Los Pitufos

En el tema de hoy…

Tontín y la trigonometrí

a

¡Hola, soy Tontín, hace algunos días encontré un libro de genio, éste decía “trigonometría”. Ese libro me trajo muchas dificultades, dificultades que logre superar. Te contaré como lo hice…

¡Iba caminando por la aldea pitufa cuando torpemente tropecé con un libro, el titulo de éste decía “Trigonometría para principiantes” además de este complicado titulo para mi, tenia un aspecto gracioso, así que comencé a hojearlo, mas no entendí nada!

¡Como papá pitufo dice: -“cuando te encuentres algo, no te lo dejes, sino busca diligentemente a su dueño y entrégaselo”, como no sabia cómo y dónde empezar, acudí raudamente donde papá pitufo y recibí como respuesta lo siguiente:

¡Tontín, lo mas seguro es que este libro le pertenezca a Genio! ¿quieres saber de qué trata tu hallazgo?

Trata sobre una rama de las matemáticas que explica las relaciones que tienen los ángulos y los lados de un triángulo. A ésta rama le llamamos Trigonometría!

¡Al aceptar la siempre elocuente enseñanza de gran papá, no recibí más que multitudes de nuevas dudas, por eso papá pitufo me aconsejo ir donde el dueño del libro para disipar estos inquietantes vacios!

Mientras caminaba al taller de genio pensaba:

Trigonometría es:

Tontín, gracias por encontrar mi libro, con gusto te enseñaré lo que éste quiere comunicar. En esta ilustración veremos la trigonometría, sus propiedades y aplicaciones. Ahora amarra tus cordones y lava tu rostro porque para aprender necesitas mucha concentración.

Fui capaz de aprender, gracias a genio, la trigonometría, y ahora quiero traspasarte éste conocimiento. ¿Aceptas?

Si ó No

¡En cada una de estas hojas te graficare lo que aprendí en clases!

c

a

b

Esta figura es un triangulo rectángulo, es decir, uno de sus tres ángulos interiores mide 90° (ángulo recto). Como ves representa un ángulo y las letras a, b y c representa los lados de éste triángulo. La relación que existe entre el ángulo y los lados de esta figura es la esencia de la trigonometría.También:a = cateto adyacente o inmediato ab = cateto opuesto a c = hipotenusa

Ahora…

De este triángulo podemos sacar las siguientes relaciones o funciones trigonométricas:

sen, cos, tg, cosec, sec y cotg son las abreviaturas de seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente respectivamente. Estas expresiones representan las relaciones entre los lados del triángulo en función del ángulo , a esas relaciones se le da un nombre donde su sufijo es el ángulo; por ejemplo: la relación entre el cateto opuesto partido por la hipotenusa es seno alfa (sen ).

hipotenusa

cateto adyacente

cateto opuesto

hipotenusa

adyacentecateto cos

hipotenusa

opuestocatetosen

adyacentecateto

opuestocatetotg

opuestocateto

hipotenusaec

cos

adyacentecateto

hipotenusa

sec

opuestocateto

adyacentecatetog cot

Mira…

Es importante que te aprendas estas funciones trigonométricas ó relaciones de memoria, porque tendrás que aplicarlos en una propiedad importantísima de la trigonometría, las identidades, aquí deberás expresarlos continuamente.

También puedes expresar algunas funciones de esta manera…

senecco

1s

cos

1sec

cos

sentg

sentgg

cos1cot

Nótese que seno y coseno son funciones de cosecante, secante, cotangente y tangente, a esto llamamos identidades (igualdades) donde tenemos una expresión en función de otra expresión. No tienen identidades seno y coseno pero si el cociente de estos ó cada uno (sen y cos) dividiendo al 1

Tenemos también una identidad que llamamos fundamental. Ésta es:

donde también…

1cos22 sen 22 cos-1sen

22 en-1cos s

22 sec1 tg 1tg-sec 22 y

Todas éstas son identidades trigonométricas y pueden ser aplicables en determinados ejercicios.A continuación te demostraré un ejercicio de identidad:

1coscos ectg

Primero sé que y reemplazando queda

ahora se eliminan variables que se repitan arriba o abajo y viceversa, y en diagonal en ambos sentidos. Así:

El resultado es ósea existe una igualdad o identidad.

Al final Genio te propondrá otras identidades que deberás demostrar.

cos

sentg

senecco

1s 1

1

1

cos

cos

sen

sen

11

1

cos

cos

sen

sen

11

Sigamos…

¡Hey! También es importante señalar que existen relaciones entre funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. A estas relaciones llamamos cofunciones, éstas son:

hipotenusa (c)

cateto (a)

cateto (b)

Una cofunción se cumple cuando los ángulos y suman 90°.

Donde:

1.- 2.- 3.-

c

a

c

a

sen

cos

a

c

a

c

ec

seccos

b

a

b

a

gtg

cot

A los ángulos…

que se forman en la vida cotidiana, (esto es, por ejemplo: una escalera apoyada en su parte superior en un poste pitufo) reciben el nombre de ángulo de depresión y ángulo de elevación .

Ángulo de elevación

Ángulo de depresión

Ángulo de depresión: este ángulo se forma entre la recta horizontal (nivel del suelo) y la recta de visión que este hacia arriba del observador (línea diagonal formada por la escalera y que llega hasta el poste).Ángulo de elevación: este ángulo se forma entre la recta horizontal (línea punteada) y la recta de visión que este hacia abajo del observador ( línea diagonal formada por la escalera y que llega hasta el nivel del suelo).

Por ultimo…

Es imprescindible que aprendas también las funciones trigonométricas de los ángulos 45°, 30°, 60° y 90°.Estas funciones, como toda función trigonométrica, es invariable, es decir, siempre es la misma y son muy requeridas en los problemas de trigonometría, esto es problemas cotidianos e identidades.

Las funciones trigonométricas para 45° nace en un triángulo rectángulo isósceles (triángulo que posee dos lados iguales y uno distinto).

45°

45°

1

1 √2

De este triángulo se extraen las siguientes cofunciones de 45°:

2

2

2

145cos45 sen

145cot45 gtg

245cos45sec ec

La funciones trigonométricas de 30° y 60° nacen de un triángulo equilátero: figura que tiene todos sus lados iguales

60°60°

30°30°

11

22√3

De este triángulo se extraen las siguientes funciones de 30° y 60°:

2

160cos30 sen

2

36030cos sen

3

360cot30 gtg

36030cot gtg

260sec30cos ec

3

3260cos30 ececs

Seguir…

En la siguiente tabla se resumen las funciones trigonométricas de 30°, 45°, 60° y 90°:

Relación trigonomét

rica

30° 45° 60° 90°

Seno (sen)

Coseno (cos)

Tangente (tg) -

Cosecante (cosec) -

Secante (sec) -

Cotangente (cotg) -

2

1

2

1

2

3

2

3

3

3

3

3

2

23

32

3

32

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

0

Seguir…

Nota: existen formas de determinar las funciones trigonométricas de otros ángulos. La forma que aprendí se basa en las funciones trigonométricas de los ángulos estudiados.Así es:Ejemplo: Determinar la función trigonométrica de .

Primero: la función trigonométrica mas cercana es , ahora para convertir sen30° a sen17° se hace lo siguiente:

Aquí se dividió toda la ecuación en 30 (se divide el lado derecho e izquierdo de la igualdad por 30).Al realizar la operación que así: luego se multiplica toda la ecuación por el

número de grados deseado, ósea 17: .

La ecuación queda así: .

Si sacas con calculadora científica, aprox.

Según nuestra ecuación: aprox. Existe 0.009 de diferencia entre el valor dado por la calculadora científica y nuestra ecuación. Los valores no son idénticas pero al trabajar con nuestra ecuación en un problema, se acepta debido a su proximidad a las medidas reales (que cabe notar que también son aproximaciones).

17sen

2

130 sen

30/2

130 sen

60

11 sen

17/60

11 sen

60

1717 sen

292.017 sen

283,060

17

¿Cuál es el método para saber el valor de otros ángulos?...

El mismo, para averiguar el valor de otros ángulo se ocupa el mismo método:

1.-Se establece la función trigonométrica más cercana al ángulo a determinar.2.- Se divide la función trigonométrica conocida (30°, 45°, 60° o 90°) por el valor numérico del ángulo (30, 45, 60 o 90).3.- Ahora se multiplica toda la ecuación resultante por el ángulo en cifras deseado ( por ejemplo: cos42° ,cifras:42).4. Si se tiene dudas con la función trigonométrica obtenida, puedes compararla con el valor de la función trigonométrica en análisis mediante una calculadora científica y el valor en cifras de la función que acabas de obtener debido al método descrito. Si la diferencia entre ambos es mínima (esto es: igual o menor a 0,1) puedes ocuparla en un problema que te exija averiguar el valor del ángulo que acabas de obtener.

Otro ejemplo: Determinar

La función trigonométricas mas cercana es ahora dividiendo toda la ecuación por 60 se obtiene

Ahora multiplicamos toda la ecuación por 74, quedando así:

Ahora si comparo el valor de sen74° arrojado por una calculadora científica y el desarrollo de nuestra ecuación. La comparación es la siguiente: donde la diferencia entre ambos es 0,007 por lo tanto la ecuación obtenida puede ser ocupada en un problema de similares características.

74sen

2

360 sen

120

31 sen

60

33774 sen

107,1

Seguir…

Ojo: cuando te pidan el valor del coseno de algún ángulo, primero sácale su seno, y luego construyendo un triángulo rectángulo posiciona los valores resultantes, acuérdate, seno = cateto opuesto/hipotenusa , ahora según Pitágoras ( esto es: la suma de los catetos al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa), el objetivo es saber el valor del lado de triángulo continúo al ángulo (lado adyacente), reemplazando valores en la ecuación de Pitágoras y finalmente obteniendo el ángulo adyacente, lo divides por la hipotenusa, dejándolo expresado como razón, y tienes el coseno del ángulo pedido en el problema. *Si la función trigonométricas mas cercano al ángulo a determinar es sen45°, basta con saber el valor de su seno, porque sen45° y cos45° son cofunciones, vale decir, valen lo mismo.

Por ejemplo: Determinar

Ahora , la función trigonométrica mas cercana es sabemos que el sen1° en esta ecuación es ,ahora multiplicamos por 63 y

tenemos que donde comparando valores dados por calculadora científica y el desarrollo de la ecuación de este seno resulta:

Ahora sabiendo sen63° , construimos un triángulo rectángulo posicionando los valores de éste (seno de 63°). Así:

63cos

63sen 2

360 sen

120

3

40

32163 sen

11

Triángulo rectángulo ABC

Según Pitágoras: reemplazando valores, la ecuación queda

establecida así: desarrollando, x, en esta ecuación, adopta

el valor de . Por lo tanto coseno de 63° (cateto adyacente/hipotenusa) es

63°A B

C

(c) 32140

x (a)

(b) 40

32163 sen

222 bac

222 32140 x

277

40

277

Sigue…

Podemos realizar una tabla donde establezcamos el sen1° de los ángulos 30°, 45°, 60 y 90°

Así quedaría:

Recuerda: solo basta multiplicar la expresión por el valor en cifras del ángulo a determinar, y ya esta, tienes la función trigonométrica requerida.

30° 45° 60° 90°

1sen60

1

90

2

120

3

90

1

Es todo esto lo que he aprendido de la trigonometría, si no fuera por otros amigos no hubiese podido solo; siempre es bueno preguntar, como dice Papá Pitufo: -” Si no sabes algo, no pierdas el tiempo respondiéndote, si no ve a buscar ayuda”.Yo he podido aprender, ¿Por qué no tú? Sí perseveras, el destino que creías cierto se esfumara.¡Hey! A continuación Genio, Papá Pitufo y yo te propondremos una serie de ejercicios de trigonometría que no dudamos que podrás responder.¡Ahora a trabajar!

I ítem: identidades trigonométricasEjemplo: Demostrar la siguiente identidad.-

Primero siempre es recomendable comenzar por el miembro de la ecuación (lado derecho o izquierdo de la igual [=]) mas grande, ósea el miembro derecho:

Con esta expresión vamos a trabajar: multiplicamos todos

los valores (propiedad distributiva) quedándonos así:

,

Ahora simplificando términos semejante la expresión queda así:

La expresión resultante ósea

Entonces existe igualdad:

¿Por qué ? Debido que la identidad fundamental lo dicta:

Identidad fundamental: donde:

y ¿Recordáis?

2cos)1()1( sensen

)1()1( sensen

221 sensensen

21 sen

22 cos1 sen

22 coscos a

22 cos1 sen

1cos22 sen

22 cos-1sen 22 en-1cos s

I ítem: identidades trigonométricasDemostrar las siguientes identidades:

1.- 8.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

222 1cos)cos1(2 sen

seng

cot

cos

0

sensen

tg

1sec

cos

cos

ec

sen

sen

gtg

cot

sec

ecgtg cosseccot

seccos sentg

3)cos1(cos

1

sen

sentg

II Ítem: ejerciciosResuelve los siguientes ejercicios de trigonometría:

1.- Sin ocupar calculadora resuelve:

2.- El valor de es:

a. b. c. d. e.

3.- Sin ocupar calculadora resuelve:

4.- Si , entonces ¿cuál es el valor de ?

a. b. c. d. e.

5.- El valor de es:

a. b. c. d. e.

6.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?I. II. III.

a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III d. Sólo I y II e. Sólo II y III

90cos3045cos60 2 tgsen

tg

sentg cos

cos1 sen1 1tg 2cos 2sen

60cos4530 22 sentg

3sec 2cos

33

19

19

3

3

))(coscos6()3)(2( sensen

1 6 12 cos75 sen cos66 sen

sec

1sen

g

tgcot

1

cos

sentg

III Ítem: Problemas cotidianosResuelve los siguientes problemas de trigonometría:1.- En el triángulo ABC de la figura, ¿cuál es el valor del ángulo ABC?

a. 45° b. 30° c. 60° d. 50° e. 40°

2.- Una escalera de 32 metros de largo es apoyada contra una pared vertical, formando un ángulo de 30° con la pared. ¿A qué altura de la pared está el punto de apoyo?

a. 16 b. c. d. e.

3.- ¿Cuál es el valor de x en el triángulo de la figura?

a. b. 2 c. d. e.

A

B

C

510

316 332 38 216

45°

45°

√2x 3

2

23

3

2522

Más ejercicios…

4.- Desde un punto P situado a nivel del suelo, el ángulo de elevación a la parte más alta de un poste es de 30° Si la distancia entre el punto P y la base del poste es de 10 √3 metros, determina la altura del poste.

a. 15 metros b. 20 metros c. 10 metros d. 10 √3 metros e. 20 √3 metros

5.- ¿Cuál es la sombra que proyecta un hombre que mide 1,93 si el sol forma un ángulo de elevación de 30º ?

a. √3 metros b. 3 metros c. 3√3 metros d. 1,93 metros e. 1.93√3 metros

6.- ¿Cuál es la altura de un puente que cruza un río de 35 m de ancho, si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo, pero del lado opuesto con un ángulo de depresión de 15º ?

a. b. c. d. e.

metros3

335metros

3

37metros

3

35metros

3

370metros

3

35,17

Más ejercicios…

7.- Según la información dada en la figura, CD mide:

a. 1 b. 1,5 c. 2 d. e.

8.- Un hombre observa un poste, la línea recta entre el cráneo del hombre al poste y la línea de visión forma un ángulo de 72°. El modulo de la línea diagonal que separa la cabeza del hombre y la cúspide del poste es de 15 metros. Sabiéndose que el hombre mide 1.75 determine la altura del poste.

Cifras (aprox.):

a. 15,57 metros b. 17,32 metros c. 12,69 metros d. 14,44 metros e. 15.005 metros

60°

√3

A BD

C

32

3

72°

15 m

Ir a solucionario…

23,25

73,13

41,12

SolucionarioII Ítem: ejercicios

1.- 12.- e3.- 1/34.- b5.- b6.- e

III Ítem: problemas cotidianos

1.- c 2.- b3.- b4.- c5.- a6.- a7.- b8.- b

Seguir…

Al finalizar este capitulo os deseo la mejor de las bienaventuranzas y recuerda: nunca digas imposible si no lo has intentado, mejor caer derrotado y levantarse que quedar lamentándose.

Ahora…

Este es el FIN

Agradecimientos

¡Tú te lo pierdes!

¿Cambiaste de opinión…?

Web: puntajenacional.cl (Preuniversitario online). “Guía de materia Matemáticas Trigonometría” y “Guía de

ejercicios Trigonometría”.

Web: sectormatematica.cl/preuniv (Preuniversitario sector matemática).

Clase 27: “Trigonometría”. Webmaster: Danny Perich Campana

Web: youtube.com/user/dannyperich (canal de dannyperich).

Videos: “Identidades Trigonométricas N” N = del 01 al 07

Documento PDF: “Prueba de matemáticas Trigonometría”.

Establecimiento: Liceo Lucila Godoy Alcayaga – Traiguén. Unidad: Más sobre triángulos rectángulos. Profesor: Marco Ávila

y al…

Dibujante belga Pierre Culliford alias Peyo y los directores de Hanna-Barbera: William Hanna y Joseph Barbera, gracias por crear y dar a conocer a “LOS PITUFOS”.