LOGICA MATEMATICA
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7/16/2019 LOGICA MATEMATICA
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Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas
1.- PROPOSICIÓN.-
Consideremos las siguientes oraciones:
1.- ¿Qué hora es?2.- ¡Alto!3.- Wilsterman es el Campeón Boliviano4.- Los partidos neoliberales impiden las transformaciones en el País
Son oraciones, interrogativa la primera; imperativa la segunda y las dos ultimas son declarativas.
De las dos primeras no podemos decir que son verdaderas ni falsas, por cuanto una pregunta puede formularse o no y una orden puede ser cumplida o no. En cambio de las dos ultimas que
son declarativas, tiene sentido decir que son verdaderas o falsas, a estas se denominan proposiciones.
Entonces:
2.- CLASIFICACIÓN
Las proposiciones se clasifican en:
ATÓMICAS, son las que NO utilizan conectivos lógicos o llamados también términos de enlace.MOLECULARES, son las que SI utilizan conectivos lógicos o términos de enlace.
IMPORTANTE.- A partir de proposiciones simples se pueden generar proposiciones compuestas.
3.- TÉRMINOS DE ENLACE O CONECTIVOS LÓGICOS
∼ Negación No p o no es cierto que p ∧ Conjunción o producto Lógico p y q
∨ Disyunción o suma Lógica p o q (en sentido incluyente)
⇒ Implicación o Condicional p implica q o si p, entonces q
⇔ Doble implicación p si y solo si q
∨ Diferencia simétrica p o q (en sentido excluyente)
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NOCIONES DE LÓGICA MATEMÁTICA
PROPOSICIÓN, es toda oración respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsao sea esta asociada a un valor de verdad, el cual puede ser verdadero (V) o sino falso (F)y se las representan mediante las letras p, q, r, s,....
CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO
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4.- OPERACIONES PROPOSICIONALES
IMPORTANTE.- Como consecuencia de estas operaciones el resultado SIEMPRE es otra proposición.
4.a.- NEGACIÓN.- (∼)
Se trata de una operación unitaria, por cuanto a partir de una proposición se obtiene otra que es sunegación y cuya tabla de verdad es:
4.b.- CONJUNCIÓN ( ∧ )
Es una operación donde intervienen siempre dos proposiciones y cuya tabla de verdad es :
4.c.- DISYUNCIÓN ( ∨ )
Es también una operación que involucra a dos proposiciones y cuya tabla de verdad es:
Observar que o en sentido incluyente es V, cuando una de las dos proposiciones es verdadera.
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p ∼ p
V F
p ∧ q
V V V
p ∨ q
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4.d.- IMPLICACIÓN O CONDICIONAL (⇒)
Definida también para dos proposiciones: p q, donde p es llamado el ANTECEDENTE y q elCONSECUENTE , cuya tabla de verdad es:
4.e.- DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL.-(⇔ )
Operación asociada también al juego de dos proposiciones y cuya tabla de verdad es:
4.f.- DIFERENCIA SIMÉTRICA.- ( ∨ )
Llamada también disyunción excluyente, donde la verdad de la operación esta caracterizada por la verdad de una y solo una de las proposiciones, su tabla de verdad es:
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p ⇒ q
V F F
p ⇔ q
V V V
p ∨ q
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5.- VALORES DE VERDAD
Los valores de verdad asociados a las tablas de verdad se denominan:
6.- LEYES LÓGICAS
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TAUTOLOGÍA: si todos los valores de verdad de la tabla son Verdaderos
CONTRADICCIÓN: si todos los valores de verdad de la tabla son Falsos
CONTINGENCIA: si los valores de verdad en la tabla son “mezcladitos”
INVOLUCIÓN : ∼ (∼ p) ≡ p
IDENTIDAD:
p ∨ F ≡ p
V ∧ p ≡ pp ∨ ∼ p ≡ V
p ∧ F ≡ F
p ∨ V ≡ V
∧ ∼ ≡ F
IDEMPOTENCIA: p ∧ p ≡ p
∨ ≡
CONMUTATIVIDAD:
p ∨ q ≡ q ∨ p
p ∧ q ≡ q ∧ pp ⇔ q ≡ q ⇔ p
ASOCIATIVIDAD:
p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r
p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r
p ⇔ ( q ⇔ r ) ≡ ( p ⇔ q ) ⇔ r
DISTRIBUTIVIDAD:p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
p ⇒ ( q ∧ r ) ≡ ( p ⇒ q ) ∧ ( p ⇒ r )
p ⇒ ( q ∨ r ) ≡ ( p ⇒ q ) ∨ ( p⇒ r )
EQUIVALENTES LÓGICOS:
p ⇒ q ≡ ∼ p ∨ q
p ⇔ q ≡ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p )
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7.- RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VALIDO
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LEYES DE D´MORGAN:
∼ ( p ∧ q ) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
∼ ∨ ≡ ∼ ∧ ∼
LEY DEL MODUS PONENS:
p ⇒ qp
q
LEY DEL MODUS TOLLENS:
p ⇒ q
∼ q
∼ p
LEY DEL SILOGISMOHIPOTÉTICO:
p ⇒ q
q ⇒ r
p ⇒ r
SIMPLIFICACIÓN:
p ∧ q p ∧ q
p q
SILOGISMO DISYUNTIVO:
p ∨ q
p ⇒ r
q ⇒ s
r ∨ s
LEYES DE ABSORCION:
p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p
p ∧ (∼ p ∨ r ) ≡ p ∧ q
p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p
p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q
LEY DEL MODUS TOLLENDO PONENS:
p ∨ q p ∨ q
∼ p ∼ q
q p
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8.- CUANTIFICADORES
Introducimos la cuantificación asociada a un objeto determinado x, perteneciente a ciertouniverso o conjunto expresado mediante los símbolos x llamado cuantificador universal y x
llamado cuantificador existencial en x, entonces:
y corresponde a una función proposicional P(x) o propiedad relativa al objeto x cuantificadouniversalmente en el primer caso y existencialmente en el segundo caso.
Para negar una función proposicional cuantificada universalmente, se cambia el cuantificador enexistencial y se niega la función proposicional; igualmente para la negación de un cuantificador existencial, o sea:
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9.- CIRCUITOS LÓGICOS
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Para todo x, se verifica P(x) y se denota por ∀ x : P(x)
Existe x, tal que se verifica P(x) y se denota por ∃ x / P(x)
∼ [∀ x : P(x) ] ⇔ ∃ x / ∼ P(x)
∼ [∃ x / P(x) ] ⇔ ∀ x / ∼ P(x)
LEY DE LA CONJUNCION:pq
p ∧ q
LEY DE LA ADICION: p
p ∨ A
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La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico conun interruptor, donde el interruptor se cierra, si la proposición p es Verdadera y se abre si p esFalsa.
Para representar a p si es Verdadera, se tiene:
Para representar a p si es Falsa, se tiene:
Las operaciones proposicionales de la CONJUNCIÓN y la DISYUNCIÓN, se pueden representar mediante las conexiones serie y paralelo de los circuitos eléctricos, llamados en lógica, circuitoslógicos, a saber:
Se puede observar que este circuito admite el pasaje de corriente solo si las dos proposiciones sonverdaderas.
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CONJUNCIÓN ( ∧ ) : Operación proposicional representada mediante la conexión enSERIE de los circuitos eléctricos :
p q
DISYUNCIÓN (∨ ) : Operación proposicional representada mediante la conexión enPARALELO de los circuitos eléctricos :
p
q
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Se verifica que no pasa corriente, para el caso de que ambas proposiciones son falsas.
Febrero del 2013
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