LONGITUD DE ARCO

Calcular la longitud de arco o de una curva dada por una función en un intervalo , tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Es necesario que hagamos un breve estudio del cálculo de ellas.

fbxa ≤≤

Una aproximación es una línea recta desde el punto x=a hasta el punto x=b , como se indica en la figura: Dado los incrementos en x y en y, entonces la longitud L (por el teorema de Pitágoras), es:

22 )()( yxL ∆+∆= (1)

Ahora como se ve en la animación, la RECTA que es secante a la curva se vuelve recta tangente en un punto cuando 0→∆x .

Entonces podemos determinar que, la pendiente de la recta tangente es:

xyxf

∆∆

=)(' ,

Despejando y reemplazando en (1), nos queda y∆

22 ))('()( xfxxL ∆+∆=

Factorizando y extrayendo la raíz, tenemos 2)( x∆

xxfL ∆+= 2))('(1

Siguiendo las sumas de Riemann, entonces tenemos que la longitud de curva de en el intervalo , esta dada por: )(xf bxa ≤≤

dxxfLb

a∫ += 2))('(1

Ejemplo: Calcular la longitud de la curva en el intervalo [ ]4,0 de la función

13

24)( 23−= xxf

Solución: Dada la integral para calcular la longitud de curva, entonces primero

derivamos la función )(xf

21

23*

324)(' xxf = ,

Simplificando y elevando al cuadrado,

xxxf 8)22())('( 2212 ==

Ahora sustituimos en la integral para calcular la longitud

dxxL ∫ +=4

081

Integrando por sustitución, queda

32

=L

Que es la longitud de la curva pedida. A continuación veremos una aplicación de la longitud de curva en el cálculo del área de superficie de un sólido de revolución.

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION

Las superficies de revolución son aquellas que se generan haciendo girar una curva (una cuerda) alrededor de una recta Para calcular el área de una superficie de revolución generada al girar la recta azul alrededor del eje x se genera un tronco de cono circular recto cuya superficie lateral es: RLA π2=

1r = radio menor = radio mayor 2r L= longitud del segmento

221 rrR +

= radio medio del tronco del cono

Supóngase ahora que se gira la grafica de la función f (x) cuya derivada es continua en el [a,b] alrededor del eje x para formar la superficie de revolución

0≥

Se hace una partición del intervalo [a,b] de ancho es decir

,cuando las imágenes f(x

iix∆

bxxxxxa n =<<<<= ........3210 i ) de cada punto se unen entre si se forma un trapecio, cuando esta figura se hace girar en torno al eje x se genera un tronco de cono

y la longitud de cada segmento que une dos puntos es 22 )()( iII yxL ∆+∆=∆ y

el área superficial de un solo tronco de cono esta dada por

)(2 ii xfs π=∆ 22 )()( iI yx ∆+∆ y por el teorema del valor medio esta área se

puede escribir como :i

i

i

i

iii x

xy

xx

xfs ∆∆∆

+∆∆

=∆ 22

2

)(2)(

)()(

)(2π

ii

iii x

xy

xfs ∆∆∆

+=∆ 2)(2)(

1)(2π por lo tanto el área total de toda la superficie

generada puede aproximarse como la suma de las áreas de todos los troncos de conos que se formen con esa partición y cuando la longitud de cada segmento tiende a cero y el numero de segmentos tiende a infinito se tiene :

i

n

inxxfxfS ∆+= ∑∞→

2/ )(1)(2lim π que equivale a la siguiente integral definida :

dxxfxfSb

a

2/ )(1)(2 += ∫ π donde f(x) es el radio R(x) o distancia entre la

grafica y el eje de revolución correspondiente Cuando la grafica gira el torno al eje y el R(x)=x entonces la formula es

dxxfxSb

a

2/ )(12 += ∫ π y Cuando la grafica gira el torno al eje x el R(x)=f(x)

entonces la formula es

dxxfxfSb

a

2/ )(1)(2 += ∫ π y

EJEMPLO: Hallar el área S de la superficie de revolución que se forma al hacer girar la

grafica de la función xy = en el intervalo [1,4] alrededor del eje x SOLUCION : Se grafica la función

Se deriva la función y se reemplaza en la fórmula

xy =

xy

21' =

Entonces el área superficial es

dxx

xS24

1 2112 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫ π

dxx

xS ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∫ 4

1124

1

π

dxx

xxS4

1424

1

+= ∫π

simplificando

dxxS ∫ +=4

1

14π ,haciendo u=4x+1 se obtiene

4

1

23

23

)14(63

)14(412 ⎥

⎦

⎤+=

+= xxS ππ

=23

)1)4(4(6

+π

-23

)1)1(4(6

+π

=−2

3

)17(6π 2

3

)5(6π

= 30.85 unidades cuadradas EJEMPLO: Hallar el área S de la superficie de revolución que se forma al hacer girar la

grafica de la función en el intervalo [2,2xy = 2 ] alrededor del eje y

SOLUCION: Se deriva la función y se reemplaza en la fórmula Cuando la grafica gira el torno al eje y el radio es x entonces la formula es

dxxfxSb

a

2/ )(12 += ∫ π por lo tanto y el área es xy 2' =

dxxxS 22

0

)2(12 += ∫ π

dxxxS 22

0

412 += ∫ π,esta integral se hace por sustitución tomando

reemplazando e integrando

241 xu +=

xdxdu 8=duuS ∫=

9

1

2π=

=] 91

23

))(32

82 uπ

=1

6729

6ππ

−= 6

26π= 3

13π

se hace la grafica

R

OTACION DE UNA CURVA DADA EN TERMINOS DE x=g(y)

Cuando la función esta de la forma x=g(y) en el intervalo[c,d] entonces el área

de la superficie generada es dyygygS

d

c

2)('1)(2 += ∫ π donde el radio es

ladistancia entre la grafica de g y el eje de revolución EJEMPLO El segmento de recta x=1-y gira alrededor del eje y en el intervalo [0,1] halle el área de la superficie de revolución generada (un cono) SOLUCION

x=1-y entonces la derivada es 1/ −=x

dyxSd

c

2)1(12 −+= ∫ π pero x=1-y por lo tanto reemplazando

dyyS 21

0

)1(1)1(2 −+−= ∫ π=

] 01

21

0

)2

(222)1(2 yydyyS −=−= ∫ ππ=2

ππ 2)211(2 =−

Usando la formula geométrica se obtiene; Área de la superficie lateral del cono es S=circunferencia de la base x la altura

oblicua dividida por 2 es decir S=ππ 22

2)1(2

=

EJEMPLO Superficie de la Hipocicloide

La hipocicloide yx 32

32

+ = 1 es una curva generada por la trayectoria que describe un punto situado sobre una circunferencia que rueda, sin deslizamiento por el interior de otra circunferencia

Hallar el área de la superficie generada al girar ,alrededor del eje x la parte de

La hipocicloide yx 32

32

+ = 1 SOLUCIÓN

Se despeja y en el primer cuadrante , 23

32

)1( xy −= x en [0, 1 ] y duplica el resultado

La derivada es )

32()1(

23 3

121

32

/−

−−= xxy

)()1( 31

21

32

/−

−−= xxy Reemplazando en la fórmula

dxxxxSb

a

231

21

32

23

32

)()1(1)1(2−

−−+−= ∫ π

=−+−=−

∫ dxxxxSb

a

))(1(1)1(2 32

32

23

32

π

=−+−=−

∫ dxxxxSb

a

)(1)1(2 032

23

32

π

=−+−=−

∫ dxxxSb

a

)1(1)1(2 32

23

32

π

=−=−

∫ dxxxS ))1(2 321

0

23

32

π

=−=−

∫ dxxxS 311

0

23

32

)1(2π =−=−

∫ dxxxS 311

0

23

32

)1(2πpor sustitución se hace

32

1 xu −= y la derivada dxxdu 3

1

32 −−

=resulta la integral

S=duu

232

0

1

23

∫ π= -

duu232

0

1

23

∫ π= -

]5

6)56( 0

125 ππ =u

Diseño Clara Castillo.