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Los numeros reales 1

OBJETIVOS PARTICULARES.Al terminar este capıtulo, el alumno debe ser capaz de:

• Identificar numeros naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.

• Conocer propiedades algebraicas y de orden (basicas) de los numeros reales.

• Comprender la notacion de Intervalos.

• Aplicar propiedades algebraicas y de orden (basicas) de los numeros reales, en la resolucion de desigualdades.

• Comprender la definicion del valor absoluto de un numero real.

• Aplicar propiedades basicas del valor absoluto de un numero real, en la resolucion de desigualdades.

• Resolver desigualdades de los tipos siguientes:

ax + b ≥ 0; ax + b ≥ cx + d & a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3;

|ax + b | ≤ M & |ax + b | ≥ M , con M > 0;ax + b

cx + d≥ 0 &

ax + b

cx + d≥ k;

ax2 + bx + c ≥ 0 & a1x2 + b1x + c1 ≥ a2x

2 + b2x + c2, con a1 6= a2

(y las correspondientes para >, < y ≤)

CONTENIDO.En este capıtulo encontraras:Un resumen sobre conjuntos de numeros en la recta numerica o recta real.Un resumen de la teorıa asociada al valor absoluto de un numero real.Un compendio de propiedades algebraicas, de orden y del valor absoluto, que son necesarias para resolver desigual-dades.Ejercicios resueltos sobre tipos diferentes de desigualdades, haciendo enfasis en desigualdades de los tipos siguientes:

ax + b ≥ 0; ax + b ≥ cx + d & a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3;

|ax + b | ≤ M & |ax + b | ≥ M , con M > 0;ax + b

cx + d≥ 0 &

ax + b

cx + d≥ k;

ax2 + bx + c ≥ 0 & a1x2 + b1x + c1 ≥ a2x

2 + b2x + c2, con a1 6= a2

(y las correspondientes para >, < y ≤)

Ejercicios resueltos sobre problemas que requieren de la aplicacion de desigualdades.Propuestas de autoevaluaciones (con sus respectivas soluciones).

1

2 Calculo Diferencial e Integral I

1.1 Introduccion

Los numeros reales R estan constituidos por:

Los numeros naturales o enteros positivos N:

N = {1, 2, 3, . . ., n, n + 1, . . .}

que son una parte de los numeros enteros Z:

Z = {. . . ,−(n + 1),−n, . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . ., n, n + 1, . . .}

que son una parte de los numeros racionales Q:

Q ={

p

q

∣∣ p ∈ Z & q ∈ N}

={ m

n

∣∣ m & n ∈ Z, n 6= 0}

(Esta ultima expresion se lee: Q es igual al conjunto de los numeros de la formam

ntales que m & n 6= 0 son enteros).

Usando la notacion decimal, todo numero racional se puede escribir como una expresion decimal periodica, porejemplo:

13

= 0.333 · · · = 0.3;12

= 0.50,17

= 0.142857Otros numeros reales son los irracionales I , que son aquellos cuyas expresiones decimales son no periodicas , comopor ejemplo:√

2 = 1.414213562 . . .; π = 3.141592653589 . . . ; e = 2.718281828 . . .Los numeros racionales Q y los irracionales I constituyen los numeros reales:

R = Q ∪ I

1.2 Representacion de los numeros reales

A los numeros reales se les suele representar en un eje, es decir, en una recta en la cual hay un punto fijo llamadoorigen 0, una unidad de longitud convencional y un sentido. A cada numero real positivo r le hacemos corresponderel punto P cuya distancia al origen es dicho numero r. Al real negativo −r le hacemos corresponder el punto P quees el simetrico de P con respecto al origen.A todo punto de la recta le corresponde un numero real y a dos numeros reales diferentes les corresponden dos puntosdistintos.Por esta correspondencia biunıvoca entre los numeros reales y los puntos de un eje, es usual referirse indistıntamentea un numero real o a un punto.

-3 -2 -�!!!!!

2 -1 0 1 �!!!!!2 2 3

1

�!!!!!2

1.3. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NUMEROS REALES 3

Es usual dibujar al eje horizontal y considerar positivo el sentido de izquierda a derecha ( lo cual no tiene implicacionpolıtica alguna). Por eso se usan expresiones como “a la derecha” o “a la izquierda”.El sımbolo = se lee “es igual a” y divide a la expresion en la que aparece, que se llama igualdad, en dos partesllamadas miembros: lo que esta escrito antes que el es el primer miembro y lo que esta despues se llama segundomiembro.El sımbolo 6= se lee “diferente de”; en general cruzar un sımbolo con una diagonal / significa negarlo.

En cualquier igualdad se pueden intercambiar los miembros, esto es:

a = b ⇒ b = a.( Esta expresion se lee “si a = b entonces b = a).

Dos numeros iguales a un tercero, son iguales entre sı; esto se denota ası:

a = b & b = c ⇒ a = c

Generalizando esto, se escribe sin mas:

a = b & b = c & c = d & d = · · · ⇒ a = b = c = d = · · ·

y cualquier expresion de la sucesion es igual a cualquier otra.

1.3 Propiedades algebraicas de los numeros reales

En los numeros reales se definen dos operaciones, adicion y multiplicacion, las cuales tienen ciertas propiedades:Adicion Propiedades Multiplicaciona + b = b + a Conmutatividad a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c) Asociatividad (a · b) · c = a · (b · c)a + 0 = a Existencia del elemento neutro a · 1 = aa + (−a) = 0 Existencia del elemento inverso a · a−1 = 1 si a 6= 0a · (b + c) = (a · b) + (a · c) Propiedad distributiva de la multiplicacion

con respecto a la adicion

Expresiones tales como:{[(a + b) + c] + d} + e + · · · o bien {[(a · b) · c] · d} · e · · ·Se escriben simplemente ası:

a + b + c + d + e + · · · o bien a · b · c · d · e · · ·pues no se prestan a confusion.

Supongamos que a, b, c, d, · · · son numeros reales, entonces:

a + b = a + c ⇒ b = c

Es decir se puede cancelar un mismo termino de los dos miembros de una igualdad.

a · 0 = 0a · b = a · c & a 6= 0 ⇒ b = c

Notese que no podemos cancelar a 0 como factor, pues entonces tendrıamos aberraciones del tipo siguiente:

0 · 1 = 0 & 0 · 2 = 0 ⇒ 0 · 1 = 0 · 2 ⇒ 1 = 2

Se tiene:a · b = 0 ⇒ a = 0 o bien b = 0


Se definen la sustraccion y la division como: a − b = a + (−b) &a

b= a · b−1 con b 6= 0.

Algunas igualdades importantes son:

1a

= a−1 si a 6= 0

a − b = 0 ⇔ a = b &a

b= 1 ⇔ a = b con b 6= 0

−0 = 0 & 1−1 = 1

−(−a) = a & (a−1)−1 = a con a 6= 0−(a + b) = −a − b

(a · b)−1 = a−1 · b−1

(−a) · b = −(ab) = a(−b) “mas por menos menos, menos por mas menos”(a − b) · c = (a · c) − (b · c)(−a)(−b) = a · b “menos por menos mas”

a

b=

c

d⇔ a · d = b · c ( donde b · d 6= 0)

a

b±

c

d=

a · d ± b · cb · d ( donde b · d 6= 0)

a

b· c

d=

a · cb · d

( donde b · d 6= 0)a

bc

d

=a · db · c (donde b · c · d 6= 0)

a

−b= −a

b=

−a

bdonde b 6= 0, “mas entre menos menos, menos entre mas menos”

−a

−b=

a

b(donde b 6= 0) “menos entre menos mas”

a · ba · c =

b

c(donde a · c 6= 0)

Si n es un numero natural, se definen:

an ={

a si n = 1an−1 · a si n > 1

a0 = 1

a−n = (a−1)n = (an)−1 =1an

n√

a = b ⇔ bn = a

n√

am = amn , si m es un entero

Propiedades de los exponentes.

Si r y s son numeros racionales:

- La potencia de un producto es el producto de las potencias de los factores:

(a · b)r = ar · br

1.4. ORDEN DE LOS NUMEROS REALES 5

- Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes:

ar · as = ar+s

- Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes:

(ar)s = ar·s

Esta propiedades tambien son ciertas en el caso de exponentes irracionales.

Otras igualdades importantes son:

ax ± bx = (a ± b)x

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

x2 + (a + b)x + (a · b) = (x + a)(x + b)

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3

...n∑

0

(n

k

)an−kbn−k = (a + b)n

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + · · ·+ a2bn−3 + abn−2 + bn−1)

an + bn = (a + b)(an−1 − an−2b + an−3b2 − · · ·+ a2bn−3 − abn−2 + bn−1) si n es impar

Si P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−2x

2 + an−1x + an es un polinomio de grado n (es decir a0 6= 0) y res una raız (es decir P (r) = 0) entonces P (x) = (x − r)Q(x) donde Q(x) ( el cociente de dividir P (x) entre (x − r))es un polinomio de grado n − 1.

1.4 Orden de los numeros reales

El sımbolo > se lee “mayor que”< “menor que”≥ “mayor o igual que”≤ “menor o igual que”

Un numero real a ∈ R es positivo si esta a la derecha del cero; esto se denota ası:

a > 0 o bien 0 < a

Un numero real a ∈ R es negativo si esta a la izquierda del cero; esto se denota ası:

a < 0 o bien 0 > a

a > b o bien b < a quiere decir que a esta a la derecha de b o bien que b esta a la izquierda de a; tambien significaque a − b > 0.a ≥ b quiere decir que a > b o bien que a = b.a ≤ b quiere decir que a 0 y b > 0 ⇒ a + b > 0 y a · b > 0a ∈ R ⇒ a > 0 o bien a = 0 o bien − a > 0

Cualquier expresion que contenga uno de los cuatro sımbolos >, <,≥ o bien ≤ se llama desigualdad.Una desigualdad consta de dos miembros, lo que esta escrito antes del sımbolo >, <,≥ o bien ≤ se llama primermiembro y lo que esta escrito despues se llama segundo miembro.Dos desigualdades en las que aparecen el sımbolo > o bien el sımbolo <, se dice que son del mismo sentido. Si enuna aparece el signo > y en otra el signo <se dice que son de sentidos contrarios.

Algunas propiedades de orden son las siguientes:

• Ley de tricotomıa, una de tres:

a & b ∈ R ⇒ a > b o bien a = b o bien a b & c ∈ R ⇒ a + c > b + c

• “Si multiplicamos a los dos miembros de una desigualdad por un numero positivo se preserva la desigualdad”:

a > b & c > 0 ⇒ a · c > b · c

• “Si multiplicamos a los dos miembros de una desigualdad por un numero negativo se invierte la desigualdad”:

a > b & c < 0 ⇒ a · c b & c > d ⇒ a + c > b + d

Otras propiedades del orden son:

• Transitividad:

a > b & b > c ⇒ a > c

a 6= 0 ⇒ a2 > 0

1 = 12 > 0b > 0 ⇒ bn > 00 > a ⇒ an > 0 si n es par y 0 > an si n es impar

a bn > 0 si n es par & an < bn < 0 si n es impar0 < a 0 & a > 0 ⇒ b > 0

a > 0 ⇒ a−1 > 0

a > 0 & b > 0 ⇒ a

b> 0

a ≤ b & b ≤ a ⇒ a = b

1.5 Intervalos

Los intervalos son subconjuntos de los numeros reales que se usan frecuentemente.Supongamos que tenemos dos numeros reales a & b, tales que a < b.

1.5. INTERVALOS 7

Se definen cuatro tipos de intervalos:

Abierto:

(a, b) ={x ∈ R

∣∣ a < x < b}

a bo o

o o

Cerrado:

[a, b] ={x ∈ R

∣∣ a ≤ x ≤ b}

a b

Semiabierto o semicerrado:

[a, b) ={x ∈ R

∣∣ a ≤ x < b}

a bo

o

(a, b] ={x ∈ R

∣∣ a < x ≤ b}

a bo

o

El punto medio o centro de un intervalo es el puntoa + b

2.

Tambien consideraremos intervalos infinitos que son de la forma

(a, +∞) ={x ∈ R

∣∣ x > a}

o

o

a

[a, +∞) ={x ∈ R

∣∣ x ≥ a}

a

(−∞, a) ={x ∈ R

∣∣ x < a}

o

o

a

(−∞, a] ={x ∈ R

∣∣ x ≤ a}

a

1.6 Valor Absoluto

|a | =

{a si a ≥ 0−a si a < 0

La interpretacion geometrica es que |a | es la distancia del numero a al origen:

d(a, 0) = |a |

Propiedades del valor absoluto:

| a | ≥ 0 y |a | = 0 ⇔ a = 0| a | = | −a |

− | a | ≤ a ≤ |a || a · b | = | a | · | b ||a |n = | an |∣∣∣ a

b

∣∣∣ =| a || b |

, con b 6= 0

|a + b | ≤ | a | + | b ||a − b | ≥ | a | − | b |

| a | ≤ c & | b | ≤ d ⇒ |a + b | ≤ c + d

Siendo M > 0,

|x | = M ⇔ x = ±M ,(±M se lee mas o menos M)|x | ≤ M ⇔ −M ≤ x ≤ M ⇔ x ∈ [−M, M ]

|x | ≥ M ⇔ x ≥ M o bien x ≤ −M ⇔ x ∈ (−∞,−M ]⋃

[M, +∞)

1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 9

Definimos la distancia entre dos puntos a y b como:

d(a, b) = |a − b |

Propiedades de la distancia:

d(a, 0) = | a − 0 | = |a |d(a, a) = 0d(a, b) ≥ 0d(a, b) = d(b, a)

“Desigualdad del triangulo”:

d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c)

E interpretamos ahora:Si M ≥ 0:El conjunto de numeros x cuya distancia al origen es menor que M consta de aquellos puntos x que estan a la derechade −M y a la izquierda de M

d(x, 0) < M ⇔ −M < x < M ⇔ |x | < M ⇔ x ∈ (−M, M )

0-M M

H L

o o

Y aquellos numeros x cuya distancia al origen es mayor que M son los que estan a la izquierda de −M o a la derechade M

d(x, 0) > M ⇔ x < −M o bien x > M ⇔ |x | > M ⇔ x ∈ (−∞,−M )⋃

(M, +∞)

0

o o

-M M

H L

Los puntos cuya distancia a b es menor que M son aquellos que estan a la derecha de b−M y a la izquierda de b+M

d(x, b) < M ⇔ −M < x − b < M ⇔ b − M < x < b + M ⇔ |x − b | < M ⇔ x ∈ (b − M, b + M )

b

0 0

b-M b+M

H L

1.7 Resolucion de desigualdades

Resolver una desigualdad quiere decir hallar los numeros reales x para los cuales la desigualdad se cumple. Llamamosconjunto solucion al conjunto de tales x.

Para resolver una desigualdad son utiles dos propiedades:Para pasar un termino de un miembro de una desigualdad al otro se le cambia el signo, es decir, si esta con signo +se le pone en el otro miembro con signo − y viceversa:

a + b ≥ c ⇔ a ≥ c − b

Se puede pasar un factor diferente de 0 de un miembro de una desigualdad al otro poniendolo como divisor y viceversa,pero si el factor es positivo la desigualdad se preserva y si es negativo se invierte el sentido de la desigualdad.Es decir:

a · b ≥ c & b > 0 ⇔ a ≥ c

b& b > 0

a · b ≥ c & b < 0 ⇔ a ≤ c

b& b < 0

1.7.1 Desigualdades del tipo:

ax + b ≥ 0 con a 6= 0 & b ∈ R

Para resolver la desigualdad:ax + b ≥ 0

Se pasa b al segundo miembro:ax ≥ 0 − b ⇒ ax ≥ −b

Y se pasa el factor a al segundo miembro, por lo que:

1. Si a > 0, entonces x ≥ − b

aEn cuyo caso el conjunto solucion es el intervalo:

[− b

a, +∞

)

2. Si a < 0, entonces x ≤ − b

aEn este caso el conjunto solucion es el intervalo:

(−∞,−

b

a

]

Ejemplo 1 Resolver la desigualdad 2x− 5 ≥ 0

H

2x − 5 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 0 + 5 ⇔ 2x ≥ 5 ,

como 2 > 0 entonces 2x ≥ 5 ⇔ x ≥ 52

El conjunto solucion es el intervalo:

CS =[52, +∞

).

�

Ejemplo 2 Resolver la desigualdad34x +

25

< 0

H34x +

25

< 0 ⇔ 34x < 0 − 2

5⇔ 3

4x < −2

5,

como34

> 0 entonces34x < −2

5⇔ x < −2

5

(43

)⇔ x < − 8

15

El conjunto solucion es el intervalo

CS =(−∞,− 8

15

).

�

Ejemplo 3 Resolver la desigualdad 3 − 2x > 0

H

3 − 2x > 0 ⇔ −2x > 0 − 3 ⇔ −2x > −3 ,

como −2 < 0 entonces −2x > −3 ⇔ x <−3−2

⇔ x <32

El conjunto solucion es el intervalo

CS =(−∞,

32

).

�

Ejemplo 4 Resolver la desigualdad −54x − 1

2≤ 0

H

−54x− 1

2≤ 0 ⇔ −5

4x ≤ 0 +

12⇔ −5

4x ≤ 1

2,

como −54

< 0 entonces − 54x ≤ 1

2⇔ x ≥ 1

2

(−4

5

)⇔ x ≥ − 4

10⇔ x ≥ −2

5

El conjunto solucion es el intervalo:

CS =[−2

5, +∞

).

Geometricamente resolver una desigualdad ax+ b ≥ 0 con a 6= 0 quiere decir hallar las x tales que la recta y = ax+ besta situada encima de la recta y = 0.

�

Ejemplo 5 Resolver 6x + 5 ≥ 0

H

-5��6

x

5

y

o

y = 6x + 5

Conjunto solucion: [−5

6 , +∞)

,

pues la interseccion de las rectas y = 6x + 5 y y = 0 es el punto (−56 , 0) y a su derecha la recta y = 6x + 5 esta

encima de la recta y = 0.�

Ejercicios 1 Resolver las siguientes desigualdades

1. 7x ≤ 27

2. −5x > −8

3. 73x − 4 ≤ 5


ax + b ≥ cx + d

Como resolver la desigualdad significa, en utima instancia, hallar otra desigualdad “equivalente”, esto es, que tengael mismo conjunto solucion, pero donde x aparezca sola en uno de los miembros, es decir, “despejar” a x, resolver ladesigualdad recuerda mucho resolver una ecuacion de primer grado con una incognita.Ası podemos “trasponer” terminos y escribir en un mismo miembro a todos los terminos que tienen x, y en el otroa los que no:

ax − cx ≥ d− b

Ahora “reducir” terminos semejantes, es decir, “sacar a x como factor comun”:

(a − c)x ≥ d − b

Ahora si a − c 6= 0 ( si a 6= c) estamos en el caso anterior, por lo que:

1. Si a − c > 0, entonces x ≥ d − b

a − c

Y el conjunto solucion sera:

CS =[

d− b

a − c, +∞

).

2. Si a − c < 0, entonces x ≤ d − b

a − cEn este caso el conjunto solucion es:

CS =(−∞,

d − b

a − c

].

Si a − c = 0, la desigualdad equivalente a la propuesta es:

0 · x ≥ d − b ⇒ 0 ≥ d − b

La cual se cumple si efectıvamente 0 ≥ d − b, en cuyo caso el conjunto solucion es:

CS = R .

O nunca se cumple si d− b > 0 y en este caso el conjunto solucion es Ø, el conjunto vacıo; es decir

CS = Ø .

Ejemplo 6 Resolver la desigualdad 4x− 5 ≥ 2x + 9

H4x − 5 ≥ 2x + 9 ⇔ 4x − 2x ≥ 9 + 5 ⇔ 2x ≥ 14 ⇔ x ≥ 7

Esta ultima desigualdad se satisface cuando x ∈ [7, +∞).Luego entonces el conjunto solucion de la desigualdad original es

CS = [7, +∞) .

�

Ejemplo 7 Resolver la desigualdad54x− 2

3>

83x − 3

2

H54x− 2

3>

83x − 3

2⇔ 5

4x − 8

3x >

23− 3

2⇔ −17

12x > −5

6⇔ x <

1017

Esta ultima desigualdad se cumple cuando x ∈(−∞,

1017

), por lo cual el conjunto solucion de la desigualdad original

es

CS =(−∞,

1017

).

�

Ejemplo 8 Resolver la desigualdad 1 − 8x < 5 − 8x

H1 − 8x < 5 − 8x ⇔ −8x + 8x < 5 − 1 ⇔ 0 < 4

Esta ultima desigualdad siempre se cumple, luego entonces la desigualdad original siempre se cumple.Por lo tanto, el conjunto solucion es:

CS = R .

�

Ejemplo 9 Resolver la desigualdad92x− 4

3≤ 9

2x − 2

H92x − 4

3≤ 9

2x− 2 ⇔ 9

2x − 9

2x ≤ −2 +

43⇔ 0 ≤ −2

3

Esta ultima desigualdad nunca se cumple, luego entonces la desigualdad original nunca se cumple. Por lo tanto, elconjunto solucion es:

CS = Ø, el conjunto vacıo

�

Geometricamente resolver la desigualdad ax + b ≥ cx + d quiere decir hallar las x tales que la recta y = ax + b esteencima de la recta y = cx + d.

Ejemplo 10 Resolver 3x − 2 ≥ 2x− 1

H

1x

-2

-1

1

y

y = 3x-2

y = 2x-1

o

o

o

Conjunto solucion:[1, +∞) ,

pues la interseccion de las rectas y = 3x− 2 y y = 2x− 1 es el punto (1, 1) y a su derecha la primera esta encima dela segunda.

�


1. 3x− 4 ≤ 23x + 5

2. 1 − 2x > x2 − 3

3. −5x − 4 ≥ 3 − 6x

4. −34 x + 5

3 < 29x − 1

5. 3 − 5x ≤ 6 − 5x

6. 32x − 5 > 1 + 3

2x

7. 2(x + 3) > 3(x − 1) + 6

8. a + 3 < 2(2a + 1)


a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3

Esto quiere decir hallar los numeros reales x que cumplen simultaneamente las dos desigualdades:

a1x + b1 ≥ a2x + b2 y a2x + b2 ≥ a3x + b3

Para ello se halla el conjunto solucion de cada una de las desigualdades ( que son del tipo 2), se intersecan los dosconjuntos solucion obtenidos y esta interseccion es el conjunto solucion del sistema propuesto.

Ejemplo 11 Resolver la desigualdad 3x + 4 ≤ x − 5 <23x + 1

HEsta desigualdad doble se cumple si y solo si

3x + 4 ≤ x − 5 y x − 5 <23x + 1

Resolvemos la primera desigualdad

3x + 4 ≤ x − 5 ⇔ 2x ≤ −9 ⇔ x ≤ −92⇔

⇔ CS1 =(−∞,−9

2

]

Resolvemos la segunda desigualdad

x − 5 <23x + 1 ⇔ 1

3x < 6 ⇔ x < 18 ⇔

⇔ CS2 = (−∞, 18)

El conjunto solucion CS de la desigualdad doble es

CS = CS1

⋂CS2 =

(−∞,−9

2

] ⋂(−∞, 18) =

(−∞,−9

2

]

�

Ejemplo 12 Resolver la desigualdad 18− 5x > 2x + 3 ≥ 4 − 3x

HEsta doble desigualdad se cumple si y solo si

18− 5x > 2x + 3 y 2x + 3 ≥ 4 − 3x


18− 5x > 2x + 3 ⇔ −7x > −15 ⇔ x <157

⇔

⇔ CS1 =(−∞,

157

)


2x + 3 ≥ 4 − 3x ⇔ 5x ≥ 1 ⇔ x ≥ 15⇔

⇔ CS2 =[15, +∞

)

El conjunto solucion CS de la doble desigualdad es

CS = CS1

⋂CS2 =

(−∞,

157

) ⋂ [15, +∞

)=

[15,157

)

�

Ejemplo 13 Resolver la desigualdad23x − 5 < 4 +

23x < 2 − 3

4x

HEsta doble desigualdad se cumple cuando

23x − 5 < 4 +

23x y 4 +

23x < 2 −

34x

23x− 5 < 4 +

23x ⇔ 2

3x − 2

3x < 4 + 5 ⇔ 0 < 9

desigualdad que siempre se cumple, entonces:CS1 = R .


4 +23x < 2 − 3

4x ⇔ 2

3x +

34x < 2 − 4 ⇔ 17

12x < −2 ⇔ x < −24

17⇔

⇔ CS2 =(−∞,−24

17

)


CS = CS1

⋂CS2 = R

⋂(−∞,−24

17

)=

(−∞,−24

17

)

�

Ejemplo 14 Resolver la desigualdad 6 − 53x > 8 − 5

3x ≥ 7 +

92x

HEsta doble desigualdad se cumple cuando

6 − 53x > 8 − 5

3x y 8 − 5

3x ≥ 7 +

92x


6 − 53x > 8 − 5

3x ⇔ −5

3x +

53x > 8 − 6 ⇔ 0 > 2

desigualdad que nunca se cumple, entonces:CS1 = Ø .


8 − 53x ≥ 7 +

92x ⇔ −5

3x − 9

2x ≥ 7 − 8 ⇔ −37

6x ≥ −1 ⇔ x ≤ 6

37⇔

⇔ CS2 =(−∞,

637

]


CS = CS1

⋂CS2 = Ø

⋂ (−∞,

637

]= Ø

�Geometricamente resolver el sistema de desigualdades a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3 quiere decir hallar las x talesque la recta y = a2x + b2 se encuentra entre las rectas y = a1x + b1 y y = a3x + b3.

Ejemplo 15 Resolver 6x + 5 ≥ 4x + 1 ≥ x − 2

H

-2x

-7

-3

-1

5

y

-1 1

y= 6x+5

y = 4x+1

y = x-2

o

o

o

o

Conjunto solucion:[−1, +∞) ,

pues la interseccion de las rectas y = x− 2 y y = 4x + 1 es el punto (−1,−3) y a su derecha la recta y = 4x + 1 estaentre las rectas y = x − 2 & y = 6x + 5.

�


1. 1 < 3x + 4 ≤ 16

2. −1 < 3x + 4 < 1

3. 72 >

1 − 4x

5> 3

2

4. −5 ≤ 4 − 3x

2< 1

5. 6x + 5 ≥ 4x + 1 > x − 2

6. 3 − 2x < 3x + 4 < 4 − x

7. 23x + 5 ≤ 8 − 3

4x ≤ 7 + 4

5x

8. 1 − 5x ≤ 8 + 3x < 3x + 9

9. −3x + 4 > 6 − 3x ≥ 9x + 5

10. 9x + 3 ≤ 20x − 100 ≤ 15x + 200

11. 3x− 4 < 9x + 2 < x − 10


| ax + b | ≤ M , con M > 0

(Si M < 0 el conjunto solucion es el vacıo pues |ax + b | ≥ 0 y no puede ser menor o igual que un numero negativo).La desigualdad propuesta es equivalente a la doble desigualdad:

−M ≤ ax + b ≤ M

que es del tipo anterior y se cumple cuando: ax + b ≥ −M y ax + b ≤ M .

Ejemplo 16 Resolver la desigualdad |3x − 5 | ≤ 4

HEsta desigualdad se cumple cuando

−4 ≤ 3x − 5 ≤ 4 ;

doble desigualdad que se cumple si3x − 5 ≥ −4 y 3x − 5 ≤ 4

3x − 5 ≥ −4 ⇔ 3x ≥ −4 + 5 ⇔ x ≥13⇔

⇔ CS1 =[13, +∞

)

3x − 5 ≤ 4 ⇔ 3x ≤ 4 + 5 ⇔ x ≤ 93⇔

⇔ CS2 = (−∞, 3]

El conjunto solucion es:

CS = CS1

⋂CS2 =

[13, +∞

)⋂(−∞, 3] =

[13, 3

].

�Observacion: Esta desigualdad se puede resolver de otra manera.H

|3x − 5 | ≤ 4 ⇒ −4 ≤ 3x − 5 ≤ 4

Notando que la incognita x se tiene solamente en el termino intermedio de la doble desigualdad, procedemos a aislarlaası:sumamos 5 a los tres miembros

−4 ≤ 3x− 5 ≤ 4 ⇔ −4 + 5 ≤ 3x − 5 + 5 ≤ 4 + 5 ⇔ 1 ≤ 3x ≤ 9

multiplicamos por13

a los tres miembros ( con13

> 0)

13(1) ≤ 1

3(3x) ≤ 1

3(9) ⇔ 1

3≤ x ≤ 9

3⇔ 1

3≤ x ≤ 3

Por lo que el conjunto solucion es:

CS =[13, 3

].

�

Ejemplo 17 Resolver la desigualdad∣∣∣∣23− 3

4x

∣∣∣∣ <52

HEsta desigualdad se cumple cuando −5

2<

23− 3

4x <

52

Doble desigualdad que resolvemos aislando a x.

Sumamos(−2

3

)a los tres miembros

−52−

23

< −34x <

52−

23⇔ −

196

< −34x <

116

Multiplicamos por(−4

3

)a los tres miembros (con −4

3< 0)

(−

43

)(−

196

)> x >

(−

43

) (116

)⇔

389

> x > −229

⇔ −229

< x <389

⇔

⇔ CS =(−22

9,389

)

�


| ax + b | ≥ M , con M > 0

(Observa que si M ≤ 0, entonces el conjunto solucion de la desigualdad propuesta es R pues como |ax + b | ≥ 0siempre, entonces |ax + b | ≥ 0 ≥ M siempre).La desigualdad propuesta quiere decir:

ax + b ≥ M o bien ax + b ≤ −M

Por lo que hallamos el conjunto solucion de cada una de estas desigualdades (como en el caso 1.7.2 ) y su union esel conjunto solucion de la desigualdad propuesta.

Ejemplo 18 Resolver la desigualdad∣∣∣∣53x +

34

∣∣∣∣ >25


53x +

34

< −25

o bien53x +

34

>25


53x +

34

< −25⇔ 5

3x < −2

5− 3

4⇔ 5

3x < −23

20⇔ x <

35

(−23

20

)⇔ x < − 69

100⇔

⇔ CS1 =(−∞,− 69

100

)


53x +

34

>25⇔ 5

3x >

25− 3

4⇔ 5

3x > − 7

20⇔ x >

35

(− 7

20

)⇔ x > − 21

100⇔

⇔ CS2 =(− 21

100, +∞

)

El conjunto solucion CS de la desigualdad original es

CS = CS1

⋃CS2 =

(−∞,− 69

100

) ⋃ (− 21

100, +∞

)= R −

[− 69

100,− 21

100

]

�

Ejemplo 19 Resolver la desigualdad |3 − 2x | ≥ 9


3 − 2x ≤ −9 o bien 3 − 2x ≥ 9

3 − 2x ≤ −9 ⇔ −2x ≤ −9 − 3 ⇔ −2x ≤ −12 ⇔ x ≥ −12−2

⇔ x ≥ 6 ⇔

⇔ CS1 = [6, +∞)


3 − 2x ≥ 9 ⇔ −2x ≥ 9 − 3 ⇔ −2x ≥ 6 ⇔ x ≤ 6−2

⇔ x ≤ −3 ⇔

⇔ CS2 = (−∞,−3]

El conjunto solucion de la desigualdad original es

CS = CS1

⋃CS2 = [6, +∞)

⋃(−∞,−3] = (−∞,−3]

⋃[6, +∞) = R − (−3, 6)

�


1. 0 < |5 − 8x | ≤ 7

2. 1 ≤ |8x + 1 | ≤ 9

3. |3x − 4 | − 1 ≥ 4x

4. |2 − 7x | ≤ 4 − 3x

5. |4x + 8 | ≤ 3x

6.∣∣∣∣x− 68.5

2.7

∣∣∣∣ ≤ 1

7. |3 − 2x | ≤ x + 5

8. |2x − 3 | ≥ |2 − 3x |

9. |−2x − 4 | ≥ 3 − 2x


ax + b

cx + d≥ 0

Desde luego cx + d 6= 0 pues en caso contrario la desigualdad no tendrıa sentido. Puede suceder entonces que

(i) cx + d > 0, o bien que

(ii) cx + d < 0

Para resolver la desigualdad propuesta en ambos casos “quitamos” denominadores, es decir, pasamos el divisor(cx + d) al otro miembro, por lo que tenemos

i) ax + b ≥ 0 · (cx + d) ⇔ ax + b ≥ 0

(ii) ax + b ≤ 0 · (cx + d) ⇔ ax + b ≤ 0

Por lo que hallaremos el conjunto solucion de cada una de las desigualdades ( como en el caso 1.7.1), intersecaremosa cada uno de ellos con el conjunto solucion de cx + d > 0 en el caso (i) y con el de cx + d < 0 en el caso (ii) y launion de las dos intersecciones ası obtenidas sera el conjunto solucion de la desigualdad propuesta.Desde luego que puede parecer mas sencillo considerar la solucion de la desigualdad

ax + b

cx + d≥ 0

de la siguiente manera:

*) Si cx + d > 0 necesariamente ax + b ≥ 0, luego resolvemos

ax + b ≥ 0 y cx + d > 0

e intersecamos ambos conjuntos solucion, lo cual sera parte del conjunto solucion de la desigualdad propuesta.

**) Si cx + d < 0, ahora ax + b ≤ 0, por lo cual resolvemos

ax + b ≤ 0 y cx + d < 0

e intersecamos ambos conjuntos solucion.

La union de ambas intersecciones es el conjunto solucion buscado.

Ejemplo 20 Resolver la desigualdad3x + 42x− 5

≥ 0

HPor supuesto que 2x − 5 6= 0.Puede suceder entonces que (i) 2x − 5 > 0 o bien que (ii) 2x − 5 < 0

(i) Si 2x − 5 > 0 entonces (para que3x + 42x− 5

≥ 0) necesariamente debe suceder que 3x + 4 ≥ 0

2x − 5 > 0 y 3x + 4 ≥ 0 ⇔ 2x > 5 y 3x ≥ −4 ⇔ x >52

y x ≥ −43

Ambas condiciones se cumplen cuando x >52.

Se obtiene ası una parte del conjunto solucion, que es:

CS1 =(

52, +∞

).

(ii) Si 2x − 5 < 0 entonces (para que3x + 42x− 5

≥ 0) necesariamente debe suceder que 3x + 4 ≤ 0

2x − 5 < 0 y 3x + 4 ≤ 0 ⇔ 2x < 5 y 3x ≤ −4 ⇔ x <52

y x ≤ −43

Se obtiene ası la otra parte del conjunto solucion, que es:

CS2 =(−∞,−4

3

].

Por lo tanto, el conjunto solucion de la desigualdad3x + 42x− 5

≥ 0 es:

CS = CS1

⋃CS2 =

(52, +∞

)⋃ (−∞,−4

3

]=

(−∞,−4

3

] ⋃ (52, +∞

)= R −

(−4

3,52

]

�

Ejemplo 21 Resolver la desigualdad5x− 43x + 2

< 0

HConsideramos que 3x + 2 6= 0.Puede ser entonces que (i) 3x + 2 < 0 o bien que (ii) 3x + 2 > 0

(i) Si 3x + 2 < 0 entonces (para que5x− 43x + 2

< 0) necesariamente debe suceder que 5x − 4 > 0

3x + 2 < 0 y 5x − 4 > 0 ⇔ 3x < −2 y 5x > 4 ⇔ x < −23

y x >45

Ambas condiciones nunca se cumplen. Entonces:

CS1 = Ø .

(ii) Si 3x + 2 > 0 entonces ( para que5x − 43x + 2

< 0) necesariamente debe suceder que 5x − 4 < 0

3x + 2 > 0 y 5x − 4 < 0 ⇔ 3x > −2 y 5x < 4 ⇔ x > −23

y x <45

Ambas condiciones se cumplen cuando −23

< x <45.

Entonces:

CS2 =(−2

3,45

).

Por lo tanto, el conjunto solucion de5x − 43x + 2

< 0 es

CS = CS1

⋃CS2 = Ø

⋃ (−2

3,45

)=

(−2

3,45

)

�

Ejemplo 22 Resolver la desigualdad−1

4x + 3> 0

HNotamos que el numerador (−1) de la fraccion

−14x + 3

siempre es negativo (−1 < 0).

Por esto se tiene que−1

4x + 3> 0 ⇔ 4x + 3 < 0 ⇔ 4x < −3 ⇔ x < −3

4Luego entonces, el conjunto solucion de la desigualdad es

CS =(−∞,−3

4

).

�


ax + b

cx + d≥ k

Podemos quitar el denominador cx + d 6= 0 pasandolo al segundo miembro, en cuyo caso tendrıamos que resolverdesigualdades del tipo 1.7.2 o pasar k al primer miembro y efectuar la operacion indicada

ax + b

cx + d− k > 0

Con la cual obtendrıamos una desigualdad equivalente del tipo 1.7.6.

≤ 6

HResolveremos esta desigualdad expresandola como una desigualdad del tipo 1.7.6 (donde el segundo miembro es 0)

2x + 34x − 5

≤ 6 ⇔ 2x + 34x − 5

− 6 ≤ 0 ⇔ 2x + 3 − 6(4x− 5)4x − 5

≤ 0 ⇔

⇔ 2x + 3 − 24x + 304x − 5

≤ 0 ⇔ −22x + 334x− 5

≤ 0

Considerando que 4x − 5 6= 0, puede suceder entonces que i) 4x− 5 < 0 o bien que ii) 4x − 5 > 0

i) Si 4x − 5 < 0 entonces necesariamente −22x + 33 ≥ 0

4x − 5 < 0 y − 22x + 33 ≥ 0 ⇔ 4x < 5 y − 22x ≥ −33 ⇔ x <54

y x ≤ −33−22

⇔

⇔ x <54

y x ≤ 32⇔ x <

54⇔

⇔ CS1 =(−∞,

54

)

ii) Si 4x − 5 > 0 entonces necesariamente −22x + 33 ≤ 0

4x − 5 > 0 y − 22x + 33 ≤ 0 ⇔ 4x > 5 y − 22x ≤ −33 ⇔ x >54

y x ≥ −33−22

⇔

⇔ x >54

y x ≥ 32⇔ x ≥ 3

2⇔

⇔ CS2 =[32, +∞

)

Por lo tanto, el conjunto solucion de la desigualdad original es

CS = CS1

⋃CS2 =

(−∞,

54

)⋃ [32, +∞

)= R −

[54,32

)

�Observacion. Esta desigualdad tambien se puede resolver aplicando el procedimiento que se utiliza al resolver unaecuacion, que es: “pasar” al denominador (4x − 5) del primer miembro, multiplicando al segundo miembro, con locual obtenemos una desigualdad del tipo 2.¿Lo intenta? Serıa un buen ejercicio.


≥ −6

HResolveremos esta desigualdad aplicando la observacion hecha al final del ejemplo 23. Esto es “pasando al denomi-nador (4x − 5) del primer miembro, multiplicando al segundo miembro”.Para lograr lo anterior, es necesario multiplicar por el denominador (4x − 5) a ambos miembros de la desigualdad;considerando, por supuesto, que 4x − 5 6= 0.Ya que 4x− 5 6= 0, puede suceder entonces que i) 4x − 5 < 0 o bien que ii) 4x− 5 > 0.

i) Si 4x − 5 < 0 entonces (la desigualdad se invierte)

2x + 34x− 5

≥ −6 ⇔ 2x + 34x− 5

(4x − 5) ≤ −6(4x − 5) ⇔ 2x + 3 ≤ −24x + 30 ⇔

⇔ 2x + 24x ≤ 30 − 3 ⇔ 26x ≤ 27 ⇔ x ≤ 2726

Pero 4x − 5 < 0 ⇔ 4x < 5 ⇔ x <54

Se debe cumplir entonces que x <54

y x ≤ 2726

Desigualdades que se cumplen ambas cuando x ≤ 2726

Se tiene en este caso que:

CS1 =(−∞,

2726

].

ii) Si 4x − 5 > 0 entonces (la desigualdad no cambia)

2x + 34x− 5

≥ −6 ⇔ 2x + 34x− 5

(4x − 5) ≥ −6(4x − 5) ⇔ 2x + 3 ≥ −24x + 30 ⇔

⇔ 2x + 24x ≥ 30 − 3 ⇔ 26x ≥ 27 ⇔ x ≥2726

Pero 4x − 5 > 0 ⇔ 4x > 5 ⇔ x >54

Se debe cumplir entonces que x >54

y x ≥ 2726

Desigualdades que se cumplen ambas cuando x ≥54

Se tiene en este caso que:

CS2 =(

54, +∞

).

Entonces el conjunto solucion CS de la desigualdad original[2x + 34x − 5

≥ −6]

es la union de CS1 y CS2.

CS = CS1

⋃CS2 =

(−∞,

2726

] ⋃ (54, +∞

)= R −

(2726

,54

]

�Un buen ejercicio serıa resolver esta misma desigualdad aplicando el procedimiento utilizado en el ejemplo 23. ¿Lorealiza?Nota. Este tipo de desigualdades, que hemos considerado en los ejemplos 23 y 24, son necesarios para poder resolverdesigualdades mas complejas; las cuales requieren de un mayor desarrollo para la obtencion de su conjunto solucion.

Ejemplo 25 Resolver la desigualdad∣∣∣∣2x + 34x − 5

∣∣∣∣ ≤ 6

HPor supuesto que esta desigualdad (debido al valor absoluto involucrado) no es del tipo que estamos tratando yque hemos ejemplificado mediante los ejemplos 23 y 24. Pero aplicando una de las propiedades del valor absoluto,podemos afirmar que ∣∣∣∣

2x + 34x − 5

∣∣∣∣ ≤ 6 ⇔ −6 ≤ 2x + 34x − 5

≤ 6 ⇔ −6 ≤ 2x + 34x − 5

y2x + 34x − 5

≤ 6

Es decir, la desigualdad original∣∣∣∣2x + 34x− 5

∣∣∣∣ ≤ 6 se cumple cuando se cumplen a la vez las desigualdades

2x + 34x − 5

≥ −6 y2x + 34x − 5

≤ 6

Luego entonces, el conjunto solucion CS de la desigualdad original es precisamente la interseccion de los conjuntos

solucion de las desigualdades2x + 34x − 5

≥ −6 y2x + 34x − 5

≤ 6

(i) Resolvemos la desigualdad2x + 34x− 5

≥ −6 y obtenemos (ver el ejemplo 24) el conjunto solucion

CS1 =(−∞,

2726

] ⋃ (54, +∞

)

(ii) Resolvemos la desigualdad2x + 34x− 5

≤ 6 y obtenemos (ver el ejemplo 23) el conjunto solucion

CS2 =(−∞,

54

)⋃ [32, +∞

)

Finalmente obtenemos la interseccion de CS1 y CS2, para ası tener el conjunto solucion CS de la desigualdad original

CS = CS1

⋂CS2 =

{ (−∞,

2726

] ⋃ (54, +∞

)} ⋂ { (−∞,

54

) ⋃ [32, +∞

)}

27��26

5��4

o⋂

⋂

3��2

5��4

o =

=3��2

27��26

CS =(−∞,

2726

] ⋃ [32, +∞

)= R −

(2726

,32

)

�

Ejemplo 26 Resolver la desigualdad∣∣∣∣2x + 34x − 5

∣∣∣∣ > 6

HAun cuando ya sabemos que (debido al resultado obtenido en el ejemplo 25 el conjunto solucion de esta desigualdad

es el intervalo(

2726

,32

)−

{54

}, procedemos a resolverla como en los ejemplos anteriores.

Para quitar el valor absoluto utilizamos una de sus propiedades, la cual permite afirmar que∣∣∣∣2x + 34x − 5

∣∣∣∣ > 6 ⇔ 2x + 34x− 5

< −6 o bien2x + 34x − 5

> 6

Es decir, la desigualdad original∣∣∣∣2x + 34x − 5

∣∣∣∣ > 6 se cumple cuando se cumple que2x + 34x − 5

< −6 o bien cuando se

cumple que2x + 34x − 5

> 6

Luego entonces, el conjunto solucion CS de la desigualdad original es precisamente la union de los conjuntos solucion

de las desigualdades2x + 34x − 5

< −6 y2x + 34x− 5

> 6

(i) Resolvemos la desigualdad2x + 34x − 5

< −6 y obtenemos (ver y analizar el ejemplo 24) que el conjunto soluciones:

CS1 =(

2726

,54

).

(ii) Resolvemos la desigualdad2x + 34x− 5

> 6 y obtenemos (ver y analizar el ejemplo 23) que el conjunto solucion es:

CS2 =(

54,32

).

Finalmente obtenemos la union de CS1 y CS2, para ası tener el conjunto solucion CS de la desigualdad original

CS = CS1

⋃CS2 =

(2726

,54

)⋃ (54,32

)=

(2726

,32

)−

{54

}

�


1.3x− 4x − 2

≤ 5

2.5x + 2x + 3

> 4

3.x + 22x + 1

≥ −3

4.6 − 5x

1 + 3x< −2

5.5 + 3x

4x + 5> 1

6.6

10x + 2> 0

7.2

3 − 5x≤ −3

5

8.15 + 2x

x + 4≥ x

9.6x− 5x − 2

< 7

10.−2

x − 4< 7

11.x

x − 1> 1

4

12.2x + 3x + 8

< 5

13.3 − x

4x + 1≥ 4

14.2x− 9x − 1

≥ 8

15.2x + 33 − 4x

≤ 2

16.2x− 5 <

3x

+ 2

17. 2x + 5 ≤ 14x + 1

18.3x− 16x + 9

> 4

19.∣∣∣∣ 5 − 1

x

∣∣∣∣ < 1

20.|3x − 4 |

x − 5< −2

21.∣∣∣∣2− 3x

x + 3

∣∣∣∣ ≥14

22.∣∣∣∣5x− 13x + 2

∣∣∣∣ ≥ 4

23.1

2x− 3≥ 1

|x + 1 |

24.∣∣∣∣2x + 1x − 5

∣∣∣∣ > 1

25.∣∣∣∣4x + 12x− 3

∣∣∣∣ ≤ 5

26.|3 − x |5x + 3

< 1

27.|2x − 3 |

x + 1> 4

28.∣∣∣∣

1x− 2

∣∣∣∣ ≤ 6

29.∣∣∣∣ 5 +

4x

∣∣∣∣ ≥ 2


ax2 + bx + c ≥ 0 con a 6= 0

Se considera a 6= 0 ya que a = 0 nos darıa una desigualdad del tipo 1.7.1.Para resolver en general la desigualdad ax2+bx+c ≥ 0, nos apoyaremos en las soluciones de la ecuacion ax2+bx+c =0, que estan dadas por la formula

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a

Aquı, de acuerdo con el signo del discriminante b2 − 4ac, pueden ocurrir tres casos:

(1) Si b2 − 4ac > 0, entonces

ax2 + bx + c = 0 tiene dos raıces reales y distintas, que son:

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2a& x2 =

−b −√

b2 − 4ac

2adonde x1 6= x2, digamos x1 > x2 que se tiene cuando a > 0.

En este caso,

ax2 + bx + c ≥ 0 ⇔ a(x − x1)(x − x2) ≥ 0 ⇔⇔ (x − x1)(x − x2) ≥ 0 si a > 0 o bien (x − x1)(x − x2) ≤ 0 si a < 0

(i) La desigualdad (x − x1)(x − x2) ≥ 0 se cumple si:

x − x1 ≥ 0 & x − x2 ≥ 0 o bien x − x1 ≤ 0 & x − x2 ≤ 0

A su vez estas desigualdades se cumplen si:

x ≥ x1 & x ≥ x2 o bien x ≤ x1 & x ≤ x2

O en terminos de intervalos (recuerdese que x1 > x2)

x ∈ [x1, +∞) & x ∈ [x2, +∞) o bien x ∈ (−∞, x1] & x ∈ (−∞, x2]

x ∈ [x1, +∞)⋂

[x2, +∞) = [x1, +∞) o bien x ∈ (−∞, x1]⋂

(−∞, x2] = (−∞, x2]

Por lo que el conjunto solucion de (x − x1)(x − x2) ≥ 0 y por ende el de ax2 + bc + c ≥ 0 (para el casoa > 0) es:

CS = (−∞, x2]⋃

[x1, +∞)

Analogamente,

(ii) La desigualdad (x − x1)(x − x2) ≤ 0 se cumple si:

x − x1 ≥ 0 & x − x2 ≤ 0 o bien x − x1 ≤ 0 & x − x2 ≥ 0

A su vez estas desigualdades se cumplen si:

x ≥ x1 & x ≤ x2 o bien x ≤ x1 & x ≥ x2

O en terminos de intervalos (recuerdese que x1 > x2)

x ∈ [x1, +∞) & x ∈ (−∞, x2] o bien x ∈ (−∞, x1] & x ∈ [x2, +∞)

x ∈ [x1, +∞)⋂

(−∞, x2] = Ø o bien x ∈ (−∞, x1]⋂

[x2, +∞) = [x2, x1]

Luego el conjunto solucion de (x − x1)(x − x2) ≤ 0 y el de ax2 + bx + c ≥ 0 (para el caso a < 0) es:

CS = Ø⋃

[x2, x1] = [x2, x1]

Toda esta discusion se puede obviar escribiendo en forma resumida la tabla siguiente:

Signo de: ax2 + bx + c

Intervalo x − x2 x − x1 (x − x2)(x − x1) a > 0 a < 0x < x2(< x1) − − + + −x2 < x < x1 + − − − +(x2 <)x1 < x + + + + −

(2) Si b2 − 4ac = 0, entonces

ax2 + bx + c = 0 tiene una unica raız real (doble): x1 = x2 = − b

2ay ademas

ax2 + bx + c = a

(x +

b

2a

)2

Como(

x +b

2a

)2

≥ 0 siempre, entonces

Si a > 0, ax2 + bx + c ≥ 0 y su conjunto solucion es R.

Si a < 0, ax2+bx+c ≤ 0. Por lo que se cumplira ax2+bx+c ≥ 0 solo si ax2+bx+c = 0, es decir, si x = − b

2a,

por lo que el conjunto solucion es{− b

2a

}, que consta de un solo punto.

(3) Si b2 − 4ac < 0, entonces

En este caso ax2+bx+c = 0 no tiene raız real alguna. Es decir, para cualquier x ∈ R sucede que ax2+bx+c 6= 0por lo que,como veremos posteriormente:

(i) O siempre es positivo, en cuyo caso el conjunto solucion es R, si por ejemplo el valor de ax2 + bx + c parax = 0 es c > 0

(ii) O nunca es positivo, entonces el conjunto solucion es Ø, si c < 0

Ejemplo 27 Resolver la desigualdad 2x2 + x − 6 ≥ 0

HPrimero resolvemos la ecuacion 2x2 + x − 6 = 0

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a=

−1 ±√

12 − 4(2)(−6)2(2)

=−1 ±

√1 + 48

4=

−1 ± 74

Aquı se tienen dos raıces reales diferentes que son

x1 =−1 + 7

4=

64

=32

y x2 =−1 − 7

4=

−84

= −2

Entonces, la factorizacion del trinomio cuadratico es

2x2 + x − 6 = 2(

x − 32

)[x − (−2)] = 2

(x − 3

2

)(x + 2)

Luego resolvemos la desigualdad

2x2 + x− 6 ≥ 0 ⇔ 2(

x − 32

)(x + 2) ≥ 0 ⇔

(x − 3

2

)(x + 2) ≥ 0, ya que 2 > 0 ⇔

⇔ x − 32≤ 0 y x + 2 ≤ 0 o bien x − 3

2≥ 0 y x + 2 ≥ 0 ⇔

⇔ x ≤ 32

y x ≤ −2 o bien x ≥ 32

y x ≥ −2 ⇔

⇔ x ∈(−∞,

32

]y x ∈ (−∞,−2] o bien x ∈

[32, +∞

)y x ∈ [−2, +∞) ⇔

⇔ x ∈(−∞,

32

]⋂(−∞,−2] o bien x ∈

[32, +∞

)⋂[−2, +∞) ⇔

⇔ x ∈ (−∞,−2] o bien x ∈[32, +∞

)⇔

⇒ x ∈ (−∞,−2]⋃ [

32, +∞

)

Por lo tanto, el conjunto solucion de la desigualdad 2x2 + x − 6 ≥ 0 es

CS = (−∞,−2]⋃ [

32, +∞

)= R −

(−2,

32

)

�

Ejemplo 28 Resolver la desigualdad 4x2 − 4x + 1 > 0

HPrimero resolvemos la ecuacion 4x2 − 4x + 1 = 0

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a=

−(−4) ±√

(−4)2 − 4(4)(1)2(4)

=4 ±

√16 − 168

=4 ± 0

8=

48

=12

Aquı se tiene una unica raız real (doble) que es x =12

Entonces la factorizacion del trinomio cuadratico es

4x2 − 4x + 1 = 4(

x − 12

)2

Lo cual se puede ver directamente pues

4x2 − 4x + 1 = 4(

x2 − x +14

)= 4

(x − 1

2

)2

Luego resolvemos la desigualdad

4x2 − 4x + 1 > 0 ⇔ 4(

x − 12

)2

> 0 ⇔(

x − 12

)2

> 0, ya que 4 > 0 ⇔

⇔ x − 126= 0 ⇔ x 6= 1

2Por lo tanto, el conjunto solucion es

CS = R −{

12

}.

�

Ejemplo 29 Resolver la desigualdad x2 + 2x + 2 ≤ 0

HResolvemos la ecuacion x2 + 2x + 2 = 0

x =−2 ±

√22 − 4(1)(2)2(1)

=−2 ±

√4 − 8

2=

−2 ±√−4

2

Aquı no se tienen raıces reales, ya que√−4 no es un numero real. Esto nos indica que para ningun numero

real x sucede la igualdad x2 + 2x + 2 = 0.Luego entonces, como veremos posteriormente, para cada numero real x se cumple que

x2 + 2x + 2 < 0 o bien x2 + 2x + 2 > 0.

Como x = 0 ⇒ x2 + 2x + 2 = 02 + 2(0) + 2 = 2 ⇒

⇒ siempre se cumple x2 + 2x + 2 > 0 ⇒ nunca se cumple x2 + 2x + 2 ≤ 0

El conjunto solucion de x2 + 2x + 2 ≤ 0 es:CS = Ø .

Tambien se puede ver directamente pues x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1 > 0 siempre. �

Ejemplo 30 Resolver la desigualdad x2 − 2x− 15 < 0

HResolvemos la ecuacion x2 − 2x− 15 = 0

x =−(−2) ±

√(−2)2 − 4(1)(−15)2(1)

=2 ±

√4 + 602

=2 ±

√64

2=

2 ± 82

Aquı se tienen dos raıces reales diferentes, que son

x1 =2 + 8

2=

102

= 5 y x2 =2 − 8

2=

−62

= −3

Entonces, la factorizacion del trinomio cuadratico es

x2 − 2x − 15 = (x − 5)[x− (−3)] = (x − 5)(x + 3)

La cual tambien podemos hacer directamente.

Resolvemos la desigualdad

x2 − 2x − 15 < 0 ⇔ (x − 5)(x + 3) < 0 ⇔x − 5 < 0 y x + 3 > 0 o bien x − 5 > 0 y x + 3 < 0

x < 5 y x > −3 o bien x > 5 y x < −3x ∈ (−∞, 5) y x ∈ (−3, +∞) o bien x ∈ (5, +∞) y x ∈ (−∞,−3)

x ∈ (−∞, 5)⋂

(−3, +∞) o bien x ∈ (5, +∞)⋂

(−∞,−3) = Øx ∈ (−3, 5)

⋃Ø ⇒ x ∈ (−3, 5)

Por lo tanto, el conjunto solucion es el intervalo

CS = (−3, 5) .

�

Solucion geometrica

y = ax2 + bx + c es una parabola de eje paralelo al de las y y que dirige su concavidad hacia arriba si a > 0 o bienhacia abajo si a < 0.El vertice de esta parabola se puede determinar escribiendo

ax2 + bc + c = a

(x2 +

b

ax

)+ c

Completando el binomio(

x2 +b

ax

)de forma que sea un trinomio cuadrado perfecto y restando lo mismo que

sumamos, para no alterar la igualdad, tenemos que:

ax2 + bx + c = a

(x2 +

b

ax +

b2

4a2− b2

4a2

)+ c =

= a

(x2 +

b

ax +

b2

4a2

)+ c − b2

4a=

= a

(x +

b

2a

)2

+4ac − b2

4a

El valor extremo de esta expresion se obtiene cuando x +b

2a= 0, es decir, cuando x = −

b

2a.

Si a > 0 tenemos un valor mınimo y si a < 0 uno maximo, luego en ambos casos el vertice es el punto:

V

(−

b

2a, c −

b2

4a

)≡

(−

b

2a,4ac− b2

4a

)

Este vertice puede estar encima del eje de las x, en el eje x o debajo, dependiendo si

c − b2

4a>, =, o bien < 0

por lo que las parabolas quedan de la siguiente forma:

(i) a > 0

x

y= ax2+bx+c

V

V

V

b2-4ac < 0

b2-4ac = 0

b2-4ac > 0

c > 0

x1x2

Y el conjunto solucion de ax2 + bx + c ≥ 0 por lo tanto es R en los dos primeros casos, es decir, si b2 − 4ac ≤ 0.

El conjunto solucion es (−∞, x2]⋃

[x1, +∞) si b2−4ac > 0 donde x2 < x1 son las dos soluciones de ax2+bx+c =0, reales y distintas.

(ii) a < 0

x

y= ax2+bx+c

V

V

V

b2-4ac < 0

b2-4ac = 0

b2-4ac > 0

c < 0

x1x2

En el primer caso, si b2 − 4ac > 0 el conjunto solucion es [x2, x1], donde nuevamente x2 & x1 son las dos raıcesreales y distintas de ax2 + bx + c = 0.

Si b2 − 4ac = 0 el conjunto solucion es{− b

2a

}.

Y si b2 − 4ac < 0 el conjunto solucion de ax2 + bx + c ≥ 0 es el conjunto Ø.

Ejemplo 31 Resolver geometricamente la desigualdad −x2 + 2x + 3 ≥ 0

H

Notamos que y = −x2 + 2x + 3 es de la forma y = ax2 + bx + c, donde a = −1, b = 2 y c = 3. Aquı a < 0ya que a = −1, por lo cual y = −x2 + 2x + 3 es una parabola vertical que se abre hacia abajo a partir de suvertice V .

y = −x2 + 2x + 3 = −(x2 − 2x) + 3 = −(x2 − 2x + 12 − 12) + 3

y = −(x2 − 2x + 1) + 1 + 3 = −(x − 1)2 + 4x − 1 = 0 ⇒ x = 1 & x = 1 ⇒ y = 4, por lo que V (1, 4) es el vertice.

Visualizamos a la parabola en el plano cartesiano, abriendose hacia abajo desde el vertice V (1, 4). Vemos lanecesidad de resolver la ecuacion −x2 + 2x + 3 = 0

x =−2 ±

√22 − 4(−1)(3)2(−1)

=−2 ±

√4 + 12

−2=

−2 ±√

16−2

=−2 ± 4−2

⇔

⇔ x1 =−2 + 4−2

=2−2

= −1 y x2 =−2 − 4−2

=−6−2

= 3

Se tiene entonces una parabola donde y ≥ 0 cuando −1 ≤ x ≤ 3; es decir, −x2+2x+3 ≥ 0 cuando −1 ≤ x ≤ 3.

-1 1 3x

4

y

VH1,4L


CS = [−1, 3]

�


a1x2 + b1x + c1 ≥ a2x

2 + b2x + c2, con a1 6= a2

(Si a1 = a2, trasponiendo los terminos al primer miembro nos quedarıa una desigualdad del tipo 1.7.2, si b1 6= b2.Si tambien b1 = b2 nos queda la desigualdad c1 ≥ c2 que puede ser verdadera o no; en el primer caso el conjuntosolucion serıa R y en el segundo Ø).Trasponiendo los terminos nuestra desigualdad la podemos escribir de la forma:

a1x2 + b1x + c1 − (a2x

2 + b2x + c2) ≥ 0

Esto es:

(a1 − a2)x2 + (b1 − b2)x + (c1 − c2) ≥ 0

Que es del tipo 1.7.8.

Ejemplo 32 Resolver la desigualdad 3x2 − 4x + 5 ≤ 9x − 3x2 + 10

H3x2 − 4x + 5 ≤ 9x− 3x2 + 10 ⇔ 3x2 − 4x + 5 − 9x + 3x2 − 10 ≤ 0 ⇔ 6x2 − 13x− 5 ≤ 0

Resolvemos la ecuacion 6x2 − 13x− 5 = 0

x =−(−13) ±

√(−13)2 − 4(6)(−5)2(6)

=13 ±

√169 + 12012

=13±

√289

12=

13 ± 1712

⇒

⇒ x1 =13 + 17

12=

3012

=52

y x2 =13− 17

12=

−412

= −13

La factorizacion del trinomio cuadratico es

6x2 − 13x− 5 = 6(

x − 52

) [x −

(−1

3

)]= 6

(x − 5

2

) (x +

13

)

Resolvemos la desigualdad

6x2 − 13x− 5 ≤ 0 ⇔ 6(

x − 52

)(x +

13

)≤ 0 ⇔

(x − 5

2

)(x +

13

)≤ 0 ⇔

x − 52≤ 0 y x +

13≥ 0 o bien x − 5

2≥ 0 y x +

13≤ 0 ⇔

⇔ x ≤ 52

y x ≥ −13

o bien x ≥ 52

y x ≤ −13⇔

⇔ x ∈(−∞,

52

]y x ∈

[−1

3, +∞

)o bien x ∈

[52, +∞

)y x ∈

(−∞,−1

3

]⇔

⇔ x ∈(−∞,

52

]⋂ [−1

3, +∞

)o bien x ∈

(−∞,−1

3

]⋂ [52, +∞

)⇔

⇔ x ∈[−1

3,52

]o bien x ∈ Ø ⇔

⇔ x ∈[−1

3,52

] ⋃Ø ⇒ x ∈

[−1

3,52

]


CS =[−1

3,52

].

�

Ejemplo 33 Resolver la desigualdad 2x2 − 3x + 4 > x2 − 5x + 2

H2x2 − 3x + 4 > x2 − 5x + 2 ⇔ 2x2 − 3x + 4 − x2 + 5x − 2 > 0 ⇔ x2 + 2x + 2 > 0

Esta desigualdad, como vimos en el ejemplo 29, siempre se cumple. Por lo tanto el conjunto solucion de la desigualdadoriginal es:

CS = R .

�Geometricamente resolver la desigualdad a1x

2 + b1x + c1 ≥ a2x2 + b2x + c2, con a1 6= a2 quiere decir hallar las x

tales que la grafica de la parabola y = a1x2 + b1x + c1 esta encima de la parabola y = a2x

2 + b2x + c2.

Ejemplo 34 Geometricamente, resolver la desigualdad 2 − 2x− 4x2 ≥ 2x2 + 9x + 5

HCompletando un trinomio cuadrado perfecto en cada caso, determinamos el vertice de cada parabola.

−4x2 − 2x + 2 = −4(x2 + 1

2x + 116

)+ 2 + 1

4 = −4(x + 1

4

)2 + 94

2x2 + 9x + 5 = 2(x2 + 9

2x + 8116

)+ 5 − 81

8 = 2(x + 9

4

)2 − 418

La parabola y = −4x2 − 2x + 2 se abre hacia abajo (por ser a = −4 < 0) a partir de su vertice V1

(−1

4,94

)y la

parabola y = 2x2 + 9x + 5 se abre hacia arriba (por ser a = 2 > 0) a partir de su vertice V2

(−9

4,−41

8

).

Las parabolas se intersecan cuando: 2x2 + 9x + 5 = −4x2 − 2x + 2. Esto sucede cuando 6x2 + 11x + 3 = 0

-4 -3 -3��2

-1 -1��3

1 2x

-5

y

o

y=2x2+9x+5 y=-4x2-2x+2

H-1��4

,9��4

L

H-9��4

,-41��8

L

Conjunto solucion: [−3

2 ,−13

],

donde −32 y −1

3 son las abscisas de los puntos de interseccion de las dos parabolas y = 2−2x−4x2 y y = 2x2+9x+5y en el intervalo

[−3

2 ,−13

]la primera esta encima de la segunda.

�


1. x2 − 5x + 4 > 0

2. x2 − 4x − 12 < 0

3. 9x2 − 4 ≥ 0

4. 1 − x2 ≤ 0

5. 2x2 + 5x + 2 > 0

6. 2x2 + 5x− 3 < 0

7. 3x2 − x − 2 ≥ 0

8. 3x2 + 7x− 6 ≤ 0

9. 2x2 + 9x + 5 ≤ 2 − 2x − 4x2

10. −3x2 + 3x − 2 > 4x − 9x2 − 1

11. 4x2 − 2x + 1 ≥ 10x2 + 3x− 5

12. 2x2 + 3x− 4 < x2 + x − 6

13. 2 <7x + 17x2 + 1

14. 2x2 + x < 6

15. 3x2 − x + 4 ≥ 3x2 + 2x ≥ 5

16. 2x2 − 3x < x2 ≤ 2x2 − 4

17. 3x2 − 4x + 5 ≤ 9x − 3x2 + 10

18. 2x2 + 7x− 5 ≤ 2x − 2

19.3x2 − 275 − 3x

≥ 0

20. x2 + 3x − 6 ≥ 2

21. 3x− 3x2 − 2 ≥ 4x − 9x2 − 1

22. 6x2 − 7x < 3

23.∣∣ 2x2 + x − 1

∣∣ ≥ x2 + 1

24.∣∣ (x2 − 5x + 6)2

∣∣ = x2 − 5x + 6

25. x2 ≥ 3 |x |+ 4

26.

∣∣ 2x2 − x − 3∣∣

x − 1< 4

27.∣∣ x2 − 4

∣∣ ≥ x2 + x + 1

28.2x − 3|x + 1 | ≤ x

29. |3 − x | > 2x2 + 3

30.x2 − x

|x | + x2 + 1< 0

31. |5x − 3 | ≤ x2 − 2

Mutatis mutandis, cambiando lo que hay que cambiar, el procedimiento para resolver estos mismos tipos de desigual-dades con los signos >, < o bien ≤ en vez de ≥ es identico.


Soluciones de los ejercicios del Capıtulo 1

Ejercicios 1 (pag. 12)

1.(−∞, 27

7

]

2.(−∞, 8

5

)

3.(−∞, 27

7

]


1.(−∞, 27

7

]

2.(−∞, 8

5

)

3. [7, +∞)

4.(

9635 , +∞

)

5. (−∞, +∞)

6. Ø, Conjunto vacıo

7. (−∞, 3)

8.(

13, +∞

)


1. (−1, 4]

2.(−5

3,−1

)

3.(−33

8,−13

8

)

4.(

23, 14

3

]

5. (−1, +∞)

6.(−1

5, 0

)

7.[2031

, 3617

]

8.[−7

8, +∞

)


10.[10311

, 60)


1.[−1

4, 3

2

]−

{58

}

2.[−5

4,−1

4

] ⋃[0, 1]

3. [65.8, 71.2]

4.(−∞, 3

7

]

5.[−1

2, 3

5

]



7.[−1

4 , +∞]

8.[−2

3 , 8]

9. [−1, 1]


1. (−∞, 2)⋃

[3, +∞) = R − [2, 3))

2. (−∞,−3)⋃

(10, +∞)

3.(−∞,−5

7

] ⋃ (−1

2 , +∞)

4.(−8,−1

3

)

5.(−5

4 , 0)

6.(−1

5 , +∞)

7.(

35 , 19

15

]

8. (−∞, 2)⋃

(9, +∞) = R − [2, 9]

9.(−∞, 26

7

) ⋃(4, +∞) = R −

[267 , 4

]

10.(−∞,−1

3

) ⋃(1, +∞) = R −

[−1

3 , 1]

11.(−∞,−37

3

) ⋃(−8, +∞)

12.(−1

4 ,− 117

]

13.[−1

6, 1

)

14.(−∞,−9

2

] ⋃(−1, 1]

15.(−∞, 4

11

] ⋃ (34, +∞

)

16.(−∞,−1

7

) ⋃(0, +∞)

17.(−37

21 ,−32

)

18. (−∞,−3)⋃ (

−3, + 513

] ⋃[1, +∞)

19.(

16 , 1

4

)

20. (−∞,−6)⋃ (

145 , 5

)

21.(

32 , 4

]

22. (−∞,−6)⋃ (

43, 5

)⋃(5, +∞)

23. R −(1, 8

3

)

24.(−1,−1

6

)

25. R −(

116 , 13

6

)

26. R −(−4

3 ,−47

)− { 0 }

27.[−9

7 ,−23

) ⋃ (−2

3 ,− 717

]

Ejercicios 6 (pag. ??)


1. (−∞, 1)⋃

(4, +∞) = R − [1, 4]

2. (−2, 6)

3.(−∞,−2

3

] ⋃ [23 , +∞

)= R −

(−2

3 , 23

)

4. (−∞,−1]⋃

[1, +∞) = R − (−1, 1)

5. (−∞,−2)⋃ (

−12 , +∞

)= R −

[−2,−1

2

]

6.(−3, 1

2

)

7.(−∞,−2

3

] ⋃[1, +∞) = R −

(−2

3, 1

)

8.[−3, 2

3

]

9.[−3

2 ,−13

]

10.(−∞,−1

3

) ⋃(12 , +∞

)

11.[−3

2 , 23

]


13. x ∈(−

32, 5

)

14.(−2, 3

2

)

15.(−∞,−5

3

] ⋃ [1, 4

3

]

16. [2, 3]

17.[−1

3 , 52

]

18.[−3, 1

2

]

19.(−∞,−

√41+32

] ⋃[√41−32 , +∞

)

20. R −(−1

3, 1

2

)

21.(−1

3, 3

2

)

22. (−∞,−2]⋃[

−13 , 0

] ⋃[1, +∞)

23. x ∈ (−∞, 2]⋃

[3, +∞)

24. (−∞,−4]⋃

[4, +∞) = R − (−4, 4)

25. (−∞, 1)⋃(

−3+√

654 , +∞

)

26. (−∞,−5]⋃[

−32 , 1

]

27.(−1

2 , 0)

28. (0, 1)

29.{(

−∞,−5+√

452

] ⋃[−5+

√45

2, +∞

)} ⋂{ (−∞, 5−

√21

2

] ⋃ [5+

√21

2, +∞

)}

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