Universidad Simon BolıvarDepartamento de Matematicas

Enero-Abril 2009

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MA-3111—Primer Parcial, modelo 28-2-2009, 35 %— 9:30 a.m.

JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS.

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE; a ∈ R, α, β ∈ C.

u(x) U(z)

αu(x) + βv(x) αU(z) + βV (z)

u′

gen(x) zU(z)

u(k)gen(x) zkU(z)

xu(x) −U ′(z)

u(x − a) U(z)e−az

eαxu(x) U(z − α)

u ∗ v(x) U(z)V (z)

−→

u(x) U(z)

δ(x) 1

δ(k)(x) zk

δ(k)(x − a) zke−az

H(x)1

z

H(x)eαx1

z − α

H(x)xk−1

(k − 1)!

1

zk

−→

u(x) U(z)

H(x)eαxxk−1

(k − 1)!

1

(z − α)k

H(x) sen(ax)a

z2 + a2

H(x) cos(ax)z

z2 + a2

H(x) senh(ax)a

z2 − a2

H(x) cosh(ax)z

z2− a2

1. Resuelva el siguiente problema usando transformadas de Lapalace

y′′(x) + 4y(x) = e−2t cos(t) + 1

y(0) = 0 y′(0) = 1

Solucion

Dpto. de MATEMATICAS

MA-3111- 9:30 a.m.

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2. (8 puntos) ¿Cuales son los posibles valores de α y β para que lımt→∞(f ∗ g)(t) = 0, dondef y g estan dadas por f(t) = H(t)eαt y g(t) = H(t)eβt?

Solucion

Dpto. de MATEMATICAS

MA-3111- 9:30 a.m.

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3. Calcule la transformada de Laplace inversa de

U(z) =70z − 63z2 + 19z3

− 2z4

36 − 33z + 10z2− z3

Solucion

Dpto. de MATEMATICAS

MA-3111- 9:30 a.m.

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4. Sea la funcion 2π-periodica, dada en (−π, π) por f(x) = x(π − x)(π + x)a) Grafique la funcion en (0, 2π)b) Calcule los coeficientes bn de la serie de Fourier f(x) ∼

∑∞

n=1 bn sen(nx)

bn =

c) (2 ptos.) Estudiando la convergencia de la serie en x = π/2 halle la suma de la serie

∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)3=

d) (3 ptos.) Aplicando el teorema de Parseval calcule la suma

∞∑

n=0

1

n6=

Solucion