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7/24/2019 logicade predicado.doc

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LOGICA DE PREDICADOS

LOGICA DE PREDICADOS O CUANTIFICACIONAL

La lgica de enunciados solo analiza los racionamientos cuya validez no depende de

la estructura interna de las proposiciones. Hay racionamientos validos en la parteformal en los que es preciso penetrar la estructura interna del enunciado. Dada unaproposicin, la lgica de predicados distingue entre individuos y sus propiedades

Ejemplo:anuel estudia !ngenier"a de #istemas$

Es una proposicin simple, donde los sujetos se sim%olizaran con letras min&sculascba ,, y se llaman constante individual o t'rminos.

#e llama predicado a la pala%ra o frase que (ace referencia al sujeto o termino, y se

sim%oliza CBA ,,

Ejem:anuel estudia ingenier"a de sistemas:a A

FUNCIONES PROPOSICIONALES

)onsidere una proposicin:

*ustavo es ingeniero

+edro es ingenieroario es ingeniero

Estas proposiciones tienen algo en com&n y es el predicado. Esto se puede epresar

utilizando una varia%le individual ( )x .

x es ingeniero$

Esta epresin no es una proposicin puesto que no es verdad ni falsedad . x esuna varia%le que toma valores dentro de un conjunto -referencial, estas epresionesreci%en el nom%re de funciones preposicionales.

La notacin que se emplear/ para cualquier +roposicin #imple ser/n las letras,...,, rqp etc., mientras que una funcin proposicional la representamos por,...,, xxx RQP etc.

Ejemplo:

x es un numero racional y z es un numero entero$

En s"m%olos: zx ER

CUANTIFICADORES

Las epresiones:0odo (om%re es mortal$


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1lgunos (om%res son ignorantes$

+ueden traducirse:

+ara todox

, six

es (om%re entonces es mortalEiste un x , tal que x es (om%re y x es sa%io.

Estos cuantificadores se dividen en:

a) CUANTIFICADOR UNIVERSAL

#"m%olo: x

#ignifica: +ara todo x $

0odo x

)ualquier x

)ada x

b) CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

#"m%olo: x

#ignifica: Hay x

Eiste un x , tal que

1lg&n x

1lgunos x

Eisten tres formas de convertir una funcin proposicional XP en una proposicin a

sa%er:

Haciendo la sustitucin de las varia%les por un termino especifico

1nteponiendo la epresin +ara todo x $

1nteponiendo la epresin Eiste unx $

( ) ( )Xx

P: Eiste un x tal que XP

( ) ( )Xx P : +ara todo x , XP

1l anteponerle a la funcin proposicional XP un cuantificador, x pasa a ser unavaria%le ligada.

2na proposicin( )( )

Xx P

es V , cuando todas las sustituciones de la varia%le x

por elementos del conjunto de referencia convierte a XP en verdadera.

2na proposicin( ) ( )

Xx P

es V , cuando toda las sustituciones de la varia%le x por

al menos un elemento del conjunto de referencia.


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Ejemplo:

Decir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

a. ( )( )14473 += xxZx

%. ( ) ( )012

xZx

c. ( )( )012

=+ xZx

d. ( ) ( )( 121 22

++=+ xxxZx

#olucin:

a. ( )( )14473 += xxZx

)omo ( ) ( ) 1434733 += , entonces el conjunto solucin es { }3 , que no esvac"o y, por tanto, la proposicin es verdadera.

%. ( ) ( )012 xZx

)omo esta proposicin se de%e cumplir para todo entero y Z0 y

01102

= , entonces la proposicin es falsa.

c. ( )( )012

=+ xZx

3o es posi%le encontrar un entero tal que 012

=+x , por tanto la proposicin esfalsa.

d. ( ) ( )( 121 22

++=+ xxxZx

Del alge%ra se sa%e que( ) 121 22 ++=+ xxx

, entonces la proporcin esverdadera.

NEGACION DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS

Las proposiciones universales pueden negarse como en el enunciado:

3o todos los ingenieros$.

4 se sim%oliza:( )( )

Xx M

0am%i'n se puede utilizar: 3inguno, ning&n, nada, nadie .

La proposicin 3inguno es mec/nico$ no equivales a 3o todos son mec/nicos$, sino

a la epresin: +ara todo x , x no es mec/nico

( )( )Xx

M

Las proposiciones anteriores pueden ser negadas como por ejemplo:

3o es cierto que (ay mec/nicos$. En s"m%olos:( )( )

Xx M

1lguien no es mec/nico$. En s"m%olos:

( )( )Xx

M

.


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+ara estudiar la negacin de funciones proposicionales, es conveniente fijar nuestraatencin en el diagrama dado. 5eamos las cuatro formas de proposiciones generalesque (ay tradicionalmente en la lgica:

1: 0odo # es +: 0odos los (om%res son mortales.E: 3ing&n # es +: 3ing&n (om%re es mortal.!: 1lg&n # es +: 1lg&n (om%rees mortal.6: 1lg&n # no es +: 1lg&n (om%re no es mortal.

En las formas anteriores, # significa un sujeto del cual se afirma o niega algo, y + es elpredicado, o sea lo que se dice del sujeto.

6%serve que las dos primeras proposiciones son universales, la primera afirmativa y lasegunda negativa7 las dos &ltimas son particulares, la primera afirmativa y la segundanegativa.

1 continuacin se presentan las equivalencias, usando funciones proposicionales concuantificadores:

1: 0odo # es +: ( )( )xPx 2niversal afirmativa

E: 3ing&n # es +: ( )( )

xPx 2niversal negativa

!: 1lg&n # es +: ( ) ( )xPx +articular afirmativa

6: 1lg&n # no es +: ( ) ( )

xPx

+articular negativa

En )onclusin:

La negac!n "e #na $#nc!n p%opo&conal con #n c#an'$ca"o% #n(e%&al e&e#(alen'e a la negac!n "e la m&ma $#nc!n p%opo&conal* p%ece""a po% elc#an'$ca"o% e+&'encal , (ce(e%&a-

Es decir:

( )( ) ( )( )xx

PSxPSx

( )( ) ( )( )xx

PSxPSx

Ejemplo:Encontrar la negacin de las siguientes proposiciones:

a. ( )( )103 + xx

#olucin:

( ) ( ) ( )( )103103 =++ xxxx

%. ( )( )73 + xx

#olucin:

( ) ( ) ( ) ( )7373 ++ xxxx


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CUANTIFICACION RESTRINGIDA

Estas proposiciones universales o eistenciales algunas de ellas poseen en ellenguaje ordinario estructuras simples realmente poseen estructuras compuestas.

Ejemplo:0odos los (om%res son pensantes$

#e puede escri%ir:

+ara todo x , si x es un (om%re entonces x es pensante$

#e puede sim%olizar: ))((

XXx PH

Este es un ejemplo de proposiciones universal o eistencial que tienen m/s de unpredicado %ajo el alcance de un cuantificador.

LE.ES DE INTERCA/0IO DE CUANTIFICADORES

( ) ( ) Xx

P ( )( )Xx

P

( )( ) Xx

P ( ) ( )Xx

P

( )( ) Xx P ( ) ( )Xx P( ) ( )

Xx P ( ) ( )

Xx P

Estas leyes epresan que la negacin de una proposicin eistencial es equivalente ala afirmacin de un cuantificador universal cuya funcin proposicional es la negacinde la primera.

0am%i'n podemos afirmar que:

#i( ) ( )

Xx P

es falsa entonces( ) ( )

Xx P

es verdadera, por tanto,( ) ( )

Xx P

es

verdadera

FUNCIONES PROPOSICIONALES 0INARIAS

1 un predicado puede estar unido con m/s de un sujeto como:

4o(an es amigo de 8odrigo$

Este tipo de predicado epresa una relacin entre t'rminos, en este caso se presentan9 t'rminos: 4o(an y 8odrigo. #in em%argo uno de ellos (ace parte del predicadogramatical.


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En este caso se presenta una relacin entre dos sujetos que se denomina inaria odiatica$

0am%i'n se puede presentar relaciones entre ; o mas individuos

Ejemplo: x

esta entre a y c$

La proposicin 4o(an es amigo de 8odrigo$

#e sim%oliza: Ajr jAr

Las cuales son resultado de la sustitucin dentro de la funcin proposicional:

x es amigo de y $ que se sim%oliza xAy o Axy

)uando se tiene una funcin proposicional de dos varia%les, es posi%le convertirla enuna proposicin sustituyendo cada una de las varia%les por un t'rmino de un conjuntode referencia o a

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