

22

x

xx

x

xx

P

2 ) Halle: 2

11123

10

1

23

4

5

2

3

1R

3) Efectúe: (a)

3

1

31

53

21

213

6432.2222

21223240

xx

xxx

S

(b) Calcule el valor de: MN

)2(6)2(422

)2(3621145

24

xxxx

xx

M y x

xx

xx

N4669

13892

4) Si yx 75 , Calcule el valor de: 11

23

57

75

xy

yx

MA TEMÁ TIC A I 59


3.1.2 Propiedades de la radicación

n: índice a: radicando b: raíz

: operador

3.1.2.1. Leyes de Radicación:

1. nn aa

1

2. n

mn m aa

3. n pnnp baba ..

4. nnn b.aab

5. 0b,b

a

b

a

n

nn

6. mnm n aa

Problemas propuestos para la clase

1) Halle X + M si:

MX ;

14775

3004812 3/13/15/3

6432

2) ( a ) Halle A – S

c aa

cb c

c

ba b

b

a3 12 32

x

x

x

x

x

xS;xxxA

( b ) Halle : ba

bba

aba

mm

mmE

2

2

34

43

ban

MATEMATICA I 60


3 ) Calcule:

2

2

2

121

14 1

34

43

33

39) ba

bba

aba

n

nn

mm

mma

b) nnn

nn

57

57

32

1

27

12

1

5

4

3

2

4 ) Halle P + Q si:

2a

a4365x

x5x5

5x5x

44

82Q;

37

37P

Ejercicios de aplicación

1) Efectúe:

E = nnn

n

n2n n

n

44

2222

11

24

20

2) Simplifique la siguiente expresión:

12

3312/1

123

2439

263

11

4

5

2

3

1

x

xx

xx

3) Halle el valor de A si

nm

mnmn

nmnm

n

nn

A

54

1512

5.5

555

1

316

054

4) Reduzca la siguiente expresión:

MA TEMÁ TIC A I 61


3

1

31

53

2/16

3/1

8 643264

05249

5) Calcule B si:

07249

2

323

125.22

222

n

nn

B

6) Reduzca:

xxx

xx

aa

aaa

4669

13892333

5532

7) Simplifique la siguiente expresión:

25,016

5 4 3 5432

3 4 5 2345

81.

xxxx

xxxx

8) Calcule el valor de E + F, si:

...333,08

25072 92 1253

E

9) Simplifique:

1

502

22/1

4

2

3

2121

2

2224

44.2

4.24.2

x

xx

xxxx

E

10 ) Reduzca

yxyxyx

yxyxyx

22 4.54.5

4.54.5

MATEMATICA I 62


Resumen de Potenciación y

Radicación

Potenciación Radicación

a0 = 1 , a R , a 0 ,

am . an = am + n

0a,aa

a nm

n

m

a- n = na

1 , a 0

0b,0a,a

b

b

ann

(a . b )n = an . bn

0b,b

a

b

a

n

nn

(am )n = am n = (an )m

nn aa

1

n

mn m aa

n pnnp baba ..

nnn b.aab

0b,b

a

b

a

n

nn

mnm n aa

Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes

páginas. http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

Aquí encontrará información de la Teoría de Exponentes.

www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps

En esta página, encontrará ejercicios sobre potenciación, radicación y

racionalización.

http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

MA TEMÁ TIC A I 63


Teoría de exponentes y radicación

1.- Calcule el valor de: MN

)2(6)2(422

)2(3621145

24

xxxx

xx

M

xxx

xx

N4669

13892

2.- Encuentre A+B

A =

2/1123

11

4

5

2

3

1

B = 55

555

1

305416

n

nn

3.- Halle K

2

22

221225

2035

122149

1

32x

xx

xx

K

4.- Halle E, aplicando propiedades de potenciación y radicación:

2

22

34

53

1

125243

1

m

m

E

5.- Halle el valor de :

1135

24

2624222

2362

xxxx

xx

A

6.- Halle el valor de M si:

1312416

120112

27

116

24381 ,

M

7.- Reducir:

MATEMATICA I 64


5.2.3626

nnnn

+ nnn

5

2535 +

22.4

2.452

a

aa

8.- Simplifica :

2212.22

22.1212.332.40

xx

xxx

9.- Simplificar:

10.- Calcula el valor de M :

132

12

16232

n

n

nn

M

MA TEMÁ TIC A I 65


3.2 PRODUCTOS NOTABLES

3.2.1 Propiedades

3.2.1.1 CUADRADO DE UN BINOMIO SUMA

EJEMPLOS:

1. 49x14x7)7()x(2x7x 2222

2. 25

4x

5

12x9

5

2

5

2)x3(2)x3(

5

2x3 2

22

2

3. 32

x324

x2

)3()3()2

x(22

)2

x(2

32

x

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO

Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto.

1. 4

1xx 22

2. 2x22x 22

3.2.1.2 Cuadrado de un binomio diferencia

EJEMPLOS:

1. 1x2x1)1()x(2x1x 222

2. 4

1yy

2

1

2

1)y(2y

2

1y 2

22

2

3. 7x72x77x2)x(7x 24222222

222bab2aba

222bab2aba

MATEMATICA I 66


EJERCICIOS PROPUESTOS

Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto:

1. 3x32x22

2. 9

4x

3

4x 22

3. 2

1x2x 22

3.2.1.3. Producto de la suma de dos términos por diferencia (binomios conjugados)

…. (diferencia de cuadrados)

EJEMPLOS:

64x8x8x 2

6x6x6x 2

462323 yx3616)yx64()yx64(


Observe y escriba directamente el producto de los binomios

1. 2.02.0 yy ______________________________________________

2. 3y3y ______________________________________________

3. 1yx31yx3 22 _____________________________________

3.2.1.4 Cubo de la suma de dos términos

EJEMPLOS:

22 ba)ba()ba(

(a + b )3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3

1257515

12525315

55353

23

23

3223

xxx

xxx

xxx 5) (x 1. 3

MA TEMÁ TIC A I 67


2.

3.2.1.5 Cuadrado de un trinomio

EJEMPLOS:

1. yz2xz2xy2zyxzyx 2222

2. 2

3y2x23y2x22

y12x12xy89y4x4

3y223x22y2x223y2x2

22

222

3.

2

122

2

132232

2

123

2

123

222

2

23624

15

23624

123

3.2.1.6 Producto de binomios que tienen un término común

EJEMPLOS:

1. 63x16x9x7x 2

bcacbacaba 2

8

27x

4

272x

2

93x

8

27

4

9x3

2x

2

93x

3

2

32

2

3x3

2

32x3

3x

3

2

3x

125.075.05.1

125.025.035.1

5.05.035.030.5) (x 3.

23

23

32233

xxx

xxx

xxx

bc2ac2ab2cbacba 2222

MATEMATICA I 68


2. 30x11x5x6x 2

3. 6y5y6y1y 32333

6y5y 36


Observe y escriba directamente el producto de los binomios: (x – 1) (x + 8) = _______________________________ (x – 5) (x – 2) = _______________________________

3.2.1.7. Cubo de una diferencia

EJEMPLOS:

1.

2.


(a - b )3 = a3 - 3a²b + 3ab² - b3

3

2

3x

8

27x

4

27x

2

9x

8

27

4

9x3x

2

9x

2

3

2

3x3

2

3x3x

23

23

32

23

33z

33z9z33z

27z9z33z

33z33z3z

23

23

3223

____________________________2x3.3

____________________________1m2

1.2

____________________________2

1y.1

3

32

3

MA TEMÁ TIC A I 69


3.2.1.8 Suma y diferencia de cubos

Suma de cubos

DIFERENCIA DE CUBOS

EJEMPLOS:

)4y2y)(2y(8y

)9x3x)(3x(27x

23

23


1 . Simplificar: A =

2. Efectúe:

5 1025 102 . nmmnmmR

3. Simplificar (x + y)² (x² - xy + y²)² – (x – y)² (x² + xy + y²)²

4. Simplificar (a + 2) (a – 2) (a² - 2a + 4) (a² + 2a + 4)

5. Reducir:

222

2bbabbaababababak

a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

MATEMATICA I 70


6. Simplifique: 2

222

2))((

10)23()23(

bbaba

ababa

1. Simplificar :

2. Simplificar

3. Simplificar

MA TEMÁ TIC A I 71


Problemas propuestos

1. Siendo x = 2 + 3 ; y = 2 - 3

Calcule: A = (x – y) (x² + xy + y²) + y (3x² + 3xy + 2y²)

2. Sabiendo que: 2x

y

y

x calcule: yx

yx

yx

yx

2

3

3. Simplifique:

494:7272

933121.311

62323

3 3333 33

xxxA

4. Simplifique:

22

33

babababa

babaE

5. Sabiendo que: yxxyyxyx 333

Halle el valor de: 3333 2323

6. Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, halle la suma de sus cubos.

7. Si: 2a y 8b , halla el valor de:

44

2233

ba

]baba[babaM

8. Determine el valor deE , si 2a .

3

13222 1111 aaaaE

9. Reduzca: 43215522 xxxxxx

MATEMATICA I 72


Resumen de productos notables

Productos Notables: Rcba ,,

I. 222bab2aba

II. 222bab2aba

III. 22 ba)ba()ba(

IV. 333 b 3ab² 3a²b a ) b (a

V. 333 b - 3ab² 3a²b - a ) b - (a

VI. bc2ac2ab2cbacba 2222

VII. a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)

VIII. a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

IX. bababa

babbaaba

3 233 233 .

X. Legendre:

2222 2)()( bababa

abbaba 4)( 22

Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.

http://www.sectormatematica.cl/ppt/Productos%20notables.ppt

Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

MA TEMÁ TIC A I 73


3.3 FACTORIZACIÓN

3.3.1 Definición.

Es un procedimiento por el cual se transforma un polinomio dado en un producto indicado de sus factores.

3.3.2.1 Métodos de factorización:

3.3.2.1 Factor común:

Ejemplo: Factorice: 3x3 y + 9x² y² + 6 xy3

Sol:

caso. otro esfactorizar puede Se

22

ComúnFactor

233 yyxxyx

3.3.2.2. Por agrupación de términos:

Ejemplo: Factorice: abc2bcabcaaccbba 222222

Sol : = (a² b + b² a ) + (c² a + c² b ) + c (a² + 2 ab + b² ) * = a b ( a + b ) + c² (a + b ) + c ( a + b ) (a + b )

= ( a + b )

bcaccba 2

= (a + b ) [ a ( b + c ) + c ( b + c ) ] = (a + b ) ( b + c ) ( a + c )

3.3.2.3 Por identidades o por productos notables en forma inversa:

Ejemplos : a) ( a² + 2 a b + b² ) = ( a + b)² = (a + b ) ( a + b )

b) (a - b ) ( a² + a b + b²) = a3 - b

3

c) 2224422 xxxxx

d) 3322 yxyxyxyx

e) 164²4² 4 yyy

MATEMATICA I 74



1) Factorice: a) 3x2y2-6x2y =

b) (3a – b) (a – b – 1) + (a + b) (a – b – 1) – (2c – 3b) (a – b – 1) =

c) 2p (p – 1) + q(1 – p) + 2 (p – 1) =

2) Factorice:

a) xa2 + y2b + y2a2 + xb =

b) x

4 + x

2y

2 + y

4 =

c) 4xz + 2yz – 2xp – yp =

d) x3 – 4x2 + x – 4 =

3) Factorice:

a) x2 + 10xy + 25y2 = b) 4y2 – 9x2 = c) 8x3 – 27y3 = d) 9m2 + 6m + 1 = e) 4x2 – 12xy + 9y2 =

MA TEMÁ TIC A I 75


3.3.2.4 Por aspa simple:

3.3.2.4.1 Trinomio de la forma x2n + bxn + c = (xn + k1) (xn + k2) n N

donde:

Ejemplo: Factorice x² - 6x + 5 = 0

x

x

5

1 Vemos que:

(-5) (-1) = 5 ok (-5) + (-1) = -6 ok

x² - 6x + 5 = 0 (x - 5 ) ( x - 1) = 0

NOTA: Este trinomio se puede factorizar sólo cuando su Discriminante (D) es un cuadrado perfecto (ie, tiene raíz cuadrada exacta)

3.3.2.4.2 Trinomio de la forma ax2n + bxn + c = (a1 x

n + k1 ) (a2 xn + k2 )

donde : Ejemplo: Factorice:12 x² - xy - 6y² = 0

3 2

4 3

x y

x y

Vemos que:

( 3 ) ( 4 ) = 12 ; ( 2 ) (-3 ) = - 6 ; (3x) (-3y) + (4x) (2y) = -9xy + 8xy = -xy

12x² - xy - 6y² = 0 (3x + 2y ) (4x - 3y) = 0

k1 . k2 = c k1 + k2= b

k1 + k2 = b

a1 . a2 = a k1 . k2 = c

a1 k2 + a2 k1= b

MATEMATICA I 76


40

3.3.2.5 Por división de binomios: Permite factorizar polinomios en una sola variable. Consiste en formar una serie de binomios que admitan como término común a la variable y como segundos términos a los divisores del término independiente. De dichos binomios se tomarán aquellos que den división exacta empleando RUFFINI. Ejemplo: Factorice: x4 + 6x3 - 5x² - 42x + 40 Posibles factores: divisores de:

(x 1) (x 2) (x 4) (x 5) (x 8) ….….. 1

…………………………………………… + 2 …………………………………………… +4 5

8

10

20

40

En forma práctica: Ruffini

1 6 -5 -42 40

1 1 7 2 -40

1 7 2 -40 0 2 2 18 40

1 9 20 0

x² + 9x + 20

x

x

5

4 (x - 1) (x - 2) (x + 5) (x + 4)

MA TEMÁ TIC A I 77



1) Factorice: a) x2+5x-6

b) x2-5x-14

c) 3x2-21x+18 d) 45x2-38xy+8y2

2) Factorice:

a) t3-6t2+11t-6 b) x4-6x3-x2+54x-72 c) 2x5-17x4+51x3-58x2+4x+24

MATEMATICA I 78



Simplifique:

1) E = soluciónyxy

xRe

48

14 2

y

x

xy

xxE

4

12

124

1212

2)

111

11

11

11

yx

xyEsol

yx

yxE

Efectúe:

3) soluciónx

x

x

xE Re

25

3

25

13

25

42

25

313

25

313

x

x

x

xx

x

xxE

4) E =xy2x

yxy2x.

xyx

y2xy2

22

2

2

Resolución : E =

2

22

x

yxy

y2xxyxx

yxy2xy

y2xx

yx.

yxx

y2xy

MA TEMÁ TIC A I 79



Simplificar:

1) 3x2x

6y2

3y

xx2

2

2) 2

223

m

25x

x5x5

mm

3)

8x2

6x6x

4x

36x2

4) 22

4p

m2

16p8p

m10m6

5) 10m5

m

4m

1m

1m

m2m2

2

6) 25

m

m

10x

50x5

m 4

3

10

7) Factorice: E = (x + 3) (x + 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 1) + (x + 1)

8) Factorice:

a) x8 - 82x4 + 81 b) (x2 - y2)9 - (x + y)7 (x - y)11 9) Factorice: E = ( x + y )9 ( x - y )5 - (x2 - y2)7

10) Factorice: a) E = 64 x12 y3 - 68 x8y7 + 4x4y11 b) x3 + (2a + b)x2 + (a2 + 2ab ) x + a2b 11) Factorice: a) x8 - y8

b) x6 - y6

MATEMATICA I 80


12. Halle:

E =

428

7

49

42

149

2

4

4²23

2

2

2

2

x

x

xx

x

xx

xx

x

x

xx

13. Halle:

2012

²14²14

207²3

16²

513²113

1²323

3

x

xx

xx

x

xxx

xxE

14. Halle: xx

x

xx

xx

xxE

44543

3324

2

23

.

15. Halle E:

124

53²53

9²

157²4

128²

128²1752

3

3

x

XX

x

xx

xxx

xxxE

16. Halle E:

24

²322

12

2540²16

1²4

514²8

924²132

453²1333

3

x

x

x

xx

x

xx

xxx

xxxE

17. Si: 22

233333 )()()(2

yx

yxyx

yx

yx

yx

yxA

127

9

2410

1832

2

2

2

xx

x

xx

xxB

xyx

y

y

xC

2 Halle el valor de K = C – 4B - A

18. Halle E:

E =

31

662

22222

xa

xxaxaxa

19.. Simplificar :

yxyx

yxyxyyxyxxE

2

4444 42233224

20. Simplificar :

2222

222

66

2

3

4bababa

abba

bbaba

ba

MA TEMÁ TIC A I 81


Resumen

Factorizar.- Es modificar un polinomio a productos de factores. Métodos de Factorización:

1. Factor común.- Cuando los términos de un polinomio tienen algo en común.

2. Por Agrupación.- Esta técnica va de la mano con factor común. Consiste en juntar 2 o más términos con algo en común.

3. Por identidades.- Es lo mismo que productos notables. Ejemplo: Un trinomio cuadrado perfecto se convierte a un binomio cuadrado.

4. Por aspa simple .- Será por aspa simple en todos los casos cuando la suma de sus coeficientes del polinomio da cero

5. Ruffini.- Sirve para factorizar polinomios de grado tres o mayor. Para usarla, se debe tener presente que el polinomio debe ser ordenado y completo.

Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes

páginas.

http://sipan.inictel.gob.pe/av/

Aquí encontrará casos de factorización y otros.

http://www.matematicastyt.cl/Algebra/Polinomios/Factorizacion/pag1.htm

Aquí encontrará ejercicios desarrollados de factorización y otros.

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