M Kg mol - Raquel Serrano

Problemas de cristalografía

PROBLEMA 1

El Wolframio cristaliza en el sistema cúbico centrado con un parámetro de red

a=316,48 pm y densidad teórica DT=19300 Kg/m3. Calcular:

a) Masa atómica.

b) Volumen atómico.

c) Radio atómico.

d) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 1>, <1 1 0> y <1 0 0>.

e) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 1), (1 1 0) y (1 0 0).

f) Número de átomos en 1 m3.

a) Masa atómica

La densidad teórica de un cristal es: cA

aT VN

MnD

⋅⋅

=

Donde n es el número de átomos de W por celdilla (C.C): celdatn /28181 =⋅+=

Ma es la masa atómica del W, Na el número de Avogadro y Vc el volumen de la celdilla ( a3).

Despejando Ma:

( )

molgrmolKgM

celdatceldmmolatmKg

na N D =

n V N D = M

a

3ATcAT

a

/24.184/18424.0

/2/1048.316/10023.6/19300 312233

==

⋅⋅⋅⋅=

−

b) Volumen atómico

La densidad teórica puede ser también expresada como la relación entre masa atómica y

volumen atómico, de donde:

molm

mKgmolKg

DM = V

T

aa /10546.9

/19300/1024.184 363

3−

−

⋅=⋅

=

1

Problemas de cristalografía c) Radio atómico

En el sistema C.C. el radio atómico es 1/4 de la diagonal del cubo, por tanto:

pmpmara 04.137

4348.316

43

=⋅

=⋅

=

d) Densidad atómica lineal

LatomosN = D >zy x<

º

Dirección <1 1 1>

matm

átomosa

D /106486.331048.316

232121

912111 ⋅=

⋅⋅=

⋅

⋅+=

−><

Dirección <1 0 0>

matm

átomosa

D /101598.31048.316

1212

912100 ⋅=

⋅=

⋅=

−><

Dirección <1 1 0>

matm

átomosa

D /102343.221048.316

12

212

912110 ⋅=

⋅⋅=

⋅

⋅=

−><

e) Densidad atómica superficial

SatomosN = D z)y (x

º

2


Plano (1 1 1)

2h a = S 2

Donde h es la altura del triángulo de este plano que queda dentro de la celdilla.

23260sen2 ⋅== aah

La densidad superficial será:

( )( )

218

212111 /107643.5

1048.316321

21

2322

21

613

matm

átomos

aaD ⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

⋅=

−

Plano (1 0 0)

( ) ( )218

2122100 /109841.91048.316

1414

matm

átomoa

D ⋅=⋅

=⋅

=−

Plano (1 1 0)

( ) ( )219

212110 /10412.11048.3162

224141

matm

átomosaa

D ⋅=⋅⋅

=⋅

⋅+=

−

f) Número de átomos por m3

328233

/103094.6/18424.0

/10023.6/19300º matmolKg

molatmKgM

N D = matomos/Na

aT3 ⋅=⋅⋅

=

3

Problemas de cristalografía PROBLEMA 2

La celdilla elemental del Aluminio es cúbica centrada en las caras. Su masa

atómica es 26.97 gr/mol y su densidad 2699 Kg/m3. Calcular:

a) Masa de un átomo.

b) Número de átomos en 1 mg

c) Número de átomos y moles por m3.

d) Masa de una celdilla unidad.

e) Número de celdillas en 1 gr de metal.

f) Volumen y arista de la celdilla unidad.

g) Radio atómico.

h) Factor de empaquetamiento.

i) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 0> y <1 1 1>.

j) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 0) y (1 1 1).

a) Masa de un átomo

Dividiendo la masa atómica por el número de Avogadro:

atgrmolat

molgrM a /10478.4/10023.6

/97.26 23231

−⋅=⋅

=

b) Número de átomos en un mg.

mgat

atgr mggr = atomos/mgN /10233.2

/10478.4/10º 1923

3

⋅=⋅ −

−

4


c) Número de átomos y moles en un m3

328

3

/10027.6/8.

/º matatgr10 474

mgr10 2.699 = MD = matomos/N

23-

6

1a

T3 =

moles

molat10 6.023mat10 6.0 =

Nmatomos/ =mmoles/

23

28

A

33 5

3

10//27

=

d) Masa de una celdilla unidad

El número de átomos por celdilla es: n = 4.

Masa de la celdilla = n·M1a = 4 x 4,478·10-23 gr=1,791·10-22 gr

e) Número de celdillas por gr.

grceldceldgr

grceldillas /10583.5/10791.1

1/ 2122 ⋅=

⋅= −

f) Volumen y arista de la celdilla

33293623 10636.6

/10699.2/10023.6/97.26/4 am

mgrmolatmolgrceldat

DNMnV

Ta

ac =⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=

pmmma 9.40410049.410636.6 103 329 =⋅=⋅= −

g) Radio atómico

pmaR a 2.143

42

==El radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara.

h) Factor de empaquetamiento

( ) 74.02/4

3443443

3

3

3

=⋅

=⋅

=a

aa

R

Ra

RF ππ

i) Densidad atómica lineal

5


Dirección <1 1 0>

matm

átomosa

D /10494.32109.404

222121

912110 ⋅=

⋅⋅=

⋅

⋅+=

−><

Dirección <1 1 1>

matm

átomosa

D /10426.13109.404

13

212

912111 ⋅=

⋅⋅=

⋅

⋅=

−><

j) Densidad atómica superficial

SatomosN = D z)y (x

º

Plano (1 1 0)

( ) ( )218

212110 /10626.8109.4042

22

414

212

matm

átomosaa

D ⋅=⋅⋅

=⋅

⋅+⋅=

−

Plano (1 1 1)

( )( )

219

212111 /10409.1

109.404321

2

2322

21

213

613

matm

átomos

aaD ⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

⋅+⋅=

−

6


PROBLEMA 3

Calcúlense los átomos que existen en 1 mg y en 1 m3 de los siguientes metales:

Nota: La estructura H.C. del Cobalto c = 1,118 x 10-9 m.

a) Plomo

Número de átomos en un mg:

mgat

molgrmolat mggr = atomos/mgN /10907.2

/19.207/10023.6/10º 18

233

⋅=⋅−

Número de átomos en un m3

32831033 /10298.3

21075.14

4

244º mat

m

at Rat =

an = matomos/N

a

3 ⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ −

b) Hierro

Número de átomos en un mg.

mgat


/847.55/10023.6/10º 19

233

⋅=⋅−

Número de átomos en un m3

328

31033 /10117.8

31026.14

2

342º mat

m

at Rat =

an = matomos/N

a

3 ⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ −

7

Problemas de cristalografía c) Cobalto

Número de átomos en un mgr.

mgat


/933.58/10023.6/10º 19

233

⋅=⋅−

El nº átomos por celdilla es 6. y el volumen de la celdilla será: 2

ha6cVc⋅

⋅⋅=

Donde c es la altura del prisma, a el lado del hexágono a = 2Ra y h la apotema:

23asen60ah =⋅=

El número de átomos en un m3 será:

( ) ( )328

210922/10957.4

31025.1210118.1

632

4

436

6 matmm

at Rc

at = ac

at

a

⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

⋅⋅−−

PROBLEMA 4

La densidad del Hierro a temperatura ambiente es de 7,87 gr/cm3. Calcular:

a) ¿Cuántos átomos hay por cm3?

b) ¿Cuál es el tanto por ciento de espacio ocupado?

c) ¿Qué red cristalográfica presenta? ¿Por qué?

DATOS: Peso atómico del Fe = 55.85 gr/mol; Radio atómico del Fe a 20 ºC = 0,1241 nm.

a) Atomos por cm3

322

233

/10487.8/85.55

/10023.6/87.7º cmatmolgr

molatcmgr = matomos/cN 3 ⋅=⋅

b) Porcentaje de espacio ocupado

( )6789.0

1

101241.03410487.8

totalvolumenesferasporocupadovolumen

3

3722

=⋅⋅

=

−

cm

cmat π

El porcentaje de volumen ocupado es el 67,9 %

8


c) Sistema cristalográfico

Calculemos la densidad teórica del Fe con estructura C.C. y C.C.C. y comparemos con el valor

real, dato del problema.

Sistema C.C. 337

23

/878.7

3101241.04/10023.6

/85.55/2 cmgrcmmolat

molgrceldatVN

MnD

ca

aT =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=−

Sistema C.C.C. 337

23

/577.8

2101241.04/10023.6

/85.55/4 cmgrcmmolat

molgrceldatVN

MnDca

aT =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=−

El sistema es C.C. cuya densidad teórica coincide con la real.

PROBLEMA 5

El Cadmio cristaliza en el sistema hexagonal compacto con a = 297,8 pm. y c = 561,7 pm, la

masa atómica del Cd es 112,4 gr/mol. Calcular:

a) Indice de coordinación.

b) Factor de empaquetamiento.

c) Densidad teórica.

d) Densidad atómica superficial en los planos (1 0 -1 0) y (1 1 -2 0)

e) Densidad atómica lineal en la dirección <2 -1 -1 0>.

a) Indice de coordinación

633.1886.18.2977.561

>==pmpm

ac

Indice de coordinación = 6

9

Problemas de cristalografía b) Factor de empaquetamiento

( )641.0

8.29723

2167.561

28.297

346

23

216

346

2

33

=⋅⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

pmpm

pm

aac

RF

ππ

c) Densidad teórica

( )3

2101023

/651.8108.297

23

216107.561/10023.6

/4.112/6 cmgrcmcmmolat

molgrceldatVN

MnD

ca

aT =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=−−

d) Densidad superficial

Plano (1 0 -1 0 ) Los puntos de corte con los ejes son (1,∞,-1,∞)

( )218

12121010 /10978.5107.561108.297

1414

matmm

atca

atD =

⋅=

⋅

⋅=

−−−

Plano (1 1 -2 0) Los puntos de corte con los ejes son: (1,1, -1/2,∞)

( )218

12121010 /10903.6107.5613108.297

23

1414

matmm

atca

atD =

⋅⋅=

⋅

+⋅=

−−−

e) Densidad lineal en la dirección <2 -1 -1 0>

matm

ata

atD /10358.3

108.29712

129

121012 ==⋅

= −>−−<

10


PROBLEMA 6

Durante el calentamiento, el hierro puro cambia su estructura cristalina de C.C. a

C.C.C. a 912 ºC. Calcular:

a) ¿Sufrirá el hierro una expansión o una contracción en este cambio?

b) Calcular la relación de densidades entre ambas estructuras.

DATOS: A 912 ºC el radio atómico es de 1,258 Å.(C.C.) y de 1,292 Å.(C.C.C.).

a) Efecto del aumento de temperatura.

Al pasar la temperatura por 912 ºC el hierro sufrirá una contracción por ser la estructura C.C.C.

la de máxima compacidad, aunque esta contracción se verá compensada en parte por el

aumento del radio atómico. Esta contracción implica un aumento de la densidad como

calcularemos ahora.

Calcularemos la variación relativa de volumen que sufrirán N átomos al cambiar de estructura.

393.4

31258.0

21292.0

211

34

24

211

2

423

3

3

3

3

33

−=Δ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

−=⋅−⋅

=−

=Δ

EVV

nm

nm

R

R

aN

aNaN

VVV

VV

CC

CCC

CC

CCCCC

CC

CCCCC

El hierro se contrae un 0.493 %.

b) Relación de densidades

=⋅⋅

= 3aNMnD

a

aT

005.1

212920

31258.0

2

24

34

224

2

4

3

3

3

3

3

3

3

3

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

⋅=⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅

=nm

nm

R

R

aa

aNMaNM

DD

CCC

CC

CCC

CC

CCa

a

CCCa

a

CC

CCC

11

Problemas de cristalografía PROBLEMA 7

Se sabe que cierto metal A ocupa las posiciones principales del sistema cúbico

centrado en las caras cuando se forma cierto compuesto. Otro metal B se sitúa en los

centros de las aristas y en el centro del cristal. Se pide:

a) Calcular la fórmula estequiométrica del compuesto.

b) Radio atómico del metal A.

c) Radio máximo admisible del metal B.

d) Compacidad del cristal.

e) Densidad del compuesto.

DATOS: Constante reticular a = 4,26 Å ; PA = 65 gr/mol ; PB = 32 gr/mol.

a) Fórmula estequiométrica

Por cristalizar el metal A en el sistema C.C.C. el número de átomos de A por celdilla será 4. El

metal B ocupa los huecos octaédricos del cristal que son: uno en el centro y uno en cada arista

compartido por 4 celdillas que son otros 3, en total 4 huecos por celdilla. La fórmula sería:A4BB4

Simplificando quedaría: AB

b) Radio atómico del metal A

Por ser el sistema C.C.C. el radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara. Por tanto, sabiendo

que la diagonal de la cara es 2a , nos quedará:

Α=⋅Α

=⋅

= 51.14

226.44

2aRa

c) Radio máximo del metal B

La relación máxima de radios debe ser r/R = 0,41

Por lo tanto: RB = 0,41 · RA = 0,619 D

12


d) Compacidad del cristal

Compacidad = 79.8 %

798.0344

344

totalvolumenocupadoVolumenCompacidad 3

33

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

==a

RR BA ππ

e) Densidad del compuesto

( )3

3823/33.8

1026.4/10023.6

/32/4/65/4cmgr

cmmolat

molgrcelBatmolgrceldAatVN

MnD

ca

aT =

⋅⋅

⋅+⋅=

⋅⋅

=−

PROBLEMA 8

La densidad experimental de un cristal simple de aluminio, que cristaliza en el

sistema C.C.C., es 2,697 gr/cm3. La constante reticular es 4,049 Å Si la discrepancia entre

el valor teórico y el experimental de la densidad es una medida de los huecos de la malla

(vacantes), calcular:

a) Fracción de átomos ausentes.

b) Huecos por cm3

DATOS: PAl = 27 gr/mol

a) Fracción de átomos ausentes

Comparemos el número de átomos, teóricos y reales, por unidad de volumen:

t

r

t

r

Al

Att

Al

Arr

DD

nn

PND

Vn

PND

Vn

=⇒== ;

Calculamos la densidad teórica del aluminio

( )3

3823/701,2

10049,4/10023,6/27/4 cmgr

cmmolatmolgrceldatDt =⋅⋅

⋅=

−

9985,0/701,2/697,2

3

3

===cmgrcmgr

DD

nn

t

r

t

r

Por tanto la fracción de átomos ausentes será: 1- nr/nt=0,0015, es decir la fracción de átomos

ausentes es del 0,15%.

13

Problemas de cristalografía b) Huecos por cm3

Conociendo el número de átomos teóricos por cm3, y habiendo calculado la fracción de átomos

ausentes, podemos saber el número de huecos por cm3. Nº atm. teóricos por cm3:

322233

/10025,6/27

/10023,6/701,2 cmteóricoatmolgr

molatcmgrPND

Vn

Al

Att ⋅=⋅⋅

==

El número de huecos será:

32022

33huecosNº10904,010025,60015,0 ausentesat fracciónteóricosatnºhuecos Nºcmcmcm

⋅=⋅×=×=

PROBLEMA 9

El silicio cristaliza en el sistema C.C.C. de tal forma que no sólo ocupa las

posiciones principales de la malla sino también el 50 % de los intersticios tetraédricos.

Sabiendo que el parámetro de malla es 5,43 Å y que el peso atómico del silicio es 28,06

gr/mol. Calcular:

a) Densidad teórica del Si.

b) Atomos de Si por m3.

Para aumentar la concentración de huecos y mejorar, por tanto, sus características

semiconductoras se dopa el Si con una cantidad controlada de aluminio, de forma que

sustituye parcialmente al Si de sus posiciones originales.

c) Calcular el nº de átomos de Al por m3 con que es preciso dopar al Si para que se

produzca una disminución de la densidad del 0,5 % con respecto a la teórica del Si.

DATOS: PAl = 26,97 gr/mol

a) Densidad teórica del Si

En el sistema C.C.C.:

Nº at./celd. : n = 4

Nº huecos tetraédricos./celd. : h = 8

Nº total at. Si/celd.: N = n + h/2 = 8 at/celd.

El volumen de la celdilla:

14


V = a3 =(5,43·10-8cm)3= 1,601 x 10-22 cm3

La densidad teórica será:

332223 /33,2

10601,1/10023,6/06,28/8 cmgr

cmmolatmolgrcelat

VNPnD

A

A =⋅⋅⋅

⋅=

⋅= −

b) Atomos de Si por m3

328322322 /105/105

/10601,1/8 matcmat

celdcmceldat

Vn

⋅=⋅=⋅

= −

c) Nº de átomos de Al

Al disminuir la densidad un 0,5 %, la densidad resultante será: 3/3185,2995,0' cmgrDD =⋅=

rr

A

Pmolatcmgrcmat

PND

Vn /10023,6/31835,2/105' 233

322 ⋅⋅=⋅==

donde Pr es el peso atómico medio o resultante, se obtiene: Pr = 27,927gr/cm3.

Por otra parte:

fSi x 28,06 + fAl x 26,97 = Pr

fSi + fAl = 1

(f indica fracción de átomos)

Resolviendo el sistema:

fSi = 0,87798 fAl = 0,12202

Nº at Al/m3 = 5 x 1028 x fAl

Nº at Al/m3 =6,101 x 1027

PROBLEMA 10

15


Un carburo de wolframio cristaliza en el sistema hexagonal, de forma que los

átomos de wolframio se sitúan en las bases del prisma y los de carbono en la sección recta

media. Determinar:

a) Fórmula y densidad del carburo.

b) Radios atómicos de W y C.

DATOS: a = 2,84 Å ; c = 2,9 Å ; PC = 12 gr/mol ; PW = 184 gr/mol

a) Fórmula y densidad

C: 3 at./celd.

tre átomos en una celdilla es 3:3, por tanto, la fórmula será: C W

W: 1/2 x 2 bases + 1/6x12 vértices = 3 at./celd.

La relación en

Para calcular la densidad calcularemos primero el volumen de la celdilla:

323288 1008,6)1084,2(2222316109,2316 cmcmcmaacV −−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

332323 /06,16

1008,6/10023,6/184/3/12/3 cmgr

cmmolatmolgrceldWatmolgrceldCat

VNPnPnD

A

wwcc =⋅⋅⋅

⋅+⋅=

+= −

b) Radios atómicos de C y W

=> r = a/2 = 1,42 Å ⇒ a2 + c2 = (2 rW + 2rC)2 ⇒ 16,5 = (2,84 + 2 rC)2

rC = 0,613 Å

a = 2 rW W

16


PROBLEMA 11

Un cierto metal cristaliza en un sistema hexagonal sin planos intermedios y con

igual disposición atómica en las caras basales. Existen átomos en todos los vértices y en el

centro de los hexágonos, así como en los centros de los 6 triángulos equiláteros en que se

descomponen dichos hexágonos, siendo estos últimos tangentes a los anteriores y a su vez

entre sí. Los átomos correspondientes de las dos caras basales son tangentes uno a otro.

Calcular:

a) Número de átomos por celdilla.

b) Indice de coordinación.

c) Compacidad del sistema así definido.

d) Comparar la compacidad de este sistema con la del hexagonal compacto.

a) Nº de átomos por celdilla

1/6 x 12 (vértices) + l /2 x 14 (caras) = 9 at/celd

b) Indice de coordinación

Un átomo está rodeado en un mismo plano por otros 6,

además se encuentra con un átomo encima y otro debajo

tangentes a él. Por tanto son ocho los átomos que lo rodean

y que son tangentes, el índice de coordinación es pues 8.

c) Compacidad del sistema

Volumen de la celdilla: 32 312)2(23

2162

23

216 rrraacVc ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

Volumen ocupado por los átomos: 33 1234/9 rrceldatVat ππ =⋅⋅=

577,0312

123

3

===rr

VVcompacidad

c

at π

17

Problemas de cristalografía d) Comparación

En el sistema H.C. el espacio hueco supone el 26 % lo que supone una compacidad de 0,74;

esta es superior a la del sistema bajo estudio (0,577).

PROBLEMA 12

Calcular la densidad del bronce (Cu - Sn) de 3% en átomos de Sn, suponiendo que

la constante de la red varía linealmente con la fracción de átomos.

DATOS: rCu = 0,1278 nm; rSn = 0,151 nm, MCu = 63,54 gr/mol; MSn = 118,69 gr/mol

Como el parámetro de la red varia con el porcentaje de elementos, el radio atómico medio será

también función de las cantidades relativas de cada uno:

0,97 · 0,1278 nm+ 0,03 · 0,151 nm = 0,1285 nm

cmgr

9,02 = )10 (0,3634 10 6,023

118,69) 0,03 (4 + 63,54) 0,97 (4 = mm 0,3634 =

20,1285 4

= 2r 4

=a 3323 7−⋅

⋅⋅⋅⋅⇒

⋅ρ

PROBLEMA 13

La estructura del latón β es cúbica centrada, colocándose un átomo de Cu en el centro del

cubo y los de Zn en los vértices. Calcular la densidad de la aleación.

Datos: rzn = 0,14 nm; rcu = 0,13 nm; Mat(Cu) = 63,54 gr/mol; Mat(Zn) = 63,38 gr/mol

Para calcular la densidad necesitamos conocer el parámetro

de la red en función de los radios atómicos de los átomos que

forman la estructura. Dado que es c.c. la diagonal del cubo es

una dirección compacta, por tanto :

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3

8

oZnCu

ZnCu

/08.712.3.

.1.1

A12.3312.0r rrr

cmgr = cm)10 (

molat

10 0236

molgr3865

celdCuat +

molgr 5463

celdCuat

= d

nm = 32 + 2 =a 2 + 2 = 3a

- 323

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

=

PROBLEMA 14

Determinar los índices de Miller para los planos que cortan a los ejes en

a) a = -2, b = 2/3, c = 3/2

b) a = 1/2, b = -3/2, c = 1/3

c) a = -3, b = 5, c = 2.

15) 6, ,10( 21 ,

51 ,

31- 2 5, 3,-

9) ,2 (6, 3 ,32- 2,

31 ,

23- ,

21

4) 9, ,3( 32 ,

23 ,

21-

23 ,

32 2,-

I.MILLER INVERSOS P.DECORTE

→→

→→

→→

PROBLEMA 15

Un cierto plano cristalográfico contiene las posiciones (0,0,0), (1/2,1/4,0) y

(1/2,0,1/2). ¿Cuáles son sus índices de Miller?

El esquema de las posiciones y el plano cristalográfico que las contiene, se representa en la

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Problemas de cristalografía figura. Como el plano pasa por el origen de coordenadas lo desplazamos, por ejemplo, una

unidad en la dirección x. Entonces los puntos de corte del plano con los ejes coordenados son –

1, ½, 1 y los índices de Miller vienen dados por los valores inversos de estos puntos de corte:

)121(−

Si hubiésemos desplazado el origen una unidad hacia arriba, los cortes en los ejes estaría en +1,

-1/2, -1, para dar unos índices de Miller , este plano es paralelo al anterior y por tanto equivalente.

)121(−−

PROBLEMA 16

Calcular la densidad atómica superficial (átomos/mm2) en:

a) El plano (1,1,1) en le hierro. rFe= 0,124 nm.

b) En el plano (2,1,0) en la plata. rAg = 0,144 nm

a) En el hierro C.C.

Calculamos el nº de átomos en el plano (1 1 1) limitado

por la celdilla unitaria

atomos 0,5 =

61 3 ⋅

La densidad superficial será el nº de átomos por unidad de superficie. Habrá que determinar el

área del plano delimitado por la celdilla unitaria.

222233221º60sen221triángulodelSuperficie 2 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ aaaaa=

mm 10 0,28 = 0,28 = 3r 4 =a

10 7,36 = a

0,5 = d

6-

12(111)

2

23

Α

⋅ 20


b) En la plata C.C.C

El nº de atomos que pertenecen al plano (2 1 0) será:

1 =

21 +

41 2 = atomos de n”

Se calcula previamente el valor de a para determinar la

superficie del plano. Esta será:

mm 10 9,41 = è 9,41 =

2r 4 =a 6-

Conociendo la superficie se puede determinar la densidad superficial igual que en el caso

anterior.

10 5,32 =

45 a

1

45a =

4a + a

12

2

22

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Problemas de cristalografía PROBLEMAS PROPUESTOS.

Calcular la densidad del compuesto intermetálico FeTi, que cristaliza en el sistema c.c.. DATOS: Fe rat = 0,124 nm, Mat = 55,85; Ti rat = 0,146 nm Mat = 47,90 El volumen de la celdilla unidad del Ti (hc) es 0,106 nm3. La relación c/a es 1,59. Calcular: a) Cuales son los valores de c y a, b) Cual es el radio atómico del Ti y c) Cual es el factor de empaquetamiento El circonio es c.c. a alta temperatura. El radio atómico se incrementa en 1,5 % cuando al enfriar pasa a h.c.. Cual es el % de cambio de volumen en esta transformación. Calcular el tamaño de los huecos octaédricos en la estructura hexagonal compacta, cúbica centrada y cúbica centrada en las caras. (problema 4 colección antigua) Considerar una estructura cúbica centrada. Calcular: a) ¿Cuáles son los índices de Miller de un plano que corta al eje X y al eje Y a una unidad del origen y es, además, paralelo al eje Z? b) Suponga que un metal que cristaliza en dicha estructura tiene un radio atómico de 1,3 Å. ¿Cuál será la densidad atómica del plano anterior? c) Indicar los índices de Miller de la dirección perpendicular a dicho plano. Solución: a) (1 1 0) b) 1.569 E+19 at/m2 c)<110> Dibujar una celdilla cúbica centrada en las caras y señalar sobre ella el plano (1 1 1) y las direcciones <1 1 0> y <1 1 -2>. Calcular también la densidad superficial de un plano (1 1 0) del Cobre (C.C.C.), cuyo radio atómico es de 1,278 Å. Solución: D(110)= 1.08 · 1019 at/m2 Sabiendo que el radio atómico del plomo es 0,175 nm. y que cristaliza en el sistema C.C.C. calcular el número de átomos por mm2 en los planos ( 1 0 0 ) y (1 1 1). Solución: D(1 0 0)=8.16 1012 at/mm2 D(1 1 1)=9.44 1012 at/mm2. Calcular la variación relativa de volumen al pasar el hierro de estructura c.c. a c.c.c. a) Suponiendo que el radio atómico no varía. b) tomando r=0.1258nm para índice de coordinación 8 y r=0.1292 nm para índice de coordinación 12. Solución: a) 8.14 % b) 0.49 % ¿Cual sera el espaciado interplanar para los planos (2 0 0), (2 2 0) y (1 1 1) en el niquel?. Sabiendo que en una estructura c.c la distancia entre planos (1 1 0) es de 2,03 A, determinar el valor de la constante reticular y el radio atómico. El Al es c.c.c. Si en el plano (2 2 0) su densidad atómica vale 1,431 A. ¿Cual es su constante reticular?.

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M Kg mol - Raquel Serrano

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