Los potenciales electromagnéticos whiteLos campos y las fuentes De las ecuaciones de Maxwell que...

Los potencialeselectromagnéticos

Tema 8Electromagnetismo

Los potenciales electromagnéticos

Los potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste.Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas.Campos de radiación.Radiación de sistemas sencillos: el dipolo eléctrico y el dipolo magnético.

Campos “estáticos”

Cargas en reposo

Corrientes estacionarias

Potenciales~B(~r) =

µ04π

Z ~J(~r0) × (~r − ~r0)d3~r0|~r − ~r0|3

~E(~r) =1

4πε0

Z Z ZV

ρ(~r0)(~r − ~r0)|~r − ~r0|3 d3~r0~∇ · ~E = ρ

ε0

~∇× ~B = µ0 ~J

~E = −~∇V ~B = ~∇× ~A

Campos variables en “t”

Ecuaciones de Maxwell en el vacío

De la ley de Faraday

~∇ · ~E = ρ

ε0

~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~B = µ0 ~J + µ0ε0

∂ ~E

∂t

~∇ ×Ã~E +

∂ ~A

∂t

!= 0~∇× ~E = − ∂

∂t~∇× ~A

~E = −~∇V − ∂ ~A

∂t

~∇ · ~B = 0

Los campos y las fuentesDe las ecuaciones de Maxwell que contienen lasfuentes podríamos hallar los campos directamente a partir de las fuentes. Esto es complicado

Se trata entonces de hallar unas ecuaciones que nospermitan la obtención de los potenciales a partir de las fuentes

~∇ · ~E = ρ

ε0~∇× ~B − µ0ε0

∂ ~E

∂t= µ0 ~J

Los potenciales y las fuentes

Sustituyendo en las ecuaciones 1 y 4

Obtenemos 4 ecuaciones diferencialesacopladas que nos permiten determinar lospotenciales a partir de las fuentes

∇2V + ∂

∂t(~∇ · ~A) = − ρ

ε0Ã∇2 ~A − 1

c2∂2 ~A

∂t2

!− ~∇

µ~∇ · ~A + 1

c2∂V

∂t

¶= −µ0 ~J

Transformaciones de contraste

Son aquellas transformaciones sobre los potenciales que dejaninvariantes los camposSabemos que el rotacional del gradiente es cero, luego si en vez del potencial utilizamos obtendremos el mismo campo magnético. Pero queremos obtener también el mismo campo eléctrico, luego la función ha de imponeralguna condición adicional sobre el potencial escalar:

~E = −~∇V 0 − ∂ ~A0

∂t= −~∇V 0 − ∂

∂t( ~A+ ~∇Λ) = −~∇

µV 0 +

∂Λ

∂t

¶+∂ ~A

∂t

V 0 = V − ∂Λ

∂t

~A0 = ~A+ ~∇Λ

~A0 = ~A+ ~∇Λ

~A

Λ(~r, t)

Transformaciones de contraste

Se trata de aplicar la incertidumbre en lospotenciales para simplificar las ecuacionesde los potenciales:

¿Podemos escoger ?

∇2V + ∂

∂t(~∇ · ~A) = − ρ

ε0Ã∇2 ~A − 1

c2∂2 ~A

∂t2

!− ~∇

µ~∇ · ~A + 1

c2∂V

∂t

¶= −µ0 ~J

~∇ · ~A = − 1c2∂V

∂t

~∇ · ~A = 0

Contraste de Coulomb

Sea un potencial vector con divergencia no nula,

Sea la función solución de la ecuación de PoissonEl nuevo potencial cumplirá

Λ

∇2Λ = −F

~A0 = ~A + ~∇Λ

~∇ · ~A0 = ~∇ · ~A+∇2Λ = F − F = 0

~∇ · ~A = F (~r, t)

Contraste de Coulomb

Las ecuaciones se simplifican a

La primera ecuación es la “ecuación de Poisson”, cuya solución es:

Ã∇2 ~A − 1

c2∂2 ~A

∂t2

!− ~∇

µ1

c2∂V

∂t

¶= −µ0 ~J

V (~r, t) =1

4πε0

Zρ(~r0, t)

|~r − ~r0|d3~r0

∇2V = − ρ

ε0

¡Problema de la simultaneidad!

Contraste de CoulombReescribamos la ecuación 2 como

Escribamos la corriente en dos componentes,

Hallando la derivada temporal de la ecuación de Poisson,

∇2 ~A − 1

c2∂2 ~A

∂t2= −µ0 ~J +

1

c2~∇µ∂V

∂t

¶~J = ~Jt + ~Jl ~∇× ~Jl = 0~∇ · ~Jt = 0

∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= −µ0 ~J + µ0 ~Jl = −µ0 ~Jt

∂

∂t∇2V = − 1

ε0

∂ρ

∂t=1

ε0~∇ · ~Jl

Contraste de Lorentz

Supongamos queVeamos qué función necesitamos paraque dicha suma sea cero. Tomandoobtenemos

~∇ · ~A+ 1

c2∂V

∂t= F (~r, t)

~∇ · ~A0 + 1

c2∂V 0

∂t= ~∇ · ~A+ 1

c2∂V

∂t+∇2Λ− 1

c2∂2Λ

∂t2

Λ

~A0 = ~A+ ~∇Λ V 0 = V − ∂Λ

∂t

∇2Λ − 1

c2∂2Λ

∂t2= −F

Contraste de Lorentz

Tomando por tanto

Se obtienen 4 ecuaciones de ondadesacopladas para los potenciales

∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= −µ0 ~J ∇2V − 1

c2∂2V

∂t2= − ρ

ε0

~∇ · ~A + 1

c2∂V

∂t= 0

Potenciales retardadosEn el caso estático las ecuaciones en el contraste de Lorentzse reducen a ecuaciones de Poisson, cuya solución ya conocemos:

conCuando los tiempos varían con el tiempo, la generalización natural es tomar:A

~A(~r) =µ04π

Z ~J(~r0)R

d3~r0V (~r) =1

4πε0

Zρ(~r0)R

d3~r0

V (~r, t) =1

4πε0

Zρ(~r0, t0)R

d3~r0 ~A(~r, t) =µ04π

Z ~J(~r0, t0)R

d3~r0

t0 = t− Rc

R = |~R| = |~r − ~r0|

tiempo retardado

Si son soluciones deben de cumplir la ecuación de ondas inhomogenea. El gradiente del potencial es

La densidad depende de la posición a través del tiempo retardado

luego el gradiente del potencial es

~∇V = 1

4πε0

Z ∙1

R~∇ρ+ ρ~∇ 1

R

¸d3~r0

~∇V = 1

4πε0

Z "− ρc

~R

R2− ρ

~R

R3

#d3~r0

~∇ρ = ρ~∇t0 = −1cρ~∇R = −1

cρ~R

R

Potenciales retardados


La laplaciana es la divergencia del gradiente:

Nuevamente, hay que derivar a través del tiempo retardado:

∇2V = 1

4πε0

Z (−1c

"~R

R2~∇ρ+ ρ~∇

Ã~R

R2

!#−"~R

R3~∇ρ+ ρ~∇

Ã~R

R3

!#)d3~r0

~∇ρ = −1cρ~∇R = −1

cρ~R

R

La laplaciana del potencial es por tanto:

luego las soluciones para los potenciales son, efectivamente

Se denominan potenciales retardados ya que se calculan en el tiempo retardado

∇2V = 1

4πε0

Z ∙1

c2ρ

R− 4πδ(~R)

¸d3~r0 =

1

c2∂2V

∂t2− 1

ε0ρ(~r, t)

V (~r, t) =1

4πε0

Zρ(~r0, t0)R

d3~r0 ~A(~r, t) =µ04π

Z ~J(~r0, t0)R

d3~r0


t0 = t−R/c

Ejemplo: Un hilo infinito transporta una corriente

Hallar los campos eléctrico y magnético.

I(t) =

½0, si t ≤ 0,I0 si t > 0

Elegimos el hilo sobre el eje z de forma que, por simetría, sólo hay componente z del potencial vector

cuando se establece la corriente, obviamente, se establece en todo el hilo. Un tiempo r/c posterior, el punto campo “recibe” esa información.Dado un tiempo t finito, el punto campo no tiene información de la existencia de corriente para un valor de dado quela luz tarda en llegar al punto campo un tiempo

A(r, t) =µ04π

Z +∞

−∞

I(z0, t0)pr2 + z02

dz0

|z0| >pc2t2 − r2t =

pr2 + z02/c

A(r, t) =µ0I04π

2

Z √c2t2−r20

dz0pr2 + z02

~A(r, t) =µ0I02π

ln

"ct+

√c2t2 − r2r

#~uz

El campo eléctrico es

y el magnético,

Cuando t tiende a infinito la corriente será estacionaria y recuperamos

el resultado conocido, E=0 y

~E(r, t) = −∂~A

∂t= − µ0I0c

2π√c2t2 − r2

~uz

~B(r, t) = ~∇× ~A = −∂Az∂r

~uφ =µ0I02πr

ct√c2t2 − r2

~uφ

~B(r, t) =µ0I02πr

~uφ

De los potenciales retardados podemos derivar los campos

El gradiente del potencial escalar ya lo habíamos derivado

y la derivada temporal del potencial vector es inmediata, luego el campo eléctrico es

V (~r, t) =1

4πε0

Zρ(~r0, t0)R

d3~r0 ~A(~r, t) =µ04π

Z ~J(~r0, t0)

Rd3~r0

~∇V = 1

4πε0

Z "− ρc

~R

R2− ρ

~R

R3

#d3~r0

~E(~r, t) =1

4πε0

Z "ρ

c

~R

R2+ ρ

~R

R3− 1

c2

~J(~r0, t0)R

#d3~r0

El campo eléctrico

El campo magnético

El campo magnético es simplemente

~B(~r, t) =µ04π

Z "~J(~r0, t0)R2

+~J(~r0, t0)cR

#× ~uRd3~r0

~B(~r, t) = ~∇× ~A(~r, t) =µ04π

Z "~∇× ~J(~r0, t0)

R+ ~∇

µ1

R

¶× ~J(~r0, t0)

#d3~r0

∂Jy∂x

=∂Jy∂t0

∂t0

∂x= Jy

∂

∂x

∙t− 1

c

p(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

¸= −Jy

x− x0cR

~∇× ~J

R=~J × ~uRcR

~∇R−1 = −~R

R3= −~uR

R2

~∇R−1 × ~J =~J × ~uRR2

Ecuaciones de Jefimenko

Campos cercanos, campos intermedios, campos lejanos

~B(~r, t) =µ04π

Z "~J(~r0, t0)R2

+~J(~r0, t0)cR

#× ~uRd3~r0

~E(~r, t) =1

4πε0

Z "ρ(~r0, t0)R2

~uR +ρ(~r0, t0)cR

~uR −~J(~r0, t0)c2R

#d3~r0

¿Son correctos los potenciales?

Estamos diciendo que para una descripción correcta hay que tener el cuenta la velocidad finita de la luz (i.e. el punto campo “recibe” información del cambio en el punto fuente con un cierto retraso). Luego nuestras soluciones no son correctas. ¿Cuál es la forma correcta de proceder? Si la carga se desplaza, hemos de utilizar el radiovector que nos indica el desplazamiento de la carga calculado en el tiempo retardado

ρ(~r0, t0) = qδ(~r0 − ~rq(t0)) = qδ(~r0 − ~rq(t − |~r − ~r0|/c))

Potenciales de una carga

El potencial escalar queda

conTomando

V (~r, t) =q

4πε0R

1

1− ~vq · ~uR/c

~A(~r, t) =µ04π

q~vq(t0)

R

1

1 − ~vq · ~uR/c

~R = ~r − ~rq(t0)~J(~r0, t0) = qρ(~r0, t0)~vq(t

0)

R (1− ~vq · ~uR/c) = R − ~vq · ~R/c~R = ~r − ~rq(t0)

~rq(t0) = ~v0t

0 = ~v0

µt− |~r − ~rq(t

0)|c

¶

Ejercicio: Hallar los potenciales electromagnéticosde una carga puntual en movimiento uniforme

En el denominador de ambos potenciales aparece el factor

siendo

Si la velocidad del electrón es constante,

Desafortunadamente esto es una ecuación implícita de no fácil solución. Veamos cómo despejar t’ en función de t. De la definición de t’

R = |~r − ~v0t0| = c(t− t0)Elevando al cuadrado,

r2 − 2~r · ~v0t0 + v20t02= c2(t2 − 2tt0 + r02)

Esto nos permite escribir el tiempo retardado en término de cantidades conocidas, como la velocidad de la partícula, el tiempo y el vector posición que determina el “punto campo”

Si la velocidad de la partícula es cero (o muy pequeña), tendremos

El signo menos se corresponde con el tiempo retardado con el más con el avanzado, luego el correcto es el menos. Dado que y su módulo

(c2 − v20)t02 − 2(c2t− ~r · ~v0)t0 + c2t2 − r2 = 0

t0 =t− ~v0 · ~r/c2 ±

p(t− ~v0 · ~r/c2)2 − (1− v20/c2)(t2 − r2/c2)

1− v20/c2

t0 = t±pt2 − t2 + r2/c2 = t± r

c

~R = ~r − ~v0t0R = c(t− t0)

~uR =~r − ~v0t0c(t− t0)

R − ~R~v0c= c(t− t0) − (~r − ~v0t

0)~v0c

= c

∙t − ~r · ~v0

c2− t0

µ1 − v

20

c2

¶¸

Sustituyendo el tiempo retardado,

donde hemos utilizado la notación

La expresión final para los potenciales es

Podemos simplificar esta expresión suponiendo que el electrón se mueve en la dirección z (o a lo largo de cualquier eje coordenado)

R− ~R~v0c=p(t− ~v0 · ~r/c2)2 − (t2 − r2/c2)/γ2

V (~r, t) =1

4πε0

γq/cpγ2(t− ~v0 · ~r/c2)2 − (t2 − r2/c2)

~A(~r, t) =µ04π

γq~v0/cpγ2(t− ~v0 · ~r/c2)2 − (t2 − r2/c2)

γ2µt2 − 2v0zt

c2+v20z

2

c4

¶− t2 + x

2 + y2 + z2

c2

γ2µt2 − 2v0zt

c2+v20z

2

c4− t2 + t

2v20c2

+ z2 − v20z2

c4

¶+x2 + y2

c2

γ = 1/q1− v20/c2

γ2µ−2v0zt

c2+t2v20c2

+z2

c2−¶+x2 + y2

c2=x2 + y2 + γ2(z − v0t)2

c2

La expresión simplificada para los potenciales es

Es posible llegar a la misma expresión a partir una transformación relativista del cuadrivector potencial desde un cierto sistema S’ en el cual la carga q esté en reposo a otro sistema en el que la carga se desplaza con velocidad uniforme . En el sistema S’ los potenciales serán el de una carga q en reposo:

Aµ = (V/c, ~A)

~v0 = v0~uz

V 0 =1

4πε0

q

r0~A0 = 0

~A(~r, t) =µ04π

γq~v0px2 + y2 + γ2(z − v0t)2

V (~r, t) =1

4πε0

γqpx2 + y2 + γ2(z − v0t)2

Ejercicio: Determinar los campos eléctrico y magnéticode una carga puntual en movimiento uniforme

De las expresiones generales de los potenciales de una carga puntual:

Los campos se determinan a partir de las relaciones

V (~r, t) =q

4πε0R

1

1− ~vq · ~uR/c

~A(~r, t) =µ04π

q~vq(t0)

R

1

1 − ~vq · ~uR/c

~E = −~∇V − ∂ ~A

∂t= − ~∇V

¯t0− ∂V

∂t0~∇t0 − ∂ ~A

∂t0∂t0

∂t

~B = ~∇× ~A = ~∇× ~A¯t0+ ~∇t0 × ~A

Realizando todas las derivadas de forma cuidadosa,* se obtiene la siguiente expresión para los campos:

Para cargas no relativistas, los campos de radiación son

De estos campos se obtiene la expresión para la potencia radiada deducida por Larmor en 1897 (lo veremos en el 2º parcial):

*Sección 10.3.7 (pp. 294 a 298) del Vanderlinde. En el Jackson, cap. 14, se trata en forma covariante con un cálculo menos laborioso.

~B(~r, t) = ~uR × ~E(~r, t)/c

~E(~r, t) =q

4πε0R2(~uR − ~v/c)(1− v2/c2)

(1− ~uR · ~v/c)3+

q

4πε0R

~uR × [(~uR − ~v/c)× ~a](1− ~uR · ~v/c)3

~Erad =q~uR × (~uR × ~a)

4πε0r

~Brad =−µ0q~uR × ~a

4πcr

P =1

4πε0

2q2a2

3c3

Radiación de un dipolo eléctrico

Al tratar un sistema de cargas y corrientes “localizadas” que varían con el tiempo, podemos analizar sin pérdida de generalidad sus componentes de Fourier. Escribamos

Sustituyendo en la expresión de los potenciales

ρ(~r0, t) = ρω(~r0)e−iωt ~J(~r0, t) = ~Jω(~r

0)e−iωt

Vω(~r)e−iωt =

1

4πε0

Zρω(~r

0)e−iω(t−|~r−~r0|/c)d3~r0

|~r − ~r0|

~Aω(~r)e−iωt =

µ04π

Z ~Jω(~r0)e−iω(t−|~r−~r

0|/c)d3~r0

|~r − ~r0|

En general, estas integrales son intratables. El problema se “divide” en tres regiones de interes:•En la “zona cercana”, (o ), .•En la “zona lejana” (radiación), y , por lo que el denominador se toma independiente de la variable de integración•En la “zona intermedia”, r, r’ y λ son todos del mismo orden.La radiación dipolar eléctrica es el término de radiación más sencillo, en la que el potencial vector vale

A partir de la ecuación de continuidad podemos escribir esta integral en términos del momento dipolar. Teniendo en cuenta que

el potencial vector es:

El potencial escalar puede obtenerse de forma trivial de la condición de Lorentz:

k|~r − ~r0| ¿ 1 |~r − ~r0| ¿ λ eik|~r−~r0| ≈ 1

r À r0 r À λ

~Aω(~r) =µ04π

eikr

r

Z~Jω(~r

0)d3~r0

~∇ · (x ~J) = Jx + x~∇ · ~J = Jx + iωxρ ~J = ~∇ · (~r ~J)− iω~rρ

~Aω(~r) =−iωµ04π

eikr

r~p

Vω =−ik4πε0

eikr

r~ur · ~p

Si queremos mantener la dependencia en r (i.e. los términos de radiación) sólo podemos derivar la exponencial. Luego

El campo eléctrico lo podemos hallar a partir de los potenciales:

Podemos comprobar que se cumple

~B = ~∇× ~A =µ04π

ω2

c

eikr

r~ur × ~p

−∂~A

∂t= iω ~A =

µ04π

ω2eikr

r~p−~∇V = −µ0

4πω2eikr

r(~ur · ~p)~ur

~E = −µ04π

ω2eikr

r[(~ur · ~p)~ur − ~p] = −

µ04π

ω2eikr

r~ur × (~ur × ~p)

~E = −c~ur × ~B

Campos de un dipolo oscilante

Si nuestro dipolo oscila en la dirección z, el campo magnético tiene componente φ y el campo eléctrico componente θ, conforme la figura:

La potencia media (segundo parcial) es proporcional al producto de los campos:

dPmediadΩ

=p20ω

4

32π2ε0c3sin2 θ

~B = −µ04π

ω2

c

eikr

rp0 sin θ~uφ

~E = −µ04π

ω2eikr

rp0 sin θ~uθ

~E = c ~B × ~ur

La fuerza de Lorentz y el momentocanónico

La fuerza de Lorentz es

En función de los potenciales,

d~p

dt= q( ~E + ~v × ~B)

d~p

dt= q

"−~∇V − ∂ ~A

∂t+ ~v × (~∇× ~A)

#

~∇(~v · ~A) = (~v · ~∇) ~A+ ( ~A · ~∇)~v + ~A× ~∇× ~v + ~v × ~∇× ~A

~v × ~∇× ~A = ~∇(~v · ~A)− (~v · ~∇) ~A

d~p

dt= q

∙−~∇V − ∂A

∂t+ ~∇(~v · ~A)− (~v · ~∇) ~A

¸

d

dt(~p+ q ~A) = −~∇(qV − q~v · ~A)

De la relación vectorial

y dado que la velocidad no depende de la posición

La fuerza de Lorentz es, en función de los potenciales:

Reagrupando,

Luego es el momento canónico. Es la forma de introducir un campo electromagnético en Mecánica Cuántica

~P = ~p+ q ~A

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