Capitulo 2 Magnitudes Fisicas

MAGNITUDES FSICASMAGNITUDES FSICASMAGNITUDES FSICASMAGNITUDES FSICASMAGNITUDES FSICAS

Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otraspalabras es susceptible a ser medido.

Para qu sirven las magnitudes fsicas? sirven para traducir en nme-ros los resultados de las observaciones; as el lenguaje que se utiliza enla Fsica ser claro, preciso y terminante.

CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICASCLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICASCLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICASCLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICASCLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICAS

1.- POR SU ORIGEN

A) Magnitudes FundamentalesSon aquellas que sirven de base para escribir las dems magnitudes.En mecnica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: Lalongitud, la masa y el tiempo.Las magnitudes fundamentales son:

B) Magnitudes DerivadasSon aquellas magnitudes que estn expresadas en funcin de lasmagnitudes fundamentales; Ejemplos:

Longitud (L) , Intensidad de corriente elctrica (I)Masa (M) , Temperatura termodinmica ()Tiempo (T) , Intensidad luminosa (J)

Cantidad de sustancia ()

Velocidad , Trabajo , PresinAceleracin , Superficie (rea) , Potencia, etc.Fuerza , Densidad

MAGNITUDESFSICAS

Captulo 2

C) Magnitudes Suplementarias(Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni deriva-das; sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales:

ngulo plano () , ngulo slido ()

Jorge Mendoza Dueas12

2.- POR SU NATURALEZA

A) Magnitudes EscalaresSon aquellas magnitudes que estn perfectamente determinadas con slo conocer su valor numri-co y su respectiva unidad.

Ejemplos:

VOLUMEN TEMPERATURA TIEMPO

Como se ver en todos estos casos, slo se necesita el valor numrico y su respectivaunidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.

El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orienta-cin N 60 E (tiene direccin y sentido) con lo cual es fcil llegardel punto o a la casa.

Sabemos que la fuerza que se est aplicando al bloque es de5 Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica quela fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendramos ideasi se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitudvectorial.

FUERZA DESPLAZAMIENTO

B) Magnitudes VectorialesSon aquellas magnitudes que adems de conocer su valor numrico y unidad, se necesita la direcciny sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada.

Ejemplos:

Tengo fiebrede 40 C

Que fatal!

Son las12:15 P.M.

Ya es tarde!

F N= 5

Slo necesito100 mm3 y estarterminado

Magnitudes Fsicas 13

SISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADES

La necesidad de tener una unidad homognea paradeterminada magnitud, obliga al hombre a definirunidades convencionales.

Origen del Sistema de Unidades:

SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES - NOT NOT NOT NOT NOTACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIAL

Convencionalmente:

1 pulgada = 2,54 cm1 pie = 30,48 cm1 yarda = 91,14 cm

El 14 de octubre de 1 960, la Conferencia Generalde Pesas y Medidas, estableci el Sistema Interna-cional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en laactualidad y que en el Per se reglament segn laley N 23560.

Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Interna-cional (S.I), estas son:

1. UNIDADES DE BASESon las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales.

2. UNIDADES SUPLEMENTARIASSon las unidades correspondientes a las mag-nitudes suplementarias, sin embargo se lesconsidera como unidades de base.

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO PATRON PRIMARIO

Longitud metro m Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lmpara decriptn especial.

Un cilindro de aleacin de platino que se conserva en el laboratorioNacional de Patrones en Francia.

Basado en la frecuencia de la radiacin de un oscilador de cesioespecial.

Con base en la de fuerza magntica entre dos alambres que transpor-tan la misma corriente.

Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela simul-tneamente si la presin es adecuada.Basado en la radiacin de una muestra de platino fundido preparadaespecialmente.

Con base en las propiedades del carbono 12.

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Ampere AIntensidad de

Corriente Elctrica

Kelvin KTemperatura

Termodinmica

Candela cdIntensidadLuminosa

mol molCantidad

de Sustancia

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

Angulo Plano radin rad

Angulo Slido estereorradin sr

1 pulgada 1 yarda

1 pie


3. UNIDADES DERIVADASSon las unidades correspondientes a las mag-nitudes derivadas. A continuacin slo se pre-sentarn algunas de ellas.

NOTNOTNOTNOTNOTACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIAL

En la fsica, es muy frecuente usar nmeros muygrandes, pero tambin nmeros muy pequeos;para su simplificacin se hace uso de los mltiplosy submltiplos.

OBSERVACIONES

El smbolo de una unidad no admite puntoal final.

Cada unidad tiene nombre y smbolo; estosse escriben con letra minscula, a no ser queprovenga del nombre de una persona, encuyo caso se escribirn con letra mayscula.

1. MLTIPLOS

2. SUBMLTIPLOS

OBSERVACIONES

Los smbolos de los mltiplos o submltiplosse escriben en singular.

Todos los nombres de los prefijos se escribi-rn en minscula.

Los smbolos de los prefijos para formar losmltiplos se escriben en maysculas, excep-to el prefijo de kilo que por convencin sercon la letra k minscula. En el caso de lossubmltiplos se escriben con minsculas.

Al unir un mltiplo o submltiplo con unaunidad del S.I. se forma otra nueva unidad.

Ejemplo:

La escritura, al unir mltiplo o submltiplocon una unidad del S.I. es la siguiente:Primero: El nmero (valor de la magnitud).Segundo: El mltiplo o submltiplo (dejan-do un espacio)Tercero: La unidad del S.I. (sin dejar espacio).

Ejemplo:

20103 m = 20 km (20 kilmetros)36,410-6 f = 36,4 f (36,4 microfaradios)

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

Fuerza Newton N

Superficie (Area) metro cuadrado m2

Velocidad metro por segundo m/s

Volumen metro cbico m3

Trabajo Joule J

Presin Pascal Pa

Potencia Watt W

Frecuencia Hertz Hz

Capacidad Elctrica faradio f

Resistencia Elctrica Ohm

Deca D 101 = 10

Hecto H 102 = 100

Kilo k 103 = 1 000

Mega M 106 = 1 000 000

Giga G 109 = 1 000 000 000

Tera T 1012 = 1 000 000 000 000

Peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000

Exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

PREFIJO SMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIN

deci d 10-1 = 0,1

centi c 10-2 = 0,01

mili m 10-3 = 0,001

micro 10-6 = 0,000 001nano n 10-9 = 0,000 000 001

pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001

atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

PREFIJO SMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIN

Unidad del S.I. m (metro)

Nuevas Unidades km (kilmetro)

cm (centmetro)


CIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICATIVTIVTIVTIVTIVASASASASAS

Cuando un observador realiza una medicin, notasiempre que el instrumento de medicin posee unagraduacin mnima:

Ilustracin

Se podr afirmar entonces que el largo del libromide 33 centmetros ms una fraccin estimada odeterminada al ojo, as por ejemplo, nosotros po-demos estimar: L = 33,5 cm.

La regla graduada tiene como graduacin mnima el centmetro.

CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas de un valor medido, estndeterminados por todos los dgitos que puedenleerse directamente en la escala del instrumentode medicin ms un dgito estimado.

l El dgito distinto de cero que se halle ms ala izquierda es el ms significativo.

l El dgito que se halle ms a la derecha es elmenos significativo, incluso si es cero.

l El cero que se coloca a la izquierda del puntode una fraccin decimal no es significativo.20 ; tiene una cifra significativa.140 ; tiene dos cifras significativas.140,0 ; tiene cuatro cifras significativas.1 400 ; tiene dos cifras significativas.

l Todos los dgitos que se hallen entre losdgitos menos y ms significativos son signi-ficativos.

Ejemplo; determinar el nmero de cifras significa-tivas:

4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas.0,23 m ; tiene dos cifras significativas.0,032 m ; tiene dos cifras significativas36,471 2 m; tiene seis cifras significativas6,70 m ; tiene tres cifras significativas321,2 m ; tiene cuatro cifras significativas2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas

En el ejemplo del libro, la longitud del mismo sepuede expresar as:

33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m

Es notorio que el nmero de cifras significativas enel presente ejemplo es tres.

El nmero de cifras significativas en un valor me-dido, generalmente se determina como sigue:

Al medir el largo del libro se observa que su medida est entre 33 y 34 cm.


1.- Entre las alternativas, una de las unidades no corres-ponde a las magnitudes fundamentales del sistemainternacional:

a) metro (m)b) Pascal (Pa)c) Amperio (A)d) candela (cd)e) segundo (s)

2.- Qu magnitud est mal asociada a su unidad baseen el S.I.?

a) Cantidad de sustancia - kilogramob) Tiempo - segundoc) Intensidad de corriente - Amperiod) Masa - kilogramoe) Temperatura termodinmica - kelvin

3.- Cul de las unidades no corresponde a una unidadfundamental en el S.I.?

a) A Amperiob) mol - molc) C - Coulombd) kg - kilogramoe) m - metro

4.- Entre las unidades mencionadas, seala la que perte-nece a una unidad base en el S.I.

a) N Newtonb) Pa - Pascalc) C - Coulombd) A - Amperioe) g - gramo

5.- Qu relacin no corresponde?

a) 1 GN = 109 Nb) 2 TJ = 21012 Jc) 1 nHz = 109 Hzd) 3 MC = 3109 Ce) 5 pA = 51012 A

6.- Al convertir una seal de camino al sistema mtrico, slose ha cambiado parcialmente. Se indica que una po-blacin est a 60 km de distancia, y la otra a 50 millas dedistancia (1 milla = 1,61 km). Cul poblacin est msdistante y en cuntos kilmetros?

a) 50 millas y por 2,05 10 4 mb) 20 millas y por 2,1 104 mc) 30 millas y por 2,1 105 md) 40 millas y por 10 4 me) N.A.

7.- Un estudiante determinado meda 20 pulg de largocuando naci. Ahora tiene 5 pies, 4 pulg y tiene 18 aosde edad. Cuntos centmetros creci, en promedio,por ao?

a) 6,2 cmb) 5,3 cmc) 5,4 cmd) 6,7 cme) 4,3 cm

8.- Cul de las siguientes alternativas tiene mayor n-mero de cifras significativas?

a) 0,254 cmb) 0,002 54 102 cmc) 254 103 cmd) 2,54 103 me) Todos tienen el mismo nmero

9.- Determine el nmero de cifras significativas en las si-guientes cantidades medidas:(a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722 kg, (d) 22 m

a b c d

a) 4 3 5 3b) 2 2 5 2c) 4 3 5 2d) 1 1 3 2e) 2 1 3 2

10.- Cul de las cantidades siguientes tiene tres cifras sig-nificativas?

a) 305 cmb) 0,050 0 mmc) 1,000 81 kgd) 2 me) N.A.

TESTTESTTESTTESTTEST


6 780 6 7801

102m m

Hm

m=

1.- Efectuar: E = 5 000 00,01

Solucin:

E = 500

E = 5

400 320 m = 400,320 km

4.- Convertir:

Solucin:

E = 5 10 1 104 2e je jE = = 5 10 5 104 2 2

E = 0 005 10 30 000 0004,

E = 5 10 10 3 103 4 7e je je j

360km

ha

m

s

2 230 2 23 103 9m Gm= ,

2 230 2 23 10 6m Gm= ,

5.- Cuntos Gm tendrs en 2 230 m?

Solucin:

A problemas de aplicacin

1.- Dar la expresin reducida:

Solucin:

3.- Hallar la altura del nevado Huascarn en hectme-tros si expresado en metros mide 6 780 m.

Solucin:

E =( ) ( , )

( , )

9 000 0 000 81

0 000 000 243

3 2

2

E =

=

( ) ( )

( )

( )

( )

3 10 81 10

243 10

3 10 3 10

3 10

2 3 3 5 2

9 2

6 9 4 5 2

5 9 2

E = 3 104 17

E = 81 1017

R =25 000 0 000 125

0 006 25 0 05

5 3

2 4

b g b gb g b g

,

, ,

R =25 000 0 000 125

0 006 25 0 05

5 3

2 4

b g b gb g b g

,

, ,

R =

25 10 125 10

625 10 5 10

3 5 6 3

5 2 2 4

e j e je j e j

2.- Dar el valor simplificado de:

Solucin:

R =

5 10 5 10

5 10 5 10

10 15 9 18

8 10 4 8

R = + + +5 1010 9 8 4 15 18 10 8b g b g

R = 5 107 15

2.- Efectuar:

Solucin:

3.- Convertir: 400 320 m a km

Solucin:

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

B problemas complementarios

E = = +5 10 5 103 4 7 0

400 320 400 3201

1 000m m

km

m=

360 3601 000

1

1

3 600

km

h

km

h

m

km

h

s=

360360 1 000

3 600

km

hm s=

( )( )/

36036 10

36 1010

4

24 2km

hm s=

=

/

360 100km

hm s= /

2 230 2 23 101

103

9m m

Gm

m= ,

E =

=

+ +3 10 3 10

3 103 10

6 9 8 10

10 186 8 10 9 10 18( ) ( )

R =

5 10 5 10

5 10 5 10

2 3 5 3 6 3

4 5 2 2 4

e j e je j e j

E = + +3 106 8 10 9 10 18( ) ( )

6 780 67 80m Hm= ,


e mm= 26 2

1 946 080 10 8ao luz Em=

1 946 080 10 10 107 3 18ao luz Em=

1234

1234

1234

1234

1234

1234

1234

1234

12345

12345

12345

12345

12345

12345

12345

12345

1234

1234

1234

1234

1234

1234

1234

1234

123

123

123

123123

123

123

123

123

4.- Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cadauna de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar di-cho resultado en nm.

Solucin:

6.- Expresar en potencias de 10.

Solucin:

7.- Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra auna estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 aosluz. (1 ao luz = distancia que recorre la luz en un aode 365 das). Considere que la luz recorre 300 000 kmen 1 segundo.

Solucin:

8.- Convertir: 30 m/s a milla/h1 milla = 1 609, 347 m

Solucin:

5.- Un cabello humano crece a razn de 1,08 mm por da.Expresar este clculo en Mm / s.

Solucin:

d = 2 ao luz

1 ao luz = 300 000 365km

s das

e m= 52 10 3

e nm= +52 10 103 9

e nm= 52 106

Vm

s=

108 10

24 10 36 10

2

3 2

Vm

s= 0 125 10 7,

Vm

s

Mm

sm

s

= 0 125 101

10

7

6,

VMm

s= 0 125 10 13,

Q =

625 10 64 10

5 10 16 10

6 1 2 6 1 3

2 2 3 4

e j e je j e j

/ /

Q =

5 10 2 10

5 10 2 10

4 6 1 2 6 6 1 3

2 4 4 3 4

e j e je je j

/ /

Q =

=

+ +5 10 2 10

5 10 2 102 10

2 3 2 2

2 4 16 1214 3 2 4 12b g

Q = 2 1014 11

1 300 000 365 24 3 600ao luz km=

1 3 10 365 24 36 105 2ao luz km=

Finalmente:

d Em= 2 946 080 10 8e j

d Em 19 10 3

e mmm

mm= 26 2

1

1 000

e mnm

m=

52 101

103

9

Vmm

da

mm

h= =

1 08

1

1 08

24

, ,

Q =0 000 625 0 000 064

0 05 0 016

3

2 4

, ,

, ,b g b g

1 300 000 36524

1

3 600

1ao luz

km

sia

h

dia

s

h= d

1 946 080 101 000

1

1

107

18ao luz km

m

km

Em

m=

30 303 600

1

1

1 609 347

m

s

m

s

s

h

milla

m=

,

d Em= 1 892160 10 8

Vmm

h

m

mm

h

s=

1 08

24

1

1 000

1

3 600

,


9.- Convertir: 1kw-h a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowatt

wattNewton

s=

Solucin:

10. Convertir:

1 litro = 1 3dm ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dm

30 67 108m

s

milla

h= ,

lb

pua

gramo

mililitro

g

mllg3FHG

IKJ

Solucin:

1.- Efectuar: E = 0,0022 000

Rpta. E = 4

2.- Efectuar: E = 2 2500,020,000 004106

Rpta. E = 180

3.- Efectuar:

Rpta. E = 30,000 03

4.- Cul es el resultado de efectuar:

Rpta. E = 26,35104


PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

E =

4 000 004 10 0 003

0 000 004 10

4

4

,

,

E =2 635 26 35

0 000 263 5

, ,

,

E =

0 003 49 000 0 9 0 081

8 100 270 0 72

, , ,

,b g

5.- Expresar el resultado en notacin cientfica.

Rpta. E = 103

6.- Dar el resultado de efectuar:

Rpta. E = 105

7.- Qu distancia en Mm recorri un mvil que marchaa 36 km/h en 2 Es?

Rpta. 21013

3030 3 600

1 609 347

m

s

milla

h=

,

kw h= 1 kw-h

36 105 w s= 1 kw-h

36 101

5 w s

Joule

sw

= 1 kw-h

36 105 Joule= 1 kw-h

1 kw-h = kw hw

kw

s

h

1 000

1

3 600

1

* ,1 2 2kg lb=

1 000 2 2g lb= ,

1 2 2 10 3g lb= ,

* 1 1 3litro dm=

1

1 000

1

1 0003litro dm=

1 10 3 3ml dm=

*lg lg ,

lg

,

1 1 1

2 2 10

1

0 2543 3 3

3

3

lb

pu

lb

pu

g

lb

pu

dm=

b g1 1

2 2 10 0 2543 3 3 3

lb

pu

g

dmlg , ,=

e jb g

127 738 1

3 3

lb

pu

g

dmlg,=

127 738 1

10

13 3

3 3lb

pu

g

dm

dm

mllg,=

127 738 1

3

lb

pu

g

mllg,=

E =27 000 000

0 008 1

3

4 ,

?



1.- Efectuar:

Rpta. E = 3,4410-4

2.- Efectuar:

Rpta. E = 0,001

3.- Efectuar:

Rpta. E = 5,223 x 108

4.- Halla la expresin reducida en (pN)

Rpta. 32 pN

E = 0 000 020 123

146 23425 105

,

E = 0 000 000 000 004

0 000 006

45 000 000

30 000

,

,

E= 0 000 000 004 002

45 000

10 22

0 006

3 19,

,

b g

MJ J

J NJ N

m

s= =

0 000 008 128 000

0 025 6 4001

2 3

4 2

,

,;

b g b gb g b g

8.- En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 go-tas, en 6 m3 Cuntas gotas tendremos?

Rpta. 18 106 gotas

9.- A cuntos kPa equivalen 25 GN distribuidos en5 Mm2? (Pa = N/m2)

Rpta. 5 kPa

10.- Si 1J = Nm, expresar en pJ el producto de 6 GN por12 am.

Rpta. 72 x 103 pJ

5.- Halla la expresin reducida en:

Rpta. M = 2-71011 m/s2

6.- En un cultivo bacterial se observa que se reproducenen progresin geomtrica cada hora, en razn de2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias.Cuntas habran en 3 horas? Expresar este resulta-dos en Gbacterias?

Rpta. 64 Gbacterias

7.- Una pelota de 0,064 5 m de dimetro est sobre unbloque que tiene 0,010 9 m de alto. A qu distanciaest la parte superior de la pelota por sobre la basedel bloque? (Dar su respuesta en metros)

Rpta. 7,54102 m

8.- Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene6,023 1023 granos de arena. Cuntos ng habren 18,069 1028 granos de arena?

Rpta. 31017 ng

9.- Una bomba atmica libera 40 GJ de energa. Cun-tas bombas se destruyeron si se obtuvo 641036 J deenerga?

Rpta. 161026 bombas

10.- Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumende 4 500 km3. Hallar su densidad en g/m3.

Rpta.E

GN fN kN

TN N=

6 4 0 000 32 1600

12 8 8

, ,

,

b g b g b gb g b g

1

3103

3

gm


Estudia la forma como se relacionan las magni-tudes derivadas con las fundamentales.

ANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONAL

Toda unidad fsica, est asociada con una dimensinfsica.As, el metro es una medida de la dimensinlongitud (L), el kilogramo lo es de la masa (M),el segundo pertenece a la dimensin del tiem-po (T).Sin embargo, existen otras unidades, como el m/sque es unidad de la velocidad que puede expre-sarse como la combinacin de las antes mencio-nadas.

Dimensin de velocidad =

As tambin, la aceleracin, la fuerza, la potencia,etc, pueden expresarse en trminos de las dimen-siones (L), (M), y/o (T).El anlisis de las Dimensiones en una ecuacin, mu-chas veces nos muestra la veracidad o la falsedadde nuestro proceso de operacin; esto es fcil dedemostrar ya que el signo = de una ecuacin in-dica que los miembros que los separa deben detener las mismas dimensiones.Mostraremos como ejemplo:

ABC = DEF

Es una ecuacin que puede provenir de un desa-rrollo extenso, una forma de verificar si nuestro pro-ceso operativo es correcto, es analizndolodimensionalmente, as:

(dimensin de longitud)2 = (dimensin de longitud)2

En el presente caso comprobamos que ambosmiembros poseen las mismas dimensiones, luegola ecuacin es correcta.

En la aplicacin del Mtodo Cientfico, ya sea parala formulacin de una hiptesis, o en la experimen-tacin tambin es recomendable usar el AnlisisDimensional.

Dimensin de longitudDimensin del tiempo

Fines del anlisis dimensional

1.- El anlisis dimensional sirve para expresar lasmagnitudes derivadas en trminos de las fun-damentales.

2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fr-mulas fsicas, haciendo uso del principio de ho-mogeneidad dimensional.

3.- Sirven para deducir las frmulas a partir de da-tos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALES

Son expresiones matemticas que colocan a lasmagnitudes derivadas en funcin de las fundamen-tales; utilizando para ello las reglas bsicas delalgebra, menos las de suma y resta.Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicasporque slo operan en las magnitudes.

NOTACIN

A : Se lee letra A

[A] : Se lee ecuacin dimensional de A

Ejemplos: Hallar la Ecuacin Dimensional de:

Velocidad (v)

ve

tv

e

t

L

T= = =

v LT= 1

Aceleracin (a)

a a= = =v

t

v

t

LT

T

1

a = LT 2


Fuerza (F)

Trabajo (W)

Potencia (P)

Area (A)

Volumen (V)

Presin (P)

Densidad (D)

F MLT= 2

W F d= .

W F d W F d MLT L= = = . 2

W ML T= 2 2

PW

tP

W

t

ML T

T= = =

2 2

P ML T= 2 3

= A L LA = (Longitud)(Longitud)

A L= 2

V = (Longitud)(Longitud)(Longitud)

V L= 3

PFuerza

AreaP

F

A

MLT

L= = =

2

2

P ML T= 1 2

DMasa

VolumenD

M

V

M

L= = = 3

D ML= 3

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

Si una expresin es correcta en una frmula, se debecumplir que todos sus miembros deben serdimensionalmente homogneos. As:

E A B C D= = = =

E A + B + C = D

V = V = V = V = VPor lo tanto se tendr:

OBSERVACIN

Los nmeros, los ngulos, los logaritmos y lasfunciones trigonomtricas, no tienen dimensio-nes, pero para los efectos del clculo se asumeque es la unidad.

F m= .a

F m= . a

; siendo a = aceleracin


TESTTESTTESTTESTTEST

1.- Siendo a una magnitud fsica, que proposicin o queproposiciones siempre se cumplen:

I. [a] + [a] + [a] = [a]II. [a] - [a] = [a]III. [a] - [a] = 0

a) I d) IIIb) II e) N.A.c) I y II

2.- Cul ser las dimensiones de Q kg m s= 3 2/ . ?

a) M L1 T1 d) M LT1

b) M L1 T2 e) M LTc) M L T2

3.- Qu relacin no es correcta dimensionalmente?

a) [fuerza] = M LT2 d) [trabajo] = M L2T2

b) [frecuencia] = T1 e) [carga elctrica] = I .Tc) [velocidad angular] = T1

4.- Precisar verdadero o falso dimensionalmente:

I) L + L + L L = L ( )

II) En sec ( ) ( )P P+ =12 1

III) En ax

m

kg x ML

= 1 ( )

a) VVF d) FVVb) FFF e) FFVc) VVV

5.- Qu proposicin o proposiciones son falsas respec-to al Anlisis Dimensional?

I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos.II.- Se emplea para verificar frmulas propuestas.III.- Se usa para deducir frmulas.

a) I d) I y IIb) II e) III y IIc) III

6.- Respecto al anlisis dimensional sealar verdadero ofalso:

I.- Pueden existir dos magnitudes fsicas diferentescon igual frmula dimensional.

II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales.III.- Dimensionalmente todos los ngulos y funciones

trigonomtricas representan lo mismo.

a) VVV d) FFVb) VVF e) VFVc) FFF

7.- Respecto a una frmula o ecuacin dimensional, se-alar verdadero o falso:

I.- Todos los trminos en el primer y segundo miem-bro tienen las mismas dimensiones.

II.- Todos los nmeros y funciones trigonometricasque figuran como coeficientes tienen las mismasdimensiones, e igual a 1.

III.- La ecuacin dimensional de los trminos del pri-mer miembro, difieren de las dimensiones del se-gundo miembro.

a) VVF d) VFVb) VVV e) FVFc) FVV

8.- El S.I. considera ................ fundamentales y ........................con carcter geomtrico.

a) Tres magnitudes dos auxiliaresb) Siete magnitudes dos auxiliaresc) Seis magnitudes una auxiliard) Tres magnitudes una auxiliare) N.A.

9.- Qu magnitud no est asociada a sus correctas di-mensiones?

a) Velocidad - LT1

b) Fuerza - ML T2

c) Volumen - L3

d) Densidad - ML3

e) Aceleracin - L T2

10.- Qu unidad va asociada incorrectamente a las dimen-siones dadas?

a)kg s

m

b) kgm

s

2

c) Am

s

d) kg m

A s

2

2

e) kgm

s

3

4

MTL 1

ILT

ML T3 4

ML A T2 1 2

MLT 2



PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

1.- Halle la dimensin de K en la siguiente frmula fsica:

Donde; m : masaF : fuerzav : velocidad

Solucin:

o Analizando cada elemento:

o Luego tendremos:

3.- Hallar la dimensin de y en la siguiente frmula:V = .A + .D

Donde; V : volumenA : reaD : densidad

Solucin:

o Aplicando el principio de homogeneidad.

o Determinando:

o Determinando:

Km v

F=

2

2.- Halle la dimensin de S en la siguiente frmula fsica:

Donde; F : fuerzam : masad : distanciav : velocidad

Solucin:

o Analizando cada elemento:

o Luego tendremos:

Km v

F

M LT

MLT

ML T

MLT=

= =

2 12

2

2 2

2

b ge j

SF d

m c=

2

F MLT

d L

m M

c LT

=

=

=

=

2

1

S = 1

V A D= =

V A=

4.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homo-gnea, determinar la ecuacin dimensional de x e y.

Siendo; A : fuerzaB : trabajoC : densidad

Ax + By = C

Solucin:

o Si la expresin es dimensionalmente homognea,entonces:

o Con lo cual se tiene:

V D=

L ML M L3 3 1 6= = +

L L L3 2= =

Ax By C+ =

A x B y C= =

m m A MLT=2

B ML T= 2 2

C ML= 3

MLT x ML =2 3

xML

MLTx L T= =

3

24 2

K L=

m M

v LT

F MLT

=

=

=

1

2

SF d

m c

MLT L

M LT

ML T

ML T= = =

2

2

1 2

2 2

2 2

e jb gb ge j A x C=


5.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea: P = qz Ry sx

Donde; P : presin q : fuerzaR : volumen s : longitud

Hallar: x 3y

Solucin:

o Nos piden: x 3y

x 3y = 2

P ML T= 1 2

R L= 3

q MLT= 2o

o P q R sz y x=

P q R sz y x

=

M M zz1 1= =

L L z y xz y x += = +1 3 1 3

= +1 1 3y x

ML T M L T L Lz z z y x =1 2 2 3

ML T M L Tz z y x z + =1 2 3 2

NOTA

Las ecuaciones dimensionales slo afectan alas bases, ms no a los exponentes, pues estossiempre son nmeros y por lo tanto estos ex-ponentes se conservan siempre como tales(nmeros).De lo expuesto, queda claro que la ecuacindimensional de todo exponente es la unidad.

1.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmulafsica.

Donde; W: trabajov : volumenF : fuerza

Solucin:

o Aplicando el principio de homogeneidad:

o Determinando A

o Determinando B


W

A

v

BF= +

W

A

v

BF

LNM

OQP =

LNM

OQP =

1 2/

W

AF=

ML T

AMLT A L

2 22

= =

2.- Halle la dimensin de A, B y C en la siguiente fr-mula fsica.

E = A.F + B. v2 + Ca

Donde; E : trabajoF : fuerzav : velocidada : aceleracin

Solucin:


o Determinando A :

v

BF B

v

F

1 2

1 21 2

1 2/

//

/

= =

B M LT= 2 4

B y C=o

ML T y ML2 2 3 =

yML

ML Ty L T= =

3

2 25 2

s L=

Bv

F

L

MLT= =

2

3

2 2e j

E AF Bv C= = = 2 a

E A F=

ML T A MLT A L2 2 2 = =

ML T MLT L Lz y x

=1 2 2 3e j e j b g


BW

tW B t = =

L L x xx2 3 1 3 2 5= = = b g

o Determinando B :

o Determinando C :

3.- Halle la dimensin de R en la siguiente frmula fsica:

R = (x + t)(x2 y)(y2 + z)

Donde ; t: tiempo

Solucin:

o Observamos por el principio de homogeneidad:

o Luego tendremos:

E B v=2

ML T B LT B M2 2 12

= =e j

ML T C LT C ML2 2 2 = =

x T

y x T

z y T T

=

= =

= = =

2 2

2 2 2 4e j

R x y z

R T T T

=

= 2 4

4.- La potencia que requiere la hlice de un helicpteroviene dada por la siguiente frmula:

P = K. Rx. Wy. Dz

Donde; W : velocidad angular (en rad/s)R : radio de la hlice (en m)D : densidad del aire (en kg/m3)K : nmero

Calcular x,y,z.

Solucin:

5.- Determinar las dimensiones que debe tener Q para quela expresin W sea dimensionalmente homognea.

W = 0,5 mcx + Agh + BP

Siendo: Q A Bxx

= ;

Adems; W: trabajo h : alturam : masa P : potenciac : velocidadA,B : constantes dimensionalesg : aceleracin

Solucin:

M M zz1 1= =

T T yy = =3 3

W m c A g h B Px

= = =

W A g h=

B P W=

W m cx

=

ML T A LT L2 2 2 = =

ML T M LTx2 2 1

= e jML T ML Tx x2 2 =

Q A Bx

=1 2/

Q M T= 2 1 2/

6.- Suponga que la velocidad de cierto mvil, que se des-plaza con movimiento bidimensional, puede determi-narse con la frmula emprica:

Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantesdimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c,para que la frmula sea homognea dimensio-nalmente.

Solucin:

Por el principio de homogeneidad:

V aTb

T c= +

32

o

o

o

x = 2


o Finalmente:

A M=

P K R W Dx y z

=

ML T L T MLx y z2 3 1 31 = b gb g e j e j

ML T L T M Lx y z z2 3 3 =

ML T M L Tz x z y2 3 3 =

=R T7 B T=

E C= a


MLT ML LT M M Mx y z

=2 3 1 1e j e j e j b gb gb gb g

x y= = 1 1

7.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente ho-mognea.

Hallar: x 2y

Siendo; a : aceleracinv : velocidadt : tiempo

Solucin:

Dimensionalmente se tiene:

o Luego tendremos:

o Dimensionalmente:

Con lo cual:

Nos piden: x 2y x 2y = 1 2(1)

x 2y = 1

V a T

LT a T

=

=

3

1 3

Vb

T

LTb

T

=

=

2

12

:de T c2 =c T2

= a LT 4

=b LT

a vt kx y x= + 1e j

1 =

ky x

1 0 = = =

k y x y xy x

a vt kx y y= + 1e ja vt kx= +1 0e ja vtx= +1 1b g

a v t

LT LT T

LT LT T

LT LT

T T x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

= =

2

1

1 2

2 1

2 1

2 1

2 1

b ge jb g

8.- En la expresin mostrada. Hallar z

Fx Dy vz = (n + tan ) m1 m

2 m

3

Donde; F : fuerzaD : densidadv : velocidadm1, m2,m3 : masas

Solucin:

Dimensionalmente; para que (n + tan ) sea homognea:

[n] = [tan ] = 1

Con lo cual: n + tan = nmero

[n + tan ] = 1

o Con todo el sistema:

Resolviendo: z = -9

tan = nmero

F D v n m m mx y z

= + tan 1 2 3

M L T M L L T Mx x x y y z z =2 3 3

M L T M L Tx y x y z x z+ + =3 2 3 0 0

M M x y

L L x y z

T T x z

x y

x y z

x z

+

+

= + =

= + =

= =

3

3 0

2 0

3

3 0

2 0

m

m

m

E Mvx Mvx Mvx= + + + . . . . . . . .

E Mvx Mvx Mvx= + + + . . . . . . . .

E1 24444 34444

E Mvx E E Mvx E= + = +2

E M v x E2

= =

E E E2

1= =

9.- En la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta.Determinar la ecuacin dimensional de x.

Donde; M : masa ; v : velocidad

Solucin:

o Dimensionalmente:

Adems:

o

o

o

o

a vtx= 2

M v x E

M v x

M LT x

xMLT

x M L T

=

=

=

= =

1

1

1

1

11 1

b ge j


10.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea. Determinar la ecuacin dimensional de K

Solucin:

o Dimensionalmente:

De donde:

K GM L T M L Tx y z x y z x y z= ++ + + b g b g b g b g b g b g2 6 2 6 2 6 2

Tz6 2b g

x y z= = =3

2

1.- Halle la dimensin de H en la siguiente frmula fsica.

Donde; D : densidadA : aceleracinV : volumenF : fuerza

Rpta. [H] = 1

2.- La medida de cierta propiedad (t) en un lquido se de-termina por la expresin:

Siendo: h medida en m; d, peso especfico. Cul ser laecuacin dimensional de t para que r se mida en m?

Rpta.

3.- Halle la dimensin de y en la siguiente frmulafsica.

K M L T

K M L T

x y z=

=

FH

IK

FHG

IKJ

FH

IK

FHG

IKJ

FH

IK

FHG

IKJ

2

1

6 2 6 2 6 2

6 23

26 2

3

26 2

3

2

b g b g b g

b g

K M L T= 3 3 3

Resolviendo:

o Luego:

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS


Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza.

Rpta.

4.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula:

Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia

Rpta.

5.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula:

Donde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleracin

Rpta.

HD A V

F=

ht

rd=

2

Ev F

= +2

=

=

M

L

1

1

v A t B x= +

A LT

B T

=

=

2

1

Vx

A

g

B= +

2

A LT

B T

=

=1

t MT= 2

G M L T M Lx y z x y x x y+ + +

=b g b g b g b g b g2 6 2 6 2

G

M M x y x

L L z x y

T T y x z

x y x

z x y

y x z

=

= + =

= + =

= + =

+

+

+

2

6 2

6 2

6 2

6 2

6 2

6 2

b g b g

b g b g

b g b g


GL L b

T a=

4 2 2

2

pi b gcos

6.- Halle la dimensin de A, B y C en la siguiente fr-mula fsica:

Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s)

Rpta.

7.- Halle la dimensin de G, H e I en la siguiente fr-mula fsica:

F = Ga + Hv + I

Donde; F : fuerza ; a : aceleracin ; v : velocidad

Rpta.

8.- En la siguiente expresin, calcular x + y

K: constante numricaS : espacioa : aceleracint : tiempo

Rpta. 3

9.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea. Determinar:

a : aceleracint : tiempo

Rpta. T2

10.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente ho-mognea; determinar la ecuacin dimensional de C.

R : longitudy : aceleracin

Rpta. L3T-4

A L

B LT

C LT

=

=

=

2

3

G M

H MT

I MLT

=

=

=

1

2

a

b

LNM

OQP = ?

CRy N

N

x

x=

3

2

2

2e j


1.- Determinar la dimensin de x, si la ecuacin esdimensionalmente correcta.

v : velocidad a : aceleracinM : masa W : trabajo

Rpta. M2LT-2

2.- Hallar la ecuacin dimensional de z, si la ecuacin mos-trada, es dimensionalmente correcta:

w : peso ; g : aceleracin

Rpta. MLT-2

3.- Determinar las dimensiones de a, sabiendo que la si-guiente ecuacin es dimensionalmente correcta:

donde; G : aceleracin de la gravedadT : tiempob y L : longitud

Rpta. L2

4.- La fraccin mostrada es dimensionalmente correctay homognea:

, determinar las dimensiones de x.

Rpta. L-14T28/3

5.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homo-gnea, hallar las dimensiones de b.

W: trabajov : velocidadF : fuerza

Rpta. L1/2T-1/2

6.- En la ecuacin:

Hallar: (x.y.z)

xvWMa

senbt2 2

30=

+ ; donde:

pi tanlog

=

+ +

+

w w z

g gsen x

2 3b gb g

Ax Bx Cx D

A B C D

3 2

8 6 4

+ + +

+ + +

y A L T= 6 4

WF a

x

F C

b v=

+

5 8 2

2

log

P Kg d hy x z=

e A Bt Ct= + +2 3

S K tx y= a

20 + + =+

t ka p

b q


donde; P: presing: aceleracin de la gravedadh: alturaK: constante numricad: densidad

Rpta. 1

7.- En la expresin:

Hallar las dimensiones de A, B y C para que seadimensionalmente homognea, donde:

: ngulo en radianesL : longitudF : fuerzae : base de los logaritmos neperianosm y n : nmeros

Rpta. A = adimensionalB = L-1/2

C = M-3/2L-3/2T3

8.- Hallar las dimensiones de x e y, sabiendo que laigualdad mostrada es dimensionalmente correcta.

tan( )tan cos

Ae C FmBL

sen

n+

FHG

IKJ =

pi

2 10

30 2 60 60

1

W

eba b c= + 2

x senvy

temB= + +pi b gd i2

9.- Determinar la dimensin de b para que la ecuacinsea homognea.

Donde; W: trabajoe : espacioa : aceleracin

Rpta. M

10.- Hallar [x][y]:

Donde; v : velocidade : espaciom : masat : tiempoB : nmero real

h : alturam: masaA

1, A

2 : areas

Rpta. x = Ly = M1

2

0 85

2

1 2

FHG

IKJ

=

x

h

m

xy

A A,

Rpta. M LT2 2


MEDICIN MEDICIN MEDICIN MEDICIN MEDICIN - TEORA DE ERRORES TEORA DE ERRORES TEORA DE ERRORES TEORA DE ERRORES TEORA DE ERRORES

MEDICINMEDICINMEDICINMEDICINMEDICIN

Medicin, es el proceso por el cual se comparauna magnitud determinada con la unidad patrncorrespondiente.

Todos los das una persona utiliza la actividad me-dicin; ya sea en nuestras actividades personales,como estudiante o como trabajador.Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al to-mar la asistencia, estamos midiendo la cantidad dealumnos que llegaron a clase; en este caso la uni-dad patrn ser un alumno.

Cuando jugamos ftbol, el resultado final lo definela diferencia de goles a favor; la unidad patrn serun gol. En ocasiones cuando nos tomamos la tem-peratura, nos referimos siempre respecto a unaunidad patrn 1C.

Esto significa que toda medicin quedar perfec-tamente definida cuando la magnitud al que nosreferimos termine por ser cuantificada respecto ala unidad patrn correspondiente. Ahora para rea-lizar la medicin, generalmente se hace uso de he-rramientas y/o equipos especiales as como tambinen algunos casos de los clculos matemticos.

El resultado de la medicin nos mostrar cuantitati-vamente el valor de la magnitud; y con ello podemossaber o predecir las consecuencias que conllevan di-cho resultado. As; si medimos la velocidad de un atle-ta y obtenemos como resultado 1 m/s; sabremosentonces que ste nunca ser campen en una com-petencia de 100 metros planos; esto significa que gra-cias a la medicin (actividad cuantitativa) podremossaber o predecir los resultados cualitativos.

Ejemplo ilustrativo

CLASES DE MEDICIN

A) Medicin directaEs aquella en la cual se obtiene la medidaexacta mediante un proceso visual, a partirde una simple comparacin con la unidadpatrn.

B) Medicin IndirectaEs aquella medida que se obtiene medianteciertos aparatos o clculos matemticos, yaque se hace imposible medirla mediante unproceso visual simple.

Ilustracin

Ejemplo Ilustrativo:

Magnitud: Longitud

Unidad patrn: 1 metro

En la figura, es fcil entender que la longitud AB mide 3 veces 1 metro: 3 metros(medicin directa).

9 veces uncuadrito,dicho deotra forma:9 cuadritos

1 metro

Area = largo ancho A = (3 m)(2 m)

A = 6 m2 Se recurri al uso de una frmula matemtica

Frmula:

Se quieremedir el readel rectngulo

Unidad Patrn (un cuadrito)


ERRORES EN LA MEDICINERRORES EN LA MEDICINERRORES EN LA MEDICINERRORES EN LA MEDICINERRORES EN LA MEDICIN

La medicin es una actividad que lo ejecuta el hom-bre provisto o no de un instrumento especializadopara dicho efecto.En toda medicin hay que admitir, que por mscalibrado que se encuentre el instrumento a usar,siempre el resultado obtenido estar afectado decierto error; ahora, en el supuesto de que existien-do un aparato perfecto cuyos resultados cifradoscoincidieran matemticamente con la realidad f-sica, nunca llegaramos a dicho valor, debido a laimposibilidad humana de apuntar al punto preci-so o de leer exactamente una escala.

A) ExactitudEs el grado de aproximacin a la verdad ogrado de perfeccin a la que hay que procu-rar llegar.

B) PrecisinEs el grado de perfeccin de los instrumen-tos y/o procedimientos aplicados.

C) ErrorPodra afirmarse que es la cuantificacin de laincertidumbre de una medicin experimentalrespecto al resultado ideal.

CAUSAS DE ERRORES

A) NaturalesSon aquellos errores ocasionados por las va-riaciones meteorolgicas (lluvia, viento, tem-peratura, humedad, etc).

B) InstrumentalesSon aquellos que se presentan debido a la im-perfeccin de los instrumentos de medicin.

C) PersonalesSon aquellos, ocasionados debido a las limi-taciones de los sentidos humanos en las ob-servaciones (vista, tacto, etc.)

Al medir la longitud entre dos puntos, en das calurosos, la cinta mtrica se di-lata debido a la fuerte temperatura, luego se cometer un error de medicin.

La vista de una personapuede no permitir obser-var correctamente lasagujas de un reloj, se co-meter entonces un errorpersonal en la medidadel tiempo.

CLASES DE ERRORES

A) PropiosSon aquellos que provienen del descuido,torpeza o distraccin del observador, estas noentran en el anlisis de la teora de errores.

Es posible que el operadorlea en la cinta mtrica15,40 m y al anotar, escribapor descuido L = 154 m; stees un error propio, tan gra-ve que no se debe conside-rar en los clculos de Teorade Errores.

15 16

Las agujas de un cron-metros son susceptiblesal retraso o adelantodebido al mecanismodel mismo instrumento,luego se cometer unerror de medicin.

L = 15

4


B) SistemticosSon aquellos que aparecen debido a una im-perfeccin de los aparatos utilizados, ascomo tambin a la influencia de agentes ex-ternos como: viento, calor, humedad, etc. Es-tos errores obedecen siempre a una Ley Ma-temtica o Fsica, por lo cual es posible sucorreccin.

C) Accidentales o FortuitosSon aquellos que se presentan debido a cau-sas ajenas a la pericia del observador, y al queno puede aplicarse correccin alguna, sin em-bargo estos errores suelen obedecer a las Le-yes de las Probabilidades.Por tal motivo se recomienda tomar varias lec-turas de una misma medicin, pues general-mente estas suelen ser diferentes.

NOTA

Esta clase de error no se tomar en cuenta eneste libro.

TEORA DE ERRORESTEORA DE ERRORESTEORA DE ERRORESTEORA DE ERRORESTEORA DE ERRORES

Es imposible encontrar el verdadero valor del erroraccidental; si as fuese, podramos entonces calcu-lar el valor exacto de la magnitud en medicin su-mando algebraicamente el valor observado.No obstante es posible definir ciertos lmites deerror, impuestos por la finalidad u objetivo de lamedicin.

As pues, queda claro que los errores accidentalestienen un rango establecido, cuyo clculo irn deacuerdo con los principios y mtodos de la teoramatemtica de errores con aplicacin del clculode probabilidades.

Estableceremos convencionalmente dos casos:

I.- CUANDO SE REALIZA UNA SOLAMEDICIN

Hay casos en las que se toma una sola medicin uobservacin respecto a un patrn establecido, aspor ejemplo:

Cuando medimos el lar-go de un libro, cada vezque se mida, la lecturaser diferente.

Es importante establecer entonces bajo que errorse est trabajando.

A) Valor verdadero (A)Es el valor exacto o patrn que se estableceen una medicin, en realidad, tal valor exacto

PATRON VALOR APROXIMADO

pi = 3,141 592 654 3,141 6

g = 9,8 m/s2 10 m/s2

tan 37 = 0,753 554 05 0,75

L = 0,305 m

L = 0,306 m

L= 0,304 m

L

L

Supongamos que se quiere medir la longitud AB, pero al usar la cinta mtrica,sta se pandea como muestra la figura, la lectura que se toma en estas condi-ciones no ser la verdadera, habr que corregir.

L = L correccin

La correccin se determina mediante la siguiente frmula:

Donde: W, L y F son parmetros conocidos.

correccin =W L

F

2

24

AB


no existe, pero se suele establecer de acuer-do al tipo de trabajo a realizar; as por ejem-plo, el valor verdadero de la constante (pi) sepuede considerar como 3,141 6.

B) Error Absoluto(EA)Es la diferencia entre el valor verdadero y elaproximado.

Donde; EA : error absolutoA : valor verdaderoA : valor aproximado

C) Error Relativo (ER)Llamado tambin error porcentual y nos de-termina segn parmetros establecidos si laequivocacin puede ser aceptable o no.

Donde; ER : error relativo

EA

: error absoluto

A : valor verdadero

2.- CUANDO SE REALIZA DOS O M`SMEDICIONES

Generalmente cuando se lleva a cabo una medi-cin, no se conoce el valor verdadero; es por estoque se recomienda tomar varias mediciones, noobstante, jams se podr conocer el valor exacto.

A) Media ( X )Es el valor que tiende a situarse en el centrodel conjunto de datos ordenados segn sumagnitud. Es la media aritmtica de un con-junto de datos.

EE

ARA

= 100%

E A AA =

X =+ + + +x x x x

nn1 2 3 ...

Ejemplo: 10,20 ; 10,22; 10,18

X =+ +10 20 10 22 10 18

3

, , ,

X = 10 20,

B) Desviacin (V)Se le llama tambin error aparente de una me-dicin. Es la diferencia entre la media y el va-lor correspondiente a una medicin.

Ejemplo:

10,20 V = 10,20 10,20 = 010,22 V = 10,20 10,22 = -0,0210,18 V = 10,20 10,18 = +0,02

C) Desviacin tpica stndar ()Viene a ser el promedio de todas las desvia-ciones de las mediciones realizadas.

Donde;

: desviacin tpica o stndarV : desviacin de cada medicinn : nmero de mediciones

Para la explicacin de la presente expresin, parti-remos diciendo que el nmero mnimo de medi-ciones tendr que ser dos, de lo contrario no ten-dra sentido hablar de promedio y por ende dedesviacin. Por otro lado no es difcil deducir queel promedio de todas las desviaciones sera:

Sin embargo, en la prctica, el resultado de di-cha expresin siempre ser cero; es por ello quese utiliza la suma de los cuadrados, la cual nuncase anular.

D) Error probable de una observacin (E0 )Es aquel intervalo [-E0 , + E0], dentro de cuyoslmites puede caer o no el verdadero error acci-dental con una probabilidad del 50%.

Donde;

E0 : error probable de una observacin : desviacin tpica o stndar.

=

V

n 12 n 30

2

Vn

E0 0 674 5= ,


E) Error relativo (ER)

Es la relacin entre E0 y la media X ; y viene aser el parmetro que califica la calidad deltrabajo.

Donde;

ER : error relativo

X : mediaE0 : error probable de una observacin

Ejemplo:

Supongamos que se desea realizar un traba-jo de laboratorio, donde es requisito para ob-tener las metas deseadas un error relativo

menor que 1

3 000 ; si el trabajo de laborato-

rio arroj un ER = 1

4 000

Tendremos:

De donde se deduce que el trabajo realizado es acep-table; de lo contrario habr que volver a empezar.

EE

XR = 0

EX

E

R = FHG

IKJ

1

0

1

4 000

1

3 000

Capitulo 2 Magnitudes Fisicas

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