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MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Secuencia didáctica que le permite a los estudiantes de octavo y noveno interpretar y usar lasnociones de conteo en la solución de problemas de combinación y permutación

Diana Lucía Dominguez Patiño

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Bogotá, Colombia2016

MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Secuencia didáctica que le permite a los estudiantes de octavo ynoveno interpretar y usar las nociones de conteo en la solución de

problemas de combinación y permutación

Trabajo de grado como requisito para optar al título de:MAGISTER EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Diana Lucía Dominguez Patiño

Director:Prof. Ramón Giraldo

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de lasCiencias Exactas y Naturales Bogotá, Colombia 2016

Agradecimientos

A mi hija Laura Camila Romero Domínguez, porcomprender los sacrificios y el esfuerzo, además porser mi mayor motivación.A mis padres Carmen Patiño y Elisio Domínguez, porsu apoyo y aliento.A Cesar Florián por los días en medio de los libros,las fotocopias y el computador.A mi gran amigo Rafael Angarita por sus asesorías,en especial de Latex.A mi compañero y amigo Dany Osorio quién inicióconmigo este camino de maestría.A mi director Ramón Giraldo por su tiempo y correc-ciones.

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Resumen

Este trabajo presenta una propuesta didáctica para el desarrollo del razonamiento combi-natorio, a través de tres secuencias didácticas basadas en contextos que permiten ilustrar lasnociones de permutaciones y de combinaciones, sin utilizar formulas.

La metodología del trabajo se basa en la revisión de distintos aspectos asociados al conceptoque se aborda, entre ellos: el origen histórico, el referente epistemológico, el desarrollo delrazonamiento combinatorio, investigaciones sobre enseñanza de la combinatoria y un referentedisciplinar, todos estos aspectos muestran la necesidad e importancia de la enseñanza de lastécnicas de conteo.

Para los estudiantes se proponen instrumentos con base en la teoría APOE, que se enfocaen cuatro construcciones mentales que les permite construir significados a partir de situacionesproblema, a través del trabajo individual y en grupo.

Palabras Clave: Razonamiento combinatorio, técnicas de conteo, permutaciones, combina-ciones, acciones, procesos, objetos, esquemas.

Diana Lucía Dominguez PatiñoAgosto 2016

Abstract

This paper presents a didactic purpose to the development of combinatorial reasoning.Through three teaching sequences based on contexts which allow to illustrate the concepts ofpermutations and combinations, without using formulas.

The methodological organization of the work is based on the reviewing of various aspectsrelated with the concept to develop, among them: the historical origin , the epistemologicalreference, the development of combinatorial reasoning, researches about the teaching of combi-natorics and a discipline reference, all these aspects show the need and importance of teachingcounting techniques

For students it is proposed instruments based on the APOS theory, which is focused on fourmental constructs that allows them to construct meanings from problem situations, throughindividual and work group.

Keywords: combinatorial reasoning, Counting Techniques, Permutations, Combinations,actions, objects, processes, schemes

Índice general

Índice de figuras VI

Índice de cuadros VIII

1 Introducción 1

2 Planteamiento del Problema 3

3 Objetivos 5

4 Referente Histórico 7

5 Referente epistemológico 11

6 Referente Didáctico 136.1. Teoría APOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2. Razonamiento Combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Referente Disciplinar 197.1. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2. Espacio Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.3. Evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4. Técnicas de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.4.1. Principio fundamental del conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.4.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.4.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 Secuencia Didáctica 278.1. Prueba Diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.2. Descomposición genética de las técnicas de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.3. Propuesta para la Secuencia Didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8.3.1. Secuencia Didáctica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3.2. Secuencia Didáctica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.3.3. Secuencia Didáctica III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9 Implementación y análisis de los resultados 45

10 Evaluación de la secuencias didácticas 6710.1. Prueba Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

iv

ÍNDICE GENERAL v

10.2. Evaluación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11 Conclusiones y recomendaciones 8111.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8111.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12 Anexo 1: Prueba Diagnóstico 85

13 Anexo 2: Secuencia Didáctica I 89

14 Anexo 3: Secuencia Didáctica II 95

15 Anexo 4: Secuencia Didáctica III 101

Bibliografía 107

Índice de figuras

6.1. Esquemas y construcciones Tomado de Mell 2003. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2. Ciclo de investigacion. Tomado de Roa 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.1. Planteamiento esquemático Tomado [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.1. Descomposición genética propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2. Conteo por parte de los estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3. Dibujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.4. Nocion de Diagrama de arbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.5. Listados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.6. Listados - conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.7. Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.8. Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.9. Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9.1. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica I . . . . . . . . . . . . . 469.2. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica I . . . . . . . . . . . . . 469.3. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica I . . . . . . . . . . . . . 479.4. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica I . . . . . . . . . . . . . 479.5. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica I . . . . . . . 489.6. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica I . . . . . . . 489.7. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica I . . . . . . . 499.8. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica I . . . . . . . 499.9. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica I . . . . . . . 509.10. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica I . . . . . . . 509.11. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.4 Secuencia didáctica I . . . . . . . 519.12. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.4 Secuencia didáctica I . . . . . . . 519.13. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.4 Secuencia didáctica I . . . . . . . 519.14. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica II . . . . . . . . . . . . . 529.15. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica II . . . . . . . . . . . . . 529.16. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica II . . . . . . . . . . . . . 539.17. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica II . . . . . . 549.18. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica II . . . . . . 549.19. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica II . . . . . . 559.20. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica II . . . . . . 559.21. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica II . . . . . . 569.22. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica II . . . . . . 569.23. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica II . . . . . . 57

vi

Índice de figuras vii

9.24. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.4 Secuencia didáctica II . . . . . . 589.25. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.4 Secuencia didáctica II . . . . . . 589.26. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.4 Secuencia didáctica II . . . . . . 589.27. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.4 Secuencia didáctica II . . . . . . 599.28. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica III . . . . . . . . . . . . 599.29. Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica III . . . . . . . . . . . . 609.30. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica III . . . . . . 619.31. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica III . . . . . . 619.32. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica III . . . . . . 629.33. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica III . . . . . . 629.34. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica III . . . . . . 639.35. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica III . . . . . . 639.36. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica III . . . . . . 649.37. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica III . . . . . . 649.38. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica III . . . . . . 659.39. Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.3 Secuencia didáctica III . . . . . . 65

10.1. Procesos realizados para resolver el punto 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.2. Respuesta de un estudiante. Punto No. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.3. Respuesta de un estudiante. Punto No. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.4. Interpretación realizada para resolver el punto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.5. Respuesta de un estudiante. Punto No. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.6. Respuesta de un estudiante. Punto No. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.7. Procesos realizados para resolver el punto 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.8. Respuesta de un estudiante. Punto No. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.9. Respuesta de un estudiante. Punto No. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.10.Respuesta de un estudiante. Punto No. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.11.Procesos realizados para resolver el punto 4a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.12.Respuesta de un estudiante. Punto No. 4a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.13.Respuesta de un estudiante. Punto No. 4a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.14.Respuesta de un estudiante. Punto No. 4a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.15.Procesos realizados para resolver el punto 4b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.16.Respuesta de un estudiante. Punto No. 4a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.17.Respuesta de un estudiante. Punto No. 4a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.18.Respuesta de un estudiante. Punto No. 4a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.19.Respuesta de un estudiante. Punto 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.20.Respuesta de un estudiante. Punto 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.21.Respuesta de un estudiante. Punto 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Índice de cuadros

7.1. Tabla de ejemplos de experimentos con su respectivo espacio muestral . . . . . . . . 217.2. Tabla de ejemplos: experimentos y espacio muestral con su respectivo evento . . . . 22

8.1. Intencionalidad Secuencia Didáctica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.2. Metodología para el trabajo de la Secuencia Didáctica I . . . . . . . . . . . . . . . . 368.3. Intencionalidad Secuencia Didáctica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.4. Metodología para el trabajo de la Secuencia Didáctica No. II . . . . . . . . . . . . . 388.5. Intencionalidad Secuencia Didáctica III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.6. Metodología para el trabajo de la Secuencia Didáctica III . . . . . . . . . . . . . . . 42

10.1. Porcentaje estudiantes con respuestas acertadas del curso 901 . . . . . . . . . . . . . 69

13.1. Tabla Guía No. 3 Secuencia Didáctica No. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

14.1. Tabla Guía 3 de la Secuencia Didáctica No. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

viii

Introducción 1

El presente trabajo brinda referentes puntuales y originales que permiten la deducción de losprocesos propios de las técnicas de conteo y su aplicación en diferentes situaciones problema.Como una propuesta didáctica, su propósito es dejar de lado la forma mecánica a través de la cualson abordadas las técnicas de conteo con los estudiantes, lo que ha aislado la comprensión de losconceptos que lo fundamentan, situación que ha sido resaltada en los Lineamiento Curriculares[18].

Dada la importancia que en la actualidad reviste el pensamiento aleatorio, que permite alos estudiantes interpretar, analizar y utilizar los resultados en un determinado contexto, demanera que avancen gradualmente en el desarrollo de habilidades combinatorias, se constituye lapresente propuesta como un aporte para orientar didácticamente la manera como los estudiantesintegran la construcción de modelos de fenómenos físicos y el desarrollo de estrategias como lasde simulación de experimentos y de conteos [18].

Abordar con los estudiantes los conceptos de técnicas de conteo a partir de situacionesproblema, permite que ellos se cuestionen sobre la importancia de orden y de la repetición yque a partir de la teoría APOE, es decir por medio de acciones, procesos, objetos y esquemas,logren construir el concepto y alcancen los niveles de generalización propuestos. Dicho alcance secentra en la premisa que el razonamiento combinatorio es fundamental dentro de la enseñanzade las matemáticas, porque permite entre otros aspectos, que los estudiantes realicen procesosde conteo (Kapur, 1923, citado por [3]) y logren asociarlo al razonamiento formal al nivel de lasoperaciones combinatorias (Inhelder y Piaget, citados por [3]. p. 67), que se logra durante laadolescencia.

La propuesta aquí expuesta integró tres secuencias didácticas, cada una con cuatro actividadesenfocadas en las cuatro construcciones mentales de la teoría APOE. Las situaciones planteadaspermitieron a los estudiantes deducir si en una situación hay orden y/o repetición, desarrollargeneralizaciones con base en los procesos realizados sin utilizar fórmulas y lograr resolver ejerciciosde permutaciones y de combinaciones, tomando conclusiones a partir del uso de técnicas deconteo.

Esta propuesta didáctica fue desarrollada con estudiantes del ciclo IV (octavo y noveno)de educación básica en el colegio Ramón de Zubiría, ajustándose a los fines de los estándarescurriculares de matemáticas [19], donde se menciona que al finalizar el grado noveno en elPensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos un estudiante debe calcular la probabilidad de

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1. Introducción

eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).En el Colegio Ramón de Zubiría, ubicado en la localidad de Suba, el énfasis es comunicación

y biotecnología, lo cual le da peso a las ciencias, entre ellas a las matemáticas. Es por elloque el reto de buscar estrategias didácticas para su enseñanza es de suma importancia. Lamalla curricular del área de matemáticas está organizada según las directrices de los estándarescurriculares del Ministerio de Educación Nacional con una intensidad de 5 horas semanales (3horas para abordar los contenidos de los pensamientos numérico y variacional. 1 hora para loscontenidos relacionados con los pensamientos espacial y métrico y 1 hora para las temáticas delpensamiento variacional). Se trabaja en tres trimestres y en el segundo se orientan los contenidosrelacionados al tema de combinaciones y permutaciones. No obstante queda integrado a laasignatura de Estadística que solo cuenta con una hora de clase a la semana, lo cual muestraun enfoque operativo más que el de un desarrollo formal y significativo del tema. La secuenciadidáctica, permite apoyar el trabajo del pensamiento variacional y las falencias que se evidencianen este. Esto es particularmente útil para el colegio porque en los resultados de las pruebas saberdel 2014 este tuvo un promedio de 48, 75 el cual es bajo, comparado con el de otros colegiosoficiales de la localidad de Suba.

El presente documento fue organizado en once (11) capítulos. En el primer capítulo seencuentra la introducción, los dos capítulos siguientes se enfocan en el planteamiento delproblema y los objetivos. Los capítulos cuatro (4), cinco (5), seis (6) y siete (7), representan elsustento histórico, epistemológico, didáctico y disciplinar respectivamente. Los capítulos ocho (8),nueve (9) y diez (10) se centran en la propuesta, su implementación y análisis de los resultados yla evaluación del trabajo realizado, en el capítulo once (11) están las conclusiones y finalmente,en los capítulos doce del doce (12) al quince (15) se encuentran los anexos de las guías diseñadasy aplicadas para la propuesta.

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Planteamiento del Problema 2

Los estándares básicos de competencias del Ministerio de Educación Nacional proponentrabajar desde la educación básica, temas relacionados con el concepto de probabilidad y porello especifican los propósitos del pensamiento aleatorio. Se enfatiza además en la importanciade desarrollar competencias en los estudiantes y en que lo aprendido en las aulas sea pertinentey permita aplicar la matemática en diversos contextos. Es importante resaltar que justamentela teoría básica de probabilidad, que se fundamentó en sus inicios en las técnicas de conteo,permite trabajar diversidad de aplicaciones significativas para los estudiantes.

[19] indica respecto al pensamiento aleatorio que se enfoca de manera directa en los conceptosy procedimientos de la estadística inferencial y la teoría de probabilidades y de manera indirectaen la estadística descriptiva y en la combinatoria. Este pensamiento ayuda a encontrar caminospara dar soluciones con sentido a problemas en los que no hay una respuesta clara y segura,abordándolos con un espíritu de exploración y de investigación mediante la construcción demodelos de fenómenos físicos, sociales o de juegos de azar y la utilización de estrategias como laexploración de sistemas de datos, la simulación de experimentos y la realización de conteos

La enseñanza de la estadística y la probabilidad en la educación básica y media en Colombiaes relativamente reciente, en comparación con ramas como la aritmética o el álgebra. En ([22],p. 365) se muestra que Colombia no se ha destacado con su participación en los encuentrosinternacionales de educación estadística y son escasas las investigaciones particulares sobre laenseñanza de la Probabilidad. No obstante se ha visto en años recientes un interés por investigarla problemática relacionada con la enseñanza de la Estadística y la probabilidad.

Hay investigaciones acerca de la didáctica de la estadística y didáctica de la probabilidad,relacionadas con el razonamiento estadístico y aleatorio, la comprensión e interpretación de losconceptos básicos de estas ramas, el uso de las TIC para apoyar el proceso de enseñanza apren-dizaje. No obstante de acuerdo a la búsqueda bibliográfica realizada hay pocas investigacionesrelativas a la interpretación y comprensión de la enseñanza de las técnicas de conteo.

En Colombia el Ministerio de Educación Nacional establece a nivel de educación básica ymedia unas orientaciones para la enseñanza de la probabilidad a partir de los lineamientos yde los estándares. Es por ello que en las mallas curriculares de educación básica en el área dematemáticas, usualmente incluyen conceptos de estadística y probabilidad. Éstas se basan en losplanteado por el Ministerio de Educación Nacional [18], respecto al pensamiento aleatorio:

“Una tendencia actual en los currículos de matemáticas es la de favorecer el desarrollo del

3

2. Planteamiento del Problema

pensamiento aleatorio, el cual ha estado presente a lo largo de este siglo, en la ciencia, en lacultura y aún en la forma de pensar cotidiana.”

En la básica primaria, el trabajo se inicia con el reconocimiento e interpretación de situacionesy fenómenos aleatorios simples, como por ejemplo: “Supongamos que se dispone de un dadoregular con todas las caras pintadas de blanco y con un número, del 1 a 6 sin repetir ninguno,en cada una de las seis caras, un experimento aleatorio simple es: lanzar el dado el dado y alcaer anotar el número de la cara resultante.” y en la básica secundaria el trabajo se reducea la aplicación de formulas, en muchas ocasiones sin dar un contexto. Esto desmotiva a losestudiantes y de alguna forma se refleja en los resultados de las pruebas Saber, donde seenfrentan a situaciones problemáticas relacionadas con eventos aleatorios que exigen hacerarreglos condicionales o no y los estudiantes a pesar de conocer algunas formulas, no llegan a lasolución del problema porque no realizan una interpretación ni modelan la situación.

Surge de los párrafos anteriores la siguiente pregunta

¿Qué actividades le permitirán a los estudiantes de básica secundaria interpretary usar las nociones básicas de conteo y en particular los problemas de combinacióny permutación?.

En los niveles básicos no se hace énfasis en la enseñanza de estos temas, posiblemente, porqueno cuentan con las herramientas adecuadas, la propuesta busca aportar material docente, a travésdel diseño de una serie de actividades que eviten la presentación de formulas descontextualizadasy que conlleven a la solución de problemas reales. Haciendo énfasis en la interpretación, elestudiante podrá analizar y dar solución a situaciones prácticas en diversos contextos.

Con la realización del trabajo se busca aportar al desarrollo del pensamiento aleatorio. Enparticular se darán elementos didácticos para la enseñanza de las técnicas de conteo (permuta-ciones y combinaciones), que es un campo fundamental en el aprendizaje de conceptos inicialesde probabilidad. ([6], p.12) Afirma que la probabilidad puede ser aplicada a la realidad tandirectamente como la aritmética elemental. Por sus muchas aplicaciones, adecuadamente com-prendida, la probabilidad proporciona una excelente oportunidad para mostrar a los estudiantescómo matematizar, cómo aplicar la matemática para resolver problemas reales.

4

Objetivos 3

OBJETIVO GENERAL

Diseñar una secuencia didáctica que permita a estudiantes de ciclo IV (grados octavo y noveno)interpretar y usar nociones básicas de conteo para la solución de problemas de combinación ypermutación.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Diseñar una guía que permita determinar conocimientos previos de los estudiantes relacio-nados con las técnicas de conteo.

Seleccionar aspectos relativos a las técnicas de conteo pertinentes al ciclo IV y a losestándares básicos.

Analizar las nociones básicas del conteo, en situaciones de combinación y permutación.

Elaborar una secuencia de actividades a partir de la teoría APOE, centrada en el plantea-miento y resolución de problemas de combinación y permutación.

Evaluar las actividades planteadas en la secuencia didáctica.

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Referente Histórico 4

Para el desarrollo del referente histórico se tomaron como referentes los siguientes textos:[6],[21], [38], [3] y [23].

Desde la antigüedad diversas civilizaciones consideraron de forma empírica el conceptode probabilidad. Este surgió explícitamente con los cálculos combinatorios de posibilidadespara los juegos de azar. Las matemáticas son esencialmente una expresión del pensamientoque construimos sobre el esfuerzo mental de nuestros antepasados, y la probabilidad no es laexcepción a esta regla (David 1978, citado por [6]); aunque los instrumentos de los juegos deazar existían desde varios miles de años; la teoría de la probabilidad, como una abstracciónconceptual de las leyes del azar no surgió hasta el Siglo XVI.

Para proponer una definición de probabilidad hay que hacer uso de diferentes conceptosmatemáticos y estadísticos. Entre otros hay que hablar de conjuntos, evento, aleatoriedad,variable aleatoria y técnicas de conteo, siendo estas últimas esenciales para hacer un primeracercamiento al concepto de probabilidad elemental. Las técnicas de conteo permiten encontrar lacantidad de elementos conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimentoaleatorio, por lo tanto se hará un recorrido histórico de estas técnicas. [21] Resalta que lacombinatoria puede considerarse tan vieja como la propia Matemática, ya que la operaciónbásica de contar los elementos de un conjunto está ligada al origen mismo del concepto denúmero desde los tiempos prehistóricos.

A continuación se muestra un breve repaso histórico de trabajos sobre combinatoria, quepermitieron avanzar en sus estudios.

CHINA

En uno de los libros más antiguos de la humanidad el “I Ching” o libro de adivinacionescuyo origen se remonta al Siglo II a.C., se emplea un sistema de numeración binario, geométrico,aritmético y el uso de permutaciones. Este oráculo está compuesto por hexagramas formados porlos posibles arreglos de 6 líneas generados por una línea continua (yang) y una cortada (ying),obteniendo la secuencia de 64 hexagramas (26) [38].

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4. Referente Histórico

INDIA

En la India hacia el año 400 a. de C. en el libro “Chandahsutra” escrito por Pingala seevidencia el uso de la combinatoria en el campo de la métrica poética, que permitió generar unconcienzudo análisis sobre la combinación de sonidos cortos y largos. Se cuestionaba de cuántasmaneras se podía formar una métrica védica de seis sílabas, con sílabas cortas y largas. [14] Enel siglo VI a. de C. la medicina védica afirmaba que se podían conseguir 63 combinaciones apartir de seis sabores distintos, este 63 se puede interpretar como 26 − 1 o como el resultado dela suma de las siguientes combinaciones(

61

)+

(62

)+

(63

)+

(64

)+

(65

)+

(66

)=

6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63

ARABIA

Según Edwards (1987) (citado por [3]), el análisis combinatorio fue desarrollado en el mundoárabe separadamente entre los lingüistas y los algebristas. Para los primeros no era más queun medio para resolver un problema práctico, mientras que los segundos lo entendían como uninstrumento técnico para resolver sus problemas teóricos, teniendo en cuenta que en la segundamitad del siglo X hubo un interés particular por el dominio de las ecuaciones y problemas deextracción de raíces.

OCCIDENTE

En occidente se tienen como ejemplo los libros “La Iliada” y “La Odisea”, epopeyas de latradición griega, en las que se narran historias de sus pueblos en largos poemas recitativos. Alos encargados de memorizarlas, contarlas y cantarlas se les conocía en la antigua Europa comobardos. Combinando estas frases de diversas maneras con el fin de contar historias mitológicas,lo cual daba como ventaja la calidad a veces similar a la lista de los poemas [38].

Otro ejemplo es el Sefer Yetzirah o libro de la creación (Siglo II a.C.) que es un texto místicoHebreo el cual cuenta la historia de cómo el “infinito” creó el mundo de permutaciones de letrasy números. Las 22 letras del alfabeto Hebreo son dispuestas en un arreglo circular conectándosepor pares a través de 231 líneas rectas o puentes equivalentes a

(222

). Las ideas combinatorias de

este libro incluyen además análisis factorial y permutaciones de números y letras como métodomágico para la creación de criaturas. [38]

En Grecia el primer intento de resolver un problema de permutaciones se atribuyó a Xenocrátesde Calcedonia (369-314 a.C.). Hacia el año 320 Pappus de Alejandría un importante matemáticogriego de los siglos III - IV considera el problema del cálculo del número de intersecciones den rectas no paralelas, de las cuales no más de dos se cortan en el mismo punto, llegando ala solución general del problema de las combinaciones de n elementos tomados de dos a dosmediante los números triangulares, esto es, usando la regla aditiva 1 + 2 + . . . + n. Tambiénel trabajo de Euclides (330 a.C. - 275 a.C.) contiene el teorema binomial para n = 2 [3]. ElItaliano Galileo enumeró las 216 maneras distintas de caer tres dados perfectos basándose soloen métodos aritméticos [6].

En Italia, Cardano (1501-1576) mostró que el número de partes de un conjunto de n elementoses (2n). Nicolo Fontana de Brescia, contemporáneo de Cardano y más conocido como Tartaglia

8

(1499-1557), estudió un triángulo aritmético equivalente al triángulo que posteriormente recibiríael nombre de Pascal y que apareció en su obra “Tratado general sobre el número y la medida”(1556-1560) [21]. Además Tartaglia extendió el trabajo de la combinatoria a partir de los juegosde dados, la tabla de los números figurados a más de tres dimensiones [3].

En Francia, el interés por los juegos de azar por parte de Pascal (1623-1662) y Fermat(1601-1661), permitió que desarrollaran parte de sus estudios sobre combinatoria y probabilidadintentando resolver los problemas relacionados con el juego que les proponía el Caballero de Meré(1610-1685). Los retos del Caballero francés favorecieron el intercambio de cartas entre Pascal yFermat a lo largo del año 1654 [23]. Los escritos generados de esta colaboración establecierondefinitivamente la relación entre probabilidad y la combinatoria.

La pasión por la resolución de problemas relacionados con el azar llevó a Pascal a introducirherramientas como el conocido Triángulo de Pascal e incluso le llevó a inventar el juego de azarmás famoso del mundo, la ruleta para casino [4]. Respecto al triángulo de Pascal, es un sistemasencillo para resolver problemas con coeficientes binomiales [31]. Este triángulo fue utilizadotiempo atrás por el matemático chinoYang Hui (1238-1298) y posteriormente por el astrónomopersa Omar Khayyám (1050-1122) [4].

En Alemania, hacia mediados del siglo XVII se evidencia una etapa de notable desarrollo dela combinatoria. Entre los autores de ella estuvo Leibniz (1646 – 1716), quien en 1666 publicasu obra De Arte Combinatoria, donde escribe “. . .todo brota interiormente de la teoría de lasvariaciones, la cual conduce al espíritu que a ella se confía, casi por sí mismo, a través de latotalidad infinita de los problemas, abarcando en sí la armonía del universo, la estructura másíntima de las cosas y toda la serie de las formas” (citado en [21], p.3). Leibniz además establecede manera sistemática la teoría combinatoria sobre una base científica [6]. En este mismo sigloFermat y Pascal en sus obras sobre probabilidades elevaron el análisis combinatorio del dominiode conjunto de técnicas o prácticas en la solución de una tipología de problemas a un campo dela matemática digno de un estudio formal.

Puede considerarse que la combinatoria, como disciplina científica, tiene su inicio en lostrabajos de Leibniz y Bernoulli (1654-1705). El primero de ellos, dio la construcción sistemáticade esta parte de las matemáticas y Bernoulli en su obra Ars Conjectandi la consideró como elprincipal aparato de aquella época para resolver problemas probabilísticos teóricos [3]. Comodisciplina diferenciada de la estadística esta fue trabajada por Euler (1707-1783), quien realizóaportes esenciales a este campo. Se recalca el uso de argumentos combinatorios para la solucióndel problema de los siete puentes de Kônigsberg, también desarrolló el método de las funcionesgeneratrices, aplicándolo al problema de las particiones [21].

[21] indica que en la actualidad la combinatoria “pura” evoluciona en la dirección debuscar principios y teorías unificadoras que permitan ordenar y sistematizar el gran númerode resultados existentes, aparentemente dispersos e inconexos. Ejemplo de tales teorías son: elestudio combinatorio de los conjuntos parcialmente ordenados y en particular la extensión a estosconjuntos de las funciones Môbius y fórmulas de inversión y la teoría de especies combinatorias.Al mismo tiempo tiene lugar un gran desarrollo de las ramas más ricas en aplicaciones inmediatas,tales como la optimización combinatoria.

9

Referente epistemológico 5

Durante el Siglo XVII en el mundo occidental se enfrentaron a la revolución científica queacompañaría los siguientes siglos hasta la edad contemporánea y que estaría dominada por eluso de la razón como principio en el conocimiento. La discusión filosófica de la época entreracionalismo y empirismo quedó impregnada en las corrientes de pensamiento y en los principalesreferentes de la ciencia moderna.

El desarrollo de la modernidad trajo consigo la consideración de la objetividad en la investi-gación como principio esencial para hallar la veracidad. En este sentido el método científico seconvirtió en el instrumento apropiado para abordar objetos de la investigación. Habermas (1929)(citado por[33]) afirma que el trabajo científico busca ubicar la práctica personal y social dentrodel contexto histórico que vive. Hay pues un interés legítimamente científico, serio y disciplinado,que busca comprender más profundamente las situaciones para orientar la práctica social, lapráctica personal, la práctica de grupo o de la clase dentro del proceso histórico.

En las ramas de las matemáticas estos debates estuvieron presentes en la formulación yproposición de teoremas, definiciones y conceptualizaciones, tal es el caso de Leibniz quién confuerte orientación racionalista y una estructura de pensamiento heredada del pensamiento deDescartes aportó para la consolidación de la teoría combinatoria [29].

Según [3] con el siglo XVII, se abre un nuevo período de desarrollo en la teoría combinatoria,gracias a las contribuciones de Fermat y Pascal. Sus obras sobre probabilidades elevaron el análisisCombinatorio del dominio de conjunto de técnicas o prácticas en la solución de una tipologíade problemas a su reconocimiento como campo de la matemática digno de un estudio formal.Gracias a las contribuciones de Pascal, comenzaron a formularse los principios fundamentales dela combinatoria, provocando un fuerte desarrollo.

El interés por los juegos de azar de matemáticos y científicos de esa época permitió darleimportancia al trabajo con la teoría combinatoria y por ende a las técnicas de conteo. Lascontribuciones que aportaron dieron respuesta a situaciones problema que se habían formuladopara dicha época [3]. No obstante, puede considerarse que la combinatoria, como disciplinacientífica tiene su inicio en los trabajos de Leibniz y Bernoulli. El primero de ellos, dio laconstrucción sistemática de esta parte de las matemáticas y Bernoulli en su obra Ars Conjectandila consideró como el principal aparato de aquella época para resolver problemas probabilísticosteóricos.

Más adelante, con la caída del renacimiento, se derribó la imagen del universo defendida por

11

5. Referente epistemológico

el dogmatismo clerical, por esta razón a mediados del siglo XVII, la situación del conocimientocientífico tomaba otro rumbo; los filósofos y los científicos ya podían realizar publicaciones, sinser acusados y los apasionados de los juegos de azar ya podían jugar sin ser señalados comopecadores. Estos cambios contribuyeron a que surgieran nuevos juegos de azar o que los queya estaban fueran más sofisticados, las apuestas eran más elevadas, lo que conllevó a que losjugadores se interesaran por las apuestas llamativas, por este motivo solicitaban auxilio de losmatemáticos de la época, así fue como el Caballero de Meré involucró a Blaise Pascal y a Pierrede Fermat, en problemas de juego, dando origen formal a la teoría de la probabilidad y al análisiscombinatorio [28].

12

Referente Didáctico 6

6.1. Teoría APOE

La presente propuesta didáctica está enfocada en los mecanismos mentales que favorecenel proceso de construcción del concepto de combinación y permutación y de cómo llegar a lageneralización por parte de los estudiantes con base en la teoría Acción, Proceso, Objeto yEsquema (APOE, [7]). Es decir que la propuesta no está interesada en que los estudiantesmemoricen los conceptos mencionados, ni el uso de las fórmulas para obtener un resultado.

Este capítulo está dedicado a revisar las principales características y componentes de lateoría APOE. Estas son: Las construcciones mentales (acción, proceso, objeto y esquema) y losmecanismos mentales (interiorización, coordinación, encapsulación, generalización y reversión).La teoría APOE comienza con la hipótesis de que el conocimiento matemático consiste en unatendencia del individuo para hacer frente a situaciones de problemas matemáticos percibidosmediante las construcciones mentales acciones, procesos y objetos y organizarlos en esquemaspara dar sentido a las situaciones y resolver problemas.

[16] indica que Dubisnky (1991), alinea la teoría APOE con la perspectiva de Piaget quienexplica que la abstracción reflexiva es la clave para el desarrollo cognitivo de los conceptoslógico-matemáticos. Un concepto matemático es aquel en el que las propiedades físicas de losobjetos se han abstraído e integrado en el marco mental del estudiante, a través de la experienciafísica. El análisis de esto sucede mediante el proceso de la experiencia física en lugar de lamanipulación de los objetos físicos de los cuales se deriva el concepto.

De acuerdo con [12] la propuesta teórica APOE, permite delimitar y describir el caminohacia la construcción, de un concepto matemático en la mente de un sujeto. La descripciónteórica de los pasos que ha de seguir esta construcción se llama descomposición genética (DG).

[13] citan a diferentes autores, quienes sugieren las siguientes definiciones de DG:Según [36] DG es el eje de la aplicación de la teoría APOE en estudios sobre la comprensión de

objetos matemáticos, porque permite estructurar el concepto matemático, orienta la organizacióndel contenido a enseñar y el diseño de actividades y tareas que contribuyen a la construcción delas estructuras que se busca que los estudiantes desarrollen. Además es el punto de partida parala construcción de unidades didácticas. Así mismo, [36] señalan que la DG introduce al profesoren una reflexión epistemológica y didáctica del concepto, que permite, cuestionar y mejorar lacomprensión que tiene el concepto, usar y organizar dicho conocimiento en la estructuración

13

6. Referente Didáctico

de la enseñanza del mismo, orientar el aprendizaje de los estudiantes hacia los procesos deconstrucción de los conceptos matemáticos que espera que sus estudiantes desarrollen.

Entre tanto, [39], plantea que la DG de un concepto matemático es el conjunto estructuradode constructos mentales, los cuales pueden describir cómo el concepto puede ser desarrollado enla mente del individuo.

A continuación se describen los componentes de la teoría APOE, iniciando por las construccio-nes mentales: acción, proceso, objeto y esquema y luego los mecanismos mentales: interiorización,coordinación, encapsulación, generalización y reversión.

CONSTRUCCIONES MENTALES

Para [1] una ‘acción’es equivalente a cualquier operación mental o física repetible quetransforma de alguna manera un objeto físico o mental. Conforme una acción se interioriza através de una secuencia de repetición de la acción y el reflejo de la misma, la acción ya no semaneja por influencias externas pues se vuelve una construcción interna llamada proceso. Eneste caso, un estudiante tendrá la concepción acción del concepto de técnicas de conteo, si porejemplo, al resolver un problema que involucre combinaciones o permutaciones, lo hace siguiendolos pasos de un problema similar, o realiza el conteo resaltando uno a uno los elementos.

Un ‘proceso’ se presenta cuando el estudiante es capaz de reflexionar sobre un determinadoconcepto realizando transformaciones pero sin necesidad de actuar sobre éste. Dicho conceptoha sido interiorizado por el estudiante mediante un proceso. Para [1] en ese punto se resalta ladiferencia con las acciones, ya que los procesos son internos, es donde los estudiantes tienen elcontrol y son capaces de describir dicho concepto sin necesidad de actuar sobre él. En el caso deesta propuesta, un estudiante tendrá la concepción de proceso del concepto de técnicas de conteosi es capaz de indicar si debe realizar un conteo de combinación o un conteo de permutación,reflexionando sobre esto, es decir asignarle un significado a la acción realizada durante el conteoy al valor obtenido.

Un ‘objeto’ se construye a partir de un proceso cuando el estudiante se da cuenta del procesoen su totalidad, cuando reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un determinado proceso yobserva que las transformaciones pueden actuar sobre él, entonces ha encapsulado tal procesocomo un objeto cognitivo. [34] citan a Dubinsky “en el curso de una acción o un proceso sobreun objeto, suele ser necesario desencapsular y regresar el objeto al proceso del cual se obtuvocon el fin de usar sus propiedades al manipularlo”. Para el caso de la propuesta, un estudiantetendrá una concepción objeto del concepto de técnicas de conteo si al enfrentarse a una situaciónproblemas, reconoce que ésta se trata de un problema donde debe contar el número de manerasen que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma, luego selecciona latécnica apropiada teniendo en cuenta si hay repetición o no, llegando a establecer relacionesentre procedimientos que le permitan encontrar la solución del problema.

Para cerrar el ciclo de la teoría APOE las acciones, los procesos y los objetos se puedenorganizar en ‘esquema’. Este último elemento es una colección coherente de acciones, procesosy objetos y las relaciones establecidas entre ellos, todos relacionados con el concepto [1]. Losesquemas que se forman en una estructura matemática, evolucionan cada vez que se agrega otroobjeto matemático, debido a que son dinámicos.

[16] cita a Dubinsky quien propone que un ‘esquema’ es más que una entidad estática,debido a que continúa siendo inseparable de su propia evolución continua y dinámica. La figura6.1 muestra la estructura de un esquema e identifica las construcciones que influyen.

14

6.1. Teoría APOE

Figura 6.1: Esquemas y construcciones Tomado de Mell 2003.

Si bien la gráfica señala las construcciones mentales que la componen, también resalta losmecanismo mentales que dispone la teoría: interiorización, coordinación, encapsulación, generali-zación y reversión. La relación de estos permite que los estudiantes realicen una construcciónmental para comprender un determinado concepto matemático [16]. A continuación se exponenlas ideas básicas de los mecanismos.

MECANISMOS MENTALES

La ‘interiorización’permite la trasferencia de una actividad del mundo externo al mundointerno. Es decir que una acción (interna) es transformada en un proceso (externa). Por lotanto es un proceso que se realiza de afuera hacia adentro. [16] indica que conforme una acciónse interioriza a través de una secuencia de repetición de la acción y el reflejo de la misma, laacción ya no se maneja por influencias externas pues se vuelve una construcción interna llamadaproceso.

La ‘coordinación’ hace referencia a todas las formas de utilizar una o más acciones paraconstruir nuevos objetos o acciones. Por medio de este mecanismo dos o más procesos pue-den coordinarse para generar nuevos procesos. [16] La coordinación de los procesos múltiplesrelacionados da como resultado la construcción de nuevos procesos.

La ‘encapsulación’ consiste en la conversión de un esquema en un objeto. [12] en la teoríaAPOE el mecanismo de encapsulación y desencapsulación juega un papel importante en laemergencia de objetos, los cuales son integrados en esquemas que, a su vez, pueden ser convertidosen objetos mediante otro mecanismo llamado tematización. Esta caracterización de la emergenciade objetos matemáticos proviene básicamente de la tradición psicológica, en particular sonuna extensión del trabajo de Piaget sobre la abstracción reflexiva al pensamiento matemáticoavanzado.

[16] indica que cuando un estudiante puede reflejarse en un proceso y transformarlo pormedio de una acción, el procesos se considera como encapsulado para convertirse en un objeto.A partir de la encapsulación, se presenta el proceso contrario la reversión, que consiste endesencapsular un objeto invertir el mecanismo que lo generó, lo que permite que el estudiantepueda devolverse sobre el proceso siempre que lo requiera. [16] cita a Dubisnky respecto a quela reversión, se considera como un elemento crucial para el pensamiento matemático avanzadodesde la perspectiva APOE, no fue parte de la descripción de Piaget sobre la abstracciónreflexiva. La reversión permite al estudiante concebir un nuevo proceso que deshaga la secuenciade transformaciones que comprenden el proceso inicial.

La ‘generalización’ se puede entender como la capacidad del estudiante para poner enpráctica un determinado esquema un contexto diferente. En este mecanismo los esquemas nocambian, pero otros objetos se pueden asimilar por un esquema para poderlos contextualizar enotros contextos. La generalización es la forma más simple y familiar de la abstracción reflexiva,

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debido a que se relaciona con la aplicación de un esquema ya existente para un nuevo conjuntode objetos [16].

La teoría APOE presenta un ciclo de investigación, el cual integra tres componentes: análisisteórico, diseño e implementación de enseñanza, y observación, análisis y verificación de datos.

Figura 6.2: Ciclo de investigacion. Tomado de Roa 2010

La aplicación de este ciclo permite obtener una descripción más específica y próxima a laconstrucción de los conceptos matemáticos, para este trabajo el concepto son las técnicas deconteo. Cada vez que se aplica el ciclo apoyado en la descomposición genética del concepto, estase clarifica como resultado del análisis sobre los datos empíricos que se obtuvieron en la terceracomponente[26].

El análisis teórico, es la base fundamental de los resultados que se obtienen. Para estapropuesta se refleja en todo el marco teórico disciplinar, didáctico y epistemológico. Con baseen el análisis de los libros, las experiencia de los investigadores y los resultados de estudiosprevios, todo en este caso relacionado con las técnicas de conteo [26]. Asimismo, por medio de ladescripción de las construcciones mentales, permite modelar la epistemología y la cognición delconcepto matemático estudiado, en este caso las técnicas de conteo.

El objetivo principal de análisis teórico consiste en diseñar una descomposición genética delconcepto que determine un camino viable en términos de construcciones y mecanismos mentales,de tal manera que un estudiante pueda seguirlo para construir dicho concepto de manera exitosa.Cabe mencionar que no hay una única descomposición genética del concepto, ya que dependende los caminos de construcción y estructuras mentales previas del individuo ([26], p. 97). Poreste motivo es que esta propuesta didáctica realiza primero una prueba diagnóstico y puedeencaminar la descomposición genética de las técnicas de conteo.

6.2. Razonamiento Combinatorio

El estudio de la combinatoria es un elemento fundamental de la matemática discreta porquepermite entre otras cosas que los estudiantes realicen procesos de conteo. Kapur (1923) citadopor [3] para justificar la enseñanza de la Combinatoria en la escuela, presenta las siguientesrazones:

Puesto que no depende del Cálculo, permite plantear problemas apropiados para diferentesniveles; pueden discutirse con los alumnos problemas aún no resueltos, de modo quedescubran la necesidad de crear nuevas matemáticas.

Puede emplearse para entrenar a los alumnos en la enumeración, la realización de conjeturas,la generalización, la optimización y el pensamiento sistemático.

16

6.2. Razonamiento Combinatorio

Puede ayudar a desarrollar muchos conceptos, como los de aplicación, relaciones de ordeny equivalencia, función, muestra, conjunto, subconjunto, producto cartesiano, etc.

Pueden presentarse muchas aplicaciones en diferentes campos, como: Química, Biología,Física, Comunicación, Probabilidad, Teoría de números, Grafos, etc.

El razonamiento combinatorio ha sido investigado por autores como Jean Piaget, BârbelInhelder, Carmen Batanero, Juan Dìaz Godino, Navarro-Pelayo y Lyn English, quiénes resaltansu importancia en el proceso de enseñanza y en el proceso de aprendizaje de los estudiantes.[8] indica que a pesar del papel que juega el razonamiento combinatorio en los niños, enel pensamiento lógico que desarrolla y en el trabajo de las ideas de probabilidad inicial, lainvestigación sobre este razonamiento en los niños no ha sido tan productiva y destaca como eltrabajo de Piaget es probablemente el más citado.

Inheder y Piaget citados por [3] plantean esquemas combinatorios en la formación de lasnociones de azar y probabilidad. Si los estudiantes no adquieren la capacidad de análisiscombinatorio, el concepto de probabilidad (en el sentido Laplaciano) se puede usar solo encasos sencillos, es decir, en los cuales se pueden enumerar directamente los resultados posiblesque constituyen un espacio muestral y no en los que requieren hacer un conteo por medio devariaciones, combinaciones o permutaciones.

Inheder y Piaget citados por [3] consideran la capacidad combinatoria como un componentebásico del razonamiento formal en cuanto constituye un recurso para la elaboración de lalógica proporcional en los adolescentes. Describen el desarrollo psicogenético de las operacionescombinatorias en los distintos estadios de desarrollo a partir de sus observaciones y entrevistas aniños, proponiéndoles tareas combinatorias con materiales concretas.

Piaget indica que el razonamiento proporcional y el razonamiento combinatorio se dan apartir del trabajo con situaciones de probabilidad, ya que para comprender el azar se debenenumerar todas las posibilidades que podían haber ocurrido (razonamiento combinatorio) y alcomprender este conjunto de posibilidades teóricas con el conjunto más acotado de posibilidadesque interesan, es cuando surge la idea de probabilidad como cociente de estas dos cantidades(razonamiento proporcional).

Para el razonamiento combinatorio en los jóvenes, se resalta del trabajo de Piaget la etapade la “operación formal” que va desde los 11 años en adelante. El estudiante ya cuenta conherramientas cognoscitivas que le permiten solucionar muchos tipos de problemas de lógica,comprender las relaciones conceptuales entre operaciones matemáticas, ordenar y clasificar losconjuntos de conocimientos. Durante la adolescencia las operaciones mentales que surgieron enlas etapas previas se organizan en un sistema más complejo de lógica y de ideas abstractas [15].

El razonamiento combinatorio se da a partir de unas etapas, que le permiten al estudianteorganizar sus procesos al resolver una situación de combinatoria simples, a continuación se citandichas etapas [3]:

1. En el caso de un problema combinatorio simple, es preciso identificar el modelo implícitoen el enunciado, que puede ser:

Selección de muestrasColocación de objetos en urnasPartición de conjuntos en subconjuntos

2. El siguiente paso es discriminar entre los casos posibles, según el modelo elegido. Así, en elmodelo de muestreo, se requiere distinguir si:

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Todos los objetos son diferentes, o algunos son iguales.Se considera repetición o no de elementosInterviene la ordenación o no de elementos.

3. En los modelos de colocación y partición se precisa distinguir si:

Los objetos son iguales o distintosLas celdas( o subconjuntos) son distinguibles o no.Se considera el orden de colocación de los objetos dentro de las celdas o subconjuntosSe permite más de un objeto por celda/subconjuntoSe permiten celdas/subconjuntos vacíos

4. Otras etapas en la resolución de los problemas combinatorios son:

Identificación de los valores pertinentes de los diferentes parámetros puestos en juego:número de objetos, celdas, subconjuntos, o tamaño de la población y muestra segúnlos casos.Formación efectiva de las configuraciones pedidas o de recuento de las mismas.

El primer concepto combinatorio que se debe estudiar, cuando se trabaja con el diagramade árbol, es el de variaciones con repetición, luego permutaciones, variaciones y combinaciones[11]. Estos autores afirman que es importante utilizar los diagramas de árbol porque le dan a losconceptos un significado intuitivo que aportan al razonamiento combinatorio en dos sentidos,uno ayuda a la comprensión algebraica y dos le va a dar un sentido a la fórmula que resulta.Esta conclusión la dan a partir de los estudios que realizaron sobre el papel de la instrucción enel desarrollo de las capacidades combinatorias en adolescentes, basándose en el tipo de operacióncombinatoria, la edad de los estudiantes y la naturaleza abstracta o concreta, de los elementosque se consideran en el problema.

18

Referente Disciplinar 7

Los conceptos teóricos de esta sección son tomados de: [25], [17], [3], [21] y [37].

La probabilidad tiene tres caminos para ser abordada, el primero es el trabajo A priori, quesurgió con los juegos de azar. Este criterio fue el primero que utilizaron los estudiosos de losjuegos de azar. En 1565 Gerolamo Cardano escribió que la probabilidad consistía en determinarla cantidad de resultados que puede arrojar un juego de azar y determinar también el resultadoque favorece al jugador, por lo que la probabilidad es una relación proporcional que se estableceentre el resultado favorable al jugador sobre la cantidad de resultados posibles que arroja eljuego [27]. Una aplicación de este trabajo a priori es la genética, que utiliza el cuadro de Punnetel cual permite analizar las proporciones genotípicas y fenotípicas de la descendencia [2].

Las áreas que se obtienen dentro del cuadrado son proporcionales a la frecuencia de cadauna de las combinaciones de factores en la descendencia del cruce y se calcula la probabilidad deque aparezca cada combinación en la descendencia dividiendo el área de esa combinación (casosfavorables) entre el área total del cuadrado principal (casos posibles).

El segundo es a partir de lo “experimental” y se aborda tomando los casos favorables sobretodos los casos posibles de un determinado evento. El resultado de observar el comportamiento deuna secuencia de repeticiones de experimentos reales, muestran que existen razones lógicas paraasumir equiprobabilidad. Luego de una larga serie de ejecuciones del experimento, la frecuenciarelativa observada de un evento se aproxima a la probabilidad del evento es decir, la probabilidada priori, puede ser corroborada a posteriori, empíricamente [27].

El tercer camino es el de los modelos de probabilidad (por ejemplo binomial, Poisson oNormal) [5]. En este trabajo se usa el modelo binomial teniendo en cuenta que uno de susparámetros es justamente la proporción de casos posibles de un evento. Para este referentedisciplinar se toma el segundo camino, ya que se necesita buscar la forma para encontrar ennúmero de casos posibles de un evento.

Lo anterior muestra que el trabajo con combinatoria, está ligado a la probabilidad, es porello que a continuación se presenta la definición de este concepto (7.0.1 usa la definición clásicao de Laplace).

Definición 7.0.1 (Probabilidad) [25] Dado un experimento aleatorio con un espacio de nsucesos elementales (Ω), la probabilidad del suceso A, que se designa mediante P(A), es la razón

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7. Referente Disciplinar

entre la cantidad de casos favorables para la ocurrencia de A y la de casos posibles. En otrostérminos,

P (A) = nA

n(7.1)

donde nA es la cantidad de casos favorables de A.

En la definición anterior n es la determinación del número de casos posibles favorables, lo queindica la importancia de manejar adecuadamente los problemas de combinatoria. Este capítuloaborda los conceptos de experimento, espacio muestral, evento y principios fundamentales delconteo: las permutaciones y las combinaciones.

7.1. Combinatoria

La combinatoria se enfoca en contar el número de maneras en que un conjunto de objetosdados pueden organizarse de una determinada forma. Ribnikov(1988) citado por [3] define lacombinatoria como los conjuntos discretos y las configuraciones que pueden obtenerse a partirde sus elementos mediante ciertas transformaciones que originan cambios en la estructura o enla composición de los mismos. Berge (1926-2002) citado por [21] propone definir la combinatoriacomo el estudio de las configuraciones formadas con los elementos de un conjunto finito,entendiendo por tales las aplicaciones del conjunto en otro conjunto (posiblemente provisto decierta estructura) que satisfagan unas restricciones determinadas.

[3] indican que la combinatoria es el arte que enseña a enumerar todos los modos posibles enque un número dado de objetos puede mezclarse y combinarse de manera que haya la seguridadde que no se ha omitido ninguno de los posibles, se considera de una enorme utilidad y merecela más alta estima y profunda atención.

La combinatoria comprende una rica estructura de la matemática significativa, principiosque subyacen en varias áreas del plan de estudios de matemáticas, incluyendo el conteo, lacomputación y la probabilidad [8]. En términos simples, la combinatoria puede ser vista como laoperación de un producto cruzado. El producto vectorial de dos conjuntos A y B, es el conjuntode combinaciones obtenido por el emparejamiento de forma sistemática cada miembro de A concada miembro de B.

7.2. Espacio Muestral

Definición 7.2.1 [17] Con cada experimento ε del tipo que se considera, se define el espaciomuestral como el conjunto de todos los resultados posibles de ε. Usualmente se designa esteconjunto como S.

En el cuadro (7.1) se expone un resumen de los ejemplos que presenta [17], los cuales muestranun experimento y su respectivo espacio muestral.

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7.2. Espacio Muestral

EXPERIMENTO ESPACIO MUESTRALE1: Se lanza un dado y se observa elnúmero que aparece en la cara superior.

S1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

E2: Se lanza una moneda cuatro vecesy se cuenta el número total de carasobtenidas.

S2 = 0, 1, 2, 3, 4

E3: Se lanza una moneda cuatro vecesy se observa la sucesión de caras y sellosobtenidos.

S3 = Todas las sucesiones posibles de la forma a1, a2, a3, a4donde cada a1 = C o S según si aparece cara o sello en eli-ésimo lanzamiento

E4: Se fabrican artículos en una líneade producción y se cuenta el número deartículos defectuosos producidos

S4 = 0, 1, 2, . . . , N, donde N es el número máximo que sepudo producir en 24 horas.

E5: El ala de un aeroplano se arma conun gran número de remaches. Se cuentael número de remaches defectuosos.

S5 = 0, 1, 2, . . . ,M, donde M es el número de remachesinstalados.

E6: Se fabrica una bombilla. Luego seprueba su duración conectándola en unportalámparas y se anota el tiempotranscurrido (en horas) hasta que se que-ma

S6 = t/t ≥ 0

E7: En un lote de 10 artículos hay 3defectuosos. Se elige un artículo despuésde otro (sin sustituir el artículo elegido)hasta que se obtiene el último artículodefectuoso. Se cuenta el número total deartículos sacados del lote.

S7 = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

E8: Se fabrican artículos hasta producir10 no defectuosos. Se cuenta el númerototal de artículos manufacturados.

S8 = 10, 11, 12, . . .

E9: Se lanza un proyectil. Después deun tiempo determinado t, se anotan lostres componentes de la velocidad vx, vy

y vz.

S9 = (vx, vy, vz)/vx, vy, vz ∈ R

E10: Medir la resistencia a la tensión deuna barra de acero.

S11 = R/R ≥ 0

E11: De una urna que contiene solo esfe-ras negras, se escoge un esfera y se anotasu color.

S12 = esfera negra

E12: Un termógrafo marca la tempera-tura continuamente en un período de24 horas. En un sitio y en una fechaseñalados, “leer” dicho termógrafo

En este espacio muestral se debe suponer que la temperaturaen cierta localidad específica nunca puede subir o bajar conrelación a ciertos valores, por ejemplo M y m. Fuera de estarestricción, se debe admitir la posibilidad de que aparezcacualquier gráfica con determinadas características. Es posi-ble que esta no tenga saltos (esto es presentará una funcióncontinua). Además la gráfica tendrá ciertas características desuavidad que pueden resumirse en forma matemática al de-cir que la gráfica representa una función diferenciable. Así,finalmente se puede enunciar que el espacio muestral esf/funa función diferenciable, que satisface m ≤ f(t) ≤M, para toda t

E13: En la situación descrita en E13se anotan las temperaturas mínima ymáxima, x e y del período de 24 horasconsiderado.

(x, y)/m ≤ x ≤ y ≤ M. Es decir, S14 consta de todoslos puntos que están sobre y en un triángulo en el planobidimensional x, y

Cuadro 7.1: Tabla de ejemplos de experimentos con su respectivo espacio muestral

21


7.3. Evento

Definición 7.3.1 [17] Un evento A (respecto a un espacio muestral particular S asociado conun experimento ε) es simplemente un conjunto de resultados posibles. En la terminología deconjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral S, es decir que S mismo es unevento, también lo es el conjunto vacío ∅ y el conjunto unitario.

En la tabla (7.2) se presentan el resumen de los siguientes ejemplos, retomando algunosexperimentos ya nombrados.

EXPERIMENTO (E) ESPACIO MUESTRAL (S) EVENTO (A)E1: Se lanza un dado y se observael número que aparece en la carasuperior.

S1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A1: Un número par ocurre; estoes A1 = 2, 4, 6

E2: Se lanza una moneda cuatroveces y se cuenta el número totalde caras obtenidas.

S2 = 0, 1, 2, 3, 4 A2 = 2; es decir ocurren doscaras

E3: Se lanza una moneda cuatroveces y se observa la sucesión decaras y sellos obtenidos.

S3 = Todas las sucesiones posi-bles de la forma a1, a2, a3, a4 don-de cada a1 = C o S según si apa-rece cara o sello en el i-ésimo lan-zamiento

A3 = CCCC, CCCS, CCSC,CSCC, SCCC , es decir salenmás caras que sellos

E4: Se fabrican artículos en unalínea de producción y se cuenta elnúmero de artículos defectuososproducidos

S4 = 0, 1, 2, . . . , N, dondeN esel número máximo que se pudoproducir en 24 horas.

A4 = 0; es decir, todos los ar-tículos fueron no defectuosos.

E5: El ala de un aeroplano se ar-ma con un gran número de re-maches. Se cuenta el número deremaches defectuosos.

S5 = 0, 1, 2, . . . ,M, donde Mes el número de remaches instala-dos.

A5 = 3, 4, . . . ,M; es decir; másde dos remaches fueron defectuo-sos.

E6: Se fabrica una bombilla. Lue-go se prueba su duración conec-tándola en un portalámparas y seanota el tiempo transcurrido (enhoras) hasta que se quema

S6 = t/t ≥ 0 A6 = t/t < 3, es decir , la bom-billa se quema en menos de treshoras.

E13: En la situación descrita enE12 se anotan las temperaturasmínima y máxima, x e y del pe-ríodo de 24 horas considerado.

(x, y)/m ≤ x ≤ y ≤ M. Esdecir, S14 consta de todos lospuntos que están sobre y en untriángulo en el plano bidimensio-nal x, y

A14 = (x, y)/y = x + 20; esdecir, el máximo es 20 mayorque el mínimo.

Cuadro 7.2: Tabla de ejemplos: experimentos y espacio muestral con su respectivo evento

7.4. Técnicas de Conteo

A continuación se describen algunas de las técnicas de conteo más usadas en la práctica. Estaspermiten hacer cálculos de probabilidades a través de la expresión dada en la definición (7.0.1).

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A medida que se consideren situaciones más complejas, los procesos del conteo (combinación ypermutación) se pueden generalizar.

7.4.1. Principio fundamental del conteo

El principio fundamental del conteo indica que si una tarea se puede realizar de n1 formasy otra tarea de n2 formas, el número de maneras de desarrollar las dos tareas se obtiene den1 × n2 . Este principio se extiende a cualquier número de tareas y es conocido también como elPrincipio de multiplicación.

En [17] se explica de la siguiente manera: Se supone que un procedimiento, designado como 1,puede hacerse de n1 maneras. Luego en un segundo procedimiento, designado como 2, se puedehacer de n2 maneras. También se supone que cada una de las maneras de efectuar 1 puede serseguida por cualquiera de las maneras de efectuar 2. Entonces el procedimiento que consta de 1seguido por 2 se puede hacer de n1 × n2 maneras.

Figura 7.1: Planteamiento esquemático Tomado [17]

Para indicar la validez de este principio [17] propone el siguiente planteamiento esquemático.Conside un punto y dos rectas L1 y L2. El procedimiento 1 consiste en ir de P a L1, mientrasque el procedimiento 2 consiste en ir de L1 a L2. , [17] también aclara que este principiopuede extenderse a cualquier número de procedimientos. Si hay k procedimientos y el i-ésimoprocedimiento se puede hacer de ni maneras, i = 1, 2, . . . , k entonces el procedimiento queconsiste en 1, seguido por 2, . . ., seguido por el procedimiento k puede hacerse de n1×n2× . . . nk

maneras.

7.4.2. Permutaciones

Para la Real Academia de la Lengua Española [10] permutar es: “variar la disposición uorden en que estaban dos o más cosas”. Esta definición se complementa por [37] quien afirmaque es necesario precisar si estas cosas son o no indistinguibles, para asegurar que la nuevaconfiguración sea en esencia distinta a la antigua.

[17] plantea dos definiciones para permutación, en una cuando hay repetición y en la otracuando no:

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Definición 7.4.1 [17] Si n es un entero positivo, se define n! = (n)(n − 1)(n − 2) × 1 y esllamado n-factorial. También definimos 0! = 1! = 1.

Así el número de permutaciones de n objetos diferentes está dado por P (n, n) = n!.

1 2 . . . . N

Esta definición parte de suponer que se tiene n objetos diferentes ¿De cuántas maneras,P (n, n), se pueden agrupar o permutar estos objetos? Por ejemplo,se tienen los objetos a, b y c,se pueden considerar las siguientes agrupaciones: abc, acb, bac, bca, cab y cba. Así, la respuestaes seis. En general, se considera el esquema siguiente. Agrupar los n objetos es equivalente aponerlos, en algún orden específico, en una caja con n compartimientos.

La primera casilla se puede llenar de cualquiera de las n maneras, la segunda de cualquiera delas (n− 1) maneras,. . ., y la última casilla de solo una manera. Por tanto, aplicando el principiode multiplicación anterior, se observa que la caja se puede llenar de (n)(n − 1)(n − 2) . . . 1maneras.

Para el segundo caso, es decir el de permutaciones con repetición se parte de nuevo enconsiderar n objetos, 0 ≤ r ≤ n, y se permuta el r elegido. Se indica el número de manerasde hacerlo con P (n, r). Se recurre otra vez al esquema anterior de llenar una caja que tiene ncompartimientos; ahora el procedimiento se detiene después que se ha llenado el compartimientor-ésimo. Así el primer compartimiento puede llenarse de n maneras, el segundo de (n − 1)maneras,. . . , y el r-ésimo compartimiento de n˘(r − 1) maneras. Así se puede realizar elprocedimiento completo usando de nuevo el principio de multiplicación de P (n, r) = n(n −1)(n− 2)...(n− r + 1) maneras Usando la notación factorial presentada en la definición (7.4.1)se puede escribir

P (n, r) = n(n− 1)(n− 2)...(n− r + 1)(n− r)!(n− r)!

o

P (n, r) = n!(n− r)!

7.4.3. CombinacionesLa Real Academia Española [9] define combinación como: “unir diversas cosas, de manera

que formen un compuesto o agregado” [37] complementa esta definición al indicar que al igualque las variaciones y las permutaciones, el concepto de combinación tiene un significado muyconcreto en matemáticas. Brevemente, indica que es el número de conjuntos de un determinadonúmero de elementos que se pueden formar con un universo de objetos, sin importar el orden deselección, sino qué elementos se toman.

Para [17] se consideran nuevamente n objetos diferentes. Esta vez está interesado en contarel número de maneras como se pueden escoger r de esos n objetos sin considerar el orden Porejemplo se tienen los objetos a, b, c y d, y r = 2: se desea contar ab, ac, ad, bc, bd y cd. En otraspalabras, no se cuentan ab y ba puesto que los mismo objetos están relacionados y solo difiere elorden.

Para obtener el resultado general se recuerda la formula derivada anteriormente: el númerode maneras de elegir r objetos entre n y permutar los r elegidos es igual a

n!(n− r)!

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Sea C el número de maneras de elegir r entre n, sin considerar el orden. Se observa que unavez que se han escogido los r artículos, hay r! maneras de permutarlos. Por tanto aplicando unavez más el principio de multiplicación, junto con el resultado anterior, se obtiene

Cr! = n!(n− r)!

Así el número de maneras de elegir r entre n objetos diferentes, sin considerar el orden estádado por

Cr!r! = n!

(n− r)!r!Este número aparece en muchos contextos en matemáticas y, por lo tanto, se emplea un

símbolo especial para designarlo, el cual es [17]:

n!(n− r)!r! =

(nr

)

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Secuencia Didáctica 8

La secuencia didáctica propuesta en el trabajo se enfoca en las construcciones mentales: Acción,Proceso, Objeto y Esquema, que permiten llegar al concepto de combinación y permutación. Lasactividades de aprendizaje y evaluación que se proponen utilizan el conteo como herramientapara hacer generalizaciones de los conceptos mencionados, sin utilizar formulas. Es decir que lapropuesta se centra en la búsqueda de herramientas para la enseñanza de los métodos de conteo,como soporte para el aprendizaje de la probabilidad elemental.

([32], p. 20) indica que "Las secuencias didácticas son, sencillamente, conjuntos articuladosde actividades de aprendizajes y evaluación que, con la mediación de un docente, buscan el logrode determinadas metas educativas, considerando una serie de recursos".. Por ello se planteantres secuencias didácticas, con las actividades pertinentes, que con la mediación de la docentetienen como meta que los estudiantes lleguen al concepto de permutación y combinación. Acontinuación se resalta la manera como se articulan las actividades de aprendizaje planteadas.

Para esta propuesta, se tuvo en cuenta que las actividades estén organizadas por los siguientesmomentos: diagnóstico, planeación, ejecución y socialización, [32] indica que este orden, posibilitarealizar un proceso continuo articulando la teoría con la práctica.

Diagnóstico : El punto de partida para el diseño de la secuencia fue la prueba diagnóstico(ver el Anexo 1 que se encuentra en el capítulo 12), la cual está dividida en seis preguntas dediferentes contextos que permiten revisar y analizar los procesos realizados por los estudiantes,el nivel de conocimiento y las habilidades que demuestran ante situaciones de combinaciones ypermutaciones, estos elementos dan origen a la descomposición genética (DG) para el conceptode técnicas de conteo.

Planeación: La DG obtenida de la prueba diagnóstica se toma como herramienta paraplantear tres secuencias didácticas, cada una con 4 guías secuenciales que están focalizadasrespectivamente en una construcción mental (Acción, Proceso, Objeto y Esquema). Cadasecuencia busca cumplir un objetivo, a partir de una situación fundamental y una intencionalidaden las preguntas y actividades que se plantean.

Ejecución: La secuencia didáctica se aplicó a 27 estudiantes del grado noveno del colegioRamón de Zubiría sede C, jornada tarde. El colegio está ubicado en la localidad de Suba. Enla malla curricular para grado noveno proponen el trabajo de combinaciones y permutacionesa partir de solución de problemas. Para el trabajo de cada guía se destinó dos clases, unasemanal y cada una de una hora (55 minutos), la aplicación de la secuencia se hizo en el segundo

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8. Secuencia Didáctica

trimestre del año, ya que coincidía con la malla en grado noveno el trabajo de combinaciones ypermutaciones. No se trabajaron formulas, pero se buscó generalizar los procesos obtenidos.

Socialización: Al finalizar la ejecución de las guías, se socializa con los estudiantes losaprendizajes obtenidos, las ventajas, las dificultades, las diferencias entre las guías que trabajaron,la dificultad de los ejercicios y se evalúa con una prueba que encierra situaciones problemasimilares a las trabajadas durante la aplicación de la secuencia enfocadas en resolver situacionesque involucran combinaciones o permutaciones.

8.1. Prueba Diagnóstico

La prueba diagnóstico para esta propuesta representa una herramienta pedagógica importanteporque es el punto de partida y luego de su ejecución, los resultados obtenidos son el insumopara el planteamiento de la DG de las técnicas de conteo que a su vez es el eje de aplicaciónde la Teoría APOE y que permite estructurar el concepto a trabajar, lo cual se evidencia en laorientación dada para las actividades planteadas en la secuencia.

La prueba se aplicó en una hora clase (55 minutos) al inicio del segundo trimestre del año yevalúo el nivel de los estudiantes en términos de conocimientos y habilidades, a partir de lasfortalezas y debilidades que demostraron para resolver situaciones problema que involucrantécnicas de conteo.

Las situaciones que se aplicaron en la prueba diagnóstico son:

1. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre Laura,Diego, Sofía, Mateo y Luciana?

2. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos?

3. ¿Cuántos y cuáles números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4 si nose permite la repetición?

4. Camilo con lo que ahorra de sus onces decide comprar 3 de los siete discos que le faltan desu cantante favorito. ¿Cuántas posibilidades tiene?

5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer queempiecen por vocal?

6. ¿De cuántas formas diferentes puede contestar un alumno 4 preguntas de falso y verdadero?

Estas situaciones permiten que los estudiantes propongan formas que [3] las clasifica como:probar o no la existencia de una determinada estructura discreta, enumerar o hacer una lista delos elementos que poseen alguna o algunas propiedades, determinar un número de elementos deun conjunto finito que posee una propiedad, que realicen una optimización o clasificación. Laintención es evidenciar los procesos que aplican los estudiantes para resolver cada situación, másque la respuesta es la forma en qué analizaron la situación y la propuesta que realizan para surespectiva solución.

28

8.2. Descomposición genética de las técnicas de conteo


La DG que se propone, surge de la prueba diagnóstico que se aplicó a los estudiantes delcurso 901 del Colegio Distrital Ramón de Zubiría, sede C jornada tarde. Las soluciones dadaspor los estudiantes fueron el insumo para formular la descomposición genética que expusiera lamejor manera cómo los estudiantes construyen el concepto de permutación y de combinación.

Como se mencionó en el capítulo 6, [39], plantea que la descomposición genética de unconcepto matemático es el conjunto estructurado de constructos mentales, los cuales puedenescribir cómo el concepto puede ser desarrollado en la mente del individuo. La descomposicióngenética para este trabajo representa un posible camino que los estudiantes pueden realizar paraconstruir el concepto de técnicas de conteo, es decir las construcciones y mecanismos mentalespor medio de los cuales los estudiantes pueden modelar una construcción específicamente delconcepto de permutación y del concepto de combinación.

A través de la DG propuesta ver imagen 8.1, se describe un modelo para construir el conceptode permutación y de combinación, a partir de cuatro construcciones fundamentales: Objeto deespacio muestral, proceso de listados y conteos empíricos, esquema de importancia del orden,repetición/no repetición y objeto de técnicas de conteo.

Según la DG propuesta en la figura 8.1, un estudiante de los participantes inicia el proceso deconteo a partir del objeto “espacio muestral”, que representa situaciones en las que debe obtenerel conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, como se especificó en ladefinición 7.2.1 del capitulo 7, lo cual llevará a que los estudiantes “desencapsulen”dicho concepto,vinculado a los siguientes procesos: dibujos, listados, conteos y objetos: como el diagrama deárbol. Esta idea se toma de lo realizado por los estudiantes en la prueba diagnóstico .

Los estudiantes a partir de sus conocimientos realizan construcciones mentales para darsolución a diferentes situaciones, por ejemplo se apoyan en dibujos (ver figura 8.3) para lacomprensión del contexto y para señalar la solución, es un primer acercamiento a lo que busca.El proceso de listados (ver figuras 8.5, 8.2 y 8.6) que se evidencia, muestra un conteo empíricoque proponen como alternativa para dar la solución. El objeto de diagrama de árbol (ver figura8.4) también es una noción que los estudiantes dan muestra en la solución de las situacionesplanteadas.

Un estudiante muestra una concepción proceso de “conteo”asociado a un “espacio mues-tral”cuando es capaz de distinguir dos elementos diferentes de un conjunto dado, reconocer lapertenencia o no de todos los elementos de la colección, elegir un primer elemento de la colección[30].

En el caso del objeto diagrama de árbol, se dice que un estudiante muestra una concepciónde este objeto, cuando obtenga un resultado a partir de ramificaciones sucesivas. Es decir, si elestudiante reconoce y resuelve casos en los que un cierto procedimiento A se puede hacer de mmaneras y un procedimiento B se puede hacer de n maneras entonces existe m× n formas derealizar A y a continuación realizar B [35].

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Figura 8.1: Descomposición genética propuesta

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Figura 8.2: Conteo por parte de los estudiantes

Figura 8.3: Dibujos

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Figura 8.4: Nocion de Diagrama de arbol

Figura 8.5: Listados

Figura 8.6: Listados - conteo

Estos procesos y objetos se presentan a partir de la coordinación (retomando el capítulo6 hace referencia a todas las formas de utilizar una o más acciones para construir nuevos

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objetos o acciones. Por medio de este mecanismo dos o más procesos pueden coordinarse paragenerar nuevos procesos.), retomando los resultados de la prueba diagnóstico los estudiantesmostraron las siguientes acciones: secuenciales, acciones independientes, factorial, ordenacionesy multiplicaciones. Ver figuras: 8.7, 8.8 y 8.9.

Figura 8.7: Acciones



Luego del mecanismo mental de coordinación, los estudiantes pasan a la asimilación de esasacciones produciendo un esquema en el cual tienen en cuenta si importa o no el orden y siimporta o no la repetición, esto se va a evidenciar en situaciones como ¿De cuántas maneras

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diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre Laura, Diego, Sofía y Mateo? o ¿Decuántas formas se pueden escoger 3 niños de 5 niños?.

Situaciones como éstas serán encapsuladas para crear un nuevo objeto: cálculo de técnicasde conteo, el cual debe desencapsular los objetos: principio de multiplicación, permutación ycombinación. Lo anterior quedará en evidencia al resolver, por ejemplo problemas del tipo: Enuna clase de 15 estudiantes van a distribuir dos premios. De cuántos formas se puede repartir si:

Los premios son diferentes

Los premios son iguales

Para resolver este problema el estudiante debe reconocer la complejidad de contar uno a uno,por lo tanto debe mostrar una concepción del concepto objeto del cálculo de métodos de conteo,desencapsulando una concepción proceso que le permita recurrir a la importancia o no de ordeny de la misma manera de la repetición, luego debe tener presente la cardinalidad para distribuir15 estudiantes en dos secciones distintas de tamaño 2.

Por medio de esta nueva concepción, el estudiante puede verificar si los procesos para elcálculo de técnicas de conteo funcionan o no y ahora debe desencapsular los procesos de principiode multiplicación, permutación y combinación.

Finalmente, el estudiante muestra el objeto de concepto de técnicas de conteo cuandoha podido encapsular los procesos anteriores de: principio de multiplicación, permutación ycombinación, atribuyendo en cada caso una determinada forma de proceder, además de asignare interpretar su significado [35].

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8.3. Propuesta para la Secuencia Didáctica


Se plantean tres secuencias didácticas, cada una con 4 guías. Al inicio de cada secuencia seencuentran dos cuadros que son guía para el docente, el primer cuadro indica la la intencionalidadde la secuencia a partir del objetivo, la situación fundamental a trabajar y la intención de esasituación.

El segundo cuadro se basa en la metodología para el trabajo de la secuencia; las filas indicanlas guías a trabajar, cada una se enfoca en una construcción mental de la Teoría APOE; laguía No. 1 se trabaja acción; la segunda guía proceso, la guía No. 3 objeto y la cuarta guíaesquema. En las columnas se encuentran la situación didáctica, la organización en el aula paracada guía, la cual sugiere que en las tres secuencias la guía No. 1 se trabaja de forma individual,porque se enfoca en la construcción mental acción y tiene como propósito que cada estudiante sefamiliarice con la actividad, siga los pasos y resuelva problemas similares a partir del conteo unoa uno, de tal forma que cuando se realicen las otras tres guías que son en parejas cuenten conlos elementos y bases necesarias para realizar una discusión académica y aporte al desarrollo deltrabajo.

Las guías 2, 3 y 4 que se enfocan en las construcciones mentales proceso, objeto y esquemarespectivamente, se trabajan en parejas. En la guía No. 2 los estudiantes están en la capacidadde reflexionar sobre un determinado concepto, con base a lo realizado de forma individual en laguía No. 1. La tercer guía permite que los estudiantes den cuenta del procesos en su totalidad,observando las transformaciones que actúan sobre el concepto que están trabajando y permiteacercar a los estudiantes a la generalización y en la guía No. 4 ponen a prueba lo interiorizadodurante la secuencia, resolviendo ejercicios similares pero en otros contextos, es la coleccióncoherente del trabajo realizado, de los aciertos y debilidades y de las discusiones académicasque se generan con el apoyo del compañero. La última columna de la tabla aborda el rol delestudiante, que para cada actividad es diferente porque depende de la intencionalidad de la guíaplanteada

Para la ejecución de la propuesta el rol del docente es organizar a los estudiantes e indicarlas instrucciones para el desarrollo del trabajo, las cuales son: que el salón esté organizado, quelos estudiantes participen pidiendo la palabra, escucharse entre compañeros, respetar la opinióndel otro, cumplir los tiempos estipulados para cada guía , leer cuidadosamente las lecturas y/osituaciones que se plantean y marcar la guía.

El tiempo de trabajo para cada guía es de dos clases, cada una semanal y de 55 minutos,porque se ejecutó en la hora correspondiente a la asignación de estadística.

8.3.1. Secuencia Didáctica I

OBJETIVO Variar el orden en que estaban dos o más objetos opersonas tomados todos a la vez.

Situación fundamentalUtilizar una situación cotidiana para generar la inquietud enlos estudiantes acerca de las diferentes formas en las cuálesse puede sentar un grupo de personas

Intención Realizar el conteo teniendo en cuenta que es importante elorden

Cuadro 8.1: Intencionalidad Secuencia Didáctica I

En el Anexo 2 ubicado en el capítulo 13 se encuentran las guías de la secuencia didáctica I.

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Situación didác-tica/Construc-ciones mentales

Organización enel aula Rol del estudiante

Situación deAcción Trabajo individual

Desarrolla la guía de traba-jo individual, propone unasolución a priori.

Situación deProceso Trabajo en parejas

Realizan el conteo e indi-can las formas posibles deobtener los resultados pro-puestos en la actividad.

Situación deObjeto Trabajo en parejas

Relacionan el conteo reali-zado individualmente conun proceso matemático.

Situación deEsquema Trabajo en parejas

Discuten si el proceso pro-puesto es válido en otra si-tuación.

Cuadro 8.2: Metodología para el trabajo de la Secuencia Didáctica I

Guía No.1

La guía No. 1 consta de una lectura que permite que los estudiantes se cuestionen respecto asi se puede cumplir una promesa, luego de que 8 personas realicen todas las posibles formasque tienen de sentarse en una fila con 8 sillas, este contexto familiariza al estudiante en unasituación de variación de 8 personas tomadas todas a la vez y se deja la inquietud respecto aqué cuántos días pasarán para que prueben todas las formas distintas que tienen de sentarse.

Luego de la lectura se propone que indique 5 posibles formas distintas en que se puedensentar las 8 personas en una fila de 8 sillar, así se puede observar que tanto comprendieronla lectura y la instrucción dada, además que cada estudiante observe que si importa el ordenporque está teniendo en cuenta todas las posibles formas y que inicie a realizar el conteo e iniciaa realizar un conteo apriori.

La pregunta No. 3, permite que el estudiante reflexione ante la situación y trate de deducirsi el administrador puede cumplir la promesa, al final de la secuencia No. 1, en la guía No. 3 losestudiantes podrán comprobar si tenían o no la razón.

Guía No.2

En esta guía se realiza el análisis y el conteo de cómo se pueden sentar una cantidad depersonas de distintas formas. Es importante aprender a contar, retoman la situación de la guíaNo. 1, pero reduciendo la cantidad de personas, comenzando a contar las formas distintas quetienen para sentarse 2 personas, luego 3 personas y finalmente para 4 personas. En esta ejecuciónse requiere que cada pareja reflexione sobre el concepto de permutación a partir de la situación.

Así realizar el conteo con 2 personas deben notar que se cuentan las dos maneras a pesar detener las mismas personas, para el caso de 3 personas pueden hacer todos los listados, puedennotar que la primera personas tiene opción dos veces de sentarse en la silla uno y los otros dostienen 2 formas distintas de sentarse, es decir que dejando a una persona fija en la primera sillalas otras dos tienen 2 formas de sentarse y como son tres individuos, se tendría 3× 2 = 6.

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En esta guía los estudiantes trabajan en parejas y ya están familiarizados con la situación,pueden dar sus puntos de vista, se diferencia de la guía 1, porque los procesos son internos, esdonde los estudiantes tienen el control y son capaces de describir dicho concepto.

Guía No.3

Para el desarrollo de esta guía, se hacen preguntas retomando los conteos de la guía No. 2,la intención es que para este nivel de la construcción mental objeto, los estudiantes analicenque sucede si dejan fija a una persona en la primera silla, cómo varían las otras personas, si sedeja a otra persona fija va a suceder lo mismo, cuántas veces se repite ese proceso.Es decir, losestudiantes relacionan el conteo realizado con un proceso matemático.

La construcción mental objeto, permite que reflexionen sobre las operaciones aplicadas a undeterminado proceso. El tercer punto de esta guía se plantea una tabla en la cual se busca queplasmen los resultados obtenidos y de esa manera observen una regularidad y en algunos casosel estudiante llegue a proponer una generalización en la socialización. Para 1 persona hay unaopción de sentarse en una silla, para dos personas las diferentes formas de sentarse en dos sillases 3×1 = 2, para 3 personas 3×2×1 = 6, para 4 personas 4×3×2×1 = 24 y así sucesivamentehasta llegar a 8 personas como inició la lectura de la guía No. 1, los estudiantes obtienen unsistema tal que, para números pequeños de objetos, está seguro de no olvidar ninguna de laspermutaciones formadas, al deducir el mecanismo operativo. En esta guía los estudiantes puedenvalidar si se cumple la promesa del administrador de la situación planteada en la guía No. 1 ycomprobar si lo que respondieron quedó bien o no.

Guía No.4

La última guía permite socializar lo trabajado en las guías anteriores discutiendo si el procesopropuesto es válido en otros contextos, se colocan 3 situaciones dónde importa el orden y ademásvarían tomándolos todos a la vez. Esta guía cierra el ciclo de la teoría APOE, pues se enfocaen la construcción mental esquema, se evidencia la colección coherente de acciones procesosy objetos y las relaciones establecidas entre ellos. La primera pregunta pide que se haga unaordenación de de 4 libros distintos y qué se indiquen todas las posibles formas que se puedenubicar en una biblioteca, la segunda se enmarca en una clase de español donde el docente deseala habilidad que tienen los estudiantes para formar palabras con o sin sentido de acuerdo a unnúmero de letras y la la última situación es similar a la segunda.

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8.3.2. Secuencia Didáctica II

OBJETIVO Variar el orden en que estaban dos o más objetoso personas sin tomar todos a la vez.

Situación fundamental Utilizar una situación cotidiana para generar la inquietud enlos estudiantes acerca de las diferentes formas en las cuálesse puede sentar un grupo de personas sin llamarlas a todasa la vez

Intención Realizar el conteo teniendo en cuenta que es importante elorden, pero eliminando las opciones de los que no se toman

Cuadro 8.3: Intencionalidad Secuencia Didáctica II




Solucionar la guía de for-ma individual, se retomael contexto del cine de laguía No. 1, pero la situa-ción se enfoca en ordenar-los sin tomarlos todos a lavez, se hacen preguntas deindagación.


Proponer los listados, rea-lizar el conteo de las orde-naciones que se piden.


Pasar de los listados a unapropuesta numérica de có-mo obtener esa cantidad.


Discuten si el proceso pro-puesto es válido en otrasituación.Resolver ejerci-cios “similares” siguiendoel análisis del esquema ob-tenido

Cuadro 8.4: Metodología para el trabajo de la Secuencia Didáctica No. II

En el Anexo 3 ubicado en el capítulo 14 se encuentran las guías diseñadas y aplicadas de lasecuencia didáctica II.

Guía No.1

Para esta guía, que se trabaja de forma individual y se enfoca en la construcción mentalacción, se retoma la situación de los 8 amigos en el teatro, esta vez los actores de la obra van ainteractuar con el público, escogiendo a dos personas de la primera fila para que interpreten aunos personajes específicos, este contexto es el punto de partida para trabajar las 3 primeras

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guías, se busca variar el orden en que están las personas, pero esta vez sin tomarlas todas a lavez.

La narración específica que la persona que elijan primero representará al presidente y lasegunda al vicepresidente, esto con la intención de que el estudiante reflexione acerca de laimportancia del orden, por ejemplo si A es una persona y B otra, entonces se deben tener encuenta las dos parejas que forman es decir, AB y BA aunque son las mismas personas, el ordenes qué las escogieron hace que sea diferente el personaje que representarán.

Luego de la lectura en la guía se pide que realicen un listado con 5 formas distintas en quépueden escoger a dos de los 8 amigos que están ubicados en la primera fila del teatro, con el finde que se evidencie la comprensión de la lectura y de la instrucción, además realiza el conteouno a uno.

La tercera pregunta, permite que retome las parejas que propuso y que les asigne el papelque les corresponde (presidente o vicepresidente) dependiendo el orden en que los colocó, denuevo el estudiante de forma implícita está interiorizando que es una situación en la cual seresalta la importancia del orden en que se seleccionan los elementos.

Finalmente, se pide a los estudiantes que se cuestionen respecto a que si al no tomar atodas las personas a la vez, hace que disminuya o aumente la cantidad de formas diferentes deordenarlas. Se espera que el estudiante conteste desde lo que ha interiorizado y que al final de laaplicación de la secuencia, pueda comparar lo que contestó ene esta guía con lo que generaliza alterminar la ejecución de la secuencia.

Guía No.2

En la guía No. 2 los estudiantes realizan el análisis y el conteo de cómo pueden escoger a dospersonas de ocho para ubicarlas en dos posiciones diferentes, es importante que comprendan laimportancia del orden.

La primera pregunta retoma la afirmación: “la primera persona que llamemos representaráel papel del presidente y la segunda persona hará el papel del vicepresidente” y pregunta quecon base en esa afirmación, tiene el mismo sentido la parejas: Santiago y Camila - Camila ySantiago. Como esta guía se trabaja en parejas y ya tienen el acercamiento de lo realizado en laguía No. 1, entonces, tienen la opción de discutir sus respuestas, de desencapsular y encapsularla información.La reflexión que se espera es que digan que no tiene el mismo sentido esas dosparejas, a pesar de ser las mismas personas, para el primer caso Santiago representaría alpresidente y Camila al vicepresidente, en la segunda pareja Camila sería la presidenta y Santiagoel vicepresidente.

Esta guía se enfoca en la construcción mental proceso, es por ello que los estudiantes yatienen las bases para considerar si es importante o no el orden y por qué (es la segunda preguntade la guía), pues los procesos son internos, los estudiantes tienen el control y son capaces dedescribir dicho concepto sin necesidad de actuar sobre él. Lo que han realizado hasta este instanteles va permitir deducir que si importa el orden en esta situación.

Finalmente, se pide a los estudiantes que realicen el listado y el conteo de la cantidad demaneras que tienen los actores para escoger a dos de los ocho amigos, indicando los personajesque representarían. Se espera que realicen el conteo uno a uno, que vayan enumerando, estainstrucción complejiza lo que se había trabajado, es importante aumentar el nivel de dificultadporque ya tienen herramientas que les ayuda a argumentar y generalizar la situación que se estáabordando.

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Guía No.3

Para esta guía se da cómo contexto la generalización que se obtiene del la secuencia didácticaNo. 1, la cantidad de formas distintas en qué se pueden sentar 8 personas en una fila de 8 sillas seobtiene mediante 8× 7× 6× 5× 4× 3× 2× 1, porque se necesita para comprender la regularidadque se busca para obtener el número de formas diferentes en qué se pueden elegir a dos de esas8 personas.

Se plantean una secuencia de preguntas que conducen a los estudiantes a encontrar unaexpresión numérica que permita variar el orden en qué estaban 5 personas organizándolas de ados, teniendo en cuenta que importa el orden.

La primera parte (literal a) le indica a los estudiantes que retomando la generalización de lasecuencia didáctica I, la expresión numérica para encontrar el número de formas distintas es quese pueden organizar 5 personas es 5× 4× 3× 2× 1, pero ahora van a sacar de esas todas lasposibles formas de tomar a dos de esas personas para elegir un cargo (la primera será presidentey la segunda vicepresidente)

Luego (literal b) se pide que escriba de las 5 personas ¿cuántas podrían ocupar la posiciónde presidente?, la intención es que indiquen que son 5, porque tienen opción de ser elegidas.

La siguiente pregunta (literal c) es: ¿una misma persona podría ocupar los dos cargos?¿por qué?, a lo cual se espera que respondan que no, porque una misma persona no puede serpresidente y vicepresidente a la vez, es decir no se admite la repetición. Los estudiantes debenargumentar la respuesta.

Luego se indaga (literal d) respecto a que si se deja una persona fija en la posición depresidente ¿cuántas personas podrían ocupar la posición de vicepresidente?, la respuesta es 4,porque de las 5 ya se deja una fija para la posición de presidente, es decir sobran 4 personas y acualquiera la podrían escoger para vicepresidente.

En el literal d, se busca que interioricen respecto al conteo que se hace cuando un factorse repite. La situación que se presenta es: Por cada persona fija en la posición de presidente¿Cuántas personas hay para la posición de vicepresidente?. Es decir si la personas 1 queda fijahay 4 opciones de vicepresidente, si la persona 2 queda fija hay 4 opciones de vicepresidente,si la persona 3 queda fija hay 4 opciones de vicepresidente, si la persona 4 queda fija hay 4opciones de vicepresidente y si la persona 5 queda fija hay 4 opciones de vicepresidente. Es decirse tiene 5× 4.

El último literal de la pregunta 1, pide a los estudiantes que de la expresión del literal a, esdecir 5× 4× 3× 2× 1 cuántas opciones se deben simplificar para obtener 5× 4. Se espera queindiquen 3× 2× 1.

Luego del hilo conductor de preguntas, que lleva a concluir que se deben simplificar lasopciones que no se utilizan porque no se toman todas las personas a la vez, se plantea una tablapara que los estudiantes registren los resultados y generalicen, por ejemplo

para la expresión 5× 4× 3× 2× 1 se deben simplificar 5× 4 formas. Para 4× 3× 2× 1

Si se tienen 5 personas y se quieren tomar todas a la vez, no se simplificaría porque setoman todas

Si se tienen 5 personas y se quieren ordenar de a 4, se simplificarían entre 1.

Si se tienen 5 personas y se quieren ordenar de a 3, se simplificarían 2× 1

Si se tienen 5 personas y se quieren ordenar de a 2, se simplificarían 3× 2× 1

Esta guía se enfocó en en la construcción mental objeto, porque el estudiante se da cuentadel proceso en su totalidad, cuando reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un determinado

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proceso y observa que las trasnformaciones pueden actuar sobre él, entonces ha encapsulado talproceso como un objeto cognitivo.

Guía No.4

La última guía de esta secuencia, presenta 3 situaciones en diferentes contextos, donde varíael orden en que estaban dos o más personas sin tomarlas todas a la vez y en las cuales importael orden.

La primera ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premiso distintos entreLaura, Diego, Sofia, Mateo y Luciana?, en este caso el hecho de que los premios sean distintos,hace que importe el orden en que sean escogidas las personas.

La segunda ¿De cuántas maneras distintas se pueden escoger 2 personas de un grupo de 8?,de nuevo se hace la aclaración de que son formas distintas, por eso se tienen en cuenta todas lasparejas que se forman.

La tercera, En una pequeña empresa el sindicato está conformado por 25 personas y quierenconformar la mesa de trabajo con 5 representantes: Presidente, Secretario, Tesorero, PrimerVocal y Segundo Vocal. ¿Cuántas representaciones diferentes será posible formar?, como cadacargo es diferente, se deduce la importancia del orden.

Esta guía se trabaja en parejas y responde a la construcción mental esquema, donde seevidencia que lo aprendido por los estudiantes es una colección coherente de acciones, procesos yobjetos y así mismo de las relaciones establecidas entre ellos. En este caso deben comprender lasituación, interpretar si importa o no el orden, resaltar si se toman todos a la vez o no y plantearla expresión matemáticas que le permite dar solución a las situaciones, siguiendo el esquemaaplicado en el desarrollo de la secuencia didáctica.

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8.3.3. Secuencia Didáctica III

OBJETIVO Unir diversas cosas, de manera que formen un com-puesto o agregado

Situación fundamental Utilizar una situación cotidiana para generar la inquietuden los estudiantes acerca de la forma en que puede haceruna selección sin sustitución en la cual no importa el orden

Intención Realizar el conteo teniendo en cuenta que no importa elorden

Cuadro 8.5: Intencionalidad Secuencia Didáctica III




Solucionar la guía de for-ma individual, enfocar enel análisis de las situacio-nes presentadas y en per-mitir que dé opciones pa-ra la solución del problemaplanteado.


Analizar por qué en este ti-po de situaciones no es im-portante el orden ni la re-petición, utilizar lo apren-dido en las secuencias 1 y 2para proponer soluciones.


Indicar un proceso numéri-co para la solución de la si-tuación, explicar cómo pue-de simplificar las permuta-ciones que se repiten.


Resolver ejercicios “simila-res” siguiendo el análisisdel esquema obtenido

Cuadro 8.6: Metodología para el trabajo de la Secuencia Didáctica III

En el Anexo 4 ubicado en el capítulo 15 se encuentran las guías diseñadas y aplicadas de lasecuencia didáctica III.

Guía No.1

Ésta guía se trabaja de forma individual, inicia con una lectura acerca de dos Dj., que estaránen un colegio ambientando el descanso y además regalarán CDs del cantante de moda, perodesean saber cuál es la mejor opción para escoger los estudiantes que recibirán el premio. Laintención es que sea la introducción al trabajo con combinaciones sin repetición, en esta lecturay en el desarrollo de la secuencia didáctica III se hace énfasis en la forma en que se puede hacer

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una selección sin sustitución en la cual no importa el orden. Los Dj proponen varias formaspara hacer la elección de los estudiantes, pero encuentran dificultades en algunas porque danresultados muy grandes y al final escogen la forma que ellos consideran mas conveniente.

La primera pregunta cuestiona a los estudiantes respecto a si consideran que es importanteel orden en el que escojan a los niños. La intención es que reflexionen que no es importante,porque el premio es el mismo, entonces no va a variar la posición en que sea elegido y por tantosolo se cuenta una vez.

La pregunta No.2 les permite dar su opinión respecto a por qué el Dj, Martín eligió esa formapara realizar la rifa (escoger al azar 3 niños de un grupo de 10), se busca que comprendan queal ser premios iguales se reduce la cantidad de formas, además con el concurso de baile soloquedan 10 estudiantes del total del colegio y será menos dispendioso elegir 3 de 10.

Para la tercera pregunta se evidenciará si el estudiante comprendió la lectura y lo que se estásolicitando a partir de ella, deben realizar un conteo con los elementos que se tienen, escribiendoal menos 5 formas en que se pueden escoger al azar 3 niños de los 10 que ganaron la competenciade baile.

Esta guía apunta a la construcción mental acción, se enfoca en el análisis de las situacionespresentadas y en permitir que dé opciones para la solución del problema planteado.

Guía No.2

En esta guía se intentará resolver la duda de Camilo, para ello se aborda la situación conuna cantidad menor de niños, para realizar el conteo y comprender si importa el orden y/ola repetición.Se desarrolla en parejas, se enfoca en la construcción mental proceso porque losestudiantes deben analizar por qué en la situación planteada no es importante el orden ni larepetición, además se utilizan parte de los conceptos aprendidos en las dos secuencias didácticasanteriores.

El contexto ahora es ¿De cuántas formas puedo seleccionar 3 niños de 6?, se indica quenombre a cada niño con una letra del alfabeto, para facilitar hacer los conteos. Luego de estasindicaciones, se parte de los siguiente: Si Camilo dijera que escoge a los niños A-B-C y Martínindicara que escoge a los niños B-A-C.

La primera pregunta es: ¿Están escogiendo a los mismos?, para este contexto y tendiendo encuenta que van a recibir el mismo premio, entonces si están escogiendo a los mismos niños.

La segunda pregunta ¿En esta situación es válida la forma A-B-C? ¿por qué?, permite quelos estudiantes admitan la forma en que se va a llevar a cabo el conteo y que es válida porque esuna manera de elegir a 3 niños de los 6.

La pregunta No. 3: ¿importa el orden en que sean escogidos?, conlleva a que los estudiantesanalicen que no es importante el orden porque van a recibir el mismo premio los tres, estapregunta es fundamental para que el estudiante interiorice la información de las dos siguientespreguntas.

La cuarta pregunta pide que indiquen todas las formas distintas que tienen Camilo y Martínde escoger los tres primeros niños. La intención es que hagan el conteo o el listado, teniendo encuenta que ya poseen herramientas para solucionar una situación de este estilo, es decir

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA son las 6 formas distintas de elegir los 3 primeros o deforma numérica 3× 2× 1 = 6.

La siguiente pregunta, conlleva a que los estudiantes comprendan la importancia del ordeny observen la relación numérica que conlleva la no importancia del orden. La pregunta estáplanteada así: Si no importa el orden ¿A cuántas maneras se reduce el listado anterior?. Al noimportar el orden, todas esas formas serían la misma, es decir que se reduce a 1.

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La última pregunta se enfoca en que los estudiantes se ejerciten realizando el conteo, peroa su vez tiene como propósito evidenciar si hay estudiantes que puedan concluir la forma enqué pueden simplificar para no hacer todo el listado, ya que daría un número muy grande parahacer el conteo uno a uno.

Guía No.3

El desarrollo de esta guía es en parejas y se basa en la construcción mental objeto, porquelos estudiantes indican un proceso numérico para la solución de la situación asignada, ademásreflexionan y explican sómo pueden simplificar las permutaciones que se repiten.

Se parte de la situación ¿de cuántas maneras se pueden escoger 3 niños de 6? y la primerapregunta es: Si importa el orden, el primer niño tendría 6 opciones de ser elegido, el segundo5 y el tercero 4. ¿Cómo sería la expresión para hallar el total de formas?. Se espera que losestudiantes pongan en práctica lo encapsulado en la secuencia didáctica II, es decir que laexpresión que obtengan sea 6× 5× 4, ya que se aclara que importa el orden.

La segunda pregunta: Al no importar el orden ¿qué formas se deben simplifica?, apunta aque indiquen 3× 2× 1 que hacen referencia al número de ordenamientos de 3 objetos.

Teniendo en cuenta que se realiza una generalización, como es común en la construcciónmental objeto, entonces ya se puede dar solución a la pregunta de Camilo, que fue el punto departida de esta secuencia didáctica: ¿Cómo puedo escoger a 3 niños de un grupo de 10?. Comono importa el orden, la expresión y el resultado están dados por

10×9×83×2×1 = 120

Guía No.4

La última guía de la secuencia didáctica III, se trabaja en parejas y se centra en la construcciónmental esquema, porque los estudiantes a partir de lo realizado en las guías anteriores ya tienenun esquema para resolver situaciones en las cuales deben hacer una selección sin sustitución enla que no importa el orden.

La primera situación es: El gerente de una compañía de alimentos desea enviar a 2 de sus 4mejores empleados a una capacitación para el manejo de nuevas tecnologías. Los candidatos son:Melisa (M), Alan (A), Natalia (N), Iván (I). ¿De cuántas formas puede elegir a los 2 empleadosque irán a la capacitación?, en la cual no importa el orden, porque lo que van a realizar laspersonas que escojan es lo mismo, en este caso una capacitación, por tanto en nada cambia siuna persona es elegida de primeras o de segundas. La solución está dada por 4×3

2×1 = 6, 6 formastiene el gerente para elegir a sus empleados.

Para la segunda pregunta, se coloca un enunciado y se especifican dos situaciones, en laprimera si importa el orden porque los premios son diferentes y en la segunda como los premiosson iguales no importa el orden. Se coloca de esa manera para que los estudaintes tengan claroel esquema de las dos situaciones que se pueden presentar. La pregunta es:

En una clase de 15 estudiantes van a distribuir dos premios. De cuántos formas se puederepartir si:• Los premios son diferentes• Los premios son iguales

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Implementación y análisis de los resultados 9

Esta propuesta se aplicó en el grado noveno porque son estudiantes entre 14 y 17 años, loscuales según Piaget se encuentran en la etapa de las operaciones formales, lo que permite queadquieran la capacidad de utilizar procedimientos sistemáticos, para establecer las posiblespermutaciones, variaciones y combinaciones de un determinado conjunto de elementos.

Se cumplió con las indicaciones dadas en el capítulo 8, respecto a la metodología de trabajo,los tiempos destinados para la ejecución de cada guía y las recomendaciones generales para eldocente.

Para los porcentajes que se muestran a continuación, las guías No. 1 (la primer guía de cadasecuencia) que se trabaja de forma individual el 100 % está representado por los 27 estudiantesque aplican la guía y para las otras, es decir las guías No.2, No.3 y No. 4, como se trabajan enparejas el 100% es 13 que equivale a 12 parejas y 1 grupo de tres estudiantes.

En las evidencias de lo realizado por los estudiantes durante la implementación, no se colocantodas las imágenes, sino ejemplos de 1 o 2 estudiantes que den cuenta de los procesos realizadosen general por el grupo o que se destaquen en los resultados obtenidos o también por los erroresque se pueden presentar.

SECUENCIA DIDÁCTICA I

La guía No. 1 de la secuencia didáctica I, aborda la construcción mental Acción. En laprimera parte de la guía, los estudiantes de forma individual realizaron la lectura, paraesto se estipularon 15 minutos, pues se hizo énfasis es que leyeran cuidadosamente y si loconsideraban necesario realizaran el proceso de lectura varias vecesr para comprender lasituación.Para la primera instrucción dada “Teniendo en cuenta la lectura, indique al menos 5 formasdiferentes en las que pudieron sentarse en el teatro los 8 amigos”, se evidencia que 100 %de los estudiantes siguieron los pasos para hacer un listado de 5 posibles formas diferentesen que se pueden sentar 8 personas en las 8 sillas de la primera fila en un teatro, es decirla situación les permitió interpretar que no se debían repetir los elementos y además queimporta la repetición. Las figuras 9.1 y 9.2 muestran parte del proceso realizado por losestudiantes y fueron elegidas, porque todos los estudiantes siguieron de forma similar losmismos pasos al realizar el listado.

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9. Implementación y análisis de los resultados

Figura 9.1: Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica I


En cambio al momento de responder la pregunta “¿cree usted que el administrador pudocumplir su propuesta? ¿por qué? ” en la cual se aumenta el nivel de interpretación, solo dosde los estudiantes estructuran sus acciones obteniendo la respuesta acertada, otros aunquehacen una interpretación adecuada, no obtienen el resultado correcto. Las figuras 9.3 y 9.4reflejan parte de los procesos realizados por los estudiantes, se tomaron estas imágenesporque permiten evidenciar la reflexión realizada por los estudiantes y la estructura quemanejan de sus preconceptos, también los errores que comenten permiten guiar el trabajode las guías que faltan por aplicar. La figura 9.3, por ejemplo muestra el manejo que tieneese estudiante para estructurar este tipo de situaciones por medio de un diagrama de árbol,lo cual facilitó realizar una retroalimentación al final de la clase, porque el estudiante hizola explicación de lo realizado en el momento de la socialización. Como se indicó en elcapítulo 8, la intencionalidad de esta pregunta era que los estudiantes reflexionen ante lasituación y que justifiquen el por qué de su respuesta, para que al final del la guía No. 3,puedan comparar lo que propone con lo obtenido al final de la secuencia.

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La guía No. 2 de la Secuencia Didáctica I se centra en el trabajo de la construcción mentalProceso y fue desarrollada en parejas, los estudiantes reflexionan sobre la situación dela guía anterior, pero la abordan con cantidades menores para hacer una reflexión de loque han interiorizado hasta el momento acerca del concepto de permutación siguiendo lopropuesto en la secuencia.

La guía inicia ordenando de formas distintas a dos personas, pues es un conteo sencillo,podían anotar los resultados y evidenciar que importa el orden porque cuentan las dosopciones que se forman a pesar de tener las mismas personas. El 100 % logró resolveresa situación, se evidencian los procesos realizados porque hacen los conteos e indican lasformas posibles de obtener los resultados. Para la parte en la cual debía ordenar 3 personasdiferentes en un orden específico, también el 100 % lo logró solucionar. Las figuras 9.5 y 9.6,se distinguen porque reflejan los procesos realizados por los estudiantes, la asimilación querealizan de las acciones llevadas a cabo. De nuevo el diagrama de árbol permite plantearla solución para situaciones de permutación, tomando todos los elementos a la vez.

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Figura 9.5: Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica I


La última pregunta que se enfoca en ordenar 4 objetos diferentes en un orden específico,lo logró el 94,5 %, el grupo que no obtuvo la respuesta dejó en blanco el espacio, en lasocialización indicaron que no alcanzaron a resolver la situación,pero se retroalimentócon base en las respuestas de los compañeros. La figura 9.7 representa un ejemplo delos listados propuestos por los estudiantes. En el cual pueden notar que al dejar a unapersona fija en el primer puesto, obtienen 6 opciones diferentes de sentarse, pero como son4 personas entonces el total de formas es 24.

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Los estudiantes como se mencionó en el capítulo 6 refelxionaron sobre la necesidad deresolver de cuántas formas distintas se pueden sentar 8 personas en una fila de 8 sillas ,realizando transformaciones sobre las operaciones aplicadas a un determinado proceso,en este caso haciéndolo para dos personas, luego para tres y finalmente para cuatro, esdecir que no están actuando aún en la situación general con 8 personas. Es por ello quese considera que dicho concepto está siendo interiorizado por el estudiante mediante unproceso.

La guía No. 3 de la Secuencia Didáctica I se enfoca en la construcción mental Objeto,el estudiante da cuenta del proceso en su totalidad y sin utilizar formulas, encuentra lasolución a la situación planteada en la guía 1, donde se preguntaba de cuántas manerasdistintas se pueden sentar 8 personas en 8 sillas; además reflexionan acerca de la respuestaque dieron en la pregunta ¿cree usted que el administrador pudo cumplir su propuesta?,pues no era posible.

Se retoman los procesos de la guía No. 2, para que se reflexione sobre las operaciones apli-cadas para obtener el resultado, los estudiantes por medio de multiplicaciones generalizanlos procesos obtenidos inicialmente para 2 personas, obteniendo 2 veces 2 y luego para 3personas, en este caso obteniendo 3 veces 2. La respuesta que se evidencia en la figura 9.8muestra la noción de multiplicación mencionada y fue interiorizada por el 100 % de losestudiantes,porque lograron variar el orden para 3 y para 4 personas tomadas todas a lavez.


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La tabla del punto 3 de la guía en mención, refleja lo propuesto por la teoría APOE (Capítulo6) para la construcción mental objeto porque encapsula el proceso de las multiplicacionesque se presenta como un objeto cognitivo,que se conoce como permutación (varianionesordinarias de n objetos tomados de r en r, al hacer la expresión para cada caso, permiteque observen la regularidad, sin necesidad de hacer uso de formulas y que plasmen elprocedimiento para encontrar la respuesta al problema inicial. Las figuras 9.9 y 9.10, dana conocer la forma en que el 100% de los estudiantes colocaron los datos en la tabla,relacionando la cantidad de personas con la cantidad de sillas, se toman todos los elementosa la vez, las diferentes formas de sentarse y la expresión matemática que permite obtenerese resultado.



La guía No. 4 de la Secuencia Didáctica I se basa en la construcción mental Esquema, aquíse evidencia la relación de lo desarrollado en las 3 guías anteriores, donde se trabajaron lasconstrucciones mentales: acción, procesos y objeto. El estudiante está en la capacidad deresolver los problemas planteados donde debe variar el orden en que estaban dos o másobjetos o personas tomados todos a la vez. Para esta guía se plantearon 3 situaciones endiferentes contextos, en las 3, el 92,3 % de los estudiantes lograron resolverlos adecuada-mente. Las figuras 9.11, 9.12 y 9.13, plasman algunas de las respuestas dadas y fueronescogidas porque dan cuenta de la colección coherente de acciones, procesos y objetos ylas relaciones establecidas entre ellos, todos relacionados con el concepto de permutación.

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SECUENCIA DIDÁCTICA II

La guía No. 1 de la secuencia didáctica II, se enfoca en la construcción mental Acción lalectura y las preguntas que sea una operación mental repetible que transforma un objeto,el trabajo que realizan los estudiantes permite avanzar y se involucran en el contexto dela situación planteada. Para la primera parte los estudiantes tuvieron 10 minutos pararealizar la lectura, dejando la opción de que la realicen varias veces para comprender elcontexto.La segunda pregunta fue resulta de forma correcta por el 100 % de los estudiantes loscuales realizaron el listado resaltando al menos 5 formas en las que pueden escoger a 2personas de 8, se cumplió la intencionalidad de que no hubiese repetición. Las figuras 9.14y 9.15, dan cuenta de ejemplos de listados que hicieron los estudiantes durante la ejecuciónde la guía, fueron escogidas estas dos imágenes porque resaltan similitud de lo realizadoen general por todos los estudiantes del curso 901.

Figura 9.14: Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica II


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Para la tercera pregunta, los estudiantes comprendieron que el orden era importanteporque cada posición representa algo diferente, ya que en la lectura se específica que laprimera posición representa es presidente y la segunda segunda posición el vicepresidente,entonces infieren que es relevante el “orden” y deben tener en cuenta todas las variaciones,es por ello que por ejemplo la parejas Santiago-Juan y Juan -Santiago, son diferentes apesar de estar compuestas por las mismas personas. La figura 9.16 en la parte del punto 3,muestra como los estudiantes resaltan la diferencia en los listados colocando la posiciónque representa (p) presidente y (v) vicepresidente, esos acciones son interiorizadas por losestudiantes.


Para la pregunta 4: Al no tomar a todas las personas a la vez ¿aumentará o disminuirá lacantidad de formas diferentes de ordenarlos?, el 100 % de los estudiantes consideran quela cantidad de formas aumenta, es decir que al final de la implementación de la secuenciapueden contrastar la respuesta dad con la generalización que observan, el trabajo con laTeoría APOE, permite que encapsulen y desencapsulen, que se devuelvan en los procesoscuando hay errores para que los puedan identificar y corregir. La gráfica 9.16 da cuentade una de las respuestas que dio uno de las parejas, llama la atención que los grupos nojustificaron la respuesta de la pregunta 4.

La guía No. 2 de la Secuencia Didáctica II se basa en el trabajo de la construcción mentalProceso, se trabajó de forma en parejas. Los estudiantes hacen una reflexión acerca dela situación presentada en la guía anterior y la interiorizan a partir de la importanciadel orden, para las 2 primeras preguntas del punto, el 100 % de los grupos, lograroncomprender que en una situación tener grupos con los mismos elementos pero organizadosen diferente orden no tienen el mismo significado, ya que según el contexto dado importael orden, la figura 9.17 muestra un ejemplo de os proceso realizados por una pareja deestudiantes, quiénes resaltan en un cuadro quién sería el presidente y quién el vicepresidente,además que importa el orden porque representan papeles diferentes.

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Figura 9.17: Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica II

Para el segundo punto solo el 24 % de los estudiantes logró interiorizar el conteo de lasmaneras que tienen los actores para escoger a 2 de los 8 amigos, bajo las condiciones dadas.Para la siguiente guía los estudiantes desencapsulan algunos procesos, lo cual les permitirácomprender la situación bajo la construcción mental Objeto. En las figuras: reffig:resp37y 9.19, se observa lo que realizaron los estudiantes que obtuvieron la respuesta correctay se destacan porque muestran diferentes procesos para obtener la respuesta, tales comolistados, conteo, ordenaciones, sumas de elementos repetitivos, multiplicación, no hacenuso de formulas. La figura 9.20 es un ejemplo de los estudiantes que no lograron responderadecuadamente a la pregunta, ya que se basaron solo en el listado, el cual quedó incompletoy por tanto el conteo no consiste con el total de formas.


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La guía No. 3 de la Secuencia Didáctica II se enfoca en la construcción mental Objeto,los estudiantes evidencian la relación del trabajo que han venido realizando en las guíasanteriores, se retoma la solución de la situación (ver las gráficas 9.21, 9.22) del númerode formas distintas en que se pueden sentar 8 personas en una fila de 8 sillas, a partirde la conclusión obtenida con la expresión matemática 8× 7× 6× 5× 4× 3× 2× 1, losestudiantes resolvieron las preguntas planteadas.

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Para el literal a) no debían dar un resultado sino, suponer la situación para 5 personas altomarlos todos a la vez se 5× 4× 3× 2× 1 diferentes formas de escogerlos, pero ya no sevan a escoger todos a la vez, sino de a 2 y además con la aclaración de que la posición 1indica ser presidente y la posición 3 ser vicepresidente. Las preguntas siguientes llevan unasecuencia que permite que el estudiante desencapsule lo que ha trabajado y finalmenteencapsule y obtenga una genberalización de los procesos, convirtiéndolos en un objeto.El literal b) el 100 % de los estudiantes que de las 5 personas cualquiera podría serpresidente y ocupar la primera posición. Para el literal c) nuevamente el 100 % comprendeque una misma persona no puede ocupar los dos cargos al tiempo, es decir que es unasituación que no admite la repetición. Para el literal d) el 100 % de los grupos respondieron

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acertadamente: si se deja una persona fija en la posición del presidente, ¿de cuántas formasdistintas pueden varias las otras cuatro personas?, pues colocaron 4, en las respuestasno se evidencian ni listados y tampoco conteos, con base en lo trabajado anteriormentededucen la respuesta, es decir que hay una asimilación del objeto que se está trabajando.Para el literal e) el 92,3% de los grupos obtuvieron de forma correcta el resultado a lapregunta: Por cada persona fija en la posición de presidente, ¿cuántas personas hay parala posición de vicepresidente?, porque colocaron que corresponde a 20 en total, las gráficas9.21, 9.22 indican el procedimiento matemático que utilizaron, es decir multiplicar 4× 5, elgrupo que no obtuvo la respuesta correcta, colocó 4, es decir que asimiló la pregunta comosi fuera igual a la del literal d) sin reflexionar en que se hacía énfasis en el total, porque sepreguntó por cada vez que quedara una persona fija.Finalmente, el literal e) del punto 1 de la guía lo lograron resolver el 92,3% de los grupos, elcual es fundamental para comenzar a generalizar y obtener un procedimiento matemáticoque permita dar solución a situaciones de permutaciones, pues relaciona el punto de partidalas formas distintas en que se pueden escoger a 5personas (5× 4× 3× 2× 1) con el totalde formas distintas que hay para escoger a dos personas de un grupo de 5 (4 × 4), losestudiantes al comparar, analizaron la cantidad de formas que simplificaron de la primeraexpresión, para lograr obtener la segunda, es por ello que obtuvieron la expresión 3× 2× 1.El grupo que obtuvo la respuesta errónea en el literal anterior, hizo por ende una deducciónincorrecta de este ejercicio.Para el segundo punto, el 76, 9 % obtuvieron de las parejas lograron dar cuenta de latotalidad del proceso, por medio de la reflexión de las operaciones aplicadas en cadaejercicio de las guías realizadas hasta el momento en la secuencia II, al realizar el ejerciciopaso a paso de las formas distintas que hay para elegir a 2 personas de 5, los estudiantesestán actuando sobre el concepto de permutación y logrando una generalización para poderaplicar en situaciones similares a esta, como con la que inicio la secuencia. La tabla quecompletaron en la guía que resalta las formas distintas que se deben simplificar, se socializaal final de la aplicación de la guía, los estudiantes participan activamente y se logra quelos estudiantes que no lograron el proceso acertado, desencapsulen dichos procesos y pormedio de ejercicio similares, vayan construyendo el objeto. La figura 9.23 es un ejemplo delos grupos que completaron la tabla de forma acertada.


La guía No. 4 de la Secuencia Didáctica II se centra en la construcción mental Esquema,aquí se evidencia la relación de lo realizado en las 3 guías anteriores, donde se trabajaronlas construcciones mentales: acción, procesos y objeto. El estudiante está en la capacidadde resolver los problemas planteados donde debe variar el orden en que estaban dos o másobjetos o personas sin tomar todos a la vez. Para esta guía se plantearon 3 situacionesen diferentes contextos. En la primera el 100 % de los estudiantes logró el esquema para

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resolver adecuadamente el ejercicio. Para la segunda situación el 87,5 % realizó el procesoy obtuvo la respuesta adecuada. En la tercera 91,7 % logró relacionar adecuadamentelo que se había realizado en las 3 guías anteriores y obtuvo un esquema favorable parasu desarrollo. En las figuras 9.24, 9.25, 9.26 y 9.27, se plasman algunas de las respuestasdadas, se tomaron estos ejemplos, porque realizaron los procedimientos y las explicacionespara llegar a la respuesta.




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Los estudiantes no necesitaron memorizar formulas, además el proceso de simplificarya lo realizan de forma implícita. El último elemento de la teoría APOE, se evidenciaen el desarrollo de esta guía porque logran relacionar lo trabajado con el concepto depermutación, a partir del mecanismo mental de generalización en la cual el estudiante estáen la capacidad de poner en práctica un determinado esquema en un contexto diferente,basta con identificar si en la situación importa el orden.

SECUENCIA DIDÁCTICA III

La guía No. 1 de la secuencia didáctica III, se basa en la construcción mental Acción, losestudiantes inician con el trabajo de la guía a partir de una lectura que les permite ver laaplicación de las técnicas de conteo en situaciones de la vida cotidiana. Para la lecturalos estudiantes tomaron 15 minutos, se solicitó que hicieran una lectura muy detalladapara que reflexionen acerca de la pregunta que se deja al final de la lectura “¿Cómo puedoescoger a 3 niños de un grupo de 10?”Las figuras 9.28 y 9.29 dan cuenta de las acciones realizadas por dos de los estudiantes,que en general reflejan lo que realizó el resto de sus compañeros. Con la pregunta No. 1se logra el objetivo de que el 100 % de los estudiantes interioricen y reflexionen sobre laimportancia del orden, ya que al ser premios iguales los que van a recibir no va a influir elorden en que sean escogidos los niños. La segunda pregunta permite que cada estudianteextraiga de la lectura por qué la forma propuesta por Martín es más acertada que lasdos anteriores, a partir de lo planteado coordine todas las formas de utilizar una o másacciones para construir nuevos procesos. Finalmente, la pregunta No. 3 estimula a querealicen un listado de las posibles formas en las que los Dj. pueden elegir 3 niños de 10. El100 % propone 5 formas en que pueden ser elegidos, en ningún caso repitieron ni utilizaronlas mismas letras en otro orden.

Figura 9.28: Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica III

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Figura 9.29: Respuesta de un estudiante. Guía No.1 Secuencia didáctica III

La guía No. 2 de la Secuencia Didáctica III se enfoca en la construcción mental Proceso,los estudiantes inician la reflexión para dar solución al problema planteado en la guíaanterior, para ello abordan una situación similar pero con un conteo menor: ¿De cuántasformas puedo seleccionar a 3 niños de 6?, a cada niño lo van a nombrar con una letra delalfabeto, es decir Niño 1: A – Niño 2: B – Niño 3: C- Niño 4: D- Niño 5: E- Niño 6: F, deesa forma interiorizan los pasos y pueden realizar el proceso hasta obtener la solución.

Para la primera pregunta: Si Camilo dijera que escoge a los niños A-B-C y Martín indicaraque escoge a los niños B-A-C. ¿Están escogiendo a los mismos?, el 100 % de los estudiantesasume que son los mismos, reflexionan sobre el objeto sin necesidad de actuar sobre él,como indica la construcción mental proceso. La pregunta No. 2 ¿En esta situación es válidala forma A-B-C? ¿por qué? permitió que los estudiantes asumieran que es una forma deelegir a 3 niños de 10, como en el listado que realizaron de forma individual en la guíaanterior. De nuevo el 100 % de las parejas escribió la respuesta acertada. Para la tercerapregunta ¿importa el orden en qué son escogidos?, todos los grupos coincidieron en que noes importante el orden, es importante resaltar que tan solo un grupo justificó la respuestaescribiendo “no, porque no hay algo específico”, lo que lleva a suponer que ha interiorizadoque como los premios son iguales para todos y no “algo específico” según el orden en quelo escojan, entones es por ello que es un contexto en el cual no importa el orden. La figuras9.30 y 9.31, muestran parte del los procesos desarrollados por los estudiantes.

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Figura 9.30: Respuesta de una pareja de estudiantes. Guía No.2 Secuencia didáctica III


La pregunta 4: Indique todas las formas que tienen Camilo y Martín de escoger los tresprimeros niño, por el trabajo realizado en las dos secuencias anteriores los grupos asimilaronde manera rápida esta instrucción, en algunos casos además del listado con las 6 opciones,dejaron explicita la multiplicación 3 × 2 × 1, es decir que como afirma la teoría APOEes un concepto que se ha interiorizado en un sujeto mediante un proceso. La preguntaNo. 5: Si no importa el orden ¿A cuántas maneras se reduce el listado anterior?, tambiénfue asimilada por el 100 % de las parejas, los estudiantes analizan que a pesar de tenerun listado de variaciones con las mismas letras, estas solo se cuentan una vez, porque noimporta el orden. Las figuras 9.32 y 9.33, dan muestra de lo que plasmaron los estudiantes.Esta pregunta es importante porque permite analizar a los estudiantes las permutacionesque se deben simplificar pues no importa el orden.

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Para la última pregunta, ninguna de las parejas logró realizar el listado y el conteo ensu totalidad, lo cual era de esperarse si lo hacían uno a uno, porque eran 1140 formasy aún la etapa de la teoría APOE estaba en proceso y no se ha llegado al objeto quepermite generalizar, lo que demuestran los largos listados, algunos con puntos sucesivoses que los estudiantes concluyen que no es posible realizar el listado y el conteo uno auno de todos los elementos de un suceso, cuando este da como resultado un número muygrande de formas. Las figuras:9.34 y 9.35 reflejan algunos los procesos que llevaron a cabolos estudiantes, para dar respuesta a lo solicitado, vale rescatar que de los listados querealizaron no hubo repetición de una misma letra en cada trío y tampoco tres letras igualesen diferente orden, lo que demuestra que tuvieron en cuenta que no importa el orden.

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La guía No. 3 de la Secuencia Didáctica III hace énfasis en la construcción mental Objeto,se retoma la situación de la guía anterior: ¿de cuántas maneras se pueden escoger 3 niñosde 6?, para analizarla paso a paso y que los estudiantes den cuenta del proceso en sutotalidad, reflexionando acerca de las operaciones aplicadas a un determinado proceso yobservando las transformaciones que pueden actuar sobre él, así los estudiantes logranencapsular el proceso y convertirlo en un objeto cognitivo, que para este caso son las“combinaciones”. Las figuras 9.36 y 9.37 dan cuenta del avance de los estudiantes, de laformulación que realizan para cada una de las preguntas de esta guía.

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La pregunta No. 1: Si importara el orden, el primer niño tendría 6 opciones de ser elegido,el segundo 5 y el tercero 4 ¿cómo sería la expresión para hallar el total de formas?. El100 % relacionó esta pregunta con el trabajo de permutaciones realizado en la secuenciadidáctica II, colocando como respuesta la expresión 6×5×4, se evidencia la interiorizacióndel objeto permutación.La segunda pregunta, hace la comparación de lo que sucede ahora si escogen 3 niños de6, sin que importe el orden y se pide que indiquen las formas que deben simplificar. El100 % de los estudiantes refleja que se deben simplificar 6 permutaciones, es decir dividirentre 3× 2× 1, porque es una situación en la que no importa el orden. Las figuras 9.36y 9.37 además de mostrar las formas que se simplifican, realizan ele ejercicio completo,mostrando la cantidad de formas en las que se pueden escoger 3 niños de 6 cuando noimporta el orden.Finalmente, la pregunta No. 3:Ahora ayúdenle a Camilo a resolver su duda inicial. ¿Cómopuedo escoger a 3 niños de un grupo de 10?, fue realizada de forma correcta por el 84,

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63% de los grupos, los que no lograron culminar el ejercicio muestran que no lograroninferir el número de permutaciones que debían simplificar. Durante la retroalimentación sehizo énfasis en este ejercicio para aclarar dudas y avanzar en el desarrollo de la guía No. 4,las parejas que completaron el ejercicio, lo desarrollan sin el uso de formulas y resaltan elproceso matemático que han convertido en objeto, porque ya actúan sobre él.

La guía No. 4 de la Secuencia Didáctica III apunta a la construcción mental Esquema,por ser la actividad de cierre, se espera que ya tengan un esquema para el desarrollo delos ejercicios con base en lo trabajado anteriormente, se evidencia que el 100 % resolvióadecuadamente las situaciones planteadas, además que resaltan si importa el orden o noy logran llegar al cardinal solicitado sin hacer uso de formulas, los mismos estudiantescomentaban que ahora se les facilita más la comprensión y la solución de situaciones dondevaria el orden con algunas especificaciones dadas por el contexto de la situación. Lasfiguras 9.38 y 9.39, se presentan respuestas desarrolladas por los estudiantes durante laimplementación de la guía.



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Evaluación de la secuencias didácticas 10

La planeación y ejecución de las secuencias didácticas se llevó a cabo con el grupo 901 delColegio Ramón de Zubiría sede C jornada tarde, se hizo énfasis en aplicar las guías y hacer lasocialización de lo realizado por los estudiantes, en general el trabajo fue ameno y llamativopara el grupo con el que se trabajó. Para evaluar las actividades propuestas en las secuencias, sediseñó y aplicó una prueba (prueba de evaluación 10.1) de 5 puntos con situaciones en las quese debe hacer uso de las técnicas de conteo permutación y combinación para su solución.

La prueba se aplicó al finalizar el segundo trimestre del año escolar, para evaluar losprocesos realizados por los estudiantes y así poder evaluar la pertinencia de lo abordado en lassecuencias didácticas I, II y III, a partir de un análisis descriptivo estadístico, ya que durantela implementación también se evaluó el trabajo el trabajo por los estudiantes guía por guía.Para este caso la muestra es igual a la población, porque desde la prueba diagnóstico se trabajódel ciclo IV específicamente con el curso 901, el 100 % se toma como 25, que representa loseestudiantes que desarrollaron la prueba de evaluación.

Este capítulo se centra en evaluar los procesos realizados ante situaciones de permutacionesy combinaciones, la intención es observar los resultados del grupo ante la solución de problemasdejando de lado los nombres, las definiciones y las formulas de las técnicas de conteo, loscuales se suelen brindar al inicio, para el trabajo de estos conceptos. También se busca resaltarlos mecanismos de solución utilizados, observar si se tienen en cuenta los aspectos de ordeny repetición; así mismo resaltar si tenerlos en cuenta permite tomar un mejor camino parasolucionar un determinado problema. También analizar los errores más comunes que cometenlos estudiantes y finalmente, evidenciar las ventajas de trabajar bajo las construcciones mentalesde la teoría APOE.

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10. Evaluación de la secuencias didácticas

10.1. Prueba Evaluación

COLEGIO RAMÓN DE ZUBIRÍA I.E.D. SEDE C JORNADA TARDE EVALUACIÓNESTADÍSTICA GRADO NOVENO

Nombre: Curso:Lee atentamente cada situación, luego plantea un procedimiento para su solución e indique

la respuesta.

1. Indique todas las opciones qué se pueden obtener al lanzar tres monedas simultáneamente.

2. En la situación anterior, es válida la repetición ¿por qué?

3. Mariana, Verónica, Paula y Melissa se encuentran para ir a cine. ¿De cuántas formaspueden sentarse en sillas consecutivas en el cinema?

4. En una clase de 15 estudiantes van a distribuir dos premios. De cuántos formas se puederepartir si:

Los premios son diferentesLos premios son iguales

5. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres entres?

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10.2. Evaluación de resultados


El cuadro 10.1 muestra los porcentajes de las respuestas correctas que tuvieron los estudiantesdel curso 901. Se evidencia que en las 4 primeras preguntas se mantuvo un promedio de aciertosdel 74 % y a pesar de que en la pregunta No. 5 ningún estudiante obtuvo la respuesta correcta, seevidencia una mejora en los resultados comparados con lo que realizaron en la prueba diagnóstica.

Cuadro 10.1: Porcentaje estudiantes con respuestas acertadas del curso 901

A continuación se realiza un análisis por pregunta de los procesos realizados por los estudiantes,destacando algunos ejemplos que evidencian los procedimientos llevados a cabo por los jóvenesde 901.

PREGUNTA 1

De la pregunta 1: Indique todas las opciones qué se pueden obtener al lanzar tres monedassimultáneamente. Se esperaba que los estudiantes realizaran el conteo, haciendo el listado de losposibles resultados, porque el número de posibilidades no es excesivamente elevado o utilizandoun método de conteo según el esquema adquirido durante la implementación de las secuenciasdidácticas. Como es un contexto en el cual es valido el orden y la repetición, se deben teneren cuenta todas las opciones. En esta situación se evalúa el trabajo realizado en la secuenciaI, pero admitiendo la repetición se evidencia lo que [3] llama la capacidad de transferir porgeneralización. El resumen de los procesos utilizados por los estudiantes en la pregunta 1 seresalta en el cuadro 10.1

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Figura 10.1: Procesos realizados para resolver el punto 1

Las figuras 10.2 y 10.3 dan muestra de los procesos que realizaron algunos de los estudiantesal resolver la prueba, en la figura 10.2 hay orden en el desarrollo, además sin utilizar formulaspropuso un esquema de conteo para la solución y realiza la numeración sistemática de todaslas configuraciones. En la figura 10.3 se resalta el orden en el desarrollo y realiza el listado.Los estudiantes de 901 al ver que la cantidad de elementos era pequeña, realizaron el listadode todas las opciones, tres estudiantes propusieron un método numérico para su solución sinutilizar formulas Para [3] la dificultad presentada por los estudiantes que no lograron llegar a larespuesta adecuada, recibe el nombre identificación del grupo de sucesos u objetos que se pideenumerar o contar, se presenta a menudo que los estudiantes no reconocen el conjunto correctode objetos que se debe enumerar , es por ello que una percepción incoherente de dicho grupolleva a conclusiones erróneas.

Figura 10.2: Respuesta de un estudiante. Punto No. 1

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PREGUNTA 2

De la pregunta 2: En la situación anterior, ¿es válida la repetición? ¿por qué?, se busca quelos estudiantes indiquen que es valida la repetición, porque por ejemplo se puede dar el casoen que las tres sean caras o las tres caigan sello. Pedir que justifiquen la respuesta permiteque hagan una descripción del procesos constructivo de formación de todas las configuraciones.El 60 % como se evidencia en la gráfica 10.4 resaltó que si se tenía en cuenta la repetición,los estudiantes que indicaron que no, por la justificación dada, parecen confundir los términos“repetición” y “orden”, porque argumentaron que no importa la repetición porque son lanzadasal azar y no importa el “orden” en que caigan las monedas.

Figura 10.4: Interpretación realizada para resolver el punto 2

De las respuestas correctas dadas por los estudiantes, se destacan la figura 10.5 porque seresalta el reconocimiento del conjunto correcto de elementos que se van a enumerar y en la figura10.6 además del reconocimiento del conjunto, hace una explicación detallada de las opciones quepueden salir donde se acepta la repetición y se cuentan por separado. se evalúa favorablementeel aporte de la teoría APOE, pues los estudiantes de 901 mediante las construcciones mentales:acción, proceso y objetos y organizarlos en esquemas, le dieron sentido a la situación planteaday la mayoría resolvieron correctamente los puntos 1 y 2.

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PREGUNTA 3

La pregunta No. 3: Mariana, Verónica, Paula y Melissa se encuentran para ir a cine. ¿Decuántas formas pueden sentarse en sillas consecutivas en el cinema?, busca que los estudiantes,tengan en cuenta todas las formas distintas que tienen de sentarse, es decir que es una situaciónen la cual no hay repetición e importa el orden. Se esperaba que los estudiantes utilizarán unmétodo de conteo adecuado para su solución y llegaran a la respuesta correcta, además que yano hicieran el listado uno a uno de los posibles resultados, porque se complejiza el conteo.

La gráfica 10.7 indica que en 901 el 84 % de los estudiantes lograron obtener la respuestaadecuada (80 % a través de un método adecuado de conteo y 4 % por medio de listados deconteo uno a uno), estos estudiantes evidencian que tienen un esquema claro para resolver lasituación y ponen en práctica las nociones de conteo que han adquirido, a través del trabajo conla secuencia didáctica I. El 16 % de los estudiantes que no logró el resultado, intentaron realizarel listado uno a uno, pero les faltaron o repitieron formas. [3] muestra que resolver este tipo deejercicios de una forma no sistemática puede llevar al error, al contar cada forma posible más deuna vez o que le hagan falta.

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Figura 10.7: Procesos realizados para resolver el punto 3

Las respuestas de los estudiantes de 901 evidencian que la mayoría dan cuenta del proceso ensu totalidad, que reflexionan sobre las operaciones aplicadas a un determinado proceso, como seresalta en la teoría APOE. En ningún caso, utilizaron formulas, plantearon un método de conteo,un estudiante realizó el listado con las 24 formas distintas que tenían de sentarse y tambiénhubo listados incompletos. La gráfica 10.8 muestra que como estrategia deja fija a una personaen el primer puesto y obtiene 4 grupos de 6 opciones, para un total de 24 formas distintas desentarse. La gráfica 10.9 es un ejemplo en el cual el estudiante explica el método que utiliza conpalabras y símbolos. La figura 10.10 utiliza el esquema que generalizó desde la implementaciónde la secuencia didáctica I.


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PREGUNTA 4

La pregunta No. 4: En una clase de 15 estudiantes van a distribuir dos premios. De cuántosformas se puede repartir si:

Los premios son diferentes

Los premios son iguales

Esta pregunta se divide en dos partes, la intencionalidad de la primera es que tengan encuenta el orden, además que se varíe el orden sin tomar todos los objetos a la vez y en la segundaparte que no tengan en cuenta el orden. Por tanto se nombra 4a. a la parte en qué se preguntala distribución de los premios, cuando estos son diferentes y 4b. al ítem que pregunta por ladistribución de los premiso si son iguales. El 64% acertó en en el resultado, como se reflejaen la gráfica 10.11. Los estudiantes del curso 901 siguieron en su mayoría el esquema de loabordado durante la implementación de la secuencia didáctica II, utilizando adecuadamente unmétodo de conteo, identificando que por ser premios diferentes importa el orden y no hicieronuso de fórmulas para solucionar la situación. También se evidencia que hay estudiantes que aúnrequieren desencapsular de nuevo sus procesos, para reflexionar acerca de la comprensión deobjetos matemáticos que se están abordando, en este caso permutaciones. El 36 % que no logrósolucionar el ejercicio, estuvo dividido en 2 grupos, un 28 % que no realizó el ejercicio porqueno le alcanzó el tiempo o porque no lo comprendió y un 8% que obtuvo una respuesta erróneafue porque solo contestaron la segunda parte (cuando los premios son iguales).

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Figura 10.11: Procesos realizados para resolver el punto 4a

Entre las respuestas dadas por los estudiantes se resaltan los siguientes tres ejemplos: 10.12,10.13 y 10.14, los cuales utilizan el método que se generalizó desde la implementación de lasecuencia didáctica II e identifican la importancia del orden. El grupo de estudiantes que resuelveadecuadamente esta situación [3] resalta en ellos que la capacidad de realizar sistemáticamentelas permutaciones es propia también de las operaciones formales ya que aunque el cambio deorden es, en sí mismo, una operación concreta, la multiplicación de cambios de ordenes es yauna operación sobre otra operación.

Figura 10.12: Respuesta de un estudiante. Punto No. 4a

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Para la parte 4b. como se muestra en la gráfica 10.15, el 80% de los estudiantes logróresolver adecuadamente la situación. Los estudiantes del curso 901 demostraron un buen nivelinterpretación de la situación, resaltando que no importan el orden, porque los premios soniguales. Sin utilizar formulas se evidencia un método de conteo, el cual surgió a partir de laimplementación de la secuencia didáctica III, en el que se simplifican las variaciones que no setienen en cuenta porque se repiten. Dos estudiantes plantearon adecuadamente el proceso aseguir, pero se equivocaron al realizar una división, este tipo de errores se evidencia en estudiantesde bachillerato, ya que comprenden los procedimientos, pero cometen errores en es la soluciónde operaciones básicas. El trabajo de la secuencia didáctica III, a partir de la metodología dela teoría APOE, muestra resultados significativos para el grupo en el cual se implementó lapropuesta.

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Figura 10.15: Procesos realizados para resolver el punto 4b

Las gráficas 10.16, 10.17 y 10.18 representan ejemplos de lo realizado por los estudiantes quedieron la respuesta correcta a la situación planteada en la segunda parte del punto 4, reflejanque utilizan el método que se generalizó desde la implementación de la secuencia didáctica eidentifican que no importa el orden. En el 8% de los estudiantes que obtuvieron una respuestaerrónea, se evidencia lo que [3] llama Fijación de una o más variables que es un error que sepresenta debido a la complejidad, en los problemas combinatorios donde es necesario fijar unao más variables para obtener un método contable, coherente y luego generalizar. Al hacer dospreguntas en un mismo ejercicio, suele generar confusión, si no se ha hecho un trabajo específicocon los estudiantes y donde aún no han comprendido la importancia del orden según el contextoque se plantea.



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PREGUNTA 5

Para la pregunta No. 5: ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iristomándolos de tres en tres? se esperaba que los estudiantes interpretarán que al mezclarse loscolores no importaba el orden en que los tomaran y que debían tomar todas las variacionestomándolos de tres en tres, los estudiantes de 901, lo interpretaron en su mayoría como unacombinación, pero no lograron plantear el esquema generalizado en la secuencia didáctica III.Se evidencia que al cambiar el estilo de la redacción del problema y/o de la pregunta, elestudiante puede quedar bloqueado. Es lo que en la teoría APOE se expone como: Los esquemasque se forman en una estructura matemática, evolucionan cada vez que se agrega otro objetomatemático, debido a que son dinámicos, al decirle al estudiante que los tome de tres en tres,hizo que se agregara un objeto nuevo para los estudiantes, lo cual incidió que no tuvieranuna comprensión adecuada de la situación planteada. Para [3] este error es conocido como lacapacidad de generalización, aunque el alumno resuelve con éxito un problema combinatoriopara varios casos particulares (como sucedió en la implementación de la secuencia didáctica III),fallan al encontrar una solución general, al no ser capaz de unir las soluciones de una formarecursiva.

Las siguientes figuras dan muestra de los procesos erróneos que cometieron los estudiantes,los cuales son herramienta para el docente par guiar una actividad en la cual desencapsulen losprocesos y realicen actividades con este tipo de conceptos para que nuevamente encapsulen ygeneralicen el esquema, en la figura 10.19 se evidencia que el estudiante no tuvo en cuenta queno se tomaban todos a la vez y que no importaba el orden. En la figura 10.20 se refleja que nointeriorizó que no importaba el orden y que debìa simplificar las permutaciones que se repetíany la figura 10.21 da muestra que no interpretó adecuadamente la situación.

Figura 10.19: Respuesta de un estudiante. Punto 5


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Conclusiones y recomendaciones 11

A continuación se dan a conocer las conclusiones del presente trabajo, las cuales se encuentranclasificadas según el cumplimiento de los objetivos propuestos para el trabajo. Posteriormente seencuentran las recomendaciones que permiten reconocer las dificultades presentadas durante laimplementación y las mejoras que se pueden tener en cuenta para quiénes deseen tomar estetrabajo como herramienta en el aula de clase.

11.1. Conclusiones

Objetivo general: Diseñar una secuencia didáctica que permita a estudiantes de ciclo IV(grados octavo y noveno) interpretar y usar nociones básicas de conteo para la solución deproblemas de combinación y permutación.

Esta trabajo de finalización, presentó evidencias que validaron el planteamiento del pro-blema, donde se implementaron actividades que permitieron a los estudiantes de básicasecundaria interpretar y usar las nociones básicas de conteo, en particular los problemasde combinación y permutación, a partir de los datos mostrados en la implementación yanálisis de los resultados.

1. Diseñar una guía que permita determinar conocimientos previos de los estudiantes relacio-nados con las técnicas de conteo.

El diseño de la secuencia didáctica, permitió proponer actividades en diferentescontextos, que enfocaron a los estudiantes al trabajo a partir del conteo, para realizargeneralizaciones y deducciones sin la utilización de fórmulas.A partir de los resultados obtenidos en este trabajo, se obtuvo una propuesta parala DG viable, de la cual es posible, construir nuevas propuestas didácticas para lamejora de la enseñanza y aprendizaje de las técnicas de conteo, que puedan serimplementadas con estudiantes de Ciclo IV tanto del colegio Ramón de Zubiría comoen otras instituciones educativas, haciendo énfasis en todos los elementos obtenidoscomo el uso del diagrama de árbol y las ordenaciones.

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11. Conclusiones y recomendaciones

2. Seleccionar aspectos relativos a las técnicas de conteo pertinentes al ciclo IV y a losestándares básicos.

Por medio de la prueba diagnóstica, se pudieron determinar los conocimientos previosde los estudiantes relacionados con las técnicas de conteo. Así mismo, se constituyóen la herramienta para el diseño de la DG del concepto mencionado, teniendo encuenta que ésta da los pasos a seguir en la construcción de un concepto en la mentede un estudiante.La revisión cuidadosa de documentos legales, conceptuales y didácticos, permitióseleccionar los aspectos más relevantes de las técnicas de conteo como: la variación,la repetición, el orden, variar el orden en que estaban dos o más objetos o personastomados todos a la vez, variar el orden en que estaban dos o más objetos o personassin tomar todos a la vez, unir diversas cosas, de manera que formen un compuesto oagregado.El enfoque de esta propuesta precisa el trabajo con los estudiantes en aspectos como:la enumeración, la ordenación, la realización de conjeturas, la generalización, la opti-mización y el pensamiento aleatorio; lo cual enriquece el razonamiento combinatorioen los jóvenes.

3. Analizar las nociones básicas del conteo, en situaciones de combinación y permutación.

Al analizar las nociones básicas en situaciones de combinación y permutación, losestudiante mostraron la apropiación del concepto de permutación, en la medida quelograron reconocer y resolver casos donde se varió el orden en el que estaban dos omás objetos o personas tomados todos a la vez, o sin ser tomados todos a la vez,es decir sin repetición y teniendo en cuenta el orden. Ahora bien, en el conceptode Combinación se tuvieron en cuenta otros elementos, ya que el estudiante logróreconocer y resolver situaciones en las que se unieron diversas cosas de manera queformaran un compuesto o agregado, sin contar el orden.La indagación histórica del concepto matemático de técnicas de conteo: permutacióny combinación, permitió identificar las aplicaciones que han tenido a través deltiempo, observar las dificultades que se han presentado en su trayectoría histórica ycomprender como han ido avanzando los estudios en el campo de la combinatoria.

4. Elaborar una secuencia de actividades a partir de la teoría APOE, centrada en el plantea-miento y resolución de problemas de combinación y permutación.

La elaboración de esta propuesta didáctica, a partir de una secuencia de actividades,conforma una aproximación bajo la perspectiva de la teoría APOE al estudio delaprendizaje de las técnicas de conteo, dando como resultado un modelo de construcciónque pudo ser aplicado en el aula a partir del diseño de una secuencia didáctica centradaen el planteamiento y resolución de problemas de combinaciones y permutaciones.La implementación de las actividades buscó orientar el trabajo a partir de construc-ciones mentales. Las primeras guías introdujeron a los estudiantes en el trabajo, enestas se integraban los problemas generales frente a las técnicas de conteo. Allí sepropiciaron actividades donde se generaban posibles respuestas ante las situacionesplanteadas. En la parte intermedia de la implementación (guías 2 y 3) se realizó untrabajo con ejercicios reflexivos y concretos que permitieron el cuestionamiento de los

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11.2. Recomendaciones

estudiantes alrededor de las técnicas de conteo, se desarrollaron conteos empíricos,diagramas de árbol, listados y secuencias. Finalmente las últimas actividades busca-ron construir el concepto de combinaciones y permutaciones de manera que quedaradefinido para los estudiantes y lograran su comprensión, al avanzar en el procesolograron reflexionar acerca de las actividades iniciales, de manera que pudiera sercontrastado con lo que obtuvieron al cierre de la secuencia.En cuanto a la metodología implementada para el desarrollo de esta propuesta,de las cuatro (4) construcciones mentales definidas por Dubinsky (1991) se fijaroncon claridad los aspectos fundamentales para proponer el planteamiento de las tressecuencias didácticas que sustentan un trabajo didáctico que aportó a la enseñanza dela probabilidad, en el tema de técnicas de conteo. Con respecto a la implementaciónde la propuesta, cabe destacar que se convirtió en una herramienta para modelarsituaciones de combinación y de permutación sin utilizar fórmulas, ya que las guías leproporcionan a los estudiantes un conjunto articulado de actividades de aprendizajea la hora de abordar las temáticas mencionadas, estableciendo la importancia de loselementos que se presentan en una situación, como lo son: la repetición y el orden.

5. Evaluar las actividades planteadas en la secuencia didáctica.

La aplicación de la secuencia didáctica permitió evaluar los resultados obtenidos porlos estudiantes, en los cuales se evidenció la apropiación del concepto de técnicasde conteo, sin utilizar fórmulas. El desarrollo de las guías en equipo (por parejas)contribuyó para que se desarrollara una discusión académica, logrando cumplir elobjetivo de cada actividad.La prueba de evaluación permitió resaltar el avance significativo obtenido por lamayoría de los estudiantes después e la ejecución de las secuencias didácticas I, IIy III, respecto a permutaciones y combinaciones. En este ejercicio de evaluación seresaltaron las fortalezas, debilidades y aspectos a mejorar de la propuesta, ademásfue el instrumento que validó el desarrollo del trabajo y mostró la importancia deadelantar en el aula trabajo reflexivos que permitan a los estudiantes generalizar susresultados y plantear conclusiones.La ejecución de la propuesta implicó alcances significativos en los procesos de ra-zonamiento de los estudiantes, ya que por medio de esta herramienta didáctica secontribuyó a afianzar las habilidades de interpretación y solución de situacionesen las que se involucró el uso de las técnicas de conteo, de manera que, cuandolos estudiantes se enfrenten a situaciones complejas y en diferentes contextos queinvolucren el razonamiento combinatorio puedan aplicar los métodos desarrollados yponer en evidencia los aprendizajes obtenidos.Se debe continuar el trabajo de enseñanza de las técnicas de conteo a partir depropuestas didácticas, complejizando las situaciones planteadas y permitiendo quesean los estudiantes los que desencapsulen sus procesos, reflexionen, coordinen y luegonuevamente encapsulen sus procesos para dar solución a las diferentes situacionesque se les plantee.

11.2. Recomendaciones

Teniendo en cuenta que los trabajos de finalización de la Maestría en Enseñanza de lasCiencias Exactas y Naturales, se convierte en material de consulta, en especial para docentes

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11. Conclusiones y recomendaciones

de básica y media, se desea que haya una mejora continua de los mismos, para el caso de estapropuesta se recomienda a los lectores que tengan interés en aplicas la(s) secuencia(s) didáctica(s)mejorar lo siguiente:

En la guía 3, de la secuencia didáctica No. II, punto 1 literal 6 agregar una pregunta detal manera que se pida el total de formas, es decir: Por cada persona fija en la posición depresidente, ¿cuántas personas hay para la posición de vicepresidente? ¿en total cuántasparejas se obtienen?. Esto permite evitar errores de interpretación.

Proponer una tabla en la guía No. 3 de la secuencia didáctica III, que permita hacer masevidente para los estudiantes la generalización que se da en el denominador, es decir laspermutaciones que se simplifican.

En los ejercicios de la guía No. 3 de la secuencia didáctica III, agregar una situación enla que las ordenaciones no sean de a 3 porque en las actividades deben trabajarse condiferentes ejemplos.

En el punto 6 de la guía No. 2 de la secuencia didáctica III, cambiar la situación propuesta,por un número menor para facilitar el conteo empírico y el listado que realizan losestudiantes.

Para la prueba de evaluación, separar la última pregunta de tal manera que queden dospreguntas o colocar literales, para evitar confusión y errores en los estudiantes.

Al terminar cada guía realizar la socialización, permitir que sean los estudiantes quiénespuedan expresar la generalización y complementen con ejercicios de refuerzo en los cualesse pueda aplicar el esquema aprendido.

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Anexo 1: Prueba Diagnóstico 12

COLEGIO RAMÓN DE ZUBIRÍA I.E.D. SEDE CJORNADA TARDE TRABAJO INDIVIDUAL

ESTADÍSTICA GRADO NOVENO

Nombre: Curso:

Lea atentamente cada una de las siguientes situaciones, luego proponga un procedimientopara resolverlas.

1. De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre Laura,Diego, Sofía, Mateo y Luciana?

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12. Anexo 1: Prueba Diagnóstico

2. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tresasientos?

3. Cuántos y cuáles números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4si no se permite la repetición?

4. Camilo con lo que ahorra de sus onces decide comprar 3 de los siete discos que lefaltan de su cantante favorito. ¿Cuántas posibilidades tiene?

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5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacerque empiecen por vocal?

6. De cuántas formas diferentes puede contestar un alumno 4 preguntas de falso yverdadero?

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Anexo 2: Secuencia Didáctica I 13

Guía No.1



Nombre: Curso:

Instrucciones: Para el desarrollo de la guía siga atentamente las indicaciones que realiza ladocente. Esta hoja le será recogida en cualquier momento de la clase.

1. Realice la lectura

Santiago, Camila, Mateo, Sofía, Juan, Laura, Esteban y Luciana decidieron encontrarsedurante las vacaciones de mitad de año, para celebrar su reencuentro planearon la ida a una obrade teatro y luego a comer pizza. Una vez en el teatro, se entabló entre ellos una discusión sobreel orden en que habían de sentarse en la primera fila, la cuaL tenía 8 sillas. Camila propuso quese intercalaran por género; Mateo planteó que se sentaran del menor al mayor según la edad;Sofía sugirió que fuera por el que mejor promedio tuvo en la clase de estadística; Juan indicóque por orden de estatura.

En fin, armaron tanto escándalo y era tal la discusión, que se hizo presente el administradordel teatro y reconciliándolos les dijo: jóvenes amigos, dejen de discutir, hoy siéntese en cualquierorden y les propongo que alguno de ustedes anote el orden en que están sentados ahora, lasemana entrante vienen de nuevo a ver una obra de teatro y se sientan en otro orden, luego lasiguiente semana vienen de nuevo al teatro y se sientan en otro orden, y así sucesivamente hastaque hayan realizado todas las formas posibles. Cuando llegue el día en qué tengan ustedes que

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13. Anexo 2: Secuencia Didáctica I

sentarse en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo, podránvenir a ver las obras de teatro todas las semanas gratis, con todas las personas que quieran.

La propuesta les agradó a todos, y fue inmediatamente aceptada. Acordaron reunirse cadajueves en aquel teatro y probar todos los posibles modos distintos de sentarse, con el objetivo dedisfrutar cuanto antes de las entradas gratis 1.

2. Teniendo en cuenta la lectura, indique al menos 5 formas diferentes en las que pudieronsentarse en el teatro los 8 amigos

FORMA 1:

FORMA 2:

FORMA 3:

FORMA 4:

FORMA 5:

3. ¿cree usted que el administrador pudo cumplir su propuesta? ¿por qué?

1Adaptado de “Una comida gratis”del libro Matemáticas Recreativas. Yakov Perelman

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Guía No.2

COLEGIO RAMÓN DE ZUBIRÍA I.E.D. SEDE CJORNADA TARDE TRABAJO EN PAREJAS


Nombre: Curso:

Instrucciones: Para el desarrollo de la guía siga atentamente las indicaciones que realizala docente. Esta hoja le será recogida en cualquier momento de la clase.

En esta guía realizarán el análisis y el conteo de cómo se pueden sentar una cantidad depersonas de distintas formas. Es importante aprender a contar, retomarán la situación de la guíaanterior, pero reduciendo la cantidad de personas, comenzando a contar las formas distintas quetienen para sentarse 3 personas.

Tomar como ejemplo a Sofia, Mateo y Laura, Sofía se representará con S, Mateo con M yLaura con L.

1. Si se separa por un momento L:

• Si se queda quieto en la primera silla M, ¿Quién se puede colocar en la otra silla?

M

• Si se queda quieta en la primera silla S, ¿Quién se puede colocar en la otra silla?

S

• Con 2 personas la cantidad de formas distintas en qué se pueden sentar es:

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2. Ahora reúna a L en cada una de las parejas obtenidas anteriormente, indique todaslas formas que obtuvo

• Con 3 personas la cantidad de formas distintas en qué se pueden sentar es: .Expliquen cómo realizaron el conteo.

3. Ahora incluyan a Camila (llámenla C) y realicen el conteo de las diferentes formasen qué podían sentarse los cuatro.

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Guía No.3



Nombre: Curso:


1. Retomen la situación en la que se van a sentar Sofía, Mateo y Laura.• Si coloca a S en la primera silla, ¿cuántas opciones tienen de sentarse M y L?

• ¿Cuántas veces se repite esta cantidad si se varían las tres personas en el primer lugar?

2. Ahora realice el mismo análisis para el caso en el que se sientan 4 personas, siguiendo conel ejemplo, serían Sofía, Mateo, Laura y Camila• Si coloca a S en la primera silla, ¿cuántas opciones tienen de sentarse M, L y C?

• Si todos rotan por la primera silla, ¿cuántas veces se repite el dato anterior?

3. Complete la tabla

CANTIDAD DEPERSONAS

CANTIDAD DESILLAS

DIFERENTESFORMAS DESENTARSE

EXPRESIÓN

1 12 23 34 45 56 67 78 8

Cuadro 13.1: Tabla Guía No. 3 Secuencia Didáctica No. 1

93


Guía No.4

COLEGIO RAMÓN DE ZUBIRÍA I.E.D. SEDE C JORNADA TARDE TRABAJO ENPAREJAS


Nombre: Curso:


1. Mariana desea ordenar los libros de: historia, matemáticas, estadística y biología en subiblioteca. ¿Cuál es la cantidad de formas diferentes para ordenarlos?

2. El maestro de español desea saber qué habilidad tienen los estudiantes para formar palabrascon o sin sentido, de acuerdo con un número de letras. Para ello selecciona las letras de la palabratema. Halla el número de palabras diferentes, con y sin sentido con las letras de la palabra tema.

3. Ahora halla el número de palabras diferentes, con o sin sentido con las letras de la palabraalga, luego escríbelas y comprueba si coincide con la respuesta obtenida. Explique

94

Anexo 3: Secuencia Didáctica II 14

Guía No.1



Nombre: Curso:


1. Leer la continuación de la historia

Durante la obra de teatro que se encontraban viendo Santiago, Camila, Mateo, Sofía, Juan,Laura, Esteban y Luciana, los actores decidieron interactuar con el público y para esto teníanque escoger a dos personas de la primera fila, de las cuales una iba a interpretar al presidente yla otra al vicepresidente, de nuevo los 8 amigos discuten porque quieren ser escogidos y ademáspor el papel que quieren desempeñar. . .

2. Teniendo en cuenta la lectura, indique al menos 5 formas diferentes en las que pudieronescoger a dos de los 8 amigos

95

14. Anexo 3: Secuencia Didáctica II

FORMA 1:

FORMA 2:

FORMA 3:

FORMA 4:

FORMA 5:

3. Ahora de esas formas que propuso indique cómo son las opciones para interpretar lospapeles de presidente y de vicepresidente

4. Al no tomar a todas las personas a la vez ¿aumentará o disminuirá la cantidad de formasdiferentes de ordenarlos?

96

Guía No.2

COLEGIO RAMÓN DE ZUBIRÍA I.E.D. SEDE C JORNADA TARDE TRABAJO ENPAREJAS


Nombre: Curso:


En esta guía realizarán el análisis y el conteo de cómo pueden escoger a dos personas paraubicarlas en dos posiciones diferentes, es importante comprender la importancia del orden.

Tenga en cuenta la situación de la guía anterior para la solución de estas preguntas

1. Si los actores al escoger las dos personas, realizan la siguiente afirmación “la primerapersona que llamemos representará el papel del presidente y la segunda persona hará el papeldel vicepresidente”, entonces:• ¿Tiene el mismo significado la pareja Santiago y Camila que Camila y Santiago?

• ¿Consideran importante el orden? ¿por qué?

2. Realicen el listado y el conteo de la cantidad de maneras que tienen los actores paraescoger a dos de los ocho amigos, indicando los personajes que representarían

97


Guía No.3



Nombre: Curso:


1. Retomando la secuencia didáctica 1, el número de formas diferentes en qué se puedenorganizar 8 personas se obtiene mediante 8× 7× 6× 5× 4× 3× 2× 1, pero ahora se buscaobtener el número de formas diferentes en qué se pueden elegir a dos de esas 8 personas.

a) Supongan que quieren organizar de diferente manera a 5 personas, retomando loanterior tendrían 5× 4× 3× 2× 1, pero ahora van a sacar todas las posibles formasde tomar dos de esas personas para elegir un cargo.

Presidente vicepresidente

b) De las 5 personas, ¿cuántas podrían ocupar la posición de presidente?

c) ¿Una misma persona podría ocupar los dos cargos? ¿por qué?

d) Si se deja una persona fija en la posición de presidente. ¿cuántas personas podríanocupar la posición de vicepresidente?

e) Por cada persona fija en la posición de presidente, ¿cuántas personas hay para laposición de vicepresidente?

f ) ¿Cuántas opciones se deben simplificar de las obtenidas en el literal a?

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2. Complete la siguiente tabla

TOTAL DE PER-SONAS

CANTIDAD DEPERSONAS QUESE QUIERENORDENAR DELGRUPO TOTAL

FORMAS DISTINTAS QUESE PUEDEN SIMPLIFICARDEL TOTAL

5 55 45 35 25 1

Cuadro 14.1: Tabla Guía 3 de la Secuencia Didáctica No. 2

99


Guía No.4



Nombre: Curso:


1. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre Laura,Diego, Sofía, Mateo y Luciana?

2. ¿De cuántas maneras distintas se pueden escoger 2 personas de un grupo de 8?

3. En una pequeña empresa el sindicato está conformado por 25 personas y quieren conformarla mesa de trabajo con 5 representantes: Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y SegundoVocal. ¿Cuántas representaciones diferentes será posible formar?

100

Anexo 4: Secuencia Didáctica III 15

Guía No.1



Nombre: Curso:


Realice la siguiente lectura 1

La emisora “RADIOFÓNICA” fue invitada al colegio Ramón de Zubiría para ambientar undescanso, su objetivo es realizar varias actividades con los estudiantes y que pudieran ganarsealgunos CD del artista de moda. Para iniciar la dinámica el Dj. Camilo dialoga con el Dj. Martínacerca de la mejor manera para escoger los estudiantes que recibirán los CDs. Camilo lo expresade la siguiente forma: pedirle a cada participante que diga tres números del 1 al 9 sin importarsi repite los números o no, pero el DJ Martín le dice que sería una prueba muy complicada, yaque existen muchas formas de hacer esto, Camilo no comprende y le pide que le explique porqué su idea no es tan buena. Martín le explica así:

“El primer número puede ser escogido de nueve formas, como no importa que si se repite ono, pues el segundo se puede escoger de otras nueve formas, lo mismo que el tercero. Es decir9× 9× 9”.

Camilo agradece a Martín la explicación y le dice que va a pensar en otra forma para hacerla rifa, de tal manera que no sean tantas posibilidades y luego le consultará. Al otro día Camilo

1Adaptado de [24]

101

15. Anexo 4: Secuencia Didáctica III

le propone lo siguiente a Martín: Que cada participante diga 3 números del 1 al 9 pero sin quese repitan. Martín le responde que sigue siendo un número muy grande de posibilidades, que asíes muy difícil que alguien se gane la rifa, ya que:

“en la primera posición tiene 9 opciones de elegir un número, en la segunda por cada unade las 9 de la primera posición, tiene 8 opciones ya que no repetiría el que tomó de primeras ypara la tercera opción por cada una de las anteriores tiene 7 opciones ya que no repetiría ni laprimera ni la segunda. Es decir 9× 8× 7”.

Camilo, reflexiona sobre la situación y pide a Martín que le ayude a pensar en otra opción,que se reduzca la cantidad de posibilidades y que debe ser pronto porque quedan dos días parahacer el evento en el colegio. Al día siguiente Martín le propone a Camilo lo siguiente: Primerohacemos un concurso de baile y seleccionamos 10 estudiantes y luego de esos 10 estudiantesescogemos 3 al azar para que contesten una pregunta y el que gane se queda con el CD. ACamilo le gusta la idea, pero pregunta ¿Cómo puedo escoger a 3 niños de un grupo de 10?

1. En la situación anterior, ¿es importante el orden en el que escojan a los niños?

2. ¿Por qué crees que Martín propuso esta forma para realizar la rifa?

3. Escriba al menos 5 formas en las que podrían escoger 3 de los 10 niños. Sugerencia a cadaniño asígnele una letra del alfabeto para nombrarlo.

FORMA 1:

FORMA 2:

FORMA 3:

FORMA 4:

FORMA 5:

102

Guía No.2



Nombre: Curso:


En esta guía intentarán resolver la duda de Camilo, para ello van a abordar la situación conuna cantidad menor de niños, para realizar el conteo y comprender sí importa el orden y/o larepetición.

La situación ahora es ¿De cuántas formas puedo seleccionar a 3 niños de 6? , a cadaniño lo van a nombrar con una letra del alfabeto, es decir Niño 1: A – Niño 2: B – Niño 3: C-Niño 4: D- Niño 5: E- Niño 6: F

Si Camilo dijera que escoge a los niños A-B-C y Martín indicara que escoge a los niñosB-A-C.

1. ¿Están escogiendo a los mismos?

2. ¿En esta situación es válida la forma A-B-C? ¿por qué?

3. ¿Importa el orden en que sean escogidos?

4. Indique todas las formas que tienen Camilo y Martín de escoger los tres primeros niños

5. Si no importa el orden ¿A cuántas maneras se reduce el listado anterior?

6. Indique el listado y hagan el conteo de las formas en qué pueden escoger a 3 niños de 20cuando no importa el orden

103

15. Anexo 4: Secuencia Didáctica III

Guía No.3



Nombre: Curso:


Retomen la situación ¿de cuántas maneras se pueden escoger 3 niños de 6?1. Si importara el orden, el primer niño tendría 6 opciones de ser elegido, el segundo 5 y el

tercero 4 ¿cómo sería la expresión para hallar el total de formas?

2. Al no importar el orden ¿qué formas se deben simplificar?

3. Ahora ayúdenle a Camilo a resolver su duda inicial. ¿Cómo puedo escoger a 3 niños de ungrupo de 10?

104

Guía No.4



Nombre: Curso:


Para cada situación indique si importa o no la repetición y si importa o no el orden, luegoresuélvalas.

1. El gerente de una compañía de alimentos desea enviar a 2 de sus 4 mejores empleados auna capacitación para el manejo de nuevas tecnologías. Los candidatos son: Melisa (M), Alan(A), Natalia (N), Iván (I). ¿De cuántas formas puede elegir a los 2 empleados que irán a lacapacitación?

2. En una clase de 15 estudiantes van a distribuir dos premios. De cuántos formas se puederepartir si:• Los premios son diferentes• Los premios son iguales

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Bibliografía

[1] Arrieta, L, «Perspectiva cognitivista: Fundamento para la investigación en EducaciónMatemática», Kaleidoscopio. No. 13, 7, págs. 30–39, 2010.

[2] Bakkali, M., Barrionuevo, F., Burgos, M., Cabrero, J., Garrido, M., Hac-kenberg, M., Jiménez, R., de la Herrán, R., López, M., López, I., Martín, A. ,Navajas, R., Perfectti, F., Robles, F., Ruiz, J., Viseras, E. y Zurita, F. «Manualde problemas y casos prácticos de genética», Departamento de genética, Universidad deGranada, págs. 3–159, 2011.

[3] Batanero, C., Diaz, G. y Navaro, V., Razonamiento Combinatorio, Sintesis Madrid,1994.

[4] Borja, L., «Del juego antiguo al juego de computadora, papel histórico del juego en eldesarrollo de la tecnología digital», Icono, No. 8, 14, págs. 1–17, 2006.

[5] Cascos, I., «Modelos de distribuciones discretas y continuas», Departamento de Estadística,Universidad Carlos III de Madrid, págs. 1–7, 2008.

[6] Diaz, J., Batanero, M. y Cañizares, M., Azar y Probabilidad: Fundamentos didácticosy propuestas curriculares, Sintesis Granada, 1996.

[7] Dubinsky, E. y McDonald, M., «The teaching and learning of mathematics at univer-sity», A constructivist theory of learning in undergraduate mathematics education research,págs. 275–282, 2002.

[8] English, L., «Children’s strategiea for solving two- and three-dimensional combinatorialproblems. Stepping stones for the 21st century», Sense Publishers: Australasian mathematicseducation research, 8, págs. 139–156, 2007.

[9] Española, R. A., «Combinación», Diccionario de la lengua española. (23. ed.). Consultadoen http://dle.rae.es/?id=9tocVa2, 2014.

[10] Española, R. A., «Permutar», Diccionario de la lengua española. (23. ed.). Consultadoen http://dle.rae.es/?id=Sg22S72, 2014

[11] Fischbein, E. y Gazit, A., «Decomposition principle for linear programs», The combina-torial solving capacity in children and adolescents, 5, págs. 193–198, 1988

[12] Font, V., Badillo, E., Trigreros, M. y Rubio, N., «La encapsulación de procesosanalizada desde la perspectiva del enfoque ontosemiótico», Investigación en EducaciónMatemática, Jaén: SEIEM, XVI, págs. 239–247, 2012

107

Bibliografía

[13] Gutierrez, L. y Valdivé, C., «Una descomposición genética del concepto derivada»,Gestión y Gerencia, No. 3, págs. 104–122, 2012

[14] Martínez, R. y Uson Villalba, C., «En torno al triángulo Aritmético que algunosllaman de Pascal», suma, 8, págs. 57–63, 2005

[15] Meece, J., Desarrollo del niño y de adolescentes, Mc Graw Hill, Mexico, 2000.

[16] Meel, D., «Modelos y teorías de la comprensión matemática. Comparación de los modelosde Pirie y Kieren sobre el crecimiento de la comprensión matemática y la teoría APOE»,RELIME, No. 3, 6, págs. 221–271, 2003

[17] Meyer, L., Probabilidad y aplicaciones estadísticas, ADDISON-WESLEY IBEROAMERI-CANA, S.A., Wilmington, 1986.

[18] Ministerio de Educación Nacional, Matemáticas, Li-neamientos curriculares. Recuperada en agosto 3, 2016 delhttp://www.mineducacion.gov.co/1759/articles-339975_matematicas.pdf, 1998

[19] Ministerio de Educación Nacional, Matemáticas, Estánda-res Básicos de Competencias en Matemáticas. Potenciar el pensamien-to matemático: ¡un reto escolar!. Recuperada en agosto 3, 2016 delwww.mineducacion.gov.co/1759/articles-116042_archivo_pdf2.pdf, 2006

[20] Navarro-Pelayo, V., Batanero, C. y Diaz Godino, J., «Razonamiento Combinatorioen alumnos de secundaria», Educación matemática, 8, págs. 26–39, 1996

[21] Nieto, J., Teoría Combinatoria, Universidad de Zulia, Maracaibo, 1996.

[22] Osorio, M., Suárez, A. y Uribe, C., «Revisión de aspectos asociados a la problemá-tica del aprendizaje de la Probabilidad», Revista Virtual Universidad Católica del Norte.Colombia, No. 34, págs. 360–384, 2011

[23] Pérez, M., Una Historia de las Matemáticas: Retos y conquistas a través de sus personajes,VISION NET, Madrid, 2007.

[24] Perry, C., Mesa, V., Fernandez F. y Gómez, P., Matemáticas, Azar, Sociedad: Unaintroducción empírica de los conceptos de probabilidad, Una empresa docente Universidadde los Andes, Bogotá, 1990.

[25] Petrov, V. y Mordecki, E., Teoría de probabilidades, URSS, Moscú 2002.

[26] Roa, F. y Oktac, A., «Construcción de una descomposición genética: análisis teórico delconcepto de transformación líneal», Revista Latinoamericana de investigación en matemáticaeducativa, No. 1, 13, págs. 89–112, 2010

[27] Rocha, G., «Concepciones de Probabilidad», Probabilidad, consultado enwww.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE12.pdf, 10 de Agosto de2016, 2008

[28] Rocha, G., «Técnicas de Conteo», Probabilidad, consultado enwww.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE12.pdf, 21 de Abril de 2016,2008

108

Bibliografía

[29] Ruiz, A., «Los origenes de la Revolución Científica», Revista Elementos, No. 14, 2, págs.69–77, 1990

[30] Sierra, T. y Rodríguez, E. , «Una propuesta para la enseñanza del número en laeducación infantil», Números Revista de Didáctica de las Matemáticas, 8, págs. 25–52, 2012

[31] Solaeche, M., «Sistema de Tabulación de coeficientes Binomiales o Triángulo de Pascal.Un modelo Numérico Rasga el Telar de los Tiempos», Revista Divulgaciones Matemáticas,págs. 61–68, 1998

[32] Tobón, S., Pimienta, J. y García, J., Secuencias didácticas: Aprendizaje y evaluaciónde competencias, Pearson Educación Prentice Hall, México, 2010.

[33] Vasco, C., Tres estilos de trabajo en las ciencias sociales, Cinep, Bogotá, 1994.

[34] Vasquez, O. y Parraguez, M., «Construcción del concepto de probabilidad: una pers-pectiva desde la teoría APOE», Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 25, págs.573–581, 2012

[35] Vasquez, O. y Parraguez, M., «Construcciones mentales para el aprendizaje del conceptode probabilidad: Un estudio de caso», Revista Educación Matemática. No. 3, 26, págs.37–74, 2014

[36] Azcarate, C. y Badillo, E., «Tesis Doctoral: La derivada como objeto matemáticoy como objeto de enseñanza y aprendizaje en profesores de matemáticas en Colombia»,Universidad Autónoma de Barcelona, págs. 1-123, 2003.

[37] Wilhelmi, M., Combinatoria y probabilidad, GEEUG, Granada, 2004.

[38] Zweig, J, «Ars combinatoria Mystical Systems, Procedural Art and the Computer», Fall,8, págs. 20–29, 1997

[39] Asiala, M., Brown, L., Devries, D., Matheus, D. Thomas, K. y Dubisky, E., «Fra-me work for research and curriculum development in undergraduate matematics education»,Collegiate Mathematics Education, 6, págs. 1–32, 1996

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