LUGAR GEOMÉTRICO.

Un lugar geométrico, es el conjunto de todos los puntos delplano que tienen una característica geométrica común.

Por ejemplo, el conjunto de puntos cuya distancia al origendel plano es 5 unidades, constituye un lugar geométrico.

Figura 1

ECUACION DE UN LUGAR GEOMETRICO.

Es una expresión algebraica que establece, analíticamente,la relación entre las coordenadas de cada punto del lugar.Es decir, la ecuación solo se satisface con las coordenadasde cada uno de los puntos del lugar geométrico.

Para hallar la ecuación de un lugar geométrico se realizanlos siguientes pasos.

• Paso 1: Se considera que cualquier punto P(x,y) cumplelas propiedades del lugar geométrico.

• Paso 2: Las propiedades que cumplen los puntos P(x,y)del lugar geométrico, se expresan algebraicamente,mediante igualdades que relacionen las variables X y Y.

EJEMPLO.

Hallar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntosdel plano que se encuentran a 3 unidades del punto (0,0).Luego, representarlo gráficamente.

SOLUCION:

Paso 1. Sea P(x,y) un punto cualquiera del lugargeométrico planteado.

Paso 2. Para establecer la relación entre las variables X y Yde cada punto del lugar geométrico, se ha construido lafigura 2 en la cual OP mide 3 unidades y en el triangulorectángulo OMP, OM= X y MP= Y.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

Sean P(x1,Y1) y Q(X2,Y2) cualquier par de puntos del plano,sea d la longitud del segmento que une a P y Q. Si R es untercer punto cuyas coordenadas son (x2,y1) entonces, sedetermina el triangulo rectángulo PQR, con Angulo recto enR.

(Figura 3)

EJEMPLO.

PENDIENTE DE UNA RECTA.

Figura 4

(Figura 6)

ECUACION CANONICA.

La ecuación de la forma Y=mx+b es la denominadaecuación canónica o reducida de la recta cuya pendiente esm y cuyo intercepto con el eje Y es b.

Por ejemplo, Y=2x-5 es la ecuación canónica de la rectacon pendiente m=2, que corta al eje y en el punto (0,-5).

ECUACION GENERAL DE LA RECTA.

La ecuación de la Forma Ax+By+C=0 donde A B y C sonnúmeros reales, se llama ecuación general de la recta.

A partir de la ecuación canónica de una recta, es posibleobtener la ecuación general, y a partir de la ecuacióngeneral de la recta, es posible obtener la ecuacióncanónica.

EJEMPLO:

Expresar la ecuación y=3x-6 como ecuación general.

Solución:

Para obtener la ecuación general, en la expresión Y=3x-6se transpone los términos de las siguientes maneras:

y=3x-6, entonces -3x+y+6=0.

La anterior es la ecuación general de la recta en donde

A=-3, B=1, C=6.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

Dadas dos rectas en un mismo plano, se pueden presentarcuatro situaciones:

1. Las rectas son coincidentes,

2. Las rectas son secantes,

3. Las rectas son paralelas o

4. La rectas son perpendiculares.

RECTAS COINCIDENTES:

Figura 10

RECTAS SECANTES.

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un solo punto.

Así, las rectas y+7=0 y -3x+4y-2=0, son secantes pues secortan en el punto (-2,-1), el cual se ha determinadoresolviendo el sistema formado por las ecuaciones dadas.

Figura 11

ANGULO ENTRE DOS RECTAS SECANTES.

Si L1 y L2 no son paralelas, se cortan en un punto formando dos pares de ángulos opuestos por el vértice

Figura 12

RECTAS PARALELAS.

Son aquellas rectas que se encuentran en un mismoplano, presentan la misma pendiente y no presentanningún punto en común, eso significa que no se cruzan, nitocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones.Unos de los mas populares es el de la vía de un tren.

A partir de la formula para determinar el Angulo entre dosrectas secantes, es posible determinar si son paralelas.Pues, dos rectas son paralelas cuando sus pendientes soniguales.

Figura 13

RECTAS PERPENDICULARES.

Dos rectas que se encuentran en el mismo plano sonperpendiculares cuando forman cuatro ángulos rectos. En elcaso de las semirrectas, la perpendicularidad aparecencuando se conforman ángulos rectos, por lo general con elmismo punto de origen.

Los planos y semiplanos, por ultimo, son perpendicularesen lo0s casos en que se forman cuatro ángulos de diedrosde 90º

Figura 14