Magnitudes+fisicas+i

MAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICAS

Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otraspalabras es susceptible a ser medido.

¿Para qué sirven las magnitudes físicas? sirven para traducir en núme-ros los resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza enla Física será claro, preciso y terminante.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASCLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASCLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASCLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASCLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS

1.- POR SU ORIGEN

A) Magnitudes FundamentalesSon aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes.En mecánica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: Lalongitud, la masa y el tiempo.Las magnitudes fundamentales son:

B) Magnitudes DerivadasSon aquellas magnitudes que están expresadas en función de lasmagnitudes fundamentales; Ejemplos:

Longitud (L) , Intensidad de corriente eléctrica (I)Masa (M) , Temperatura termodinámica (θ)Tiempo (T) , Intensidad luminosa (J)

Cantidad de sustancia (µ)

Velocidad , Trabajo , Presión

Aceleración , Superficie (área) , Potencia, etc.

Fuerza , Densidad

MAGNITUDESFÍSICAS

Capítulo2

C) Magnitudes Suplementarias(Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni deriva-das; sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales:

Ángulo plano (φ) , Ángulo sólido (Ω)

Jorge Mendoza Dueñas12

2.- POR SU NATURALEZA

A) Magnitudes EscalaresSon aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numéri-co y su respectiva unidad.

Ejemplos:

VOLUMEN TEMPERATURA TIEMPO

Como se verá en todos estos casos, sólo se necesita el valor numérico y su respectivaunidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.

El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orienta-ción N 60º E (tiene dirección y sentido) con lo cual es fácil llegardel punto “o” a la casa.

Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de5 Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica quela fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos ideasi se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitudvectorial.

FUERZA DESPLAZAMIENTO

B) Magnitudes VectorialesSon aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y unidad, se necesita la direccióny sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada.

Ejemplos:

Tengo fiebrede 40 °C

¡Que fatal!

Son las12:15 P.M.¡Ya es tarde!

F N= 5

Sólo necesito100 mm3 y estaráterminado

Magnitudes Físicas 13

SISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADES

La necesidad de tener una unidad homogénea paradeterminada magnitud, obliga al hombre a definirunidades convencionales.

Origen del Sistema de Unidades:

SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES - NOT NOT NOT NOT NOTACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIAL

Convencionalmente:

1 pulgada = 2,54 cm1 pie = 30,48 cm1 yarda = 91,14 cm

El 14 de octubre de 1 960, la Conferencia Generalde Pesas y Medidas, estableció el Sistema Interna-cional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en laactualidad y que en el Perú se reglamentó según laley N° 23560.

Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Interna-cional (S.I), estas son:

1. UNIDADES DE BASESon las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales.

2. UNIDADES SUPLEMENTARIASSon las unidades correspondientes a las mag-nitudes suplementarias, sin embargo se lesconsidera como unidades de base.

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO PATRON PRIMARIO

Longitud metro m Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lámpara decriptón especial.Un cilindro de aleación de platino que se conserva en el laboratorioNacional de Patrones en Francia.

Basado en la frecuencia de la radiación de un oscilador de cesioespecial.

Con base en la de fuerza magnética entre dos alambres que transpor-tan la misma corriente.

Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela simul-táneamente si la presión es adecuada.Basado en la radiación de una muestra de platino fundido preparadaespecialmente.

Con base en las propiedades del carbono 12.

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Ampere AIntensidad de

Corriente Eléctrica

Kelvin KTemperaturaTermodinámica

Candela cdIntensidadLuminosa

mol molCantidad

de Sustancia

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

Angulo Plano radián rad

Angulo Sólido estereorradián sr

1 pulgada 1 yarda

1 pie


3. UNIDADES DERIVADASSon las unidades correspondientes a las mag-nitudes derivadas. A continuación sólo se pre-sentarán algunas de ellas.

NOTNOTNOTNOTNOTACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIALACIÓN EXPONENCIAL

En la física, es muy frecuente usar números muygrandes, pero también números muy pequeños;para su simplificación se hace uso de los múltiplosy submúltiplos.

OBSERVACIONES

− El símbolo de una unidad no admite puntoal final.

− Cada unidad tiene nombre y símbolo; estosse escriben con letra minúscula, a no ser queprovenga del nombre de una persona, encuyo caso se escribirán con letra mayúscula.

1. MÚLTIPLOS

2. SUBMÚLTIPLOS

OBSERVACIONES

− Los símbolos de los múltiplos o submúltiplosse escriben en singular.

− Todos los nombres de los prefijos se escribi-rán en minúscula.

− Los símbolos de los prefijos para formar losmúltiplos se escriben en mayúsculas, excep-to el prefijo de kilo que por convención serácon la letra k minúscula. En el caso de lossubmúltiplos se escriben con minúsculas.

− Al unir un múltiplo o submúltiplo con unaunidad del S.I. se forma otra nueva unidad.

Ejemplo:

− La escritura, al unir múltiplo o submúltiplocon una unidad del S.I. es la siguiente:Primero: El número (valor de la magnitud).Segundo: El múltiplo o submúltiplo (dejan-do un espacio)Tercero: La unidad del S.I. (sin dejar espacio).

Ejemplo:

20×103 m = 20 km (20 kilómetros)36,4×10-6 f = 36,4 µf (36,4 microfaradios)

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

Fuerza Newton N

Superficie (Area) metro cuadrado m2

Velocidad metro por segundo m/s

Volumen metro cúbico m3

Trabajo Joule J

Presión Pascal Pa

Potencia Watt W

Frecuencia Hertz Hz

Capacidad Eléctrica faradio f

Resistencia Eléctrica Ohm Ω

Deca D 101 = 10Hecto H 102 = 100Kilo k 103 = 1 000Mega M 106 = 1 000 000Giga G 109 = 1 000 000 000Tera T 1012 = 1 000 000 000 000Peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000Exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

PREFIJO SÍMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN

deci d 10-1 = 0,1centi c 10-2 = 0,01mili m 10-3 = 0,001micro µ 10-6 = 0,000 001nano n 10-9 = 0,000 000 001pico p 10-12 = 0,000 000 000 001femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

PREFIJO SÍMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN

Unidad del S.I. m (metro)

Nuevas Unidades km (kilómetro)

cm (centímetro)


CIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICATIVTIVTIVTIVTIVASASASASAS

Cuando un observador realiza una medición, notasiempre que el instrumento de medición posee unagraduación mínima:

Ilustración

Se podrá afirmar entonces que el largo del libromide 33 centímetros más una fracción estimada odeterminada “al ojo”, así por ejemplo, nosotros po-demos estimar: L = 33,5 cm.

La regla graduada tiene como graduación mínima el centímetro.

CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas de un valor medido, estándeterminados por todos los dígitos que puedenleerse directamente en la escala del instrumentode medición más un dígito estimado.

l El dígito distinto de cero que se halle más ala izquierda es el más significativo.

l El dígito que se halle más a la derecha es elmenos significativo, incluso si es cero.

l El cero que se coloca a la izquierda del puntode una fracción decimal no es significativo.20 ; tiene una cifra significativa.140 ; tiene dos cifras significativas.140,0; tiene cuatro cifras significativas.1 400; tiene dos cifras significativas.

l Todos los dígitos que se hallen entre losdígitos menos y más significativos son signi-ficativos.

Ejemplo; determinar el número de cifras significa-tivas:

4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas.0,23 m ; tiene dos cifras significativas.0,032 m ; tiene dos cifras significativas36,471 2 m; tiene seis cifras significativas6,70 m ; tiene tres cifras significativas321,2 m ; tiene cuatro cifras significativas2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas

En el ejemplo del libro, la longitud del mismo sepuede expresar así:

33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m

Es notorio que el número de cifras significativas enel presente ejemplo es tres.

El número de cifras significativas en un valor me-dido, generalmente se determina como sigue:

Al medir el largo del libro se observa que su medida está entre 33 y 34 cm.


1.- Entre las alternativas, una de las unidades no corres-ponde a las magnitudes fundamentales del sistemainternacional:

a) metro (m)b) Pascal (Pa)c) Amperio (A)d) candela (cd)e) segundo (s)

2.- ¿Qué magnitud está mal asociada a su unidad baseen el S.I.?

a) Cantidad de sustancia - kilogramob) Tiempo - segundoc) Intensidad de corriente - Amperiod) Masa - kilogramoe) Temperatura termodinámica - kelvin

3.- ¿Cuál de las unidades no corresponde a una unidadfundamental en el S.I.?

a) A – Amperiob) mol - molc) C - Coulombd) kg - kilogramoe) m - metro

4.- Entre las unidades mencionadas, señala la que perte-nece a una unidad base en el S.I.

a) N – Newtonb) Pa - Pascalc) C - Coulombd) A - Amperioe) g - gramo

5.- ¿Qué relación no corresponde?

a) 1 GN = 109 Nb) 2 TJ = 2×1012 Jc) 1 nHz = 10−9 Hzd) 3 MC = 3×109 Ce) 5 pA = 5×10−12 A

6.- Al convertir una señal de camino al sistema métrico, sólose ha cambiado parcialmente. Se indica que una po-blación está a 60 km de distancia, y la otra a 50 millas dedistancia (1 milla = 1,61 km). ¿Cuál población está másdistante y en cuántos kilómetros?

a) 50 millas y por 2,05 × 10 4 mb) 20 millas y por 2,1 × 104 mc) 30 millas y por 2,1 × 105 md) 40 millas y por 10 4 me) N.A.

7.- Un estudiante determinado medía 20 pulg de largocuando nació. Ahora tiene 5 pies, 4 pulg y tiene 18 añosde edad. ¿Cuántos centímetros creció, en promedio,por año?

a) 6,2 cmb) 5,3 cmc) 5,4 cmd) 6,7 cme) 4,3 cm

8.- ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene mayor nú-mero de cifras significativas?

a) 0,254 cmb) 0,002 54 × 102 cmc) 254 × 10−3 cmd) 2,54 ×10−3 me) Todos tienen el mismo número

9.- Determine el número de cifras significativas en las si-guientes cantidades medidas:(a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722 kg, (d) 22 m

a b c d

a) 4 3 5 3b) 2 2 5 2c) 4 3 5 2d) 1 1 3 2e) 2 1 3 2

10.- ¿Cuál de las cantidades siguientes tiene tres cifras sig-nificativas?

a) 305 cmb) 0,050 0 mmc) 1,000 81 kgd) 2 me) N.A.

TESTTESTTESTTESTTEST


6780 67801

102m m

Hm

m= ×

1.- Efectuar: E = 5 000 0×0,01

Solución:

E = 500

E = 5

400 320 m = 400,320 km

4.- Convertir:

Solución:

E= × × −5 10 1 104 2e je j

E= × = ×−5 10 5 104 2 2

E= × ×−0 005 10 300000004,

E= × ×− −5 10 10 3 103 4 7e je je j

360km

ham

s

2230 223 103 9m Gm= × −,

2230 223 10 6m Gm= × −,

5.- ¿Cuántos Gm tendrás en 2 230 m?

Solución:

A problemas de aplicación

1.- Dar la expresión reducida:

Solución:

3.- Hallar la altura del nevado Huascarán en hectóme-tros si expresado en metros mide 6 780 m.

Solución:

E= ( ) ( , )

( , )

9000 0 00081

0 000000243

3 2

2

E= × ××

= × ××

−

−

−

−( ) ( )

( )

( )

( )

3 10 81 10

243 10

3 10 3 10

3 10

2 3 3 5 2

9 2

6 9 4 5 2

5 9 2

E= ×3 104 17

E= ×81 1017

R=25000 0 000125

0 00625 0 05

5 3

2 4

b g b gb g b g

,

, ,

R=25000 0 000125

0 00625 0 05

5 3

2 4

b g b gb g b g

,

, ,

R=× ×

× ×

−

− −

25 10 125 10

625 10 5 10

35

63

52

24

e j e j

e j e j

2.- Dar el valor simplificado de:

Solución:

R= × × ×× × ×

−

− −5 10 5 10

5 10 5 10

10 15 9 18

8 10 4 8

R= ×+ − − − + +5 1010 9 8 4 15 18 10 8b g b g

R= ×5 107 15

2.- Efectuar:

Solución:

3.- Convertir: 400 320 m a km

Solución:

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

B problemas complementarios

E= × = ×− − +5 10 5 103 4 7 0

400320 4003201

1000m m

km

m= ×

360 3601000

1

1

3600

km

h

km

h

m

km

h

s= × ×

360360 1000

3600

km

hm s= ( )( )/

36036 10

36 1010

4

24 2km

hm s= ×

×= − /

360 100km

hm s= /

2230 223 101

10

39

m mGm

m= × ×,

E= × × ××

= ×−

−+ − − +3 10 3 10

3 103 10

6 9 8 10

10 186 8 10 9 10 18( ) ( )

R=× ×

× ×

−

− −

5 10 5 10

5 10 5 10

2 35

3 63

4 52

24

e j e j

e j e j

E= ×+ − − +3 106 8 10 9 10 18( ) ( )

6780 67 80m Hm= ,


e mm= ×26 2

1 946080 10 8añoluz Em= × −

1 946080 10 10 107 3 18añoluz Em= × × × −

1234123412341234

1234123412341234

12345123451234512345

12345123451234512345

1234123412341234

1234123412341234

123123123123123

123123123123

4.- Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cadauna de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar di-cho resultado en nm.

Solución:

6.- Expresar en potencias de 10.

Solución:

7.- Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra auna estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 añosluz. (1 año luz = distancia que recorre la luz en un añode 365 días). Considere que la luz recorre 300 000 kmen 1 segundo.

Solución:

8.- Convertir: 30 m/s a milla/h1 milla = 1 609, 347 m

Solución:

5.- Un cabello humano crece a razón de 1,08 mm por día.Expresar este cálculo en Mm / s.

Solución:

d = 2 año luz

1 año luz = 300000 365km

s× días

e m= × −52 10 3

e nm= × ×− +52 10 103 9

e nm= ×52 106

Vm

s= ×

× × ×

−108 10

24 10 36 10

2

3 2

Vm

s= × −0125 10 7,

Vm

s

Mm

sm

s

= × ×−0125 101

10

7

6,

VMm

s= × −0125 10 13,

Q=× ×

× ×

− −

− −

625 10 64 10

5 10 16 10

61 2

61 3

22

34

e j e j

e j e j

/ /

Q=× ×

× ×

− −

− −

5 10 2 10

5 10 2 10

4 61 2

6 61 3

2 4 4 34

e j e j

e je j

/ /

Q= × × ×× × ×

= ×− −

− −− − − + +5 10 2 10

5 10 2 102 10

2 3 2 2

2 4 16 1214 3 2 4 12b g

Q= ×−2 1014 11

1 300000 365 24 3600añoluz km= × × ×

1 3 10 365 24 36 105 2añoluz km= × × × × ×

Finalmente:

d Em= × −2946080 10 8e j

d Em≈ × −19 10 3

e mmm

mm= × ×26 2

1

1000

e mnm

m= × ×−

−52 101

10

39

Vmm

día

mm

h= =108

1

108

24

, ,

Q=0 000625 0 000064

0 05 0 016

3

2 4

, ,

, ,b g b g

1 300000 36524

1

3600

1añoluz

km

sia

h

dia

s

h= × × ×d

1 946080 101000

1

1

10

718

añoluz kmm

km

Em

m= × × ×

30 303600

1

1

1609 347

m

s

m

s

s

h

milla

m= ×

,

d Em= × −1892160 10 8

Vmm

h

m

mm

h

s= × ×108

24

1

1000

1

3600

,


9.- Convertir: 1kw-h a Joule (J ) ; 1 kw = 1 kilowatt

wattNewton

s=

Solución:

10. Convertir:

1 litro = 1 3dm ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dm

30 67108m

s

milla

h= ,

lb

puagramo

mililitro

g

mllg3FHG

IKJ

Solución:

1.- Efectuar: E = 0,002×2 000

Rpta. E = 4

2.- Efectuar: E = 2 250×0,02×0,000 004×106

Rpta. E = 180

3.- Efectuar:

Rpta. E = 30,000 03

4.- ¿Cuál es el resultado de efectuar:

Rpta. E = 26,35×104


PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

E= × ××

−4000004 10 0 003

0 000004 10

4

4

,

,

E=×2635 26 35

0 0002635

, ,

,

E=× × ×

× ×

0 003 49000 0 9 0 081

8100 270 072

, , ,

,b g

5.- Expresar el resultado en notación científica.

Rpta. E = 103

6.- Dar el resultado de efectuar:

Rpta. E = 10−5

7.- ¿Qué distancia en Mm recorrió un móvil que marchaa 36 km/h en 2 Es?

Rpta. 2×1013

3030 3600

1609 347

m

s

milla

h=

×,

kw h= ×1 kw-h

36 105w s= × ×1 kw-h

36 101

5w s

Joule

sw

= × × ×1 kw-h

36 105 Joule= ×1 kw-h

1 kw-h= × × ×kw hw

kw

s

h

1000

1

3600

1

* ,1 2 2kg lb=1000 22g lb= ,

1 22 10 3g lb= × −,

* 1 1 3litro dm=1

1000

1

10003litro

dm=

1 10 3 3ml dm= −

*lg lg ,

lg

,

1 1 1

22 10

1

0 2543 3 3

3

3

lb

pu

lb

pu

g

lb

pu

dm= ×

××− b g

1 1

22 10 0 2543 3 3 3

lb

pu

g

dmlg , ,=

××

−e jb g

1277381

3 3

lb

pu

g

dmlg,=

1277381

10

13 3

3 3lb

pu

g

dm

dm

mllg,= ×

−

1277381

3

lb

pu

g

mllg,=

E=27000000

0 0081

3

4 ,

?



1.- Efectuar:

Rpta. E = 3,44×10-4

2.- Efectuar:

Rpta. E = 0,001

3.- Efectuar:

Rpta. E = 5,223 x 10–8

4.- Halla la expresión reducida en (pN)

Rpta. 32 pN

E= × ×0 000020123

14623425 105

,

E= ×0 000000000004

0 000006

45000000

30000

,

,

E= × ×0 000000004002

45000

10 22

0 006

3 19,

,

b g

MJ J

J NJ N

m

s= = ⋅0 000008 128000

0 0256 4001

2 3

4 2

,

,;

b g b gb g b g

8.- En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 go-tas, en 6 m3 ¿Cuántas gotas tendremos?

Rpta. 18 × 106 gotas

9.- ¿A cuántos kPa equivalen 25 GN distribuidos en5 Mm2? (Pa = N/m2)

Rpta. 5 kPa

10.- Si 1J = N⋅m, expresar en pJ el producto de 6 GN por12 am.

Rpta. 72 x 103 pJ

5.- Halla la expresión reducida en:

Rpta. M = 2-7×1011 m/s2

6.- En un cultivo bacterial se observa que se reproducenen progresión geométrica cada hora, en razón de2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias.¿Cuántas habrían en 3 horas? Expresar este resulta-dos en Gbacterias?

Rpta. 64 Gbacterias

7.- Una pelota de 0,064 5 m de diámetro está sobre unbloque que tiene 0,010 9 m de alto. ¿A qué distanciaestá la parte superior de la pelota por sobre la basedel bloque? (Dar su respuesta en metros)

Rpta. 7,54×10−2 m

8.- Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene6,023 ×1023 granos de arena. ¿Cuántos ng habráen 18,069 × 1028 granos de arena?

Rpta. 3×1017 ng

9.- Una bomba atómica libera 40 GJ de energía. ¿Cuán-tas bombas se destruyeron si se obtuvo 64×1036 J deenergía?

Rpta. 16×1026 bombas

10.- Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumende 4 500 km3. Hallar su densidad en µg/m3.

Rpta.E

GN fN kN

TN N=

⋅ ⋅⋅

6 4 0 00032 1600

128 8

, ,

,

b g b g b gb g b gµ

1

3103

3× µg

m


Estudia la forma como se relacionan las magni-tudes derivadas con las fundamentales.

ANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONAL

Toda unidad física, está asociada con una dimensiónfísica.Así, el metro es una medida de la dimensión“longitud” (L), el kilogramo lo es de la “masa” (M),el segundo pertenece a la dimensión del “tiem-po” (T).Sin embargo, existen otras unidades, como el m/sque es unidad de la velocidad que puede expre-sarse como la combinación de las antes mencio-nadas.

Dimensión de velocidad =

Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia,etc, pueden expresarse en términos de las dimen-siones (L), (M), y/o (T).El análisis de las Dimensiones en una ecuación, mu-chas veces nos muestra la veracidad o la falsedadde nuestro proceso de operación; esto es fácil dedemostrar ya que el signo “=” de una ecuación in-dica que los miembros que los separa deben detener las mismas dimensiones.Mostraremos como ejemplo:

A×B×C = D×E×F

Es una ecuación que puede provenir de un desa-rrollo extenso, una forma de verificar si nuestro pro-ceso operativo es correcto, es analizándolodimensionalmente, así:

(dimensión de longitud)2 = (dimensión de longitud)2

En el presente caso comprobamos que ambosmiembros poseen las mismas dimensiones, luegola ecuación es correcta.

En la aplicación del Método Científico, ya sea parala formulación de una hipótesis, o en la experimen-tación también es recomendable usar el AnálisisDimensional.

Dimensión de longitudDimensión del tiempo

Fines del análisis dimensional

1.- El análisis dimensional sirve para expresar lasmagnitudes derivadas en términos de las fun-damentales.

2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fór-mulas físicas, haciendo uso del principio de ho-mogeneidad dimensional.

3.- Sirven para deducir las fórmulas a partir de da-tos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALES

Son expresiones matemáticas que colocan a lasmagnitudes derivadas en función de las fundamen-tales; utilizando para ello las reglas básicas delalgebra, menos las de suma y resta.Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicasporque sólo operan en las magnitudes.

NOTACIÓN

A : Se lee letra “A”

[A] : Se lee ecuación dimensional de A

Ejemplos: Hallar la Ecuación Dimensional de:

Velocidad (v)

ve

tv

e

t

L

T= ⇒ = =

v LT= −1

Aceleración (a)

a a= ⇒ = =−v

t

v

t

LT

T

1

a = −LT 2


Fuerza (F)

Trabajo (W)

Potencia (P)

Area (A)

Volumen (V)

Presión (P)

Densidad (D)

F MLT= −2

W Fd= .

W Fd W F d MLT L= ⇒ = = −. 2

W MLT= −2 2

PW

tP

W

t

MLT

T= ⇒ = =

−2 2

P MLT= −2 3

⇒ = ⋅A L LA = (Longitud)×(Longitud)

A L= 2

V = (Longitud)×(Longitud)×(Longitud)

V L= 3

PFuerza

AreaP

F

A

MLT

L= ⇒ = =

−2

2

P ML T= − −1 2

DMasa

VolumenD

M

V

M

L= ⇒ = =

3

D ML= −3

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

Si una expresión es correcta en una fórmula, se debecumplir que todos sus miembros deben serdimensionalmente homogéneos. Así:

E A B C D= = = =

E – A + B + C = D

V = V = V = V = VPor lo tanto se tendrá:

OBSERVACIÓN

Los números, los ángulos, los logaritmos y lasfunciones trigonométricas, no tienen dimensio-nes, pero para los efectos del cálculo se asumeque es la unidad.

F m= .a

F m= . a

; siendo a = aceleración


TESTTESTTESTTESTTEST

1.- Siendo “a” una magnitud física, que proposición o queproposiciones siempre se cumplen:

I. [a] + [a] + [a] = [a]II. [a] - [a] = [a]III. [a] - [a] = 0

a) I d) IIIb) II e) N.A.c) I y II

2.- ¿Cuál será las dimensiones de Q kg ms= 3 2/ . ?

a) M L−1 T−1 d) M LT−1

b) M L−1 T−2 e) M LTc) M L T2

3.- ¿Qué relación no es correcta dimensionalmente?

a) [fuerza] = M LT−2 d) [trabajo] = M L2T−2

b) [frecuencia] = T−1 e) [carga eléctrica] = I .Tc) [velocidad angular] = T−1

4.- Precisar verdadero o falso dimensionalmente:

I) L + L + L – L = L ( )

II) En sec( ) ( )P P+ ⇒ =12 1

III) En axm

kg x ML⋅

−⇒ = 1 ( )

a) VVF d) FVVb) FFF e) FFVc) VVV

5.- ¿Qué proposición o proposiciones son falsas respec-to al Análisis Dimensional?

I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos.II.- Se emplea para verificar fórmulas propuestas.III.- Se usa para deducir fórmulas.

a) I d) I y IIb) II e) III y IIc) III

6.- Respecto al análisis dimensional señalar verdadero ofalso:

I.- Pueden existir dos magnitudes físicas diferentescon igual fórmula dimensional.

II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales.III.- Dimensionalmente todos los ángulos y funciones

trigonométricas representan lo mismo.

a) VVV d) FFVb) VVF e) VFVc) FFF

7.- Respecto a una fórmula o ecuación dimensional, se-ñalar verdadero o falso:

I.- Todos los términos en el primer y segundo miem-bro tienen las mismas dimensiones.

II.- Todos los números y funciones trigonometricasque figuran como coeficientes tienen las mismasdimensiones, e igual a 1.

III.- La ecuación dimensional de los términos del pri-mer miembro, difieren de las dimensiones del se-gundo miembro.

a) VVF d) VFVb) VVV e) FVFc) FVV

8.- El S.I. considera ................ fundamentales y ........................con carácter geométrico.

a) Tres magnitudes – dos auxiliaresb) Siete magnitudes – dos auxiliaresc) Seis magnitudes – una auxiliard) Tres magnitudes – una auxiliare) N.A.

9.- ¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas di-mensiones?

a) Velocidad - LT−1

b) Fuerza - ML T−2

c) Volumen - L3

d) Densidad - ML−3

e) Aceleración - L T2

10.- ¿Qué unidad va asociada incorrectamente a las dimen-siones dadas?

a) kg s

m

⋅

b) kgm

s⋅2

c) Am

s⋅

d) kg m

A s

⋅⋅

2

2

e) kgm

s⋅

3

4

− −MTL 1

− ILT

− −ML T3 4

− − −ML A T2 1 2

− −MLT 2



PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

1.- Halle la dimensión de “K” en la siguiente fórmula física:

Donde; m:masaF : fuerzav :velocidad

Solución:

Analizando cada elemento:

Luego tendremos:

3.- Hallar la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula:

V = α.A + β.D

Donde; V : volumenA : áreaD : densidad

Solución:

Aplicando el principio de homogeneidad.

Determinando: α

Determinando: β

Km v

F= ⋅ 2

2.- Halle la dimensión de “S” en la siguiente fórmula física:

Donde; F : fuerzam:masad :distanciav :velocidad

Solución:

Analizando cada elemento:

Luego tendremos:

Km v

F

M LT

MLT

ML T

MLT=

⋅= =

−

−

−

−

2 12

2

2 2

2

b ge j

SF d

m c= ⋅

⋅ 2

F MLT

d L

m M

c LT

=

=

=

=

−

−

2

1

S =1

V A D= =α β

V A= α

4.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homo-génea, determinar la ecuación dimensional de “x” e “y”.

Siendo; A: fuerzaB:trabajoC:densidad

Ax + By = C

Solución:

Si la expresión es dimensionalmente homogénea,entonces:

Con lo cual se tiene:

V D= β

L ML M L3 3 1 6= ⇒ =− − +β β

L L L3 2= ⇒ =α α

Ax By C+ =

A x B y C= =

A MLT= −2

B ML T= −2 2

C ML= −3

MLT x ML− −=2 3

xML

MLTx L T= ⇒ =

−

−−

3

24 2

K L=

m M

v LT

F MLT

=

=

=

−

−

1

2

SF d

m c

MLT L

M LT

ML T

ML T= = =

−

−

−

−2

2

1 2

2 2

2 2

e jb g

b ge j A x C=


5.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homo-génea: P = qz R−y sx

Donde; P : presión q : fuerzaR : volumen s : longitud

Hallar: x – 3y

Solución:

Nos piden: x – 3y

x – 3y = −2

P ML T= − −1 2

R L= 3

q MLT= −2

P q R sz y x= −

P q R sz y x= −

M M zz1 1= ⇒ =

L L z y xz y x− − += ⇒ − = − +1 3 1 3

− = − +1 1 3y x

ML T M L T L Lz z z y x− − − −=1 2 2 3

ML T M L Tz z y x z− − − + −=1 2 3 2

NOTA

Las ecuaciones dimensionales sólo afectan alas bases, más no a los exponentes, pues estossiempre son números y por lo tanto estos ex-ponentes se conservan siempre como tales(números).De lo expuesto, queda claro que la ecuacióndimensional de todo exponente es la unidad.

1.- Halle la dimensión de “A” y “B” en la siguiente fórmulafísica.

Donde; W: trabajov : volumenF : fuerza

Solución:

Aplicando el principio de homogeneidad:

Determinando A

Determinando B


W

A

v

BF= +

W

A

v

BF

LNM

OQP

= LNM

OQP

=1 2/

W

AF=

ML T

AMLT A L

2 22

−−= ⇒ =

2.- Halle la dimensión de “A”, “B” y “C” en la siguiente fór-mula física.

E = A.F + B. v2 + C⋅a

Donde; E : trabajoF : fuerzav : velocidada : aceleración

Solución:


Determinando A :

v

BF B

v

F

1 2

1 2

1 21 2/

/

//

= ⇒ =

B M LT= −2 4

B y C=

ML T y ML2 2 3− −=

yML

ML Ty L T= ⇒ =

−

−−

3

2 25 2

s L=

Bv

F

L

MLT

= =−2

3

22

e j

E AF Bv C= = = ⋅2a

E A F=

ML T AMLT A L2 2 2− −= ⇒ =

ML T MLT L Lz y x− − − −

=1 2 2 3e j e j b g


BW

tW B t⋅ = ⇒ =

L L x xx2 31

3 2 5= ⇒ − = ⇒ =− b g

Determinando B :

Determinando C :

3.- Halle la dimensión de ”R” en la siguiente fórmula física:

R = (x + t)(x2 – y)(y2 + z)

Donde ; t: tiempo

Solución:

Observamos por el principio de homogeneidad:

Luego tendremos:

E B v= 2

ML T B LT B M2 2 12− −= ⇒ =e j

ML T CLT C ML2 2 2− −= ⇒ =

x T

y x T

z y T T

=

= =

= = =

2 2

2 22

4e j

R x y z

R T T T

=

= × ×2 4

4.- La potencia que requiere la hélice de un helicópteroviene dada por la siguiente fórmula:

P = K. Rx. Wy. Dz

Donde; W: velocidad angular (en rad/s)R : radio de la hélice (en m)D : densidad del aire (en kg/m3)K : número

Calcular x,y,z.

Solución:

5.- Determinar las dimensiones que debe tener Q para quela expresión W sea dimensionalmente homogénea.

W = 0,5 mcx + Agh + BP

Siendo: Q A Bx x= ⋅ ;

Además; W: trabajo h :alturam:masa P :potenciac :velocidadA,B : constantes dimensionalesg :aceleración

Solución:

M M zz1 1= ⇒ =

T T yy− −= ⇒ =3 3

W m c A g h B Px= = =

W A g h=

B P W=

W m cx=

ML T A LT L2 2 2− −= =

ML T M LTx

2 2 1− −= e j

ML T ML Tx x2 2− −=

Q A Bx= 1 2/

Q M T= 2 1 2/

6.- Suponga que la velocidad de cierto móvil, que se des-plaza con movimiento bidimensional, puede determi-narse con la fórmula empírica:

Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantesdimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c,para que la fórmula sea homogénea dimensio-nalmente.

Solución:

Por el principio de homogeneidad:

V aTb

T c= +

−3

2

x= 2


Finalmente:

A M=

P K R W Dx y z=

ML T L T MLx y z

2 3 1 31− − −= b gb g e j e jML T L T M Lx y z z2 3 3− − −=

ML T M L Tz x z y2 3 3− − −=

⇒ =R T7 B T=

E C= a


MLT ML LT M M Mx y z− − − =2 3 1 1e j e j e j b gb gb gb g

x y= − ⇒ = −1 1

7.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente ho-mogénea.

Hallar: ”x – 2y”

Siendo; a:aceleraciónv:velocidadt : tiempo

Solución:

Dimensionalmente se tiene:

Luego tendremos:

Dimensionalmente:

Con lo cual:

Nos piden: “x – 2y” x – 2y = –1 – 2(–1)

x – 2y = 1

V a T

LT aT

=

=−

3

1 3

Vb

T

LTb

T

=

=−

2

12

:de T c2 − ⇒ =c T2

⇒ = −a LT 4

⇒ =b LT

a vt kx y x= + −1e j

1 = −ky x

1 0° = ⇒ − = ⇒ =−k y x y xy x

a vt kx y y= + −1e j

a vt kx= +1 0e j

a vtx= +1 1b g

a v t

LT LT T

LT LT T

LT LT

T T x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

= ⇒ − = −

− −

− −

− −

− −

2

1

1 2

2 1

2 1

2 1

2 1

b ge jb g

8.- En la expresión mostrada. Hallar “z”

Fx Dy vz = (n + tan θ) m1 m

2 m

3

Donde; F :fuerzaD:densidadv :velocidadm1, m2,m3 : masas

Solución:

Dimensionalmente; para que (n + tan θ ) sea homogénea:

[n] = [tan θ ] = 1

Con lo cual: n + tan θ = número

[n + tan θ ] = 1

Con todo el sistema:

Resolviendo: z = -9

tanθ =número

F D v n m m mx y z = + tanθ 1 2 3

M L T M L L T Mx x x y y z z− − − =2 3 3

M L T M L Tx y x y z x z+ − + − − =3 2 3 0 0

M M x y

L L x y z

T T x z

x y

x y z

x z

+

− +

− −

= ⇒ + =

= ⇒ − + =

= ⇒ − − =

3

3 0

2 0

3

3 0

2 0

E Mvx Mvx Mvx= + + + ∞........

E Mvx Mvx Mvx= + + + ∞........

E1 24444 34444

E Mvx E E Mvx E= + ⇒ = +2

E M v x E2 = =

E E E2

1= ⇒ =

9.- En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.Determinar la ecuación dimensional de “x”.

Donde; M : masa ; v : velocidad

Solución:

Dimensionalmente:

Además:

a vtx= 2

M v x E

M v x

M LT x

xMLT

x M L T

=

=

=

= ⇒ =

−

−− −

1

1

1

1

11 1

b ge j


10.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homo-génea. Determinar la ecuación dimensional de “K”

Solución:

Dimensionalmente:

De donde:

K GM L T M L Tx y z x y z x y z= ++ + + − − −b g b g b g b g b g b g2

6 2 6 2 6 2

Tz6 2−b g

x y z= = = 3

2

1.- Halle la dimensión de “H” en la siguiente fórmula física.

Donde; D : densidadA : aceleraciónV : volumenF : fuerza

Rpta. [H] = 1

2.- La medida de cierta propiedad (t) en un líquido se de-termina por la expresión:

Siendo: h medida en m; d, peso específico. ¿Cuál será laecuación dimensional de t para que r se mida en m?

Rpta.

3.- Halle la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmulafísica.

K M L T

K M L T

x y z=

=

− − −

FH

IK

FHG

IKJ

FH

IK

FHG

IKJ

FH

IK

FHG

IKJ− − −

2

1

6 2 6 2 6 2

6 23

26 2

3

26 2

3

2

b g b g b g

b g

K M L T= 3 3 3

Resolviendo:

Luego:

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS


Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza.

Rpta.

4.- Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula:

Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia

Rpta.

5.- Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula:

Donde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleración

Rpta.

HD A V

F= ⋅ ⋅

ht

rd= 2

Ev F= +2

α β

α

β

=

=

−

−

M

L

1

1

v A t B x= ⋅ + ⋅

A LT

B T

=

=

−

−

2

1

Vx

A

g

B= +

2

A LT

B T

=

= −1

t MT= −2

G M L T M Lx y z x y x x y+ + + − −=b g b g b g b g b g

26 2 6 2

G

M M x y x

L L z x y

T T y x z

x y x

z x y

y x z

=

= ⇒ + = −

= ⇒ + = −

= ⇒ + = −

+ −

+ −

+ −

2

6 2

6 2

6 2

6 2

6 2

6 2

b g b g

b g b g

b g b g


GL L b

T a=

−⋅

4 2 2

2

π θb gcos

6.- Halle la dimensión de “A”, “B” y “C” en la siguiente fór-mula física:

Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s)

Rpta.

7.- Halle la dimensión de “G”, “H” e “I” en la siguiente fór-mula física:

F = Ga + Hv + I

Donde; F : fuerza ; a : aceleración ; v : velocidad

Rpta.

8.- En la siguiente expresión, calcular x + y

K:constante numéricaS:espacioa:aceleraciónt : tiempo

Rpta. 3

9.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homo-génea. Determinar:

a:aceleraciónt : tiempo

Rpta. T2

10.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente ho-mogénea; determinar la ecuación dimensional de “C”.

R : longitudy : aceleración

Rpta. L3T-4

A L

B LT

C LT

=

=

=

−

−

2

3

G M

H MT

I MLT

=

=

=

−

−

1

2

a

b

LNM

OQP

= ?

CRy N

N

x

x=

−

3

2

2

2

e j


1.- Determinar la dimensión de “x”, si la ecuación esdimensionalmente correcta.

v :velocidad a :aceleraciónM: masa W:trabajo

Rpta. M2LT-2

2.- Hallar la ecuación dimensional de z, si la ecuación mos-trada, es dimensionalmente correcta:

w : peso ; g : aceleración

Rpta. MLT-2

3.- Determinar las dimensiones de “a”, sabiendo que la si-guiente ecuación es dimensionalmente correcta:

donde; G:aceleración de la gravedadT :tiempob y L : longitud

Rpta. L2

4.- La fracción mostrada es dimensionalmente correctay homogénea:

, determinar las dimensiones de “x”.

Rpta. L-14T28/3

5.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homo-génea, hallar las dimensiones de “b”.

W: trabajov :velocidadF : fuerza

Rpta. L1/2T-1/2

6.- En la ecuación:

Hallar: (x.y.z)

xvWMa

senbt2 2

30=

°+ ; donde:

π αφ

tanlog

=+ +

+w w z

g gsen x

2 3b gb g

Ax Bx Cx D

A B C D

3 2

8 6 4

+ + ++ + +

y A L T= −6 4

WF a

x

F C

b v= −

+5 8 2

2

log

P Kg d hy x z=

e A Bt Ct= + +2 3

S K tx y= a

20+ + = +−

t ka p

b q


donde; P:presióng:aceleración de la gravedadh:alturaK:constante numéricad:densidad

Rpta. 1

7.- En la expresión:

Hallar las dimensiones de A, B y C para que seadimensionalmente homogénea, donde:

α : ángulo en radianesL : longitudF : fuerzae :base de los logaritmos neperianosm y n : números

Rpta. A = adimensionalB = L-1/2

C = M-3/2L-3/2T3

8.- Hallar las dimensiones de “x” e “y”, sabiendo que laigualdad mostrada es dimensionalmente correcta.

tan( )tan cos

Ae CFmBL

sen

n+F

HGIKJ = ±

°° °

−πα2 10

30 260 60

1

W

eba b c= + 2

x senvy

temB= + +π αb gd i

2

9.- Determinar la dimensión de “b” para que la ecuaciónsea homogénea.

Donde; W:trabajoe :espacioa :aceleración

Rpta. M

10.- Hallar [x][y]:

Donde; v :velocidade :espaciom:masat : tiempoB :número real

h :alturam:masaA

1, A

2 : areas

Rpta. x = Ly = M−1

2

0 85

2

1 2

−FHG

IKJ

=−

x

h

m

xy

A A,

Rpta. M LT2 2

Magnitudes+fisicas+i

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