Wilder Jesús Parra Soteldo

Longitud de arco

Introducción

En el siglo XVII, justo antes de la invención del cálculo diferencial e integral,

hay muchos métodos para problemas de cuadratura (cálculo de áreas), cubicación y

rectificación de una curva.

El problema de calcular la longitud de arco de una curva es en algunos casos

extremadamente difícil, ya que nos puede llevar a integrales elípticas. Con la

invención del cálculo diferencial e integral, este procedimiento conduce a la

resolución de una integral definida, donde el integrando implica una raíz cuadrada y

la derivada de la función.

LONGITUD DE ARCO

Para las curvas generadas por las funciones de primer grado, simplemente aplicar el

Teorema de Pitágoras en el rango deseado, nos encontramos con la longitud de la

función rápidamente.

Para otras funciones, tenemos que utilizar el cálculo diferencial e integral para

determinar la longitud de un arco dado.

Considere la función y = f (x) continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b), el

gráfico se puede ver a continuación:

Para determinar la longitud de arco de la curva entre los puntos

y podemos subdividir la curva en segmentos infinitesimales de recta,

ya sabemos calcular la relación (1), donde:

Como puede verse en la figura siguiente:

Es el punto donde. La longitud total del

polígono es la suma de las longitudes de los cables que

conectan cada punto al siguiente.

Ya sea para k = 1, 2, 3, ..., n

Así que tenemos triángulos rectángulos y el problema sería bajar a conocer la

longitud infinitesimal de su hipotenusa tamaño:

El Teorema de Pitágoras, la longitud de la k ª cadena denotan

por es igual a:

Mientras que f (x) continua en el intervalo [a, b] y derivable en(a, b),

entonces f (x) es derivable en el intervalo [x k -1, x k] y el teorema del valor medio

existe, de tal manera que :

Sustituyendo (3) en (2) da:

Pero es sólo la longitud de un segmento infinitesimal de la curva. Para la longitud

total de la poligonal L, hacer:

Cuando tiende a infinito, la longitud del subintervalo tratar de cero. Por lo tanto,

si L indica la longitud del arco AB, a continuación:

Esto con la hipótesis adicional de que f (x) es continua para el pleno dada en relación

(5) existe.

Estos son algunos ejemplos para ilustrar esta idea:

Ejemplo 1: Si la función f (x) = 2 x - 1. Determinar la longitud del arco de la

curva f (x) en el intervalo [1, 2].

En primer lugar se calcula la derivada de la función:

Entonces sustituido en la fórmula (5) a la longitud de arco:

Gráficamente tendríamos:

Si utilizamos el teorema de Pitágoras, obtenemos:

¿Qué es exactamente lo que nos encontramos con la fórmula con la integral.

Podemos aplicar este concepto a varias curvas más complejas, pero dependiendo de la

función original, pueden conducir a un pozo lleno de la dificultad de

resolución. Veamos otros ejemplos:

Ejemplo 2: es la función.

Determinar la curva de la longitud de arco en el intervalo [1, 4].

Para resolver esta integral, utilizamos la integración mediante la técnica de

sustitución. Lo hacemos:

Pero:

Ejemplo 3: Si la función f (x) = cosh (x). Determinar la curva de la longitud de arco

en el intervalo [- y, y].

La identidad fundamental de la trigonometría hiperbólica, tenemos:

Reemplazar (8) (7):

Las ecuaciones paramétricas pueden emplearse para definir una curva descrita por un

movimiento físico. Como ejemplo, se considera una cicloide, la

curva descrita por un punto de una circunferencia conforme esta rueda a lo

largo de una recta. Sea a el radio de la circunferencia y sea el eje x la recta fija

sobre la cual rueda la circunferencia. Considere al origen como uno de los

puntos donde el punto dado P hace contacto con el eje x. después de lo cual la

circunferencia ha rodado un ángulo de t radianes, como se muestra en la figura. La

circunferencia ha rodado una distancia de |𝑂𝑇̅̅ ̅̅ | unidades, la cual también es la

longitud del arco PT de la circunferencia. Así, |𝑂𝑇̅̅ ̅̅ | = 𝑎𝑡 .Las coordenadas de C, el

centro de la circunferencia, son entonces (𝑎𝑡, 𝑎).

Del triángulo rectángulo PAC, = |𝑃𝐴̅̅ ̅̅ | = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 |𝐴𝐶̅̅ ̅̅ | = a cos t. Así

𝑥 = |𝑂𝑇̅̅ ̅̅ | − |𝑃𝐴̅̅ ̅̅ | 𝑦 𝑦 = |𝑇𝐶| − |𝐴𝐶|

𝑥 = 𝑎𝑡 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 𝑦 = 𝑎 − cos 𝑡

Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la cicloide son

𝑥 = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡) 𝑦 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡)

Donde t es cualquier número real.

Definición de curva lisa

Una curva plana C definida por las ecuaciones paramétricas

𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 𝑦 = 𝑔(𝑡) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

Se dice que es lisa (o suave) en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si 𝑓′𝑦 𝑔′ son continuas en

[𝑎, 𝑏] 𝑦 𝑓′(𝑡) 𝑦 𝑔′(𝑡) no son cero simultaneamente en cada numero del intervalo

abierto (𝑎, 𝑏).

Definición de longitud de arco de una curva plana

Sea C la curva que tiene las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔(𝑡). Suponga

que existe un número L que tiene la siguiente propiedad: para cualquier 𝜖 > 0 existe

𝛿 > 0 tal que para toda partición ∆ del intervalo [𝑎, 𝑏] para la cual ‖∆‖ < 𝛿

entonces

|∑|𝑃𝑖 − 𝑃𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ | − 𝐿

𝑛

𝑖=1

| < 𝜖

Esto se expresa como

𝐿 = lim‖∆‖→0

∑|𝑃𝑖−1 𝑃𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅|

𝑛

𝑖=1

Y 𝐿 unidades se denomina la longitud de arco de la curva C desde el punto

(𝑓(𝑎), 𝑔(𝑎)) hasta el punto (𝑓(𝑏), 𝑔(𝑏)).

Se dice que el arco de la curva es rectificable si el límite de la definición existe. Si

𝑓′𝑦 𝑔′ son continuas en [𝑎, 𝑏], Se procede como sigue para determinar una formula a

fin de evaluar este limite.

Como 𝑓′𝑦 𝑔′ Son continuas en [𝑎 , 𝑏], se procede como sigue para detrminar una

formula a fin de evaluar este limite.

Como 𝑓′𝑦 𝑔′ Son continuas en [𝑎 , 𝑏], son continuas en cada subintervalo de la

particion ∆. De modo que 𝑓 𝑦 𝑔 satisfacen la hipotesis del teorema del valor medio

en cada subintervalo [𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖] tales que

𝑓(𝑡𝑖) − 𝑓(𝑡𝑖−1) = 𝑓′(𝑧𝑖)∆𝑖𝑡

Y

𝑔(𝑡𝑖) − 𝑔(𝑡𝑖−1) = 𝑔′(𝑤𝑖)∆𝑖𝑡

Al sustituir de estas ecuaciones en (1) se obtiene

|𝑃𝑖−1 , 𝑃𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅| = √[𝑓′(𝑧𝑖)∆𝑖𝑡]2 + [𝑔′(𝑤𝑖)∆𝑖𝑡]2

|𝑃𝑖−1 , 𝑃𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅| = √[𝑓′(𝑧𝑖)]2 + [𝑔′(𝑤𝑖)]2 − ∆𝑖𝑡

Donde 𝑧𝑖 𝑦 𝑤𝑖 están en el intervalo abierto (𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖)

Si el límite existe entonces.

𝐿 = lim‖∆‖→0

∑ √[𝑓′(𝑧𝑖)]2 + [𝑔′(𝑤𝑖)]2∆𝑖𝑡

𝑛

𝑖=1

La suma e no es suma de Riemann debido a que 𝑧𝑖 𝑦 𝑤𝑖 no son necesariamente los

mismos números. Por esta razón no puede aplicarse la definición de integral definida

par a evaluar el límite. Sin embargo, existe un teorema que puede aplicarse con el fin

de evaluar este límite.